مقالات

3.2: المعادلات شبه الخطية من الدرجة الثانية


هنا ننظر في المعادلة
ابدأ {المعادلة}
التسمية {quasilin}
sum_ {i، j = 1} ^ na ^ {ij} (x، u، nabla u) u_ {x_ix_j} + b (x، u، nabla u) = 0
نهاية {المعادلة}
في المجال ( Omega subset mathbb {R} ) ، حيث (u: Omega mapsto mathbb {R} ^ 1 ). نفترض أن (a ^ {ij} = a ^ {ji} ).

كما في القسم السابق يمكننا اشتقاق المعادلة المميزة
$$
sum_ {i، j = 1} ^ na ^ {ij} (x، u، nabla u) chi_ {x_i} chi_ {x_j} = 0.
$$
على عكس المعادلات الخطية ، تعتمد حلول المعادلة المميزة على الحل المدروس.


Vv454 المعادلات التفاضلية الجزئية و مشاكل القيمة الحدية

الخلفية والأهداف: يقدم هذا المقرر مقدمة للطرق الكلاسيكية لحل المعادلات التفاضلية الجزئية (PDEs). تكمن أجهزة PDE في قلب جميع المشكلات التحليلية للهندسة والفيزياء. تحدث في نمذجة مواضيع متنوعة مثل الاختناقات المرورية ، ونقل الإشارات عبر خطوط التلغراف ، والمشاكل الكهرومغناطيسية ، وتدفق السوائل ، ونقل الحرارة ، والانحناء والتواء الحزم والاهتزازات الميكانيكية من أي نوع.

تركز هذه الدورة على تعلم طرق جديدة وتكييف الطرق من حل المعادلات التفاضلية العادية (ODEs) إلى حل المعادلات التفاضلية PDE. يتمثل الموضوع المتكرر في تقليل وحدات PDE إلى وحدات ODE ، على سبيل المثال ، باستخدام تحويلات لابلاس أو فورييه ، أو فصل المتغيرات أو تحليل منحنيات الحل (طريقة الخصائص). لذلك ، فإن الإلمام الوثيق بمادة Vv256 أو Vv286 سيكون مفيدًا للغاية. نظرًا لأن الدورة تركز على الأساليب وليس البراهين ، فهي موجهة إلى حد كبير للتطبيق. (الأشكال الموجودة على يسار هذا النص مصاحبة لأمثلة فعلية في الدورة).

الكلمات الدالة: قوانين الحفظ واشتقاق PDEs من النماذج الفيزيائية شبه الخطية PDEs من الدرجة الأولى وطريقة الخصائص معادلة Burgers والحلول الضعيفة موجات الصدمة للمعادلة eikonal وغيرها من تصنيفات PDEs غير الخطية من الدرجة الأولى وتصنيف PDEs شبه الخطية من الدرجة الثانية وتحويلها إلى شكل عادي مسائل القيمة الحدية من أنواع مختلفة ، معادلة الموجة على سلسلة لا نهائية وطريقة دالمبرت ، المعادلة الحرارية في شريط منتهي وحلها من خلال فصل المتغيرات سلسلة فورييه أويلر ومساحات التقارب الخاصة بها للوظائف الموزونة القابلة للتكامل التربيعي ومشكلة أفضل تقريب مشاكل قيمة حدود Sturm-Liouville فصل المتغيرات عن مشاكل معادلات التطور أحادية البعد غير المتجانسة على الأشرطة اللانهائية وشبه اللانهائية وتحليل الحلول المشتتة لتحويل فورييه لمعادلة التلغراف فصل المتغيرات في الأبعاد الأعلى وظائف Bessel و Legendre متعدد الحدود التوسعات متعددة الأقطاب في ه الكهرومغناطيسية. إذا سمح الوقت: معادلة بواسون وخصائص الدوال التوافقية.

محتوى مفصل: نراجع أولاً بعض المواد الأساسية من حساب التفاضل والتكامل ونقدم مقدمة للمفاهيم والتدوين في نظرية المعادلات التفاضلية الجزئية. ثم نناقش المعادلات التفاضلية الجزئية من الدرجة الأولى ، مع التركيز على طريقة الخصائص لحل المعادلات الخطية وشبه الخطية. سيتم إيلاء اهتمام خاص لمعادلة برجر وموجات الصدمة ومشاكل المرور.

بعد ذلك ، ننتقل إلى PDEs شبه الخطية من الدرجة الثانية ، مع التركيز بشكل خاص على معادلات التطور الكلاسيكية (معادلة الحرارة والموجة) والمعادلة المحتملة. هذه مشتقة من النماذج الفيزيائية ، وتناقش أيضًا المعادلات ذات الصلة (مثل معادلات الكبل والشعاع) كما تمت مناقشة التصنيف والأشكال العادية لأجهزة PDE من الدرجة الثانية في متغيرين بشيء من التفصيل.

كمثال أولي ، نأخذ في الاعتبار معادلة الموجة للسلسلة اللانهائية ، مما يثبت مكانتها الجيدة لفترات زمنية محدودة واشتقاق حل دالمبرت. يشمل العلاج محاليل ضعيفة كنتائج طبيعية من صيغة محلول دالمبرت.

يتبع ذلك معالجة مكثفة لطريقة فصل المتغيرات لمعادلات التطور الكلاسيكية على المجالات المكانية ذات البعد الواحد المحدودة. كجزء من هذه المناقشة ، تم تقديم مقدمة لنظرية الدوال المربعة القابلة للتكامل وسلسلة فورييه ونظرية شتورم ليوفيل.

يؤدي نهج فصل المتغيرات لمعادلة الحرارة على الشريط اللامتناهي بشكل طبيعي إلى إدخال تحويل فورييه. نقدم عرضًا موجزًا ​​للنظرية الكلاسيكية ، مع التركيز على التطبيقات العملية.

بعد ذلك ، ننتقل إلى المعادلات الإهليلجية ، على وجه الخصوص ، معادلة لابلاس. هناك اختلافات ملحوظة في خصائص الحلول مقارنة بخصائص معادلات التطور ، ونناقش بعضها (مثل مبدأ الحد الأقصى). نوضح أيضًا كيف يمكن تطبيق فصل المتغيرات على مشاكل معينة.

أخيرًا ، نقدم حسابًا لتقنية فصل المتغيرات المطبقة على بعض المعادلات ذات الأبعاد الأعلى ، بما في ذلك مقدمة موجزة عن دوال بيسيل ومتعدد حدود Legendre.

محاضرة موضوع أقسام الكتب المدرسية
1 مقدمة 1.1 - 1.3
2 طريقة الخصائص 2.1 - 2.3 2.6
3 مشكلة كوشي 2.4 - 2.5
4 مشكلة كوشي 2.4 - 2.5
5 معادلة برجر 2.7
6 معادلة ايكونال 2.8
7 أجهزة PDE غير الخطية 2.9
8 تصنيف أجهزة PDE من الدرجة الثانية 3
9 أجهزة PDE الكلاسيكية للفيزياء والهندسة 1.4 - 1.6, 5.6.1
10 أجهزة PDE الكلاسيكية للفيزياء والهندسة 1.4 - 1.6, 5.6.1
11 أول امتحان نصفي 1-3
12 معادلة الموجة لسلسلة لانهائية 4
13 فصل المتغيرات 5
14 وظائف مربعة قابلة للتكامل ---
15 سلسلة فورييه 5
16 مشاكل Sturm-Liouville 6
17 معادلات الموجة والحرارة 5
18 معادلة لابلاس 7.7
19 تحويل فورييه مقتطفات من إيفانز
20 تحويل فورييه مقتطفات من إيفانز
21 مشكلة القيمة الذاتية لللابلاس 9.5
22 الامتحان النصفي الثاني 4-6 7.7
23 مشكلة القيمة الذاتية لللابلاس 9.5
24 وظائف Bessel ومشكلة القرص 9.6-9.8
25 كثيرات الحدود الأسطورية ومشكلة الكرة 9.6-9.8
26 كثيرات الحدود الأسطورية ومشكلة الكرة 9.6-9.8
27 المعادلات الإهليلجية 7
28 المعادلات الإهليلجية 7
29 المعادلات الإهليلجية 7
30 إمتحان نهائي 7 ، 9.5-9.8 ، إيفانز

(ستكون هناك دائمًا تعديلات طفيفة من تكرار واحد للدورة التدريبية إلى أخرى إذا كنت تأخذ الدورة التدريبية حاليًا ، فلا يُنصح بطباعة كل هذه الشرائح في بداية الفصل الدراسي.)


محتويات

ظهرت معادلات أويلر لأول مرة في شكل منشور في مقال أويلر "مبادئ عامة لحركة السوائل" ، الذي نُشر في Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin في 1757 (في هذه المقالة نشر أويلر في الواقع فقط ملف جنرال لواء شكل من معادلة الاستمرارية ومعادلة الزخم [3] سيتم الحصول على معادلة توازن الطاقة بعد قرن). كانت من بين المعادلات التفاضلية الجزئية الأولى التي تم تدوينها. في الوقت الذي نشر فيه أويلر عمله ، كان نظام المعادلات يتألف من معادلات الزخم والاستمرارية ، وبالتالي لم يتم تحديده إلا في حالة وجود سائل غير قابل للضغط. تم توفير معادلة إضافية ، والتي سُميت فيما بعد الحالة الحافظة للحرارة ، من قبل بيير سيمون لابلاس في عام 1816.

خلال النصف الثاني من القرن التاسع عشر ، وجد أن المعادلة المتعلقة بتوازن الطاقة يجب أن تبقى في جميع الأوقات ، في حين أن الحالة الثابتة هي نتيجة للقوانين الأساسية في حالة الحلول السلسة. مع اكتشاف النظرية الخاصة للنسبية ، تم توحيد مفاهيم كثافة الطاقة ، وكثافة الزخم ، والإجهاد في مفهوم موتر الإجهاد - الطاقة ، وبالمثل تم توحيد الطاقة والزخم في مفهوم واحد ، ناقل الطاقة والزخم [4]

في شكل الحمل الحراري (على سبيل المثال ، النموذج مع المشغل الحراري الموضح في معادلة الزخم) ، تكون معادلات أويلر غير القابلة للضغط في حالة كثافة ثابتة في الوقت وموحدة في المكان: [5]

  • u > هو ناقل سرعة التدفق ، مع وجود مكونات في نمساحة الأبعاد u 1، u 2،…، u N < displaystyle u_ <1>، u_ <2>، dots، u_> ,
  • د v د t = ∂ v ∂ t + u ⋅ ∇ v أكثر من Dt> = < جزئي mathbf أكثر جزئية t> + mathbf cdot nabla mathbf > ، لدالة عامة (أو حقل) v > يشير إلى مشتقه المادي في الوقت المناسب فيما يتعلق بالحقل التصاعدي u > و
  • تشير إلى التدرج فيما يتعلق بالفضاء ،
  • تشير إلى المنتج القياسي ،
  • هو عامل nabla ، ويستخدم هنا لتمثيل تدرج العمل الديناميكي الحراري المحدد (المعادلة الأولى) ، و
  • ∇ ⋅ ش > هو اختلاف سرعة التدفق (المعادلة الثانية) ،
  • w < displaystyle w> هو المحدد (بمعنى لكل وحدة كتلة) العمل الديناميكي الحراري ، مصطلح المصدر الداخلي.
  • ز > يمثل تسارع الجسم (لكل وحدة كتلة) التي تعمل على السلسلة المتصلة ، على سبيل المثال الجاذبية ، والتسارع بالقصور الذاتي ، وتسارع المجال الكهربائي ، وما إلى ذلك.

المعادلة الأولى هي معادلة زخم أويلر ذات الكثافة المنتظمة (بالنسبة لهذه المعادلة ، لا يمكن أن تكون ثابتة أيضًا في الوقت المناسب). من خلال توسيع المشتق المادي ، تصبح المعادلات:

حيث p هو الضغط الميكانيكي. المعادلة الثانية هي القيد غير القابل للضغط ، حيث تشير إلى أن سرعة التدفق هي حقل ملف لولبي (ترتيب المعادلات ليس سببيًا ، ولكنه يؤكد حقيقة أن القيد غير القابل للضغط ليس شكلًا متدهورًا من معادلة الاستمرارية ، بل من معادلة الطاقة حيث سيتضح في ما يلي). والجدير بالذكر أن معادلة الاستمرارية ستكون مطلوبة أيضًا في هذه الحالة غير القابلة للضغط كمعادلة ثالثة إضافية في حالة تغير الكثافة بمرور الوقت أو متفاوتة في الفضاء. على سبيل المثال ، مع كثافة موحدة ولكن متغيرة في الوقت المناسب ، فإن معادلة الاستمرارية التي سيتم إضافتها إلى المجموعة أعلاه تتوافق مع:

لذا فإن حالة الثابت و الكثافة المنتظمة هي الوحيدة التي لا تتطلب معادلة الاستمرارية كمعادلة إضافية بغض النظر عن وجود أو عدم وجود القيد غير القابل للضغط. في الواقع ، حالة معادلات أويلر غير القابلة للضغط ذات الكثافة الثابتة والموحدة التي يتم تحليلها هي نموذج لعبة يضم معادلتين مبسّطتين فقط ، لذا فهي مثالية للأغراض التعليمية حتى لو كانت ذات صلة مادية محدودة.

تحرير الخصائص

على الرغم من أن أويلر قدم هذه المعادلات لأول مرة في عام 1755 ، إلا أن العديد من الأسئلة الأساسية المتعلقة بها لا تزال دون إجابة.

في ثلاثة أبعاد فضائية ، في سيناريوهات معينة مبسطة ، تنتج معادلات أويلر متفردات. [6]

تلبي الحلول السلسة للمعادلات المجانية (بمعنى بدون مصطلح المصدر: g = 0) الحفاظ على الطاقة الحركية المحددة:

في الحالة ذات البعد الواحد بدون المصطلح المصدر (كل من تدرج الضغط والقوة الخارجية) ، تصبح معادلة الزخم هي معادلة البرجر غير الملموسة:

هذه معادلة نموذجية تعطي العديد من الأفكار حول معادلات أويلر.

تحرير Nondimensionalisation

استبدال هذه العلاقات المقلوبة في معادلات أويلر ، وتحديد رقم Froude ، ينتج (حذف * في apix):

معادلات أويلر في حد Froude (بدون مجال خارجي) تسمى المعادلات الحرة وهي متحفظة. وبالتالي ، فإن الحد الأقصى لأعداد Froude المرتفعة (المجال الخارجي المنخفض) ملحوظ ويمكن دراسته باستخدام نظرية الاضطراب.

تحرير نموذج الحفظ

يؤكد نموذج الحفظ على الخصائص الرياضية لمعادلات أويلر ، وبشكل خاص ، غالبًا ما يكون الشكل المتعاقد هو الأكثر ملاءمة لمحاكاة ديناميكيات السوائل الحسابية. من الناحية الحسابية ، هناك بعض المزايا في استخدام المتغيرات المحفوظة. يؤدي هذا إلى ظهور فئة كبيرة من الأساليب العددية تسمى الطرق المحافظة. [1]

ال معادلات أويلر المجانية متحفظة، بمعنى أنها تعادل معادلة الحفظ:

أو ببساطة في تدوين أينشتاين:

أولاً ، تحمل الهويات التالية:

أين ⊗ تدل على المنتج الخارجي. نفس الهويات المعبر عنها في تدوين أينشتاين هي:

حيث أنا مصفوفة الهوية ذات البعد N واي جاي عنصرها العام ، دلتا كروينكر.

بفضل هويات المتجهات هذه ، يمكن وضع معادلات أويلر غير القابلة للضغط بكثافة ثابتة وموحدة وبدون مجال خارجي في ما يسمى الحفاظ على (أو Eulerian) التفاضلية ، مع تدوين المتجه:

أو باستخدام تدوين أينشتاين:

ثم غير قابل للضغط معادلات أويلر ذات الكثافة الموحدة لها متغيرات الحفظ:

لاحظ أنه في المكون الثاني ، تكون u في حد ذاتها متجهًا ، بطول N ، لذا فإن y لها طول N + 1 و F لها حجم N (N + 1). في الأبعاد الثلاثية ، على سبيل المثال ، يبلغ طول y 4 ، ولدي الحجم 3 × 3 و F بحجم 4 × 3 ، وبالتالي فإن الأشكال الصريحة هي:

أخيرًا ، يمكن إعادة صياغة معادلات أويلر في المعادلة المحددة:

تحرير الأبعاد المكانية

بالنسبة لبعض المشكلات ، خاصة عند استخدامها لتحليل التدفق القابل للانضغاط في مجرى الهواء أو في حالة تناظر التدفق أسطوانيًا أو كرويًا ، فإن معادلات أويلر أحادية البعد هي أول تقدير تقريبي مفيد. بشكل عام ، يتم حل معادلات أويلر بطريقة ريمان للخصائص. يتضمن ذلك إيجاد منحنيات في مستوى المتغيرات المستقلة (على سبيل المثال ، x و t ) حيث تتدهور المعادلات التفاضلية الجزئية (PDEs) إلى معادلات تفاضلية عادية (ODEs). تعتمد الحلول العددية لمعادلات أويلر بشكل كبير على طريقة الخصائص.

في شكل الحمل الحراري ، تكون معادلات أويلر غير القابلة للضغط في حالة متغير الكثافة في الفضاء: [5]

حيث المتغيرات الإضافية هي:

المعادلة الأولى ، وهي المعادلة الجديدة ، هي معادلة الاستمرارية غير القابلة للضغط. في الواقع ، ستكون معادلة الاستمرارية العامة:

ولكن هنا المصطلح الأخير هو صفر لقيد عدم الانضغاط.

تعديل نموذج الحفظ

تعادل معادلات أويلر غير القابلة للضغط في حد Froude معادلة حفظ واحدة بالكمية المحفوظة والتدفق المرتبط بها على التوالي:

متغيرات الحفظ تحرير

لم يتم تحسين متغيرات المعادلات في شكل الحفظ بعد. في الواقع يمكننا تحديد:

في شكل الحمل الحراري التفاضلي ، يمكن كتابة معادلات أويلر القابلة للضغط (والأكثر عمومية) قريبًا باستخدام تدوين مشتق المادة:

حيث المتغيرات الإضافية هنا:

تمثل المعادلات أعلاه بالتالي حفظ الكتلة والزخم والطاقة: تسمح معادلة الطاقة المعبر عنها في الطاقة الداخلية المتغيرة بفهم الارتباط بالحالة غير القابلة للضغط ، ولكنها ليست في أبسط أشكالها. كثافة الكتلة وسرعة التدفق والضغط هي ما يسمى المتغيرات الحملية (أو المتغيرات الفيزيائية ، أو المتغيرات lagrangian) ، في حين أن كثافة الكتلة وكثافة الزخم وكثافة الطاقة الإجمالية هي ما يسمى المتغيرات المحفوظة (وتسمى أيضًا المتغيرات eulerian ، أو المتغيرات الرياضية). [1]

إذا أوضح أحد المشتقات المادية ، فإن المعادلات أعلاه هي:

القيد غير القابل للضغط (تمت إعادة النظر فيه) تحرير

بالعودة إلى الحالة غير القابلة للضغط ، أصبح من الواضح الآن أن ملف قيد غير قابل للضغط نموذجي للحالات السابقة هو في الواقع شكل معين صالح للتدفقات غير القابلة للضغط من معادلة الطاقة، وليس من معادلة الكتلة. على وجه الخصوص ، يتوافق القيد غير القابل للضغط مع معادلة الطاقة البسيطة جدًا التالية:

هكذا بالنسبة للسائل غير القابل للضغط ، تكون الطاقة الداخلية المحددة ثابتة على طول خطوط التدفق، أيضًا في تدفق يعتمد على الوقت. يعمل الضغط في التدفق غير القابل للضغط مثل مضاعف لاغرانج ، كونه مضاعف القيد غير القابل للضغط في معادلة الطاقة ، وبالتالي في التدفقات غير القابلة للضغط ، ليس له معنى ديناميكي حراري. في الواقع ، تعتبر الديناميكا الحرارية نموذجية للتدفقات القابلة للانضغاط وتتدهور في التدفقات غير القابلة للضغط. [7]

استنادًا إلى معادلة الحفظ الشامل ، يمكن للمرء وضع هذه المعادلة في شكل الحفظ:

وهذا يعني أنه بالنسبة للتدفق غير الموصّل غير القابل للضغط ، فإن معادلة الاستمرارية تنطبق على الطاقة الداخلية.

تحرير الحفاظ على المحتوى الحراري

بما أن المحتوى الحراري المحدد بحكم التعريف هو:

يمكن التعبير عن المشتق المادي للطاقة الداخلية المحددة على النحو التالي:

ثم باستبدال معادلة الزخم في هذا التعبير ، يحصل المرء على:

وباستبدال الأخير في معادلة الطاقة ، يحصل المرء على تعبير المحتوى الحراري لمعادلة طاقة أويلر:

في إطار مرجعي يتحرك مع تدفق غير موصّل وغير موصل ، يتوافق تباين المحتوى الحراري بشكل مباشر مع اختلاف في الضغط.

الديناميكا الحرارية للسوائل المثالية تحرير

في الديناميكا الحرارية ، المتغيرات المستقلة هي الحجم المحدد ، والإنتروبيا المحددة ، في حين أن الطاقة المحددة هي دالة لحالة هذين المتغيرين.

بالنظر إلى المعادلة الأولى ، يجب تغيير المتغير من كثافة إلى حجم معين. حسب التعريف:

وهكذا فإن الهويات التالية تحمل:

ثم عن طريق استبدال هذه التعبيرات في معادلة الحفظ الشامل:

هذه المعادلة هي الوحيدة التي تنتمي إلى معادلات الاستمرارية العامة ، لذلك فقط هذه المعادلة لها نفس الشكل على سبيل المثال أيضًا في معادلات Navier-Stokes.

من ناحية أخرى ، فإن الضغط في الديناميكا الحرارية هو عكس المشتق الجزئي للطاقة الداخلية المحددة فيما يتعلق بالحجم المحدد:

نظرًا لأن الطاقة الداخلية في الديناميكا الحرارية هي دالة للمتغيرين المذكورين أعلاه ، فيجب تفسير تدرج الضغط الموجود في معادلة الزخم على النحو التالي:

من الملائم للإيجاز تبديل تدوين مشتقات الدرجة الثانية:

أخيرًا ، معادلة الطاقة:

يمكن تبسيطها بشكل أكبر في شكل الحمل الحراري عن طريق تغيير المتغير من طاقة معينة إلى إنتروبيا محددة: في الواقع ، يمكن كتابة القانون الأول للديناميكا الحرارية في الشكل المحلي:

عن طريق استبدال المشتق المادي للطاقة الداخلية ، تصبح معادلة الطاقة:

الآن المصطلح بين قوسين هو صفر تمامًا وفقًا للحفاظ على الكتلة ، ثم تصبح معادلة طاقة أويلر ببساطة:

بالنسبة للسائل الديناميكي الحراري ، من الأفضل كتابة معادلات أويلر القابلة للضغط على النحو التالي:

في الحالة العامة وليس فقط في الحالة غير القابلة للضغط ، فإن معادلة الطاقة تعني ذلك بالنسبة للسائل الديناميكي الحراري غير المتماسك ، تكون الانتروبيا المحددة ثابتة على طول خطوط التدفق، أيضًا في تدفق يعتمد على الوقت. استنادًا إلى معادلة الحفظ الشامل ، يمكن للمرء أن يضع هذه المعادلة في صيغة الحفظ: [8]

وهذا يعني أنه بالنسبة للتدفق غير النافذ ، فإن معادلة الاستمرارية تنطبق على الانتروبيا.

من ناحية أخرى ، تتطلب المشتقتان الجزئيتان من الدرجة الثانية للطاقة الداخلية المحددة في معادلة الزخم تحديد المعادلة الأساسية لحالة المادة المعتبرة ، أي الطاقة الداخلية المحددة كدالة للمتغيرين حجم معين و إنتروبيا محددة:

ال أساسي تحتوي معادلة الحالة على جميع المعلومات الديناميكية الحرارية للنظام (Callen ، 1985) ، [9] تمامًا مثل زوجي حراري معادلة الدولة مع أ سعرات حرارية معادلة الحالة.

تحرير نموذج الحفظ

تعادل معادلات أويلر في حد Froude معادلة حفظ واحدة بالكمية المحفوظة والتدفق المرتبط بها على التوالي:

  • ي = ρ ش = rho mathbf > هي كثافة الزخم ، متغير الحفظ.
  • E t = ρ e + 1 2 ρ u 2 = rho e + < frac <1> <2>> rho u ^ <2>> هو إجمالي كثافة الطاقة (إجمالي الطاقة لكل وحدة حجم).

هنا y > لها طول N + 2 و F < displaystyle mathbf > بحجم N (N + 2). [ب] بشكل عام (ليس فقط في حدود Froude) يمكن التعبير عن معادلات أويلر على النحو التالي:

نلاحظ أن معادلة أويلر أيضًا حتى عندما تكون متحفظة (لا يوجد مجال خارجي ، حد Froude) لا توجد ثوابت ريمان بشكل عام. [10] بعض الافتراضات الأخرى مطلوبة

ومع ذلك ، فقد ذكرنا بالفعل أنه بالنسبة للسائل الديناميكي الحراري ، فإن معادلة كثافة الطاقة الإجمالية تعادل معادلة الحفظ:

ثم يتم التعبير عن معادلات الحفظ في حالة السائل الديناميكي الحراري بشكل أكثر بساطة على النحو التالي:

شكل آخر محتمل لمعادلة الطاقة ، يكون مفيدًا بشكل خاص في متساوي الضغط ، هو:

يمكن أن يكون توسيع التدفقات جزءًا مهمًا من بناء الحلول العددية ، على سبيل المثال من خلال استغلال الحلول (التقريبية) لمشكلة ريمان. في المناطق التي يكون فيها ناقل الدولة ذ يتفاوت بسلاسة ، يمكن وضع المعادلات في شكل متحفظ في شكل شبه خطي:

من الواضح أن هذا اليعقوبي غير موجود في مناطق الانقطاع (على سبيل المثال ، انقطاع الاتصال ، موجات الصدمة في التدفقات غير الموصلة غير الموصلة). إذا كان التدفق Jacobians A i < displaystyle mathbf _> ليست من وظائف متجه الحالة y > ، تكشف المعادلات خطي.

معادلات مميزة تحرير

يمكن فصل معادلات أويلر القابلة للضغط في مجموعة من معادلات الموجة N + 2 التي تصف الصوت في سلسلة أويلر المتصلة إذا تم التعبير عنها في متغيرات مميزة بدلاً من المتغيرات المحفوظة.

في الحقيقة الموتر أ دائمًا ما يكون قطريًا. إذا كانت قيم eigenvalues ​​(حالة معادلات أويلر) كلها حقيقية ، فسيتم تعريف النظام القطعي، والقيم الذاتية الجسدية تمثل سرعات انتشار المعلومات. [11] إذا تم تمييزها جميعًا ، يتم تحديد النظام قطعي بشكل صارم (سيتضح أن هذه هي حالة معادلات أويلر أحادية البعد). علاوة على ذلك ، تكون قطرية معادلة أويلر القابلة للضغط أسهل عندما يتم التعبير عن معادلة الطاقة في الانتروبيا المتغيرة (أي مع معادلات السوائل الديناميكية الحرارية) مقارنة بمتغيرات الطاقة الأخرى. سيصبح هذا واضحًا من خلال النظر في حالة 1D.

يمكن للمرء أن يجد أخيرًا المتغيرات المميزة كما:

منذ أ ثابت ، يضرب معادلة 1-D الأصلية في شكل flux-Jacobian مع ص −1 يعطي المعادلات المميزة: [12]

تم فصل المعادلات الأصلية إلى معادلات مميزة N + 2 كل منها يصف موجة بسيطة ، مع قيم eigenvalues ​​هي سرعات الموجة. المتغيرات ثأنا تسمى المتغيرات المميزة وهي مجموعة فرعية من المتغيرات المحافظة. حل مشكلة القيمة الأولية من حيث المتغيرات المميزة أخيرًا بسيط للغاية. في بعد مكاني واحد هو:

ثم يتم الحصول على الحل من حيث المتغيرات المحافظة الأصلية عن طريق التحويل مرة أخرى:

يمكن تفسير هذا الحساب على أنه مزيج خطي من المتجهات الذاتية:

أصبح من الواضح الآن أن المتغيرات المميزة تعمل كأوزان في التركيبة الخطية للمتجهات الذاتية jacobian. يمكن النظر إلى الحل على أنه تراكب للموجات ، يتم تقديم كل منها بشكل مستقل دون تغيير في الشكل. كل أناالموجة الثالثة لها شكل ثأناصأنا وسرعة التكاثر λأنا. في ما يلي نعرض مثالًا بسيطًا جدًا لإجراء الحل هذا.

موجات في 1D غير موصلة ، سائل ديناميكي حراري غير موصل

إذا أخذ المرء في الاعتبار معادلات أويلر للسائل الديناميكي الحراري مع افتراضين آخرين لبعد مكاني واحد وخالي (بدون مجال خارجي: ز = 0) :

إذا حدد المرء متجه المتغيرات:

في البداية يجب على المرء أن يجد القيم الذاتية لهذه المصفوفة من خلال حل المعادلة المميزة:

هذا المحدد بسيط للغاية: أسرع حساب يبدأ في الصف الأخير ، نظرًا لأنه يحتوي على أكبر عدد من العناصر الصفرية.

الآن بحساب المحدد 2 × 2:

من خلال تحديد المعلمة:

أو ما يعادله في المتغيرات الميكانيكية ، مثل:

هذه المعلمة حقيقية دائمًا وفقًا للقانون الثاني للديناميكا الحرارية. في الواقع ، يمكن التعبير عن القانون الثاني للديناميكا الحرارية بعدة افتراضات. أكثرها أولية من الناحية الرياضية هو بيان التحدب للمعادلة الأساسية للحالة ، أي المصفوفة الخيشومية للطاقة المحددة المعبر عنها كدالة لحجم معين وانتروبيا محددة:

تم تعريفه بأنه إيجابي. هذا البيان يتوافق مع الشرطين:

الشرط الأول هو الشرط الذي يضمن المعلمة أ هو تعريف حقيقي.

نتائج المعادلة المميزة أخيرًا:

هذا له ثلاثة حلول حقيقية:

ثم تحتوي المصفوفة على ثلاث قيم ذاتية حقيقية جميعها مميزة: معادلات أويلر 1D هي أ نظام قطعي صارم.

في هذه المرحلة ، يجب على المرء تحديد المتجهات الذاتية الثلاثة: يتم الحصول على كل منها عن طريق استبدال قيمة ذاتية واحدة في معادلة القيمة الذاتية ثم حلها. بالتعويض عن القيمة الذاتية الأولى λ1 يحصل المرء على:

استنادًا إلى المعادلة الثالثة التي تحتوي ببساطة على الحل s1= 0 ، يقلل النظام إلى:

المعادلتان زائدة عن الحاجة كالمعتاد ، ثم يتم تعريف المتجه الذاتي بثابت مضاعف. نختار كجهاز eigenvector الصحيح:

يمكن العثور على المتجهين الذاتيين الآخرين بإجراء مماثل على النحو التالي:

ثم يمكن بناء مصفوفة الإسقاط:

أخيرًا يتضح أن المعلمة الحقيقية أ تم تحديده مسبقًا هو سرعة انتشار خاصية المعلومات للنظام الزائدي المصنوع من معادلات أويلر ، أي أنه سرعة الموجة. يبقى أن نوضح أن سرعة الصوت تتوافق مع الحالة الخاصة للتحول المتساوي:

تعديل سرعة الصوت وقابلية الانضغاط

تُعرَّف سرعة الصوت بأنها سرعة الموجة للتحول المتساوي:

من خلال تعريف الانضغاطية المتساوية:

تنتج سرعة الصوت دائمًا الجذر التربيعي للنسبة بين الانضغاط المتساوي الكثافة والكثافة:

تحرير الغاز المثالي

سرعة الصوت في الغاز المثالي تعتمد فقط على درجة حرارته:

في الغاز المثالي ، يتم وصف التحول المتساوي من خلال قانون بواسون:

أين γ هي نسبة السعة الحرارية ، وهو ثابت للمادة. من خلال توضيح الفروق:

وقسمة على ργ دρ:

ثم من خلال الاستبدال في التعريفات العامة للغاز المثالي ، تكون الانضغاطية المتساوية ببساطة متناسبة مع الضغط:

ونتائج سرعة الصوت (قانون نيوتن لابلاس):

بشكل خاص ، بالنسبة للغاز المثالي ، فإن قانون الغاز المثالي ينص عليه ، وهذا في الشكل الرياضي هو ببساطة:

أين ن هي كثافة العدد و تي هي درجة الحرارة المطلقة ، بشرط أن تقاس بـ وحدات نشطة (أي بالجول) من خلال الضرب باستخدام ثابت بولتزمان. نظرًا لأن كثافة الكتلة تتناسب مع كثافة العدد من خلال متوسط ​​الكتلة الجزيئية م من المواد:

يمكن إعادة صياغة قانون الغاز المثالي في الصيغة:

من خلال استبدال هذه النسبة في قانون نيوتن-لابلاس ، يتم أخيرًا تحقيق التعبير عن سرعة الصوت في غاز مثالي كدالة لدرجة الحرارة.

نظرًا لأن المحتوى الحراري المحدد في غاز مثالي يتناسب مع درجة حرارته:

يمكن أيضًا جعل سرعة الصوت في الغاز المثالي معتمدة فقط على المحتوى الحراري الخاص به:

نظرية برنولي هي نتيجة مباشرة لمعادلات أويلر.

حالة غير قابلة للضغط وتحرير شكل Lamb

استخدم لامب في كتابه الكلاسيكي الشهير Hydrodynamics (1895) ، الذي لا يزال مطبوعًا ، هذه الهوية لتغيير المصطلح الحراري لسرعة التدفق في شكل دوراني: [13]

تصبح معادلة زخم أويلر بصيغة لامب:

الآن ، استنادًا إلى الهوية الأخرى:

تفترض معادلة زخم أويلر الشكل الأمثل لإثبات نظرية برنولي للتدفقات الثابتة:

في الواقع ، في حالة المجال المحافظ الخارجي ، من خلال تحديد إمكاناته φ:

في حالة التدفق الثابت ، يختفي المشتق الزمني لسرعة التدفق ، وبالتالي تصبح معادلة الزخم:

وعن طريق إسقاط معادلة الزخم على اتجاه التدفق ، أي على طول أ انسيابية، حاصل الضرب الاتجاهي يختفي لأن نتيجته دائمًا متعامدة مع السرعة:

في الحالة الثابتة غير القابلة للضغط ، تكون معادلة الكتلة ببساطة:

هذا هو ينص الحفاظ على الكتلة من أجل تدفق ثابت غير قابل للضغط على أن الكثافة على طول الخط الانسيابي ثابتة. ثم تصبح معادلة زخم أويلر في الحالة الثابتة غير القابلة للضغط:

أصبحت ملاءمة تحديد الرأس الكلي لتدفق السائل غير اللامع واضحة الآن:

والتي يمكن كتابتها ببساطة على النحو التالي:

هذا هو، يوضح توازن الزخم من أجل تدفق ثابت وغير قابل للضغط في مجال محافظ خارجي أن الرأس الكلي على طول الخط الانسيابي ثابت.

تعديل الحالة القابلة للضغط

في الحالة الأكثر ثباتًا (قابلة للضغط) ، تكون معادلة الكتلة في شكل الحفظ:

لذلك ، فإن التعبير السابق هو بالأحرى

يظهر الجانب الأيمن على معادلة الطاقة في شكل الحمل الحراري ، والتي تقرأ في الحالة المستقرة:

وبالتالي تصبح معادلة الطاقة:

بحيث تظهر الطاقة الداخلية المحددة الآن في الرأس.

نظرًا لأن إمكانات المجال الخارجي تكون عادةً صغيرة مقارنة بالمصطلحات الأخرى ، فمن الملائم تجميع هذه الأخيرة في المحتوى الحراري الكلي:

وثابت برنولي لتدفق الغاز غير السائل هو:

هذا هو، يوضح توازن الطاقة من أجل تدفق ثابت غير شرعي في مجال محافظ خارجي أن مجموع المحتوى الحراري الإجمالي والإمكانات الخارجية ثابتان على طول خط انسيابي.

في الحالة المعتادة للحقل المحتمل الصغير ، ما عليك سوى:

شكل فريدمان وشكل كروكو تحرير

عن طريق استبدال تدرج الضغط بتدرج الانتروبيا والمحتوى الحراري ، وفقًا للقانون الأول للديناميكا الحرارية في شكل المحتوى الحراري:

في شكل الحمل الحراري لمعادلة زخم أويلر ، يصل المرء إلى:

استنتج فريدمان هذه المعادلة للحالة الخاصة للغاز المثالي ونشرها في عام 1922. [14] ومع ذلك ، فإن هذه المعادلة عامة بالنسبة لسائل غير موصل ولا توجد معادلة حالة ضمنية فيه.

من ناحية أخرى ، عن طريق استبدال شكل المحتوى الحراري للقانون الأول للديناميكا الحرارية في الشكل الدوراني لمعادلة زخم أويلر ، يحصل المرء على:

ومن خلال تحديد المحتوى الحراري الكلي النوعي:

واحد يصل إلى شكل Crocco – Vazsonyi [15] (كروكو ، 1937) لمعادلة زخم أويلر:

في الحالة الثابتة ، يكون المتغيرين الانتروبيا والإنتاجية الكلية مفيدة بشكل خاص لأن معادلات أويلر يمكن إعادة صياغتها في شكل كروكو:

أخيرًا إذا كان التدفق متساوي الحرارة أيضًا:

من خلال تحديد إجمالي طاقة جيبس ​​الحرة المحددة:

يمكن اختزال شكل Crocco إلى:

من هذه العلاقات ، يستنتج المرء أن إجمالي الطاقة الحرة المحددة موحدة في تدفق ثابت ، غير منطقي ، متساوي الحرارة ، متساوي الانحدار ، غير متماسك.

معادلات أويلر هي معادلات شبه قطعية وحلولها العامة عبارة عن موجات. في ظل افتراضات معينة ، يمكن تبسيطها مما يؤدي إلى معادلة برجر. مثل الأمواج المحيطية المألوفة ، تتشكل الموجات التي وصفتها معادلات أويلر "كسر" وما يسمى بموجات الصدمة وهذا تأثير غير خطي ويمثل الحل الذي أصبح متعدد القيم. يمثل هذا فيزيائيًا تفصيلًا للافتراضات التي أدت إلى صياغة المعادلات التفاضلية ، ولاستخراج مزيد من المعلومات من المعادلات ، يجب أن نعود إلى الشكل الأساسي الأكثر تكاملاً. بعد ذلك ، يتم صياغة الحلول الضعيفة من خلال العمل في "القفزات" (الانقطاعات) في كميات التدفق - الكثافة ، السرعة ، الضغط ، الإنتروبيا - باستخدام معادلات رانكين - هوغونيوت. نادراً ما تكون الكميات الفيزيائية متقطعة في التدفقات الحقيقية ، هذه الانقطاعات يتم تلطيفها باللزوجة وبنقل الحرارة. (انظر معادلات نافيير-ستوكس)

تمت دراسة انتشار الصدمات - من بين العديد من المجالات الأخرى - في الديناميكا الهوائية ودفع الصواريخ ، حيث تحدث تدفقات سريعة بدرجة كافية.

لحساب الكميات المتصلة بشكل صحيح في المناطق غير المستمرة (على سبيل المثال موجات الصدمة أو الطبقات الحدودية) من محلي النماذج [ج] (جميع النماذج المذكورة أعلاه هي أشكال محلية ، نظرًا لأن المتغيرات الموصوفة هي نموذجية لنقطة واحدة في المساحة المعتبرة ، أي أنها المتغيرات المحلية) من معادلات أويلر من خلال طرق الفروق المحدودة بشكل عام سيكون عدد نقاط الفضاء والخطوات الزمنية كثيرة جدًا لذاكرة أجهزة الكمبيوتر الآن وفي المستقبل القريب. في هذه الحالات ، من الضروري تجنب الأشكال المحلية لمعادلات الحفظ ، وتمرير بعض الأشكال الضعيفة ، مثل الحجم المحدود الأول.

تعديل معادلات رانكين-هوجونيوت

بدءًا من أبسط الحالات ، ينظر المرء إلى معادلة حفظ مجانية ثابتة في شكل الحفظ في مجال الفضاء:

أين بشكل عام F هي مصفوفة التدفق. بدمج هذه المعادلة المحلية على حجم ثابت Vم، ستصبح:

بعد ذلك ، استنادًا إلى نظرية الاختلاف ، يمكننا تحويل هذا التكامل إلى حد تكامل التدفق:

هذه شكل عالمي simply states that there is no net flux of a conserved quantity passing through a region in the case steady and without source. In 1D the volume reduces to an interval, its boundary being its extrema, then the divergence theorem reduces to the fundamental theorem of calculus:

that is the simple finite difference equation, known as the jump relation:

That can be made explicit as:

where the notation employed is:

Or, if one performs an indefinite integral:

On the other hand, a transient conservation equation:

brings to a jump relation:

For one-dimensional Euler equations the conservation variables and the flux are the vectors:

In the one dimensional case the correspondent jump relations, called the Rankine–Hugoniot equations, are:< [16]

In the steady one dimensional case the become simply:

Thanks to the mass difference equation, the energy difference equation can be simplified without any restriction:

These are the usually expressed in the convective variables:

The energy equation is an integral form of the Bernoulli equation in the compressible case. The former mass and momentum equations by substitution lead to the Rayleigh equation:

Since the second term is a constant, the Rayleigh equation always describes a simple line in the pressure volume plane not depending of any equation of state, i.e. the Rayleigh line. By substitution in the Rankine–Hugoniot equations, that can be also made explicit as:

One can also obtain the kinetic equation and to the Hugoniot equation. The analytical passages are not shown here for brevity.

The Hugoniot equation, coupled with the fundamental equation of state of the material:

describes in general in the pressure volume plane a curve passing by the conditions (v0, p0), i.e. the Hugoniot curve, whose shape strongly depends on the type of material considered.

It is also customary to define a Hugoniot function: [17]

h ( v , s ) ≡ e ( v , s ) − e 0 + 1 2 ( p ( v , s ) + p 0 ) ( v − v 0 ) >(v,s)equiv e(v,s)-e_<0>+<2>>left(p(v,s)+p_<0> ight)left(v-v_<0> ight)>

allowing to quantify deviations from the Hugoniot equation, similarly to the previous definition of the hydraulic head, useful for the deviations from the Bernoulli equation.

Finite volume form Edit

On the other hand, by integrating a generic conservation equation:

on a fixed volume Vم, and then basing on the divergence theorem, it becomes:

By integrating this equation also over a time interval:

Now by defining the node conserved quantity:

we deduce the finite volume form:

In particular, for Euler equations, once the conserved quantities have been determined, the convective variables are deduced by back substitution:

Then the explicit finite volume expressions of the original convective variables are:< [18]

It has been shown that Euler equations are not a complete set of equations, but they require some additional constraints to admit a unique solution: these are the equation of state of the material considered. To be consistent with thermodynamics these equations of state should satisfy the two laws of thermodynamics. On the other hand, by definition non-equilibrium system are described by laws lying outside these laws. In the following we list some very simple equations of state and the corresponding influence on Euler equations.

Ideal polytropic gas Edit

For an ideal polytropic gas the fundamental equation of state is: [19]

By the thermodynamic definition of temperature:

Where the temperature is measured in energy units. At first, note that by combining these two equations one can deduce the ideal gas law:

Now consider the molar heat capacity associated to a process x:

according to the first law of thermodynamics:

d e ( v , s ) = − p d v + T d s

it can be simply expressed as:

Now inverting the equation for temperature T(e) we deduce that for an ideal polytropic gas the isochoric heat capacity is a constant:

and similarly for an ideal polytropic gas the isobaric heat capacity results constant:

This brings to two important relations between heat capacities: the constant gamma actually represents the heat capacity ratio in the ideal polytropic gas:

and one also arrives to the Meyer's relation:

The specific energy is then, by inverting the relation T(e):

The specific enthalpy results by substitution of the latter and of the ideal gas law:

From this equation one can derive the equation for pressure by its thermodynamic definition:

By inverting it one arrives to the mechanical equation of state:

Then for an ideal gas the compressible Euler equations can be simply expressed in the mechanical أو primitive variables specific volume, flow velocity and pressure, by taking the set of the equations for a thermodynamic system and modifying the energy equation into a pressure equation through this mechanical equation of state. At last, in convective form they result:

and in one-dimensional quasilinear form they results:

where the conservative vector variable is:

and the corresponding jacobian matrix is: [21] </ref> [22]

Steady flow in material coordinates Edit

In the case of steady flow, it is convenient to choose the Frenet–Serret frame along a streamline as the coordinate system for describing the steady momentum Euler equation: [23]

Let < e s , e n , e b > _,mathbf _,mathbf _ ight>> be a Frenet–Serret orthonormal basis which consists of a tangential unit vector, a normal unit vector, and a binormal unit vector to the streamline, respectively. Since a streamline is a curve that is tangent to the velocity vector of the flow, the left-hand side of the above equation, the convective derivative of velocity, can be described as follows:

Therefore, the momentum part of the Euler equations for a steady flow is found to have a simple form:

For barotropic flow ( ρ = ρ ( p ) ) , Bernoulli's equation is derived from the first equation:

The second equation expresses that, in the case the streamline is curved, there should exist a pressure gradient normal to the streamline because the centripetal acceleration of the fluid parcel is only generated by the normal pressure gradient.

The third equation expresses that pressure is constant along the binormal axis.

Streamline curvature theorem Edit

In a steady flow of an inviscid fluid without external forces, the center of curvature of the streamline lies in the direction of decreasing radial pressure.

Although this relationship between the pressure field and flow curvature is very useful, it doesn't have a name in the English-language scientific literature. [24] Japanese fluid-dynamicists call the relationship the "Streamline curvature theorem". [25]

This "theorem" explains clearly why there are such low pressures in the centre of vortices, [24] which consist of concentric circles of streamlines. This also is a way to intuitively explain why airfoils generate lift forces. [24]

All potential flow solutions are also solutions of the Euler equations, and in particular the incompressible Euler equations when the potential is harmonic. [26]


مراجع

  1. [1] R.A. Adams, "Sobolev spaces", Academic Press[A subsidiary of Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York- London, 1975, Pure and Applied Mathematics, Vol. 65. Zbl0314.46030MR450957
  2. [2] R.G. A, A mixed problem for second order hyperbolic equations, Izv. Akad. Nauk Armjan. SSR Ser. Mat.12 (1977), 32-45, 85. Zbl0359.35046MR460906
  3. [3] P. D'Ancona - M. Di Flaviano, An abstract degenerate hyperbolic equation with application to mixed problems, Hokkaido Math. J. (2) 29 (2000), 315-328. Zbl0974.35081MR1776711
  4. [4] P. D'Ancona - R. Manfrin, A class of locally solvable semilinear equations of weakly hyperbolic type, Ann. Mat. Pura Appl. 168 (1995), 355-372. Zbl0849.35076MR1378250
  5. [5] P. D'Ancona - R. Racke, Weakly hyperbolic equations in domains with boundaries, Nonlinear Anal.33 (1998), 455-472. Zbl0933.34067MR1635708
  6. [6] R.S. Hamilton, The inverse function theorem of Nash and Moser, Bull. Amer. رياضيات. شركة (1) 7 (1982), 65-222. Zbl0499.58003MR656198
  7. [7] L. Hörmander, "The analysis of linear partial differential operators", second ed., Springer-Verlag, Berlin, 1990. Zbl0687.35002
  8. [8] K. Kimura, A mixed problem for weakly hyperbolic equations of second order, Comm. Partial Differential Equations6 (1981), 1335-1361. Zbl0492.35052MR640160
  9. [9] M.L. Krasnov, Mixed boundary problems for degenerate linear hyperbolic differential equations second order, Mat. Sb.49 (1959), 29-84. Zbl0143.33202MR118954
  10. [10] A. Kubo, Mixed problems for some weakly hyperbolic second order equations, Math. Japonica (5) 29 (1984), 721-751. Zbl0599.35110MR768857
  11. [11] A. Kubo, On the mixed problems for weakly hyperbolic equations of second order, Comm. Partial Differential Equations (9) 9 (1984), 889-917. Zbl0548.35076MR749651
  12. [12] A. Kubo, Well posedness for the mixed problems of degenerate hyperbolic equations, Funkcialaj Ekvacioj34 (1991), 95-102. Zbl0789.35115MR1116882
  13. [13] J.-L. Lions - E. Magenes, "Non-homogeneous boundary value problems and applications", Vol. II. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1972. Zbl0223.35039MR350178
  14. [14] V.A. Malovichko, Boundary value problems for degenerate and nondegenerate hyperbolic systems, Differentsial' nye Uravneniya25 (1989) 1977-1981, 2022. MR1034105
  15. [15] O.A. Oleinik, The Cauchy problem and the boundary value problem for second order hyperbolic equations degenerating in a domain and on its boundary, Soviet Math. Dokl. (3) 7 (1966), 969-977. Zbl0173.37601
  16. [16] O.A. Oleinik, On the Cauchy problem for weakly hyperbolic equations, Comm.Pure Appl. Math.23 (1970), 569-586. MR264227
  17. [17] R. Sakamoto, "Hyperbolic boundary value problems", Cambridge University Press, Cambridge, 1982. Zbl0494.35002MR666700

3.2: Quasilinear Equations of Second Order

There are two types of second order linear differential equations: Homogeneous Equations, and Non-Homogeneous Equations.

    General Form of Equation:
    These equations are of the form:

where y’=(dy/dx) and A(x), B(x) and C(x) are functions of independent variable ‘x’.

For the purpose of this article we will learn how to solve the equation where all the above three functions are constants.

(I) Suppose g(x) is a solution of the homogeneous equation. We will prove that ‘cg(x)’ is also a solution, where c is a constant.

Hence, ‘cg(x)’ is also a solution.

(II) Suppose h(x) is also a solution along with g(x).We will prove that ‘h(x)+g(x)’ is also a solution.

(III) From I and II we can say that the general solution of a homogeneous equation is:

where ‘r’ is some real number(may be complex also as we will see!).
وبالتالي،

Based on above equation 3 cases arise:

(I) If both roots are real, say r1 and r2, then the solution will be

(II) If the roots are complex then they must be conjugate as the coefficients of the quadratic equation are real.

where ‘i’ is iota, i.e., ‘i’ is square root of (-1).
So, the general solution will be:

which if you will simplify will look like:

[ I hope you know e it = cos(t) + isin(t), Also k1 and k2 are different from c1 and c2].
I also encourage you to find the relation between k1 and k2 and c1 and c2.

(III) If the roots are repeated, then y = ce rx is not the general solution but only a particular solution. So what to do? Hence again assume,

where ‘r’ is the root that you got in the above equation. By solving you will get that

These examples will give you clarity:

Assume y = e rx .Putting this in the equation, we finally get:

Since both are real the general solution will be:

Again assume y = r rx and solve for ‘r’. Your ‘r’ will look something like this:

Hence the general solution will look like this:

Again assume y = r rx and solve for ‘r’. The ‘particular solution will be:

يفترض y = p(x)e 2x .Putting it in the differential equation will give you:

Hence the general solution will be:

Attention reader! Don&rsquot stop learning now. Get hold of all the important CS Theory concepts for SDE interviews with the CS Theory Course at a student-friendly price and become industry ready.


Exercises 19.6

Find the general solution to the differential equation.

Ex 19.6.1 $dsddot y -10dot y+25y=cos t$ (answer)

Ex 19.6.2 $dsddot y+2sqrt2dot y+2y=10$ (answer)

Ex 19.6.3 $dsddot y+16y=8t^2+3t-4$ (answer)

Ex 19.6.4 $dsddot y+2y=cos(5t)+sin(5t)$ (answer)

Ex 19.6.5 $dsddot y-2dot y+2y=e^<2t>$ (answer)

Ex 19.6.7 $dsddot y+dot y-6y=e^<-3t>$ (answer)

Ex 19.6.8 $dsddot y-4dot y+3y=e^<3t>$ (answer)

Ex 19.6.9 $dsddot y+16y=cos(4t)$ (answer)

Ex 19.6.10 $dsddot y +9y=3sin(3t)$ (answer)

Ex 19.6.11 $dsddot y+12dot y+36y=6e^<-6t>$ (answer)

Ex 19.6.12 $dsddot y-8dot y+16y=-2e^<4t>$ (answer)

Ex 19.6.13 $dsddot y+6dot y+5y=4$ (answer)

Ex 19.6.14 $dsddot y-dot y-12y=t$ (answer)

Ex 19.6.15 $dsddot y+5y=8sin(2t)$ (answer)

Solve the initial value problem.

Ex 19.6.17 $dsddot y-y=3t+5$, $y(0)=0$, $dsdot y(0)=0$ (answer)

Ex 19.6.18 $dsddot y+9y=4t$, $y(0)=0$, $dsdot y(0)=0$ (answer)

Ex 19.6.19 $dsddot y +12dot y +37y=10e^<-4t>$, $y(0)=4$, $dsdot y(0)=0$ (answer)

Ex 19.6.20 $dsddot y+6dot y+18y=cos t-sin t$, $y(0)=0$, $dsdot y(0)=2$ (answer)

Ex 19.6.21 Find the solution for the mass-spring equation $dsddot y+4dot y+29y=689cos(2t)$. (answer)

Ex 19.6.22 Find the solution for the mass-spring equation $ds3ddot y+12dot y+24y=2sin t$. (answer)

Ex 19.6.23 Consider the differential equation $ds mddot y+bdot y+ky=cos(omega t)$, with $m$, $b$, and $k$ all positive and $ds b^2< 2mk$ this equation is a model for a damped mass-spring system with external driving force $cos(omega t)$. Show that the steady state part of the solution has amplitude $<1over sqrt<(k-momega^2)^2+omega^2b^2>>.$ Show that this amplitude is largest when $ds omega=over 2m>$. هذا ال resonant frequency of the system.


Publications of Jie Shen

(with Duo Cao and Jie Xu) Computing interface with quasiperiodicity. J. كومبوت. Phys. 424:109863, 2021.

(with Fukeng Huang and Zhiguo Yang) A highly efficient and accurate new SAV approach for gradient flows. SIAM J. Sci. حاسوب. 42:A2514-A2536, 2020.

(with Xiaofeng Yang) The IEQ and SAV approaches and their extensions for a class of highly nonlinear gradient flow systems. Proceedings celebrating 75 years of Mathematics of Computation, Contemp. رياضيات. 754:217-245, 2020.

(with Qing Cheng and Chun Liu) A new Lagrange Multiplier approach for gradient flows. CMAME 367:113070, 2020.

Efficient and accurate structure preserving schemes for complex nonlinear systems. Handbook of Numerical Analysis, V. 20: Processing, Analyzing and Learning of Images, Shapes, and Forms, Part 2, edited by R. Kimmel and X.C. Tai, 647-669, Elsevier, 2019.

(with Yingwei Wang and Jianlin Xia) Fast structured Jacobi-Jacobi transforms. رياضيات. Comp. 88:1743-1772, 2019.

(with Changtao Sheng) Spectral methods for fractional differential equations using generalized Jacobi functions. P. 127-156 in Handbook of Fractional Calculus with Applications, V3: Numerical Methods, edited by G. Karniadakis, De Gruyter, 2019.

(With Weizhu Bao, Xinran Ruan and Changtao Sheng) Fundamental Gaps of the Fractional Schrodinger Operator. Comm. رياضيات. علوم. 17:447-471, 2019.

(with Qingcheng Yang, Arkadz Kirshtein, Yanzhou Ji, Chun Liu, Long-Qing Chen) A Thermodynamically Consistent Phase-Field Model For Viscous Sintering. J. American Ceramic Society, 102:674-685, 2019.


== is needed instead of = in eqn , and a space needs to be inserted in ut . With these changes, sol = DSolve[eqn, u, t] returns unevaluated. This is not surprising, because DSolve generally can solve only equations that are known to be solvable analytically. Instead, try

The choice of parameters and boundary conditions are just what came to mind, of course. What are your preferences? For the choices here, u grows rapidly with t .

Series Expansion at t == 0

A series expansion for u[t] about any given t0 can be derived in a compact manner. So, for t == 0 ,

Comparing this expansion with the numerical solution shows that it does not converge well for t larger than 0.2 , at least for the parameters chosen.

The blue curve is the numerical solution, and the orange, the expansion. That the expansion diverges quickly is obvious from

Adding more terms does not help.

Large u[t] Behavior

Insight into the behavior of the solution for large u[t] can be obtained by solving the equation exactly in that limit.

which is singular at t == 2/C[1]^(1/4) - C[2] .

Note that the parameters n and p drop out in this limit, so it is valid not just for the choices made for the earlier numerical solution.


The Attempt at a Solution

Assume RHS = 0 for general solution
Q'' + Q = 0

Let Q = e^kx
Q' = k e^kx
Q'' = k^2 e^kx
therefore
k^2e^kx + e^kx = 0
e^kx(k^2) = 0

No, factoring out e^ gives e^(k^2+ 1)= 0.

Particular Solution
Yp = A Sin 2x + B Cos 2x
Yp' = 2A Cos 2x - 2B Sin 2x
Yp"= -4A Sin 2x - 4B Cos (2x)


-4A Sin 2x - 4B Cos (2x) + A Sin 2x + B Cos 2x = Sin(2x)
-3A Sin 2x = Sin 2x
a = -1/3


非线性复分析及其应用(英文版)Nonlinear Complex Analysis and Its Applic epub 下载 mobi 下载 pdf 下载 txt 下载

非线性复分析及其应用(英文版)Nonlinear Complex Analysis and Its Applic pdf epub mobi txt 下载

书名:非线性复分析及其应用(英文版)Nonlinear Complex Analysis and Its Applications

The book is a continuation of development of' Boundary value problems for nonlinear elliptic equations and systems' and 'Linear and quasilinear equations of hyperbolic and mixed types '.A large portion of the work is devoted to boundary value problems for general elliptic plex equations of first,second and fourth order,initial-boundary value problems for nonlinear parabolic plex equations of first and second order.Moreover,some results about first and second order plex equations of mixed (elliptic-hyperbolic) type are investigated .Applications of nonlinear plex analysis to continuum mechanics are also introduced.

Preface
Chapter 1 Nonlinear Elliptic Complex Equations of First Order
1.1 Discontinuous Riemann-Hilbert Problem for Nonlinear Uniformly Elliptic Complex Equations of First Order
1.2 Boundary Value Problems for Elliptic Complex Equations with Nonsmooth Boundary
1.3 Nonlinear Riemann-Hilbert Problem for Elliptic Complex Equations in Multiply Connected Domains
1.4 The Riemann-Hilbert Problem for Quasilinear Degenerate Elliptic Complex Equations of First Order
1.5 Discontinuous Riemann-Hilbert Problem for Quasilinear Degenerate Elliptic Complex Equations of First Order
Chapter 2 Nonlinear Elliptic Equations of Second Order
2.1 Discontinuous Oblique Derivative Problem for Uniformly Elliptic Complex Equations of Second Order
2.2 Poincare Boundary Value Problem for Nonlinear Elliptic Equations of Second Order
2.3 General Oblique Derivative Problem for Nonlinear Elliptic Equations of Second Order
2.4 Discontinuous Irregular Oblique Derivative Problem of Nonlinear Elliptic Equations of Second Order
2.5 Boundary Value Problems for Nonlinear Degenerate Elliptic Equations of Second Order
Chapter 3 Nonlinear Elliptic Systems of Equations
3.1 Boundary Value Problems for Uniformly Elliptic Systems of Second Order Equations
3.2 Boundary Value Problems for Nonlinear Elliptic Systems of Second Order Equations
3.3 Boundary Value Problems of Nonlinear Elliptic Systems of Several First Order Complex Equations
3.4 Boundary Value Problems for Nonlinear Elliptic Systems with Several Unknown Functions
3.5 Degenerate Elliptic Systems of Second Order with Several Unknown Functions
3.6 Boundary Value Problems for Nonlinear Elliptic Complex Equations Second Order
5.3 Oblique Derivative Problem for Quasilinear Degenerate Hyperbolic Equations of Second Order
5.4 Cauchy Problem for Quasilinear Hyperbolic Equations with Degenerate Rank 0
5.5 Darboux Type Problem for Degenerate Hyperbolic Systems of Second Order Equations
Chapter 6 Quasilinear Equations of Mixed Type
6.1 The Riemann-Hilbert Problem for First Order Complex Equations of Mixed Type with Degenerate Line
6.2 The Trii Problem for Second Order Quasilinear Equations of Mixed Type with Parabolic Degeneracy
6.3 Frankl Type Problem for Second Order Quasilinear Degenerate Equations of Mixed Type
6.4 Boundary Value Problems for Degenerate Equations of Mixed Type in Multiply Connected Domains
6.5 Oblique Derivative Problem for Quasilinear Equations of Mixed Type with Nonsmooth Degenerate Line
6.6 Oblique Derivative Problem for Second Order Quasilinear Systems of Mixed Type with Parabolic Degeneracy
Chapter 7 Applications of Nonlinear Complex Analysis to Continuum Mechanics
7.1 Free Boundary Problems in Planar Filtration
7.2 Degenerate Elliptic Boundary Value Problem and Axisymmetric Filtration
7.3 Some Free Boundary Problems in Planar Subsonic Flow
7.4 Free Boundary Problems for Cavity Flows in Gas Dynamics
7.5 Free Boundary Problems in Elastico-Plastic Mechanics
مراجع


شاهد الفيديو: Diferencijalne jednačine - Bernoullieva diferencijalna jednačina (شهر نوفمبر 2021).