مقالات

4.3: تباعد سلسلة


مهارات التطوير

  • اشرح الاختلاف

في النظرية 3.2.1 رأينا أن هناك إعادة ترتيب للسلسلة التوافقية المتناوبة التي تتباعد إلى (∞ ) أو (- ∞ ). في هذا القسم ، لم نناقش أي مفاهيم رسمية للاختلاف. افترضنا بدلاً من ذلك أنك على دراية بمفهوم الاختلاف ، ربما من أخذ حساب التفاضل والتكامل في الماضي.

ومع ذلك ، فإننا الآن بصدد بناء تعريفات رسمية ودقيقة للمفاهيم التي سنستخدمها ، لذلك نحدد تباعد التسلسل على النحو التالي.

التعريف ( PageIndex {1} )

يتباعد تسلسل الأرقام الحقيقية ((s_n) _ {n = 1} ^ infty ) إذا لم يتقارب مع أي (a in mathbb {R} ).

قد يبدو من المتحذلق منا بلا داع الإصرار على التصريح رسميًا بمثل هذا التعريف الواضح. بعد كل شيء ، "تتقارب" و "تباعد" متضادان في اللغة الإنجليزية العادية. لماذا لا يكونان معاكسين رياضيا أيضًا؟ لماذا يتعين علينا أن نواجه مشكلة التحديد الرسمي لكليهما؟ نظرًا لأنهما متضادان ، فإن أحدهما يعرف ضمنيًا الآخر ، أليس كذلك؟

تتمثل إحدى طرق الرد على هذا النقد في التأكيد على أننا في الرياضيات نعمل دائمًا من خلال تعريفات محددة بدقة وحجج منطقية منطقية بإحكام.

لكن هذا مجرد تحذلق أكثر. إنها طريقة للقول ، "لأننا قلنا ذلك"كلهم يرتدون لغة مهيبة. نحن بحاجة إلى القيام بعمل أفضل من ذلك.

أحد أسباب تقديم التعريفات الرسمية لكل من التقارب والاختلاف هو أننا في الرياضيات كثيرًا ما نختار كلمات من لغات طبيعية مثل الإنجليزية ونضفي عليها معنى رياضيًا لا يرتبط إلا بشكل عرضي بالتعريف الأصلي للغة الإنجليزية. عندما نأخذ كلمتين من هذا القبيل تصادف أنهما متضادتان في اللغة الإنجليزية ونعطيهما معاني رياضية غير متضادتين ، فقد يكون ذلك مربكًا للغاية ، خاصة في البداية.

هذا ما حدث مع عبارة "افتح" و "مغلق. " هذه هي الأضداد في اللغة الإنجليزية: "ليس مفتوح" هو "مغلق,” “ليست مغلقة" هو "افتح، "ولا يوجد شيء مفتوح ومغلق. لكن تذكر أن الفاصل الزمني المفتوح على السطر الحقيقي ، ((أ ، ب) ) ، هو الفاصل الذي لا يتضمن أيًا من نقاط النهاية الخاصة به بينما الفاصل الزمني المغلق ، ([أ ، ب] ) ، هو الفاصل الذي يتضمن كلاهما.

قد تبدو هذه الأضداد في البداية ولكنها ليست كذلك. لرؤية هذا ، لاحظ أن الفاصل ((أ ، ب] ) ليس مفتوحًا ولا مغلقًا لأنه يحتوي فقط على إحدى نقاط النهاية الخاصة به. 1 إذا "افتح" و "مغلق"كانت متقابلة رياضيًا ، فكل فترة زمنية ستكون إما مفتوحة أو مغلقة.

لقد تعلم علماء الرياضيات أن يكونوا حذرين للغاية بشأن هذا النوع من الأشياء. في حالة تقارب وتباعد سلسلة ، على الرغم من أن هذه الكلمات في الواقع متناقضة رياضياً (كل تسلسل إما يتقارب أو يتباعد ولا يوجد تسلسل يتقارب ويتباعد) فمن الأفضل أن نقول هذا صراحة حتى لا يكون هناك ارتباك.

التسلسل ((a_n) _ {n = 1} ^ infty ) يمكن أن يتقارب فقط مع رقم حقيقي ، a ، بطريقة واحدة: عن طريق الاقتراب التعسفي من a. ومع ذلك ، هناك عدة طرق يمكن أن يتباعد بها التسلسل.

مثال ( PageIndex {1} ):

ضع في اعتبارك التسلسل ، ((n) _ {n = 1} ^ infty ). من الواضح أن هذا يتباعد عن طريق زيادة حجمه وأكبره ... لنكن حذرين. التسلسل ( left (1 - frac {1} {n} right) _ {n = 1} ^ infty ) يصبح أكبر وأكبر أيضًا ، لكنه يتقارب. ما قصدنا قوله هو أن شروط التسلسل ((n) _ {n = 1} ^ infty ) تصبح كبيرة بشكل تعسفي مع زيادة (n ).

من الواضح أن هذا تسلسل متشعب ولكن قد لا يكون واضحًا كيفية إثبات ذلك رسميًا. هذه طريقة واحدة.

لإظهار الاختلاف ، يجب أن نظهر أن التسلسل يشبع نفي تعريف التقارب. بمعنى ، يجب أن نظهر أنه لكل (r ∈ R ) يوجد (ε> 0 ) بحيث لكل (N ∈ R ) ، يوجد (n> N ) مع (| nr | ≥ ε ).

لذلك دعونا (ε = 1 ) ، والسماح (r ∈ R ) بالإعطاء. دعونا (N = r + 2 ). ثم لكل (n> N | n - r |> | (r + 2) - r | = 2> 1 ). لذلك فإن التسلسل يتباعد.

يبدو أن هذا كان عملاً أكثر مما ينبغي أن نقوم به لمثل هذه المشكلة البسيطة. إليك طريقة أخرى تسلط الضوء على هذا النوع المعين من الاختلاف.

أولاً سنحتاج إلى تعريف جديد:

التعريف ( PageIndex {2} )

تسلسل، ((a_n) _ {ن = 1} ^ infty )، يحيد إلى الإيجابية في NITY فاي اذا كان لكل لالعدد الحقيقي (ص )، وهناك عدد حقيقي (N ) بحيث (ن > N ⇒ a_n> r ).

تسلسل، ((a_n) _ {ن = 1} ^ infty )، يحيد إلى سلبية في NITY فاي اذا كان لكل لالعدد الحقيقي (ص )، وهناك عدد حقيقي (N ) بحيث (ن > N ⇒ a_n

يُقال أن التسلسل يتباعد إلى اللامركزية إذا انحرف إلى شموليّة موجبة أو سالبة.

من الناحية العملية ، نريد اعتبار (| r | ) عددًا كبيرًا جدًا. يقول هذا التعريف أن التسلسل يتباعد إلى اللامحدودة إذا أصبح كبيرًا بشكل تعسفي مع زيادة (n ) زيادة ، وبالمثل بالنسبة للتباعد إلى اللامركزية السلبية.

تمرين ( PageIndex {1} )

وتبين ان ((ن) _ {ن = 1} ^ infty ) يحيد لفي NITY فاي.

تمرين ( PageIndex {2} )

واذا تبين ان ((a_n) _ {ن = 1} ^ infty ) يحيد لفي فاي NITY ثم ((a_n) _ {ن = 1} ^ infty ) يحيد.

سوف نشير إلى الاختلاف إلى اللامن على أنه

[ lim_ {n to infty} a_n = pm infty ]

ومع ذلك ، بالمعنى الدقيق للكلمة ، يعد هذا إساءة استخدام للتدوين لأن الرمز لا يمثل رقمًا حقيقيًا. يمكن أن يكون هذا الترميز مشكلة كبيرة لأنه يشبه إلى حد كبير الترميز الذي نستخدمه للإشارة إلى التقارب: ( lim_ {n to infty} a_n = a ).

ومع ذلك ، فإن التدوين مناسب لأن الاختلاف عن اللامتثال هو "لطيف"الاختلاف بمعنى أنه يشترك في العديد من خصائص التقارب ، كما تظهر المشكلة التالية.

تمرين ( PageIndex {3} )

افترض ( lim_ {n to infty} a_n = infty ) و ( lim_ {n to infty} b_n = infty ).

  1. أظهر ذلك ( lim_ {n to infty} a_n + b_n = infty )
  2. أظهر ذلك ( lim_ {n to infty} a_n b_n = infty )
  3. هل صحيح أن ( lim_ {n to infty} frac {a_n} {b_n} = infty )؟ يشرح.

نظرًا لأن الاختلاف إلى اللامنية الإيجابية أو السلبية يشترك في بعض خصائص التقارب ، فمن السهل أن تتجاهل ذلك. تذكر أنه على الرغم من أننا نكتب ( lim_ {n to infty} a_n = infty ) إلا أن هذا لا يزال تسلسلًا متشعبًا بمعنى أن ( lim_ {n to infty} a_n ) غير موجود . لا يمثل الرمز (∞ ) رقمًا حقيقيًا. هذا مجرد اختصار مناسب يخبرنا أن التسلسل يتباعد ليصبح كبيرًا بشكل تعسفي.

تمرين ( PageIndex {4} )

افترض ( lim_ {n to infty} a_n = infty ) و ( lim_ {n to infty} b_n = - infty ) و ( alpha in mathbb {R} ). إثبات أو إعطاء مثال مضاد:

  1. ( lim_ {n to infty} a_n + b_n = infty )
  2. ( lim_ {n to infty} a_n b_n = infty )
  3. ( lim_ {n to infty} alpha a_n = infty )
  4. ( lim_ {n to infty} alpha a_n = - infty )

أخيرًا ، يمكن أن يتباعد التسلسل بطرق أخرى كما تظهر المشكلة التالية.

تمرين ( PageIndex {5} )

أظهر أن كل من التسلسلات التالية تتباعد.

  1. ( left ((-1) ^ n right) _ {n = 1} ^ { infty} )
  2. ( left ((-1) ^ n right) _ {n = 1} ^ { infty} )
  3. (a_n = start {cases} 1 & text {if} n = 2 ^ p text {for some} p in mathbb {N} frac {1} {n} & text {خلاف ذلك } إنهاء {الحالات} )

تمرين ( PageIndex {6} )

افترض أن ((a_n) _ {n = 1} ^ infty ) يتباعد ولكن ليس في ity nity وأن (α ) هو رقم حقيقي. ما هي الشروط الموجودة في (α ) ستضمن ما يلي:

  1. (( alpha a_n) _ {n = 1} ^ infty ) تتقارب؟
  2. (( alpha a_n) _ {n = 1} ^ infty ) يتباعد؟

تمرين ( PageIndex {7} )

أظهر أنه إذا (| r |> 1 ) ثم ((r ^ n) _ {n = 1} ^ infty ) يتباعد. هل ستتشعب إلى لا شيء؟

مراجع

1 صحيح أيضًا أن ((- ∞، ∞) ) مفتوح ومغلق معًا ، لكن تفسير ذلك سيأخذنا بعيدًا جدًا.

مساهم

  • يوجين بومان (جامعة ولاية بنسلفانيا) وروبرت روجرز (جامعة ولاية نيويورك فريدونيا)


1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

الذي يزيد بدون حدود ن يذهب إلى ما لا نهاية. نظرًا لأن تسلسل المجاميع الجزئية فشل في التقارب مع حد محدود ، فإن السلسلة لا تحتوي على مجموع.

على الرغم من أن السلسلة تبدو للوهلة الأولى ليس لها أي قيمة ذات مغزى على الإطلاق ، إلا أنه يمكن التلاعب بها للحصول على عدد من النتائج المثيرة للاهتمام رياضيًا. على سبيل المثال ، تُستخدم العديد من طرق الجمع في الرياضيات لتعيين قيم عددية حتى لسلسلة متباعدة. على وجه الخصوص ، تقوم طرق تنظيم دالة زيتا وجمع رامانوجان بتعيين قيمة السلسلة −1/12 ، والتي يتم التعبير عنها بواسطة صيغة مشهورة [2]

حيث يجب تفسير الجانب الأيسر على أنه القيمة التي تم الحصول عليها باستخدام إحدى طرق الجمع المذكورة أعلاه وليس كمجموع سلسلة لا نهائية بمعناها المعتاد. هذه الأساليب لها تطبيقات في مجالات أخرى مثل التحليل المعقد ونظرية المجال الكمي ونظرية الأوتار. [3]

في دراسة عن نظرية لغو القمر ، أطلق تيري غانون على هذه المعادلة "واحدة من أكثر الصيغ تميزًا في العلم". [4]


مقدمة

تشتمل مجموعة كل السلاسل المتباينة على فئة واسعة من السلاسل المعروفة باسم مقارب أو شبه متقارب مسلسل. على الرغم من حقيقة أن هذه المسلسلات تتباعد، يمكن حساب قيم الوظائف التي تمثلها بدرجة عالية من الدقة إذا أخذنا مجموع عدد مناسب من شروط هذه السلسلة. في حالة المتسلسلة المقاربة المتناوبة ، نحصل على أكبر قدر من الدقة إذا قطعنا السلسلة المعنية في أي مصطلح ذي أدنى قيمة مطلقة. في هذه الحالة ، لا يتجاوز الخطأ (بالقيمة المطلقة) القيمة المطلقة لأول المصطلحات المهملة (راجع. 0.227 ) 3.

تحتوي السلسلة المقاربة على العديد من الخصائص المماثلة لخصائص السلاسل المتقاربة ، ولهذا السبب ، فإنها تلعب دورًا مهمًا في التحليل.

يشار إلى التوسع المقارب لوظيفة ما على النحو التالي:

هذا هو تعريف التوسع المقارب. السلسلة المتباعدة ∑ n = 0 ∞ A n z n تسمى التوسع المقارب من وظيفة F (ض) في منطقة معينة من قيم arg ض إذا كان التعبير رن(ض) = ض ن [و (ض) - سن(ض)] ، حيث S n (z) = ∑ k = 0 ∞ A k z k يفي بالشرط lim | ض | → ∞ رن(ض)= 0 للثابت ن.

تسمى السلسلة المتباعدة التي تمثل التوسع المقارب لبعض الوظائف سلسلة مقاربة.


أسئلة مشابهة

الجبر 2

استخدم تدوين الجمع لكتابة السلسلة 2 + 4 + 6 + 8 لـ 10 حد في كل من هذه الصور ، يكون الحد الأدنى لتدوين الجمع إما n = 1 ، أو n = 0

الجبر

أوجد مجموع المتسلسلات الحسابية التالية واكتبها في صيغة الجمع أ. 4 ، 11 ،. إلى 16 مصطلحًا ب. 19 ، 13 ،. إلى 10 فصول شكرا جزيلا لك!

كيف يمكنني استخدام تدوين سيجما للتعبير عن المتسلسلة: 1 + 5 + 25 + 125 + 625 + 3125؟

الجبر

استخدم ملاحظات التلخيص لكتابة سلسلة حسابية لهذه الشروط. يرجى إظهار كيفية القيام بذلك. 15 + 25 + 35 +. العدد = 7 4 + 8 + 12 +. العدد = 4 3 + 7 + 11 +. العدد = 8

الجبر

أعد كتابة كل سلسلة باستخدام تدوين سيجما 9) 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 و 10) 4 + 8 + 12 + 16 + 20

الجبر 2

يصنع دانتي عقدًا مكونًا من 18 صفًا من الخرزات الصغيرة حيث يتم تحديد عدد الخرزات لكل صف في السلسلة 3 + 10 + 17 + 24 +. أ. إذا كنت ستكتب هذه السلسلة في تدوين الجمع ، فاذكر i. الحد الأدنى من المجموع الثاني. ال

أعد كتابة السلسلة في تدوين سيجما 4 + 16 + 64 +. + 256 + 1024

حساب التفاضل والتكامل - اختبار المتسلسلة بالتناوب

حدد ما إذا كانت السلسلة اللانهائية ، سيجما (((- 1) ^ (n + 1)) / n) ^ 2 تتقارب أو تتباعد. أعطى أستاذي هذه في مجموعة مسائل بعد أن قام بتدريس اختبار التسلسل بالتناوب. بتبسيط السلسلة التي نحصل عليها ، سيجما (((- 1) ^ (n + 1)) / n) ^ 2

حساب التفاضل والتكامل

إذا كان مجموع a sub n ومجموع b n عبارة عن سلسلتين من المصطلحات الموجبة و an


الخطوة 3: توصيل بطاريتين بالتوازي

الآن سوف نلقي نظرة على ما يحدث عندما نقوم بتوصيل البطاريات بالتوازي.

على عكس بطاريات الأسلاك في السلسلة عندما يتم توصيل البطاريات بالتوازي ، لا يزيد الجهد ، ويكون جهد الخرج هو متوسط ​​الجهد لجميع البطاريات في الدائرة. على سبيل المثال ، إذا تم توصيل بطارية 3 فولت و 9 فولت بالتوازي ، فسيكون جهد الخرج 6 فولت (9 + 3 مقسومًا على 2) ولكن التيار سيكون إجمالي التيار لجميع البطاريات في الدائرة (مطروحًا منه أي خسائر).

في هذه الحالة ، يمكننا أن نرى أن 89.6 ميلي أمبير و 70.6 ميلي أمبير أنتجا تيارًا جماعيًا يبلغ 138.4 ميلي أمبير أو حوالي 21.6 ميلي أمبير أقل من توقعاتنا البالغة 160 ميلي أمبير. يتم حساب هذا من خلال الخسائر في الدائرة.


ايتان في نموذج بوسينيسك¶

يستخدم ECCOv4 تركيبة Boussinesq من MITgcm للحفاظ على الحجم. نظرًا لأن الحجم محفوظ في تركيبات Boussinesq ، فإن تغيرات كثافة مياه البحر لا تغير نموذج شذوذ مستوى سطح البحر ، ETAN. يأخذ العرض التوضيحي التالي لإغلاق ميزانية ETAN في الاعتبار التدفقات الحجمية ولكنه لا يأخذ في الاعتبار التوسع / الانكماش بسبب التغيرات في الكثافة. علاوة على ذلك ، يتغير نموذج ETAN مع تبادل المياه بين المحيط والجليد البحري بينما في الواقع ، ينص مبدأ أرخميدس على أن مستوى سطح البحر لا ينبغي أن يتغير بعد نمو أو ذوبان الجليد البحري لأن الجليد البحري العائم يزيح حجمًا من مياه البحر يساوي وزنه. وبالتالي ، فإن ETAN لا يمكن مقارنته بمستوى سطح البحر المرصود.

نصحح ETAN لجعل حقل ارتفاع سطح البحر قابلًا للملاحظات من خلال إجراء ثلاثة تصحيحات: مع أ) "تصحيح Greatbatch" ، وهو تصحيح متغير بمرور الوقت وموحد عالميًا لحجم المحيط بسبب التغيرات في متوسط ​​الكثافة العالمية ، ب) تصحيح البارومتر المقلوب (انظر SSHIBC) و ج) تصحيح "حمل الجليد البحري" لحساب إزاحة مياه البحر بسبب الجليد البحري والثلج المغمورين (انظر sIceLoad). عرض هذه التصحيحات خارج نطاق هذا البرنامج التعليمي. نركز هنا على إغلاق الميزانية النموذجية مع الأخذ في الاعتبار أننا نتجاهل التغيرات في مستوى سطح البحر من التغيرات في متوسط ​​الكثافة العالمية وحقيقة أن ETAN لا تأخذ في الحسبان إزاحة الحجم بسبب الجليد البحري المغمور.


الحل: أي من السلاسل التالية متشعب؟ 1 + 3 (1/4) + 9 (1/4) ^ 2 + 27 (1/4) ^ 3 +. 1 + 3 (1/5) + 9 (1/5) ^ 2 + 27 (1/5) ^ 3 +. 1 + 3 (1/2) + 9 (1/2) ^ 2 + 27 (1/2) ^ 3 +.

يمكنك وضع هذا الحل على موقع الويب الخاص بك!
سأفعل أول واحد لتبدأ.


وهي سلسلة هندسية تم إنشاؤها بواسطة التسلسل لـ. في هذه الحالة ، و

تذكر الآن أن السلسلة الهندسية اللانهائية تتقارب فقط إذا. منذ ذلك الحين ، هذا يعني أن هذه السلسلة الهندسية اللانهائية تتقارب.

بمعنى آخر ، يضيف ما يصل إلى عدد محدد.


وهي سلسلة هندسية تم إنشاؤها بواسطة التسلسل لـ. في هذه الحالة ، و

تذكر الآن أن السلسلة الهندسية اللانهائية تتقارب فقط إذا. منذ ذلك الحين ، هذا يعني أن هذه السلسلة الهندسية اللانهائية تتقارب.

بعبارة أخرى ، يضيف ما يصل إلى بعض الثابت.


وهي سلسلة هندسية تم إنشاؤها بواسطة التسلسل لـ. في هذه الحالة ، و

تذكر الآن أن السلسلة الهندسية اللانهائية تتقارب فقط إذا. بما أن هذا ليس صحيحًا ، فهذا يعني أن هذا الشكل الهندسي اللامتناهي لا يتقارب. لذا فإن السلسلة تتباعد. بمعنى آخر ، لا تضيف السلسلة اللانهائية ما يصل إلى عدد ثابت.


التوجه الذكوري مقابل التوجه الأنثوي

كان هناك وقت كانت فيه العديد من الثقافات والأديان تقدر شخصية المرأة ، ومع صعود الثقافات الغربية لاحظنا تحولًا نحو المثل الأعلى الذكوري. يحمل كل منها مجموعة من التوقعات والمعايير الثقافية للسلوك الجنساني وأدوار الجنسين في الحياة ، بما في ذلك الأعمال.

يصف هوفستد الفصل بين المذكر والمؤنث ليس من حيث ما إذا كان الرجال أو النساء يمتلكون السلطة في ثقافة معينة ، ولكن بالأحرى إلى أي مدى تقدر هذه الثقافة سمات معينة يمكن اعتبارها ذكورية أو أنثوية. وهكذا ، فإن "القطب الحازم يُدعى" ذكوري "وقطب الرعاية المتواضع" أنثوي ". تتمتع النساء في البلدان المؤنثة بنفس قيم الرعاية المتواضعة مثل الرجال في البلدان الذكورية ، فهم حازمون إلى حد ما وقادرون على المنافسة ، لكنهم ليسوا كذلك. بقدر الرجال ، بحيث تظهر هذه البلدان فجوة بين قيم الرجل وقيم المرأة "(Hofstede، G.، 2009).

يمكننا أن نلاحظ هذا الاختلاف في مكان تجمع الناس ، وكيف يتفاعلون ، وكيف يرتدون ملابس. يمكننا رؤيتها أثناء مفاوضات الأعمال ، حيث قد تحدث فرقًا مهمًا في نجاح المنظمات المعنية. التوقعات الثقافية تسبق التفاعل ، لذلك قد يعاني الشخص الذي لا يتوافق مع تلك التوقعات من التوتر. الأعمال في الولايات المتحدة لديها توجه ذكوري - التأكيد والمنافسة ذات قيمة عالية. في ثقافات أخرى ، مثل السويد ، تكون قيم الأعمال أكثر تناغمًا مع التواضع (عدم الترويج الذاتي) والاهتمام بأفراد المجتمع الأضعف. هذا النطاق من الاختلاف هو أحد جوانب التواصل بين الثقافات الذي يتطلب اهتمامًا كبيرًا عندما يدخل التواصل التجاري إلى بيئة جديدة.


إت3ترادفي محفز بالـ N [4 + 3] التحبيب / نزع الكربوكسيل / إيزومرات ميثيل كومالات مع إسترات الإي: الوصول إلى مشتقات Azepine الوظيفية

مشاهدات المقالات هي مجموع تنزيلات النصوص الكاملة للمقالات المتوافقة مع COUNTER منذ نوفمبر 2008 (بتنسيق PDF و HTML) عبر جميع المؤسسات والأفراد. يتم تحديث هذه المقاييس بانتظام لتعكس الاستخدام حتى الأيام القليلة الماضية.

الاقتباسات هي عدد المقالات الأخرى المقتبسة من هذه المقالة ، ويتم حسابها بواسطة Crossref ويتم تحديثها يوميًا. العثور على مزيد من المعلومات حول عدد الاقتباسات Crossref.

درجة الانتباه Altmetric هي مقياس كمي للاهتمام الذي تلقته مقالة بحثية عبر الإنترنت. سيؤدي النقر فوق رمز الكعكة إلى تحميل صفحة على altmetric.com تحتوي على تفاصيل إضافية حول النتيجة ووجود وسائل التواصل الاجتماعي للمقالة المحددة. اعثر على مزيد من المعلومات حول "نقاط الانتباه البديلة" وكيفية احتساب النتيجة.


4.3: تباعد سلسلة

لقد رأينا أنه ، بشكل عام ، بالنسبة لسلسلة معينة ، قد لا تكون السلسلة متقاربة. بعبارة أخرى ، المسلسل ليس متقاربًا تمامًا. لذا ، في هذه الحالة ، تكاد تكون حالة مفقودة ، مما يعني أنه من الصعب جدًا استخدام الأدوات القديمة المطورة للسلسلة الإيجابية. لكن ، بالنسبة لنوع خاص جدًا من المسلسلات ، لدينا إجابة جزئية (بسبب هابيل). هذا هو الحال بالنسبة للسلسلة بالتناوب. هذه من الشكل

بالتناوب. لاحظ أنه ليس لدينا ولكن. هذا ليس مهما. ما يهم هو أن العلامة تتناوب بمجرد أن تكون موجبة ، والعلامة التالية سلبية وهكذا.

المشكلة الرئيسية: متى تتقارب سلسلة متناوبة؟

من أجل تقدير نتيجة هابيل في سلسلة متناوبة ، دعونا نلعب مع المثال أعلاه. في الواقع ، انظر إلى السلسلة

دعونا نولد تسلسل المبالغ الجزئية. نحن لدينا

لذلك ، قد يتساءل المرء عما إذا كان التسلسل الزوجي يتزايد ويتناقص التسلسل الفردي أثناء الإرضاء

الجواب نعم. في الواقع ، لدينا

مما يوحي . دعونا نتحقق من أن ذلك يتزايد (يُترك الشخص الغريب للقارئ ليثبت). نحن لدينا

ثم لدينا ، مما يعني أن هذا في تزايد. بالمناسبة ، قمنا بتقييم ، لكن في الواقع ، لم نكن بحاجة لذلك. ما يجعلها تعمل هو حقيقة أن التسلسل آخذ في التناقص. لذلك ، نظرًا لأن التسلسل يتزايد ويحده أعلاه ، فإنه يتقارب مع الرقم A. ومن ثم ، فهو يقترب من الرقم B. يجب أن يكون لدينا

نستنتج أنه يجب أن يكون لدينا A = B ، وهو ما يعطي

هذا يعني بوضوح أن التسلسل متقارب و

متقارب ولدينا

من المتباينات المذكورة أعلاه ، نحصل عليها

لأي . تسمح هذه المتباينات بتقريب المجموع الكلي بالمجموع الجزئية. إذا كنت تتساءل ما هو المجموع الإجمالي ، فإن الإجابة هي (باستخدام سلسلة تايلور):

ملاحظة: دعونا نعطي طريقة أخرى للإثبات

أولاً ، ضع في اعتبارك التسلسل المحدد بواسطة

من السهل التحقق من ذلك. دعونا نظهر أن هذا آخذ في التناقص. في الواقع ، لدينا

ومن ثم ، فإن الوظيفة f (x) تتزايد من أجل. حيث

إذن يجب أن نحصل عليه. هذا يعني

ل . لذلك ، فإن التسلسل يتناقص. نظرًا لأنه يحدها أدناه 0 ، فإننا نستنتج أن هذا متقارب. كتابة

يسمى C ثابت أويلر. نحن لدينا

لأي . دعونا نعود إلى السلسلة البديلة

إذن ماذا تعلمنا من المثال أعلاه؟ من خلال النظر بعناية في الحسابات المذكورة أعلاه ، قد نتمكن من التوصل إلى نتيجة أكثر عمومية.

ضع في اعتبارك السلسلة المتناوبة

أين . افترض أن: 1. يتناقص 2. ثم السلسلة

متقارب. علاوة على ذلك ، تقدير المبلغ الإجمالي

بالمجموع الجزئي رقم n ، يحتوي على خطأ في المقدار على الأكثر. بعبارة أخرى ، لدينا

مثال: صنف السلسلة

إما متقاربة تمامًا أو متقاربة مشروطًا أو متباعدة.

الجواب: تأمل سلسلة القيم المطلقة

هذه سلسلة برتراند مع و. باستخدام اختبار Bertrand Series ، نستنتج أنه متشعب. ومن هنا جاءت السلسلة

ليست متقاربة تماما. منذ هذه السلسلة بالتناوب مع

دعنا نتحقق مما إذا كانت افتراضات اختبار السلسلة المتناوبة قد استوفيت. أولاً ، علينا التحقق من أن هذا في تناقص. جلس

من الواضح أن لدينا f '(x) & lt 0 ، لـ x & gt e. ومن ثم ، فإن التسلسل آخذ في التناقص. من السهل التحقق من ذلك

لذلك ، يتم استيفاء جميع افتراضات اختبار السلسلة المتناوبة. ثم نستنتج أن السلسلة

متقارب. في الواقع ، من أجل أن نكون دقيقين ، فهي متقاربة بشكل مشروط.

مثال: صنف السلسلة

إما متقاربة تمامًا أو متقاربة مشروطًا أو متباعدة.

الجواب: لا يتضح من التعريف ماهية هذه السلسلة. لذلك ننصحك بأخذ الآلة الحاسبة الخاصة بك وحساب المصطلحات الأولى للتحقق من ذلك في الواقع

إذن ، هذه سلسلة متناوبة مع. نظرًا لأن هذا التسلسل يتناقص ويذهب إلى 0 ، ثم من خلال اختبار السلسلة المتناوب ، السلسلة


شاهد الفيديو: الحلقه من تقارب وتباعد المتسلسلات convergent and divergent series (ديسمبر 2021).