مقالات

6.3: طريقة نيوتن


لنفترض أن لديك دالة (f (x) ) ، وتريد أن تجدها بأكبر قدر ممكن من الدقة حيث تتقاطع مع (x ) - المحور ؛ بمعنى آخر ، أنت تريد حل (f (x) = 0 ). لنفترض أنك لا تعرف طريقة للعثور على حل دقيق بأي إجراء جبري ، لكنك قادر على استخدام تقريب ، بشرط أن يكون قريبًا جدًا من القيمة الحقيقية. طريقة نيوتن هي طريقة لإيجاد حل للمعادلة لأكبر عدد تريده من المنازل العشرية. إنه ما يسمى "الإجراء التكراري" ، بمعنى أنه يمكن تكراره مرارًا وتكرارًا للحصول على إجابة بدقة أكبر وأكبر. الإجراءات التكرارية مثل طريقة نيوتن مناسبة تمامًا للبرمجة للكمبيوتر. تستخدم طريقة نيوتن الحقيقة أن الخط المماس للمنحنى هو تقريب جيد للمنحنى بالقرب من نقطة التماس.

مثال ( PageIndex {1} )

تقريبي ( sqrt {3} ).

حل

نظرًا لأن ( sqrt {3} ) هو حل لـ (x ^ 2 = 3 ) أو (x ^ 2-3 = 0 ) ، فإننا نستخدم (f (x) = x ^ 2-3 ). نبدأ بتخمين شيء قريب بشكل معقول من القيمة الحقيقية ؛ هذا عادة ما يكون من السهل القيام به ؛ لنستخدم ( sqrt3 حوالي 2 ). استخدم الآن خط المماس للمنحنى عند (x = 2 ) كتقريب للمنحنى ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {1} ).

الشكل ( PageIndex {1} ): طريقة Netwon

بما أن (f '(x) = 2x ) ، فإن ميل هذا الخط المماس هو 4 ومعادلته هي (y = 4x-7 ). يكون خط الظل قريبًا جدًا من (f (x) ) ، لذا فهو يعبر المحور (x ) - بالقرب من النقطة التي يتقاطع عندها (f (x) ) ، أي بالقرب من ( sqrt3 ). من السهل العثور على مكان تقاطع خط الظل مع المحور (س ) - حل (0 = 4x-7 ) للحصول على (س = 7/4 = 1.75 ). هذا بالتأكيد تقدير تقريبي أفضل من 2 ، لكن دعنا نقول ليس قريبًا بدرجة كافية. يمكننا تحسينه بفعل الشيء نفسه مرة أخرى: ابحث عن خط المماس عند (x = 1.75 ) ، وابحث عن مكان تقاطع خط الظل الجديد هذا مع محور (x ) - ، واستخدم هذه القيمة كتقريب أفضل. يمكننا أن نواصل هذا إلى أجل غير مسمى ، على الرغم من أنه يصبح مملاً بعض الشيء. لنرى ما إذا كان يمكننا اختصار العملية. افترض أن أفضل تقريب للتقاطع الذي لدينا حتى الآن هو (x_i ). للعثور على تقريب أفضل ، سنفعل نفس الشيء دائمًا: ابحث عن ميل خط الظل عند (x_i ) ، أوجد معادلة خط الظل ، أوجد (x ) - التقاطع. المنحدر هو (2x_i ). خط الظل هو

[y = (2x_i) (x-x_i) + (x_i ^ 2-3)، ]

باستخدام صيغة نقطة الميل لخط. أخيرًا ، تم العثور على التقاطع عن طريق الحل

[0 = (2x_i) (x-x_i) + (x_i ^ 2-3). التسمية {EX1b} ]

بقليل من الجبر ، تتحول المعادلة ref {EX1b} إلى

[x = dfrac {x_i ^ 2 + 3} {2x_i} ]

هذا هو التقريب التالي الذي نسميه بطبيعة الحال (x_ {i + 1} ). بدلاً من القيام بحساب خط الظل بالكامل في كل مرة ، يمكننا ببساطة استخدام هذه الصيغة للحصول على أكبر عدد ممكن من التقديرات التقريبية.

بدءًا من (x_0 = 2 ) ، نحصل على

[x_1 = dfrac {x_0 ^ 2 + 3} {2x_0} = dfrac {2 ^ 2 + 3} {4} = dfrac {7} {4} ]

(نفس التقريب الذي حصلنا عليه أعلاه بالطبع) ،

[x_2 = dfrac {x_1 ^ 2 + 3} {2x_1} = dfrac {(7/4) ^ 2 + 3} {(7/2)} = dfrac {97} {56} حوالي 1.73214 ، ]

و

[x_3 حوالي 1.73205 ، ]

وما إلى ذلك وهلم جرا. لا يزال هذا الأمر مملًا بعض الشيء يدويًا ، ولكن باستخدام آلة حاسبة أو حتى أفضل برنامج كمبيوتر جيد ، من السهل جدًا الحصول على العديد والعديد من التقديرات التقريبية. قد نخمن بالفعل أن (1.73205 ) دقيق لأقرب منزلتين عشريتين ، وفي الحقيقة اتضح أنه دقيق حتى 5 منازل.

دعونا نفكر في هذه العملية بعبارات أكثر عمومية. نريد تقريب الحل إلى (f (x) = 0 ). نبدأ بتخمين تقريبي نسميه (x_0 ). نستخدم خط المماس لـ (f (x) ) للحصول على قيمة تقريبية جديدة نأمل أن تكون أقرب إلى القيمة الحقيقية. ما هي معادلة خط المماس عند (x = x_0 )؟ الميل هو (f '(x_0) ) ويمر الخط عبر ((x_0، f (x_0)) ) ، وبالتالي فإن معادلة الخط هي

[y = f '(x_0) (x-x_0) + f (x_0). ]

الآن نجد المكان الذي يتقاطع فيه هذا مع المحور (x ) - عن طريق استبدال (y = 0 ) وحل (x ): $$ x = {x_0f '(x_0) -f (x_0) over f '(x_0)} = x_0 - {f (x_0) over f' (x_0)}. $$ سنريد عادةً حساب أكثر من واحد من هذه التقديرات التقريبية المحسّنة ، لذلك نقوم بترقيمها على التوالي ؛ من (x_0 ) قمنا بحساب (x_1 ):

[x_1 = {x_0f '(x_0) -f (x_0) over f' (x_0)} = x_0 - {f (x_0) over f '(x_0)}، ]

وبشكل عام من (x_i ) نحسب (x_ {i + 1} ):

[x_ {i + 1} = {x_if '(x_i) -f (x_i) over f' (x_i)} = x_i - {f (x_i) over f '(x_i)}. ]

( PageIndex {2} )

بالعودة إلى المثال ( PageIndex {1} ) ، (f (x) = x ^ 2-3 ) ، (f '(x) = 2x ) ، وتصبح الصيغة

[x_ {i + 1} = x_i - dfrac {x_i ^ 2-3} {2x_i} = dfrac {x_i ^ 2 + 3} {2x_i} ]

كما كان من قبل.

في الممارسة العملية ، وهذا يعني ، إذا كنت بحاجة لتقريب قيمة أثناء تصميم جسر أو مبنى أو هيكل طائرة ، فستحتاج إلى بعض الثقة في أن التقدير التقريبي الذي تستقر عليه دقيق بدرجة كافية. كقاعدة عامة ، بمجرد توقف عدد معين من المنازل العشرية عن التغيير من تقريب إلى التالي ، فمن المحتمل أن تكون هذه المنازل العشرية صحيحة. ومع ذلك ، قد لا يكون هذا ضمانًا كافيًا ، وفي هذه الحالة يمكننا اختبار النتيجة للتأكد من دقتها.

( PageIndex {3} )

ابحث عن (x ) إحداثي تقاطع المنحنيات (y = 2x ) و (y = tan x ) ، بدقة حتى ثلاثة منازل عشرية.

حل

لوضع هذا في سياق طريقة نيوتن ، نلاحظ أننا نريد أن نعرف أين (2x = tan x ) أو (f (x) = tan x-2x = 0 ). نحسب (f '(x) = sec ^ 2 x - 2 ) ونقوم بإعداد الصيغة:

[x_ {i + 1} = x_i - { tan x_i -2x_i over sec ^ 2 x_i - 2}. ]

الشكل ( PageIndex {2} ). (y = tan x ) و (y = 2x ) جهة اليسار (y = tan x -2x )

من الرسم البياني في الشكل ( PageIndex {2} ) نخمن (x_0 = 1 ) كنقطة بداية ، ثم باستخدام الصيغة التي نحسبها

  • (س_1 = 1.310478030 ) ،
  • (س_2 = 1.223929096 ) ،
  • (س_3 = 1.176050900 ) ،
  • (x_4 = 1.165926508 ) ،
  • (x_5 = 1.165561636 ).

لذلك نعتقد أن الأماكن الثلاثة الأولى صحيحة ، لكن هذا ليس هو نفسه القول بأن (1.165 ) صحيح لأقرب ثلاثة منازل عشرية --- قد يكون (1.166 ) التقريب الصحيح المقرَّب. كيف نقول؟ يمكننا استبدال 1.165 و 1.1655 و 1.166 في ( tan x - 2x ) ؛ هذا يعطينا -0.002483652، -0.000271247، 0.001948654. بما أن الأول والثاني سالب والثالث موجب ، فإن ( tan x - 2x ) يقطع المحور (x ) بين 1.1655 و 1.166 ، وبالتالي فإن القيمة الصحيحة لثلاثة أماكن هي 1.166.

المساهمون

    • متكامل بواسطة جاستن مارشال.


تحسين العملية

4.5.4.1 طرق هسه

الطريقتان اللتان تقيمان الهيسيين أو تقريبيين باستخدام الفروق المحدودة هما: طريقة نيوتن (Deuflhard، 2004) و SQP.

يتم إعطاء طريقة Newton & # x27s لإيجاد أصفار دالة في المتغيرات المتعددة من خلال:

أين [يز(xن)] −1 هو المعكوس الأيسر للمصفوفة اليعقوبية يز(xن) من g المقيمة لـ xن.

SQP هي طريقة تعتمد على نيوتن تم تطويرها للمشاكل المقيدة الصغيرة إلى المتوسطة الحجم. يمكن لبعض الإصدارات التعامل مع مشاكل ذات أبعاد كبيرة.

يتم تطبيق طرق SQP عندما تكون الوظيفة الموضوعية والقيود قابلة للتفاضل مرتين بشكل مستمر. تحل الطريقة سلسلة من المشاكل الفرعية للتحسين ، كل منها يحسن نموذجًا تربيعيًا للهدف الخاضع للتحويل الخطي للقيود. إذا كانت المشكلة غير مقيدة ، فإن الطريقة تقلل إلى طريقة نيوتن & # x27s لإيجاد نقطة حيث يتلاشى التدرج اللوني للهدف. إذا كانت المشكلة تحتوي على قيود مساواة فقط ، فإن الطريقة تعادل تطبيق طريقة نيوتن & # x27s على شروط الدرجة الأولى المثلى ، أو شروط Karush-Kuhn-Tucker (KKT) (Karush ، 1939 Kuhn and Tucker ، 1951) ، من مشكلة.

تعتبر شروط KKT (المعروفة أيضًا باسم شروط Kuhn-Tucker) شروطًا ضرورية من الدرجة الأولى للحصول على حل في البرمجة اللغوية العصبية ليكون مثاليًا ، بشرط استيفاء بعض شروط الانتظام. من خلال السماح بقيود عدم المساواة ، يعمم نهج KKT لـ NLP طريقة مضاعفات لاغرانج ، والتي تسمح فقط بقيود المساواة. عادة لا يتم حل نظام المعادلات المقابلة لظروف KKT بشكل مباشر ، باستثناء الحالات الخاصة القليلة التي يمكن فيها اشتقاق حل مغلق الشكل بشكل تحليلي. بشكل عام ، يمكن تفسير العديد من خوارزميات التحسين على أنها طرق لحل نظام المعادلات KKT رقميًا (Boyd and Vandenberghe ، 2004).


وصف

تشير الكلمة الأساسية للطريقة إلى بداية كتلة في ملف إدخال داكوتا. تحتوي الكتلة المذكورة على مختلف الكلمات الأساسية اللازمة لتحديد طريقة والتحكم في سلوكها.

متطلبات كتلة الأسلوب

يجب أن تظهر كتلة أسلوب واحدة على الأقل في ملف إدخال داكوتا. قد تكون هناك حاجة إلى مجموعات طرق متعددة لتعريف أساليب التحليل المتقدمة بشكل كامل.

يجب أن تحدد كل كتلة أسلوب طريقة واحدة ، واختيارياً ، أي كلمات رئيسية مرتبطة تحكم سلوك الطريقة.

يجب أن تحدد كل كتلة أسلوب طريقة واحدة.

بدءًا من الإصدار 6.0 من داكوتا ، يتم تجميع الأساليب في نوعين: الأساليب القياسية والطرق متعددة المكونات.

الأساليب القياسية قائمة بذاتها وقائمة بذاتها بمعنى أنها لا تتطلب سوى نموذجًا لإجراء دراسة. إنهم لا يسمون طرقًا أخرى. بينما تستخدم طرق مثل متعدد الحدود وعالمي كفوء داخليًا مكونات نموذج بديل ومكرر متعدد ، يتم إخفاء هذه المكونات عمومًا عن سيطرة المستخدم بسبب القيود المفروضة على نمطية ، وبالتالي فإن هذه الطرق قائمة بذاتها.

توفر مجموعة الطرق متعددة المكونات مستوى أعلى من "خوارزمية وصفية" تشير إلى طرق ونماذج أخرى تدعم التكرار الفرعي. على سبيل المثال ، في طريقة هجينة متسلسلة ، يجب أن تحدد مواصفات الطريقة الهجينة قائمة بالطرق الثانوية ، وتقوم "الخوارزمية الوصفية" بتنفيذ هذه الطرق بالتسلسل وتنقل المعلومات بينها. تقدم المصغرات المستندة إلى البدائل مثالًا آخر من حيث أنها تشير إلى كل من الطرق الأخرى (على سبيل المثال ، ما هي طريقة التحسين المستخدمة لحل المشكلة الفرعية التقريبية) وكذلك إلى النماذج (على سبيل المثال ، نوع النموذج البديل المستخدم). توفر الطرق متعددة المكونات عمومًا مستوى معينًا من نمطية "التوصيل والتشغيل" ، من خلال دعمها المرن لمجموعة متنوعة من اختيارات الطرق والنماذج.

أوامر التكرار القائمة على المكونات

تشتمل مواصفات المكرر القائمة على المكونات على طرق مختلطة ومتعددة البدايات ومجموعة باريتو وطرق محلية قائمة على البدائل وعالمية وقائمة على أساس بديل وأساليب متفرعة ومنضمة. في حين أن مواصفات المكرر القياسية لا تحتاج إلا إلى سلسلة مؤشر نموذج اختيارية (محددة مع model_pointer) ، فإن مواصفات المكرر القائمة على المكون يمكن أن تشمل مؤشر الأسلوب ، واسم الطريقة ، ومواصفات مؤشر النموذج من أجل تحديد المكونات المستخدمة في "التكرار التلوي". على وجه الخصوص ، تحدد هذه المواصفات طريقة واحدة أو أكثر (بالمؤشر أو بالاسم) لتحديد التكرارات الثانوية التي سيتم استخدامها في خوارزمية المستوى الأعلى. يعد تحديد مكرر فرعي بالاسم بدلاً من المؤشر خيارًا خفيف الوزن يخفف من الحاجة إلى تحديد طريقة منفصلة للمكرر الفرعي ، ومع ذلك ، قد يكون مؤشر النموذج مطلوبًا في هذه الحالة لتوفير اتصال المواصفات الذي تدعمه الطريقة عادةً المؤشر. راجع أوصاف هذه الطرق الفردية للحصول على متطلبات محددة لهذه الطرق المتقدمة.

طريقة الضوابط المستقلة

بالإضافة إلى الطريقة ، هناك 10 كلمات أساسية اختيارية ، والتي يشار إليها كعناصر تحكم مستقلة للطريقة. هذه الضوابط صالحة للطرق الكافية التي كان من المعقول سحبها من الكتل المعتمدة على الطريقة ودمج المواصفات ، ومع ذلك ، لا يتم احترامها عالميًا من قبل جميع الطرق.


7.3 حل نظام المعادلات غير الخطية

هنا نتعامل مع الطرق العددية لتقريب الحلول الحقيقية لنظام المعادلات غير الخطية ، أي إيجاد جذور دالة المتجه. مقارنة بالحالة أحادية البعد ، فإن العثور على الجذر في الحالة متعددة الأبعاد أكثر تعقيدًا. على سبيل المثال ، في حالة أحادية البعد يمكن للمرء بسهولة نسبيًا وضع أقواس لجذور دالة معينة (أي تحديد الفترات التي يكمن فيها جذر واحد على الأقل للوظيفة) ولكن لا توجد طرق لتقسيم جذور الوظائف العامة في الحالة متعددة الأبعاد! عادة لا نعرف حتى ما إذا كان الجذر (حل النظام) موجودًا وما إذا كان فريدًا.

7.3.1 طريقة نيوتن رافسون للأنظمة غير الخطية للمعادلات

تحظى طريقة نيوتن-رافسون بشعبية كبيرة أيضًا في الحالة متعددة الأبعاد (هنا لدينا طرق أقل بكثير للاختيار من بينها). كما هو الحال في الحالة أحادية البعد ، يكون الأمر فعالاً للغاية إذا كان لدى المرء تقريب أولي جيد.

يمكن اشتقاق صيغة طريقة نيوتن رافسون متعددة الأبعاد بشكل مشابه كما في القسم 7.2.2. ابدأ مرة أخرى بسلسلة Taylor المتمركزة في (متجه!)

يمكن كتابة نفس الشيء في تدوين المصفوفة مثل

أين هو اليعقوبي للدالة المتجهة. إهمال المصطلح والإعداد يعني ضمناً

يمكن حل نظام المعادلات الخطية هذا للمتجه. يتم حساب التكرار الجديد كـ.

حساب المشتق: كما هو الحال في الحالة أحادية البعد ، يمكن أيضًا تقريبها من خلال الاختلافات (انظر 7.6.3).

الإنهاء: لمعايير الإنهاء المعتادة ، راجع القسم 7.2.1.

7.3.2 مثال


z = nmnewton (fname ، fder ، x0 <، epsf ، epsx ،
maxiter ، checkcond>)

أبسط استخدام له في الشكل كما هو موضح في

مثال XEGnum02.xpl ، البحث عن حل للنظام التالي لمعادلتين غير خطيتين:

بدءًا من التقدير الأولي ، نحصل على تقدير تقريبي للحل ،

إذا كانت الدوال التي تحسب مشتقات fname غير متوفرة ويجب أن تتأثر دقة التقريب العددي للمشتقات ، فيمكن للمرء إدخال خطوة h لـ nmjacobian (انظر القسم 7.6.3):

وجود وظائف لحساب مشتقات fname المتاحة ، يمكن للمرء إدخال اسمها (أسماءها) كمعامل fder: يجب أن يكون fder إما سلسلة مع اسم الوظيفة التي تحسب Jacobian of fname أو ناقل سلاسل بأسماء الدوال التي تحسب تدرجات الأول والثاني. المكون الثالث لوظيفة المتجه fname.

يظهر هذا الاحتمال في المثال XEGnum03.xpl الذي يحل النظام التالي:

يتم حساب اليعقوبي باستخدام الصيغة

وضع تقدير أولي لـ ، نحصل على حل ،. هذا تقريب لما يلي:

تؤثر المعلمات epsf و epsx و maxiter على إنهاء عملية تكرارية لإيجاد الحل (انظر القسم 7.2.1): ينتهي الإجراء إذا كان مجموع القيم المطلقة لـ fname أو التصحيحات لـ z أقل أو يساوي epsf أو epsx ، على التوالي يتم إنهاء العملية أيضًا إذا تجاوز عدد التكرارات الحد الأقصى.

في كل تكرار نقوم بضربه في المصفوفة المعكوسة إلى Jacobian من fname ، يمكن أن يتسبب رقم الحالة المرتفع لـ Jacobian في عدم استقرار عددي للعملية التكرارية. قم بتعيين آخر فحص للمعامل لفحص الثبات. سيتم إصدار رسالة تحذير إذا تجاوز رقم الشرط علامة الاختيار.

لسوء الحظ ، يمكن أن تفشل طريقة نيوتن-رافسون إذا لم يكن التقريب الأولي قريبًا بدرجة كافية من الجذر. فشل الطريقة (أي عدم تحقيق التقارب بعد أي عدد معقول من التكرارات) يعني إما أنه ليس له جذور أو أن خطوات نيوتن رافسون كانت طويلة جدًا في بعض التكرارات (كما ذكر أعلاه ، كل خطوة من طريقة نيوتن رافسون يذهب في اتجاه نزول الوظيفة ، مع وجود الحد الأدنى ، إذا كان الجذر موجودًا). يمكن حل الصعوبة المحتملة الأخيرة باستخدام تعديل طريقة نيوتن رافسون الموصوفة في القسم 7.3.3

7.3.3 طريقة نيوتن رافسون المعدلة للأنظمة

يمكن تعديل طريقة نيوتن-رافسون بالطريقة التالية لتحقيق استقرار رقمي أعلى: في كل تكرار ، احسب خطوة نيوتن-رافسون وتحقق مما إذا كان. إذا كان هذا الشرط غير صالح ، يتعين علينا تقليل حجم الخطوة حتى يكون لدينا مقبول. تم تقديم طرق أكثر أو أقل إبداعًا لتقليل حجم الخطوة (انظر ، على سبيل المثال ، (Press ، Teukolsky ، Vetterling ، و Flannery 1992)) ومع ذلك ، فإن تقليلها كثيرًا يمكن أن يقلل بشكل كبير من معدل التقارب.

7.3.4 مثال

يحل الكم التالي نظامًا غير خطي من المعادلات باستخدام طريقة نيوتن رافسون المعدلة:


z = nmnewtonmod (fname ، fder ، x0 <، epsf ، epsx ،
maxiter ، checkcond>)

استخدامه هو نفسه بالنسبة للكمية nmnewton ، انظر القسم 7.3.2.

يوضح مثال XEGnum04.xpl مشكلة حيث يكون استخدام طريقة نيوتن-رافسون المعدلة بدلاً من الطريقة الأصلية أمرًا مرغوبًا فيه. يجب حل المعادلة التالية:

وظيفة الجانب الأيسر متذبذبة للغاية (انظر الشكل 7.2).

الشكل: رسم بياني لـ. توضح الدائرة الممتلئة الحل الذي تم إيجاده بواسطة طريقة Newton-Raphson المعدلة ، XEGnum04.xpl

عند وضع تقدير أولي لـ ، تعطي طريقة نيوتن-رافسون المعدلة حلاً في 5 تكرارات (موضحة كدائرة ممتلئة في الشكل 7.2). من ناحية أخرى ، تحتاج طريقة نيوتن-رافسون الأصلية إلى 88 تكرارًا للعثور على جذر بعيد جدًا.


2.4 طريقة نيوتن

درسنا في القسمين السابقين تقنيات حل المعادلات التي تتطلب القليل جدًا من الرياضيات المعقدة. تعمل طريقتا التنصيف و Regula-falsi بشكل جيد للغاية ، ولكن كما سنجد في هذا القسم ، يمكننا في الواقع تحسين جودة خوارزميات البحث عن الجذر بشكل كبير من خلال الاستفادة من بعض حساب التفاضل والتكامل.

2.4.1 الحدس والتنفيذ

تمرين 2.31 سنبدأ هذا القسم بتذكير من حساب التفاضل.

  1. إذا كانت (f (x) ) دالة قابلة للتفاضل عند (x = x_0 ) فإن ميل خط الظل إلى (f (x) ) عند (x = x_0 ) هو [ text م = تسطير < hspace <1in>> ]
  2. من الجبر ، شكل نقطة الميل للخط هو [y - y_0 = m (x-x_0) ] حيث ((x_0، y_0) ) هي نقطة على الخط و (m ) هي ميل.
  3. إذا كانت (f (x) ) دالة تفاضلية عند (x = x_0 ) ، فإن معادلة الظل إلى (f (x) ) في تلك النقطة هي [y - تسطير < hspace < 1in >> = تسطير < hspace <0.5in >> cdot left (x - underline < hspace <0.5in >> right) ]
  4. إذا أعدنا ترتيب الإجابة من الجزء (ج) ، فسنحصل على [y = تسطير < hspace <0.5in >> + تسطير < hspace <0.5in >> cdot left (x - underline < hspace < 0.5 بوصة >> يمين) ]

(x ) - تقاطع الدالة هو المكان الذي تكون فيه الوظيفة 0. العثور على الجذر هو في الحقيقة عملية إيجاد (x ) - تقاطع الوظيفة. إذا كانت الوظيفة معقدة (على سبيل المثال غير خطية للغاية أو لا تصلح للتقنيات اليدوية التقليدية) ، فيمكننا تقريب تقاطع (x ) عن طريق إنشاء تقريب سلسلة تايلور للوظيفة عند نقطة قريبة ثم إيجاد the (x ) - تقاطع سلسلة تايلور الأبسط. أبسط سلسلة تايلور غير تافهة هي دالة خطية - خط مماس!

تمرين 2.33 الآن دعنا نستخدم الحسابات التي أجريتها في التدريبات السابقة للنظر في خوارزمية لتقريب جذر الدالة. في التسلسل التالي من المؤامرات نقوم بالخوارزمية التالية:

  • بالنظر إلى قيمة (x ) التي تعد تقريبًا مناسبًا للجذر ، ارسم خطًا مماسًا لـ (f (x) ) عند هذه النقطة.
  • ابحث عن مكان تقاطع خط المماس مع محور (س ).
  • استخدم هذا التقاطع كقيمة (x ) الجديدة وكرر.

تم عرض الخطوة الأولى من أجلك. اتخذ بضع خطوات أخرى بشكل بياني. هل يبدو أن الخوارزمية تتقارب مع الجذر؟ هل تعتقد أن هذا سيأخذ عمومًا خطوات أكثر أم أقل من طريقة التنصيف؟

الشكل 2.8: استخدام تقديرات تقريبية لخطوط الظل المتتالية لإيجاد جذر دالة

تُعرف الخوارزمية التي استخدمناها للتو باسم طريقة نيوتن. تم اقتراح الطريقة في الأصل من قبل إسحاق نيوتن ، وتم تعديلها لاحقًا بواسطة جوزيف رافسون ، لتقريب جذور المعادلة (f (x) = 0 ). يجب أن يكون واضحًا أن طريقة نيوتن تتطلب وجود المشتق الأول ، لذلك نحن نطلب المزيد من وظائفنا أكثر مما كنا عليه من قبل. في Bisection و Regula Falsi ، طلبنا فقط أن تكون الوظائف مستمرة ، والآن نطلب أن تكون قابلة للاشتقاق. توقف وفكر للحظة ... لماذا هذا الشيء الأكثر تقييدًا لطلب الوظيفة (f (x) )؟

التمرين 2.36 (طريقة نيوتن) يمكن وصف طريقة نيوتن-رافسون لحل المعادلات على النحو التالي:

تحقق من أن (f ) قابل للتفاضل في مجال معين وابحث عن طريقة لضمان أن (f ) لديه جذر في هذا المجال (تحدث هذه الخطوة يدويًا ، وليس على الكمبيوتر).

اختر نقطة البداية (x_0 ) في المجال

نريد كتابة معادلة خط المماس إلى (f ) عند النقطة ((x_0، f (x_0)) ).

ما هو ميل خط المماس للدالة (f (x) ) عند النقطة ((x_0، f (x_0)) )؟ [م_ = تسطير < hspace <0.5in >> ]

باستخدام صيغة الميل والنقطة للخط ، (y-y_1 = m (x-x_1) ) ، اكتب معادلة خط الظل إلى (f (x) ) عند النقطة ((x_0، f (x_0)) ). [y - تسطير < hspace <0.4in >> = تسطير < hspace <0.4in >> cdot left (x - underline < hspace <0.4in >> right) ]

ابحث عن (x ) تقاطع معادلة خط الظل عن طريق ضبط (y = 0 ) وحل من أجل (x ). نسمي هذه النقطة الجديدة (x_1 ). [x_1 = تسطير < hspace <2in>> ]

كرر العملية الآن عن طريق استبدال الملصقات " (x_1 )" و " (x_0 )" في الخطوة السابقة بـ (x_) و (x_) على التوالى. [x_ = تسطير < hspace <2in>> ]

كرر الخطوة 5 حتى (f (x_)) هو قريب إلى الصفر.

2.4.2 التحليل

هناك عدة طرق يتصرف بها أسلوب نيوتن بشكل غير متوقع - أو يفشل تمامًا. يمكن توقع بعض هذه المشكلات من خلال فحص صيغة نيوتن للتكرار [x_ = x_n - frac. ] بعض الإخفاقات التي سنراها ستكون مفاجئة أكثر. في هذا القسم أيضًا ، سنلقي نظرة على معدل التقارب لطريقة نيوتن وسنوضح أننا يمكن أن نتفوق بشكل كبير على أساليب Bisection و Regula-Falsi.

تمرين 2.42 يمكن أن يحدث فشل مثير للاهتمام مع طريقة نيوتن التي قد لا تتوقعها في البداية. ضع في اعتبارك الوظيفة (f (x) = x ^ 3 - 2x + 2 ). هذه الوظيفة لها جذر بالقرب من (x = -1.77 ). املأ الجدول أدناه وارسم خطوط الظل على الشكل لتقريب الحل إلى (f (x) = 0 ) بنقطة البداية (x = 0 ).

(ن) (x_n ) (F شن))
(0) (x_0 = 0 ) (و (س_0) = 2 )
(1) (x_1 = 0 - frac = 1) (و (x_1) = 1 )
(2) (س_2 = 1 - فارك =) (و (x_2) = )
(3) (x_3 = ) (و (x_3) = )
(4) (x_4 = ) (و (x_4) = )
( vdots ) ( vdots ) ( vdots )

الشكل 2.9: فشل أسلوب نيوتن المثير للاهتمام.

تمرين 2.43 الآن دعونا ننظر في الوظيفة (f (x) = sqrt [3]). هذه الوظيفة لها جذر (س = 0 ). علاوة على ذلك ، يمكن تفاضلها في كل مكان باستثناء (x = 0 ) منذ [f & # 39 (x) = frac <1> <3> x ^ <-2/3> = frac <1> <3x ^ <2/3 >>. ] الهدف من هذه المشكلة هو إظهار ما يمكن أن يحدث عندما تكون نقطة عدم التفاضل هي بالضبط النقطة التي تبحث عنها.

  1. املأ جدول التكرارات بدءًا من (x = -1 ) ، وارسم خطوط الظل على الحبكة ، وقم بعمل ملاحظة عامة لما يحدث مع تكرار نيوتن.

الآن دعونا نلقي نظرة على تكرار نيوتن بمزيد من التفصيل. بما أن (f (x) = x ^ <1/3> ) و (f & # 39 (x) = frac <1> <3> x ^ <- 2/3> ) يمكن أن يكون تكرار نيوتن مبسطة كـ [x_ = x_n - frac> < left ( frac <1> <3> x ^ <-2/3> right)> = x_n - 3 frac>> = x_n - 3x_n = -2x_n. ] ماذا يخبرنا هذا عن تكرارات نيوتن؟
تلميح: يجب أن تكون قد وجدت نفس الشيء بالضبط في التجربة العددية في الجزء (أ).

هل كان هناك شيء مميز حول نقطة البداية (x_0 = -1 )؟ هل ستوجد هذه المشكلة في كل نقطة بداية؟

الشكل 2.10: فشل طريقة أخرى مفاجئة لنيوتن.

الشكل 2.11: فشل طريقة أخرى مفاجئة لنيوتن.

تمرين 2.45 من المعروف أن طريقة نيوتن لها امتداد معدل التقارب التربيعي. هذا يعني أن هناك بعض الثوابت (C ) مثل [| x_ - x_ * | leq C | x_ - x_ * | ^ 2، ] حيث (x _ * ) هو الجذر الذي نبحث عنه.

يشير التقارب التربيعي إلى أنه إذا قمنا برسم الخطأ في التكرار الجديد على المحور (y ) والخطأ في التكرار القديم على المحور (x ) لمؤامرة السجل ، فسنرى ثابتًا منحدر 2. لرؤية هذا ، يمكننا أخذ السجل (الأساس 10) لكلا طرفي المعادلة السابقة للحصول على [ log (| x_ - x_ * |) = تسجيل (C) + 2 تسجيل (| x_ - x_ * |)، ] ونرى أن هذه دالة خطية (على مخطط لوغاريتمي-لوغاريتمي) والميل هو 2. لقد أنشأنا مخططات كهذه في المثال 2.1.

سنقوم بإنشاء مخطط خطأ تمامًا مثل ما وصفناه للتو.

  1. اختر معادلة حيث تعرف الحل.
  2. قم بإنشاء مخطط الخطأ باستخدام (| x_ - x_ * | ) على المحور الأفقي و (| x_ - x_ * | ) على المحور الرأسي
  3. وضح أن ميل هذه القطعة الأرضية يساوي 2.
  4. قدم شرحًا شاملاً لكيفية تفسير الحبكة التي رسمتها للتو.
  5. عند حل معادلة بطريقة نيوتن ، وجد جو أن الخطأ المطلق عند التكرار 1 من العملية كان (0.15 ). استنادًا إلى حقيقة أن طريقة نيوتن هي طريقة من الدرجة الثانية ، فهذا يعني أن الخطأ المطلق في الخطوة 2 سيكون أقل من أو يساوي بعض الأوقات الثابتة (0.15 ^ 2 = 0.0225 ). وبالمثل ، سيكون الخطأ في الخطوة 3 أقل من أو يساوي بعض المضاعفات العددية (0.0025 ^ 2 = 0.00050625 ). ما الذي يمكن أن يحده خطأ جو المتوقع للتكرار الرابع والتكرار الخامس وما إلى ذلك؟

  • منظم للانتقال من الأفكار الأساسية الأولية في البداية إلى مفاهيم أكثر تعقيدًا لاحقًا في النص. التحليل العددي يحتوي على محتوى كافٍ لدورة من فصلين دراسيين ، ولكن يمكن أيضًا استخدامه لدورة فصل دراسي واحد مع اختيار موضوعات حكيمة.
  • أضواء كاشفة في النص ، قم بتسليط الضوء على الأفكار الخمسة الرئيسية للتحليل العددي: التقارب ، التعقيد ، التكييف ، الضغط ، و التعامد.
  • تعلق هذه الإضاءات على الموضوع المطروح وتقوم بعمل روابط غير رسمية للتعبيرات الأخرى لنفس المفهوم في مكان آخر من الكتاب ، مما يساعد الطلاب على تجميع المواد الجديدة مع ما يعرفونه بالفعل.
  • ميزة "التحقق من الواقع" التي حظيت باستقبال جيد يظهر في كل فصل لتقديم أمثلة موسعة للطريقة التي تؤدي بها الطرق العددية إلى حلول مشاكل تكنولوجية مهمة ، مما يجعل الموضوعات ذات صلة على الفور.
  • تظهر عروض MATLAB ® في جميع أنحاء النص ، إرشاد الطلاب والمعلمين حول استخدام هذه الأداة البرمجية المهمة.
  • الملحق ب عبارة عن دروس MATLAB قصيرةيمكن استخدامها كمقدمة أولى للطلاب الذين لم يستخدموا MATLAB ، أو كمرجع للطلاب المألوفين بالفعل مع البرنامج.
    الجديد! عناوين URL قصيرة في هوامش النص (إجمالي 235) اصطحب الطلاب مباشرةً إلى المحتوى ذي الصلة لدعم استخدامهم للكتاب المدرسي ، بما في ذلك:

      كود ماتلاب (bit.ly/2yupqhx): تتوفر مثيلات أطول من كود MATLAB للطلاب بتنسيق * .m.

      حلول لتمارين مختارة (bit.ly/2PG6q69): في الإصدارات السابقة ، كان دليل حلول الطلاب متاحًا للشراء بشكل منفصل. يتيح الإصدار الثالث للطلاب الوصول إلى حلول للتمارين المختارة عبر الإنترنت دون أي رسوم إضافية.

      أمثلة إضافية (bit.ly/2Cr0FW2): تم تحسين كل قسم من الإصدار الثالث بأمثلة جديدة إضافية ، مصممة لتعزيز عرض النص وتسهيل انتقال القارئ إلى الحل النشط للتمارين ومشاكل الكمبيوتر. الحلول العملية لهذه الأمثلة ، أكثر من مائة في المجموع ، متاحة على الإنترنت. بعض الحلول بصيغة فيديو (أنشأها المؤلف).

      الصفحة الرئيسية لجميع محتويات الويب التي تدعم النص هي bit.ly/2yN3AEX.

      • الجديد! عشرات التمارين الجديدة ومشاكل الكمبيوتر تمت إضافته إلى الإصدار الثالث.

      جديد في هذا الإصدار

      • عناوين URL قصيرة في هوامش النص (إجمالي 235) اصطحب الطلاب مباشرةً إلى المحتوى ذي الصلة لدعم استخدامهم للكتاب المدرسي ، بما في ذلك:
        • كود ماتلاب (bit.ly/2yupqhx): تتوفر مثيلات أطول من كود MATLAB للطلاب بتنسيق * .m.
        • حلول لتمارين مختارة (bit.ly/2PG6q69): في الإصدارات السابقة ، كان دليل حلول الطلاب متاحًا للشراء بشكل منفصل. يتيح الإصدار الثالث للطلاب الوصول إلى حلول للتمارين المختارة عبر الإنترنت دون أي رسوم إضافية.
        • أمثلة إضافية (bit.ly/2Cr0FW2): تم تحسين كل قسم من الإصدار الثالث بأمثلة جديدة إضافية ، مصممة لتعزيز عرض النص وتسهيل انتقال القارئ إلى الحل النشط للتمارين ومشاكل الكمبيوتر. الحلول العملية لهذه الأمثلة ، أكثر من مائة في المجموع ، متاحة على الإنترنت. بعض الحلول بصيغة فيديو (أنشأها المؤلف).
        • الصفحة الرئيسية لجميع محتويات الويب التي تدعم النص هي bit.ly/2yN3AEX.
        • مناقشة أكثر تفصيلاً للعديد من المفاهيم الأساسية يتضمن نظرية الاستيفاء متعدد الحدود ، وحلول المعادلات التفاضلية متعددة الخطوات ، ومشاكل القيمة الحدية ، وتحلل القيمة المفردة ، من بين أمور أخرى.
        • التحقق من الواقع على ضغط الصوت في الفصل 11 تم تجديده وتبسيطه ، وتمت إضافة وتحديث رموز MATLAB الأخرى في جميع أنحاء النص.
        • عشرات التمارين الجديدة ومشاكل الكمبيوتر تمت إضافته إلى الإصدار الثالث.

        2 إجابات 2

        معالجة الجذور المعقدة

        عندما تكون هناك جذور معقدة ، يكون لديك حالتان ، لـ a1 & gt 0 و a1 & lt 0. يمكنك فقط طي الحالتين باستخدام القيمة المطلقة (a1) عند تحديد imagg.

        والأفضل من ذلك ، أن Python لديها دعم مدمج لنوع معقد. لماذا لا تستخدمه بدلا من بناء سلسلة؟ ثم لا داعي للقلق بشأن علامة الجزء التخيلي من أجل نسخة مطبوعة جميلة.

        فصل الاهتمامات

        تؤدي وظيفة solvedeg3equation () الإدخال والحساب والإخراج. قد يؤدي ذلك المهمة نيابةً عنك ، ولكنه يضمن عدم إمكانية إعادة استخدام الكود الخاص بك أبدًا ، بخلاف النسخ واللصق - أو عن طريق توصيل الإدخال إليك ومحاولة تحليل الإخراج! علاوة على ذلك ، فإنه يجعل الكود الخاص بك بنفس صعوبة اختبار الوحدة. ما تريده هو وظيفة تقبل كثير الحدود (المزيد عن ذلك قريبًا) وتعيد 3 مجموعات من الحلول. سيكون المتصل مسؤولاً عن الإدخال والإخراج.

        الرموز

        يعتبر تمثيل كثير الحدود من الدرجة الثالثة كمتغيرات أ ، ب ، ج ، د أمرًا صعبًا. لا يمكنك تمريرها بسهولة ككيان واحد. يفرض تكاثر المتغيرات عبئًا ذهنيًا. الأهم من ذلك ، أعتقد أنه يؤدي إلى تدوين ضعيف في التعليمات البرمجية الخاصة بك.

        أقترح التدوين التالي:

        • x0 و x1 و x2: الجذور الأول والثاني والثالث (أفضل من g و g2 و g3)
        • متعدد الحدود (أ ، ب ، ج ، د): كائن يمثل كثير الحدود فأس 3 + ب س 2 + ج س + د
        • f: كثير الحدود المراد حله (أفضل من أ ، ب ، ج ، د)
        • df_dx: مشتق f (أفضل من 3 * a * g ** 2 + 2 * b * g + c)
        • q: كثير الحدود التربيعي المتبقي بعد العثور على x0 (أفضل من c1 = -d / g a1 = a b1 = (c1-c) / g)
        • q.discriminant (): اختصار لـ b1 ** 2-4 * a1 * c1
        • التسامح: أفضل من البريد (والذي يبدو للأسف أنه مرتبط بـ أ ، ب ، ج ، د)

        علاوة على ذلك ، لا يجب عليك تثبيت حد 100 تكرار ، خاصة ضعف الرقم السحري في الكود.

        فئة متعددة الحدود

        كما هو مذكور أعلاه ، فإن وجود فصل دراسي لكثيرات الحدود مفيد للغاية لمشكلتك. بالإضافة إلى كثير الحدود المراد حلها ، فأنت بحاجة إلى مشتقها ، ولديك أيضًا معادلة تربيعية لحلها. فئة متعددة الحدود تسمح لك

        • قم بتمرير كثير الحدود إلى وظيفة الحل بسهولة
        • انهيار عدة متغيرات في واحد
        • تقييم قيمة كثير الحدود بسهولة
        • تأخذ مشتقها

        هنا تنفيذ:

        معالجة الأخطاء

        إذا حدث خطأ ما ، فلا تطبع شيئًا فقط. قم بإصدار استثناء يضمن أن المتصل سيلاحظ المشكلة!

        حد التكرار

        تمتلك Python ميزة لغوية لتنفيذ جملة أخرى عندما تنتهي الحلقة بشكل طبيعي من خلال الإرهاق (أي عندما تصبح حالتها خاطئة ، بدلاً من انقطاع مبكر). يمكنك استخدامه على النحو التالي:

        جميلة!

        كل هذا الإعداد يجعل الكود الخاص بك يبدو وكأنه رياضيات ، وليس مثل برنامج سي. الآن يمكنك مسح رأسك من التفاصيل والتركيز على الأشياء المهمة ، مثل أسلوبك الرياضي.

        لقد قدمت بعض الملاحظات في التعليقات على التعليمات البرمجية أيضًا.

        مثال على الاستخدام

        الخطوات التالية

        كما هو مذكور في التعليقات ، أوصي باستخدام cmath.sqrt () لدمج الحالات الثلاث للمميز في حالة واحدة.

        It would also be a good idea to decompose the cubic equation solver into a generic Newton's method solver for any polynomial, followed by a quadratic equation solver.


        9 Answers 9

        Gradient descent maximizes a function using knowledge of its derivative. Newton's method, a root finding algorithm, maximizes a function using knowledge of its second derivative. That can be faster when the second derivative is known and easy to compute (the Newton-Raphson algorithm is used in logistic regression). However, the analytic expression for the second derivative is often complicated or intractable, requiring a lot of computation. Numerical methods for computing the second derivative also require a lot of computation -- if $N$ values are required to compute the first derivative, $N^2$ are required for the second derivative.

        similar UKF) or DFO-SQP methods (e.g. BOBYQA). "Optimality" is a tricky question I would say . for a ML problem, vs. say an engineering design-optimization problem, the reliability/informativeness of a "local Hessian" can be dubious. Perhaps non-local DFO-SQP is

        "stochastic Newton"? (e.g. "online") $endgroup$ &ndash GeoMatt22 Dec 29 '16 at 5:26

        More people ينبغي be using Newton's method in machine learning*. I say this as someone with a background in numerical optimization, who has dabbled in machine learning over the past couple of years.

        The drawbacks in answers here (and even in the literature) are not an issue if you use Newton's method correctly. Moreover, the drawbacks that do matter also slow down gradient descent the same amount or more, but through less obvious mechanisms.

        Using linesearch with the Wolfe conditions or using or trust regions prevents convergence to saddle points. A proper gradient descent implementation should be doing this too. The paper referenced in Cam.Davidson.Pilon's answer points out problems with "Newton's method" in the presence of saddle points, but the fix they advocate is also a Newton method.

        Using Newton's method does not require constructing the whole (dense) Hessian you can apply the inverse of the Hessian to a vector with iterative methods that only use matrix-vector products (e.g., Krylov methods like conjugate gradient). See, for example, the CG-Steihaug trust region method.

        You can compute Hessian matrix-vector products efficiently by solving two higher order adjoint equations of the same form as the adjoint equation that is already used to compute the gradient (e.g., the work of two backpropagation steps in neural network training).

        Ill conditioning slows the convergence of iterative linear solvers, but it also slows gradient descent equally or worse. Using Newton's method instead of gradient descent shifts the difficulty from the nonlinear optimization stage (where not much can be done to improve the situation) to the linear algebra stage (where we can attack it with the entire arsenal of numerical linear algebra preconditioning techniques).

        Also, the computation shifts from "many many cheap steps" to "a few costly steps", opening up more opportunities for parallelism at the sub-step (linear algebra) level.

        For background information about these concepts, I recommend the book "Numerical Optimization" by Nocedal and Wright.

        *Of course, Newton's method will not help you with L1 or other similar compressed sensing/sparsity promoting penalty functions, since they lack the required smoothness.

        A combination of two reasons:

        • Newton method attracts to saddle points are common in machine learning, or in fact any multivariable optimization.

        Look at the function $f=x^2-y^2$

        If you apply multivariate Newton method, you get the following. $mathbf_ = mathbf_n - [mathbff(mathbf_n)]^ <-1> abla f(mathbf_n)$

        Get the gradient: $ abla f=egin 2x [2.2ex] -2y end$

        So, you see how the Newton method led you to the saddle point at $x=0,y=0$.

        In contrast, the gradient descent method will not lead to the saddle point. The gradient is zero at the saddle point, but a tiny step out would pull the optimization away as you can see from the gradient above - its gradient on y-variable is negative.

        I recently learned this myself - the problem is the proliferation of saddle points in high-dimensional space, that Newton methods want to converge to. See this article: Identifying and attacking the saddle point problem in high-dimensional non-convex optimization.

        Indeed the ratio of the number of saddle points to local minima increases exponentially with the dimensionality N.

        While gradient descent dynamics are repelled away from a saddle point to lower error by following directions of negative curvature, . the Newton method does not treat saddle points appropriately as argued below, saddle-points instead become attractive under the Newton dynamics.

        You asked two questions: Why don't more people use Newton's method, and why do so many people use stochastic gradient descent? These questions have different answers, because there are many algorithms that lessen the computational burden of Newton's method but often work better than SGD.

        First: Newton's Method takes a long time per iteration and is memory-intensive. As jwimberley points out, Newton's Method requires computing the second derivative, $H$, which is $O(N^2)$, where $N$ is the number of features, while computing the gradient, $g$, is only $O(N)$. But the next step is $H^ <-1>g$, which is $O(N^3)$ to compute. So while computing the Hessian is expensive, inverting it or solving least squares is often even worse. (If you have sparse features, the asymptotics look better, but other methods also perform better, so sparsity doesn't make Newton relatively more appealing.)

        Second, many methods, not just gradient descent, are used more often than Newton they are often knockoffs of Newton's method, in the sense that they approximate a Newton step at a lower computational cost per step but take more iterations to converge. Some examples:

        Because of the expense of inverting the Hessian, ``quasi-Newton" methods like BFGS approximate the inverse Hessian, $H^<-1>$, by looking at how the gradient has changed over the last few steps.

        BFGS is still very memory-intensive in high-dimensional settings because it requires storing the entire $O(N^2)$ approximate inverse Hessian. Limited memory BFGS (L-BFGS) calculates the next step direction as the approximate inverse Hessian times the gradient, but it only requires storing the last several gradient updates it doesn't explicitly store the approximate inverse Hessian.

        When you don't want to deal with approximating second derivatives at all, gradient descent is appealing because it only uses only first-order information. Gradient descent is implicitly approximating the inverse Hessian as the learning rate times the identity matrix. I, personally, rarely use gradient descent: L-BFGS is just as easy to implement, since it only requires specifying the objective function and gradient it has a better inverse Hessian approximation than gradient descent and because gradient descent requires tuning the learning rate.

        Sometimes you have a very large number of observations (data points), but you could learn almost as well from a smaller number of observations. When that is the case, you can use "batch methods", like stochastic gradient descent, that cycle through using subsets of the observations.


        مدرب

        Stephen P. Boyd is the Samsung Professor of Engineering, and Professor of Electrical Engineering in the Information Systems Laboratory at Stanford University. His current research focus is on convex optimization applications in control, signal processing, and circuit design.

        Professor Boyd received an AB degree in Mathematics, summa cum laude, from Harvard University in 1980, and a PhD in EECS from U. C. Berkeley in 1985. In 1985 he joined the faculty of Stanford’s Electrical Engineering Department. He has held visiting Professor positions at Katholieke University (Leuven), McGill University (Montreal), Ecole Polytechnique Federale (Lausanne), Qinghua University (Beijing), Universite Paul Sabatier (Toulouse), Royal Institute of Technology (Stockholm), Kyoto University, and Harbin Institute of Technology. He holds an honorary doctorate from Royal Institute of Technology (KTH), Stockholm.

        Professor Boyd is the author of many research articles and three books: Linear Controller Design: Limits of Performance (with Craig Barratt, 1991), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory (with L. El Ghaoui, E. Feron, and V. Balakrishnan, 1994), and Convex Optimization (with Lieven Vandenberghe, 2004).

        Professor Boyd has received many awards and honors for his research in control systems engineering and optimization, including an ONR Young Investigator Award, a Presidential Young Investigator Award, and an IBM faculty development award. In 1992 he received the AACC Donald P. Eckman Award, which is given annually for the greatest contribution to the field of control engineering by someone under the age of 35. In 1993 he was elected Distinguished Lecturer of the IEEE Control Systems Society, and in 1999, he was elected Fellow of the IEEE, with citation: “For contributions to the design and analysis of control systems using convex optimization based CAD tools.” He has been invited to deliver more than 30 plenary and keynote lectures at major conferences in both control and optimization.

        In addition to teaching large graduate courses on Linear Dynamical Systems, Nonlinear Feedback Systems, and Convex Optimization, Professor Boyd has regularly taught introductory undergraduate Electrical Engineering courses on Circuits, Signals and Systems, Digital Signal Processing, and Automatic Control. In 1994 he received the Perrin Award for Outstanding Undergraduate Teaching in the School of Engineering, and in 1991, an ASSU Graduate Teaching Award. In 2003, he received the AACC Ragazzini Education award, for contributions to control education, with citation: “For excellence in classroom teaching, textbook and monograph preparation, and undergraduate and graduate mentoring of students in the area of systems, control, and optimization.”


        Random thoughts

        Exercise 7.3 To test the square root algorithm in this chapter, you could compare it with math.sqrt. Write a function named test_square_root that prints a table like this:

        The first column is a number, a the second column is the square root of a computed with the function from Exercise 7.2 the third column is the square root computed by math.sqrt the fourth column is the absolute value of the difference between the two estimates.

        This one took a bit of time just because of the formatting, I still don’t have it looking right but at least the values are good.

        Some tweaking got me this ugly mess:

        That produces slightly less ugly output:

        There must be an easier way:

        Jan 05 2011
        Removed the format() function, it was only an attempt to take all the formatting out of printout() but I gave it up and forgot to remove it. Added some comments for later.

        [Dec 31 2011]
        Here is the version that asdfg098 provided in the comments formatted a bit.


        شاهد الفيديو: How to use the Newton Raphson method (ديسمبر 2021).