مقالات

3.4: المزيد من المعادلات المثلثية - الرياضيات


عندما يكون حل المعادلة المثلثية هو إحدى الزوايا الرباعية ( left (0 ^ { circ}، 90 ^ { circ}، 180 ^ { circ}، 270 ^ { circ} text {and} mathrm {so} text {on} right)، ) ثم تحديد جميع الحلول بين (0 ^ { circ} ) و (360 ^ { circ} ) يمكن أن تعمل بشكل مختلف قليلاً. إذا عدنا إلى دائرة الوحدة ، يمكننا أن نرى ذلك بشكل أكثر وضوحًا:

في الرسم التخطيطي أعلاه ، يمكننا رؤية الجيب وجيب التمام لـ (0 ^ { circ} و 90 ^ { circ} و 180 ^ { circ} و ) و (270 ^ { circ} ) منذ ( tan theta = frac { sin theta} { cos theta}، ) يمكننا أن نرى أن ( tan 0 ^ { circ} = 0، tan 90 ^ { circ} ) غير محدد ، ( tan 180 ^ { circ} = )
0 و ( tan 270 ^ { circ} ) غير معرف أيضًا.

المشكلة الحقيقية في الزوايا الرباعية هي إيجاد ( sin ^ {- 1} (0) أو cos ^ {- 1} (0) ) أو ( tan ^ {- 1} (0) ) تقوم الآلة الحاسبة بإرجاع قيم:
[ ابدأ {مجموعة} {l}
sin ^ {- 1} (0) = 0 ^ { circ}
cos ^ {- 1} (0) = 90 ^ { circ}
tan ^ {- 1} (0) = 0 ^ { circ}
نهاية {مجموعة}
] في كل حالة ، هناك احتمال آخر غير الاختلاف عن الزاوية المحددة بـ (180 ^ { circ} ) لذلك:

[ ابدأ {مجموعة} {l}
sin ^ {- 1} (0) = 0 ^ { circ} ، 180 ^ { circ}
cos ^ {- 1} (0) = 90 ^ { circ}، 270 ^ { circ}
tan ^ {- 1} (0) = 0 ^ { circ} ، 180 ^ { circ}
نهاية {مجموعة}
] لنلق نظرة على كيفية استخدام ذلك في حل معادلة:

مثال 1
حل المعادلة المحددة لـ (0 ^ { circ} leq x <360 ^ { circ} )
[ tan ^ {2} x- tan x = 0
] يمكننا استخدام الصيغة التربيعية لحل هذه المشكلة ، ولكن يمكننا أيضًا حلها عن طريق التحليل:
[ ابدأ {مجموعة} {ج}
tan ^ {2} x- tan x = 0
tan x ( tan x-1) = 0
tan x = 0 text {or} tan x = 1
نهاية {مجموعة}
] يؤدي استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد ( tan ^ {- 1} (0) ) و ( tan ^ {- 1} (1) ) إلى إرجاع قيم ( tan ^ {- 1} (0 ) = 0 ^ { circ} ) و ( tan ^ {- 1} (1) = 45 ^ { circ}. ) بمجرد أن نعرف الزاوية المرجعية لـ ( tan ^ {- 1} ( 1) ، ) فإننا نعلم أنه نظرًا لأن الظل موجب أيضًا في الربع ( Pi I ) ، فإن الحلول هنا هي (45 ^ { circ} ) و (225 ^ { circ}. ) تعرض الآلة الحاسبة إجابة من (0 ^ { circ} ) لـ ( tan ^ {- 1} (0)، ) لكننا رأينا للتو أن ( tan 180 ^ { circ} = 0 ) كذلك.
إجابات هذه المعادلة هي (x = 45 ^ { circ}، 225 ^ { circ}، 0 ^ { circ}، 180 ^ { circ} )

هناك طريقة أخرى لحل المعادلات المثلثية تتضمن استخدام متطابقات فيثاغورس لإجراء تعويض بحيث يمكن حل المعادلة ببساطة عن طريق الصيغة التربيعية. هذا مثال:

مثال 2
حل المعادلة المحددة لـ (0 ^ { circ} leq x <360 ^ { circ} )
[ sin ^ {2} theta-6 cos theta = 4
] لاحظ أنه على عكس المشاكل التي رأيناها في القسم السابق ، تتضمن هذه المعادلة كلا من الجيب وجيب التمام. لتصحيح ذلك ، يمكننا استبدال المصطلح ( sin ^ {2} theta ) بالتعبير (1- cos ^ {2} theta )
[ ابدأ {مجموعة} {ج}
sin ^ {2} theta-6 cos theta = 4
1- cos ^ {2} theta-6 cos theta = 4
0 = cos ^ {2} theta + 6 cos theta + 3
نهاية {مجموعة}
] باستخدام الصيغة التربيعية:
[ cos theta almost-5.449، -0.5505
]

بما أن ( cos ^ {- 1} (- 5.449) ) ليس زاوية حقيقية ، يمكننا التركيز على الإجابة الأخرى:
( cos ^ {- 1} (- 0.5505) حوالي 123.4 ^ { circ}. ) بما أن دالة جيب التمام هي أيضًا سالبة في الربع الثالث ، نحتاج إلى إيجاد الزاوية المرجعية التي ستساعدنا في تحديد الزاوية الثالثة الزاوية الرباعية التي تعتبر حلاً لهذه المعادلة:
[180 ^ { circ} -123.4 ^ { circ} = 56.6 ^ { circ}
] إذن الزاوية المرجعية هي (56.6 ^ { circ} )
[180 ^ { circ} +56.6 ^ { circ} = 236.6 ^ { circ}
] الحلول هي ( theta almost 123.4 ^ { circ}، 236.6 ^ { circ} )

مثال 3
حل المعادلة المحددة لـ (0 ^ { circ} leq x <360 ^ { circ} )
[2 cos ^ {2} theta- sin theta = sin ^ {2} theta + 1
]

أولاً ، سنستبدل (1- sin ^ {2} theta ) بـ ( cos ^ {2} theta )
[ ابدأ {مجموعة} {ج}
2 cos ^ {2} theta- sin theta = sin ^ {2} theta + 1
2 left (1- sin ^ {2} theta right) - sin theta = sin ^ {2} theta + 1
2-2 sin ^ {2} theta- sin theta = sin ^ {2} theta + 1
0 = 3 sin ^ {2} theta + sin theta-1
نهاية {مجموعة}
] حل هذا باستخدام الصيغة التربيعية يعطينا حلول ​​( sin theta almost-0.7676،0.43426 )
[ sin ^ {- 1} (- 0.7676) almost-50.1 ^ { circ}
] [ sin ^ {- 1} (0.43426) حوالي 25.7 ^ { circ}
]

سنعمل مع الحل الإيجابي أولاً. نظرًا لأن الجيب موجب أيضًا في الربع الثاني ، فإن الزاوية الأخرى ستكون (180 ^ { circ} -25.7 ^ { circ} = 154.3 ^ { circ} )

بالنسبة للحل السلبي ، نعلم أن الجيب سالب في الأرباع III و ( mathrm {IV}، ) لذا بزاوية مرجعية (50.1 ^ { circ}، ) في الربع الثالث (180 ^ { circ} +50.1 ^ { circ} = 230.1 ^ { circ} ) وفي الربع الرابع (360 ^ { circ} -50.1 ^ { circ} = 309.9 ^ { circ} )
مجموعة الحلول هي ( theta almost 25.7 ^ { circ}، 154.3 ^ { circ}، 230.1 ^ { circ}، 309.9 ^ { circ} )

تمارين 3.4
حل المعادلات المحددة لـ (0 ^ { circ} leq x <360 ^ { circ} )
1. ( quad 9 sin ^ {2} theta-6 sin theta = 1 )
2. ( quad 4 cos ^ {2} theta + 4 cos theta = 1 )
3. ( quad sec ^ {2} alpha-2 sec alpha-3 = 0 )
4. ( quad csc ^ {2} beta + 4 csc beta-10 = 0 )
5. ( quad csc ^ {2} x + 4 csc x-7 = 0 )
6. ( quad 3 cot ^ {2} x-3 cot x-1 = 0 )
7. ( quad 2 sin ^ {2} x = 1- cos x )
8. ( quad cos ^ {2} alpha + 4 = 2 sin alpha-3 )
9. ( quad cos ^ {2} beta-3 sin beta + 2 sin ^ {2} beta = 0 )
10. ( quad sin ^ {2} theta = 2 cos theta + 3 cos ^ {2} theta )
11. ( quad sec ^ {2} x = 2 tan x + 4 )
12. ( quad 3 tan ^ {2} x = sec x + 2 )
13. ( quad cos alpha + 1 = 2 cos 2 alpha )
14. ( رباعي cos 2 x-3 الخطيئة x-2 = 0 )
15. ( quad csc ^ {2} theta = cot theta + 5 )
16. ( quad csc theta + 5 = 2 cot ^ {2} theta + 2 )


عالم غريب من Gudermannian

معظمنا على دراية بالدوال المثلثية العادية ، مثل الجيب وجيب التمام والظل.

حيث e هو أساس اللوغاريتمات الطبيعية ، حوالي 2.71828. ، وظائف مماثلة ، يشار إليها باسم وظائف المثلثات الزائدية التي يتم تعريفها على النحو التالي:

ويمكن اشتقاق نظائرها من الدوال المثلثية الأخرى منها:

لقد سمعت هذا كثيرًا ، ولكن ليس كثيرًا ، عنهم في سياق تعليمي.

بعد أن واجهت قواعد الشرائح ذات المقاييس التي تشير إلى وظائف المثلث الزائدي ، كنت مدفوعًا إلى استنتاج مفاده أن هذه الوظائف يجب أن تكون مفيدة لشيء ما ، وبالفعل ، يبدو أن هذا هو الحال بشكل خاص فيما يتعلق بالإلكترونيات ، ومن أسمائها ، من المفترض أنها شيئًا ما يتعلق بالقطع الزائد ، لكنني حقًا لم أكن أعرف ماذا.

لقد سمعت أيضًا عن الوظيفة غير العادية المعروفة باسم Gudermannian ، والتي تربط الدوال المثلثية والوظائف الزائدية معًا بطريقة مدهشة.

حسنًا ، دفعني فضولي أخيرًا للبحث عن مزيد من المعلومات حول هذه الوظائف.

يُظهر الرسم البياني أعلاه دائرة وحدة ، تتمحور حول النقطة المميزة بعلامة O.

يمثل الخط الأخضر الأفقي مع علامات التجزئة الحمراء المحور س ، والذي تم تمييزه على طول الأعداد الصحيحة من 2 إلى 5 للإشارة إلى مقياسه. يمثل خط أخضر رأسي مشابه بعلامات تحديد حمراء المحور ص.

هذا الرسم البياني هو أيضًا رسم بياني ، وفي هذا الرسم البياني تكون معادلة دائرة الوحدة كما يلي:

بالنسبة لزاوية ثيتا في الأصل ، مقاسة من المحور x ، فإن النقطة الموجودة على دائرة الوحدة بها جيب ثيتا هو الإحداثي y ، وجيب تمام ثيتا هو الإحداثي x.

هناك شيء واحد يشير إليه هذا الأمر وهو أن وظائف الجيب وجيب التمام لها خاصية

بالنظر إلى أن جيب وجيب الزاوية يحددان نقطة على دائرة الوحدة ، فإن هذه القيم يجب أن تحقق معادلة دائرة الوحدة وأن تكون معادلة دائرة الوحدة كما هي لأن نظرية فيثاغورس تصادف أنها صحيحة.

لمس دائرة الوحدة عند النقطتين (x، y) = (1،0) و (x، y) = (- 1،0) هما خطان منحنيان ينحنيان للخارج منها. تشكل هذه الخطوط القطع الزائد مع المعادلة

وهذا القطع الزائد ، الذي قد نطلق عليه اسم القطع الزائد للوحدة ، المرتبط بوظائف المثلثات الزائدية.

النقاط (x ، y) = (cosh (u) ، sinh (u)) لـ u تساوي 0.1 ، 0.2 ، 0.3 ، 0.4 ، و 0.5 موضحة على الرسم البياني بـ a و b و c و d و e تسمياتهم ، ويتم رسم الخطوط الخضراء لهم من النقطة O أو (0،0).

تتوافق قيمة u مع المساحة التي يحدها المحور x في الأسفل ، والقطع الزائد إلى اليمين ، والخط من O إلى (cosh (u) ، sinh (u)) في الأعلى ، ومع التكامل نسبة الزيادة الحالية في المسافة على طول القطع الزائد من المحور x إلى مسافة تلك النقطة على القطع الزائد من الأصل.

لذلك ، مع الدوال الزائدة والمثلث الزائدي ، كما هو الحال مع الدائرة ودوال المثلث العادي ، فإن الجيب هو تنسيق عمودي ، وجيب التمام هو تنسيق أفقي.

ومثلما يحقق الجيب وجيب التمام معادلة الدائرة ، فإن الجيب الزائدي وجيب التمام يفيان بمعادلة القطع الزائد ، وهكذا:

نصل الآن إلى البناء الهندسي الغريب الذي يتضمن النقاط O و P و Q و R أو O و P 'و Q' و R 'في الرسم التخطيطي.

يصنع الخط من O إلى P 'زاوية 45 درجة مع المحور x ، والخط من O إلى P يصنع زاوية 80 درجة مع المحور x.

وبالتالي ، فإن النقطة P 'هي (x، y) = (cos (45 & deg)، sin (45 & deg)) والنقطة P هي (x، y) = (cos (80 & deg)، sin (80 & deg)).

تقع النقطتان R 'و R على القطع الزائد ، مما يعني أن النقطة R' يجب أن تكون (x ، y) = (cosh (u) ، sinh (u)) ويجب أن تكون النقطة R (x ، y) = (cosh (v)، sinh (v)) لبعض u و v.

دعونا نفكر الآن في نقطة عامة من نفس النوع على دائرة الوحدة ، النقطة P '' ، وهي (x ، y) = (cos (ثيتا) ، الخطيئة (ثيتا)) لبعض زاوية ثيتا.

عندما نأخذ المماس إلى الدائرة عند النقطة P '' ، ونتبعه إلى المحور x لإيجاد النقطة Q '' ، فأين تلك النقطة؟

بالنظر إلى أن الزاوية بين O و Q '' عند P '' هي زاوية قائمة ، فمن الواضح بما فيه الكفاية: مسافة Q '' من الأصل هي 1 / cos (ثيتا).

من معادلة القطع الزائد ، نعلم أن النقطة R '' يجب أن تكون هي النقطة

ونظرًا لأننا نعلم أيضًا أنه نظرًا لأن R '' تقع على القطع الزائد ، وعلى جزء القطع الزائد في الربع حيث يكون كل من x و y موجبين ، يجب أن تكون أيضًا النقطة

يمكننا التفكير في هذا البناء الهندسي على أنه خلق علاقة بين ث وثيتا. وبالفعل ، من الواضح أن cosh (w) = 1 / cos (ثيتا).

كما يحدث ، يُعرف 1 / cos (ثيتا) أيضًا باسم sec (ثيتا) ، قاطع زاوية ثيتا. وهناك علاقة تشمل مربع القاطع:

حسنًا ، إذا ضربنا كل شيء في مربع cos (ثيتا) ، نحصل على:

صديقنا القديم من معادلة الدائرة. لذا فإن حقيقة أن الدائرة تربط الجيب وجيب التمام تعني ضمناً أن القاطع والماس مرتبطان بالقطع الزائد.

لذلك ، فإن نقطتنا R '' تصادف أن تكون

حيث الهوية الرائعة

يأتي من ، لأن w يساوي نفسه. أو يمكن للمرء أيضًا عكس هذا ، لإعطاء تعريفين لـ theta من حيث w ، لأن ثيتا تساوي نفسها أيضًا:

وثيتا هي Gudermannian من w.

نظرًا لأن إحداثيات x و y لـ R '' في كلا الشكلين متساويتان ، يمكن للمرء أيضًا الحصول على المعادلة

ولذا لدينا ثلاث طرق للتعبير عن Gudermannian:

والتي يمكن زيادتها إلى ستة بأخذ المقلوب على جانبي المعادلات:

من هذه الصيغ الست ، بالطبع ، يمكننا بوضوح اشتقاق ست صيغ لمعكوس Gudermannian. ولكن هناك أيضًا ملف السابع واحد:

Pi / 4 راديان ، بالطبع ، 45 درجة.

باستخدام الأعداد المركبة ، يمكن العثور على علاقة وثيقة أخرى بين الدوال المثلثية التقليدية ووظائف المثلثات الزائدية ذات الطبيعة البسيطة.

يمكن للمرء أن يحصل ، بالنظر إلى أن e ^ (a + b) = e ^ a * e ^ b لجميع a و b ، حتى لو كان a و b أرقامًا مركبة ، فإن الصيغة

مما يتيح لنا التعبير بسهولة عن e ، مرفوعًا إلى رقم مركب ، من حيث e مرفوعًا إلى رقم حقيقي ، ودالات الجيب وجيب التمام العادية للأرقام الحقيقية.

بإدخال هذا التعريف لـ e المرفوع إلى قوة معقدة في تعريفات الدوال المثلثية الزائدية بدلالة e ^ x الموضحة أعلاه ، يمكن للمرء بسهولة الحصول على الهويات

أيضًا الاستفادة من حقيقة أن جيب التمام هو دالة فردية ، في حين أن الجيب والظل والظل كلها وظائف زوجية.

ولكن ربما ترد العلاقة الأكثر أهمية بين الدوال المثلثية والوظائف الزائدية التي تتضمن الأعداد المركبة في هؤلاء المعادلات:

هذا يجعل من السهل معرفة سبب استدعاء قواعد الشرائح ذات المقاييس للوظائف الزائدية المتجه قواعد الشريحة. باستخدام موازين الدوال الزائدية ، من الممكن حساب الدوال المثلثية للأرقام المركبة بسرعة.


النسب المثلثية

يوضح الرسم البياني التالي النسب المثلثية باستخدام SOHCAHTOA. قم بالتمرير لأسفل الصفحة إذا كنت بحاجة إلى مزيد من الأمثلة والحلول حول كيفية استخدام النسب المثلثية.


النسب المثلثية: الجيب

المثلثات القائمة لها نسب لتمثيل الزوايا التي شكلها الوتر وأرجله. نسب الجيب ، جنبًا إلى جنب مع نسب جيب التمام والظل ، هي نسب أطوال ضلعي المثلث. نسب الجيب على وجه الخصوص هي نسب طول الضلع المقابل للزاوية التي تمثلها على الوتر. تعد نسب الجيب مفيدة في علم المثلثات عند التعامل مع المثلثات والدوائر.

كيف نحدد نسبة الجيب ونحدد جيب الزاوية في مثلث قائم الزاوية؟

حدد وتر المثلث القائم الزاوية.
الخطيئة θ = المقابل / الوتر

مشكلة كلامية تتضمن النسبة المثلثية للجيب لحساب ارتفاع القطب

مثال:
يربط سلك 55 قدمًا نقطة على الأرض بأعلى عمود. يصنع الكابل زاوية 60 درجة مع الأرض. أوجد ارتفاع العمود لأقرب قدم.

النسب المثلثية: جيب التمام

المثلثات القائمة لها نسب تُستخدم لتمثيل زوايا قاعدتها. نسب جيب التمام ، جنبًا إلى جنب مع نسب الجيب والماس ، هي نسب ضلعين مختلفين من مثلث قائم الزاوية ، ونسب جيب التمام هي على وجه التحديد نسبة الضلع المجاور لزاوية القاعدة الممثلة على الوتر. لإيجاد قياس الزاوية ، علينا فهم الدوال المثلثية العكسية.

كيف تستخدم صيغة جيب التمام (صيغة CAH) لإيجاد الجوانب أو الزوايا المفقودة؟

جيب التمام θ = المجاور / وتر المثلث

مثال:
أوجد الضلع أو الزاوية المفقودة
أ) كوس 30 درجة = س / 2
ب) كوس 37 درجة = 4.2 / س
ج) كوس θ = 63/80

كيف يتم تطبيق نسب الجيب وجيب التمام؟

الجيب وجيب التمام هي النسب المثلثية للزوايا الحادة وتتضمن طول الساق ووتر المثلث القائم.

زاوية الارتفاع - عند النظر إلى شيء ما ، فإن الزاوية التي يصنعها خط الرؤية الخاص بك مع الخط الأفقي تسمى زاوية الارتفاع.

زاوية الاكتئاب - عند النظر لأسفل إلى شيء ما ، فإن الزاوية التي يصنعها خط الرؤية الخاص بك مع الخط الأفقي تسمى زاوية الاكتئاب.

  1. أوجد sin U و sin W. اكتب كل إجابة على شكل كسر وكسر عشري مقربًا إلى أربعة منازل.
  2. أوجد cos S و cos R. اكتب كل إجابة في صورة كسر وكسر عشري مقربًا إلى أربعة منازل.
  3. أنت تمشي من أحد أركان ملعب كرة السلة إلى الزاوية المقابلة. اكتب وحل نسبة باستخدام النسبة المثلثية لتقريب مسافة المشي.
  4. أنت على قمة أفعوانية على ارتفاع 100 قدم فوق سطح الأرض. زاوية الاكتئاب 44 درجة. حول إلى أي مدى تركب أسفل التل؟
  5. ذراع عبور سكة حديد يبلغ طوله 20 قدمًا عالق بزاوية ارتفاع 35 درجة. أوجد طولي x و y.
  6. استخدم مثلث قائم الزاوية لإيجاد الجيب وجيب التمام لزاوية 30 درجة.

النسب المثلثية: الظل

المثلثات القائمة لها نسب تُستخدم لتمثيل زوايا قاعدتها. نسب الظل ، جنبًا إلى جنب مع نسب جيب التمام والجيب ، هي نسب ضلعين مختلفين من مثلث قائم الزاوية. نسب الظل هي نسبة الضلع المقابل للضلع المجاور للزاوية التي تمثلها. لإيجاد قياس الزاوية نفسها ، لا بد من فهم الدوال المثلثية العكسية.

كيف تستخدم صيغة Tangent (صيغة TOA)؟

الظل θ = المقابل / المجاور

مثال:
أوجد الضلع أو الزاوية المفقودة
أ) تان 28 درجة = x / 40
ب) تان 41 درجة = 1.9 / س
ج) تان θ = 11/8

تطبيقات النسب المثلثية (مشاكل الكلمات التي تتضمن الظل والجيب وجيب التمام)

  1. أوجد مساحة متوازي الأضلاع.
  2. منحدر 70 قدمًا يرتفع من الطابق الأول إلى الطابق الثاني في مرآب للسيارات. المنحدر يصنع زاوية مع الأرض. ما هو ارتفاع الطابق الأول فوق الطابق الثاني؟
  3. ترى السيد وانديرا يطير بطائرة ورقية في الحديقة. يبلغ طول خيط الطائرة الورقية 65 مترًا. ما الزاوية التي يحتاجها الخيط لتكوينها مع الأرض بحيث تكون الطائرة الورقية على ارتفاع 30 قدمًا عن الأرض؟
  4. من أعلى برج مراقبة يبلغ ارتفاعه 100 قدم ، رصد حارس غابة حريقًا بزاوية 25 درجة من المنخفض. كم يبعد الحريق عن قاعدة برج المراقبة؟
  5. سلم 8 أقدام يتكئ على الحائط. يصنع السلم زاوية 53 درجة مع الحائط. ما ارتفاع السلم؟

الدوال المثلثية المعكوسة

بمجرد أن نفهم الدوال المثلثية ، الجيب وجيب التمام والظل ، نكون مستعدين لتعلم كيفية استخدام الدوال المثلثية العكسية لإيجاد قياس الزاوية التي تمثلها الدالة. تعتبر الدوال المثلثية العكسية ، الموجودة في أي آلة حاسبة علمية أو بيانية قياسية ، جزءًا حيويًا من علم المثلثات وستتم مواجهتها غالبًا في حساب التفاضل والتكامل.

كيفية استخدام الدوال المثلثية العكسية لإيجاد زاوية ذات قيمة مثلثية معينة وكيفية استخدام الدوال المثلثية العكسية لحل مثلث قائم الزاوية؟

مثال:
استخدم الآلة الحاسبة لإيجاد الزاوية θ في الفترة [0 ، 90] التي تحقق المعادلة.

  1. الخطيئة θ = 0.7523
  2. تان θ = 3.54
  3. حل المثلث القائم الزاوية إذا كانت أ = ٤٤ ٫ ٣ سم ، ب = ٥٥ ٫ ٩ سم.
  4. أوجد كل زاوية في مثلث 3،4،5

كيفية استخدام المثلث العكسي لإيجاد الزاوية المفقودة؟

تُستخدم دوال المثلثات العكسية لإيجاد الزوايا المفقودة بدلاً من الجوانب المفقودة.

البحث عن الزوايا المفقودة - باستخدام الجيب المعكوس وجيب التمام والظل

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


صيغ حساب المثلثات: تسجيل القواعد

بادئ ذي بدء ، ما أسميه قواعد الإشارة ، هذه الفئة الأولى لها قواعد عندما تتغير الإشارات الإيجابية والسلبية لـ x. الخطيئة (-x) = -sin (x) ، لكن cos (-x) = cos (x) فقط.

في دائرة الوحدة ، بدءًا من 0 ، إذا حركنا بعض الزاوية في اتجاه عقارب الساعة ثم نفس الزاوية عكس اتجاه عقارب الساعة ، فسنصل & # 8217 إلى نقاط لها إحداثيات y متقابلة ونفس إحداثيات x. بعبارة أخرى ، سوف نتحرك بهذه الطريقة ، وبهذه الطريقة. هاتان النقطتان لهما نفس الإحداثي x بالضبط ، لكن إحداثيات y متقابلة.

ولهذا السبب & # 8217s لماذا الجيب ، و sin x هما سلبيات لبعضهما البعض ، لكن جيب تمام x متطابق.

الآثار المترتبة على شكل الرسم البياني

هذه الصيغ لها آثار على شكل الرسم البياني ، الرسم البياني لجيب التمام القياسي هو انعكاس لنفسه على المحور ص. الرسم البياني للجيب هو صورة لنفسه تحت 180 درجة تناظر دوراني حول الأصل.

الآن ، إذا كنت & # 8217re على دراية بأفكار الدالة الزوجية والدالة الفردية ، فإن جيب التمام هو دالة زوجية والجيب دالة فردية. هذا شيء مناسب يجب معرفته ، لكن ACT لا يسأل عن تلك الأنواع من التماثلات.


ولفرام موارد الويب

الأداة رقم 1 لإنشاء العروض التوضيحية وأي شيء تقني.

استكشف أي شيء باستخدام محرك المعرفة الحسابي الأول.

استكشف آلاف التطبيقات المجانية في مجالات العلوم والرياضيات والهندسة والتكنولوجيا والأعمال والفن والتمويل والعلوم الاجتماعية والمزيد.

انضم إلى مبادرة تحديث تعليم الرياضيات.

حل التكاملات مع ولفرام | ألفا.

تصفح مسائل الواجب المنزلي خطوة بخطوة من البداية إلى النهاية. تساعدك التلميحات على تجربة الخطوة التالية بنفسك.

مشاكل وإجابات تمارين عشوائية غير محدودة مع حلول مدمجة خطوة بخطوة. تدرب على الإنترنت أو قم بعمل ورقة دراسة قابلة للطباعة.

مجموعة من أدوات التدريس والتعلم التي صممها خبراء التعليم في Wolfram: كتاب مدرسي ديناميكي ، وخطط الدروس ، وعناصر واجهة المستخدم ، والعروض التوضيحية التفاعلية ، والمزيد.


3.4: المزيد من المعادلات المثلثية - الرياضيات

شروط الاستخدام جهة الاتصال: دونا روبرتس

عندما يكون للدوال المثلثية قوة (أس عددي) ، يجب حلها عن طريق استخراج الجذور التربيعية (الجذور التكعيبية ، إلخ) أو بالتحليل إلى عوامل.

المحلول: الآن،


الآن ، تان x = 0 يعني ذلك x = 0, & بي ، 2& بي.
(انظر الرسم البياني على اليمين).

نظرًا لأن دالة الجيب لها قيم قصوى ودنيا +1 و -1 ، فليس لها حلول.

هكذا الجواب x = 0, & بي ، 2& بي الحل الوحيد.

في هذا المثال ، ربما تميل إلى تقسيم كل المصطلحات على تان x لتبسيط المعادلة. إذا تم ذلك ، فستنتج المعادلة على اليمين.

لقد فقدنا تان x المصطلح وحلها بالقسمة على تان x. ليست خطوة جيدة.

تذكر أولاً إيجاد دالة المثلث ثم حل قيمة الزاوية.

إذا كان هناك أكثر من دالة مثلثية واحدة في المعادلة ، فإن المتطابقات مطلوبة لتقليل المعادلة إلى دالة واحدة للحل.

هناك معادلات مثلثية ، مثلها مثل المعادلات العادية ، حيث لا تعمل العوملة !! في هذه الحالات ، تكون الصيغة التربيعية مفيدة.


.

المحلول: نظرًا لوجود دالتين مثلثتين في هذه المشكلة ، نحتاج إلى استخدام متطابقة
للقضاء على واحد منهم.


ولفرام موارد الويب

الأداة رقم 1 لإنشاء العروض التوضيحية وأي شيء تقني.

استكشف أي شيء باستخدام محرك المعرفة الحسابي الأول.

استكشف آلاف التطبيقات المجانية في مجالات العلوم والرياضيات والهندسة والتكنولوجيا والأعمال والفن والتمويل والعلوم الاجتماعية والمزيد.

انضم إلى مبادرة تحديث تعليم الرياضيات.

حل التكاملات مع ولفرام | ألفا.

تصفح مسائل الواجب المنزلي خطوة بخطوة من البداية إلى النهاية. تساعدك التلميحات على تجربة الخطوة التالية بنفسك.

مشاكل وإجابات تمارين عشوائية غير محدودة مع حلول مدمجة خطوة بخطوة. تدرب على الإنترنت أو قم بعمل ورقة دراسة قابلة للطباعة.

مجموعة من أدوات التدريس والتعلم التي صممها خبراء التعليم في Wolfram: كتاب مدرسي ديناميكي ، وخطط الدروس ، وعناصر واجهة المستخدم ، والعروض التوضيحية التفاعلية ، والمزيد.


موارد أساسيات المعادلة

ورقة عمل المعادلات الأساسية
20 مشكلة لمساعدتك على ممارسة مهاراتك.

حاسبة المعادلة
سيتم حل المعادلات تلقائيًا وإظهار كل الأعمال المطلوبة.


الدرس التالي:
متعدد الحدود

كثير الحدود هو تعبير عن الطول المحدد ، بما في ذلك المتغيرات ذات الأسس الموجبة للأعداد الصحيحة. يصف هذا الدرس كثيرات الحدود والجذور متعددة الحدود ويتضمن مقدمة لكثيرات الحدود التربيعية.


جدول النسب المثلثية

سيساعدنا جدول النسب المثلثية في إيجاد قيم الزوايا القياسية المثلثية.

الزوايا القياسية للنسب المثلثية هي 0 درجة و 30 درجة و 45 درجة و 60 درجة و 90 درجة.

تعتبر قيم النسب المثلثية للزوايا القياسية مهمة جدًا لحل المشكلات المثلثية. لذلك ، من الضروري تذكر قيمة النسب المثلثية لهذه الزوايا القياسية. يرد أدناه في الجدول الجيب وجيب التمام والظل للزوايا القياسية.

الجدول المثلثي في ​​النظام الستيني

الجدول المثلثي في ​​النظام الدائري

ملحوظة: & # xa0 تقع قيم sin θ و cos بين 0 و 1 (كلاهما شامل)

لتذكر القيم المذكورة أعلاه:

(أ) قسّم الأرقام 0 و 1 و 2 و 3 و 4 على 4 ،

(ب) تأخذ الجذور التربيعية الموجبة.

(ج) هذه الأعداد بمعرفة قيم sin 0 ° و sin 30 ° و sin 45 ° و sin 60 ° و sin 90 ° على التوالي.

(د) اكتب قيم sin 0 ° و sin 30 ° و sin 45 ° و sin 60 ° و sin 90 ° بترتيب عكسي واحصل على قيم cos 0 ° و cos 30 ° و cos 45 ° و cos 60 ° و cos 90 درجة على التوالي.

إذا كانت زاوية حادة ، فإن قيمتي sin و cos θ تقع بين 0 و 1 (كلاهما شامل).

جيب الزوايا القياسية 0 ° و 30 ° و 45 ° و 60 ° و 90 ° هي على التوالي الجذور التربيعية الموجبة لـ 0 / 4،1 / 4 و 2 / 4،3 / 4 و 4/4 & # xa0

وبالمثل & # xa0cosine من الملائكة القياسية المذكورة أعلاه هي على التوالي الجذور التربيعية الموجبة لـ 4/4 ، 3/4 ، 2/4 ، 1/4 ، 0/4

بما أننا نعرف قيمة الجيب وجيب التمام للزوايا القياسية من جدول النسب المثلثية ، لذلك يمكننا بسهولة العثور على قيم النسب المثلثية الأخرى للزوايا القياسية.

ظل الزوايا القياسية 0 درجة و 30 درجة و 45 درجة و 60 درجة و 90 درجة:


في هذا القسم ، سيستمر الطالب في اكتساب التدريب باستخدام الهويات المثلثية الأساسية مع أمثلة على مسائل كاملة. اعرض الدرس

في هذا القسم ، سيتعلم الطالب ما يسمى بهويات مثلثية فيثاغورس ، والتي تعد من أكثر الهويات استخدامًا لأنها مطلوبة لحل العديد من أنواع المشكلات. Sin ^ 2 + Cos ^ 2 = 1 هي أشهر هذه الأنواع من الهويات. سنغطي هذا بالإضافة إلى المتطابقات المثلثية فيثاغورس الأخرى ونكتسب التدريب على مسائل محلولة. اعرض الدرس

في هذا القسم ، سيستمر الطالب في اكتساب التدرب على هويات المثلثية فيثاغورس مع أمثلة أمثلة تعمل بشكل كامل. اعرض الدرس

في هذا القسم ، سيستمر الطالب في اكتساب التدرب على هويات المثلثية فيثاغورس مع أمثلة كاملة للمشاكل. اعرض الدرس

في هذا الدرس ، سيتعلم الطالب كيفية حل المعادلات التي تتضمن الدوال المثلثية. على سبيل المثال ، قد يكون لدى الطالب معادلة تتضمن جيب الزاوية ويكون مطلوبًا حلها من أجل الزاوية. يتطلب هذا فهمًا جيدًا لدائرة الوحدة ووظائف حساب المثلثات والممارسة. اعرض الدرس

في هذا الدرس ، سيستمر الطالب في اكتساب التدريب على حل المعادلات المثلثية من خلال حل مسائل إضافية على سبيل المثال خطوة بخطوة. اعرض الدرس

في هذا الدرس ، سيتعرف الطالب على هويات حساب المثلثات المشتركة ، والتي تُستخدم لإظهار أن منحنى الجيب هو نسخة مزاحة من منحنى جيب التمام. سنغطي أيضًا المتطابقات المثلثية الزوجية / الفردية التي توضح ما يحدث عندما نضع زاوية سالبة في دالة حساب المثلثات. ستتم ممارسة هذه الهويات مع أمثلة عديدة للمشاكل. اعرض الدرس

في هذا الدرس ، سيتعرف الطالب على هويات الجمع والطرح في علم المثلثات. في هذه المتطابقات ، تحتوي وسيطة الدالة المثلثية على زاويتين إما تُضافان أو تُطرحان. نوضح كيفية استخدام هذه الهويات لحل المشكلات. اعرض الدرس

في هذا الدرس ، سيستمر الطالب في اكتساب التدريب على هويات الجمع والطرح مع أمثلة على مسائل خطوة بخطوة. اعرض الدرس

في هذا الدرس يتعرف الطالب على متطابقات الزاوية المزدوجة في علم المثلثات. تتميز هذه المتطابقات بدالة مثلثية بزاوية ضعف الزاوية كوسيطة. نوضح كيفية استخدام هذه الهويات من خلال حل المشكلات خطوة بخطوة. اعرض الدرس

في هذا الدرس ، يتعرف الطالب على الهويات التربيعية لعلم المثلثات ، والتي تتميز بوظائف حساب المثلثات التي يتم تربيعها. نوضح كيفية استخدام هذه الهويات من خلال حل مشاكل الأمثلة. اعرض الدرس

في هذا الدرس ، يتعرف الطالب على هويات نصف الزاوية في علم المثلثات ، والتي تتميز بدوال مثلثية لها وسيطات نصف زاوية. نوضح كيفية استخدام هذه الهويات من خلال حل مشاكل الأمثلة. اعرض الدرس

في هذا الدرس ، يتعرف الطالب على الهويات من المنتج إلى المجموع في علم المثلثات ، والتي تتميز بوظائف حساب المثلثات التي يتم ضربها معًا وتوسيعها في مجموع. نوضح كيفية استخدام هذه الهويات من خلال حل مشاكل الأمثلة. اعرض الدرس

في هذا الدرس ، يتعرف الطالب على هويات المجموع إلى المنتج لعلم المثلثات ، والتي تتميز بوظائف حساب المثلثات التي تمت إضافتها معًا وتبسيطها في منتج. نوضح كيفية استخدام هذه الهويات من خلال حل مشاكل الأمثلة. اعرض الدرس

في هذا الدرس ، يتعرف الطالب على قانون الجيب ، وهي علاقة مفيدة للغاية تنطبق على جميع المثلثات. نشرح ما هو قانون الجيب ، وكيفية استخدامه ، ونوضح للطالب أمثلة على المسائل. اعرض الدرس

في هذا الدرس ، سيستمر الطالب في اكتساب الممارسة مع قانون الجيب مع مشاكل الأمثلة خطوة بخطوة والتي تعمل بشكل كامل. اعرض الدرس

في هذا الدرس ، سيتعرف الطالب على قانون جيب التمام ، والذي ينطبق على جميع المثلثات وهو قانون قوي للغاية. في جوهره ، قانون جيب التمام هو شكل موسع من نظرية فيثاغورس ، ويمكن استخدامه لإيجاد الأضلاع والزوايا المجهولة للمثلث. اعرض الدرس

في هذا الدرس ، سيستمر الطالب في اكتساب التدريب على قانون جيب التمام مع أمثلة أمثلة عملية بشكل كامل. اعرض الدرس


شاهد الفيديو: شرح طريقة ايجاد الحل العام للمعادلات المثلثية باستخدام الآلة الحاسبة (شهر نوفمبر 2021).