مقالات

4.3: الوظائف اللوغاريتمية


من المتوقع أن يتضاعف عدد الذباب البالغ 50 ذبابة كل أسبوع ، مما يؤدي إلى دالة على الشكل (f (x) = 50 (2) ^ {x} ) ، حيث x يمثل عدد الأسابيع التي مرت. متى سيصل هؤلاء السكان إلى 500؟ تؤدي محاولة حل هذه المشكلة إلى:

[500 = 50 (2) ^ {x} nonumber ] قسمة كلا الجانبين على 50 لعزل الأسي
[10 = 2 ^ {x} nonumber ]

بينما قمنا بإعداد نماذج أسية واستخدمناها لعمل تنبؤات ، ربما لاحظت أن حل المعادلات الأسية لم يتم ذكره بعد. السبب بسيط: لا تكفي أي من الأدوات الجبرية التي تمت مناقشتها حتى الآن لحل المعادلات الأسية. ضع في اعتبارك المعادلة (2 ^ {x} = 10 ) أعلاه. نعلم أن (2 ^ {3} = 8 ) و (2 ^ {4} = 16 ) ، لذلك من الواضح أن (x ) يجب أن تكون قيمة ما بين 3 و 4 منذ (g ( x) = 2 ^ {x} ) آخذ في الازدياد. يمكننا استخدام التكنولوجيا لإنشاء جدول قيم أو رسم بياني لتقدير الحل بشكل أفضل.

من الرسم البياني ، يمكننا تقدير الحل بشكل أفضل ليكون حوالي 3.3. هذه النتيجة لا تزال غير مرضية إلى حد ما ، وبما أن الوظيفة الأسية هي واحد لواحد ، فسيكون من الرائع أن يكون لها دالة عكسية. لن تعمل أي من الوظائف التي ناقشناها بالفعل كدالة عكسية ولذا يجب أن نقدم وظيفة جديدة ، تسمى سجل باعتباره معكوس دالة أسية. نظرًا لأن الوظائف الأسية لها قواعد مختلفة ، فسنحدد اللوغاريتمات المقابلة للقواعد المختلفة أيضًا.

التعريف: اللوغاريتم

اللوغاريتم الدالة (base (b )) ، المكتوبة ( log _ {b} left (x right) ) ، هي معكوس الدالة الأسية (base (b )) ، (b ^ { س} ).

نظرًا لأن اللوغاريتم والأسي هما معكوسان ، فإنه يتبع ذلك:

خصائص السجلات: الخصائص العكسية

[ السجل _ {ب} يسار (ب ^ {س} يمين) = س ]

[b ^ { log _ {b} x} = x ]

تذكر من تعريف الدالة العكسية أنه إذا (f (a) = c ) ، ثم (f ^ {- 1} (c) = a ). بتطبيق هذا على الدوال الأسية واللوغاريتمية ، يمكننا التحويل بين المعادلة اللوغاريتمية والأسي المكافئ لها.

لوغاريتم مكافئ لأسي

العبارة (b ^ {a} = c ) تكافئ العبارة ( log _ {b} (c) = a ).

بدلاً من ذلك ، يمكننا إظهار ذلك بالبدء بالدالة الأسية (c = b ^ {a} ) ، ثم أخذ قاعدة السجل (b ) لكلا الجانبين ، وإعطاء ( log _ {b} (c) = log _ {b} b ^ {a} ). باستخدام الخاصية العكسية للسجلات ، نرى أن ( log _ {b} (c) = a ).

نظرًا لأن السجل هو دالة ، تتم كتابته بشكل صحيح على أنه ( log _ {b} (c) ) ، باستخدام الأقواس للإشارة إلى تقييم الوظيفة ، تمامًا كما نفعل مع (f (c) ). ومع ذلك ، عندما يكون الإدخال متغيرًا أو رقمًا واحدًا ، فمن الشائع ملاحظة إسقاط الأقواس وكتابة التعبير كـ ( log _ {b} c ).

مثال ( PageIndex {1} )

اكتب هذه المعادلات الأسية كمعادلات لوغاريتمية:

  1. (2^{3} =8)
  2. (5^{2} =25)
  3. (10 ​​^ {- 4} = dfrac {1} {10000} )

حل

أ) (2 ^ {3} = 8 ) يكافئ ( log _ {2} (8) = 3 )

ب) (5 ^ {2} = 25 ) يساوي ( log _ {5} (25) = 2 )

c) (10 ​​^ {- 4} = dfrac {1} {10000} ) يعادل ( log _ {10} left ( dfrac {1} {10000} right) = - 4 )

مثال ( PageIndex {2} )

اكتب هذه المعادلات اللوغاريتمية كمعادلات أسية:

أ) ( السجل _ {6} يسار ( sqrt {6} right) = dfrac {1} {2} ) b) ( log _ {3} left (9 right) = 2 )

حل

أ) ( log _ {6} left ( sqrt {6} right) = dfrac {1} {2} ) يساوي (6 ^ {1/2} = sqrt {6} )

ب) ( log _ {3} left (9 right) = 2 ) يساوي (3 ^ {2} = 9 )

تمرين ( PageIndex {1} )

اكتب المعادلة الأسية (4 ^ {2} = 16 ) كمعادلة لوغاريتمية.

إجابه

[ log _ {4} left (16 right) = 2 = log _ {4} 4 ^ {2} = 2 log _ {4} 4 nonumber ]

من خلال إنشاء العلاقة بين الدوال الأسية واللوغاريتمية ، يمكننا الآن حل المعادلات اللوغاريتمية والأسية الأساسية عن طريق إعادة الكتابة.

مثال ( PageIndex {3} )

حل ( سجل _ {4} يسار (س يمين) = 2 ) من أجل (س ).

حل

بإعادة كتابة هذا التعبير على هيئة أسي ، (4 ^ {2} = x ) ، لذلك (x = 16 ).

مثال ( PageIndex {4} )

حل (2 ^ {x} = 10 ) من أجل (x ).

حل

من خلال إعادة كتابة هذا التعبير كلوغاريتم ، نحصل على (x = log _ {2} (10) ).

في حين أن هذا يحدد حلاً ، والحل الدقيق لذلك ، قد تجده غير مرضٍ إلى حد ما نظرًا لأنه من الصعب مقارنة هذا التعبير بالتقدير العشري الذي قمنا به سابقًا. أيضًا ، لا يكون إعطاء تعبير دقيق لحل ما مفيدًا دائمًا - غالبًا ما نحتاج حقًا إلى تقريب عشري للحل. لحسن الحظ ، فإن هذه مهمة الآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر بارعة جدًا فيها. لسوء الحظ بالنسبة لنا ، فإن معظم الآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر لن تقوم إلا بتقييم لوغاريتمات قاعدتين. لحسن الحظ ، انتهى الأمر بأن لا يمثل هذا مشكلة ، كما سنرى بإيجاز.

التعريف: اللوغاريتمات المشتركة والطبيعية

ال السجل المشترك هو اللوغاريتم ذو الأساس 10 ، ويُكتب عادةً ( log (x) ).

ال السجل الطبيعي هو اللوغاريتم مع القاعدة (e ) ، وعادة ما يتم كتابته ( ln (x) ).

مثال ( PageIndex {5} )

تقييم ( سجل (1000) ) باستخدام تعريف السجل المشترك.

قيم السجل المشترك
عددالرقم الأسيتسجيل (رقم)
1000(10^3)3
100(10^2)2
10(10^1)1
1(10^0)0
0.1(10^{-1})-1
0.01(10^{-2})-2
0.001(10^{-3})-3

حل

لتقييم ( log (1000) ) ، يمكننا السماح (x = log (1000) ) ، ثم إعادة الكتابة في الشكل الأسي باستخدام قاعدة السجل العام 10:

(10 ​​^ {x} = 1000. )

من هذا ، قد ندرك أن 1000 هو مكعب 10 ، لذلك (x ) = 3.

يمكننا أيضًا استخدام الخاصية العكسية للسجلات لكتابة ( log _ {10} left (10 ^ {3} right) = 3 ).

تمرين ( PageIndex {2} )

تقييم ( سجل (1000000) ).

إجابه

[ log left (1000000 right) = log left (10 ^ {6} right) = 6 nonumber ]

مثال ( PageIndex {6} )

تقييم ( ln left ( sqrt {e} right) ).

حل

يمكننا إعادة كتابة ( ln left ( sqrt {e} right) ) كـ ( ln left (e ^ {1/2} right) ). نظرًا لأن ln عبارة عن قاعدة سجل (e ) ، يمكننا استخدام الخاصية العكسية للسجلات: [ ln left (e ^ {1/2} right) = log _ {e} left (e ^ {1/2} right) = dfrac {1} {2} nonumber ].

مثال ( PageIndex {7} )

قم بتقييم السجل (500) باستخدام الآلة الحاسبة أو الكمبيوتر.

حل

باستخدام الكمبيوتر ، يمكننا تقييم ( log (500) حوالي 2.69897 )

لاستخدام دوال اللوغاريتمات العامة أو الطبيعية لتقييم التعبيرات مثل ( log _ {2} (10) ) ، نحتاج إلى إنشاء بعض الخصائص الإضافية.

خصائص السجلات: خاصية الأس

[ log _ {b} left (A ^ {r} right) = r log _ {b} left (A right) ]

لتوضيح سبب صحة ذلك ، نقدم دليلًا:

نظرًا لأن الدوال اللوغاريتمية والأسية هي مقلوب ، (b ^ { log _ {b} A} = A ).

رفع كلا الجانبين إلى ص القوة ، نحصل على (A ^ {r} = left (b ^ { log _ {b} A} right) ^ {r} ).

استخدام القاعدة الأسية التي تنص على ( left (x ^ {p} right) ^ {q} = x ^ {pq} ) ، (A ^ {r} = left (b ^ { log _ {) ب} أ} يمين) ^ {r} = ب ^ {r سجل _ {ب} أ} )

أخذ السجل من كلا الجانبين ، ( log _ {b} left (A ^ {r} right) = log _ {b} left (b ^ {r log _ {b} A} right ) )

يؤدي استخدام الخاصية العكسية على الجانب الأيمن إلى النتيجة: ( log _ {b} left (A ^ {r} right) = r log _ {b} A )

مثال ( PageIndex {8} )

أعد كتابة ( log _ {3} left (25 right) ) باستخدام خاصية الأس للسجلات.

حل

منذ 25 = 5 ({} ^ {2} ) ،

[ log _ {3} left (25 right) = log _ {3} left (5 ^ {2} right) = 2 log _ {3} left (5 right) nonumber ]

مثال ( PageIndex {9} )

أعد كتابة (4 ln (x) ) باستخدام خاصية الأس للسجلات.

حل

استخدام الخاصية في الاتجاه المعاكس (4 ln (x) = ln left (x ^ {4} right) ).

تمرين ( PageIndex {3} )

أعد الكتابة باستخدام خاصية الأس للسجلات: ( ln left ( dfrac {1} {x ^ {2}} right) ).

إجابه

[3. ln left ( dfrac {1} {x ^ {2}} right) = ln left (x ^ {- 2} right) = - 2 ln (x) nonumber ]

تسمح لنا خاصية الأس بإيجاد طريقة لتغيير أساس التعبير اللوغاريتمي.

خصائص السجلات: تغيير القاعدة

[ log _ {b} left (A right) = dfrac { log _ {c} (A)} { log _ {c} (b)} nonumber ]

دليل

دع ( سجل _ {ب} يسار (أ يمين) = س ).

تعطي إعادة الكتابة على هيئة أسي (b ^ {x} = A ).

أخذ قاعدة السجل ج كلا طرفي هذه المعادلة

[ log _ {c} b ^ {x} = log _ {c} A nonumber ]

الآن باستخدام خاصية الأس للسجلات على الجانب الأيسر ،

[x log _ {c} b = log _ {c} A nonumber ]

القسمة ، نحصل على (x = dfrac { log _ {c} A} { log _ {c} b} ). استبدال التعبير الأصلي لـ (x ) ،

[ log _ {b} A = dfrac { log _ {c} A} { log _ {c} b} nonumber ]

بهذا التغيير في الصيغة الأساسية ، يمكننا أخيرًا إيجاد تقريب عشري جيد لسؤالنا من بداية القسم.

مثال ( PageIndex {10} )

قم بتقييم ( log _ {2} (10) ) باستخدام تغيير الصيغة الأساسية.

حل

وفقًا لتغيير الصيغة الأساسية ، يمكننا إعادة كتابة log للأساس 2 كلوغاريتم لأي قاعدة أخرى. نظرًا لأن الآلات الحاسبة لدينا يمكنها تقييم السجل الطبيعي ، فقد نختار استخدام اللوغاريتم الطبيعي ، وهو قاعدة السجل (e ):

[ log _ {2} 10 = dfrac { log _ {e} 10} { log _ {e} 2} = dfrac { ln 10} { ln 2} nonumber ]

باستخدام الآلات الحاسبة لدينا لحساب هذا ،

[ dfrac { ln 10} { ln 2} almost dfrac {2.30259} {0.69315} حوالي 3.3219 nonumber ]

هذا يسمح لنا أخيرًا بالإجابة على سؤالنا الأصلي - سيستغرق عدد الذباب الذي ناقشناه في بداية القسم 3.32 أسبوعًا لينمو إلى 500.

مثال ( PageIndex {11} )

قم بتقييم ( log _ {5} (100) ) باستخدام تغيير الصيغة الأساسية.

حل

يمكننا إعادة كتابة هذا المقدار باستخدام أي أساس آخر. إذا كانت الآلات الحاسبة لدينا قادرة على حساب اللوغاريتم المشترك ، فيمكننا إعادة الكتابة باستخدام اللوغاريتم المشترك ، وهو الأساس 10.

[ log _ {5} (100) = dfrac { log _ {10} 100} { log _ {10} 5} almost dfrac {2} {0.69897} = 2.861 nonumber ]

بينما يمكننا حل المعادلة الأسية الأساسية (2 ^ {x} = 10 ) عن طريق إعادة الكتابة بالصيغة اللوغاريتمية ثم استخدام تغيير الصيغة الأساسية لتقييم اللوغاريتم ، فإن إثبات تغيير الصيغة الأساسية يوضح طريقة بديلة لـ حل المعادلات الأسية.

حل المعادلات الأسية

  1. افصل التعبيرات الأسية عندما يكون ذلك ممكنًا
  2. خذ لوغاريتم كلا الجانبين
  3. استخدم خاصية الأس للوغاريتمات لسحب المتغير من الأس
  4. استخدم الجبر لحل المتغير.

مثال ( PageIndex {12} )

حل (2 ^ {x} = 10 ) من أجل (x ).

حل

باستخدام هذا النهج البديل ، بدلاً من إعادة كتابة هذا الأسي بالصيغة اللوغاريتمية ، سنأخذ لوغاريتم طرفي المعادلة. نظرًا لأننا غالبًا ما نرغب في تقييم النتيجة إلى إجابة عشرية ، فعادة ما نستخدم إما اللوغاريتم المشترك أو اللوغاريتم الطبيعي. في هذا المثال ، سنستخدم السجل الطبيعي:

[ ln left (2 ^ {x} right) = ln (10) nonumber ] استخدام خاصية الأس للسجلات ،
[x ln left (2 right) = ln (10) nonumber ] الآن قسمة على ln (2) ،
[x = dfrac { ln (10)} { ln left (2 right)} تقريبًا 3.3219 nonumber ]

لاحظ أن هذه النتيجة تطابق النتيجة التي وجدناها باستخدام تغيير الصيغة الأساسية.

مثال ( PageIndex {13} )

في القسم الأول ، توقعنا تعداد سكان الهند (بالمليارات) بعد عام 2008 باستخدام الدالة (f (t) = 1.14 (1 + 0.0134) ^ {t} ). إذا استمر السكان في اتباع هذا الاتجاه ، فمتى يصل عدد السكان إلى 2 مليار؟

حل

نحن بحاجة إلى إيجاد الوقت (t ) بحيث (f (t) = 2 ).

[2 = 1.14 (1.0134) ^ {t} nonumber ] قسّم على 1.14 لعزل التعبير الأسي
[ dfrac {2} {1.14} = 1.0134 ^ {t} nonumber ] خذ لوغاريتم طرفي المعادلة
[ ln left ( dfrac {2} {1.14} right) = ln left (1.0134 ^ {t} right) nonumber ] طبق خاصية الأس على الجانب الأيمن
[ ln left ( dfrac {2} {1.14} right) = t ln left (1.0134 right) nonumber ] قسّم كلا الجانبين على ln (1.0134)
[t = dfrac { ln left ( dfrac {2} {1.14} right)} { ln left (1.0134 right)} حوالي 42.23 text {years} nonumber ]

إذا استمر معدل النمو هذا ، يتوقع النموذج أن يصل عدد سكان الهند إلى 2 مليار بعد حوالي 42 عامًا بعد عام 2008 ، أو تقريبًا في عام 2050.

تمرين ( PageIndex {4} )

حل (5 (0.93) ^ {x} = 10 ).

إجابه

[5 (0.93) ^ {x} = 10 (0.93) ^ {x} = 2 ln left (0.93 ^ {x} right) = ln left (2 right) x ln left ( 0.93 right) = ln left (2 right) dfrac { ln (2)} { ln (0.93)} تقريبًا -9.5513 nonumber ]

مثال ( PageIndex {14} )

حل (5 (1.07) ^ {3t} = 2 )

حل

للبدء ، نريد عزل الجزء الأسي من التعبير ، ((1.07) ^ {3t} ) ، بحيث يكون بمفرده في جانب واحد من المعادلة. ثم يمكننا استخدام السجل لحل المعادلة. يمكننا استخدام أي سجل أساسي ؛ هذه المرة سنستخدم السجل المشترك.

[5 (1.07) ^ {3t} = 2 nonumber ] قسّم كلا الجانبين على 5 لعزل الأسي
[(1.07) ^ {3t} = dfrac {2} {5} nonumber ] خذ السجل من كلا الجانبين.
[ log left ((1.07) ^ {3t} right) = log left ( dfrac {2} {5} right) nonumber ] استخدم خاصية الأس للسجلات
[3t log left (1.07 right) = log left ( dfrac {2} {5} right) nonumber ] قسّم على (3 log left (1.07 right) ) على كلا الجانبين
[ dfrac {3t log left (1.07 right)} {3 log left (1.07 right)} = dfrac { log left ( dfrac {2} {5} right)} { 3 log left (1.07 right)} nonumber ] تبسيط وتقييم
[t = dfrac { log left ( dfrac {2} {5} right)} {3 log left (1.07 right)} حوالي -4.5143 nonumber ]

لاحظ أنه عند إدخال هذا التعبير في الآلة الحاسبة ، تأكد من وضع أقواس حول المقام بالكامل لضمان الترتيب الصحيح للعمليات:

تسجيل (2/5) / (3 * تسجيل (1.07))

بالإضافة إلى حل المعادلات الأسية ، فإن التعبيرات اللوغاريتمية شائعة في العديد من المواقف المادية.

مثال ( PageIndex {15} )

في الكيمياء ، يعتبر الرقم الهيدروجيني مقياسًا لحموضة السائل أو قاعدته. يرتبط الرقم الهيدروجيني بتركيز أيونات الهيدروجين ، [ح ({} ^ {+} )] ، تقاس بالمولات لكل لتر بواسطة المعادلة

[pH = - log left ( left [H ^ {+} right] right) ]

إذا كان السائل يحتوي على تركيز 0.0001 مول لكل ليبر ، فحدد الرقم الهيدروجيني.

حدد تركيز أيون الهيدروجين لسائل به درجة حموضة 7.

حل

للإجابة على السؤال الأول ، نقوم بتقييم التعبير (- log left (0.0001 right) ). بينما يمكننا استخدام الآلات الحاسبة الخاصة بنا لهذا الغرض ، فإننا لا نحتاجها هنا حقًا ، حيث يمكننا استخدام الخاصية العكسية للسجلات:

[- log left (0.0001 right) = - log left (10 ^ {- 4} right) = - (- 4) = 4 nonumber ]

للإجابة على السؤال الثاني ، نحتاج إلى حل المعادلة (7 = - log left ( left [H ^ {+} right] right) ). ابدأ بعزل اللوغاريتم في أحد طرفي المعادلة بضرب كلا الطرفين في -1:

[- 7 = log left ( left [H ^ {+} right] right) nonumber ]. تؤدي إعادة الكتابة في الشكل الأسي إلى الإجابة:

[ left [H ^ {+} right] = 10 ^ {- 7} = 0.0000001 text {عدد المولات لكل لتر} nonumber ]

توفر لنا اللوغاريتمات أيضًا آلية لإيجاد نماذج النمو المستمر للنمو الأسي بالنظر إلى نقطتي بيانات.

مثال ( PageIndex {16} )

ينمو عدد السكان من 100 إلى 130 في أسبوعين. أوجد معدل النمو المستمر.

حل

بقياس (t ) في الأسابيع ، فإننا نبحث عن معادلة (P (t) = ae ^ {rt} ) بحيث (P (0) ) = 100 و (P (2) ) = 130. باستخدام الزوج الأول من القيم ،

(100 = ae ^ {r cdot 0} ) ، لذا (a ) = 100.

باستخدام زوج القيم الثاني ،

[130 = 100e ^ {r cdot 2} nonumber ] قسّم على 100
[ dfrac {130} {100} = e ^ {r2} nonumber ] خذ السجل الطبيعي لكلا الجانبين
[ ln (1.3) = ln left (e ^ {r2} right) nonumber ] استخدم الخاصية العكسية للسجلات

[ start {array} {l} { ln (1.3) = 2r} {r = dfrac { ln (1.3)} {2} almost 0.1312} end {array} nonumber ]

ينمو هؤلاء السكان بمعدل مستمر يبلغ 13.12٪ في الأسبوع.

بشكل عام ، يمكننا ربط الشكل القياسي للأسي بصيغة النمو المستمر من خلال ملاحظة (باستخدام k لتمثيل معدل النمو المستمر لتجنب الخلط الناتج عن استخدام r بطريقتين مختلفتين في نفس الصيغة):

[a (1 + r) ^ {x} = ae ^ {kx} ] [(1 + r) ^ {x} = e ^ {kx} ] [1 + r = e ^ {k} ]

التحويل بين معدل النمو الدوري إلى معدل النمو المستمر

في المعادلة (f (x) = a (1 + r) ^ {x} ) ، (r ) هو معدل النمو الدوري، النسبة المئوية للنمو في كل فترة زمنية (النمو الأسبوعي ، النمو السنوي ، إلخ).

في المعادلة (f (x) = ae ^ {kx} ) ، (k ) هو معدل النمو المستمر.

يمكنك التحويل بينها باستخدام: (1 + r = e ^ {k} ).

تذكر أن معدل النمو المستمر (ك ) يمثل معدل النمو الاسمي قبل حساب تأثيرات التركيب المستمر ، بينما يمثل (r ) النسبة المئوية الفعلية للزيادة في وحدة زمنية واحدة (أسبوع واحد ، سنة واحدة ، إلخ.) .

مثال ( PageIndex {17} )

يمكن نمذجة مبيعات الشركة من خلال الوظيفة (S (t) = 5000e ^ {0.12t} ) ، مع قياس (t ) بالسنوات. أوجد معدل النمو السنوي.

حل

مع ملاحظة أن (1 + r = e ^ {k} ) ، ثم (r = e ^ {0.12} -1 = 0.1275 ) ، فيبلغ معدل النمو السنوي 12.75٪. يمكن أيضًا كتابة دالة المبيعات بالصيغة (S (t) = 5000 (1 + 0.1275) ^ {t} ).

موضوعات مهمة في هذا القسم

  • الدالة اللوغاريتمية هي عكس الدالة الأسية
  • كتابة التعبيرات اللوغاريتمية والأسية
  • خصائص السجلات
  • خصائص معكوسة
  • الخصائص الأسية
  • تغيير القاعدة
  • السجل المشترك
  • السجل الطبيعي
  • حل المعادلات الأسية
  • التحويل بين معدل النمو الدوري والمستمر.


شاهد الفيديو: التحليل العقدي Complex analysis. الدالة اللوغاريتمية Logarithmic function. محاضرة 30 (ديسمبر 2021).