مقالات

1.9: طول القوس - الرياضيات


لنفترض أن ( textbf {r} (t) = (x (t)، y (t)، z (t)) ) يكون متجه الموضع لكائن يتحرك في ( mathbb {R} ^ 3 ) . نظرًا لأن ( norm { textbf {v} (t)} ) هي سرعة الكائن في الوقت (t ) ، يبدو من الطبيعي تحديد المسافة (s ) التي يقطعها الكائن من الوقت (t = a text {to} t = b ) باعتباره التكامل المحدد

[s = int_a ^ b norm { textbf {v} (t)} ، dt = int_a ^ b sqrt {x ′ (t) ^ 2 + y ′ (t) ^ 2 + z ′ ( ر) ^ 2 ، دت} ، ]

وهو مشابه للحالة من حساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير للوظائف البارامترية في ( mathbb {R} ^ 2 ). هذه بالفعل هي الطريقة التي سنحدد بها المسافة المقطوعة ، وبشكل عام ، طول القوس لمنحنى في ( mathbb {R} ^ 3 ).

التعريف 1.13

لنفترض أن ( textbf {f} (t) = (x (t)، y (t)، z (t)) ) منحنى في ( mathbb {R} ^ 3 ) الذي يتضمن مجاله الفاصل الزمني ([أ ، ب] ). افترض أنه في الفاصل الزمني ((أ ، ب) ) المشتق الأول لكل دالة مكون (x (t) ، y (t) text {and} z (t) ) موجود ومستمر ، وذلك لا يتكرر أي مقطع من المنحنى. ثم طول القوس (L ) للمنحنى من (t = a ) إلى (t = b ) هو

[ start {align} L & = int_a ^ b norm { textbf {f} ′ (t)} ، dt [4pt] & = int_a ^ b sqrt {x ′ (t) ^ 2 + y ′ (t) ^ 2 + z ′ (t) ^ 2} ، dt label {Eq1.41} end {align} ]

يتم استدعاء دالة ذات قيمة حقيقية يكون مشتقها الأول مستمرًا قابلة للتفاضل بشكل مستمر (أو دالة (C ^ 1 )) ، وتسمى الوظيفة التي تكون مشتقات جميع الطلبات متصلة بها ناعم (أو دالة (C ^ ∞ )). جميع الوظائف التي سننظر فيها ستكون سلسة. أ منحنى سلس ( textbf {f} (t) ) هو أحد مشتقاته ( textbf {f} ′ (t) ) ليس متجهًا صفريًا أبدًا وتكون وظائفه المكونة كلها سلسة.

لاحظ أننا لم نفعل ذلك إثبات أن الصيغة في التعريف أعلاه تعطي في الواقع طول مقطع منحنى. يتطلب البرهان الصارم التعامل مع بعض التفاصيل الدقيقة ، التي عادة ما يتم إخفاءها في نصوص التفاضل والتكامل ، والتي تقع خارج نطاق هذا الكتاب.

مثال 1.41

أوجد طول (L ) اللولب ( textbf {f} (t) = ( cos t، sin t، t) text {from} t = 0 text {to} t = 2π ).

حل

حسب المعادلة المرجع {Eq1.41} ، لدينا

[ begin {align *} L & = int_0 ^ 2π sqrt {(- sin t) ^ 2 + ( cos t) ^ 2 + 1 ^ 2} ، dt [4pt] & = int_0 ^ 2π sqrt { sin ^ 2 t + cos ^ 2 t + 1} ، dt [4pt] & = int_0 ^ 2π sqrt {2} ، dt [4pt] & = sqrt {2} (2π − 0) [4pt] & = 2 sqrt {2π} end {align *} ]

على غرار الحالة في ( mathbb {R} ^ 2 ) ، إذا كانت هناك قيم (t ) في الفاصل ([a، b] ) حيث يكون مشتق دالة المكون غير مستمر غالبًا ما يكون من الممكن تقسيم ([أ ، ب] ) إلى فترات فرعية حيث تكون جميع وظائف المكونات قابلة للتفاضل باستمرار (باستثناء نقاط النهاية ، والتي يمكن تجاهلها). سيكون مجموع أطوال القوس على الفترات الفرعية هو طول القوس على ([أ ، ب] ).

لاحظ أن المنحنى الذي تتبعه الوظيفة ( textbf {f} (t) = ( cos t، sin t، t) ) من المثال 1.41 يتم تتبعه أيضًا بواسطة الوظيفة ( textbf {g} (ر) = ( cos 2t، sin 2t، 2t) ). على سبيل المثال ، عبر الفاصل ([0، π]، ، textbf {g} (t) ) يتتبع نفس القسم من المنحنى كما يفعل ( textbf {f} (t) ) فوق الفاصل ([0،2π] ). بشكل بديهي ، يشير هذا إلى أن ( textbf {g} (t) ) يتتبع المنحنى بسرعة مضاعفة مثل ( textbf {f} (t) ). هذا أمر منطقي نظرًا لأن عرض الوظائف كمتجهات للموضع ومشتقاتها كمتجهات سرعة ، سرعات ( textbf {f} (t) text {and} textbf {g} (t) text {are} القاعدة { textbf {f} ′ (t)} = sqrt {2} text {and} norm { textbf {g} ′ (t)} = 2 sqrt {2} ) ، على التوالي. نقول أن ( textbf {g} (t) text {and} textbf {f} (t) ) مختلفان البارامترات من نفس المنحنى.

التعريف 1.14

لنفترض أن (C ) منحنى سلس في ( mathbb {R} ^ 3 ) ممثلة بوظيفة ( textbf {f} (t) ) محددة في فاصل ([a، b]، text {and let} α: [c، d] → [a، b] ) يكون تعيينًا سلسًا للفاصل الزمني ([c، d] text {on} [a، b] ). ثم الوظيفة ( textbf {g}: [c، d] → mathbb {R} ^ 3 ) المحددة بواسطة ( textbf {g} (s) = textbf {f} (α (s)) ) هو البارامتر من (ج ) مع معامل (س). إذا كان (α ) يتزايد بشكل صارم في ([c، d] ) فإننا نقول إن ( textbf {g} (s) ) هو ما يعادل إلى ( textbf {f} (t) ).

لاحظ أن تمايز ( textbf {g} (s) ) يتبع نسخة من قاعدة السلسلة للوظائف ذات القيمة المتجهية (يُترك الإثبات كتمرين):

نظرية 1.21 سلسلة القاعدة:

إذا كانت ( textbf {f} (t) ) دالة ذات قيمة متجهية قابلة للتفاضل لـ (t ) ، و (t = α (s) ) هي دالة عددية قابلة للتفاضل لـ (s ) ، ثم ( textbf {f} (s) = textbf {f} (α (s)) ) هي دالة ذات قيمة متجهية قابلة للتفاضل لـ (s ) ، و

[ dfrac {d textbf {f}} {ds} = dfrac {d textbf {f}} {dt} dfrac {dt} {ds} ]

لأي (s ) حيث يتم تعريف الوظيفة المركبة ( textbf {f} (α (s)) ).

مثال 1.42

فيما يلي جميع المعلمات المكافئة لنفس المنحنى:

[ start {align} textbf {f} (t) & = ( cos t، sin t، t) text {for} t text {in} [0،2π] [4pt] nonumber textbf {g} (s) & = ( cos 2s، sin 2s، 2s) text {for} s text {in} [0، π] [4pt] nonumber textbf {h} (ق) & = ( cos 2πs، sin 2πs، 2πs) text {for} s text {in} [0،1] end {align} ]

لمعرفة أن ( textbf {g} (s) ) يعادل ( textbf {f} (t) ) ، حدد (α: [0،،] → [0،2π] text { عن طريق} α (s) = 2s ). ثم (α ) هو ناعم، واحد لواحد ، خرائط ([0 ، π] ) على ([0،2π] ) ، ويزداد بشكل صارم (منذ (α ′ (ق) = 2> 0 نص {للجميع } س)). وبالمثل ، فإن تعريف (α: [0،1] → [0،2π] text {by} α (s) = 2πs ) يُظهر أن ( textbf {h} (s) ) يعادل ( textbf {f} (t) ).

يمكن أن يحتوي المنحنى على العديد من المعاملات ، بسرعات مختلفة ، فما الأفضل استخدامًا؟ في بعض الحالات معلمات طول القوس يمكن أن تكون مفيدة. الفكرة من وراء ذلك هي استبدال المعلمة (t ) ، لأي معلمة سلسة معينة ( textbf {f} (t) text {المعرفة على} [أ ، ب] ) ، بواسطة المعلمة (s ) معطى بواسطة

[ label {Eq1.43} s = s (t) = int_a ^ t norm { textbf {f} ′ (u)} ، du. ]

من حيث الحركة على طول المنحنى ، (s ) هي المسافة المقطوعة على طول المنحنى بعد انقضاء الوقت (t ). لذا فإن المعلمة الجديدة ستكون المسافة بدلاً من الوقت. هناك تطابق طبيعي بين (s text {and} t ): من نقطة البداية على المنحنى ، يتم تحديد المسافة المقطوعة على طول المنحنى (في اتجاه واحد) بشكل فريد من خلال مقدار الوقت المنقضي ، والعكس صحيح .

بما أن (s ) هو طول قوس المنحنى على الفاصل ([a، t] ) لكل (t ) في ([أ ، ب] ) ، إذن فهي دالة (ر ). من خلال النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل ، مشتقها هو

[ start {align *} s ′ (t) & = dfrac {ds} {dt} [4pt] & = dfrac {d} {dt} int_a ^ t norm { textbf {f} ′ (u)} ، du [4pt] & = norm { textbf {f} ′ (t)} text {for all} t text {in} [a، b]. النهاية {محاذاة *} ]

بما أن ( textbf {f} (t) ) سلس ، إذن ( norm { textbf {f} ′ (t)}> 0 ) للجميع (t text {in} [a، b ] ). وبالتالي (s ′ (t)> 0 ) وبالتالي (s (t) ) يتزايد بشكل صارم على الفاصل ([a، b] ). تذكر أن هذا يعني أن (s ) هو تعيين واحد لواحد للفاصل ([a ، b] ) على الفاصل ([s (a) ، ، s (b)] ) . لكننا نرى ذلك

[ start {align *} s (a) & = int_a ^ a norm { textbf {f} ′ (u)} ، du [4pt] & = 0 text {and} s (b ) [4pt] & = int_a ^ b norm { textbf {f} ′ (u)} ، du [4pt] & = L [4pt] & = text {arc length from} t = a text {to} t = b end {align *} ]

لذا فإن الدالة (s: [a، b] → [0، L] ) هي تعيين واحد لواحد ، قابل للتفاضل على الفاصل ([0، L] ). من حساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير ، نعلم أن هذا يعني وجود دالة عكسية (α: [0، L] → [a، b] ) قابلة للاشتقاق ومعكوس (s: [a، b] → [0، L] ). وهذا يعني أنه لكل (t ) في ([أ ، ب] ) يوجد (ق ) فريد في ([0 ، L] ) مثل (s = s (t) نص {and} t = α (s) ). ونعلم أن مشتق (α ) هو

[ nonumber α ′ (s) = dfrac {1} {s ′ (α (s))} = dfrac {1} { norm { textbf {f} ′ (α (s))}} ]

لذلك حدد معلمات طول القوس ( textbf {f}: [0، L] → mathbb {R} ^ 3 ) بواسطة

[ nonumber textbf {f} (s) = textbf {f} (α (s)) text {for all} s text {in} [0، L]. ]

ثم ( textbf {f} (s) ) سلس ، بواسطة قاعدة السلسلة. في الواقع ، يحتوي ( textbf {f} (s) ) على سرعة الوحدة:

[ nonumber begin {align} textbf {f} ′ (s) & = textbf {f} ′ (α (s)) α ′ (s) text {by the Chain Rule، so} [ 4pt] nonumber & = textbf {f} ′ (α (s)) dfrac {1} { norm { textbf {f} ′ (α (s))}}، text {so} [ 4pt] nonumber norm { textbf {f} ′ (s)} & = 1 text {for all} s text {in} [0، L]. [4pt] end {محاذاة} ]

لذا فإن معلمات طول القوس تعبر المنحنى بمعدل "عادي".

عمليًا ، يتطلب تحديد معلمة منحنى ( textbf {f} (t) ) بطول القوس تقييم التكامل (s = int_a ^ t norm { textbf {f} ′ (u)} ، du ) في شكل مغلق (كدالة لـ (t )) بحيث يمكنك بعد ذلك حل (t ) من حيث (). إذا كان من الممكن القيام بذلك ، فيمكنك حينئذٍ استبدال تعبير (t text {من حيث} s ) (والذي أطلقنا عليه (α (s) )) في صيغة ( textbf {f} (t) text {to get} textbf {f} (s) ).

مثال 1.43

حدّد اللولب ( textbf {f} (t) = ( cos t، sin t، t)، text {for} text {in} [0،2π] ) ، بطول القوس.

حل

بالمثال 1.41 والمعادلة المرجع {Eq1.43} ، لدينا

[ nonumber s = int_0 ^ t norm { textbf {f} ′ (u)} ، du = int_0 ^ t sqrt {2} ، du = sqrt {2} t text {for الكل (t ) في} [0،2π]. ]

لذا يمكننا إيجاد قيمة (t ) بدلالة (s: ، t = α (s) = dfrac {s} { sqrt {2}} ).

(∴ textbf {f} (s) = left ( cos dfrac {s} { sqrt {2}} ، sin dfrac {s} { sqrt {2}} ، dfrac {s} { sqrt {2}} right) ) لكل (s ) في ([0،2 ص 2π] ). لاحظ أن ( norm { textbf {f} ′ (s)} = 1 ).

يلعب طول القوس دورًا مهمًا عند المناقشة انحناء و تتحرك حقول الإطار، في مجال الرياضيات المعروف باسم الهندسة التفاضلية. تتضمن الطرق استخدام معلمات طول القوس ، والتي غالبًا ما تؤدي إلى تكامل يصعب أو يستحيل تقييمه في شكل مغلق بسيط. التكامل البسيط في المثال 1.43 هو الاستثناء وليس القاعدة. بشكل عام ، تعد معاملات طول القوس أكثر فائدة للأغراض النظرية من الحسابات العملية. يمكن تعريف الانحناء وحقول الإطار المتحرك دون استخدام طول القوس ، مما يجعل حسابها أسهل بكثير ، ويمكن إظهار هذه التعريفات لتكون مكافئة لتلك التي تستخدم طول القوس. سنترك هذا للتدريبات.

يمكن أيضًا حساب طول القوس للمنحنيات الواردة في أنظمة الإحداثيات الأخرى:

نظرية 1.22: طول القوس في إحداثيات أسطوانية

افترض أن (r = r (t) ، ، θ = θ (t) text {and} z = z (t) ) هي الإحداثيات الأسطوانية لمنحنى ( textbf {f} (t) ، نص {لـ (t ) في} [أ ، ب] ). ثم طول القوس (L ) للمنحنى فوق ([أ ، ب] ) يساوي

[ label {Eq1.44} L = int_a ^ b sqrt {r ′ (t) ^ 2 + r (t) ^ 2 θ ′ (t) ^ 2 + z ′ (t) ^ 2} ، دت ]

دليل

يتم إعطاء الإحداثيات الديكارتية ((x (t) ، y (t) ، z (t)) ) لنقطة على المنحنى بواسطة

[ nonumber x (t) = r (t) cos θ (t)، quad y (t) = r (t) sin θ (t)، quad z (t) = z (t) ]

لذا فإن التفريق بين التعبيرات السابقة لـ (x (t) text {and} y (t) ) فيما يتعلق بـ (t ) يعطي

[ nonumber x ′ (t) = r ′ (t) cos θ (t) - r (t) θ ′ (t) sin θ (t)، quad y ′ (t) = r ′ (t ) الخطيئة θ (t) + r (t) θ ′ (t) cos θ (t) ]

و حينئذ

[ non number begin {align} x ′ (t) ^ 2 + y ′ (t) ^ 2 & = (r ′ (t) cos cos (t) - r (t) θ ′ (t) sin θ (t)) ^ 2 + (r ′ (t) sin θ (t) + r (t) θ ′ (t) cos θ (t)) ^ 2 [4pt] nonumber & = r ′ (t) ^ 2 ( cos ^ 2 θ + sin ^ 2 θ) + r (t) ^ 2 θ ′ (t) ^ 2 ( cos ^ 2 θ + sin ^ 2 θ) [4pt] غير عدد رباعي & -2r ′ (t) r (t) θ ′ (t) cos θ sin θ + 2r ′ (t) r (t) θ ′ (t) cos θ sin θ [ 4pt] nonumber & = r ′ (t) ^ 2 + r (t) ^ 2 θ ′ (t) ^ 2، text {and so} [4pt] nonumber L & = int_a ^ b sqrt { x ′ (t) ^ 2 + y ′ (t) ^ 2 + z ′ (t) ^ 2} ، dt [4pt] nonumber & = int_a ^ b sqrt {r ′ (t) ^ 2 + r (t) ^ 2 θ ′ (t) ^ 2 + z ′ (t) ^ 2} ، dt [4pt] end {align} ]

( textbf {QED} )

مثال 1.44

ابحث عن طول القوس (L ) للمنحنى الذي تكون إحداثياته ​​الأسطوانية (r = e ^ t، θ = t text {and} z = e ^ t ) ، لـ (t ) خلال الفاصل ([0،1] ).

حل

بما أن (r ′ (t) = e ^ t، ، θ ′ (t) = 1 text {and} z ′ (t) = e ^ t ) ، إذن

[ non number begin {align} L & = int_0 ^ 1 sqrt {r ′ (t) ^ 2 + r (t) ^ 2 θ ′ (t) ^ 2 + z ′ (t) ^ 2} ، dt [4pt] nonumber & = int_0 ^ 1 sqrt {e ^ {2t} + e ^ {2t} (1) + e ^ {2t}} ، dt [4pt] nonumber & = int_0 ^ 1 e ^ t sqrt {3} ، dt = sqrt {3} (e −1) [4pt] end {align} ]


الهندسة: الدوائر

تغطي هذه الدروس الخصائص المختلفة للدوائر وأجزاء الدائرة والمصطلحات المرتبطة عمومًا بالدوائر.

سنتعرف على الدوائر وخصائص الدوائر.

  • قطر الدائرة،
  • وتر،
  • نصف القطر،
  • قوس،
  • نصف دائرة ، قوس صغير ، قوس رئيسي ،
  • الظل
  • قاطع،
  • المحيط والصيغة ،
  • المنطقة والصيغة ،
  • القطاع والصيغة.

توضح الأشكال التالية الأجزاء المختلفة من الدائرة: الظل ، الوتر ، نصف القطر ، القطر ، القوس ، القطعة ، القطاع. قم بالتمرير لأسفل الصفحة لمزيد من الأمثلة والتوضيحات.

دائرة

في الهندسة ، الدائرة عبارة عن منحنى مغلق يتكون من مجموعة من النقاط على الطائرة التي تكون على نفس المسافة من مركزها ا. تُعرف هذه المسافة بنصف قطر الدائرة.

قطر الدائرة

قطر الدائرة عبارة عن قطعة مستقيمة تمر عبر مركز الدائرة ولها نقاط نهايتها على الدائرة. جميع أقطار الدائرة نفسها لها نفس الطول.

وتر

أ وتر عبارة عن قطعة مستقيمة مع نقطتي نهاية على الدائرة. القطر هو وتر خاص يمر عبر مركز الدائرة. سيكون القطر هو أطول وتر في الدائرة.

نصف القطر

نصف قطر الدائرة قطعة مستقيمة من مركز الدائرة إلى نقطة على الدائرة.

في الرسم البياني أعلاه ، ا هي مركز الدائرة وهي نصف قطر الدائرة. إن أنصاف أقطار الدائرة لها نفس الطول. نصف القطر نصف طول القطر.

القوس جزء من دائرة.

في الرسم البياني أعلاه ، يشكل جزء الدائرة من B إلى C قوسًا. يطلق عليه القوس BC.

يمكن قياس القوس بالدرجات. في الدائرة أعلاه ، قياس القوس BC يساوي زاويته المركزية ∠BOC، وهي 45 درجة.

نصف دائرة ، قوس صغير وقوس رئيسي

القوس هو نصف دائرة. القوس الصغير هو قوس أصغر من نصف دائرة. القوس الرئيسي هو قوس أكبر من نصف دائرة.

كيفية التعرف على القوس نصف الدائري والقوس الصغير والقوس الرئيسي؟

الظل

مماس الدائرة هو خط يلمس دائرة عند نقطة واحدة فقط. الظل هو عمودي على نصف القطر عند نقطة التلامس.

في الرسم البياني أعلاه ، الخط الذي يحتوي على النقطتين B و C هو مماس للدائرة.

تلامس الدائرة عند النقطة B وهي متعامدة مع نصف القطر

قاطع

القاطع هو خط مستقيم يقطع الدائرة عند نقطتين. الوتر هو جزء من القاطع الذي يقع في الدائرة.

محيط

محيط الدائرة هو المسافة حول الدائرة.

حساب محيط الدائرة يتضمن ثابت يسمى بي بالرمز π. تبلغ قيمة π (pi) تقريبًا 3.14159265358979323846 & hellip ولكن التقريب إلى 3.142 يجب أن يكون كافيًا. (انظر ذاكري ل π)

صيغة محيط الدائرة هي

حيث C هو المحيط ، د هو القطر وص هو نصف القطر.

إذا أعطيت القطر ، فاستخدم الصيغة C = πd

إذا أعطيت نصف القطر ، فاستخدم الصيغة C = 2πr

ورقة عمل المحيط لحساب محيط الدائرة.

ورقة عمل المساحة ومحيط الدائرة لحساب مساحة الدائرة ومحيطها.

مثال 1: أوجد محيط الدائرة التي يبلغ قطرها 8 بوصات.

الخطوة 1: اكتب الصيغة: C = & معرف المنتج
الخطوة 2: أدخل القيمة: C = 8 & بي

الجواب: محيط الدائرة 8π 25.163 بوصة.

مثال 2: أوجد محيط الدائرة التي يبلغ نصف قطرها 5 بوصات.

الخطوة 1: اكتب الصيغة: C = 2 و pir
الخطوة 2: أدخل القيمة: ج = 10 و بي

الجواب: محيط الدائرة 10π 31.42 بوصة.

اكتشف العلاقة بين نصف قطر الدائرة وقطرها ومحيطها

مساحة الدائرة هي المنطقة المحاطة بالدائرة. يتم إعطاؤه بواسطة الصيغة:

A = πr 2 (انظر ذاكري لهذه الصيغة)
حيث A هي المنطقة و r نصف القطر.

نظرًا لأن الصيغة معطاة فقط من حيث نصف القطر ، تذكر التغيير من القطر إلى نصف القطر إذا لزم الأمر.

ورقة عمل الدوائر لحساب مساحة الدائرة.
ورقة عمل المساحة والمحيط لحساب مساحة الدائرة ومحيطها.
ورقة عمل مسائل الدائرة لحساب المسائل التي تتضمن نصف القطر والقطر ومحيط ومساحة الدائرة.

مثال 1: أوجد مساحة الدائرة التي يبلغ قطرها 10 بوصات.

الخطوة 1: اكتب الصيغة: أ = & # 960r 2
الخطوة 2: تغيير القطر إلى نصف القطر:
الخطوة 3: أدخل القيمة: أ = & # 9605 2 = 25 & # 960

الإجابة: مساحة الدائرة 25 × 78.55 بوصة مربعة.

مثال 2: أوجد مساحة الدائرة التي يبلغ نصف قطرها 10 بوصات.

الخطوة 1: اكتب الصيغة: أ = & # 960r 2
الخطوة 2: أدخل القيمة: أ = & # 96010 2 = 100 & # 960

الإجابة: مساحة الدائرة 100 × 314.2 بوصة مربعة.

كيف تربط نصف قطر وقطر الدائرة بمساحتها؟

قطاع

القطاع يشبه & quot؛ شريحة بيتزا & & quot؛ من الدائرة. تتكون من منطقة يحدها نصف قطر وقوس يقع بين نصف القطر. مساحة القطاع هي جزء من مساحة الدائرة.

صيغة حساب مساحة القطاع هي

كيف تشتق الصيغة لحساب مساحة القطاع في الدائرة؟

يشرح درس الفيديو التالي كيفية العثور على منطقة القطاع.

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


مفتاح إجابة مفصل

أوجد محيط دائرة نصف قطرها 6 سنتيمترات & # xa0 تقريب الإجابات العشرية لأقرب منزلتين عشريتين.

تُعطى صيغة محيط الدائرة بـ & # xa0

استخدم الآلة الحاسبة للحصول على قيمة π.

ومن ثم ، يبلغ المحيط حوالي 37.70 سم.

أوجد نصف قطر a & # xa0 دائرة محيطها 31 مترًا. & # xa0 الإجابات العشرية المستديرة لأقرب منزلتين عشريتين.

تُعطى صيغة محيط الدائرة بـ & # xa0

استخدم الآلة الحاسبة للحصول على قيمة π.

ومن ثم يبلغ نصف القطر حوالي 4.93 متر. & # xa0

أوجد طول القوس AB في الرسم البياني الموضح أدناه. & # xa0

صيغة طول القوس: & # xa0 & # xa0

طول قوس AB & # xa0 = & # xa0 [m ∠arc AB / 360 °] & # xa0 ⋅ & # xa02 πr

طول قوس AB & # xa0 & # xa0 ≈ & # xa0 4.36 سنتيمتر

أوجد طول القوس CD في الرسم البياني الموضح أدناه. & # xa0

صيغة طول القوس: & # xa0 & # xa0

طول القوس للقرص المضغوط & # xa0 = & # xa0 [m ∠arc CD / 360 °] & # xa0 # & # xa02 πr

طول قوس AB & # xa0 & # xa0 ≈ & # xa0 6.11 سم

يحتوي المسار الموضح أدناه على ستة ممرات. عرض كل حارة 1.25 متر. يوجد قوس 180 درجة في كل نهاية من المسار. تم إعطاء نصف القطر للأقواس في أول مسارين.

أ & # xa0 أوجد المسافة حول المسار 1.

ب & # xa0 أوجد المسافة حول المسار 2.

يتكون المسار من نصفين دائريين وقسمين مستقيمين بطول s ، ولإيجاد المسافة الإجمالية حول كل حارة ، ابحث عن مجموع أطوال كل جزء ، ودور الكسر العشري يجيب على منزلة عشرية واحدة.

أوجد محيط الدائرة الموضح أدناه. & # xa0

(طول قوس PQ) / 2 πr & # xa0 = & # xa0 m ∠arc PQ / 360 °

خذ المعاملة بالمثل من كل جانب. & # xa0

اضرب كل جانب في 3.82

ومن ثم يبلغ محيط الدائرة حوالي 22.92 مترًا. & # xa0

(طول القوس XY) / 2 πr & # xa0 = & # xa0 m ∠arc XY / 360 °

18/2 (7.64) & # xa0 = & # xa0 م ∠arc XY / 360 °

18 / 15.28 π & # xa0 = & # xa0 م ∠arc XY / 360 °

اضرب كل جانب ب & # xa0 360 درجة.

ومن ثم ، فإن & # xa0 m ∠arc XY حوالي & # xa0 135 °.

يتم عرض الإطارات من سيارتين مختلفتين & # xa0below. كم عدد الدورات التي يصنعها كل إطار أثناء السير لمسافة 100 قدم؟ يجيب الرقم العشري المستدير على منزلة عشرية واحدة.

يبلغ قطر الإطار A 14 + 2 (5.1) ، أو 24.2 بوصة. محيطها π (24.2) ، أو حوالي 76.03 بوصة.

يبلغ قطر الإطار B 15 + 2 (5.25) ، أو 25.5 بوصة. محيطها π (25.5) ، أو حوالي 80.11 بوصة.

اقسم المسافة المقطوعة على محيط الإطار لإيجاد عدد الدورات التي تم إجراؤها.

قم أولاً بتحويل 100 قدم إلى 1200 بوصة.

بصرف النظر عن الأشياء المذكورة أعلاه ، إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى في الرياضيات ، فيرجى استخدام بحث Google المخصص هنا.

إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


1.9: طول القوس - الرياضيات

شروط الاستخدام جهة الاتصال: دونا روبرتس

قوس الدائرة هو & quotportion & quot لمحيط الدائرة.

طول القوس هو ببساطة طول & quotportion & quot من المحيط. يمكن اعتبار المحيط نفسه طول قوس دائرة كاملة.

إذا قمنا بحل نسبة طول القوس ، واستبدلنا & quotarc Measure & quot
بزاويتها المكافئة & quotcentral & quot ، يمكننا إنشاء الصيغة:

لاحظ أن طول القوس جزء كسري من المحيط. على سبيل المثال ، قياس القوس 60º هو سدس الدائرة (360 درجة) ، لذا فإن طول هذا القوس سيكون سدس محيط الدائرة.


في دائرة انصف القطر 8 بوصات وقوس طفيف يتم اعتراضه بزاوية مركزية مقدارها 110 درجة. أوجد طول القوس الصغير الى أقرب عدد صحيح.


كلما تقدمت في دراستك للرياضيات والزوايا ، سترى المزيد من المراجع للمصطلح & quotradians & quot بدلاً من & quotdegrees & quot. إذن ، ما هو & quot؛ & quot؛ quradian & quot؟



الذي يعطي طول القوس ، س : s = & thetar



يقابل = & quotto تكون معاكسة لـ & quot

العلاقة بين الدرجات والراديان:
في الدائرة ، قياس القوس للدائرة بأكملها هو 360º ويتم تمثيل طول قوس الدائرة بأكملها بصيغة محيط الدائرة: .

أستعاض ج في الصيغة s = & thetar عروض:
ج = & thetar 2& بيr = & thetar 2& بي = & ثيتا
قياس القوس للزاوية المركزية لدائرة بأكملها هو 360º وقياس الراديان للزاوية المركزية لدائرة بأكملها = 2& بي.
360 درجة = 2& بي (راديان)



2. حوّل 135º إلى راديان.

3. يتحول إلى درجات.

4. يتحول إلى درجات.

5. أوجد طول القوس المقابل بزاوية راديان في دائرة نصف قطرها 20 سم.

يُظهر الرسم البياني الموجود على اليمين دائرتين لهما نفس المركز (دوائر متحدة المركز). لقد ثبت بالفعل أن الدوائر متحدة المركز متشابهة في ظل تحول التمدد.

نسبة تشابه الدائرة الأصغر إلى الدائرة الأكبر هي:

طالما أن الزوايا المركزية هي نفسها ، فإن الشرائح (القطاعات) ستكون متشابهة.

نظرًا لأن الأجزاء المقابلة من الأرقام المتشابهة متناسبة ،
يمكن كتابة نسبة معادلة كـ توضح هذه النسبة أن نسبة طول القوس الذي يتم قطعه بزاوية مركزية إلى نصف قطر الدائرة ستؤدي دائمًا إلى نفس النسبة (الثابتة).

فيما يتعلق بصيغتي طول القوس اللتين تظهران في هذه الصفحة ، يُظهر كلاهما طول القوس ، س، يتم التعبير عنها كـ & قيمة اقتباسية & مثل مرات نصف القطر ، ص. يتناسب طول القوس مع نصف القطر.


طول القوس بالراديان



أمثلة وحلول ومقاطع فيديو وأوراق عمل وألعاب وأنشطة لمساعدة طلاب Algebra II على تعلم كيفية العثور على طول القوس بالراديان وكيفية استخدام صيغة طول القوس في أمثلة مختلفة.

يوضح الرسم البياني التالي صيغة إيجاد طول قوس الدائرة بمعلومية الزاوية بالتقدير الدائري.

إذا كان قياس القوس (أو الزاوية المركزية) معطى بالراديان ، فإن صيغة طول القوس للدائرة هي

أين ثيتا هو قياس القوس (أو الزاوية المركزية) بالراديان و ص هو نصف قطر الدائرة.

ورقة عمل لحساب طول القوس ومساحة القطاع (راديان).

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


الإغراءات

هناك ما لا يقل عن ثلاث إغراءات رأيتها في حياتي الخاصة والتي قد تظهر في حياتك أيضًا عند تناول مسألة العرق.

أولاً ، قد نميل إلى الغضب والقول إن هذا إما غير صحيح أو لا ينطبق علينا. إذا كان هذا أنت ، ففكر في الصلاة واطلب من الله أن يوضح لك ما إذا كان هذا صحيحًا حقًا. صلي مزمور 139: 23-24 "إختبرني يا الله واعرف قلبي! محاولة لي واعرف افكاري! وانظر ما إذا كان هناك أي طريق مؤلم في ، وقادني إلى الطريق الأبدي! " إنها صلاة مخيفة بلا شك!

ثانيًا ، قد نميل إلى الشعور بالذنب والابتعاد. ربما نشعر بالفعل أو سنشعر بالإدانة والخجل. من فضلك ، من فضلك لا تنسحب. هذا لا يعني أن يدفعك إلى الخجل. العار يؤدي الى الانسحاب والانسحاب لا يؤدي الى الوحدة والمصالحة. بدلاً من ذلك ، نحن بحاجة إلى الانخراط بشجاعة. تذكر أن نعمة الله تكفيك (كورنثوس الثانية 12: 9) ، وقد غفر لك كل خطاياك في الماضي والحاضر والمستقبل. كله!

تقدم للأمام وأنت تعلم أن الله قد غفر لنا وأننا أحرار في السقوط في السعي وراء إرادته. تقدم للأمام ودع نعمة الله ومغفرته تغطينا بينما نسعى للتوبة والمصالحة. كن متشجعًا ومطمئنًا مع العلم أن الاقتناع هو دليل على الأرجح على أن الروح القدس يعمل فيك. هذا يعني أنك ابن شرعي أو ابنة لله لأنه يؤدب من يحب (عبرانيين 12: 4-12)!

ثالثًا ، وبالمثل ، سيشعر البعض منا بالذنب وبسبب هذا ، اتخذوا إجراءات إيجابية للحظات لتتلاشى مرة أخرى إلى منطقة الراحة الأصلية. قد يكون هذا من أصعب الآلام والإحباطات لأشقائنا وأخواتنا من الأقليات. اعلم أن هذا سيكون صعبًا. سوف يساء فهمنا وفي نفس الوقت سنحتاج إلى التصحيح والتوبيخ. سيؤذي ذلك أحيانًا ، لكنه سيؤدي إلى المجد لله وتقديس المتورطين إذا واصلنا السعي إلى الوحدة بشغف وبصدق. اطلب مساعدة الله للمثابرة وتشغيل السباق مثل الماراثون بدلاً من العدو السريع.


الترقية: HDMI 2.1 مع eARC

وصل الإصدار التالي من HDMI ARC بالفعل في عام 2018 عندما بدأ HDMI 2.1 في الوصول إلى أجهزة التلفزيون. يتمتع اتصال HDMI 2.1 بالكثير من الفوائد ، مثل عرض النطاق الترددي العالي للحصول على دقة أعلى ومعدلات إطارات ، بالإضافة إلى ميزات جديدة رائعة مثل أوضاع اللعب التلقائية.

لكن HDMI 2.1 تقدم أيضًا إصدارًا جديدًا ومحسّنًا من ARC ، يسمى Enhanced Audio Return Channel أو eARC. أكبر تحسين تقدمه eARC هو دعم إشارة الصوت كاملة الدقة ، مما يعني أنها ستدعم Dolby Atmos وتنسيقات الصوت الأخرى غير المضغوطة.

لا تستخدم جميع أجهزة التلفزيون حاليًا HDMI 2.1 لجميع منافذ HDMI ، ولكن هناك عددًا كبيرًا يقدم دعمًا جزئيًا 2.1 لميزات معينة ، مع كون eARC هو الأكثر انتشارًا. ستجد eARC على طرز من LG و Samsung و Sony و TCL و Vizio و Hisense & ndash وإلى حد كبير كل طراز في قائمتنا لأفضل أجهزة التلفزيون التي قمنا بمراجعتها.

على عكس HDMI ARC الأصلي ، الذي يعمل مع جميع كبلات HDMI ، يتطلب eARC كبلات جديدة تلبي المواصفات 2.1. لكن لا تقلق إذا لم تكن مستعدًا للترقية حتى الآن & ndash ، لا تزال الكابلات ومكبرات الصوت الحالية المجهزة بـ ARC مدعومة من قبل الاتصال المحدث.


تُرجع Div حاصل القسمة والباقي من (hi، lo) مقسومًا على y: quo = (hi، lo) / y، rem = (hi، lo)٪ y مع بتات المقسوم & # 39 النصف العلوي في المعلمة hi والنصف السفلي في الصغرى المعلمة. ذعر Div لـ y == 0 (القسمة على صفر) أو y & lt = hi (تجاوز حاصل القسمة).

تُرجع Div32 حاصل القسمة والباقي من (hi، lo) مقسومًا على y: quo = (hi، lo) / y، rem = (hi، lo)٪ y مع بتات المقسوم & # 39 النصف العلوي في المعلمة hi والنصف السفلي في الصغرى المعلمة. ذعر Div32 لـ y == 0 (القسمة على صفر) أو y & lt = hi (تجاوز حاصل القسمة).


شكوى DMCA

إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف إلى Varsity Tutor.

قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

يُرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب أن تفكر أولاً في الاتصال بمحامٍ.

الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

يجب عليك تضمين ما يلي:

توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة وموقع المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

تشارلز كوهن فارسيتي توتورز ذ م م
101 طريق هانلي ، جناح 300
سانت لويس ، مو 63105


سجادة سيربينسكي

خذ مربعًا بمساحة 1. قسمه إلى 9 مربعات متساوية الحجم. قم بإزالة الوسط.

ما هي مساحة الشكل الآن؟

خذ المربعات الثمانية المتبقية. قسّم كل واحد إلى 9 مربعات متساوية. قم بإزالة الوسط من كل مجموعة من 9.

ما هي مساحة الشكل الآن؟

خذ المربعات المتبقية. (كم هناك؟) قسّم كل واحد إلى 9 مربعات متساوية. قم بإزالة الوسط من كل مجموعة من 9.


شاهد الفيديو: طول قوس ومعادلة منحنى دالة بند 3-6 - المحاضرة الثانية (شهر نوفمبر 2021).