مقالات

3.1: تكاملات مزدوجة


في حساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير ، يُنظر إلى التفاضل والتكامل على أنهما عمليات عكسية. على سبيل المثال ، لدمج دالة (f (x) ) من الضروري إيجاد المشتق العكسي لـ (f ) ، أي دالة أخرى (F (x) ) مشتقها (f (x) ) ). هل هناك طريقة مماثلة لتعريف تكامل الوظائف ذات القيمة الحقيقية لمتغيرين أو أكثر؟ الجواب نعم كما سنرى قريبا. تذكر أيضًا أن التكامل المحدد لوظيفة غير سالبة (f (x) ge 0 ) يمثل المنطقة "أسفل" المنحنى (y = f (x) ). كما سنرى الآن ، فإن التكامل المزدوج لوظيفة غير سالبة القيمة الحقيقية (f (x، y) ge 0 ) يمثل الحجم "تحت" السطح (z = f (x، y) ).

لنفترض أن (f (x، y) ) دالة مستمرة مثل (f (x، y) ge 0 text {for all} (x، y) ) على المستطيل (R = {( س ، ص): أ ≤ س ≤ ب ، ج ≤ y ≤ د} ) في ( mathbb {R} ^ 2 ). سنكتب هذا غالبًا كـ (R = [a، b] times [c، d] ). لأي رقم (x ∗ ) في الفاصل ([a، b] ) ، قم بتقطيع السطح (z = f (x، y) ) مع المستوى (x = x ∗ ) بالتوازي مع الطائرة (yz ). ثم يكون أثر السطح في ذلك المستوى هو منحنى (f (x ∗، y) ) حيث تم إصلاح (x ∗ ) وتختلف فقط (y ). المنطقة (A ) أسفل هذا المنحنى (أي مساحة المنطقة الواقعة بين المنحنى والمستوى (xy ) -) كما (y ) تتغير خلال الفاصل ([c، d] ) ثم يعتمد فقط على قيمة (س ∗ ). لذا باستخدام المتغير (x ) بدلاً من (x ∗ ) ، دعنا (A (x) ) هي تلك المنطقة (انظر الشكل 3.1.1).

ثم (A (x) = int_c ^ d f (x، y) d y ) بما أننا نتعامل مع (x ) على أنه ثابت ، وفقط (y ) يختلف. هذا منطقي لأنه بالنسبة إلى (س ) ثابت ، فإن الوظيفة (و (س ، ص) ) هي دالة مستمرة لـ (ص ) على الفاصل ([ج ، د] ) ، لذلك نحن نعلم أن المنطقة الواقعة تحت المنحنى هي التكامل المحدد. المنطقة (A (x) ) هي دالة لـ (x ) ، لذلك من خلال طريقة "الشريحة" أو طريقة المقطع العرضي من حساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير نعلم أن حجم (V ) صلب تحت السطح (ض = و (س ، ص) ) ولكن فوق (س ص ) - المستوى فوق المستطيل (ص ) هو التكامل فوق ([أ ، ب] ) من هذا التقاطع- المنطقة المقطعية (A (x) )

[V = int_a ^ b A (x) dx = int_a ^ b left [ int_c ^ d f (x، y) d y right] dx label {Eq3.1} ]

سنشير دائمًا إلى هذا المجلد باسم "الحجم الموجود تحت السطح". يستخدم التعبير أعلاه ما يسمى التكاملات المتكررة. أولاً ، تتكامل الوظيفة (f (x ، y) ) كدالة لـ (y ) ، وتعامل المتغير (x ) على أنه ثابت (يسمى هذا التكامل فيما يتعلق (ذ )). هذا ما يحدث في التكامل "الداخلي" بين الأقواس المربعة في المعادلة المرجع {Eq3.1}. هذا هو أول تكامل متكرر. بمجرد تنفيذ هذا التكامل ، تكون النتيجة تعبيرًا يتضمن فقط (x ) ، والتي يمكن أن تكون كذلك متكامل فيما يتعلق (س ). هذا ما يحدث في التكامل "الخارجي" أعلاه (التكامل المتكرر الثاني). النتيجة النهائية إذن هي رقم (الحجم). تسمى هذه العملية المتمثلة في المرور بتكرارين من التكاملات تكامل مزدوج، والتعبير الأخير في المعادلة ref {Eq3.1} يسمى a تكامل مزدوج.

لاحظ أن تكامل (f (x، y) ) فيما يتعلق بـ (y ) هو العملية العكسية لأخذ المشتق الجزئي لـ (f (x، y) ) بالنسبة لـ (y ). أيضًا ، كان بإمكاننا بنفس السهولة أخذ مساحة المقاطع العرضية الموجودة أسفل السطح والتي كانت موازية للطائرة (xz ) ، والتي ستعتمد بعد ذلك فقط على المتغير (y ) ، بحيث يكون الحجم (V ) سيكون

[V = int_c ^ d left [ int_a ^ b f (x، y) dx right] dy label {Eq3.2} ]

اتضح أنه بشكل عام لا يهم ترتيب التكاملات المتكررة. أيضًا ، عادةً ما نتجاهل الأقواس ونكتبها ببساطة

[V = int_c ^ d int_a ^ b f (x، y) dx d y label {Eq3.3} ]

حيث يُفهم أن حقيقة كتابة (dx ) قبل (dy ) تعني أن الوظيفة (f (x ، y) ) تم دمجها أولاً فيما يتعلق بـ (x ) باستخدام "داخلي" "حدود التكامل (a text {and} b ) ، ثم يتم دمج الوظيفة الناتجة فيما يتعلق بـ y باستخدام الحدود" الخارجية "للتكامل (c text {and} d ). يمكن تغيير ترتيب التكامل هذا إذا كان أكثر ملاءمة.

مثال 3.1

ابحث عن الحجم (V ) أسفل المستوى (z = 8x + 6y ) فوق المستطيل (R = [0،1] times [0،2] ).

حل

نرى أن (f (x، y) = 8x + 6y ge 0 text {for} 0 le x le 1 text {and} 0 le y le 2 ) ، لذلك:

[ nonumber begin {align} V & = int_0 ^ 2 int_0 ^ 1 (8x + 6y) dx ، dy [4pt] nonumber & = int_0 ^ 2 left (4x ^ 2 + 6x y big | _ {x = 0} ^ {x = 1} right) dy [4pt] nonumber & = int_0 ^ 2 (4 + 6y) dy [4pt] nonumber & = 4y + 3y ^ 2 كبير | _0 ^ 2 [4pt] & = 20 end {align} ]

لنفترض أننا بدّلنا ترتيب التكامل. يمكننا التحقق من أننا ما زلنا نحصل على نفس الإجابة:

[ nonumber begin {align} V & = int_0 ^ 1 int_0 ^ 2 (8x + 6y) dy ، dx [4pt] nonumber & = int_0 ^ 1 left (8x y + 3y ^ 2 كبير | _ {y = 0} ^ {y = 2} right) dx [4pt] nonumber & = int_0 ^ 1 (16x + 12) dx [4pt] & = 8x ^ 2 + 12x big | _0 ^ 1 [4pt] nonumber & = 20 end {align} ]

مثال 3.2

ابحث عن الحجم (V ) تحت السطح (z = e ^ {x + y} ) فوق المستطيل (R = [2،3] times [1،2] ).

حل

نعلم أن (f (x، y) = e ^ {x + y}> 0 text {for all} (x، y) ) ، لذلك

[ nonumber begin {align} V & = int_1 ^ 2 int_2 ^ 3 e ^ {x + y} dx ، dy [4pt] nonumber & = int_1 ^ 2 left (e ^ { x + y} big | _ {x = 2} ^ {x = 3} right) dy [4pt] nonumber & = int_1 ^ 2 (e ^ {y + 3} -e ^ {y + 2}) dy [4pt] nonumber & = e ^ {y + 3} -e ^ {y + 2} big | _1 ^ 2 [4pt] nonumber & = e ^ 5 - e ^ 4 - (e ^ 4 - e ^ 3) = e ^ 5 −2e ^ 4 + e ^ 3 end {align} ]

تذكر أنه بالنسبة للدالة العامة (f (x) ) ، يمثل التكامل ( int_a ^ bf (x) dx ) الفرق في المنطقة الواقعة أسفل المنحنى (y = f (x) ) ولكن أعلاه المحور (س ) - عند (f (x) ge 0 ) ، والمساحة فوق المنحنى ولكن أسفل المحور (x ) - عند (f (x) le 0 ). وبالمثل ، فإن التكامل المزدوج لأي دالة مستمرة (f (x ، y) ) يمثل الفرق في الحجم أسفل السطح (z = f (x ، y) ) ولكن فوق (xy ) - المستوى عندما (f (x، y) ge 0 ) ، والحجم فوق السطح ولكن أسفل (xy ) - المستوى عندما (f (x، y) le 0 ). وبالتالي ، يمكن استخدام طريقتنا في التكامل المزدوج عن طريق التكاملات المتكررة لتقييم التكامل المزدوج لـ أي دالة مستمرة فوق مستطيل ، بغض النظر عما إذا كان (f (x، y) ge 0 ) أم لا

مثال 3.3

تقييم ( int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ { pi} sin (x + y) dx ، dy )

حل

لاحظ أن (f (x، y) = sin (x + y) ) موجب وسالب على المستطيل ([0، pi] times [0،2 pi] ). لا يزال بإمكاننا إيجاد التكامل المزدوج:

[ nonumber begin {align} int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ { pi} sin (x + y) dx ، dy & = int_0 ^ {2 pi} left (-cos ( x + y) big | _ {x = 0} ^ {x = pi} right) dy [4pt] nonumber & = int_0 ^ {2 pi} (-cos (y + pi) + cos {، y}) dy [4pt] nonumber & = - sin (y + pi) + sin {، y} big | _0 ^ {2 pi} = -sin {، 3 pi } + sin {، 2 pi} - (-sin {، pi} + sin {، 0}) [4pt] nonumber & = 0 end {align} ]


شاهد الفيديو: Double Integrals (شهر نوفمبر 2021).