مقالات

2.E: المشتقات الحاسوبية (تمارين) - الرياضيات


2.1: قواعد المشتقات الابتدائية

1. لنفترض أن f و g دالات قابلة للتفاضل تُعرف المعلومات التالية لها: f (2) = 5 ، g (2) = −3 ، f 0 (2) = −1/2 ، g 0 (2) = 2 .

(أ) دع h هي الوظيفة الجديدة التي تحددها القاعدة h (x) = 3 f (x) - 4g (x). أوجد h (2) ، h 0 (2).

(ب) أوجد معادلة لخط المماس لـ y = h (x) عند النقطة (2، h (2)).

(ج) لنفترض أن p هي الوظيفة التي تحددها القاعدة p (x) = −2 f (x) + 1 2 g (x). هل p يتزايد أم يتناقص أم لا عند a = 2؟ لماذا ا؟

(د) تقدير قيمة p (2.03) باستخدام الخطية المحلية لـ p عند النقطة (2 ، ص (2)).

2. لنفترض أن الدالتين p و q هما الدالتان الخطيتان متعددتان اللتان تعطيهما الرسوم البيانية الخاصة بهما في الشكل 2.1. استخدم الرسوم البيانية للإجابة على الأسئلة التالية.

الشكل 2.1: الرسوم البيانية لـ p (باللون الأزرق) و q (باللون الأخضر).

(أ) ما هى قيم x غير القابلة للاشتقاق؟ في أي قيم س غير قابلة للاشتقاق؟ لماذا ا؟

(ب) دع r (x) = p (x) + 2q (x). ما هي قيم x التي لا يمكن اشتقاقها؟ لماذا ا؟

(ج) أوجد r 0 (2) و r 0 (0).

(د) أوجد معادلة لخط المماس لـ y = r (x) عند النقطة (2، r (2)). 95

3. ضع في اعتبارك الدالتين r (t) = tt و s (t) = arccos (t) ، حيث حصلت على الحقائق التالية: r 0 (t) = tt (ln (t) + 1) and s 0 (t ) = - 1 1 ر 2. لا تهتم من أين تأتي هذه الصيغ المشتقة. نحن نقصر اهتمامنا بكلتا الوظيفتين على المجال 0

(أ) دع w (t) = 3t t - 2 arccos (t). أوجد w 0 (t).

(ب) أوجد معادلة لخط المماس لـ y = w (t) عند النقطة (1 2، w (1 2)).

(ج) دع v (t) = t t + arccos (t). هل v يتزايد أم يتناقص عند اللحظة t = 1 2؟ لماذا ا؟

4. دع f (x) = a x. الهدف من هذه المشكلة هو استكشاف كيفية تأثير قيمة a على مشتق f (x) ، دون افتراض أننا نعرف قاعدة d dx [a x] التي ذكرناها واستخدمناها في عمل سابق في هذا القسم.

(أ) استخدم التعريف النهائي للمشتق لتوضيح أن f 0 (x) = lim h → 0 a x · a h - a x h.

(ب) اشرح سبب صحة أن f 0 (x) = a x · lim h → 0 a h - 1 h.

(ج) استخدم تكنولوجيا الحوسبة والقيم الصغيرة لـ h لتقدير قيمة L = lim h → 0 a h - 1 h عندما a = 2. افعل الشيء نفسه عندما a = 3.

(د) لاحظ أنه سيكون من المثالي أن تكون قيمة الحد L 1 ، لأن f ستكون دالة خاصة بشكل خاص: مشتقها سيكون ببساطة a x ، مما يعني أن مشتقها هو نفسه. بتجربة قيم مختلفة لـ a بين 2 و 3 ، حاول إيجاد قيمة لـ a حيث L = lim h → 0 a h - 1 h = 1.

(هـ) احسب ln (2) و ln (3). ما الذي يوحي عملك في (ب) و (ج) بأنه صحيح بشأن d dx [2 x] و d dx [3 x]؟ (و) كيف تؤدي تحقيقاتك في (د) إلى حقيقة مهمة بشكل خاص حول الوظيفة f (x) = e x؟

2.2: وظيفة الجيب وجيب التمام

1. افترض أن V (t) = 24 · 1.07t + 6 sin (t) تمثل قيمة المحفظة الاستثمارية للفرد بآلاف الدولارات في العام t ، حيث t = 0 تقابل 1 يناير 2010.

(أ) بأي معدل فوري تتغير قيمة المحفظة في 1 كانون الثاني (يناير) 2012؟ قم بتضمين وحدات في إجابتك.

(ب) أوجد قيمة V 00 (2). ما هي الوحدات الموجودة في هذه الكمية وماذا تخبرك عن كيفية تغير قيمة المحفظة؟

(ج) في الفترة 0 ≤ t ≤ 20 ، ارسم الدالة V (t) = 24 · 1.07t + 6 sin (t) ووصف سلوكها في سياق المشكلة. ثم قارن الرسوم البيانية للوظائف A (t) = 24 · 1.07t و V (t) = 24 · 1.07t + 6 sin (t) ، بالإضافة إلى الرسوم البيانية لمشتقاتها A 0 (t) و V 0 (ر). ما هو تأثير المصطلح 6 sin (t) على سلوك الدالة V (t)؟ 2. دع f (x) = 3 cos (x) - 2 sin (x) + 6.

(أ) حدد الميل الدقيق لخط المماس لـ y = f (x) عند النقطة التي يكون فيها a = π 4.

(ب) حدد تقريب خط المماس لـ y = f (x) عند النقطة التي يكون فيها a = π.

(ج) عند النقطة التي تكون فيها a = π 2 ، هل تتزايد f أم تتناقص أم لا؟

(د) عند النقطة التي يكون فيها a = 3π 2 ، هل يقع خط المماس لـ y = f (x) فوق المنحنى أو أسفل المنحنى أم لا؟ كيف يمكنك الإجابة على هذا السؤال بدون رسم دالة أو خط المماس بيانيًا؟ 101

3. في هذا التمرين ، نستكشف كيف يوضح تعريف النهاية للمشتق بشكل رسمي أكثر أن d dx [sin (x)] = cos (x). إذا افترضنا أن f (x) = sin (x) ، لاحظ أن تعريف نهاية المشتق يخبرنا أن f 0 (x) = lim h → 0 sin (x + h) - sin (x) h.

(أ) تذكر الهوية المثلثية لجيب مجموع الزوايا α و: sin (α + β) = sin (α) cos (β) + cos (α) sin (). استخدم هذه المتطابقة وبعض الجبر لتوضيح أن f 0 (x) = lim h → 0 sin (x) (cos (h) - 1) + cos (x) sin (h) h.

(ب) بعد ذلك ، لاحظ أنه مع تغير h ، تظل x ثابتة. اشرح لماذا من المنطقي أن نقول إن f 0 (x) = sin (x) · lim h → 0 cos (h) - 1 h + cos (x) · lim h → 0 sin (h) h.

(ج) أخيرًا ، استخدم قيمًا صغيرة لـ h لتقدير قيم الحدين في (ج): lim h → 0 cos (h) - 1 h و lim h → 0 sin (h) h.

(د) ما الذي تخبرك به نتائجك في (ج) بشأن f 0 (x)؟

(هـ) بمحاكاة الخطوات التي تم اتخاذها أعلاه ، استخدم التعريف النهائي للمشتق للدلالة بشكل مقنع على أن d dx [cos (x)] = - sin (x).

2.3: المنتج وقواعد الحاصل

1. لنفترض أن f و g دالات قابلة للتفاضل تُعرف المعلومات التالية من أجلها: f (2) = 5 ، g (2) = ،3 ، f 0 (2) = −1/2 ، g 0 (2) = 2 .

(أ) لنفترض أن h هي الوظيفة الجديدة التي تحددها القاعدة h (x) = g (x) · f (x). أوجد h (2) ، h 0 (2).

(ب) أوجد معادلة لخط المماس لـ y = h (x) عند النقطة (2، h (2)) (حيث h هي الوظيفة المحددة في (أ)).

(ج) لنفترض أن r هي الوظيفة التي تحددها القاعدة r (x) = g (x) f (x). هل r تتزايد أم تتناقص أم لا عند a = 2؟ لماذا ا؟ 111

(د) تقدير قيمة r (2.06) (حيث r هي الوظيفة المحددة في (ج)) باستخدام الخطية المحلية لـ r عند النقطة (2 ، r (2)).

2. نقصر اهتمامنا بكلتا الوظيفتين على المجال 0

(أ) دع w (t) = t t arccos (t). أوجد w 0 (t).

(ب) أوجد معادلة لخط المماس لـ y = w (t) عند النقطة (1 2، w (1 2)).

(ج) دع v (t) = t t arccos (t). هل v يتزايد أم يتناقص عند اللحظة t = 1 2؟ لماذا ا؟

3. لنفترض أن الدالتين p و q هما الدالتان الخطيتان متعددتي التعريف المعطاة من الرسوم البيانية الخاصة بهما في الشكل 2.5. استخدم الرسوم البيانية للإجابة على الأسئلة التالية.


الشكل 2.5: الرسوم البيانية لـ p (باللون الأزرق) و q (باللون الأخضر).

(أ) دع r (x) = p (x) · q (x). أوجد r 0 (−2) و r 0 (0).

(ب) هل هناك قيم لـ x لا وجود لها r 0 (x)؟ إذا كان الأمر كذلك ، فما هي القيم ولماذا؟

(ج) أوجد معادلة لخط المماس لـ y = r (x) عند النقطة (2، r (2)).

(د) دع z (x) = q (x) p (x). أوجد z 0 (0) و z 0 (2).

(هـ) هل هناك قيم لـ x لا وجود لها z 0 (x)؟ إذا كان الأمر كذلك ، فما هي القيم ولماذا؟

4. لقد قام مزارع ذو حيازات كبيرة من الأرض بزراعة مجموعة متنوعة من المحاصيل على مر التاريخ. مع ارتفاع سعر وقود الإيثانول ، قرر أنه سيكون من الحكمة تكريس المزيد والمزيد من مساحته لإنتاج الذرة. بينما يزرع المزيد والمزيد من الذرة ، يتعلم الكفاءات التي تزيد من محصوله لكل فدان. في العام الحالي ، استخدم 7000 فدان من 112 أرضه لزراعة الذرة ، وكان متوسط ​​إنتاج تلك الأرض 170 بوشل للفدان. في الوقت الحالي ، يخطط لزيادة عدد الأفدنة المخصصة لزراعة الذرة بمعدل 600 فدان / سنة ، ويتوقع أن يزداد متوسط ​​عائده الآن بمعدل 8 بوشل لكل فدان في السنة. استخدم هذه المعلومات للإجابة على الأسئلة التالية.

(أ) لنفترض أن العام الحالي هو t = 0 ، وأن A (t) تشير إلى عدد الأفدنة التي يخصصها المزارع لزراعة الذرة في العام t ، وتمثل Y (t) متوسط ​​العائد في العام t (يقاس بوشل لكل فدان ) ، و C (t) هو إجمالي عدد مكيال الذرة التي ينتجها المزارع. ما هي صيغة C (t) بدلالة A (t) و Y (t)؟ لماذا ا؟

(ب) ما هى قيمة C (0)؟ ماذا يقيس؟

(ج) اكتب تعبيرًا لـ C 0 (t) بدلالة A (t) و A 0 (t) و Y (t) و Y 0 (t). اشرح تفكيرك.

(د) ما هى قيمة C 0 (0)؟ ماذا يقيس؟

(هـ) بناءً على المعلومات المقدمة والعمل الذي قمت به أعلاه ، قم بتقدير قيمة C (1).

5. لنفترض أن f (v) هو استهلاك الغاز (باللتر / كم) لسيارة تسير بسرعة v (بالكيلومتر / الساعة). بمعنى آخر ، تخبرك f (v) بعدد لترات الغاز التي تستخدمها السيارة لقطع كيلومتر واحد إذا كانت تسير بسرعة v كيلومترات في الساعة. بالإضافة إلى ذلك ، افترض أن f (80) = 0.05 و f 0 (80) = 0.0004.

(أ) لنفترض أن g (v) هي المسافة التي تقطعها السيارة نفسها على لتر واحد من الغاز بسرعة v. ما العلاقة بين f (v) و g (v)؟ ومن ثم أوجد g (80) و g 0 (80).

(ب) لنفترض أن h (v) هو استهلاك الغاز باللترات في الساعة للسيارة التي تسير بسرعة v. بمعنى آخر ، يخبرك h (v) بعدد لترات الغاز التي تستخدمها السيارة في ساعة واحدة إذا كانت تسير بسرعة السرعة v. ما هي العلاقة الجبرية بين h (v) و f (v)؟ ومن ثم أوجد h (80) و h 0 (80).

(ج) كيف تشرح المعنى العملي لهذه الدالة والقيم المشتقة للسائق الذي لا يعرف حساب التفاضل والتكامل؟ قم بتضمين الوحدات في كل دالة وقيم مشتقة تناقشها في إجابتك.

2.4: مشتقات الدوال المثلثية الأخرى

1. جسم يتحرك عموديًا يكون له ارتفاعه في الوقت t (يقاس بالقدم ، مع مرور الوقت بالثواني) المعطى من خلال الدالة h (t) = 3 + 2 cos (t) 1.2 t.

(أ) ما السرعة اللحظية للجسم عندما تكون t = 2؟

(ب) ما هو تسارع الجسم على الفور t = 2؟

(ج) وصف في اللغة اليومية سلوك الكائن في اللحظة t = 2.

2. دع f (x) = sin (x) cot (x).

(أ) استخدم قاعدة حاصل الضرب لإيجاد f 0 (x). 118

(ب) صواب أو خطأ: لجميع الأعداد الحقيقية x، f (x) = cos (x).

(ج) اشرح سبب كون الوظيفة التي وجدتها في (أ) معاكسة تقريبًا لدالة الجيب ، ولكن ليس تمامًا. (تلميح: قم بتحويل جميع الدوال المثلثية في (أ) إلى الجيب وجيب التمام ، واعمل على التبسيط. فكر جيدًا في مجال f ومجال f 0.)

3. لنفترض أن p (z) تُعطى بالقاعدة p (z) = z tan (z) z 2 sec (z) + 1 + 3e z + 1.

(أ) حدد p 0 (z).

(ب) أوجد معادلة لخط المماس لـ p عند النقطة حيث z = 0.

(ج) عند z = 0 ، هل p تتزايد أم تتناقص أم لا؟ لماذا ا؟

2.5: قاعدة السلسلة

1. ضع في اعتبارك الوظائف الأساسية f (x) = x 3 و g (x) = sin (x).

(أ) دع h (x) = f (g (x)) أوجد معدل التغير اللحظي الدقيق لـ h عند النقطة التي يكون فيها x = π 4.

(ب) ما هي الوظيفة التي تتغير بسرعة أكبر عند x = 0.25: h (x) = f (g (x)) أو r (x) = g (f (x))؟ لماذا ا؟

(ج) دع h (x) = f (g (x)) و r (x) = g (f (x)). أي من هذه الدوال لها مشتق دوري؟ لماذا ا؟

2. لنفترض أن u (x) دالة قابلة للتفاضل. حدد المشتق لكل دالة من الوظائف التالية. كل رد سيشمل u و / أو u 0.

(أ) ص (س) = ه ش (س)

(ب) q (x) = u (e x)

(ج) ص (س) = سرير (ش (س))

(د) s (x) = u (cot (x))

(هـ) أ (س) = ش (× 4)

(و) ب (س) = ش 4 (س)

3. لنفترض أن الدالتين p و q هما الدالتان الخطيتان متعددتي التعريف المعطاة من الرسوم البيانية الخاصة بكل منهما في الشكل 2.7. استخدم الرسوم البيانية للإجابة على الأسئلة التالية.

(أ) دع C (x) = p (q (x)). أوجد ج 0 (0) ، ج 0 (3).

(ب) أوجد قيمة x التي لا توجد لها C 0 (x). اشرح تفكيرك.

(ج) دع Y (x) = q (q (x)) و Z (x) = q (p (x)). أوجد Y 0 (−2) و Z 0 (0). 128

الشكل 2.7: الرسوم البيانية لـ p (باللون الأزرق) و q (باللون الأخضر).

4. إذا كان هناك خزان كروي نصف قطره 4 أقدام يحتوي على h أقدام من الماء في الخزان ، فإن حجم الماء في الخزان يُعطى بالصيغة V = π 3 h 2 (12 - h).

(أ) ما هو المعدل اللحظي الذي يتغير فيه حجم الماء في الخزان بالنسبة إلى ارتفاع الماء عند اللحظة h = 1؟ ما هي الوحدات في هذه الكمية؟

(ب) افترض الآن أن ارتفاع المياه في الخزان يتم تنظيمه من خلال التدفق الداخلي والخارجي (على سبيل المثال ، صنبور وصرف) بحيث يتم تحديد ارتفاع الماء في الوقت t بواسطة القاعدة h (t) = الخطيئة (t) + 1 ، حيث تقاس t بالساعات (ولا تزال h تقاس بالأقدام). بأي معدل يتغير ارتفاع الماء بالنسبة للوقت في اللحظة t = 2؟

(ج) الاستمرار في ظل الافتراضات الواردة في (ب) ، ما هو المعدل اللحظي الذي يتغير فيه حجم الماء في الخزان بالنسبة للوقت في اللحظة t = 2؟

(د) ما هي الاختلافات الرئيسية بين المعدلات الموجودة في (أ) و (ج)؟ قم بتضمين مناقشة الوحدات ذات الصلة.

2.6: مشتقات دوال معكوسة

1. حدد مشتق كل من الوظائف التالية. استخدم تدوينًا مناسبًا وحدد قواعد الاشتقاق التي تستخدمها بوضوح.

(أ) f (x) = ln (2 arctan (x) + 3 arcsin (x) + 5)

(ب) ص (ض) = أركتان (ln (arcsin (z)))

(ج) q (t) = arctan2 (3t) arcsin4 (7t)

(د) ز (ت) = ln arctan (v) arcsin (v) + v 2!

2. ضع في اعتبارك الرسم البياني لـ y = f (x) الوارد في الشكل 2.13 واستخدمه للإجابة على الأسئلة التالية.

(أ) استخدم الرسم البياني المقدم لتقدير قيمة f 0 (1).

(ب) قم برسم رسم بياني تقريبي لـ y = f −1 (x). قم بتسمية ثلاث نقاط مميزة على الأقل على الرسم البياني والتي تتوافق مع ثلاث نقاط على التمثيل البياني لـ f.

(ج) بناءً على عملك في (أ) ، ما قيمة (f −1) 0 (−1)؟ لماذا ا؟

3. دع f (x) = 1 4 x 3 + 4.

(أ) ارسم رسمًا بيانيًا لـ y = f (x) واشرح سبب كون f دالة قابلة للعكس.

الشكل 2.13: دالة y = f (x) لاستخدامها في التمرين 2.

(ب) لنفترض أن g هي معكوس f وحدد صيغة لـ g.

(ج) احسب f 0 (x) و g 0 (x) و f 0 (2) و g 0 (6). ما العلاقة الخاصة بين f 0 (2) و g 0 (6)؟ لماذا ا؟

4. دع h (x) = x + sin (x).

(أ) ارسم رسمًا بيانيًا لـ y = h (x) واشرح لماذا يجب أن تكون h قابلة للعكس.

(ب) اشرح لماذا لا يبدو أنه من الممكن جبريًا تحديد صيغة لـ h 1.

(ج) لاحظ أن النقطة (π 2 ، π 2 + 1) تقع على الرسم البياني لـ y = h (x). أوجد قيمة (h −1) 0 (π 2 + 1).

2.7: مشتقات وظائف معطاة ضمنيًا

1. ضع في اعتبارك المنحنى الوارد في المعادلة 2y 3 + y 2 - y 5 = x 4 - 2x 3 + x 2. أوجد جميع النقاط التي يكون فيها خط المماس للمنحنى أفقيًا أو رأسيًا. تأكد من استخدام الأداة المساعدة للرسوم البيانية لرسم هذا المنحنى الضمني وللتحقق البصري من نتائج التفكير الجبري الذي تستخدمه لتحديد مكان خطوط الظل أفقية ورأسية.

2. بالنسبة للمنحنى المعطى بالمعادلة sin (x + y) + cos (x - y) = 1 ، أوجد معادلة خط المماس للمنحنى عند النقطة (π 2، π 2).

3. يمكّننا الاشتقاق الضمني من منظور مختلف يمكننا من خلاله معرفة سبب بقاء القاعدة d dx [a x] = a x ln (a) ، إذا افترضنا أن d dx [ln (x)] = 1 x. يقودك هذا التمرين خلال الخطوات الأساسية للقيام بذلك.

(أ) دع y = a x. أعد كتابة هذه المعادلة باستخدام دالة اللوغاريتم الطبيعي لكتابة x بدلالة y (والثابت a).

(ب) اشتق طرفي المعادلة التي وجدتها في (أ) بالنسبة إلى x ، مع الأخذ في الاعتبار أن y ضمنيًا دالة في x.

(ج) قم بحل المعادلة التي وجدتها في (ب) من أجل dy على dx ، ثم استخدم تعريف y لكتابة dy على dx بدلالة x فقط. ماذا وجدت؟

2.8: استخدام المشتقات لتقييم الحدود

1. لنفترض أن f و g دالات قابلة للتفاضل تُعرف عنها المعلومات التالية: f (3) = g (3) = 0 ، f 0 (3) = g 0 (3) = 0 ، f 00 (3) = - 2 ، و g 00 (3) = 1. دع الدالة الجديدة h تُعطى بالقاعدة h (x) = f (x) g (x). على نفس مجموعة المحاور ، ارسم الرسوم البيانية الممكنة لـ f و g بالقرب من x = 3 ، واستخدم المعلومات المقدمة لتحديد قيمة lim x → 3 h (x). قدم شرحًا لدعم استنتاجك.

2. أوجد جميع الخطوط المقاربة الرأسية والأفقية للدالة R (x) = 3 (x - a) (x - b) 5 (x - a) (x - c) ، حيث تكون a و b و c مميزة وتعسفية الثوابت. بالإضافة إلى ذلك ، حدد جميع قيم x التي لا تكون R متصلة بها. ارسم رسمًا بيانيًا محتملاً لـ R ، موضحًا بوضوح قيم a و b و c.

3. ضع في اعتبارك الوظيفة g (x) = x 2x ، التي تم تعريفها لجميع x> 0. لاحظ أن limx → 0 + g (x) غير محددة نظرًا لشكلها 0 0. (فكر في كيفية معرفتنا أن 0 k = 0 لجميع k> 0 ، بينما b 0 = 1 لجميع b ، 0 ، لكن لا يمكن تطبيق أي من القاعدتين على 0 0.)

(أ) دع h (x) = ln (g (x)). اشرح لماذا h (x) = 2x ln (x).

(ب) بعد ذلك ، اشرح سبب تكافؤ كتابة h (x) = 2 ln (x) 1 x.

(ج) استخدم قاعدة L’Hopital وعملك في (ب) لحساب limx → 0 + h (x).

(د) بناءً على قيمة limx → 0 + h (x) ، حدد limx → 0 + g (x).

4. تذكر أن الوظيفة g تهيمن على الوظيفة f بشرط أن يكون limx → ∞ f (x) = ∞ و limx → ∞ g (x) = ∞ و limx → ∞ f (x) g (x) = 0.

(أ) ما هي الوظيفة التي تهيمن على الأخرى: ln (x) أم √ x؟

(ب) أي دالة تهيمن على الأخرى: ln (x) أم n √ x؟ (يمكن أن يكون n أي عدد صحيح موجب)

(ج) اشرح سبب سيطرة e x على أي دالة كثيرة الحدود.

(د) اشرح سبب سيطرة x n على ln (x) لأي عدد صحيح موجب n. 160

(هـ) أعط أي مثال لوظيفتين غير خطيتين بحيث لا يسيطر أي منهما على الآخر


التفاضل والتكامل المنسق

نظرًا لأن حساب التفاضل والتكامل يعتمد على تعريف المشتق ، وأن تعريف المشتق يتضمن حدًا ، فهناك شعور بأن كل حساب التفاضل والتكامل يعتمد على الحدود. الحدود التي يتم فيها استدعاء التقييم المنفصل للبسط والمقام عند نقطة النهاية في الكسر ( frac <0> <0> ). عندما نتجاوز حدًا مثل هذا ، لدينا بعض العمل الذي يتعين علينا القيام به. تذكر أن القول بأن الحد له شكل غير محدد يعني فقط أننا لا نعرف قيمته حتى الآن ولدينا المزيد من العمل للقيام به: في الواقع ، يمكن لحدود الشكل ( frac <0> <0> ) أن تتخذ أي القيمة.

لقد تعلمنا العديد من التقنيات لتقييم الحدود التي تنشأ من تطبيق تعريف المشتق ، بما في ذلك عدد كبير من قواعد الاختصار التي يبدو أنها تتجاوز استخدام الحدود تمامًا. في هذا القسم ، سوف نستكشف كيفية استخدام المشتقات لتقييم حدود معينة لم نتمكن من حسابها سابقًا.

مثال 3.57

لنفترض أن (ح ) هي الوظيفة المعطاة من قبل (ح (س) = فارك نص <.> )

قم بتقييم (f (x) = x ^ 5 + x - 2 ) و (g (x) = x ^ 2 - 1 ) في (x = 1 text <.> ) هل يمكنك تقييم ( ليم حدود_ فارك) بمجرد توصيل (س = 1 ) في حاصل القسمة؟

بعد ذلك سنبحث في سلوك كل من البسط والمقام (h ) بالقرب من النقطة حيث (x = 1 text <.> ) دع (f (x) = x ^ 5 + x - 2 ) و (g (x) = x ^ 2 - 1 text <.> ) ابحث عن الخطية المحلية لـ (f ) و (g ) في (a = 1 text <،> ) واستدع هاتين الدالتين (L_f (x) ) و (L_g (x) text <،> ) على التوالي.

اشرح لماذا (h (x) almost frac) لـ (س ) بالقرب من (أ = 1 نص <.> )

باستخدام عملك من (ب) ، قم بالتقييم

ماذا تعتقد أن نتيجتك تخبرنا عن ( ليم حدود_ ح (س) نص <؟> )

تحقق من الدالة (h (x) ) بيانياً وعددياً بالقرب من (x = 1 text <.> ) ما رأيك في قيمة ( lim limits_ ح (س) نص <؟> )

هل (h ) مستمر عند (x = 1 text <؟> ) لماذا (لا)؟

تذكر أن التحويل الخطي المحلي لدالة ما عند نقطة ما هو مجرد خط مماس للدالة عند تلك النقطة.

ماذا يمكنك أن تقول عن العلاقة بين (f ) و (L_f ) بالقرب من (أ = 1 نص <؟> )

بناءً على (ج) ، كيف يجب ( ليم حدود_ فارك) قارن بـ ( ليم حدود_ح (س) نص <؟> )

يمكنك أيضًا التحقق من (h (x) ) جبريًا عن طريق تحليل البسط والمقام إلى عوامل (باستخدام عامل مشترك هو (x-1 )).

(و (1) = 0 = ز (1) نص <.> ) ( ليم حدود_ح (س) ) له شكل غير محدد ( frac00 نص <.> )

بالقرب من (أ = 1 نص <،> ) لدينا (L_f (x) تقريبًا f (x) ) و (L_g (x) تقريبًا g (x) neq0 text <.> ) ومن ثم ، بالقرب من (a = 1 text <،> ) ( frac تقريبا فارك= ح (س) نص <.> )

بما أن (f (x) = x ^ 5 + x-2 text <،> ) لدينا (f (1) = 1 + 1-2 = 0 text <.> ) وبالمثل ، (g (x) = x ^ 2-1 text <،> ) لذا (g (1) = 1-1 = 0 text <.> ) كلاهما (f (1) = 0 ) و (ز (1) = 0 نص <،> ) نستطيع ليس قل ( ليم حدود_ فارك= فارك text <،> ) لأن الجانب الأيمن من هذه المعادلة ليس رقمًا محددًا جيدًا. إذا كان المقام فقط هو (0 نص <،> ) يمكننا القول أن الحد كان لا نهائيًا إذا كان البسط فقط هو (0 نص <،> ) يمكننا القول أن الحد كان أيضًا (0 نص < .> ) بدلاً من ذلك ، يتبقى لنا شكل غير محدد من ( frac00 text <،> ) والذي يمكن أن يكون صفرًا أو لانهائيًا أو في أي مكان بينهما.

تذكر أن الخطية المحلية للدالة (y (x) ) عند نقطة (x = a ) تُعطى بواسطة الصيغة

بما أن (f (1) = 0 ) و (f '(x) = 5x ^ 4 + 1 text <،> ) ثم (f' (1) = 6 ) و

بما أن (g (1) = 0 ) و (g '(x) = 2x text <،> ) ثم (g' (1) = 2 ) و

(L_f ) و (L_g ) هما تقريب الخط المماس لـ (f ) و (g text <،> ) على التوالي ، بالقرب من النقطة (x = 1 text <.> ) نظرًا لأن (f ) و (g ) قابلان للتفاضل وبالتالي خطي محليًا ، فهذا يعني (L_f (x) تقريبًا f (x) ) لـ (x ) بالقرب من (1 text <، > ) و (L_g (x) تقريبًا g (x) ) لـ (x ) بالقرب من (1 text <.> ) وبالتالي لقيم (x ) القريبة من ( 1 ) وليست جذور (g (x) text <،> ) يمكننا تقريب حاصل القسمة (h (x) = frac) بواسطة ( frac text <.> ) أخيرًا ، نظرًا لأن الجذور الوحيدة لـ (g ) هي ( pm1 text <،> ) يمكننا بالتالي أن نقول: لـ (x neq1 ) بالقرب من (a = 1 نص <،> )

من خلال حجتنا في (ج) ، نعرف (ح (س) تقريبا فارك) بالقرب من (x = 1 text <.> ) يجب أن تكون الحالة أن ( lim limits_ح (س) = ليم حدود_ فارك= 3 نص <.> )

بالنظر إلى الرسم البياني لـ (y = h (x) text <،> ) نلاحظ وجود فجوة في ((1،3) text <،> ) مما يعني ضمناً أن (x = 1 ) ) هو انقطاع قابل للإزالة ، و ( ليم حدود_ح (س) = 3 نص <.> ) من خلال النهج العددي ، نرى أن (ح (0.99) حوالي 2.965 نص <،> ) (ح (0.999) حوالي 2.997 نص <،> ) (h (1.01) almost3.035 text <،> ) and (h (1.001) almost3.0035 text <.> ) تشير هذه القيم مرة أخرى إلى أن ( lim حدود_h (x) = 3 text <.> ) أخيرًا ، نلاحظ أن (h ) دالة كسرية وأن (1 ) هو جذر لكل من البسط والمقام. ويترتب على ذلك أن (x-1 ) عامل لكل من البسط والمقام ، وفي الواقع

ومن ثم ، يمكننا بالفعل حساب ( lim limits_h (x) ) جبريًا (على الرغم من أنه لم يكن واضحًا من قبل ، يمكننا ذلك) ، وبالتالي تأكيد ذلك

القسم الفرعي باستخدام المشتقات لتقييم حدود غير محددة للنموذج ( frac )

يمكن تعميم الفكرة الموضحة في المثال 3.57 أنه يمكننا تقييم حد غير محدد للنموذج ( frac <0> <0> ) عن طريق استبدال كل من البسط والمقام بالتعليمات الخطية المحلية الخاصة بهم عند نقطة الاهتمام في طريقة تمكننا من تقييم نطاق واسع من الحدود. إعطاء دالة (h (x) ) يمكن كتابتها على هيئة حاصل قسمة (h (x) = frac text <،> ) حيث (f ) و (g ) كلاهما قابلين للتفاضل عند (x = a ) ولهما (f (a) = g (a) = 0 text <، > ) نود تقييم الحد غير المحدد المعطى بواسطة ( lim limits_ h (x) text <.> ) أدناه ، يوضح الشكل 3.58 هذا الموقف.

الشكل 3.58 على اليسار ، الرسوم البيانية (f ) و (g ) بالقرب من القيمة (a text <،> ) جنبًا إلى جنب مع تقريب خط المماس (L_f ) و (L_g ) في (x = a text <.> ) على اليمين ، نقوم بتكبير النقطة (a ) والرسوم البيانية الأربعة.

في هذا الشكل ، نرى أن كلاً من (f ) و (g ) لهما (x ) - تقاطع عند (x = a text <.> ) تقريب خط المماس الخاص بهما (L_f ) ) و (L_g ) في (س = أ ) موضحة أيضًا في الشكل. يمكننا الاستفادة من حقيقة أن دالة قابلة للتفاضل وتقريب خط المماس يصبحان غير قابلين للتمييز عندما يقترب (x ) من (a text <.> )

أولاً ، دعنا نتذكر أن الخطية المحلية لـ (f ) و (g ) عند (x = a ) هي ، على التوالي ، (L_f (x) = f '(a) (xa) + f ( أ) ) و (L_g (x) = g '(a) (xa) + g (a) text <.> ) لأن (x ) يقترب بشكل تعسفي من (a ) عندما خذ الحد ، يمكننا استبدال (f ) بـ (L_f ) واستبدال (g ) بـ (L_g text <،> ) وبالتالي نلاحظ ذلك

بعد ذلك ، نتذكر أن كلاً من (f (a) = 0 ) و (g (a) = 0 text <،> ) هو بالضبط ما يجعل الحد الأصلي غير محدد. استبدال هذه القيم لـ (f (a) ) و (g (a) ) في الحد أعلاه ، لدينا الآن

حيث تنطبق المساواة الأخيرة بسبب ( frac = 1 ) عندما يقترب (x ) (ولكن لا يساوي) (a text <.> ) أخيرًا ، نلاحظ أن ( frac) ثابت بالنسبة إلى (x text <،> ) وبالتالي

تظل هذه النتيجة ثابتة طالما أن (g '(a) ) لا يساوي صفرًا. الاسم الرسمي للنتيجة هو قاعدة لوبيتال.

قاعدة لوبيتال

دع (f ) و (g ) قابلين للتفاضل عند (x = a text <،> ) وافترض أن (f (a) = g (a) = 0 ) وأن (g) '(a) neq 0 text <.> ) ثم

من الناحية العملية ، نعمل عادةً مع إصدار أكثر عمومية قليلاً من قاعدة L'Hopital ، والتي تنص على ذلك (في ظل الافتراضات المماثلة مثل القاعدة المعبأة أعلاه والافتراض الإضافي بأن (g ') مستمر عند (x = a ))

بشرط وجود الحد الأيمن. يعكس هذا النموذج الفكرة الأساسية لقاعدة L'Hopital: if ( frac) ينتج عنه حد غير محدد للنموذج ( frac <0> <0> ) حيث أن (x ) يميل إلى (a text <،> ) أن هذا الحد يعادل حد حاصل قسمة مشتقات وظيفتين ، ( frac نص <.> )

على سبيل المثال ، يمكننا إعادة النظر في الحد من مثال 3.57:

بتطبيق قاعدة L'Hopital على هذا الحد ، نرى ذلك مرة أخرى

كما كان الحال هنا ، من خلال استبدال البسط والمقام بالمشتقات الخاصة بهما ، غالبًا ما نستبدل النهاية غير المحددة بواحد يمكننا بسهولة تحديد قيمته.

المثال 3.59

قم بتقييم كل من الحدود التالية. إذا كنت تستخدم قاعدة L'Hopital ، فأشر إلى مكان استخدامها ، وتأكد من استيفاء فرضياتها قبل تطبيقها.

لاحظ أن هذا الحد (x ) يقترب من ( pi ) بدلاً من (x ) الذهاب إلى (0 text <.> )

لاحظ أن (e ^) يميل إلى (1 ) عندما يقترب (س ) من (1 نص <.> )

إذا لزم الأمر ، يمكن تطبيق قاعدة L'Hopital أكثر من مرة.

نظرًا لأن (س ) يميل إلى (0 نص <،> ) نرى أن ( ( ln (1 + س) ) يقترب من ( ln (1) = 0 نص <،> ) وبالتالي هذا الحد له شكل غير محدد. حسب قاعدة لوبيتال ، لدينا

نظرًا لأن هذا الحد لم يعد غير محدد ، فقد نسمح ببساطة (x ) بالانتقال إلى (0 text <،> ) وبالتالي نجد ذلك

هذا الحد ليس غير محدد لأن الوظيفة ( frac < cos (x)>) مستمر عند (x = pi text <.> )

بما أن ( ln (x) ) ينتقل إلى (0 ) و (e ^) ينتقل إلى (1 ) عندما يقترب (س ) (1 نص <،> ) هذا الحد غير محدد مع النموذج ( فارك <0> <0> نص <.> ) وبالتالي ، بواسطة قاعدة لوبيتال ،

الحد المحدث ليس غير محدد ، لذلك نسمح (x ) بالاقتراب من (1 ) والعثور عليه

نظرًا لأن الحد المعطى غير محدد للنموذج ( frac <0> <0> text <،> ) بواسطة قاعدة L'Hopital لدينا

الآن ، نظرًا لأن (x ) يقترب من (0 text <،> ) نرى أن ( cos (x) ) يقترب من (1 ) و ( sin (2x) ) يميل إلى (0 text <،> ) مما يجعل الحد الأخير غير محدد أيضًا في الشكل ( frac <0> <0> text <.> ) بتطبيق قاعدة L'Hopital مرة ثانية ، لدينا الآن

في الحد الأحدث ، نلاحظ أن ( sin (x) ) يميل إلى (0 ) لكن ( cos (2x) ) يميل إلى (1 ) عندما يقترب (x ) من ( 0 text <،> ) بحيث يميل البسط إلى الصفر بينما يقترب المقام من (- 4 text <.> ) وبالتالي ، يتم تحديد قيمة الحد ليكون

بينما يمكن تطبيق قاعدة L'Hopital بطريقة جبرية تمامًا ، من المهم أن تتذكر أن تبرير القاعدة رسومي: الفكرة الرئيسية هي أن منحدرات خطوط الظل إلى (f ) و (g ) ) في (x = a ) حدد قيمة نهاية ( frac) حيث (س ) يميل إلى (أ نص <.> ) نرى هذا في الشكل 3.6 أدناه ، حيث يمكننا أن نرى من الشبكة أن (f '(a) = 2 ) و (g '(a) = -1 text <،> ) 16 هذا بافتراض أن الشبكة لها مقياس (1 times1 ) ، وهو غير واضح من الرسم التخطيطي. في الواقع ، طالما أن المقاييس الموجودة على المحورين في الشكل 3.6 هي نفسها (ولكن ليس بالضرورة أن تحتوي على وحدة واحدة لكل صندوق) ، فإن نسبة (f '(a) ) و (g' (a ) ) سيكون (- 2 ) كما هو مذكور أدناه. بشكل عام ، من المهم دائمًا التأكد من مقياس الرسم البياني قبل افتراض أنه بالطبع شبكة (1 times1 ) ، لأن هذا لن يكون هو الحال دائمًا. ومن هنا من خلال قاعدة لوبيتال ،

ليست حقيقة أن (f ) و (g ) يقتربان من الصفر هي الأكثر أهمية ، ولكن بالأحرى معدل حيث يقترب كل منها من الصفر الذي يحدد قيمة النهاية. هذه طريقة جيدة لتذكر ما تقوله قاعدة لوبيتال: إذا (f (a) = g (a) = 0 text <،> ) حد ( frac) عندما تقترب (x ) من (أ ) تُعطى بنسبة منحدرات (f ) و (ز ) عند (س = أ نص <.> )

المثال 3.61

في هذا المثال ، نستنتج بيانًا من الشكل التالي لتقييم حدود نسب الوظائف التي تُعرف عنها بعض المعلومات.

استخدم الرسم البياني الأيسر لتحديد قيم (f (2) text <،> ) (f '(2) text <،> ) (g (2) text <،> ) و (g '(2) text <.> ) ثم قم بتقييم ( lim limits_ فارك نص <.> )

استخدم الرسم البياني الأوسط للعثور على (p (2) text <،> ) (p '(2) text <،> ) (q (2) text <،> ) و (q '(2) text <.> ) ثم حدد قيمة ( lim limits_ فارك نص <.> )

افترض أن (r ) و (s ) هي وظائف يستخدم فيها (r '(2) ne 0 ) و (s' (2) ne 0 ) استخدام اليد اليمنى رسم بياني لحساب (r (2) text <،> ) (r '(2) text <،> ) (s (2) text <،> ) (s' (2) text <.> ) اشرح لماذا لا يمكنك تحديد القيمة الدقيقة لـ ( lim limits_ فارك) بدون تقديم مزيد من المعلومات ، ولكن يمكنك تحديد علامة ( lim limits_ فارك text <.> ) بالإضافة إلى ذلك ، حدد ما ستكون عليه علامة النهاية ، مع وجود مبرر.

لا تنسَ أن (f '(a) ) يقيس ميل خط الظل إلى (y = f (x) ) عند النقطة ((a، f (a)) text <.> )

هل الوظائف (ع ) و (ف ) تفي بمعايير قاعدة لوبيتال؟

تذكر أنه يمكن تطبيق قاعدة L'Hopital أكثر من مرة على حد معين.

من الرسم البياني المعطى ، نلاحظ أن (f (2) = 0 text <،> ) (f '(2) = frac <1> <2> text <،> ) (g (g ( 2) = 0 text <،> ) و (g '(2) = 4 text <.> ) بواسطة قاعدة L'Hopital ،

يخبرنا الرسم البياني المعطى أن (p (2) = 1.5 text <،> ) (p '(2) = - 1 text <،> ) (q (2) = 1.5 text <، > ) و (q '(2) = 0 text <.> ) لاحظ جيدًا أن الحد المعطى ،

ليس غير محدد ، وبالتالي فإن قاعدة لوبيتال لا تنطبق. بدلاً من ذلك ، بما أن (p (x) to 1.5 ) و (q (x) to 1.5 ) as (x to 2 text <،> ) لدينا ذلك

من الرسم البياني الثالث ، (r (2) = 0 text <،> ) (r '(2) = 0 text <،> ) (s (2) = 0 text <،> ) (ق '(2) = 0 نص <.> ) بواسطة قاعدة لوبيتال ،

لكن هذا الحد لا يزال غير محدد ، لذا من خلال قاعدة L'Hopital مرة أخرى ،

بشرط أن (s '' (2) ne 0 text <.> ) بما أننا لا نعرف قيم (r '' (2) ) و (s '' (2) text < ،> ) لا يمكننا تحديد القيمة الفعلية للحد ، ولكن من الرسم البياني يبدو أنه (r '' (2) gt 0 ) (منذ (r ) مقعر) وهذا (ق "(2) lt 0 ) (لأن (ق ) مقعر لأسفل) ، وبالتالي

حدود القسم المتضمنة ( infty )

ينشأ مفهوم اللانهاية ، المشار إليه ( infty text <،> ) بشكل طبيعي في حساب التفاضل والتكامل ، كما هو الحال في الكثير من الرياضيات. من المهم أن نلاحظ منذ البداية أن ( infty ) مفهوم ، لكنه ليس رقمًا في حد ذاته. في الواقع ، يستدعي مفهوم ( infty ) بشكل طبيعي فكرة الحدود. ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، الوظيفة (f (x) = frac <1> text <،> ) الذي تم تصوير الرسم البياني الخاص به في الشكل 3.63.

نلاحظ أن (x = 0 ) ليس في مجال (f text <،> ) لذلك قد نتساءل بطبيعة الحال عما يحدث كـ (x to 0 text <.> ) كـ ( x to 0 ^ + text <،> ) نلاحظ أن (f (x) ) يزيد بلا حدود. وهذا يعني أنه يمكننا جعل قيمة (f (x) ) كبيرة كما نحب من خلال تقريب (x ) من الصفر (ولكن ليس مساويًا) مع الاحتفاظ (x gt 0 text <.> ) هذه طريقة جيدة للتفكير فيما تمثله اللانهاية: تميل الكمية إلى اللانهاية إذا لم يكن هناك رقم واحد تكون الكمية دائمًا أقل منه.

الشكل 3.63 الرسم البياني (f (x) = frac <1> نص <.> )

تذكر أن العبارة ( lim limits_ تعني f (x) = L text <،> ) أنه يمكن أن تجعل (f (x) ) أقرب ما يكون إلى (L ) كما نرغب من خلال أخذ (x ) قريبًا بدرجة كافية (ولكن ليس يساوي) إلى (a text <.> ) نقوم الآن بتوسيع هذا الترميز واللغة لتشمل إمكانية أن يكون (L ) أو (a ) ( infty text <.> ) على سبيل المثال ، لـ (f (x) = frac <1> text <،> ) نكتب الآن

مما يعني أنه يمكننا صنع ( frac <1>) بالقدر الذي نرغب فيه بأخذ (س ) قريبة بما فيه الكفاية (ولكن لا تساوي) إلى 0. بطريقة مماثلة ، نكتب

حيث يمكننا أن نجعل ( frac <1>) قريبة من 0 كما نرغب بأخذ (س ) كبيرة بما فيه الكفاية (أي بالسماح (س ) بالزيادة بدون قيود).

بشكل عام ، فإن التدوين ( lim limits_ تعني f (x) = infty ) أنه يمكننا جعل (f (x) ) كبيرًا بالقدر الذي نود من خلال أخذ (x ) قريبًا بدرجة كافية (ولكن ليس متساويًا) إلى (a text <،> ) والترميز ( ليم حدود_ تعني f (x) = L ) أنه يمكننا جعل (f (x) ) أقرب ما يكون إلى (L ) كما نحب من خلال أخذ (x ) كبيرًا بدرجة كافية. ينطبق هذا الترميز أيضًا على الحدود اليمنى واليسرى ، وعلى الحدود التي تتضمن (- infty text <.> ) على سبيل المثال ، العودة إلى الشكل 3.63 و (f (x) = frac <1> text <،> ) يمكننا أن نقول ذلك

إذا استطعنا جعل قيمة (f (x) ) كبيرة كما نرغب بأخذ (x ) كبيرة بما يكفي. على سبيل المثال،

الحدود التي تنطوي على تحديد اللانهاية والدالة. إذا ( ليم حدود_ f (x) = infty text <،> ) ثم (x = a ) هو خط مقارب عمودي لـ (f text <،> ) بينما إذا ( lim limits_ f (x) = L text <،> ) ثم (y = L ) هو خط مقارب أفقي لـ (f text <.> ) يمكن عمل عبارات مماثلة باستخدام (- infty text < ،> ) وبحدود اليسار واليمين مثل (x to a ^ - ) أو (x to a ^ + text <.> )

في فئات ما قبل الحساب ، من الشائع دراسة مجموعات معينة من الوظائف ، والتي نعني بها سلوك الوظيفة كـ (x to infty ) و (x to - infty text <.> ) هنا نفحص بإيجاز بعض الوظائف المألوفة ونلاحظ قيم الحدود المتعددة التي تتضمن ( infty text <.> )

شكل 3.64 رسوم بيانية لبعض الوظائف المألوفة التي يعرف سلوكها النهائي كـ (x to pm infty ). في الرسم البياني الأوسط (f (x) = x ^ 3 - 16x ) و (g (x) = x ^ 4 - 16x ^ 2-8 text <.> )

للدالة الأسية الطبيعية (e ^ x text <،> ) نلاحظ أن ( lim limits_ e ^ x = infty ) و ( lim limits_ e ^ x = 0 text <.> ) بالنسبة لدالة الانحلال الأسي (e ^ <-x> text <،> ) يتم عكس هذه الحدود ، مع ( lim limits_ ه ^ <-x> = 0 ) و ( ليم حدود_ e ^ <-x> = infty text <.> ) بالانتقال إلى وظيفة اللوغاريتم الطبيعي ، لدينا ( lim limits_ ln (x) = - infty ) و ( lim limits_ ln (x) = infty text <.> ) بينما ينمو كلاهما (e ^ x ) و ( ln (x) ) بلا حدود كـ (x to infty text <،> ) تعمل الدالة الأسية بسرعة أكبر بكثير من وظيفة اللوغاريتم. سنستخدم قريبًا الحدود لتحديد ما نعنيه بسرعة.

لوظائف كثيرة الحدود في النموذج

يعتمد سلوك النهاية على علامة (a_n ) وما إذا كانت أعلى قوة (n ) زوجية أو فردية. إذا كان (n ) زوجيًا وكان (a_n ) موجبًا ، فعندئذٍ ( lim limits_ ع (س) = إنفتي) و ( ليم حدود_ p (x) = infty text <،> ) كما في مؤامرة (g ) في الشكل 3.64. إذا كانت (a_n ) بدلاً من ذلك سلبية ، فعندئذٍ ( lim limits_ ع (س) = - infty ) و ( ليم حدود_ p (x) = - infty text <.> ) في الحالة التي يكون فيها (n ) غريبًا ، ثم إما ( lim limits_ ع (س) = إنفتي) و ( ليم حدود_ p (x) = - infty ) (والذي يحدث عندما يكون (a_n ) موجبًا ، كما هو الحال في الرسم البياني (f ) في الشكل 3.64) ، أو ( lim limits_ ع (س) = - infty ) و ( ليم حدود_ p (x) = infty ) (عندما يكون (a_n ) سالبًا).

يمكن أن تفشل الوظيفة في أن يكون لها حد مثل (x to infty text <.> ) على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك مؤامرة دالة الجيب على اليمين في الشكل 3.64. لأن الوظيفة تستمر في التأرجح بين (- 1 ) و (1 ) كـ (x to infty text <،> ) نقول ذلك ( lim limits_ sin (x) ) غير موجود.

أخيرًا ، من السهل تحليل سلوك أي دالة منطقية كـ (x to infty text <.> )

مثال 3.65

حدد نهاية الدالة

لاحظ أن كلا من ((3x ^ 2 - 4x + 5) to infty ) كـ (x to infty ) و ((7x ^ 2 + 9x - 10) to infty ) كـ (x to infty text <.> ) هنا نقول أن ( lim limits_ q (x) ) له شكل غير محدد ( frac < infty> < infty> text <.> ) يمكننا تحديد قيمة هذا الحد من خلال نهج جبري قياسي. ضرب كل من البسط والمقام في ( frac <1> text <،> ) نجد ذلك

منذ ( frac <1> إلى 0 ) و ( فارك <1> to 0 ) as (x to infty text <.> ) هذا يدل على أن الوظيفة المنطقية (q ) لها خط مقارب أفقي في (y = frac <3> <7> text <.> ) يمكن استخدام نهج مماثل لتحديد حد أي دالة منطقية مثل (x to infty text <.> )

ولكن كيف يجب أن نتعامل مع حد مثل

هنا ، كلا من (x ^ 2 to infty ) و (e ^ x to infty text <،> ) ولكن لا يوجد نهج جبري واضح يمكننا من إيجاد قيمة النهاية. لحسن الحظ ، اتضح أن قاعدة L'Hopital تمتد إلى القضايا التي تنطوي على اللانهاية.

قاعدة لوبيتال ( ( infty ))

إذا كان (f ) و (g ) قابلين للتفاضل وكلاهما يقترب من الصفر أو كلاهما يقتربان ( pm infty ) كـ (x to a ) (حيث (a ) مسموح له أن يكون ( infty )) ، إذن

(لكي نكون صحيحين من الناحية الفنية ، نحتاج إلى إضافة فرضية إضافية مفادها أن (g '(x) ne 0 ) في فترة زمنية مفتوحة تحتوي على (a ) أو في كل حي من اللانهاية إذا كان (a ) ( infty text <> ) يتم تحقيق ذلك دائمًا تقريبًا في الممارسة.)

لتقييم ( ليم حدود_ فارك text <،> ) يمكننا تطبيق قاعدة L'Hopital ، لأن كلا من (x ^ 2 to infty ) و (e ^ x to infty text <.> ) عند القيام بذلك ، فإنه يتبع الذي - التي

لا يزال هذا الحد المحدث غير محدد وعلى الشكل ( frac < infty> < infty> text <،> ) ولكنه أبسط لأن (2x ) قد استبدل (x ^ 2 text <. > ) ومن ثم ، يمكننا تطبيق قاعدة L'Hopital مرة أخرى ، وإيجاد ذلك

الآن ، بما أن (2 ) ثابت و (e ^ x to infty ) كـ (x to infty text <،> ) فإنه يتبع ذلك ( frac <2> to 0 ) as (x to infty text <،> ) مما يدل على ذلك

مثال 3.66

قم بتقييم كل من الحدود التالية. إذا كنت تستخدم قاعدة L'Hopital ، فأشر إلى مكان استخدامها ، وتأكد من استيفاء فرضياتها قبل تطبيقها.

تذكر أن ( ln (x) to infty ) كـ (x to infty text <.> )

يميل كل من البسط والمقام إلى ( infty ) كـ (x to infty text <.> )

لاحظ أن (x to 0 ^ + text <،> ) ليس ( infty text <.> )

كـ (x to frac < pi> <2> ^ - text <،> ) ( tan (x) to infty text <.> )

نظرًا لأن كلا من البسط والمقام يميلان إلى ( infty ) كـ (x to infty text <،> ) بواسطة قاعدة L'Hopital متبوعة ببعض الجبر الأولي ،

لأن هذا الحد له شكل غير محدد ( frac < infty> < infty> text <،> ) تخبرنا قاعدة L'Hopital أن

الحد الأخير غير محدد للسبب نفسه ، ويظهر تطبيق ثانٍ للقاعدة

لاحظ كيف ينتج عن كل تطبيق للقاعدة بسط ومقام أبسط. مع استخدام آخر لقاعدة L'Hopital ، متبوعًا بتبسيط جبري بسيط ، لدينا

كـ (x to 0 ^ + text <،> ) ( ln (x) to - infty ) و ( frac <1> to + infty text <،> ) هكذا بواسطة قاعدة L'Hopital ،

التبادلية والضرب والتبسيط يتبع ذلك

هنا ، يميل البسط إلى ( infty ) بينما يميل المقام إلى (0 ^ - text <.> ) لاحظ جيدًا أن هذا الحد ليس غير محدد ، ولكنه ينتج مجموعة من الكسور ذات البسط الموجب الكبير و قواسم سلبية صغيرة. لذلك

على وجه الخصوص ، نلاحظ أن قاعدة L'Hopital لا تنطبق هنا.

لتقييم حد حاصل قسمة وظيفتين ( frac) ينتج عنه شكل غير محدد من ( frac < infty> < infty> text <،> ) في جوهرنا نسأل عن الوظيفة التي تنمو بشكل أسرع دون قيود. نقول أن الوظيفة (g ) الوظيفة (f ) كـ (x to infty ) شريطة أن

بينما (f ) يهيمن على (g ) بشرط أن ( ليم حدود_ فارك = infty text <.> ) أخيرًا ، إذا كانت قيمة ( lim limits_ فارك) محدود وغير صفري ، نقول أن (f ) و (ز ) تنمو بنفس المعدل. على سبيل المثال ، رأينا أن ( lim limits_ فارك = 0 text <،> ) لذا (e ^ x ) يهيمن على (x ^ 2 text <،> ) بينما ( lim limits_ frac <3x ^ 2 - 4x + 5> <7x ^ 2 + 9x - 10> = frac <3> <7> text <،> ) لذا (f (x) = 3x ^ 2 - 4x + 5 ) و (g (x) = 7x ^ 2 + 9x - 10 ) تنمو بنفس المعدل.

القسم الفرعي أشكال أخرى غير محددة

في حين أن النموذجين الرئيسيين غير المحددين هما ( frac <0> <0> ) و ( frac < infty> < infty> text <،> ) هناك نماذج أخرى غير محددة يمكن إعادة كتابتها بالترتيب لاستخدام قاعدة لوبيتال.

المثال التالي هو استخدام كلاسيكي لقاعدة L'Hopital.

مثال 3.67

قم بتقييم الحد التالي. إذا كنت تستخدم قاعدة L'Hopital ، فأشر إلى مكان استخدامها ، وتأكد من استيفاء فرضياتها قبل تطبيقها.

لاحظ أن (1+ frac <1> to 1 ) as (x to infty text <.> ) لذلك يأخذ هذا الحد الشكل (1 ^ < infty> text <،> ) وهو شكل غير محدد.

نحتاج إلى خطوتين إضافيتين قبل أن نتمكن من تطبيق قاعدة L'Hopital. أولاً ، دعنا نضبط (y = (1+ frac <1>)) ^ x text <.> ) لاحظ أن ( ln (y) = ln (1+ frac <1>) ^ x = x ln (1+ frac <1>).) ثم

لذلك ، نحتاج إلى تقييم ( lim limits_ ln (ص) = ليم حدود_x ln (1+ frac <1>).)

نظرًا لأن (x to infty ) يقترب هذا الحد من ( infty cdot 0 text <،> ) وهو نموذج آخر غير محدد. ما زلنا لم نستوف الشروط لتطبيق قاعدة L'Hopital ، لكننا نقترب. يمكننا إعادة كتابة النهاية بالطريقة التالية

يحتوي هذا الحد على الشكل غير المحدد ( frac <0> <0> text <،> ) حتى نتمكن من تطبيق قاعدة L'Hopital في هذه المرحلة:

تتضمن الأنواع الأخرى من النماذج (0 cdot infty text <،> ) ( infty- infty text <،> ) (1 ^ < infty> text <،> ) ( 0 ^ 0 text <،> ) و ( infty ^ 0 text <.> ) توضح الأمثلة التالية بعض هذه النماذج الأخرى.

مثال 3.68

قم بتقييم كل من الحدود التالية. إذا كنت تستخدم قاعدة L'Hopital ، فأشر إلى مكان استخدامها ، وتأكد من استيفاء فرضياتها قبل تطبيقها.


تعزيز مكتبات C ++

تؤدي جميع هذه الوظائف إيجاد الجذر التكراري باستخدام المشتقات:

  • newton_raphson_iterate يؤدي تكرار نيوتن رافسون من الدرجة الثانية ،
  • halley_iterate و schroeder_iterate يؤدون تكرارا من الرتبة الثالثة Halley و Schroeder.

تأخذ جميع الوظائف نفس المعلمات:

معلمات وظائف إيجاد الجذر

يجب أن يكون النوع F كائنًا وظيفيًا قابلاً للاستدعاء يقبل معلمة واحدة ويعيد دفعة :: math :: tuple:

بالنسبة للطرق التكرارية من الدرجة الثانية (نيوتن رافسون) ، يجب أن يكون هناك دفعة :: math :: tuple اثنين العناصر التي تحتوي على تقييم الوظيفة ومشتقاتها الأولى.

بالنسبة لطرق الترتيب الثالث (Halley and Schroeder) ، يجب أن يكون هناك دفعة :: math :: tuple ثلاثة العناصر التي تحتوي على تقييم الوظيفة ومشتقاتها الأولى والثانية.

قيمة البداية الأولية. التخمين الجيد هو أمر حاسم للتقارب السريع!

الحد الأدنى للقيمة الممكنة للنتيجة ، يتم استخدام هذا كقوس سفلي أولي.

أقصى قيمة ممكنة للنتيجة ، يتم استخدام هذا كقوس علوي أولي.

العدد المطلوب من الأرقام الثنائية.

حد أقصى اختياري لعدد التكرارات المطلوب إجراؤها. عند الخروج ، يتم تعيين هذا على العدد الفعلي للتكرارات التي تم إجراؤها.

عند استخدام هذه الوظائف ، يجب ملاحظة ما يلي:

  • max_iter الافتراضي = (std :: numeric_limits & lt Boost :: uintmax_t & gt :: max) () هو "التكرار إلى الأبد" بشكل فعال !.
  • قد تكون حساسة جدًا للتخمين الأولي ، وعادةً ما تتقارب بسرعة كبيرة إذا كان التخمين الأولي يحتوي على رقمين أو ثلاثة أرقام عشرية صحيحة. ومع ذلك ، لا يمكن أن يكون التقارب أفضل من التقسيم ، أو في بعض الحالات النادرة ، أسوأ من التقسيم إذا كان التخمين الأولي بعيدًا عن القيمة الصحيحة والمشتقات قريبة من الصفر.
  • تتضمن هذه الوظائف حالات خاصة للتعامل مع مشتقات الصفر الأولى (والثانية عند الاقتضاء) ، والعودة إلى التقسيم في هذه الحالة. ومع ذلك ، من المفيد أن يتم تعريف الممول F لإرجاع قيمة صغيرة بشكل عشوائي من العلامة الصحيحة بدلا من الصفر.
  • إذا كان المشتق في أفضل تخمين حالي للنتيجة لانهائي (أو قريب جدًا من كونه لانهائيًا) فقد تنتهي هذه الوظائف قبل الأوان. يؤدي المشتق الأول الكبير إلى خطوة تالية صغيرة جدًا ، تؤدي إلى حالة الإنهاء. قد لا يكون التكرار المستند إلى المشتق مناسبًا في مثل هذه الحالات.
  • إذا كانت الوظيفة "Really Well Behaved" (رتيبة ولها جذر واحد فقط) ، فيمكن أيضًا تعيين حدود القوسين min و max على أوسع حدود مثل صفر و numeric_limits & lt T & gt :: max ().
  • ولكن إذا كانت الوظيفة أكثر تعقيدًا وقد تحتوي على أكثر من جذر أو قطب ، فإن اختيار الحدود هو الحماية من القفز للبحث عن الجذر "الخطأ".
  • تعود هذه الوظائف إلى التقسيم إذا كانت الخطوة المحسوبة التالية ستأخذ القيمة التالية خارج الحدود. يتم تحديث الحدود بعد كل خطوة للتأكد من أن هذا يؤدي إلى التقارب. ومع ذلك ، فإن التخمين الأولي الجيد المدعوم بحدود ضيقة التقارب سيحسن الأداء بلا نهاية - بدلاً من الاعتماد على التقسيم.
  • قيمة ال أرقام أمر حاسم للأداء الجيد لهذه الوظائف ، إذا تم تعيينها على مستوى عالٍ جدًا ، فستحصل في أفضل الأحوال على تكرار إضافي (غير ضروري) ، وفي أسوأ الأحوال ، ستتم الخطوات القليلة الأخيرة بالتقسيم. تذكر أن القيمة التي تم إرجاعها لا يمكن أن تكون أكثر دقة من قيمة f (x) التي يمكن تقييمها ، وأنه إذا كانت f (x) تعاني من أخطاء الإلغاء لأنها تميل إلى الصفر ، فإن الخطوات المحسوبة ستكون عشوائية بشكل فعال. قيمة ال أرقام يجب تعيينه بحيث ينتهي التكرار قبل هذه النقطة: تذكر أنه بالنسبة لطريقتين من الدرجة الثانية والثالثة ، فإن عدد الأرقام الصحيحة في النتيجة يتزايد بشكل كبير مع كل تكرار ، أرقام يجب تعيينه بالتجربة بحيث يأخذ التكرار النهائي القيمة التالية إلى المنطقة حيث تصبح f (x) غير دقيقة.
  • للحصول على الأرقام الثنائية للدقة ، استخدم السياسات :: get_max_root_iterations & ltPolicy & gt ()).
  • إذا كنت بحاجة إلى بعض المخرجات التشخيصية لمعرفة ما يجري ، فيمكنك #define BOOST_MATH_INSTRUMENT قبل # include & lt boost / math / tools / root. hpp & gt ، وتأكد أيضًا من عرض جميع الأرقام المهمة المحتملة باستخدام cout. الدقة (std :: numeric_limits & lt double & gt :: max_digits10): ولكن حذر من أن هذا قد ينتج عنه مخرجات وفيرة!
  • أخيرًا: قد تكون قادرًا على القيام بعمل أفضل من هذه الوظائف عن طريق الترميز اليدوي للطرق التجريبية المستخدمة بحيث تكون مخصصة لوظيفة معينة. قد تكون أيضًا قادرًا على حساب نسبة المشتقات المستخدمة بواسطة هذه الطرق بشكل أكثر كفاءة من حساب المشتقات نفسها. كما هو الحال دائمًا ، يمكن أن يكون التبسيط الجبري فوزًا كبيرًا.
طريقة نيوتن رافسون

بالنظر إلى التخمين الأولي x0 ، يتم حساب القيم اللاحقة باستخدام:

خطوات خارج الحدود تعود إلى تقسيم الحدود الحالية.

في ظل الظروف المثالية ، يتضاعف عدد الأرقام الصحيحة مع كل تكرار.

طريقة هالي

بالنظر إلى التخمين الأولي x0 ، يتم حساب القيم اللاحقة باستخدام:

يؤدي التعويض المفرط بالمشتق الثاني (الذي من شأنه أن يسير في الاتجاه الخاطئ) إلى عودة الطريقة إلى خطوة نيوتن رافسون.

خطوات خارج الحدود تعود إلى تقسيم الحدود الحالية.

في ظل الظروف المثالية ، يتضاعف عدد الأرقام الصحيحة مع كل تكرار.

طريقة شرودر

بالنظر إلى التخمين الأولي x0 ، يتم حساب القيم اللاحقة باستخدام:

يؤدي التعويض المفرط بالمشتق الثاني (الذي من شأنه أن يسير في الاتجاه الخاطئ) إلى عودة الطريقة إلى خطوة نيوتن رافسون. وبالمثل ، يتم استخدام خطوة نيوتن عندما تغير خطوة نيوتن القيمة التالية بأكثر من 10٪.

خطوات خارج الحدود تعود إلى تقسيم الحدود الحالية.

في ظل الظروف المثالية ، يتضاعف عدد الأرقام الصحيحة مع كل تكرار.

مثال

لنفترض أننا نريد إيجاد الجذر التكعيبي لعدد: المعادلة التي نريد حلها مع مشتقاتها هي:

لنبدأ بحل المشكلة باستخدام تكرارات نيوتن-رافسون ، سنبدأ بتعريف كائن دالة (ممول) يُرجع تقييم الوظيفة لحلها ، جنبًا إلى جنب مع مشتقها الأول f '(x):

يعد تطبيق الجذر التكعيبي أمرًا بسيطًا إلى حد ما الآن ، وأصعب جزء هو إيجاد تقريب جيد لتبدأ به: في هذه الحالة سنقسم الأس على ثلاثة:

استخدام بيانات الاختبار في libs / math / test / cbrt_test. cpp وجد هذا الجذر التكعيبي مطابقًا لآخر رقم في كل حالة ، ولا يزيد عن 6 تكرارات بدقة مضاعفة. ومع ذلك ، ستلاحظ أنه تم استخدام دقة عالية في هذا المثال ، وهو بالضبط ما تم التحذير منه سابقًا في هذه المستندات! في هذه الحالة بالذات ، من الممكن حساب f (x) تمامًا وبدون خطأ إلغاء لا داعي له ، لذا فإن الحد المرتفع لا يمثل مشكلة كبيرة. ومع ذلك ، فإن تقليل الحد إلى std :: numeric_limits & lt T & gt :: digits * 2/3 يعطي دقة كاملة في جميع حالات الاختبار باستثناء واحدة (وكان ذلك خارجًا بمقدار بت واحد فقط). بقي الحد الأقصى لعدد التكرارات 6 ، ولكن في معظم الحالات تم تقليله بمقدار واحد.

لاحظ أيضًا أن الكود أعلاه يغفل تحسينًا محتملًا عن طريق حساب z & # 178 ، وإعادة استخدامه ، وحذف معالجة الأخطاء ، ولا يتعامل مع القيم السالبة لـ z بشكل صحيح. (هذه تُترك كتمرين للقارئ!)

تتضمن وظيفة boost :: math :: cbrt أيضًا هذه التحسينات وغيرها.

الآن دعنا نتكيف مع المنفذ بشكل طفيف لإرجاع المشتق الثاني أيضًا:

ثم قم بتكييف الدالة cbrt لاستخدام تكرارات Halley:

لاحظ أن التكرارات مضبوطة على التوقف عند نصف الدقة الكاملة ، ومع ذلك ، لم يكن هناك خطأ في إحدى حالات الاختبار. علاوة على ذلك ، كان الحد الأقصى لعدد التكرارات الآن 4 فقط.

فقط لإكمال الصورة ، كان من الممكن أن نطلق على schroeder_iterate في المثال الأخير: وفي الواقع لا فرق في الدقة أو عدد التكرارات في هذه الحالة بالذات. ومع ذلك ، قد يختلف الأداء النسبي لهاتين الطريقتين اعتمادًا على طبيعة f (x) والدقة التي يمكن حساب التخمين الأولي بها. يبدو أنه لا توجد تعميمات يمكن إجراؤها باستثناء "جربهم وانظر".

أخيرًا ، لو كنا قد استدعينا cbrt مع ضبط NTL :: RR على دقة 1000 بت ، فيمكن الحصول على الدقة الكاملة باستخدام 7 تكرارات فقط. لوضع ذلك في المنظور الصحيح ، فإن زيادة الدقة بمقدار 20 ضعفًا أدت إلى مضاعفة عدد التكرارات. يذهب هذا فقط للتأكيد على أن معظم التكرارات يتم استخدامها للحصول على الأرقام القليلة الأولى الصحيحة: بعد ذلك يمكن لهذه الطرق إنتاج المزيد من الأرقام بكفاءة ملحوظة.

طريقة اخرى لقول هذا: لا شيء يتفوق على التخمين الأولي الجيد حقًا!


5 إجابات 5

بشكل عام ، حساب الحد الأقصى للدالة المستمرة وتقريبها إلى أعداد صحيحة هو الأمر الذي يحدث ليس ينتج عنه الحد الأقصى لقصر تلك الوظيفة على الأعداد الصحيحة. ليس من الصعب بناء الأمثلة.

ومع ذلك ، فإن وظيفتك الخاصة هي محدب على المجال $ k & gt0 $. في هذه الحالة ، يقع الطرف الأقصى عند واحد أو كلا العددين الصحيحين الأقرب إلى فريدة من نوعها الحد الأقصى للدالة المستمرة.

كان من اللطيف ذكر هذه الحقيقة صراحة عند تحديد الحد الأدنى بهذه الطريقة ، لأنه ليس واضحًا حقًا ، ولكن للأسف غالبًا ما يتم نسيان هذه التفاصيل الدقيقة (أو لم تُعرف أبدًا في المقام الأول) في مثل هذه المجالات التطبيقية. لذلك أحييكم لملاحظتكم المشكلة وسؤالكم!

يبدو أن السؤال الرئيسي هنا هو & quot ؛ لماذا يمكننا التفريق بين دالة محددة فقط في الأعداد الصحيحة؟ & quot. الجواب الصحيح ، كما هو محدد في OP ، هو أننا لا نستطيع - لا توجد طريقة فريدة لتعريف مثل هذا المشتق ، لأننا نستطيع إقحام الوظيفة بعدة طرق مختلفة. ومع ذلك ، في الحالات التي تراها ، ما يهمنا حقًا ليس مشتق الوظيفة ، في حد ذاته ، بل الحد الأقصى للدالة. المشتق هو مجرد أداة تستخدم لإيجاد القيم القصوى.

إذن ما يحدث هنا هو أننا نبدأ بالدالة $ f: mathbb rightarrow mathbbيتم تعريف $ فقط على الأعداد الصحيحة الموجبة ، ونحن ضمنيًا يمتد $ f $ إلى دالة أخرى $ tilde: mathbb rightarrow mathbbتعريف $ على جميع الأرقام الحقيقية. نعني بـ & quotextend & quot أن قيم $ tildeيتطابق $ مع $ f $ على الأعداد الصحيحة. الآن ، هذا هو جوهر الموضوع: إذا استطعنا إظهار أن هناك عددًا صحيحًا $ n $ مثل هذا $ tilde(n) geq tilde(m) $ لكل الأعداد الصحيحة $ m $ ، بمعنى أن $ n $ هو الحد الأقصى $ tilde$ على الأعداد الصحيحة، ثم نعلم أن الأمر نفسه ينطبق على الدالة الأصلية $ f $.ميزة القيام بذلك هي أنه يمكنك الآن استخدام حساب التفاضل والتكامل والمشتقات لتحليل $ tilde$. لا يهم كيف نوسع $ f $ إلى $ tilde$ ، لأننا في نهاية اليوم نستخدم $ tilde فقط$ كأداة للعثور على خصائص $ f $ ، مثل maxima.

في كثير من الحالات ، توجد طريقة طبيعية لتوسيع $ f $ إلى $ tilde$. في حالتك ، $ f = text$ ، ولتمديده ، ما عليك سوى أخذ الصيغة $ Delta left (4k + frac <2n> - 4 right) $ واسمح لـ $ n $ و $ k $ أن تكون قيمتها حقيقية بدلاً من القيمة الصحيحة. يمكنك تمديده بطريقة مختلفة - على سبيل المثال. $ Delta left (4k + frac <2n> - 4 right) + sin (2 pi k) $ هو أيضًا امتداد صالح لـ $ text(ن ، ك) $ ، لكن هذا ليس مناسبًا. وكل ما نحاول القيام به هو إيجاد طريقة مناسبة لتحليل الوظيفة الأصلية ذات القيمة الصحيحة ، لذلك إذا كانت هناك طريقة مباشرة للقيام بذلك ، فقد نستخدمها أيضًا.

كمثال توضيحي ، حالة مثيرة للاهتمام (وغير تافهة) لفكرة تمديد دالة ذات قيمة صحيحة إلى دالة ذات قيمة متصلة هي دالة جاما $ Gamma $ ، وهي امتداد مستمر لمضروب القيمة الصحيحة وظيفة. $ Gamma $ ليست الطريقة الوحيدة لتوسيع دالة العوامل ، لكنها بالنسبة لمعظم الأغراض (في الواقع ، جميع الأغراض التي أعرفها) هي الأكثر ملاءمة.


يمكنك أيضًا تضمين كتل رياضية لمعادلات منفصلة. يتيح لك ذلك تركيز الانتباه على معادلات أكثر تعقيدًا أو أطول ، بالإضافة إلى الارتباط بها في صفحاتك. لاستخدام معادلة كتلة ، قم بلف المعادلة إما بعبارات $ أو start.

الرياضيات على غرار اللاتكس¶

يمكنك تمكين تحليل كتل الرياضيات على غرار LaTeX باستخدام ملحق amsmath MyST. قم بتمكينه عن طريق إضافة ما يلي إلى _config.yml

بمجرد التمكين ، يمكنك تحديد كتل الرياضيات مثل:

للاستخدام المتقدم ، راجع أيضًا كيفية تعريف وحدات ماكرو MathJax TeX.

معادلات الترقيم¶

إذا كنت ترغب في ترقيم المعادلات بحيث يمكنك الرجوع إليها لاحقًا ، فاستخدم توجيه الرياضيات. تبدو هكذا:

على سبيل المثال ، الكود التالي:

بدلاً من ذلك ، يمكنك استخدام صيغة الدولار مع تسمية مسبوقة:

لا يمكن أن تبدأ التسميات بعدد صحيح ، أو لن يكون بالإمكان الرجوع إليها وستلقي رسالة تحذير إذا تمت الإشارة إليها. على سبيل المثال ، لا يمكن الإشارة إلى: label: 1 و: label: 1eq.

ربط المعادلات¶

إذا قمت بإنشاء معادلة مع تسمية ، فيمكنك الارتباط بها من داخل النص (وعبر الصفحات!).

يمكنك الرجوع إلى المعادلة باستخدام التصنيف الذي قدمته باستخدام وظيفة. على سبيل المثال:

ارتباط لتوجيه المعادلة: (3)

رابط إلى كتلة الرياضيات بالدولار: [4)

الملصقات الموجودة داخل بيئة LaTeX غير معرّفة حاليًا ، ولذلك لا يمكن الرجوع إليها. نأمل أن ننفذ هذا في التحديث المستقبلي (راجع الكتب القابلة للتنفيذ / MyST-Parser # 202)!


2.E: المشتقات الحاسوبية (تمارين) - الرياضيات

لغات الرياضيات الخاصة بالمجال

مستودع GitHub للمواد مفتوحة المصدر المتعلقة بدورة البكالوريوس في Chalmers and GU.

    مع كتاب الدورة الكامل مع المحاضرات المسجلة (معظمها باللغة السويدية ، وبعضها باللغة الإنجليزية)
  • الثلاثاء 2020-01-21: أول محاضرة عن دورة 2020
  • المؤلف الرئيسي والممتحن والمحاضر: باتريك يانسون (patrikj AT)
  • الإصدار الأول (والدعم المستمر): سيزار يونيسكو (سيزار أت)
  • مساعدو التدريس:
    • 2021: ماكسيميليان الجهيد (الجهيد أت) وفيكتور لوبيز خوان (لوبيزف أت)
    • 2020: Sólrún Einarsdóttir (Slrn AT) و Víctor López Juan (Lopezv AT)
    • 2019: ماكسيميليان الجهيد (الجهيد أت) وأبهيروب ساركار (ساركارا أت)
    • 2018: دانيال سكويب (schoepe AT)
    • 2017: فريدريك هانجوج إيفرسن (طالب هانغ أت) ودانييل سكويب (شويب أت)
    • 2016: إيرين لوبو فالبوينا (لوبو أت)

    يعد هذا المستودع بشكل أساسي موطن "كتاب" DSLsofMath (ملاحظات المحاضرة).

    تغطي ملاحظات المحاضرة والمراجع الموجودة فيها الدورة التدريبية ولكن لا يوجد كتاب دراسي مطبوع.

    نرحب دائمًا بالتعليقات والمساهمات - لا سيما في شكل طلبات سحب.

    المراجع الرئيسية مذكورة أدناه.

    يقدم المساق موضوعات رياضية كلاسيكية من منظور علوم الحوسبة: إعطاء مواصفات للمفاهيم المقدمة ، والاهتمام بالصياغة والأنواع ، وفي النهاية إنشاء DSL لبعض المجالات الرياضية المذكورة أدناه.

    مخرجات التعلم كما في منهج الدورة.

    • المعرفة والفهم
      • تصميم وتنفيذ DSL (لغة خاصة بالمجال) لمجال جديد
      • تنظيم مجالات الرياضيات في شروط DSL
      • شرح المفاهيم الأساسية للتحليل الأساسي الحقيقي والمعقد والجبر والجبر الخطي
      • تطوير تدوين مناسب للمفاهيم الرياضية
      • أداء البراهين الحسابية
      • استخدم متسلسلة القوة لحل المعادلات التفاضلية
      • استخدام تحويلات لابلاس لحل المعادلات التفاضلية
      • مناقشة ومقارنة تطبيقات البرامج المختلفة للمفاهيم الرياضية

      الدورة اختيارية لكل من طلاب علوم الكمبيوتر والرياضيات في كل من تشالمرز وجو.

      • محاضرات
        • مقدمة: هاسكل ، الأعداد المركبة ، النحو ، الدلالات ، التقويم ، التقريب
        • مفاهيم التحليل الأساسية: المتتاليات ، الحدود ، التقارب ،.
        • الأنواع والرياضيات: المنطق ، والمحددات الكمية ، والبراهين والبرامج ، كاري-هوارد ،.
          • فئات النوع ، المشتقات ، التفاضل ، البراهين الحسابية
          • نصف الوقت لمساعدة الطلاب على حل المشاكل في مجموعات صغيرة
          • نصف الوقت حل مشكلة مشتركة على السبورة

          يمكن العثور على أحدث لقطة بتنسيق PDF لملاحظات المحاضرة الكاملة في L / snapshots.

          توجد "شفرة المصدر" لملاحظات المحاضرة في الدلائل الفرعية لـ L /: L / 01 / ، L / 02 / ، إلخ.

          ينتهي الفصل 1-8 من ملاحظات المحاضرة بتمارين أسبوعية لمدة الأسابيع 1-8.

          ستجد في L / RecEx.md قائمة بالتمارين الموصى بها لكل فصل من فصول ملاحظات المحاضرة.

          استخدام كود المصدر DSLsofMath

          للقيام ببعض التمارين ، قد تحتاج / ترغب في الوصول إلى DSLs المقدمة أثناء المحاضرات وفي ملاحظات المحاضرة.

          للقيام بذلك ، تأكد أولاً من تثبيت المكدس. بعد ذلك ، قم بتنزيل tarball هذا واستخرجه في الموقع المطلوب (في Linux و Mac ، يمكنك القيام بذلك عن طريق تشغيل tar -zxf DSLsofMath-xxxxtar.gz في الجهاز. في Windows ، قد تضطر إلى استخدام أداة مثل 7- أزيز).

          إذا كنت تقوم بتنزيل ملف tar من CLI ، فقم بتنزيله واستخراجه باستخدام ما يلي:

          انتقل الآن إلى المجلد المستخرج DSLsofMath-x.x.x.x / وقم بتشغيل المكدس init. يمكنك الآن التفاعل مع الكود من المحاضرات عن طريق كتابة stack ghci ، مما يضعك في GHCi مع تحميل جميع DSLs. يمكنك أيضًا وضع ملفات Haskell الخاصة بك داخل هذا المجلد واستيراد DSLs التي تريدها عن طريق كتابة ما يلي في بداية ملفك:

          حيث X هو الفصل الذي يحتوي على الكود الذي تريد استخدامه. يجب أن تكون قادرًا على تحميل ملفات Haskell الخاصة بك في GHCi العادي.

          تثبيت المكدس على أجهزة Chalmers Linux

          على أجهزة Linux البعيدة لديك عدد من الخيارات لتشغيل المكدس. بغض النظر عن كيفية القيام بذلك ، فإن الهدف هو أن يكون لديك مكدس محلي قابل للتنفيذ في الدليل

          /.local/bin. تتمثل إحدى طرق القيام بذلك في اتباع الخطوات التالية:

          • قم بتشغيل ترقية المكدس ، قم بتنزيل الملف القابل للتنفيذ بشكل اختياري من موقع ويب المكدس.
          • تأكد من إضافة export PATH = "/ chalmers / home / & lt & lt & ltYour CID هنا & gt & gt & gt / .local / bin /: $ PATH" إلى .bashrc.
          • أعد تشغيل الجهاز
          • تأكد من أن مجموعة المطبوعات / chalmers / home / & lt & lt & ltYour CID هنا & gt & gt & gt /. local / bin / stack

          ممثلو الطلاب لتقييم دورة DSLsofMath 2019: سيتم تحديده لاحقًا

          بعض المراجع المهمة:

          • التفكير الوظيفي مع هاسكل، ريتشارد بيرد ، مطبعة جامعة كامبريدج ، 2014 URL
          • مقدمة في البرمجة الوظيفية باستخدام هاسكل، ريتشارد بيرد ، برنتيس هول ، 1998. سابق (لكن جدا مختلف) ما ورد أعلاه.
          • مقدمة في البرمجة الوظيفية، ريتشارد بيرد وفيل وادلر ، برنتيس هول ، 1988. سابق (لكن جدا مختلف) نسخة من على حد سواء ما سبق.

          البرمجة الوظيفية للغات الخاصة بالمجال، جيريمي جيبونز. في مدرسة البرمجة الوظيفية لأوروبا الوسطى 2015، LNCS 8606 ، 2015. URL

          هذا حاليا ال مرجع معياري لـ DSLs للمبرمج الوظيفي.

          طي اللغات الخاصة بالمجال: حفلات الزفاف العميقة والضحلة، جيريمي جيبونز ونيكولاس وو ، ICFP 2014. URL

          متوفر على نفس الرابط: نسخة قصيرة موصى بها بشدة ومقطع فيديو لجيريمي يقدمان أهم أفكار DSLs بطريقة سهلة الوصول للغاية.

          لغات البرمجةمايك سبيفي. ملاحظات محاضرة عن دورة أُلقيت في قسم علوم الكمبيوتر في أكسفورد. مواد مفيدة لفهم تصميم وتنفيذ DSLs المدمجة. URL

          اللغات الخاصة بالمجال، مارتن فاولر ، 2011. URL

          وجهة النظر من منظور البرمجة الشيئية.

          منظور علوم الكمبيوتر

          توصيل الرياضيات: أفكار مفيدة من علوم الكمبيوترتشارلز ويلز ، الرياضيات الأمريكية الشهرية، مايو 1995. URL

          كانت هذه المقالة أحد المحفزات الرئيسية لهذه الدورة التدريبية.

          لغة منطق الدرجة الأولى ، الطبعة الثالثة، Jon Barwise and John Etchemendy، 1993. نفدت النسخة المطبوعة ، لكن يمكنك الحصول عليها مقابل فلس واحد من Amazon UK. تحسن كبير عن خلفائها (كما قال توني هور عن ألغول 60).

          الرياضيات: الشكل والوظيفة، Saunders Mac Lane، Springer 1986. نظرة عامة على العلاقات بين العديد من المجالات الرياضية. مسلية ، مليئة بالتحدي ، مجزية. نص كامل من المكتبة

          الهندسة التفاضلية الوظيفية، جيرالد جاي سوسمان وجاك ويزدوم ، 2013 ، معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. كتاب عن استخدام البرمجة كوسيلة لفهم الهندسة التفاضلية. تشبه الدورة من حيث الروح ، ولكنها أكثر تقدمًا ومختلفة جدًا في الشكل. ظهرت نسخة سابقة كتقرير AIM.

          />
          هذا العمل مرخص بموجب رخصة المشاع الإبداعي Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.


          2.E: المشتقات الحاسوبية (تمارين) - الرياضيات

          لقد رأينا في الصفحة السابقة كيف يتم تعريف المشتق: بالنسبة للدالة f (x) ، يتم تعريف مشتقها عند x = a بواسطة

          دعونا نعطي بعض الأمثلة.

          مثال 1. لنبدأ بالدالة f (x) = x 2. نحن لدينا

          ماذا عن مشتق f (x) = x n. حسابات مماثلة ، باستخدام التوسع ذي الحدين لـ (x + y) n (مثلث باسكال) ، ينتج عنها

          مثال 2. ضع في اعتبارك الوظيفة f (x) = 1 / x for. نحن لدينا

          هل لاحظت؟ الحيلة الجبرية في كلا المثالين أعلاه هي تحليل "h" في البسط ، حتى نتمكن من حذفها مع "h" في المقام! هذا ما تحاول القيام به عندما يُطلب منك حساب مشتق باستخدام تعريف النهاية.

          قد تعتقد أن كل دالة لها مشتق. للأسف، ليست هذه هي القضية.

          مثال 3. دعونا نناقش مشتقة f (x) = | x | في 0. لدينا

          مما يعني أن f '(0) غير موجود.

          ملاحظة. هذا المثال مثير للاهتمام. على الرغم من عدم وجود المشتق عند النقطة ، إلا أن الحد الأيمن والأيسر للنسبة موجودان. في الواقع ، إذا استخدمنا تفسير الميل للمشتقة ، فسنلاحظ أن هذا يعني أن الرسم البياني به خطان قريبان منه عند النقطة قيد الدراسة. يمكن أن ينظر إليهم على أنهم "أنصاف الظل". انظر الصورة.

          لذلك دعونا ندفعها أكثر قليلاً ونسأل ما إذا كانت الدالة دائمًا لها ظل أو نصف ظل في أي نقطة. هذا ليس هو الحال أيضا.

          مثال 4. دعونا نفكر في وظيفة ، مع f (0) = 0. لدينا

          تذكر أن الدالة ليس لها حد عندما يذهب x إلى 0. لذا فإن الوظيفة ليس لها مشتقة ولا أنصاف مشتقات أيضًا عند x = 0.

          مثال 5. ضع في اعتبارك الوظيفة. إذن لدينا

          ثم f '(0) غير موجود. لكن لاحظ أن الرسم البياني كشكل هندسي له ظل - وإن كان رأسيًا:

          في الواقع ، تعتمد الطريقة التي تم بها تقديم مفهوم خط المماس على فكرة الميل. أنت تعلم بالفعل أن الخطوط العمودية لا تحتوي على منحدرات. لذلك نقول إن المشتقة لا توجد عندما يكون خط المماس عموديًا. ومع ذلك ، ضع في اعتبارك أنه عندما تكون النهاية التي تعطي المشتق هي عندئذ يكون للدالة خط مماس رأسي عند النقطة.

          قد يكون حساب المشتق يدويًا شاقًا جدًا (أو مستحيلًا) كما فعلنا حتى الآن. سنبين في الصفحات التالية كيف تساعد تقنيات التمايز في تجاوز حسابات الحدود وتجعل حياتنا أسهل بكثير.

          تمرين 1. أوجد مشتق

          تمرين 2. ناقش تفاضل

          التمرين 3. نقول أن الرسم البياني لـ f (x) له حد عند (a، f (a)) ، إذا كانت f (x) متصلة عند a وإذا كان الشرطان التاليان ثابتان: 1. من جانب واحد ( يسار أو يمين) 2. من الجانب الآخر.

          حدد ما إذا كانت f (x) = x 4/3 و g (x) = x 3/5 لها حافة عند (0،0).

          التمرين 4. أظهر أنه في حالة وجود f '(a) ، فعندئذٍ لدينا

          تمرين 5. يتم نفخ بالون كروي. أوجد المعدل الذي يتغير به حجمه V بالنسبة إلى نصف القطر.


          الأساتذه

          معلومات الطوارئ الهامة: لن يكون أعضاء هيئة التدريس والموظفون في الرياضيات في مكاتبهم أثناء حالة الطوارئ COVID-19. من الأفضل التواصل مع الأفراد عبر البريد الإلكتروني. إذا لم تكن متأكدًا من الشخص الذي تريد الاتصال به ، فيمكنك أيضًا الاتصال بالرقم (570) 422-3447.

          بكالوريوس ، 1983 ، كلية سانت ماري
          ماجستير ، 1985 ، جامعة كارنيجي ميلون
          دكتوراه ، 1989 ، جامعة كارنيجي ميلون

          أنا أستمتع بتدريس الرياضيات من التعليم العام حتى فصول الرياضيات ذات المستوى الأعلى. أنا ناشط في تعلم الخدمة وغالبًا ما يكون الطلاب يشاركون في ندوة ESU للأنشطة البحثية والإبداعية وأماكن أخرى. أنا باحث مشارك في منحة NSF S-STEM ، Clear Path.

          مصلحة التدريس

          دوراتي المفضلة للتدريس هي MATH 425 مقدمة في النمذجة الرياضية و MATH 480 Operations Research. أحب منح الطلاب الفرصة للعمل في مجموعات على المشاريع ورؤية ما يمكنهم فعله. أحب أيضًا تدريس التراكيب الرياضية المنفصلة MATH 220. أستمتع برؤية الطلاب يطورون قدرتهم على كتابة البراهين. عندما التحقت بهذه الدورة كطالب ، زاد حبي للرياضيات بشكل كبير.

          مهتم بالابحاث

          يركز بحثي الحالي على تعلم الخدمة ، وطرق التدريس الرياضية ، وعلم النجاح ، وتطبيقات المطابقة المستقرة.

          أنا باحث مشارك في منحة NSF S-STEM لدعم الطلاب الذين ينتقلون إلى ESU من كلية مجتمع ويتخصصون في تخصص STEM. حتى الآن ، قمنا بدعم حوالي 60 باحثًا ولدينا معدل استبقاء 90 ٪. سيتخرج الدارسون الأوائل في مايو 2019.

          خدمة

          رئيس قسم الرياضيات
          لجنة المناهج الجامعية
          لجنة مبادرة التعلم الخدمي
          شبكة نجاح الطلاب

          المنشورات والعروض التقديمية

          يؤدي تمرين خدعة البطاقة إلى تحسين قراءة نصوص الرياضيات ، لتظهر في PRIMUS.

          Sockman، BR، Carducci، OM، Clossey، L.، Batson-Magnuson، L.، White، G.، Wehmeyer، A.، Wells، H.، Rauch، G. How Service-Learning Experiences تعزيز مجلة المهمة الإستراتيجية للجامعة في التميز في التدريس بالكلية (2018) 29 (1) ، 75-117.

          Sockman، B.، Clossey، L.، Carducci، O.، Green، B.، Mangusson، L.، Mawure، D.، and White، G. Systems Thinking as a Heuristic for تنفيذ تعليم الخدمة في التعليم العالي ، لتظهر في "التفكير والتغيير في النظم" ، عمل مرجعي رئيسي ، Springer / AECT

          باتسون-ماجنوسون ، وأو كاردوتشي ، وإل كلوسي Service-Learning. في M. Ball و P Pruim Eds. قارئ خبرة السنة الأولى. سان فرانسيسكو: مطبعة كوجنيلا (2018).

          حدد العروض التقديمية: استخدام حيل البطاقة لاكتشاف كيفية قراءة نص رياضي. تم تقديمه في الجلسة المدعوة "المسها ، اشعر بها ، تعلمها: أنشطة التعلم باللمس في الفصل الدراسي للرياضيات الجامعية" ، اجتماعات الرياضيات المشتركة ، بالتيمور ، ماريلاند ، يناير 2019.

          Green، B. A.، Darsinos، J.، LaBar، D.، Carducci، O.M، & amp Jones-Wilson، T. M. نجاح الطلاب والممارسات عالية التأثير: ترجمة أبحاث علم النفس من أجل فهم أكبر. قدمت في AACU's Transforming STEM للتعليم العالي. أتلانتا ، جورجيا ، نوفمبر 2018.

          جونز-ويلسون ، T. M. ، Carducci ، O. M. ، & amp Green ، B. A. STEM Transfer Readiness: تحديد وقياس العجز ، وحل المشكلة. قدمت في AACU's Transforming STEM للتعليم العالي. أتلانتا ، جورجيا ، نوفمبر 2018.

          باتسون-ماجنوسون ، أو.كاردوتشي ، وإل كلوسي ، وب. سوكمان ، خدمة التعلم: استكشاف الاحتمالات ، ندوة بروفوست ، جامعة إيست سترودسبيرغ ، مارس 2018.

          Carducci، O. M.، Jones-Wilson، T.M، Green، B. A. أنشطة المنح الدراسية لإكمال درجة البكالوريوس أنشطة دعم التكامل ، المعهد الوطني لدراسة نقل الطلاب المؤتمر السنوي السادس عشر. أتلانتا ، جورجيا فبراير 2018.

          مشاكل المطابقة المستقرة قبول المطابقة المستقرة الواحدة ، مؤتمر نظرية الرسم البياني في الغرب الأوسط (مايتي) ، جامعة رايت ستيت ، 8-9 أبريل 2016.

          النمذجة الرياضية وتعلم الخدمة ، New England SENCER (تعليم العلوم
          من أجل المشاركة المدنية الجديدة والمسؤوليات) مركز الابتكار ، ماساتشوستس
          كلية الفنون الليبرالية ، 18 أكتوبر 2014.

          بكالوريوس 1984 ، جامعة لونغ آيلاند
          ماجستير ، 1987 ، جامعة سيراكيوز
          ماجستير فيل ، 1989 ، جامعة سيراكيوز
          دكتوراه ، 1991 ، جامعة سيراكيوز

          الدكتور ن. بول شمباري أستاذ الرياضيات في جامعة إيست ستراودسبرغ في بنسلفانيا. يقوم بتدريس معظم فصول الرياضيات ، وخاصة حساب التفاضل والتكامل والمعادلات التفاضلية والجبر الخطي والرياضيات المتقطعة والإحصاء على جميع المستويات. بحثه في مجالات الرياضيات المطبقة على الحوسبة.

          الاهتمامات التعليمية

          حساب التفاضل والتكامل والمعادلات التفاضلية - دكتور شمباري حاصل على درجة الدكتوراه. في التحليل الرياضي ، فهذه المجالات هي خبرته.

          الرياضيات المتقطعة - يستمتع الدكتور شمباري بشكل خاص بمساعدة الطلاب على تعلم كيفية كتابة البراهين الرياضية.

          الجبر الخطي - يتعلق الكثير من هذا الموضوع بالعمل مع النواقل ، وقد طبق الدكتور Schembari هذا على أبحاث الحوسبة.

          الإحصاء - نظرًا لأن هذا الموضوع يحتوي على العديد من التطبيقات في كل مجال أكاديمي تقريبًا ، يستمتع الدكتور شمباري بمساعدة الطلاب على تعلم كيفية تطبيق الإحصائيات على تخصصاتهم.

          الاهتمامات البحثية

          عمل الدكتور شمباري في مجالات بحث متعددة خلال سنوات عمله في ESU:
          تحليل فورييه
          تعليم الرياضيات
          تعليم الأمن السيبراني
          تقنيات التشفير
          هندسة اليد
          كشف اختراق الشبكة
          كشف البرامج الضارة

          خدمة

          خدم الدكتور شمباري مجتمعات متعددة:
          ESU Tutoring Center
          ريادة الأعمال ESU
          مدير برنامج الأمن السيبراني ESU
          رئيس ESU علوم الكمبيوتر
          لجنة المناهج ESU
          لجنة تطوير وبحوث أعضاء هيئة التدريس بالجامعة

          مجموعة الإرشاد الطلابي

          دكتور.كان Schembari مستشارًا لنادي ESU الرياضي - عناصر إقليدس

          المنشورات والعروض التقديمية

          في التحضير لعام 2020: انطباعات الطلاب عن واجبات الرياضيات المنزلية على الإنترنت. لقد أنشأت استطلاعًا لصفوف الرياضيات لدينا لتحديد ما إذا كان الطلاب يفضلون واجبات الرياضيات المنزلية عبر الإنترنت مقارنة بالواجب المنزلي التقليدي أم لا. تم تقديم هذا الاستطلاع إلى 14 فصلًا في خريف 2019 من قبل أعضاء قسم الرياضيات. تم تنظيم النتائج في عرض تقديمي لاجتماعات الرياضيات المشتركة التي سأكتبها الآن في ورقة.

          GDOM: قياس الحبيبات للكشف عن البرامج الضارة المبهمة ، مع J. Aruta. تم قبولها للنشر في Journal of Cybersecurity Education Research and Practice ، 2020.

          شفرة نصف دوار للفصل الدراسي ، PRIMUS ، 30: 5 ، 552-570 ، DOI: 10.1080 / 10511970.2019.1619003 ، 2020

          من أبحاث الطلاب إلى كشف التسلل ، مجلة تعليم أمن المعلومات ، المجلد 2 ، العدد 2 ، 2016 ، ص 57 - 67 (مجلة محكمة)

          تقييم نتائج التعلم في منهج ضمان المعلومات ، مع مايك يوشن ، وقائع مؤتمر تطوير منهج أمن المعلومات 2013 ، InfoSecCD ، 2013. (إجراءات المؤتمر المحكمة)

          استخدام معايير مناهج ضمان المعلومات كأساس للحصول على درجة الدراسات العليا ، مع مايكل يوشن ، وقائع مؤتمر بنسلفانيا لمعلمي نظم المعلومات والحاسوب (PACISE) ، 2012 (إجراءات المؤتمر المحكم)

          بحث جامعي في الطب الشرعي الحاسوبي ، مع ماري ديفيتو ، وكريستين هوفمايستر ، ومايكل يوخن ، وقائع مؤتمر InfoSecCD لتطوير مناهج أمن المعلومات 2011 ، 2011 (إجراءات المؤتمر المحكمة)

          بكالوريوس 1993 ، كلية كونيتيكت
          ماجستير ، 1996 ، جامعة كونيتيكت
          دكتوراه ، 2000 ، جامعة كونيتيكت

          بكالوريوس ، 1995 ، جامعة فيتنبرغ
          ماجستير ، 1999 ، جامعة كونيتيكت
          دكتوراه ، 2003 ، جامعة كونيتيكت

          بكالوريوس ، 1999 ، جامعة تشوفو العادية
          ماجستير ، 2005 ، جامعة وندسور
          دكتوراه ، 2011 ، جامعة وندسور

          إن الواجب الأساسي للدكتور Xuemao Zhang هو تدريس الرياضيات والاحتمالات والإحصاء. إلى جانب التعليم ، يهتم ببحوث تحليل البيانات الطولية والإحصاء الحيوي. لديه العديد من المنشورات في المجلات الأكاديمية بما في ذلك مجلة Biometrical Journal ، ومجلة الحساب والمحاكاة الإحصائية ، و Statistics in Medicine.

          مصلحة التدريس

          الجبر وحساب التفاضل والتكامل والاحتمالات والإحصاء.

          مهتم بالابحاث

          تقدير المعادلات وتحليل البيانات الفئوية والنماذج الخطية المعممة.

          المنشورات والعروض التقديمية

          Zhang، X.، Paul، S. and Wang، Y (2019). عينة صغيرة تصحيح التحيز أم تقليل التحيز؟ الاتصالات في الإحصاء - المحاكاة والحساب ، لتظهر.

          تشانغ ، إكس ، بول ، س ، ولي ، د. (2016). نمذجة الاستجابات ذات الحدين الطولية المفرطة من خلال معادلات التقدير المعممة ، مجلة الحساب والمحاكاة الإحصائية ، 86 (10) ، 1912-1920.

          Paul، S. and Zhang، X. (2014). عينة صغيرة من تقدير GEE لمعلمات الانحدار للبيانات الطولية ، الإحصاء في الطب ، 33 ، 3869-3881.

          تشانغ ، إكس ، وبول ، س. (2013). التقدير الغاوسي لتأثيرات الانحدار في البيانات الثنائية الطولية ، مجلة البيومترية ، 55 ، 885-898.

          بول ، س وتشانغ ، إكس (2010). اختبار السوية في نماذج الانحدار الخطي ، مجلة الحساب والمحاكاة الإحصائية ، 80 ، 1101-1113.

          بكالوريوس ، 2005 ، جامعة ولاية بليموث
          ماجستير ، 2012 ، جامعة ولاية بليموث
          دكتوراه ، 2016 ، جامعة شمال كولورادو

          تقوم الدكتورة نوبليت بتدريس دورات تعليم الرياضيات ، مثل MATH 431/531: تدريس الرياضيات باستخدام التكنولوجيا و PSED 436/536: تدريس الرياضيات الثانوية ، بالإضافة إلى دورات الرياضيات ، مثل MATH 140: حساب التفاضل والتكامل I. تطوير المعلمين قبل الخدمة للرياضيات PCK (معرفة المحتوى التربوي).

          المنشورات والعروض التقديمية

          المنشورات المحكمة والإجراءات:
          نوبليت ، ك. (مقبول). تطوير معرفة المحتوى التربوي: هل يمكن استخدام خبرات التدريس لتدريب معلمي المستقبل؟ وقائع المؤتمر السنوي الثاني والعشرين للبحث في تعليم الرياضيات للطلاب الجامعيين ، أوكلاهوما سيتي ، حسنًا.
          جرين ، ب.أ ، بروتزكو ، ج. ، ونوبلت ، ك. (2018). تكليفات وتمارين للطلاب للمفاهيم الإحصائية للعلوم السلوكية ، 2 / هـ. بوسطن: بيرسون.
          نوبليت ، ك. (2017). فهم معلمي المرحلة الابتدائية قبل الخدمة للعامل المشترك الأقل شيوعًا مقابل العامل المشترك الأكبر. في (محرران) A. Weinberg ، C. Rasmussen ، J. Rabin ، M. Wawro ، و S. Brown ، وقائع المؤتمر السنوي العشرين حول البحث في تعليم الرياضيات للطلاب الجامعيين. ص. 779-786 ، سان دييغو ، كاليفورنيا.
          نوبليت ، ك. (2015). التفريق بين أمثلة المعرفة بالمحتوى والتدريس: الاستجابة لتخمينات الطلاب. في (محرران) T. Fukawa-Connolly و N. Engelke Infante و K. Keene و M. Zandieh ، وقائع المؤتمر السنوي الثامن عشر حول البحث في تعليم الرياضيات للطلاب الجامعيين. بيتسبرغ ، بنسلفانيا.
          نوبليت ، ك. (2014). فهم معلمي المرحلة الابتدائية قبل الخدمة لنظرية الأعداد: ربط معرفة المحتوى بـ PCK. في (محرران) T. Fukawa-Connolly و G. Karakok و K. Keene و M. Zandieh ، وقائع المؤتمر السنوي السابع عشر حول البحث في تعليم الرياضيات الجامعي. دنفر ، كولورادو.
          نوبليت ، ك. (2013). فهم معلمي المرحلة الابتدائية قبل الخدمة لأكبر مشاكل قصة العامل المشترك. في (محرران) S. Brown، G. Karakok، K. H. Roh، and M. Oehrtman، Proceedings of the 16th Conference on Research in Undergraduate Mathematics Education، Vol. 2 ، ص 227-233. دنفر، كولورادو.
          جاكسون ، ب ، رايس ، إل ، وأمبير نوبليت ، ك. (2011). ماذا نرى؟ تقييم في الوقت الحقيقي للمحتوى التربوي والمعايير الاجتماعية الرياضية لمعلمي المدارس المتوسطة والثانوية. في (محرران) S. Brown، S. Larsen، K. Marrongelle، and M. Oehrtman، Proceedings of the 14th Annual Conference on Research in Undergraduate Mathematics Education، Vol. 4 ، ص 103-107. بورتلاند ، أوريغون.

          بكالوريوس ، 2011 ، جامعة لوك هافن
          ماجستير ، 2013 ، جامعة ولاية ميشيغان
          دكتوراه ، 2020 ، جامعة ولاية ميشيغان

          الدكتور دوبس أستاذ مساعد في قسم الرياضيات في جامعة إيست ستراودسبورغ. ينصب تركيزه على دورات الرياضيات لمعلمي الرياضيات المستقبليين ، وخاصة دورات محتوى الرياضيات لمعلمي pK-8 المستقبليين (MATH105 / 205). يعزز بحثه نظرية الرسم البياني والفلسفة لرسم خريطة لمجال أبحاث تعليم الرياضيات وتحليلها ونقدها.

          مصلحة التدريس

          يهتم الدكتور دوبس بتدريس دورات الرياضيات للتعليم العام ودورات محتوى الرياضيات لمعلمي الرياضيات المستقبليين (pK-12). ينصب تركيزه على دورات محتوى الرياضيات لمعلمي pK-8 (MATH105 - حل المشكلات و MATH205 - الهندسة) مع التركيز على التدريس المعقد - استخدام المهام الجديرة بالمجموعة التي (1) تتعامل مع محتوى رياضيات هادف و (2) تتناول قضايا الحالة في فصل الرياضيات لضمان حصول جميع الطلاب على فرص متكافئة للتعلم.

          مهتم بالابحاث

          فلسفة وأخلاقيات تعليم الرياضيات ، LGBTQQ + تعليم المدرس المستجيب ، الإنصاف ، تاريخ تعليم الرياضيات

          المنشورات والعروض التقديمية

          دوبس ، سي (2020). أخلاق من؟ نحو توضيح الأخلاقيات في أبحاث تعليم الرياضيات. مجلة فلسفة التربية. دوى: 10.1111 / 1467-9752.12427
          دوبس ، سي (2020). اضطرابات العقل: أطلس لبحوث تعليم الرياضيات. (أطروحة دكتوراه ، جامعة ولاية ميتشيغان).
          Dubbs ، C. ، Whipple ، K. ، & amp Koestler ، C. (2020). LGBTQQ + تعليم معلم الرياضيات المستجيب: مقارنة التجارب عبر السياقات. عرض تقديمي في مؤتمر رابطة معلمي الرياضيات لعام 2020. فينيكس ، أريزونا: AMTE.
          كويستلر ، سي ، ويبل ، ك ، وأمب دوبس ، سي (2019). استخدام المقالات القصيرة لإعداد معلمي الرياضيات لمناصرة الطلاب والعائلات والزملاء من LGBTQQ +. عرض تقديمي في مؤتمر رابطة معلمي الرياضيات لعام 2019. أورلاندو ، فلوريدا: AMTE.
          Tunstall ، L. ، Dubbs ، C. ، & amp Osibodu ، O. (2018). إمكانيات القوة الرمزية في الرياضيات: استلزم وعي نقدي بالكمية اللاإنسانية. عرض تقديمي في الاجتماع السنوي 2018 للجمعية الأمريكية للبحوث التربوية. نيويورك ، نيويورك: AERA.
          Crespo ، S. ، Bieda ، K. ، & amp Dubbs ، C. (2018). تطوير عادة القراءة: التحضير والمساهمة في مجتمع البحث. مدرس الرياضيات ، 7 (1) ، 3-7. دوى: 10.5951 / mathteaceduc.7.1.0003
          Koestler ، C. ، Whipple ، K. ، Dubbs ، C. ، & amp Jacobs ، J. (2018). مسؤوليات معلمي الرياضيات وأدوارهم في مناصرة الطلاب والمعلمين وزملاء الجامعة من LGBTQQ +. تم تقديم ورشة عمل في مؤتمر رابطة معلمي الرياضيات لعام 2018. هيوستن ، تكساس: AMTE.
          Crespo ، S. ، Martínez ، J.M ، Dubbs ، C. ، & amp Bieda ، K. (2017). قليل جدًا ، كثير جدًا ، صحيح تمامًا! - توضيح المشكلات المشتركة في ممارسة معلمي الرياضيات. مدرس الرياضيات ، 6 (1) ، 3-8. دوى: 10.5951 / mathteaceduc.6.1.0003
          دوبس ، سي (2016). تحول غريب في أبحاث تعليم الرياضيات: تركيز تجربة الطلاب المثليين المهمشين. في وقائع المؤتمر الثامن والثلاثين لفرع أمريكا الشمالية للمجموعة الدولية لعلم نفس تعليم الرياضيات (PME-NA). توكسون ، أريزونا: PME-NA.


          محاسبة المشتقات

          المحاسبة للمشتقات هو أحد بنود الميزانية العمومية حيث تظهر المشتقات التي تحتفظ بها الشركة في البيان المالي بطريقة معتمدة إما من قبل GAAP أو IAAB أو كليهما.

          بموجب معايير المحاسبة الدولية الحالية ومعيار AS 109 ، يتعين على المنشأة قياس الأدوات المشتقة في القيمة العادلة أو علامة في السوق. يتم الاعتراف بجميع أرباح وخسائر القيمة العادلة في الربح أو الخسارة باستثناء الحالات التي تكون فيها المشتقات مؤهلة كأدوات تحوط في تحوطات التدفقات النقدية أو صافي تحوطات الاستثمار.

          دعونا نأخذ مثالاً لفهم كيفية حساب الربح أو الخسارة في المعاملات المشتقة.

          محاسبة الربح والخسارة في خيار الشراء

          في هذا المثال ، دعنا نأخذ سعر التمرين عند 100 دولار ، وخيار الشراء 10 دولارات ، وحجم اللوت 200 سهم من الأسهم. الآن سنكتشف السداد والربح / الخسارة للمشتري وبائع الخيار إذا كان سعر التسوية 90 دولارًا و 105 دولارات و 110 دولارات و 120 دولارًا

          خيار "Call" لأسهم الأسهم - حساب الربح / الخسارة لكل من بائع الخيار والمشتري

          سعر التمرين = 100 دولارالسيناريو 1السيناريو 2السيناريو 3السيناريو الرابع
          سعر التسوية (في ظل سيناريوهات مختلفة)90105110120
          قسط خيار الاستدعاء (الخيار المميز * حجم اللوت) (10 * 200 دولار)2000200020002000
          يتم الدفع من قبل مشتري خيار الشراء = (سعر التسوية - سعر ممارسة) × حجم اللوت0
          (بما أن سعر التسوية أقل فلن يمارس الخيار)
          1000
          =200*(105-100)
          2000
          =200*(110-100)
          4000
          =200*(120-100)
          الربح أو الخسارة للمشتري (تم الدفع مطروحًا منه قسط التأمين المدفوع)-2000-1000
          (1000-20000
          0
          (2000-2000)
          2000
          (4000-2000)
          المردود لبائع المكالمات = الحد الأقصى (سعر التسوية - ممارسة السعر) × حجم اللوت0-1000-20004000
          سداد مدفوعات بائع المكالمات = سداد مطروحًا منه قسط التأمين المدفوع200010000-2000

          أتمنى الآن أن تفهم كيف يتم حساب الربح / الخسارة في حالة المشتقات.

          المحاسبة عن الربح والخسارة في خيارات البيع

          خيار "وضع" على أسهم حقوق الملكية - حساب الربح / الخسارة لكل من بائع الخيار والمشتري

          سعر التمرين = 100 دولارالسيناريو 1السيناريو 2السيناريو 3السيناريو الرابع
          سعر التسوية (في ظل سيناريوهات مختلفة)8090100110
          قسط خيار الاتصال (7 دولار * 200)1400140014001400
          يتم الدفع من قبل مشتري خيار البيع = (سعر تسوية السعر) × حجم اللوت4000200000
          الربح أو الخسارة لوضع المشتري (السداد مطروحًا منه قسط التأمين المدفوع)2600600-1400-1400
          العائد على كاتب البيع = الحد الأقصى (سعر تسوية السعر) × حجم اللوت-4000-200000
          سداد مدفوعات كاتب المكالمة = سداد مطروحًا منه قسط التأمين المدفوع-2600-60014001400

          دعونا نأخذ أمثلة لفهم كيفية حساب إدخالات المحاسبة على المعاملات المشتقة في كلا دفاتري "الكاتب والمشتري لخيارات الشراء والبيع" (تستند الأمثلة الأربعة التالية على هذا - استدعاء الكاتب ، استدعاء المشتري ، وضع الكاتب ، وضع المشتري)

          محاسبة المشتقات & # 8211 كتابة مكالمة

          كتب السيد أ خيار الاتصال (أي خيار بيع المكالمة) التفاصيل كالتالي بحجم لوت 1000 سهم من أسهم X Limited في 1 فبراير 2016 بعلاوة قدرها 5 دولارات للسهم الواحد. تاريخ التمرين هو 31 ديسمبر 2016 وسعر التمرين 102 دولار لكل سهم

          سعر السوق في 1 فبراير 2016 = 100 لكل سهم:

          سعر السوق في 31 مارس 2016 = 104 لكل سهم:

          سعر السوق في 31 ديسمبر 2016 = 105 لكل سهم

          في هذا العقد ، يوافق "أ" على شراء الأسهم بسعر 102 دولارًا أمريكيًا على الرغم من السعر في 31 ديسمبر 2016.

          لذا فإن القيمة العادلة للخيار ، في هذه الحالة ، هي كما يلي

          في 1 فبراير 2016 (تاريخ إبرام العقد) القيمة العادلة للخيار = 5000 دولار

          في 31 مارس 2016 (تاريخ التقرير) = 5000- (104-102) * 100 = 3000 دولار

          في 31 ديسمبر 2016 (تاريخ انتهاء الصلاحية) = 5000- (105-102) * 100 = 2000 دولار

          مداخيل حسابية:

          تاريختفاصيلالدكتورسجل تجاري
          1 فبراير 2016حساب بنكي د 5000
          حساب التزام خيار الشراء Cr 5000
          (تم استلام قسط الخيار لكتابة خيارات الاتصال) (علاوة استدعاء 5000 دولار)
          31 مارس 2016
          (تاريخ التقارير)
          حساب التزام خيار الشراء د2000
          حساب مكاسب القيمة العادلة كر 2000
          (زيادة القيمة العادلة للخيار) (5000 دولار - 3000 دولار)
          31 ديسمبر 2016
          (تاريخ التمرين)
          حساب التزام خيار الشراء د1000
          حساب مكاسب القيمة العادلة كر 1000
          (زيادة القيمة العادلة للخيار) (3000 دولار - 2000 دولار)
          31 ديسمبر 2016
          (تاريخ التمرين)
          حساب التزام خيار الشراء د2000
          حساب بنكي كر 2000
          (تسوية نقدية عند ممارسة خيار الشراء) (5000 دولار - 2000 دولار - 1000 دولار)
          يتم تسوية الصفقة في حالة حدوثها في الأسهم
          31 ديسمبر 2016
          (تاريخ التمرين)
          حساب التزام خيار الشراء د2000
          أسهم شركة X Limited Cr 2000
          (تسوية نقدية عند ممارسة خيار الشراء) (5000 دولار - 2000 دولار - 1000 دولار)
          النقد للأسهم: أي تسوية الأسهم الإجمالية
          1 فبراير 2016حساب بنكي د5000
          حساب التزام خيار الشراء Cr 5000
          (تم استلام قسط الخيار لكتابة خيارات الاتصال) (علاوة استدعاء 5000 دولار)
          31 مارس 2016
          (تاريخ التقارير)
          لا حاجة للدخول
          هذه تسوية حقوق ملكية ، ولم يتم الاعتراف بالتغيير في القيمة العادلة للخيار
          31 ديسمبر 2016
          (تاريخ التمرين)
          حساب مصرفي د102000
          أسهم X Limited Account Cr 102000
          (تسوية الصفقة في الأسهم) ($ 102 * 1000)

          محاسبة المشتقات & # 8211 شراء مكالمة

          السيد أ شراء خيار Call (أي خيار شراء اشترى) التفاصيل كالتالي بحجم لوت 1000 سهم من أسهم X Limited في 1 فبراير 2016 بعلاوة 5 دولارات للسهم الواحد. تاريخ التمرين هو 31 ديسمبر 2016 وسعر التمرين 102 دولار لكل سهم

          سعر السوق في 1 فبراير 2016 = 100 لكل سهم:

          سعر السوق في 31 مارس 2016 = 104 لكل سهم:

          سعر السوق في 31 ديسمبر 2016 = 105 لكل سهم

          حل: في هذا العقد ، اشترى "A" خيار شراء أسهم X Ltd بسعر 102 دولارًا أمريكيًا للسهم بغض النظر عن السعر في 31 ديسمبر 2016. إذا كان سعر X ltd أكثر من 102 ألف ، فسيتم شراء أسهم بسعر 102 دولارًا أمريكيًا وإلا إذا كانت الأسهم تعمل بأقل من 102 دولار ، فيمكنه رفض شراء الأسهم بسعر 102 دولار.

          لذا فإن القيمة العادلة للخيار ، في هذه الحالة ، هي كما يلي

          في 1 فبراير 2016 (تاريخ إبرام العقد) القيمة العادلة للخيار = 5000 دولار

          في 31 مارس 2016 (تاريخ التقرير) = 5000- (104-102) * 100 = 3000 دولار

          في 31 ديسمبر 2016 (تاريخ انتهاء الصلاحية) = 5000- (105-102) * 100 = 2000 دولار

          مداخيل حسابية:

          تاريختفاصيلالدكتورسجل تجاري
          1 فبراير 2016Call option Asset Account د5000
          حساب بنكي كر 5000
          (قسط الخيار مدفوع لشراء خيارات الاتصال) (علاوة استدعاء 5000 دولار)
          31 مارس 2016
          (تاريخ التقارير)
          حساب خسارة القيمة العادلة د2000
          خيار شراء الأصول حساب Cr 2000
          (انخفاض في القيمة العادلة للخيار) (5000 دولار - 3000 دولار)
          31 ديسمبر 2016
          (تاريخ التمرين)
          حساب خسارة القيمة العادلة د1000
          خيار شراء الأصول حساب Cr 1000
          (النقص في القيمة العادلة للخيار) (5000 دولار - 3000 دولار)
          31 ديسمبر 2016
          (تاريخ التمرين)
          حساب مصرفي د2000
          خيار شراء الأصول حساب Cr 2000
          (تسوية نقدية عند ممارسة خيار الشراء) (5000 دولار - 2000 دولار - 1000 دولار)
          تتم تسوية الصفقة في حالة في أسهم شركة X Limited
          31 ديسمبر 2016
          (تاريخ التمرين)
          أسهم شركة X Limited Dr2000
          خيار شراء الأصول حساب Cr 2000
          (تسوية الأسهم عند ممارسة خيار الشراء) (5000 دولار - 2000 دولار - 1000 دولار)
          النقد للأسهم: أي تسوية الأسهم الإجمالية
          1 فبراير 2016Call option Asset Account د5000
          حساب بنكي كر 5000
          (قسط الخيار مدفوع لشراء خيارات الاتصال) (علاوة استدعاء 5000 دولار)
          31 مارس 2016
          (تاريخ التقارير)
          لا حاجة للدخول
          هذه تسوية حقوق ملكية ، ولا يتم الاعتراف بالتغيير في القيمة العادلة للخيار
          31 ديسمبر 2016
          (تاريخ التمرين)
          حساب مصرفي د102000
          أسهم X Limited Account Cr 102000
          (تسوية الصفقة في الأسهم) ($ 102 * 1000)

          محاسبة المشتقات & # 8211 كتابة وضع

          كتب السيد "أ" خيار البيع (أي خيار البيع المباع) التفاصيل كالتالي بحجم لوت 1000 سهم من أسهم X Limited في 1 فبراير 2016 بعلاوة قدرها 5 دولارات للسهم الواحد. تاريخ التمرين هو 31 ديسمبر 2016 وسعر التمرين 98 دولارًا لكل سهم

          سعر السوق في 1 فبراير 2016 = 100 لكل سهم:

          سعر السوق في 31 مارس 2016 = 97 لكل سهم:

          سعر السوق في 31 ديسمبر 2016 = 95 لكل سهم

          حل: في هذا العقد ، باع "A" خيار طرح لشراء أسهم X Ltd بسعر 98 دولارًا للسهم على الرغم من السعر في 31 ديسمبر 2016. إذا كان سعر X ltd أكثر من 98 ، فلا يجوز لمشتري الخيار ألا بيع الأسهم إلى A وبخلاف ذلك ، إذا كان سعر X ltd في 31 ديسمبر 2016 أقل من 98 دولارًا ، فيجب على "A" شراء أسهم بسعر 98 دولارًا.

          لذا فإن القيمة العادلة للخيار ، في هذه الحالة ، هي كما يلي

          في 1 فبراير 2016 (تاريخ إبرام العقد) القيمة العادلة للخيار = 5000 دولار (5 دولارات * 1000 سهم)

          في 31 مارس 2016 (تاريخ التقرير) = 5000- (98-97) * 100 = 4000 دولار

          في 31 ديسمبر 2016 (تاريخ انتهاء الصلاحية) = 5000- (98-95) * 100 = 2000 دولار

          تاريختفاصيلالدكتورسجل تجاري
          1 فبراير 2016حساب بنكي د5000
          وضع حساب التزام الخيار Cr 5000
          (تم استلام علاوة الخيار لكتابة خيارات البيع كتابة خيارات البيع تشير خيارات وضع الكتابة إلى الفرصة التي يتيحها المستثمر لامتلاك وبيع أصل أساسي بسعر استثنائي محدد مسبقًا في تاريخ مستقبلي. للمالك الحق ولكن ليس الالتزام لبيع الأصل الأساسي. اقرأ المزيد) (ضع علاوة قدرها 5000 دولار)
          31 مارس 2016
          (تاريخ التقارير)
          ضع حساب التزام الخيار د1000
          حساب مكاسب القيمة العادلة كر 1000
          (زيادة القيمة العادلة لخيار البيع) (5000 دولار - 4000 دولار)
          31 ديسمبر 2016
          (تاريخ التمرين)
          ضع حساب التزام الخيار د2000
          حساب مكاسب القيمة العادلة كر 2000
          (زيادة القيمة العادلة للخيار) (4000 دولار - 2000 دولار)
          31 ديسمبر 2016
          (تاريخ التمرين)
          ضع حساب التزام الخيار د2000
          حساب بنكي كر 2000
          (تسوية نقدية عند ممارسة خيار البيع) (5000 دولار - 1000 دولار - 2000 دولار)
          يتم تسوية الصفقة في حالة حدوثها في الأسهم
          31 ديسمبر 2016
          (تاريخ التمرين)
          ضع حساب التزام الخيار د2000
          أسهم شركة X Limited Cr 2000
          (تسوية نقدية عند ممارسة خيار البيع) (5000 دولار - 2000 دولار - 1000 دولار)
          النقد للأسهم: أي تسوية الأسهم الإجمالية
          1 فبراير 2016حساب بنكي د5000
          حساب التزام خيار الشراء Cr 5000
          (تم استلام علاوة الخيار لكتابة خيارات البيع) (ضع علاوة قدرها 5000 دولار)
          31 مارس 2016
          (تاريخ التقارير)
          لا حاجة للدخول
          هذه تسوية حقوق ملكية ، ولا يتم الاعتراف بالتغيير في القيمة العادلة للخيار
          31 ديسمبر 2016
          (تاريخ التمرين)
          حساب مصرفي د98000
          أسهم X Limited Account Cr 98000
          (تسوية الصفقة بالأسهم) (98 * 1000 دولار)

          محاسبة المشتقات & # 8211 شراء وضع

          السيد أ اشترى خيار بيع التفاصيل كالتالي بحجم لوت 1000 سهم من أسهم X Limited في 1 فبراير 2016 بعلاوة 5 دولارات للسهم الواحد. تاريخ التمرين هو 31 ديسمبر 2016 وسعر التمرين 98 دولارًا لكل سهم

          سعر السوق في 1 فبراير 2016 = 100 لكل سهم:

          سعر السوق في 31 مارس 2016 = 97 لكل سهم:

          سعر السوق في 31 ديسمبر 2016 = 95 لكل سهم

          حل: في هذا العقد ، اشترى "A" خيار طرح لشراء أسهم X Ltd بسعر 98 دولارًا أمريكيًا للسهم على الرغم من السعر في 31 ديسمبر 2016. إذا كان سعر X ltd أكثر من 98 في 31 ديسمبر 2016 ، إذن سيشتري أسهم X ltd بسعر 98 دولارًا ، وإلا إذا كان سعر X ltd في 31 ديسمبر 2016 أقل من 98 دولارًا ، فيمكن للحرف "A" رفض الشراء بسعر 98 دولارًا والشراء في السوق الخارجية.

          لذا فإن القيمة العادلة للخيار ، في هذه الحالة ، هي كما يلي

          في 1 فبراير 2016 (تاريخ إبرام العقد) القيمة العادلة للخيار = 5000 دولار (5 دولارات * 1000 سهم)

          في 31 مارس 2016 (تاريخ التقرير) = 5000- (98-97) * 100 = 4000 دولار

          في 31 ديسمبر 2016 (تاريخ انتهاء الصلاحية) = 5000- (98-95) * 100 = 2000 دولار

          تاريختفاصيلالدكتورسجل تجاري
          1 فبراير 2016ضع خيار حساب الأصول د5000
          حساب بنكي كر 5000
          (تم دفع علاوة الخيار لشراء خيارات البيع) (ضع علاوة قدرها 5000 دولار)
          31 مارس 2016
          (تاريخ التقارير)
          حساب خسارة القيمة العادلة د1000
          وضع خيار حساب الأصول Cr 1000
          (النقص في القيمة العادلة لخيار البيع) (5000 دولار - 4000 دولار)
          31 ديسمبر 2016
          (تاريخ التمرين)
          حساب خسارة القيمة العادلة د2000
          وضع خيار حساب الأصول Cr 2000
          (النقص في القيمة العادلة لخيار البيع) (4000 دولار - 2000 دولار)
          31 ديسمبر 2016
          (تاريخ التمرين)
          حساب مصرفي د2000
          وضع خيار حساب الأصول Cr 2000
          (تسوية نقدية عند ممارسة خيار البيع) (5000 دولار - 1000 دولار - 2000 دولار) (في هذه الحالة ، يجوز للسيد أ رفض الشراء بسعر 98 دولارًا والشراء في السوق بسعر 95 دولارًا) لغرض الدخول ، أنا بافتراض أنه اشترى من الكاتب بسعر 98 دولارًا
          يتم تسوية الصفقة في حالة حدوثها في الأسهم
          31 ديسمبر 2016
          (تاريخ التمرين)
          أسهم شركة X Limited Dr2000
          وضع خيار حساب الأصول Cr 2000
          (تسوية نقدية عند ممارسة خيار البيع) (5000 دولار - 2000 دولار - 1000 دولار)
          النقد للأسهم: أي تسوية الأسهم الإجمالية
          1 فبراير 2016ضع خيار حساب الأصول د5000
          حساب بنكي كر 5000
          (تم دفع علاوة الخيار لشراء خيارات البيع) (ضع علاوة قدرها 5000 دولار)
          31 مارس 2016
          (تاريخ التقارير)
          لا حاجة للدخول
          هذه تسوية حقوق ملكية ، ولا يتم الاعتراف بالتغيير في القيمة العادلة للخيار
          31 ديسمبر 2016
          (تاريخ التمرين)
          سهم X Limited Account Dr98000
          حساب بنكي كر 98000
          (تسوية الصفقة بالأسهم) (98 * 1000 دولار)

          أتمنى الآن أن تفهم كيفية حساب الربح أو الخسارة عند الطلب ووضع الخيارات تحت سيناريوهات مختلفة ومعالجة محاسبية. الآن دعونا ندخل في العقود الآجلة / الآجلة للشركة & # 8217s الأسهم الخاصة.

          العقود الآجلة أو الآجلة لشراء أو بيع حقوق ملكية الكيان:

          التسليم القائم على العقود الآجلة أو العقود الآجلة على أسهم حقوق الملكية الخاصة بالكيان هو معاملة حقوق ملكية. لأنه عقد لبيع أو شراء حقوق ملكية الشركة & # 8217s في تاريخ مستقبلي بمبلغ ثابت.

          في حالة تسوية العقد نقدًا مقابل مبلغ تفاضلي ، أو في حالة تسوية الأسهم مقابل مبلغ الفرق ، يتم التعامل معها كعقد مشتق.

          تسوية النقدية: يتم التعامل معها كعقد مشتق. تعتبر القيمة العادلة لإعادة التوجيه عند الاعتراف الأولي بمثابة أصل أو التزام مالي. القيمة العادلة للإرسال هي صفر عند الاعتراف الأولي ، لذلك لا يلزم إدخال محاسبة عند إبرام عقد آجل. يتم احتساب المبلغ الآجل بالقيمة العادلة في تاريخ كل تقرير ، ويتم إلغاء الاعتراف بالأصول / المطلوبات الآجلة الناتجة عند إيصال / دفع التسوية نقدًا أو أي أصل مالي آخر.

          تسوية الأسهم: بموجب هذا ، يتم إصدار الأسهم / إعادة شرائها

          لمبلغ التسوية الصافي بالسعر الفوري لتاريخ التسوية. فقط معاملة التسوية تنطوي على حقوق الملكية.

          التسوية عن طريق التسليم: في هذا الصدد ، كما نوقش أعلاه ، يتم إصدار / إعادة شراء العدد المطلوب من الأسهم. هذه صفقة أسهم.

          مثال محاسبة المشتقات & # 8211 عقد آجل لشراء الأسهم الخاصة

          أبرمت X ltd عقدًا آجلًا لشراء أسهمها وفقًا للتفاصيل التالية.

          تاريخ العقد: 1 فبراير 2016: تاريخ الاستحقاق: 31 ديسمبر 2016. سعر التمرين 104 دولار أمريكي وعدد الأسهم 1000

          سعر السوق في 1 فبراير 2016: 100 دولار

          سعر السوق في 31 مارس 2016: 110 دولار

          سعر السوق في 31 ديسمبر 2016: 106 دولار

          حل: القيمة العادلة للشحن في 1 فبراير 2016 0 دولار

          القيمة العادلة للآجل في 31 مارس 2016 6000 دولار أمريكي (1000 * (110-104))

          القيمة العادلة للآجلة في 31 ديسمبر 2016 2000 دولار أمريكي (1000 * (106-104))

          تاريختفاصيلالدكتورسجل تجاري
          1 فبراير 2016لا حاجة للدخول
          31 مارس 2016
          (تاريخ التقارير)
          حساب الأصول الآجلة د6000
          كسب القيمة الآجلة الحساب Cr 6000
          (النقص في القيمة العادلة للتوجيه الناتج عن الربح) (1000 * (110-104))
          31 ديسمبر 2016
          (تاريخ التمرين)
          حساب خسارة القيمة العادلة د4000
          حساب الأصول الآجلة Cr 4000
          (النقص في القيمة العادلة للأصول الآجلة) (106-104) * 1000
          31 ديسمبر 2016
          (تاريخ التمرين)
          حساب مصرفي د2000
          حساب الأصول الآجلة Cr 2000
          (يقوم الطرف المقابل بتسوية العقد الآجل بدفع 2000 دولار)
          الأسهم للأسهم أي صافي تسوية الأسهم
          31 ديسمبر 2016
          (تاريخ التمرين)
          حساب مخزون الخزينة د2000
          حساب الأصول الآجلة كر 2000
          (يقوم الطرف المقابل بتسوية العقد الآجل من خلال تسليم أسهم X Ltd بقيمة 2000 دولار)
          النقد للأسهم أي تسوية الأسهم الإجمالية
          1 فبراير 2016الحساب المعلق لأسهم الأسهم د100000
          حساب التزام إعادة شراء الأسهم Cr 100000
          (القيمة الحالية لالتزام شراء الأسهم بموجب عقد الشحن)
          31 مارس 2016
          (تاريخ التقارير)
          حساب الفائدة د3667
          حساب التزام إعادة شراء الأسهم Cr 3667
          (104-100)*1000*11/12
          31 ديسمبر 2016
          (تاريخ التمرين)
          حساب الفائدة د333
          حساب التزام إعادة شراء الأسهم كر 333
          (4000*1/12)
          31 ديسمبر 2016
          (تاريخ التمرين)
          حساب مخزون الخزينة د100000
          حساب حقوق الملكية المعلق كر 100000
          (شراء أسهم حقوق الملكية الخاصة بعقد إعادة التوجيه وتعديل تعليق حقوق الملكية)
          31 ديسمبر 2016
          (تاريخ التمرين)
          حساب بنكي د104000
          حساب التزام إعادة شراء المخزون Cr 104000
          (تسوية مسؤولية الشحن)

          فيديو المحاسبة عن المشتقات

          آمل أن تكونوا قد حصلتم على فهم معقول للمعالجة المحاسبية للعقود المشتقة.


          شاهد الفيديو: الدرس الثاني: تمارين ومسائل قواعد الاشتقاق الوحده1. رياضيات الصف الثاني عشر علمي وصناعي. توجيهي (ديسمبر 2021).