مقالات

6.3: الكثافة والكتلة ومركز الكتلة


أهداف التعلم

في هذا القسم ، نسعى جاهدين لفهم الأفكار الناتجة عن الأسئلة المهمة التالية:

  • كيف ترتبط الكتلة والكثافة والحجم؟
  • كيف يتم حساب كتلة جسم متفاوت الكثافة؟
  • ما هو مركز كتلة الجسم ، وكيف يتم استخدام التكاملات المحددة لحسابه؟

لقد رأينا في العديد من الظروف المختلفة كيف تمكننا دراسة الوحدات على التكامل ومتغير التكامل من فهم معنى التكامل المحدد بشكل أفضل. على سبيل المثال ، إذا كانت (v (t) ) هي سرعة جسم يتحرك على طول محور ، مقاسة بالأقدام في الثانية ، بينما (t ) يقيس الوقت بالثواني ، فإن كلا من التكامل المحدد وتقريب مجموع ريمان و

( int ^ b_a v (t) ، dt ≈ sum ^ n_ {i = 1} v (t_i) Delta t ) ،

احصل على وحداتها الإجمالية من خلال ناتج وحدات (v (t) ) و (t ):

(قدم / ثانية) · (ثانية) = قدم.

هكذا،

( int ^ b_a v (t) ، dt )

يقيس التغيير الكلي في موضع الجسم المتحرك (بالقدم). سيكون هذا النوع من تحليل الوحدة مفيدًا بشكل خاص لنا فيما يلي. للبدء ، في نشاط المعاينة التالي ، نأخذ في الاعتبار تكاملين مختلفين محددين حيث يكون التكامل هو وظيفة تقيس كيفية توزيع كمية معينة على منطقة ما والتفكير في كيفية قيام الوحدات الموجودة في وحدة التكامل ومتغير التكامل بالإشارة إلى معنى متكامل.

معاينة النشاط ( PageIndex {1} ):

في كل من السيناريوهات التالية ، نأخذ في الاعتبار توزيع كمية على طول المحور.

  1. لنفترض أن الدالة (c (x) = 200 + 100e ^ {- 0.1x} ) تمثل كثافة حركة المرور على طريق مستقيم ، وتُقاس بالسيارات لكل ميل ، حيث يمثل (x ) عدد الأميال شرق تبادل رئيسي ، والنظر في التكامل المحدد ( int ^ 2_0 (200 + 100e ^ {- 0.1x}) ، dx ).
    1. ما الوحدات الموجودة على المنتج (c (x) cdot Delta x )؟
    2. ما هي الوحدات في التكامل المحدد وتقريب مجموع ريمان المعطى بواسطة
      ( int_0 ^ 2 c (x) dx almost sum_ {i = 1} ^ {n} c (x_ {i}) Delta x )؟
    3. قم بتقييم التكامل المحدد ( int ^ 2_0 c (x) dx = int ^ 2_0 (200 + 100e ^ {- 0.1x}) dx ) واكتب جملة واحدة لشرح معنى القيمة التي تجدها.
  2. على رف بطول 6 أقدام مملوء بالكتب ، تقوم الوظيفة (ب ) بتوزيع وزن الكتب ، مقاسة بالجنيه في البوصة ، حيث (س ) هو عدد البوصات من الطرف الأيسر للكتب. رف الكتب. لنفترض أن (B (x) ) تُعطى بالقاعدة (B (x) = 0.5 + dfrac {1} {(x + 1) ^ 2} ).
    1. ما الوحدات الموجودة على المنتج (B (x) cdot Delta x )؟
    2. ما هي الوحدات في التكامل المحدد وتقريب مجموع ريمان المعطى بواسطة
      ( int ^ {36} _ {12} B (x) dx ≈ sum ^ n_ {i = 1} B (x_i) Delta x )؟
    3. احسب التكامل المحدد ( int ^ {72} _0 B (x) dx = int ^ {72} _0 left (0.5 + dfrac {1} {(x + 1) ^ 2} right) dx ) واكتب جملة واحدة لشرح معنى القيمة التي تجدها.

كثافة

ال كتلة من الكمية ، التي تُقاس عادةً بالوحدات المترية مثل الجرامات أو الكيلوجرامات ، هي مقياس لكمية الكمية. في المقابل ، فإن ملف كثافة كائن يقيس توزيع الكتلة لكل وحدة حجم. على سبيل المثال ، إذا كانت كتلة الطوب تحتوي على 3 كجم وحجمها 0.002 ( text {m} ^ 3 ) ، فإن كثافة الطوب تكون

[ dfrac {3 text {kg}} {0.002 text {m} ^ 3} = 1500 dfrac { text {kg}} { text {m} ^ 3}. ]

وكمثال آخر ، تبلغ كثافة كتلة الماء 1000 كجم / ( text {m} ^ 3 ). كل من هذه العلاقات توضح المبدأ العام التالي.

لجسم ذي كثافة ثابتة (د ) ، مع كتلة (م ) وحجم (ف ) ،

[d = dfrac {m} {V} ]

أو

[م = د cdot V. ]

لكن ماذا يحدث عندما تكون الكثافة غير ثابتة؟

إذا أخذنا في الاعتبار الصيغة (m = d cdot V ) ، فإنها تذكرنا بمعادلتين أخريين استخدمناهما كثيرًا في العمل الأخير: لجسم يتحرك في اتجاه ثابت ، والمسافة = المعدل · الوقت ، و مستطيل ، مساحته مُعطاة بـ (A = l cdot w ). تثبت هذه الصيغ عندما تكون الكميات الأساسية المعنية ، مثل معدل تحرك الجسم وارتفاع المستطيل ، ثابتة. عندما لا تكون هذه الكميات ثابتة ، فقد لجأنا إلى التكامل المحدد للمساعدة. الفكرة الرئيسية في كل موقف هي أنه من خلال العمل مع شرائح صغيرة من الكمية المتغيرة ، يمكننا استخدام تكامل محدد لجمع قيم القطع الصغيرة التي تحتوي على كمية الفائدة (مثل سرعة جسم متحرك) تقريبا ثابتة.

على سبيل المثال ، في الإعداد حيث لدينا وظيفة سرعة غير سالبة غير ثابتة ، خلال فترة زمنية قصيرة ( Delta t ) نعلم أن المسافة المقطوعة تقريبًا (v (t) Delta t ) ، بما أن (v (t) ) ثابت تقريبًا على فترة زمنية صغيرة ، وبالنسبة لمعدل ثابت ، المسافة = المعدل · الوقت. وبالمثل ، إذا كنا نفكر في المنطقة الواقعة تحت دالة غير سالبة (f ) التي تتغير قيمتها ، في فترة زمنية قصيرة ( دلتا س ) تكون المساحة الواقعة أسفل المنحنى تقريبًا مساحة المستطيل الذي يبلغ ارتفاعه (f (x) ) وعرضه ( Delta x ): (f (x) Delta x ). يتم تمثيل هذين المبدأين بشكل مرئي في الشكل ( PageIndex {1} ).

الشكل ( PageIndex {1} ): على اليسار ، تقدير مقدار صغير من المسافة المقطوعة ، (v (t) Delta t ) ، وعلى اليمين ، مساحة صغيرة أسفل المنحنى ، (f (x) Delta x ).

بطريقة مماثلة ، إذا أخذنا في الاعتبار الإعداد الذي تكون فيه كثافة بعض الكمية غير ثابتة ، فإن التكامل المحدد يمكننا من الاستمرار في حساب الكتلة الإجمالية للكمية. طوال الوقت ، سنركز على المشكلات التي تختلف فيها الكثافة في بُعد واحد فقط ، لنقل على طول محور واحد ، ونفكر في كيفية توزيع الكتلة بالنسبة إلى الموقع على طول المحور. لنفترض أن شريطًا رفيعًا بطول b يقع بحيث تكون نهايته اليسرى في الأصل ، حيث x = 0 ، ونفترض أن الشريط به مساحة مقطع عرضي ثابتة تبلغ 1 ( text {cm} ^ 2 ). ندع الدالة ( rho (x) ) تمثل دالة كثافة الكتلة للشريط ، مقاسة بالجرام لكل سنتيمتر مكعب. وهذا يعني أنه بالنظر إلى الموقع (x ) ، يخبرنا ( rho (x) ) تقريبًا مقدار الكتلة التي سيتم العثور عليها في شريحة بعرض سنتيمتر واحد من الشريط عند (x ).

الشكل ( PageIndex {2} ): شريط رفيع من منطقة المقطع العرضي الثابتة 1 ( text {cm} ^ 2 ) بوظيفة الكثافة ( rho (x) dfrac { text {g}} { text {cm} ^ {3} } ).

إذا اعتبرنا الآن شريحة رفيعة من شريط العرض ( Delta x ) ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {2} ) ، فإن حجم هذه الشريحة هو مساحة المقطع العرضي مرات ( دلتا x). نظرًا لأن لكل مقطع عرضي مساحة ثابتة 1 ( نص {سم} ^ 2 ) ، فإن حجم الشريحة هو (1 Delta x text {cm} ^ 2 ). علاوة على ذلك ، نظرًا لأن الكتلة هي نتاج الكثافة والحجم (عندما تكون الكثافة ثابتة) ، فإننا نرى أن كتلة هذه الشريحة المعطاة تساوي تقريبًا

( text {mass} _ { text {slice}} almost rho (x) dfrac { text {g}} { text {cm} ^ {3}} cdot1 Delta x نص {cm} ^ {3} = rho (x) cdot Delta x cdot text {g} )

ومن ثم ، بالنسبة لمجموع ريمان المقابل (وبالتالي بالنسبة للتكامل الذي يقارب) ،

[ sum ^ n_ {i = 1} rho (x_i) Delta x ≈ int ^ b_0 rho (x) dx، ]

نرى أن هذه الكميات تقيس كتلة الشريط بين 0 و (ب ). (مجموع ريمان تقريبي ، بينما التكامل سيكون الكتلة الدقيقة.)

في هذه المرحلة ، نلاحظ أننا سنركز بشكل أساسي على المواقف التي يتم فيها توزيع الكتلة بالنسبة إلى الموقع الأفقي ، (س ) ، للأشياء التي تكون مساحة المقطع العرضي لها ثابتة. في هذا الإعداد ، من المنطقي التفكير في دالة الكثافة ( rho (x) ) بوحدات "الكتلة لكل وحدة طول" ، مثل g / cm. وبالتالي ، عندما نحسب ( rho (x) cdot Delta x ) على شريحة صغيرة ( Delta x ) ، فإن الوحدات الناتجة هي ( dfrac { text {g}} { text { cm}} cdot text {cm} = text {g} ) ، مما يقيس كتلة الشريحة. المبدأ العام يتبع.

بالنسبة لجسم ذي مساحة مقطعية ثابتة يتم توزيع كتلته على طول محور واحد وفقًا للوظيفة ( rho (x) ) (وحداته وحدات كتلة لكل وحدة طول) ، الكتلة الكلية ، (M ) للكائن بين (x = a ) و (x = b ) مُعطى بواسطة

[M = int ^ b_a ρ (x) dx. ]

تمرين ( PageIndex {1} ):

ضع في اعتبارك المواقف التالية التي يتم فيها توزيع الكتلة بطريقة غير ثابتة.

  1. افترض أن قضيبًا رفيعًا بمساحة مقطع عرضي ثابتة تبلغ 1 ( text {cm} ^ {2} ) موزعة كتلته وفقًا لدالة الكثافة ( rho (x) = 2e ^ {- 0.2x} ) ، حيث (x ) هي المسافة بالسنتيمتر من الطرف الأيسر للقضيب ، والوحدات الموجودة على ( rho (x) ) هي جم / سم. إذا كان طول القضيب 10 سم ، فأوجد كتلة القضيب بالضبط.
  2. ضع في اعتبارك المخروط الذي نصف قطر قاعدته 4 م وارتفاعه 5 م. تخيل المخروط المستلقي أفقيًا مع مركز قاعدته في الأصل وفكر في المخروط على أنه ثورة صلبة.
    1. اكتب واحسب تكاملًا محددًا قيمته حجم المخروط.
    2. بعد ذلك ، افترض أن المخروط له كثافة منتظمة تبلغ 800 كجم / م 3. ما هي كتلة المخروط الصلب؟
    3. افترض الآن أن كثافة المخروط ليست موحدة ، بل أن المخروط هو الأكثر كثافة في قاعدته. على وجه الخصوص ، افترض أن كثافة المخروط موحدة عبر المقاطع العرضية الموازية لقاعدته ، ولكن في كل مقطع عرضي يمثل مسافة (س ) وحدة من الأصل ، يتم إعطاء كثافة المقطع العرضي بواسطة الدالة ( rho (x) = 400 + dfrac {200} {1 + x ^ 2} ) ، مُقاسة بالكيلو جرام / ( text {m} ^ {3} ). تحديد وتقييم تكامل محدد قيمته كتلة هذا المخروط ذي الكثافة غير المنتظمة. افعل ذلك بالتفكير أولاً في كتلة شريحة معينة من وحدات المخروط (س ) بعيدًا عن القاعدة ؛ تذكر أنه في مثل هذه الشريحة ، ستكون الكثافة ثابتة بشكل أساسي.
  3. دع قضيبًا رفيعًا بمساحة مقطع عرضي ثابت 1 ( نص {سم} ^ {2} ) وطوله 12 سم يتم توزيع كتلته وفقًا لدالة الكثافة ( rho (x) = dfrac {1 } {25} (x - 15) ^ 2 ) ، تقاس بالجرام / سم. ابحث عن الموقع الدقيق (z ) الذي تقطع فيه الشريط بحيث يكون لكل من القطعتين كتلة متطابقة.

المتوسطات المرجحة

ب + 3.3

الجدول 6.1: درجات الفصل الدراسي لطالب الكلية.

إن مفهوم المتوسط ​​هو مفهوم طبيعي ، وقد استخدمناه مرارًا وتكرارًا كجزء من فهمنا لمعنى التكامل المحدد. إذا كان لدينا (n ) قيم (a_1 ، a_2 ،. ، a_n ) ، فإننا نعلم أن متوسطها مُعطى بواسطة

[ dfrac {a_1، a_2،. . ، a_n} {n} ، ]

وبالنسبة للكمية التي يتم قياسها بواسطة دالة (f ) في فترة ([أ ، ب] ) ، فإن متوسط ​​قيمة الكمية على ([أ ، ب] ) هو

p dfrac {1} {b - a} int ^ b_a f (x) dx. [

بينما نستمر في التفكير في المشاكل التي تنطوي على توزيع الكتلة ، فمن الطبيعي أن نفكر في فكرة أ موزون المتوسط ​​، حيث يتم احتساب كميات معينة متضمنة أكثر في المتوسط.

الاستخدام الشائع للمتوسطات الموزونة هو في حساب المعدل التراكمي للطالب ، حيث يتم ترجيح الدرجات وفقًا للساعات المعتمدة. دعونا ننظر في السيناريو في الجدول 6.1.

إذا كانت جميع الفصول الدراسية بنفس الوزن (أي نفس عدد الاعتمادات) ، فسيتم حساب المعدل التراكمي للطالب ببساطة عن طريق أخذ المتوسط

[ dfrac {3.3 + 3.7 + 2.7 + 2.7} {4} = 3.1. ]

ولكن نظرًا لأن دورات الكيمياء وحساب التفاضل والتكامل تحتوي على أوزان أعلى (5 و 4 ساعات معتمدة على التوالي) ، فإننا نحسب بالفعل المعدل التراكمي وفقًا للمتوسط ​​المرجح

[ dfrac {3.3 cdot 5 + 3.7 cdot 4 + 2.7 cdot 3 + 2.7 cdot 3} {5 + 4 + 3 + 3} = 3. overline {16}. ]

يعكس المتوسط ​​المرجح حقيقة أن الكيمياء وحساب التفاضل والتكامل ، باعتبارهما مقررات دراسية ذات اعتمادات أعلى ، لهما تأثير أكبر على متوسط ​​درجات الطلاب. لاحظ بشكل خاص أنه في المتوسط ​​المرجح ، يتم ضرب كل درجة بوزنها ، ونقسمها على مجموع الأوزان. في النشاط التالي ، نستكشف كيف يمكن استخدام المتوسطات الموزونة لإيجاد نقطة التوازن لنظام مادي.

النشاط ( فهرس الصفحة {1} ):

بالنسبة للكميات المتساوية في الوزن ، مثل طفلين على أداة ترنح ، يتم العثور على نقطة التوازن من خلال أخذ متوسط ​​مواقعهم. عندما تختلف أوزان الكميات ، نستخدم متوسطًا مرجحًا لمواقع كل منها لإيجاد نقطة التوازن.

  1. لنفترض أن طول الرف 6 أقدام ، وأن نهايته اليسرى تقع عند (x = 0 ). إذا تم وضع كتاب بوزن 1 رطل عند (x_1 = 0 ) ، وتم وضع كتاب آخر بوزن 1 رطل عند (x_2 = 6 ) ، فما هو موقع ( overline {x} ) ، النقطة التي سيتوازن فيها الرف (نظريًا) على نقطة ارتكاز؟
  2. الآن ، لنفترض أننا وضعنا أربعة كتب على الرف ، وزن كل منها 1 رطل: في (x_1 = 0 ) ، في (x_2 = 2 ) ، في (x_3 = 4 ) ، وفي (x_4 = 6 ). ابحث عن ( overline {x} ) ، نقطة التوازن في الرف.
  3. كيف يتغير ( overline {x} ) إذا قمنا بتغيير مكان الكتاب الثالث؟ لنفترض أن مواقع الكتب التي يبلغ وزنها 1 رطل هي (x_1 = 0 ) و (x_2 = 2 ) و (x_3 = 3 ) و (x_4 = 6 ).
  4. بعد ذلك ، افترض أننا وضعنا أربعة كتب على الرف ، ولكن بأوزان مختلفة: في (x_1 = 0 ) كتاب 2 رطل ، في (x_2 = 2 ) كتاب 3 أرطال ، و (x_3 = 4 ) كتاب 1 رطل وفي (x_4 = 6 ) كتاب 1 رطل. استخدم المتوسط ​​المرجح للمواقع للعثور على ( overline {x} ) ، نقطة التوازن في الرف. كيف تقارن نقطة التوازن في هذا السيناريو بتلك الموجودة في (ب)؟
  5. ماذا يحدث إذا قمنا بتغيير مكان أحد الكتب؟ لنفترض أننا نحتفظ بكل شيء كما هو في (د) ، باستثناء (x_3 = 5 ). كيف يتغير ( overline {x} )؟
  6. ماذا يحدث إذا غيرنا وزن أحد الكتب؟ لنفترض أننا نحتفظ بكل شيء كما هو في (د) ، باستثناء أن الكتاب في (x_3 = 4 ) يزن الآن 2 رطل. كيف يتغير ( overline {x} )؟
  7. جرب سيناريوهين مختلفين من اختيارك حيث تنقل موقع أحد الكتب إلى اليسار ، أو تقلل من وزن أحد الكتب.
  8. اكتب جملتين لشرح كيف يؤثر ضبط موقع أحد الكتب أو وزن أحد الكتب على موقع نقطة التوازن على الرف. فكر جيدًا هنا في الكيفية التي يجب أن تُعتبر التغييرات التي أجريتها بالنسبة إلى موقع نقطة التوازن ( overline {x} ) للسيناريو الحالي.

مركز الكتلة

في النشاط ( PageIndex {2} ) ، رأينا أن نقطة التوازن لنظام الكتل النقطية1 (مثل الكتب الموجودة على الرف) يتم العثور عليها بأخذ متوسط ​​مرجح لمواقع كل منها. في النشاط ، كنا نحسب مركز الكتلة لنظام الكتل الموزعة على طول محور ، وهو نقطة التوازن للمحور الذي تستقر عليه الجماهير.

لمجموعة من (n ) الكتل (m_1 ، ldots ، m_n ) الموزعة على طول محور واحد في المواقع (x_1 ، ldots ، x_n ) ، يتم إعطاء مركز الكتلة بواسطة

( overline {x} = dfrac {x_1m_1 + x_2m_2 + · · · x_n m_n} {m_1 + m_2 + · · · + m_n} ).

ماذا لو أخذنا في الاعتبار بدلاً من ذلك شريطًا رفيعًا يتم توزيع الكثافة عليه باستمرار؟ إذا كانت الكثافة ثابتة ، فمن الواضح أن نقطة التوازن للشريط هي نقطة المنتصف. ولكن إذا لم تكن الكثافة ثابتة ، فيجب أن نحسب متوسطًا مرجحًا. لنفترض أن 1 في النشاط ، استخدمنا الوزن بدلاً من الكتلة. نظرًا لأن الوزن يُحسب بواسطة ثابت الجاذبية مضروبًا في الكتلة ، فإن حسابات نقطة التوازن ينتج عنها نفس الموقع بغض النظر عما إذا كنا نستخدم الوزن أو الكتلة ، نظرًا لأن ثابت الجاذبية موجود في كل من البسط والمقام للمتوسط ​​المرجح.

تخبرنا الوظيفة ( rho (x) ) بتوزيع الكثافة على طول الشريط ، مقاسة بوحدة جم / سم. إذا قمنا بتقسيم الشريط إلى أقسام صغيرة ، فهذا يمكننا من التفكير في الشريط على أنه يحتوي على مجموعة من الكتل النقطية المجاورة. للحصول على شريحة سمك ( Delta x ) في الموقع (x_i ) ، لاحظ أن كتلة الشريحة ، (m_i ) ، تفي (m_i تقريبًا rho (x_i) Delta x ) .

أخذ (n ) شرائح من الشريط ، يمكننا تقريب مركز كتلته من خلال

( overline {x} almost dfrac {x_1 · ρ (x_1) Delta x + x_2 · ρ (x_2) Delta x + · · · + x_n · ρ (x_n) Delta x} {ρ (x_1 ) Delta x + ρ (x_2) Delta x + · · · + ρ (x_n) Delta x} ).

. إعادة كتابة المبالغ في تدوين سيجما ، يتبع ذلك

[ overline {x} almost dfrac { sum ^ n_ {i = 1} x_i · rho (x_i) Delta x} { sum ^ n_ {i = 1} rho (x_i) Delta x }. التسمية {6.4} ]

علاوة على ذلك ، من الواضح أنه كلما زاد عدد الشرائح ، زادت دقة تقديرنا لنقطة التوازن ، وأن المبالغ في المعادلة ( ( المرجع {6.4} )) يمكن اعتبارها مجموع ريمان. ومن ثم ، في النهاية كـ (n rightarrow infty ) ، نجد أن مركز الكتلة مُعطى من خلال حاصل قسمة تكاملين.

بالنسبة لقضيب رقيق من الكثافة ( rho (x) ) موزع على طول محور من (x = a ) إلى (x = b ) ، يتم إعطاء مركز كتلة القضيب بواسطة

( overline {x} = dfrac { int ^ b_a x rho (x) dx} { int ^ b_a rho (x) dx} ).

لاحظ بشكل خاص أن مقام ( overline {x} ) هو كتلة الشريط ، وأن حاصل قسمة التكاملات هذا هو ببساطة الإصدار المستمر من المتوسط ​​المرجح للمواقع ، (x ) ، على طول الشريط.

النشاط ( PageIndex {1} ):

ضع في اعتبارك شريطًا رفيعًا بطول 20 سم يتم توزيع كثافته وفقًا للوظيفة ( rho (x) = 4 + 0.1x ) ، حيث يمثل (x = 0 ) الطرف الأيسر للشريط. افترض أن ( rho ) يقاس بالجرام / سم و (س ) يقاس بالسنتيمتر.

  1. أوجد الكتلة الكلية للشريط (M ).
  2. بدون إجراء أي حسابات ، هل تتوقع أن يكون مركز كتلة العمود مساويًا لـ 10 ، أو أقل من 10 ، أو أكبر من 10؟ لماذا ا؟
  3. احسب ( overline {x} ) ، مركز كتلة الشريط بالضبط.
  4. ما هو متوسط ​​كثافة العارضة؟
  5. الآن ضع في اعتبارك دالة كثافة مختلفة ، مُعطاة بواسطة (p (x) = 4e ^ {0.020732x} ) ، أيضًا لشريط طوله 20 سم ويكون نهايته اليسرى عند (x = 0 ). ارسم كلاً من ( rho (x) ) و (p (x) ) على نفس المحاور. بدون إجراء أي حسابات ، ما هو الشريط الذي تتوقع أن يكون له مركز الكتلة الأكبر؟ لماذا ا؟
  6. احسب مركز الكتلة الدقيق للشريط الموصوف في (هـ) الذي تكون دالة كثافته (p (x) = 4e ^ {0.020732x} ). تحقق من النتيجة مقابل التنبؤ الذي قمت به في (هـ).

ملخص

في هذا القسم ، واجهنا الأفكار المهمة التالية:

  • بالنسبة للكائن ذي الكثافة الثابتة (D ) ، مع الحجم (V ) والكتلة (م ) ، نعلم أن (م = D · V ).
  • إذا تم توزيع كثافة كائن ذي مساحة مقطع عرضي ثابتة (مثل شريط رفيع) على طول محور وفقًا للوظيفة ( rho (x) ) ، فيمكننا إيجاد كتلة الكائن بين (x) = a ) و (x = b ) بواسطة [m = int ^ b_a rho (x) dx. ]
  • لنظام الكتل النقطية الموزعة على طول محور ، قل (m_1،.، m_n ) في المواقع (x_1،.، x_n ) ، مركز الكتلة ، ( overline {x} ) ، من خلال المتوسط ​​المرجح [ overline {x} = dfrac { sum ^ n_ {i = 1} x_im_i} { sum ^ n_ {i = 1} m_i}. ]
  • إذا كان لدينا بدلاً من ذلك كتلة موزعة بشكل مستمر على طول المحور ، مثل دالة الكثافة ( rho (x) ) لشريط رفيع من مساحة المقطع العرضي الثابت ، مركز كتلة جزء الشريط الواقع بين ( يتم إعطاء x = a ) و (x = b ) بواسطة [ overline {x} = dfrac { int ^ b_a x rho (x) dx} { int ^ b_a rho (x) dx }. ]
  • في كل حالة ، يمثل ( overline {x} ) نقطة التوازن لنظام الكتل أو جزء من الشريط.

مركز الكتلة

تخيل وزنين على جانبين متقابلين من لوحة التوازن. الوزن الواحد 5 كيلوغرامات ويبعد 4 أمتار عن المركز. أما الوزن الآخر فهو 10 كيلو جرام ويبعد عن المركز مترين.

ميزان الأوزان. ما يهم هو حاصل ضرب الكتلة ومسافة الكتلة من المركز.

ضع في اعتبارك المنطقة R في الطائرة. تخيل أنها مصنوعة من مادة رقيقة بكثافة متفاوتة . فكر في قطعة صغيرة مستطيلة ذات أبعاد بواسطة تقع عند النقطة . كتلته .

عن طريق القياس مع مثال لوحة التوازن ، أقوم بقياس & quottwisting & quot حول المحور y الناتج عن القطعة المستطيلة الصغيرة. إنها حاصل ضرب الكتلة والمسافة إلى المحور y ، وهي x:

المبلغ الإجمالي & quottwisting & quot حول المحور y هو اللحظة السينية ، ويتم الحصول عليها من خلال دمج (& quadding up & quot) & quottwisting & quot التي تنتجها كل من القطع الصغيرة التي تتكون منها المنطقة:

يمكنني تحديد لحظة ص بالطريقة نفسها:

تخيل الآن المنطقة المضغوطة إلى كرة صغيرة لها نفس الكتلة الكلية M مثل المنطقة الأصلية. أين يجب أن توضع الكرة الصغيرة بحيث تنتج نفس اللحظات x و y؟ الموقع يسمى مركز الكتلة من المنطقة الأصلية إذا كانت إحداثياتها ، أريد

حل ل و ، انا حصلت

يمكننا أن نفعل الشيء نفسه في 3 أبعاد. لنفترض أن جسمًا صلبًا يحتل منطقة R في الفضاء ، وأن كثافة المادة الصلبة عند النقطة هو . الكتلة الكلية للجسم معطاة

ال لحظات في x و y و z يتم إعطاء الاتجاهات بواسطة

يمكنك التفكير فيها بطريقة تقريبية على أنها تمثل & quottwisting & quot حول المحور المعني الناتج عن كتلة صغيرة في هذه النقطة .

ال مركز الكتلة هي النقطة معطى بواسطة

إذا كانت منطقة في المستوى أو مادة صلبة في الفضاء لها كثافة ثابتة ، ثم مركز الكتلة يسمى النقطه الوسطى. في هذه الحالة ، تسقط الكثافة خارج الصيغ لـ , ، و . على سبيل المثال،

(بالطبع ، يمكنك عادةً استخدام تكامل مزدوج لحساب حجم المادة الصلبة.)

ال النقطه الوسطى المنطقة ، أين

تذكر أنه إذا كانت R منطقة في الفضاء ، فإن حجم R يكون

وبالتالي ، فإن مقامات الكسور أعلاه كلها تساوي الحجم من R.

الصيغ المقابلة للنقطة الوسطى لمنطقة في المستوى هي:

لاحظ أن التكامل هو فقط منطقة من R.

مثال. ابحث عن النقطه الوسطى للمنطقة في الربع الأول الذي يحده أعلاه ، من عند ل .

نظرًا لأن السؤال يسأل عن النقطه الوسطى ، فمن المفترض أن تكون الكثافة ثابتة.

لاحظ أنني لست بحاجة إلى تكامل مزدوج لإيجاد المساحة.

النقطه الوسطى هو .

يمكنك في كثير من الأحيان استخدام ملفات تناظر للعثور على إحداثيات مركز الكتلة ، أو لتحديد علاقة بين الإحداثيات - على سبيل المثال ، في بعض الحالات ، يشير smmetry إلى أن بعض الإحداثيات ستكون متساوية.

مثال. أوجد النقطه الوسطى للمنطقة R التي يحدها فوق المستوى وتحت بواسطة بارابولويد .

بالتناظر ، ، لذلك أنا بحاجة للبحث فقط . سأستخدم الإحداثيات الأسطوانية.

و تتقاطع في ، لذا فإن إسقاط R على المستوى x-y هو الجزء الداخلي من دائرة نصف القطر 2 المتمركزة في المنطقة.

لاحظ أنه في شكل أسطواني.

النقطه الوسطى هو .

مثال. لنفترض أن R هي المنطقة في الربع الأول المقطوع بالخط . افترض أن المنطقة مكونة من مادة ذات كثافة . أوجد إحداثيات مركز الكتلة.

المنطقة والكثافة متماثلتان في x و y ، لذلك . أنا بحاجة فقط للعثور على أحد الإحداثيات.

مركز الكتلة هو .

مثال. لنفترض أن R هي المادة الصلبة التي يحدها أدناه وما فوقها ، وافترض أن الكثافة . أوجد إحداثيات مركز الكتلة.

سوف أقوم بالتحويل إلى إحداثيات كروية. هو مخروط تصنع جوانبه زاوية o مع المحور z الموجب. هو النصف العلوي من كرة نصف قطرها 2 متمركزة في نقطة الأصل.

(انا فعلت ال التكامل باستخدام التعويض .)

نظرًا لأن المنطقة والكثافة كلاهما متماثلان حول المحور z ، . لذلك ، أنا بحاجة فقط للبحث .

منذ ذلك الحين ، z-moment هي

(انا فعلت ال التكامل باستخدام التعويض .)

مركز الكتلة هو .


قانون الغاز المثالي

يرتبط الضغط والحجم ودرجة الحرارة وعدد المولات في الغاز ببعضها البعض. R ثابت يسمى ثابت الغاز. قانون الغاز المثالي هو ما يسمى بمعادلة الحالة لأنه وصف كامل للحالة الديناميكية الحرارية للغاز. ليست هناك حاجة إلى معلومات أخرى لحساب أي متغير ديناميكي حراري آخر ، وبما أن المعادلة تتعلق بأربعة متغيرات ، فإن معرفة أي ثلاثة منها كافية.

يشترك الضغط والحجم وعدد الشامات ، التي تسمى أحيانًا الامتداد ، في خاصية مهمة ، ولا يمكن أن تكون سالبة أبدًا. ماذا سيكون الحجم السالب ، أو الضغط أو المدى السلبي المطلق؟ المفاهيم لا وجود لها حتى. هذا يعني أن درجة الحرارة في قانون الغاز المثالي محدودة بالمثل. لا يمكن أبدا أن تكون سلبية.

يمكننا تحديد درجة الحرارة الصفرية على مقياس الغاز المثالي من خلال الاحتفاظ بعدد المولات وثابت الضغط واستقراء درجة الحرارة المقاسة بالدرجة المئوية إلى قيمتها عند صفر حجم

الشكل 6.3.1 العلاقة بين الحجم ودرجة الحرارة (أ) في هذه المؤامرات من الحجم مقابل درجة الحرارة لعينات متساوية الحجم من H. 2 عند ثلاثة ضغوط مختلفة ، تُظهر الخطوط الصلبة البيانات المقاسة تجريبياً وصولاً إلى & ناقص 100 درجة مئوية ، وتظهر الخطوط المكسورة استقراء البيانات إلى الخامس = 0. مقياس درجة الحرارة مُعطى بالدرجتين المئويتين والكلفن. على الرغم من أن منحدرات الخطوط تتناقص مع زيادة الضغط ، فإن جميع الخطوط تستقرئ بنفس درجة الحرارة عند الخامس = 0 (& ناقص 273.15 & درجة مئوية = 0 كلفن). (ب) في هذه المؤامرات من الحجم مقابل درجة الحرارة لكميات مختلفة من الغازات المختارة عند ضغط 1 ضغط جوي ، يتم استقراء جميع المؤامرات إلى قيمة الخامس = 0 عند & ناقص 273.15 & درجة مئوية ، بغض النظر عن الهوية أو كمية الغاز.

درجة الحرارة المستقرأة المقابلة للحجم الصفري عند ضغط ثابت والكمية هي -273.15 درجة مئوية ، وهو ما يسمى الصفر المطلق لأنه لا توجد درجة حرارة منخفضة ممكنة (ما لم ، بالطبع يمكنك الخروج بأحجام سالبة ، لكن لا يمكنك ذلك). للراحة ، قمنا بتعيين الدرجات على مقياس كلفن على حجم الدرجة على مقياس سيليسيوس. بعبارات أخرى

لاحظ النمط

قبل أن نتمكن من استخدام قانون الغاز المثالي ، نحتاج إلى معرفة قيمة ثابت الغاز ر. يعتمد شكله على الوحدات المستخدمة للكميات الأخرى في التعبير. إذا الخامس يتم التعبير عنها باللتر (L) ، ص في الغلاف الجوي (أجهزة الصراف الآلي) ، تي في kelvins (K) و ن في الشامات (مول) ، ثم

(R = 0.08206 L cdot atm / left (K cdot & middotmol right) tag <6.3.3> )

لأن المنتج PV لديها وحدات الطاقة ، ر يمكن أن تحتوي أيضًا على وحدات من J / (K & middotmol) أو كال / (K & middotmol):

(R = 8.3145 J / يسار (K cdot mol right) = 1.9872 كال / يسار (K cdot mol right)
علامة <6.3.4> )

اختار العلماء مجموعة معينة من الشروط لاستخدامها كمرجع: 0 & degC (273.15 K) و 1 ضغط جوي ، يشار إليها باسم درجة الحرارة والضغط القياسيين (STP) الشروط 0 & degC (273.15 K) و 1 ضغط جوي للغاز.

يمكننا حساب حجم 1.000 مول من غاز مثالي في ظل الظروف القياسية باستخدام متغير قانون الغاز المثالي الوارد في المعادلة 6.3.1:

(V = dfrac

= dfrac < يسار (1.000 إلغاء يسار (0.082057 L cdot إلغاء/إلغاء cdot إلغاء يمين) يمين) يسار (273.15 إلغاء right)> <1.000 إلغاء> = 22.31 L علامة <6.3.5> )

وبالتالي فإن حجم 1 مول من الغاز المثالي عند 0 درجة مئوية وضغط 1 ضغط جوي هو 22.41 لترًا ، أي ما يعادل تقريبًا حجم ثلاث كرات سلة. الكمية 22.41 لتر تسمى الحجم المولي القياسي. حجم 1 مول من غاز مثالي عند STP (0 & degC و 1 ضغط جوي) ، وهو 22.41 لتر من الغاز المثالي. ترد الأحجام المولية للعديد من الغازات الحقيقية في STP في الجدول 6.3.1 ، مما يوضح أن الانحرافات عن سلوك الغاز المثالي صغيرة جدًا. وبالتالي فإن قانون الغاز المثالي يقوم بعمل جيد لتقريب سلوك الغازات الحقيقية في STP.

الجدول 6.3.1 الأحجام المولية للغازات المختارة عند درجة حرارة قياسية (0 درجة مئوية) وضغط (1 ضغط جوي)

غاز الحجم المولي (L)
هو 22.434
أر 22.397
ح2 22.433
ن2 22.402
ا2 22.397
كو2 22.260
نيو هامبشاير3 22.079


استخدام التناظر كاختصار

تمامًا كما هو الحال مع المناطق ثنائية الأبعاد ، يمكن أن يوفر تناظر الشكل اختصارًا في العديد من حسابات النقطه الوسطى. تذكر أن إحداثي النقطه الوسطى هو متوسط ​​إحداثي x و y و z لجميع النقاط في الشكل. إذا كان الحجم يحتوي على مستوى من التماثل ، فهذا يعني أن كل نقطة على جانب واحد من الخط يجب أن يكون لها نقطة مكافئة على الجانب الآخر من الخط. هذا يعني أن متوسط ​​القيمة (المعروف أيضًا باسم النقطه الوسطى) يجب أن يقع داخل ذلك المستوى. إذا كان الحجم يحتوي على أكثر من مستوى تناظر واحد ، فيجب أن توجد النقطه الوسطى عند تقاطع تلك المستويات.

إذا كان الحجم يحتوي على مستوى من التناظر ، فيجب أن تقع النقطه الوسطى في مكان ما في ذلك المستوى. إذا كان الحجم يحتوي على أكثر من مستوى تناظر واحد ، فيجب أن توجد النقطه الوسطى عند تقاطع تلك المستويات.


أمثلة محلولة لمركز الكتلة للتوزيع المنتظم للكتلة

مثال 5.4

حدد موقع مركز الكتلة لقضيب منتظم كتلته M وطوله ل.

حل

ضع في اعتبارك قضيبًا موحدًا كتلته M وطوله تتطابق نهايته مع الأصل كما هو موضح في الشكل. يتم الاحتفاظ بالقضيب على طول المحور س. للعثور على مركز الكتلة


من هذا القضيب ، نختار dm كتلة صغيرة نسبيًا لطول عنصر dx على مسافة x من الأصل.


الآن ، يمكننا كتابة مركز معادلة الكتلة لتوزيع الكتلة هذا ،


كموقف ل/ 2 هو المركز الهندسي للقضيب ، وخلص إلى أن مركز كتلة القضيب المنتظم يقع في مركزه الهندسي نفسه.


ما هو مركز الثقل؟

مركز الجاذبية هو النقطة التي من خلالها تؤثر قوة الجاذبية على الجسم. في معظم مشاكل الميكانيكا ، يُفترض أن يكون مجال الجاذبية منتظمًا. عندئذٍ يكون مركز الجاذبية في نفس موضع مركز الكتلة تمامًا. غالبًا ما يتم استخدام مصطلحات مركز الثقل ومركز الكتلة بالتبادل نظرًا لأنهما غالبًا ما يكونان في نفس الموقع. ومع ذلك ، فهما ليسا نفس الشيء.

لا يتطابق مركز كتلة الجسم دائمًا مع المركز الهندسي البديهي ، ويمكن للمرء أن يستغل هذه الحرية. يحاول المهندسون تصميم مركز جاذبية سيارة رياضية عند أدنى مستوى ممكن لجعل مقبض السيارة أفضل.

يمكن إيجاد موقع مركز الثقل بجمع ضرب المسافة بالوزن (المنطقة) وقسمتها على مجموع كل الأوزان (المناطق).


4. الكثافة والكتلة ومركز ماس س

• كيف يتم حساب كتلة جسم متفاوت الكثافة؟

• ما هو مركز كتلة الجسم ، وكيف يتم استخدام التكاملات المحددة لحسابه؟

لقد رأينا في العديد من الظروف المختلفة كيف تمكننا دراسة الوحدات على التكامل ومتغير التكامل من فهم معنى التكامل المحدد بشكل أفضل. على سبيل المثال ، إذا ت (ر) هي سرعة جسم يتحرك على طول محور ، وتُقاس بالأقدام في الثانية ، بينما ر يقيس الوقت بالثواني ، ثم كلا من التكامل المحدد وتقريب مجموع ريمان ،

الحصول على وحداتها الإجمالية معطاة من خلال حاصل ضرب وحدات ت (ر) و ر:

يقيس التغيير الكلي في الموضع (بالقدم) من

سيكون هذا النوع من تحليل الوحدة مفيدًا بشكل خاص لنا فيما يلي. للبدء ، في نشاط المعاينة التالي ، نأخذ في الاعتبار تكاملين مختلفين محددين حيث يكون التكامل هو وظيفة تقيس كيفية توزيع كمية معينة على منطقة ما والتفكير في كيفية قيام الوحدات الموجودة في وحدة التكامل ومتغير التكامل بالإشارة إلى معنى متكامل.

معاينة النشاط 4

في كل من السيناريوهات التالية ، نأخذ في الاعتبار توزيع كمية على طول المحور.

(أ) افترض أن الوظيفة ج (س) = 200 + 100e —0.1x نماذج كثافة حركة المرور على طريق مستقيم ، مقاسة بالسيارات لكل ميل ، أين x هو عدد الأميال شرق تقاطع رئيسي ، والنظر في

أنا. ما هي الوحدات الموجودة على المنتج

ثانيا. ما هي الوحدات في التكامل المحدد وتقريب مجموع ريمان المعطى بواسطة

ثالثا. احسب التكامل المحدد

واكتب جملة واحدة لشرح معنى القيمة التي تجدها.

(ب) على رف بطول 6 أقدام مملوء بالكتب ، الوظيفة ب نماذج توزيع وزن الكتب مقاسا بالجنيه في البوصة حيث x هو عدد البوصات من الطرف الأيسر للكتاب-

رفوف. يترك ب (س) أن تعطى بالقاعدة ب (س) = 0.5 +

أنا. ما هي الوحدات الموجودة على المنتج

ثانيا. ما هي الوحدات في التكامل المحدد وتقريب مجموع ريمان المعطى بواسطة

ثالثا. احسب التكامل المحدد

واكتب جملة واحدة لشرح معنى القيمة التي تجدها.

كثافة

ال كتلة من الكمية ، التي تُقاس عادةً بالوحدات المترية مثل الجرامات أو الكيلوجرامات ، هي مقياس لكمية الكمية. في المقابل ، فإن ملف كثافة كائن يقيس توزيع الكتلة لكل وحدة حجم. على سبيل المثال ، إذا كانت كتلة الطوب 3 كجم وحجمها 0.002 م 3 ، فإن كثافة الطوب تكون

وكمثال آخر ، تبلغ كثافة كتلة الماء 1000 كجم / م 3. توضح كل من هذه العلاقات المبدأ العام التالي.

الكثافة والكتلة وحجم أمبير

لجسم ذي كثافة ثابتة د، مع الكتلة م والحجم الخامس ،

لكن ماذا يحدث عندما تكون الكثافة غير ثابتة؟ إذا أخذنا في الاعتبار الصيغة م = د • الخامس ، إنه يذكرنا بمعادلتين أخريين استخدمناهما كثيرًا في العمل الأخير: بالنسبة لجسم يتحرك في اتجاه ثابت ، المسافة = المعدل • الوقت ، وبالنسبة للمستطيل ، تُعطى مساحته بواسطة أ = أنا • ث. تثبت هذه الصيغ عندما تكون الكميات الأساسية المعنية ، مثل معدل تحرك الجسم وارتفاع المستطيل ، ثابت. عندما لا تكون هذه الكميات ثابتة ، فقد لجأنا إلى التكامل المحدد للمساعدة. الفكرة الرئيسية في كل موقف هي أنه من خلال العمل مع شرائح صغيرة من الكمية المتغيرة ، يمكننا استخدام تكامل محدد لجمع قيم القطع الصغيرة التي تحتوي على كمية الفائدة (مثل سرعة جسم متحرك) تقريبا ثابتة.

على سبيل المثال ، في الإعداد حيث لدينا دالة سرعة غير سالبة غير ثابتة ، خلال فترة زمنية قصيرة

نعلم أن المسافة المقطوعة تقريبًا

حيث الخامس <> يكاد يكون ثابتًا على فترة زمنية صغيرة ، ولمعدل ثابت ، المسافة = المعدل • الوقت. وبالمثل ، إذا كنا نفكر في المنطقة الواقعة تحت وظيفة غير سلبية / قيمتها

متغير في فترة قصيرة

المنطقة تحت المنحنى

تقريبًا مساحة المستطيل الذي يبلغ ارتفاعه و (خ)

كلا من هذه المبادئ

ممثلة بصريا في الشكل 6.27.

الشكل 6.27: إلى اليسار ، تقدير كمية صغيرة

مقدار المساحة تحت المنحنى ،

بطريقة مماثلة ، إذا أخذنا في الاعتبار الإعداد الذي تكون فيه كثافة بعض الكمية غير ثابتة ، فإن التكامل المحدد يمكننا من الاستمرار في حساب الكتلة الإجمالية للكمية. طوال الوقت ، سنركز على المشكلات التي تختلف فيها الكثافة في بُعد واحد فقط ، لنقل على طول محور واحد ، ونفكر في كيفية توزيع الكتلة بالنسبة إلى الموقع على طول المحور.

دعونا نفكر في شريط رفيع الطول ب التي تقع بحيث تكون نهايتها اليسرى في الأصل ، حيث س = 0 ، وافترض أن الشريط له مساحة مقطعية ثابتة تبلغ 1 سم 2. نترك الوظيفة ص (خ) تمثل دالة كثافة الكتلة للشريط ، مقاسة بالجرام لكل سنتيمتر مكعب. وهذا هو ، نظرا للموقع س ، ص (س) يخبرنا بالتقريب مقدار الكتلة التي سيتم العثور عليها في شريحة بعرض سنتيمتر واحد من الشريط عند x.

الشكل 6.28: شريط رفيع بمساحة مقطع عرضي ثابت 1 سم 2 مع دالة الكثافة p (x) g / cm 3.

إذا اعتبرنا الآن شريحة رفيعة من شريط العرض

في الشكل 6.28 ، حجم هذه الشريحة هو التقاطع

نظرًا لأن المقاطع العرضية قد احتوت على-

مساحة ثابتة 1 سم 2 ، ويترتب على ذلك أن حجم الشريحة

سم 3. علاوة على ذلك ، نظرًا لأن الكتلة هي نتاج الكثافة والحجم (عندما تكون الكثافة ثابتة) ، فإننا نرى أن كتلة هذه الشريحة المعطاة تساوي تقريبًا

ومن ثم ، بالنسبة لمجموع ريمان المقابل (وبالتالي بالنسبة للتكامل الذي يقارب) ،

نرى أن هذه الكميات تقيس كتلة الشريط بين 0 و b. (مجموع ريمان تقريبي ، بينما التكامل سيكون الكتلة الدقيقة.)

في هذه المرحلة ، نلاحظ أننا سنركز بشكل أساسي على المواقف التي يتم فيها توزيع الكتلة بالنسبة إلى الموقع الأفقي ، x ، للأشياء التي تكون مساحة المقطع العرضي لها ثابتة. في هذا الإعداد ، من المنطقي التفكير في دالة الكثافة p (x) بوحدات وحصة لكل وحدة طول ، مثل g / cm. هكذا عندما نحن

g / cm • cm = g ، مما يقيس كتلة الشريحة. المبدأ العام يتبع.

بالنسبة لجسم ذي مساحة مقطع عرضي ثابت يتم توزيع كتلته على طول محور واحد وفقًا للوظيفة p (x) (وحداتها وحدات كتلة لكل وحدة طول) ، الكتلة الكلية ، M للجسم بين x = a و x = ب معطى

شريط رفيع يحتل الفاصل الزمني

ولها كثافة بالكيلو جرام / م

من ص (س) = 1 + س 2. أوجد كتلة الشريط.

حل. كتلة الشريط بالكيلوغرام هو

النشاط 4-1

ضع في اعتبارك المواقف التالية التي يتم فيها توزيع الكتلة بطريقة غير ثابتة.

(أ) افترض أن قضيبًا رفيعًا بمساحة مقطع عرضي ثابتة تبلغ 1 سم 2 موزعة كتلته وفقًا لدالة الكثافة p (x) = 2e -0.2x ، حيث x هي المسافة بالسنتيمتر من الطرف الأيسر من قضيب ، والوحدات الموجودة على p (x) هي g / cm. إذا كان طول القضيب 10 سم ، فأوجد كتلة القضيب بالضبط.

(ب) ضع في اعتبارك المخروط الذي نصف قطر قاعدته 4 أمتار وارتفاعه 5 أمتار. تخيل المخروط الذي يرقد أفقيًا مع مركز قاعدته في الأصل وفكر في المخروط باعتباره صلبًا للثورة.

أنا. اكتب واحسب تكاملًا محددًا قيمته حجم المخروط.

ثانيا. بعد ذلك ، افترض أن المخروط له كثافة منتظمة تبلغ 800 كجم / م 3. ما كتلة المخروط الصلب؟

ثالثا. لنفترض الآن أن كثافة المخروط & # x27 ليست موحدة ، ولكن المخروط هو الأكثر كثافة في قاعدته. على وجه الخصوص ، افترض أن كثافة المخروط موحدة عبر المقاطع العرضية الموازية لقاعدته ، ولكن في كل مقطع عرضي يمثل مسافة x وحدة من الأصل ، يتم إعطاء كثافة المقطع العرضي

منجم وتقييم تكامل محدد قيمته هي كتلة هذا المخروط ذي الكثافة غير المنتظمة. افعل ذلك بالتفكير أولاً في كتلة شريحة معينة من المخروط x وحدات بعيدة عن القاعدة ، وتذكر أنه في مثل هذه الشريحة ، ستكون الكثافة ثابتة أساسًا.

(ج) دع قضيبًا رفيعًا بمساحة مقطع عرضي ثابت 1 سم 2 وطوله 12 سم يتم توزيع كتلته وفقًا لدالة الكثافة

يقاس بالجرام / سم. ابحث عن الموقع الدقيق z في

التي تقطع الشريط بحيث يكون لكل من القطعتين كتلة متطابقة.

الجدول 6.2: طالب جامعي & # x27s درجات الفصل الدراسي.

صف دراسي المرتبة النقاط الاعتمادات
كيمياء ب + 3.3 5
حساب التفاضل والتكامل أ- 3.7 4
التاريخ ب- 2.7 3
علم النفس ب- 2.7 3

إن مفهوم المتوسط ​​مفهوم طبيعي ، وقد استخدمناه مرارًا وتكرارًا كجزء من فهمنا لمعنى التكامل المحدد. إذا كان لدينا قيم n a1 و a2 و. أ ن ، نحن نعلم أن متوسطها مُعطى بواسطة

وبالنسبة للكمية التي يتم قياسها بواسطة دالة f في فترة [أ ، ب] ، فإن متوسط ​​قيمة الكمية في [أ ، ب] هو

بينما نستمر في التفكير في المشاكل التي تنطوي على توزيع الكتلة ، فمن الطبيعي أن نأخذ في الاعتبار فكرة المتوسط ​​المرجح ، حيث يتم احتساب كميات معينة متضمنة أكثر في المتوسط.

الاستخدام الشائع للمتوسطات الموزونة هو في حساب المعدل التراكمي للطالب & # x27s ، حيث يتم ترجيح الدرجات وفقًا للساعات المعتمدة. لنفكر في السيناريو في الجدول 6.2.

إذا كانت جميع الفصول الدراسية بنفس الوزن (أي نفس العدد من الاعتمادات) ، فسيتم حساب المعدل التراكمي للطالب & # x27s ببساطة عن طريق أخذ المتوسط

ولكن نظرًا لأن دورات الكيمياء وحساب التفاضل والتكامل تحتوي على أوزان أعلى (5 و 4 ساعات معتمدة على التوالي) ، فإننا في الواقع نحسب المعدل التراكمي وفقًا للمتوسط ​​المرجح

يعكس المتوسط ​​المرجح حقيقة أن الكيمياء وحساب التفاضل والتكامل ، باعتبارهما مقررات دراسية ذات اعتمادات أعلى ، لهما تأثير أكبر على الطلاب & # x27 متوسط ​​درجة الدرجات. لاحظ بشكل خاص أنه في المتوسط ​​المرجح ، يتم ضرب كل درجة بوزنها ، ونقسمها على مجموع الأوزان.

في النشاط التالي ، نستكشف كيف يمكن استخدام المتوسطات الموزونة لإيجاد نقطة التوازن لنظام مادي.

النشاط 4-2

بالنسبة للكميات المتساوية في الوزن ، مثل طفلين على أداة ترنح ، يتم العثور على نقطة التوازن بأخذ متوسط ​​مواقعهم. عندما تختلف أوزان الكميات ، نستخدم متوسطًا مرجحًا لمواقع كل منها لإيجاد نقطة التوازن.

(أ) افترض أن طول رف يبلغ 6 أقدام ، وأن نهايته اليسرى تقع عند x = 0. إذا تم وضع كتاب بوزن 1 رطل عند x 1 = 0 ، وكتاب آخر بوزن 1 رطل موضوع في x2 = 6 ، ما هو موقع x ، النقطة التي سيتوازن فيها الرف (نظريًا) على نقطة ارتكاز؟

(ب) الآن ، لنفترض أننا وضعنا أربعة كتب على الرف ، وزن كل منها 1 رطل: في x 1 = 0 في x 2 = 2 في x 3 = 4 وعند x 4 = 6. بحث

إذا تغيرنا مكان الكتاب الثالث؟

لنفترض أن مواقع الكتب التي يبلغ وزنها 1 رطل هي x1 = 0 و x2 = 2 و x3 = 3 و

(د) بعد ذلك ، افترض أننا وضعنا أربعة كتب على الرف ، ولكن بأوزان مختلفة: عند x 1 = 0 كتاب 2 رطل ، في x 2 = 2 كتاب 3 رطل ، و x 3 = 4 كتاب 1 رطل وفي x 4 = 6 كتاب 1 رطل. استخدم المتوسط ​​المرجح لـ

نقطة التوازن على الرف. كيف يمكن لل

مقارنة نقطة التوازن في هذا السيناريو بتلك الموجودة في (ب)؟ (هـ) ماذا يحدث إذا قمنا بتغيير مكان أحد الكتب؟ لنفترض أننا نحتفظ بكل شيء كما هو في (د) ، باستثناء أن x3 = 5. كيف

(و) ماذا يحدث إذا غيرنا وزن أحد الكتب؟ لنفترض أننا نحتفظ بكل شيء كما هو في (د) ، باستثناء أن الكتاب في x3 = 4

يزن الآن 2 رطل. كيف

(ز) قم بتجربة سيناريوهين مختلفين من اختيارك حيث تنقل موقع أحد الكتب إلى اليسار ، أو تقلل من وزن أحد الكتب.

(ح) اكتب جملتين لشرح كيف يؤثر تعديل موقع أحد الكتب أو وزن أحد الكتب على موقع نقطة التوازن على الرف. فكر مليًا هنا في الكيفية التي ينبغي بها النظر في التغييرات الخاصة بك بالنسبة إلى موقع نقطة التوازن

مركز الكتلة

في النشاط 4-2 ، رأينا أن نقطة التوازن في النظام

1 في النشاط ، استخدمناها بالفعل وزن عوضا عن كتلة. نظرًا لأن الوزن يُحسب بواسطة ثابت الجاذبية مضروبًا في الكتلة ، فإن حسابات نقطة التوازن ينتج عنها نفس الموقع بغض النظر عما إذا كنا نستخدم الوزن أو الكتلة ، نظرًا لأن ثابت الجاذبية موجود في كل من البسط والمقام للمتوسط ​​المرجح.

(مثل الكتب الموجودة على الرف) يتم العثور عليها بأخذ متوسط ​​مرجح لمواقع كل منها. في هذا النشاط ، كنا نحسب ملف مركز الكتلة لنظام الكتل الموزعة على طول المحور ، وهو نقطة التوازن للمحور الذي ترتكز عليه الجماهير.

للحصول على مجموعة من ن الجماهير م 1 و. م ن التي يتم توزيعها على طول محور واحد في المواقع x 1 , .. ., x ن , ال مركز الكتلة اعطي من قبل

الشكل 6.29: شريط رفيع من مساحة المقطع العرضي الثابت مع دالة الكثافة p (x) g / cm.

ماذا لو أخذنا في الاعتبار بدلاً من ذلك شريطًا رفيعًا يتم توزيع الكثافة عليه باستمرار؟ إذا كانت الكثافة ثابتة ، فمن الواضح أن نقطة التوازن للشريط هي نقطة المنتصف. ولكن إذا لم تكن الكثافة ثابتة ، فيجب أن نحسب متوسطًا مرجحًا. دع & # x27s نقول أن الوظيفة ص (خ) يخبرنا بتوزيع الكثافة على طول الشريط ، مقاسة بوحدة جم / سم. إذا قمنا بتقسيم الشريط إلى أقسام صغيرة ، فهذا يمكننا من التفكير في الشريط على أنه يحتوي على مجموعة من

الكتل النقطية المجاورة. للحصول على شريحة من السماكة

لاحظ أن كتلة الشريحة ، م أنا , استوفي

مع الأخذ ن شرائح من الشريط ، يمكننا تقريب مركز كتلته بواسطة

إعادة كتابة المبالغ في تدوين سيجما ، يتبع ذلك

علاوة على ذلك ، من الواضح أنه كلما زاد عدد الشرائح ، كلما كان تقديرنا لنقطة التوازن أكثر دقة ، وأن المبالغ في المعادلة (6.1) يمكن اعتبارها ريمان.

مسائل حسابية. ومن ثم ، في حدود

نجد أن مركز

الكتلة ناتجة عن حاصل قسمة تكاملين.

لقضيب رقيق من الكثافة ص (خ) موزعة على طول محور من س = أ ل س = ب ، يتم إعطاء مركز كتلة القضيب بواسطة

لاحظ بشكل خاص أن المقام

شريط ، وأن حاصل قسمة التكاملات هذا هو ببساطة النسخة المستمرة للمتوسط ​​المرجح للمواقع ، س ، على طول الشريط.

شريط رفيع يحتل الفاصل الزمني

ولها كثافة بالكيلو جرام / م

من ص (س) = 1 + × 2. أوجد مركز كتلة الشريط.

حل. من المثال 1 ، كتلة الشريط بالكيلوجرام هي

النشاط 4-3

ضع في اعتبارك شريطًا رفيعًا طوله 20 سم يتم توزيع كثافته وفقًا للوظيفة ص (س) = 4 + 0.1x ، أين س = 0 يمثل الطرف الأيسر للشريط. افترض أن ص يقاس بالجرام / سم و x يقاس بالسنتيمتر.

(أ) أوجد الكتلة الكلية ، م من البار.

(ب) بدون إجراء أية حسابات ، هل تتوقع أن يكون مركز كتلة العمود مساويًا لـ 10 ، أو أقل من 10 ، أو أكبر من 10؟ لماذا ا؟

المركز الدقيق لكتلة الشريط.

(د) ما هو متوسط ​​كثافة العارضة؟

(هـ) فكر الآن في دالة كثافة مختلفة ، معطاة بواسطة ص (س) = 4e 0.020732x ، أيضًا لقضيب طوله 20 سم ويكون نهايته اليسرى عند س = 0. ارسم كلاهما ص (خ) و ص (خ) على نفس المحاور. بدون إجراء أي حسابات ، ما هو الشريط الذي تتوقع أن يكون له مركز الكتلة الأكبر؟ لماذا ا؟

(و) احسب مركز الكتلة الدقيق للشريط الموصوف في (هـ) الذي تكون دالة كثافته ص (س) = 4e 0.020732x. تحقق من النتيجة مقابل التنبؤ الذي قمت به في (هـ).

ملخص

في هذا القسم ، واجهنا الأفكار المهمة التالية:

• لجسم ذي كثافة ثابتة D ، مع حجم الخامس وكتلة م ، نعرف ذلك م = د • الخامس.

• إذا كانت كثافة جسم ذي مساحة مقطع عرضي ثابتة (مثل شريط رفيع) موزعة على طول محور وفقًا للوظيفة p (x) ، فيمكننا إيجاد كتلة الجسم بين س = أ و س = ب بواسطة

• لنظام كتل نقطية موزعة على طول محور ، على سبيل المثال م 1 , . . . , م ن في المواقع x 1 , . . . , x ن ، مركز

يُعطى بالمتوسط ​​المرجح

إذا كان لدينا بدلاً من ذلك كتلة موزعة بشكل مستمر على طول المحور ، مثل دالة الكثافة ص (خ) للحصول على شريط رفيع من مساحة المقطع العرضي الثابت ، يكون مركز كتلة الجزء الموجود بينهما س = أ و س = ب اعطي من قبل

يمثل نقطة التوازن لنظام الجماهير أو جزء من الشريط.

تمارين

1) T / F: تم العثور على الصيغة المتكاملة لحساب طول القوس من خلال تقريب طول القوس أولاً مع مقاطع الخط المستقيم.

2) T / F: تتضمن الصيغة المتكاملة لحساب طول القوس الجذر التربيعي ، مما يعني أن التكامل ربما يكون سهلاً.

مشاكل

3) دع قضيبًا رفيعًا بطول a له دالة توزيع الكثافة p (x) = 10e -0.1x ، حيث يتم قياس x بالسنتيمتر و ص بالجرام لكل سنتيمتر.

(أ) إذا كانت كتلة القضيب 30 جم ، فما قيمة a؟

(ب) بالنسبة لقضيب 30 جم ، هل يقع مركز الكتلة عند منتصفه أم على يسار نقطة المنتصف أم على يمين نقطة المنتصف؟ لماذا ا؟

(ج) بالنسبة لقضيب 30 جم ، أوجد مركز الكتلة ، وقارن توقعاتك في (ب).

(د) ما هي قيمة x التي ينبغي قطع قضيب 30g فيها لتكوين قطعتين متساويتين الكتلة؟

4) ضع في اعتبارك شريطين رفيعين بمساحة مقطع عرضي ثابت ، طول كل منهما 10 سم ، مع عرين كتلة خاص بهما

(أ) أوجد كتلة كل شريط.

(ب) أوجد مركز الكتلة لكل قضيب.

(ج) الآن ضع في اعتبارك شريطًا جديدًا يبلغ طوله 10 سم تكون دالة كثافة كتلته f (x) = p (x) + p (x).

أنا. اشرح كيف يمكنك بسهولة العثور على كتلة هذا الشريط الجديد مع القليل من العمل الإضافي أو بدونه.

قدر الإمكان ، في ضوء الحسابات السابقة. ثالثا. صح أم خطأ: مركز كتلة هذا الشريط الجديد هو متوسط ​​مراكز الكتلة للشريطين السابقين. اكتب جملة واحدة على الأقل لتوضح سبب منطقي لاستنتاجك.

5) ضع في اعتبارك المنحنى المعطى بواسطة y = f (x) = 2xe —1.25x + (30 - x) e -0.25 (30-x).

(أ) ارسم هذا المنحنى في النافذة x = 0. . . 30، y = 0. 3 (بمقياس مقيد بحيث تكون الوحدات على المحور x و y متساوية) ، واستخدمها لتوليد ثورة صلبة حول المحور x. اشرح لماذا هذا المنحنى يمكن أن يولد نموذجًا معقولًا لمضرب بيسبول.

(ب) دع x و y يقاسان بالبوصة. أوجد الحجم الإجمالي لمضرب البيسبول الناتج عن تدوير المنحنى المحدد حول المحور x. قم بتضمين وحدات في إجابتك

(ج) افترض أن مضرب البيسبول له كثافة وزن ثابتة ، وأن كثافة الوزن تساوي 0. 6 أونصات لكل بوصة مكعبة. أوجد الوزن الإجمالي للمضرب الذي وجد حجمه في (ب).

(د) نظرًا لأن مضرب البيسبول لا يحتوي على مساحة مقطعية ثابتة ، فإننا نرى أن مقدار الوزن المركّز في موقع x على طول الخفاش يتحدد بحجم الشريحة في الموقع x. اشرح لماذا يمكننا التفكير في الوظيفة

(حيث f هي الوظيفة المعطاة

في بداية المشكلة) باعتبارها دالة كثافة الوزن لكيفية توزيع وزن مضرب البيسبول من x = 0 إلى x = 30. (هـ) احسب مركز كتلة مضرب البيسبول.


6.3: الكثافة والكتلة ومركز الكتلة

إذا كان الكائن قيد النظر مستمرًا ، إذن

أين كثافة الكتلة للجسم ، والحجم الذي يشغله العنصر التاسع. هنا ، من المفترض أن هذا الحجم صغير مقارنة بالحجم الكلي للجسم. أخذ الحد الذي يذهب إليه عدد العناصر إلى ما لا نهاية ، ويذهب حجم كل عنصر إلى الصفر ، Eqs. (325) و (326) يعطيان الصيغة المتكاملة التالية لمتجه موضع مركز الكتلة:

هنا ، يتم أخذ التكامل على الحجم الكامل للجسم ، وهو عنصر من هذا الحجم. بالمناسبة ، تشير علامة التكامل الثلاثية إلى تكامل وحدة التخزين: أي تكامل متزامن على ثلاثة إحداثيات ديكارتية مستقلة. أخيرًا ، بالنسبة لجسم كثافة كتلته ثابتة - وهو النوع الوحيد من الكائن الذي يجب أن نفكر فيه في هذه الدورة التدريبية - يقل التعبير أعلاه إلى

أين حجم الجسم. وفقًا لـ Eq. (328) ، يقع مركز الكتلة لجسم ذي كثافة منتظمة في المركز الهندسي لذلك الجسم.

بالنسبة للعديد من الأجسام الصلبة ، يتبع موقع المركز الهندسي التناظر. على سبيل المثال ، المركز الهندسي للمكعب هو نقطة تقاطع أقطار المكعب. انظر الشكل 72. وبالمثل ، يقع المركز الهندسي للأسطوانة اليمنى على المحور ، في منتصف الطريق لأعلى الأسطوانة. انظر الشكل 73.

كتوضيح لاستخدام الصيغة (328) ، دعونا نحسب المركز الهندسي لهرم منتظم ذي جوانب مربعة. يوضح الشكل 74 مثل هذا الهرم. اسمحوا ان يكون طول كل جانب. ويترتب على ذلك ، من علم المثلثات البسيط ، أن ارتفاع الهرم هو. افترض أن قاعدة الهرم تقع على المستوى - والقمة محاذية للمحور ، كما هو موضح في الشكل. ويترتب على ذلك ، من التناظر ، أن المركز الهندسي للهرم يقع على المحور -. يبقى فقط حساب المسافة العمودية ، بين المركز الهندسي وقاعدة الهرم. يتم الحصول على هذه الكمية من مكون المعادلة. (328):

حيث يتم أخذ التكامل على حجم الهرم.

في التكامل أعلاه ، تكون حدود التكامل لـ ، على التوالي (أي من القاعدة إلى قمة الهرم). الحدود المقابلة للتكامل من أجل و هي على التوالي (أي أن الحدود عند قاعدة الهرم وعند القمة). ومن ثم ، مكافئ. (329) يمكن كتابتها بشكل أكثر وضوحًا كـ

كما هو موضح أعلاه ، من المنطقي إجراء - و - التكاملات قبل - ، لأن حدود تكامل - و - التكاملات تعتمد على. أداء الأوجه ، نحصل عليها

أداء الأوجه ، نحصل عليها

أخيرًا ، نحصل على الأعداد الصحيحة

وهكذا ، يقع المركز الهندسي للهرم المنتظم ذي الجوانب المربعة على محور التناظر ، أي ربع المسافة من القاعدة إلى القمة.


الكتلة والوزن والكثافة

كلمات I: بالكاد يعتقد معظم الناس أن هناك فرقًا بين "الوزن" و "الكتلة" ولم يكن من الممكن أن يختبر الشخص العادي ، حتى بشكل غير مباشر ، ما يجب أن يعنيه حتى بدأنا استكشاف الفضاء أن تكون "عديمة الوزن". لقد ارتبك الجميع حول الفرق بين "الوزن" و "الكثافة". من منا لم يسقط في اللغز القديم: ما الذي يزن أكثر ، رطل من الرصاص أم رطل من الريش؟ الآن بعد أن أظهر رواد الفضاء بانتظام "انعدام الوزن" ، (ومع ذلك فنحن نعلم أنهم لا يزالون يمتلكون كل المادة أو الكتلة التي كانوا يمتلكونها عندما كانوا على الأرض) ، بدأ الكثير منا في تقدير الخلط بين الوزن والكتلة. مثل العديد من المفاهيم المربكة ، بعد فهمها أخيرًا ، لا يزال من الصعب شرحها للآخرين الذين لا يفهمون. نأمل أن نتمكن من شرح الفرق بين الكتلة والوزن والكثافة بوضوح بحيث لن تواجه مشكلة في شرح الفرق لطلابك.

الكتلة: هذا المفهوم أساسي جدًا ، مثل الطول والوقت ، من المستحيل حقًا تحديده. أطلق إسحاق نيوتن على الكتلة كمية المادة. يمكننا أن نتحدث في كل مكان ولكن علينا في النهاية أن نعترف بأن كلماتنا تفشل. يقول البعض أن الكتلة هي مقدار المادة في شيء ما (ونأمل ألا يسأل أحد: ما هي المادة؟). يقول آخرون إن الكتلة هي مقياس القصور الذاتي للكائن (الذي يفترض أننا نفهم الخاصية المراوغة للقصور الذاتي). للإضافة إلى الارتباك ، ترتبط الكتلة بقصور الجسم الذاتي ولكنها ترتبط أيضًا بمدى انجذاب الأشياء الصعبة إلى الأرض. لقد تم الخلط بين عقول أفضل من عقولنا حول معنى مفهوم "الكتلة" وحتى اليوم ، تفكر عقول أفضل من عقولنا في معنى الكتلة حقًا. طريقتنا في التخلي عن المهمة المستحيلة لتحديد الكتلة هي أن نقول: الكتلة هي قياس كمية "الأشياء" في شيء ما. هذا التعريف محير بشكل صحيح ويمكنك العمل على معنى "الأشياء"! في النظام المتري ، تُقاس الكتلة بالكيلوجرام والجرام وستكون هذه هي الوحدات التي سنستخدمها غالبًا. (في الولايات المتحدة اليوم ، لا يعرف أحد تقريبًا اسم وحدة الكتلة - ليس الجنيه. الجنيه هو وحدة وزن - المزيد عن الوزن في الفقرة التالية. كلما زادت الكتلة ، زادت صعوبة إنها تتحرك أو ، كلما كانت بطيئة. وحدة الكتلة الأمريكية الصحيحة تسمى "سبيكة" - اختصار للتباطؤ - ولكن ، كما قلنا ، لا أحد يستخدم هذه الوحدة تقريبًا اليوم.)

الوزن: إذا تمكنت أخيرًا من قبول مفهوم الكتلة حتى لو لم نتمكن من تحديدها ، فالوزن سهل: وزن الكتلة هو القوة التي تسحبها الأرض على الكتلة.نأمل أن يكون لديك شعور بما تعنيه القوة (وسنناقشها لاحقًا). يمكن فهم فكرة الوزن بأكملها على أنها قوة الجاذبية على شيء ما. عادةً ما نقضي معظم وقتنا على الأرض ، لذا فإن وزننا هو القوة التي تجذبها الأرض علينا. إذا ابتعدنا عن الأرض ، فإن القوة التي تسحبها الأرض علينا ستكون أقل ووزننا أقل. إذا كنت تعيش على كوكب المريخ ، فمن المحتمل أن يتغير التعريف أعلاه إلى: "وزن الكتلة هو القوة التي يسحبها المريخ على الكتلة." ترتبط فكرة الوزن برمتها بقوة الجاذبية (ونحن نكره استخدام كلمة "الجاذبية" لأنها يمكن أن تثير المزيد من الارتباك). سيكون من الصحيح القول ، بغض النظر عن المكان الذي قد تكون فيه في الكون أن "وزن الكتلة هو قوة الجاذبية على الكتلة." في النظام المتري تُقاس القوة بالنيوتن ، وبالتالي يُقاس الوزن أيضًا بالنيوتن. ستتعلم لاحقًا أنه على سطح الأرض ، تزن كتلة 1 كجم 9.8 نيوتن. (ربما لن تتعلم أبدًا في أي مكان على سطح الأرض ، أن سبيكة واحدة تزن 32.2 رطلاً - لا تقلق بشأن ذلك ، قلة قليلة من الناس يعرفون ذلك!) الجنيه هو وحدة القوة الأمريكية ومن ثم وحدة الوزن الأمريكية هو أيضا الجنيه. سنستخدم النيوتن لوحدة القوة (والوزن) دائمًا تقريبًا في المناقشات التالية.

الكثافة: هناك نوعان من الكثافة ، "كثافة الوزن" و "كثافة الكتلة". سنستخدم كثافة الكتلة فقط وعندما نقول: "كثافة" ، فإننا نعني "كثافة الكتلة". الكثافة كتلة لكل حجم. الرصاص كثيف ، والستايروفوم ليس كذلك. تم تصميم النظام المتري بحيث تكون كثافة الماء جرامًا واحدًا لكل سنتيمتر مكعب أو 1000 كجم لكل متر مكعب. الرصاص هو حوالي 10 أضعاف كثافة الماء والستايروفوم هو حوالي عُشر كثافة الماء.

الغرض الثاني من النشاط:

الغرض من هذا النشاط هو التحقق من معنى الكتلة والوزن والكثافة من خلال النظر في كيفية قياس كل منها.

ثالثًا المواد المطلوبة للنشاط:

صندوق واحد على الأقل من مشابك الورق # 1 (صغير) ، 20 (أو أكثر) من العصابات المطاطية الرفيعة الطويلة (# 19 ستعمل - بسماكة 1/16 بوصة وطول 3+ بوصة) ، ماصات للشرب ، علامة مائلة دقيقة قلم (Sharpie) ، شريط سكوتش ، 40 (أو أكثر) 1 أونصة أو 2 أونصة من الأكواب البلاستيكية (تبيعها Dixie في علب 800 بسعر أقل من 10 دولارات - انظر ما إذا كانت مقصف مدرستك بها) ، والكثير من البنسات (لاستخدامها كـ " أوزان ") ، خيط خفيف ، 20 (أو أكثر) مسطرة خشبية مثقوبة خصيصًا أو مقاطع مقطوعة من قولبة خشبية ، حوالي رطل أو اثنين من كل مما يلي كما هو متاح: الرمل ، الأرز ، نشارة الخشب ، الستايروفوم المسحوق الناعم (ضع عبوة من الستايروفوم أكواب في كيس بلاستيكي ورطل - نعم ، هذا يمكن أن يحدث فوضى) ، رصاصة (هل يمكن استخدامها مع الأطفال؟ يمكن الحصول على رصاصة من متجر الأسلحة والذخيرة) ، أي مادة صلبة أخرى مطحونة بدقة يمكن أن تكون تستخدم لتوضيح مجموعة متنوعة من الكثافات المختلفة. (لقد تجنبنا السوائل لأنها تبدو أنها تسبب فوضى أكبر).

رابعا ما يجب على المعلم القيام به قبل النشاط:

نشعر أن أصعب عنصر تحضيري لهذا النشاط هو جعل المسطرة المثقوبة أو تحضير أقسام من الخشب مثقوبة بشكل صحيح. (هل من الممكن تعيين مهام مثل هذه للآباء الذين لديهم مرافق تسوق أفضل في المنزل؟) ستصبح هذه بمثابة عوارض التوازن لتوازننا الشامل. الأبعاد الفعلية لشعاع التوازن ليست حرجة للغاية والمسطرة الخشبية على ما يرام - أفضلها هي تلك القديمة التي فقدت الشريط المعدني الذي غالبًا ما يكون موجودًا على طول حافة واحدة. فيما يلي وصف وتوضيح لكيفية بناء عارضة التوازن:

يجب أن يكون الثقب المركزي في المركز تمامًا بحيث عندما يتم دعم الشعاع بواسطة مسمار من خلال هذا الثقب المركزي ، فإنه يدور بحرية. يجب أن تكون الفتحتان النهائيتان على نفس الخط مع الفتحة المركزية وأن تكون المسافة بينهما متساوية على كل جانب. يجب حفر فتحتين أخريين على خط أعلى الفتحة المركزية مباشرة. حجم الثقب ليس حرجًا ، حوالي 1/8 من البوصة جيدة. (نأمل مخلصين ألا يكون من الصعب عليك تحقيق ذلك. لقد انخدعنا بشماعات معدنية ، وما إلى ذلك ، ولكن لا شيء بسيط يبدو أنه يعمل بالإضافة إلى عصا مُعدة بعناية.)

سيكون من الضروري عمل ثقوب في أكواب القطع. هل يجب عليك القيام بذلك مقدمًا أم هل يمكن لطلابك القيام بذلك؟ مسمار صغير يعمل بشكل جيد لهذا الغرض. ربما يمكن توفير الوقت في الفصل إذا تم قطع الأوتار اللازمة للطول مسبقًا (وربما حتى ربطها بالكؤوس).

يتطلب بناء "مقياس الوزن" بعض القطع الدقيق للقشة التي يمكن إجراؤها باستخدام مقص جيد أو سكين حاد. نعتقد أن الأطفال يمكنهم القيام بكل ذلك ولكن الأمر سيستغرق وقتًا. يجب عليك بناء نموذج أولي واحد لمقياس الوزن مقدمًا حتى تتمكن من العمل على تفاصيل البناء وتحديد مقدار القطع الذي يجب القيام به مسبقًا.

مخطط التدريس واقتراحات العرض:

(نذكرك مرة أخرى بأننا لا نعرف حقًا أفضل طريقة لتعليم هذه المفاهيم للطلاب الصغار. فيما يلي اقتراحات لبناء واستخدام المعدات وكيف تصورنا أنه يمكن للمرء استخدام هذه الأشياء ولكن أنت فقط من يمكنه معرفة أفضل طريقة لتقديم هذه المواد إلى طلابك.)

قياس الكتلة: تقاس الكتلة عادة بميزان. الفكرة هي مقارنة الجسم المجهول بكتلة كمية معروفة. الموضح أدناه هو الجهاز الذي سنستخدمه لقياس الكتلة وسنطلق عليه اسم "Mass Balance".

نظرًا لأن كل شخص لديه الكثير من البنسات وجميع البنسات لها نفس الكتلة تقريبًا ، فسنستخدم البنس كمعيار للكتلة لدينا. (اتضح أن متوسط ​​الكتلة المعدنية تبلغ حوالي 2.6 جرامًا ، ويمكنك التحويل إلى جرامات إذا كنت ترغب في ذلك ، ولكن في الوقت الحالي ، سنحدد الكتلة ببساطة في "البنسات".) يتم إنجاز قياس الكتلة ببساطة عن طريق وضع الشيء المجهول في كوب واحد من Mass Balance ومعرفة عدد البنسات الموضوعة على الجانب الآخر لتحقيق التوازن. يجب عليك أولاً التحقق من Mass Balance مع عدم وجود أي شيء في أي من الكوبين لمعرفة ما إذا كان "صفرًا" بشكل صحيح. يجب أن تلاحظ أن الميزان يكون أكثر حساسية عندما يكون مشبك الورق العلوي في الفتحة المركزية (في الحقيقة إنه حساس للغاية هنا) وسيكون أقل حساسية عند استخدام الثقوب الأعلى. يمكن تصحيح الأخطاء الطفيفة في القراءة الصفرية باستخدام مقاطع سلسلة أقصر أو أطول على الجانب المناسب. تأكد من تدوير كل مشابك الورق بحرية في الفتحات المحفورة. لن يعمل الميزان بشكل صحيح إذا كانت مشابك الورق معلقة. يمكن تحميل ميزان الكتلة مع الأكواب على المنضدة وسحب مشبك الورق الداعم لأعلى قليلاً سيختبر حالة التوازن. نقترح أن يبدأ الطلاب بمطابقة البنسات على اليسار مع البنسات على اليمين (ويجب أن يكتشفوا أن كل البنسات ليست متماثلة حقًا - هذا حقيقي!) بعد أن يصبح الطلاب على دراية باستخدام الميزان ، نحن تشير إلى أن أحجامًا متساوية تقريبًا من المواد المتنوعة (الرمل ، والأرز ، والمعدن ، والستايروفوم) يمكن قياسها. إذا كنت تستخدم كوب كوب Dixie بحجم 1 أونصة ، فمن الممكن رسم خط على الكوب 1.4 سم فوق القاع ويمثل 10 سم مكعب وخط 2.3 سم فوق قاع الكوب سيمثل 20 سم مكعب ( أو مليلتر).

السؤال المهم للغاية الذي يجب مراعاته الآن هو: إذا استخدمت ميزان الكتلة هذا على القمر أو على سطح المريخ ، فهل ستتطلب نفس كمية المواد الموجودة على جانب واحد نفس عدد البنسات الموجودة على الجانب الآخر لموازنتها كما فعلت على الأرض؟ بطبيعة الحال ، لا توجد طريقة سهلة لإجراء مثل هذه التجربة ، ولكن جعل الطلاب يفكرون في ذلك من شأنه أن يساعدهم على البدء في فهم الفرق بين الوزن والكتلة. الكتلة أو كما يقول نيوتن ، كمية المادة في جسم ما ، لا تتغير عندما تغير موقعك في الفضاء ، لكن كما سنرى قريبًا ، يتغير الوزن.

قياس الوزن: باستخدام قشة مجزأة بعناية ، ومشبك ورق مثني ، وشريط مطاطي ، وبعض الخيط ، وكوب صغير ، وبطاقة 3X5 وبعض الشريط اللاصق ، سنقوم ببناء "مقياس الوزن" الموضح أدناه:

(نظرًا لأننا واجهنا صعوبة في ربط قطعة الشريط المطاطي بالخيط ، فقد قررنا أن نعرض لك "منحنى كاريك" الذي يعمل جيدًا في هذا الموقف. تعمل العقدة الانزلاقية البسيطة بشكل جيد في الجزء السفلي حيث يتصل الشريط المطاطي بالملف مشبك ورق مثني بكفالة. سيعطيك مخطط تفصيلي لاحق للبناء توضيحًا أفضل لمقياس الوزن.)

سيقوم الطلاب بمعايرة مقياس الوزن هذا باستخدام البنسات ووضع علامة على بطاقة 3 × 5 بقلم تعليم أثناء تمرين المعايرة. يمكن ربط الشريط المطاطي بكفالة الكوب بسهولة من خلال عقدة انزلاقية ، لكن ربط الخيط بالشريط المطاطي يمثل مشكلة بسيطة - تظهر العقدة المقترحة مع الرسم التوضيحي. الفكرة بأكملها هي أن يكون هناك صفر من المقياس في الجزء السفلي من البطاقة باستخدام تقاطع الشريط المطاطي كمؤشر. مع وجود حوالي 25 بنسًا في الكوب ، سيمتد الشريط المطاطي إلى أعلى البطاقة تقريبًا. (أنت تمسك المقياس بالخيط الذي تم تمريره عبر قطعة صغيرة من القش الملصقة على البطاقة.) سيقوم الطلاب بتحميل الكوب بعناية مع البنسات ووضع علامة على البطاقة على فترات تبلغ حوالي 5 قروش.

يتم عرض بناء أكثر تفصيلاً لمقياس الوزن "أدناه". (مرة أخرى ، نقترح عليك إنشاء واحدة مسبقًا حتى تتمكن من تقييم مدى صعوبة بنائها.) لاحظ أنه في الرسم التخطيطي للبناء "أدناه" ، نوضح كيف يجب تقسيم القشة بحيث يمكن ربطها بـ 3 بطاقة X 5. (في المقياس النهائي ، من الطبيعي أن يتم وضع الخيط والشريط المطاطي داخل أقسام القش.) من المهم أن يكون الطول السفلي للقشة طويلًا بما يكفي لتمتد من الجزء العلوي من مشبك الورق "الكفالة" إلى الجزء السفلي من البطاقة مع الشريط المطاطي يبرز من الأعلى. يجب أن تكون قادرًا على ربط الشريط المطاطي بالخيط وأن يكون تقاطع الاثنين في الطرف السفلي من 3 × 5 مع عدم وجود أي شيء في الكوب.

هذا هو "أدناه" المشار إليه في الفقرة أعلاه. قررنا أن الأمر سيستغرق صورة كبيرة لإظهار التفاصيل الضرورية ، لذلك ، إذا كان لديك متسع من الوقت ، فانقر هنا للحصول على تفاصيل إنشاء مقياس الوزن.

بعد أن يقوم الطلاب بمعايرة مقياس الوزن ، قد يكون من الممتع أن يروا ما إذا كان بإمكانهم تخمين عدد البنسات التي تم تحميلها في فنجانهم بواسطة طالب آخر. سيتعلمون من هذا كيفية القراءة بين العلامات التي وضعوها على بطاقاتهم (وهذا ما يسمى الاستيفاء) وسيتعلمون أيضًا أن المقياس ليس دقيقًا للغاية. ومع ذلك ، فإن جميع الأدوات أقل من مثالية عند مستوى ما ويجب أن يساعدهم هذا المقياس الخام على إدراك هذه الحقيقة. (نعتقد أنه من الجيد أن يكون المقياس غير مكلف للغاية ويمكن للطلاب الذين يرغبون في بناء واحد في المنزل.)

يمكن أيضًا استخدام مقياس الوزن هذا لقياس بعض المواد الأخرى التي تم قياسها باستخدام ميزان الكتلة. نأمل أن يكتشفوا أنهم سيقتربون جدًا من الإجابة نفسها في "البنسات" للكتلة كما تم قياسها في ميزان الكتلة والوزن كما تم قياسه على مقياس الوزن. (لذا تسأل - ما هو الفرق بين الوزن والكتلة؟) الآن يأتي السؤال الرئيسي الذي يجب طرحه على الفصل: إذا أخذت ميزان الكتلة ومقياس الوزن المعاير إلى القمر ، هل تعتقد أنهما سيعطيان نفس القياس كما على الأرض؟ تذكر أنك تقوم دائمًا بموازنة الكائن المجهول مقابل عدة بنسات مع Mass Balance ولكنك تترك الكائن المجهول يسحب لأسفل مقابل الشريط المطاطي المُعاير على مقياس الوزن. نأمل أن تساعد هذه التجربة الفكرية الطلاب على رؤية أن الميزان الشامل سيقيس نفس الشيء بغض النظر عن مكانه في الفضاء ، لكن مقياس الوزن ، الذي يقيس مدى صعوبة سحب الجاذبية لأسفل على الجسم ، سيعطي قراءة أصغر على القمر. (هذه أشياء محيرة وسيجد معظم طلاب الجامعات صعوبة في فهمها. ربما إذا بدأ أطفالك في التفكير في الأمر مبكرًا بما يكفي ، فقد يتوصلون إلى فهم أفضل للاختلاف بين الوزن والكتلة عندما يكبرون.)

قياس الكثافة: نظرًا لأن الكثافة هي الكتلة لكل حجم ، فإن الطريقة الأكثر مباشرة لقياس كثافة شيء ما هي قياس كتلته ، ثم قياس حجمه وقسمة الكتلة على الحجم. يمكننا فعل ذلك بالضبط في هذا النشاط ولكن في هذه المرحلة ليس لدينا طريقة جيدة لقياس الحجم. إذا كان لديك أسطوانة متدرجة (ليست باهظة الثمن ولكن معظم المدارس الابتدائية لا تمتلكها) يمكنك استخدامها مع بعض الماء لتمييز "الكؤوس الصغيرة" بأحجام معينة. (لقد اقترحنا بالفعل أن الكؤوس الصغيرة سعة 1 أوقية ستحتوي على 10 سنتيمترات مكعبة عند ملؤها إلى نقطة 1.4 سم فوق القاع وستحتوي على 20 سم مكعب عند ملؤها إلى نقطة 2.3 سم فوق القاع). الكثافة ، نشعر أنه سيكون كافياً للطلاب أن يدركوا أن الحجم نفسه يمكن أن يكون كتلة كبيرة أو كتلة صغيرة اعتمادًا على المادة المعنية. خطتنا هي الحصول على نفس الحجم من عدة مواد مختلفة وقياس كتلتها باستخدام Mass Balance. نأمل أن يساعد هذا التمرين الطلاب على البدء في رؤية العلاقة بين الكتلة والحجم والكثافة.

(تبدأ الصفحة التالية في "ورقة نشاط الطالب". نقترح إعادة إنتاجها بأعداد كافية للفصل بأكمله. وأفضل طريقة لتحديد ما إذا كان الطلاب يعملون بشكل فردي أو في مجموعات ، ومع ذلك ، تحتاج بعض التمارين إلى اثنين على الأقل الناس لعقد واستخدام الجهاز.)

الكتلة والوزن والكثافة - كيف تُقاس المادة وكيف تتفاعل مع المادة الأخرى وكيف تملأ الفضاء.

أيهما أثقل رطل من الريش أم رطل من الرصاص؟ إذا لم تكن قد سمعت هذا السؤال الخادع القديم من قبل - ففكر فيه. الآن جرب هذا: الذي يشغل مساحة أكبر ، رطل من الريش أم رطل من الرصاص؟ أخيرًا ، فكر في هذا: ما الذي يزن أكثر من 100 بنس على الأرض أم 100 بنس على القمر؟ تتطلب الإجابة على كل من هذه الأسئلة أن تفهم الفرق بين الكتلة والوزن والكثافة.

ستقيس كتلة الأشياء بمقارنتها بكتلة البنسات مع شيء نسميه "توازن الكتلة". على الرغم من أن الكتلة تقاس عادة بالكيلوجرام أو الجرام ، إلا أننا سنقيس الكتلة بـ "البنسات". يظهر ميزان الكتلة أدناه.

يقيس هذا الميزان الكتلة بوحدات "بنس واحد".

قم أولاً باختبار ميزان الكتلة لمعرفة ما إذا كانت "صفرية". عندما ترفعه من وسط مشبك الورق ، يجب أن يظل مستويًا إلى حد ما. عندما يكون المشبك في الفتحة العلوية ، فإنه سيتوازن بسهولة. إذا وضعت المشبك في الفتحة السفلية ، فمن المحتمل أن يكون حساسًا للغاية بحيث لا يمكن تحقيق التوازن على الإطلاق. اختبر ميزان الكتلة عن طريق وضع 5 بنسات في كلا الكوبين وارفعها برفق عن الطاولة - يجب أن تتوازن. اطلب من أحد الطلاب وضع عدد من البنسات سراً في كوب واحد ومعرفة ما إذا كان يمكنك معرفة عدد البنسات الموجودة في الكوب عن طريق مطابقتها مع بنسات في الكوب الآخر. (ستجد أنه ليست كل البنسات متطابقة تمامًا.) بعد أن تتعلم كيفية استخدام الميزان الشامل ، سيتم إعطاؤك عدة مواد مختلفة لقياسها. قم دائمًا بقياس نفس الحجم من المواد المعينة ، أي قم دائمًا بملء المادة بنفس المستوى على الكوب الموجود على اليسار وابحث عن كتلتها عن طريق وضع البنسات في الكوب على اليمين. سجل بياناتك في جدول مثل الجدول أدناه:

اسم المادة التي يتم قياسها

كتلة المواد في "البنسات"

(الاسم الأول مقاس هنا)

(سجل كتلته بالبنسات هنا)

إليك سؤال مهم يجب التفكير فيه: إذا أخذت توازن الكتلة الخاص بك إلى القمر وكررت هذه التجربة ، هل ستحصل على نفس النتيجة؟ (اطلب من معلمك أن يناقش معك معنى الكتلة - فهذا أمر محير لكثير من الناس.)

سوف تقوم بإنشاء ومعايرة مقياس الوزن. يعمل هذا المقياس عن طريق قياس مدى قدرة عدد معين من البنسات على مد قطعة من الشريط المطاطي. المقياس موضح أدناه:

قياس الوزن بوحدات البنسات.

بعد إنشاء مقياس الوزن (سيقدم لك معلمك التعليمات) ، ستقوم بمعايرته باستخدام البنسات. بينما يحمل أحد الطلاب مقياس الوزن بعناية من خلال السلسلة ، يقوم الطالب الآخر بوضع خط على البطاقة. أول علامة على البطاقة حيث تلامس العقدة البطاقة مع عدم وجود أي شيء في الكوب (سيكون هذا هو خط الصفر على المقياس). أضف الآن 5 بنسات إلى الكوب وحدد بعناية مكان تلامس العقدة للبطاقة. (تدرب بالقلم الرصاص أولاً حتى تتعلم كيفية القيام بذلك). "قم بمعايرة" مقياسك بحذر بإضافة 5 بنسات في كل مرة ووضع علامة على مكان ملامسة العقدة للبطاقة. ستكون الأرقام على مقياسك هي 0 ، 5 ، 10 ، 15 ، 20 ، 25 ربما لن تتمكن من الحصول على المزيد. (لا تتوقع أن تكون الأرقام متباعدة بشكل متساوٍ - فالأربطة المطاطية لا تعمل بهذه الطريقة.) إذا قمت بمعايرة ميزانك جيدًا ، يجب أن تكون قادرًا على معرفة عدد البنسات التي وضعها شخص ما في الكوب دون حسابها فعليًا . كما هو الحال مع توازن الكتلة ، يجب أن تزن بعض المواد التي يوفرها معلمك. املأ الكوب دائمًا بنفس حجم المادة. اصنع طاولة مثل ما يلي:

اسم المادة التي يتم وزنها

وزن المادة بـ "البنسات"

(اذكر اسم المادة الأولى التي تم وزنها هنا)

(أعط وزن المادة بالبنسات هنا)

على الرغم من أن قياساتك ليست مثالية (لا توجد قياسات على الإطلاق) ، يمكنك استخدام مقياس الوزن المُعاير للعثور على وزن الأشياء المتنوعة ويمكنك حتى استخدامه لحساب عدد البنسات. يأتي الآن سؤال مهم للغاية: إذا أخذت مقياس الوزن المعاير إلى القمر ، فهل سيعمل بنفس الطريقة التي يعمل بها على الأرض؟ إذا ملأته بنفس القدر من البنسات ، فهل يمتد الشريط المطاطي إلى نفس العلامة؟ اطلب من معلمك مناقشة هذا الأمر معك ومعرفة ما إذا كان بإمكانك فهم الفرق بين الوزن والكتلة.

تخبرنا الكثافة عن مقدار الأشياء التي تم تعبئتها في مساحة معينة. الرصاص كثيف جدًا ، والستايروفوم ليس كثيفًا على الإطلاق. يمكن قياس الكثافة بالجرام لكل سنتيمتر مكعب. في تجاربنا ، يمكن قياس الكثافة بـ "بنسات لكل كوب". في تجاربك مع Mass Balance ، كنت تقيس دائمًا كتلة نفس حجم المادة. استخدم البيانات التي أخذتها لسرد المواد التي قمت بقياسها بترتيب الكثافة بحيث يكون الأكثر كثافة في أعلى القائمة وصولاً إلى الأقل كثافة في أسفل القائمة. لا يتعين عليك حساب الكثافة بـ "بنسات لكل كوب" نظرًا لأنك تقيس دائمًا نفس حجم المادة - فقط انظر إلى بياناتك لإنشاء القائمة.

بعد الانتهاء من وضع قائمة كثافات المواد ، فكر في السؤال المهم التالي: كيف تعتقد أن كثافة مادة ما ستتغير إذا قمت بقياسها على القمر بدلاً من الأرض؟

أسئلة إضافية للتفكير فيها:

1. لديك شيء وتريد معرفة ما إذا كان سيطفو في الماء. للإجابة على السؤال: "هل تطفو؟" هل تريد معرفة كتلة الأجسام أو وزنها أو كثافتها؟

2. كتلة الطالب على الأرض 50 كجم. إذا ذهبت هذه الطالبة إلى القمر ، فهل ستكون كتلتها أكبر أم أقل أم متماثلة؟

3. وزن الطالب على الأرض 100 رطل. إذا ذهب هذا الطالب إلى القمر ، فهل سيكون وزنه أكثر أم أقل أم نفس الشيء؟

4. كتلة من الخشب تطفو بسهولة على الماء عندما تكون على الأرض.إذا تم نقل نفس الكتلة من الخشب إلى القمر ، فهل تطفو على سطح الماء؟ (حقًا فكر مليًا في هذا الأمر ، فمعظم الناس لا يستطيعون الإجابة على هذا السؤال).


الوحدة 5 - مركز الكتلة: التعريف

عند وصف الحركة الانتقالية لجسم ممتد ، يمكننا تمثيل الكائن كجسيم نقطي ، كما لو أن كل كتلته كانت مركزة عند نقطة واحدة. هذه النقطة ، الواقعة في متوسط ​​موقع الكتلة الموزعة ، تسمى مركز الكتلة. على سبيل المثال ، يوجد مركز كتلته على قضيب موحد في منتصفه تمامًا. في هذه الوحدة سوف نتعلم كيفية حساب مركز كتلة جسم أو مجموعة كائنات.

علاوة على ذلك ، سوف نظهر أنه يمكن وصف الحركة الانتقالية الكلية للنظام من حيث مركز كتلة النظام. يمكن أن يكون النظام قيد الدراسة مجموعة من الجسيمات ، مثل جزيئات الغاز في حاوية ، أو مجموعة من الأشياء الممتدة مثل الصبي والفتاة يلعبان على البحيرة الجليدية من الوحدة السابقة.

الرياضي الموضح في الفيلم أدناه هو مثال على جسم ممتد غير صلب. يمكن أن تكون حركة جميع أجزاء جسمه المختلفة معقدة ، لكن حركة مركز كتلة الرياضي (المسار الصلب الأحمر) هي نفس حركة جسيم نقطي كتلته تساوي كتلة الرياضي. يمثل الخطان المتقطعان مسارات أجزاء أخرى من الكائن الممتد (الرأس والقدم اليمنى). عندما يكون الرياضي في الهواء ، فإن القوة الخارجية التي تؤثر على الرياضي هي الجاذبية. نتيجة لذلك ، يتبع مركز كتلته حركة مقذوفة.

سنرى أن موقع مركز الكتلة يمكن أن يكون ثابتًا بالنسبة إلى شيء ما ، كما في مثال الرياضي ، أو يمكن أن يكون نقطة في الفضاء (مثل التوزيع المنفصل للكتل كما في المثالين 1 و 2 أدناه ).

مركز كتلة نظام مكون من جسيمات نقطتين

ضع في اعتبارك نظامًا يتكون من نقطتين جسيمتين من الكتل م1 و م2 تقع في المواقف و تقاس فيما يتعلق بالنقطة س كما هو موضح في الشكل أدناه. موضع مركز الكتلة فيما يتعلق بنظام الإحداثيات مع الأصل عند النقطة س يتم الحصول عليها على النحو التالي:

ثم يكون موضع مركز الكتلة هو:

يقع مركز الكتلة ، الصليب الأحمر في الشكل ، على طول الخط الذي يصل بين الكتلتين على مسافة د / 3 من الجسيم 1 ، الجسيم الأكثر ضخامة.

ب) ماذا ستكون إجابتك إذا كان أصل نظام الإحداثيات في الجسيم 2؟

تم قياس متجهات الموقع للجسيمين من نظام الإحداثيات الجديد:


مقارنة النتيجة أعلاه بالإجابة التي تم الحصول عليها في الجزء أ):

نستنتج أن موضع مركز الكتلة يعتمد على نظام الإحداثيات المستخدم ولكن المسافة بالنسبة للجسيم 1 لا تزال قائمة د / 3

مثال 2: جسيمان متطابقان

موضع الجسيم 1:

,

إذن ، موضع مركز الكتلة هو:

مع العلم أن م1 = م2، تلغي الجماهير ليكون لديها:


يظهر مركز الكتلة باللون الأحمر في الشكل. وهي تقع على طول الخط الذي يربط بين الجماعتين وفي منتصف المسافة بين الجماهير المتساوية.

:

1. حدد نظام إحداثيات:

في هذه المسألة ، يُطلب منا استخدام نظام إحداثيات يكون أصله عند قمة جسم على شكل حرف L. سنختار اتجاه نظام الإحداثيات بطريقة تتطابق فيها القضبان مع المحور x و y كما هو موضح أدناه:

الآن نطبق تعريف مركز الكتلة:

.

طريقة واحدة للتحقق مما إذا كان الحساب الخاص بك منطقيًا هو استخدام الأداة الرسومية التالية:

كما هو موضح في الشكل أدناه ، فإن مركز كتلة نظام القضيبين هو الدائرة الزرقاء في تقاطع خطوط الشرطة الرأسية والأفقية. يقع مركز كتلة هذا النظام في منتصف الطريق لأن كلا العصيْن لهما نفس الكتلة.

1. حدد نظام إحداثيات:

لنفترض أن القضيب يقع على المحور x. سنختار نظام إحداثيات مع الأصل في الطرف الأيسر من القضيب.

2. قسّم الجسم الممتد إلى عناصر صغيرة من الكتلة د م.

يمكن الاعتقاد أن القضيب يتكون من التوزيع المستمر لجزيئات الكتلة الصغيرة د م. كل من هذه الجسيمات تشغل حجمًا معينًا داخل الجسم. في حالة هذه المشكلة ، حيث يُفترض أن يكون القضيب رفيعًا ، يحتل الجسيم عنصرًا من قضيب الطول dx.

3. تحديد موضع عنصر الكتلة د م.

فيما يتعلق بنظام الإحداثيات لدينا ، عنصر الكتلة د م يقع في الموضع:


. ندرك أننا بحاجة إلى علاقة بين عنصر الكتلة د م وناقل موقعه . يتم الحصول على هذه العلاقة من المعلومات حول التوزيع الشامل داخل الكائن.


في حالة القضيب الرقيق ، يتم توزيع كل الكتلة على طول المحور السيني ، وبالتالي فإن موضع مركز الكتلة يكون أيضًا على طول المحور السيني:


نحن بحاجة إلى إيجاد العلاقة بين د م و x. في هذه المشكلة ، يتم توزيع الكتلة بشكل موحد على طول القضيب. هذا البيان يعني أن مقدار الكتلة د م في كل عنصر من عناصر القضيب dx هو نفسه ومستقل عن الموقف. نتيجة لذلك ، النسبة dm / dx = ثابت.

النسبة dm / dx يسمى كثافة الكتلة لكل وحدة طول ويلاحظ بالحرف λ:& # 955 = dm / dx..


إذا تم توزيع الكتلة على طول خط في المحور إذن dm = & # 955 dx .

إذا كانت الكتلة موزعة على طول خط بشكل موحد ، فإن & # 955 = ثابت.


باستخدام هذه العلاقة في التكامل أعلاه لدينا:


للحصول على قيمة λ نستخدم حقيقة أن الكتلة الكلية وطول القضيب م و إل، ومن بعد:

5. حل التكامل. استبدال & # 955 = م / ل في (مكافئ 1) نحصل على:


لا يتم توزيع الكتلة بشكل موحد ، لأن كثافة الكتلة تزداد خطيًا مع الموضع. لذلك نكتب ما يلي:

أين ب هو ثابت موجب.

باستخدام هذه العلاقة في التكامل أعلاه لدينا:


لاحظ أن قيمة ب لم يتم إعطاءه ولكن يمكن الحصول عليه باستخدام الكتلة الكلية للقضيب م:

srayyan / PERwiki / images / math / b / 9/4 / b9496f89745e76c596c8f74fafc6444c.png "/>

وموقع مركز الكتلة هو:

يتجه مركز الكتلة الآن نحو النهاية اليمنى. هذا معقول لأنه كلما ابتعدنا عن الطرف الأيسر ، زادت كتلة عناصر الكتلة.

مركز كتلة جسم متماثل: إذا كان الجسم متماثلًا والكتلة موزعة بشكل موحد في جميع أنحاء حجم الجسم ، فإن مركز الكتلة يقع على محور التناظر. على سبيل المثال ، يقع مركز كتلة الكرة أو المكعب المنتظم في المركز الهندسي.


مركز كتلة جسم غير متماثل: إذا كان لجسم ما شكل غير منتظم ، يمكن تحديد مركز الكتلة بشكل تجريبي كما هو موضح في الفيديو أدناه بواسطة TSG @ MIT Physics

هذا الفيديو مقدم من مجموعة الخدمات الفنية بقسم الفيزياء بمعهد ماساتشوستس للتكنولوجيا.
مستخدمة بإذن.
فيديو: البحث عن مركز ماساتشوستس.

مركز الكتلة ومركز الثقل لجسم صلب

تؤثر قوة الجاذبية على كل عنصر من عناصر الكتلة داخل جسم صلب. بجمع القوى على كل عنصر ، نحصل على إجمالي قوة الجاذبية على جسم الكتلة م . يتم تطبيق هذه القوة في نقطة معينة في الكائن الذي يسمى مركز الثقل من الكائن. إذا كانت تسارع الجاذبية هو نفسه في جميع أنحاء الجسم ، ثم يتزامن مركز الثقل مع مركز الكتلة. عندما يكون جسم ما قريبًا من سطح الأرض ، فهذا تقدير تقريبي جيد جدًا. إذا كان جسم ما محوريًا على مركز جاذبيته ، فإنه يوازن في أي اتجاه (بدون دوران). هذا ليس صحيحًا عندما يكون الجسم بعيدًا عن سطح الأرض ، على سبيل المثال قمر صناعي.

سؤال: أين مركز ثقل ماساتشوستس؟
يقع مركز الجاذبية في ووستر

استبدل القطعة اليمنى بنقطة كتلة الجسيم مص والقطعة اليسرى بنقطة كتلة الجسيم مإل. ضع كل كتلة في مركز كتلتها. بالقياس فيما يتعلق بمركز الكتلة في لعبة البيسبول ، يقع مركز الكتلة للكتلة الصحيحة على مسافة دص والكتلة اليسرى على بعد دإل. نظرًا للطريقة التي يتم بها توزيع الكتلة في الأجزاء اليمنى واليسرى ، يمكننا قول ذلك دص & lt دإل. ثم يكون مركز الكتلة أقرب إلى القطعة الصحيحة. الكتلة الصحيحة هي الأكبر.


شاهد الفيديو: الخواص الميكانيكية للمادة تعريف الكتلة - الكثافة (ديسمبر 2021).