مقالات

7: المضلعات والدوائر المنتظمة - الرياضيات


المضلع تقليديًا هو شكل مستو يحده سلسلة محدودة من مقاطع الخط المستقيم التي تغلق في حلقة لتشكيل سلسلة مغلقة. تسمى هذه المقاطع حوافها أو جوانبها ، والنقاط التي تلتقي فيها الحافتان هي رؤوس أو زوايا المضلع.

  • 7.1: المضلعات المنتظمة
    المضلع المنتظم هو مضلع تتساوى فيه جميع الجوانب وتتساوى جميع الزوايا ، ومن الأمثلة على المضلع المنتظم المثلث متساوي الأضلاع (3 جوانب) والمربع (4 جوانب) والبنتاغون المنتظم (5 جوانب) والمضلع المنتظم مسدس (6 جوانب).
  • 7.2: الدوائر
    الدائرة هي واحدة من أكثر الأشكال الهندسية التي يتم مواجهتها بشكل متكرر. العجلات ، والخواتم ، وسجلات الفونوغراف ، والساعات ، والعملات المعدنية هي مجرد أمثلة قليلة على الأشياء الشائعة ذات الشكل الدائري. للدائرة تطبيقات عديدة في بناء الآلات وفي التصميم المعماري والزخرفي.
  • 7.3: ماسات الدائرة
    مماس الدائرة هو الخط الذي يتقاطع مع الدائرة في نقطة واحدة بالضبط.
  • 7.4: درجات في قوس
    يُعرَّف عدد الدرجات في القوس بأنه عدد الدرجات في الزاوية المركزية التي تعترض القوس.
  • 7.5: محيط الدائرة
    محيط الدائرة هو محيط الدائرة وطول الخط الذي يتم الحصول عليه بقطع الدائرة و "تقويم المنحنيات".
  • 7.6: مساحة الدائرة

الصورة المصغرة: مسدس منتظم مع شرح توضيحي. (CC0 ؛ لازلو نيميث عبر ويكيبيديا)


مساحة الدائرة أو المضلع المنتظم

هناك & # 8217 طريقة لطيفة لمعرفة سبب كون صيغة مساحة دائرة نصف القطر R هي: Pi * R 2.
لها علاقة مثيرة للاهتمام مع صيغة محيط الدائرة ، وهي 2 * Pi * R (وهذا نتيجة لتعريف Pi ، والتي تُعرّف على أنها نسبة محيط الدائرة إلى قطرها .)

لذا اعتبر أ مضلع منتظم، وهو شكل من جانب N مع أطوال أضلاع متساوية S وزوايا متساوية في كل زاوية. هناك دائرة منقوشة إلى المضلع الذي يحتوي على المركز C والذي بالكاد يلامس منتصف كل جانب. يسمى الخط الممتد من C إلى نقطة المنتصف في أحد الجوانب صيدلة، ونفترض أن هذا المجال له طول R.

إذا قمت بقص المضلع على طول الخطوط من كل ركن من أركان المضلع إلى المركز C ، فستحصل على مجموعة من المثلثات ، كل منها بمساحة (1/2) * (قاعدة) * (ارتفاع). لاحظ أن كل (قاعدة) لها طول S وأن (الارتفاع) هو طول R من apothem ، وهناك N مثل هذه المثلثات. وبالتالي فإن المساحة الإجمالية للمضلع هي N * (1/2) * S * R ، والتي يمكن أن نقولها بطريقة أخرى وهي:
(1/2) (محيط المضلع) * R

لاحظ الآن أنه إذا سمحت لـ N ، وهو عدد جوانب المضلع ، أن يصبح أكبر وأكبر ، فإن منطقة المضلع & # 8217s تقترب من مساحة دائرة نصف قطرها R. من ناحية أخرى ، يقترب المحيط من محيط الدائرة ، بحيث يذهب N إلى اللانهاية ، تقترب الصيغة أعلاه:
(1/2) (2 * Pi * R) * R.

وهي فقط Pi * R 2 ، مساحة الدائرة!

اقتراحات العرض:
ارسم دائرة واقطعها إلى أسافين دائرية رفيعة. ثم ساعد الطلاب على رؤية أن كل إسفين دائري يقترب من مثلث رفيع جدًا ، وعندما نقطع الفطيرة إلى المزيد والمزيد من الأوتاد ، يصبح هذا التقريب أفضل وأفضل وفي النهاية يصبح التقريب مساواة.

الرياضيات وراء الحقيقة:
إن عملية تقريب مساحة الدائرة عن طريق تقطيعها إلى شرائح رفيعة تشبه عملية التكامل (في حساب التفاضل والتكامل) لإيجاد منطقة. في الحد هذا التقريب يصبح أفضل وأفضل. لرؤية العلاقة بين المحيط والمساحة في الاتجاه المعاكس ، حيث تلعب المشتقات دورًا ، راجع مساحة سطح الكرة. راجع تدوير المضلعات لمزيد من الروابط بين المضلعات والدوائر.


المقارنة بين المضلعات المنتظمة

في هذه التجربة ، أقوم بإضافة نصف القطر (دعنا نطلق عليه $ A $) ومحيط القطر (دعنا نطلق عليه $ B $) من المضلعات المختلفة ذات الأضلاع المتساوية كل منها يساوي $ 1 (بدءًا من مربع وإضافة جانب واحد في كل مرة). تكون النتيجة $ A + B = C $ عندما يكون جانب المضلع = 1.

عند مقارنة $ C $ لمضلع واحد بالمضلع $ C $ للمضلع مع جانب واحد أكثر ، يبدو الفرق أصغر ، كما لو كان يقترب من إصدار $ pi $ مع. $ من قبل (ربما مثل 0.314159265359. ).

هل يستطيع أحد تأكيدها أو توضيحها؟

لا يمكنني تجاوز مضلع به 1000 جانب في قوة حسابي ، وأود أن أعرف ما يمكن توقعه أثناء التوجه نحو مضلع ذي جوانب لا متناهية.

مضلع ذو 4 جوانب: .5 + 0.707106781 = 1.207106781 دولار

مضلع ذو 5 جوانب: .68819096 + 0.850650808 = 1.5388417680000002 دولار (اختلاف 0.33173498700000015 من النتيجة السابقة)

مضلع ذو 6 جوانب: .866025404 +1 = 1.866025404 دولار (اختلاف 0.3271836359999998 من النتيجة السابقة)

مضلع ذو 7 جوانب: 1.0382607 دولار أمريكي + 1.15238244 = 2.1906431399999997 دولار أمريكي (فرق 0.32461773599999977 من النتيجة السابقة)

مضلع ذو 8 جوانب: 1.20710678 دولار أمريكي + 1.30656296 = 2.51366974 دولار أمريكي (فرق 0.3230266000000004 من النتيجة السابقة)

مضلع ذو 9 جوانب: 1.37373871 دولار أمريكي + 1.4619022 = 2.83564091 دولار أمريكي (فرق 0.32197116999999986 من النتيجة السابقة)

مضلع ذو 10 جوانب: 1.53884177 دولار أمريكي + 1.61803399 = 3.15687576 دولار أمريكي (فرق 0.3212348500000002 من النتيجة السابقة)

مضلع ذو 11 جانبًا: 1.70284362 دولارًا أمريكيًا + 1.77473277 = 3.47757639 دولارًا (فرق 0.3207006299999997 من النتيجة السابقة)

مضلع ذو 12 جانبًا: 1.8660254 دولارًا أمريكيًا + 1.93185165 دولارًا أمريكيًا = 3.79787705 دولارًا أمريكيًا (فرق 0.32030066 من النتيجة السابقة)

مضلع ذو 13 جانبًا: 2.02857974 دولارًا أمريكيًا + 2.08929073 = 4.11787047 دولارًا (اختلاف 0.31999341999999986 من النتيجة السابقة)

14 مضلعًا جانبيًا: 2.19064313 دولارًا أمريكيًا + 2.2469796 = 4.43762273 دولارًا أمريكيًا (فرق 0.31975226000000045 من النتيجة السابقة)

15 مضلعًا جانبيًا: 2.35231505 دولارًا أمريكيًا + 2.40486717 = 4.757182220000001 دولارًا أمريكيًا (فرق 0.3195594899999996 من النتيجة السابقة)

999 مضلع ذو جوانب: 158.995264 دولارًا أمريكيًا + 158.99605 دولارًا أمريكيًا = 317.991314 دولارًا أمريكيًا

1000 مضلع ذو جانب: 159.154419 دولارًا + 159.155205 = 318.309624 دولارًا (فرق 0.31830999999999676 من النتيجة السابقة)


ما هي الدائرة؟

  • نصف قطر الدائرة هو قطعة مستقيمة تصل مركز الدائرة بأي نقطة على الدائرة. هناك العديد من أنصاف الأقطار متساوية الطول في أي دائرة.
  • قطر أي دائرة ضعف طول نصف القطر.
  • يسمى الخط الذي ينضم إلى أي نقطتين على الدائرة بالوتر. يمر الوتر الأكبر عبر مركز الدائرة ويسمى قطر الدائرة.

الشكل 2: أمثلة على الدوائر

التبليط مع الخماسيات

مثل ال MTC Circular؟ اشترك في مجلتنا المجانية نصف السنوية.

في 14 أغسطس 2015 ، أعلن كيسي مان وجنيفر ماكلود وديفيد فون ديراو من جامعة واشنطن بوثيل أنهم اكتشفوا خماسيًا جديدًا غير منتظم من شأنه أن يكسو الطائرة. قبل هذا الإعلان ، لم يكن هناك سوى أربعة عشر نوعًا معروفًا من البنتاغون الذي يكسو الطائرة. في عام 1918 ، اكتشف كارل رينهارت الخمسة الأوائل ، وفي عام 1968 ، اكتشف ريتشارد كيرشنر ثلاثة آخرين. في عام 1975 وجد ريتشارد إي جيمس الثالث المركز التاسع. اكتشفت مارجوري رايس ، عالمة الرياضيات الهاوية ، أربعة أنواع جديدة في عامي 1976 و 1977. في عام 1985 ، اكتشف رولف شتاين النوع الرابع عشر. ثم ، في عام 2015 ، ظهر إصدار البنتاغون الخامس عشر. (من المثير للاهتمام ، أنه في عام 2017 ، أثبت مايكل راو أنه لم يكن هناك أكثر من هؤلاء الخمسة عشر).

& # 8220 أصبحت التبليط مع Pentagons & # 8221 واحدة من أفضل جلسات خريف 2015 لدائرة معلمي الرياضيات بشمال لويزيانا في شريفبورت ، لويزيانا. أحب المشاركون العمل باستخدام الرياضيات المكتشفة حديثًا والتي يمكنهم استخدامها في الفصول الدراسية الخاصة بهم.

لبدء الجلسة ، أجرينا مراجعة سريعة للمضلعات المحدبة وخصائصها. على وجه الخصوص ، راجع المشاركون أسماء بعض المضلعات وعملوا على إيجاد قياس كل زاوية من مضلع منتظم مع جوانب من ثلاثة إلى اثني عشر. ذكر المعلمون أن المضلع المنتظم له نفس الطول وزوايا نفس المقياس. بدءًا من حقيقة أن مجموع زوايا المثلث 180 درجة ، تم تشجيع المعلمين على إيجاد صيغة تناسب أي مضلع محدب.

بعد إتقان هذه المعلومات حول المضلعات المحدبة ، انتقلنا إلى الفسيفساء المنتظمة. تستخدم التغطية المنتظمة بالفسيفساء نسخًا من المضلع العادي نفسه لتغطية سطح مستو (مستو) بدون ثقوب وبدون تداخل. علاوة على ذلك ، يجب أن يكون عدد المضلعات التي تلتقي في كل رأس هو نفسه لجميع الرؤوس. استخدم المعلمون مصطلح "تغطية نقطة" للإشارة إلى ملء كل المساحة المحيطة بالرأس. هذا يعني أن مجموع الزوايا التي تلتقي عند قمة واحدة يجب أن تكون 360 درجة. سرعان ما اكتشف المشاركون أن المثلث والمربع والسداسي هي المضلعات المحدبة المنتظمة الوحيدة التي سوف تتشكل بالفسيفساء. عندما سئل المعلمون عن دليل على هذه الحقيقة ، شاركوا أن هذه هي المضلعات العادية الوحيدة التي تكون مقاييس زواياها الفردية عوامل 360 درجة.

ثم تحولت المناقشة إلى طرق أخرى للتغطية بالفسيفساء. كانت الاحتمالات التي تمت مناقشتها هي: السماح باستخدام أكثر من شكل واحد مما يسمح لعدد المضلعات التي تلتقي عند الرأس أن تكون مختلفة أو باستخدام مضلعات غير منتظمة. مع قليل من التوجيه ، ركز المشاركون على ما إذا كان هناك أي مضلعات محدبة غير منتظمة التي تتشكل دائمًا بالفسيفساء. كان الاكتشاف أن أي مثلث أو أي رباعي محدب سوف يتشكل بالفسيفساء. ترتيب ست نسخ من المثلث بحيث تظهر كل زاوية من المثلث مرتين عند كل رأس سيغطي المستوى. مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة ، وإذا التقت نسختان من كل زاوية عند الرأس ، فسيكون المجموع 360 درجة. وبالمثل ، فإن أي شكل رباعي محدب سوف يقوم أيضًا بتقسيم المستوي لأن مجموع الزوايا في الشكل الرباعي المحدب هو 360 درجة. إن ترتيب الأشكال الرباعية بحيث تلتقي كل زاوية في رأس واحد سيغطي المستوى.

بعد ذلك ، ناقشنا الخماسيات. كان المشاركون يعلمون أنه ليس كل الخماسيات ستلصق المستوي ، لأن البنتاغون العادي لا يكسو المستوي. ومع ذلك ، فقد تساءلوا عما إذا كان هناك أي خماسي محدب من شأنه أن يكسو الطائرة.

في هذا الوقت ، انقسم المعلمون إلى خمس مجموعات. تلقت كل مجموعة عددًا قليلاً من أوراق الأوراق المالية من البنتاغون الفريد وسألت عما إذا كان هذا البنتاغون سيغطي بالفسيفساء. أطلقنا على الخماسيات المختلفة A و B و C و D و E.

قام المعلمون بقص نسخ متعددة من البنتاغون وترتيبها على طاولات. ثبت أن بعض البنتاغونات سهلة الفسيفساء. في حالات أخرى ، توصل المشاركون إلى قرار بأن الشكل لن يكون فسيفساء.

بينما كافح المعلمون للحصول على بعض الأشكال بالفسيفساء ، قدمنا ​​بعض المعلومات الإضافية حول أحجام الزوايا ، على أمل أن يسمح ذلك لهم برؤية ترتيبات للزوايا التي من شأنها أن تضيف إلى 360 درجة. وجدت بعض المجموعات المعلومات الإضافية مفيدة وتمكنت بعد ذلك من إنشاء فسيفساء ، لكن بعض المجموعات ما زالت تكافح مع الأشكال الأكثر صعوبة.

الشكل الأول (أ) ب + ج = 180 درجة ، أ + د + ه = 360 درجة
الشكل الخامس (ب) أ = ب ، د = هـ ، أ = 60 درجة ، د = 120 درجة
الشكل السادس (ج) أ = د = هـ ، ب = ج ، ب + د = 180 درجة ، 2 ب = هـ
الشكل الثالث عشر (د) د = 2 أ = 2 هـ ، ب = هـ = 90 درجة ، 2 أ + د = 360 درجة
الشكل الخامس عشر (هـ) أ = ج = هـ ، ب = 2 أ ، أ = 150 درجة ، ب = 60 درجة ، ج = 135 درجة ، د = 105 درجة ، ه = 90 درجة

بعد أن كان لدى كل مجموعة الوقت لاستكشاف ومشاركة خبراتهم ، علموا أن جميع الخماسيات المقدمة ستغطي الطائرة. أدى هذا إلى مناقشة تاريخ التغطية بالفسيفساء مع البنتاغونات المحدبة. في هذه المرحلة ، تم إبلاغ المعلمين أن الشكل E قد تم اكتشافه قبل بضعة أشهر فقط من اجتماعنا وكان النوع الخامس عشر من المضلع الذي قد يتشكل بالفسيفساء. أدى ذلك إلى مناقشة مثيرة للطرق المستخدمة لاكتشاف هذا النوع الجديد. لإنهاء الاجتماع ، شاركنا روابط إلى العناصر الصحفية الأخيرة.

بعد بضعة أشهر ، عند مناقشة العمل الفني لقميص جديد للمجموعة ، أراد المعلمون وضع البلاط الخماسي الخامس عشر على ظهر قمصاننا بالكلمات ، & # 8220Discovering New Math Every Day! & # 8221

كان العمل مع الرياضيات المكتشفة حديثًا تجربة مثيرة للجميع. لم تكن هناك كتب مدرسية أو صيغ شاقة ، فقط ملاحظات وأنماط ومناقشات والكثير من الاستفسارات.

يمكن أن تكون هذه الجلسة جزءًا من سلسلة أكبر من الجلسات حول الأسطح. انظر ، على سبيل المثال ، مقال وايت وبينيت عن الأسقف شبه العادية في صيف / خريف 2016 MTCircular ، ومقال رودان عن الأسقف التي تشبه Escher في صيف / خريف 2014 MTCircular


مضلع ودوائر منتظمة

نظرية. كل مضلع منتظم له دائرة محددة ودائرة منقوشة.

دليل - إثبات.

بإعطاء شكل n منتظم ، ارسم منصف الزوايا للزوايا الداخلية. نظرًا لأن الزوايا الداخلية لمنتظم n -gon متطابقة ، نحصل على n مثلثات متساوية الساقين. (انظر التحديد من الزوايا أن المثلث متساوي الساقين لمزيد من التفاصيل.) علاوة على ذلك ، نظرًا لأن جوانب الشكل المنتظم n متطابقة ، فإن هذه المثلثات متساوية الساقين لها قواعد متطابقة. وبالتالي ، فإن هذه المثلثات متطابقة (ASA). لذلك ، فإن الأضلاع المجاورة لزوايا الرأس متطابقة. ومن ثم ، فإن رءوس مثلثين متجاورين ، وبالتالي تتطابق رؤوس كل المثلثات. تقع نقطة الرأس المشتركة هذه على مسافة متساوية من جميع رؤوس المضلع وأيضًا من جميع جوانب المضلع ، حيث تكون في نفس الوقت مركز (http://planetmath.org/Center8) للدائرة المقيدة والدائرة المنقوشة. ∎

لتوضيح ما يجري في البرهان ، سيتم توضيح الإجراء الموضح في الإثبات لخماسي منتظم ومسدس منتظم. في الصور أدناه ، يكون البنتاغون العادي على اليسار ، والشكل السداسي المنتظم على اليمين.

في الصورة الأولى ، يتم رسم منصفات الزاوية n باللون الأزرق. لاحظ كيف تتقاطع جميعًا عند نقطة واحدة. هذه النقطة هي مركز المضلع المنتظم.

في الصورة الثانية ، يتم رسم منصفات الزاوية n إلى المركز فقط. لاحظ أن الصورة الناتجة عن الشكل السداسي العادي لا تختلف عن الصورة السابقة.

في الصورة الأخيرة ، تم رسم الدائرة المنقوشة باللون الأخضر ، والدائرة المقيدة باللون السماوي.


الأشكال والمضلعات

المضلع عبارة عن شكل مغلق يتم إنشاؤه عن طريق ضم مقاطع خطية ، حيث يتقاطع كل جزء خطي مع اثنين آخرين تمامًا.

فيما يلي أمثلة على المضلعات:

الشكل أدناه ليس مضلعًا ، لأنه ليس شكلًا مغلقًا:

الشكل أدناه ليس مضلعًا ، لأنه ليس مكونًا من مقاطع خطية:

الشكل أدناه ليس مضلعًا ، نظرًا لأن جوانبه لا تتقاطع في مكانين بالضبط:

مضلع منتظم

المضلع المنتظم هو مضلع جميع جوانبه متساوية الطول وزواياه كلها متشابهة. مجموع زوايا المضلع مع ن الجانبين ، أين ن 3 أو أكثر ، 180 درجة × ( ن - 2) درجات.

فيما يلي أمثلة على المضلعات المنتظمة:

فيما يلي أمثلة على مضلعات منتظمة:

فيرتكس

1) رأس الزاوية هو نقطة تقاطع الشعاعين اللذين يشكلان الزاوية.

2) رؤوس المضلع هي النقاط التي تتقاطع فيها أضلاعه.

مثلث

مضلع ثلاثي الأضلاع. مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة.

مثلث متساوي الأضلاع أو مثلث متساوي الزوايا

مثلث له أضلاعه الثلاثة متساوية في الطول. قياس زوايا المثلث متساوي الأضلاع كلها 60 درجة.

مثلث متساوي الساقين

مثلث له ضلعان متساويان في الطول.

مثلث مختلف الأضلاع

مثلث له ثلاثة أضلاع بأطوال مختلفة.

مثلث حاد الزوايا

مثلث له ثلاث زوايا حادة.

مثلث منفرج الزاوية

مثلث بزاوية منفرجة. قياس إحدى زوايا المثلث أكثر من 90 درجة.

مثلث قائم

مثلث له زاوية قائمة. إحدى زوايا المثلث قياسها 90 درجة. الضلع المقابل للزاوية القائمة يسمى الوتر. يسمى الجانبان اللذان يشكلان الزاوية اليمنى الساقين. للمثلث القائم الزاوية خاصية خاصة وهي أن مجموع مربعات أطوال الأرجل يساوي مربع طول الوتر. يُعرف هذا باسم نظرية فيثاغورس.

للمثلث القائم أعلاه ، أطوال الساقين أ وب ، وطول الوتر ج. وباستخدام نظرية فيثاغورس ، نعلم أن أ 2 + ب 2 = ج 2.

في المثلث القائم أعلاه ، طول الوتر 5 ، ونلاحظ أن 3 2 + 4 2 = 5 2 وفقًا لنظرية فيثاغورس.

رباعي

مضلع رباعي الأضلاع. مجموع زوايا الشكل الرباعي يساوي 360 درجة.

مستطيل

مضلع رباعي الأضلاع به جميع الزوايا القائمة. مجموع زوايا المستطيل 360 درجة.

ميدان

مضلع رباعي الأضلاع له جوانب متساوية الطول تلتقي بزوايا قائمة. مجموع زوايا المربع هو 360 درجة.

متوازي الاضلاع

متوازي الاضلاع

مضلع رباعي الأضلاع له زوجان من الأضلاع المتوازية. مجموع زوايا متوازي الأضلاع 360 درجة.

معين

مضلع رباعي الأضلاع له جميع الأضلاع الأربعة متساوية الطول. مجموع زوايا المعين هو 360 درجة.

شبه منحرف

مضلع رباعي الأضلاع له زوج واحد من الأضلاع المتوازية. يسمى الجانبان المتوازيان قواعد شبه المنحرف. مجموع زوايا شبه المنحرف 360 درجة.

خماسي الاضلاع

مضلع خماسي الأضلاع. مجموع زوايا البنتاغون هو 540 درجة.

سداسي الزوايا

مضلع سداسي الأضلاع. مجموع زوايا الشكل السداسي 720 درجة.

سباعي

مضلع بسبعة أضلاع. مجموع زوايا الشكل السباعي 900 درجة.

مثمن

مضلع ثماني الأضلاع. مجموع زوايا الشكل الثماني يساوي 1080 درجة.

نوناجون

مضلع ذو تسعة جوانب. مجموع زوايا الشكل غير المضلع هو 1260 درجة.

عشري

مضلع من عشرة جوانب. مجموع زوايا الشكل العشري 1440 درجة.

دائرة

الدائرة هي مجموعة النقاط في المستوى التي تكون جميعها على نفس المسافة من نقطة ثابتة. النقطة الثابتة تسمى المركز. القطعة المستقيمة التي تربط المركز بأي نقطة على الدائرة تسمى نصف القطر.

الخط الأزرق هو نصف القطر r ، ومجموعة النقاط الحمراء هي الدائرة.

محدب

يكون الشكل محدبًا إذا كان كل مقطع خط مرسوم بين أي نقطتين داخل الشكل يقع بالكامل داخل الشكل. يسمى الشكل غير المحدب الشكل المقعر.

الأرقام التالية محدبة.

الأشكال التالية مقعرة. لاحظ قطعة الخط الأحمر المرسومة بين نقطتين داخل الشكل والتي تمر أيضًا خارج الشكل.


إيجاد مساحة المضلع المنتظم المحدب

يعد العثور على محيط مضلع منتظم تمرينًا تافهًا نسبيًا. بمجرد معرفة طول أحد الأضلاع ، يمكنك ببساطة ضربه في عدد الأضلاع للحصول على المحيط. العثور على منطقة المضلع المنتظم ليس بهذه البساطة. أبسط مضلع منتظم هو مثلث متساوي الأضلاع. إذا عرفنا طول كل ضلع ، فيمكننا إيجاد المساحة بسهولة نسبيًا ، لأن مساحة المثلث يمكن إيجادها بضرب طول قاعدة المثلث في ارتفاعه والقسمة على اثنين. إذا أخذنا أحد الأضلاع كأساس للمثلث ، فيمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد الارتفاع. ضع في اعتبارك المثلث متساوي الأضلاع التالي:

المثلث ABC مثلث متساوي الأضلاع

في المثلث المتساوي الأضلاع ABC ، ​​يتم تمثيل طول كل ضلع من أضلاع المثلث س . الإرتفاع ح المثلث هو طول العمود العمودي من منتصف النقطة D لقاعدة المثلث إلى الرأس B. بما أن المثلث ABD مثلث قائم الزاوية ، فإن نظرية فيثاغورس تخبرنا أن طول العمود العمودي BD ومن هنا الارتفاع ح للمثلث باستخدام الصيغة التالية:

إذا عرفنا قيمة س لذلك يمكننا إيجاد الارتفاع ( BD ) للمثلث ومن ثم مساحة المثلث (المساحة تساوي نصف طول القاعدة مضروبة في الارتفاع). إذا كان لدينا قيمة ل س من ستة (6) نحصل على ما يلي:

ح = √ (6 2 - 3 2 ) = √ (36 - 9) = √ 27 = 5.196

يمكننا الآن حساب مساحة المثلث:

مساحة المثلث = 6 × 5.196 = 15.588
2

بدلاً من ذلك ، يمكننا استخدام الصيغة التالية التي تتيح لنا إيجاد مساحة مثلث متساوي الأضلاع دون الحاجة أولاً إلى إيجاد ارتفاع المثلث ، بشرط أن نعرف الطول س من كل جانب:

مساحة المثلث = س 2 × √ 3
4

باستخدام هذه الصيغة ، إذا استخدمنا قيمة مرة أخرى لـ س من ستة ، نحصل على ما يلي:

مساحة المثلث = 36 × 1.732 = 15.588
4

إن إيجاد مساحة المربع هو تمرين تافه ، لأن المساحة ستكون ببساطة طول ضلع واحد مضروبًا في نفسه (أي تربيع). العثور على مساحة مضلع منتظم محدب بأكثر من أربعة جوانب ليس بالأمر السهل على الرغم من وجود صيغة بسيطة يمكن تطبيقها بشرط أن نعرف طول كل ضلع وطول صيدلة (يربط الجزء المستقيم مركز المضلع بنقطة المنتصف لأي جانب). طول الحرف لمضلع منتظم معطى ن جوانب الطول س يمكن العثور عليها باستخدام عدد من الصيغ المختلفة ، ولكن نظرًا لأن كل هذه الصيغ تستخدم الدوال المثلثية ، فلن نناقشها هنا. افترض بدلاً من ذلك أنه لأغراض هذا التمرين وجدنا الصيدلة عن طريق القياس. يمكننا استخدام الصيغة التالية لإيجاد المساحة:

مساحة المضلع المنتظم المحدب = ا ف ب
2

ضع في اعتبارك الشكل الثماني التالي:

طول ضلع المثمن 6 وقياسه 7.243

يبلغ طول ضلع المثمن الموضح أعلاه ستة (6) ، وصيدلي من سبعة نقطة اثنين أربعة ثلاثة (7.243). محيط ص المثمن سيكون طول ضلع واحد (ستة) مضروبًا في العدد الإجمالي للأضلاع (ثمانية) ، والذي يعطي قيمة لـ ص من ثمانية واربعون (48). يمكننا الآن حساب مساحة الشكل الثماني على النحو التالي:

لمراجعة هذه النتيجة مرة أخرى ، يمكننا التعامل مع مشكلة إيجاد مساحة الشكل الثماني من منظور مختلف لمعرفة ما إذا كنا سنحصل على نفس النتيجة. انظر إلى الرسم التخطيطي التالي ، الذي يُظهر الشكل الثماني نفسه ولكن مع بعض الإنشاءات الإضافية:

للمثمن زوايا داخلية 135 درجة وزوايا خارجية 45 درجة

نعلم بالفعل أن الشكل الثماني له زوايا داخلية تبلغ مائة وخمسة وثلاثين درجة (135 درجة) ، وبما أن الزوايا الداخلية والخارجية لمضلع محدب هي تكميلي (أي أنها تجمع ما يصل إلى مائة وثمانين درجة) ثم خارجي يجب أن تكون الزوايا خمسًا وأربعين درجة (45 درجة). إذن ، للمثلث ABC زاويتان تساوي كل منهما 45 درجة ، لذا يجب أن تكون الزاوية المتبقية تسعين درجة (90 درجة) مما يجعل هذا المثلث قائم الزاوية. علاوة على ذلك ، مع وجود زاويتين لهما نفس القيمة ، يجب أن يكون المثلث ABC هو متساوي الساقين مثلث قائم الزاوية ، وهو ما يعني تلك الساق AB هو نفس طول الساق قبل الميلاد . لذلك يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول القطع المستقيمة AB و قبل الميلاد :

AB = قبل الميلاد = √ س 2 = √ 18 = 4.243
2

يمكننا في الواقع بناء أربعة مثلثات قائمة الزاوية كما هو موضح في الرسم التوضيحي أدناه لتحويل الشكل الثماني إلى مربع. يمكن حساب مساحة المربع بضرب الطول الإجمالي لأحد الأضلاع في نفسه (أي بـ تربيع هو - هي).

يمكن تكوين أربعة مثلثات متطابقة لتحويل الشكل الثماني إلى مربع

يمكن إيجاد مساحة الشكل الثماني بطرح مساحة المثلثات الأربعة القائمة الزاوية من مساحة المربع. سيكون الحساب على النحو التالي:

مساحة المثمن = (4.243 × 2 + 6) 2 - 4 × 4.243 2
2

مساحة المثمن = 14.486 2 - 4 × 9.001 = 209.844 - 36.004 = 173.84

الإجابة التي نحصل عليها هنا هي في الأساس نفس الإجابة التي حصلنا عليها سابقًا ، مع وجود اختلاف (صغير جدًا) بسبب خطأ التقريب. في حين أن هذا النهج يعمل مع البنتاغون ، إلا أنه لا يعمل بشكل جيد مع المضلعات العادية الأخرى ، لذا فإن صيغة apothem هي حل قابل للتطبيق بشكل عام. دعونا نرى كيف يعمل.

الزاوية التي تم إنشاؤها في مركز مضلع منتظم محدب بواسطة خطي نصف قطر متجاورين تُعرف بـ زاوية مركزية. ل ن مضلع ذو جوانب ، الزاوية المركزية تساوي ثلاثمائة وستين درجة مقسومة على ن ( 360° ÷ ن ). سيشكل خطي نصف القطر ، جنبًا إلى جنب مع ضلع المضلع المتجاور بينهما ، مثلثًا متساوي الساقين. في الرسم البياني أدناه ، جانب واحد س البنتاغون يشكل قاعدة المثلث المتساوي الساقين ABC ، ​​حيث يشكل نصف القطر المجاور الأضلاع الجانبية للمثلث. منذ apothem أ تشكل العمود العمودي الذي يربط قاعدة المثلث بالرأس ب ، فإن ارتفاع المثلث سوف يساوي طول الجسم.

يتكون المثلث متساوي الساقين من جانب واحد وخطي نصف قطر متجاورين

سيشكل كل جانب من المضلع قاعدة مثلث متساوي الساقين ، ويمكن إيجاد مساحة المضلع بجمع مناطق كل المثلثات المتكونة بهذا الشكل. يمكن إيجاد مساحة المثلث باستخدام الصيغة التالية:

مساحة المثلث = قاعدة × ارتفاع
2

مساحة المضلع مع ن وبالتالي يمكن التعبير عن الجوانب على النحو التالي:

مساحة المضلع المنتظم المحدب = ن × قاعدة × ارتفاع
2

لقد أثبتنا بالفعل أن طول قاعدة المثلث يساوي الطول س على أحد جوانب المضلع. لقد أثبتنا أيضًا أن الطول ص لمحيط المضلع يساوي عدد الأضلاع ن مضروبة في الطول س من كل جانب. إذا كان ارتفاع المثلث يساوي الطول أ يمكننا إعادة كتابة الصيغة على النحو التالي:

مساحة المضلع المنتظم المحدب = ا ف ب
2


2 إجابات 2

استخدم الصيغة القياسية: مساحة المثلث الأولي تساوي نصف طول الضلع ($ a $) مضروبًا في طول الضلع ($ s $).

إذا كان للمضلع العادي أضلاع $ n $ ، يكون طول الضلع ونصف الضلع $ a = r cos frac pi n ، qquad s = r sin frac pi n. $ هل يمكنك المتابعة؟

تأمل هذه الصورة. أخذت ما لديك وقمت بتعديله قليلاً بإضافة بعض التركيبات التي ستكون مفيدة لإثبات هذا البيان. ضع في اعتبارك أنه لا يجب استخدام هذه الصورة إلا كمرجع ، لأن الدليل يجب أن يكون صالحًا لأي مضلع منتظم به جوانب n منقوشة في الدائرة.

ضع في اعتبارك مضلعًا منتظمًا به أي عدد من الأضلاع ($ n $ الجانبين) المدرجة في الدائرة.

يمكننا الآن رسم بعض الخطوط بدءًا من المركز وتنتهي عند كل رأس من رؤوس المضلع. هذه الخطوط لها نفس طول نصف قطر المحيط ، والذي يمكنني تسميته $ R $

يمكنك أن ترى أن المضلع الأصلي مقسم الآن إلى بعض المثلثات. الفكرة هي أنه يمكنني التعبير عن مساحة المضلع الأصلي كمجموع مساحات المثلثات.

إذا كنا نفكر في مربع ، فلدينا أربعة من هذه المثلثات ، ولكن كم لدينا إذا أخذنا في الاعتبار مضلعًا منتظمًا عامًا بأضلاعه $ n $؟

لنفعل نفس العملية مرة أخرى ، ولكن بطريقة أكثر عمومية. يتكون كل مثلث من اثنين من هذه الخطوط تبدأ من المركز وجانب واحد من المضلع المنقوش. ضع في اعتبارك أن أضلاع المضلع المنقوش هي قواعد هذه المثلثات ، وهذا يعني أنه يمكن أن يكون لدينا على الأكثر $ n $ قواعد ممكنة وبالتالي على الأكثر $ n $ مثلثات محتملة لمضلع به جوانب $ n $.

الآن أريدك أن تفكر في كل مثلث على حدة. ما هي مقاييس جوانبها؟

يتكون كل مثلث من ضلعين متساويين مكافئين لنصف قطر المحيط $ R $ والضلع الثالث هو أحد أضلاع المضلع المنقوش ، والذي يمكنني تسميته $ l $. نظرًا لأن أضلاع المضلع العادي نفسه متساوية ، فإن كل المثلثات $ n $ متطابقة لأن لها ثلاثة أضلاع متساوية.

اسأل نفسك الآن ، ماذا يعني التطابق؟ تعني علاقة التطابق بين مضلعين أنه يمكن تداخل المضلعين. لدينا مثلثات $ n $ وهي متطابقة ، لذا يمكن تداخلها. إذا كان بإمكانك تداخل كل هذه المثلثات الستة ، فيجب أن يشغل كل منها نفس المنطقة ، لذا فإن كل هذه المثلثات $ n $ لها نفس المساحة.

دعونا الآن نحلل أحد هذه المثلثات بشكل منفصل ودعونا نحاول حساب مساحتها.

مساحة المثلث هي $ frac <1> <2> bh $ وبما أن القاعدة هي جانب المضلع العادي ، يمكنني كتابتها على النحو التالي $ frac <1> <2> lh $.

سأبدأ برسم ارتفاع $ h $ للمثلث ، والذي يقسم المثلث الأصلي إلى مثلثين قائمين الزاوية. المثلث الأصلي له ضلعان مساويان لنصف قطر المحيط ، لذا فإن ارتفاعه هو أيضًا النقطة المتوسطة للقاعدة. هذا يعني أن كل من مثلثي الزاوية اليمنى به $ frac<2> $ كقاعدة له و $ h $ ارتفاعه.

فكر الآن في ارتفاع $ h $ للمثلث. يمكنك تطبيق نظرية فيثاغورس على أحد مثلثي الزاوية اليمنى وتحصل على:

$ ipotenuse ^ 2 = side1 ^ 2 + side2 ^ 2 $

عن طريق استبدال القيم:

هذا يعني أن $ h ^ 2 = R ^ 2 - frac <4> = frac <4R ^ 2-l ^ 2> <4> $

لنأخذ الجذر التربيعي للطرفين:

يمكننا الآن حساب مساحة المثلث بالتعويض عن القيمة التي وجدتها لـ $ h $ في الصيغة:

يمكننا أخيرًا حساب مساحة المضلع المنتظم المنقوش. لدينا $ n $ مثلثات بمساحة متساوية ، لذا فإن المساحة الكلية n مضروبة في مساحة مثلث واحد

دعونا نجري بعض الملاحظات لتبسيط الصيغة. أولاً وقبل كل شيء ، للمضلع العادي ن أضلاع متساوية ، لذا فإن محيطه هو n مضروبًا في l ، $ nl = p $ ، وبالتالي تصبح الصيغة

هذه هي الصيغة معبر عنها بنصف القطر ، لكنها طويلة جدًا. يمكنك استخدام حقيقة أن ارتفاع كل مثلث هو نصف قطر الدائرة المدرجة في المضلع المنتظم ، وبالتالي تصبح الصيغة

$ Atot = frac <1> <2> pr $ حيث r هو نصف قطر الدائرة المدرجة في المضلع.

بما أنك طلبت أيضًا النسبة بدلالة الدائرة المحصورة حول المضلع المنتظم:


شاهد الفيديو: المضلعات المنتظمه والزوايا الداخليه والخارجيه والمركزيه (ديسمبر 2021).