مقالات

3.3: قاعدة المنتج - الرياضيات


ضع في اعتبارك ناتج وظيفتين بسيطتين ، على سبيل المثال (f (x) = (x ^ 2 + 1) (x ^ 3-3x) ). التخمين الواضح لمشتق (f ) هو ناتج مشتقات الدوال المكونة: ((2x) (3x ^ 2-3) = 6x ^ 3-6x ).

هل هذا صحيح؟ يمكننا التحقق بسهولة من خلال إعادة كتابة (f ) وإجراء العملية الحسابية بطريقة معروفة بأنها تعمل. أولاً ، (f (x) = x ^ 5-3x ^ 3 + x ^ 3-3x = x ^ 5-2x ^ 3-3x ) ، ثم (f '(x) = 5x ^ 4-6x ^ 2-3 ). ولا حتى قريبة! ما الخطأ الذي حدث؟ حسنًا ، لا شيء حقًا ، باستثناء أن التخمين كان خاطئًا.

لذا فإن مشتق (f (x) g (x) ) ليس بهذه البساطة (f '(x) g' (x) ). بالتأكيد هناك بعض القواعد لمثل هذا الموقف؟ يوجد ، ومن المفيد "اكتشافه" بمحاولة القيام بالحسابات العامة حتى بدون معرفة الإجابة مسبقًا.

[ eqalign {{d over dx} (& f (x) g (x)) = lim _ { Delta x to0} {f (x + Delta x) g (x + Delta x) - f (x ) g (x) over Delta x} cr & = lim _ { Delta x to0} {f (x + Delta x) g (x + Delta x) -f (x + Delta x) g (x) + f (x + Delta x) g (x) - f (x) g (x) over Delta x} cr & = lim _ { Delta x to0} {f (x + Delta x) g ( x + Delta x) -f (x + Delta x) g (x) over Delta x} + lim _ { Delta x to0} {f (x + Delta x) g (x) - f (x) g (x) over Delta x} cr & = lim _ { Delta x to0} f (x + Delta x) {g (x + Delta x) -g (x) over Delta x} + lim _ { Delta x to0} {f (x + Delta x) - f (x) over Delta x} g (x) cr & = f (x) g '(x) + f' (x ) ز (س) كر} ]

زوجان من العناصر هنا تحتاج إلى مناقشة. أولاً ، استخدمنا خدعة قياسية ، وهي "إضافة الشيء نفسه وطرحه" ، لتحويل ما كان لدينا إلى شكل أكثر فائدة. بعد بعض إعادة الكتابة ، ندرك أن لدينا حدين ينتجان (f '(x) ) و (g '(x) ). بالطبع ، يجب أن يكون (f' (x) ) و (g '(x) ) موجودًا بالفعل حتى يكون هذا منطقيًا. لقد استبدلنا أيضًا ( lim_ { Delta x to0} f (x + Delta x) ) مع (f (x) ) --- لماذا هذا مبرر؟

ما نحتاج إلى معرفته هنا حقًا هو ( lim _ { Delta x to 0} f (x + Delta x) = f (x) ) ، أو بلغة القسم 2.5، هذا (f ) مستمر عند (x ). نحن نعلم بالفعل أن (f '(x) ) موجود (أو الطريقة الكاملة ، كتابة مشتق (fg ) بدلالة (f' ) و (g ') ، لا يصنع اشارة). اتضح أن هذا يعني أن (f ) مستمر أيضًا. إليكم السبب:

[ eqalign { lim _ { Delta x to 0} f (x + Delta x) & = lim _ { Delta x to 0} (f (x + Delta x) -f (x) + f ( x)) cr & = lim _ { Delta x to 0} {f (x + Delta x) -f (x) over Delta x} Delta x + lim _ { Delta x to 0} f (x) cr & = f '(x) cdot 0 + f (x) = f (x) cr} ]

للتلخيص: قاعدة المنتج تقول ذلك

[{d over dx} (f (x) g (x)) = f (x) g '(x) + f' (x) g (x). ]

بالعودة إلى المثال الذي بدأنا به ، دعونا

[f (x) = (x ^ 2 + 1) (x ^ 3-3x). ]

ثم

[f '(x) = (x ^ 2 + 1) (3x ^ 2-3) + (2x) (x ^ 3-3x) = 3x ^ 4-3x ^ 2 + 3x ^ 2-3 + 2x ^ 4-6x ^ 2 = 5x ^ 4-6x ^ 2-3، ]

كما كان من قبل. في هذه الحالة ، من الأسهل ضرب (f (x) ) أولاً ، ثم حساب المشتق ؛ هذا مثال نحتاج إليه حقًا في قاعدة الضرب.

مثال ( PageIndex {1} )

احسب مشتق (f (x) = x ^ 2 sqrt {625-x ^ 2} ).

حل

لقد حسبنا بالفعل

[{d over dx} sqrt {625-x ^ 2} = {- x over sqrt {625-x ^ 2}}. nonumber ]

الآن

[ begin {align *} f '(x) & = x ^ 2 {-x over sqrt {625-x ^ 2}} + 2x sqrt {625-x ^ 2} [4pt] & = {-x ^ 3 + 2x (625-x ^ 2) over sqrt {625-x ^ 2}} [4pt] & = {-3x ^ 3 + 1250x over sqrt {625-x ^ 2}}. النهاية {محاذاة *} ]


حساب التفاضل - قاعدة حاصل الضرب

ال سيادة المنتج يعطينا مشتق منتج من وظيفتين (أو أكثر). نعلم أنه يمكننا إيجاد تفاضل دالة كثيرة الحدود من خلال جمع تفاضلات المصطلحات الفردية لكثير الحدود معًا ، ويمكن اعتبار كل منها دالة بحد ذاتها. لذلك قد تميل إلى افتراض ذلك ، بالنسبة للدالة التي هي منتج من وظيفتين (أي دالتين مضروبتين معًا) ، يمكننا ببساطة ضرب مشتقات كل دالة معًا. لسوء الحظ ، الأمر ليس بهذه البساطة. مثال يجب أن يخدم لتوضيح هذه النقطة. لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد مشتق الدالة ƒ (x) = x(x 2 + 1). هذه الوظيفة هي نتاج وظيفتين ، ƒ (x) = x و ƒ (x) = x 2 + 1. سنبدأ بإيجاد مشتقة كل دالة على حدة:

من الواضح أنه إذا ضربنا هاتين المشتقتين معًا ، فستكون النتيجة x . بضرب الأقواس في وظيفتنا الأصلية ، نحصل على:

أخذ مشتق x 3 + x ، نحن نحصل:

من الواضح أن هذا مختلف تمامًا عن النتيجة التي حصلنا عليها بضرب مشتقات الدوال معًا ƒ (x) = x و ƒ (x) = x 2 + 1. في هذه الحالة ، كان ضرب الدالتين تمرينًا تافهًا نسبيًا ، وتمكنا من إيجاد مشتق الوظيفة ƒ (x) = x(x 2 + 1) بدون صعوبة. ومع ذلك ، ستكون هناك مناسبات يكون فيها ذلك أكثر صعوبة أو استحالة. لحسن الحظ ، هناك معادلة بسيطة (قاعدة حاصل الضرب) يمكننا استخدامها لإيجاد مشتق حاصل ضرب دالتين.

بشكل أساسي ، تنص القاعدة على أنه لإيجاد مشتقة حاصل ضرب دالتين ، نأخذ الدالة الأولى مضروبة في مشتق الدالة الثانية ، ونضيفها إلى الدالة الثانية مضروبة في مشتق الدالة الأولى. دعونا نذكر هذا بشكل أكثر رسمية. افترض أن لدينا وظيفتين ش و الخامس . مشتق حاصل ضرب هاتين الوظيفتين الأشعة فوق البنفسجية اعطي من قبل:

دعنا نختبر الصيغة بتطبيقها على الوظيفة ƒ (x) = x(x 2 + 1) ، والتي حصلنا عليها بالفعل من مشتقات الوظائف الفردية ومنتجاتها:

د(x(x 2 + 1)) = (x)(x) + (x 2 + 1)(1) = 2x 2 + 1
دx

هذه هي النتيجة التي حصلنا عليها سابقاً كما كنا نتوقع. لنجرب مثالًا آخر. لنفترض أننا نريد إيجاد مشتق ذ = (x 2 - 4x)(3 - 2x 3). سنقوم بتعيين هذه الوظائف على النحو التالي:

الآن نجد الفرق لكل من هذه الوظائف:

دش = 2x - 4
دx
دالخامس = -6x 2
دx

د(الأشعة فوق البنفسجية) = شدالخامس + الخامسدش = (x 2 - 4x)(-6x 2 ) + (3 - 2x 3 )(2x - 4)
دxدxدx

بضرب الأقواس نحصل على:

د(الأشعة فوق البنفسجية) = (-6x 4 + 24x 3 ) + (6x - 12 - 4x 4 + 8x 3 )
دx
د(الأشعة فوق البنفسجية) = -10x 4 + 32x 3 + 6x - 12
دx

د(الأشعة فوق البنفسجية) = 2(-5x 4 + 16x 3 + 3x - 6)
دx

يمكننا استخدام صيغة عامة لقاعدة حاصل الضرب لإيجاد مشتق حاصل ضرب أكثر من دالتين. على سبيل المثال ، حاصل ضرب الوظائف الثلاث ش , الخامس و ث يمكن العثور عليها باستخدام الصيغة التالية:

د(الأشعة فوق البنفسجية) = دشفولكس فاجن + دالخامسuw + دثالأشعة فوق البنفسجية
دxدxدxدx

لمنتج ن وظائف ƒ1 و. . . ƒن يمكننا استخدام التعميم التالي:

لا تقلق إذا كان هذا يبدو مخيفًا بعض الشيء. إنها مجرد طريقة رسمية لقول كيف ، لمجموعة من ن يمكننا إيجاد مشتق من منتج من تلك الوظائف. يبدأ الجزء الأول من الصيغة بإخبارنا أننا ننظر إلى المشتق لشيء ما ، باستخدام الترميز المألوف لدينا. ثم يتم استخدام الحرف اليوناني الكبير Pi (& Pi) للإشارة إلى أنه مشتق من a منتج - في هذه الحالة ، ناتج الوظائف ƒ1 (x) من خلال ƒن(x). في الجزء الثاني من الصيغة ، يتم استخدام الحرف اليوناني الكبير Sigma (& Sigma) للإشارة إلى أن مشتق منتج هذه الوظائف يساوي مجموع من شيء ما. يجب أن نأخذ المشتق من كل دالة على التوالي ، واضربها في منتج من جميع الوظائف الأخرى. بعدها نحن مجموع (اجمعوا) النتائج.

ما عليك سوى القلق حقًا بشأن تذكر هذه الصيغة إذا كنت تدرس الرياضيات على مستوى متقدم إلى حد ما. كل ما تحتاج إلى معرفته هنا هو أنه لإيجاد مشتق حاصل ضرب دالتين أو أكثر ، علينا أن نأخذ مشتقة كل دالة على حدة ونضربها في حاصل ضرب جميع الدوال الأخرى. ثم نجمع النتائج معًا. في بعض الحالات ، قد يكون من الأسهل فقط مضاعفة الوظائف وتمييز النتيجة بالطريقة المعتادة. في حالات أخرى ، لا يعد هذا خيارًا ، وسنحتاج إلى استخدام قاعدة المنتج. سيتعين عليك الحكم على كل قضية بناءً على مزاياها.


3.3: قاعدة المنتج - الرياضيات

لاحظنا في القسم السابق أنه كان علينا توخي الحذر عند التفريق بين المنتجات أو حاصل القسمة. حان الوقت الآن لإلقاء نظرة على المنتجات والقسمة ومعرفة السبب.

أولاً ، دعنا نلقي نظرة على سبب وجوب توخي الحذر مع المنتجات والقسمة. افترض أن لدينا الوظيفتين (f left (x right) = ) و (ز يسار (س يمين) = ). لنبدأ بحساب مشتق منتج هاتين الوظيفتين. هذا سهل بما يكفي للقيام به مباشرة.

تذكر أنه في بعض الأحيان سنقوم بإسقاط الجزء ( left (x right) ) من الوظائف لتبسيط التدوين إلى حد ما. لقد فعلنا ذلك في العمل أعلاه.

الآن ، دعونا نجرب ما يلي.

[f ' left (x right) g' left (x right) = left (<3> يمين) يسار (<6> حق) = 18]

لذلك ، يمكننا أن نرى ذلك بسرعة كبيرة.

بمعنى آخر ، مشتق المنتج ليس ناتجًا عن المشتقات.

باستخدام نفس الدوال ، يمكننا فعل الشيء نفسه لخواص القسمة.

للتمييز بين المنتجات والحواجز لدينا سيادة المنتج و ال قاعدة الحاصل.

سيادة المنتج

إذا كانت الوظيفتان (f left (x right) ) و (g left (x right) ) قابلة للتفاضل (بمعنى آخر. المشتق موجود) فإن المنتج قابل للتفاضل و ،

يتم عرض إثبات قاعدة المنتج في قسم إثبات الصيغ المشتقة المختلفة في فصل الإضافات.

قاعدة الحاصل

إذا كانت الوظيفتان (f left (x right) ) و (g left (x right) ) قابلة للتفاضل (بمعنى آخر. المشتق موجود) ثم حاصل القسمة قابل للتفاضل و ،

لاحظ أن بسط قاعدة خارج القسمة مشابه جدًا لقاعدة حاصل الضرب ، لذا احرص على عدم الخلط بين الاثنين!

يتم عرض إثبات قاعدة الحاصل في قسم إثبات الصيغ المشتقة المختلفة في فصل الإضافات.

لنفعل بعض الأمثلة على قاعدة المنتج.

في هذه المرحلة ، لا توجد أسباب كثيرة لاستخدام قاعدة المنتج. كما أشرنا في القسم السابق ، كل ما يتعين علينا القيام به لأي من هذين هو ضرب حاصل الضرب ثم اشتقاقه.

مع ذلك ، سنستخدم قاعدة المنتج في هذه حتى نتمكن من رؤية مثال أو مثالين. نظرًا لأننا نضيف المزيد من الوظائف إلى مخزوننا ، ومع ازدياد تعقيد الوظائف ، ستصبح قاعدة المنتج أكثر فائدة وفي كثير من الحالات مطلوبة.

أ (y = sqrt [3] <<>> يسار (<2x - > right) ) إظهار الحل

لاحظ أننا أخذنا مشتق هذه الوظيفة في القسم السابق ولم نستخدم قاعدة المنتج في تلك المرحلة. ومع ذلك ، يجب أن نحصل على نفس النتيجة هنا كما حصلنا عليها في ذلك الوقت.

الآن دعونا نحل المشكلة هنا. لا يوجد الكثير لتفعله هنا بخلاف استخدام قاعدة المنتج. ومع ذلك ، قبل القيام بذلك ، يجب أن نحول الجذر إلى أس كسري كما هو الحال دائمًا.

الآن دعونا نأخذ المشتق. إذن ، نأخذ مشتقة الدالة الأولى في الثانية ، ثم نضيف إليها الدالة الأولى مضروبًا في مشتقة الدالة الثانية.

هذا ليس ما حصلنا عليه في القسم السابق لهذا المشتق. ومع ذلك ، ببعض التبسيط يمكننا الوصول إلى نفس الإجابة.

هذا ما حصلنا عليه للإجابة في القسم السابق بحيث يكون هذا فحصًا جيدًا لقاعدة المنتج.

هذا في الواقع أسهل من السابق. دعنا ننفذها فقط من خلال قاعدة المنتج.

نظرًا لأنه كان من السهل القيام بذلك ، فقد تقدمنا ​​وقمنا بتبسيط النتائج قليلاً.

فلنعمل الآن على مثال أو اثنين مع قاعدة خارج القسمة. في هذه الحالة ، على عكس أمثلة قاعدة المنتج ، سيتطلب زوج من هذه الدالات قاعدة خارج القسمة للحصول على المشتق. ومع ذلك ، يمكننا تجنب قاعدة خارج القسمة في الأخيرين إذا أردنا ذلك كما سنرى.

  1. (displaystyle W left (z right) = frac << 3z + 9 >> << 2 - z >>)
  2. (displaystyle h left (x right) = frac << 4 sqrt x >> <<- 2>>)
  3. (displaystyle f left (x right) = frac <4> <<>>)
  4. (displaystyle y = frac <<>><5>)

لا يوجد الكثير لتفعله هنا سوى استخدام قاعدة خارج القسمة. هنا العمل لهذه الوظيفة.

مرة أخرى ، ليس هناك الكثير للقيام به هنا بخلاف استخدام قاعدة خارج القسمة. لا تنس تحويل الجذر التربيعي إلى أس كسري.

يبدو من الغريب أن يكون لديك هذا هنا بدلاً من أن يكون الجزء الأول من هذا المثال نظرًا لأنه يبدو بالتأكيد أسهل من أي من المثالين السابقين. في الواقع ، إنه أسهل. هناك فائدة من القيام بذلك هنا وليس أولاً. في هذه الحالة ، هناك طريقتان لحساب هذا المشتق. هناك طريق سهل وطريق صعب وفي هذه الحالة يكون الطريق الصعب هو قاعدة خارج القسمة. هذا هو الهدف من هذا المثال.

لنفعل قاعدة خارج القسمة ونرى ما نحصل عليه.

الآن ، كان هذا هو الطريق "الصعب". لذا ، ما هو الصعوبة في ذلك؟ حسنًا ، في الواقع لم يكن الأمر بهذه الصعوبة ، هناك طريقة أسهل للقيام بذلك كل شيء. ومع ذلك ، بعد قولي هذا ، فإن الخطأ الشائع هنا هو القيام بمشتق البسط (ثابت) بشكل غير صحيح. لسبب ما ، سيعطي الكثير من الناس مشتق البسط في هذه الأنواع من المسائل كـ 1 بدلاً من 0! أيضًا ، هناك بعض التبسيط الذي يجب القيام به في هذه الأنواع من المشاكل إذا قمت بتطبيق قاعدة خارج القسمة.

الطريقة السهلة هي أن تفعل ما فعلناه في القسم السابق.

ستنجح كلتا الحالتين ، لكنني أفضل أن أسلك الطريق الأسهل إذا كان لدي الخيار.

تبدو هذه المشكلة أيضًا في غير محله قليلاً. ومع ذلك ، هنا مرة أخرى لإثبات نقطة. لا تخلط بين هذا وبين مشكلة قاعدة خارج القسمة. بينما يمكنك تنفيذ قاعدة خارج القسمة على هذه الوظيفة ، فلا يوجد سبب لاستخدام قاعدة خارج القسمة في هذا الشأن. ببساطة أعد كتابة الوظيفة كـ

والتمييز كالعادة.

أخيرًا ، دعونا لا ننسى تطبيقاتنا للمشتقات.

حدد ما إذا كان البالون ممتلئًا بالهواء أو يتم تصريفه من الهواء عند (t = 8 ).

إذا كان البالون ممتلئًا بالهواء ، فإن الحجم يتزايد ، وإذا كان يتم تصريفه من الهواء ، فسيقل الحجم. بمعنى آخر ، نحتاج إلى الحصول على المشتق حتى نتمكن من تحديد معدل تغير الحجم عند (t = 8 ).

سيتطلب هذا قاعدة خارج القسمة.

لاحظ أننا قمنا هنا بتبسيط البسط أكثر من المعتاد. تم عمل ذلك فقط لتسهيل تقييم المشتق.

معدل تغير الحجم عند (t = 8 ) هو إذن ،

لذا ، فإن معدل تغير الحجم عند (t = 8 ) سالب وبالتالي يجب أن يكون الحجم في تناقص. لذلك ، يتم تصريف الهواء من البالون عند (ر = 8 ).

كموضوع أخير ، دعنا نلاحظ أنه يمكن توسيع قاعدة المنتج إلى أكثر من وظيفتين ، على سبيل المثال.

إن اشتقاق هذه المنتجات لأكثر من وظيفتين هو في الواقع أمر بسيط للغاية. على سبيل المثال ، دعنا نلقي نظرة على قاعدة المنتج ذات الدوال الثلاث.

أولاً ، لا نفكر في الأمر على أنه منتج من ثلاث وظائف ولكن بدلاً من قاعدة المنتج للوظيفتين (f ، g ) و (h ) والتي يمكننا بعد ذلك استخدام قاعدة المنتج ذات الدالتين على . القيام بهذا يعطي ،

لاحظ أننا وضعنا أقواس على الجزء (f ، g ) لتوضيح أننا نفكر في هذا المصطلح كدالة واحدة. الآن كل ما علينا فعله هو استخدام قاعدة المنتج ذات الدالتين على (< left [ right] ^ prime> ) ثم قم ببعض التبسيط.

يمكن اشتقاق أي قاعدة منتج ذات وظائف أكثر بطريقة مماثلة.

باستخدام هذا القسم والقسم السابق ، يمكننا الآن التفريق بين صلاحيات (x ) بالإضافة إلى المبالغ والاختلافات والمنتجات وحاصلات هذه الأنواع من الوظائف. ومع ذلك ، هناك العديد من الوظائف الموجودة في العالم ليست في هذا الشكل. تقدم الأقسام القليلة التالية العديد من هذه الوظائف بالإضافة إلى إعطاء مشتقاتها.


مفتاح إجابة مفصل

v & # xa0 = & # xa0 x 3 - تسجيل x و v '= 3x 2 - (1 / x) & # xa0

= & # xa0 x 2 (x 2) + 2x 2-1 (x 2) - 1 (2)

أوجد قيمة & # xa0 (fg) ′ (2).

g '(x) & # xa0 = & # xa0 f (x) d (sinx) + & # xa0 sinx f '(x)

g '(x) & # xa0 = & # xa0 f (x) cosx + & # xa0 sinx f '(x)

ز '( / 4 ) & # xa0 = & # xa0 f ( / 4 ) كوس / 4 & # xa0 + & # xa0 الخطيئة / 4 & # xa0f '( / 4 )

= & # xa0 -4 (1 / √2) + (1/ √2)2

من خلال تطبيق القيم في (1) ، نحصل على

= & # xa0 x e x cosx + x e x sinx + 1 e x (sinx)

= & # xa0 e x & # xa0 (x cosx + x & # xa0 sinx + sinx)

إذا & # xa0 f (x) = (x 2 -10) (x 2 -6x + 2) & # xa0 ما قيمة f ′ (6)

f '(x) = (x 2-10) d (x 2 -6x + 2) + & # xa0 (x 2 -6x + 2) d (x 2 -10)

باستخدام قاعدة المنتج ، نحصل عليها

sin 2x (-3 sin 3x) + cos 3x (sin 2x)

sinx2x (- 3 sin 3x) + & # xa0 & # xa0 cos 3x (sin 2x)

إذن ، اشتقاق الدالة المعطاة هو & # xa0

-3 (- 3 sin 3x) + & # xa0 & # xa0 cos 3x (sin 2x)

بصرف النظر عن الأشياء المذكورة أعلاه ، إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى في الرياضيات ، فيرجى استخدام بحث Google المخصص هنا.

إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات الخاص بنا ، فيرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


3.3: قاعدة المنتج - الرياضيات

ضع في اعتبارك المنتج [اللاتكس]^ <3> cdot ^ <4> [/ لاتكس]. كلا المصطلحين لهما نفس الأساس ، x، لكنها تربى على أسس مختلفة. قم بتوسيع كل تعبير ، ثم أعد كتابة التعبير الناتج.

لاحظ أن أُس المنتج هو مجموع أسس المصطلحات. بمعنى آخر ، عند ضرب التعبيرات الأسية ذات الأساس نفسه ، نكتب النتيجة بالأساس المشترك ونضيف الأسس. هذا ال حاصل ضرب الأسس.

الآن فكر في مثال بأرقام حقيقية.

يمكننا دائمًا التحقق من صحة ذلك عن طريق تبسيط كل تعبير أسي. وجدنا أن [latex] <2> ^ <3> [/ latex] هو 8 ، و [latex] <2> ^ <4> [/ latex] هو 16 ، و [latex] <2> ^ <7> [/ لاتكس] هو 128. المنتج [لاتكس] 8 cdot 16 [/ لاتكس] يساوي 128 ، لذا فإن العلاقة صحيحة. يمكننا استخدام قاعدة حاصل الضرب للأسس لتبسيط المقادير التي تكون ناتجة عن حاصل ضرب عددين أو تعبيرين لهما نفس الأساس لكن الأسس مختلفة.

ملاحظة عامة: قاعدة المنتج للأسس

لأي رقم حقيقي [لاتكس] أ [/ لاتكس] وأعداد طبيعية [لاتكس] م [/ لاتكس] و [لاتكس] ن [/ لاتكس] ، تنص قاعدة منتج الأس على ما يلي

مثال 1: استخدام قاعدة المنتج

اكتب كلًا من المنتجات التالية بقاعدة واحدة. لا تبسط أكثر.

حل

استخدم قاعدة حاصل الضرب لتبسيط كل تعبير.

في البداية ، قد يبدو أنه لا يمكننا تبسيط حاصل ضرب ثلاثة عوامل. ومع ذلك ، باستخدام الخاصية الترابطية للضرب ، ابدأ بتبسيط الأولين.

لاحظ أننا حصلنا على نفس النتيجة بجمع الأسس الثلاثة في خطوة واحدة.

جربه 1

اكتب كلًا من المنتجات التالية بقاعدة واحدة. لا تبسط أكثر.


محتويات

يعود الفضل في اكتشاف هذه القاعدة إلى Gottfried Leibniz ، الذي أظهرها باستخدام الفوارق. [2] (ومع ذلك ، جادل جيه إم تشايلد ، مترجم أوراق ليبنيز ، [3] أن ذلك يرجع إلى إسحاق بارو.) وهنا حجة ليبنيز: ش(x) و الخامس(x) تكون وظيفتين قابلتين للتفاضل من x. ثم تفاضل الأشعة فوق البنفسجية هو

منذ المصطلح دو·دي في هو "مهمل" (مقارنة بـ دو و دي في) ، خلص ليبنيز إلى ذلك

وهذا بالفعل هو الشكل التفاضلي لقاعدة الضرب. إذا قسمنا من خلال التفاضل dx، نحصل

والتي يمكن كتابتها أيضًا في تدوين لاغرانج كـ

  • افترض أننا نريد الاشتقاق F(x) = x 2 خطيئة (x). باستخدام قاعدة الضرب ، يحصل المرء على المشتق F ' (x) = 2x الخطيئة (x) + x 2 كوس (x) (منذ مشتق x 2 هو 2x ومشتق دالة الجيب هو دالة جيب التمام).
  • إحدى الحالات الخاصة لقاعدة المنتج هي قاعدة المضاعفات الثابتة ، والتي تنص على: إذا ج هو رقم و F(x) هي دالة قابلة للتفاضل ، إذن راجع(x) قابل للتفاضل أيضًا ، ومشتقه هو (راجع) ′ (x) = ج و ′ (x). هذا يتبع من قاعدة حاصل الضرب لأن مشتق أي ثابت يساوي صفرًا. هذا ، جنبًا إلى جنب مع قاعدة المجموع للمشتقات ، يوضح أن التفاضل خطي.
  • تُشتق قاعدة التكامل حسب الأجزاء من قاعدة المنتج ، كما هي (نسخة ضعيفة من) قاعدة حاصل القسمة. (إنها نسخة "ضعيفة" من حيث أنها لا تثبت أن حاصل القسمة قابل للاشتقاق ، ولكنها تقول فقط ماهية مشتقها إذا إنه قابل للتفاضل.)

الإثبات بالعوامل (من المبادئ الأولى) تحرير

يترك ح(x) = F(x)ز(x) وافترض أن كل من f و g يمكن تمييزهما عند x. نريد إثبات أن h قابلة للاشتقاق عند x وأن مشتقها ، ح ′ (x) ، اعطي من قبل F ' (x)ز(x) + F(x)ز ′ (x). للقيام بذلك ، f (x) g (x + Δ x) - f (x) g (x + Δ x) (وهو صفر ، وبالتالي لا يغير القيمة) إلى البسط للسماح بعوملة ، ثم يتم استخدام خصائص الحدود.

h ′ (x) = lim Δ x → 0 h (x + Δ x) - h (x) Δ x = lim Δ x → 0 f (x + Δ x) g (x + Δ x) - f (x) g (x) Δ x = lim Δ x → 0 f (x + Δ x) g (x + Δ x) - f (x) g (x + Δ x) + f (x) g (x + x) - f (x) g (x) Δ x = lim Δ x → 0 [f (x + Δ x) - f (x)] ⋅ g (x + Δ x) + f (x) ⋅ [g (x + Δ x) - g (x)] x = lim Δ x → 0 f (x + Δ x) - f (x) Δ x ⋅ lim Δ x → 0 g (x + Δ x) انظر الملاحظة أدناه. + lim Δ x → 0 f (x) ⋅ lim Δ x → 0 g (x + Δ x) - g (x) Δ x = f ′ (x) g (x) + f (x) g ′ (x) . h '(x) & amp = lim _ < Delta x to 0> < frac < Delta x >> [5pt] & amp = lim _ < Delta x to 0> < frac < Delta x >> [5pt] & amp = lim _ < Delta x to 0> < frac < Delta x >> [5pt] & amp = lim _ < Delta x to 0> < frac << big [> f (x + Delta x) -f (x) < big]> cdot g (x + Delta x) + f (x) cdot < big [> g (x + Delta x) -g (x) < big] >> < Delta x >> [5pt] & amp = lim _ < Delta x to 0> < frac < Delta x >> cdot underbrace < lim _ < Delta x to 0> g (x + Delta x)> _ < text> + lim _ < Delta x to 0> f (x) cdot lim _ < Delta x to 0> < frac < Delta x >> [5pt] & amp = f '(x) g (x) + f (x) g' (x). end>>

يتم استنتاجه من نظرية تنص على أن الوظائف القابلة للتفاضل مستمرة.

موجز دليل تحرير

مثل أن lim h → 0 ψ 1 (h) h = lim h → 0 ψ 2 (h) h = 0، < displaystyle lim _(h)>> = ليم _(h)>> = 0،> مكتوب أيضًا ψ 1، ψ 2 ∼ o (h) ، psi _ <2> sim o (h)>. ثم:

fg (x + h) - fg (x) = (f (x) + f ′ (x) h + ψ 1 (h)) (g (x) + g ′ (x) h + 2 (h)) - fg (x) = f (x) g (x) + f ′ (x) g (x) h + f (x) g ′ (x) h - fg (x) + المصطلحات الأخرى = f ′ (x) g (x) h + f (x) g ′ (x) h + o (h) fg (x + h) -fg (x) & amp = (f (x) + f '(x) h + psi _ <1> (h)) (g (x) + g' (x) h + psi _ <2> (h)) - fg (x) & amp = f (x) g (x) + f '(x) g (x) h + f (x) g' (x) h-fg (x) ) + < نص> & amp = f '(x) g (x) h + f (x) g' (x) h + o (h) [12pt] end>>

مربعات الربع تحرير

يوجد دليل باستخدام الضرب الرباعي الذي يعتمد على قاعدة السلسلة وعلى خصائص دالة ربع المربع (كما هو موضح هنا ف، على سبيل المثال ، مع q (x) = x 2 4 ><4>>> ):

التفريق بين الجانبين:

تحرير قاعدة السلسلة

يمكن اعتبار قاعدة المنتج حالة خاصة لقاعدة السلسلة لعدة متغيرات.

تحليل غير قياسي تحرير

يترك ش و الخامس تكون وظائف مستمرة في x، والسماح dx, دو و دي في أن تكون متناهية الصغر في إطار التحليل غير القياسي ، وتحديداً الأرقام الحقيقية الفائقة. باستخدام st للإشارة إلى وظيفة الجزء القياسية التي تربط بعدد محدود من الصورة الفائقة الواقعية القريبة منه بشكل لا نهائي ، فهذا يعطي

كان هذا أساسًا دليل Leibniz على استغلال القانون التجاوزي للتجانس (بدلاً من الجزء القياسي أعلاه).

سلس تحليل متناهي الصغر تحرير

في سياق نهج Lawvere في اللامتناهيات في الصغر ، دعونا dx تكون متناهية الصغر بمساحة نيل مربعة. ثم دو = شdx و دي في = الخامسdx، لهذا السبب

تحرير ناتج أكثر من عاملين

يمكن تعميم قاعدة المنتج على المنتجات ذات أكثر من عاملين. على سبيل المثال ، لدينا ثلاثة عوامل

لمجموعة من الوظائف و 1 ، ... ، و ك ، dots ، f_> لدينا

يوفر المشتق اللوغاريتمي تعبيرًا أبسط للصيغة الأخيرة ، بالإضافة إلى إثبات مباشر لا يتضمن أي عودية. ال المشتق اللوغاريتمي للدالة f ، المشار إليها هنا Logder (F) ، هو مشتق لوغاريتم الوظيفة. إنه يتبع هذا

باستخدام أن لوغاريتم المنتج هو مجموع لوغاريتمات العوامل ، فإن قاعدة المجموع للمشتقات تعطي على الفور

يتم الحصول على آخر تعبير أعلاه عن مشتق المنتج بضرب كلا طرفي هذه المعادلة في حاصل ضرب f i. .>

المشتقات العليا تحرير

يمكن أيضًا تعميمها على قاعدة Leibniz العامة لـ نالمشتق الرابع لمنتج من عاملين ، عن طريق التمدد الرمزي وفقًا لنظرية ذات الحدين:

تطبق في نقطة محددة x، الصيغة أعلاه تعطي:

علاوة على ذلك ، بالنسبة لـ نالمشتق رقم تعسفي من العوامل:

المشتقات الجزئية الأعلى

حيث يعمل الفهرس S خلال 2 ن مجموعات فرعية من <1 ،. ن> و | س | هي أصل S. على سبيل المثال ، متى ن = 3 ,

تحرير مساحة Banach

افترض X, ص، و ض هي مساحات Banach (والتي تتضمن مساحة إقليدية) و ب : X × صض هو عامل تشغيل خطي مستمر. ثم ب قابل للتفاضل ، ومشتقاته عند النقطة (x,ذ) في X × ص هي الخريطة الخطية د(x,ذ)ب : X × صض معطى بواسطة

الاشتقاقات في الجبر المجرد Edit

في الجبر المجرد ، يتم استخدام قاعدة الضرب في حدد ما يسمى بالاشتقاق وليس العكس.

في ناقل التفاضل والتكامل تحرير

تمتد قاعدة حاصل الضرب إلى الضرب القياسي ، والنواتج النقطية ، والنواتج العرضية لوظائف المتجهات ، على النحو التالي. [5]

هناك أيضًا نظائرها لنظائر أخرى للمشتق: if F و ز هي حقول عددية ، فهناك قاعدة منتج مع التدرج:

من بين تطبيقات قاعدة المنتج إثبات ذلك

متي ن هو عدد صحيح موجب (هذه القاعدة صحيحة حتى لو ن ليس موجبًا أو ليس عددًا صحيحًا ، لكن إثبات ذلك يجب أن يعتمد على طرق أخرى). والدليل هو الاستقراء الرياضي على الأس ن. إذا ن = 0 إذن x ن ثابت و nx ن - 1 = 0. القاعدة ثابتة في هذه الحالة لأن مشتق دالة ثابتة هي 0. إذا كانت القاعدة تنطبق على أي أس معين ن، ثم للقيمة التالية ، ن + 1 ، لدينا

لذلك ، إذا كان الاقتراح صحيحًا ل ن، هذا صحيح أيضًا بالنسبة لـ ن + 1 ، وبالتالي لكل شيء طبيعي ن.


سيادة المنتج

ال سيادة المنتج يصبح الأمر أكثر تعقيدًا بعض الشيء ، ولكن بعد فترة ، ستفعل ذلك أثناء نومك. اجعلها أغنية صغيرة ، وتصبح أسهل بكثير. ولاحظ أنه عادةً ما يتعين عليك استخدام قواعد القوة والثابت للتعبيرات الفردية عند استخدام قاعدة الضرب.

استخدم قاعدة المنتج فقط إذا كان هناك نوع من المتغير في كلا التعبيرين اللذين تقوم بضربهما. على سبيل المثال ، استخدمه عندما يكون لديك شيء مثل (<^ <2>> يسار ( right) ) ، لكن ليس شيئًا مثل ( left (<5 <^ <2> >> right) left (2 right) ) حول هذا إلى (10 ​​<^<2>>).

أيضًا ، إذا استطعت ، يمكنك تحويل الأس في الأسفل إلى الأسس السالبة على سبيل المثال ، ( displaystyle frac <5> <<<^<2>>>>=5<^<<-2>>>) .

حاول تبسيط وظيفتك أولاً.

ولاحظ أنه عندما يكون لديك حاصل ضرب مقدارين بهما متغيرات ، فإن المشتقة ليست فقط حاصل ضرب مشتقاتهما.

وإليك كيف أحب أن أتذكره: أول مرة في مشتق ثاني زائد ثانيًا ضرب مشتق الأول. (نعم ، هذا هو علامة الجمع في المنتصف).

إليك ما تبدو عليه في صيغة Theorem:

يكون ناتج وظيفتين قابلتين للتفاضل وهو:

لاحظ أن هناك طرقًا أخرى لكتابة هذا مثل:

لاحظ أنه إذا كان لديك ملف معامل في الرياضيات او درجة أمام عاملين ، يمكنك إما جمع المعامل بأحد العوامل (مثل العامل الأول) ، أو أخرجه وضرب المشتق بأكمله لاحقًا. على سبيل المثال ، لـ (y = 5x << left ( right)> ^ <3>> ) ، يمكن الحصول على المشتق بهذه الطريقة:

لاحظ كيف استخرجنا العامل المشترك الأكبر (GCF) بعد أخذ المشتق لتبسيط التعبير.


كيف تفرق بين #f (x) = (3x + 1) ^ 4 (2x-3) ^ 3 # باستخدام قاعدة حاصل الضرب؟

تتضمن هذه المشكلة في الواقع قاعدتين: قاعدة المنتج وقاعدة السلسلة. لكن أولاً ، دعنا نركز فقط على قاعدة حاصل الضرب. المعادلة العامة لهذا هي:

الآن ، نقوم فقط بتوصيل كل شيء:

تبرز المشكلة في حقيقة أن الوظيفتين الخاصتين بك هما في الواقع تركيبات من الوظائف. على سبيل المثال ، # (3x + 1) ^ 4 # هو بالفعل تكوين الوظيفتين # x ^ 4 # و # 3x + 1 #. ومن ثم ، سنحتاج إلى استخدام قاعدة السلسلة لإيجاد قيمة هذه المشتقات. لنأخذ كل واحد على حدة:

لذلك أولاً ، نقوم بعمل الدالة الخارجية (في هذه الحالة # x ^ 4 #) مشتق ، ثم نضرب في مشتق الدالة الداخلية (# 3x + 1 #). إذن ، هذا يعطينا:

مرة أخرى ، نفس العملية. مشتق من الخارج ، ثم اضرب بمشتق الداخل:

لقد انتهينا! الآن ، ما عليك سوى المضي قدمًا والتعويض بهذه المعادلة في معادلة قاعدة الضرب التي حصلنا عليها لإجابتنا النهائية:

يمكنك إحباط بعض الأشياء هنا ، لكن في رأيي ، إنه حقًا المزيد من العمل. من الأسهل تركها كما هي.


3.3: قاعدة المنتج - الرياضيات

المشتق هو معدل تغير دالة فيما يتعلق بمتغير. تحتوي المشتقات على العديد من القواعد ، مثل قاعدة القوة وقاعدة حاصل القسمة وقاعدة المنتج والمزيد. إنها مفيدة في حل المشكلات المعقدة أيضًا. تأتي المشتقات والتمايز في الدراسات العليا وكذلك مع المفاهيم المتقدمة.

سننظر هنا في ماهية قاعدة المنتج وكيف يتم استخدامها مع مساعدة الصيغة & # 8217s.

ما هي قاعدة المنتج؟

عندما يتم أخذ مشتق من وظيفتين أو أكثر ، يتم تطبيق قاعدة المنتج. يساعد في التمييز بين وظيفتين أو أكثر في وظيفة محددة.

تدوين مشتق من Leibniz

يُشار إلى المشتق f كـ d / dx * f (x). لذلك عندما تكون المعادلة y = f (x) ، يُطلق على المشتق dy / dx. هنا يعبر d / dx عن الاشتقاق بالنسبة إلى x. كما يشير أيضًا إلى مشتق أي دالة معينة دون استخدام متغير تابع مثل y² يمكن الإشارة إليه على أنه d / dx * y². هذا هو أكثر تدوين المشتق استخدامًا بالمقارنة مع تدوين نيوتن ولاجرانج & # 8217s.

اشتقاق الصيغة

لنأخذ وظيفتين a (x) و b (x). إذن ، تصل قاعدة المنتج عندما تضرب الدالة الأولى a (x) بمشتق الدالة الثانية b (x) بالإضافة إلى مشتق الدالة الأولى a (x) مضروبًا في الدالة الثانية b (x). وبالتالي،

يمكننا إثبات قاعدة حاصل الضرب المشتق باستخدام التعريف الأساسي للمشتق. يمكننا إيجاد الزيادة في الدالة ab مع الأخذ بهذا التغيير في السعة هو Δx:

Δ (أب) = أ (س + Δx) ب (س + Δx) & # 8211 أ (س) ب (س)

اخذه بعين الاعتبار

أ (س + Δx) = أ (س) + أ ، ب (س + Δx) = ب (س) + ب ،

Δa و b هما الزيادات في الدالة a و b. بإهمال اختصار سعة x للدالة b و a ، يمكننا كتابة الزيادة Δ (ab) بالصيغة:

Δ (أب) = (أ + أ) (ب + ب) - أب = أب + aΔb + bΔa + aΔb - أب

= aΔb + bΔa + aΔb.



باستخدام خصائص النهاية ، يمكننا إيجاد مشتق المنتج

(أب) `= limΔx → 0 Δ (ab) / Δx

= limΔx → 0 (aΔb + bΔa + bΔa) / Δx

= limΔx → 0 aΔb / Δx + limΔx → 0 bΔa / Δx + limΔx → 0⁡ Δa / Δx. limΔx → 0⁡ Δb.

لا تعتمد الدالة a على زيادة Δx. وبالتالي ، يتم إخراجها خارج علامة الحد. الأمر نفسه ينطبق على ب. يمكننا حساب الحد limΔx → 0 Δb بشكل منفصل

لذلك ، يتم إعطاء مشتق المنتج من خلال:

(أب) ′ = limΔx → 0 aΔb / Δx + limΔx → 0 (bΔa) / Δx + limΔx → 0 Δa / Δx ⋅ limΔx → 0⁡ Δb



= a limΔx → 0 Δb / Δx + b limΔx → 0⁡ Δa / Δx + limΔx → 0 Δa / Δx⋅ limΔx → 0 Δb

= أب ′ + با ′ + أ′⋅0 = أ′ب + أب ′.

من الصيغة أعلاه ، يمكن الاستنتاج بسهولة أن اشتقاق z f (x) ، حيث z هو ثابت:

اشتقاق منتجات ذات وظيفتين

هنا سوف نأخذ مثالاً لفهم كيفية تطبيق قاعدة المنتج لاشتقاق حاصل ضرب وظيفتين.

مشتق (x 2 + x) (3x + 5) =؟

الآن باستخدام صيغة قاعدة المنتج ، f ′ (x) = X (x) * Y ′ (x) + Y (x) * X ′ (x) ، سنضع القيم المطلوبة.

إذن هنا ، ستكون أول دالة X لدينا (x 2 + x) بينما ستكون الوظيفة الثانية Y (3x + 5)

إذن ، اضرب مشتق الدالة الأولى في المشتق الثاني وأضفه إلى مشتق القسم الأول & # 8217s مضروبًا في الدالة الثانية.

(س 2 + س) '(3 س + 5) + (س 2 + س) (3 س + 5) & # 8217 ،

= (2 س + 1) (3 س + 5) + (س 2 + س) (3) ،

الآن اضرب كل شيء

= 6 س 2 + 10 س + 3 س + 5 + 3 س 2 + 3 س

لذا ، الآن النتيجة النهائية

= 9 س 2 + 16 س + 5

في بعض الأحيان يتم الخلط بين الطلاب في حساب قاعدة المنتج. إنهم يسيئون فهمها بحساب ناتج المشتقات. لكن بهذه الطريقة لن تكون الإجابة صحيحة. دعونا نجعلك تفهم بنفس المثال.

لنفترض أنك قمت بحساب حاصل ضرب مشتقات دالة معينة


= d / dx (x 2 + x) d / dx (3x + 5)

= (2x + 1) * (3)

= 6 س + 3

إذن الإجابة هنا هي 6x + 3 وهي ليست مثل 9x 2 + 16x + 5

مشاكل العينة في قاعدة المنتج

المشكلة 1: دع y = cos 2 x. اشتق هذه الدالة باستخدام سيادة المنتج.

يمكننا تمثيل الوظيفة كـ

y (x) = cosxcosx.

باستخدام قاعدة المنتج ،

y ′ (x) = (cosx cosx) ′ = (cosx) ′ cosx + cosx (cosx) ′.

بما أن (cosx) ′ = -sinx ، نحصل عليها

y ′ (x) = -sinxcosx + cosx (-sinx) = -2sinxcosx = -sin2x

Problem 2: Find the derivative of the function y = e x sinx

By applying product rule

y′(x) = (e x sinx)′ = (e x )′sinx + e x (sinx)′

= e x sinx + e x (cosx)

= e x (sinx + cosx).

Problem 3: Find the derivative of the function y = xsinx.

By the product rule we obtain:

y′(x) = (x sinx)′ = (x)′sinx + x (sinx)′

= sinx + x cosx

Problem 4: Find the derivative of the function y = x(1 + x).

By applying product rule:

y'(x) = ’ = x'(1 + x) + x(1 + x)’

= (1 + x) + x(0 + 1)

= 1 + 2x

Applications in Real World

Derivatives and differentiation do help in solving many real-life problems providing easy solutions. To reach maximum and minimum values of profit, loss, population, cost of material, etc. can be determined with the product rule formula.


Permutations

أ التقليب of a set (S) is a sequence that contains every element of (S) exactly once. For example, here are all the permutations of the set ():

[egin (a, b, c) quad (a, c, b) quad (b, a, c) (b, c, a) quad (c, a, b) quad (c, b, a) end]

How many permutations of an (n)-element set are there? Well, there are (n) choices for the first element. For each of these, there are (n - 1) remaining choices for the second element. For every combination of the first two elements, there are (n - 2) ways to choose the third element, and so forth. Thus, there are a total of

[ onumber n cdot (n-1) cdot (n-2) cdots 3 cdot 2 cdot 1 = n!]

permutations of an (n)-element set. In particular, this formula says that there are (3! = 6) permutations of the 3-element set (), which is the number we found above.

Permutations will come up again in this course approximately 1.6 bazillion times. In fact, permutations are the reason why factorial comes up so often and why we taught you Stirling&rsquos approximation:


شاهد الفيديو: Reële getallen - Getalverzamelingen (ديسمبر 2021).