مقالات

2.7: النظريات والتخمينات التي تتضمن الأعداد الأولية - الرياضيات


لقد أثبتنا أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية. السؤال الذي يطرح نفسه هنا بشكل طبيعي هو التالي: هل يمكننا تقدير عدد الأعداد الأولية الموجودة أقل من رقم معين؟ النظرية التي تجيب على هذا السؤال هي نظرية الأعداد الأولية. نشير بواسطة ( pi (x) ) عدد الأعداد الأولية الأقل من رقم موجب معين (x ). عمل العديد من علماء الرياضيات على هذه النظرية وخمنوا العديد من التقديرات قبل أن يذكر Chebyshev أخيرًا أن التقدير هو (x / log x ). تم إثبات نظرية الأعداد الأولية أخيرًا في عام 1896 عندما قدم هادامارد وبوسين براهين مستقلة. قبل ذكر نظرية الأعداد الأولية ، نذكر ونثبت وجود لمة تتضمن الأعداد الأولية التي سيتم استخدامها في الفصول القادمة.

ليما

لنفترض (p ) أن يكون عددًا أوليًا ونسمح (m in mathbb {Z ^ +} ). ثم أعلى قوة لـ (p ) قسمة (m! ) هي [ sum_ {i = 1} ^ infty left [ frac {m} {p ^ i} right] ]

من بين جميع الأعداد الصحيحة من 1 حتى (m ) ، هناك بالضبط ( left [ frac {m} {p} right] ) أعداد صحيحة قابلة للقسمة على (p ). هذه (p، 2p، ...، left [ frac {m} {p} right] p ). وبالمثل ، نرى أن هناك ( left [ frac {m} {p ^ i} right] ) أعداد صحيحة قابلة للقسمة على (p ^ i ). نتيجة لذلك ، فإن أعلى قوة لقسمة (م! ) هي

[ sum_ {i geq 1} i left { left [ frac {m} {p ^ i} right] - left [ frac {m} {p ^ {i + 1}} right] right } = sum_ {i geq 1} left [ frac {m} {p ^ i} right] ]

نظرية الأعداد الأولية

دع (x> 0 ) ثم [ pi (x) sim x / log x ]

لذلك تقول هذه النظرية أنك لست بحاجة إلى إيجاد جميع الأعداد الأولية الأقل من (س ) لمعرفة عددها ، سيكون كافياً تقييم (س / سجل س ) لكبير (س ) للعثور على تقدير لعدد الأعداد الأولية. لاحظ أنني ذكرت أن (x ) يجب أن يكون كبيرًا بما يكفي لاستخدام هذا التقدير.

تم إثبات العديد من النظريات الأخرى المتعلقة بالأعداد الأولية. تناول العديد من علماء الرياضيات العظماء المشكلات المتعلقة بالأعداد الأولية. لا يزال هناك العديد من المشاكل المفتوحة التي سنذكر بعضها.

حدسية التوأم

يوجد عدد لا نهائي من الأزواج الأولية (ع ) و (ع + 2 ).

تخمين جولدباخ

يمكن كتابة كل عدد صحيح موجب أكبر من 2 كمجموع اثنين من الأعداد الأولية.

التخمين (n ^ 2 + 1 )

يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية للنموذج (n ^ 2 + 1 ) ، حيث (n ) عدد صحيح موجب.

تخمين بوليجناك

لكل عدد زوجي (2n ) يوجد عدد لا نهائي من أزواج الأعداد الأولية المتتالية التي تختلف بـ (2n ).

تخمين أوبرمان

هل يوجد دائمًا عدد أولي بين (n ^ 2 ) و ((n + 1) ^ 2 )؟


قائمة التخمينات الأولية

لا توجد مراجعات معتمدة لهذه الصفحة ، لذلك يجوز ليس تمت مراجعته.


تم إنشاء هذه الصفحة لتنظيم جميع التخمينات والمشكلات التي لم يتم حلها والتي تتضمن أعدادًا أولية ، مدرجة من الأعلى إلى الأقل أهمية. إذا تم إجراء تخمينات جديدة ذات صلة ، فيمكن إضافتها إلى هذه الصفحة. إذا تم حل إحدى المشكلات وقبولها من قبل مجتمع الرياضيات ، فيمكن إزالتها.

[R] Bernhard Riemann ، "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ، (1859) Monatsberichte der Berliner Akademie.
[T] E.C. Titchmarsh ، "نظرية دالة ريمان زيتا" ، أكسفورد. مطبعة الجامعة
[P] G. Polya، "Bemerkung ueber die Integraldarstellung der Riemannsche zeta-Funktion"، Acta Math. 48 (1926) ، 305-317.
[ب] د. تشوي ، ب. كورلبيرج ، جيه فالر ، "فرضية ريمان محلية، رياضيات. تسايت. 233 (2000) ص1-19.
[H] H. Hamburger، "Ueber die Riemannsche Funktionalgleichung der zeta-Funktion"، Math. تسايت. 10 (1921) ، 240-254.
[V] أ. كاراتسوبا ، فورونين س. ، "وظيفة ريمان زيتا، معرض دي جروتر للرياضيات ، مترجم. نيل كوبليتز (1975) ص 212.
[F] J. Faraut ، A. Koranyi ، "مسافات الوظائف وإعادة إنتاج النواة في المجالات المتماثلة المحدودة، J. Funct. ان. 88 (1990) ص64-89.

الأرقام الأولية: الأرقام الأكثر غموضًا في الرياضيات ، John Wiley & amp Sons ، Inc. ، 2005 ، p. 13.

Westzynthius ، E. (1931) ، "Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind" ، التعليقات Physico-Mathematicae Helingsfors 5: 1–37
شانكس ، دانيال (1964) ، "حول الفجوات القصوى بين الأعداد الأولية المتتالية" ، رياضيات الحساب (الجمعية الأمريكية للرياضيات) 18 (88): 646-651
أندرو جرانفيل (1995) ، "هارالد كرامير وتوزيع الأعداد الأولية"
توماس ر. (1999) ، "الفجوات الأولية القصوى الجديدة والأحداث الأولى" ، رياضيات الحساب 68 (227): 1311-1315

توماس ر. "اختبار البدائية Baillie-PSW."
ر.ك جاي. "الجرائم الكاذبة. جرائم أويلر الكاذبة. جرائم كاذبة قوية". § A12 في "المشاكل غير المحلولة في نظرية الأعداد" ، الطبعة الثانية. نيويورك: Springer-Verlag ، الصفحات 27-30 ، 1994.


محتويات

يترك π(x) أن تكون دالة العد الأولي التي تعطي عدد الأعداد الأولية أقل من أو يساوي x ، لأي عدد حقيقي x. على سبيل المثال، π(10) = 4 لأن هناك أربعة أعداد أولية (2 و 3 و 5 و 7) أصغر من أو يساوي 10. ثم تنص نظرية الأعداد الأولية على أن x / سجل x هو تقريب جيد ل π(x) (حيث log هنا يعني اللوغاريتم الطبيعي) ، بمعنى أن نهاية حاصل القسمة من الوظيفتين π(x) و x / سجل x عندما تزيد x بدون حدود هي 1:

معروف ب قانون تقارب توزيع الأعداد الأولية. باستخدام تدوين مقارب يمكن إعادة صياغة هذه النتيجة كـ

هذا الترميز (والنظرية) يفعل ليس قول أي شيء عن حد فرق من الدالتين مع زيادة x بدون حدود. بدلا من ذلك ، تنص النظرية على ذلك x / سجل x يقارب π(x) بمعنى أن الخطأ النسبي لهذا التقريب يقترب من الصفر مع زيادة x بلا حدود.

نظرية الأعداد الأولية تعادل العبارة التي تقول إن العدد الأولي ن صن استوفي

يعني الترميز المقارب ، مرة أخرى ، أن الخطأ النسبي لهذا التقريب يقترب من 0 مع زيادة n دون قيود. على سبيل المثال ، العدد الأولي 2 × 10 17 هو 8 512677386048191063 ، [2] و (2 × 10 17) تسجيل (2 × 10 17) تقريب إلى 7967418752291744388 ، خطأ نسبي حوالي 6.4٪.

كما هو موضح أدناه ، فإن نظرية الأعداد الأولية تعادل أيضًا

استنادًا إلى جداول أنطون فيكل وجوري فيجا ، توقع أدريان ماري ليجيندر في عام 1797 أو 1798 أن π(أ) بواسطة الوظيفة أ / (أ سجل أ + ب) ، حيث A و B ثوابت غير محددة. في الطبعة الثانية من كتابه عن نظرية الأعداد (1808) ، قدم تخمينًا أكثر دقة ، باستخدام أ = 1 و ب = −1.08366. نظر كارل فريدريش جاوس في نفس السؤال في سن 15 أو 16 "في عام 1792 أو 1793" ، وفقًا لما تذكره في عام 1849. [3] في عام 1838 ، توصل بيتر جوستاف ليجون ديريتشليت إلى وظيفته التقريبية الخاصة ، وهي اللوغاريتمية التكاملية. (x) (تحت شكل مختلف قليلاً من السلسلة ، والذي أبلغه غاوس). تتضمن كل من صيغ Legendre's و Dirichlet نفس التكافؤ المقارب المفترض لـ π(x) و x / سجل(x) المذكورة أعلاه ، على الرغم من أنه اتضح أن تقريب Dirichlet أفضل بكثير إذا أخذ المرء في الاعتبار الاختلافات بدلاً من حواجز القسمة.

في ورقتين من 1848 و 1850 ، حاول عالم الرياضيات الروسي بافنوتي تشيبيشيف إثبات القانون المقارب لتوزيع الأعداد الأولية. يتميز عمله باستخدام وظيفة زيتا ζ(س) ، من أجل القيم الحقيقية للحجة ، كما في أعمال ليونارد أويلر ، في وقت مبكر من عام 1737. أوراق تشيبيشيف سبقت مذكرات ريمان الشهيرة لعام 1859 ، ونجح في إثبات شكل أضعف قليلاً من قانون التقارب ، أي أن إذا كانت النهاية مثل x تذهب إلى ما لا نهاية π(x) / (x / سجل(x)) موجود على الإطلاق ، فهو بالضرورة يساوي واحدًا. [4] كان قادرًا على أن يثبت دون قيد أو شرط أن هذه النسبة مقيدة بأعلى وأسفل بثابتين معطيات صراحة بالقرب من 1 ، لكل x كبير بما فيه الكفاية. [5] على الرغم من أن ورقة تشيبيشيف لم تثبت نظرية الأعداد الأولية ، إلا أن تقديراته لـ π(x) كانت قوية بما يكفي لإثبات فرضية برتراند بوجود عدد أولي بينهما ن و 2ن لأي عدد صحيح ن ≥ 2 .

ورقة مهمة تتعلق بتوزيع الأعداد الأولية كانت مذكرات ريمان لعام 1859 "حول عدد الأعداد الأولية الأقل من حجم معين" ، الورقة الوحيدة التي كتبها عن هذا الموضوع. قدم ريمان أفكارًا جديدة في الموضوع ، خاصة أن توزيع الأعداد الأولية مرتبط ارتباطًا وثيقًا بأصفار دالة زيتا ريمان الموسعة تحليليًا لمتغير معقد. على وجه الخصوص ، في هذه الورقة فكرة تطبيق طرق التحليل المعقد لدراسة الوظيفة الحقيقية π(x) ينشأ. لتوسيع أفكار ريمان ، تم العثور على دليلين لقانون التقارب لتوزيع الأعداد الأولية بشكل مستقل من قبل جاك هادامارد وتشارلز جان دي لا فالي بوسان وظهرت في نفس العام (1896). استخدم كلا البرهان طرقًا من التحليل المعقد ، كخطوة رئيسية لإثبات أن دالة زيتا ريمان ζ(س) ليست صفرية لجميع القيم المعقدة للمتغير s التي لها الشكل س = 1 + هو - هي مع ر & GT 0. [6]

خلال القرن العشرين ، أصبحت نظرية Hadamard و de la Vallée Poussin تُعرف أيضًا باسم نظرية الأعداد الأولية. تم العثور على العديد من البراهين المختلفة ، بما في ذلك البراهين "الأولية" لأتلي سيلبرغ وبول إردوس (1949). تعد البراهين الأصلية لـ Hadamard و de la Vallée Poussin طويلة ، وقدمت البراهين اللاحقة التفصيلية العديد من التبسيط من خلال استخدام نظريات Tauberian ولكنها ظلت صعبة الفهم. تم اكتشاف دليل قصير في عام 1980 من قبل عالم الرياضيات الأمريكي دونالد جي نيومان. [7] [8] يمكن القول إن برهان نيومان هو أبسط دليل معروف للنظرية ، على الرغم من أنه غير أولي بمعنى أنه يستخدم نظرية كوشي المتكاملة من التحليل المعقد.

فيما يلي رسم تخطيطي للدليل المشار إليه في إحدى محاضرات تيرينس تاو. [9] مثل معظم البراهين الخاصة بـ PNT ، يبدأ من خلال إعادة صياغة المشكلة من حيث وظيفة العد الأولي الأقل بديهية ، ولكن الأفضل تصرفًا. الفكرة هي حساب الأعداد الأولية (أو مجموعة مرتبطة بها مثل مجموعة القوى الأولية) ب الأوزان للوصول إلى وظيفة ذات سلوك مقارب أكثر سلاسة. وظيفة العد المعمم الأكثر شيوعًا هي وظيفة Chebyshev ψ(x) ، من تحديد

هذا هو مكتوب في بعض الأحيان

أين Λ(ن) هي وظيفة von Mangoldt ، وهي

أصبح من السهل نسبيًا الآن التحقق من أن PNT مكافئ لمطالبة ذلك

في الواقع ، هذا يأتي من التقديرات السهلة

و (باستخدام تدوين O الكبير) لأي ε & GT 0،

الخطوة التالية هي العثور على تمثيل مفيد لـ ψ(x). يترك ζ(س) أن تكون دالة زيتا ريمان. يمكن إثبات ذلك ζ(س) بوظيفة فون مانجولدت Λ(ن) ، ومن ثم إلى ψ(x) عبر العلاقة

يُظهر تحليل دقيق لهذه المعادلة وخصائص دالة زيتا ذات الصلة ، باستخدام تحويل ميلين وصيغة بيرون ، أنه بالنسبة إلى عدد غير صحيح x المعادلة

يحمل ، حيث يكون المجموع فوق جميع الأصفار (تافهة وغير بديهية) لوظيفة زيتا. هذه الصيغة اللافتة للنظر هي واحدة مما يسمى بالصيغ الصريحة لنظرية الأعداد ، وهي توحي بالفعل بالنتيجة التي نرغب في إثباتها ، لأن المصطلح x (يُدعى أنه الترتيب المقارب الصحيح لـ ψ(x)) يظهر على الجانب الأيمن ، متبوعًا (على الأرجح) بمصطلحات مقاربة منخفضة الترتيب.

تتضمن الخطوة التالية في الإثبات دراسة أصفار دالة زيتا. الأصفار التافهة −2 و −4 و 6 و −8 و. يمكن التعامل معها بشكل منفصل:

الذي يختفي ل x كبير. الأصفار غير البديهية ، أي تلك الموجودة على الشريط الحرج 0 ≤ Re (س) ≤ 1 ، يمكن أن يكون بترتيب مقارب مشابه للمصطلح الرئيسي x إذا Re (ρ) = 1 ، لذلك نحتاج إلى إظهار أن جميع الأصفار لها جزء حقيقي أقل من 1.

عدم التلاشي على Re (س) = 1 تحرير

للقيام بذلك ، نحن نأخذ ذلك كأمر مسلم به ζ(س) متغير الشكل في نصف المستوى Re (س) & gt 0 ، وهو تحليلي هناك باستثناء القطب البسيط في س = 1 ، وأن هناك صيغة حاصل الضرب

من أجل Re (س) & GT 1. تأتي صيغة المنتج هذه من وجود عامل أولي فريد للأعداد الصحيحة ، وتوضح ذلك ζ(س) ليس صفرًا أبدًا في هذه المنطقة ، لذلك يتم تحديد لوغاريتمه هناك و

كتابة س = x + iy ومن بعد

للجميع x & GT 1. افترض الآن ذلك ζ(1 + iy) = 0. بالتأكيد y ليس صفرًا ، منذ ذلك الحين ζ(س) له عمود بسيط في س = 1. لنفترض أن x & gt 1 ودع x تميل إلى 1 من أعلى. بما أن ζ (s) < displaystyle zeta (s)> لها قطب بسيط في س = 1 و ζ(x + 2iy) يبقى تحليليًا ، يميل الجانب الأيسر في المتباينة السابقة إلى 0 ، وهو تناقض.

أخيرًا ، يمكننا أن نستنتج أن PNT صحيح من الناحية التجريبية. لإكمال الدليل بدقة ، لا تزال هناك تقنيات جادة يجب التغلب عليها ، نظرًا لحقيقة أن الجمع على أصفار زيتا في الصيغة الصريحة لـ ψ(x) لا تتقارب بشكل مطلق ولكن فقط بشكل مشروط وبمعنى "القيمة الأساسية". هناك عدة طرق لحل هذه المشكلة ولكن العديد منها يتطلب تقديرات تحليلية معقدة ودقيقة. يقدم كتاب إدواردز [10] التفاصيل. طريقة أخرى هي استخدام نظرية Tauberian لإيكيهارا ، على الرغم من صعوبة إثبات هذه النظرية بحد ذاتها. لاحظ D.J.Noman أن القوة الكاملة لنظرية Ikehara ليست ضرورية لنظرية الأعداد الأولية ، ويمكن للمرء أن يفلت من حالة خاصة يسهل إثباتها.

يعطي D.J.Noman برهانًا سريعًا على نظرية الأعداد الأولية (PNT). الدليل "غير أولي" بحكم الاعتماد على التحليل المعقد ، لكن التقدير النقدي يستخدم فقط تقنيات أولية من دورة أولى في الموضوع: صيغة كوشي المتكاملة ، نظرية كوشي المتكاملة وتقديرات التكاملات المعقدة. فيما يلي رسم موجز لهذا الدليل:


يقول هذا الرجل إنه حل أكثر المسائل المفتوحة إثارة للجدل في الرياضيات

لديه إثبات (600 صفحة). لكن علماء الرياضيات الآخرين لديهم مذراة.

  • أخيرًا ستنشر مجلة رياضيات خاضعة لاستعراض الأقران دليلًا مثيرًا للجدل حول فكرة رياضية رئيسية. (لكنها مجلة عالم الرياضيات الخاصة).
  • يمكن أن تمر براهين الرياضيات بالعديد من التكرارات والمحاولات قبل أن تكون صحيحة.
  • يعود تخمين abc إلى الثمانينيات وهو امتداد لنظرية فيرما الأخيرة.

هل تم أخيرًا حل إحدى المشكلات الرئيسية العالقة في نظرية الأعداد؟ أم هو الدليل المكون من 600 صفحة في عداد المفقودين قطعة رئيسية؟ الحكم لم يدخل بعد ، لكن الدليل ، على الأقل ، سيفعل أخيرا تظهر في مجلة محكمة.

ومع ذلك ، هناك & rsquos صيد واحد فقط: عالم الرياضيات نفسه ، Shinichi Mochizuki ، هو أحد محرري Journal & rsquos seniormost.

بالنسبة لأولئك الذين هم خارج الرياضيات الأكاديمية ، من الصعب شرح كيف كان هذا الموقف مثيرًا بشكل غريب وكيف تسربت سيكون الدليل الناجح على تخمين abc. طبيعة يقارنه بإثبات 1994 نظرية فيرما ورسكووس الأخيرة، الذي كان معلمًا هائلاً في الرياضيات ومدشند ، في عمر 26 عامًا ، وكان أحدثها على نفس المستوى من الإنجاز.

يتضمن كلا الدليلين أيضًا فئة جبرية فريدة يشار إليها باسم مشاكل الديوفانتين. هذه معادلات يسعى الناس إلى إيجاد حلول لها ، مثل الحالات الخاصة لنظرية فيثاغورس المسماة ثلاثيات فيثاغورس. عندما & rsquore دراسة معادلة وأنت & rsquore فقط مهتمة بالحلول التي تتكون من أعداد صحيحة ، فهذه مشكلة ديوفانتاين.

حدسية abc لها بعض القواسم المشتركة مع نظرية فيثاغورس ومشكلات ديوفانتينية أخرى ، تتضمن علاقة بين أ و ب يضاف إلى الناتج ج. هل يمكن أن تؤخذ هذه الأرقام إلى الأسس العالية ولا تزال لها علاقة يمكن إثباتها؟ هذا ما حاول علماء الرياضيات إثباته منذ أن لاحظه علماء الرياضيات لأول مرة في منتصف الثمانينيات. وفي الواقع ، فإن التخمين هو امتداد لنظرية فيرما و rsquos الأخيرة.

نشر Mochizuki لأول مرة دليلًا بطول رواية Michener على حدسية abc في عام 2012 ، عندما ألقى بشكل غير رسمي 500 صفحة على الإنترنت وقال إنه & rsquod أثبت ذلك. ولكن هذا ليس & rsquot أي شخص & rsquos أول مسابقات رعاة البقر. ثبت أن المحاولات العلنية السابقة لإثبات التخمين بها أخطاء. هذا & rsquot غير معتاد في عملية إثبات الأفكار المعقدة والمعقدة ، حيث يقوم علماء مختلفون في كثير من الأحيان بتكرار خطوة جديدة واحدة في كل مرة بناءً على ما يفعله زملاؤهم.

عندما ظهر دليل Mochizuki & rsquos لأول مرة ، تأرجح علماء رياضيات آخرون على فكرة إثبات حدسية abc والغموض المحير للعمل نفسه. كان موتشيزوكي قد اخترع سقالة وهمية من المفاهيم المجردة التي تحجب الأفكار والرموز الرياضية الحقيقية من أجل تعليق برهانه الطويل جدًا على تلك السقالة. بطريقة ما ، تطلبت محاولة فك شفرة الدليل أولاً تعلم نظام جديد تمامًا وترميز.

حتى الآن، لا أحد لقد فهم هذا الدليل تمامًا بما يكفي للتحقق من صحته وإيصال هيكله وتدفقه المنطقي إلى الآخرين. موتشيزوكي نفسه منعزل ولم يساعد حقًا في إلقاء الضوء على آلياته الغامضة.

قبل بضع سنوات ، انزعج علماء الرياضيات عندما علموا أن الدليل كان سيتم نشره في مجلة تمت مراجعتها من قبل الزملاء ، وفي عام 2018 ، اثنان من زملائهم البارزين في الرياضيات قالوا إنهم على يقين كان الدليل خاطئًا.

كانت شائعات النشر كاذبة في ذلك الوقت ، أو ربما تم إلغاؤها بعد احتجاج علماء الرياضيات. ولكن الآن ، سوف يظهر الدليل بالفعل في نوع ما من عدد خاص من منشورات معهد بحوث العلوم الرياضية (RIMS) ، باتباع ما يقولون هو نفس مراجعة الأقران الصارمة التي سيفعلونها لأي شخص. إنه & rsquos ليس فقط الدليل الفاضح في القضية هنا و mdashit & rsquos حقيقة أن Mochizuki هو RIMS& رئيس تحرير رسكووس.

ربما يؤدي نشر الكتاب العملاق المؤلف من 500 صفحة إلى إحياء الجدل وإظهار أي عيوب إلى السطح ، بشكل قاطع ، مرة واحدة وإلى الأبد. من الصعب أن نقول على وجه اليقين متى تكون أفكار الرياضيات نفسها بعيدة عن القاعدة بحيث تبدو كذلك الرياضيات الخارجية. أي شخص أرسل طلبات للنشر التقني أو الرياضي قد تلقى وثائق ضخمة ومعقدة يصر مؤلفوها على أنهم أثبتوا شيئًا ضخمًا.


MAT 112 الرياضيات القديمة والمعاصرة

كان من السهل نسبيًا إثبات وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية (نظرية 10.4.1). من أجل التوصل إلى نتيجة رياضية جديدة ، غالبًا ما تكون هناك حاجة إلى قدر كبير من الدراسة والتحقيق والبصيرة. تظهر الأفكار ، ويتم اتخاذ خطوات نحو إثبات ، وفي بعض الأحيان يجب تعديل هذه الأفكار. في هذه العملية ، من الممكن تطوير بيان يعتقد أنه صحيح ولكن لم يتم إثباته رسميًا. مثل هذا البيان يسمى تخمين وغالبًا ما يُعرف في الرياضيات باسم مشكلة مفتوحة. نختتم هذا القسم بتقديم تخمين هام يتضمن الأعداد الأولية. في حين أن بيان التخمين سهل الفهم وأن تجارب الكمبيوتر لم تتوصل إلى مثال مضاد ، فإننا لا نعرف ما إذا كان هذا صحيحًا.

نقدم نظرة عامة حول التخمين الأولي المزدوج في الفيديو في الشكل 10.5.1 مزيد من التفاصيل معطاة أدناه.

نبدأ بتعريف الأعداد الأولية التوأم.

التعريف 10.5.2.
مثال 10.5.3. التوأم الأعداد الأولية.

أول أربعة أزواج أولية مزدوجة هي

المشكلة 10.5.4. تعرف على التوأم الأعداد الأولية.

حدد ما إذا كان (89 ) جزءًا من زوج أولي مزدوج أم لا.

المشكلة 10.5.5. تعرف على التوأم الأعداد الأولية.

حدد ما إذا كان (137 ) جزءًا من زوج أولي مزدوج أم لا.

تخمين التوأم الرئيسي هو الادعاء بوجود عدد لانهائي من أزواج التوأم الأولية.

التخمين 10.5.6. حدسية التوأم.

يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية (p ) بحيث يكون (p + 2 ) أيضًا عددًا أوليًا.

هذا هو التخمين الأول (والوحيد) الذي ستواجهه في هذه الدورة التدريبية. من المهم التمييز بين التخمينات والنظريات. كلا التخمينات والنظريات عبارة عن جمل. في حين أن النظريات هي بيانات صحيحة ، إلا أن أحدًا لم يقرر بعد ما إذا كان صحيحًا أم خطأ. بمجرد أن يتم تحديده من خلال إثبات أن التخمين صحيح ، فإنه يصبح نظرية. انظر أيضًا معالجة هذا الموضوع في المقدمة في القسم الفرعي 4.

نقطة تفتيش 10.5.7. هل هذه تخمينات أو تعريفات أو نظريات؟

إنه خارج نطاق هذه الدورة محاولة إثبات التخمين الأولي المزدوج. ومع ذلك ، من المثير للاهتمام معرفة ما إذا كانت الأعداد الأولية التوأم موجودة (إذا لم يكن التخمين خاطئًا ولن يكون ذا أهمية كبيرة).

المشكلة 10.5.8. عد الأزواج الأولية المزدوجة.

كم عدد أزواج التوأم الأولية الموجودة حتى (100 )؟

في الجدول 10.2.4 ، نحصل على أن الأزواج الأولية المزدوجة حتى (100 ) هي:

يبدو أن عدد الأعداد الأولية المزدوجة أقل من عدد الأعداد الأولية. في Checkpoint 10.5.9 احسب عدد الأعداد الأولية والأعداد الأولية المزدوجة حتى رقم طبيعي معين.

نقطة تفتيش 10.5.9. عد الأعداد الأولية والأزواج الأولية المزدوجة.

تم إحراز تقدم نحو إثبات التخمين الأولي المزدوج (التخمين 10.5.6) مؤخرًا. في عام 2013 ، حقق Yitang Zhang [10] تقدمًا كبيرًا من خلال إثبات وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية (p ) و (q ) مثل (p-q le 70،000،000 text <.> )

بعد فترة وجيزة تم تحسين هذا إلى حد كبير ، بحيث أصبح من المعروف الآن أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية (p ) و (q ) مثل (pq le 246 text <.> ) عندما يتم إثبات ذلك هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية (p ) و (q ) مثل (pq le 2 text <،> ) تم إثبات التخمين الأولي المزدوج.

ننهي هذا القسم بأغنية عن التخمين الأولي المزدوج في الشكل 10.5.10.


لن يتوقف علماء الرياضيات أبدًا عن إثبات نظرية الأعداد الأولية

يتضاءل مقدار الأعداد الأولية ، التي يُنظر إليها على أنها نقاط صفراء في هذا الحلزوني السداسي للأعداد الصحيحة الموجبة ، مع زيادة الأرقام - وهي علاقة وصفتها نظرية الأعداد الأولية وثبتت مرات عديدة.

سوزان D & # x27Agostino

"ليس عليك أن تؤمن بالله ، لكن عليك أن تؤمن به الكتابقال عالم الرياضيات المجري بول إردوس ذات مرة. الكتاب، الذي لا يوجد إلا من الناحية النظرية ، يحتوي على أكثر البراهين دقة لأهم النظريات. تلمح ولاية إردوس إلى دوافع علماء الرياضيات الذين يواصلون البحث عن براهين جديدة للنظريات التي تم إثباتها بالفعل. إحدى المفضلات هي نظرية الأعداد الأولية - بيان يصف توزيع الأعداد الأولية ، أولئك الذين قواسمهم الوحيدة هي 1 وأنفسهم. بينما لا يعرف علماء الرياضيات أبدًا ما إذا كان الدليل يستحق التضمين فيه الكتاب، اثنان من المتنافسين الأقوياء هما أول دليل مستقل على نظرية الأعداد الأولية في عام 1896 من قبل جاك هادامارد وشارل جان دي لا فالي بوسان.

إذن ماذا تقول هذه النظرية في الواقع؟

توفر نظرية الأعداد الأولية طريقة لتقريب عدد الأعداد الأولية الأقل من أو يساوي عددًا معينًا ن. هذه القيمة تسمى π (ن) ، حيث π هي "دالة العد الأولي". على سبيل المثال ، π (10) = 4 لأن هناك أربعة أعداد أولية أقل من أو تساوي 10 (2 ، 3 ، 5 و 7). وبالمثل ، π (100) = 25 ، لأن 25 من أول 100 عدد صحيح أولي. من بين أول 1000 عدد صحيح ، هناك 168 عددًا أوليًا ، لذا π (1000) = 168 ، وهكذا. لاحظ أنه عندما نظرنا إلى الأعداد الصحيحة الأولى من 10 و 100 و 1000 ، ارتفعت نسبة الأعداد الأولية من 40٪ إلى 25٪ إلى 16.8٪. تشير هذه الأمثلة ، وتؤكد نظرية الأعداد الأولية ، أن كثافة الأعداد الأولية عند أو أقل من رقم معين تتناقص كلما زاد العدد.

ولكن حتى لو كانت لديك قائمة مرتبة من الأعداد الصحيحة الموجبة تصل ، على سبيل المثال ، إلى 1 تريليون ، فمن سيرغب في تحديد π (1،000،000،000،000) عن طريق العد اليدوي؟ تقدم نظرية الأعداد الأولية اختصارًا.

تخبرنا النظرية أن π (ن) "مساوٍ بشكل مقارب" لـ $ latex frac< ln (n)> $ ، أين ln هو اللوغاريتم الطبيعي. (يمكنك التفكير في المساواة المقاربة كمساواة تقريبية ، على الرغم من أنها أكثر من ذلك من الناحية الفنية.) على سبيل المثال ، دعنا نقدر عدد الأعداد الأولية حتى تريليون. بدلاً من حساب الأعداد الأولية الفردية لتحديد π (1،000،000،000،000) ، يمكنك استخدام هذه النظرية لمعرفة أن هناك ما يقرب من $ latex frac <1،000،000،000،000> < ln (1،000،000،000،000)> دولار منها ، وهو ما يساوي. 36191206.825 عند التقريب إلى عدد صحيح. هذا المبلغ أقل بنسبة 4٪ فقط من الإجابة الفعلية ، 37،607،912،018.

مع المساواة المقاربة ، تتحسن الدقة كلما أدخلت أرقامًا أكبر في الصيغة. في الأساس ، عندما تتجه نحو اللانهاية - التي ليست في حد ذاتها رقمًا ، ولكنها شيء أكبر من أي رقم - تقترب المساواة التقريبية في النظرية من المساواة الفعلية. هذا على الرغم من حقيقة أن العدد الفعلي للأعداد الأولية سيساوي دائمًا عددًا صحيحًا ، بينما على الجانب الآخر من المساواة المقاربة ، يمكن أن يساوي الكسر الذي يتضمن دالة اللوغاريتم الطبيعي أي قيمة على خط الأعداد الحقيقي. هذا الارتباط بين الأعداد الصحيحة والأرقام الحقيقية هو أمر غير بديهي في أحسن الأحوال.

إنها أشياء تثير الذهن ، حتى بين علماء الرياضيات. من الجنون أن بيان نظرية الأعداد الأولية لا يلمح إلى سبب صحة أيٍّ من هذا.

"لم تكن النظرية أبدًا حول النظرية. قال مايكل بود ، أستاذ الرياضيات في جامعة كوينزلاند للتكنولوجيا في أستراليا ، "كان الأمر دائمًا متعلقًا بالإثبات".

بقدر ما كانت أنيقة ، اعتمدت البراهين الأصلية لـ Hadamard و de la Vallée Poussin على التحليل المعقد - دراسة الوظائف ذات الأرقام التخيلية - والتي وجدها البعض غير مرضية لأن بيان هذه النظرية لا يتضمن في حد ذاته أرقامًا مركبة. ومع ذلك ، ج. أطلق هاردي ، في عام 1921 ، على احتمال وجود دليل غير تحليلي - يُعرف بإثبات أولي - لنظرية الأعداد الأولية "غير محتمل للغاية" وادعى أنه إذا وجد أي شخص واحدًا ، فإنه يدعو إلى "إعادة كتابة النظرية".

أخذ أتلي سيلبرج وإردوس نفسه على عاتقهما التحدي ، وفي عام 1948 قام كل منهما بنشر أدلة أولية جديدة ومستقلة عن نظرية الأعداد الأولية باستخدام خصائص اللوغاريتمات. أغرت هذه البراهين علماء الرياضيات الآخرين للنظر في طرق مماثلة لتخمينات نظرية الأعداد التي كانت تعتبر في السابق عميقة جدًا لمثل هذه الأساليب التي تبدو بسيطة. تبع ذلك العديد من النتائج المثيرة ، بما في ذلك دليل هيلموت ماير الأولي لعام 1985 الذي أظهر مخالفات غير متوقعة في توزيع الأعداد الأولية.

قال فلوريان ريختر ، عالم الرياضيات في جامعة نورث وسترن ، الذي نشر مؤخرًا دليلًا أوليًا جديدًا لهذه العبارة الشهيرة: "هناك الكثير من الأسئلة المفتوحة التي تعتمد على نظرية الأعداد الأولية". وجد ريختر دليله أثناء محاولته إثبات امتداد بعيد المدى لنظرية الأعداد الأولية.

بمرور الوقت ، ساعد منظرو الأعداد في إنشاء ثقافة عمل فيها علماء الرياضيات على إثبات وإعادة إثبات النظريات ليس فقط للتحقق من صحة العبارات ، ولكن أيضًا لتحسين مهاراتهم في إثبات النظريات وفهمهم للرياضيات المعنية.

هذا يتجاوز نظرية الأعداد الأولية. قام باولو ريبنبويم بفهرسة ما لا يقل عن 7 براهين على عدد لا حصر له من الأعداد الأولية. حدد ستيفن كيفويت وتيرا ستامبس 20 دليلًا يوضح أن السلسلة التوافقية ، 1+ $ latex frac <1> <2> $ + $ latex frac <1> <3> $ + $ latex frac <1> <4> $ + $ latex frac <1> <5> $ + $ latex frac <1> <6> $ + $ latex frac <1> <7> $ +… ، لا يساوي عددًا محددًا ، ثم Kifowit لاحقًا أتبعها بـ 28 آخرين. يستشهد بروس راتنر بأكثر من 371 دليلًا مختلفًا على نظرية فيثاغورس ، بما في ذلك بعض الأحجار الكريمة التي قدمها إقليدس وليوناردو دافنشي والرئيس الأمريكي جيمس غارفيلد ، الذي كان عضوًا في الكونغرس من ولاية أوهايو في ذلك الوقت.

هذه العادة المتمثلة في إعادة إثبات الأشياء أصبحت الآن متأصلة للغاية ، ويمكن لعلماء الرياضيات الاعتماد عليها حرفيًا. أشار توم إدغار وياجون آن إلى أنه كان هناك 246 دليلًا على بيان يُعرف باسم قانون المعاملة بالمثل من الدرجة الثانية بعد إثبات جاوس الأصلي في عام 1796. وبالتخطيط لعدد البراهين بمرور الوقت ، استقرؤوا أننا يمكن أن نتوقع الدليل 300 لهذه النظرية حولها عام 2050.

قالت صوفيا ريستاد ، طالبة دراسات عليا في جامعة ولاية كانساس: "أحب البراهين الجديدة للنظريات القديمة لنفس السبب الذي يجعلني أحب الطرق الجديدة والاختصارات للأماكن التي زرتها بالفعل". توفر هذه المسارات الجديدة لعلماء الرياضيات إحساسًا رمزيًا بمكان النشاط الفكري.

قد لا يتوقف علماء الرياضيات أبدًا عن البحث عن مسارات جديدة وأكثر إضاءة لنظرية الأعداد الأولية وغيرها
النظريات المحبوبة. مع الحظ ، سيستحق البعض منهم
التضمين في الكتاب.


التخمينات الأولية والأسئلة المفتوحة

تخمين جولدباخ: كل زوج ن & gt 2 هو مجموع اثنين من الأعداد الأولية. كتب جولدباخ رسالة إلى أويلر عام 1742 يقترح فيها ذلك كل عدد صحيح n & gt 5 هو مجموع ثلاثة أعداد أولية. أجاب أويلر أن هذا يعادل كل زوجي n & gt 2 هو مجموع اثنين من الأعداد الأولية- يُعرف هذا الآن باسم تخمين جولدباخ. أظهر شنيزل أن تخمين جولدباخ يعادل كل عدد صحيح n & gt 17 هو مجموع ثلاثة خامد الأعداد الأولية.
لقد ثبت أن كل عدد صحيح زوجي هو مجموع ستة أعداد أولية على الأكثر [Ramar & eacute95] (يقترح تخمين جولدباخ اثنين) وفي عام 1966 أثبت تشين أن كل عدد صحيح زوجي كبير بما فيه الكفاية هو مجموع عدد أولي زائد رقم لا يزيد عن اثنين أوليين العوامل (أ ف2). في عام 1993 ، تحقق Sinisalo من تخمين Goldbach لجميع الأعداد الصحيحة الأقل من 4. 10 11 [Sinisalo93]. في الآونة الأخيرة ، قام كل من Jean-Marc Deshouillers و Yannick Saouter و Herman te Riele بالتحقق من هذا حتى 10 14 بمساعدة Cray C90 ومحطات عمل مختلفة. في يوليو 1998 ، أكمل Joerg Richstein التحقق من الرقم 4. 10 14 ووضعوا قائمة الأبطال على الإنترنت. وقد أدى العمل الأحدث من قبل أوليفيرا إي سيلفا إلى توسيع هذا العمل إلى 4 على الأقل. 10 17. راجع [Ribenboim95] و [Wang84] لمزيد من المعلومات.

مشكلة Odd Goldbach: كل شيء غريب ن & gt 5 هو مجموع ثلاثة أعداد أولية. كان هناك تقدم كبير في هذا الصدد ، وهي الحالة الأسهل لتخمين جولدباخ. في عام 1937 ، أثبت فينوغرادوف أن هذا صحيح بالنسبة للأعداد الصحيحة الفردية الكبيرة بدرجة كافية ن. في عام 1956 أظهر بورودزكين ن & gt 3 14348907 كافٍ (الأس 3 15). في عام 1989 خفض تشين ووانغ هذا الحد إلى 10 43000. لا يزال يتعين تقليل الأس بشكل كبير قبل أن نتمكن من استخدام أجهزة الكمبيوتر للتعامل مع جميع الحالات الصغيرة.

كل رقم زوجي هو الفرق بين اثنين من الأعداد الأولية. أظهر عمل تشين المذكور في مناقشة تخمين جولدباخ أيضًا أن كل رقم زوجي يمثل الفرق بين عدد أولي و P2.

لكل عدد زوجي 2ن هل هناك عدد لانهائي من أزواج على التوالي الأعداد الأولية التي تختلف بمقدار 2ن. حدس بواسطة Polignac 1849. متى ن= 1 هذا هو التخمين الأولي المزدوج. من السهل إظهار ذلك لكل عدد صحيح موجب م هناك عدد زوجي 2ن بحيث يوجد أكثر من م أزواج من الأعداد الأولية المتتالية مع اختلاف 2ن.

حدسية التوأم الأولي: هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية المزدوجة. في عام 1919 ، أثبت برون أن مجموع التبادلات بين الأعداد الأولية المزدوجة يتقارب ، وبالتالي فإن المجموع B = (1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + (1/11 + 1/13 ) + (1/17 + 1/19) +. يكون ثابت برون. ب = 1.902160577783278. راجع مدخل Prime Glossary على التخمين الأولي المزدوج.

هل هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية للنموذج ن 2 +1? هناك عدد لا نهائي من الأشكال ن 2 +م 2 و ن 2 +م 2 +1. شكل أكثر عمومية من هذا التخمين إذا كان a ، b ، c عددًا أوليًا نسبيًا ، و a موجب ، و a + b و c ليس كلاهما زوجيًا ، و b 2 -4ac ليس مربعًا كاملاً ، فهناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية وهو 2 + bn + c [HW79 ، ص 19].

عدد الأعداد الأولية لفيرمات محدود. يقدم هاردي ورايت حجة لهذا التخمين في حاشيتهما السفلية المعروفة [HW79 ، ص 15] والتي تذهب تقريبًا على النحو التالي. من خلال نظرية العدد الأولي الاحتمالية أن يكون عددًا عشوائيًا ن هو عدد أولي على الأكثر أ/سجل(ن) لبعض الخيارات أ. لذا فإن العدد المتوقع لأعداد فيرما الأولية هو على الأكثر مجموع أ/ تسجيل () & lt أ/2 ن ، ولكن هذا المبلغ أ. ومع ذلك ، كما لاحظ هاردي ورايت ، فإن أرقام فيرما لا تتصرف "بشكل عشوائي" من حيث أنها زوجية أولية نسبيًا.

هل هناك دائما رئيس الوزراء بين ن 2 و (ن+1) 2 ? في عام 1882 صرح أوبرمان بي (ن 2 +ن) & gt pi (ن 2) & gt pi (ن 2 -ن) (ن& gt1) ، والذي يبدو أيضًا مرجحًا جدًا ، ولكنه لم يتم إثباته بعد [Ribenboim95 ، p248]. كلا هذين التخمينين سيتبعان إذا تمكنا من إثبات التخمين بأن الفجوة الأولية تتبع شرطة ص يحدها أوقات ثابتة (log ص) 2 .


تخمين جولدباخ & # 8217s

هنا & # 8217s مشكلة شهيرة لم يتم حلها: هل كل عدد زوجي أكبر من 2 هو مجموع 2 من الأعداد الأولية؟

ال تخمين جولدباخ، التي يرجع تاريخها إلى عام 1742 ، الإجابة هي نعم.

بعض الأمثلة البسيطة:
4=2+2, 6=3+3, 8=3+5, 10=3+7, …, 100=53+47, …

What is known so far:
Schnirelmann(1930): There is some N such that every number from some point onwards can be written as the sum of at most N primes.
Vinogradov(1937): Every odd number from some point onwards can be written as the sum of 3 primes.
Chen(1966): Every sufficiently large even integer is the sum of a prime and an “almost prime” (a number with at most 2 prime factors).

See the reference for more details.

Presentation Suggestions:
Have students suggest answers for the first few even numbers.

The Math Behind the Fact:
This conjecture has been numerically verified for all even numbers up to several million. But that doesn’t make it true for all N… see Large Counterexample for an example of a conjecture whose first counterexample occurs for very large N.

How to Cite this Page:
Su, Francis E., et al. “Goldbach’s Conjecture.” Math Fun Facts. <https://www.math.hmc.edu/funfacts>.

مراجع:
Paulo Ribenboim, The Little Book of Big Primes, Springer-Verlag, 1991, pp.154-155.


Nature of Mathematics

Let us begin with a few facts about the prime numbers.

There are an infinite number of prime numbers. Remember we saw a proof of this by Euclid.

Every positive integer can be factored (uniquely) into a product of prime numbers. Here are some examples

5601319004198125000 = 2³ x 5^7 x 13^5 x 17^6

Euler’s theorem: If you have had some calculus before you can prove that 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 +…. = ∞. Euler showed that 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17+… (the sum of the reciprocals of the primes) is also equal to ∞.

Mersenne primes : Numbers of the form M_p = 2^p – 1 are called Mersenne numbers. Not all of them are prime. However, if M_p is prime then p must be prime. The converse is not true. Can you find a counterexample? However, Mersenne primes are good candidates for large prime numbers. For example, 2^(43112609) – 1 is prime (and has 12978189 digits). Mersenne primes even have their own homepage. In fact, when you click on that page, you can participate in the great Mersenne prime search (GIMPS). More often than not, when you hear in the popular press that mathematicians have discovered a new largest prime, it is usually a Mersenne prime.

Fermat primes : Numbers of the form F_n = 2^(2^n) + 1 are called Fermat numbers. Notice that

and these numbers are prime! However, not every Fermat number is prime. على سبيل المثال

F_5 = 4294967297 = 641 x 6700417

F_6 = 18446744073709551617 = 274177 x 67280421310721

One can prove that if F^k + 1 is prime then k = 2^n.

Open question: Are F_0, F_1, F_2. F_3. F_4 the فقط Fermat primes? If you are thinking of getting out your computer and checking to see if F_7, F_8, F_9, etc are prime, don’t bother. As far as any computer can compute, these numbers are all not prime. But you never know, there might be some very very very large n out there such that F_n is a new Fermat prime. If you discover, such an n, you will definitely be famous.

Open question: Are there an infinite number of Fermat primes? Answer this question and you will be really really famous.

Why are the Fermat primes important? Well, they bring us back to straightedge and compass constructions we talked about earlier.

Theorem (Gauss, Wantzel): A regular n-gon is constructible using only a straightedge and compass if and only if n = 2^k (p_1 p_2….p_s), where p_1, p_2,…are distinct Fermat primes.

For example: A regular 17-gon is constructible (since 17 is a Fermat prime) as is a regular 34-gon (since 34 = 2 x 17). However a regular 18-gon is not constructible.

So, those are a few facts about primes. There are many many interesting others. The focus here is the prime number theorem. A question that has been around for many years is “How many primes are less than or equal to x?”. Let us denote π(x) to be the number of primes less than or equal to x.

π(2) = 1 (since 2 is the only prime less than or equal to 2)

π(3) = 2 (since both 2 and 3 are primes less than or equal to 2)

Here is a plot of the first several values of π(x)

Notice how the graph is constant and jumps up when you reach a new prime number (Why?)

There is no precise formula for π(x). We can only understand it through its behavior as x goes to infinity. Gauss made large tables of π(x) and had the idea to compare it to x/ln(x), where ln(x) is the natural log function. Here are some graphs of π(x) and x/ln(x) on the same axis.

From looking at these graphs, one might conjecture, as Gauss did, that π(x)/(x ln(x)) goes to one as x goes to infinity. Here are a few graphs of π(x)/(x ln(x))

So it certainly seems like π(x)/(x ln(x)) goes to one as x goes to infinity. Maybe it is better to say π(x)

Theorem (The prime number theorem): π(x)

This theorem took a long time to prove and was done in several steps which are too technical to get into here. The final result was proved independently by J. Hadamard and C. de la Valle Poussin in 1896. Their proofs were long but fortunately others after them were able to come up with shorter proofs.

A little more history here. Actually, Gauss used the Li(x) function which is the integral from 2 to x of 1/ln(x) as an estimator of x/ln(x).

In this case the prime number theorem becomes

Various mathematicians came up with estimates towards the prime number theorem. A nice link for this is from the Wolfram page.

Here is a nice consequence of the prime number theorem.

Corollary: If p_n in the n-th prime number, then p_n

n ln(n), i.e., p_n/(n ln(n)) goes to one as n goes to infinity.

We will give a proof of this in class. Let’s try this out. Here is a graph of p_n/(n ln(n))

Notice how this graph approaches one as n gets bigger and bigger.

G. H. Hardy (we will read about his life later) was able to improve this estimate.

Theorem (Hardy) : p_n

Here is a graph of p_n/(n ln(n) + n ln(ln(n)) – n) below. Notice how this graph approaches one faster than the previous graph.

Final comment about the prime number theorem:

You will notice that the graph of li(x) lies on top of π(x). In other words li(x) > π – at least for the values we can see (in this case up to x equal to one million). We know that π(x)

x/ln(x) so these graphs get closer and closer but do we always have li(x) > π(x)? الجواب لا. What is amazing is that the graphs of π(x) and li(x) do indeed switch places infinitely often but only after some really BIG number called Skewes number.

We can’t leave our study of the prime number theorem without mentioning that there is a closely related problem which poses to get a finer estimate on π(x). It is called the Riemann Hypothesis and is considered one of the most difficult and important unsolved problems in mathematics. In fact, it is so important to solve that the Clay Mathematics Institute has put up the money for a one million dollar prize for the person who can solve this problem. We won’t get into an explanation of the Riemann hypothesis now since it is a bit technical for an introductory course. But as you learn more mathematics, do look this problem up. It is definitely important and related to a lot of different types of mathematics. In fact many things are logically equivalent to the Riemann Hypothesis. So solve the Riemann Hypothesis and you solve a bunch of other problems too!


First proof that prime numbers pair up into infinity

Mathematician announces breakthrough towards solving centuries-old problem.

It is a result only a mathematician could love. Researchers hoping to get ‘2’ as the answer to a long-sought proof involving pairs of prime numbers are celebrating the fact that a mathematician has wrestled the value down from infinity to 70 million.

“That’s only 35 million away” from the target, quips Dan Goldston, an analytical number theorist at San Jose State University in California who was not involved in the work. A factor of 35 million, that is. “Every step down is a step towards the ultimate answer,” he adds.

That goal is the proof of a conjecture concerning prime numbers: whole numbers that are divisible only by one and by themselves. Primes abound among smaller numbers, but become less and less frequent as numbers grow larger. In fact, on average, the gap between each prime number and the next becomes larger and larger. But there are exceptions: the ‘twin primes’, which are pairs of prime numbers that differ in value by just 2. Examples of known twin primes are 3 and 5, 17 and 19, and 2,003,663,613 × 2 195,000 − 1 and 2,003,663,613 × 2 195,000 + 1.

The 'twin prime conjecture' holds that there is an infinite number of such twin pairs. Some attribute the conjecture to the Greek mathematician Euclid of Alexandria if true that would make it one of the oldest open problems in mathematics.

So far, the problem has eluded all attempts to find a solution. A major milestone was reached in 2005, when Goldston and two colleagues showed that there is an infinite number of prime pairs that differ by no more than 16 (ref. 1). But there was a catch. “They were assuming a conjecture that no one knows how to prove,” says Dorian Goldfeld, a number theorist at Columbia University in New York.

The new result, from Yitang Zhang at the University of New Hampshire in Durham, finds that there are an infinite number of pairs of primes that are less than 70 million units apart without relying on unproven conjectures. And although 70 million might seem like a very large number, the existence of any finite boundary, no matter how large, means that that the gaps between consecutive numbers don’t keep growing forever. The jump from 2 to 70 million is nothing compared with the jump from 70 million to infinity. “If this is right, I’m absolutely astounded,” says Goldfeld.

Zhang presented his research on 13 May to an audience of a few dozen at Harvard University in Cambridge, Massachusetts, and the fact that the work seems to use standard mathematical techniques led some to question whether Zhang could really have succeeded where others have failed.

But a referee report from the Annals of Mathematics, to which Zhang submitted his paper, suggests he has. “The main results are of the first rank,” states the report, a copy of which Zhang provided to طبيعة. “The author has succeeded to prove a landmark theorem in the distribution of prime numbers … we are very happy to strongly recommend acceptance of the paper for publication in the Annals.”

Goldston, who was sent a copy of the paper, says that he and the other researchers who have seen it “are feeling pretty good” about it. “Nothing is obviously wrong,” he says.

For his part, Zhang, who has been working on the paper since a key moment of insight last July, expects that the paper’s mathematical machinery will allow for the value of 70 million to be pushed downwards. “We may reduce it,” he says.

Goldston does not think the value can be reduced all the way to 2 to prove the twin prime conjecture. But he says the very fact that there is a number at all is a huge breakthrough. “I was doubtful I would ever live to see this result,” he says.

Zhang will resubmit the paper, with a few minor tweaks, this week.


شاهد الفيديو: مبرهنات في الأعداد الأولية 2 نظرية الأعداد (ديسمبر 2021).