مقالات

11.E: المتتاليات والاحتمالات ونظرية العد (تمارين) - الرياضيات


11.1 المتواليات وترميزها

شفهي

1) ناقش معنى التسلسل. إذا تم تحديد التسلسل المحدود بواسطة صيغة ، فما هو مجاله؟ ماذا عن التسلسل اللانهائي؟

إجابه

التسلسل هو قائمة مرتبة من الأرقام التي يمكن أن تكون إما محدودة أو غير محدودة العدد. عندما يتم تعريف التسلسل المحدود بواسطة صيغة ، فإن مجاله هو مجموعة فرعية من الأعداد الصحيحة غير السالبة. عندما يتم تعريف التسلسل اللانهائي بواسطة صيغة ، يكون مجاله هو كل الأعداد الصحيحة الموجبة أو غير السالبة.

2) وصف ثلاث طرق يمكن من خلالها تعريف التسلسل.

3) هل المجموعة المرتبة للأرقام الزوجية هي سلسلة لا نهائية؟ ماذا عن مجموعة الأعداد الفردية المرتبة؟ اشرح لماذا ولماذا لا.

إجابه

نعم ، تستمر كلتا المجموعتين إلى أجل غير مسمى ، لذا فهما تسلسلان لانهائي.

4) ماذا يحدث لشروط (a_n ) من التسلسل عندما يكون هناك عامل سالب في الصيغة يتم رفعه إلى قوة تتضمن (n )؟ ما هو المصطلح المستخدم لوصف هذه الظاهرة؟

5) ما هو العامل ، وكيف يتم الإشارة إليه؟ استخدم مثالاً لتوضيح كيف يمكن أن يكون التدوين العاملي مفيدًا.

إجابه

العامل هو حاصل ضرب عدد صحيح موجب وجميع الأعداد الصحيحة الموجبة تحته. تُستخدم علامة تعجب للإشارة إلى العملية. قد تتعدد الاجابات. مثال على فائدة استخدام الترميز المضروب هو عند الإشارة إلى المنتج ، تكون الكتابة أسهل بكثير من الكتابة (13 cdot 12 cdot 11 cdot 10 cdot 9 cdot 8 cdot 7 cdot 6 cdot 5 cdot 4 cdot 3 cdot 2 cdot 1 )

جبري

للتمارين من 6 إلى 15 ، اكتب أول أربعة حدود من التسلسل.

6) (أ_n = 2 ^ ن -2 )

7) (a_n = - dfrac {16} {n + 1} )

إجابه

أول أربع فترات: (- 8 ) ،


مقدمة في المتتاليات والاحتمالات ونظرية العد

فائز اليانصيب لديه بعض القرارات المهمة التي يجب أن يتخذها بشأن ما يجب فعله بالمكاسب. شراء فيلا في سانت بارتيليمي؟ فاخرة مكشوفة؟ رحلة بحرية حول العالم؟

احتمالية الفوز باليانصيب ضئيلة ، لكننا جميعًا نحب أن نتخيل ما يمكننا شراؤه بالمكاسب. من أول الأشياء التي يجب على الفائز باليانصيب أن يقررها هو ما إذا كان سيأخذ المكاسب في شكل مبلغ مقطوع أو كسلسلة من الدفعات المنتظمة ، تسمى الأقساط السنوية ، على مدار الثلاثين عامًا القادمة أو نحو ذلك.

غالبًا ما يعتمد هذا القرار على العديد من العوامل ، مثل الآثار الضريبية وأسعار الفائدة واستراتيجيات الاستثمار. هناك أيضًا أسباب شخصية يجب مراعاتها عند اتخاذ القرار ، ويمكن للمرء أن يقدم العديد من الحجج لأي قرار. ومع ذلك ، فإن معظم الفائزين باليانصيب يختارون المبلغ المقطوع.

في هذا الفصل ، سوف نستكشف الرياضيات الكامنة وراء مثل هذه المواقف. سوف نلقي نظرة متعمقة على الأقساط السنوية. سننظر أيضًا في فرع الرياضيات الذي يسمح لنا بحساب عدد الطرق لاختيار أرقام اليانصيب واحتمال الفوز.

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
    • المؤلفون: جاي أبرامسون
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • عنوان الكتاب: الجبر وعلم المثلثات
    • تاريخ النشر: 13 فبراير 2015
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/algebra-and-trigonometry/pages/1-introduction-to-prerequisites
    • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/algebra-and-trigonometry/pages/13-introduction-to-sequences-probability-and-counting-theory

    © 19 أبريل 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    75 متتالية حسابية

    غالبًا ما تقوم الشركات بعمليات شراء كبيرة ، مثل أجهزة الكمبيوتر والمركبات ، للاستخدام التجاري. تنخفض القيمة الدفترية لهذه التوريدات كل عام للأغراض الضريبية. هذا الانخفاض في القيمة يسمى الاستهلاك. إحدى طرق حساب الاستهلاك هي الاستهلاك المباشر ، حيث تنخفض قيمة الأصل بنفس المقدار كل عام.

    على سبيل المثال ، فكر في امرأة تبدأ مشروع مقاولات صغير. اشترت شاحنة جديدة مقابل 25000 جنيه إسترليني. بعد خمس سنوات ، قدرت أنها ستكون قادرة على بيع الشاحنة مقابل 8000 جنيه إسترليني. وبالتالي فإن الخسارة في قيمة الشاحنة ستكون 17000 جنيه إسترليني ، أي 3400 جنيه إسترليني سنويًا لمدة خمس سنوات. الشاحنة ستكون قيمتها 21600 بعد السنة الأولى 18200 بعد عامين 14800 بعد ثلاث سنوات 11400 بعد أربع سنوات و 8000 في نهاية خمس سنوات. في هذا القسم ، سننظر في أنواع معينة من التسلسلات التي ستسمح لنا بحساب الاستهلاك ، مثل قيمة الشاحنة.

    إيجاد الفروق المشتركة

    يقال أن قيم الشاحنة في المثال تشكل ملف تسلسل حسابي لأنها تتغير بمقدار ثابت كل عام. يزيد كل مصطلح أو ينقص بنفس القيمة الثابتة التي تسمى الفرق المشترك من التسلسل. بالنسبة لهذا التسلسل ، يكون الفرق المشترك –3،400.

    التسلسل أدناه هو مثال آخر على التسلسل الحسابي. في هذه الحالة ، يكون الفرق الثابت هو 3. يمكنك اختيار أي حد من حدود التسلسل ، وإضافة 3 للعثور على الحد التالي.

    المتتالية الحسابية هي تسلسل له خاصية أن الفرق بين أي حدين متتاليين هو ثابت. يسمى هذا الثابت بالفرق المشترك. لو هو الحد الأول من المتتالية الحسابية و هو الفرق المشترك ، سيكون التسلسل:

    هل كل تسلسل حسابي؟ إذا كان الأمر كذلك ، فابحث عن الفرق المشترك.

    اطرح كل مصطلح من المصطلح التالي لتحديد ما إذا كان هناك فرق مشترك.

    1. التسلسل ليس حسابيًا لأنه لا يوجد فرق مشترك.
    2. التسلسل حسابي لأنه يوجد فرق مشترك. الفرق المشترك هو 4.

    يظهر الرسم البياني لكل من هذه التسلسلات في (الشكل). يمكننا أن نرى من الرسوم البيانية أنه على الرغم من أن كلا التسلسلين يظهران نموًا ، ليس خطيًا بينما خطي. المتتاليات الحسابية لها معدل تغير ثابت ، لذا فإن رسومها البيانية ستكون دائمًا نقاطًا على خط ما.

    إذا قيل لنا أن المتتالية حسابية ، فهل علينا طرح كل حد من الحد التالي لإيجاد الفرق المشترك؟

    لا. إذا علمنا أن المتتابعة حسابية ، فيمكننا اختيار أي حد واحد في المتتابعة ، وطرحه من الحد التالي لإيجاد الفرق المشترك.

    هل التسلسل المعطى حسابي؟ إذا كان الأمر كذلك ، فابحث عن الفرق المشترك.

    التسلسل حسابي. الاختلاف المشترك هو

    هل التسلسل المعطى حسابي؟ إذا كان الأمر كذلك ، فابحث عن الفرق المشترك.

    التسلسل ليس حسابيًا لأن

    كتابة شروط المتتاليات الحسابية

    الآن بعد أن تمكنا من التعرف على متتالية حسابية ، فسنجد الحدود إذا أعطينا الحد الأول والفرق المشترك. يمكن إيجاد المصطلحات بالبدء بالمصطلح الأول وإضافة الفرق المشترك بشكل متكرر. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن أيضًا إيجاد أي حد عن طريق التعويض بقيم و في الصيغة أدناه.

    بمعلومية الحد الأول والاختلاف المشترك في متتابعة حسابية ، أوجد أول عدة حدود.

    1. اجمع الفرق المشترك مع الحد الأول لإيجاد الحد الثاني.
    2. اجمع الفرق المشترك مع الحد الثاني لإيجاد الحد الثالث.
    3. استمر حتى يتم تحديد جميع المصطلحات المطلوبة.
    4. اكتب المصطلحات مفصولة بفواصل بين قوسين.

    اكتب الحدود الخمسة الأولى من المتتالية الحسابية مع و .

    مضيفاهو نفسه طرح 3. بدءًا من الحد الأول ، اطرح 3 من كل حد لإيجاد الحد التالي.

    الشروط الخمسة الأولى هي

    كما هو متوقع ، يتكون الرسم البياني للتسلسل من نقاط على خط كما هو موضح في (الشكل).

    اكتب الحدود الخمسة الأولى من المتتالية الحسابية مع و .

    بالنظر إلى أي حد أول وأي حد آخر في متتالية حسابية ، أوجد حدًا معينًا.

    1. عوّض بالقيم المعطاة لـ في الصيغةلحلها
    2. أوجد مصطلحًا معينًا عن طريق استبدال القيم المناسبة لهوفي الصيغة

    معطى و ، يجد .

    يمكن كتابة التسلسل بدلالة الحد الأول 8 والفرق المشترك .

    نعلم أن الحد الرابع يساوي 14 ونعلم أن الشكل الرابع هو الشكل .

    يمكننا إيجاد الفرق المشترك .

    أوجد الحد الخامس بإضافة الفرق المشترك إلى الحد الرابع.

    لاحظ أن الفرق المشترك يضاف إلى الحد الأول مرة واحدة لإيجاد الحد الثاني ، ومرتين لإيجاد الحد الثالث ، وثلاث مرات لإيجاد الحد الرابع ، وهكذا. يمكن إيجاد الحد العاشر بإضافة الفرق المشترك إلى الحد الأول تسع مرات أو باستخدام المعادلة

    معطى و ، يجد .

    استخدام الصيغ العودية للمتواليات الحسابية

    يتم تعريف بعض المتتاليات الحسابية من حيث المصطلح السابق باستخدام صيغة متكررة. توفر الصيغة قاعدة جبرية لتحديد شروط التسلسل. تسمح لنا الصيغة العودية بإيجاد أي حد في المتتالية الحسابية باستخدام دالة من المصطلح السابق. كل مصطلح هو مجموع المصطلح السابق والفرق المشترك. على سبيل المثال ، إذا كان الفرق المشترك هو 5 ، فكل حد هو المصطلح السابق زائد 5. كما هو الحال مع أي معادلة تكرارية ، يجب إعطاء المصطلح الأول.

    الصيغة العودية للتسلسل الحسابي مع الفروق المشتركة يكون:

    بالنظر إلى متتالية حسابية ، اكتب صيغتها العودية.

    1. اطرح أي حد من المصطلح التالي لإيجاد الفرق المشترك.
    2. حدد المصطلح الأولي واستبدل الاختلاف المشترك في الصيغة العودية للمتتاليات الحسابية.

    اكتب معادلة تعاودية للتسلسل الحسابي.

    يتم إعطاء المصطلح الأول كـ . يمكن إيجاد الفرق المشترك بطرح الحد الأول من الحد الثاني.

    عوّض بالمصطلح الأولي والفرق المشترك في الصيغة العودية للمتتاليات الحسابية.

    نرى أن الاختلاف المشترك هو ميل الخط المتشكل عندما نرسم شروط التسلسل ، كما هو موضح في (الشكل). يوضح نمط نمو التسلسل الفرق المستمر البالغ 11 وحدة.

    هل يتعين علينا طرح الحد الأول من الحد الثاني لإيجاد الفرق المشترك؟

    لا ، يمكننا طرح أي حد في التسلسل من المصطلح التالي. ومع ذلك ، فمن الأكثر شيوعًا طرح المصطلح الأول من المصطلح الثاني لأنه غالبًا ما يكون أسهل طريقة لإيجاد الفرق المشترك.

    اكتب معادلة تعاودية للتسلسل الحسابي.

    استخدام الصيغ الصريحة للمتواليات الحسابية

    يمكننا أن نفكر في المتتالية الحسابية كدالة في مجال الأعداد الطبيعية ، إنها دالة خطية لأنها تحتوي على معدل تغير ثابت. الفرق المشترك هو معدل التغيير الثابت ، أو ميل الدالة. يمكننا بناء الدالة الخطية إذا عرفنا الميل والقطع الرأسي.

    لتجد ال ذ-مفهوم الدالة ، يمكننا طرح الفرق المشترك من الحد الأول من المتتالية. ضع في اعتبارك التسلسل التالي.

    الاختلاف المشترك هو ، لذا فإن التسلسل يمثل دالة خطية بميل . لتجد ال - اعتراض ، نطرح من. يمكنك أيضًا العثور على ملف - التقاطع عن طريق رسم الوظيفة وتحديد مكان تقاطع الخط الذي يربط بين النقاط مع المحور الرأسي. يظهر الرسم البياني في (الشكل).

    تذكر صيغة الميل والمقطع للخط هوعند التعامل مع التسلسلات ، نستخدم بدلا من و بدلا من إذا عرفنا ميل الدالة وتقاطعها الرأسي ، فيمكننا التعويض بهما و في شكل الخط المنحدر والمقطع. أستعاضللمنحدر و بالنسبة للاعتراض الرأسي ، نحصل على المعادلة التالية:

    لا نحتاج إلى إيجاد التقاطع الرأسي لكتابة صيغة صريحة لمتتابعة حسابية. صيغة أخرى صريحة لهذا التسلسل هي ، مما يبسط إلى

    صيغة صريحة لـ يتم إعطاء مصطلح المتتالية الحسابية بواسطة

    بالنظر إلى أول عدة حدود لمتسلسلة حسابية ، اكتب صيغة صريحة.

    1. أوجد الفرق المشترك ،
    2. عوّض بالفرق المشترك والحد الأول فيه

    اكتب صيغة صريحة للتسلسل الحسابي.

    يمكن إيجاد الفرق المشترك بطرح الحد الأول من الحد الثاني.

    الفرق المشترك هو 10. عوّض بالفرق المشترك والحد الأول من المتتالية في الصيغة وبسّط.

    يوضح الرسم البياني لهذا التسلسل ، الممثل في (الشكل) ، منحدرًا قدره 10 وتقاطعًا رأسيًا لـ .

    اكتب صيغة صريحة للتسلسل الحسابي التالي.

    إيجاد عدد الحدود في متتابعة حسابية محدودة

    يمكن استخدام الصيغ الصريحة لتحديد عدد المصطلحات في متوالية حسابية محدودة. نحتاج إلى إيجاد الفرق المشترك ، ثم تحديد عدد المرات التي يجب إضافة الفرق المشترك فيها إلى الحد الأول للحصول على الحد الأخير من المتتابعة.

    بمعلومية الحدود الثلاثة الأولى والحد الأخير من متتالية حسابية محدودة ، أوجد العدد الإجمالي للحدود.

    1. أوجد الفرق المشترك
    2. عوّض بالفرق المشترك والحد الأول فيه
    3. استبدل الحد الأخير بـ وحلها

    أوجد عدد الحدود في المتتالية الحسابية المحددة.

    يمكن إيجاد الفرق المشترك بطرح الحد الأول من الحد الثاني.

    الاختلاف المشترك هو . عوّض بالفرق المشترك وبالحد الأول من المتتالية في صيغة المصطلح وتبسيطها.

    استبدل إلى عن على وحلها

    هناك ثمانية حدود في المتسلسلة.

    أوجد عدد الحدود في المتتالية الحسابية المحددة.

    يوجد 11 حدًا في التسلسل.

    حل مشاكل التطبيق باستخدام المتتاليات الحسابية

    في العديد من مشكلات التطبيق ، غالبًا ما يكون من المنطقي استخدام مصطلح أولي من بدلا من في هذه المسائل ، نقوم بتغيير الصيغة الصريحة قليلاً لمراعاة الاختلاف في الشروط الأولية. نستخدم الصيغة التالية:

    يحصل الطفل البالغ من العمر خمس سنوات على علاوة قدرها 1 جنيه إسترليني كل أسبوع. يعده والديه بزيادة سنوية قدرها 2 جنيه استرليني في الأسبوع.

    1. اكتب معادلة البدل الأسبوعي للطفل في سنة معينة.
    2. كم ستكون علاوة الطفل عندما يبلغ من العمر 16 سنة؟

    يمكن نمذجة الموقف من خلال متتالية حسابية ذات حد ابتدائي 1 وفرق مشترك 2.

    يترك يكون مقدار البدل و يكون عدد السنوات بعد العمر 5. وباستخدام الصيغة الصريحة المعدلة للتسلسل الحسابي ، نحصل على:

    يمكننا إيجاد عدد السنوات منذ سن 5 بطرح.

    نبحث عن علاوة الطفل بعد 11 سنة. استبدل 11 في الصيغة لإيجاد علاوة الطفل في سن 16.

    سيكون بدل الطفل في سن 16؟ 23 في الأسبوع.

    تقرر امرأة الجري لمدة 10 دقائق كل يوم هذا الأسبوع وتخطط لزيادة وقت الجري اليومي بمقدار 4 دقائق كل أسبوع. اكتب صيغة لوقت جريانها بعد n من الأسابيع. ما هي مدة الجري اليومي لها 8 أسابيع من اليوم؟

    الصيغة وسيستغرق الأمر 42 دقيقة.

    قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية باستخدام المتواليات الحسابية.

    المعادلات الرئيسية

    الصيغة العودية للحد النوني من المتتالية الحسابية
    صيغة صريحة للحد النوني من المتتالية الحسابية

    المفاهيم الرئيسية

    • المتتالية الحسابية هي سلسلة يكون فيها الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا.
    • يسمى الثابت بين حدين متتاليين بالفرق المشترك.
    • الفرق المشترك هو الرقم المضاف إلى أي حد واحد من المتتالية الحسابية التي تولد المصطلح التالي. أنظر للشكل).
    • يمكن إيجاد شروط المتتالية الحسابية بالبدء بالمصطلح الأولي وإضافة الفرق المشترك بشكل متكرر. انظر (الشكل) و (الشكل).
    • صيغة عودية لمتتالية حسابية بفارق مشترك اعطي من قبل أنظر للشكل).
    • كما هو الحال مع أي صيغة عودية ، يجب إعطاء المصطلح الأولي للتسلسل.
    • صيغة صريحة لتسلسل حسابي مع وجود فرق مشترك اعطي من قبل أنظر للشكل).
    • يمكن استخدام صيغة صريحة لإيجاد عدد المصطلحات في تسلسل. أنظر للشكل).
    • في مشاكل التطبيق ، نقوم أحيانًا بتغيير الصيغة الصريحة قليلاً إلى أنظر للشكل).

    تمارين القسم

    شفهي

    ما هي المتتالية الحسابية؟

    تسلسل حيث يزيد (أو ينقص) كل حد متتالي من التسلسل بقيمة ثابتة.

    كيف يتم إيجاد الفرق المشترك في المتتالية الحسابية؟

    كيف نحدد ما إذا كانت المتتالية حسابية؟

    نجد ما إذا كان الفرق بين جميع الحدود المتتالية هو نفسه. هذا هو نفس القول بأن التسلسل له فرق مشترك.

    ما هي الاختلافات الرئيسية بين استخدام صيغة عودية واستخدام صيغة صريحة لوصف متتالية حسابية؟

    صف كيف تتشابه الدوال الخطية مع المتتاليات الحسابية. كيف هم مختلفون؟

    كل من المتواليات الحسابية والوظائف الخطية لها معدل تغير ثابت. إنها مختلفة لأن نطاقاتها ليست هي نفس الوظائف الخطية التي يتم تحديدها لجميع الأعداد الحقيقية ، ويتم تحديد المتواليات الحسابية للأرقام الطبيعية أو لمجموعة فرعية من الأرقام الطبيعية.

    جبري

    بالنسبة للتمارين التالية ، أوجد الفرق المشترك للتسلسل الحسابي المقدم.

    الاختلاف المشترك هو

    بالنسبة للتمارين التالية ، حدد ما إذا كان التسلسل حسابيًا أم لا. إذا كان الأمر كذلك ، ابحث عن الفرق المشترك.

    التسلسل ليس حسابيًا لأن

    للتمارين التالية ، اكتب الحدود الخمسة الأولى من المتتالية الحسابية بمعلومية الحد الأول والفرق المشترك.

    ,

    ,

    للتمارين التالية ، اكتب أول خمسة حدود من المتسلسلة الحسابية بمصطلحين.

    بالنسبة للتدريبات التالية ، أوجد المصطلح المحدد للتسلسل الحسابي بمعرفة المصطلح الأول والفرق المشترك.

    الحد الأول هو 3 ، والفرق المشترك هو 4 ، أوجد الحد الخامس.

    الحد الأول هو 4 ، والفرق المشترك هو 5 ، أوجد الحد الرابع.

    الحد الأول هو 5 ، والفرق المشترك هو 6 ، أوجد الحد الثامن.

    الحد الأول هو 6 ، والفرق المشترك هو 7 ، أوجد الحد السادس.

    الحد الأول هو 7 ، والفرق المشترك هو 8 ، أوجد الحد السابع.

    بالنسبة للتمارين التالية ، أوجد الحد الأول معطى حدين من متتالية حسابية.

    أوجد المصطلح الأول أو من المتتالية الحسابية إذا و

    أوجد المصطلح الأول أو من المتتالية الحسابية إذا و

    أوجد المصطلح الأول أو من المتتالية الحسابية إذا و

    أوجد المصطلح الأول أو من المتتالية الحسابية إذا و

    أوجد المصطلح الأول أو من المتتالية الحسابية إذا و

    للتدريبات التالية ، أوجد المصطلح المحدد معطى المصطلحين من متتالية حسابية.

    و يجد

    و يجد

    للتمارين التالية ، استخدم الصيغة العودية لكتابة أول خمسة حدود من المتتالية الحسابية.

    للتمارين التالية ، اكتب معادلة تعاودية لكل متتالية حسابية.

    للتمرينات التالية ، اكتب معادلة تعاودية للتسلسل الحسابي المحدد ، ثم ابحث عن المصطلح المحدد.

    أوجد الحد 17.

    أوجد الحد الرابع عشر.

    أوجد الحد الثاني عشر.

    للتمارين التالية ، استخدم الصيغة الصريحة لكتابة أول خمسة حدود من المتتالية الحسابية.

    المصطلحات الخمس الأولى:

    للتمارين التالية ، اكتب معادلة واضحة لكل متتالية حسابية.

    بالنسبة للتمارين التالية ، أوجد عدد الحدود في المتتالية الحسابية المحددة المحددة.

    يوجد 10 حدود في التسلسل.

    يوجد 6 حدود في التسلسل.

    رسومية

    بالنسبة للتمارين التالية ، حدد ما إذا كان الرسم البياني الموضح يمثل تسلسلًا حسابيًا.

    الرسم البياني لا يمثل تسلسل حسابي.

    للتمارين التالية ، استخدم المعلومات المقدمة لرسم بياني أول 5 مصطلحات من المتتالية الحسابية.

    تكنولوجيا

    بالنسبة للتمارين التالية ، اتبع الخطوات للعمل مع التسلسل الحسابي باستخدام حاسبة الرسوم البيانية:

    • صحافة [وضع]
      • حدد SEQ في السطر الرابع
      • حدد DOT في السطر الخامس
      • صحافة [أدخل]
      • هو رقم العد الأول للتسلسل. تعيين
      • هو نمط التسلسل. تعيين
      • هو الرقم الأول في التسلسل. تعيين
      • تعيين
      • تعيين
      • اضبط Indpnt: Auto and Depend: Auto

      ما هي المصطلحات السبعة الأولى الموضحة في العمود الذي يحتوي على العنوان

      استخدم سهم التمرير لأسفل للتمرير إلى ما هي القيمة المعطاة

      صحافة [نافذة او شباك]. تعيينوثم اضغط [رسم بياني]. ارسم التسلسل كما يظهر في حاسبة الرسوم البيانية.

      للتمارين التالية ، اتبع الخطوات المذكورة أعلاه للعمل مع التسلسل الحسابي باستخدام حاسبة الرسوم البيانية.

      ما هي المصطلحات السبعة الأولى الموضحة في العمود الذي يحتوي على العنوانفي ميزة TABLE؟

      ارسم التسلسل كما يظهر في حاسبة الرسوم البيانية. تأكد من ضبط إعدادات WINDOW حسب الحاجة.

      ملحقات

      أعط مثالين لمتواليات حسابية ذات حدها الرابع

      أعط مثالين لمتواليات حسابية حدها العاشر

      الأجوبة ستختلف. أمثلة: و

      أوجد الحد الخامس من المتتالية الحسابية

      أوجد الحد الحادي عشر من المتتالية الحسابية

      في أي مصطلح يتم التسلسل تتجاوز 151؟

      في أي مصطلح يتم التسلسل تبدأ في الحصول على قيم سلبية؟

      يبدأ التسلسل في الحصول على قيم سالبة عند الحد الثالث عشر ،

      لأي شروط يستخدم المتتالية الحسابية المحددة لها قيم صحيحة؟

      اكتب متوالية حسابية باستخدام صيغة عودية. اعرض أول 4 حدود ، ثم أوجد الحد 31 st.

      الأجوبة ستختلف. تحقق من أن التسلسل حسابي. مثال: الصيغة العودية: أول 4 فصول دراسية:

      اكتب متتالية حسابية باستخدام صيغة صريحة. اعرض أول 4 حدود ، ثم أوجد الحد 28.

      قائمة المصطلحات


      العد والاحتمال - مقدمة


      الأم المراهقة

      • ال صدفة من المطر غدا 75٪.
      • الأمهات المراهقات اللائي يعشن مع والديهن أقل احتمالا استخدام الماريجوانا أكثر من الأمهات المراهقات في ترتيبات المعيشة الأخرى.
      • لقد فاز في اليانصيب!
      • هناك أدلة طويلة الأمد على أن الأطفال الذين يتم تربيتهم من قبل الوالدين الوحيدين هم اكثر اعجابا لأداء ضعيف في المدرسة والمشاركة في السلوكيات "المنحرفة" مثل التدخين والجنس وتعاطي المخدرات والجريمة في سن مبكرة. [مصدر]
      • الصدف المحتمل خذ العرض.
      • التأمين على الحياة مكلف للغاية بالنسبة لشخص فوق سن الخمسين.

      كل هذه البيانات عن احتمالا. نرى كلمات مثل & quotchance & quot ، & quotless محتمل & quot ، & quotprobably & quot لأننا لا نعرف على وجه اليقين أن شيئًا ما سيحدث ، لكننا ندرك أن هناك فرصة جيدة جدًا لحدوث ذلك.

      في حالة اليانصيب (أو Toto) ، هناك فرصة جيدة جدًا ألا تحدث بعض الأشياء (مثل الفوز)!

      لتحديد & quothow احتمال & quot حدث ما ، نحتاج إلى حساب عدد المرات التي يمكن أن يقع فيها الحدث ومقارنته بالعدد الإجمالي للأحداث المحتملة. تسمى هذه المقارنة بـ احتمالا لحدث معين يحدث.

      تُعرف النظرية الرياضية للعد باسم تحليل اندماجي.


      11.E: المتتاليات والاحتمالات ونظرية العد (تمارين) - الرياضيات

      مرحبا بكم في Math-Exercises.com!

      نود أن نرحب بكم على الموقع المخصص لجميع التلاميذ والطلاب وأولياء الأمور والمعلمين وجميع محبي الرياضيات. يمكنك أن تجد هنا تمارين الرياضيات في نطاق المدارس المتوسطة والثانوية مسائل حسابية والجامعة والكلية الأكثر شيوعًا مسائل حسابية.

      Math-Exercises.com عبارة عن مجموعة من تمارين الرياضيات, مسائل حسابية, مهام الرياضيات و أمثلة الرياضيات بالإجابات الصحيحة ، المصممة لمساعدتك في التحضير لامتحانات القبول في المدرسة الثانوية أو الكلية أو الجامعة. سيساعد تلاميذ المدارس الابتدائية على الاستعداد لاختبارات الرياضيات والامتحانات النهائية وكذلك طلاب المدارس الثانوية للتحضير لامتحانات ترك المدرسة واختبارات التخرج في الرياضيات. يمكن لطلاب الجامعات والكليات حلها مسائل حسابية بالنسبة لامتحاناتهم ، يمكن للمدرسين العثور هنا على مصدر للتمارين لإنشاء اختبارات الرياضيات واختبارات الرياضيات. Math-Exercises.com هنا من أجلك!

      إذا كانت لديك أي أسئلة أو تعليقات أو اقتراحات لتحسين الموقع أو اهتمامك بالتعاون ، فلا تتردد في الاتصال بنا على عنوان البريد الإلكتروني هذا محمي من روبوتات السبام. تحتاج إلى تفعيل جافا سكريبت لتتمكن من مشاهدته .

      أتمنى لك يومًا رائعًا ونجاحًا كبيرًا في حل مشكلة تمارين الرياضيات & أمبير مسائل حسابية!

      الببليوغرافيا والمراجع أمبير:

      - Běloun F. a kolektiv: Sbírka úloh z matematiky pro základní školy SPN Praha ، 1985

      - Bálint Ľ.، Bobok J.، Križalkovičová M.، Lukátšová J .: Zbierka úloh z matematiky na prijímacie skúšky na stredné školy SPN Bratislava، 1986

      - Richtáriková S.، Kyselová D: Matematika Enigma Nitra، 1999

      - Hudcová M.، Kubičíková L: Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ، SOU a nástavbové studium Prometheus Praha، 2010

      - Bača M. a kolektív: Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky Technická univerzita v Košiciach Košice، 2011

      - Peller F.، Starečková A.، Pinda Ľ: Matematika Ekonóm Bratislava، 2009

      - Heřmánek L. a kolektív: Sbírka příkladů z matematiky I ve strukturovaném studiu VŠCHT Praha، 2005

      - Blaško R: Matematická analýza I Žilinská univerzita Žilina، 2009

      - Tesař J: Sbírka úloh z matematiky pro fyziky Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích eské Budějovice

      - Eliaš J.، Horváth J.، Kajan J: Zbierka úloh z vyššej matematiky Alfa Bratislava، 1966

      - Štědrý M.، Krylová N.: Sbírka příklad ů z matematiky I PřF UK Praha، 1994

      - Hošková Š.، Kuben J.، Račková P .: Integrální počet funkcí jedné proměnné Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava، 2006

      - Slavík V.، Dvořáková Š: Integrální počet Česká zemědělská univerzita v Praze، 2007

      - Oršanský P: Základy matematickej štatistiky Prešovská univerzita v Prešove، 2009


      5.5 الاستقلال

      التعريف 5.5 (الاستقلال) إذا لم يكن لحدوث أو عدم حدوث أي من الأحداث (A ) و (B ) أي تأثير على حدوث أو عدم حدوث الآخر ، فإن (A ) و (B ) مستقلان.

      إذا كان (A ) و (B ) مستقلين ، إذن

      1. (ف (أ | ب) = ف (أ) )
      2. (ف (ب | أ) = ف (ب) )
      3. (P (A cap B) = P (A) P (B) )
      4. بشكل عام أكثر مما ورد أعلاه ، (P ( bigcap_^ ك A_i) = prod_^ البوتاسيوم (A_i) )

      هل الأحداث المتنافية مستقلة عن بعضها البعض؟

      لا. إذا كان A و B متنافيان ، فلا يمكن أن يحدثا في وقت واحد. إذا علمنا أن "أ" قد حدث ، فإننا نعلم أن "ب" لا يمكن أن تحدث. وبسبب هذا ، فإن A و B ليسا مستقلين.

      الاستقلال الثنائي: مجموعة من أكثر من حدثين (A_1، A_2، dots، A_k ) مستقلة عن الزوجين إذا (P (A_i cap A_j) = P (A_i) P (A_j) ) ، ( forall i neq j ). لاحظ أن هذا يفعل ليس يعني بالضرورة الاستقلال المشترك.

      الاستقلال المشروط: إذا كان (A ) و (B ) مستقلين بمجرد معرفة وقوع حدث ثالث (C ) ، فإن (A ) و (B ) مستقلان بشكل مشروط (مشروط في ( ج )):

      فقط لأن حدثين مستقلين بشروط لا يعني أنهما مستقلان. في الواقع ، من الصعب التفكير في أشياء من العالم الواقعي مستقلة بشكل غير مشروط. لهذا السبب من المهم دائمًا أن تسأل عن نتيجة: ما الذي كانت مشروطة به؟ على سبيل المثال ، لنفترض أن قرارات القبول في كلية الدراسات العليا يتم اتخاذها من قبل أستاذ واحد فقط ، والذي يختار مجموعة من 50 طالبًا لامعًا ويقلب عملة معدنية لكل طالب لتكوين فصل من حوالي 25 طالبًا. ثم يكون احتمال قبول الطالبين مستقلاً بشكل مشروط ، لأنه يتم تحديدهما من خلال رميتين منفصلتين للعملة. ومع ذلك ، هذا لا يعني أن قبولهم ليس مستقلاً تمامًا. إن معرفة أن الطالب (أ ) دخل يعطينا معلومات حول ما إذا كانت الطالبة (ب ) قد انضمت ، إذا كنا نعتقد أن الأستاذة اختارت مجموعتها المكونة من 50 طالبًا في الأصل عن طريق الجدارة.

      ربما يكون الأمر غير بديهي أكثر: إذا كان هناك حدثان مستقلان بالفعل ، فقد يبدو أنه لا يوجد قدر من & quotconditioning & quot؛ سيجعلهما تابعين. لكن هذا ليس دائما كذلك. على سبيل المثال 4 ، افترض أنني تلقيت مكالمة من شخصين ، أليس وبوب. لنفترض أن (A ) هو الحدث الذي تتصل به أليس ، ويكون (B ) هو الحدث الذي يتصل به بوب. أليس وبوب لا يتواصلان ، لذلك (P (A mid B) = P (A). ) ولكن الآن دع (C ) يكون الحدث الذي يرن فيه هاتفك. لكي يتم الاحتفاظ بالاستقلال الشرطي هنا ، يجب أن يكون (P (A mid C) ) مساويًا لـ (P (A mid B cap C). ) لكن هذا ليس صحيحًا - (A mid C ) قد يكون أو لا يكون صحيحًا ، لكن (P (A mid B cap C) ) صحيح بالتأكيد.


      وصف مفصل لجميع أوراق العمل الاحتمالية

      تعريفات ورقة عمل الاحتمالية
      هؤلاء أوراق عمل الاحتمالية هي نشرة رائعة لتعزيز تعريفات الاحتمالية.

      ورقة عمل الاحتمالية على الأرقام
      هؤلاء أوراق عمل الاحتمالية ستنتج مشاكل بأرقام بسيطة بين 1 و 50.

      الاحتمالية مع ورقة عمل قالب واحد
      هؤلاء أوراق عمل الاحتمالية ستنتج مشاكل مع الأعداد البسيطة والمضاعفات والمقسومات والعوامل باستخدام نرد واحد.

      ورقة عمل الاحتمالية مع زوج من النرد
      هؤلاء أوراق عمل الاحتمالية ستنتج مشاكل مع أرقام ومجموع واختلافات ومضاعفات وقواسم وعوامل بسيطة باستخدام زوج من النرد.

      ورقة عمل الاحتمالية مع مجموعة بطاقات
      هؤلاء أوراق عمل الاحتمالية ستنتج مشاكل حول مجموعة أوراق قياسية ذات 52 بطاقة بدون جوكرز.

      الاحتمالية باستخدام ورقة عمل Spinner
      هؤلاء أوراق عمل الاحتمالية سوف تنتج مشاكل باستخدام الدوار.


      رياضيات 365 الإحصاء الابتدائي

      الاحتمال بالنسبة للإحصائي هو احتمال وقوع حدث. بالنسبة لشخص عادي ، فإن هذه هي الفرصة الكمية لحدوث هذا الحدث.

      نشأت بعض نظريات الاحتمالية المبكرة في المقامرة ثم تطورت النظريات اللاحقة في العلوم الحيوية. نشعر بالإغراء الشديد عندما نرى شخصًا ما يفوز بمليون دولار في اليانصيب ، لكن مشغلي اليانصيب يصممون ألعابهم وآلاتهم بطريقة تجعلهم يجنون أموالًا أكثر مما يقدمونه ، على المدى الطويل.

      3.1 المفهوم الأساسي للاحتمالية

      نحن جميعًا على دراية ببيانات احتمالية بسيطة. إذا رميت عملة معدنية ، فإن احتمال ظهور الرأس هو 1 من 2. إذا رميت نردًا ، فإن احتمال الحصول على الوجه 5 هو 1 من 6. احتمال وقوع حادث في شارع مزدحم معين في يوم معين هو 1 من 100. (عندما يقول أحد الأطفال "ربما يجب أن ندعو آرون لعيد ميلادي" ، مع ذلك ، قد لا يكون لـ "المحتمل" علاقة تذكر برياضيات الاحتمالات ، ولكنه يظهر وعيًا بمفهوم الاحتمال على المستوى البشري الأساسي.)

      عندما نرمى عملة معدنية لعدد كبير من المرات نجد أن نصف الوقت الذي يظهر فيه الرأس. مع استمرارنا في القذف ، نرى أن نسبة عدد الرؤوس إلى عدد الرميات تظل قريبة من 1/2 وتتحرك تقريبًا. لذلك نقول أنه إذا ألقينا عملة معدنية ، فإن احتمال ظهور الرأس هو 0.50. من ناحية أخرى ، إذا ظلت هذه النسبة قريبة من .49 وتتحرك حولها ، فسنقول إن احتمال ظهور الصورة هو 0.49. لفهم مفهوم الاحتمالية تجريبياً ، نزور الرسوم المتحركة الفلاش لتجربة رمي العملة.

      نلاحظ الحوادث في الشارع على مدى فترة طويلة من الزمن ونلاحظ أنه في حوالي يوم واحد من مائة يوم يقع حادث. وكلما طالت مدة المراقبة ، نرى أن نسبة عدد أيام وقوع حادث إلى عدد الأيام التي تمت ملاحظتها تظل قريبة من مائة. لذلك نقول أن احتمال وقوع حادث في يوم في ذلك الشارع هو 1 بالمائة.

      تشرح هذه الأمثلة المفهوم الأساسي للاحتمال. يُفهم احتمال وقوع حدث على أنه "التردد النسبي" ، أي نسبة حدوث الحدث إلى العدد الإجمالي لمرات تكرار التجربة.

      3.2 المجموعات والمجموعات الفرعية ، التجارب الإحصائية ، مساحة العينة ، الأحداث ، الاحتمالية

      يقدم هذا القسم التعريفات الأساسية التي سنحتاجها لبقية الدورة.

      تعريف . بالمجموعة S نعني مجموعة من الأشياء. تسمى الكائنات الموجودة في هذه المجموعة S أيضًا عناصر المجموعة. يُقال أن المجموعة E هي مجموعة فرعية من مجموعة S إذا كان كل عنصر من E هو أيضًا عنصر من S. نكتب

      ليعني أن E هي مجموعة فرعية من S. من الواضح أن المجموعة الفرعية E من S هي مجموعة أصغر من أو تساوي S.

      وفيما يلي بعض الأمثلة على ذلك. نشرح أيضًا استخدام الأقواس لوصف مجموعة.

        لنفترض أن D = مجموعة جميع البطاقات الـ 52 في مجموعة أوراق اللعب. ثم D هي مجموعة. دع E يكون مجموعة كل القلوب في هذه المجموعة. ثم E هي مجموعة فرعية من D. في تدوين القوسين

      يُقرأ هذا "مجموعة x في D بحيث تكون x عبارة عن قلب"

      الرمز & # 8712 يعني "عنصر من"
      x & # 8712 T تعني أن x عنصر من عناصر T.

      التجارب الإحصائية ومساحة العينة

      1. التجربة الإحصائية هي إجراء ينتج عنه نتيجة واحدة بالضبط من بين العديد من النتائج المحتملة. جميع النتائج المحتملة معروفة ، ولكن النتيجة التي ستظهر عند إجراء التجربة غير معروفة.
      2. بالنظر إلى التجربة ، فإن مجموعة جميع النتائج المحتملة تسمى مساحة العينة.
      3. بالنظر إلى التجربة ، يُطلق على نتيجة التجربة اسم نقطة العينة. لذلك ، تتكون مساحة العينة من نقاط العينة.

      أمثلة . فيما يلي أمثلة لبعض التجارب ومساحات العينة الخاصة بهم.

        افترض أن تجربتك رمي عملة معدنية. النتائج هي H (رؤوس) و T (ذيول). إذن ، مساحة العينة هي S = .

      في تدوين القوسين ، يمكننا الكتابة


      5. افترض أن تجربتك هي تحديد عدد حوادث الطرق في لورانس في يوم معين. إذن ، مساحة العينة هي S = <0،1،2،3. >.


      6. لنفترض أن التجربة هي تحديد جنس الجنين. ثم تكون مساحة العينة S = .


      7. افترض أن تجربتك هي تحديد فصيلة دم المريض في المختبر. ثم تكون مساحة العينة S = .


      8. افترض أن تجربتك هي مراقبة الإنتاج السنوي من القمح في كانساس. ثم تكون مساحة العينة S = = =[0, ∞).

      تعريف . يُطلق على مساحة العينة S مساحة عينة محدودة إذا كان S لديها عدد محدود فقط من النتائج. إذا كانت S تحتوي على عناصر لا نهائية ، فإنها تسمى مساحة عينة لانهائية. لاحظ أن الأمثلة 1 و 2 و 3 و 4 و 6 و 7 أعلاه لها مسافات عينة محدودة ، و 5 و 8 بها مساحة عينة غير محدودة.

      تعريفات . بالنظر إلى التجربة وفضاء العينة S ، فيما يلي تعريفات مهمة.

        تسمى مجموعة فرعية من عينة الفضاء S حدثًا. إذن ، الحدث E يتكون من النتائج ، ولدينا

      ملاحظة. في كثير من الأحيان ، سنصف الأحداث "باللغة الإنجليزية" ، وقد يتعين علينا تحديدها كمجموعة فرعية من مساحة العينة والعكس أيضًا.


      أمثلة . فيما يلي بعض الأمثلة على الأحداث.

        انظر إلى المثال 2 أعلاه & # 8212 التجربة على قرعة العملة. لنفترض أن E هو الحدث الذي أعطته واحدة على الأقل من القرعة T ، واجعل F هو الحدث الذي أعطته كلتا الرميتين نفس الوجه. ثم

      دع T.5 يكون الحدث أن مجموع "لفات" هو 5. ثم

      دع T.1 يكون الحدث أن مجموع اللفتين هو 1. لأن T1 ليس له نتيجة ، إنه حدث مستحيل. دع T.13 أن يكون مجموع اللفتين 13. ثم T13 هو أيضا حدث مستحيل.

      نظرية الاحتمالية

      بالنظر إلى مساحة العينة S ، في رياضيات الاحتمال لدينا قواعد لكيفية حساب احتمالية وقوع حدث E. على الرغم من أن رياضيات الاحتمال مستوحاة من المفهوم التجريبي للاحتمال ، فإننا لا نستمد أي شيء من أفكارنا البديهية. نحن نسترشد بالقواعد والقوانين الدقيقة التي نضعها.

      في الوقت الحالي سوف نتعامل مع مساحات عينات محدودة.

      أن تكون مساحة عينة محدودة. احتمال وقوع حدث بسيط هو رقم (ربما معطى) تدل عليه P () والتي لها الخصائص التالية:


      ملاحظة. إذا عرفنا الاحتمالات P () لجميع الأحداث البسيطة ، سنكون قادرين على حساب احتمال أي حدث E باستخدام 3. احتمالات الأحداث البسيطة سوف

      الاحتمالية مع نفس النتائج المحتملة

      أحد النماذج الأكثر استخدامًا لحساب احتمالات الأحداث البسيطة يسمى EQUALLY LIKELY OUTCOMES.

      تعريف . دع S = <>1و. ، هن> أن تكون مساحة عينة محدودة. نقول أن جميع النتائج متساوية في الاحتمال إذا كانت جميع النتائج لها نفس الاحتمال. لذلك ، في هذه الحالة ، لدينا

      أيضا ، في هذه الحالة ، لحدث E

      = (عدد النتائج في E) / (عدد النتائج في S)

      إذا كان n (E) يدل على عدد النتائج في E ثم

      احتمالية الأحداث البسيطة الواردة في الجدول

      تمرين 3.2.1. يعطي الجدول التالي توزيع فصيلة الدم لسكان معينين.

      أوجد احتمال أن تكون عينة عشوائية من الدم من فصيلة الدم A أو B أو AB. (هنا S = ونريد حساب الاحتمال P (E) للحدث E =.
      المحلول

      تمرين 3.2.2. يريد طالب اختيار مدرسة بناءً على توزيع درجاتها. فيما يلي أحدث توزيع للصفوف في المدرسة:

      أوجد احتمال أن يكون لدى الطالب الذي تم اختياره عشوائيًا متوسط ​​B على الأقل.
      المحلول

      تمرين 3.2.3.يعطي الجدول التالي التوزيع الاحتمالي لقالب محمل.

      أوجد احتمال ظهور الوجه 2 أو 3 أو 6 عند دحرجة النرد.
      المحلول

      أوجد الاحتمالية مع نفس النتائج المحتملة

      تمرين 3.2.4. تحتوي الجرة على 7 تفاحات و 3 برتقال و 5 إجاص. يتم قطف قطعة واحدة من الفاكهة بشكل عشوائي. أوجد احتمال ذلك

      1. الفاكهة تفاحة
      2. الفاكهة إما تفاحة أو كمثرى ، و
      3. الفاكهة برتقالة.

      تمرين 3.2.5. يتم دحرجة النرد مرتين. أوجد احتمال ذلك

      1. المجموع 8
      2. ظهر 2 أو 3 فقط في كلتا القوائم و
      3. أنتجت اللفة الأولى عددًا أكبر.

      تمرين 3.2.6. يتم اختيار حرف عشوائيًا من أحرف الأبجدية الإنجليزية. أوجد احتمال ذلك

      1. الحرف إما أنا أو U ،
      2. الحرف موجود في الكلمة دائمًا ، و
      3. الرسالة ليست في الكلمة أبدا.

      3.3 قوانين الاحتمالات

      تدوينات من Set Theory

      فيما يلي بعض الملاحظات من نظرية المجموعات ، والتي سنستخدمها في سياق فضاءات العينة والأحداث.

      تدوينات. لنفترض أن S مجموعة و E ، F مجموعتين فرعيتين من S.

        الاتحاد E & # 8746 F ، من E و F هو المجموعة المحددة على النحو التالي:

      لذا ، إذا جمعت عنصري E و F معًا في مجموعة واحدة ، فستحصل على الاتحاد E & # 8746 F.

      لذلك ، إذا أخذت جميع العناصر المشتركة بين كل من E و F ، فستحصل على تقاطع E و F.

      لذا ، فإن المكمل E c لـ E هو مجموعة كل العناصر الموجودة في S غير الموجودة في E.


      ملاحظة. إذا تمكنا من فهم التعريفات المذكورة أعلاه وتفسيرها في سياقنا لعينة من المساحات والأحداث ، فهذا كافٍ. بالنسبة لنا ، ستكون S مساحة عينة ثابتة وستكون E و F أحداثًا.

        E & # 8746 F هو الحدث الذي يتكون من جميع النتائج الموجودة إما في E أو في F (أو كليهما). لذا فإن حدوث إما E أو F هو نفسه حدوث E & # 8746 F. وهذا هو السبب في أن بعض الكتب المدرسية تستخدم الترميز (E أو F) لـ E & # 8746 F.

      فيما يلي بعض قوانين الاحتمالات.

      أولاً ، الاحتمال يتصرف مثل المنطقة وقوانين الاحتمال مثل تلك الخاصة بالمساحة.

      بعض الصيغ والتعريفات: لنفترض أن S تكون عينة من الفضاء ودع E و F حدثان.

      الفوسفور (E & # 8746 F) = P (E أو F) = P (E) + P (F) - P (E & # 8745 F)

      نطرح P (E & # 8745 F) لأننا عدناها مرتين: مرة في P (E) ومرة ​​في P (F).

      إذا كان E و F متنافيين إذن

      ملاحظة: غالبًا ما يستخدم مفهوم ODDS هذا في المقامرة. عندما تكون الاحتمالات لصالح الحصان من 2 إلى 3 ، فهذا يعني أساسًا أن احتمال فوز الحصان هو 2/5. نقول "بشكل أساسي" لأنه في الرهان الفعلي ، يكون الاحتمال أقل بقليل من 2/3 ، لذلك على المدى الطويل ، تجني مؤسسة المقامرة أموالًا أكثر مما تعطيه. (هذا المدرب ليس من ذوي الخبرة بشكل خاص في مثل هذه الرهانات أو سباقات الخيول).

      مشاكل في 3.3: قوانين الاحتمالات

      تمرين 3.3.1. لنفترض أن E ، F ، G تكون ثلاثة أحداث. يتم إعطاؤه

      P (E) = 0.3 P (F) = 0.7 P (G) = 0.6
      P (E & # 8745 F) = 0.2 P (E & # 8746 G) = 0.7

      تمرين 3.3.2. دع E ، F ، G تكون أحداثًا.

      1. إذا كانت الاحتمالات لصالح E هي 3 إلى 5 ، فأوجد احتمال حدوث E.
      2. إذا كانت الاحتمالات مقابل F تساوي 3 إلى 4 ، فأوجد P (F).
      3. إذا كانت P (G) = 7/10 ، فما هي الاحتمالات لصالح G؟


      تمرين 3.3.3. احتمال أن تكون شجرة عيد الميلاد أطول من 6 أقدام هو .30 واحتمال أن تكون شجرة عيد الميلاد تزن أكثر من ستين رطلاً هو 0.25 واحتمال أن تكون شجرة عيد الميلاد أطول من 6 أقدام أو أكثر من ستين رطلاً هو 0.4.

      1. أوجد احتمال أن تكون شجرة الكريسماس أطول من 6 أقدام ووزنها أكثر من ستين رطلاً.
      2. أوجد احتمال ألا يزيد ارتفاع شجرة الكريسماس عن 6 أقدام.
      3. أوجد احتمال أن يكون طول شجرة الكريسماس أقل من 6 أقدام أو أقل من ستين رطلاً في الوزن.
      4. أوجد احتمال ألا يزيد ارتفاع شجرة عيد الميلاد عن 6 أقدام ولا يزيد وزنها عن ستين رطلاً.

      تمرين 3.3.4. احتمال أن يكون طالب تخصص في الفنون الحرة هو .44 واحتمال أن يكون تخصص طالب في الأعمال التجارية هو 0.33 واحتمال أن يكون تخصص طالب في الفنون الحرة أو الأعمال التجارية هو 0.65 أوجد الاحتمالات

      1. أن طالبًا يتخصص في الفنون الحرة والأعمال.
      2. أن تخصص طالب لا في الفنون الحرة ولا الأعمال.

      3.4 تقنيات العد والاحتمالية

      تقنيات العد مهمة ومفيدة للتعلم. قد ترغب في معرفة ، على سبيل المثال ،

      1. عدد الكلمات الإنجليزية (رسمي) من 5 أحرف ، (الكلمة الرسمية هي أي سلسلة أحرف من الأبجدية الإنجليزية. على سبيل المثال ، eezq هي كلمة رسمية.)
      2. عدد الطرق التي يمكنك من خلالها التعامل مع 13 بطاقة من مجموعة من 52 بطاقة ، أو
      3. عدد الطرق التي يمكنك من خلالها تخصيص الصف الأول من 11 مقعدًا لـ 231 ضيفًا.

      تدوينات. دعونا ن يكون عدد صحيح موجب. ثم بعد ذلك! (يقرأ كمضروب ن) يعرف على أنه

      العامل n هو حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة من 1 إلى n.

      أحد الأدوات الرئيسية لهذا الحساب هو المبدأ التالي:

      مبدأ العد الأساسي. لنفترض أن لدينا تجربة عبارة عن مجموعة من التجارب الفرعية r ، يتم إجراؤها واحدة تلو الأخرى ، على هذا النحو

      1. أول تجربة فرعية لها n1 النتائج
      2. بما يتوافق مع كل نتيجة من نتائج التجربة الفرعية الأولى ، فإن التجربة الفرعية الثانية تحتوي على n2 النتائج
      3. المقابلة لكل نتيجة من التجارب الفرعية الأولى والثانية ، فإن التجربة الفرعية الثالثة لها n3 النتائج

      ثم تجربتنا الأصلية سيكون لها n1ن2 . نص النتائج.


      ملاحظة. هنا استخدمنا كلمة "تجربة" بمعنى مختلف قليلاً عن التجارب الإحصائية. سيتم استخدام مبدأ العد الأساسي لحساب عدد النتائج في فضاءات العينة والأحداث.

      3.4.1. احسب عدد الكلمات التي يبلغ طولها أربعة كلمات يمكنك تكوينها من الأبجدية الإنجليزية. الإجابة: 26 × 26 × 26 × 26

      نستخدم مبدأ العد من خلال تقسيم هذه التجربة إلى أربع تجارب فرعية:

      المسرح عمل يجب القيام به عدة طرق
      1. اختر الحرف الأول 26
      2. اختر الحرف الثاني 26
      3. اختر الحرف الثالث 26
      4. اختر الحرف الرابع 26
      الجواب = المنتج = 456976


      3.4.2. احسب عدد الطرق التي يمكنك من خلالها تخصيص 11 مقعدًا في الصف الأول في قاعة الحفلات لـ 231 ضيفًا.

      المسرح عمل يجب القيام به عدة طرق
      1. تعيين مقعد 1 231
      2. تعيين مقعد 2 230
      3. تعيين مقعد 3 229
      4. تعيين المقعد 4 228
      5. تعيين مقعد 5 227
      6. تعيين مقعد 6 226
      7. تخصيص مقعد 7 225
      8. تخصيص مقعد 8 224
      9. تعيين مقعد 9 223
      10. تعيين مقعد 10 222
      11. تخصيص مقعد 11 221
      الجواب = المنتج = 221*222*. *230*231


      3.4.3. التباين: كم عدد الطرق التي يمكنك بها تشكيل لجنة من 11 عضوًا من مجموعة من 231 شخصًا؟ على عكس تخصيص المقاعد ، سيتم هنا تجاهل ترتيب اختيار الأعضاء. سيكون للأعضاء الـ 11 ، عند تبديلهم ، تعيينات مقاعد مختلفة ولكن في نفس اللجنة. يعتبر تشكيل اللجنة مشكلة "مركبة" تأتي أدناه.


      ملاحظة. الفرق بين تخصيص 11 مقعدًا على التوالي وتشكيل لجنة من 11 هو أن ترتيب التعيين مهم في الحالة الأولى. سيعتبر تخصيص الصف الأول لنفس 11 ضيفًا بطريقتين مختلفتين نتيجتين مختلفتين. عندما نشكل لجنة ، فإن الترتيب الذي نختار به 11 عضوًا لا يحدث أي فرق.


      تعريف . افترض أن لدينا عددًا من الأشياء. نختار r منهم واحدًا تلو الآخر (دون أن نعيدهم أبدًا) ونرتبهم على التوالي. سيُطلق على هذا الترتيب المرتب اسم تبديل لعدد n من الكائنات المأخوذة r في كل مرة. يتم الإشارة إلى عدد التباديل لـ n من الكائنات المأخوذة r في كل مرة بواسطة ن صص . ويترتب على مبدأ العد الأساسي أن

      عدد التباديل نصص = حاصل ضرب عدد صحيح في r بدءًا من n إلى أسفل.

      في المقابل ، يمكننا اختيار كائنات r من مجموعة n كائنات واحدًا تلو الآخر ، لكننا نعيد وضع الكائن في المجموعة قبل الاختيار التالي ، ونرتبهم جميعًا في صف واحد. يسمى هذا الاختيار والترتيب الانتقاء مع الاستبدال. يعد إنشاء كلمة رسمية بطول 4 تجربة للانتقاء مع الاستبدال.

      ملاحظة: المثال 3.1 يمثل مشكلة في الانتقاء مع الاستبدال لأنه يمكن اختيار حرف أكثر من مرة. المثال 3.2 هو مشكلة التقليب.


      تعريف . افترض أن لدينا عددًا من الكائنات في حاوية. نختار كل منهم في وقت واحد. في هذه الحالة ، لا يؤخذ ترتيب الاختيار في الاعتبار. يسمى هذا التحديد بمجموعة من n كائنات مأخوذة r في وقت واحد. يتم الإشارة إلى عدد مجموعات n من الكائنات المأخوذة r في وقت واحد بواسطة نجص ويعطي من قبل


      أمثلة . 1. احسب عدد الطرق التي يمكنك من خلالها تشكيل لجنة من 11 من مجموعة من 231 شخصًا. الجواب: 231 ج11
      2. احسب عدد الطرق التي يمكنك من خلالها التعامل مع 13 بطاقة من مجموعة من 52 بطاقة. الجواب: 52 ج13.

      مشاكل في 3.4: تقنيات العد والاحتمالية

      تمرين 3.4.2. يرغب صاحب المنزل في تثبيت باب جديد للعاصفة. يقدم المتجر المحلي اسمين تجاريين لكل علامة تجارية 4 أنماط مختلفة و 3 ألوان. كم عدد الخيارات التي يمتلكها صاحب المنزل؟
      المحلول

      تمرين 3.4.3. لنفترض أنه في بطولة كأس العالم لكرة القدم ، تضم المجموعة A 8 فرق. يجب على كل فريق من المجموعة أ أن يلعب مع جميع الفرق الأخرى في المجموعة. كم عدد المباريات التي ستلعب بين فرق المجموعة أ. الجواب: 8 ج 2

      تمرين 3.4.4. كم عدد الطرق التي يمكنك بها التعامل مع 13 بطاقة من مجموعة مكونة من 52 بطاقة؟ الجواب: 52 ج 13

      تمرين 3.4.5. كم عدد الطرق التي يمكنك بها التعامل مع يد مكونة من 4 بستوني و 3 قلوب و 3 ماسات و 3 هراوات؟
      المحلول
      تباين الحل

      تمرين 3.4.6. لدينا 13 طالبًا في الفصل. كم عدد الطرق التي يمكننا بها تخصيص المقاعد الأربعة في الصف الأول؟ المحلول

      تمرين 3.4.7. تستخدم لغات البرمجة أحيانًا نظامًا سداسيًا عشريًا (يُسمى أيضًا "سداسي عشري") من الأرقام. في هذا النظام ، يتم استخدام 16 رقمًا ويتم الإشارة إليها بواسطة 0،1،2،3،4،5،6،7،8،9 ، A ، B ، C ، D ، E ، F. لنفترض أنك قمت بتكوين رقم مكون من 6 أرقام في نظام سداسي عشري.

      1. ما هو احتمال أن يبدأ الرقم برقم حرف؟
      2. ما هو احتمال أن يكون الرقم قابلاً للقسمة على 16 (أي ينتهي بـ 0)؟

      المحلول
      هنا مساحة العينة عبارة عن مجموعة من جميع الأرقام السداسية العشرية المكونة من 5 أرقام.

      • باستخدام مبدأ العد ، فإن عدد السداسي عشري = n (S) = 16 6.
      • دع E يكون الحدث الذي يبدأ فيه الرقم برقم حرف.
      • مرة أخرى ، وفقًا لمبدأ العد ، فإن عدد السداسي عشري في E = n (E) = 6 * 16 5.
      • إذن ، P (E) = n (E) / n (S) = 6/16.
      • لنفترض أن F هو الحدث الذي يكون فيه الرقم قابلاً للقسمة على 16. نظرًا لأن الرقم قابل للقسمة على 16 يعني ، في النظام الست عشري ، فإن الرقم الأول هو 0.
      • إذن ، عدد السداسي في F = n (F) = 16 5 * 1 = 16 5.
      • إذن ، P (F) = 16 5/16 6 = 1/16.

      تمرين 3.4.8. أنت تلعب بريدج وتتلقى 13 بطاقة.

      1. ما هو احتمال حصولك على يد مكونة من 4 بستوني و 3 قلوب و 3 ماسات و 3 هراوات؟
      2. ما هو احتمال حصولك على كل 4 ارسالا ساحقا؟
      3. ما هو احتمال حصولك على جميع البستوني الـ 13؟

      تمرين 3.4.9. يتم اختيار لجنة مكونة من 9 أفراد بشكل عشوائي من مجموعة من 11 طالبًا و 17 أمًا و 13 أبًا.

      1. ما هو احتمال أن يكون لدى اللجنة 3 طلاب و 3 أمهات و 3 آباء؟ هـ ، هي لجنة متوازنة؟
      2. ما هو احتمال أن يكون لدى اللجنة 4 أمهات و 5 آباء؟
      3. ما هو احتمال أن تضم اللجنة جميع الطلاب؟

      تمرين 3.4.10. سيتم تقديم ثلاث منح دراسية ذات قيمة غير متكافئة من مجموعة من 35 متقدمًا. كم عدد الطرق التي يمكن أن يتم بها هذا الاختيار؟
      المحلول

      3.5 الاحتمالية المشروطة والأحداث المستقلة

      في بعض الأحيان عندما تتوفر معلومات جديدة ، قد يتعين إعادة تقييم احتمالية وقوع حدث في ضوء هذه المعلومات الجديدة. لنفترض أن لدينا عينة من الفضاء S وحدث E. لنفترض الآن أن لدينا معلومات جديدة عن وقوع حدث C. سيتعين علينا إعادة تقييم الاحتمال الشرطي لـ E نظرًا لحدوث C. يتم الإشارة إلى الاحتمال الشرطي لـ E نظرًا لحدوث C بواسطة P (E | C). من الواضح أن P (E | C) قد تختلف عن P (E). في الواقع ، الآن بعد أن حدثت C ، لم تعد مساحة العينة القديمة مناسبة. وتفترض C دور فضاء العينة الجديد.

      مثال . لنفترض أننا اخترنا طالبًا من جامعة KU عشوائيًا وتركنا E يكون الحدث الذي يكون فيه الطالب أطول من 6 أقدام. ثم لدينا الملاحظات التالية.

        مساحة العينة S هي مجموع طلاب جامعة الكويت.

      بناءً على المثال أعلاه ، نقدم التعريف والصيغة التالية.

      تعريف . لنفترض أن S مساحة عينة و E ، C يكونان حدثين.

        الاحتمال الشرطي لـ E بالنظر إلى حدوث C هو
        الفوسفور (ه | ج) =ص (E & # 8745 ج) ف (ج)

      إذا كان الاحتمال الشرطي P (E | F) = P (E) هو الاحتمال "البسيط" ، فإننا نقول إن E و F مستقلان. في هذه الحالة،

      تعريف . نقول أن الحدثين E و F مستقلان إذا

      إذا لم يكن حدثان مستقلان ، فيُقال إنهما تابعان.

      ملاحظة. دعونا أيضًا نصف ما نعنيه باستقلال 3 أحداث أو أكثر. للأحداث E.1، إي2، & # 8230 ، هـننقول أنها مستقلة إذا تم تطبيق "قاعدة الضرب". على سبيل المثال E ، F ، G ، H مستقلة إذا كانت جميع الحجوزات التالية:

      مشاكل في 3.5: الاحتمال الشرطي والأحداث المستقلة

      تمرين 3.5.1. لنفترض أن A و B حدثان. بشرط

      تمرين 3.5.3. في مقاطعة معينة ، يكون احتمال أن يكون الشخص قد أخذ لقاح الأنفلونزا هو .45 واحتمال إصابة الشخص بالأنفلونزا ، نظرًا لأنه أخذ لقاح الأنفلونزا هو .06. ما هو احتمال أن يكون الشخص الذي تم اختياره عشوائيًا قد أخذ لقاح الأنفلونزا وأن يصاب بالأنفلونزا؟
      المحلول

      تمرين 3.5.4. ضع في اعتبارك المخططين التاليين للدائرة:


      الدائرة 1

      الدائرة 2


      لكل دائرتين قم بما يلي:
      كما ترى ، يتدفق التيار عبر مفتاحين A و B للراديو ويعود إلى البطارية. مع العلم أن احتمال إغلاق المفتاح A هو 0.91 واحتمال إغلاق المفتاح B هو 0.83. افترض أن المفتاحين يعملان بشكل مستقل. أوجد احتمال تشغيل الراديو.
      المحلول

      تمرين 3.5.5. الطائرة لها محركان. احتمال فشل المحرك 1 هو 0.023 واحتمال فشل المحرك 2 هو 0.06. افترض أن المحركات تعمل بشكل مستقل.

      1. ما هو احتمال فشل كلا المحركين؟
      2. ما هو احتمال أن كلاهما لن يفشل؟
      3. ما هو احتمال ألا يفشل أي منهما؟

      تمرين 3.5.6. فيما يلي البيانات من غرفة الطوارئ في المستشفى:

      1. احتمال حصول مريض في غرفة الطوارئ على تأمين صحي هو 0.75.
      2. 0.85 احتمالية بقاء المريض في غرفة الطوارئ على قيد الحياة من العلاج.
      3. احتمال أن يكون لدى المريض في غرفة الطوارئ تأمين صحي وسيبقى على قيد الحياة أيضًا هو 0.7.

      ما هو الاحتمال الشرطي لبقاء مريض في غرفة الطوارئ على قيد الحياة ، إذا كان لديه تأمين صحي.
      المحلول

      تمرين 3.5.7. احتمال أن تتلقى مكالمة هاتفية خاطئة هذا الأسبوع هو 0.3 ، واحتمال أن تتلقى مكالمة مبيعات هذا الأسبوع هو 0.8 وأن احتمال أن تتلقى مكالمة استطلاع هذا الأسبوع هو 0.5. ما هو احتمال أن تتلقى واحدة من كل هذا الأسبوع؟ (افترض أن كل هذه المكالمات مستقلة).
      المحلول

      1. احتمالية عدم حصول الفرد على لقاح الالتهاب الرئوي هو 0.88.
      2. احتمالية عدم إصابة الفرد بالتهاب رئوي وإصابته بالتهاب رئوي في الشتاء هو 0.04.
      3. احتمال إصابة الفرد بالتهاب رئوي في الشتاء هو 0.03.

      التمرين احتمالية حدوث نقص في لقاح الأنفلونزا في عام 2005 هو 0.05. احتمال انخفاض معدل البطالة إلى أقل من أربعة في المائة في عام 2005 هو 0.12. ما هو احتمال أن يكون هناك نقص في لقاح الإنفلونزا في عام 2005 وأن ينخفض ​​معدل البطالة إلى أقل من أربعة بالمائة؟ (من الواضح أن هذه أحداث مستقلة).


      التقليب هو ترتيب الأشياء ، دون تكرار ، ويكون الترتيب مهمًا. تعريف آخر للتقليب هو عدد مثل هذه الترتيبات الممكنة.

      نظرًا لأن التقليب هو عدد الطرق التي يمكنك من خلالها ترتيب الكائنات ، فسيكون دائمًا عددًا صحيحًا. سيقسم المقام في الصيغة دائمًا إلى البسط بالتساوي.

      القيمة n هي العدد الإجمالي للكائنات للاختيار من بينها. r هو عدد العناصر التي تستخدمها بالفعل.

      الشيئان الأساسيان اللذان يجب ملاحظتهما حول التباديل هما أنه لا يوجد تكرار للكائنات مسموح به وهذا الترتيب مهم.

      أمثلة على التباديل:

      مثال 1: ضع قائمة بجميع التباديل للأحرف ABCD

      ا ب ت ث
      ABDC
      ACBD
      ACDB
      ADBC
      بنك أبوظبي التجاري
      BACD
      BADC
      BCAD
      BCDA
      BDAC
      BDCA
      CABD
      CADB
      CBAD
      CBDA
      CDAB
      CDBA
      DABC
      DACB
      DBAC
      DBCA
      DCAB
      DCBA

      الآن ، إذا لم تكن بحاجة فعلاً إلى قائمة بجميع التباديل ، يمكنك استخدام الصيغة الخاصة بعدد التباديل. هناك 4 أشياء وأنت تأخذ 4 في كل مرة. 4ص4 = 4! / (4-4)! = 4! / 0! = 24 / 1 = 24.

      هذا يعطينا أيضًا تعريفًا آخر للتباديل. التقليب عند تضمين جميع الكائنات n هو n !. هذا هو ، P (n ، n) = n!

      مثال 2: ضع قائمة بالتبديلات الثلاثة للأحرف في كلمة HAND

      الآن ، إذا لم تكن بحاجة فعلاً إلى قائمة بجميع التباديل ، يمكنك استخدام الصيغة الخاصة بعدد التباديل. هناك 4 أشياء وأنت تأخذ 3 في كل مرة. 4ص3 = 4! / (4-3)! = 4! / 1! = 24 / 1 = 24.

      إيجاد التباديل باليد

      يدويًا ، يمكنك إدخال قيم n و r في التعبير الذي يتضمن عامليًا ثم تبسيط نسبة العوامل كما تمت مناقشته في القسم 7.1.

      ومع ذلك ، ستكون هناك دائمًا حدود n-r مشتركة بين البسط والمقام بمجرد فك المعاملين. سيتم تقسيم هذين الحدين ، مما يترك لك أول r من التوسيع في البسط. هذا يعطينا اختصارًا لإيجاد تبديل يدويًا.

      نصص = أول عوامل لـ n!

      إيجاد التباديل باستخدام الآلة الحاسبة

      هناك وظيفة التقليب في الآلة الحاسبة. في TI-82 و TI-83 ، توجد ضمن قائمة الرياضيات ، القائمة الفرعية الاحتمالية ، ثم الاختيار الثاني. نصص. أدخل قيمة n أولاً ، ثم الوظيفة ، وأخيراً قيمة r.


      9.2 المتتاليات الحسابية

      غالبًا ما تقوم الشركات بعمليات شراء كبيرة ، مثل أجهزة الكمبيوتر والمركبات ، للاستخدام التجاري. تنخفض القيمة الدفترية لهذه التوريدات كل عام للأغراض الضريبية. هذا الانخفاض في القيمة يسمى الاستهلاك. إحدى طرق حساب الاستهلاك هي الاستهلاك المباشر ، حيث تنخفض قيمة الأصل بنفس المقدار كل عام.

      على سبيل المثال ، فكر في امرأة تبدأ مشروع مقاولات صغير. اشترت شاحنة جديدة مقابل 25000 دولار. بعد خمس سنوات ، قدرت أنها ستكون قادرة على بيع الشاحنة مقابل 8000 دولار. وبالتالي ستكون الخسارة في قيمة الشاحنة 17000 دولار ، أي 3400 دولار في السنة لمدة خمس سنوات. تبلغ قيمة الشاحنة 21600 دولار بعد العام الأول 18200 دولار بعد عامين 14800 دولار بعد ثلاث سنوات 11400 دولار بعد أربع سنوات و 8000 دولار في نهاية خمس سنوات. في هذا القسم ، سننظر في أنواع معينة من التسلسلات التي ستسمح لنا بحساب الاستهلاك ، مثل قيمة الشاحنة.

      إيجاد الفروق المشتركة

      يقال أن قيم الشاحنة في المثال تشكل ملف تسلسل حسابي لأنها تتغير بمقدار ثابت كل عام. كل مصطلح يزيد أو ينقص بنفس القيمة الثابتة التي تسمى الفرق المشترك من التسلسل. بالنسبة لهذا التسلسل ، يكون الفرق المشترك –3،400.

      التسلسل أدناه هو مثال آخر على التسلسل الحسابي. في هذه الحالة ، يكون الفرق الثابت هو 3. يمكنك اختيار أي حد من حدود التسلسل ، وإضافة 3 للعثور على الحد التالي.

      تسلسل حسابي

      المتتالية الحسابية هي تسلسل له خاصية أن الفرق بين أي حدين متتاليين هو ثابت. يسمى هذا الثابت بالفرق المشترك. إذا كان a 1 a 1 هو الحد الأول من المتتالية الحسابية وكان d d هو الاختلاف المشترك ، فسيكون التسلسل:


      مقدمة

      مرحبا بك في الجبر وعلم المثلثات، أحد موارد OpenStax. تمت كتابة هذا الكتاب المدرسي لزيادة وصول الطلاب إلى مواد تعليمية عالية الجودة ، والحفاظ على أعلى معايير الصرامة الأكاديمية بتكلفة قليلة أو بدون تكلفة.

      حول OpenStax

      OpenStax هي منظمة غير ربحية مقرها في جامعة رايس ، وتتمثل مهمتنا في تحسين وصول الطلاب إلى التعليم. نُشر أول كتاب جامعي مرخص بشكل مفتوح لنا في عام 2012 ، ومنذ ذلك الحين توسعت مكتبتنا لتشمل أكثر من 20 كتابًا لدورات الكلية ودورات AP التي يستخدمها مئات الآلاف من الطلاب. يتم تجريب تقنية التعلم التكيفية الخاصة بنا ، المصممة لتحسين نتائج التعلم من خلال مسارات تعليمية مخصصة ، في دورات الكلية في جميع أنحاء البلاد. من خلال شراكاتنا مع المؤسسات الخيرية وتحالفنا مع منظمات الموارد التعليمية الأخرى ، يعمل OpenStax على كسر الحواجز الأكثر شيوعًا أمام التعلم وتمكين الطلاب والمعلمين من النجاح.

      حول موارد OpenStax

      التخصيص

      الجبر وعلم المثلثات مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY) ، مما يعني أنه يمكنك توزيع المحتوى وإعادة مزجه والبناء عليه ، طالما أنك تقدم الإسناد إلى OpenStax والمساهمين في محتواه.

      نظرًا لأن كتبنا مرخصة بشكل علني ، فأنت حر في استخدام الكتاب بأكمله أو اختيار واختيار الأقسام الأكثر صلة باحتياجات الدورة التدريبية الخاصة بك. لا تتردد في إعادة مزج المحتوى من خلال تخصيص فصول وأقسام معينة لطلابك في منهجك الدراسي ، بالترتيب الذي تفضله. يمكنك أيضًا توفير رابط مباشر في منهجك الدراسي يؤدي إلى الأقسام الموجودة في عرض الويب لكتابك.

      يتوفر للمدربين أيضًا خيار إنشاء نسخة مخصصة من كتاب OpenStax الخاص بهم. يمكن توفير النسخة المخصصة للطلاب في صورة مطبوعة أو رقمية منخفضة التكلفة من خلال مكتبة الحرم الجامعي. قم بزيارة صفحة كتابك على موقع openstax.org للحصول على مزيد من المعلومات.

      أخطاء

      تخضع جميع كتب OpenStax المدرسية لعملية مراجعة صارمة. ومع ذلك ، مثل أي كتاب مدرسي احترافي ، تحدث أخطاء في بعض الأحيان. نظرًا لأن كتبنا تستند إلى الويب ، يمكننا إجراء تحديثات بشكل دوري عند الضرورة من الناحية التربوية. إذا كان لديك تصحيح لاقتراحه ، أرسله من خلال الرابط الموجود في صفحة كتابك على openstax.org. يراجع خبراء الموضوع جميع اقتراحات الأخطاء. يلتزم OpenStax بالحفاظ على الشفافية بشأن جميع التحديثات ، لذلك ستجد أيضًا قائمة بتغييرات الأخطاء السابقة في صفحة كتابك على openstax.org.

      شكل

      يمكنك الوصول إلى هذا الكتاب الدراسي مجانًا في عرض الويب أو PDF من خلال openstax.org وبتكلفة منخفضة في الطباعة.

      حول الجبر وعلم المثلثات

      الجبر وعلم المثلثات يوفر استكشافًا شاملاً للمبادئ الجبرية ويلبي متطلبات النطاق والتسلسل لدورة تمهيدية نموذجية للجبر وعلم المثلثات. يضمن النهج المعياري وثراء المحتوى أن يلبي الكتاب احتياجات مجموعة متنوعة من الدورات التدريبية. الجبر وعلم المثلثات يقدم مجموعة كبيرة من الأمثلة مع التفسيرات المفاهيمية التفصيلية ، وبناء أساس قوي في المادة قبل مطالبة الطلاب بتطبيق ما تعلموه.

      التغطية والنطاق

      في تحديد المفاهيم والمهارات والموضوعات التي يجب تغطيتها ، أشركنا العشرات من المدربين ذوي الخبرة العالية مع مجموعة من الطلاب. النطاق والتسلسل الناتج يستمر بشكل منطقي مع السماح بقدر كبير من المرونة في التعليمات.

      يقدم الفصلان 1 و 2 مراجعة وأساسًا لدراسة الوظائف التي تبدأ في الفصل 3. يدرك المؤلفون أنه في حين أن بعض المؤسسات قد تجد هذه المادة شرطًا أساسيًا ، فقد أخبرتنا مؤسسات أخرى أن لديها مجموعة تحتاج إلى المهارات الأساسية المبنية في الدورة.

      الفصول 3-6: الوظائف الجبرية

      • الفصل 3: الوظائف
      • الفصل 4: وظائف خطية
      • الفصل 5: متعدد الحدود ودوال عقلانية
      • الفصل 6: الدوال الأسية واللوغاريتمية

      الفصول 7-10: دراسة علم المثلثات

      • الفصل السابع: دائرة الوحدة: وظائف الجيب وجيب التمام
      • الفصل 8: المهام الدورية
      • الفصل التاسع: المتطابقات المثلثية والمعادلات
      • الفصل العاشر: تطبيقات أخرى لعلم المثلثات

      الفصول 11-13: مزيد من الدراسة في الجبر وعلم المثلثات

      • الفصل 11: أنظمة المعادلات وعدم المساواة
      • الفصل الثاني عشر: الهندسة التحليلية
      • الفصل 13: المتتاليات والاحتمالات ونظرية العد

      نظرة عامة على التطوير

      OpenStax الجبر وعلم المثلثات هو نتاج جهد تعاوني من قبل مجموعة من المؤلفين والمحررين والمدربين المتفانين الذين نتج عن شغفهم الجماعي بهذا المشروع نصًا موحدًا بشكل ملحوظ في الهدف والصوت. نتوجه بشكر خاص إلى المؤلف الرئيسي لدينا ، جاي أبرامسون من جامعة ولاية أريزونا ، الذي قدم الرؤية الشاملة للكتاب وأشرف على تطوير كل فصل ، ووضع المخطط الأولي ، وقراءة العديد من المسودات ، واستيعاب المراجعات الميدانية في عملية خطط المراجعة للمؤلفين والمحررين لدينا.

      سمحت لنا التجربة الجماعية لفريق المؤلفين لدينا بتحديد الموضوعات الفرعية والاستثناءات والصلات الفردية التي تسبب أكبر مشكلة للطلاب. لذلك ، فإن الكتاب المدرسي مليء بالميزات المصممة جيدًا والميزات التي تساعد الطلاب على التغلب على هذه الحواجز. أثناء قراءة الطلاب وممارستهم ، يتم تدريبهم على طرق التفكير من خلال المشكلات واستيعاب العمليات الرياضية.

      دقة المحتوى

      نحن نتفهم أن الدقة والدقة أمران ضروريان في الرياضيات ، وقمنا ببرنامج دقة مخصص بقيادة أعضاء هيئة تدريس ذوي خبرة.

      1. خضعت مخطوطة كل فصل إلى جولات من المراجعة والمراجعة من قبل لجنة من المدربين النشطين.
      2. بعد ذلك ، قبل النشر ، قام فريق منفصل من الخبراء بفحص جميع النصوص ، والأمثلة ، والرسومات للتأكد من الدقة الرياضية ، وتم تعيين مراجعين متعددين لكل فصل لتقليل فرص حدوث أي خطأ في الإفلات من الإشعار.
      3. كان فريق ثالث من الخبراء مسؤولاً عن دقة مفتاح الإجابة ، وقام بإعادة العمل بإخلاص لكل حل للقضاء على أي أخطاء باقية. أخيرًا ، أجرى فريق التحرير مراجعة ما بعد الإنتاج متعددة الجولات لضمان سلامة المحتوى في شكله النهائي.

      الأسس والميزات التربوية

      أهداف التعلم

      ينقسم كل فصل إلى عدة أقسام (أو وحدات) ، كل منها منظم حول مجموعة من أهداف التعلم. يتم سرد أهداف التعلم بوضوح في بداية كل قسم وهي النقطة المحورية لكل عنصر تعليمي

      النص السردي

      يستخدم النص السردي لتقديم المفاهيم والمصطلحات والتعريفات الأساسية ، لتوفير سياق واقعي ، ولتوفير انتقالات بين الموضوعات والأمثلة. في هذا الكتاب ، نعتمد على بعض الاصطلاحات الأساسية لإبراز أهم الأفكار:

      • تكون المصطلحات الأساسية بخط عريض ، عادةً عند تقديمها لأول مرة و / أو عند تعريفها رسميًا.
      • يتم استدعاء المفاهيم والتعريفات الأساسية في مربع أزرق لسهولة الرجوع إليها.
      أمثلة

      يتم دعم كل هدف تعليمي بواحد أو أكثر من الأمثلة العملية ، والتي توضح مناهج حل المشكلات التي يجب على الطلاب إتقانها. تمثل الأمثلة المتعددة مناهج مختلفة لنفس النوع من المشكلات ، أو تقدم مشكلات مماثلة ذات تعقيد متزايد.

      تتبع جميع الأمثلة تنسيقًا بسيطًا مكونًا من جزأين أو ثلاثة. يحدد السؤال بوضوح مشكلة رياضية يجب حلها. يمر الحل عبر الخطوات ، وعادةً ما يوفر سياقًا للنهج - وبعبارة أخرى ، لماذا يحل المعلم المشكلة بطريقة محددة. أخيرًا ، يعكس التحليل (لأمثلة مختارة) الآثار الأوسع للحل المعروض للتو. الأمثلة متبوعة بسؤال "جربها" ، كما هو موضح أدناه.

      الأرقام

      الجبر وعلم المثلثات يحتوي على أشكال ورسوم إيضاحية ، الغالبية العظمى منها عبارة عن رسوم بيانية ومخططات. يلتزم الفن في جميع أجزاء النص بأسلوب واضح ومقلل ، مما يلفت الأنظار إلى المعلومات الأكثر أهمية في كل شكل مع تقليل الانحرافات المرئية. يستخدم تباين الألوان بحذر للتمييز بين الوظائف أو الميزات المختلفة للرسم البياني.

      الميزات الداعمة

      تساهم أربع ميزات غير مزعجة ولكنها مهمة في الفهم والتحقق منه.

      • أ "كيف" هي قائمة بالخطوات اللازمة لحل نوع معين من المشاكل. تسبق "كيف" نموذجًا مثالًا يتابع لشرح الخطوات قيد التنفيذ.
      • أ "جربها" يتبع التمرين على الفور مثالاً أو مجموعة من الأمثلة ذات الصلة ، مما يوفر للطالب فرصة فورية لحل مشكلة مماثلة. في إصدار PDF و Web View للنص ، توجد إجابات تمارين Try It في Answer Key.
      • أ سؤال وجواب قد تظهر في أي نقطة في السرد ، ولكن في أغلب الأحيان يتبع المثال. تعمل هذه الميزة على استباق المفاهيم الخاطئة من خلال طرح سؤال بنعم / لا يتم طرحه بشكل شائع ، متبوعًا بإجابة مفصلة وشرح.
      • ال "وسائل الإعلام" تظهر أيقونة في ختام كل قسم ، قبل تمارين القسم مباشرة. يمثل هذا الرمز قائمة روابط لمقاطع فيديو تعليمية عبر الإنترنت تعزز المفاهيم والمهارات المقدمة في القسم.

      على الرغم من أننا اخترنا البرامج التعليمية التي تتوافق بشكل وثيق مع أهدافنا التعليمية ، فإننا لم ننتج هذه البرامج التعليمية ، ولم يتم إنتاجها أو تصميمها خصيصًا لمرافقة الجبر وعلم المثلثات.

      تمارين القسم

      يختتم كل قسم من كل فصل بمجموعة شاملة من التمارين التي يمكن تخصيصها كواجب منزلي أو استخدامها بشكل انتقائي للممارسة الموجهة. مع أكثر من 6300 تمرين في 13 فصلاً ، يجب أن يكون لدى المدرسين الكثير للاختيار من بينها.

      يتم تنظيم تمارين القسم حسب نوع السؤال ، وتظهر بشكل عام بالترتيب التالي:

      • شفهي الأسئلة تقيم الفهم المفاهيمي للمصطلحات والمفاهيم الأساسية.
      • جبري تتطلب المشكلات من الطلاب تطبيق التلاعبات الجبرية الموضحة في القسم.
      • رسومية تقييم المشاكل قدرة الطلاب على تفسير أو إنتاج رسم بياني.
      • رقمي تتطلب المشكلات من الطالب إجراء عمليات حسابية أو عمليات حسابية.
      • تكنولوجيا تشجع المشكلات الاستكشاف من خلال استخدام أداة الرسم البياني ، إما لتصور النتائج الجبرية أو التحقق منها أو لحل المشكلات عن طريق بديل للطرق الموضحة في القسم.
      • ملحقات تطرح مشاكل أكثر تحديًا من الأمثلة الموضحة في القسم. يطلبون من الطلاب تجميع أهداف تعليمية متعددة أو تطبيق التفكير النقدي لحل المشكلات المعقدة.
      • تطبيقات العالم الحقيقي تقديم سيناريوهات واقعية للمشاكل من مجالات مثل الفيزياء والجيولوجيا وعلم الأحياء والتمويل والعلوم الاجتماعية.
      ميزات مراجعة الفصل

      يختتم كل فصل بمراجعة لأهم الوجبات السريعة ، بالإضافة إلى مشاكل الممارسة الإضافية التي يمكن للطلاب استخدامها للتحضير للامتحانات.

      • الشروط الاساسية يقدم تعريفا رسميا لكل مصطلح جريء في الفصل.
      • المعادلات الرئيسية يقدم مجموعة من الصيغ والنظريات والمعادلات ذات الشكل القياسي.
      • المفاهيم الرئيسية يلخص أهم الأفكار التي تم تقديمها في كل قسم ، ويربطها بالمثال (الأمثلة) ذات الصلة في حالة احتياج الطلاب إلى المراجعة.
      • تمارين مراجعة الفصل تتضمن 40-80 مشكلة ممارسة تستدعي أهم المفاهيم من كل قسم.
      • اختبار الممارسة يتضمن 25-50 مشكلة تقييم أهم أهداف التعلم من الفصل. لاحظ أن الاختبار التدريبي غير منظم حسب القسم ، وقد يكون مرجحًا بشكل أكبر نحو الأهداف التراكمية بدلاً من الأهداف التأسيسية التي تمت تغطيتها في الأقسام الافتتاحية.

      مصادر إضافية

      موارد الطلاب والمدرسين

      لقد قمنا بتجميع موارد إضافية لكل من الطلاب والمدرسين ، بما في ذلك أدلة البدء ودليل حلول المعلم وشرائح PowerPoint. تتطلب موارد المعلم حساب مدرس تم التحقق منه ، والذي يمكن طلبه عند تسجيل الدخول الخاص بك على openstax.org. استفد من هذه الموارد لتكملة كتاب OpenStax الخاص بك.

      موارد الشريك

      شركاء OpenStax هم حلفاؤنا في مهمة جعل مواد تعليمية عالية الجودة ميسورة التكلفة ومتاحة للطلاب والمعلمين في كل مكان. تتكامل أدواتهم بسلاسة مع عناوين OpenStax الخاصة بنا بتكلفة منخفضة. للوصول إلى موارد الشركاء للنص الخاص بك ، قم بزيارة صفحة كتابك على openstax.org.

      عن المؤلفين

      كبار المؤلفين المساهمين

      جاي أبرامسون ، جامعة ولاية أريزونا
      قام جاي أبرامسون بتدريس مادة Precalculus لمدة 33 عامًا ، وآخر 14 عامًا في جامعة ولاية أريزونا ، حيث يعمل محاضرًا رئيسيًا في كلية الرياضيات والإحصاء. تشمل إنجازاته في جامعة ولاية أريزونا المشاركة في تطوير أول دورات الرياضيات الهجينة وعبر الإنترنت بالجامعة بالإضافة إلى مكتبة واسعة من محاضرات الفيديو والبرامج التعليمية. بالإضافة إلى ذلك ، عمل كمؤلف مساهم في اثنين من برامج الرياضيات في Pearson Education ، NovaNet Precalculus و Trigonometry. قبل مجيئه إلى جامعة ولاية أريزونا ، قام جاي بالتدريس في كلية ولاية تكساس التقنية وكلية أماريلو. حصل على جائزة مدرس العام في كلا المؤسستين.

      المؤلفون المساهمون

      فاليري فالدوتو ، كلية بالم بيتش الحكومية
      راشيل جروس ، جامعة توسون
      ديفيد ليبمان ، كلية بيرس
      ميلوني راسموسن ، كلية بيرس
      ريك نوروود ، جامعة شرق ولاية تينيسي
      نيكولاس بيلويت ، كلية ولاية فلوريدا ، جاكسونفيل
      جان ماري ماجنير ، كلية سبرينجفيلد التقنية المجتمعية
      هارولد ويبل
      كريستينا فرنانديز

      المراجعين

      فيل كلارك ، كلية المجتمع سكوتسديل
      مايكل كوهين ، جامعة هوفسترا
      تشارلز كونراد ، كلية المجتمع الحكومية التطوعية
      ديفيد فرينش ، كلية Tidewater Community College
      ماثيو جودل ، جامعة ولاية نيويورك ألستر
      لانس هيملو ، كلية راريتان فالي المجتمعية
      دونغرين كيم ، جامعة ولاية أريزونا
      سينثيا لاندريجان ، كلية المجتمع إيري
      ويندي لايتارت ، كلية لين كوميونيتي
      Chinenye Ofodile ، جامعة ولاية ألباني
      كارل بينزيول ، كلية المجتمع تومبكينز-كورتلاند
      ساندرا نايت ، تكساس إيه وجامعة أمبير
      يوجينيا بيترسون ، كلية ريتشارد جيه دالي
      روندا بورتر ، جامعة ولاية ألباني
      مايكل برايس ، جامعة أوريغون
      ستيفن بورتي ، كلية فالنسيا
      وليام رادولوفيتش ، كلية ولاية فلوريدا ، جاكسونفيل
      كاميليا سالاجيان ، كليات مدينة شيكاغو
      كاتي شيلدز ، كلية مجتمع أوكلاند
      ناثان شرينك ، جامعة ECPI
      بابلو سواريز ، جامعة ولاية ديلاوير
      ألين وولمر ، أكاديمية أتلانتا اليهودية

      ساهمت هيئة التدريس التالية في تطوير OpenStax حساب التفاضل والتكامل، النص الذي تم منه تحديث هذا المنتج واشتقاقه.
      المراجعين Precalculus
      نينا الكيتا ، كلية سيسيل
      كيران بوتاني ، الجامعة الكاثوليكية الأمريكية
      براندي بيدي ، كلية سيسيل
      ليزا بلانك ، مدرسة لايم المركزية
      بريان بلونت ، كلية كنتاكي ويسليان
      جيسيكا بولز ، مدرسة برين ماور
      شيري بويد ، كلية رولينز
      سارة بروير ، مدرسة ألاباما للرياضيات والعلوم
      تشارلز باكلي ، جامعة سانت جريجوري
      مايكل كوهين ، جامعة هوفسترا
      كينيث كرين ، كلية تيكساركانا
      راشيل سيوينسكي ، كليات ألامو
      ناثان كزوبا
      سراباستي دوتا ، جامعة أشفورد
      كريستي إريكسون ، كلية سيسيل
      نيكول فرنانديز ، جامعة جورج تاون / جامعة ولاية كينت
      ديفيد فرينش ، كلية تايدووتر كوميونيتي
      دوغلاس فورمان ، جامعة ولاية نيويورك ألستر
      لانس هيملو ، كلية راريتان فالي المجتمعية
      إيرين إيزو ، أكاديمية نيكاراغوا المسيحية
      جون جافي
      جيري جاريد ، مدرسة بلو ريدج
      ستان كوبيك ، كلية مجتمع ماونت واتشوست
      كاثي كوفاكس
      سينثيا لاندريجان ، كلية إيري المجتمعية
      سارة لينهارت ، جامعة كريستوفر نيوبورت
      ويندي لايتارت ، كلية لين كوميونيتي
      جوان مانفيل ، كلية مجتمع بنكر هيل
      كارلا ماكافيت ، كلية ألبيون
      سينثيا ماكجينيس ، كلية ولاية شمال غرب فلوريدا
      لانا نيل ، جامعة تكساس في أوستن
      روندا بورتر ، جامعة ولاية ألباني
      ستيفن بورتي ، كلية فالنسيا
      وليام رادولوفيتش ، كلية ولاية فلوريدا ، جاكسونفيل
      أليس راموس ، كلية بيثيل
      نيك رينولدز ، كلية مجتمع مونتغمري
      أماندا روس ، أ. روس للاستشارات والبحوث ، ذ
      إيريكا روتر ، جامعة ولاية أريزونا
      سوتاندرا ساركار ، جامعة ولاية جورجيا
      ويلي شيلد ، معهد وينتورث للتكنولوجيا
      تود ستيفن ، جامعة ولاية كليفلاند
      سكوت سايكس ، جامعة غرب جورجيا
      ليندا تانسيل ، جامعة جنوب شرق ولاية ميسوري
      جون توماس ، كلية مقاطعة ليك
      ديان فالادي ، كلية بيدمونت فيرجينيا المجتمعية
      ألين وولمر ، أكاديمية أتلانتا اليهودية


      شاهد الفيديو: تمارين و مسائل الدرس الاول المتتاليات الحادي عشر الادبي و الشرعي فيروز يونس (ديسمبر 2021).