مقالات

5.4: الرسوم البيانية للمتباينات الخطية في متغيرين (ممارسة التحدي الاختيارية)


أهداف التعلم

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • تحقق من حلول متباينة في متغيرين
  • التعرف على العلاقة بين حلول المتباينة ورسمها البياني
  • ارسم المتباينات الخطية

ملحوظة

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. حل: (4x + 3> 23. )
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع التمرين 2.7.22.
  2. ترجم من الجبر إلى اللغة الإنجليزية: (x <5. )
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع التمرين 1.3.1.
  3. أوجد (3x − 2y ) عندما (x = 1، ، y = 2. )
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع التمرين 1.5.28.

تحقق من حلول لعدم المساواة في متغيرين

لقد تعلمنا كيفية حل المتباينات في متغير واحد. الآن ، سننظر إلى المتباينات في متغيرين. المتباينات في متغيرين لها تطبيقات عديدة. إذا كنت تدير نشاطًا تجاريًا ، على سبيل المثال ، فقد ترغب في أن تكون إيراداتك أكبر من تكاليفك - حتى يحقق عملك ربحًا.

عدم المساواة الخطية

أ عدم المساواة الخطية هي متباينة يمكن كتابتها بأحد الأشكال التالية:

[A x + B y> C quad A x + B y geq C quad A x + B y

حيث (A ) و (B ) كلاهما ليسوا صفراً.

هل تتذكر أن متباينة ذات متغير واحد لها العديد من الحلول؟ حل المتباينة (x> 3 ) هو أي رقم أكبر من (3 ). أظهرنا هذا على خط الأعداد من خلال تظليل خط الأعداد على يمين (3 ) ووضع قوس مفتوح عند (3 ). راجع الشكل ( PageIndex {1} ).

وبالمثل ، فإن المتباينات في متغيرين لها العديد من الحلول. أي زوج مرتب ((x، y) ) يجعل المتباينة صحيحة عند التعويض بالقيم هو حل للمتباينة.

حل عدم المساواة الخطي

الزوج المرتب ((س ، ص) ) هو أ حل المتباينة الخطية إذا كانت المتباينة صحيحة عند استبدال قيم (x ) و (y ).

تمرين ( PageIndex {1} )

حدد ما إذا كان كل زوج مرتب هو حل للمتباينة (y> x + 4 ):

  1. ((0,0))
  2. ((1,6))
  3. ((2,6))
  4. ((−5,−15))
  5. ((−8,12))
إجابه
1.
((0,0))
تبسيط.
إذن ، ((0،0) ) ليس حلاً لـ (y> x + 4 ).
2.
((1,6))
تبسيط.
إذن ، ((1،6) ) هو حل لـ (y> x + 4 ).
3.
((2,6))
تبسيط.
إذن ، ((2،6) ) ليس حلاً لـ (y> x + 4 ).
4.
((−5,−15))
تبسيط.
إذن ، ((- 5 ، −15) ) ليس حلاً لـ (y> x + 4 ).
5.
(−8,12)
تبسيط.
إذن ، ((- 8،12) ) هو حل لـ (y> x + 4 ).

تمرين ( PageIndex {2} )

حدد ما إذا كان كل زوج مرتب هو حل للمتباينة (y> x − 3 ):

  1. ((0,0))
  2. ((4,9))
  3. ((−2,1))
  4. ((−5,−3))
  5. ((5,1))
إجابه
  1. نعم
  2. نعم
  3. نعم
  4. نعم
  5. لا

تمرين ( PageIndex {3} )

حدد ما إذا كان كل زوج مرتب هو حل للمتباينة (y

  1. ((0,0))
  2. ((8,6))
  3. ((−2,−1))
  4. ((3,4))
  5. ((−1,−4))
إجابه
  1. نعم
  2. نعم
  3. لا
  4. لا
  5. نعم

التعرف على العلاقة بين حلول اللامساواة ورسمها البياني

الآن ، سننظر في كيفية ارتباط حلول المتباينة بالرسم البياني لها.

لنفكر في خط الأعداد في الشكل ( PageIndex {1} ) مرة أخرى. فصلت النقطة (س = 3 ) خط الأعداد هذا إلى جزأين. على جانب واحد من (3 ) توجد جميع الأرقام أقل من (3 ). على الجانب الآخر من (3 ) جميع الأرقام أكبر من (3 ). راجع الشكل ( PageIndex {2} ).

حل (x> 3 ) هو الجزء المظلل من خط الأعداد على يمين (x = 3 ).

وبالمثل ، فإن الخط (y = x + 4 ) يفصل المستوى إلى منطقتين. على أحد جانبي الخط توجد نقاط مع (y x + 4 ). نسمي الخط (ص = س + 4 ) خط حد.

الخط الحدودي

الخط مع المعادلة (Ax + By = C ) هو خط الحدود التي تفصل المنطقة حيث (Ax + By> C ) عن المنطقة حيث (Ax + By

بالنسبة إلى عدم المساواة في متغير واحد ، تظهر نقطة النهاية بأقواس أو قوس اعتمادًا على ما إذا كانت aa مضمنة في الحل أم لا:

وبالمثل ، بالنسبة لعدم المساواة في متغيرين ، يظهر خط الحدود بخط متصل أو متقطع للإشارة إلى ما إذا كان الخط متضمنًا في الحل أم لا. تم تلخيص ذلك في الجدول ( PageIndex {1} ).

(الفأس + بواسطة (الفأس + بواسطة leq C )
(فأس + ب> ج ) (فأس + بقلم جيك ج)
لم يتم تضمين خط الحدود في الحل.يتم تضمين خط الحدود في الحل.
خط الحدود متقطع.خط الحدود متصل.
جدول ( PageIndex {1} )

الآن ، دعنا نلقي نظرة على ما وجدناه في التمرين ( PageIndex {1} ). سنبدأ برسم الخط (y = x + 4 ) ، ثم نرسم النقاط الخمس التي اختبرناها. راجع الشكل ( PageIndex {3} ).

في التمرين ( PageIndex {1} ) وجدنا أن بعض النقاط كانت حلولاً للمتباينة (y> x + 4 ) والبعض الآخر لم يكن كذلك.

أي من النقاط التي رسمناها هي حلول للمتباينة (y> x + 4 )؟ النقاط ((1،6) ) و ((- 8،12) ) هي حلول للمتباينة (y> x + 4 ). لاحظ أنهما على نفس الجانب من خط الحدود (y = x + 4 ).

النقطتان ((0،0) ) و ((- 5، −15) ) على الجانب الآخر من خط الحدود (y = x + 4 ) وليست حلولًا للمتباينة (y> x + 4 ). بالنسبة لهاتين النقطتين ، (y

وماذا عن النقطة ((2،6) )؟ نظرًا لأن (6 = 2 + 4 ) ، فإن النقطة هي حل للمعادلة (y = x + 4 ). لذا فإن النقطة ((2،6) ) تقع على خط الحدود.

لنأخذ نقطة أخرى على الجانب الأيسر من خط الحدود ونختبر ما إذا كان هذا حلًا أم لا للمتباينة (y> x + 4 ). من الواضح أن النقطة ((0،10) ) على يسار خط الحدود ، أليس كذلك؟ هل هو حل لعدم المساواة؟

[ start {array} {l} {y> x + 4} {10 stackrel {؟} {>} 0 + 4} {10> 4} & { text {So،} (0 ، 10) text {هو حل} y> x + 4.} end {array} ]

أي نقطة تختارها على الجانب الأيسر من خط الحدود هي حل للمتباينة (y> x + 4 ). كل النقاط الموجودة على اليسار هي حلول.

وبالمثل ، فإن جميع النقاط الموجودة على الجانب الأيمن من خط الحدود ، الضلع مع ((0،0) ) و ((- 5 ، −15) ) ، ليست حلولًا لـ (y> x + 4 ). راجع الشكل ( PageIndex {4} ).

يظهر الرسم البياني لعدم المساواة (y> x + 4 ) في الشكل ( PageIndex {5} ) أدناه. يقسم الخط (y = x + 4 ) المستوى إلى منطقتين. يوضح الجانب المظلل حلول المتباينة (y> x + 4 ).

النقاط على خط الحدود ، حيث (y = x + 4 ) ، ليست حلولًا للمتباينة (y> x + 4 ) ، لذا فإن الخط نفسه ليس جزءًا من الحل. نظهر ذلك بجعل الخط متقطعًا وليس صلبًا.

تمرين ( PageIndex {4} )

خط الحدود الموضح هو (y = 2x − 1 ). اكتب المتباينة الموضحة بالرسم البياني.

إجابه

الخط (y = 2x − 1 ) هو خط الحدود. على أحد جانبي الخط توجد النقاط مع (y> 2x − 1 ) وعلى الجانب الآخر من الخط توجد النقاط مع (y <2x − 1 ).

دعونا نختبر النقطة ((0،0) ) ونرى أي متباينة تصف جانبها من خط الحدود.

عند ((0،0) ) ، ما هي عدم المساواة الصحيحة:

[ begin {array} {ll} {y> 2 x-1} & { text {or}} & {y <2 x-1؟} {y> 2 x-1} && {y < 2 x-1} {0> 2 cdot 0-1} && {0 <2 cdot 0-1} {0> -1 text {True}} && {0 <-1 text { خطأ}} نهاية {مجموعة} ]

نظرًا لأن (y> 2x − 1 ) صحيح ، فإن جانب الخط الذي يحتوي على ((0،0) ) هو الحل. توضح المنطقة المظللة حل المتباينة (y> 2x − 1 ).

بما أن خط الحدود يرسم بخط متصل ، فإن المتباينة تتضمن علامة التساوي.

يوضح الرسم البياني عدم المساواة (y geq 2x − 1 ).

يمكننا استخدام أي نقطة كنقطة اختبار ، بشرط ألا تكون على المحك. لماذا اخترنا ((0،0) )؟ لأنه أسهل في التقييم. قد ترغب في اختيار نقطة على الجانب الآخر من خط الحدود والتحقق من ذلك (y <2x − 1 ).

تمرين ( PageIndex {5} )

اكتب المتباينة الموضحة بالمنحنى بخط الحدود (y = −2x + 3 ).

إجابه

(y geq −2x + 3 )

تمرين ( PageIndex {6} )

اكتب المتباينة الموضحة بالمنحنى بخط الحد (y = frac {1} {2} x − 4 ).

إجابه

(y leq frac {1} {2} x - 4 )

تمرين ( PageIndex {7} )

خط الحدود الموضح هو (2x + 3y = 6 ). اكتب المتباينة الموضحة بالرسم البياني.

إجابه

الخط (2x + 3y = 6 ) هو خط الحدود. على أحد جانبي الخط توجد النقاط مع (2x + 3y> 6 ) وعلى الجانب الآخر من الخط توجد النقاط مع (2x + 3y <6 ).

دعونا نختبر النقطة ((0،0) ) ونرى أي متباينة تصف جانبها من خط الحدود.

عند ((0،0) ) ، ما هي عدم المساواة الصحيحة:

[ start {array} {rr} {2 x + 3 y> 6} && { text {or} quad 2 x + 3 y <6؟} {2 x + 3 y> 6} && { 2 x + 3 y <6} {2 (0) +3 (0)> 6} & & {2 (0) +3 (0) <6} {0}> 6 & { text { False}} & {0 <6} & { text {True}} end {array} ]

لذا فإن الجانب الذي يحتوي على ((0،0) ) هو الضلع حيث (2x + 3y <6 ).

(قد ترغب في اختيار نقطة على الجانب الآخر من خط الحدود والتحقق من ذلك (2x + 3y> 6 ).)

بما أن خط الحدود مرسوم على هيئة خط متقطع ، فإن المتباينة لا تتضمن علامة يساوي.

يوضح الرسم البياني حل المتباينة (2x + 3y <6 ).

تمرين ( PageIndex {8} )

اكتب المتباينة الموضحة بالمنطقة المظللة في الرسم البياني بخط الحدود (x − 4y = 8 ).

إجابه

(x-4 ص leq 8 )

تمرين ( PageIndex {9} )

اكتب المتباينة الموضحة بالمنطقة المظللة في الرسم البياني بخط الحدود (3x − y = 6 ).

إجابه

(3 س ص ليق 6 )

المتباينات الخطية على الرسم البياني

الآن ، نحن جاهزون لتجميع كل هذا معًا لرسم بياني لعدم المساواة الخطية.

تمرين ( PageIndex {10} ): كيفية رسم المتباينات الخطية

رسم بياني عدم المساواة الخطية (y geq frac {3} {4} x-2 ).

إجابه

تمرين ( PageIndex {11} )

ارسم المتباينة الخطية (y geq frac {5} {2} x-4 ).

إجابه

تمرين ( PageIndex {12} )

بيّن المتباينة الخطية (y < frac {2} {3} x-5 ).

إجابه

نلخص هنا الخطوات التي نتخذها لرسم بياني لمتباينة خطية.

رسم خطي لعدم المساواة.

  1. تحديد ورسم خط الحدود.
    • إذا كانت المتباينة (≤ ) أو (≥ ) ، فإن خط الحدود متصل.
    • إذا كانت المتباينة (<) أو (> ) ، فإن خط الحدود متقطع.
  2. اختبر نقطة ليست على خط الحدود. هل هو حل لعدم المساواة؟
  3. ظل في جانب واحد من خط الحدود.
    • إذا كانت نقطة الاختبار عبارة عن حل ، ظلل الجانب الذي يحتوي على النقطة.
    • إذا لم تكن نقطة الاختبار حلاً ، فظلل في الجانب الآخر.

تمرين ( PageIndex {13} )

ارسم المتباينة الخطية (x − 2y <5 ).

إجابه

أولاً ، نرسم خط الحدود (x − 2y = 5 ). المتباينة هي (<) لذلك نرسم خطًا متقطعًا.

ثم نقوم باختبار نقطة. سنستخدم ((0،0) ) مرة أخرى لأنه من السهل تقييمه وليس على خط الحدود.

هل ((0،0) ) هو حل (x − 2y <5 )؟

النقطة ((0،0) ) هي حل (x − 2y <5 ) ، لذلك نظلل في هذا الجانب من خط الحدود.

تمرين ( PageIndex {14} )

ارسم المتباينة الخطية (2x − 3y leq 6 ).

إجابه

تمرين ( PageIndex {15} )

ارسم المتباينة الخطية (2x − y> 3 ).

إجابه

ماذا لو كان خط الحدود يمر بالأصل؟ ثم لن نتمكن من استخدام ((0،0) ) كنقطة اختبار. لا توجد مشكلة - سنختار نقطة أخرى ليست على خط الحدود.

تمرين ( PageIndex {16} )

ارسم المتباينة الخطية (y leq −4x ).

إجابه

أولاً ، نرسم خط الحدود (y = −4x ). إنه في شكل ميل - تقاطع ، مع (م = −4 ) و (ب = 0 ). المتباينة هي (≤ ) لذلك نرسم خطًا متصلًا.

الآن ، نحن بحاجة إلى نقطة اختبار. يمكننا أن نرى أن النقطة ((1،0) ) ليست على خط الحدود.

هل ((1،0) ) هو حل (y (− 4x )؟

النقطة ((1،0) ) ليست حلاً لـ (y≤ − 4x ) ، لذلك نظلل في الجانب المقابل لخط الحدود. راجع الشكل ( PageIndex {6} ).

تمرين ( PageIndex {17} )

ارسم المتباينة الخطية (y> −3x ).

إجابه

تمرين ( PageIndex {18} )

ارسم المتباينة الخطية (y geq −2x ).

إجابه

بعض المتباينات الخطية لها متغير واحد فقط. قد يكون لديهم (س ) ولكن لا (ص ) ، أو (ص ) ولكن لا (س ). في هذه الحالات ، سيكون خط الحدود إما خطًا رأسيًا أو أفقيًا. هل تذكر؟

( start {array} {ll} {x = a} & { text {vertical line}} {y = b} & { text {orizontal line}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {19} )

ارسم المتباينة الخطية (y> 3 ).

إجابه

أولاً ، نرسم خط الحدود (y = 3 ). إنه خط أفقي. المتباينة هي (> ) لذلك نرسم خطًا متقطعًا.

نقوم باختبار النقطة ((0،0) ).

[y> 3 0 not> 3 ]

((0،0) ) ليس حلاً لـ (y> 3 ).

لذلك نقوم بتظليل الجانب الذي لا يشمل ((0،0) ).

تمرين ( PageIndex {20} )

ارسم المتباينة الخطية (y <5 ).

إجابه

تمرين ( PageIndex {21} )

ارسم المتباينة الخطية (y leq-1 ).

إجابه

المفاهيم الرئيسية

  • لرسم متباينة خطية
    1. تحديد ورسم خط الحدود.
      إذا كانت المتباينة (≤ ) أو (≥ ) ، فإن خط الحدود متصل.
      إذا كانت المتباينة (<) أو (> ) ، فإن خط الحدود متقطع.
    2. اختبر نقطة ليست على خط الحدود. هل هو حل لعدم المساواة؟
    3. ظل في جانب واحد من خط الحدود.
      إذا كانت نقطة الاختبار عبارة عن حل ، ظلل الجانب الذي يحتوي على النقطة.
      إذا لم تكن نقطة الاختبار حلاً ، فظلل في الجانب الآخر.

قائمة المصطلحات

خط الحدود
الخط الذي يحتوي على المعادلة (A x + B y = C ) التي تفصل المنطقة حيث (A x + B y> C ) عن المنطقة حيث (A x + B y
عدم المساواة الخطية
متباينة يمكن كتابتها بأحد الأشكال التالية:

[A x + B y> C quad A x + B y geq C quad A x + B y حيث (A ) و (B ) كلاهما ليسوا صفراً.

حل المتباينة الخطية
الزوج المرتب ((x، ، y) ) هو حل لمتباينة خطية ، تكون المتباينة صحيحة عندما نستبدل قيم (x ) و (y ).

5.4 حل التطبيقات باستخدام أنظمة المعادلات

سبق في هذا الفصل حل العديد من التطبيقات باستخدام أنظمة المعادلات الخطية. في هذا القسم ، سنلقي نظرة على بعض الأنواع المحددة من التطبيقات التي تتعلق بكميتين. سنترجم الكلمات إلى معادلات خطية ، ونقرر الطريقة الأكثر ملاءمة للاستخدام ، ثم نحلها.

سوف نستخدم إستراتيجية حل المشكلات الخاصة بنا لأنظمة المعادلات الخطية.

كيف

استخدم إستراتيجية حل المشكلات لأنظمة المعادلات الخطية.

  1. الخطوة 1. يقرأ المشكلة. تأكد من فهم كل الكلمات والأفكار.
  2. الخطوة 2. تحديد ما نبحث عنه.
  3. الخطوه 3. اسم ما نبحث عنه. اختر المتغيرات لتمثيل تلك الكميات.
  4. الخطوة 4. يترجم في نظام المعادلات.
  5. الخطوة الخامسة. يحل نظام المعادلات باستخدام تقنيات الجبر الجيدة.
  6. الخطوة 6. الشيك الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.
  7. الخطوة 7. إجابه السؤال بجملة كاملة.

ترجم إلى نظام المعادلات

تتعلق العديد من المشكلات التي حللناها في تطبيقات سابقة بكميتين. فيما يلي مثالان من الفصل الخاص بالنماذج الرياضية.

  • مجموع عددين يساوي سالب أربعة عشر. رقم واحد أصغر من الآخر بأربعة. أوجد الأرقام.
  • يكسب الزوجان معًا 110.000 دولار في السنة. الزوجة تكسب 16000 دولار أقل من ضعف ما يكسبه زوجها. ماذا يكسب الزوج؟

في هذا الفصل قمنا بترجمة كل حالة إلى معادلة واحدة باستخدام متغير واحد فقط. في بعض الأحيان كان من الصعب تحديد كيفية تسمية الكميتين ، أليس كذلك؟

دعونا نرى كيف يمكننا ترجمة هاتين المشكلتين إلى نظام معادلات بمتغيرين. سنركز على الخطوات من 1 إلى 4 من إستراتيجيتنا لحل المشكلات.

مثال 5.35

كيف تترجم إلى نظام المعادلات

ترجم إلى نظام المعادلات:

مجموع عددين يساوي سالب أربعة عشر. رقم واحد أصغر من الآخر بأربعة. أوجد الأرقام.

حل

ترجم إلى نظام المعادلات:

مجموع عددين هو سالب 23. رقم واحد أقل بمقدار 7 من الآخر. أوجد الأرقام.

ترجم إلى نظام المعادلات:

مجموع عددين يساوي سالب ثمانية عشر. رقم واحد هو 40 أكثر من الآخر. أوجد الأرقام.

سنقوم بعمل مثال آخر حيث نتوقف بعد أن نكتب نظام المعادلات.

مثال 5.36

ترجم إلى نظام المعادلات:

يكسب الزوجان معًا 110.000 دولار في السنة.الزوجة تكسب 16000 دولار أقل من ضعف ما يكسبه زوجها. ماذا يكسب الزوج؟

المحلول

ترجم إلى نظام المعادلات:

يبلغ إجمالي دخل الأسرة للزوجين 84000 دولار. الزوج يكسب 18000 دولار أقل من ضعف ما تكسبه الزوجة. كم تكسب الزوجة؟

ترجم إلى نظام المعادلات:

يكسب الموظف الكبير 5 دولارات أقل من ضعف ما يجنيه الموظف الجديد في الساعة. يكسبون معًا 43 دولارًا في الساعة. كم يكسب كل موظف في الساعة؟

حل تطبيقات الترجمة المباشرة

أعددنا أنظمة المعادلات في المثال 5.35 والمثال 5.36 ، لكننا لم نحلها ، سنقوم الآن بترجمة حالة إلى نظام معادلات ثم حلها.

مثال 5.37

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

يبلغ ديفون 26 عامًا أكبر من ابنه كوبر. مجموع أعمارهم 50. ابحث عن أعمارهم.

المحلول

الخطوة 1. اقرأ المشكلة.
الخطوة 2. تحديد ما نبحث عنه. نحن نبحث عن عصور ديفون وكوبر.
الخطوة 3. الاسم ما نبحث عنه. لنفترض أن d = d = عمر ديفون.
ج = ج = عمر كوبر
الخطوة 4. الترجمة في نظام المعادلات. ديفون أكبر من كوبر بـ 26 عامًا.
مجموع أعمارهم 50.
النظام هو:
الخطوة 5. حل نظام المعادلات.

حل بالتعويض.
استبدل ج + 26 في المعادلة الثانية.
حل من أجل ج.
استبدل ج = 12 في المعادلة الأولى ثم حلها من أجل د.
الخطوة 6. تحقق الجواب في المشكلة. هل يبلغ عمر ديفون 26 عامًا أكثر من عمر كوبر؟
نعم ، 38 هو 26 أكثر من 12.
هل مجموع أعمارهم 50؟
نعم ، 38 زائد 12 يساوي 50.
الخطوة 7. الإجابة السؤال. ديفون يبلغ من العمر 38 عامًا وكوبر يبلغ من العمر 12 عامًا.

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

علي أكبر بـ 12 عامًا من أخته الصغرى جميلة. مجموع اعمارهم 40. ابحث عن اعمارهم.

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

يبلغ عمر والد جايك 6 أضعاف عمر جيك. مجموع أعمارهم 42. ابحث عن أعمارهم.

مثال 5.38

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

عندما أمضت جينا 10 دقائق على المدرب الإهليلجي ثم قامت بتدريب دائري لمدة 20 دقيقة ، يقول تطبيق اللياقة الخاص بها إنها أحرقت 278 سعرة حرارية. عندما أمضت 20 دقيقة على جهاز التمارين الرياضية و 30 دقيقة في التدريب الدائري ، أحرقت 473 سعرة حرارية. كم عدد السعرات الحرارية التي تحرقها في كل دقيقة على جهاز التمارين الرياضية؟ كم عدد السعرات الحرارية التي تحرقها في كل دقيقة من التدريب الدائري؟

المحلول

الخطوة 1. اقرأ المشكلة.
الخطوة 2. تحديد ما نبحث عنه. نحن نبحث عن عدد
حرق السعرات الحرارية في كل دقيقة على
مدرب بيضاوي وكل دقيقة
دائرة التدريب.
الخطوة 3. الاسم ما نبحث عنه. لنفترض أن e = e = عدد السعرات الحرارية التي يتم حرقها في الدقيقة على جهاز التدريب الإهليلجي.
c = c = عدد السعرات الحرارية المحروقة في الدقيقة أثناء التدريب الدائري
الخطوة 4. الترجمة في نظام المعادلات. 10 دقائق على الجهاز البيضاوي والدائرة
تدريب لمدة 20 دقيقة ، حرق
278 سعرات حرارية
20 دقيقة على الجهاز البيضاوي و
احترقت 30 دقيقة من التدريب الدائري
473 كالوري
النظام هو:
الخطوة 5. حل نظام المعادلات.
اضرب المعادلة الأولى في −2 لتحصل على معاملات معكوسة ه.
بسّط واجمع المعادلات.

حل من أجل ج.
استبدل ج = 8.3 في إحدى المعادلات الأصلية لحلها ه.
الخطوة 6. تحقق الجواب في المشكلة. تحقق من الرياضيات بنفسك.
الخطوة 7. الإجابة السؤال. جينا تحرق 8.3 سعرة حرارية في الدقيقة
تدريب دائري و 11.2 سعرة حرارية لكل
دقيقة أثناء وجوده على المدرب البيضاوي.

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

ذهب مارك إلى صالة الألعاب الرياضية وأجرى 40 دقيقة من يوجا بيكرام الساخنة و 10 دقائق من قفز الرافعات. لقد أحرق 510 سعرة حرارية. في المرة التالية التي ذهب فيها إلى صالة الألعاب الرياضية ، أمضى 30 دقيقة من اليوجا الساخنة في بيكرام و 20 دقيقة من قفز الرافعات وحرق 470 سعرة حرارية. كم عدد السعرات الحرارية التي تم حرقها في كل دقيقة من اليوجا؟ كم عدد السعرات الحرارية التي تم حرقها لكل دقيقة من القفز؟

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

أمضت إيرين 30 دقيقة على آلة التجديف و 20 دقيقة في رفع الأثقال في صالة الألعاب الرياضية وحرق 430 سعرة حرارية. خلال زيارتها التالية إلى صالة الألعاب الرياضية ، أمضت 50 دقيقة على آلة التجديف و 10 دقائق في رفع الأثقال وحرق 600 سعرة حرارية. كم عدد السعرات الحرارية التي تحرقها لكل دقيقة على آلة التجديف؟ كم عدد السعرات الحرارية التي تحرقها مقابل كل دقيقة من رفع الأثقال؟

حل تطبيقات الهندسة

عندما تعلمنا عن النماذج الرياضية ، قمنا بحل تطبيقات الهندسة باستخدام خصائص المثلثات والمستطيلات. الآن سنضيف إلى قائمتنا بعض خصائص الزوايا.

مجموع زاويتين متكاملتين يساوي 90 درجة. مجموع زاويتين مكملتين يساوي 180 درجة.

الزوايا التكميلية والتكميلية

زاويتان مكمل إذا كان مجموع قياسات زواياهما 90 درجة.

زاويتان تكميلي إذا كان مجموع قياسات زواياهما 180 درجة.

إذا كانت الزاويتان متكاملتان ، فإننا نقول ذلك إحدى الزوايا هي مكملة للأخرى.

إذا كانت الزاويتان مكملتان ، فإننا نقول ذلك زاوية واحدة هي تكملة للآخر.

مثال 5.39

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

الفرق بين زاويتين متكاملتين هو 26 درجة. العثور على قياسات الزوايا.

المحلول

الخطوة 1. اقرأ المشكلة.
الخطوة 2. تحديد ما نبحث عنه. نحن نبحث عن قياس كل زاوية.
الخطوة 3. الاسم ما نبحث عنه. دع x = x = قياس الزاوية الأولى x = x =.
م = م = قياس الزاوية الثانية.
الخطوة 4. الترجمة في نظام المعادلات. الزوايا متكاملة.
س + ص = 90 س + ص = 90
الفرق بين الزاويتين هو 26 درجة.
س - ص = 26 س - ص = 26
النظام <س + ص = 90 س - ص = 26 <س + ص = 90 س - ص = 26
الخطوة 5. حل نظام المعادلات بالحذف.
عوّض x = 58 x = 58 في المعادلة الأولى. س + ص = 90 58 + ص = 90 ص = 32 س + ص = 90 58 + ص = 90 ص = 32
الخطوة 6. تحقق الجواب في المشكلة.
58 + 32 = 90 ✓ 58 − 32 = 26 ✓ 58 + 32 = 90 ✓ 58 − 32 = 26 ✓
الخطوة 7. الإجابة السؤال. قياس الزاوية 58 درجة و 42 درجة.

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

الفرق بين زاويتين متكاملتين هو 20 درجة. العثور على قياسات الزوايا.

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

الفرق بين زاويتين متكاملتين يساوي 80 درجة. العثور على قياسات الزوايا.

مثال 5.40

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

زاويتان مكملتان. قياس الزاوية الأكبر يقل بمقدار اثنتي عشرة درجة عن خمسة أضعاف قياس الزاوية الأصغر. أوجد قياس الزاويتين.

المحلول

الخطوة 1. اقرأ المشكلة.
الخطوة 2. تحديد ما نبحث عنه. نحن نبحث عن قياس كل زاوية.
الخطوة 3. الاسم ما نبحث عنه. دع x = x = قياس الزاوية الأولى.
y = y = قياس الزاوية الثانية
الخطوة 4. الترجمة في نظام المعادلات. الزوايا مكملة.
الزاوية الأكبر هي اثني عشر أصغر من خمسة أضعاف الزاوية الأصغر
النظام هو:


الخطوة 5. حل نظام استبدال المعادلات.
البديل 5x - 12 من أجل ذ في المعادلة الأولى.
حل من أجل x.
عوّض بـ 32 في المعادلة الثانية ثم حل من أجل ذ.
الخطوة 6. تحقق الجواب في المشكلة.

32 + 158 = 180 ✓ 5 · 32 − 12 = 147 ✓ 32 + 158 = 180 ✓ 5 · 32 − 12 = 147 ✓
الخطوة 7. الإجابة السؤال. قياسات الزوايا هي 148 و 32.

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

زاويتان مكملتان. قياس الزاوية الأكبر يزيد بمقدار 12 درجة عن ثلاثة أضعاف قياس الزاوية الأصغر. العثور على قياسات الزوايا.

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

زاويتان مكملتان. قياس الزاوية الأكبر هو 18 أقل من ضعف قياس الزاوية الأصغر. العثور على قياسات الزوايا.

مثال 5.41

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

يمتلك راندال 125 قدمًا من السياج لإحاطة الجزء المستطيل من الفناء الخلفي لمنزله. سيحتاج فقط إلى إقامة سياج حول ثلاث جهات ، لأن الجانب الرابع سيكون جدار المنزل. يريد أن يكون طول الساحة المسيجة (الموازية لجدار المنزل) 5 أقدام أكثر من أربعة أضعاف عرضها. العثور على طول وعرض.

المحلول

الخطوة 1. اقرأ المشكلة.
الخطوة 2. تحديد ما تبحث عنه. نحن نبحث عن الطول والعرض.
الخطوة 3. الاسم ما نبحث عنه. دع L = L = طول الساحة المسيجة.
W = W = عرض الساحة المسيجة
الخطوة 4. الترجمة في نظام المعادلات. طول واحد وعرضان يساوي 125.
سيكون الطول 5 أقدام أكثر من أربعة أضعاف العرض.
النظام هو:

الخطوة 5. حل نظام المعادلات بالتعويض.
استبدل إل = 4دبليو + 5 في الأول
المعادلة ، ثم حلها من أجل دبليو.
البديل 20 من أجل دبليو في الثانية
المعادلة ، ثم حلها من أجل إل.
الخطوة 6. تحقق الجواب في المشكلة.

20 + 28 + 20 = 125 ✓ 85 = 4 · 20 + 5 ✓ 20 + 28 + 20 = 125 ✓ 85 = 4 · 20 + 5 ✓
الخطوة 7. الإجابة المعادلة. الطول 85 قدمًا والعرض 20 قدمًا.

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

يريد ماريو وضع سياج مستطيل حول حوض السباحة في الفناء الخلفي لمنزله. نظرًا لأن أحد الجوانب مجاور للمنزل ، فلن يحتاج إلا إلى تسييج ثلاثة جوانب. يوجد جانبان طويلان والجانب الأقصر موازٍ للمنزل. إنه يحتاج إلى 155 قدمًا من المبارزة لإحاطة المسبح. طول الضلع الطويل أقل من ضعف العرض بمقدار 10 أقدام. ابحث عن طول وعرض منطقة المسبح المراد تغطيتها.

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

تريد أليكسيس بناء كلب يجري في مستطيل الشكل في فناء منزلها المجاور لسياج جارتها. ستستخدم سياجًا بطول 136 قدمًا لإحاطة مسار الكلب المستطيل تمامًا. سيكون طول الكلب الذي يركض على طول سياج الجار 16 قدمًا أقل من ضعف العرض. أوجد طول وعرض مسار الكلب.

حل تطبيقات الحركة الموحدة

استخدمنا جدولًا لتنظيم المعلومات في مسائل حركة موحدة عندما قدمناها سابقًا. سنواصل استخدام الجدول هنا. كانت المعادلة الأساسية د = RT أين د هي المسافة المقطوعة ، ص هو المعدل و ر هو الوقت المناسب.

سيكون أول مثال على تطبيق الحركة المنتظمة هو موقف مشابه لبعض الحالات التي رأيناها بالفعل ، ولكن يمكننا الآن استخدام متغيرين ومعادلتين.

مثال 5.42

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

غادر جوني سانت لويس على الطريق السريع ، متجهًا غربًا نحو دنفر بسرعة 65 ميلًا في الساعة. بعد نصف ساعة ، غادر كيلي سانت لويس على نفس الطريق مثل جوني ، حيث كان يقود 78 ميلًا في الساعة. كم من الوقت سيستغرق كيلي للحاق بجوني؟

المحلول

الرسم التخطيطي مفيد في مساعدتنا على تصور الموقف.

تحديد واسم ما نبحث عنه.
سيساعدنا الرسم البياني في تنظيم البيانات.
نحن نعرف معدلات كل من جوني وكيلي ، وهكذا
ندخلها في الرسم البياني.
نحن نبحث عن طول الفترة الزمنية يا كيلي ،
كوجوني ، ي، سوف يقود كل.
بما أن D = r · t D = r · t يمكننا ملء عمود المسافة.
يترجم في نظام المعادلات.
لعمل نظام المعادلات ، يجب أن ندرك أن كيلي وجوني سيقودان نفس المسافة. إذًا ، 65 ي = 78 ك. 65 ي = 78 ك.

أيضًا ، نظرًا لأن كيلي غادرت لاحقًا ، سيكون وقتها أقل بساعة تبلغ 1 2 1 2 من وقت جوني.

إذن ، k = j - 1 2. ك = ي - 1 2.
الآن لدينا النظام.
يحل نظام المعادلات بالتعويض.
عوّض k = j - 1 2 k = j - 1 2 في المعادلة الثانية ثم حل من أجل ي.
لمعرفة وقت كيلي ، استبدل ي = 3 في المعادلة الأولى ، ثم حل من أجل ك.
التحقق من الجواب في المشكلة.
جوني 3 ساعات (65 ميلا في الساعة) = 195 ميلا.
كيلي 2 1 2 2 1 2 ساعة (78 ميلا في الساعة) = 195 ميلا.
نعم ، سيكونون قد قطعوا نفس المسافة
عندما يجتمعون.
إجابه السؤال. سوف يلحق كيلي بجوني في غضون ساعتين 1 2 2 1 2.
بحلول ذلك الوقت ، سيكون جوني قد سافر 3 ساعات.

ترجم إلى نظام من المعادلات ثم حلها: غادر ميتشل ديترويت على الطريق السريع متوجهاً جنوباً نحو أورلاندو بسرعة 60 ميلاً في الساعة. غادر كلارك ديترويت بعد ساعة واحدة وسافر بسرعة 75 ميلاً في الساعة ، متبعًا نفس الطريق الذي سلكه ميتشل. كم من الوقت سيستغرق كلارك للقبض على ميتشل؟

ترجمها إلى نظام معادلات ثم حلها: غادر تشارلي منزل والدته مسافرًا بسرعة متوسطة تبلغ 36 ميلاً في الساعة. غادرت أخته سالي بعد ذلك 15 دقيقة (1/4 ساعة) وسافرت في نفس الطريق بمتوسط ​​سرعة 42 ميلاً في الساعة. كم من الوقت قبل أن تلحق سالي بتشارلي؟

تنشأ العديد من تطبيقات العالم الحقيقي للحركة المنتظمة بسبب تأثيرات التيارات - الماء أو الهواء - على السرعة الفعلية للمركبة. تستغرق رحلات الطيران عبر البلاد في الولايات المتحدة عمومًا وقتًا أطول في الذهاب غربًا مقارنة بالذهاب شرقًا بسبب تيارات الرياح السائدة.

دعونا نلقي نظرة على قارب يسافر على نهر. اعتمادًا على الطريقة التي يسير بها القارب ، فإن تيار الماء إما يبطئه أو يسرعه.

يوضح الشكل 5.7 والشكل 5.8 كيف يؤثر تيار النهر على السرعة التي يسافر بها القارب بالفعل. سوف نسمي سرعة القارب في المياه الساكنة ب وسرعة تيار النهر ج.

في الشكل 5.7 ، يسير القارب في اتجاه مجرى النهر ، في نفس اتجاه تيار النهر. يساعد التيار على دفع القارب ، وبالتالي تكون السرعة الفعلية للقارب أسرع من سرعته في الماء الراكد. السرعة الفعلية التي يتحرك بها القارب هي ب + ج.

في الشكل 5.8 ، يتحرك القارب في اتجاه المنبع ، مقابل تيار النهر. التيار يسير عكس القارب ، لذا فإن السرعة الفعلية للقارب أبطأ من سرعته في الماء الراكد. السرعة الفعلية للقارب هي ب - ج ب - ج.

سنضع بعض الأرقام لهذا الموقف في المثال 5.43.

مثال 5.43

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

أبحرت سفينة سياحية نهرية 60 ميلاً في اتجاه مجرى النهر لمدة 4 ساعات ثم استغرقت 5 ساعات في الإبحار في اتجاه المنبع للعودة إلى الرصيف. أوجد سرعة السفينة في المياه الساكنة وسرعة تيار النهر.

المحلول

اقرأ المشكلة.

هذه مشكلة حركة موحدة وستساعدنا الصورة في تصور الموقف.

تحديد ما نبحث عنه. نحن نبحث عن سرعة السفينة
في الماء الراكد وسرعة التيار.
اسم ما نبحث عنه. دعونا s = s = معدل السفينة في المياه الراكدة.
ج = ج = معدل التيار
سيساعدنا الرسم البياني في تنظيم المعلومات.
تذهب السفينة في اتجاه مجرى النهر ثم المنبع.
الذهاب إلى المصب ، التيار يساعد
لذلك ، فإن السعر الفعلي للسفينة هو س + ج.
الذهاب إلى المنبع ، التيار يبطئ السفينة
لذلك ، المعدل الفعلي هو سج.
يستغرق المصب 4 ساعات.
المنبع يستغرق 5 ساعات.
في كل اتجاه المسافة 60 ميلا.
يترجم في نظام المعادلات.
نظرًا لأن معدل الأوقات هو المسافة ، يمكننا ذلك
اكتب نظام المعادلات.
يحل نظام المعادلات.
وزع لوضع المعادلتين في المعيار
ثم حلها عن طريق الحذف.
اضرب المعادلة العليا في 5 والمعادلة السفلية في 4.
اجمع المعادلات ثم حلها من أجل س.
استبدل س = 13.5 في إحدى المعادلات الأصلية.
التحقق من الجواب في المشكلة.

سيكون معدل المصب
13.5 + 1.5 = 15 ميل في الساعة.
في غضون 4 ساعات ستسافر السفينة
15 · 4 = 60 ميلاً.
سيكون معدل المنبع
13.5 - 1.5 = 12 ميل في الساعة.
في غضون 5 ساعات ستسافر السفينة
12 · 5 = 60 ميلاً.
إجابه السؤال. معدل السفينة 13.5 ميلا في الساعة و
معدل التيار 1.5 ميل في الساعة.

قم بالترجمة إلى نظام المعادلات ثم حلها: أبحرت رحلة بحرية في نهر المسيسيبي على بعد 120 ميلًا من المنبع لمدة 12 ساعة ثم استغرقت 10 ساعات للعودة إلى الرصيف. أوجد سرعة قارب النهر في المياه الساكنة وسرعة تيار النهر.

ترجم إلى نظام من المعادلات ثم حلها: جدف جيسون بزورقه على بعد 24 ميلاً من المنبع لمدة 4 ساعات. استغرق الأمر 3 ساعات للعودة إلى الوراء. أوجد سرعة الزورق في المياه الساكنة وسرعة تيار النهر.

تؤثر تيارات الرياح على سرعات الطائرات بنفس الطريقة التي تؤثر بها التيارات المائية على سرعات القوارب. سنرى هذا في المثال 5.44. يُطلق على تيار الرياح في نفس اتجاه تحليق الطائرة a الريح الخلفية. يسمى تيار الرياح الذي يهب عكس اتجاه الطائرة أ رياح معاكسة.

مثال 5.44

ترجم نظام المعادلات ثم حلها:

يمكن لطائرة خاصة أن تطير 1095 ميلاً في ثلاث ساعات مع رياح خلفية ولكن فقط 987 ميلاً في ثلاث ساعات في رياح معاكسة. أوجد سرعة الطائرة في الهواء الساكن وسرعة الرياح.

المحلول

اقرأ المشكلة.

هذه مشكلة حركة موحدة وستساعدنا الصورة على التخيل.

تحديد ما نبحث عنه. نحن نبحث عن سرعة الطائرة
في الهواء الساكن وسرعة الريح.
اسم ما نبحث عنه. دع j = j = سرعة الطائرة في الهواء الساكن.
w = w = سرعة الريح
سيساعدنا الرسم البياني في تنظيم المعلومات.
تقوم الطائرة برحلتين - واحدة في ريح خلفية
وواحد في رياح معاكسة.
في الرياح الخلفية ، تساعد الرياح الطائرة وما إلى ذلك
المعدل ي + ث.
في رياح معاكسة ، تبطئ الرياح النفاثة و
لذا فإن المعدل يث.
تستغرق كل رحلة 3 ساعات.
في الريح الخلفية ، تطير الطائرة لمسافة 1095 ميلًا.
في رياح معاكسة ، تحلق الطائرة مسافة 987 ميلاً.
يترجم في نظام المعادلات.
نظرًا لأن معدل الأوقات هو المسافة ، نحصل على
نظام المعادلات.
يحل نظام المعادلات.
وزع ثم حل بالقضاء.
أضف وحل من أجل ي.

استبدل ي = 347 في واحد من الأصل
المعادلات ، ثم حل من أجل ث.
التحقق من الجواب في المشكلة.

مع الريح الخلفية ، فإن المعدل الفعلي لـ
سيكون النفاثة
347 + 18 = 365 ميل في الساعة.
في غضون 3 ساعات ستسافر الطائرة
365 · 3 = 1095 ميلاً.
الدخول في الريح المعاكسة ، الطائرة الفعلية
سيكون المعدل
347-18 = 329 ميل في الساعة.
في غضون 3 ساعات ستسافر الطائرة
329 · 3 = 987 ميلاً.
إجابه السؤال. معدل الطائرة 347 ميلا في الساعة و
معدل الرياح 18 ميلا في الساعة.

قم بالترجمة إلى نظام المعادلات ثم حلها: يمكن لطائرة صغيرة أن تطير 1325 ميلًا في 5 ساعات مع رياح خلفية ولكن فقط 1025 ميلًا في 5 ساعات في رياح معاكسة. أوجد سرعة الطائرة في الهواء الساكن وسرعة الرياح.

قم بالترجمة إلى نظام المعادلات ثم حلها: يمكن للطائرة التجارية أن تطير 1728 ميلًا في 4 ساعات مع رياح خلفية ولكن فقط 1536 ميلًا في 4 ساعات في مواجهة رياح معاكسة. أوجد سرعة الطائرة في الهواء الساكن وسرعة الرياح.

تمارين القسم 5.4

مع التدريب يأتي الإتقان

ترجم إلى نظام المعادلات

في التدريبات التالية ، قم بالترجمة إلى نظام المعادلات وحل النظام.

مجموع عددين هو خمسة عشر. رقم واحد أصغر بثلاثة من الآخر. أوجد الأرقام.

مجموع عددين هو 25. رقم واحد أقل بخمسة من الآخر. أوجد الأرقام.

مجموع عددين يساوي سالب ثلاثين. رقم واحد هو خمسة أضعاف الآخر. أوجد الأرقام.

مجموع عددين يساوي سالب ستة عشر. رقم واحد هو سبعة أضعاف الآخر. أوجد الأرقام.

ضعف عدد زائد ثلاثة في رقم ثان يساوي 22. ثلاثة في العدد الأول زائد أربعة في الثاني يساوي واحدًا وثلاثين. أوجد الأرقام.

ستة في عدد زائد مرتين في العدد الثاني يساوي أربعة. ضعف العدد الأول زائد أربعة في العدد الثاني يساوي ثمانية عشر. أوجد الأرقام.

ثلاثة في عدد زائد ثلاثة في رقم ثان يساوي خمسة عشر. أربعة في أول زائد ضعف العدد الثاني أربعة عشر. أوجد الأرقام.

ضعف عدد زائد ثلاثة في رقم ثان يساوي سالب واحد. العدد الأول زائد أربعة في العدد الثاني يساوي اثنين. أوجد الأرقام.

يكسب الزوجان معًا 75000 دولار. يكسب الزوج 15000 دولار أكثر من خمسة أضعاف ما تكسبه زوجته. ماذا تكسب الزوجة؟

خلال عامين في الكلية ، حصل الطالب على 9500 دولار. في العام الثاني ، كسبت 500 دولار أكثر من ضعف المبلغ الذي حصلت عليه في العام الأول. كم كسبت في السنة الأولى؟

استثمرت دانييلا ما مجموعه 50000 دولار ، بعضها في شهادة إيداع (CD) والباقي في السندات. كان المبلغ المستثمر في السندات 5000 دولار أكثر من ضعف المبلغ الذي وضعته في القرص المضغوط. كم استثمرت في كل حساب؟

استثمر خورخي 28000 دولار في حسابين. كان المبلغ الذي وضعه في حسابه في سوق المال أقل بمقدار 2000 دولار من ضعف ما وضعه في قرص مضغوط. كم استثمر في كل حساب؟

في العامين الأخيرين لها في الكلية ، تلقت مارلين قروضًا بقيمة 42000 دولار. في السنة الأولى حصلت على قرض يقل بمقدار 6000 دولار عن ثلاثة أضعاف مبلغ قرض السنة الثانية. كم كان مبلغ قرضها عن كل عام؟

يدين جين وديفيد بقروض بقيمة 22000 دولار لسيارتهما. مبلغ قرض سيارة Jen هو 2000 دولار أقل من ضعف مبلغ قرض سيارة ديفيد. كم هو كل قرض سيارة؟

حل تطبيقات الترجمة المباشرة

في التدريبات التالية ، قم بالترجمة إلى نظام المعادلات وحلها.

أليسا تكبر أختها بيثاني باثنتي عشرة سنة. مجموع أعمارهم أربعة وأربعون. ابحث عن أعمارهم.

روبرت أكبر من شقيقته هيلين بخمسة عشر عامًا. مجموع أعمارهم ثلاثة وستون. ابحث عن أعمارهم.

عمر والد نويل يقل بست مرات عن عمر نويل. مجموع أعمارهم أربعة وسبعون. ابحث عن أعمارهم.

عمر والد مارك هو 4 أقل من ضعف عمر ماركس. مجموع أعمارهم خمسة وتسعون. ابحث عن أعمارهم.

تحتوي حاويتان من البنزين على إجمالي خمسين جالونًا. يمكن أن تستوعب الحاوية الكبيرة عشرة جالونات أقل من ضعف الحاوية الصغيرة. كم جالون يحمل كل حاوية؟

يحتاج يونيو إلى 48 جالونًا من الثقب للحفلة ويحتوي على مبردين مختلفين لحمله. المبرد الأكبر حجمه أكبر بخمس مرات من المبرد الأصغر. كم جالون يمكن أن يحمل كل مبرد؟

أمضت شيلي 10 دقائق في الركض و 20 دقيقة في ركوب الدراجات وحرق 300 سعرة حرارية. في اليوم التالي ، قامت شيلي بتبديل الأوقات ، حيث مارست 20 دقيقة من الركض و 10 دقائق من ركوب الدراجات وحرق نفس العدد من السعرات الحرارية. كم عدد السعرات الحرارية التي تم حرقها لكل دقيقة من الركض وكم عدد السعرات لكل دقيقة من ركوب الدراجة؟

أحرق درو 1800 سعرة حرارية يوم الجمعة من خلال لعب كرة السلة لمدة ساعة واحدة والتجديف لمدة ساعتين. يوم السبت قضى ساعتين في لعب كرة السلة وثلاث ساعات في التجديف وأحرق 3200 سعرة حرارية. كم عدد السعرات الحرارية التي يحرقها في الساعة عند لعب كرة السلة؟

كان تروي وليزا يتسوقان لشراء اللوازم المدرسية. اشترى كل منهم كميات مختلفة من نفس الكمبيوتر المحمول ومحرك الإبهام. اشترى تروي أربعة دفاتر وخمسة محركات أقراص صغيرة مقابل 116 دولارًا. اشترت ليزا دفتريين وثلاث غطس للإبهام مقابل 68 دولارًا. ابحث عن تكلفة كل جهاز كمبيوتر محمول وكل محرك أقراص محمول.

اشترت نانسي سبعة أرطال من البرتقال وثلاثة أرطال من الموز مقابل 17 دولارًا. اشترى زوجها في وقت لاحق ثلاثة أرطال من البرتقال وستة أرطال من الموز مقابل 12 دولارًا. كم كانت تكلفة رطل البرتقال والموز؟

حل تطبيقات الهندسة في التدريبات التالية ، قم بالترجمة إلى نظام المعادلات وحلها.

الفرق بين زاويتين متكاملتين هو 30 درجة. العثور على قياسات الزوايا.

الفرق بين زاويتين متكاملتين هو 68 درجة. العثور على قياسات الزوايا.

الفرق بين زاويتين مكملتين هو 70 درجة. العثور على قياسات الزوايا.

الفرق بين زاويتين مكملتين هو 24 درجة. أوجد قياس الزوايا.

الفرق بين زاويتين مكملتين هو 8 درجات. العثور على قياسات الزوايا.

الفرق بين زاويتين مكملتين هو 88 درجة. العثور على قياسات الزوايا.

الفرق بين زاويتين متكاملتين هو 55 درجة. العثور على قياسات الزوايا.

الفرق بين زاويتين متكاملتين هو 17 درجة. العثور على قياسات الزوايا.

زاويتان مكملتان. قياس الزاوية الأكبر يساوي أربعة أضعاف قياس الزاوية الأصغر بثلاثة أضعاف. أوجد قياس الزاويتين.

زاويتان مكملتان. قياس الزاوية الأكبر يساوي خمسة أقل من أربعة أضعاف قياس الزاوية الأصغر. أوجد قياس الزاويتين.

زاويتان متكاملتان. قياس الزاوية الأكبر هو اثني عشر أقل من ضعف قياس الزاوية الأصغر. أوجد قياس الزاويتين.

زاويتان متكاملتان. قياس الزاوية الأكبر يزيد بمقدار عشرة أضعاف عن قياس الزاوية الأصغر. أوجد قياس الزاويتين.

يعلق واين سلسلة من الأضواء بطول 45 قدمًا حول الجوانب الثلاثة لفناءه المستطيل المجاور لمنزله. يبلغ طول فناء منزله ، أي جانب المنزل ، خمسة أقدام أطول من ضعف عرضه. ابحث عن طول وعرض الفناء.

يعلق دارين 200 قدم من إكليل عيد الميلاد على الجوانب الثلاثة من السياج الذي يحيط بساحته الأمامية المستطيلة. طول ضلع المنزل خمسة أقدام أقل من ثلاثة أضعاف العرض. أوجد طول وعرض السياج.

إطار حول صورة عائلية مستطيلة يبلغ محيطه 60 بوصة. الطول أقل بخمسة عشر ضعف العرض. أوجد طول وعرض الإطار.

محيط منطقة لعب الأطفال الصغار المستطيلة 100 قدم. الطول أكثر من ثلاثة أضعاف العرض. ابحث عن طول وعرض منطقة اللعب.

حل تطبيقات الحركة الموحدة في التدريبات التالية ، قم بالترجمة إلى نظام المعادلات وحلها.

غادرت سارة مينيابوليس متجهة شرقاً على الطريق السريع بسرعة 60 ميلاً في الساعة. تبعتها أختها على نفس الطريق ، وغادرت بعد ساعتين وقادت السيارة بمعدل 70 ميلاً في الساعة. كم من الوقت ستستغرق أخت سارة لتلحق بسارة؟

كان زملاؤنا في الغرفة جون وديفيد يقودان سيارتهما إلى المنزل في نفس المدينة لقضاء العطلات. قاد جون 55 ميلاً في الساعة ، وقاد ديفيد ، الذي غادر بعد ساعة ، 60 ميلاً في الساعة. كم من الوقت سيستغرق داود للحاق بيوحنا؟

في نهاية عطلة الربيع ، غادرت لوسي الشاطئ وعادت نحو المنزل ، حيث كانت تقود بسرعة 40 ميلاً في الساعة. غادر صديق لوسي الشاطئ عائدا إلى منزله بعد 30 دقيقة (نصف ساعة) ، وقاد 50 ميلا في الساعة. كم من الوقت استغرقت صديقة لوسي للحاق بلوسي؟

غادرت فيليسيا منزلها لزيارة ابنتها وهي تقود السيارة بسرعة 45 ميلاً في الساعة. انتظر زوجها وصول جليسة الكلب وغادر المنزل بعد عشرين دقيقة (1/3 ساعة). قاد 55 ميلا في الساعة للحاق فيليسيا. كم من الوقت قبل أن يصل إليها؟

قامت عائلة جونز بركوب الزورق لمسافة 12 ميلًا أسفل النهر الهندي في غضون ساعتين. بعد الغداء ، استغرقت رحلة العودة إلى النهر ثلاث ساعات. أوجد معدل الزورق في الماء الراكد ومعدل التيار.

يسافر قارب بمحرك 60 ميلاً أسفل النهر في ثلاث ساعات ولكن يستغرق خمس ساعات للعودة إلى أعلى النهر. أوجد معدل القارب في المياه الساكنة ومعدل التيار.

سافر قارب بمحرك مسافة 18 ميلاً أسفل النهر في غضون ساعتين ، لكنه عاد إلى أعلى النهر ، واستغرق 4.5 ساعة بسبب التيار. أوجد معدل الزورق في الماء الراكد ومعدل التيار. (قرّب لأقرب جزء من مائة).

أبحر قارب رحلات نهرية لمسافة 80 ميلاً أسفل نهر المسيسيبي لمدة أربع ساعات. استغرق الأمر خمس ساعات للعودة. أوجد معدل قارب الرحلات في المياه الساكنة ومعدل التيار. (قرّب لأقرب جزء من مائة).

يمكن لطائرة صغيرة أن تطير 1،072 ميلًا في 4 ساعات مع رياح خلفية ولكن فقط 848 ميلًا في 4 ساعات في رياح معاكسة. أوجد سرعة الطائرة في الهواء الساكن وسرعة الرياح.

يمكن لطائرة صغيرة أن تطير 1435 ميلاً في 5 ساعات مع رياح خلفية ولكن فقط 1215 ميلاً في 5 ساعات في رياح معاكسة. أوجد سرعة الطائرة في الهواء الساكن وسرعة الرياح.

يمكن لطائرة تجارية أن تطير 868 ميلاً في ساعتين مع رياح خلفية ولكن فقط 792 ميلاً في ساعتين في رياح معاكسة. أوجد سرعة الطائرة في الهواء الساكن وسرعة الرياح.

يمكن لطائرة تجارية أن تطير 1320 ميلًا في 3 ساعات مع رياح خلفية ولكن فقط 1170 ميلًا في 3 ساعات في رياح معاكسة. أوجد سرعة الطائرة في الهواء الساكن وسرعة الرياح.

الرياضيات اليومية

في حفلة موسيقية في المدرسة ، تم بيع 425 تذكرة. تبلغ تكلفة تذاكر الطلاب 5 دولارات وتكلفة تذاكر البالغين 8 دولارات لكل منها. بلغ إجمالي إيصالات الحفلة الموسيقية 2851 دولارًا. حل النظام

ذهب طلاب الصف الأول في إحدى المدارس في رحلة ميدانية إلى حديقة الحيوان. كان العدد الإجمالي للأطفال والبالغين الذين ذهبوا في الرحلة الميدانية 115. وكان عدد البالغين 1 4 1 4 عدد الأطفال. حل النظام

تمارين الكتابة

اكتب مشكلة تطبيق مشابهة للمثال 5.37 باستخدام عمري اثنين من أصدقائك أو أفراد عائلتك. ثم ترجم نظام المعادلات وحلها.

اكتب مشكلة حركة موحدة مشابهة للمثال 5.42 والتي تتعلق بالمكان الذي تعيش فيه مع أصدقائك أو أفراد أسرتك. ثم ترجم نظام المعادلات وحلها.

الاختيار الذاتي

ⓐ بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

ⓑ على مقياس من 1 إلى 10 ، كيف تقيم إتقانك لهذا القسم في ضوء ردودك على قائمة التحقق؟ كيف يمكنك تحسين هذا؟

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
    • المؤلفون: لين ماريسيك ، ماري آن أنتوني سميث
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • عنوان الكتاب: Elementary Algebra
    • تاريخ النشر: 22 فبراير 2017
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/elementary-algebra/pages/1-introduction
    • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/elementary-algebra/pages/5-4-solve-applications-with-systems-of-equations

    © نوفمبر 10 ، 2020 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    3.4 الرسم البياني للمتباينات الخطية في متغيرين

    لقد تعلمنا سابقًا حل المتباينات بمتغير واحد فقط. سنتعلم الآن عن المتباينات التي تحتوي على متغيرين. على وجه الخصوص سوف ننظر في المتباينات الخطية في متغيرين متشابهين جدًا مع المعادلات الخطية في متغيرين.

    المتباينات الخطية في متغيرين لها تطبيقات عديدة. إذا كنت تدير نشاطًا تجاريًا ، على سبيل المثال ، فقد ترغب في أن تكون إيراداتك أكبر من تكاليفك - بحيث يحقق عملك ربحًا.

    عدم المساواة الخطية

    المتباينة الخطية هي متباينة يمكن كتابتها بأحد الأشكال التالية:

    أين أ و ب كلاهما ليس صفرًا.

    وبالمثل ، فإن المتباينات الخطية في متغيرين لها العديد من الحلول. أي زوج مرتب (x، y) (x، y) يجعل المتباينة صحيحة عندما نعوض بالقيم هو حل لمتباينة خطية.

    حل عدم المساواة الخطية

    مثال 3.34

    حدد ما إذا كان كل زوج مرتب هو حل للمتباينة y & gt x + 4: y & gt x + 4:

    حل

    حدد ما إذا كان كل زوج مرتب هو حل للمتباينة y & gt x - 3: y & gt x - 3:

    حدد ما إذا كان كل زوج مرتب هو حل للمتباينة y & lt x + 1: y & lt x + 1:

    التعرف على العلاقة بين حلول اللامساواة ورسمها البياني

    الآن ، سننظر في كيفية ارتباط حلول المتباينة بالرسم البياني لها.

    خط الحدود

    بالنسبة لعدم المساواة في متغير واحد ، يتم عرض نقطة النهاية بأقواس أو قوس اعتمادًا على ما إذا كان أ مدرج في الحل:

    وبالمثل ، بالنسبة لعدم المساواة في متغيرين ، يظهر خط الحدود بخط متصل أو متقطع لتوضيح ما إذا كان الخط متضمنًا في الحل أم لا.

    الآن ، دعنا نلقي نظرة على ما وجدناه في المثال 3.34. سنبدأ برسم الخط y = x + 4 ، و y = x + 4 ، ثم نرسم النقاط الخمس التي اختبرناها ، كما هو موضح في الرسم البياني. انظر الشكل 3.12.

    في المثال 3.34 وجدنا أن بعض النقاط كانت حلولاً للمتباينة y & gt x + 4 y & gt x + 4 والبعض الآخر لم يكن كذلك.

    أي من النقاط التي رسمناها هي حلول للمتباينة y & gt x + 4؟ y & gt x + 4؟

    لنأخذ نقطة أخرى فوق خط الحدود ونختبر ما إذا كان هذا حلًا أم لا للمتباينة y & gt x + 4. y & gt x + 4. النقطة (0 ، 10) (0 ، 10) تبدو بوضوح فوق خط الحدود ، أليس كذلك؟ هل هو حل لعدم المساواة؟

    أي نقطة تختارها فوق خط الحدود هي حل للمتباينة y & gt x + 4. y & gt x + 4. جميع النقاط فوق خط الحدود هي حلول.

    يظهر الرسم البياني لعدم المساواة y & gt x + 4 y & gt x + 4 أدناه.

    مثال 3.35

    خط الحدود الموضح في هذا الرسم البياني هو y = 2 x - 1. ص = 2 س - 1. اكتب المتباينة الموضحة بالرسم البياني.

    حل

    بما أن خط الحدود يرسم بخط متصل ، فإن المتباينة تتضمن علامة التساوي.

    يوضح الرسم البياني المتباينة y ≥ 2 x - 1. ص ≥ 2 س - 1.

    اكتب المتباينة الموضحة بالمنحنى مع خط الحدود y = −2 x + 3. ص = −2 س + 3.

    اكتب المتباينة الموضحة بالمنحنى مع خط الحدود y = 1 2 x - 4. ص = 1 2 س - 4.

    مثال 3.36

    خط الحدود الموضح في هذا الرسم البياني هو 2 × + 3 ص = 6. 2 س + 3 ص = 6. اكتب المتباينة الموضحة بالرسم البياني.

    حل

    (قد ترغب في اختيار نقطة على الجانب الآخر من خط الحدود والتحقق من أن 2 x + 3 y & gt 6. 2 x + 3 y & gt 6.)

    بما أن خط الحدود مرسوم على هيئة خط متقطع ، فإن المتباينة لا تتضمن علامة يساوي.

    توضح المنطقة المظللة حل المتباينة 2 x + 3 y & lt 6. 2 x + 3 y & lt6.

    اكتب المتباينة الموضحة بالمنطقة المظللة في الرسم البياني بخط الحدود x - 4 y = 8. س - 4 ص = 8.

    اكتب المتباينة الموضحة بالمنطقة المظللة في الرسم البياني بخط الحدود 3 x - y = 6. 3 س - ص = 6.

    رسم المتباينات الخطية في متغيرين

    الآن بعد أن عرفنا كيف يبدو التمثيل البياني لمتباينة خطية وكيف يرتبط بمعادلة حدية ، يمكننا استخدام هذه المعرفة لرسم بياني لمتباينة خطية معينة.

    المثال 3.37

    كيفية رسم معادلة خطية في متغيرين

    بياني المتباينة الخطية y ≥ 3 4 x - 2. ص ≥ ٣ ٤ س - ٢.

    حل

    بياني المتباينة الخطية y ≥ 5 2 x - 4. ص ≥ ٥ ٢ س - ٤.

    بياني المتباينة الخطية y ≤ 2 3 x - 5. ص ≤ ٢ ٣ س - ٥.

    نلخص هنا الخطوات التي نتخذها لرسم بياني لمتباينة خطية.

    كيف

    ارسم متباينة خطية في متغيرين.

    مثال 3.38

    بياني المتباينة الخطية x - 2 y & lt 5. x - 2 y & lt5.

    حل

    تمثل جميع النقاط في المنطقة المظللة ، باستثناء تلك الموجودة على خط الحدود ، حلول x - 2 y & lt 5. x - 2 y & lt5.

    بيّن المتباينة الخطية: 2 x - 3 y & lt 6. 2 x - 3 y & lt6.

    ارسم المتباينة الخطية: 2 x - y & gt 3. 2 x - y & gt 3.

    ماذا لو كان خط الحدود يمر بالأصل؟ بعد ذلك ، لن نتمكن من استخدام (0 ، 0) (0 ، 0) كنقطة اختبار. لا توجد مشكلة - سنختار نقطة أخرى ليست على خط الحدود.

    مثال 3.39

    ارسم المتباينة الخطية: y ≤ - 4 x. ص ≤ - 4 س.

    حل

    الآن نحن بحاجة إلى نقطة اختبار. يمكننا أن نرى أن النقطة (1 ، 0) (1 ، 0) ليست على خط الحدود.

    كل النقاط في المنطقة المظللة وعلى خط الحدود تمثل حلول y ≤ - 4 x. ص ≤ - 4 س.

    ارسم المتباينة الخطية: y & gt - 3 x. y & gt - 3 x.

    ارسم المتباينة الخطية: y ≥ −2 x. ص ≥ −2 س.

    بعض المتباينات الخطية لها متغير واحد فقط.قد يكون لديهم x لكن لا ذ، أو أ ذ لكن لا x. في هذه الحالات ، سيكون خط الحدود إما خطًا رأسيًا أو أفقيًا.

    مثال 3.40

    ارسم المتباينة الخطية: y & gt 3. y & gt 3.

    حل

    لذلك نقوم بتظليل الجانب الذي لا يحتوي على (0 ، 0) (0 ، 0) كما هو موضح في هذا الرسم البياني.

    تمثل جميع النقاط في المنطقة المظللة ، باستثناء تلك الموجودة على خط الحدود ، حلول y & gt 3. y & gt 3.

    ارسم المتباينة الخطية: y & lt 5. y & lt 5.

    ارسم المتباينة الخطية: y ≤ −1. ص ≤ −1.

    حل التطبيقات باستخدام المتباينات الخطية في متغيرين

    تستخدم العديد من المجالات المتباينات الخطية لنمذجة مشكلة. بينما قد تكون أمثلةنا حول مواقف بسيطة ، فإنها تمنحنا فرصة لبناء مهاراتنا والتعرف على كيفية استخدامها.

    مثال 3.41

    تعمل هيلاريا في وظيفتين بدوام جزئي من أجل كسب ما يكفي من المال للوفاء بالتزاماتها التي لا تقل عن 240 دولارًا في الأسبوع. وظيفتها في خدمة الطعام تدفع 10 دولارات في الساعة وتدفع وظيفتها في التدريس في الحرم الجامعي 15 دولارًا في الساعة. كم ساعة تحتاج هيلاريا للعمل في كل وظيفة لكسب 240 دولارًا على الأقل؟

    حل

    ⓐ ندعنا x يكون عدد الساعات التي تعمل بها في الوظيفة في خدمة الطعام واسمحوا لها ذ هو عدد الساعات التي تعمل فيها في التدريس.

    تكسب 10 دولارات للساعة في الوظيفة في خدمة الطعام و 15 دولارًا في الساعة من التدريس. في كل وظيفة ، سيعطي عدد الساعات مضروبًا في أجر الساعة المبلغ المكتسب في تلك الوظيفة.

    ⓑ لرسم المتباينة ، نضعها في صيغة الميل ـ التقاطع.

    بالنسبة إلى Hilaria ، فهذا يعني أنه لكسب 240 دولارًا على الأقل ، يمكنها العمل لمدة 15 ساعة في التدريس و 10 ساعات في وظيفتها للوجبات السريعة ، أو كسب كل أموالها في التدريس لمدة 16 ساعة ، أو كسب كل أموالها أثناء العمل 24 ساعة في الوظيفة في خدمة الطعام.

    هيو يعمل في وظيفتين بدوام جزئي. أحدهما في محل بقالة يدفع 10 دولارات للساعة والآخر هو مجالسة الأطفال مقابل 13 دولارًا في الساعة. بين الوظيفتين ، يريد هيو أن يكسب 260 دولارًا على الأقل في الأسبوع. كم عدد الساعات التي يحتاجها هيو للعمل في كل وظيفة لكسب 260 دولارًا على الأقل؟

    ⓐ دع x كن عدد الساعات التي يعمل بها في محل البقالة واسمحوا ذ هو عدد الساعات التي يعمل فيها مجالسة الأطفال. اكتب متباينة من شأنها أن تمثل هذا الموقف.

    ⓒ ابحث عن ثلاثة أزواج مرتبة (x, ذ) من شأنها أن تكون حلولاً لعدم المساواة. ثم اشرح ما يعنيه ذلك بالنسبة إلى هيو.

    تعمل فيرونيكا في وظيفتين بدوام جزئي من أجل كسب ما يكفي من المال للوفاء بالتزاماتها التي لا تقل عن 280 دولارًا في الأسبوع. وظيفتها في المنتجع الصحي النهاري تدفع 10 دولارات للساعة ووظيفة المساعد الإداري في الحرم الجامعي تدفع 17.50 دولارًا للساعة. كم ساعة تحتاج فيرونيكا للعمل في كل وظيفة لكسب 280 دولارًا على الأقل؟

    ⓐ دع x كن عدد الساعات التي تعمل فيها في المنتجع الصحي النهاري واسمحوا ذ هو عدد الساعات التي تعمل فيها كمساعد إداري. اكتب متباينة من شأنها أن تمثل هذا الموقف.

    ⓒ ابحث عن ثلاثة أزواج مرتبة (x, ذ) من شأنها أن تكون حلولاً لعدم المساواة. ثم اشرح ما يعنيه ذلك بالنسبة لفيرونيكا

    وسائط

    قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية مع رسم بياني لعدم المساواة الخطية في متغيرين.

    القسم 3.4 تمارين

    مع التدريب يأتي الإتقان

    تحقق من حلول لعدم المساواة في متغيرين

    في التدريبات التالية ، حدد ما إذا كان كل زوج مرتب يمثل حلًا لمتباينة معينة.

    حدد ما إذا كان كل زوج مرتب هو حل للمتباينة y & gt x - 1: y & gt x - 1:

    حدد ما إذا كان كل زوج مرتب هو حل للمتباينة y & gt x - 3: y & gt x - 3:

    حدد ما إذا كان كل زوج مرتب هو حل للمتباينة y & lt 3 x + 2: y & lt 3 x + 2:

    حدد ما إذا كان كل زوج مرتب هو حل للمتباينة y & lt - 2 x + 5: y & lt - 2 x + 5:

    حدد ما إذا كان كل زوج مرتب هو حل للمتباينة 3 x - 4 y & gt 4: 3 x - 4 y & gt 4:

    حدد ما إذا كان كل زوج مرتب هو حل للمتباينة 2 x + 3 y & gt 2: 2 x + 3 y & gt 2:

    التعرف على العلاقة بين حلول اللامساواة ورسمها البياني

    اكتب المتباينة الموضحة بالمنطقة المظللة في التدريبات التالية.

    اكتب المتباينة الموضحة بالمنحنى مع خط الحدود ص = 3 س - 4. ص = 3 س - 4.

    اكتب المتباينة الموضحة بالمنحنى مع خط الحدود ص = 2 س - 4. ص = 2 س - 4.

    اكتب المتباينة الموضحة بالمنحنى مع خط الحدود y = 1 2 x + 1. ص = 1 2 س + 1.

    اكتب المتباينة الموضحة بالمنحنى مع خط الحدود y = - 1 3 x - 2. ص = - ١ ٣ س - ٢.

    اكتب المتباينة الموضحة بالمنطقة المظللة في الرسم البياني بخط الحدود x + y = 5. س + ص = 5.

    اكتب المتباينة الموضحة بالمنطقة المظللة في الرسم البياني بخط الحدود x + y = 3. س + ص = 3.

    اكتب المتباينة الموضحة بالمنطقة المظللة في الرسم البياني بخط الحدود 3 x - y = 6. 3 س - ص = 6.

    اكتب المتباينة الموضحة بالمنطقة المظللة في الرسم البياني بخط الحدود 2 x - y = 4. 2 س - ص = 4.

    رسم المتباينات الخطية في متغيرين

    في التدريبات التالية ، ارسم كل متباينة خطية بيانيًا.

    بيّن المتباينة الخطية: y & gt 2 3 x - 1. y & gt 2 3 x - 1.

    ارسم المتباينة الخطية: y & lt 3 5 x + 2. ص & lt 3 5 س + 2.

    ارسم المتباينة الخطية: y ≤ - 1 2 x + 4. ص ≤ - ١ ٢ س + ٤.

    ارسم المتباينة الخطية: y ≥ - 1 3 x - 2. ص ≥ - ١ ٣ س - ٢.

    ارسم المتباينة الخطية: x - y ≤ 3. س - ص ≤ 3.

    ارسم المتباينة الخطية: x - y ≥ −2. س - ص ≥ −2.

    ارسم المتباينة الخطية: 4 x + y & gt - 4. 4 × + ص & GT - 4.

    ارسم المتباينة الخطية: x + 5 y & lt - 5. x + 5 ص & lt - 5.

    ارسم المتباينة الخطية: 3 x + 2 y ≥ −6. 3 س + 2 ص 6.

    ارسم المتباينة الخطية: 4 x + 2 y ≥ −8. 4 س + 2 ص 8.

    ارسم المتباينة الخطية: y & gt 4 x. y & gt 4 x.

    ارسم المتباينة الخطية: y ≤ −3 x. ص ≤ −3 س.

    ارسم المتباينة الخطية: y & lt - 10. y & lt - 10.

    ارسم المتباينة الخطية: y ≥ 2. ص ≥ 2.

    ارسم المتباينة الخطية: x ≤ 5. س ≤ 5.

    ارسم المتباينة الخطية: x ≥ 0. س ≥ 0.

    ارسم المتباينة الخطية: x - y & lt4. س - ص & لوت 4.

    ارسم المتباينة الخطية: x - y & lt - 3. x - y & lt - 3.

    ارسم المتباينة الخطية: y ≥ 3 2 x. ص ≥ ٣ ٢ س.

    ارسم المتباينة الخطية: y ≤ 5 4 x. ص ≤ ٥ ٤ س.

    ارسم المتباينة الخطية: y & gt - 2 x + 1. y & gt - 2 × + 1.

    بياني المتباينة الخطية: y & lt - 3 x - 4. y & lt - 3 × - 4.

    ارسم المتباينة الخطية: 2 x + y ≥ −4. 2 س + ص 4.

    ارسم المتباينة الخطية: x + 2 y ≤ −2. س + 2 ص ≤ −2.

    ارسم المتباينة الخطية: 2 x - 5 y & gt 10. 2 × - 5 ص & GT10.

    ارسم المتباينة الخطية: 4 x - 3 y & gt 12. 4 × - 3 ص & GT12.

    حل التطبيقات باستخدام المتباينات الخطية في متغيرين

    يعمل هاريسون في وظيفتين بدوام جزئي. أحدهما في محطة وقود يدفع 11 دولارًا للساعة والآخر هو استكشاف أخطاء تكنولوجيا المعلومات وإصلاحها مقابل 16.50 دولارًا للساعة. بين الوظيفتين ، يريد هاريسون أن يكسب ما لا يقل عن 330 دولارًا في الأسبوع. كم عدد الساعات التي يحتاجها هاريسون للعمل في كل وظيفة لكسب 330 دولارًا على الأقل؟

    ⓐ دع x يكون عدد الساعات التي يعمل بها في محطة الوقود واسمحوا ذ يكون عدد (الساعات التي يعمل فيها على استكشاف الأخطاء وإصلاحها. اكتب متباينة من شأنها أن تمثل هذا الموقف.

    تحتاج إيلينا إلى كسب 450 دولارًا على الأقل في الأسبوع خلال إجازتها الصيفية لدفع تكاليف الكلية. تعمل في وظيفتين. أحدهما كمدرب سباحة يدفع 9 دولارات للساعة والآخر كمتدرب في مختبر علم الوراثة مقابل 22.50 دولارًا في الساعة. كم عدد الساعات التي تحتاجها إيلينا للعمل في كل وظيفة لكسب 450 دولارًا على الأقل في الأسبوع؟

    ⓐ دع x يكون عدد الساعات التي تعمل بها في تعليم السباحة واسمحوا ذ هو عدد الساعات التي تعمل فيها كمتدربة. اكتب متباينة من شأنها أن تمثل هذا الموقف.

    أخبر الطبيب لورا أنها بحاجة إلى ممارسة الرياضة بما يكفي لحرق 500 سعرة حرارية كل يوم. تفضل الجري أو ركوب الدراجة وتحرق 15 سعرًا حراريًا في الدقيقة أثناء الجري و 10 سعرات حرارية في الدقيقة أثناء ركوب الدراجة.

    ⓐ إذا x هو عدد الدقائق التي تديرها Laura و ذ هو عدد دقائق ركوب الدراجة ، ابحث عن عدم المساواة الذي يمثل الموقف.

    ضع قائمة بثلاثة حلول للمتباينة. ما هي الخيارات التي توفرها الحلول لورا؟

    تتكون تدريبات Armando من الكيك بوكسينغ والسباحة. أثناء ممارسة الكيك بوكسينغ ، يحرق 10 سعرات حرارية في الدقيقة ويحرق 7 سعرات حرارية في الدقيقة أثناء السباحة. يريد أن يحرق 600 سعر حراري كل يوم.

    ⓐ إذا x هو عدد الدقائق التي سيحضرها Armando و ذ هو عدد الدقائق التي يسبح فيها ، ابحث عن عدم المساواة التي ستساعد أرماندو في إنشاء تمرين لليوم.

    ضع قائمة بثلاثة حلول للمتباينة. ما هي الخيارات التي توفرها الحلول Armando؟

    تمارين الكتابة

    اشرح لماذا ، في بعض الرسوم البيانية للتباينات الخطية ، يكون خط الحدود صلبًا ولكن في الرسوم البيانية الأخرى يكون متقطعًا.

    الاختيار الذاتي

    ⓐ بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

    ⓑ على مقياس من 1 إلى 10 ، كيف تقيم إتقانك لهذا القسم في ضوء ردودك على قائمة التحقق؟ كيف يمكنك تحسين هذا؟

    بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

    هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

      إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

    • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
      • المؤلفون: لين ماريسيك ، أندريا هانيكوت ماتيس
      • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
      • عنوان الكتاب: Intermediate Algebra 2e
      • تاريخ النشر: 6 مايو 2020
      • المكان: هيوستن ، تكساس
      • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
      • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/3-4-graph-linear-inequities-in-two-variables

      © 21 يناير 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


      كيفية تمثيل المتباينات

      يمكننا تمثيل المتباينات بإحدى الطرق الثلاث المختلفة:

      عدم المساواة تعابير مكتوبة استخدم فقط الرموز الرياضية ولا توجد رسوم بيانية. إنها بالضبط ما كنا نعمل معه أعلاه (على سبيل المثال ، $ y & gt 37 $).

      خط رقم غير متكافئ يسمح لنا بتصور مجموعة الأرقام التي تمثل عدم المساواة لدينا. نستخدم خطًا داكنًا لإظهار جميع الأرقام التي تطابق المتباينة ، ونحدد مكان بدء المتباينة و / أو نهايتها بطريقتين مختلفتين. لتحديد بداية متباينة "أكبر من" أو "أقل من" ، نستخدم دائرة مفتوحة. هذا يدل على أن رقم البداية لم يتم تضمينه.

      لتحديد بداية متباينة "أكبر من أو يساوي" أو "أقل من أو يساوي" ، نستخدم دائرة مغلقة. هذا يدل على أن رقم البداية تم تضمينه.

      يمكننا أيضًا تجميع هذين الرمزين إذا تطلبت منا معادلة عدم المساواة استخدام رمزين مختلفين. على سبيل المثال ، إذا كان لدينا 3 دولارات أمريكية و 3 دولارات أمريكية ، فسيبدو خط الأعداد كما يلي:

      وأخيرًا ، يمكننا الحصول على عدم المساواة في الرسوم البيانية لأي وجميع أنواع الرسوم البيانية على مستوى الإحداثيات (المزيد عن مستوى الإحداثيات هنا). ستكون "أكبر من" أعلى خط الرسم البياني ، بينما ستكون "أقل من" أسفل خط الرسم البياني.

      هذا صحيح بغض النظر عن الاتجاه الذي يمتد إليه خط الرسم البياني.

      من حيث العلامات ، تتبع الرسوم البيانية لعدم المساواة نفس قواعد عدم المساواة على خطوط الأرقام. تمامًا كما نستخدم دائرة مفتوحة للتباينات "أكبر من" أو "أقل من" ، فإننا نستخدم خطًا متقطعًا للرسوم البيانية لعدم المساواة التي تكون "أكبر من" أو "أقل من".

      وكيفية استخدام دائرة مغلقة لـ "أكبر من أو يساوي" أو "أقل من أو يساوي" المتباينات ، نستخدم خطًا صلبًا للرسوم البيانية التي تكون أكبر أو أصغر من أو تساوي.


      والآن للغوص في حل مشاكل عدم المساواة! (إختياري غريب الأطوار).


      التعليمات الأساسية لأوراق العمل

      يتم إنشاء كل ورقة عمل بشكل عشوائي وبالتالي تكون فريدة. ال يتم إنشاء مفتاح الإجابة تلقائيًا ويوضع في الصفحة الثانية من الملف.

      يمكنك إنشاء أوراق العمل إما بتنسيق html أو PDF و [مدش] كلاهما سهل الطباعة. للحصول على ورقة عمل PDF ، ما عليك سوى الضغط على الزر بعنوان "إنشاء قوات الدفاع الشعبي" أو "اصنع ورقة عمل PDF". للحصول على ورقة العمل بتنسيق html ، اضغط على الزر"عرض في المتصفح" أو "اصنع ورقة عمل html". هذا له ميزة أنه يمكنك حفظ ورقة العمل مباشرة من متصفحك (اختر File & rarr Save) ثم تحريره في Word أو أي برنامج معالجة كلمات آخر.

      في بعض الأحيان لا تكون ورقة العمل التي تم إنشاؤها بالضبط ما تريده. فقط حاول مرة أخرى! للحصول على ورقة عمل مختلفة باستخدام نفس الخيارات:

      • تنسيق PDF: عد إلى هذه الصفحة واضغط على الزر مرة أخرى.
      • تنسيق Html: ما عليك سوى تحديث صفحة ورقة العمل في نافذة المتصفح.

      5.6 نظم الرسوم البيانية للمتباينات الخطية

      إن تعريف نظام عدم المساواة الخطية مشابه جدًا لتعريف نظام المعادلات الخطية.

      نظام المتباينات الخطية

      اثنان أو أكثر من المتباينات الخطية المجمعة معًا تشكل نظامًا من المتباينات الخطية.

      نظام المتباينات الخطية يشبه نظام المعادلات الخطية ، لكنه يحتوي على متباينات بدلاً من المعادلات. يتم عرض نظام من اثنين من المتباينات الخطية أدناه.

      لحل نظام من المتباينات الخطية ، سنجد قيمًا للمتغيرات التي تمثل حلولًا لكلا المتراجحتين. نحل النظام باستخدام الرسوم البيانية لكل متباينة ونعرض الحل على شكل رسم بياني. سنجد المنطقة على المستوى التي تحتوي على كل الأزواج المرتبة (x، y) (x، y) التي تجعل كلا المتراجحتين صحيحين.

      حلول نظام المتباينات الخطية

      حلول نظام من المتباينات الخطية هي قيم المتغيرات التي تجعل جميع المتباينات صحيحة.

      يظهر حل نظام من المتباينات الخطية كمنطقة مظللة في س ص نظام إحداثيات يتضمن جميع النقاط التي تجعل أزواجها المرتبة المتباينات صحيحة.

      لتحديد ما إذا كان الزوج المرتب هو حل لنظام من متراجعتين ، نعوض بقيم المتغيرات في كل متباينة. إذا كان الزوج المرتب يجعل كلا التفاوتين صحيحين ، فهذا حل للنظام.

      المثال 5.51

      حدد ما إذا كان الزوج المرتب حلاً للنظام أم لا.

      حل

      جعل الزوج المرتب (−2، 4) كلا المتراجحتين صحيحين. لذلك (−2، 4) هو حل لهذا النظام.

      جعل الزوج المرتب (3،1) متباينة واحدة صحيحة ، بينما جعل الآخر خاطئًا. لذلك (3،1) ليس حلاً لهذا النظام.

      حدد ما إذا كان الزوج المرتب حلاً للنظام أم لا.

      حدد ما إذا كان الزوج المرتب حلاً للنظام أم لا.

      حل نظام المتباينات الخطية عن طريق التمثيل البياني

      حل المتباينة الخطية المفردة هي المنطقة الواقعة على أحد جانبي خط الحدود الذي يحتوي على جميع النقاط التي تجعل المتباينة صحيحة. حل نظام من اثنين من المتباينات الخطية هو منطقة تحتوي على حل كلتا المتباينات. لإيجاد هذه المنطقة ، سنرسم كل متباينة بيانيًا على حدة ثم نحدد المنطقة حيث كلاهما صحيح. يظهر الحل دائمًا على شكل رسم بياني.

      مثال 5.52

      كيفية حل نظام من المتباينات الخطية

      حل النظام بالرسم البياني.

      حل

      حل النظام بالرسم البياني.

      حل النظام بالرسم البياني.

      كيف

      حل نظام من المتباينات الخطية بالرسم البياني.

      1. الخطوة 1. رسم المتباينة الأولى.
        • ارسم خط الحدود.
        • ظلل جانب خط الحدود حيث تكون المتباينة صحيحة.
      2. الخطوة 2. على نفس الشبكة ، ارسم المتباينة الثانية بيانيًا.
        • ارسم خط الحدود.
        • ظلل جانب هذا الخط الحدودي حيث تكون عدم المساواة صحيحة.
      3. الخطوة 3. الحل هو المنطقة التي يتداخل فيها التظليل.
      4. الخطوة 4. تحقق من خلال اختيار نقطة اختبار.

      مثال 5.53

      حل النظام بالرسم البياني.

      حل

      رسم بياني xذ & GT 3 ، عن طريق الرسوم البيانية xذ = 3 و
      اختبار نقطة.

      الاعتراضات x = 3 و ذ = −3 والحدود
      سيتم متقطع الخط.

      اختبار (0 ، 0). يجعل عدم المساواة خطأ. وبالتالي،
      ظلل الجانب الذي لا يحتوي على (0 ، 0) أحمر.

      لم يتم تضمين نقطة تقاطع الخطين لأن كلا خطي الحدود متقطعان. الحل هو المنطقة المظللة مرتين وهي المنطقة المظللة أكثر قتامة.

      حل النظام بالرسم البياني. <س + ص ≤ 2 ص 2 3 س - 1 <س + ص 2 ص ≥ 2 3 س - 1

      حل النظام بالرسم البياني. <3 x - 2 y ≤ 6 y & gt - 1 4 x + 5 <3 x - 2 y ≤ 6 y & gt - 1 4 x + 5

      مثال 5.54

      حل النظام بالرسم البياني.

      حل

      رسم بياني ذ & GT −4 ، عن طريق التمثيل البياني ذ = −4 والاعتراف بأنه أ
      من خلال خط أفقي ذ = −4. خط الحدود سيكون متقطعًا.

      اختبار (0 ، 0). يجعل عدم المساواة صحيحًا. لذا ، الظل (أزرق)
      الجانب الذي يحتوي على (0 ، 0) أزرق.

      النقطة (0 ، 0) موجودة في الحل وقد وجدنا بالفعل أنها حل لكل متباينة.لم يتم تضمين نقطة تقاطع الخطين لأن كلا خطي الحدود متقطعان.

      الحل هو المنطقة المظللة مرتين وهي المنطقة المظللة أكثر قتامة.

      حل النظام بالرسم البياني.

      حل النظام بالرسم البياني.

      قد لا يكون هناك حل لأنظمة المتباينات الخطية حيث تكون الخطوط الحدودية متوازية. سنرى هذا في المثال 5.55.

      مثال 5.55

      حل النظام بالرسم البياني. <4 x + 3 y ≥ 12 y & lt - 4 3 x + 1 <4 x + 3 y ≥ 12 y & lt - 4 3 x + 1

      حل

      لا توجد نقطة في كلتا المنطقتين المظللتين ، لذلك ليس لدى النظام حل. هذا النظام ليس له حل.

      حل النظام بالرسم البياني. <3 س - 2 ص 12 ص ≥ 3 2 س + 1 <3 س - 2 ص ≤ 12 ص ≥ 3 2 س + 1

      حل النظام بالرسم البياني.

      مثال 5.56

      حل النظام بالرسم البياني.

      حل

      لم يتم تضمين أي نقطة على خطوط الحدود في الحل لأن كلا الخطين متقطعان.

      الحل هو المنطقة المظللة مرتين ، وهو أيضًا حل x - 2 y & lt −4 x - 2 y & lt −4.

      حل النظام بالرسم البياني.

      حل النظام بالرسم البياني.

      حل تطبيقات أنظمة المتباينات

      أول شيء يتعين علينا القيام به لحل تطبيقات أنظمة عدم المساواة هو ترجمة كل شرط إلى متباينة. ثم نقوم برسم النظام كما فعلنا أعلاه لمعرفة المنطقة التي تحتوي على الحلول. ستكون العديد من المواقف واقعية فقط إذا كان كلا المتغيرين إيجابيين ، لذا فإن الرسوم البيانية الخاصة بهم ستظهر فقط الربع الأول.

      مثال 5.57

      تبيع كريستي صورها في كشك في معرض بالشارع. في بداية اليوم ، تريد أن يكون لديها 25 صورة على الأقل لعرضها في كشكها. كل صورة صغيرة تعرضها تكلفها 4 دولارات وتكلفتها كل صورة كبيرة 10 دولارات. لا تريد أن تنفق أكثر من 200 دولار على الصور لعرضها.

      ⓐ اكتب نظام عدم المساواة لنمذجة هذا الموقف.

      ⓒ هل يمكنها عرض 15 صورة صغيرة و 5 صور كبيرة؟

      ⓓ هل يمكنها عرض 3 صورة كبيرة و 22 صورة صغيرة؟

      حل

      لاحظ أنه يمكننا أيضًا اختبار الحلول الممكنة بالتعويض بالقيم في كل متباينة.

      يمكن للمقطورة أن تحمل وزنًا أقصى يبلغ 160 رطلاً وبحد أقصى 15 قدمًا مكعبًا. يزن فرن الميكروويف 30 رطلاً وله 2 قدم مكعب من الحجم ، بينما تزن الطابعة 20 رطلاً ولديها 3 أقدام مكعبة من المساحة.

      1. ⓐ اكتب نظام عدم المساواة لنمذجة هذا الموقف.
      2. ⓑ رسم النظام بيانيًا.
      3. ⓒ هل يمكن حمل 4 أفران ميكروويف وطابعتين على هذه المقطورة؟
      4. ⓓ هل يمكن حمل 7 أفران ميكروويف و 3 طابعات على هذه المقطورة؟

      تحتاج ماري إلى شراء لوازم أوراق الإجابة وأقلام الرصاص لإجراء اختبار معياري يتم إعطاؤه للصغار في مدرستها الثانوية. عدد أوراق الإجابة المطلوبة 5 على الأقل أكثر من عدد أقلام الرصاص. تكلف أقلام الرصاص دولارين وتكلفة أوراق الإجابة دولارًا واحدًا. تسمح ميزانية ماري لهذه المستلزمات بتكلفة قصوى تبلغ 400 دولار.

      ⓐ اكتب نظام عدم المساواة لنمذجة هذا الموقف.
      ⓑ رسم النظام بيانيًا.
      ⓒ هل تستطيع ماري شراء 100 قلم رصاص و 100 ورقة إجابة؟
      هل تستطيع ماري شراء 150 قلم رصاص و 150 ورقة إجابة؟

      1. ⓐ اكتب نظام عدم المساواة لنمذجة هذا الموقف.
      2. ⓑ رسم النظام بيانيًا.
      3. ⓒ هل تستطيع ماري شراء 100 قلم رصاص و 100 ورقة إجابة؟
      4. ⓓ هل تستطيع ماري شراء 150 قلم رصاص و 150 ورقة إجابة؟

      مثال 5.58

      يحتاج عمر إلى تناول 800 سعرة حرارية على الأقل قبل الذهاب إلى تدريب فريقه. كل ما يريده هو الهامبرغر والبسكويت ، ولا يريد أن ينفق أكثر من 5 دولارات. في مطعم الهامبرغر القريب من كليته ، يحتوي كل هامبرغر على 240 سعرة حرارية ويكلف 1.40 دولارًا. كل ملف تعريف ارتباط يحتوي على 160 سعرة حرارية ويكلف 0.50.

      1. ⓐ اكتب نظام عدم المساواة لنمذجة هذا الموقف.
      2. ⓑ رسم النظام بيانيًا.
      3. ⓒ هل يمكن أن يأكل 3 هامبرغر وملف تعريف ارتباط واحد؟
      4. ⓓ هل يمكن أن يأكل 2 هامبرغر و 4 كعكات؟

      حل

      يجب ألا يزيد المبلغ الذي يتم إنفاقه على الهامبرغر بسعر 1.40 دولارًا أمريكيًا ، بالإضافة إلى المبلغ الذي يتم إنفاقه على ملفات تعريف الارتباط عند 0.50 دولارًا أمريكيًا لكل منها عن 5.00 دولارات.

      لدينا نظام عدم المساواة الخاص بنا. <240 س + 160 ج 800 1.40 س + 0.50 ج 5 <240 س + 160 ص ≥ 800 1.40 ح + 0.50 ص 5


      حل النظام هو منطقة الرسم البياني المظللة بشكل مزدوج وبالتالي فهي مظللة أغمق.

      ⓒ لتحديد ما إذا كانت 3 هامبرغر و 2 من ملفات تعريف الارتباط تفي بمعايير عمر ، نرى ما إذا كانت النقطة (3 ، 1) في منطقة الحل. أنه. قد يختار أن يأكل 3 هامبرغر و 2 بسكويت.
      ⓓ لتحديد ما إذا كان 2 هامبرغر و 4 ملفات تعريف ارتباط تفي بمعايير عمر ، نرى ما إذا كانت النقطة (2 ، 4) في منطقة الحل. أنه. قد يختار تناول 2 هامبرغر و 4 ملفات تعريف الارتباط.

      يمكننا أيضًا اختبار الحلول الممكنة بالتعويض بالقيم في كل متباينة.

      يحتاج التوتر إلى تناول ما لا يقل عن 1000 سعرة حرارية إضافية يوميًا استعدادًا لركض ماراثون. لديه 25 دولارًا فقط لينفقها على الطعام الإضافي الذي يحتاجه وسينفقه على 0.75 دونات تحتوي كل منها على 360 سعرًا حراريًا و 2 دولارًا لمشروبات الطاقة التي تحتوي على 110 سعرة حرارية.

      1. ⓐ اكتب نظام عدم المساواة الذي يمثل هذا الموقف.
      2. ⓑ رسم النظام بيانيًا.
      3. هل يمكنه شراء 8 دونات و 4 مشروبات طاقة؟
      4. هل يمكنه شراء قطعة دونات و 3 مشروبات طاقة؟

      أخبره طبيب فيليب أنه يجب أن يضيف ما لا يقل عن 1000 سعر حراري إضافي يوميًا إلى نظامه الغذائي المعتاد. يريد فيليب شراء ألواح البروتين التي يكلف كل منها 1.80 دولارًا وتحتوي على 140 سعرًا حراريًا وعصيرًا بتكلفة 1.25 دولارًا لكل زجاجة وتحتوي على 125 سعرًا حراريًا. لا يريد أن ينفق أكثر من 12 دولارًا.

      1. ⓐ اكتب نظام عدم المساواة الذي يمثل هذا الموقف.
      2. ⓑ رسم النظام بيانيًا.
      3. ⓒ هل يمكنه شراء 3 ألواح بروتين و 5 زجاجات عصير؟
      4. ⓒ هل يمكنه شراء 5 ألواح بروتين و 3 زجاجات عصير؟

      وسائط

      الوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية باستخدام أنظمة الرسوم البيانية لعدم المساواة الخطية.

      تمارين البند 5.6

      مع التدريب يأتي الإتقان

      حدد ما إذا كان الزوج المرتب هو حل لنظام من المتباينات الخطية

      في التمارين التالية ، حدد ما إذا كان كل زوج مرتب يمثل حلاً للنظام أم لا.

      حل نظام المتباينات الخطية عن طريق التمثيل البياني

      في التدريبات التالية ، حل كل نظام عن طريق الرسم البياني.

      <2 x - 5 y & lt 10 3 x + 4 y ≥ 12 <2 x - 5 y & lt 10 3 x + 4 y ≥ 12

      حل تطبيقات أنظمة المتباينات

      في التدريبات التالية ، ترجمها إلى نظام من عدم المساواة وحلها.

      تبيع كايتلين رسوماتها في معرض المقاطعة. إنها تريد بيع 60 رسمًا على الأقل ولديها صور شخصية ومناظر طبيعية. تبيع الصور مقابل 15 دولارًا والمناظر الطبيعية مقابل 10 دولارات. تحتاج إلى بيع ما لا يقل عن 800 دولار من الرسومات لتحقيق ربح.

      1. ⓐ اكتب نظام عدم المساواة لنمذجة هذا الموقف.
      2. ⓑ رسم النظام بيانيًا.
      3. ⓒ هل ستحقق ربحًا إذا باعت 20 صورة شخصية و 35 منظرًا طبيعيًا؟
      4. ⓓ هل ستحقق ربحًا إذا باعت 50 صورة شخصية و 20 منظرًا طبيعيًا؟

      لا يريد جيك إنفاق أكثر من 50 دولارًا على أكياس الأسمدة والجفت موس لحديقته. السماد يكلف 2 دولار للكيس والجفت الطحلب 5 دولارات للكيس. يمكن لشاحنة جاك استيعاب 20 كيسًا كحد أقصى.

      1. ⓐ اكتب نظام عدم المساواة لنمذجة هذا الموقف.
      2. ⓑ رسم النظام بيانيًا.
      3. هل يستطيع شراء 15 كيساً من السماد و 4 أكياس من الطحالب؟
      4. ⓓ هل يستطيع شراء 10 أكياس سماد و 10 أكياس من الطحالب؟

      تحتاج Reiko إلى إرسال بطاقات وحزم عيد الميلاد الخاصة بها بالبريد وتريد إبقاء تكاليف البريد الخاصة بها لا تزيد عن 500 دولار. عدد البطاقات 4 على الأقل أكثر من ضعف عدد الحزم. تبلغ تكلفة إرسال البطاقة بالبريد (مع الصور مرفقة) 3 دولارات ، وتبلغ تكلفة الحزمة 7 دولارات.

      1. ⓐ اكتب نظام عدم المساواة لنمذجة هذا الموقف.
      2. ⓑ رسم النظام بيانيًا.
      3. ⓒ هل يمكنها إرسال 60 بطاقة و 26 طردًا بالبريد؟
      4. ⓓ هل يمكنها إرسال 90 بطاقة و 40 طردًا بالبريد؟

      يدرس خوان لامتحاناته النهائية في الكيمياء والجبر. إنه يعلم أن لديه 24 ساعة فقط للدراسة ، وسيستغرقه ثلاث مرات على الأقل للدراسة في علم الجبر مقارنة بالكيمياء.

      1. ⓐ اكتب نظام عدم المساواة لنمذجة هذا الموقف.
      2. ⓑ رسم النظام بيانيًا.
      3. ⓒ هل يمكنه قضاء 4 ساعات في الكيمياء و 20 ساعة في الجبر؟
      4. ⓓ هل يمكنه قضاء 6 ساعات في الكيمياء و 18 ساعة في الجبر؟

      جوسلين حامل وتحتاج إلى تناول ما لا يقل عن 500 سعرة حرارية في اليوم أكثر من المعتاد. عند شراء البقالة ذات يوم بميزانية قدرها 15 دولارًا للطعام الإضافي ، فإنها تشتري الموز الذي يحتوي على 90 سعرًا حراريًا لكل منها وألواح الجرانولا بالشوكولاتة التي تحتوي كل منها على 150 سعرًا حراريًا. تبلغ تكلفة الموز 0.35 دولارًا وتكلفة ألواح الجرانولا 2.50 دولارًا للقطعة الواحدة.

      1. ⓐ اكتب نظام عدم المساواة لنمذجة هذا الموقف.
      2. ⓑ رسم النظام بيانيًا.
      3. ⓒ هل يمكنها شراء 5 موز و 6 قطع جرانولا؟
      4. ⓓ هل يمكنها شراء 3 موز و 4 قطع جرانولا؟

      يحاول مارك بناء كتلة عضلية ولذا فهو بحاجة إلى تناول 80 جرامًا إضافيًا على الأقل من البروتين يوميًا. تبلغ تكلفة زجاجة ماء البروتين 3.20 دولارًا أمريكيًا ، بينما تبلغ تكلفة قطعة البروتين 1.75 دولارًا أمريكيًا. يوفر ماء البروتين 27 جرامًا من البروتين بينما يوفر الشريط 16 جرامًا. إذا كان لديه 10 دولارات لينفقها

      1. ⓐ اكتب نظام عدم المساواة لنمذجة هذا الموقف.
      2. ⓑ رسم النظام بيانيًا.
      3. ⓒ هل يمكنه شراء 3 زجاجات من ماء البروتين وقطعة بروتين واحدة؟
      4. ⓓ هل يمكنه عدم شراء زجاجات ماء بروتين و 5 ألواح بروتين؟

      ترغب جوسلين في زيادة استهلاكها للبروتين والسعرات الحرارية. إنها ترغب في الحصول على 35 جرامًا إضافيًا على الأقل من البروتين يوميًا ولا تزيد عن 200 سعر حراري إضافي يوميًا. تحتوي أونصة من جبنة الشيدر على 7 جرامات من البروتين و 110 سعرة حرارية. تحتوي أوقية جبن البارميزان على 11 جرامًا من البروتين و 22 سعرًا حراريًا.

      1. ⓐ اكتب نظام عدم المساواة لنمذجة هذا الموقف.
      2. ⓑ رسم النظام بيانيًا.
      3. ⓒ هل يمكن أن تأكل أونصة واحدة من جبن الشيدر و 3 أونصات من جبن البارميزان؟
      4. ⓓ هل يمكن أن تأكل 2 أونصة من جبن الشيدر وأوقية واحدة من جبن البارميزان؟

      يزيد مارك من روتين التمرين عن طريق الجري والمشي لمسافة 4 أميال على الأقل كل يوم. هدفه هو حرق ما لا يقل عن 1500 سعرة حرارية من هذا التمرين. المشي يحرق 270 سعرة حرارية / ميل والجري يحرق 650 سعرة حرارية.

      ⓐ اكتب نظام عدم المساواة لنمذجة هذا الموقف.
      ⓑ رسم النظام بيانيًا.
      ⓒ هل يمكنه تحقيق هدفه بالمشي لمسافة 3 أميال والركض لمسافة ميل واحد؟
      ⓓ هل يمكنه تحقيق هدفه بالمشي لمسافة ميلين والركض لمسافة ميلين؟

      الرياضيات اليومية

      تكلف تذاكر لعبة American Baseball League لثلاثة أشخاص بالغين و 3 أطفال أقل من 75 دولارًا ، بينما تكلف تذاكر شخصين بالغين و 4 أطفال أقل من 62 دولارًا.

      1. ⓐ اكتب نظامًا من المتباينات لنمذجة هذه المشكلة.
      2. ⓑ رسم النظام بيانيًا.
      3. ⓒ هل يمكن أن تكلف التذاكر 20 دولارًا للبالغين و 8 دولارات للأطفال؟
      4. ⓓ هل يمكن أن تكلف التذاكر 15 دولارًا للبالغين و 5 دولارات للأطفال؟

      الجد والجدة يعاملان أسرهم بالسينما. تبلغ تكلفة تذاكر Matinee 4 دولارات لكل طفل و 4 دولارات لكل شخص بالغ. تبلغ تكلفة تذاكر المساء 6 دولارات لكل طفل و 8 دولارات لكل شخص بالغ. إنهم يخططون لإنفاق ما لا يزيد عن 80 دولارًا على تذاكر اليوم وما لا يزيد عن 100 دولار على تذاكر المساء.

      1. ⓐ اكتب نظام عدم المساواة لنمذجة هذا الموقف.
      2. ⓑ رسم النظام بيانيًا.
      3. ⓒ هل يمكنهم اصطحاب 9 أطفال و 4 بالغين لكلا العرضين؟
      4. ⓓ هل يمكنهم اصطحاب 8 أطفال و 5 بالغين لكلا العرضين؟

      تمارين الكتابة

      ارسم النظام

      الاختيار الذاتي

      ⓐ بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

      ⓑ بعد مراجعة قائمة التحقق هذه ، ما الذي ستفعله لتصبح واثقًا من جميع الأهداف؟

      بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

      هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

        إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

      • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
        • المؤلفون: لين ماريسيك ، ماري آن أنتوني سميث ، أندريا هانيكوت ماتيس
        • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
        • عنوان الكتاب: Elementary Algebra 2e
        • تاريخ النشر: 22 أبريل 2020
        • المكان: هيوستن ، تكساس
        • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/1-introduction
        • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/5-6-graphing-systems-of-linear-inequities

        © 22 يناير 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


        أوراق عمل المتباينات الخطية بالرسوم البيانية

        تساعد هذه المجموعة من أوراق العمل الخاصة بالتباين الخطي للرسوم البيانية القابلة للطباعة والتي تمت صياغتها لطلاب المدارس الثانوية في فهم استخدام التفاوتات عندما يكون هناك مجموعة من الإجابات المحتملة. حدد المنطقة المظللة ، ونوع الخط الحدودي على أنه متقطع أو صلب ، وأكمل المتباينة ، وتحقق مما إذا كان الزوج المرتب حلاً ، وحدد المتباينات ، وقم بتظليل المنطقة ، ورسم المتباينات بيانيًا وأكثر من ذلك بكثير. يتم التعبير عن عدم المساواة في شكل تقاطع ميل في المستوى 1 ويجب تحويلها إلى صيغة ميل وتقاطع في المستوى 2. تُعد أوراق عمل الرسوم البيانية المجانية للتباينات الخطية مكانًا جيدًا لبدء الممارسة.

        خطوط الحدود في هذه المجموعة من أوراق عمل الرسوم البيانية للمتباينات الخطية ذات المتغيرين موجودة في نموذج تقاطع الميل. لاحظ عدم المساواة وأكمل الجدول في الجزء أ. حلل خصائص الخط واكتب المتباينة في الجزء ب.

        أعد ترتيب المتباينة في صيغة الميل والمقطع. يُتوقع من طلاب المدارس الثانوية أن يكتبوا إذا كان الخط متقطعًا أو صلبًا وإذا كانت المنطقة المظللة أعلى أو أسفل في الجزء أ وإكمال عدم المساواة في الجزء ب في ملفات PDF هذه.

        حدد ما إذا كان الزوج المرتب حلًا للرسم البياني. اكتشف ما إذا كان الزوج يقع في المنطقة المظللة. إذا كان الأمر كذلك ، فهو حل وليس غير ذلك. جرب متغيرًا عن طريق التحقق مما إذا كانت مجموعة الإحداثيات تمثل حلولاً.

        تم تحديد خط الحدود لكل رسم بياني في أوراق العمل القابلة للطباعة هذه. تحقق مما إذا كان الخط متصلًا أم متقطعًا ، وموضع المنطقة المحددة أعلى أو أسفل واكتب المتباينة في متغيرين بناءً على الخصائص المذكورة.

        زيادة المهارات مع هذه المجموعة من أوراق عمل عدم المساواة الخطية ، حيث لا تتم الإشارة إلى معادلة خط الحدود. وجه الطلاب لتحديد معادلة خط الحدود ثم تحديد عدم المساواة.

        يُتوقع من طلاب المدارس الثانوية الإجابة على مجموعة من الأسئلة بناءً على الرسم البياني. ظلل نصف المستوى الذي يحتوي أو لا يحتوي على الزوج المرتب كما هو محدد في السؤال وحدد المتباينة أيضًا.

        ارسم كل متباينة على مستوى إحداثي. استبدل قائمة الإحداثيات العشوائية في المتباينة المعطاة ورسم الخط على أنه منقط أو صلب على المستوى x-y وقم بتظليل منطقة الحلول الممكنة في ملفات PDF الخاصة بورقة عمل الرسم البياني لعدم المساواة الخطية.

        لا يتم التعبير عن الخط في صيغة تقاطع الميل. أعد ترتيب المعادلة ، بحيث تحل قيمة y وترسم المتباينة في متغيرين باستخدام مستوى إحداثي ، ثم ابحث عن النطاق الكامل للحلول الممكنة.


        مقدمة

        لقد رأينا أن الرسوم البيانية للمعادلات الخطية هي خطوط مستقيمة. الرسوم البيانية لأنواع أخرى من المعادلات ، تسمى المعادلات متعددة الحدود ، هي منحنيات ، مثل الخطوط العريضة لهذا الجسر المعلق. يستخدم المهندسون المعماريون كثير الحدود لتصميم شكل جسر مثل هذا ورسم المخططات له. يستخدم المهندسون كثيرات الحدود لحساب الضغط على دعامات الجسر للتأكد من أنها قوية بما يكفي للحمل المقصود. في هذا الفصل ، سوف تستكشف العمليات مع كثيرات الحدود وخصائصها.

        بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

        هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

          إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

        • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
          • المؤلفون: لين ماريسيك ، ماري آن أنتوني سميث ، أندريا هانيكوت ماتيس
          • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
          • عنوان الكتاب: Elementary Algebra 2e
          • تاريخ النشر: 22 أبريل 2020
          • المكان: هيوستن ، تكساس
          • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/1-introduction
          • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/6-introduction

          © 22 يناير 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


          الدرس 22

          في درس سابق ، تعلم الطلاب تمثيل مجموعة حلول المتباينة الخطية في متغيرين بيانياً. لقد ربطوا بين حلول المتباينة الخطية وحلول المعادلة الخطية ذات الصلة.

          في هذا الدرس ، يعمق الطلاب فهمهم لحلول عدم المساواة الخطية من خلال دراستها في السياق. يكتب المتباينات في متغيرين لتمثيل القيود ، ويفسر النقاط على خط الحدود وعلى جانبيها من حيث الموقف.

          يوضح العمل هنا أن منطقة الحل تمثل مجموعة القيم التي تلبي القيد في حالة (MP2). يؤدي تفسير الحلول من حيث السياق أيضًا إلى إشراك الطلاب في جانب من جوانب النمذجة الرياضية (MP4). إنه يمكّن الطلاب من رؤية أنه في حين أن بعض القيم قد تجعل عدم المساواة صحيحًا ، فقد لا تكون مجدية أو مناسبة في الموقف. النشاط إعادة التفكير في المناظر الطبيعية هي فرصة لإجراء التعميم بناءً على التفكير المتكرر (MP8) ، حيث يجد الطلاب أولاً الأرقام التي تلبي قيودًا ، ثم يستخدمون المتغيرات بدلاً من تلك الأرقام لكتابة معادلة ومتباينة.

          نظرًا لأن التفكير المنطقي حول منطقة حل عدم المساواة مهم هنا ، فلا ينبغي استخدام تقنية الرسوم البيانية. ستتاح للطلاب فرص لاستخدام تقنية الرسوم البيانية لحل التفاوتات في متغيرين في الدروس القادمة.


          الفصل 2

          الخطوط المتوازية: تكتب المعادلات في شكل تقاطع ميل.

          2.3 النماذج والتطبيقات

          2.4 الأعداد المركبة

          2.5 المعادلات التربيعية

          (س - 6) (س + 1) = 0 س = 6 ، س = - 1 (س - 6) (س + 1) = 0 س = 6 ، س = - 1

          2.6 أنواع أخرى من المعادلات

          2.7 المتباينات الخطية ومتباينات القيمة المطلقة

          2.1 تمارين القسم

          قد تتعدد الاجابات. نعم. من الممكن أن تكون نقطة على x-المحور أو على ذ-المحور وبالتالي لا يعتبر في أحد الأرباع.

          ال ذ- نقطة التقاطع هي النقطة التي يتقاطع فيها الرسم البياني مع ذ-محور.

          2.2 تمارين القسم

          هذا يعني أن لديهم نفس المنحدر.

          إذا أدخلنا أيًا من القيمتين في المعادلة ، فإنهما يصنعان تعبيرًا في المعادلة غير محدد (صفر في المقام).

          م 1 = - 1 3 ، م 2 = 3 عمودي. م 1 = - 1 3 ، م 2 = 3 عمودي.

          ميل (−1 ، 1) إلى (0 ، 4) هو 3. ميل (−1 ، 1) إلى (2 ، 0) هو - 3 1. ميل (2 ، 0) إلى (3 ، 3) هو 3. ميل (0 ، 4) إلى (3 ، 3) هو - 1 3. ميل (−1 ، 1) إلى (0 ، 4) هو 3. ميل (−1 ، 1) إلى (2 ، 0) هو - 3 1. ميل (2 ، 0) إلى (3 ، 3) هو 3. ميل (0 ، 4) إلى (3 ، 3) هو - 1 3.

          نعم إنها عمودية.

          2.3 تمارين القسم

          قد تتعدد الاجابات. الإجابات المحتملة: يجب أن نحدد بالكلمات ما يمثله متغيرنا. يجب أن نعلن عن المتغير. عنوان.

          سافرت لمدة ساعتين بسرعة 20 ميل / ساعة ، أو 40 ميلاً.

          5000 دولار بنسبة 8٪ و 15000 دولار بنسبة 12٪

          W = P - 2 L 2 = 58 - 2 (15) 2 = 14 W = P - 2 L 2 = 58 - 2 (15) 2 = 14

          f = p q p + q = 8 (13) 8 + 13 = 104 21 f = p q p + q = 8 (13) 8 + 13 = 104 21

          الطول = 360 قدم العرض = 160 قدمًا

          2.4 تمارين القسم

          اجمع الأجزاء الحقيقية معًا والأجزاء التخيلية معًا.

          2.5 تمارين القسم

          إنها معادلة من الدرجة الثانية (أعلى متغير الأس هو 2).

          نريد الاستفادة من خاصية الصفر للضرب في حقيقة أنه إذا كان a ⋅ b = 0 a ⋅ b = 0 ، فيجب أن يتبع ذلك أن كل عامل يقدم بشكل منفصل حلاً للمنتج وهو صفر: a = 0 orb = 0. أ = 0 الجرم السماوي = 0.

          الفأس 2 + bx + c = 0 x 2 + bax = - cax 2 + bax + b 2 4 a 2 = - ca + b 4 a 2 (x + b 2 a) 2 = b 2-4 ac 4 a 2 x + b 2 a = ± b 2-4 ac 4 a 2 x = - b ± b 2-4 ac 2 aax 2 + bx + c = 0 x 2 + bax = - cax 2 + bax + b 2 4 a 2 = - ca + b 4 a 2 (x + b 2 a) 2 = b 2-4 ac 4 a 2 x + b 2 a = ± b 2-4 ac 4 a 2 x = - b ± b 2-4 ac 2 أ

          ستكون المعادلة التربيعية (100 × −0.5 × 2) - (60 × + 300) = 300. (100 × −0.5 × 2) - (60 × + 300) = 300. قيمتا xx هما 20 و 60 .

          2.6 تمارين القسم

          هذا ليس حلاً للمعادلة الجذرية ، بل هو قيمة يتم الحصول عليها من تربيع كلا الجانبين وبالتالي تغيير علامات المعادلة مما جعلها لا تكون حلاً في المعادلة الأصلية.

          الأس المنطقي هو كسر: مقام الكسر هو رقم الجذر أو الرقم القياسي والبسط هو القوة التي تم رفعه إليها.

          2.7 تمارين القسم

          عندما نقسم كلا الطرفين على سالب ، فإن ذلك يغير إشارة كلا الطرفين وبالتالي يتغير معنى علامة عدم المساواة.

          x & lt - 3 أو x ≥ 1 خذ اتحاد المجموعتين. (- ∞، - 3) ∪ [1، ∞) x & lt - 3 أو x ≥ 1 خذ اتحاد المجموعتين. (- ∞، - 3) ∪ [1، ∞)

          لا تقل ابدا عن الصفر. لا حل.

          عندما يكون الخط الأزرق فوق الخط البرتقالي ، تكون نقطة التقاطع س = - 3. س = - 3.

          حيث يكون الخط الأزرق فوق الخط البرتقالي دائمًا. كل الأعداد الحقيقية.

          حيث يكون اللون الأزرق أسفل البرتقالي دائمًا. كل الأعداد الحقيقية. (- ∞ ، + ∞). (- ∞ ، + ∞).

          حيث يكون اللون الأزرق أسفل البرتقالي (١ ، ٧). (1 ، 7).

          80 ≤ طن 120 1 ، 600 20 طن 2 ، 400 80 طن 120 1 ، 600 20 طن 2 ، 400

          تمارين المراجعة

          عندما يكون اللون الأزرق أسفل الخط البرتقالي ، تكون نقطة التقاطع x = 3.5. س = 3.5.

          اختبار الممارسة

          بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

          هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

            إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

          • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
            • المؤلفون: جاي أبرامسون
            • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
            • عنوان الكتاب: College Algebra
            • تاريخ النشر: 13 فبراير 2015
            • المكان: هيوستن ، تكساس
            • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/college-algebra/pages/1-introduction-to-prerequisites
            • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/college-algebra/pages/chapter-2

            © 12 كانون الثاني (يناير) 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


            شاهد الفيديو: الحالات الخاصة من الرسم البياني (شهر نوفمبر 2021).