مقالات

4.4: التعامد والتطبيع - الرياضيات


تأمل السلسلة

[ frac {a_0} {2} + sum_ {n = 1} bigg [a_n cos bigg ( frac {n pi x} {L} bigg) + b_n sin bigg ( frac {n pi x} {L} bigg) bigg] ، hspace {3cm} -L leq x leq L. ]

وهذا ما يسمى بالسلسلة المثلثية. إذا كانت السلسلة تقترب من دالة F (كما سيتم مناقشته) يطلق عليه سلسلة فورييه و أ و ب هي معاملات فورييه لـ F.

لكي يكون كل هذا منطقيًا ، نقوم أولاً بدراسة الوظائف

[ {1، cos bigg ( frac {n pi x} {L} bigg) ، sin bigg ( frac {n pi x} {L} bigg) } ، hspace {3 سم} ن = 1،2 ، نقطة ، ]

وخاصة ممتلكاتهم قيد الدمج. نجد ذلك

[ int _ {- L} ^ L 1 cdot 1 dx = 2L، ]

[ int _ {- L} ^ L 1 cdot cos bigg ( frac {n pi x} {L} bigg) dx = 0 ]

[ int _ {- L} ^ L 1 cdot sin bigg ( frac {n pi x} {L} bigg) dx = 0 ]

[ start {align} int _ {- L} ^ L cos bigg ( frac {m pi x} {L} bigg) cdot cos bigg ( frac {n pi x} { L} bigg) dx & = frac {1} {2} int _ {- L} ^ L cos bigg ( frac {(m + n) pi x} {L} bigg) + cos bigg ( frac {(mn) pi x} {L} bigg) dx & = bigg { begin {array} {lr} 0 & mbox {if} n leq m L & mbox {if} n = m end {array} end {align}، ]

[ start {align} int _ {- L} ^ L sin bigg ( frac {m pi x} {L} bigg) cdot sin bigg ( frac {n pi x} { L} bigg) dx & = frac {1} {2} int _ {- L} ^ L cos bigg ( frac {(m + n) pi x} {L} bigg) + cos bigg ( frac {(mn) pi x} {L} bigg) dx & = bigg { begin {array} {lr} 0 & mbox {if} n leq m L & mbox {if} n = m end {array} end {align}، ]

[ start {align} int _ {- L} ^ L cos bigg ( frac {m pi x} {L} bigg) cdot sin bigg ( frac {n pi x} { L} bigg) dx & = frac {1} {2} int _ {- L} ^ L cos bigg ( frac {(m + n) pi x} {L} bigg) + cos bigg ( frac {(mn) pi x} {L} bigg) dx & = bigg { begin {array} {lr} 0 & mbox {if} n leq m L & mbox {if} n = m end {array} end {align}، ]

إذا اعتبرنا هذه التكاملات نوعًا من المنتج الداخلي بين الوظائف (مثل المنتج الداخلي المتجه القياسي) ، فإننا نرى أنه يمكننا استدعاء هذه الوظائف متعامد. هذه في الواقع ممارسة قياسية ، حيث بالنسبة للوظائف ، فإن جنرال لواء تعريف المنتج الداخلي يأخذ الشكل

[(f، g) = int_a ^ b w (x) f (x) g (x) dx. ]

إذا كان هذا هو صفر نقول أن الوظائف F و ز هي متعامدة على الفاصل الزمني [أب] مع وظيفة الوزن ث. إذا كانت هذه الوظيفة هي 1 ، كما هو الحال بالنسبة للدوال المثلثية ، فإننا نقول فقط أن الوظائف متعامدة في [أب].

يُعرَّف معيار الوظيفة الآن بأنه الجذر التربيعي للمنتج الداخلي لوظيفة ما مع نفسها (مرة أخرى ، كما في حالة المتجهات) ،

[ norm {f} = sqrt { int_a ^ b w (x) f (x) ^ 2dx}. ]

إذا حددنا شكلًا طبيعيًا من F (مثل متجه الوحدة) كـ (f / معيار {f} ) ، لدينا

[ norm { frac {f} { norm {f}}} = sqrt { frac { int_a ^ bw (x) f (x) ^ 2dx} { norm {f} ^ 2}} = frac { sqrt { int_a ^ bw (x) f (x) ^ 2dx}} { norm {f}} = frac { norm {f}} { norm {f}} = 1. ]

تمرين ( PageIndex {1} )

ما هو الشكل الطبيعي لـ ( big {1، cos big ( frac {n pi x} {L} big)، sin big ( frac {n pi x} {L} كبير) كبير }؟ )

إجابه

( big { frac {1} { sqrt {2L}} ، big ( frac {1} { sqrt {L}} big) cos big ( frac {n pi x} {L} big) ، big ( frac {1} { sqrt {L}} big) sin big ( frac {n pi x} {L} big) big } )

تسمى مجموعة الوظائف المتعامدة المتبادلة التي يتم تطبيعها جميعًا بالمجموعة المتعامدة.


الفصل 3 التعامد

إذا كان المتجه ( شريط) متعامد مع كل متجه في فضاء جزئي (W ) من ( mathbb) ، ثم ( بار) متعامد مع (W ). يُطلق على الفضاء الجزئي الذي يحتوي على مجموعة المتجهات المتعامدة مع (W ) اسم مكمل متعامد، يُرمز إليه بـ (W ^ < perp> ).

هذا يتوافق مع المناقشات في القسم 2.4 ، حيث

من السهل التحقق من إغلاق (W ^ < perp> ) تحت الضرب القياسي ، وتحت إضافة متجه ، وأن أي متجه في (W ) يحتوي على (n ) مكونات. بحيث يكون (W ^ < perp> ) مساحة فرعية لـ ( mathbb^ n )

3.1.2 المجموعات المتعامدة والأساس المتعامد

المجموعة المتعامدة هي مجموعة من المتجهات ( < bar_1 ، نقاط ، بار_p > ) في ( mathbb) ، حيث يكون كل زوج من المتجهات المميزة متعامدًا: ( شريط_i ^ شريط_j = 0 رباعي أنا لا = ي ). لاحظ أن المجموعة لا تمتد بالضرورة على ( mathbb) ، ولكن مسافة فرعية (W ).

نظرًا لأن المتجهات في المجموعات المتعامدة متعامدة بشكل متبادل ، يجب أيضًا أن تكون مستقلة خطيًا ويمكن أن تشكل أساسًا لمساحة فرعية (W ). في مثل هذه الحالة ، يتم استدعاؤهم أساس متعامد.

هناك ميزة خاصة في استخدام الأساس المتعامد بدلاً من الأساس الآخر ، لأننا نستطيع أن نجد تمثيلاً سهلاً لأي متجه في (W ).

نظرية 3.1 لكل ( بار) في (W ) ، يوجد تركيبة خطية

[y = c_1 بار_1 + cdots + c_p بار_p ]

[c_i = فارك < بار cdot بار_i> < بار_i cdot بار_i> quad i = 1، cdots، p ]

حيث ( < بار_1 ، نقاط ، بار_p > ) أساس متعامد.

[ يبدأ شريط_1 cdot بار & أمبير = بار_1 cdot (c_1 بار_1 + cdots + c_p بار_p) & amp = c_1 بار_1 cdot بار_1 النهاية ] وبالتالي:

اشتقاقات أخرى (c_i ) مماثلة.

3.1.3 التحلل المتعامد

التحلل المتعامد انقسام ( بار) في ( mathbb) إلى متجهين ، واحد في (W ) والآخر في مجاملته المتعامدة (W ^ < perp> ).

نظرية 3.2 دعونا ( mathbb^ n ) مساحة داخلية للمنتج و (W ) ومساحة فرعية لـ ( mathbb^ n ). ثم كل ( بار) في (W ) يمكن كتابته بشكل فريد في النموذج

اسمحوا ( بار_1 و. شريط_m ) أساسًا متعامدًا لـ (W ) ، يوجد تركيبة خطية وفقًا للقسم 3.1.2

[ شريط_w = ( بار cdot بار_1) بار_1 + cdots + ( بار cdot بار_m) بار_m ] و

[ شريط_ < perp> = bar - شريط_w ] من الواضح أن ( بار_W في W ). ويمكننا أيضًا إظهار أن ( bar_ < perp> ) عمودي على (W )

[ يبدأ شريط_ < perp> cdot bar_i & أمبير = [ بار- (شريط cdot بار_1) بار_1 - cdots - ( بار cdot بار_m) بار_m] cdot بار_i & amp = ( بار cdot بار_1) - [( بار cdot بار_i) بار_i cdot بار_i] & amp = 0 end ]

لإثبات ذلك ( بار_w ) و ( بار_ < perp> ) فريدة (لا تعتمد على اختيار الأساس) ، دعنا ( bar_1 & # 39 ،. شريط_m & # 39 ) يكون أساسًا معامديًا آخر لـ (W ) ، وحدد ( شريط)_w & # 39 ) و ( بار_ < perp> & # 39 ) وبالمثل نريد الحصول على ( bar_w & # 39 = بار_w ) و ( بار_ < perp> & # 39 = بار_ < perp> ).

[ underbrace < bar_w - بار_w & # 39> _ < in W> = underbrace < bar_ < perp> & # 39 - بار_ < perp >> _ < in W ^ < perp >> ] من تعامد هذه المسافات الفرعية ، لدينا

وجود وتفرد التحلل أعلاه يعني ذلك


الطرق الحسابية لنمذجة الأنظمة غير الخطية

نظرية 61

يترك الخامس1، …، الخامسص تكون نواقل متعامدة يحددها Lemma 34 القسم 5.7.4. ثم f 0 و F 1، ...، 0 F p 0، مرضيه (7.140) – (7.141) , يتم تحديدها بواسطة

مع مصفوفة عشوائية س ك ∈ ℝ ر × (ن - ر).

الدقة المرتبطة بالتحويل تي ص 0 معطى بواسطة (7.142) و (7.147)–(7.176) فى حد ذاته

دليل - إثبات. لو الخامس1, …, الخامسص يحددها Lemma 34 ، إذن ي (F، ℱ1،…، ℱص) لا يزال يمثله (7.150). لنفترض ي0, ي1 و ي2 معطى بواسطة

مع ي (F، ℱ1،…، ℱص) المحددة بواسطة (7.150) ، نستخدم العلاقات (انظر القسم 4.4.1)

بسبب تعامد النواقل الخامس1, …, الخامسكورونا.

على أساس (7.183) - (7.185) وبالمثل (7.157) - (7.157) ، فإننا نؤسس أن (7.182) صحيح. بالتالي،

ويترتب على المصطلحين الأخيرين في (7.187) أن الحد الأدنى المقيد (7.140) - (7.141) يتحقق إذا F = F 0 مع F 0 معطى بواسطة (7.174) ، و F k 0 هو هذا

لذلك ، يتحقق الحد الأدنى المقيد (7.140) - (7.141) إذا F = F 0 أين F0 يتم تعريفه بواسطة (7.174) ، وإذا

هذا الأخير يتبع من نظرية 54 والملاحظات 29 و 30. وعليه فإن (7.175) - (7.176) صحيحة.

ثم (7.178) يتبع من (7.187) ، (7.189) ، (7.174) و (7.190).


ما الفرق بين التطبيع والتوحيد؟

كنا نناقش هذا في العمل لأن رئيسي لم يسمع عن التطبيع. في الجبر الخطي ، يبدو أن التطبيع يشير إلى قسمة المتجه على طوله. وفي الإحصاء ، يبدو أن التوحيد القياسي يشير إلى طرح متوسط ​​ثم القسمة على SD الخاص به. لكنها تبدو قابلة للتبادل مع الاحتمالات الأخرى أيضًا.

عند إنشاء نوع من النقاط العالمية ، فإن ذلك يشكل مقاييس مختلفة بقيمة دولارين أمريكيين ، والتي لها وسائل مختلفة و SD مختلفة ، هل يمكنك التطبيع أو توحيد المقاييس أو أي شيء آخر؟ أخبرني أحد الأشخاص أن الأمر يتعلق فقط بأخذ كل مقياس وتقسيمه حسب SD ، على حدة. ثم تلخيص الاثنين. وسيؤدي ذلك إلى نتيجة عالمية يمكن استخدامها للحكم على كلا المقياسين.

على سبيل المثال ، لنفترض أن لديك عدد الأشخاص الذين يستخدمون مترو الأنفاق للعمل (في مدينة نيويورك) وعدد الأشخاص الذين ذهبوا إلى العمل (في مدينة نيويورك).

$ نص longrightarrow x $ $ text longrightarrow ص $

إذا كنت ترغب في إنشاء درجة عامة للإبلاغ عن تقلبات حركة المرور بسرعة ، فلا يمكنك إضافة نص $ فقط(x) $ و $ text(ص) $ لأنه سيكون هناك الكثير من الأشخاص الذين يركبون القطار. يعيش في مدينة نيويورك 8 ملايين شخص بالإضافة إلى السياح. هذا هو الملايين من الناس الذين يستقلون القطار كل يوم ، مثل مئات الآلاف من الأشخاص في السيارات. لذلك يجب تحويلهم إلى مقياس مماثل حتى تتم مقارنتهم.

هل تطبيع $ x $ & amp $ y $ ثم sum؟ هل يمكنك توحيد $ x $ & amp $ y $ ثم sum؟ أو هل ستقسم كل منها على SD الخاص بها ثم الجمع؟ من أجل الوصول إلى رقم يمثل تقلبات حركة المرور الإجمالية عندما يتقلب.

أي مقال أو فصول من الكتب للرجوع اليها سيكون موضع تقدير كبير. شكرا!

هذا أيضًا مثال آخر على ما أحاول القيام به.

تخيل أنك عميد كلية وأنت تناقش شروط القبول. قد ترغب في الطلاب الحاصلين على معدل تراكمي معين على الأقل ودرجة اختبار معينة. سيكون من الرائع لو كان كلاهما على نفس المقياس لأنه يمكنك بعد ذلك فقط جمع الاثنين معًا والقول ، "يمكن لأي شخص لديه 7.0 على الأقل قبوله." وبهذه الطريقة ، إذا كان لدى الطالب المحتمل معدل 4.0 GPA ، فيمكنه الحصول على درجة منخفضة تصل إلى 3.0 في الاختبار ولا يزال يتم قبوله. بالعكس ، إذا كان لدى شخص ما 3.0 GPA ، فلا يزال من الممكن قبوله بدرجة اختبار 4.0.

لكن الأمر ليس كذلك. يقع ACT على مقياس 36 نقطة ومعظم المعدل التراكمي على 4.0 (بعضها 4.3 ، نعم مزعج). نظرًا لأنني لا أستطيع فقط إضافة ACT و GPA للحصول على نوع من الدرجة العالمية ، فكيف يمكنني تحويلها بحيث يمكن إضافتها ، وبالتالي إنشاء درجة قبول عالمية. وبعد ذلك ، بصفتي عميدًا ، يمكنني تلقائيًا قبول أي شخص بدرجة أعلى من عتبة معينة. أو حتى قبول تلقائيًا كل شخص تكون نتيجته ضمن أعلى 95٪. هذه الأنواع من الأشياء.

هل هذا تطبيع؟ التوحيد؟ أو مجرد قسمة كل منهما على SD الخاص به ثم التلخيص؟


طول (أو معيار) المتجه ( textbf x = begin x_1 x_2 . . . x_n end ) مكتوب كـ (|| textbf x || ) مُعطى بواسطة
[|| textbf x || = sqrt = sqrt < textbf x cdot textbf x> ]
من التعريف أعلاه ، يمكننا بسهولة استنتاج ذلك
(|| textbf x || ge 0 ) و (|| textbf x || ^ 2 = textbf x cdot textbf x )
متجه الوحدة هو متجه طوله (أو معياره) يساوي 1.

المتجهات ( textbf x ) و ( textbf y ) متعامدة إذا وفقط إذا
[|| x + y || ^ 2 = || x || ^ 2 + || y || ^ 2 ]


كثيرات الحدود المتعامدة

حيث تكون درجة كل متعدد الحدود $ P _ $ يساوي مؤشره $ n $ ، ودالة الوزن (الوزن) $ h (x) geq 0 $ على الفاصل $ (a، b) $ أو (عندما يكون $ a $ و $ b $ محددين) في $ [a، b] $. يُقال أن كثيرات الحدود المتعامدة متطابقة ، ويُشار إليها بعلامة $ < widehat

_ > $ ، إذا كان لكل كثير حدود معامل رئيسي موجب وإذا كانت حالة التطبيع

$ int limits _ ^ widehat

<> _ ^ <2> (x) h (x) dx = 1 $

هو الوفاء. إذا كان المعامل الرئيسي لكل كثير حدود يساوي 1 ، فسيتم الإشارة إلى نظام كثيرات الحدود المتعامدة بواسطة $ < widetilde

_ > $.

نظام كثيرات الحدود المتعامد $ < widehat

_ يتم تعريف > $ بشكل فريد إذا كانت دالة الوزن (الوزن التفاضلي) $ h $ قابلة للتكامل في Lebesgue على $ (a، b) $ ، ولا تساوي الصفر ، وفي حالة الفاصل غير المحدود $ (a، b) $ ، له لحظات محدودة

ح $ _ = int limits _ ^ x ^ ح (س) دكس. $

بدلاً من الوزن التفاضلي $ h $ ، يمكن فحص الوزن المتكامل $ d sigma (x) $ ، حيث $ sigma $ هو دالة غير متناقصة محدودة مع مجموعة لا نهائية من نقاط النمو (في هذه الحالة ، يُفهم جزء لا يتجزأ من حالة التعامد في معنى Lebesgue – Stieltjes).

لكثير الحدود $ P _ $ من الدرجة $ n $ لتكون جزءًا من النظام $

> $ بالوزن $ h $ ، من الضروري والكافي ، لأي كثير الحدود $ Q _ $ من الدرجة $ m & lt n $ ، الحالة

$ int limits _ ^ P _ (خ) س _ (x) ح (x) dx = 0 دولار

هو الوفاء. إذا كانت فترة التعامد $ (a، b) $ متناظرة بالنسبة إلى الأصل وكانت دالة الوزن $ h $ زوجية ، فإن كل كثير الحدود $ P _ يحتوي $ فقط على درجات $ x $ التي لها تكافؤ مع الرقم $ n $ ، أي أن الشخص لديه الهوية

أصفار كثيرات الحدود المتعامدة في حالة الفترة $ (a، b) $ كلها حقيقية ومختلفة وموزعة داخل $ (a، b) $ ، بينما بين صفرين متجاورين من كثير الحدود $ P _ هناك صفر واحد من كثير الحدود $ P _ $. غالبًا ما تُستخدم أصفار كثيرات الحدود المتعامدة كنقاط استيفاء وفي صيغ تربيعية.

أي ثلاث كثيرات حدود متتالية لنظام كثيرات الحدود المتعامدة مرتبطة بصيغة تكرار

P دولار _ (خ) = (أ _ x + ب _ ) ف _ (خ) - ج _ ف _ (x)، n = 1، 2 dots $

$ P _ <1> (x) = mu _ <1> x + nu _ <1> dots $

P دولار _ (خ) = مو _ س ^ + nu _ س ^ + النقاط ، $

الرقم $ د _ ^ <-1> $ هو عامل تسوية لكثير الحدود $ P _ $ ، بحيث يكون النظام $ ^ <-1> ف _ > $ متعامد ، أي

د $ _ ^ <-1> ف _ (س) = واسعة

_ (خ). $

بالنسبة إلى كثيرات الحدود المتعامدة ، يستخدم المرء صيغة Christoffel-Darboux:

كثيرات الحدود المتعامدة ممثلة بدلالة اللحظات $ > $ من دالة الوزن $ h $ بالصيغة

$ psi _ (س) = يسار | يبدأ ح _ <0> & ح _ <1> & النقاط & ح _ h _ <1> & h _ <2> & dots & h _ cdot & cdot & النقاط & cdot h _ & ح _ & النقاط & h _ <2n-1> 1 & x & dots & x ^ نهاية الحق | ، $

بينما المحدد $ Delta _ يتم الحصول على $ من $ psi _ (x) $ بإلغاء آخر صف وعمود و $ Delta _ يتم تعريف $ بنفس الطريقة من $ psi _ (x) $.

على مجموعة من كثيرات الحدود $ widetilde _ $ من الدرجة $ n $ مع المعامل الرئيسي يساوي واحدًا ، وهو الحد الأدنى للوظيفة

$ F ( widetilde _ ) = int limits _ ^ widetilde <> _ ^ <2> (x) h (x) dx $

يتحقق فقط إذا

$ widetilde _ (x) يساوي widetilde

_ (x) $

علاوة على ذلك ، هذا الحد الأدنى يساوي $ d _ ^ <2>$.

إذا كانت كثيرات الحدود $

> $ متعامدة بوزن $ h $ على القطعة $ [a، b] $ ، ثم عندما $ p & gt 0 $ ، كثيرات الحدود

$ عريضة _ (t) = sqrt p widehat

_ (pt + q) ، n = 0 ، 1 dots $

متعامدة بوزن $ h (pt + q) $ على المقطع $ [A، B] $ الذي ينتقل إلى المقطع $ [a، b] $ كنتيجة للتحويل الخطي $ x = pt + q $. لهذا السبب ، عند دراسة الخصائص المقاربة لكثيرات الحدود المتعامدة ، تعتبر حالة المقطع القياسي $ [- 1، 1] $ أولاً ، بينما النتائج التي تم الحصول عليها بهذا الشكل تغطي الحالات الأخرى أيضًا.

إن أهم كثيرات الحدود المتعامدة التي تمت مواجهتها في حل المشكلات الحدودية للفيزياء الرياضية هي ما يسمى متعدد الحدود المتعامد الكلاسيكي: متعدد الحدود لاجير $ (x alpha) > $ (حيث $ h (x) = x ^ alpha e ^ <-x> $، $ alpha & gt - 1 $ ، مع الفاصل التعامدي $ (0، infty) $ ) كثيرات الحدود Hermite $ (x) > $ (حيث $ h (x) = mathop < rm exp> (- x ^ <2>) $ ، ومع الفاصل التعامدي $ (- infty، infty) $) فإن Jacobi كثيرات الحدود $

(x alpha، beta) > $ (التي $ h (x) = (1- x) ^ alpha (1+ x) ^ beta $، $ alpha & gt - 1 $، $ beta & gt - 1 $ ، مع فاصل التعامد $ [- 1، 1] $) وحالاتهم الخاصة: كثيرات الحدود فوق الكروية ، أو كثيرة حدود Gegenbauer ، $

(x، alpha) > $ (التي $ alpha = beta $) ، كثيرات حدود Legendre $

(x) > $ (حيث $ alpha = beta = 0 $) ، كثيرات حدود Chebyshev من النوع الأول $ (x) > $ (حيث $ alpha = beta = - 1/2 $) ومن النوع الثاني $ (x) > $ (حيث $ alpha = beta = 1/2 $).

دالة الوزن $ h $ من كثيرات الحدود المتعامد الكلاسيكي $ > $ يحقق معادلة بيرسون التفاضلية

حيث ، في نهايات فترة التعامد ، الشروط

$ ليم حدود _ ح (س) ب (س) = ليم حدود _ ح (س) ب (س) = 0 دولار

كثير الحدود $ y = K _ (x) يحقق $ المعادلة التفاضلية

$ B (x) y ^ < prime prime> + [A (x) + B ^ prime (x)] y ^ prime - n [p _ <1> + (n + 1) q _ <2> ] ص = 0. دولار

بالنسبة إلى كثيرات الحدود المتعامدة الكلاسيكية ، يكون للمرء صيغة رودريغز المعممة

حيث $ c _ $ هو معامل تسوية وصيغ التفاضل

$ فارك L _ (س ألفا) = - L _ (س ألفا + 1) ، فارك ح _ (x) = 2nH _ (x) ، $

$ فارك ف _ (x alpha، beta) = frac <1> <2> ( alpha + beta + n + 1) P _ (س ألفا + 1 ، بيتا + 1). $

بالنسبة لحالات معينة من كثيرات الحدود المتعامدة الكلاسيكية ، يكون للفرد تمثيلات باستخدام الدالة فوق الهندسية

P دولار _ (س ألفا ، بيتا) = يسار ( ابدأ n + a n end يمين) F يسار (- n، n + alpha + beta + 1 alpha + 1 1- frac <2> right) ، $

P دولار _ (x) = F left (- n، n + 1 1 1- frac <2> right) ، $

T $ _ (x) = F left (- n، n frac <1> <2> 1- frac <2> right) ، $

يو $ _ (x) = (n + 1) F left (- n، n + 2 frac <3> <2> 1- frac <2> right) $

L دولار _ (س ألفا) = يسار ( ابدأ n النهاية يمين) Phi (- n alpha + 1 x) ، $

$ H _ <2n> (x) = (- 1) ^ (2 ن)! خلال Phi left (- n frac <1> <2> x ^ <2> right) ، $

$ H _ <2n + 1> (x) = (- 1) ^ (2n + 1)! خلال 2 x Phi left (- n frac <3> <2> x ^ <2> right). $

من الناحية التاريخية ، كانت أول كثيرات حدود متعامدة هي كثيرة حدود Legendre. ثم جاءت معادلات شيبيشيف متعددة الحدود العامة وجاكوبي متعدد الحدود وهيرميت ولاجير متعدد الحدود. تلعب كل كثيرات الحدود المتعامدة الكلاسيكية هذه دورًا مهمًا في العديد من المشكلات التطبيقية.

النظرية العامة لكثيرات الحدود المتعامدة صاغها P.L. تشيبيشيف. كان جهاز البحث الأساسي المستخدم هو توسيع الكسر المستمر لـ $ int limits _ ^ frac dt $ تشكل مقامات تقاربات هذا الكسر المستمر نظامًا متعدد الحدود المتعامد على الفترة $ (a، b) $ بالوزن $ h $.

في دراسة كثيرات الحدود المتعامدة ، يتم إيلاء اهتمام كبير لخصائصها المقاربة ، لأن شروط تقارب سلسلة فورييه في كثيرات الحدود المتعامدة تعتمد على هذه الخصائص.

تمت دراسة الخصائص المقاربة لمتعدد الحدود المتعامد الكلاسيكي لأول مرة بواسطة V.A. Steklov في عام 1907 (انظر [8]). استخدم طريقة Liouville وأتقنها ، والتي كانت تستخدم سابقًا في دراسة حلول معادلة Sturm-Liouville. تم استخدام طريقة Liouville-Steklov على نطاق واسع ، ونتيجة لذلك تمت دراسة الخصائص المقاربة للعديد من الحدود المتعامدة Jacobi و Hermite و Laguerre على نطاق واسع.

في الحالة العامة للتعامد على $ [- 1، 1] $ بوزن تعسفي يلبي شروط نوعية معينة ، تم اكتشاف الصيغ المقاربة لكثيرات الحدود المتعامدة لأول مرة بواسطة G. Szegö في 1920-1924. قدم كثيرات الحدود التي كانت متعامدة على الدائرة ، ودرس خصائصها الأساسية ووجد معادلة مهمة للغاية ، تمثل كثيرات الحدود المتعامدة على $ [- 1، 1] $ بواسطة كثيرات الحدود المتعامدة على الدائرة. في دراسته للخصائص المقاربة لكثيرات الحدود المتعامدة على الدائرة ، طور Szegö طريقة تعتمد على التعميم الخاص لنظرية Fejér على تمثيل كثيرات الحدود المثلثية غير السلبية باستخدام طرق ونتائج نظرية الوظائف التحليلية.

في عام 1930 ، س. برنشتاين [S.N. بيرنشتاين] [2] ، في بحثه حول الخصائص المقاربة لكثيرات الحدود المتعامدة ، استخدم الطرق ونتائج نظرية تقريب الوظائف. قام بفحص حالة وظيفة الوزن في النموذج

حيث الدالة $ h _ <0> (x) $ ، التي تسمى الوزن المثلثي ، تحقق الشرط

0 دولار & lt c _ <1> leq h _ <0> (x) leq c _ <2> & lt infty. $

إذا كانت الوظيفة $ [- 1، 1] $ على كامل القطعة $ h _ <0> (x) $ تفي بشرط Dini – Lipschitz للأمر $ gamma = 1 + epsilon $ ، حيث $ epsilon & gt 0 $ ، أي إذا

$ | ح _ <0> (س + دلتا) - ح _ <0> (س) | leq فارك <| mathop < rm ln> | دلتا | | ^ gamma> ، x ، x + delta in [- 1 ، 1] ، $

ثم بالنسبة إلى كثيرات الحدود $ < widehat

_ > $ orthonormal مع الوزن (1) على المقطع بأكمله $ [- 1، 1] $ ، يمتلك المرء الصيغة المقاربة

$ عريضة

_ (x) = sqrt < frac <2> < pi h _ <0> (x)>> cos (n theta + q) + O left [ frac <1> <( mathop < rm ln> n) ^ epsilon> right] ، $

حيث $ theta = mathop < rm arccos> x $ و $ q $ يعتمد على $ theta $.

في دراسة تقارب سلسلة فورييه في كثيرات الحدود المتعامدة ، يطرح السؤال عن شروط حدود كثيرات الحدود المتعامدة ، إما عند نقطة واحدة ، على مجموعة $ A مجموعة فرعية [- 1 ، 1] $ أو على الفترة الزمنية الكاملة من التعامد $ [- 1، 1] $ ، أي الشروط التي يتم بموجبها فحص متباينة من النوع

$ علامة <2> | عريضة

_ (خ) | leq M، x in A subseteq [- 1، 1]، $

يحدث. طرح Steklov هذا السؤال لأول مرة في عام 1921. إذا كان الوزن المثلثي $ h _ <0> (x) $ مقيدًا بعيدًا عن الصفر على مجموعة $ A $ ، أي إذا

$ tag <3> h _ <0> (x) geq c _ <3> & gt 0، x in A subseteq [- 1، 1]، $

ويفي بشروط إضافية معينة ، ثم تبقى المتباينة (2). في الحالة العامة ،

$ علامة <4> | عريضة

_ (خ) | leq إبسيلون _ sqrt n ، إبسيلون _ rightarrow 0، x in [- 1، 1]، $

يتبع من (3) ، عندما $ A = [- 1، 1] $ ، بدون شروط إضافية.

أصفار دالة الوزن هي نقاط مفردة بمعنى أن خصائص التسلسل $ < widehat

_ > $ تختلف اختلافًا جوهريًا عند الأصفار وفي نقاط أخرى من فترة التعامد. على سبيل المثال ، دع دالة الوزن لها الشكل

إذا كانت الدالة $ h _ <1> (x) $ موجبة وتفي بشرط Lipschitz على $ [- 1، 1] $ ، فإن التسلسل $ < widehat

_ > $ مقيد على كل قطعة $ [a، b] مجموعة فرعية [- 1، 1] $ والتي لا تحتوي على النقاط $ > $ بينما المتباينات

$ | عريضة

_ (x _ ) | leq c _ <4> (n + 1) ^ < gamma _ / 2>، k = 1 dots m، $

تمت دراسة الحالة التي يتم فيها وضع أصفار دالة الوزن في نهايات مقطع التعامد بواسطة برنشتاين [2]. إحدى النتائج هي أنه إذا كانت دالة الوزن لها الشكل

$ h (x) = h _ <1> (x) (1- x) ^ alpha (1+ x) ^ beta، x in [- 1، 1]، $

حيث تكون الوظيفة $ h _ <1> (x) $ موجبة وتفي بشرط Lipschitz ، ثم بالنسبة لـ $ alpha & gt - 1/2 $ ، $ beta & gt - 1/2 $ ، تسمح كثيرات الحدود المتعامدة بالتقدير الموزون

بينما عند النقاط $ x = pm 1 $ فإنها تزيد بمعدل $ n ^ < alpha + 1/2> $ و $ n ^ < beta + 1/2> $ ، على التوالي.

في نظرية كثيرات الحدود المتعامدة ، غالبًا ما تتم دراسة ما يسمى بنظريات المقارنة. إحدى هذه هي نظرية مقارنة كروس: إذا كانت متعددات الحدود $ < widehat omega _ > $ متعامدة بالوزن $ p $ على القطعة $ [a، b] $ ومحددة بشكل موحد على مجموعة $ A مجموعة فرعية [a، b] $ ، ثم كثيرات الحدود $ < widehat

_ > $ ، متعامد بالوزن $ h = p cdot q $ ، مقيد أيضًا في هذه المجموعة ، بشرط أن يكون $ q $ موجبًا ويلبي شرط Lipschitz للأمر $ alpha = 1 $ على $ [a، b] $ . وبالمثل ، نظرًا لشروط معينة على $ q $ ، يمكن نقل الصيغ المقاربة أو غيرها من الخصائص المقاربة من النظام $ < widehat omega _ > $ إلى النظام $ < widehat

_ > دولار. علاوة على ذلك ، إذا كان $ q $ متعدد الحدود غير سالب من الدرجة $ m $ على $ [a، b] $ ، فإن كثيرات الحدود $ < widehat

_ > $ يمكن تمثيله بواسطة كثيرات الحدود $ < widehat omega _ > $ باستخدام محددات الأمر $ m + 1 $ (انظر [8]). كما تم الحصول على صيغ فعالة لكثيرات الحدود المتعامدة لوظائف الوزن في النموذج

حيث $ Q _ $ هو كثير حدود موجب عشوائي على $ [- 1، 1] $ (انظر [8]). في معظم الحالات ، يصعب حساب كثيرات الحدود المتعامدة ذات الوزن التعسفي للأعداد الكبيرة $ n $.

مراجع

[1] ر. Chebyshev ، "أعمال مجمعة كاملة" ، 2 ، موسكو لينينغراد (1947) الصفحات من 103 إلى 126 314-334 335 - 341 357 - 374 (بالروسية)
[2] س. برنشتاين ، "الأعمال المجمعة" ، 2 موسكو (1954) الصفحات 7-106 (بالروسية)
[3] ي. Geronimus ، "كثيرات الحدود المتعامدة" ترجمة. عامر. رياضيات. شركة , 108 (1977) ص 37 - 130
[4] ب. Suetin ، "كثيرات الحدود المتعامدة الكلاسيكية" ، موسكو (1979) (بالروسية)
[5] في. أوفاروف ، "وظائف خاصة للفيزياء الرياضية" ، بيركويزر (1988) (مترجم من الروسية)
[6] H. Bateman (محرر) A. Erdélyi (محرر) وآخرون. (محرر) ، وظائف متسامية أعلى , 2. وظائف Bessel ، وظائف الأسطوانة المكافئة ، كثيرات الحدود المتعامدة ماكجرو هيل (1953)
[7] جاكسون ، "سلسلة فورييه ومتعددة الحدود المتعامدة" ، كاروس الرياضيات. مونوجر. , 6 ، رياضيات. مساعد. عامر. (1971)
[8] زيجو ، كثيرات الحدود المتعامدة ، عامر. رياضيات. شركة (1975)
[9] , دليل الوظائف الخاصة ، موسكو (1979) (بالروسية مترجمة من الإنجليزية)
[10] ج. شوهات ، إي هيل ، جيه إل والش ، "ببليوغرافيا عن كثيرات الحدود المتعامدة" ، نات. أكاد. علوم. الولايات المتحدة الأمريكية (1940)

تعليقات

انظر أيضًا سلسلة فورييه في كثيرات الحدود المتعامدة. هناك كتابان آخران هما [a3] و [a2]. انظر [a1] لمزيد من المعلومات حول تاريخ كثيرات الحدود المتعامدة الكلاسيكية. فيما يتعلق بالخصائص المقاربة لمتعدد الحدود المتعامد الكلاسيكي ، يجب ملاحظة أن العديد من العمال (PS Laplace و E. Heine و G. Darboux و TJ Stieltjes و E. .

راجع [a5] للحصول على أحدث المسوحات للعديد من جوانب كثيرات الحدود المتعامدة. على وجه الخصوص ، فإن النظرية العامة لمتعدد الحدود المتعامد مع وظائف الوزن على فترات غير محدودة قد أحرزت تقدمًا كبيرًا ، انظر أيضًا [a4].


يمكنك إدخال أعداد صحيحة أو كسور فقط في هذه الآلة الحاسبة عبر الإنترنت. اقرأ المزيد من المعلومات المتعمقة في هذه القواعد.

المتجهات a و b متعامدة إذا

يمكنك فقط إدخال أعداد صحيحة أو كسور عشرية أو كسور في هذه الآلة الحاسبة عبر الإنترنت (-2.4 ، 5/7 ،.). اقرأ المزيد من المعلومات المتعمقة في هذه القواعد.

مرحبا بكم في OnlineMSchool. مالك موقع الويب هذا هو عالم الرياضيات Dovzhyk Mykhailo. لقد صممت موقع الويب هذا وكتبت جميع النظريات الرياضية والتمارين والصيغ والآلات الحاسبة عبر الإنترنت.


مشغلي Hermitian

نظرًا لأن القيم الذاتية لمشغل ميكانيكي الكم تتوافق مع كميات قابلة للقياس ، يجب أن تكون قيم eigenvalues ​​حقيقية ، وبالتالي يجب أن يكون المشغل الميكانيكي الكمي Hermitian. لإثبات ذلك ، نبدأ بالمقدمات التي (& psi ) و (& phi ) هي وظائف ، ( int d tau ) تمثل التكامل على جميع الإحداثيات ، والمشغل ( hat ) هو Hermitian بالتعريف إذا

تعني هذه المعادلة أن الاقتران المعقد لـ & Acirc يمكن أن يعمل على (& psi ^ * ) لإنتاج نفس النتيجة بعد التكامل مثل & Acirc يعمل على (& phi ) ، متبوعًا بالتكامل. لإثبات أن العامل الميكانيكي الكمومي ( hat ) هو Hermitian ، ضع في اعتبارك معادلة eigenvalue ومقارنتها المعقدة.

لاحظ أن (a ^ * = a ) لأن قيمة eigenvalue حقيقية. اضرب المعادلة ( ref <4-38> ) و ( ref <4-39> ) من اليسار بـ (& psi ^ * ) و (& psi ) ، على التوالي ، ودمجها بالكامل نطاق جميع الإحداثيات. لاحظ أن (& psi ) تم تطبيعه. النتائج

نظرًا لأن كلا التكاملين يساوي (أ ) ، يجب أن يكونا متساويين.

العامل الذي يعمل على الوظيفة ،

ينتج وظيفة جديدة. نظرًا لأن الدالات تنتقل ، يمكن إعادة كتابة المعادلة ( المرجع <4-42> ) كـ

تكون الوظائف الذاتية لمشغل Hermitian متعامدة إذا كانت لها قيم ذاتية مختلفة. بسبب هذه النظرية ، يمكننا تحديد الوظائف المتعامدة بسهولة دون الحاجة إلى دمج أو إجراء تحليل على أساس التناظر أو اعتبارات أخرى.

(& psi ) و (& phi ) هما وظيفتان متماثلتان للعامل و Acirc مع قيم ذاتية حقيقية (a_1 ) و (a_2 ) ، على التوالي. نظرًا لأن قيم eigenvalues ​​حقيقية ، (a_1 ^ * = a_1 ) و (a_2 ^ * = a_2 ).

اضرب المعادلة الأولى في (& phi ^ * ) والثانية ب (& psi ) ثم تكامل.

اطرح المعادلتين في المعادلة المرجع <4-45> للحصول على

الجانب الأيسر من المعادلة المرجع <4-46> هو صفر لأن ( hat ) هو العائد Hermitian

[0 = (a_1 - a_2) int psi ^ * psi ، d tau label <4-47> ]

إذا كان (a_1 ) و (a_2 ) في المعادلة المرجع <4-47> غير متساويين ، فإن الرقم الصحيح يجب يكون صفرا. هذه النتيجة تثبت ذلك لا تولد وظائف ذاتية نفس العامل متعامد.

وظيفتان موجيتان ، ( psi_1 (x) ) و ( psi_2 (x) ) ، يقال أنهما متعامد لو

ضرب الاتحاد المركب للمعادلة الأولى في ( psi_(x) ) والمعادلة الثانية بـ ( psi ^ * _(x) ) ، ثم نتكامل على (x ) ، نحصل عليها

[ int _ <- infty> ^ infty (A psi_a) ^ ast psi_ dx = a int _ <- infty> ^ infty psi_a ^ ast psi_ dx ، label <4.5.4> ]

ومع ذلك ، من المعادلة ( المرجع <4-46> ) ، فإن الجانبين الأيسر من المعادلتين السابقتين متساويتان. ومن ثم يمكننا أن نكتب

من خلال الافتراض ، (a neq a ') ، ينتج عنها

بمعنى آخر ، eigenstates لعامل Hermitian مطابق لـ مختلف قيم eigenvalues ​​تلقائية متعامد.

القيم الذاتية للمشغلين المرتبطة بالقياسات التجريبية كلها حقيقة.

ارسم الرسوم البيانية واستخدمها لإظهار أن الدوال الموجية للجسيمات في المربع لـ ( psi (n = 2) ) و ( psi (n = 3) ) متعامدة مع بعضها البعض.

الدالتان الموجيتان PIB متشابهتان نوعياً عند رسمهما

هذه الدوال الموجية متعامدة عندما

وعندما يتم استبدال الدوال الموجية PIB يصبح هذا التكامل

[يبدأ int_0 ^ L sqrt < dfrac <2>> الخطيئة اليسار ( dfrac <2n>x right) sqrt < dfrac <2>> الخطيئة اليسار ( dfrac <2n>x right) dx & amp =؟ [4pt] dfrac <2> int_0 ^ L sin left ( dfrac <2>x right) sin left ( dfrac <3>x right) & amp =؟ نهاية]

يمكننا توسيع التكامل باستخدام الهويات المثلثية للمساعدة في حل التكامل ، ولكن من الأسهل الاستفادة من تناظر التكامل ، على وجه التحديد ، الدالة الموجية ( psi (n = 2) ) زوجية (المنحنيات الزرقاء في الأعلى الشكل) و ( psi (n = 3) ) غريب (منحنى أرجواني). حاصل ضربهم (زوجي مضروبًا في الفردي) هو دالة فردية والتكامل على دالة فردية هو صفر. لذلك ( psi (n = 2) ) و ( psi (n = 3) ) الدوال الموجية متعامدة.

يمكن تكرار هذا لعدد لا نهائي من المرات لتأكيد أن مجموعة وظائف الموجة PIB بأكملها متعامدة بشكل متبادل كما تضمن نظرية التعامد.


من وجهة نظري ، حالتان متعامدتان إذا كان لديك احتمال 0 لقياس إحداها على الحالات عندما يكون النظام جاهزًا في الحالة الأخرى.

لنأخذ نظام 3 مستويات $ <| psi_1 rangle، | psi_2 rangle، | psi_3 rangle> $ ونعتبر حالة $ | psi rangle = sqrt < frac <3> <10> > | psi_1 rangle + sqrt < frac <7> <10>> | psi_2 rangle $. الحالة ليست متعامدة مع $ | psi_1 rangle $ أو $ | psi_2 rangle $ ، لديها مقياس سيعطي 30٪ و 70٪ فرصة للعثور على تلك الحالات. على النقيض من ذلك ، لا توجد طريقة للحصول على $ | psi_3 rangle $ من خلال القياس ، المقابل لـ $ | psi rangle $ و $ | psi_3 rangle $ متعامد.

ما هو التفسير المادي للتعامد؟

فكر في النظام الإحداثي $ x $ و $ y $ و $ z $ الذي تستخدمه كل يوم. بغض النظر عن التلاعب الرياضي الذي نقوم به ، لا يمكننا التعبير عن اتجاه واحد من حيث الاتجاهين الآخرين. فهي متعامدة ومستقلة خطيًا.

ال بدني نتيجة التعامد هو أنه يمكن بناء الأنظمة ، حيث يتم الحفاظ على خصائصها الفردية لمكونات ذلك النظام.

مثال آخر هو وظائف التوافقيات الكروية ، وهي مجموعة كاملة من الوظائف المتعامدة. يمكن اعتبارها تمثيلًا رياضيًا للحقيقة الفيزيائية المتمثلة في أن مجموعة مدارات الإلكترون حولها ، لنقل ذرة الهيدروجين ، ستحتفظ دائمًا بترتيبها المميز.

This is just one example of the physical consequences of orthogonality, since as the previous answers state, it means that the states are independent from each other, that is we can always tell them apart.


4.7 Applications of Linear Algebra to Dynamical Systems: Markov Chains

Before going to the formal definition of Markov Chains in the textbook, let us introduce the topic with an example from a real life situation. Consider a city with two kinds of populations: the inner city population and the suburb population. We assume that every year 40% of the inner city population moves to the suburbs, while 30% of the suburb population moves to the inner part of the city. Let I 0 and S 0 denote the initial population of the inner city and the suburban area, respectively. Thus, after one year, the population of the inner city is given by

while the population of the suburbs is given by

After two years, the population of the inner city is given by

I 2 = 0 . 6 I 1 + 0 . 3 S 1 = 0 . 6 ( 0 . 6 I 0 + 0 . 3 S 0 ) + 0 . 3 ( 0 . 4 I 0 + 0 . 7 S 0 )

and the suburban population is given by

S 2 = 0 . 4 I 1 + 0 . 7 S 1 = 0 . 4 ( 0 . 6 I 0 + 0 . 3 S 0 ) + 0 . 7 ( 0 . 4 I 0 + 0 . 7 S 0 )

Representing these expressions in matrix notation, the populations after one year are given by

( I 1 S 1 ) = ( 0.6 0.3 0.4 0.7 ) ( I 0 S 0 ) ,

( I 2 S 2 ) = ( 0.6 0.3 0.4 0.7 ) ( I 1 S 1 )

= ( 0.6 0.3 0.4 0.7 ) ( 0.6 0.3 0.4 0.7 ) ( I 0 S 0 )

( I n S n ) = ( 0.6 0.3 0.4 0.7 ) n ( I 0 S 0 ) .

has particular characteristics, namely, the entries of each column vector are positive and their sum equals 1 . Such vectors are called probability vectors, and a matrix for which all the column vectors are probability vectors is called transition أو stochastic matrix. Andrei Markov (1856&ndash1922), a Russian mathematician, was the first one to study these matrices. At the beginning of twentieth century he developed the fundamentals of the Markov Chain Theory. In this section we learn about some applications of this theory.

Reading Assignment

Read, and study, pages 332-340 of the textbook (to &ldquoExercise Set 5.5&rdquo).

Read the definition of Dynamical Systems on page 332. This concept describes the state of a particular variable with respect to time. On pages 332 and 333 you will learn about dynamical systems through an example in market shares.

Familiarize yourself, through pages 334-340 and the examples therein, with the definition of Markov Chains.

After you have read and understood the reading assignment, start working on the following exercises.

Exercises

Work on the following textbook exercises from &ldquoExercise Set 5.5&rdquo (p. 340-342):


شاهد الفيديو: لماذا لا نفهم الرياضيات لماذا الرياضيات صعبة (ديسمبر 2021).