مقالات

1.4: تمثيلات الأعداد الصحيحة في أسس مختلفة - الرياضيات


في هذا القسم ، نوضح كيف يمكن كتابة أي عدد صحيح موجب بدلالة أي توسيع لعدد صحيح أساسي موجب بطريقة فريدة. عادةً ما نستخدم التدوين العشري لتمثيل الأعداد الصحيحة ، وسوف نوضح كيفية تحويل عدد صحيح من التدوين العشري إلى أي تدوين صحيح آخر موجب والعكس صحيح. يعد استخدام التدوين العشري في الحياة اليومية أفضل ببساطة لأن لدينا عشرة أصابع تسهل جميع العمليات الحسابية.

الرموز عدد صحيح (أ ) مكتوب في توسيع قاعدة (ب ) يُرمز إليه ب ((أ) _ ب )

دع (ب ) عددًا صحيحًا موجبًا مع (ب> 1 ). ثم يمكن كتابة أي عدد صحيح موجب (m ) بشكل فريد مثل [m = a_lb ^ l + a_ {l-1} b ^ {l-1} + ... + a_1b + a_0، ] حيث (l ) هو عدد صحيح موجب ، (0 leq a_j

نبدأ بقسمة (م ) على (ب ) ونحصل عليها

[m = bq_0 + a_0، 0 leq a_0

إذا (q_0 neq 0 ) فإننا نستمر في القسمة (q_0 ) على (b ) ونحصل على

[q_0 = bq_1 + a_1 ، 0 leq a_1

نواصل هذه العملية ومن ثم نحصل عليها

[ begin {align} q_1 & = & bq_2 + a_2، 0 leq a_2

لاحظ أن التسلسل (q_0، q_1، ... ) هو تسلسل تنازلي من الأعداد الصحيحة الموجبة مع مصطلح أخير (q_l ) يجب أن يكون 0.

الآن باستبدال المعادلة (q_0 = bq_1 + a_1 ) في (m = bq_0 + a_0 ) ، نحصل على [m = b (bq_1 + a_1) + a_0 = b ^ 2q_1 + a_1b + a_0، ] على التوالي استبدال المعادلات في (m ) ، نحصل على [ start {align} m & = & b ^ 3q_2 + a_2b ^ 2 + a_1b + a_0، &. & &. & &. & & = & b ^ lq_ {l-1} + a_ {l-1} b ^ {l-1} + ... + a_1b + a_0، & = & a_lb ^ l + a_ {l-1} b ^ {l-1} + ... + a_1b + a_0. end {align} ] ما يتبقى هو إثبات أن التمثيل فريد. افترض الآن أن [m = a_lb ^ l + a_ {l-1} b ^ {l-1} + ... + a_1b + a_0 = c_lb ^ l + c_ {l-1} b ^ {l-1} + ... + c_1b + c_0 ] حيث إذا كان عدد المصطلحات مختلفًا في توسيع واحد ، فإننا نضيف معاملات صفرية لجعل عدد المصطلحات متفقًا. بطرح التوسيعين ، نحصل على [(a_l-c_l) b ^ l + (a_ {l-1} -c_ {l-1}) b ^ {l-1} + ... + (a_1-c_1) b + (a_0-c_0) = 0. ] إذا كان التوسيعان مختلفان ، فهناك (0 leq j leq l ) مثل (c_j neq a_j ). نتيجة لذلك ، نحصل على [b ^ j ((a_l-c_l) b ^ {lj} + ... + (a_ {j + 1} -c_ {j + 1}) b + (a_j-c_j)) = 0 ] ومنذ (b neq 0 ) ، نحصل على [(a_l-c_l) b ^ {lj} + ... + (a_ {j + 1} -c_ {j + 1}) b + ( a_j-c_j) = 0. ] نحصل الآن على [a_j-c_j = (a_l-c_l) b ^ {lj} + ... + (a_ {j + 1} -c_ {j + 1}) b ، ] ونتيجة لذلك ، (b mid (a_j-c_j) ). منذ (0 leq a_j

لاحظ أن التمثيل الأساسي 2 للأعداد الصحيحة يسمى التمثيل الثنائي. يلعب التمثيل الثنائي دورًا مهمًا في أجهزة الكمبيوتر. يمكن إجراء العمليات الحسابية على الأعداد الصحيحة مع أي قاعدة عدد صحيح موجب ولكن لن يتم تناولها في هذا الكتاب. نقدم الآن أمثلة على كيفية التحويل من تمثيل عدد صحيح عشري إلى أي تمثيل أساسي آخر والعكس صحيح.

لإيجاد توسعة 214 أساس 3:

نقوم بما يلي [ start {align} 214 & = & 3 cdot 71 + 1 71 & = & 3 cdot 23 + 2 23 & = & 3 cdot 7 + 2 7 & = & 3 cdot 2 +1 2 & = & 3 cdot 0 + 2 end {align} ] نتيجة لذلك ، للحصول على توسيع للقاعدة 3 بقيمة 214 ، نأخذ باقي الأقسام ونحصل على ذلك ((214) _ {10} = (21221) _3 ).

لإيجاد توسعة الأساس 10 ، أي التوسع العشري لـ ((364) _7 ):

نقوم بما يلي: (4 cdot 7 ^ 0 + 6 cdot 7 ^ 1 + 3 cdot 7 ^ 2 = 4 + 42 + 147 = 193 ).

في بعض الحالات التي يلزم فيها توسيع القاعدة (ب> 10 ) ، نضيف بعض الأحرف لتمثيل أرقام أكبر من 9. ومن المعروف استخدام الأحرف الأبجدية للإشارة إلى الأعداد الصحيحة الأكبر من 9 في توسيع القاعدة ب من أجل (ب> 10 ). على سبيل المثال ((46BC29) _ {13} ) حيث (A = 10، B = 11، C = 12 ).

للتحويل من قاعدة إلى أخرى ، فإن أبسط طريقة هي المرور بالأساس 10 ثم التحويل إلى الأساس الآخر. هناك طرق تبسط التحويل من قاعدة إلى أخرى ولكن لن يتم تناولها في هذا الكتاب.

تمارين

  1. حوّل ((7482) _ {10} ) إلى تدوين الأساس 6.
  2. حوّل ((98156) _ {10} ) إلى تدوين الأساس 8.
  3. حوّل ((101011101) _2 ) إلى تدوين عشري.
  4. حوّل ((AB6C7D) _ {16} ) إلى تدوين عشري.
  5. حوّل ((9A0B) _ {16} ) إلى تدوين ثنائي.

أنظمة تمثيل الأرقام & # 8211 عشري وثنائي وثماني وسداسي عشري

سنناقش في هذه المقالة حول أنظمة تمثيل الأرقام المختلفة ، وأين يتم استخدامها وسبب فائدتها. باختصار سوف نمر عدد عشري, الثنائية, ثماني و السداسي عشري تمثيل العدد.

عشري (الأساس 10)

النظام الأكثر شيوعًا لتمثيل الأرقام هو عدد عشري. الجميع يستخدمه. إنه شائع جدًا أكثر مما يعتقد معظم الناس أنه الوحيد. يتم استخدامه في الشؤون المالية والهندسة وعلم الأحياء ، في كل مكان تقريبًا نرى الأرقام ونستخدمها.

إذا طلب منك شخص ما التفكير في رقم بالتأكيد ، فستفكر في رقم عشري. إذا كنت تفكر في نظام ثنائي أو سداسي عشري ، فيجب أن يكون لديك شغف شديد بالحساب أو البرمجيات / البرمجة.

كما يقول الاسم يستخدم نظام الأرقام العشري 10 الرموز / الشخصيات. في اللغة اللاتينية ، يكون الرقم 10 & # 8220decem & # 8221 لذلك قد يتم ربط العلامة العشرية بالكلمة اللاتينية.

الرموز العشرية
0123456789

كما ترى هناك 10 رموز من 0 إلى 9. باستخدام هذه الرموز ، يمكننا بناء جميع الأرقام في النظام العشري.

يمكن إنشاء جميع الأرقام في النظام العشري باستخدام الرموز المذكورة أعلاه (0 ... 9) مضروبًا في قوة 10. وتعطينا قوة العشرة الآحاد والعشرات والمئات والآلاف وما إلى ذلك.

[10 ^ ك ][10^5][10^4][10^3][10^2][10^1][10^0]
ن100000100001000100101

المثال أدناه يقسم الرقم العشري 67049 إلى قوى 10 مضروبًا في الأرقام بين 0 و 9. هذا فقط لتوضيح أن أي رقم في النظام العشري يمكن أن يتحلل إلى مجموع المصطلحات المكونة من حاصل ضرب قوة 10 والرموز 0 ... 9.

67049
[10^7][10^6][10^5][10^4][10^3][10^2][10^1][10^0]
00067049
[ يبدأ يبدأ
67049 & amp = 6 cdot 10 ^ 4 & amp + 7 cdot 10 ^ 3 & amp + 0 cdot 10 ^ 2 & amp + 4 cdot 10 ^ 1 & amp + 9 cdot 10 ^ 0
& amp = 60000 & amp + 7000 & amp + 0 & amp + 40 & amp + 9
نهاية نهاية ]

سيتم تطبيق نفس التقنية على الأنظمة الثنائية والثنائية والسداسية العشرية ، وهي في الواقع طريقة لتحويل رقم من نظام عشري إلى تنسيق آخر (أساسي).

يمكننا أن نضع في اعتبارنا هذه الخصائص لنظام الأعداد العشرية:

  • إنها تستخدم 10 رموز
  • يمكن أن تتحلل في عوامل تحتوي على قوى 10
  • إنه أكثر أنظمة تمثيل الأرقام شيوعًا

ثنائي (أساس 2)

دعنا ندخل إلى جانب المهوس الآن.

نظام تمثيل رقم آخر هو الثنائية واحد. كما يوحي الاسم وبالتشابه مع النظام العشري ، يمكننا القول أن النظام الثنائي يستخدم رمزين / حرفين فقط:

في التمثيل الثنائي ، نستخدم فقط 0 (أصفار) و 1 (آحاد) لتمثيل الأرقام.

يتم استخدام النظام الثنائي حيثما تريد تخزين المعلومات بتنسيق إلكتروني. جميع أجهزة الكمبيوتر التي تعرفها ، والأجهزة الذكية ، وكل ما يتعلق بالإلكترونيات والميكروكونترولر يستخدم النظام الثنائي.

في الإلكترونيات (الرقمية) ، تتم جميع العمليات باستخدام مستويين من الجهد: مرتفع ومنخفض. يتم تعيين كل مستوى من مستويات الجهد إلى قيمة / رمز: HIGH لـ 1 و LOW لـ 0. بالنسبة لمتحكم دقيق مزود بـ + 5V ، سيتم تمثيل 1 (مرتفع) بـ +5 V و 0 (منخفض) بـ 0 V .

يمكننا القول تقريبًا أن النظام الثنائي مستخدم لأنه يمكن ترجمته إلى إشارة إلكترونية.

يمكن تمثيل جميع الأرقام العشرية التي يمكننا التفكير فيها في رموز ثنائية. نقوم بذلك باستخدام مجموع بين حدود أس 2 مضروبًا في 0 أو 1.

[2 ^ ك ][2^7][2^6][2^5][2^4][2^3][2^2][2^1][2^0]
ن1286432168421

كمثال سنستخدم الرقم 149 (التمثيل العشري) ونحوله إلى تمثيل ثنائي. يمكننا استخدام أي رقم ولكن إذا كان كبيرًا جدًا ، فسينتهي به الأمر إلى سلسلة طويلة من الأصفار والآحاد.

149
[2^7][2^6][2^5][2^4][2^3][2^2][2^1][2^0]
10010101
[ يبدأ يبدأ
149 & amp = 1 cdot 2 ^ 7 & amp + 0 cdot 2 ^ 6 & amp + 0 cdot 2 ^ 5 & amp + 1 cdot 2 ^ 4 & amp + 0 cdot 2 ^ 3 & amp + 1 cdot 2 ^ 2 & amp + 0 cdot 2 ^ 1 & أمبير + 1 cdot 2 ^ 0
& amp = 128 & amp + 0 & amp + 0 & amp + 16 & amp + 0 & amp + 4 & amp + 0 & amp + 1
نهاية نهاية ]

كما ترى ، يتم تمثيل الرقم العشري 149 في النظام الثنائي بسلسلة من الأصفار والآحاد (10010101). عادة للتمييز بين رقم عشري أو ثنائي ، يجب أن نحدد الأساس الذي نشير إليه. يتم وصف القاعدة على أنها رمز منخفض بعد الحرف الأخير من الرقم

عشري (الأساس 10)ثنائي (أساس 2)
[149_<10>][10010101_<2>]

من خلال تحديد أساس العدد ، فإننا نتخلص من احتمال حدوث ارتباك ، لأن نفس التمثيل (على سبيل المثال 11) يمكن أن يعني أشياء مختلفة لقواعد مختلفة.

هناك طريقة أخرى لتجنب الالتباس وهي استخدام تدوين خاص (بادئة) للأرقام الثنائية. وذلك لأن 1100 يمكن أن تمثل أحد عشر مئاتًا في النظام العشري أو الرقم العشري 12 ممثلًا في النظام الثنائي. لذلك إذا كنت تريد تحديد رقم ثنائي ، فإننا نستخدم البادئة 0 ب . مثال: 0b1100.

باختصار خصائص النظام الثنائي هي:

  • إنها تستخدم رمزين
  • يمكن أن تتحلل في عوامل تحتوي على قوى 2
  • يتم استخدامه في أجهزة الكمبيوتر والميكروكونترولر

ثماني (الأساس 8)

جميع الأرقام الموجودة في ثماني يتم تمثيل النظام باستخدام 8 رموز / أحرف ، من 0 إلى 7. يمكن أن يكون سبب استخدام النظام الثماني بدلاً من النظام العشري مختلفًا. أحدها هو أنه بدلاً من استخدام أصابعنا للعد ، فإننا نستخدم المسافات بين الأصابع.

البشر لديهم 4 مسافات بين أصابع يد واحدة في المجموع ، سيكون لدينا 8 مسافات لكلتا اليدين. في هذه الحالة ، من المنطقي استخدام نظام تمثيل رقم ثماني بدلاً من نظام عشري. العيب هو أن الأرقام الأعلى تتطلب المزيد من الأحرف مقارنة بالرقم العشري.

لتحويل رقم تم تمثيله عشريًا إلى نظام ثماني ، قمنا بتقسيمه إلى مصطلحات تحتوي على قوة 8:

[8 ^ ك ][8^5][8^4][8^3][8^2][8^1][8^0]
ن3276840965126481

كمثال سنقوم بتمثيل الرقم العشري 67049 في الأساس الثماني:

67049
[8^5][8^4][8^3][8^2][8^1][8^0]
202751
[ يبدأ يبدأ
67049 & amp = 2 cdot 8 ^ 5 & amp + 0 cdot 8 ^ 4 & amp + 2 cdot 8 ^ 3 & amp + 7 cdot 8 ^ 2 & amp + 5 cdot 8 ^ 1 & amp + 1 cdot 8 ^ 0
& amp = 65535 & amp + 0 & amp + 1024 & amp + 448 & amp + 40 & amp + 1
نهاية نهاية ]

سداسي عشري (الأساس 16)

ال السداسي عشري يستخدم نظام تمثيل الأرقام 16 رمزًا / حرفًا لتحديد الأرقام. يتم استخدامه في علوم الكمبيوتر في الغالب لأنه يمكن أن يمثل أرقامًا عشرية أكبر بأحرف أقل.

الرموز السداسية العشرية
0123456789أبجدهF

بالمقارنة مع النظام العشري ، فإنه يستخدم أيضًا رموزًا رقمية من 0 إلى 9. بالإضافة إلى أنه يستخدم أحرفًا أبجدية رقمية من A إلى F للقيم بين 10 و 15.

[16 ^ ك ][16^5][16^4][16^3][16^2][16^1][16^0]
ن1048576655354096256161

لتمثيل رقم عشري بتنسيق سداسي عشري ، قمنا بتقسيم الرقم العشري إلى مجموع المصطلحات. كل مصطلح هو حاصل ضرب بين رمز سداسي عشري وقوة 16.

67049
[16^4][16^3][16^2][16^1][16^0]
105ه9
[ يبدأ يبدأ
67049 & amp = 1 cdot 16 ^ 4 & amp + 0 cdot 16 ^ 3 & amp + 5 cdot 16 ^ 2 & amp + E cdot 16 ^ 1 & amp + 9 cdot 16 ^ 0
& amp = 65536 & amp + 0 & amp + 1280 & amp + 224 & amp + 9
نهاية نهاية ]

تمثيل الرقم العشري 67049 بالتنسيق السداسي العشري هو 105E9. على غرار النظام الثنائي ، من الممارسات الشائعة استخدام البادئة "0x" للتمييز عن التدوين العشري. مثال: 0x105E9.

باختصار خصائص نظام التمثيل الرقمي السداسي العشري هي:

  • إنها تستخدم 16 رمزًا
  • يمكن أن تتحلل في عوامل تحتوي على قوى 16
  • يتم استخدامه في أجهزة الكمبيوتر والميكروكونترولر

يلخص الجدول أدناه خصائص أنظمة تمثيل الأرقام المذكورة أعلاه.

نظامعدد الرموزحرف او رمزاختصارمثال
عدد عشري100, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9لا أحد147
الثنائية20, 10 ب0b10010011
السداسي عشري160 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، أ ، ب ، ج ، د ، هـ ، و0x0x93

يرتبط كل من نظامي تمثيل الأرقام الثماني والسداسي العشري بنظام الكمبيوتر ، وبشكل أساسي بنوع المعالجات وأجهزة التحكم الدقيقة. على سبيل المثال ، إذا كان المعالج الدقيق يستخدم بيانات 8 بت ، فإن النظام الثماني مناسب لبيانات الواجهة. إذا كان المعالج الدقيق على 16 بت ، فإن النظام السداسي العشري مناسب لتمثيل البيانات.


  • الفهرسة الصفرية. نشير دائمًا إلى العنصر الأول في المصفوفة أ[] كما أ [0]، والثاني باسم أ [1]، وهكذا دواليك. قد يبدو من الطبيعي بالنسبة لك الإشارة إلى العنصر الأول كـ أ [1]، القيمة الثانية كـ أ [2]، وما إلى ذلك ، ولكن بدء الفهرسة بـ 0 له بعض المزايا وقد ظهر باعتباره العرف المستخدم في معظم لغات البرمجة الحديثة.
  • طول المصفوفة. بمجرد إنشاء المصفوفة ، يتم تحديد طولها. يمكنك الرجوع إلى طول ملف أ[] في برنامجك مع الكود طول.
  • التهيئة الافتراضية للمصفوفة. للاقتصاد في الكود ، غالبًا ما نستفيد من اصطلاح تهيئة الصفيف الافتراضي لجافا. على سبيل المثال ، العبارة التالية تكافئ أربعة أسطر من التعليمات البرمجية في أعلى هذه الصفحة:
  • تبادل. في كثير من الأحيان ، نرغب في تبادل قيمتين في المصفوفة. استمرارًا لمثالنا مع أوراق اللعب ، يقوم الكود التالي بتبادل البطاقة في الموضع أنا والبطاقة في الموضع ي:

القيم المحسوبة مسبقا.

تبسيط التعليمات البرمجية المتكررة.

يمكننا أيضًا استخدام ملف تحول العبارة ، ولكن البديل الأكثر إحكاما هو استخدام مجموعة من السلاسل تتكون من أسماء كل شهر:

ستكون هذه التقنية مفيدة بشكل خاص إذا كنت بحاجة إلى الوصول إلى اسم الشهر برقمه في عدة أماكن مختلفة في برنامجك. لاحظ أننا نهدر عمدًا فتحة واحدة في المصفوفة (العنصر 0) لعملها أشهر [1] تتوافق مع يناير ، على النحو المطلوب.

جامع القسيمة.

منخل إراتوستينس.

وظيفة العد الأولية & pi (ن) هو عدد الأعداد الأولية أقل من أو يساوي ن. على سبيل المثال & pi (17) = 7 لأن أول سبعة أعداد أولية هي 2 و 3 و 5 و 7 و 11 و 13 و 17. يأخذ PrimeSieve.java وسيطة سطر أوامر عددًا صحيحًا ن ويحسب & pi (ن) باستخدام منخل إراتوستينس. انظر الكتاب المدرسي للحصول على التفاصيل.
  • الفهرسة الصفرية. نشير دائمًا إلى العنصر الأول في المصفوفة أ[] كما أ [0]، والثاني باسم أ [1]، وهكذا دواليك. قد يبدو من الطبيعي بالنسبة لك الإشارة إلى العنصر الأول كـ أ [1]، القيمة الثانية كـ أ [2]، وما إلى ذلك ، ولكن بدء الفهرسة بـ 0 له بعض المزايا وقد ظهر باعتباره العرف المستخدم في معظم لغات البرمجة الحديثة.
  • طول المصفوفة. بمجرد إنشاء المصفوفة ، يتم تحديد طولها. يمكنك الرجوع إلى طول ملف أ[] في برنامجك مع الكود طول.
  • التهيئة الافتراضية للمصفوفة. للاقتصاد في الكود ، غالبًا ما نستفيد من اصطلاح تهيئة الصفيف الافتراضي لجافا. على سبيل المثال ، العبارة التالية تكافئ أربعة أسطر من التعليمات البرمجية في أعلى هذه الصفحة:
  • تبادل. في كثير من الأحيان ، نرغب في تبادل قيمتين في المصفوفة. استمرارًا لمثالنا مع أوراق اللعب ، يقوم الكود التالي بتبادل البطاقة في الموضع أنا والبطاقة في الموضع ي:

القيم المحسوبة مسبقا.

تبسيط التعليمات البرمجية المتكررة.

يمكننا أيضًا استخدام ملف تحول العبارة ، ولكن البديل الأكثر إحكاما هو استخدام مجموعة من السلاسل تتكون من أسماء كل شهر:

ستكون هذه التقنية مفيدة بشكل خاص إذا كنت بحاجة إلى الوصول إلى اسم الشهر برقمه في عدة أماكن مختلفة في برنامجك. لاحظ أننا نهدر عمدًا فتحة واحدة في المصفوفة (العنصر 0) لعملها أشهر [1] تتوافق مع يناير ، على النحو المطلوب.

جامع القسيمة.

منخل إراتوستينس.

وظيفة العد الأولية & pi (ن) هو عدد الأعداد الأولية أقل من أو يساوي ن. على سبيل المثال & pi (17) = 7 لأن أول سبعة أعداد أولية هي 2 و 3 و 5 و 7 و 11 و 13 و 17. يأخذ PrimeSieve.java وسيطة سطر أوامر عددًا صحيحًا ن ويحسب & pi (ن) باستخدام منخل إراتوستينس. انظر الكتاب المدرسي للحصول على التفاصيل.

MAT 112 الرياضيات القديمة والمعاصرة

نعطي تعريفًا رسميًا للخوارزمية ، ونقدم الإرشادات التي سنستخدمها ، وننتهي بخوارزمية لقوى حساب الأعداد الصحيحة. في هذا القسم سنقدم أمثلة على الخوارزميات.

التعريف 2.1.1.

هو عبارة عن تسلسل محدود من التعليمات لأداء مهمة ما.

نعني بالمحدودية أن هناك نهاية لتسلسل التعليمات. تشير النكتة في الشكل 2.1.2 إلى تسلسل تعليمات يساء فهمه بلا نهاية.

الوصفة هي مثال واقعي للخوارزمية. وصفة الفطيرة أدناه بنفس التنسيق الذي نستخدمه لتقديم الخوارزميات. لديها بالفعل بعض الميزات الرئيسية. تحتوي خوارزمياتنا دائمًا على مدخلات تحتوي على جميع المكونات اللازمة لأداء المهمة. في مثال الفطيرة ، نفترض أن أدوات المطبخ مثل الأطباق والملاعق متوفرة ، ولا ندرجها كمدخلات. الناتج هو ما تُنتجه الخوارزمية ، أو تعيده ، عند اتباع جميع التعليمات. نسرد منتج الخوارزمية بعد التعليمات إرجاع. تحتوي خوارزمية الفطيرة أيضًا على حلقة. يُطلب منك تكرار قلي الفطائر حتى تختفي العجينة.

الخوارزمية 2.1.3. إيركوشن.

1 كوب حليب ، ملعقتان كبيرتان سكر ، كوب دقيق ، 3 بيضات كبيرة ، رشة ملح وزيت للمقلاة

كومة من الفطائر على طبق

اخلطي الدقيق والبيض والسكر والملح بمضرب البيض حتى يصبح الخليط متجانسًا.

أضيفي الحليب ببطء مع تقليب الخليط.

كرر الخطوات التالية:

خذ مغرفة من الخليط واسكبها في المقلاة.

فطيرة فراي على الجانب الآخر.

أخرجي البان كيك من المقلاة.

إرجاع طبق مع الفطائر.

على الرغم من أن الخوارزميات يمكن أن تتكون من أي نوع من التعليمات (كما هو موضح في الوصفة أعلاه) ، فإن الخوارزميات في هذه الدورة ستقتصر على الحسابات ذات الأعداد الصحيحة. تتكون صيغتنا للخوارزميات من أربعة أجزاء:

الكلمة الخوارزمية عادة ما يتبعه اسم يمكننا استخدامه للإشارة إلى الخوارزمية.

ال إدخال يحدد نوع الأرقام التي يمكن إعطاؤها للخوارزمية. غالبًا ما نعطي الخصائص التي نتوقع أن تكون لديهم حتى تعمل الخوارزمية. نقوم أيضًا بتضمين أسماء المتغيرات المستخدمة للإشارة إلى هذه الأرقام.

ال انتاج | أخبرنا ماذا او ما تقوم الخوارزمية بذكر خصائص الأرقام التي تنتجها الخوارزمية.

أ تسلسل التعليمات الذي ينتج الناتج. هذا التسلسل من التعليمات يصف كيف يتم إنشاء الإخراج. نقوم بترقيم التعليمات واتباعها بترتيبها العددي.

في وصفة الفطيرة تحت المدخلات نعطي كميات المكونات وحجم البيض. نقوم بصياغة قيم الإدخال كمتغيرات ، حتى نتمكن من الرجوع إليها في الخوارزمية. نحدد أيضًا قيم الإخراج وخصائصها.

بالنسبة للخوارزميات البسيطة جدًا ، فإن إعلان المخرجات وإعطاء تسلسل التعليمات سيبدو زائداً عن الحاجة. ليس هذا هو الحال بالنسبة للخوارزميات الأكثر تعقيدًا. سترى أيضًا أن هناك تسلسلات مختلفة من التعليمات تنتج نفس المخرجات.

في صياغة الخوارزميات نستخدم التعليمات يترك, اذا ثم, كرر حتى، و إرجاعوالتي نوضحها بالتفصيل فيما يلي. بالإضافة إلى ذلك ، نستخدم التدوين الرياضي القياسي للحسابات. تتكون كل تعليمات في الخوارزمية من أوامر وتعبيرات رياضية. قبل أن نتبع أي تعليمات محددة ، نقوم دائمًا بتقييم أي تعبير رياضي أولاً.

نقوم بترقيم التعليمات في الخوارزميات واتباع التعليمات بهذا الترتيب. كل تعليمات مرقمة تسمى خطوة. ال كرر حتى يمكن استخدام loop لتغيير هذا الترتيب بإخبارنا بتكرار التعليمات السابقة. الشرط اذا ثم يغير أيضًا الأوامر التي يجب اتباعها ، اعتمادًا على ما إذا كانت العبارة صحيحة أم خطأ.

في الفيديو في الشكل 2.1.4 ، نذكر النقاط الرئيسية للمناقشة أعلاه ، ونقدم التعليمات إرجاع وإعطاء الأمثلة الأولى للخوارزميات ذات المدخلات والمخرجات العددية.


1.4: تمثيلات الأعداد الصحيحة في أسس مختلفة - الرياضيات

ملموس - تمثيلي - ملخص

الغرض من التدريس من خلال تسلسل تعليمي ملموس إلى تمثيلي إلى ملخص هو التأكد من أن الطلاب لديهم حقًا فهم شامل لمفاهيم / مهارات الرياضيات التي يتعلمونها. عندما يُسمح للطلاب الذين لديهم مشكلات في تعلم الرياضيات أولاً بتطوير فهم ملموس لمفهوم / مهارة الرياضيات ، فمن المرجح أن يؤدوا هذه المهارة الرياضية ويفهمون مفاهيم الرياضيات حقًا على المستوى المجرد.

  • يتم تصميم كل مفهوم / مهارة رياضية أولاً باستخدام مواد خرسانية (مثل الرقائق ، مكعبات unifix ، قوالب العشرة الأساسية ، الفول وعصي الفول ، قوالب النماذج).
  • يتم توفير العديد من الفرص للطلاب لممارسة وإثبات إتقان استخدام مواد ملموسة
  • يتم تصميم مفهوم / مهارة الرياضيات بعد ذلك على المستوى التمثيلي (شبه الخرساني) والذي يتضمن رسم الصور التي تمثل الكائنات الملموسة المستخدمة سابقًا (على سبيل المثال ، الأعداد ، النقاط ، الدوائر ، الطوابع التي تطبع الصور للعد)
  • يتم تزويد الطلاب بالعديد من الفرص لممارسة وإثبات إتقانهم من خلال رسم الحلول
  • تم أخيرًا نمذجة مفهوم / مهارة الرياضيات على المستوى المجرد (باستخدام الأرقام والرموز الرياضية فقط)
  • يتم تزويد الطلاب بالعديد من الفرص لممارسة وإثبات إتقانهم على المستوى المجرد قبل الانتقال إلى مفهوم / مهارة رياضيات جديدة.
  • عندما ينتقل المعلم عبر تسلسل تعليمي ملموس إلى تمثيلي إلى مجرد ، يجب استخدام الأرقام و / أو الرموز المجردة جنبًا إلى جنب مع المواد الملموسة والرسومات التمثيلية (يعزز ارتباط الرموز المجردة بالفهم التمثيلي الملموس)


ما هي العناصر الحاسمة لهذه الاستراتيجية؟

  • استخدم كائنات ملموسة مناسبة لتدريس مفهوم / مهارة رياضية معينة (انظر المستوى الملموس للفهم / فهم المتلاعبات - أمثلة على المتلاعبات حسب مجال مفهوم الرياضيات). علِّم الفهم الملموس أولاً.
  • استخدم تقنيات الرسم المناسبة أو تمثيلات الصور المناسبة للأشياء الملموسة (انظر المستوى التمثيلي للفهم / أمثلة على حلول الرسم حسب مجال مفهوم الرياضيات). علم الفهم التمثيلي ثانيًا.
  • استخدم الاستراتيجيات المناسبة لمساعدة الطلاب على الانتقال إلى المستوى المجرد من الفهم لمفهوم / مهارة رياضيات معينة (انظر المستوى المجرد للفهم / العوائق المحتملة أمام الفهم المجرد للطلاب الذين لديهم مشاكل في التعلم وكيفية إدارة هذه الحواجز).
  • عند التدريس في كل مستوى من مستويات الفهم ، استخدم طرق تدريس واضحة (انظر إستراتيجية التعليمات النمذجة الصريحة للمعلم).


كيف أنفذ الإستراتيجية؟

  1. عند تدريس مفهوم / مهارة الرياضيات في البداية ، صفه ونمذجه باستخدام أشياء ملموسة (مستوى ملموس من الفهم).
  2. تزويد الطلاب بالعديد من فرص التدريب باستخدام أشياء ملموسة.
  3. عندما يُظهر الطلاب إتقان المهارة باستخدام أشياء ملموسة ، قم بوصف & amp نموذج كيفية أداء المهارة عن طريق الرسم أو بالصور التي تمثل كائنات ملموسة (المستوى التمثيلي للفهم).
  4. توفير العديد من فرص التدريب حيث يقوم الطلاب برسم حلولهم أو استخدام الصور لحل المشكلات.
  5. عندما يُظهر الطلاب إتقان حلول الرسم ، صف ونمذجة كيفية أداء المهارة باستخدام الأرقام ورموز الرياضيات فقط (مستوى الفهم المجرد).
  6. توفير العديد من الفرص للطلاب لممارسة أداء المهارة باستخدام الأرقام والرموز فقط.
  7. بعد أن يتقن الطلاب أداء المهارة على مستوى الفهم المجرد ، تأكد من أن الطلاب يحافظون على مستوى مهاراتهم من خلال توفير فرص ممارسة دورية لمهارات الرياضيات.


كيف تؤثر هذه الإستراتيجية التعليمية بشكل إيجابي على الطلاب الذين لديهم مشاكل في التعلم؟

  • يساعد المتعلم السلبي على تكوين روابط ذات مغزى
  • يعلم الفهم المفاهيمي من خلال ربط الفهم الملموس بعملية الرياضيات المجردة
  • من خلال ربط خبرات التعلم من مستويات الفهم الملموسة إلى التمثيلية بالمجردة ، يوفر المعلم إطارًا متدرجًا للطلاب لإجراء اتصالات مفيدة.
  • يمزج الفهم المفاهيمي والإجرائي بطريقة منظمة

دعم البحث للسمات التعليمية لهذه الإستراتيجية التعليمية: Allsopp (1999) Baroody (1987) Butler، Miller، Crehan، Babbit، & amp Pierce (2003) Harris، Miller، & amp Mercer (1993) Kennedy and Tips (1998) Mercer، Jordan، & amp Miller (1996) Mercer and Mercer (2005) ) Miller، Butler، & amp Lee (1998) Miller and Mercer، 1995 Miller، Mercer، & amp Dillon (1992) Peterson، Mercer، & amp O'Shea. (1988) فان دي وال (2005) Witzel، Mercer، & amp Miller (2003).

ما هذا؟
فهم المتلاعبين
أمثلة على المعالجات (الأشياء الخرسانية) حسب مستوى المفهوم الرياضي
اقتراحات لاستخدام المناورات (أشياء ملموسة)

المستوى الملموس للفهم هو المستوى الأساسي للفهم الرياضي. وهو أيضًا المستوى الأكثر أهمية لتطوير الفهم المفاهيمي لمفاهيم / مهارات الرياضيات. يحدث التعلم الملموس عندما يكون لدى الطلاب فرص كبيرة للتعامل مع الأشياء الملموسة لحل المشكلة. بالنسبة للطلاب الذين يعانون من مشاكل في تعلم الرياضيات ، هناك حاجة إلى قيام المعلم بنمذجة استخدام كائنات محددة محددة لحل مسائل رياضية معينة.

فهم المتلاعبات (الأشياء الخرسانية)

لاستخدام المعالجات الرياضية بشكل فعال ، من المهم أن تفهم العديد من الخصائص الأساسية لأنواع مختلفة من المتلاعبين بالرياضيات وكيف تؤثر هذه الخصائص المحددة على الطلاب الذين يعانون من مشاكل في التعلم. عندما تقرأ عن الأنواع المختلفة من وسائل التلاعب ، انقر فوق الأرقام الموجودة بجانب كل وصف لعرض صور لهذه الأنواع المختلفة من وسائل التلاعب.

الأنواع العامة للتلاعب بالرياضيات:

منفصلة - تلك المواد التي يمكن عدها (مثل ملفات تعريف الارتباط ، والأطفال ، ومكعبات العد ، وسيارات اللعب ، وما إلى ذلك).

انظر الأمثلة - 1 | 2 | 3 | 4 |

مستمر - المواد التي لا تُستخدم في العد ولكنها تُستخدم للقياس (مثل المسطرة ، وكوب القياس ، ومقياس الوزن ، وعجلة التدحرج). انظر المثال - 1

اقتراحات لاستخدام المواد المنفصلة والمستمرة مع الطلاب الذين يعانون من مشاكل في التعلم:

يحتاج الطلاب الذين يعانون من مشاكل في التعلم إلى خبرات وفيرة باستخدام مواد منفصلة قبل أن يستفيدوا من استخدام المواد المستمرة. وذلك لأن المواد المنفصلة لها خصائص محددة يمكن للطلاب التمييز بينها بسهولة من خلال النظر واللمس. عندما يتقن الطلاب فهم مفاهيم الاستعداد المحددة لمفاهيم / مهارات قياس محددة من خلال استخدام مواد منفصلة (مثل مهارات العد) ، يمكن استخدام المواد المستمرة.

أنواع المعالجات المستخدمة لتدريس نظام Base-10 / القيمة المكانية (Smith ، 1997):

متناسب - أظهر العلاقات حسب الحجم (على سبيل المثال ، عشر كتل عد مجمعة معًا هي عشرة أضعاف حجم كتلة عد واحدة ، يكون حجم حبة الفول الذي يحتوي على عشر حبوب ملصقة بعصا المصاصة أكبر بعشر مرات من حبة واحدة).

- غير متناسب نسبي - الوحدات الفردية مستقلة عن بعضها البعض ، ولكن يمكن تقسيمها معًا (على سبيل المثال ، يمكن تجميع أعواد المصاصات معًا في مجموعات من `` عشرات '' بأربطة مطاطية يمكن ربط مكعبات unifix الفردية في صفوف من عشرة مكعبات أحادية لكل منها). انظر الأمثلة - 1 | 2 | 3 |

- ربط نسبي - يأتي في وحدات مفردة بالإضافة إلى وحدات العشرات المجمعة والمجمعة مسبقًا ، ومئات الوحدات ، وآلاف الوحدات (مثل الفاصوليا وأعواد الفاصوليا العشرة مكعبات / مكعبات أساسية). أمثلة على ذلك - 1 | 2 | 3 | 4 | 5


غير متناسب
- استخدم الوحدات التي لا يشير الحجم فيها إلى القيمة بينما تشير الخصائص الأخرى إلى القيمة (على سبيل المثال ، المال ، حيث تساوي عشرة أضعاف قيمة واحدة من رقائق البوكر الصغيرة حيث يشير اللون إلى قيمة الشريحة العداد حيث يشير موقع الصف إلى القيمة). يتم استبدال عدد محدد من الوحدات التي تمثل قيمة واحدة مقابل وحدة واحدة ذات قيمة أكبر (على سبيل المثال ، عشرة بنسات مقابل عشرة سنتات واحدة من عشرة فيشات بوكر بيضاء لرقاقة بوكر زرقاء واحدة ، وعشر حبات في الصف الأول من العداد لحبة واحدة في الصف الثاني) . انظر المثال - 1

اقتراحات لاستخدام وسائل التلاعب المتناسبة وغير المتناسبة مع الطلاب الذين يعانون من مشاكل في التعلم:

من المرجح أن يتعلم الطلاب الذين يعانون من مشاكل في التعلم القيمة المكانية عند استخدام المناورات النسبية لأنه من السهل رؤية الاختلافات بين الوحدات ، ووحدات العشرات ، ومئات الوحدات. نظرًا لطبيعة المناورات غير المتناسبة ، فإن الطلاب الذين يعانون من مشاكل في التعلم يجدون صعوبة أكبر في رؤية الاختلافات في قيم الوحدة والشعور بها.

أمثلة على المناورات (الأشياء الخرسانية)

يتم سرد وسائل التلاعب المقترحة وفقًا لمفهوم الرياضيات / مجال المهارة. يتم توفير أوصاف المناورات بالشكل المناسب. يتم توفير وصف موجز لكيفية استخدام كل مجموعة من الأدوات اليدوية لتعليم مفهوم / مهارة الرياضيات في أسفل القائمة لكل مجال من مجالات مفهوم الرياضيات. يمكن الوصول إلى أمثلة الصور لبعض الأدوات المتلاعبة لكل مجال من مجالات مفهوم الرياضيات من خلال النقر على الأرقام الموجودة أسفل عنوان كل مجال من مجالات مفهوم الرياضيات. لا يُقصد بهذه القائمة أن تكون قائمة شاملة ، لكن هذه القائمة تتضمن مجموعة متنوعة من وسائل التلاعب الشائعة. تتضمن القائمة أمثلة على المتلاعبات & quotteacher-made & quot؛ وكذلك & quot؛ المصنوعة تجارياً & quot.

العد / الجمع الأساسي وطرح أمبير
القيمة المكانية
الضرب / القسمة
الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة
الكسور
الهندسة
بداية الجبر

العد / الجمع الأساسي & أمبير الطرح الصور

  • رقائق ملونة
  • فاصوليا
  • مكعبات يونيفكس
  • تيز جولف
  • لعبة البولنج أو قطع الحلوى الأخرى
  • تغليف الفشار
  • عصي المصاصة / خافضات اللسان


وصف الاستخدام: يمكن للطلاب استخدام هذه المواد الملموسة للعد والإضافة والطرح. يمكن للطلاب العد من خلال الإشارة إلى الأشياء والعد بصوت عالٍ. يمكن للطلاب الجمع عن طريق عد العناصر ووضعها في مجموعة واحدة ثم حساب الإجمالي. يمكن للطلاب الطرح عن طريق إزالة العناصر من مجموعة ثم حساب العدد المتبقي.

صور القيمة المكانية

  • قاعدة 10 مكعبات / مكعبات
  • أعواد الفول والفول
  • عصي المصاصة وأشرطة مطاطية للتجميع
  • مكعبات Unifix (يمكن دمج المكعبات الفردية لتمثيل & quottens & quot)
  • مكان حصيرة القيمة (قطعة من لوحة العلامات أو سطح آخر يحتوي على أعمدة تمثل & quotones ، & quot & quottens ، & quot و & quothundreds & quot قيم الأماكن)

وصف الاستخدام: يتم تعليم الطلاب أولاً تمثيل 1-9 كائنات في العمود & quotones & quot. ثم يتم تعليمهم لتمثيل & quot10 & quot عن طريق التداول في عشرة كائنات عد فردية لكائن واحد يحتوي على عشرة كائنات للعد (على سبيل المثال ، يتم تداول عشر حبات منفصلة مقابل قطعة واحدة & quot؛ مثل & quot؛ - عصا مثلجات مع عشر فاصوليا ملصقة على جانب واحد. الطلاب بعد ذلك ابدأ في تمثيل قيم مختلفة 1-99. في هذه المرحلة ، يكرر الطلاب نفس عملية التداول لـ & quothundreds. & quot

صور الضرب / القسمة

  • أوعية وأدوات عدّ (أطباق ورقية للحلوى وأكواب ورقية أو بلاستيكية وقطع حلوى ، وأوراق لعب ورقائق أمبير ، ودوائر لوحة بطاقات مقطوعة وتي شيرت جولف ، وما إلى ذلك). تمثل الحاويات & quotgroups & quot ، وتمثل كائنات العد عدد العناصر في كل مجموعة. (على سبيل المثال 2 × 4 = 8: حاويتان بهما أربعة أشياء للعد في كل حاوية)
    عد العناصر المرتبة في مصفوفات (مرتبة في صفوف وأعمدة). يساعد رمز اللون & quotoutside & quot العمود الرأسي والصف الأفقي في التأكيد على المضاعفات

.
الصور الصحيحة الإيجابية والسلبية

  • عد الأشياء ، مجموعة واحدة ذات ألوان فاتحة ومجموعة أخرى ذات ألوان داكنة (على سبيل المثال ، فاصوليا ذات لون فاتح وأصفر داكن ، ودوائر عد رقاقات باللون الأصفر والأزرق مقطوعة من لوحة العلامات ذات جانب واحد ملون ، وما إلى ذلك).


وصف الاستخدام: تمثل الكائنات ذات الألوان الفاتحة أعدادًا صحيحة موجبة وتمثل الكائنات الملونة الداكنة أعدادًا صحيحة سالبة. عند إضافة الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة ، يقوم الطالب بمطابقة أزواج من الكائنات الملونة الداكنة والفاتحة. يمثل اللون وعدد العناصر المتبقية الحل.

صور الكسور

  • قطع الكسور (دوائر ، أنصاف دوائر ، أرباع دوائر ، إلخ.)
  • شرائط الكسر (شرائط من لوحة العلامات بطول قدم واحد وعرض بوصة واحدة ، مقسمة إلى أطوال ، و frac12's ، و 1 / 3's ، و frac14's ، إلخ.
  • كتل أو مكدسات الكسور. الكتل / المكعبات التي تمثل الأجزاء الكسرية حسب النسبة (على سبيل المثال ، كتلة & quot1 / 2 & quot هي ضعف ارتفاع كتلة & quot1 / 4 & quot).


وصف الاستخدام: نماذج المعلم كيفية مقارنة الأجزاء الكسرية باستخدام نوع واحد من المتلاعبة. ثم يقارن الطلاب الأجزاء الكسرية. عندما يكتسب الطلاب فهمًا للأجزاء الكسرية وعلاقاتهم مع مجموعة متنوعة من المتلاعبين ، يبدأ المعلمون ثم يبدأون في الجمع والطرح والضرب والقسمة باستخدام أجزاء الكسور.

صور الهندسة

  • Geoboards (منصات مربعة ذات شقوق أو قضبان مرتفعة تتشكل في مصفوفة). يمكن استخدام الأربطة أو الأوتار المطاطية لتشكيل أشكال مختلفة حول الشقوق أو القضبان المرتفعة.


وصف الاستخدام: يمكن توضيح مفاهيم مثل المنطقة والمحيط من خلال حساب عدد الشق أو العصي & الاقتباسات & quot داخل الشكل أو حول محيط الشكل.

بداية صور الجبر

  • الحاويات (التي تمثل المتغير & quotunknown & quot) وعد العناصر (تمثل الأعداد الصحيحة) -e.g. أطباق الحلوى الورقية وحبوب القهوة ، وأكواب المشروبات البلاستيكية الشفافة الصغيرة ، 7 رقائق عد ، وأوراق اللعب وقطع الحلوى ، إلخ.

وصف الاستخدام: يمكن تمثيل التعبير الجبري & quot4x = 8، & quot بأربع لوحات (& quot4x & quot). يمكن توزيع ثمانية فاصوليا بالتساوي بين اللوحات الأربعة. يمثل عدد الحبوب على لوح واحد الحل (& quotx & quot = 2).

اقتراحات لاستخدام المناورات (بيرنز ، 1996)

  • تحدث مع طلابك حول كيفية مساعدة الأدوات اليدوية في تعلم الرياضيات.
  • ضع قواعد أساسية لاستخدام الوسائل اليدوية.
  • تطوير نظام لتخزين المواد المتلاعبة.
  • امنح وقتًا لطلابك لاستكشاف الوسائل اليدوية قبل بدء التدريس.
  • شجع الطلاب على تعلم أسماء الوسائل التي يستخدمونها.
  • امنح الطلاب الوقت لوصف الوسائل التي يستخدمونها شفهياً أو كتابياً. نمذجة هذا بالشكل المناسب.
  • أدخل المواد المتلاعبة للوالدين

تمثيلي

ما هذا؟
أمثلة على حلول الرسم على مستوى مفهوم الرياضيات

على مستوى الفهم التمثيلي ، يتعلم الطلاب حل المشكلات من خلال رسم الصور. تمثل الصور التي يرسمها الطلاب الأشياء الملموسة التي يتلاعب بها الطلاب عند حل المشكلات على المستوى الملموس. من المناسب أن يبدأ الطلاب في رسم حلول للمشكلات بمجرد إثبات أنهم أتقنوا مفهومًا / مهارة رياضية معينة على المستوى الملموس. بينما لا يحتاج جميع الطلاب إلى رسم حلول للمشكلات قبل الانتقال من مستوى ملموس من الفهم إلى مستوى مجرد من الفهم ، فإن الطلاب الذين يعانون من مشكلات في التعلم على وجه الخصوص يحتاجون عادةً إلى ممارسة حل المشكلات من خلال الرسم. عندما يتعلمون كيفية رسم الحلول ، يتم تزويد الطلاب بخطوة وسيطة حيث يبدأون في نقل فهمهم الملموس نحو مستوى مجرد من الفهم. عندما يتعلم الطلاب كيفية رسم الحلول ، فإنهم يكتسبون القدرة على حل المشكلات بشكل مستقل. من خلال العديد من فرص ممارسة حل المشكلات المستقلة ، يكتسب الطلاب الثقة أثناء تجربتهم للنجاح. تساعد فرص الممارسة المتعددة الطلاب أيضًا على البدء في & اقتباس عملية حل المشكلات المعينة. بالإضافة إلى ذلك ، يتم تعزيز فهم الطلاب الملموس للمفهوم / المهارة بسبب تشابه رسوماتهم مع الأدوات التي استخدموها سابقًا على المستوى الملموس.

الرسم ليس & quotcrutch & quot للطلاب الذين سيستخدمونه إلى الأبد. إنه يوفر للطلاب طريقة فعالة لممارسة حل المشكلات بشكل مستقل حتى يطوروا الطلاقة على المستوى المجرد.

أمثلة على حلول الرسم على مستوى مفهوم الرياضيات

يتم تصنيف أمثلة الرسم التالية حسب نوع الرسومات (& quotLines و Tallies & amp Circles & quot أو & quotCircles / Boxes & quot). يوجد في كل فئة مجموعة متنوعة من الأمثلة التي توضح كيفية استخدام هذه الرسومات لحل أنواع مختلفة من مشاكل الحساب. انقر على الأرقام أدناه لعرض هذه الأمثلة.

ما هذا؟
العوائق المحتملة أمام الفهم المجرد للطلاب الذين لديهم مشاكل في التعلم وكيفية إدارة هذه الحواجز

الطالب الذي يحل مشكلة على المستوى المجرد ، يفعل ذلك دون استخدام أشياء ملموسة أو بدون رسم صور. يتطلب فهم مفاهيم الرياضيات وأداء مهارات الرياضيات على المستوى المجرد من الطلاب القيام بذلك باستخدام الأرقام ورموز الرياضيات فقط. غالبًا ما يشار إلى الفهم المجرد بـ & quoting الرياضيات في رأسك. & quot إكمال مسائل الرياضيات حيث تتم كتابة مسائل الرياضيات ويقوم الطلاب بحل هذه المشكلات باستخدام الورق والقلم الرصاص هو مثال شائع لحل المشكلات على المستوى المجرد.

العوائق المحتملة أمام الفهم المجرد للطلاب الذين لديهم مشاكل في التعلم وكيفية إدارة هذه الحواجز

يمكن للطلاب الذين لم ينجحوا في حل المشكلات على المستوى المجرد:


أسئلة الممارسة

هو رقم عشري هو رقم منطقي؟

أي رقم عشري يمكن أن يكون إما رقمًا منطقيًا أو عددًا غير نسبي ، اعتمادًا على عدد الأرقام وتكرار الأرقام. أي رقم عشري تكون شروطه منتهية أو غير منتهية ولكن متكررة فهو رقم منطقي. بينما إذا كانت المصطلحات غير منتهية وغير متكررة ، فهي رقم غير منطقي.

كيف تعرف أن الرقم العشري عقلاني؟

يمكننا معرفة أن الرقم العشري منطقي أم لا بطرق مختلفة. يمكننا إذا أمكن التعبير عن رقم عشري بالصيغة p / q و q ≠ 0 ، فهو رقم نسبي. مثال: 0.25 = 25/100 عدد نسبي. أو يمكننا التحقق من عدد المصطلحات وتكرارها لمعرفة ما إذا كان عددًا منطقيًا أم لا. على سبيل المثال ، 0.33333. هو رقم منطقي.

ما هي خصائص العدد المنطقي عند كتابته في صورة عدد عشري؟

عند التعبير عن رقم منطقي في الشكل العشري ، يمكن أن يكون منتهيًا أو غير منتهي ولكنه متكرر ويمكن أن تتكرر الأرقام في نمط. مثال: 1/2 = 0.5 هو رقم عشري منتهي. 1/3 = 0.33333. هو رقم عشري غير منتهي مع تكرار الرقم 3.

إذا كان غير منتهي وغير متكرر ، فهو ليس رقمًا منطقيًا. مثال: π هو رقم غير نسبي لأنه يحتوي على قيمة غير منتهية وغير متكررة.

هل يتم تمثيل كل رقم عشري كرقم نسبي؟

لا ، لا يمكن تمثيل كل رقم عشري كرقم نسبي. لا يمكن التعبير عن الأرقام غير المنتهية وغير المتكررة على يمين الفاصلة العشرية بالصيغة p / q وبالتالي فهي ليست أرقامًا منطقية. لكن بخلاف هذه المصطلحات ، يمكن تمثيل جميع المصطلحات كرقم نسبي أو في شكل p / q.

3.14 هو رقم منطقي؟

الرقم المنطقي هو رقم يمكن كتابته في صورة كسر ، a / b حيث a و b أعداد صحيحة ، أو التي لها مصطلحات منتهية أو غير منتهية ولكن متكررة. ومن ثم ، فإن الرقم 3.14 هو رقم منطقي ، لأنه يحتوي على شروط إنهاء بعد الفاصلة العشرية. إذا كان سيحتوي على مصطلحات أخرى تمتد إلى ما لا نهاية ، لكان قد أطلق عليه رقم غير نسبي. لا يمكن التعبير عن رقم غير نسبي في شكل p / q فهو يحتوي على أرقام غير متكررة لا نهاية لها بعد الفاصلة العشرية. أمثلة: π = 3.141592. √2 = 1.414213…

ما الذي لا يمكن أن يكون التمثيل العشري لرقم منطقي؟

رقم عشري ، يحتوي على مصطلحات لا نهائية حيث لا تكرر المصطلحات نفسها ، فلا يمكن أن يكون تمثيلًا عشريًا لرقم منطقي. لكي يكون الرقم العشري هو التمثيل العشري لرقم منطقي ، يجب أن يحتوي على مصطلحات نهائية أو غير منتهية ولكن متكررة.

كيف تجد التمدد العشري لرقم منطقي؟

يمكن بسهولة معرفة التوسع العشري لرقم منطقي باستخدام القسمة المطولة أو ببساطة عن طريق كتابة الرقم المنطقي في شكل p / q المعروف أيضًا باسم شكل الكسر. لتحويل الكسور إلى كسور عشرية ، ما عليك سوى قسمة البسط على المقام. نظرًا لأنه رقم منطقي ، فسنحصل على نتيجة إما نهائية أو غير منتهية ولكنها متكررة. إذا كان المقام على الشكل (2 ن × 5 م) ، فمن المؤكد أن العلامة العشرية ستنتهي ، وإلا فسوف تتكرر بنمط متكرر.


دكتوراه في الفلسفة (دكتوراه)

رياضيات 1000. الرياضيات في جامعة نورث إيسترن. (1 ساعة)

مصممة لتخصصات الرياضيات للطلاب الجدد لتعريفهم ببعضهم البعض ، وتخصصهم ، وكليتهم ، والجامعة. يتم تعريف الطلاب على نظام الإرشاد لدينا ، والتسجيل في دورات الفصل الدراسي المقبل ، ومعرفة المزيد عن التعاون. كما يساعد الطلاب على تطوير المهارات الأكاديمية والشخصية اللازمة للنجاح كطالب جامعي.

رياضيات 1120. تمهيد الحساب. (4 ساعات)

يركز على الدوال الخطية ومتعددة الحدود والأسية واللوغاريتمية والمثلثية. يتم التركيز على فهم ومعالجة ورسم هذه الوظائف الأساسية وعكساتها وتركيباتها واستخدامها لنمذجة مواقف العالم الحقيقي (أي النمو الأسي والانحلال والظواهر الدورية). يتم حل المعادلات التي تتضمن هذه الوظائف باستخدام التقنيات المناسبة. يتم إيلاء اعتبار خاص لاختيار وظائف معقولة لتناسب البيانات الرقمية.

رياضيات 1130. رياضيات كلية للأعمال والاقتصاد. (4 ساعات)

يقدم للطلاب بعض المفاهيم والأدوات الرياضية المهمة (مثل نمذجة الإيرادات والتكلفة والأرباح مع الوظائف) المستخدمة في حل المشكلات في الأعمال والاقتصاد. يفترض الإلمام بالخصائص الأساسية للوظائف الخطية ومتعددة الحدود والأسية واللوغاريتمية. تشمل الموضوعات طريقة المربعات الصغرى ، ومنحنيات الانحدار ، وحل المعادلات التي تتضمن وظائف ، والفائدة المركبة ، والإطفاء ، ونماذج تمويل المستهلك الأخرى. (مطلوب آلة حاسبة بالرسوم البيانية ، راجع المعلم لمعرفة الطراز والطراز.)

رياضيات 1213. الرياضيات التفاعلية. (4 ساعات)

يطور مهارات حل المشكلات مع تدريس مفاهيم الرياضيات في نفس الوقت. تركز كل وحدة على مشكلة تطبيقية معينة ، والتي تعمل على تقديم الموضوعات الرياضية ذات الصلة. قد تشمل هذه على سبيل المثال لا الحصر نظرية الاقتراع ، ومعدل التغيير ، والمفاهيم الكامنة وراء المشتقات ، والاحتمالات ، والتوزيعات ذات الحدين ، والإحصاءات. لا يتم تدريس الدورة التدريبية بتنسيق المحاضرات التقليدية وهي مناسبة بشكل خاص للطلاب الذين يعملون بشكل جيد في مجموعات تعاونية والذين يستمتعون بالكتابة حول المفاهيم التي يتعلمونها. يعتمد التقييم على حقائب الأوراق والمشاريع المكتوبة وحلول "مشاكل الأسبوع" والامتحانات.

صفات): تحليل NUpath / استخدام البيانات ، NUpath الرسمي / الاستدلال الكمي

رياضيات 1215. التفكير الرياضي. (4 ساعات)

يركز على تطوير التفكير الرياضي واستخدامه في مجموعة متنوعة من السياقات لترجمة مشاكل العالم الحقيقي إلى شكل رياضي ، ومن خلال التحليل ، للحصول على معلومات جديدة والتوصل إلى استنتاجات حول المشكلات الأصلية. تشمل الموضوعات الرياضية المنطق الرمزي وجداول الحقيقة والحجج الصحيحة ومبادئ العد وموضوعات في نظرية الاحتمالات مثل نظرية بايز والتوزيع ذي الحدين والقيمة المتوقعة.

صفات): تحليل NUpath / استخدام البيانات ، NUpath الرسمي / الاستدلال الكمي

رياضيات 1216. تلاوة لرياضيات 1215 (0 ساعة)

يوفر تنسيق مناقشة مجموعة صغيرة لتغطية مادة في رياضيات 1215.

رياضيات 1220. رياضيات الفن. (4 ساعات)

يقدم روابط وأسس رياضية للفن. تختلف الموضوعات وقد تشمل جوانب المنظور الخطي ونقاط التلاشي ، والتماثل والأنماط ، والإطارات والمضلعات ، والمواد الصلبة الأفلاطونية ومتعددة السطوح ، والنسبة الذهبية ، والهندسة غير الإقليدية ، والهندسة الزائدية ، والفركتلات ، وموضوعات أخرى. يتضمن روابط وأمثلة في ثقافات مختلفة.

صفات): NUpath Creative Express / Innov ، NUpath الرسمي / التفكير الكمي

رياضيات 1231. حساب التفاضل والتكامل للأعمال والاقتصاد. (4 ساعات)

يقدم لمحة عامة عن حساب التفاضل بما في ذلك مشتقات القوة ، والوظائف الأسية ، واللوغاريتمية ، والوظائف اللوجستية ، والوظائف المبنية من هذه. تُستخدم المشتقات لنمذجة معدلات التغيير ، ولتقدير التغيير ، ولتحسين الوظائف ، وفي التحليل الهامشي. يتم تطبيق حساب التفاضل والتكامل على وظائف التراكم والقيمة المستقبلية. ينصب التركيز على مشاكل الأعمال والاقتصاد الواقعية ، وتطوير النماذج الرياضية من بيانات الأعمال الأولية ، وترجمة النتائج الرياضية إلى تعبير لفظي مناسب لإعداد الأعمال. يتميز أيضًا بمشروع تسويقي لمدة فصل دراسي يقوم فيه الطلاب بجمع البيانات الأولية ووضع نماذج لها واستخدام حساب التفاضل والتكامل لاتخاذ قرارات العمل ، حيث يتحمل كل طالب عرضًا تقديميًا مدته عشر دقائق. (مطلوب آلة حاسبة بالرسوم البيانية ، راجع المعلم لمعرفة الطراز والطراز.)

صفات): NUpath الرسمي / الاستدلال الكمي

رياضيات 1241. حساب التفاضل والتكامل 1. (4 ساعات)

بمثابة النصف الأول من تسلسل حساب التفاضل والتكامل المكون من فصلين دراسيين وكمقرر مستقل من فصل دراسي واحد في حساب التفاضل والتكامل. يقدم المفاهيم الأساسية وتقنيات التفاضل والتكامل ويطبقها على الدوال متعددة الحدود والأسية واللوغاريتمية والمثلثية. يؤكد على المشتق كمعدل تغيير ومتكامل كمراكم. تشمل التطبيقات التحسين ، والنمو ، والانحلال ، والمساحة ، والحجم ، والحركة.

صفات): NUpath الرسمي / الاستدلال الكمي

رياضيات 1242. حساب التفاضل والتكامل 2. (4 ساعات)

تواصل الرياضيات 1241. تقدم تقنيات إضافية للتكامل والتقريب العددي للتكاملات واستخدام الجداول المتكاملة تطبيقات أخرى للتكاملات. يقدم أيضًا المعادلات التفاضلية وحقول المنحدرات والحلول الأولية. يقدم وظائف للعديد من المتغيرات والمشتقات الجزئية والتكاملات المتعددة.

المتطلبات المسبقة: رياضيات 1231 بحد أدنى D- أو MATH 1241 مع حد أدنى من D- أو MATH 1341 مع حد أدنى من D-

صفات): NUpath الرسمي / الاستدلال الكمي

رياضيات 1245. حساب التفاضل والتكامل مع التطبيقات. (4 ساعات)

يغطي حساب التفاضل والتكامل لمتغير واحد ومقدمة للمعادلات التفاضلية. يشمل التطبيقات التي توضح كيفية استخدام حساب التفاضل والتكامل لحل المشكلات في العلوم. يتضمن أيضًا مشروعًا جماعيًا يتعلق بمشكلة واقعية في مجالات دراسة الطلاب. يتضمن المشروع معادلة تفاضلية ويقارن الحل بالتجربة. تشمل الأمثلة السابقة للمشاريع نمذجة الشعاب المرجانية ، وتحليل الوباء باستخدام بيانات منظمة الصحة العالمية ، وتحليل نموذج حركي مكون من عنصرين لتركيز الدواء ، وتحليل بوابة تجربة الورك إلى الركبة والمقارنة مع حل معادلة البندول. يوصى بالتعرض المسبق لحساب التفاضل والتكامل على مستوى المدرسة الثانوية.

صفات): NUpath الرسمي / الاستدلال الكمي

رياضيات 1251. حساب التفاضل والتكامل والمعادلات التفاضلية في علم الأحياء 1. (4 ساعات)

يبدأ بأساسيات حساب التفاضل وينتقل إلى النوع المحدد من مشاكل المعادلات التفاضلية التي تمت مواجهتها في البحث البيولوجي. يقدم طرقًا لحلول هذه المعادلات وكيف يتم الحصول على الحلول الدقيقة من البيانات المختبرية الفعلية. تشمل الموضوعات حساب التفاضل والتكامل: الأساسيات ، والمشتقات ، وقواعد التمايز ، ورسم المنحنى ، والأسي واللوغاريتمات ، والدوال المثلثية باستخدام التكنولوجيا لفهم الحركية البيولوجية للمشتقات: العمليات الصفرية والأولى ، والعمليات التي تميل نحو التوازن ، وثنائي وثلاثي - العمليات الأسية ، والمعادلات التفاضلية نصف العمرية البيولوجية: حلول خاصة وعامة للمعادلات الخطية المتجانسة وغير المتجانسة ذات المعاملات الثابتة ، وأنظمة من معادلتين تفاضليتين خطيتين ، مشاكل جزئية: التركيز الأولي غير الصفري ، والتخفيف المتسلسل المكون من جزأين ، والانتشار بين الأقسام ، والسكان ديناميات ومقدمة للتكامل.

صفات): NUpath الرسمي / الاستدلال الكمي

رياضيات 1252. حساب التفاضل والتكامل والمعادلات التفاضلية في علم الأحياء 2. (4 ساعات)

تواصل مع الرياضيات 1251. يبدأ بحساب التفاضل والتكامل وينتقل بسرعة إلى مواضيع أكثر تقدمًا في المعادلات التفاضلية. يقدم الجبر الخطي ويستخدم طرق المصفوفة لتحليل وظائف العديد من المتغيرات ولحل أنظمة أكبر من المعادلات التفاضلية. يتم تناول الموضوعات المتقدمة في حركية التفاعل. يتبع حساب التفاضل والتكامل لوظائف عدة متغيرات دراسة الطرق العددية في التكامل وحلول المعادلات التفاضلية. يوفر مقدمة قصيرة عن الاحتمالات. يغطي تايلور متعدد الحدود وسلسلة لانهائية. تشمل الموضوعات الخاصة حركية التفاعل: عمليات Michaelis-Menten ، وتجارب التتبع ، والتدفق الداخلي والخارجي عبر الأغشية.

المتطلبات المسبقة: MATH 1251 بدرجة لا تقل عن D-

صفات): NUpath الرسمي / الاستدلال الكمي

رياضيات 1260. أساسيات الرياضيات للألعاب. (4 ساعات)

يناقش الجبر الخطي والهندسة المتجهية في فضاء ثنائي وثلاثي وأربعة أبعاد. يفحص الطول وحاصل الضرب النقطي وعلم المثلثات. يقدم التحولات الخطية والأفينية. يناقش الأعداد المركبة في مسافتين ، وحاصل الضرب التبادلي في ثلاث مسافات ، وكواتيرونات في أربع مسافات. يوفر صيغًا صريحة للتدوير في ثلاث مسافات. يفحص وظائف وسيطة واحدة ويعامل الأسي واللوغاريتمات. يصف المنحنيات البارامترية في الفضاء. يناقش القيم ذات الحدين ، والاحتمال المنفصل ، ومنحنيات بيزير ، والأرقام العشوائية. يختتم بمفهوم المشتق ، وقواعد حساب المشتقات ، ومفهوم المعادلة التفاضلية.

صفات): NUpath الرسمي / الاستدلال الكمي

رياضيات 1340. حساب التفاضل والتكامل المكثف للمهندسين. (6 ساعات)

يحتوي على مادة من الفصل الأول من رياضيات 1341 ، مسبوقة بمواد تؤكد على تقوية مهارات ما قبل الحساب. تشمل الموضوعات خصائص الدوال الأسية واللوغاريتمية والمثلثية حساب التفاضل والتكامل التمهيدي.

صفات): NUpath الرسمي / الاستدلال الكمي

رياضيات 1341. حساب التفاضل والتكامل 1 للعلوم والهندسة. (4 ساعات)

يغطي التعريف والحساب والاستخدامات الرئيسية للمشتق ، بالإضافة إلى مقدمة للتكامل. تشمل الموضوعات حدود المشتق كقواعد حدية للتفاضل والصيغ لمشتقات الدوال الجبرية والمثلثية والأسية / اللوغاريتمية. يناقش أيضًا تطبيقات المشتقات للحركة ، والكثافة ، والتحسين ، والتقريب الخطي ، والمعدلات ذات الصلة. تشمل موضوعات التكامل تعريف التكامل كحد للمجاميع ، والتناقض ، والنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل ، والتكامل عن طريق التعويض.

صفات): NUpath الرسمي / الاستدلال الكمي

رياضيات 1342. حساب التفاضل والتكامل 2 للعلوم والهندسة. (4 ساعات)

يغطي المزيد من تقنيات وتطبيقات التكامل ، والسلاسل اللانهائية ، ومقدمة إلى المتجهات. تشمل الموضوعات التكامل بالأجزاء التكامل العددي التكاملات غير الصحيحة المعادلات التفاضلية القابلة للفصل والمساحات والأحجام والعمل كتكاملات. يناقش أيضًا تقارب التسلسلات وسلسلة الأرقام ، وتمثيلات متسلسلة القدرة وتقريبها ، والإحداثيات ثلاثية الأبعاد ، والمعلمات ، والمتجهات والمنتجات النقطية ، والمتجهات المماسية والعادية ، والسرعة ، والتسارع في الفضاء. يتطلب إكمالًا مسبقًا لرياضيات 1341 أو إذنًا من مستشار الرياضيات الرئيسي.

صفات): NUpath الرسمي / الاستدلال الكمي

رياضيات 1365. مقدمة في التفكير الرياضي. (4 ساعات)

يغطي أساسيات التفكير الرياضي وحل المشكلات لإعداد تخصصات الرياضيات القادمة لدورات رياضية أكثر تحديًا في جامعة نورث إيسترن. يركز على تعلم كتابة الحجج الرياضية السليمة منطقيا وتحليل مثل هذه الحجج التي تظهر في الكتب والدورات الرياضية. يتضمن مفاهيم رياضية أساسية مثل المجموعات والعلاقات والوظائف.

رياضيات 1990. اختياري. (1-4 ساعات)

يقدم رصيدًا اختياريًا للدورات التي يتم تدريسها في المؤسسات الأكاديمية الأخرى. يمكن أن تتكرر بلا حدود.

رياضيات 2201. تاريخ الرياضيات. (4 ساعات)

يتتبع تطور الرياضيات من بدايتها الأولى حتى الوقت الحاضر. يتم التركيز على مساهمات الثقافات المختلفة بما في ذلك البابليون والمصريون والمايا واليونانيون والهنود والعرب. يتم إجراء الحسابات والإنشاءات باستخدام تقنيات وتدوينات هذه الشعوب. يتم تتبع دور الرياضيات في تطوير العلم في جميع أنحاء ، بما في ذلك مساهمات ديكارت وكبلر وفيرمات ونيوتن. تتم مناقشة المزيد من التطورات الحديثة كلما سمح الوقت بذلك.

صفات): NUpath الرسمي / الاستدلال الكمي ، ثقافة تفسير NUpath

رياضيات 2280. الإحصاء والبرمجيات. (4 ساعات)

يوفر مقدمة عن الأساليب الإحصائية الأساسية والأسباب الكامنة وراء كل إجراء إحصائي. يغطي طرق تحليل البيانات الإحصائية المناسبة للتطبيقات في العلوم الصحية والاجتماعية. يفحص أيضًا حزمة إحصائية مثل SPSS أو SAS لتنفيذ تحليل البيانات على الكمبيوتر. تشمل الموضوعات الإحصاء الوصفي ، ونظرية الاحتمالية الأولية ، وتقدير المعلمات ، وفترات الثقة ، واختبار الفرضيات ، والاستدلال اللامعلمي ، وتحليل التباين والانحدار مع الحد الأدنى من الاشتقاقات الرياضية.

صفات): NUpath تحليل / استخدام البيانات

رياضيات 2321. حساب التفاضل والتكامل 3 للعلوم والهندسة. (4 ساعات)

يوسع تقنيات حساب التفاضل والتكامل إلى وظائف ذات متغيرات متعددة ويقدم حقول متجه وحساب متجه في بعدين وثلاثة أبعاد. تشمل الموضوعات الخطوط والمستويات ، والرسوم البيانية ثلاثية الأبعاد ، والمشتقات الجزئية ، والتدرج ، والمستويات المماسية ، والخطية المحلية ، والتحسين ، والتكاملات المتعددة ، والتكاملات الخطية والسطحية ، ونظرية التباعد ، ونظريات Green and Stokes مع تطبيقات في العلوم والهندسة والعديد من أجهزة الكمبيوتر مشاريع المعمل. يتطلب إكمالًا مسبقًا لرياضيات 1342 أو رياضيات 1252.

صفات): NUpath الرسمي / الاستدلال الكمي

رياضيات 2322. تلاوة لرياضيات 2321 (0 ساعة)

يوفر تنسيق مناقشة مجموعة صغيرة لتغطية مادة في رياضيات 2321.

رياضيات 2331. الجبر الخطي. (4 ساعات)

يستخدم خوارزمية الإقصاء Gauss-Jordan لتحليل وإيجاد قواعد للمساحات الفرعية مثل الصورة والنواة للتحويل الخطي. يغطي هندسة التحولات الخطية: التعامد ، وعملية جرام-شميدت ، ومصفوفات الدوران ، وتناسب المربعات الصغرى. يفحص القطر والتشابه والنظرية الطيفية وتحلل القيمة المفرد. هو في المقام الأول لتخصصات الرياضيات والعلوم مستمدة من العديد من المجالات التقنية. يتم المساعدة في الحساب من خلال استخدام برامج مثل Maple أو MATLAB ، وآلات حاسبة الرسوم البيانية.

المتطلبات المسبقة: رياضيات 1342 بحد أدنى D- أو MATH 1242 مع حد أدنى من D- أو MATH 1252 مع حد أدنى من D- أو CS 1800 بحد أدنى D-

رياضيات 2341. المعادلات التفاضلية والجبر الخطي للهندسة. (4 ساعات)

يدرس المعادلات التفاضلية العادية وتطبيقاتها وتقنيات حلها بما في ذلك الطرق العددية (من خلال معامل الكمبيوتر باستخدام MS Excel و MATLAB) وتحويلات لابلاس والجبر الخطي. تشمل الموضوعات المعادلات الخطية وغير الخطية من الدرجة الأولى والثانية ، وتشمل التطبيقات الأنظمة الكهربائية والميكانيكية ، والتذبذب القسري ، والرنين. موضوعات من الجبر الخطي ، مثل المصفوفات واختزال الصفوف ومساحات المتجهات والقيم الذاتية / المتجهات الذاتية ، يتم تطويرها وتطبيقها على أنظمة المعادلات التفاضلية. يتطلب إكمال رياضيات 1342 مسبقًا.

رياضيات 2342. تلاوة لرياضيات 2341 (0 ساعة)

يوفر تنسيق مناقشة مجموعة صغيرة لتغطية مادة في رياضيات 2341.

رياضيات 2990. مادة اختيارية. (1-4 ساعات)

يقدم رصيدًا اختياريًا للدورات التي يتم تدريسها في المؤسسات الأكاديمية الأخرى. يمكن أن تتكرر بلا حدود.

رياضيات 2991. بحث في الرياضيات. (1-4 ساعات)

يوفر فرصة لإجراء بحث تمهيدي أو جهود إبداعية تحت إشراف أعضاء هيئة التدريس.

رياضيات 3000. الندوة التعاونية والتفكير في التعلم التجريبي 1. (ساعة واحدة)

مخصص لتخصصات الرياضيات الذين أكملوا أول مهمة تعاونية أو مكون تعليمي تجريبي متكامل آخر في NU Core. الهدف هو فحص المشكلات الرياضية التي تمت مواجهتها في هذه التجارب وربطها بالمقررات التي تم الالتحاق بها بالفعل وبالبرنامج المستقبلي للطالب. يساهم أعضاء هيئة التدريس والضيوف الآخرون في المناقشة. يتم تحديد الدرجات من خلال مشاركة الطالب في الدورة واستكمال الورقة النهائية.

رياضيات 3081. الاحتمالات والإحصاء. (4 ساعات)

يركز على نظرية الاحتمالات. تشمل الموضوعات عينة الاحتمال الشرطي للفضاء والاستقلالية والتوزيعات الاحتمالية المنفصلة والمستمرة لواحد ولعدة متغيرات عشوائية توزيعات التباين المتوقعة بما في ذلك ذات الحدين ، بواسون ، وقانون التوزيع الطبيعي للأعداد الكبيرة ونظرية الحد المركزي. يقدم أيضًا النظرية الإحصائية الأساسية بما في ذلك تقدير المعلمات وفترات الثقة واختبار الفرضيات.

المتطلبات المسبقة: رياضيات 1342 بحد أدنى D- أو MATH 1252 مع حد أدنى من D- أو MATH 1242 مع حد أدنى من D-

صفات): NUpath تحليل / استخدام البيانات

رياضيات 3082. تلاوة لرياضيات 3081. (0 ساعة)

يوفر تنسيق مناقشة مجموعة صغيرة لتغطية مادة في رياضيات 3081.

رياضيات 3090. استكشاف الرياضيات الحديثة. (4 ساعات)

يقدم للطلاب مقدمة ذات عقلية بحثية وابتدائية وبديهية للتفاعل بين الجبر والهندسة والتحليل والطوبولوجيا باستخدام نهج تفاعلي وتجريبي. مخصصة لتخصصات الرياضيات والتخصصات المختلطة في الرياضيات والطلاب الذين يتابعون تخصصًا فرعيًا في الرياضيات ، يجب على جميع الآخرين الحصول على إذن من المعلم.

المتطلبات المسبقة: رياضيات 1242 بحد أدنى D- أو MATH 1252 مع حد أدنى من D- أو MATH 1342 مع حد أدنى من D-

رياضيات 3150. تحليل حقيقي. (4 ساعات)

يوفر الأسس النظرية لحساب التفاضل والتكامل والدراسة المتقدمة للوظائف. يتم التركيز على تعريفات دقيقة وإثبات صارم. تشمل الموضوعات الأعداد الحقيقية والاكتمال ، والاستمرارية والتفاضل ، وتكامل ريمان ، والنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل ، ونظريات الدالة العكسية والدالة الضمنية ، والحدود والتقارب. مطلوب لجميع تخصصات الرياضيات.

المتطلبات المسبقة: (MATH 1365 بدرجة لا تقل عن D- MATH 2331 مع حد أدنى من D-) (ENGL 1111 بدرجة لا تقل عن C أو ENGL 1102 مع حد أدنى من C أو ENGW 1111 بدرجة لا تقل عن C أو ENGW 1102 بدرجة لا تقل عن C)

صفات): NUpath الكتابة مكثفة

رياضيات 3175. نظرية المجموعة. (4 ساعات)

يقدم المفاهيم والتقنيات الأساسية لنظرية المجموعة: مجموعات التناظر ، التعريف البديهي للمجموعات ، فئات مهمة من المجموعات (مجموعات أبليان ، مجموعات دورية ، مجموعات مضافة ومضاعفة من المخلفات ، ومجموعات التقليب) ، جدول كايلي ، المجموعات الفرعية ، تماثل المجموعة ، التجمعات ، نظرية لاجرانج ، المجموعات الفرعية العادية ، مجموعات الحاصل ، والمنتجات المباشرة. يدرس الخصائص التركيبية للمجموعات. تشمل التطبيقات الممكنة الهندسة ، ونظرية الأعداد ، وعلم البلورات ، والفيزياء ، والتوافقيات.

المتطلبات المسبقة: رياضيات 2321 بحد أدنى D- MATH 2331 بتقدير لا يقل عن D-

رياضيات 3181. الاحتمالات والإحصاء المتقدم. (4 ساعات)

يركز على نظرية الاحتمالات اللازمة لإعداد الطلاب للبحث والدورات الدراسية المتقدمة في العلوم الفيزيائية وعلوم البيانات. تأتي الأمثلة ومشكلات الواجبات المنزلية من الفيزياء والكيمياء وعلم الأحياء وعلوم الكمبيوتر وعلوم البيانات والهندسة الكهربائية. تشمل الموضوعات مسافات العينة الاحتمالية الشرطية والاستقلالية والتوزيعات الاحتمالية المنفصلة والمستمرة لواحد ولعدة متغيرات عشوائية توزيعات التباين التباين بما في ذلك ذات الحدين ، بواسون ، وقانون التوزيعات العادية للأعداد الكبيرة ونظرية الحد المركزي. يقدم النظرية الإحصائية الأساسية بما في ذلك تقدير المعلمات وفترات الثقة واختبار الفرضيات. هذه الدورة مبنية على الإثبات وتؤكد على تنمية قدرات الطلاب في كتابة الإثبات الرياضي.

المتطلبات المسبقة: رياضيات 2321 بتقدير لا يقل عن D-

رياضيات 3275. نظرية المجموعة المتقدمة. (4 ساعات)

يعمل كمقدمة سريعة لنظرية المجموعات ، مخصصة للطلاب الذين يرغبون في الحصول على نسخة أكثر تقدمًا من الرياضيات 3175. لا يتم افتراض المعرفة المسبقة بنظرية المجموعة. يقدم التشابهات ، والمجموعات الفرعية ، والمجموعات الفرعية العادية ، ومجموعات حاصل القسمة ، وإجراءات المجموعة ، موضحة بمجموعة متنوعة من الأمثلة. تشمل الموضوعات اللاحقة معادلة الفصل ، والمجموعات البسيطة ، ونظريات سيلو ، وتطبيقاتها في تصنيف المجموعات البسيطة المحدودة. يناقش مجموعات المصفوفات الكلاسيكية ، مع التركيز على SU (2) و SO (3) كأمثلة أساسية ، ويقدم فكرة جبر الكذب. يطور نظرية التمثيل للمجموعات المحدودة وتطابقها مع نظرية التمثيل لمجموعات الكذبة المدمجة ، ومرة ​​أخرى باستخدام SU (2) كمثال. يمكن للطلاب الذين لا يستوفون متطلبات الدورة التدريبية طلب إذن من المعلم.

المتطلبات المسبقة: رياضيات 1365 مع حد أدنى من B MATH 2331 بتقدير لا يقل عن B

رياضيات 3331. الهندسة التفاضلية. (4 ساعات)

يدرس الهندسة التفاضلية ، مع التركيز على المنحنيات والأسطح في الفضاء ثلاثي الأبعاد. يمكن استخدام المواد المعروضة هنا كإعداد لدورة أكثر تقدمًا في الهندسة الريمانية أو الطوبولوجيا التفاضلية.

المتطلبات المسبقة: رياضيات 2321 بحد أدنى D- MATH 2331 بتقدير لا يقل عن D-

رياضيات 3341. الأنظمة الديناميكية. (4 ساعات)

يدرس الأنظمة الديناميكية وتطبيقاتها عند ظهورها من المعادلات التفاضلية. يتم الحصول على الحلول وتحليلها كمنحنيات ذات معلمات في المستوى واستخدامها كوسيلة لفهم تطور العمليات الفيزيائية. تشمل التطبيقات الأنظمة المحافظة والتفاعلات بين المفترس والفريسة والتعاون والمنافسة بين الأنواع.

المتطلبات المسبقة: رياضيات 2341 بتقدير لا يقل عن D-

رياضيات 3527. نظرية الأعداد 1. (4 ساعات)

يقدم نظرية الأعداد. تشمل الموضوعات معادلات ديوفانتين الخطية ، والتطابقات ، وتصميم المربعات السحرية ، ونظرية فيرما الصغيرة ، وصيغة أويلر ، ووظيفة فاي أويلر ، وقوى وجذور الحوسبة في الحساب النمطي ، ونظام تشفير RSA ، والجذور والمؤشرات البدائية ، وقانون المعاملة بالمثل التربيعي. حسب ما يسمح به الوقت ، قد يغطي تقريب الديوفانتين ومعادلة بيل ، والمنحنيات الإهليلجية ، والنقاط على المنحنيات الإهليلجية ، ونظرية فيرما الأخيرة.

المتطلبات المسبقة: رياضيات 1342 بحد أدنى D- أو MATH 1242 مع حد أدنى من D- أو MATH 1252 مع حد أدنى من D-

رياضيات 3530. التحليل العددي. (4 ساعات)

يدرس العديد من المشاكل بما في ذلك جذور المعادلات غير الخطية المعادلات الخطية المتزامنة: الطرق المباشرة والتكرارية لحل مشاكل القيمة الذاتية وتثبيت المنحنى. يؤكد على فهم القضايا بدلاً من إثبات النظريات أو الخروج بوصفات عددية.

المتطلبات المسبقة: رياضيات 2331 بحد أدنى D- أو MATH 2341 مع حد أدنى من D-

رياضيات 3533. الرياضيات التوافقية. (4 ساعات)

يقدم تقنيات البراهين الرياضية بما في ذلك الاستقراء الرياضي. يستكشف تقنيات مختلفة للعد مثل التقليب والتوليفات ، ومبدأ التضمين والاستبعاد ، وعلاقات التكرار ، ووظائف التوليد ، وتعداد بوليا ، والصيغ الرياضية اللازمة لهذه التقنيات بما في ذلك نظرية المجموعة الأولية وعلاقات التكافؤ.

المتطلبات المسبقة: رياضيات 1342 بحد أدنى D- أو MATH 1242 مع حد أدنى من D- أو MATH 1252 مع حد أدنى من D-

رياضيات 3535. طرق عددية مع تطبيقات على المعادلات التفاضلية. (4 ساعات)

يغطي الطرق العددية لحل المعادلات التفاضلية العادية التي لا يمكن حلها بطريقة أخرى باستخدام طرق دقيقة والتي تكون مفيدة في مجموعة متنوعة من التطبيقات المستمدة من المجالات الكلاسيكية للعلوم والهندسة. أمثلة الدراسات المصنفة كمشكلات قيمة أولية وحدودية من ميكانيكا الموائع وانتقال الحرارة. الموضوعات ذات أهمية أساسية في العديد من فروع الرياضيات التطبيقية والعلوم الفيزيائية والهندسة. تشمل الموضوعات المحتملة أيضًا طريقة العناصر المحدودة ، وهي مفيدة جدًا في التحليل الهيكلي الذي يتضمن الهندسة المعقدة.

المتطلبات المسبقة: رياضيات 2341 بحد أدنى درجة C-

رياضيات 3545. مقدمة في نظرية الرسم البياني. (4 ساعات)

يقدم مقدمة رياضية للشبكات والرسوم البيانية التي تجد تطبيقات في العلوم الاجتماعية والطبيعية. يقدم المسارات والدورات والأشجار والرسوم البيانية ثنائية الأجزاء والمطابقة والتلوين والاتصال وتدفقات الشبكة. يناقش الحالات الخاصة للرسوم البيانية المستوية ، والأويلرية ، والهاميلتونية ، نظرية تايت والموضوعات المتقدمة المحتملة. يمكن للطلاب الذين لا يستوفون متطلبات الدورة التدريبية الحصول على إذن من المعلم.

المتطلبات المسبقة: MATH 1365 بحد أدنى C- أو MATH 2310 مع حد أدنى من C- أو MATH 3533 مع حد أدنى من C- أو CS 1800 بحد أدنى C- أو CS 3800 مع حد أدنى من C-

رياضيات 3560. الهندسة. (4 ساعات)

يدرس مجموعات الهندسة والتناظر الكلاسيكي للأشكال الهندسية ، مع التركيز على الهندسة الإقليدية. يعلم كيفية صياغة القضايا الرياضية بدقة وكيفية بناء وفهم البراهين الرياضية. يوفر خطًا بين الهندسة الكلاسيكية والحديثة بهدف إعداد الطلاب لمزيد من الدراسة في نظرية المجموعة والهندسة التفاضلية.

المتطلبات المسبقة: رياضيات 2331 بحد أدنى D- أو MATH 2341 مع حد أدنى من D-

رياضيات 3990. مادة اختيارية. (1-4 ساعات)

يقدم رصيدًا اختياريًا للدورات التي يتم تدريسها في المؤسسات الأكاديمية الأخرى. يمكن أن تتكرر بلا حدود.

رياضيات 4020. بحث توضيحي. (4 ساعات)

يقدم للطلاب تجربة الانخراط في البحث الرياضي الذي يبني على دورات الرياضيات التي درسوها ، وربما على مهامهم التعاونية. يتطلب من الطلاب إكمال مشروع بحث من اختيارهم. ينصب التركيز على المشروع وعلى الطلاب الذين يعرضون أعمالهم. يتطلب أيضًا من الطلاب كتابة ورقة انعكاس. مخصص للصغار أو كبار السن من ذوي الخبرة أو الاهتمام بأبحاث الرياضيات. يمكن للطلاب الذين لا يستوفون متطلبات الدورة التدريبية الحصول على إذن من المعلم.

المتطلبات المسبقة: MATH 3150 بتقدير لا يقل عن D- MATH 3175 بتقدير لا يقل عن D-

صفات): تجربة NUpath Capstone ، NUpath الكتابة المكثفة

رياضيات 4025. الرياضيات التطبيقية تتويجا. (4 ساعات)

يؤكد على استخدام مجموعة متنوعة من الأساليب - مثل التحسين والمعادلات التفاضلية والاحتمالات والإحصاءات - لدراسة المشكلات التي تنشأ في علم الأوبئة والتمويل وغيرها من أوضاع العالم الحقيقي. يتضمن عمل الدورة التدريبية تمارين مخصصة ، ومشروع نمذجة طويل المدى حول موضوع من اختيار الطالب ، وورقة انعكاس.

المتطلبات المسبقة: رياضيات 3081 بتقدير لا يقل عن D-

صفات): تجربة NUpath Capstone ، NUpath الكتابة المكثفة

رياضيات 4525. التحليل التطبيقي. (4 ساعات)

يوضح تطبيقات الرياضيات لمشاكل فيزيائية وبيولوجية مثيرة للاهتمام. يتم اختيار الطرق من المعادلات التفاضلية العادية والجزئية ، وحساب الاختلافات ، وتحويل لابلاس ، ونظرية الاضطراب ، والوظائف الخاصة ، وتحليل الأبعاد ، والتحليل المقارب ، وغيرها من تقنيات الرياضيات التطبيقية.

المتطلبات المسبقة: MATH 2321 بتقدير لا يقل عن D- MATH 2331 بتقدير لا يقل عن D- (MATH 2341 بحد أدنى D- أو MATH 2351 بتقدير لا يقل عن D-)

رياضيات 4527. نظرية الأعداد 2. (4 ساعات)

تواصل الرياضيات 3527. تشمل الموضوعات تقريب الديوفانتين ، والأعداد الصحيحة الغاوسية ، والأرقام غير المنطقية والأرقام المتعالية ، والتطابقات متعددة الحدود غير الخطية ، وأنظمة التطابقات الخطية ، وانقلاب موبيوس ، والمنحنيات البيضاوية ، والمنحنيات المعيارية ، والأشكال المعيارية ، والوظائف L.

المتطلبات المسبقة: (MATH 3527 بتقدير لا يقل عن D- أو MATH 4575 مع حد أدنى من D-) MATH 3175 بتقدير لا يقل عن D-

رياضيات 4541. حساب التفاضل والتكامل المتقدم. (4 ساعات)

يقدم نظرة أعمق وأكثر عمومية على أفكار وكائنات دراسة التفاضل والتكامل. تشمل الموضوعات حساب التفاضل والتكامل المعمم لـ n-space ، ونظريات الدالة المعكوسة والضمنية ، والصيغ التفاضلية والنظريات العامة من نوع Stokes ، وهندسة المنحنيات والأسطح ، والوظائف الخاصة.

المتطلبات المسبقة: رياضيات 2321 بحد أدنى D- MATH 2331 بتقدير لا يقل عن D-

MATH 4545. سلسلة فورييه وأجهزة PDE. (4 ساعات)

يقدم دورة أولى في سلسلة فورييه ، مشاكل قيمة حدود شتورم ليوفيل ، وتطبيقها لحل المعادلات التفاضلية الجزئية الأساسية للفيزياء الرياضية: معادلة الحرارة ، ومعادلة الموجة ، ومعادلة لابلاس. يتم تقديم وظائف Green أيضًا كوسيلة للحصول على حلول مغلقة الشكل.

المتطلبات المسبقة: رياضيات 2351 بحد أدنى D- أو MATH 2341 مع حد أدنى من D-

رياضيات 4555. المتغيرات المعقدة. (4 ساعات)

يوفر مقدمة لتحليل وظائف المتغير المعقد. بدءًا من الجبر وهندسة الأعداد المركبة ، تم تطوير المشتقات الأساسية والخصائص التكميلية الكنتورية للوظائف الجبرية الأولية والمتجاوزة بالإضافة إلى الوظائف والوظائف التحليلية الأخرى ذات التفردات المعزولة. تم تقديم تمثيلات سلسلة Power و Laurent. تمت دراسة النظريات التكاملية الكلاسيكية ، ونظرية المخلفات ، وخصائص الخرائط المطابقة. يتم تقديم تطبيقات الوظائف التوافقية على أنها تسمح بالوقت.

المتطلبات المسبقة: رياضيات 2321 بتقدير لا يقل عن D-

رياضيات 4565. الطبولوجيا. (4 ساعات)

يعرّف الطالب بالمفاهيم الأساسية للطوبولوجيا. يقدم نظرية المجموعات الأساسية ، ثم يغطي أسس الطوبولوجيا العامة (البديهيات للفضاء الطوبولوجي ، والوظائف المستمرة ، والأشكال المثلية ، والمسافات المترية ، والفضاء الجزئي ، وطوبولوجيا المنتج والحاصل ، والترابط ، والاكتناز ، وحالة Hausdorff). يقدم أيضًا الطوبولوجيا الجبرية والهندسية (homotopy ، مساحات التغطية ، المجموعات الأساسية ، الرسوم البيانية ، الأسطح ، والمشعبات) والتطبيقات. يتم تغطية مواضيع أخرى إذا سمح الوقت بذلك.

المتطلبات المسبقة: MATH 3150 بدرجة لا تقل عن D-

رياضيات 4567. الطوبولوجيا التفاضلية. (4 ساعات)

يعرّف الطلاب على هندسة المشعبات الملساء. تشمل الموضوعات المستعرضة ، نظرية التقاطع الموجه ، نظرية النقطة الثابتة ليفشيتز ، نظرية بوانكير-هوبف ، نظرية درجة هوبف ، الأشكال التفاضلية ، والتكامل. يستكشف مفاهيم وتقنيات الهندسة السلسة لفهم الخصائص الطوبولوجية الهامة للمشعبات. يمكن للطلاب الذين لا يستوفون متطلبات الدورة التدريبية طلب إذن من المعلم.

المتطلبات المسبقة: رياضيات 2321 بحد أدنى B MATH 2331 مع حد أدنى من B MATH 3150 مع حد أدنى من B

رياضيات 4569. نظرية العقدة. (4 ساعات)

يقدم الدراسة الرياضية للعقد والروابط في الفضاء. توفر نظرية العقدة تطبيقًا ملموسًا للأفكار الأساسية في الطوبولوجيا. تشمل الموضوعات الرسوم البيانية للعقدة وتحركات Reidemeister المتصلة بالأقمار الصناعية وأقمار التحلل الرئيسية والرفقة وأسطح Seifert وعقدة عقدة Seifert ومصفوفات توقيع العقدة ومحدد الإسكندر متعدد الحدود وقوس Kauffman وعروض جونز متعددة الحدود والجديلة. يناقش أيضًا أمثلة لظواهر العقد في الأنظمة الفيزيائية.

المتطلبات المسبقة: (MATH 2331 بدرجة لا تقل عن C- أو MATH 2341 بتقدير لا يقل عن C-) MATH 3175 بتقدير لا يقل عن C- MATH 4565 (يمكن أخذها بشكل متزامن) مع حد أدنى من C-

رياضيات 4570. طرق المصفوفة في تحليل البيانات وتعلم الآلة. (4 ساعات)

يقدم مفاهيم وأساليب الجبر الخطي لفهم وإنشاء التعلم الآلي وخوارزميات التعلم العميق. تشمل الموضوعات مختلف عوامل المصفوفة ، ومصفوفات التعريف الموجبة المتماثلة ، ومساحات المنتج الداخلية ، وحساب المصفوفة ، وتطبيقات الاحتمالات والإحصاءات ، والتحسين في المساحات عالية الأبعاد. يستكشف الرياضيات الكامنة وراء تحليل البيانات ، والتعلم الآلي ، والتعلم العميق ، بما في ذلك نزول التدرج ، وأساليب نيوتن ، وتحليل المكونات الرئيسية ، والانحدار الخطي والأساليب الخطية في التصنيف ، والشبكات العصبية ، والشبكات العصبية التلافيفية. يوفر للطلاب فرصًا لتعلم وممارسة مهارات Python مع المعامل والمشروع النهائي.

المتطلبات المسبقة: رياضيات 2331 مع حد أدنى من C- أو MATH 2341 مع حد أدنى من C-

رياضيات 4571. الجبر الخطي المتقدم. (4 ساعات)

يوفر دراسة أكثر تفصيلاً للتحولات والمصفوفات الخطية: عامل LU ، عامل QR ، نظرية الطيفية وتحلل القيمة المفردة ، نموذج الأردن ، مصفوفات محددة موجبة ، أشكال تربيعية ، مصفوفات مقسمة ، وقواعد وقضايا عددية. الموضوعات والتركيز تتغير من سنة إلى أخرى.

المتطلبات المسبقة: رياضيات 2331 بدرجة D-

رياضيات 4575. مقدمة في التشفير. (4 ساعات)

يقدم الأسس الرياضية لعلم التشفير ، بدءًا من دراسة قابلية الأعداد الصحيحة للقسمة ، والخوارزمية الإقليدية ، وتحليل الخوارزمية الإقليدية الموسعة. يتضمن دراسة قصيرة للمجموعات ، وشبه المجموعات ، وحلقات فئة البقايا ، والحقول ، ونظرية فيرما الصغيرة ، ونظرية البقايا الصينية ، ومتعددة الحدود على الحقول ، والمجموعة المضاعفة للوحدات البنائية لعدد أولي. يقدم المفاهيم الأساسية المستخدمة لوصف مخططات التشفير جنبًا إلى جنب مع الأمثلة ، والتي تشمل الأصفار الخطية الأفينية وتحليل التشفير وتستمر مع الاحتمالية والسرية التامة. يقدم معيار تشفير البيانات (DES) ويتوج بدراسة معيار التشفير المتقدم (AES) ، وهو مخطط التشفير القياسي في الولايات المتحدة منذ عام 2001.

المتطلبات المسبقة: رياضيات 2331 بحد أدنى D- أو MATH 3175 مع حد أدنى من D- أو MATH 3527 مع حد أدنى من D-

رياضيات 4576. الحلقات والحقول. (4 ساعات)

يقدم الحلقات التبادلية ، والمثل العليا ، والمجالات المتكاملة ، والحقول ، ونظرية الحقول الإرشادية. تشمل الموضوعات الأعداد الصحيحة الغاوسية ، ومجموعات جالوا ، والنظرية الأساسية لنظرية جالوا. تتضمن التطبيقات استحالة تقسيم الزاوية والإعسار العام لكثيرات الحدود من الدرجة الخامسة والأعلى. يتم تغطية مواضيع أخرى حسب ما يسمح به الوقت.

المتطلبات المسبقة: رياضيات 3175 مع حد أدنى من D-

رياضيات 4577. الجبر التبادلي. (4 ساعات)

يقدم أساسيات الجبر التبادلي. يؤكد بدقة بناء الخلفية الرياضية اللازمة لدراسة هذا الموضوع بعمق أكبر. يسعى لإعداد الطلاب لفصول أكثر تقدمًا في الهندسة الجبرية والروبوتات والنظرية الثابتة للمجموعات المحدودة والتشفير. يغطي الهندسة والجبر والخوارزميات نظرية الإقصاء أسس جروبنر ، الروبوتات قاموس الجبر والهندسة وإثبات النظرية الهندسية التلقائية.

المتطلبات المسبقة: (MATH 2331 بدرجة لا تقل عن C + MATH 1365 بدرجة لا تقل عن C +) أو MATH 3175 بدرجة لا تقل عن C + أو MATH 4576 (يمكن أخذها في نفس الوقت) بحد أدنى درجة C +

رياضيات 4581. الإحصاء والعمليات العشوائية. (4 ساعات)

تستمر الموضوعات المقدمة في الرياضيات 3081. يغطي الجزء الأول من المقرر الإجراءات الكلاسيكية للإحصاء بما في ذلك اختبار t ، والانحدار الخطي ، واختبار مربع كاي. يقدم الجزء الثاني مقدمة للعمليات العشوائية مع التركيز على سلاسل ماركوف ، والمشي العشوائي ، والحركة البراونية ، مع تطبيقات للنمذجة والتمويل.

المتطلبات المسبقة: رياضيات 3081 بتقدير لا يقل عن D-

رياضيات 4586. الهندسة الجبرية. (4 ساعات)

يركز على أساسيات الهندسة الجبرية ، وهي دراسة الأجسام الهندسية ، مثل المنحنيات والأسطح ، التي تحددها حلول المعادلات متعددة الحدود. للهندسة الجبرية روابط للعديد من مجالات الرياضيات الأخرى - نظرية الأعداد والهندسة التفاضلية والطوبولوجيا والفيزياء الرياضية - ولها تطبيقات مهمة في مجالات مثل الهندسة وعلوم الكمبيوتر والإحصاء والبيولوجيا الحسابية. يؤكد على الأمثلة ويشير على طول الطريق إلى مشاكل مثيرة للاهتمام يمكن دراستها باستخدام الهندسة الجبرية.

المتطلبات المسبقة: MATH 4576 بتقدير لا يقل عن D- (MATH 2321 مع حد أدنى من D- أو MATH 3150 بدرجة لا تقل عن D-)

رياضيات 4606. الطرق الحسابية والحاسوبية للفيزياء. (4 ساعات)

يغطي موضوعات الأساليب الرياضية المتقدمة التي يشيع استخدامها في العلوم الفيزيائية ، مثل حساب التفاضل والتكامل المعقد وتحويلات فورييه والوظائف الخاصة ومبادئ التفاضل والتكامل. يطبق هذه الطرق على المحاكاة الحاسوبية وتمارين النمذجة. يقدم التقنيات الحسابية الأساسية والتحليل العددي ، مثل طريقة نيوتن ، وتكامل مونت كارلو ، ونسب التدرج ، وانحدار المربعات الصغرى. يستخدم لغة برمجة بسيطة ، مثل MATLAB ، للتمارين.

المتطلبات المسبقة: فيز 2303 بدرجة لا تقل عن D- MATH 2321 بتقدير لا يقل عن D- (MATH 2341 بحد أدنى D- أو MATH 2351 بتقدير لا يقل عن D-)

رياضيات 4681. الاحتمالات والمخاطر. (4 ساعات)

يستعرض مفاهيم الاحتمالات والإحصاءات الرئيسية من وجهة نظر مخاطر القرار في السياقات الاكتوارية والطبية الحيوية ، بما في ذلك تطبيقات التقريب العادي لتقييم المخاطر الإحصائية. يفحص أيضًا الموضوعات الجديدة ، مثل توزيع القيم المتطرفة والإحصاءات اللامعلمية مع الأمثلة. قد يكون مفيدًا بشكل خاص للطلاب الذين يستعدون للامتحان الاكتواري الأول حول الاحتمالات والإحصاءات.

المتطلبات المسبقة: رياضيات 3081 بتقدير لا يقل عن D-

رياضيات 4682. نظرية الفائدة وأساسيات التأمين على الحياة 1. (4 ساعات)

يستعرض الأدوات المالية الأساسية في ظل وجود أسعار الفائدة ، بما في ذلك قياس الفائدة والمشاكل في الفائدة (معادلات القيمة ، والمعاشات الأساسية والأكثر عمومية ، ومعدلات العائد ، وجداول الإطفاء ، والسندات والأوراق المالية الأخرى). يفحص العديد من التطبيقات العملية. يقدم أيضا مشاكل التأمين على الحياة بأمثلة. قد يكون مفيدًا بشكل خاص للطلاب الذين يستعدون للامتحان الاكتواري الثاني حول نظرية الفائدة.

المتطلبات المسبقة: رياضيات 3081 بتقدير لا يقل عن D-

رياضيات 4683. المشتقات المالية. (4 ساعات)

يعرض الأساس الرياضي للنماذج الاكتوارية وتطبيقها على التأمين والمخاطر المالية الأخرى. تشمل على سبيل المثال لا الحصر المشتقات المالية مثل الخيارات والعقود الآجلة. قد تكون الأساليب والتطبيقات مفيدة للطلاب الذين يستعدون للامتحان الاكتواري 3F (اختبار جمعية الاكتواريين MFE).

المتطلبات المسبقة: رياضيات 4581 بتقدير لا يقل عن D-

رياضيات 4684. نظرية الفائدة وأساسيات التأمين على الحياة 2. (4 ساعات)

يستعرض النماذج الاكتوارية للتأمين على الحياة ، بما في ذلك نماذج البقاء ، وجداول الحياة ، والتأمين على الحياة ، والمعاشات السنوية على الحياة ، وقيم الأقساط والوثيقة ، ونماذج الدولة المتعددة ، ونماذج الحياة المشتركة وآخر الورثة ، والمعاشات ، والتكاليف الناشئة للتأمين على الحياة صُممت لتكون مفيدة بشكل خاص للطلاب الذين يستعدون للامتحان الاكتواري الرابع ، LTAM (الرياضيات الاكتوارية طويلة الأجل) ، لجمعية الاكتواريين.

المتطلبات المسبقة: رياضيات 4682 مع حد أدنى من C-

رياضيات 4970. مشروع رقم 1. (4 ساعات) مبتدئ / متقدم.

يركز على مشروع متعمق يجري فيه الطالب بحثًا أو ينتج منتجًا متعلقًا بالمجال الرئيسي للطالب. مدمج مع Junior / Senior Project 2 أو ما يعادله من قبل الكلية لمشروع الشرف 8-credit. يمكن أن تتكرر بلا حدود.

المتطلبات المسبقة: رياضيات 3081 بتقدير لا يقل عن D-

رياضيات 4971. مشروع 2. (مبتدئ / كبير بامتياز) (4 ساعات)

يركز على الفصل الدراسي الثاني من المشروع المتعمق الذي يجري فيه الطالب بحثًا أو ينتج منتجًا متعلقًا بالمجال الرئيسي للطالب. يمكن أن تتكرر بلا حدود.

المتطلبات المسبقة: MATH 4970 بتقدير لا يقل عن D-

رياضيات 4990. مادة اختيارية. (1-4 ساعات)

يقدم رصيدًا اختياريًا للدورات التي يتم تدريسها في المؤسسات الأكاديمية الأخرى. يمكن أن تتكرر بلا حدود.

رياضيات 4991. بحث. (4 ساعات)

يوفر فرصة لإجراء البحوث تحت إشراف أعضاء هيئة التدريس.

صفات): تجربة تكامل NUpath

رياضيات 4992. دراسة موجهة. (1-4 ساعات)

يقدم عملاً مستقلاً تحت إشراف أعضاء القسم في موضوع مختار. يعتمد محتوى الدورة على المعلم. يمكن أن تتكرر بلا حدود.

رياضيات 4993. دراسة مستقلة. (1-4 ساعات)

يقدم عملاً مستقلاً تحت إشراف أعضاء القسم في موضوع مختار. يعتمد محتوى الدورة على المعلم. يمكن أن تتكرر بلا حدود.

رياضيات 4994. تدريب. (4 ساعات)

يقدم للطلاب فرصة للعمل الداخلي. يمكن أن تتكرر بلا حدود.

صفات): تجربة تكامل NUpath

رياضيات 4996. دراسة موجهة للتعليم التجريبي. (4 ساعات)

يعتمد على النشاط التجريبي المعتمد للطالب ويدمجه مع الدراسة في التخصص الأكاديمي. يقتصر على تخصص الرياضيات الذين يستخدمونه للوفاء بمتطلبات التعليم التجريبي لهؤلاء الطلاب ، ويمكن اعتباره مادة اختيارية في الرياضيات ، بشرط الحصول على موافقة المعلم والمستشار. يمكن أن تتكرر بلا حدود.

صفات): تجربة تكامل NUpath ، NUpath الكتابة المكثفة

رياضيات 5101. التحليل 1: وظائف متغير واحد. (4 ساعات)

يقدم مقدمة صارمة وقائمة على الإثبات للتحليل الرياضي وتطبيقاته. تشمل الموضوعات المسافات المترية ، والتقارب ، والاكتناز ، والترابط ، ومشتقات الوظائف المستمرة والمتواصلة بشكل موحد ، ونظرية القيمة المتوسطة ، وسلسلة تايلور ، وتكامل ريمان ، والنظرية الأساسية لتسلسل عمليات الحد من التبادل في حساب التفاضل والتكامل ، وتسلسلات الوظائف والتقارب المنتظم Arzelà-Ascoli و Stone-Weierstrass نظريات الدالة العكسية والضمنية نظريات التقريبات المتتالية والوجود / التفرد للمعادلات التفاضلية العادية المشغلين الخطيين على مسافات متجهية محدودة الأبعاد وتطبيقات لأنظمة المعادلات التفاضلية العادية. يوفر سلسلة من مشاريع الكمبيوتر التي تعمل على تطوير الروابط بين النظرية والتطبيقات. يتطلب إذنًا من المدرب والمشرف الرئيسي للطلاب الجامعيين.

رياضيات 5102. التحليل 2: وظائف متغيرات متعددة. (4 ساعات)

تواصل الرياضيات 5101. يدرس أساسيات التحليل في عدة متغيرات. تشمل الموضوعات المشتقات والمشتقات الجزئية ، مبدأ الانكماش ، نظرية الوظيفة العكسية والدالة الضمنية ، مشتقات صيغة تايلور ذات الرتبة الأعلى في عدة متغيرات ، تمايز التكاملات اعتمادًا على تكامل المعلمات للوظائف ذات المتغيرات المتعددة ، وتغيير المتغيرات في تكاملات الأشكال التفاضلية وتكاملها عبر البسيط و سلاسل الضرب الخارجي للنماذج التفاضلية للنماذج وظائف مجموعة معادلات ستوكس يقيس ليبيسغ المسافات القابلة للقياس للوظائف التكاملية مقارنة مع تكامل ريمان L2 كمساحة هيلبرت ونظرية بارسيفال ونظرية ريش فيشر. يتطلب إذنًا من المدرب والمشرف الرئيسي للطلاب الجامعيين.

رياضيات 5110. الجبر الخطي التطبيقي وتحليل المصفوفة. (4 ساعات)

يقدم مقدمة قوية للنتائج الأساسية للجبر الخطي على مساحات متجهية حقيقية ومعقدة مع تطبيقات للمعادلات التفاضلية وسلاسل ماركوف. يقدم نتائج نظرية على طول الطريق ، جنبًا إلى جنب مع تحليل المصفوفة ، وتحليل القيمة الذاتية ، والتحلل الطيفي. يتضمن مكونًا حسابيًا مهمًا ، يركز على تطبيقات الجبر الخطي للنمذجة الرياضية.

رياضيات 5111. الجبر 1. (4 ساعات)

يغطي المساحات المتجهة والخرائط الخطية. تشمل الموضوعات عمليات الصف والعمود وتطبيقها على قيم eigenvalues ​​ذات الشكل العادي والمتجهات الذاتية لمتعدد الحدود المميز والشكل الكنسي الأردني للجبر متعدد الخطوط الذي يغطي منتجات الموتر ، والقوى المتماثلة والخارجية لمساحات المتجهات ، وخصائصها العالمية وأشكالها التربيعية ، والاختزال إلى شكل قطري ، ونظرية سيلفستر الفراغات الزائدية ونظرية ويت ، فإن المجموعة المتعامدة والفئات الجزئية المتناحية هي أشكال غير متماثلة واختزالها إلى مجموعة متعارف عليها وهندسة Pfaffian و Affine ، وتصنيف المقاطع المخروطية. يتطلب إذنًا من المدرب والمشرف الرئيسي للطلاب الجامعيين.

رياضيات 5112. الجبر 2. (4 ساعات)

تواصل الرياضيات 5111. تشمل الموضوعات المجموعات ، مثل المجموعات الفرعية ، والمجموعات الفرعية العادية ، والتشابه بين المجموعات ، والمجموعات الأبيلية ، والمجموعات القابلة للحل ، والمجموعات الحرة ، والمجموعات p المحدودة ، ونظرية سيلوف ، ومجموعات التقليب ، وحلقات تماثل الشكل ، مثل تماثل الشكل ، والمثل العليا ، حلقات حاصل ، مجالات متكاملة ، امتدادات الحلقات ، مجال التحليل الفريد ، نظرية الباقي الصيني ، و lemma ووحدات Gauss ، مثل تماثل الشكل ، والوحدات الفرعية ، ووحدات الحاصل ، والتسلسل الدقيق ، وهيكل الوحدات المتولدة بشكل محدود على المجالات المثالية الرئيسية. تشمل الأمثلة مجموعات أبيليان وشكل الأردن الكنسي. يغطي أيضًا تمثيلات المجموعات المحدودة ، وحلقات المجموعة والتمثيلات غير القابلة للاختزال ، ومعاملة Frobenius بالمثل ، ونظرية Maschke وشخصيات المجموعات المحدودة ، والمجموعات المزدوجة. يتطلب إذنًا من المدرب والمشرف الرئيسي للطلاب الجامعيين.

5121 ريض الطبولوجيا 1. (4 ساعات)

يوفر مقدمة للطوبولوجيا ، بدءًا من أساسيات طوبولوجيا مجموعة النقاط (الفضاء الطوبولوجي ، والخرائط المستمرة ، والأشكال المثلية ، والاندماج والترابط ، ومساحات التعريف). ينتقل إلى المفاهيم الأساسية للطوبولوجيا الجبرية والتوافقية ، مثل معادلات التماثل ، والمجموعة الأساسية ، ونظرية Seifert-VanKampen ، والمجمعات البسيطة ، وتصنيف الأسطح ، ونظرية تغطية الفضاء. ينتهي بمقدمة موجزة عن التنادد البسيط ونظرية العقدة. يتطلب إذنًا من المدرب والمشرف الرئيسي للطلاب الجامعيين.

المتطلبات المسبقة: MATH 5111 بدرجة لا تقل عن C-

رياضيات 5131. مقدمة في الأساليب الرياضية والنمذجة. (4 ساعات)

يقدم أساليب رياضية تركز على التطبيقات. يستخدم المعادلات التفاضلية العادية والجزئية لنمذجة تطور عمليات العالم الحقيقي. توضح الموضوعات المختارة قوة وتنوع الأساليب الرياضية في مجموعة متنوعة من المجالات التطبيقية وتشمل ديناميكيات السكان ، واستيعاب الأدوية ، والأوبئة ، وانتشار الملوثات في النظم البيئية ، والأنواع المتنافسة والمتعاونة ، والتوصيل الحراري. يتطلب من الطلاب إكمال مشروع نمذجة الرياضيات. يتطلب عمل دورة على مستوى البكالوريوس في المعادلات التفاضلية العادية والجزئية.

صفات): تجربة NUpath Capstone ، NUpath الكتابة المكثفة

رياضيات 5352. حساب الكم والمعلومات. (4 ساعات)

يقدم أسس الحساب والمعلومات الكمومية ، بما في ذلك ميكانيكا الكم ذات الأبعاد المحدودة ، والبوابات والدوائر ، وخوارزميات الكم ، والضوضاء الكمومية ، وأكواد تصحيح الأخطاء. يفترض معرفة عملية بالجبر الخطي وتحليل المصفوفة ، ولكن لا يلزم وجود خبرة سابقة بنظرية الكم أو الخوارزميات.


ارتفاع الضغط في فيزياء أشباه الموصلات II

إيفانجيلوس أناستاساكيس ، مانويل كاردونا ، في أشباه الموصلات وأشباه المعادن ، 1998

أ مجموعة الاعتبارات النظرية

ينعكس الطابع الجماعي للإحداثيات العادية المرتبطة بفونون معين في بلورة من خلال حقيقة أن أساسها عبارة عن aưay يحتوي على إزاحة كل ذرة فردية مشاركة في الفونون. تتحول الإحداثيات العادية تحت عمليات التناظر للمجموعة البلورية بنفس طريقة الوظائف الأساسية لأحد التمثيلات غير القابلة للاختزال (IRRs) لمجموعة النقاط. لذلك ، يتم تقييد عدد أنواع تماثل الفونون المختلفة في بلورة معينة بواسطة IRRs لمجموعة النقاط التي يتم تصنيف أنواع الفونون وفقًا لها.

حتى الثلاثة ف ≈ 0 فونونات صوتية ، تمثل عمليات إزاحة متوازية للكمبيوتر بالكامل ، تنتمي إلى واحد أو أكثر من IRRs ، والتي ، في هذه الحالة ، تتوافق دائمًا مع تلك التي تحدث في تقليل Г(ص) ، التمثيل ثلاثي الأبعاد لمجموعة النقاط التي لها متجه قطبي ص ينتمي. يمكن تحديد IRRs بسهولة عن طريق فحص جدول الأحرف لمجموعة النقاط. نقطة أخرى مهمة تتعلق بـ Г(ص) IRRs هي أن الفونونات التي تنتمي إلى أحدها هي فقط نشطة بالأشعة تحت الحمراء من الدرجة الأولى أي أنها قادرة على امتصاص الأشعة تحت الحمراء بترددها الخاص. من الآن فصاعدًا ، سنشير إلى الفونونات النشطة بالأشعة تحت الحمراء على أنها الفونونات القطبية. للحصول على تعريف متسق للوظائف الأساسية لجميع مجموعات النقاط البالغ عددها 32 ، تتم إحالة القارئ إلى المرجع. [52]. للراحة ، ندرج في الجدول الأول جداول التمثيل والوظائف الأساسية المرتبطة بمجموعات النقاط تيد و ج6الخامس، والتي تتوافق مع مزيج الزنك وتركيبات wurtzite ، على التوالي.

للاستخدام لاحقًا ، نقدم أيضًا في هذه المرحلة المنتج المزدوج المتماثل Г (χ) = (Г (ص) × Г (ص))س يمثل التمثيل القابل للاختزال سداسي الأبعاد (RR) لأي موتر متماثل من الدرجة الثانية ، على سبيل المثال ، القابلية الكهربائية لبلورة χ. 1 الحد من Г (χ) في IRRs يمكن الحصول عليها بسهولة عن طريق فحص جدول الأحرف ووظائف الأساس المقابلة: Г (χ) يتضمن فقط IRRs التي لها وظائف من الدرجة الثانية x, ذ، و ض كوظائف أساسية [52]. يتم تضمين كل IRR عدة مرات مثل عدد هذه الوظائف مقسومًا على أبعاد IRR ، تتم قراءة الأخير من جدول الأحرف (عمود الحرف في أقصى اليسار ، غير موضح في الجدول انظر المرجع. [52]) و ، من أجل يمكن أن تكون مجموعات النقاط البلورية 1 أو 2 أو 3. فقط الفونونات التي تنتمي إلى الاختزال (χ) هل رامان نشط بالترتيب الأول ، أي يمكنه تشتيت إشعاع أحادي اللون من التردد (ωأنا) في الترددات ωأنا ± ωي، أين ωي هو تردد يهاتف من النوع th (- لـ Stokes ، + لمضاد Stokes).

تعيين IRRs إلى 3 ن تتبع الفونونات إجراءً نظريًا مباشرًا للمجموعة ، استنادًا إلى معلومات حول مجموعة مساحة الشبكة والموضع الدقيق لكل ذرة في خلية الوحدة [53]. لهذا الغرض نقوم بتعيين إزاحة ذرية عامة ش على أنها تنتمي إلى 3 ن-تمثيل قابل للاختزال Г (ش). يكشف اختزاله عن جميع الأنواع الممكنة من الفونونات الضوئية بالإضافة إلى الثلاثة الصوتية ف ≈ 0 فونونات تدعمها هذه الشبكة المعينة.


الأعداد الصحيحة والأرقام المقابلة

أمثلة وحلول ومقاطع فيديو لمساعدة طلاب الصف السادس على التعرف على الأرقام الإيجابية والسلبية والصفر في العالم الحقيقي.

يوضح الشكل التالي أرقامًا موجبة وأرقامًا سالبة وأرقامًا معاكسة. قم بالتمرير لأسفل الصفحة للحصول على أمثلة وحلول.

الدرس 3 مخرجات الطالب

& bull يستخدم الطلاب الأرقام الموجبة والسالبة للإشارة إلى التغيير (الربح أو الخسارة) في الارتفاع بنقطة مرجعية ثابتة ودرجة الحرارة والرصيد في الحساب المصرفي.
يستخدم الطلاب المفردات على وجه التحديد عند وصف وتمثيل المواقف التي تتضمن أعدادًا صحيحة ، على سبيل المثال ، ارتفاع - 10 أقدام هو نفسه 10 أقدام تحت النقطة المرجعية الثابتة.
& bull يختار الطلاب مقياسًا مناسبًا لخط الأعداد عند إعطاء مجموعة من الأرقام الموجبة والسالبة للرسم البياني.

مثال 1: نظرة على مستوى سطح البحر

تُظهر الصورة أدناه ثلاثة أشخاص مختلفين يشاركون في أنشطة على ثلاثة ارتفاعات مختلفة. ما رأيك تعني كلمة ارتفاع في هذه الحالة؟

ارجع إلى المثال 1. استخدم المعلومات التالية للإجابة على الأسئلة.
الغواص 30 قدم تحت مستوى سطح البحر.
البحار عند مستوى سطح البحر.
المتنزه على ارتفاع ميلين (10560 قدمًا) فوق مستوى سطح البحر.
1. اكتب عددًا صحيحًا لتمثيل كل حالة.
2. استخدم مقياسًا مناسبًا لرسم كل من المواقف التالية على خط الأعداد إلى اليمين.
اكتب أيضًا عددًا صحيحًا لتمثيل كلتا الحالتين.
أ. المتنزه على ارتفاع 15 قدمًا فوق مستوى سطح البحر.
ب. الغطاس هو 20 قدم تحت مستوى سطح البحر.

3. لكل عبارة بيانان مرتبطان: الأول والثاني. حدد العبارة ذات الصلة التي يتم التعبير عنها بشكل صحيح (الأول والثاني) ، وقم بوضع دائرة حولها. ثم قم بتصحيح العبارة الأخرى ذات الصلة بحيث يتم ذكر كلا الجزأين الأول والثاني بشكل صحيح.
أ. غمرت غواصة على عمق 800 قدم تحت مستوى سطح البحر.
ب. يبلغ ارتفاع الشعاب المرجانية مقارنة بمستوى سطح البحر -250 قدمًا.

الدرس 4 نتائج الطالب

& bull يفهم الطلاب أن كل عدد صحيح غير صفري ، a ، له معاكس ، يُشار إليه بالرمز -a وأن a و -a متضادان إذا كانا على طرفي نقيض من الصفر وهما نفس المسافة من الصفر على خط الأعداد.
& bull يدرك الطلاب أن الرقم صفر هو نقيضه.
& bull يفهم الطلاب أنه نظرًا لأن جميع أرقام العد موجبة ، فليس من الضروري الإشارة إلى ذلك بعلامة الجمع.

مثال 1: كل رقم له نقيض

حدد موقع الرقم 8 وعكسه على خط الأعداد. اشرح كيف ترتبط بالصفر.

2. حدد موقع الأضداد من الأرقام على خط الأعداد.
9, -2, 4, -7

3. اكتب العدد الصحيح الذي يمثل عكس كل حالة. اشرح ما يعنيه الصفر في كل موقف.
أ. 100 قدم فوق مستوى سطح البحر.
ب. 32 درجة تحت الصفر.
ج. سحب 25 دولار

مثال 2: مثال من العالم الحقيقي

قررت ماريا أن تمشي على طول شارع سنترال أفينيو لشراء كتاب من المكتبة. في طريقها ، تمر بمتجر Furry Friends للحيوانات الأليفة وتذهب للبحث عن طوق جديد لكلبها. يقع Furry Friends Pet Shop على بعد سبعة مبانٍ غرب المكتبة. بعد أن غادرت المكتبة ، توجهت شرقًا لسبع بنايات وتوقفت في متجر Ray & rsquos Pet Shop لترى ما إذا كان يمكنها العثور على سلسلة جديدة بسعر أفضل. ما هي المواقع ، إن وجدت ، الأبعد عن ماريا أثناء وجودها في المكتبة؟
حدد مقياسًا مناسبًا وصمم الموقف على خط الأعداد أدناه.
اشرح اجابتك. ماذا يمثل الصفر في الموقف؟

اقرأ كل موقف بعناية وأجب عن الأسئلة.
4. في سطر الأعداد ، حدد ائتمانًا قيمته 15 دولارًا وحدده وخصمًا لنفس المبلغ من حساب مصرفي. ماذا يمثل الصفر في هذه الحالة؟
5. على خط الأعداد ، حدد موقع 20 C وقم بتسميتها تحت الصفر و 20 درجة مئوية فوق الصفر. ماذا يمثل الصفر في هذه الحالة؟
6. يمثل البروتون شحنة موجبة. اكتب عددًا صحيحًا لتمثيل البروتونات. يمثل الإلكترون شحنة سالبة. اكتب عددًا صحيحًا لتمثيل الإلكترونات.

الدرس 3 مجموعة المشاكل
1. اكتب عددًا صحيحًا لمطابقة الأوصاف التالية.
أ. خصم 40 دولارًا
ب. إيداع 225 دولار
ج. 14000 قدم فوق مستوى سطح البحر
د. زيادة درجة الحرارة بمقدار 40 درجة فهرنهايت
ه. سحب 225 دولار
F. 14000 قدم تحت مستوى سطح البحر

بالنسبة للمشكلات من 2 إلى 4 ، اقرأ كل عبارة عن موقف في العالم الحقيقي والبيانين المرتبطين بهما في الجزأين (أ) و (ب) بعناية. ضع دائرة حول الطريقة الصحيحة لوصف كل موقف في العالم الحقيقي ، تتضمن الإجابات المحتملة إما (أ) أو (ب) أو كليهما (أ) و (ب).

2. ارتفاع الحوت 600 قدم تحت سطح المحيط.
أ. عمق الحوت 600 قدم من سطح المحيط.
ب. يبلغ ارتفاع الحوت -600 قدم تحت سطح المحيط.

3. إن ارتفاع قاع جبل جليدي بالنسبة لمستوى سطح البحر يُقاس بـ -125 قدمًا.
أ. يبلغ ارتفاع الجبل الجليدي 125 قدمًا فوق مستوى سطح البحر.
ب. يبلغ ارتفاع الجبل الجليدي 125 قدمًا تحت مستوى سطح البحر.

4. انخفضت درجة حرارة جسم أليكس بمقدار 2 درجة فهرنهايت.
أ. انخفضت درجة حرارة جسم أليكس 2 درجة فهرنهايت.
ب. يمثل العدد الصحيح -2 التغير في درجة حرارة جسم أليكس بالدرجات فهرنهايت.

الدرس 4 مجموعة المشاكل
1. ابحث عن عكس كل رقم ، ووصف موقعه على خط الأعداد.
أ. -5
ب. 10
ج. -3
د. 15

2. اكتب عكس كل رقم ، وقم بتسمية النقاط على خط الأعداد.
أ. النقطة أ: عكس 9
ب. النقطة ب: عكس -4
ج. النقطة ج: عكس -7
د. النقطة د: عكس 0
ه. النقطة هـ: عكس 2

3. دراسة المثال الأول. اكتب العدد الصحيح الذي يمثل عكس كل حالة في العالم الحقيقي. بالكلمات ، اكتب معنى العكس.
أ. شحنة ذرة موجبة مقدارها 7
ب. إيداع 25 دولارًا
ج. 3500 قدم تحت مستوى سطح البحر
د. ارتفاع 45 درجة مئوية
ه. خسارة 13 جنيها

4. في سطر الأعداد ، حدد ائتمانًا بقيمة 38 دولارًا واسمه وخصمًا لنفس المبلغ من حساب مصرفي. ماذا يمثل الصفر في هذه الحالة؟

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


شاهد الفيديو: الصف السادس الرياضيات فهم الأعداد الصحيحة 1 (ديسمبر 2021).