مقالات

1.6.6E: وظائف معكوسة


تمارين القسم 1.6

افترض أن الوظيفة F هي وظيفة واحد لواحد.

1. إذا كان (f (6) = 7 ) ، ابحث عن (f ^ {- 1} (7) )

2. إذا (f (3) = 2 ) ، ابحث عن (f ^ {- 1} (2) )

3. إذا كان (f ^ {- 1} (-4) = - 8 ) ، ابحث عن (f (-8) )

4. إذا كان (f ^ {- 1} (-2) = - 1 ) ، ابحث عن (f (-1) )

5. إذا (f (5) = 2 ) ، ابحث عن ((f (5)) ^ {- 1} )

6. إذا (f (1) = 4 ) ، ابحث عن ((f (1)) ^ {- 1} )

7. استخدام الرسم البياني لـ (f (x) ) الموضح

أ. ابحث عن (f (0) )

ب. حل (f (x) = 0 )

ج. ابحث عن (f ^ {- 1} (0) )

د. حل (f ^ {- 1} (x) = 0 )

8. باستخدام الرسم البياني الموضح

أ. البحث (ز (1) )

ب. حل (ز (س) = 1 )

ج. ابحث عن (g ^ {- 1} (1) )

د. حل (g ^ {- 1} (x) = 1 )

9. استخدم الجدول أدناه للعثور على الكميات المشار إليها.

(س )0123456789
(و (س) )8074265391

أ. ابحث عن (f (1) )

ب. حل (f (x) = 3 )

ج. ابحث عن (f ^ {- 1} (0) )

د. حل (f ^ {- 1} (x) = 7 )

10. استخدم الجدول أدناه لملء القيم المفقودة.

(ر )012345678
(ح (ر) )601723549

أ. البحث (ح (6) )

ب. حل (ح (ر) = 0 )

ج. ابحث عن (h ^ {- 1} (5) )

د. حل (h ^ {- 1} (t) = 1 )

لكل جدول أدناه ، أنشئ جدولاً لـ (f ^ {- 1} (x). )

11.

(س )3691314
(و (س) )1471216

لكل دالة أدناه ، ابحث عن (f ^ {- 1} (x) )

13. (و (س) = س + 3 )

14. (و (س) = س + 5 )

15. (و (س) = 2 - س )

16. (و (س) = 3-س )

17. (و (س) = 11 س + 7 )

18. (و (س) = 9 + 10x )

لكل دالة ، ابحث عن المجال الذي يكون فيه (f ) واحدًا لواحد وغير متناقص ، ثم ابحث عن معكوس (f ) المقيد لهذا المجال.

19. (و (س) = (س +7) ^ {2} )

20. (و (س) = (س -6) ^ {2} )

21. (و (س) = س ^ {2} -5 )

22. (f (x) = x ^ {2} +1 )

23. إذا (f (x) = x ^ {3} -5 ) و (g (x) = sqrt [{3}] {x + 5} ) ، ابحث عن

أ. (و (ز (خ)) )

ب. (ز (و (خ)) )

ج. ماذا يخبرنا هذا عن العلاقة بين (f (x) ) و (g (x) )؟

24. إذا (f (x) = dfrac {x} {2 + x} ) و (g (x) = dfrac {2x} {1-x} ) ، ابحث عن

أ. ماذا يخبرنا هذا عن العلاقة بين (f (x) ) و (g (x) )؟

إجابه

1. 6

3. -4

5. 1/2

7 أ. 3
ب. 2
ج. 2
د. 2

11.

(س )1471216
(و ^ {- 1} (س) )3691314

13. (f ^ {- 1} (x) = x -3 )

15. (f ^ {- 1} (x) = -x + 2 )

17. (f ^ {- 1} (x) = dfrac {x - 7} {11} )

19. المجال المقيد (x ge -7 ) ، (f ^ {- 1} (x) = sqrt {x} - 7 )

21. المجال المقيد (x ge 0 ) ، (f ^ {- 1} (x) = sqrt {x + 5} )

23 أ. (f (g (x)) = ( sqrt [3] {x + 5}) ^ 3 - 5 = x )
ب. (g (f (x)) = sqrt [3] {x ^ 3 - 5 + 5} = x )
ج. هذا يعني أنها وظائف معكوسة (لبعضها البعض)


ستيوارت حساب التفاضل والتكامل 7e حلول الفصل 6 تمرين الدوال المعكوسة 6.8

ستيوارت حساب التفاضل والتكامل 7e حلول الفصل 6 تمرين الدوال المعكوسة 6.8

الإجابة 1E.





الإجابة 2E.


الإجابة 3E.

الإجابة 4E.




الإجابة 5E.


الإجابة 6E.

الإجابة 7E.

الإجابة 8E.

الإجابة 9E.

الإجابة 10E.

الإجابة 12 هـ.


الإجابة 13E.

الإجابة 14 هـ.


الإجابة 15 ه.

الإجابة 17E.

الإجابة 18E.



الإجابة 20 هـ.

الإجابة 22 هـ.

الإجابة 24E.



الإجابة 25 هـ.


الإجابة 26 هـ.


الإجابة 27E.

الإجابة 28 هـ.


الإجابة 30E.

الإجابة 31E.

الإجابة 32 هـ.

الإجابة 33E.

الإجابة 34E.

الإجابة 35 هـ.

الإجابة 36 هـ.

الإجابة 38 هـ.





الإجابة 39E.










الإجابة 40E.
img src = & # 8221https: //c1.staticflickr.com/1/693/32270700242_8d365938e5_o.png” width = & # 8221622 & # 8243 height = & # 8221564 & # 8243 alt = & # 8221stewart-calculus-7e-Solutions- الفصل 6.8 وظائف معكوسة 40E & # 8221 & GT
الإجابة 41 هـ.



الإجابة 42 هـ.



الإجابة 43 هـ.

الإجابة 44 هـ.


الإجابة 45 هـ.





الإجابة 46 هـ.



الإجابة 47E.


الإجابة 48 هـ.




الإجابة 49 هـ.




الإجابة 50 هـ.


الإجابة 51 هـ.

الإجابة 52 هـ.




الإجابة 53 هـ.




الإجابة 54 هـ.

الإجابة 55E.


الإجابة 56 هـ.






الإجابة 57E.



الإجابة 58 هـ.


الإجابة 59E.


الإجابة 60 هـ.



الإجابة 61 هـ.




الإجابة 62 هـ.



الإجابة 63 هـ.




الإجابة 64 هـ.




الإجابة 65 هـ.



الإجابة 66E.



الإجابة 67E.





الإجابة 68 هـ.





الإجابة 69E.



الإجابة 70E.




الإجابة 71 هـ.


الإجابة 72 هـ.

الإجابة 73E.

الإجابة 74E.


الإجابة 75 هـ.










الإجابة 76 هـ.









الإجابة 77E.










الإجابة 78 هـ.












الإجابة 79E.









الإجابة 80 هـ.












الإجابة 81 هـ.








الإجابة 82 هـ.







الإجابة 83 هـ.











الإجابة 84 هـ.







الإجابة 85 هـ.





الإجابة 86 هـ.


الإجابة 87E.



الإجابة 88 هـ.



الإجابة 89E.


الإجابة 90E.


الإجابة 91E.



الإجابة 92 هـ.


الإجابة 93 هـ.


الإجابة 94 هـ.









الإجابة 95E.



الإجابة 96E.



الإجابة 97E.


الإجابة 98 هـ.



الإجابة 99E.




الإجابة 100E.



الإجابة 101 هـ.






الإجابة 102 هـ.




محتويات

مع المحدد اليعقوبي:

كنتيجة مهمة ، أعطيت نظرية الدالة العكسية العديد من البراهين. يعتمد الدليل الأكثر شيوعًا في الكتب المدرسية على مبدأ رسم خرائط الانكماش ، والمعروف أيضًا باسم نظرية النقطة الثابتة في باناخ (والتي يمكن استخدامها أيضًا كخطوة أساسية في إثبات وجود الحلول وتفردها للمعادلات التفاضلية العادية). [2] [3]

نظرًا لأن نظرية النقطة الثابتة تنطبق في إعدادات الأبعاد اللانهائية (فضاء باناخ) ، فإن هذا الدليل يعمم فورًا على الإصدار اللانهائي الأبعاد لنظرية الدالة العكسية [4] (انظر التعميمات أدناه).

يتوقف إثبات بديل في أبعاد محدودة على نظرية القيمة القصوى للوظائف في مجموعة مضغوطة. [5]

هناك دليل آخر يستخدم طريقة نيوتن ، والتي لها ميزة توفير نسخة فعالة من النظرية: تشير الحدود على مشتق الوظيفة إلى تقدير حجم الجوار الذي تكون فيه الوظيفة قابلة للعكس. [6]

تحرير الفتحات

يمكن إعادة صياغة نظرية الوظيفة العكسية من حيث الخرائط القابلة للتفاضل بين المشعبات القابلة للتفاضل. في هذا السياق ، تنص النظرية على أنه لخريطة التفاضل F: M → N < displaystyle F: M to N> (من الفئة C 1 >) ، إذا كان التفاضل F ،

هو تعدد الأشكال. لاحظ أن هذا يعني أن المكونات المتصلة من M و N تحتوي على ص و F(ص) لها نفس البعد ، كما هو مضمن بالفعل مباشرة من افتراض ذلك مدافعص هو تماثل. إذا كان مشتق F هو تماثل في جميع النقاط p في M ، فإن الخريطة F هي تباين محلي.

تحرير مساحات Banach

فتحات Banach تحرير

يمكن الجمع بين هذين الاتجاهين للتعميم في نظرية الوظيفة العكسية لمشعبات باناخ. [10]

نظرية الترتيب الثابت تحرير

يمكن النظر إلى نظرية الدالة العكسية (ونظرية الوظيفة الضمنية) كحالة خاصة لنظرية الرتبة الثابتة ، والتي تنص على أنه يمكن وضع خريطة سلسة ذات رتبة ثابتة بالقرب من نقطة في شكل عادي معين بالقرب من تلك النقطة. [11] على وجه التحديد ، إذا كانت F: M → N < displaystyle F: M to N> لها ترتيب ثابت بالقرب من النقطة p ∈ M ، إذن هناك أحياء مفتوحة U من p و V من F (p) وهناك أشكال مختلفة u: T p M → U M to U!> و v: T F (p) N → V N to V !> بحيث أن F (U) ⊆ V وهذا أن المشتق d F p: T p M → T F (p) N : T_

م إلى T_N !> يساوي v - 1 ∘ F ∘ u circ F circ u !>. أي أن F "تشبه" مشتقتها بالقرب من p. تشير نصف استمرارية دالة الترتيب إلى وجود مجموعة فرعية كثيفة مفتوحة من مجال F حيث يكون للمشتق مرتبة ثابتة. وهكذا تنطبق نظرية الترتيب الثابت على نقطة عامة في المجال.

عندما يكون مشتق F هو حقنة (على التوالي. سورجي) عند نقطة p ، فإنه أيضًا حقنة (على التوالي. سطحية) في حي p ، وبالتالي فإن رتبة F ثابتة في هذا الحي ، ويتم تطبيق نظرية الرتبة الثابتة .

وظائف Holomorphic تحرير

إذا تم تعريف دالة كاملة الشكل F من مجموعة مفتوحة U من C n < displaystyle mathbb ^!> إلى C n ^!> ، والمصفوفة اليعقوبية للمشتقات المعقدة قابلة للعكس عند النقطة p ، ثم F هي دالة عكسية بالقرب من p. هذا يأتي مباشرة من النسخة الحقيقية متعددة المتغيرات للنظرية. يمكن للمرء أيضًا أن يُظهر أن الوظيفة العكسية هي مرة أخرى متشابهة. [12]

تحرير دوال كثيرة الحدود

إذا كان هذا صحيحًا ، فسيكون التخمين اليعقوبي متغيرًا من نظرية الدالة العكسية لكثيرات الحدود. تنص على أنه إذا كانت الدالة كثيرة الحدود ذات القيمة المتجهية لها محدد جاكوبي وهو متعدد الحدود القابل للعكس (وهو ثابت غير صفري) ، فإن لها معكوسًا وهو أيضًا دالة متعددة الحدود. من غير المعروف ما إذا كان هذا صحيحًا أم خطأ ، حتى في حالة وجود متغيرين. هذه مشكلة رئيسية مفتوحة في نظرية كثيرات الحدود.


توزيع عكسي جاما

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، فإن توزيع غاما العكسي هي عائلة ذات معلمتين من التوزيعات الاحتمالية المستمرة على الخط الحقيقي الموجب ، وهو توزيع مقلوب متغير موزع وفقًا لتوزيع جاما. ربما يكون الاستخدام الرئيسي لتوزيع غاما العكسي هو في إحصائيات بايز ، حيث ينشأ التوزيع كتوزيع لاحق هامشي للتباين غير المعروف للتوزيع الطبيعي ، إذا تم استخدام سابق غير معرفي ، وكمقارن قابل للتحليل مسبقًا ، إذا كان مفيد المسبق مطلوب.

α + ln ⁡ (β Γ (α)) - (1 + α) ψ (α)

ومع ذلك ، فمن الشائع بين Bayesians النظر في معيار بديل للتوزيع الطبيعي من حيث الدقة ، والتي تُعرّف على أنها متبادلة التباين ، والتي تسمح باستخدام توزيع جاما مباشرة كمقارن سابق. يفضل البايزيون الآخرون تحديد توزيع غاما العكسي بشكل مختلف ، كتوزيع مربع كاي معكوس.


1.6.6E: وظائف معكوسة

ماذا يكون وظائف معكوسة؟

خذ الدالة f: ارسم الرسم البياني الخاص بها بالطريقة المعتادة ، وقم بتبادل محوري x و y ، وسيكون لديك الرسم البياني للدالة العكسية f & # x2212 1.
y = f (x) تعني x = f & # x2212 1 (y).

يمكن تحقيق ذلك بالرسم على قطعة من الورق عن طريق قلب الورقة ، والتوجيه بحيث يظهر الربع الأول القديم في الزاوية اليمنى العليا ، والنظر عبر الورقة إلى الرسم البياني القديم.

لا تخلط بين العكس والدالة التبادلية فهما مفاهيم مختلفة تمامًا. قد يستخدم الأشخاص المهملون تدوينًا هو نفسه لكليهما. هذا أمر سيء لأنه يثير الارتباك.

لاحظ أنه إذا استبدلت x = f & # x2212 1 (y) في y = f (x) ، فستحصل على x = f & # x2212 1 (f (x)). يمكن استخدام هذه المعادلة الأخيرة كتعريف بديل للدالة العكسية لـ f.

هناك مشكلة في تحديد الوظائف العكسية. يمكن أن تحتوي الوظيفة على زوج مرتب واحد فقط لكل وسيطة ، بينما يمكن أن تحدث نفس القيمة عدة مرات. هذا يعني أن تبادل الحجج والقيم وهو ما نقوم به في إنشاء معكوس ، سيؤدي إلى إنشاء غير دالة ، ما لم تأخذ الوظيفة الأصلية كل قيمة مرة واحدة بالضبط.

عندما تأخذ الدالة قيمة أكثر من مرة ، يتعين علينا القيام بعمل إضافي لتحديد دالة عكسية لها. وبالتحديد ، علينا أن نختار إحدى قيمها لتكون الحجة الجديدة وأن نتخلص من القيم الأخرى. يمكن القيام بذلك بعدة طرق مختلفة عندما لا تكون f ذات قيمة واحدة ، بحيث يكون هناك دائمًا بعض التعسف في تعريف f & # x2212 1 عندما لا تكون f ذات قيمة واحدة.

أوضح مثال على ذلك هو الوظيفة x 2. يأخذ كل قيمة موجبة مرتين. كل من 4 و -4 لهما نفس المربع. الشيء القياسي الذي يجب فعله لهذه الدالة هو تحديد معكوسها ، x 1/2 ، ليكون الجذر التربيعي الموجب ، مع تجاهل سالب واحد. (ثم ​​يتم الإشارة إلى الجذر التربيعي السالب بـ & # x2212 x 1/2.) هذا التعريف له فضيلتان: الأولى هي أن الأرقام الموجبة أكثر إيجابية من الأعداد السالبة. والآخر هو أنه مع هذا التعريف (ولم نختار الجذر السالب كمعكوس) فإن الجذر التربيعي لمنتج ما هو ناتج الجذور التربيعية لعوامله.

بشكل عام ، يمكنك اختيار ما تريد تسميته بعكس f من خلال النظر إلى الرسم البياني لـ f ، واختيار المجال الذي تكون فيه f ذات قيمة واحدة ، وجعل هذا النطاق هو f & # x2212 1.

تمرين 1.8 لمعرفة القيم التي يمكنك تحديدها معكوس للدالة cos & # x2061 (sin & # x2061 x). (تلميح: ضع f = cos & # x2061 (sin & # x2061 x) انظر إلى معكوسه واكتشف الإجابة.)


1.4 وظائف عكسية

تعكس الدالة العكسية العملية التي تقوم بها وظيفة معينة. بمعنى آخر ، مهما كانت الوظيفة ، فإن الدالة العكسية تلغيها. في هذا القسم ، نحدد دالة عكسية بشكل رسمي ونذكر الشروط اللازمة لوجود دالة عكسية. ندرس كيفية إيجاد دالة عكسية ودراسة العلاقة بين الرسم البياني للدالة والرسم البياني لعكسها. ثم نطبق هذه الأفكار لتحديد ومناقشة خصائص الدوال المثلثية العكسية.

وجود دالة عكسية

تعريف

لاحظ أن f −1 f −1 تُقرأ على أنها "معكوس f." هنا ، لا يتم استخدام −1 −1 كأسًا و f 1 (x) ≠ 1 / f (x). f −1 (x) ≠ 1 / f (x). يوضح الشكل 1.37 العلاقة بين المجال ونطاق F ومجال ومدى f −1. و −1.

تعريف

القاعدة: اختبار الخط الأفقي

مثال 1.28

تحديد ما إذا كانت الوظيفة واحدة لواحد

لكل من الوظائف التالية ، استخدم اختبار الخط الأفقي لتحديد ما إذا كان واحدًا لواحد.

المحلول

إيجاد معكوس الوظيفة

استراتيجية حل المشكلات

إستراتيجية حل المشكلات: إيجاد دالة عكسية

مثال 1.29

إيجاد دالة عكسية

المحلول

اتبع الخطوات الموضحة في الاستراتيجية.

الخطوة 2. أعد الكتابة بالشكل y = 1 3 x + 4 3 y = 1 3 x + 4 3 ودع y = f −1 (x). ص = و −1 (س).

إذن ، f −1 (x) = 1 3 x + 4 3. و −1 (س) = 1 3 س + 4 3.

يمكنك التحقق من أن f −1 (f (x)) = x f −1 (f (x)) = x بالكتابة

رسم بياني للوظائف العكسية

مثال 1.30

رسم رسوم بيانية للدوال المعكوسة

المحلول

نقطة تفتيش 1.25

تقييد المجالات

مثال 1.31

تقييد المجال

ضع في اعتبارك الدالة f (x) = (x + 1) 2. و (س) = (س + 1) 2.

المحلول

نقطة تفتيش 1.26

الدوال المثلثية المعكوسة

تعتبر الدوال المثلثية الأساسية الستة دورية ، وبالتالي فهي ليست واحدة لواحد. ومع ذلك ، إذا قصرنا مجال الدالة المثلثية على فترة تكون فيها واحد لواحد ، فيمكننا تحديد معكوسها. النظر في وظيفة الجيب (الشكل 1.34). وظيفة الجيب هي واحد لواحد على عدد لانهائي من الفواصل الزمنية ، ولكن الاصطلاح القياسي هو قصر المجال على الفترة [- π 2 ، π 2]. [- π 2 ، π 2]. من خلال القيام بذلك ، نحدد دالة الجيب العكسية في المجال [1 ، 1] [−1 ، 1] بحيث بالنسبة لأي xx في الفترة [−1 ، 1] ، [−1 ، 1] ، الجيب المعكوس تخبرنا الدالة أي زاوية θ θ في الفترة [- π 2، π 2] [- π 2، π 2] تحقق الخطيئة θ = x. الخطيئة θ = س. وبالمثل ، يمكننا تقييد مجالات الدوال المثلثية الأخرى لتحديد الدوال المثلثية العكسية ، وهي وظائف تخبرنا بالزاوية في فترة زمنية معينة لها قيمة مثلثية محددة.

تعريف

لرسم الدوال المثلثية العكسية ، نستخدم الرسوم البيانية للوظائف المثلثية المقيدة بالمجالات المحددة سابقًا وتعكس الرسوم البيانية حول الخط y = x y = x (الشكل 1.41).

وسائل الإعلام

انتقل إلى الموقع التالي لمزيد من المقارنات بين الوظائف وعكساتها.

نعتبر الآن تركيبًا للدالة المثلثية ومعكوسها. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك التعبيرين sin (sin 1 (2 2)) sin (sin 1 (2 2)) و sin −1 (sin (π)). الخطيئة −1 (الخطيئة (π)). بالنسبة للأول ، نبسط ما يلي:

بالنسبة للثاني ، لدينا

وبالمثل ، بالنسبة لدالة جيب التمام ،

تنطبق الخصائص المماثلة على الدوال المثلثية الأخرى وعكساتها.

مثال 1.32

إيجاد قيمة التعبيرات التي تتضمن الدوال المثلثية المعكوسة

قيم كل من التعبيرات التالية.

المحلول

مشروع الطالب

القيمة القصوى للدالة

في العديد من مجالات العلوم والهندسة والرياضيات ، من المفيد معرفة القيمة القصوى التي يمكن أن تحصل عليها الوظيفة ، حتى لو لم نعرف قيمتها الدقيقة في لحظة معينة. على سبيل المثال ، إذا كانت لدينا وظيفة تصف قوة شعاع السقف ، فنحن نريد معرفة الحد الأقصى للوزن الذي يمكن أن تتحمله الحزمة دون أن تنكسر. إذا كانت لدينا دالة تصف سرعة قطار ، فإننا نريد معرفة سرعته القصوى قبل أن يقفز عن القضبان. يعتمد التصميم الآمن غالبًا على معرفة القيم القصوى.

يصف هذا المشروع مثالاً بسيطًا لدالة ذات قيمة قصوى تعتمد على معاملي معادلة. سنرى أن القيم القصوى يمكن أن تعتمد على عدة عوامل غير المتغير المستقل x.

القسم 1.4 تمارين

بالنسبة للتمارين التالية ، استخدم اختبار الخط الأفقي لتحديد ما إذا كان كل من الرسوم البيانية المعطاة واحد لواحد.


لا معكوس؟

دعونا نرى بيانيا ما يجري هنا:

لنكون قادرين على الحصول على معكوس نحتاج قيم فريدة.

فقط فكر . إذا كان هناك اثنان أو أكثر قيم-X لواحد قيمة ص، كيف نعرف أيهما نختار عند العودة؟

الوظيفة العامة
لا يوجد معكوس

تخيل أننا أتينا من x1 إلى قيمة y معينة ، إلى أين نعود؟ x1 أو x2?

في هذه الحالة لا يمكن أن يكون لدينا معكوس.

ولكن إذا كان بإمكاننا الحصول على x واحد بالضبط لكل y ، فيمكننا الحصول على معكوس.

يطلق عليه & quotone-to-one المراسلة & quot أو Bijective ، مثل هذا

الوظيفة الاحيائية
له معكوس

يجب أن تكون الوظيفة & quotBijective & quot حتى يكون لها معكوس.

لذا فإن الدالة الحيوية تتبع قواعد أكثر صرامة من الوظيفة العامة ، مما يسمح لنا بالحصول على معكوس.


أمثلة

لمزيد من التدريب على المفاهيم التي تم تناولها في هذا البرنامج التعليمي ، قم بزيارة صفحة مشاكل الوظائف العكسية على الرابط أدناه. سيتم نشر حلول المشكلات بعد تغطية هذه الفصول في دورة حساب التفاضل والتكامل.

لاختبار معرفتك بمشكلات الوظيفة العكسية ، حاول إجراء اختبار الوظائف العكسية العامة على موقع iLrn أو اختبار الوظائف العكسية المتقدمة على الرابط أدناه.

يرجى إرسال أي أسئلة أو تعليقات أو مشاكل واجهتها مع هذا الموقع إلى Alex Karassev.


أعلم أن وظيفة mod محددة بواسطة وظيفة floor (a - n floor (n a). لكني ما زلت غير قادر على إنشاء دالة عكسية بدالة عكسية واحدة لجميع القيم. لقد صنعت دالة متعددة التعريف تعمل مع هؤلاء القيم ، لكني أشعر أنه يجب أن تكون هناك طريقة أفضل ، فهل يعرف أي شخص قاعدة عكسية لأي من الأرض أو المقياس؟

وظيفة "mod"؟ لا يوجد شيء من هذا القبيل.

فقط افعلها كما تفعل مع أي وظيفة أخرى:

y = 4x + 3 ، ومن ثم x = (y-3) / 4 ، فما هي القسمة على 4 في حساب mod 7؟

أول شيء يجب عليك فعله هو حساب القيم الفعلية لـ f:
f (0) = 4 (0) + 3 = 3. f (1) = 4 (1) + 3 = 7 = 0 mod 7. f (2) = 4 (2) + 3 = 11 = 4 mod 7.
و (3) = 4 (3) + 3 = 15 = 1 عصري ص. f (4) = 4 (4) + 3 = 19 = 5 mod 7. f (5) = 4 (5) + 3 = 23 = 2 mod 7. f (6) = 4 (6) + 3 = 27 = 6 تعديل 7

لذا فأنت تريد f -1 (0) = 1 ، و -1 (1) = 3 ، و -1 (2) = 5 ، و -1 (3) = 0 ، و -1 (4) = 2 ، و - 1 (5) = 4 ، و -1 (6) = 6.

نعم ، هذا بالضبط ما تقدمه وظيفتك. عمل جيد! هذا هو ، بالمناسبة ، & quot؛ دالة & quot؛ وليس لدي مشكلة في ذلك. ومع ذلك ، قد تتذكر ذلك -6 يكون 1 في mod 7. بما أن الصيغة الأولى قد أعطيت & quotmod 7 & quot ، فلماذا لا تفعل الشيء نفسه مع هذا:
f -1 (x) = 2x + 1 (mod 7) أو f -1 (x) = 2x- 6 (mod 7)
هم سواء بالضبط.

وظيفة "mod"؟ لا يوجد شيء من هذا القبيل.

اعتذاري. mod & quotoperator & quot (أو عامل modulo) كنت أسأل فقط عما إذا كان هناك عامل عكسي يمكنني استخدامه حتى أتمكن من تبديل متغيري x و y وحل x بدلاً من تبديل القيم وإنشاء وظيفة جديدة تمامًا.


1.6.6E: وظائف معكوسة

في المثال الأخير من القسم السابق ، نظرنا إلى الوظيفتين (f left (x right) = 3x - 2 ) و (g left (x right) = frac <3> + frac <2> <3> ) ورأيت ذلك

[متبقى( يمين) يسار (س يمين) = يسار ( يمين) يسار (س يمين) = س ]

وكما لوحظ في هذا القسم ، فإن هذا يعني أن هناك علاقة لطيفة بين هاتين الوظيفتين. دعونا نرى ما هي تلك العلاقة. ضع في اعتبارك التقييمات التالية.

في الحالة الأولى ، قمنا بتوصيل (x = - 1 ) في (f left (x right) ) وحصلنا على القيمة (- 5 ). ثم استدرنا وسددنا (x = - 5 ) في (g left (x right) ) وحصلنا على القيمة -1 ، وهو الرقم الذي بدأنا به.

في الحالة الثانية فعلنا شيئًا مشابهًا. هنا قمنا بتوصيل (x = 2 ) في (g left (x right) ) وحصلنا على قيمة ( frac <4> <3> ) ، استدرنا وقمنا بتوصيل هذا بـ ( f left (x right) ) وحصلت على القيمة 2 ، وهو مرة أخرى الرقم الذي بدأنا به.

لاحظ أننا نقوم بالفعل ببعض تكوين الوظائف هنا. الحالة الأولى هي حقًا ،

[متبقى( يمين) يسار (<- 1> يمين) = ز يسار [ right)> right] = g left [<- 5> right] = - 1 ]

والحالة الثانية هي حقًا ،

لاحظ أيضًا أن كلاهما يتفق مع صيغة التراكيب التي وجدناها في القسم السابق. نعود من تقييم الوظيفة إلى الرقم الذي أدخلناه في الأصل في التكوين.

إذن ، ما الذي يحدث هنا؟ بطريقة ما يمكننا التفكير في هاتين الوظيفتين على أنهما تبطل ما فعله الآخر برقم. في الحالة الأولى ، قمنا بتوصيل (x = - 1 ) في (f left (x right) ) ثم أعدنا النتيجة من تقييم الوظيفة إلى (g left (x right) ) وبطريقة ما ، ألغى (g left (x right) ) ما فعله (f left (x right) ) لـ (x = - 1 ) وأعاد لنا الأصل (x ) التي بدأنا بها.

تسمى أزواج الوظائف التي تظهر هذا السلوك وظائف معكوسة. قبل تحديد الدوال العكسية رسميًا والترميز الذي سنستخدمه لها ، نحتاج إلى الحصول على تعريف بعيدًا عن الطريق.

وظيفة تسمى واحد لواحد في حالة عدم وجود قيمتين لـ (x ) تنتج نفس (y ). رياضيا هذا هو نفس القول ،

لذا ، فإن الوظيفة تكون واحد لواحد إذا قمنا بتعويض قيم مختلفة في الدالة ، نحصل على قيم دالة مختلفة.

في بعض الأحيان يكون من الأسهل فهم هذا التعريف إذا رأينا وظيفة ليست واحدة لواحد. دعونا نلقي نظرة على وظيفة ليست فردية. الوظيفة (f left (x right) = ) ليس واحدًا لواحد لأن كلاهما (f left (<- 2> right) = 4 ) و (f left (2 right) = 4 ). بمعنى آخر ، هناك قيمتان مختلفتان لـ (x ) تنتجان نفس قيمة (y ). لاحظ أنه يمكننا الدوران (f left (x right) = ) في وظيفة واحد لواحد إذا قصرنا أنفسنا على (0 le x & lt infty ). يمكن القيام بذلك في بعض الأحيان مع الوظائف.

غالبًا ما يكون إثبات أن الوظيفة فردية أمرًا شاقًا و / أو صعبًا. بالنسبة للجزء الأكبر ، سنفترض أن الوظائف التي سنتعامل معها في هذه الدورة هي إما واحد لواحد أو قمنا بتقييد مجال الوظيفة لجعلها وظيفة واحد ل- وظيفة واحدة.

الآن ، دعونا نحدد رسميًا ما هي الوظائف العكسية. إعطاء وظيفتين واحد لواحد (f left (x right) ) و (g left (x right) ) إذا

ثم نقول أن (f left (x right) ) و (g left (x right) ) هي مقلوب من بعضها البعض. بشكل أكثر تحديدًا سنقول أن (g left (x right) ) هو ملف معكوس من (f left (x right) ) وقم بالإشارة إليها بواسطة

[ز يسار (س يمين) = > يسار (س يمين) ]

وبالمثل ، يمكننا أن نقول أيضًا أن (f left (x right) ) هو معكوس من (g left (x right) ) وقم بالإشارة إليها بواسطة

[f يسار (x يمين) = > يسار (س يمين) ]

تعتمد الملاحظة التي نستخدمها حقًا على المشكلة. في معظم الحالات يكون أي منهما مقبولاً.

بالنسبة إلى الدالتين اللتين بدأناهما في هذا القسم ، يمكننا كتابة أي من مجموعتي الترميز التاليتين.

[يبدأf left (x right) & = 3x - 2 hspace <0.25in> hspace <0.25in> & > يسار (س يمين) & = فارك <3> + frac <2> <3> & & & g left (x right) & = frac <3> + frac <2> <3> hspace <0.25in> hspace <0.25in> & > يسار (س يمين) & = 3 س - 2 نهاية]

الآن ، كن حذرا مع تدوين المقلوب. "-1" ليس أسًا على الرغم من حقيقة أنه بالتأكيد يبدو مثل واحد! عند التعامل مع الدوال العكسية علينا أن نتذكر ذلك

هذا أحد الأخطاء الأكثر شيوعًا التي يرتكبها الطلاب عند دراسة الدوال العكسية لأول مرة.

عملية العثور على معكوس دالة هي عملية بسيطة إلى حد ما على الرغم من وجود بضع خطوات يمكن أن تكون في بعض الأحيان فوضوية إلى حد ما. ها هي العملية

إيجاد معكوس التابع

بالنظر إلى الوظيفة (f left (x right) ) نريد إيجاد الدالة العكسية ، (> يسار (س يمين) ).

  1. أولاً ، استبدل (f left (x right) ) بـ (y ). يتم ذلك لتسهيل باقي العملية.
  2. استبدل كل (x ) بـ (y ) واستبدل كل (y ) بـ (x ).
  3. حل المعادلة من الخطوة 2 من أجل (y ). هذه هي الخطوة التي يتم فيها ارتكاب الأخطاء في أغلب الأحيان ، لذا كن حذرًا في هذه الخطوة.
  4. استبدل (y ) بـ (> يسار (س يمين) ). بعبارة أخرى ، تمكنا من إيجاد المعكوس في هذه المرحلة!
  5. تحقق من عملك عن طريق التحقق من أن [ يسار ( >> right) left (x right) = x ] و [ left (<> circ f> right) left (x right) = x ] كلاهما صحيح. قد يكون هذا العمل فوضويًا في بعض الأحيان مما يجعل من السهل ارتكاب الأخطاء ، لذا كن حذرًا مرة أخرى.

هذه هي العملية. معظم الخطوات ليست بهذا السوء ولكن كما هو مذكور في العملية ، هناك بضع خطوات نحتاج حقًا إلى توخي الحذر معها نظرًا لأنه من السهل ارتكاب أخطاء في هذه الخطوات.

في خطوة التحقق ، نحتاج فعليًا من الناحية الفنية إلى التحقق من أن كلاهما ( left ( >> right) left (x right) = x ) و ( left (<> circ f> right) left (x right) = x ) صحيحة. بالنسبة لجميع الوظائف التي سنبحثها في هذه الدورة التدريبية ، إذا كانت إحداها صحيحة ، فسيكون الآخر صحيحًا أيضًا. ومع ذلك ، هناك وظائف (ومع ذلك فهي خارج نطاق هذه الدورة) والتي من الممكن أن تكون واحدة منها فقط صحيحة. تم طرح هذا لأنه في جميع المشاكل هنا سنقوم فقط بفحص واحدة منها. نحتاج فقط أن نتذكر دائمًا أنه من الناحية الفنية يجب علينا التحقق من كليهما.

الآن ، نحن نعلم بالفعل ما هو معكوس هذه الوظيفة كما فعلنا بالفعل بعض العمل معها. ومع ذلك ، سيكون من الجيد أن نبدأ بهذا لأننا نعرف ما يجب أن نحصل عليه. سيعمل هذا كتحقق لطيف من العملية.

لذلك دعونا نبدأ. سنستبدل أولاً (f left (x right) ) بـ (y ).

بعد ذلك ، استبدل all (x ) ’s بـ (y ) وكل (y )’ s بـ (x ).

أخيرًا استبدل (y ) بـ (> يسار (س يمين) ).

الآن ، نحن بحاجة للتحقق من النتائج. لقد اهتممنا بالفعل بهذا في القسم السابق ، ومع ذلك ، يجب علينا حقًا اتباع العملية ، لذلك سنفعل ذلك هنا. لا يهم أي من الاثنين الذي نتحقق منه ، نحتاج فقط إلى التحقق من أحدهما. هذه المرة سوف نتحقق من أن ( left ( >> right) left (x right) = x ) صحيح.

[يبدأمتبقى( >> right) left (x right) & = f left [<> left (x right)> right] & = f left [< frac <3> + frac <2> <3>> right] & = 3 left (< frac <3> + frac <2> <3>> right) - 2 & = x + 2-2 & = x end]

حقيقة أننا نستخدم (g left (x right) ) بدلاً من (f left (x right) ) لا تغير طريقة عمل العملية. فيما يلي الخطوات القليلة الأولى.

الآن ، لإيجاد (y ) سنحتاج أولاً إلى تربيع كلا الجانبين ثم المضي قدمًا كالمعتاد.

أخيرًا ، دعنا نتحقق وهذه المرة سنستخدم الآخر فقط حتى نتمكن من القول إننا قد وضعنا كليهما في مكان ما في أحد الأمثلة.

لذلك ، قمنا بالعمل بشكل صحيح ولدينا بالفعل معكوس.

قد يكون المثال التالي فوضويًا بعض الشيء ، لذا كن حذرًا مع العمل هنا.

تتشابه الخطوتان الأوليان إلى حد كبير مع الأمثلة السابقة ، لذا ها هما ،

الآن ، كن حذرا مع خطوة الحل. مع هذا النوع من المشاكل ، من السهل جدًا ارتكاب خطأ هنا.

[يبدأx يسار (<2y - 5> right) & = y + 4 2xy - 5x & = y + 4 2xy - y & = 4 + 5x left (<2x - 1> right) y & = 4 + 5x y & = frac << 4 + 5x >> << 2x - 1 >> end]

لذلك ، إذا قمنا بكل عملنا بشكل صحيح ، فيجب أن يكون معكوسًا ،

أخيرًا ، سنحتاج إلى إجراء التحقق. هذه أيضًا عملية فوضوية إلى حد ما ولا يهم حقًا أي عملية نعمل معها.

حسنًا ، هذه فوضى. لنبسط الأمور قليلاً بضرب البسط والمقام في (2x - 1 ).

رائع. كان هذا يتطلب الكثير من العمل ، لكن كل ذلك نجح في النهاية. لقد قمنا بكل عملنا بشكل صحيح ولدينا في الواقع معكوس.

هناك موضوع أخير نحتاج إلى معالجته بسرعة قبل أن نغادر هذا القسم. هناك علاقة مثيرة للاهتمام بين التمثيل البياني للدالة والرسم البياني لعكسها.

هذا هو الرسم البياني للدالة والمعكوس من المثالين الأولين.

في كلتا الحالتين يمكننا أن نرى أن الرسم البياني للعكس هو انعكاس للدالة الفعلية للخط (y = x ). سيكون هذا هو الحال دائمًا مع الرسوم البيانية للدالة ومعكوسها.


  1. استبدل f (x) ب y.
  2. تبديل أدوار اللونس و اللونذ. بعبارات أخرى، تبادل x و y في المعادلة.
  3. حل من أجل y بدلالة x.
  4. استبدل y بـ > left (x right) للحصول على الدالة العكسية
  5. في بعض الأحيان ، يكون من المفيد استخدام مجال ومدى الوظيفة الأصلية لتحديد الوظيفة العكسية الصحيحة من احتمالين. يحدث هذا عندما تحصل على حالة & # 8220plus أو ناقص & # 8221 في النهاية.

أمثلة على كيفية إيجاد الدالة العكسية للدالة التربيعية

مثال 1: أوجد الدالة العكسية للدالة f left (x right) = + 2 ، إن وجد. اذكر مجالها ونطاقها.

أول شيء أدركته هو أن هذه الوظيفة التربيعية ليس لها قيود على مجالها & # 8217t. أنا متأكد من أنه عندما أرسم هذا الرسم البياني ، يمكنني رسم خط أفقي يتقاطع معه أكثر من مرة. لذلك فإن المعكوس ليس دالة. لن أزعج عناء تطبيق الخطوات الرئيسية أعلاه للعثور على معكوسها.

يوضح الرسم البياني أنه فشل في اختبار الخط الأفقي ، وبالتالي فإن المعكوس ليس دالة. سأتوقف هنا.

المثال 2: أوجد الدالة العكسية للدالة f left (x right) = + 2، ، ، x ge 0 ، إن وجدت. اذكر مجالها ونطاقها.

هذه الوظيفة التربيعية نفسها ، كما هو موضح في المثال 1 ، لها قيود على مجالها وهو x ge 0. بعد رسم الدالة في المحور xy ، أستطيع أن أرى أن الرسم البياني عبارة عن قطع مكافئ إلى النصف لجميع قيم x التي تساوي الصفر أو أكبر منه. يجب أن يجتاز هذا اختبار الخط الأفقي الذي يخبرني أنه يمكنني بالفعل العثور على وظيفته العكسية باتباع الخطوات المقترحة.

في الرسم البياني أدناه ، حددت المجال والنطاق بوضوح لأنني سأحتاج إلى هذه المعلومات لمساعدتي في تحديد الوظيفة العكسية الصحيحة في النهاية.

تذكر أن مجال ومدى الدالة العكسية يأتيان من نطاق ومجال الدالة الأصلية على التوالي. ودعا & # 8217s مبادلة المجال والمدى.

حتى بدون حل الدالة العكسية حتى الآن ، يمكنني بسهولة تحديد مجالها ونطاقها باستخدام المعلومات من الرسم البياني للدالة الأصلية: المجال هو x ≥ 2 و النطاق ص 0.

هل ترى كيف يمكنني تبادل المجال ونطاق الوظيفة الأصلية للحصول على المجال ونطاق معكوسها؟

الآن ، دع & # 8217s المضي قدمًا وحل المعكوس جبريًا.

رسم الدالة الأصلية مع عكسها في نفس محور الإحداثيات & # 8230

المثال 3: أوجد الدالة العكسية للدالة f left (x right) = - - 1، ، ، x le 0 ، إن وجدت. اذكر مجالها ونطاقها.

تشبه هذه المشكلة إلى حد كبير المثال 2. يبدأ النطاق عند colory = -1 ، ويمكن أن تنخفض إلى أدنى مستوى ممكن.

الآن ، هذه هي خطوات كيفية إيجاد المعكوس.

ينتج عن تطبيق عملية الجذر التربيعي الحصول على معادلتين بسبب الحالتين الموجبة والسالبة. لاختيار الدالة العكسية الصحيحة من الاثنين ، أقترح أن تجد المجال والمدى لكل إجابة محتملة. الآن ، يجب أن يكون للدالة العكسية الصحيحة مجال قادم من نطاق الوظيفة الأصلية ونطاق قادم من مجال نفس الوظيفة.

فيما يلي الرسوم البيانية للدالة الأصلية وعكسها على نفس محور الإحداثيات.

المثال 4: أوجد معكوس الدالة أدناه ، إذا كانت موجودة. اذكر مجالها ونطاقها.

أود رسم هذه الوظيفة أولاً وتحديد المجال والمدى بوضوح. لاحظ أن القيد في المجال يقطع القطع المكافئ إلى نصفين متساويين. سوف أتعامل مع النصف الأيسر من هذا القطع المكافئ. من الواضح أن هذا له دالة عكسية لأنه يجتاز اختبار الخط الأفقي.

تابع خطوات حل الدالة العكسية. في الواقع ، هناك طريقتان لكيفية عمل ذلك.

حيث يمكن أن تحتوي a و b و c على متغيرات.

هذا متوقع لأننا نحل دالة وليس قيمًا دقيقة.

الخطوة الأساسية هنا هي اختيار الدالة العكسية المناسبة في النهاية لأنه سيكون لدينا حالات الجمع (+) والناقص (-). يمكننا القيام بذلك عن طريق إيجاد المجال والمدى لكل منهما ومقارنته بمجال ومدى الوظيفة الأصلية. تذكر أننا نبدل مجال ومدى الدالة الأصلية للحصول على المجال ونطاق معكوسها.

  • تتيح لنا طريقة إكمال المربعات عزل المتغير في ثلاثي الحدود التربيعي. As you will see in the steps, the quadratic trinomial is converted into linear binomial raised to the power of 2 . Obviously, we can apply the square root operation to get rid of the exponent 2 , therefore leaving us with an easy equation to solve.

If you observe, the graphs of the function and its inverse are actually symmetrical along the line y = x (see dashed line). They are like mirror images of each other.

I hope that you gain some level of appreciation on how to find the inverse of a quadratic function. Although it can be a bit tedious, as you can see, overall it is not that bad. I recommend that you check out the related lessons on how to find inverses of other kinds of functions.


شاهد الفيديو: كيف تقرأ أفكار الإنسان من خلال لغة جسده - مترجم (شهر نوفمبر 2021).