مقالات

متعدد حدود تايلور لوظائف متغيرين - الرياضيات


في وقت سابق من هذا الفصل الدراسي ، رأينا كيفية تقريب دالة (f (x ، y) ) بواسطة دالة خطية ، أي بمستوى الظل الخاص بها. تصادف أن تكون معادلة المستوى المماس هي (1 ^ { text {st}} ) - درجة تيلور متعدد الحدود لـ (f ) في ((x ، y) ) ، حيث كانت معادلة خط الظل هي (1 ^ { text {st}} ) - درجة تيلور متعددة الحدود للدالة (f (x) ).

سنرى الآن كيفية تحسين هذا التقريب لـ (f (x، y) ) باستخدام دالة تربيعية: (2 ^ { text {nd}} ) - درجة تيلور متعددة الحدود لـ (f ) في ((س ، ص) ).

مراجعة لتايلور متعدد الحدود لوظيفة متغير واحد

هل تتذكر Taylor Polynomials من حساب التفاضل والتكامل II؟

التعريف: كثيرات حدود تايلور لدالة متغير واحد ، (y = f (x) )

إذا كان (f ) يحتوي على (n ) مشتقات في (x = c ) ، ثم كثير الحدود ،

[P_n (x) = f (c) + f '(c) (x - c) + frac {f' (c)} {2!} (x - c) ^ 2 + cdots + frac {f ^ {(n)} (c)} {n!} (xc) ^ n ]

يسمى (n ^ { text {th}} ) - درجة تيلور متعددة الحدود لـ (و ) في (ج ).

يمكن الآن تقريب دالة لمتغير واحد (f (x) ) من أجل (x ) بالقرب من (c ) باستخدام (1 ^ { text {st}} ) - درجة Taylor Polynomial (ie ، باستخدام المعادلة الخاصة به خط الظل عند النقطة ((ج ، و (ج) )). هذه (1 ^ { text {st}} ) - درجة تيلور متعددة الحدود تسمى أيضًا تقريب خطي من (f (x) ) لـ (x ) بالقرب من (c ).

هذا هو:

[f (x) تقريبًا f (c) + f '(c) (x - c) ]

ملحوظة

تذكر أن المشتق الأول لهذا (1 ^ { text {st}} ) - درجة تيلور متعددة الحدود في (x = c ) يساوي المشتق الأول لـ (f ) عند (x = ج ). هذا هو:

بما أن (P_1 (x) = f (c) + f '(c) (x - c) ) ،

[P_1 '(c) = f' (c) nonumber ]

التقريب الأفضل لـ (f (x) ) لـ (x ) بالقرب من (c ) هو التقريب التربيعي (على سبيل المثال ، (2 ^ { text {nd}} ) - درجة تيلور متعددة الحدود لـ (f ) في (x = c )):

[f (x) almost f (c) + f '(c) (x - c) + frac {f' '(c)} {2} (x - c) ^ 2 ]

ملحوظة

تذكر أن كلا المشتقين الأول والثاني من (2 ^ { text {nd}} ) - درجة تيلور متعددة الحدود لـ (f ) في (x = c ) هي نفس تلك الخاصة بـ (f ) في (س = ج ). هذا هو:

بما أن (P_2 (x) = f (c) + f '(c) (x - c) + frac {f' (c)} {2} (x - c) ^ 2 ) ،

[P_2 '(c) = f' (c) quad text {and} quad P_2 '' (c) = f '(c) nonumber ]

معادلات تايلور متعددة الحدود من الدرجة الأولى والثانية لوظائف متغيرين

تعمل Taylor Polynomials بنفس الطريقة لوظائف متغيرين. (يوجد المزيد من كل مشتق!)

التعريف: كثير حدود تايلور من الدرجة الأولى لدالة متغيرين ، (f (x ، y) )

لدالة ذات متغيرين (f (x، y) ) توجد جزئياتها الأولى عند النقطة ((a، b) ) ، (1 ^ { text {st}} ) - درجة تيلور متعددة الحدود من (f ) لـ ((س ، ص) ) بالقرب من النقطة ((أ ، ب) ) هو:

[f (x، y) تقريبًا L (x، y) = f (a، b) + f_x (a، b) (x - a) + f_y (a، b) (y - b) ]

(L (x، y) ) يسمى أيضًا بامتداد خطي (أو طائرة تماسية) تقريب من (و ) من أجل ((س ، ص) ) بالقرب من النقطة ((أ ، ب) ).

لاحظ أن هذه في الحقيقة مجرد معادلة المستوى المماس للوظيفة.

لاحظ أيضًا أن المشتقات الجزئية الأولى لهذه الدالة كثيرة الحدود هي (f_x ) و (f_y )!

يمكننا الحصول على تقريب أفضل لـ (f ) لـ ((س ، ص) ) بالقرب من النقطة ((أ ، ب) ) باستخدام التقريب التربيعي من (و ) من أجل ((س ، ص) ) بالقرب من النقطة ((أ ، ب) ). هذا مجرد اسم آخر لـ (2 ^ { text {nd}} ) - درجة تيلور متعددة الحدود لـ (f ).

التعريف: متعدد حدود تايلور من الدرجة الثانية لدالة متغيرين ، (f (x ، y) )

لدالة من متغيرين (f (x، y) ) يوجد جزأها الأول والثاني عند النقطة ((a، b) ) ، (2 ^ { text {nd}} ) - درجة تيلور متعددة الحدود من (f ) لـ ((س ، ص) ) بالقرب من النقطة ((أ ، ب) ) هو:

[f (x، y) تقريبًا Q (x، y) = f (a، b) + f_x (a، b) (x - a) + f_y (a، b) (y - b) + frac {f_ {xx} (a، b)} {2} (xa) ^ 2 + f_ {xy} (a، b) (xa) (yb) + frac {f_ {yy} (a، b)} { 2} (yb) ^ 2 label {tp2} ]

إذا حددنا بالفعل (L (x، y) ) ، فيمكننا تبسيط هذه الصيغة على النحو التالي:

[f (x، y) almost Q (x، y) = L (x، y) + frac {f_ {xx} (a، b)} {2} (xa) ^ 2 + f_ {xy} (أ ، ب) (xa) (yb) + frac {f_ {yy} (أ ، ب)} {2} (yb) ^ 2 ]

ملاحظة: نظرًا لأن كلا الجزئين المختلطين متساويان ، فهما يتحدان لتشكيل الحد الأوسط. في الأصل ، كان هناك أربعة حدود للجزئية الثانية ، وكلها مقسومة على 2.

لاحظ أن القوة الموجودة على العامل ((س - أ) ) تتوافق مع عدد المرات التي يتم فيها أخذ الجزء بالنسبة إلى (س ) وأن القوة على العامل (ص - ب ) تتوافق مع عدد المرات التي يتم فيها أخذ الجزئية بالنسبة لـ (ص ). على سبيل المثال ، في المصطلح الذي يحتوي على (f_ {xx} (a، b) ) ، لديك العامل ((xa) ^ 2 ) ، حيث يتم أخذ الجزء بالنسبة إلى (x ) مرتين ، وفي المصطلح مع (f_ {xy} (a، b) ) ، لديك العوامل ((xa) ) و ((yb) ) (كلاهما مرفوع للقوة الأولى) ، منذ الجزئي تؤخذ فيما يتعلق بـ (س ) مرة واحدة وفيما يتعلق بـ (ص ) مرة واحدة.

لاحظ أيضًا أن كلا المشتقات الجزئية الأولى والثانية لوظيفة كثيرة الحدود هي نفسها تلك الخاصة بالدالة (f )!

مثال ( PageIndex {1} ): إيجاد معادلات تايلور متعددة الحدود من الدرجة الأولى والثانية

حدد (1 ^ { text {st}} ) - و (2 ^ { text {nd}} ) - تقديرات تايلور متعددة الحدود التقريبية ، (L (x، y) ) & (Q (س ، ص) ) ، للوظائف التالية من (س ) و (ص ) بالقرب من النقطة المحددة.

أ. (f (x، y) = sin 2x + cos y ) من أجل ((x، y) ) بالقرب من النقطة ((0، 0) )

ب. (و (س ، ص) = س ^ ص + 1 ) من أجل ((س ، ص) ) بالقرب من النقطة ((1 ، 0) )

حل

أ. لتحديد تقريب خطي متعدد الحدود من الدرجة الأولى ، (L (x ، y) ) ، نحسب أولاً المشتقات الجزئية لـ (f ).

[f_x (x، y) = 2 cos 2x quad text {and} quad f_y (x، y) = - sin y nonumber ]

ثم تقييم هذه الجزئيات والدالة نفسها عند النقطة ((0،0) ) لدينا:

[ start {align *} f (0،0) & = sin 2 (0) + cos 0 = 1 f_x (0،0) & = 2 cos 2 (0) = 2 f_y (0،0) & = - sin 0 = 0 end {align *} nonumber ]

الآن،

[ start {align *} L (x، y) & = f (0،0) + f_x (0،0) (x - 0) + f_y (0،0) (y - 0)
& = 1 + 2x end {محاذاة *} ]

شاهد مخطط هذه الوظيفة وتقريبها الخطي ( (1 ^ { text {st}} ) - درجة تايلور متعددة الحدود) في الشكل ( PageIndex {1} ).

الشكل ( PageIndex {1} ): رسم بياني لـ (f (x، y) = sin 2x + cos y ) و (1 ^ { text {st}} ) - درجة تيلور متعددة الحدود ، (L (x، y) = 1 + 2x )

لتحديد تقريب تيلور متعدد الحدود من الدرجة الثانية (التربيعي) ، (س (س ، ص) ) ، نحتاج إلى الأجزاء الثانية من (و ):

[ begin {align *} f_ {xx} (x، y) & = -4 sin 2x f_ {xy} (x، y) & = 0 f_ {yy} (x، y) & = - cos y end {محاذاة *} ]

تقييم هذه الأجزاء الثانية عند النقطة ((0،0) ):

[ begin {align *} f_ {xx} (0،0) & = -4 sin 2 (0) = 0 f_ {xy} (0،0) & = 0 f_ {yy} ( 0،0) & = - cos 0 = -1 end {align *} ]

ثم،

[ begin {align *} Q (x، y) & = L (x، y) + frac {f_ {xx} (0،0)} {2} (x-0) ^ 2 + f_ {xy } (0،0) (x-0) (y-0) + frac {f_ {yy} (0،0)} {2} (y-0) ^ 2
& = 1 + 2x + frac {0} {2} x ^ 2 + (0) xy + frac {-1} {2} y ^ 2
& = 1 + 2x - frac {y ^ 2} {2} end {align *} ]

شاهد مخطط الدالة (f ) جنبًا إلى جنب مع تقريبها التربيعي ( (2 ^ { text {nd}} ) - درجة تايلور متعددة الحدود) في الشكل ( PageIndex {2} ).

الشكل ( PageIndex {2} ): رسم بياني لـ (f (x، y) = sin 2x + cos y ) و (2 ^ { text {nd}} ) - درجة تيلور متعددة الحدود ، (Q (x، y) = 1 + 2x - frac {y ^ 2} {2} )

ب. لتحديد تقريب خطي متعدد الحدود من الدرجة الأولى ، (L (x ، y) ) ، نحسب أولاً المشتقات الجزئية لـ (f (x ، y) = xe ^ y + 1 ).

[f_x (x، y) = e ^ y quad text {and} quad f_y (x، y) = xe ^ y nonumber ]

ثم تقييم هذه الجزئيات والدالة نفسها عند النقطة ((1،0) ) لدينا:

[ start {align *} f (1،0) & = (1) e ^ 0 + 1 = 2 f_x (1،0) & = e ^ 0 = 1 f_y (1،0) & = (1) e ^ 0 = 1 end {align *} nonumber ]

الآن،

[ start {align *} L (x، y) & = f (1،0) + f_x (1،0) (x - 1) + f_y (1،0) (y - 0)
& = 2 + 1 (س - 1) + 1 س
& = 1 + س + ص نهاية {محاذاة *} ]

شاهد مخطط هذه الوظيفة وتقريبها الخطي ( (1 ^ { text {st}} ) - درجة تايلور متعددة الحدود) في الشكل ( PageIndex {3} ).

الشكل ( PageIndex {3} ): رسم بياني لـ (و (س ، ص) = س ^ ص + 1 ) و (1 ^ { text {st}} ) - درجة تيلور متعددة الحدود ، (L (x، y) = 1 + x + y )

لتحديد تقريب تيلور متعدد الحدود من الدرجة الثانية (التربيعي) ، (س (س ، ص) ) ، نحتاج إلى الأجزاء الثانية من (و ):

[ start {align *} f_ {xx} (x، y) & = 0 f_ {xy} (x، y) & = e ^ y f_ {yy} (x، y) & = xe ^ y end {align *} ]

تقييم هذه الأجزاء الثانية عند النقطة ((1،0) ):

[ begin {align *} f_ {xx} (1،0) & = 0 f_ {xy} (1،0) & = e ^ 0 = 1 f_ {yy} (1،0) & = (1) ه ^ 0 = 1 نهاية {محاذاة *} ]

ثم،

[ begin {align *} Q (x، y) & = L (x، y) + frac {f_ {xx} (1،0)} {2} (x-1) ^ 2 + f_ {xy } (1،0) (x-1) (y-0) + frac {f_ {yy} (1،0)} {2} (y-0) ^ 2
& = 1 + x + y + frac {0} {2} (x-1) ^ 2 + (1) (x-1) y + frac {1} {2} y ^ 2
& = 1 + x + y + xy -y + frac {y ^ 2} {2}
& = 1 + x + xy + frac {y ^ 2} {2} end {align *} ]

انظر مخطط الدالة (f ) جنبًا إلى جنب مع تقريبها التربيعي ( (2 ^ { text {nd}} ) - درجة تايلور متعددة الحدود) في الشكل ( PageIndex {4} ).

الشكل ( PageIndex {4} ): رسم بياني لـ (و (س ، ص) = س ^ ص + 1 ) و (2 ^ { text {nd}} ) - درجة تيلور متعددة الحدود ، (L (x، y) = 1 + x + xy + frac {y ^ 2} {2} )

معادلات تايلور متعددة الحدود ذات الدرجة العالية لدالة متغيرين

لحساب كثير حدود تايلور للدرجة (n ) لوظائف متغيرين يتجاوزان الدرجة الثانية ، نحتاج إلى إيجاد النمط الذي يسمح لجميع أجزاء كثير الحدود بأن تكون مساوية لأجزاء الدالة التي يتم تقريبها عند النقطة ((أ ، ب) ) ، حتى الدرجة المحددة. وهذا يعني أنه بالنسبة إلى (P_3 (x، y) ) سنحتاج إلى الأجزاء الأولى والثانية والثالثة لتتطابق جميعها مع (f (x، y) ) عند النقطة ((a، b) ). بالنسبة إلى (P_10 (x ، y) ) ، سنحتاج إلى جميع الأجزاء الجزئية حتى الأجزاء العاشرة لتتطابق جميعها مع (f (x، y) ) عند النقطة ((a، b) ).

إذا عملت على هذا النمط ، فإنه يعطينا الصيغة الشيقة التالية لـ (n ^ { text {th}} ) - درجة تيلور متعددة الحدود من (f (x ، y) ) ، بافتراض وجود كل هذه الأجزاء .

التعريف: (n ^ { text {th}} ) - درجة تيلور متعددة الحدود لدالة من متغيرين

لدالة من متغيرين (f (x، y) ) توجد جميع أجزائها في (n ^ { text {th}} ) الأجزاء عند النقطة ((a، b) ) ، (n ^ { text {th}} ) - درجة تيلور متعددة الحدود من (f ) لـ ((س ، ص) ) بالقرب من النقطة ((أ ، ب) ) هو:

[P_n (x، y) = sum_ {i = 0} ^ n sum_ {j = 0} ^ {n - i} frac { frac {d ^ {(i + j)} f} {∂ x ^ i∂y ^ {j}} (a، b)} {i! j!} (xa) ^ i (yb) ^ j label {tpn} ]

دعنا نتحقق من هذه الصيغة لكثير الحدود من الدرجة الثانية تايلور. (سنترك الأمر لك للتحقق من ذلك من أجل تيلور متعدد الحدود من الدرجة الأولى.)

بالنسبة لـ (n = 2 ) ، لدينا:

[P_2 (x، y) = sum_ {i = 0} ^ 2 sum_ {j = 0} ^ {2 - i} frac { frac {d ^ {(i + j)} f} {∂ x ^ i∂y ^ {j}} (أ ، ب)} {i! j!} (xa) ^ i (yb) ^ j ]

نظرًا لأن (i ) سيبدأ عند (0 ) ويستمر في الزيادة حتى (2 ) ، بينما ستبدأ قيمة (ي ) عند (0 ) وتزيد إلى (2- i ) لكل قيمة (i ) ، سنرى القيم التالية لـ (i ) و (ي ):

[ begin {align *} i = 0، && j = 0 i = 0، && j = 1 i = 0، && j = 2 i = 1، && j = 0 i = 1، && j = 1 i = 2، && j = 0 end {align *} ]

ثم بالصيغة:

[ begin {align *} P_2 (x، y) & = frac {f (a، b)} {0! 0!} (xa) ^ 0 (yb) ^ 0 + frac {f_y (a، ب)} {0! 1!} (xa) ^ 0 (yb) ^ 1 + frac {f_ {yy} (a، b)} {0! 2!} (xa) ^ 0 (yb) ^ 2 + frac {f_x (a، b)} {1! 0!} (xa) ^ 1 (yb) ^ 0 + frac {f_ {xy} (a، b)} {1! 1!} (xa) ^ 1 (yb) ^ 1 + frac {f_ {xx} (a، b)} {2! 0!} (xa) ^ 2 (yb) ^ 0
& = f (a، b) + f_y (a، b) (yb) + frac {f_ {yy} (a، b)} {2} (yb) ^ 2 + f_x (a، b) (xa) + f_ {xy} (a، b) (xa) (yb) + frac {f_ {xx} (a، b)} {2} (xa) ^ 2
& = f (a، b) + f_x (a، b) (xa) + f_y (a، b) (yb) + frac {f_ {xx} (a، b)} {2} (xa) ^ 2 + f_ {xy} (a، b) (xa) (yb) + frac {f_ {yy} (a، b)} {2} (yb) ^ 2 end {align *} ]

هذه المعادلة هي نفسها المعادلة ref {tp2} أعلاه.

لاحظ أن (P_2 (x، y) ) هو التدوين الأكثر رسمية لدرجة تيلور متعددة الحدود من الدرجة الثانية (Q (x، y) ).

التمرين ( PageIndex {1} ): إيجاد كثير حدود تايلور من الدرجة الثالثة لدالة من متغيرين

حاول الآن العثور على المصطلحات الجديدة التي ستحتاج إلى إيجادها (P_3 (x، y) ) واستخدم هذه الصيغة الجديدة لحساب كثير حدود تايلور من الدرجة الثالثة لإحدى الوظائف في المثال ( PageIndex {1} ) في الاعلى. تحقق من النتيجة باستخدام أداة جرافر دالة ثلاثية الأبعاد مثل CalcPlot3D.

إجابه

كما وجدت للتو ، فإن التوليفات الجديدة الوحيدة من (i ) و (ي ) ستكون:

[ begin {align *} i = 0، && j = 3 i = 1، && j = 2 i = 2، && j = 1 i = 3، && j = 0 end {align *} ]

لاحظ أن هذه الأزواج تتضمن جميع المجموعات الممكنة من (i ) و (j ) التي يمكن أن تضيف إلى (3 ). أي أن هذه الأزواج تتوافق مع جميع شروط الدرجة الثالثة المحتملة التي يمكن أن نحصل عليها لوظيفة من متغيرين (x ) و (y ) ، مع تذكر أن (i ) يمثل درجة (x ) ) و (ي ) يمثل درجة (ص ) في كل مصطلح. إذا كانت النقطة ((أ ، ب) ) هي ((0،0) ) ، فإن العوامل المتغيرة لهذه المصطلحات ستكون (y ^ 3 ) ، (xy ^ 2 ) ، (x ^ 2y ) و (x ^ 3 ) على التوالي.

ثم بالمعادلة ref {tpn}:

[P_3 (x، y) = P_2 (x، y) + frac {f_ {yyy} (a، b)} {0! 3!} (xa) ^ 0 (yb) ^ 3 + frac {f_ {xyy} (a، b)} {1! 2!} (xa) ^ 1 (yb) ^ 2 + frac {f_ {xxy} (a، b)} {2! 1!} (xa) ^ 2 (yb) ^ 1 + frac {f_ {xxx} (a، b)} {3! 0!} (xa) ^ 3 (yb) ^ 0 ]

التبسيط ، [P_3 (x، y) = P_2 (x، y) + frac {f_ {yyy} (a، b)} {6} (yb) ^ 3 + frac {f_ {xyy} (a، ب)} {2} (xa) (yb) ^ 2 + frac {f_ {xxy} (a، b)} {2} (xa) ^ 2 (yb) + frac {f_ {xxx} (a، ب)} {6} (xa) ^ 3 ]

المساهمون

  • بول سيبرغر (كلية مجتمع مونرو)

تمارين:

13.7: معادلات تايلور متعددة الحدود لوظائف متغيرين

في التدريبات من 1 إلى 8 ، ابحث عن التقريب الخطي (L (x، y) ) والتقريب التربيعي (Q (x، y) ) لكل دالة عند النقطة المحددة. هذه هي (1 ^ { text {st}} ) - و (2 ^ { text {nd}} ) - درجة تيلور متعددة الحدود لهذه الدوال في هذه النقاط. استخدم أداة رسم ثلاثية الأبعاد مثل CalcPlot3D للتحقق من أن كل تقريب خطي يكون مماسًا للسطح المحدد عند نقطة معينة وأن كل تقريب تربيعي ليس فقط مماسًا للسطح عند نقطة معينة ، ولكنه يشترك أيضًا في التقعر نفسه مثل السطح عند هذا الحد هدف.

1) (f (x، y) = x sqrt {y}، quad P (1،4) )

إجابه:
(L (x، y) = 2x + frac {1} {4} y − 1 )
(Q (x، y) = -1 + 2x + frac {1} {4} y + frac {1} {4} (x-1) (y - 4) - frac {1} {64 } (ص -4) ^ 2 )

2) (f (x، y) = e ^ x cos y؛ quad P (0،0) )

3) (f (x، y) = arctan (x + 2y)، quad P (1،0) )

إجابه:
(L (x، y) = frac {1} {4} π− frac {1} {2} + frac {1} {2} x + y )
(Q (x، y) = frac {1} {4} π− frac {3} {4} + x + 2y - frac {x ^ 2} {4} - xy - y ^ 2 )

4) (f (x، y) = sqrt {20 − x ^ 2−7y ^ 2}، quad P (2،1) )

5) (f (x، y) = x ^ 2y + y ^ 2، quad P (1،3) )

إجابه:
(L (س ، ص) = 12 + 6 (س -1) + 7 (ص -3) = -15 + 6 س + 7 ص )
(س (س ، ص) = - 15 + 6 س + 7 ص + 3 (س - 1) ^ 2 + 2 (س -1) (ص - 3) + (ص -3) ^ 2 )

6) (f (x، y) = cos x cos 3y، quad P (0،0) )

7) (f (x، y) = ln (x ^ 2 + y ^ 2 + 1)، quad P (0،0) )

إجابه:
(L (س ، ص) = 0 )
(س (س ، ص) = س ^ 2 + ص ^ 2 )

8) (f (x، y) = sqrt {2x - y}، quad P (1، -2) )

9) تحقق من أن صيغة معادلات تايلور متعددة الحدود ذات الدرجة العالية تعمل مع تيلور متعدد الحدود من الدرجة الأولى (L (x، y) = P_1 (x، y) ). للراحة ، يتم إعطاء الصيغة أدناه.
[P_n (x، y) = sum_ {i = 0} ^ n sum_ {j = 0} ^ {n - i} frac { frac {d ^ {(i + j)} f} {∂ x ^ i∂y ^ {j}} (a، b)} {i! j!} (xa) ^ i (yb) ^ j nonumber ]

10) حدد المصطلحات الجديدة التي ستتم إضافتها إلى (P_3 (x، y) ) (التي وجدتها في التمرين 13.7.1) لتشكيل (P_4 (x، y) ) وتحديد الدرجة الرابعة تايلور متعدد الحدود لإحدى الوظائف التي درسناها ورسمها مع الرسم البياني للسطح للوظيفة المقابلة في غرافر ثلاثي الأبعاد مثل CalcPlot3D للتحقق من استمرار ملاءمتها للسطح بشكل أفضل.

المساهمون

  • بول سيبرغر (كلية مجتمع مونرو)
  • تم تكييف التدريبات 1-4 من المشكلات الواردة في القسم الخاص بمستويات الظل والتفاضل من كتاب OpenStax Calculus 3.

متعدد حدود تايلور لوظائف متغيرين - الرياضيات

سلسلة تايلور عبارة عن معادلات متعددة الحدود تقارب الوظائف.

بالنسبة لوظائف متغيرين ، تعتمد سلسلة Taylor على المشتقات الجزئية الأولى والثانية وما إلى ذلك في مرحلة ما (x0، ذ0).

يترك ص1(س ، ص) تمثل تقريب تايلور من الدرجة الأولى لوظيفة من متغيرين و (س ، ص). معادلة التقريب من الدرجة الأولى هي ص1(س ، ص) = و (س0، ذ0) + (س - س0)Fx(x0، ذ0) + (ص - ص0)Fذ(x0، ذ0). نحن بالفعل على دراية بهذه المعادلة لأنها تحدد مستوى مماس.

بشكل عام ، فإن نتقريب ترتيب تايلور لوظيفة ما و (س ، ص) هي كثيرة الحدود التي لها نفس الشيء نالمشتقات الجزئية والصغرى كدالة و (س ، ص) في هذه النقطة (x0، ذ0).

هذا هو العرض التوضيحي الذي يظهر مكافئ الظل المماس إلى نقطة على السطح (س ، ص ، و (س ، ص))، كتوضيح لتقريب تايلور من الدرجة الثانية في بعدين. نحن نتوسع و (س ، ص) كسلسلة تايلور حول النقطة الساخنة ج، وإسقاط جميع شروط النظام 3 أو أعلى. لنرى أن هذا ليس سوى تقريب للسطح ، فإننا ننظر إلى الأسطح التي تمثل الرسم البياني لوظيفة ما و (س ، ص) بدرجة 3. لاحظ أن درجة f = 2 أو أقل من ذلك ، فإن تقدير تايلور من الدرجة الثانية دقيق.

جميع حقوق النشر والمواد محفوظة 2004 بواسطة توماس بانشوف. كل الحقوق محفوظة.


الرياضيات 8حساب التفاضل والتكامل في متغير واحد وعدة متغيرات

هذه الدورة هي تكملة للرياضيات 3 وتقدم مقدمة لسلسلة تايلور ووظائف عدة متغيرات. تم تخصيص الثلث الأول من الدورة لتقريب الوظائف بواسطة تيلور متعدد الحدود وتمثيل الوظائف بواسطة سلسلة تايلور. يقدم الثلث الثاني من الدورة وظائف ذات قيمة متجهية. يبدأ بدراسة هندسة المتجهات ومعادلات الخطوط والمستويات ومنحنيات الفضاء. ويخصص الثلث الأخير من المقرر الدراسي لدراسة حساب التفاضل للوظائف ذات المتغيرات المتعددة.

"حساب التفاضل والتكامل" ، بقلم جيمس ستيوارت ، الطبعة الثامنة ، ISBN: 978-1-285-74062-1

سيكون هناك اختباران نصفيان وامتحان نهائي تراكمي. تم تحديد مواعيد الاختبارات على النحو التالي:

منتصف المدة أنا الأربعاء ، 19 أبريل ، 4: 30-6: 30 وايلدر 111
منتصف المدة الثاني الخميس 11 مايو ، 4:30 - 6:30 وايلدر 111
إمتحان نهائي الخميس ، 1 يونيو ، 11: 30-2: 30 مور B03

إذا كان لديك تعارض مع أحد امتحانات منتصف الفصل الدراسي بسبب الالتزام الديني أو النشاط اللامنهجي المجدول مثل لعبة أو أداء [ليس ممارسة] أو مختبر مجدول لدورة أخرى أو التزام مشابه ، فالرجاء مراجعة مدرسك في أقرب وقت ممكن.

سياسة الواجبات المنزلية و ensp

1.) WeBWorK: يمكن العثور على مهام Webwork عبر الإنترنت على صفحة WeBWorK الخاصة بهذا الفصل. الواجبات واجبة كل الاثنين والأربعاء والجمعة بحلول الساعة 10 صباحًا ما لم يُعلن خلاف ذلك. لن يقبل نظام WeBWorK التقديمات المتأخرة ما لم تكن قد اتخذت الترتيبات مع مدرسك. يمكن لمدرسك تعديل الموعد النهائي الفردي الخاص بك في مهمة معينة في حالة المرض أو الطوارئ العائلية. الامتحانات وما إلى ذلك في الدورات الأخرى لا تعتبر سببًا وجيهًا لطلب التمديد. الرجاء التخطيط للمستقبل.

2) الواجب الكتابي: سيتم تعيين واجبات منزلية مكتوبة أسبوعيًا وسيتم نشرها على صفحة الواجب المنزلي. سيتم تعيين الواجب المنزلي كل يوم أربعاء ويستحق الأربعاء القادم في الفصل. لن يتم قبول الواجب المنزلي المتأخر إلا في حالات المرض الممتد. سيتم إسقاط أدنى درجة واجب منزلي. للواجب المنزلي مبدأ الشرف أدناه ينطبق.

درجات

تعتمد درجة الدورة على درجات الامتحان النصفي والواجب المنزلي الكتابي وعبر الإنترنت والامتحان النهائي على النحو التالي:

درس تعليمي

ستقوم إليزابيث تريب ، مساعدة التدريس للخريجين لدينا ، بإجراء برامج تعليمية الثلاثاء والخميس والأحد من 7:00 - 9:00 مساءً في 105 Kemeny، مع التركيز على الإجابة على أسئلتك الخاصة بالواجب المنزلي والمواد الصفية. لتحقيق أقصى فائدة ، نوصي بشدة بتجربة جميع مشاكل الواجبات المنزلية مسبقًا وتقديم أسئلتك إلى البرنامج التعليمي. الدروس مفتوحة لجميع طلاب الرياضيات 8. لست بحاجة إلى موعد.

مساعدة خارجية أخرى

  • ساعات العمل: لا تتردد في مقابلتنا خلال ساعات العمل (أو عن طريق تحديد موعد) لطرح أسئلة بخصوص مشاكل الواجبات المنزلية أو أي جانب آخر من جوانب الدورة.
  • الدروس الخصوصية للأقران: توفر غرفة تبادل المعلومات للمعلمين في مركز المهارات الأكاديمية دروسًا خصوصية فردية. تلتقي مجموعة دراسة الرياضيات 8 مع TBA.

مبدأ الشرف

النزاهة الأكاديمية هي جوهر مهمتنا كعلماء رياضيات ومعلمين ، ونحن نأخذها على محمل الجد.
يُسمح بالتعاون في الواجبات المنزلية ويشجع ، ولكن يجب أن تكتب واجبك المنزلي بكلماتك الخاصة ، مما يعكس فهمك. يرجى الاعتراف بأي متعاونين في بداية كل مهمة.
في الامتحانات ، لا يجوز لك تقديم المساعدة أو تلقيها من أي شخص. الامتحانات في هذه الدورة هي كتاب مغلق ولا يسمح بأي ملاحظات أو آلات حاسبة أو أجهزة إلكترونية أخرى.
يمكن العثور على مزيد من المعلومات هنا: مبدأ الشرف.

الاحتفالات الدينية

قد يرغب بعض الطلاب في المشاركة في الاحتفالات الدينية التي تحدث خلال هذا الفصل الدراسي. إذا كان لديك طقس ديني يتعارض مع مشاركتك في الدورة ، فيرجى مقابلة معلمك قبل نهاية الأسبوع الثاني من الفصل الدراسي لمناقشة وسائل الراحة المناسبة.
يمكن العثور على تقويم للأعياد الدينية هنا: الأعياد الدينية.

إعاقات

يتم تشجيع الطلاب ذوي الإعاقة الذين قد يحتاجون إلى تعديلات وخدمات أكاديمية متعلقة بالإعاقة لهذه الدورة على رؤية مدربهم بشكل خاص في وقت مبكر من الفصل الدراسي قدر الإمكان. يجب على الطلاب الذين يحتاجون إلى تعديلات وخدمات أكاديمية متعلقة بالإعاقة استشارة مكتب خدمات تسهيل الوصول للطلاب (كارسون هول ، جناح 125 ، 646-9900). بمجرد حصول SAS على خدمات معتمدة ، يجب على الطلاب إظهار نموذج الموافقة وخدمات SAS الموقع أصلاً و / أو خطابًا على ورقة تحمل شعار SAS إلى أستاذهم. كخطوة أولى ، إذا كان لدى الطلاب أسئلة حول ما إذا كانوا مؤهلين لتلقي التعديلات والخدمات الأكاديمية ، فيجب عليهم الاتصال بمكتب SAS. ستبقى جميع الاستفسارات والمناقشات سرية.
لمزيد من المعلومات ، راجع خدمات تسهيل وصول الطلاب.


Formula E 2020 جاكرتا

ضع في اعتبارك دالة ذات قيمة حقيقية سلسة لمتغيرين يقولان fx y حيث x و y رقمان حقيقيان لذا فإن f دالة من المستوى إلى الخط. إذا كان التوسيع معروفًا باسم سلسلة maclaurin.

سلسلة تايلور لوظائف متغيرين

يمكن العثور على سلسلة تايلور أو سلسلة أكثر عمومية من دالة حول نقطة إلى أعلى باستخدام المتسلسلة f x a n يمكن حساب المصطلح الرابع لسلسلة تايلور للدالة في ولفرام.

صيغة توسيع سلسلة تايلور لمثال متغيرين. يقايض التباين الموضوعي والتحيز لماذا نريد احتواء عنصرين في الهدف. تغييرات مختلفة في التنسيق في كل من المصدر والهدف. يتم العمل على مساحة كل هذه الوظائف السلسة من خلال مجموعة من الأشكال المختلفة للطائرة والأشكال المختلفة للخط أي.

إذا كانت نتيجة nhst مهمة ، فيمكن التعبير ببساطة عن حجم الاختلاف بين المجموعتين من حيث الاختلاف بين وسائل المجموعتين. عند مقارنة مجموعتين مستقلتين من متغير مستمر ، عادة ما يتم استخدام اختبار t للطلاب. التصنيف في الهندسة التفاضلية.

في نظرية الاحتمالات ، يُقال أن التوزيع مستقر إذا كان للمزيج الخطي من متغيرين عشوائيين مستقلين مع هذا التوزيع نفس التوزيع حتى معلمات الموقع والمقياس. حجم تأثير كوهين د لمتوسط ​​الفرق. يقال أن المتغير العشوائي يكون مستقرًا إذا كان توزيعه مستقرًا.

يؤدي تحسين فقدان التدريب إلى تشجيع النماذج التنبؤية التي تتلاءم جيدًا مع بيانات التدريب على الأقل تجعلك قريبًا من بيانات التدريب التي نأمل أن تكون قريبة من التوزيع الأساسي. يُشار أيضًا إلى عائلة التوزيع المستقر أحيانًا باسم التوزيع المستقر لضريبة ألفا بعد بول ليفي. تم اكتشاف نظرية تايلور في الواقع أولاً بواسطة غريغوري تنص على أن أي وظيفة ترضي شروطًا معينة يمكن التعبير عنها كسلسلة تايلور.

متعدد الحدود تايلور لدالة من متغيرين

سلسلة Taylor Series Taylor S Series لمتغيرين من أمثلة سلسلة Taylor

سلسلة تايلور في 1 و 2 متغير

سلسلة تايلور في 1 و 2 متغير

وظائف تايلور متعددة الحدود لمتغيرين

سلسلة تايلور في 1 و 2 متغير

نظرية Taylor S لوظيفة متغيرين

قاعدة سلسلة المشتقات الكلية والجزئية

سلسلة تايلور في 1 و 2 متغير

نظرية تايلور إس ويكيبيديا

سلسلة تايلور الرجل الطرق العددية

كيف أجد متعدد الحدود من تايلور متعدد المتغيرات

نظرية تايلور إس ويكيبيديا

أنا آخذ توسيع سلسلة تايلور لوظيفة F X I

أنا آخذ توسيع سلسلة تايلور لوظيفة F X I

سلسلة تايلور من ولفرام ماثورلد

سلسلة تايلور في 1 و 2 متغير

نظرية تايلور إس ويكيبيديا

فيديو أمثلة على صيغة تعريف سلسلة Maclaurin

أمثلة تربيعية تايلور متعدد الحدود

فيديو أمثلة على صيغة تعريف سلسلة Maclaurin

مثال عملي للتعرف على الوظيفة من سلسلة تايلور

متعدد المتغيرات تايلور متعدد الحدود

دقة سلسلة تايلور الرجل الأساليب العددية

مثال سلسلة تايلور وماكلورين 2

سلسلة دروس تايلور بقلم كريس ترالي

نظرية تايلور إس ويكيبيديا

تايلور ماكلورين سيريز فورميولا إنترو فيديو أكاديمية خان

مثال سلسلة تايلور وماكلورين 1

سلسلة تايلور من ولفرام ماثورلد

تعريف سلسلة تايلور Chegg Com

نظرية تايلور إس ويكيبيديا

دليل توسع سلسلة تايلور ماكلورين من الصيغة

طرق محاكاة الدرجة الأولى المعدلة

مقدمة في نظرية تايلور إس للوظائف متعددة المتغيرات

تايلور ماكلورين سيريز فورميولا إنترو فيديو أكاديمية خان

توسعات سلسلة تايلور للوظائف الأسية

طريقة Taylor S لحل O D E S.

سلسلة تايلور في 1 و 2 متغير

سلسلة تايلور ويكي علوم الرياضيات الرائعة

سلسلة تايلور الرجل الطرق العددية

سلسلة تايلور في 1 و 2 متغير

العثور على توسيع سلسلة Maclaurin مثال آخر 1

فيديو أمثلة على صيغة تعريف سلسلة Maclaurin

سلسلة تايلور في بايثون بايثون للمهندسين الجامعيين

سلسلة تايلور الرجل الطرق العددية

تصور فيديو تقريب سلسلة تايلور أكاديمية خان

سلسلة Maclaurin لـ Ln 1 X How To Steps Video

Stpm الرياضيات الإضافية T 7 2 سلسلة تايلور

فيديو أمثلة على صيغة تعريف سلسلة Maclaurin

مثال عملي لـ Taylor Polynomial لوظيفة مشتقة

سلسلة تايلور لحل سلسلة تايلور مع التحليل المركب للسلسلة الهندسية 8

ما هو تحديث Lagrange Error Bound 2017

توسع سلسلة تايلور في حساب التفاضل والتكامل

سلسلة تايلور الرجل الطرق العددية

سلسلة دروس تايلور بقلم كريس ترالي

سلسلة كود توسيع تايلور مع ماتلاب

تصور تقريب سلسلة تايلور

سلسلة أسئلة تايلور ماكلورين في الرياضيات الهندسية

سلسلة وظائف نظرية سلسلة مدرس الرياضيات

تعريف سلسلة Maclaurin Chegg Com

استخدام أطر الويب للتطبيقات العلمية

سلسلة تايلور ماتلاب Simulink

فيديو أمثلة على صيغة تعريف سلسلة تايلور

سلسلتان متغيرتان من تايلور وأمثلة

فيديو أمثلة على صيغة تعريف سلسلة Maclaurin

سلسلة تايلور الرجل الطرق العددية

سلسلة وظائف نظرية سلسلة مدرس الرياضيات

طريقة سلسلة Pdf تايلور لحل فريدهولم الخطي

معامل مثال عملي في فيديو تايلور متعدد الحدود

البرنامج التعليمي 5 6 خط التحسين الوظيفي بحث تايلور

مراجعة حساب التفاضل والتكامل قبل الميلاد لاغرانج خطأ مقيد ماجوش عالية

سلسلة وظائف نظرية سلسلة مدرس الرياضيات

مثال عملي لتقدير Eˣ باستخدام Lagrange Error Bound

سلسلة فورييه من ولفرام ماثورلد

سلسلة تايلور دانيلو روكاتانو

سلسلة تايلور في 1 و 2 متغير

طرق عددية ملاحظات محاضرة Odes

سلسلة دروس تايلور بقلم كريس ترالي

الخطية في ديناميات المعادلات التفاضلية والتحكم فيها

سلسلة تايلور لوظائف متغير معقد


متعدد الحدود تايلور + دوال متغيرين

هذا برنامج تعليمي أساسي حول كيفية حساب كثير حدود تايلور لوظيفة من متغيرين. يتم تطبيق الأفكار لتقريب جذر تربيعي صعب. تظهر هذه المفاهيم في الرياضيات الجامعية.

محاضرات الدورة
المشتقات الجزئية + دروس PDE

هذا هو البرنامج التعليمي الأساسي حول كيفية حساب المشتقات الجزئية. يتم تطبيق الأفكار لإظهار أن بعض الوظائف تفي بمعادلة تفاضلية جزئية شهيرة ، تُعرف باسم معادلة الموجة. تظهر مثل هذه الأفكار في الرياضيات الجامعية.

قاعدة السلسلة + المشتقات الجزئية

يوضح هذا الفيديو كيفية حساب المشتقات الجزئية باستخدام قاعدة السلسلة. تظهر مثل هذه الأفكار في السنة الأولى الجامعية.

متعدد الحدود تايلور + دوال متغيرين

هذا برنامج تعليمي أساسي حول كيفية حساب كثير حدود تايلور لوظيفة من متغيرين. يتم تطبيق الأفكار لتقريب جذر تربيعي صعب. تظهر هذه المفاهيم في الرياضيات الجامعية.

المشتقات الجزئية + تقدير الخطأ

اشرح حساب تقدير الخطأ بالمشتقات الجزئية من خلال مثال بسيط. تظهر مثل هذه الأفكار في الرياضيات الجامعية.

ميّز تحت علامات متكاملة: قاعدة لايبنيز

يوضح هذا العرض التقديمي كيفية التفريق تحت العلامات التكاملية عبر. حكم لايبنيز. تمت مناقشة العديد من الأمثلة لتوضيح الأفكار. يتم تقديم دليل أيضًا على الحالة الأساسية لقاعدة لايبنيز. هذه الأفكار مهمة في الرياضيات التطبيقية والهندسة ، على سبيل المثال ، في تحويلات لابلاس.

كيفية البحث عن النقاط الحرجة للوظائف + تصنيفها

يوضح هذا الفيديو كيفية حساب وتصنيف النقاط الحرجة لوظائف متغيرين. تتضمن الأفكار المشتقات من الدرجة الأولى والثانية ويتم رؤيتها في الرياضيات الجامعية.

البحث عن نقاط حرجة للوظائف

هذا مثال يوضح كيفية إيجاد وتصنيف النقاط الحرجة لوظائف متغيرين. تعتمد مثل هذه الأفكار على اختبار المشتق الثاني ويتم رؤيتها في الرياضيات الجامعية.

طريقة مضاعفات لاجرانج

أناقش مثالًا أساسيًا لتعظيم / تصغير دالة تخضع لقيد. يتضمن النهج طريقة مضاعفات لاغرانج.

مضاعفات لاغرانج: مثال

مثال مراجعة أساسي يوضح كيفية استخدام مضاعفات لاغرانج لتعظيم / الحد الأدنى من الوظيفة التي تخضع لقيود.

مضاعفات لاجرانج: 2 قيود

يوضح هذا الفيديو كيفية تطبيق طريقة مضاعفات لاغرانج على مشكلة ماكس / دقيقة. تظهر مثل هذه الأفكار في الرياضيات الجامعية.

وظائف المتجه لدرس تعليمي متغير واحد

مقدمة في حساب دوال المتجهات لمتغير واحد. تتم مناقشة بعض المشكلات البسيطة ، بما في ذلك التفاضل والتكامل وكيفية تحديد المنحنى المرتبط بوظيفة (في هذا المثال ، الحلزون). يمكن استخدام هذه الوظائف لوصف المنحنيات والحركة في الفضاء.

تدرج دالة

برنامج تعليمي أساسي حول مجال التدرج اللوني للدالة. نوضح كيفية حساب التدرج اللوني أهميته الهندسية وكيف يتم استخدامه عند حساب مشتق الاتجاه. التدرج هو خاصية أساسية لحساب التفاضل والتكامل المتجه.

تباعد الحقول المتجهة

محاضرة أساسية تناقش الاختلاف في مجال ناقل. أعرض كيفية حساب الاختلاف وأقدم بعض التفسير الهندسي لما يمثله الاختلاف. تمت مناقشة العديد من الأمثلة. مثل هذه الأفكار لها تطبيقات مهمة في تدفق السوائل ويمكن رؤيتها في حساب التفاضل والتكامل المتجه.

حليقة الحقول المتجهة

مقدمة أساسية لتجعيد حقل متجه. أناقش كيفية حساب الضفيرة وبعض التفسير الهندسي. هذه الأفكار مهمة في تدفق السوائل ويمكن رؤيتها في حساب التفاضل والتكامل.

تكاملات الخط

مقدمة أساسية عن كيفية التكامل عبر المنحنيات (تكاملات الخط). تمت مناقشة العديد من الأمثلة التي تتضمن وظائف عددية وحقول متجه. تجد مثل هذه الأفكار تطبيقات مهمة في الهندسة والفيزياء.

أمثلة على Div و Curl + Line Integral

أمثلة أساسية على تكاملات الاختلاف والتفاف والخط من حساب التفاضل والتكامل المتجه. تمت مناقشة الأمثلة وحلها كسؤال من نوع المراجعة.

الجريان في الطائرة. تكاملات الخط

مقدمة عن كيفية حساب التدفق عبر تكاملات الخط. تمت مناقشة عدة طرق عبر الأمثلة. مثل هذه الأفكار لها تطبيقات مهمة لتدفق السوائل ويمكن رؤيتها في حساب التفاضل والتكامل المتجه.

أمثلة على Curl و Grad و Line Integral

مراجعة سؤال حول تكاملات curl و grad و line. أثبت أن مجال متجه معطى هو تهيج ومن ثم أحدد وظيفته المحتملة. يتم تطبيق الأفكار لحساب خط متكامل عبر النظرية الأساسية لتكاملات الخط.

بسيط مزدوج لا يتجزأ

يوضح هذا الفيديو كيفية التكامل على المستطيلات. تستخدم الأفكار تكاملات مزدوجة ويمكن رؤيتها في الرياضيات الجامعية.

البرنامج التعليمي - تكاملات مزدوجة

A tutorial on the basics of setting up and evaluating double integrals. We show how to sketch regions of integration, their description, and how to reverse the order of integration.

Reverse The Order In Double Integrals

This video shows how to reverse the order of integration in double integrals. Such ideas can simplify the calculations and are seen in university mathematics.

Double Integrals + Area

This video shows how to use double integrals to compute areas of shapes and regions. Such ideas are seen in university mathematics.

Polar Coordinates and Double Integrals

How to apply polar coordinates in double integrals for those wanting to review their understanding.

Double Integrals & Polar Co-Ordinates

This video shows how to cast and evaluate double integrals in polar co-ordinates. Such ideas are seen in university mathematics.

Centroid and Double Integrals

A basic example of how to calculate the centroid of a region via double integrals. Such problems are seen in university mathematics.

Center of Mass + Double Integrals

A basic tutorial on how to determine the center of mass of a thin plate. The technique involves a double integral of the density function and is a common problem in applied mathematics, physics and engineering.

Linear, First-Order Differential Equations

A basic introduction on how to solve linear, first-order differential equations. The study of such equations is motivated by their applications to modelling.

Homogeneous First Order Ordinary Differential Equation

I discuss and solve a "homogeneous" first order ordinary differential equation. The method involves a substitution. Such an example is seen in 1st and 2nd year university mathematics.

How to Solve 2nd Order Differential Equations

A basic introduction / revision of how to solve 2nd order homogeneous ordinary differential equations with constant coefficients. Several examples are presented and some applications to vibrating systems are discussed.

Nonhomogeneous 2nd-Order Differential Equations

A basic lecture showing how to solve nonhomogeneous second-order ordinary differential equations with constant coefficients. The approach illustrated uses the method of undetermined coefficients. I present several examples and show why the method works.

Variation of Constants / Parameters

A basic illustration of how to apply the variation of constants / parameters method to solve second order differential equations.

Intro to Laplace Transform + How to Calculate Them

This is a basic introduction to the Laplace transform and how to calculate it. Such ideas are seen in university mathematics.

First Shifting Theorem of Laplace Transforms

This video shows how to apply the First shifting theorem of Laplace transforms. Several examples are presented to illustrate how to take the Laplace transform and inverse Laplace transform and are seen in university mathematics.

Second Shifting Theorem: Laplace Transforms

This video shows how to apply the second shifting theorem of Laplace transforms. Several examples are presented to illustrate how to use the concepts. Such ideas are seen in university mathematics.

Laplace Transforms + Differential Equations

How to solve differential equations by the method of Laplace transforms. Such ideas are seen in university mathematics.

Intro to Fourier Series & How to Calculate Them

This is a basic introduction to Fourier series and how to calculate them. An example is presented that illustrates the computations involved. Such ideas are seen in university mathematics.

Fourier Series: Odd & Even Functions

How to compute Fourier series of odd and even functions. Several examples are discussed to highlight the ideas.

Fourier Series Review

A review of Fourier series. Several examples are discussed to illustrate the ideas.

Fourier Series & Differential Equations

This video shows how to solve differential equations via Fourier series. A simple example is presented illustrating the ideas, which are seen in university mathematics.

Heat Equation Derivation

Derive the heat equation in one dimension. This famous PDE is one of the basic equations from applied mathematics, physics and engineering. This presentation is an introduction to the heat equation.

Heat Equation: Separation of Variables

How solve the heat equation via separation of variables. Such ideas are seen in university mathematics, physics and engineering courses.

Heat Equation + Fourier Series

How to solve the heat equation via separation of variables and Fourier series.

Wave Equation + Fourier Series + Separation of Variables

How to solve the wave equation via Fourier series and separation of variables. Such ideas are have important applications in science, engineering and physics.


Taylor's Series of a Polynomial

Download the video from iTunes U or the Internet Archive.

PROFESSOR: Welcome back to recitation. In this video what I'd like us to do is practice Taylor series. So I want us to write the Taylor series for the following function, f of x equals 3 x cubed plus 4 x squared minus 2x plus 1. So why don't you pause the video, take some time to work on that, and then I'll come back and show you what I get.

All right, welcome back. Well, we want to find the Taylor series for this polynomial f of x equals 3 x cubed plus 4 x squared minus 2x plus 1. So what I'm going to do is I'm just going to write down Taylor's-- or the expression we have for the sum, for the Taylor series in general and then I'm going to start computing what I need and I'm going to see what I get. So what do I need to remember? Well let's remind ourselves what the formula is. We should get f of x is equal to the sum from n equals 0 to infinity of the nth derivative of f at 0 over n factorial times x to the n. So that's what we want.

So what I obviously need to start doing is figuring out derivatives of f at 0. And so what I'm going to do is I'm just going to make myself a little table. So let's see, we're going to say f 0 at 0, f 1 at 0, f 2 at 0, f 3 at 0, f 4 at 0. And I'm getting tired of writing, so I'm going to stop there. OK, so let's take the function-- the zeroth derivative of f is just the function itself, so let's come back here. What is the function if I evaluate it at x equals 0? 0, 0, 0, 1. I get 1.

All right. What is the first derivative? So I'm going to write out the first derivative and then I'm going to say I'm evaluating it at x equals 0. So the first derivative looks like it's 9 x squared plus 8 x minus 2. So I'm gonna write this down. 9 x squared plus 8 x minus 2. Evaluate it at x equals 0. 0, 0. I get negative 2.

All right, well, let me take the second derivative. OK let's see what I get here. I get 18x plus 8. And I'm going to evaluate that at x equals 0. This is just a way to write, I'm going to evaluate what's here at x equal this number, so if you haven't seen that before. So I get 8. OK and then the third derivative is 18, oh just 18. Evaluate it at x equals 0. I get 18. And then the fourth derivative. What's the derivative of a constant function? It's 0. What do you think the fifth derivative is evaluated at 0? Looks like it'll be 0. You take the sixth derivative. Looks like everything bigger than 3-- so the nth derivative at 0 is equal to 0 for n bigger than 3.

So it looks like we should only have 4 terms in this. So that maybe seems a little weird, but let's keep going and see what happens. Let's start plugging things in. So again, let's remember the formula. I'm going to walk over here to the right and I'm going to start using that formula and using these numbers that I have and writing it out. So the first term is going to be the function evaluated at 0 divided by 0 factorial times 1. 0 factorial is 1, so it's just going to be the function evaluated at 0 times 1. The function evaluated at 0, we said was 1, so that's the first term in the Taylor series.

OK what's the next term? The next term, remember, is the first derivative evaluated at 0 divided by 1 factorial, which is still 1, times x. So the first derivative, if I come back over here, evaluated at 0, I get negative 2. So I'm going to get minus 2x. The next term, so I had zeroth derivative, first derivative, now I'm at the second derivative. Now it's getting confusing. I'm going to start writing the things above. The second derivative evaluated at 0 divided by 2 factorial times x squared. That's what I should have here.

Let's come over here. Second derivative evaluated at 0 was 8. So it's going to be 8 over 2, 'cause 2 factorial is 2, x squared. So it's going to be plus 4 x squared. And then I have to have the third derivative evaluated at 0 divided by 3 factorial times x cubed. What's 3 factorial? 3 factorial is 6. What was the third derivative evaluated at 0? It was 18. 18 divided by 6 is 3. So I get plus 3 x cubed. And all the other terms were 0, so I'll just stop writing them.

OK now if you watched the video all the way through here, at some point maybe you said "Christine, this is madness." Well why is it madness? Because what is this? Well this is the function again, right? It's exactly what we started with. The order is opposite of what it was before 'cause now the powers go up instead of down, but it's the same polynomial.

OK we talked about this briefly, I think, when we were doing some quadratic approximations. And I mentioned way back that quadratic approximations of polynomials at x equals 0 are just the polynomials again. This is the exact same kind of thing happening. Because what is the Taylor series? It's just better and better approximations as n gets larger and larger. So if I wanted to have a fourth order approximation of this function f of x at x equals 0, I would get the same function back.

That's really the idea of what's happening here. So maybe you saw the sort of trick in this question, and when you saw this problem you laughed at me and you said, "Well I'm just going to write down the function again and I'll be done." Maybe you didn't see that right away, and if you didn't see that right away that's OK. I bet you're in good company. And it's totally fine because now you've seen this. You've seen how it works out. And you know, hey, now any time I see a polynomial and I want to do the Taylor series for this polynomial, I just have to write down the polynomial again.

So that was the main goal of this video. It took us a long time to get there, but I think we got it. So the answer to the ultimate answer to the question of write the Taylor series of this function, it's just this function again. All right, that's where I'll stop.


Taylor Polynomials of Functions of Two Variables - Mathematics

Indeterminate Quotient Form

May be the most natural indeterminate form is the quotient of two small numbers or . Equivalently another natural indeterminate form is the quotient of two large numbers or . In both cases, it is very easy to convince oneself that nothing can be said, in other words we have no conclusion. It is very common to see students claiming . We hope this page will convince some that it is not the case.

Hôpital's Rule: Though this rule was named after Hôpital, it is Bernoulli who did discover it in the early 1690s. This rule answers partially the problem stated above. Indeed, let f ( x ) and g ( x ) be two functions defined around the point a such that

Next we take the ratio function . Do any needed algebra and then find its limit. Hôpital's rule states that if

then you can use Hôpital's rule for the ratio function , by looking for

In other words, there is no limit where to stop.

Clearly we are in full swing to use Hôpital's rule. نحن لدينا

Hence we can use Hôpital's rule. Since and , we have

So it is clear that we need to use Hôpital's rule another time. But since we proved in the example above

Remark. The above examples have a wonderful implication. Indeed, the first example implies that when then . The second example implies that when then .

Answer. Set and . We have f (0) = g (0) = 0. So we have all assumptions satisfied to use Hôpital's rule. نحن لدينا

So we use Hôpital's rule again. Set and . إذن لدينا

In fact another use of Hôpital's rule makes the functions involved even more complicated. So what do we do in this case? A partial answer is given but the use of Taylor Polynomials.

Taylor Polynomial's Technique. First recall the assumptions of the original problem: let f ( x ) and g ( x ) be two functions defined around the point a such that

Using Taylor Polynomials, we get around a (that is )

where n and m are natural numbers. Since f ( a ) = g ( a ) =0, we get

But we may have the next derivatives also equal to 0 at a . Hence we are sure that there exist two natural numbers N and M such that

when . This clearly implies

So the job is over. Indeed, it is now clear that the limit

is not a problem and depends on the natural numbers N and M .

Before we do any example showing the power behind this technique, recall that one may use all the properties of Taylor Polynomials.

Answer. First we consider the basic functions which generate the functions involved in this limit, that is and . Next we write the Taylor Polynomials of these functions

Note that if more terms are needed, we will come back and put the next terms. Using properties of Taylor Polynomials, we get

One should appreciate the beauty and power behind this technique in comparing the above calculations with the ones done under Hôpital's rule.

Summary. If you go back to the above example, the calculations suggest the following steps to follow when using Taylor Polynomials 1 write down the basic functions involved in the limit 2 write down Taylor Polynomials of the basic functions 3 make the appropriate substitutions into the Taylor Polynomials as well as any needed algebraic manipulations 4 put the stuff together and make any necessary algebraic canceling.

So we can use Hôpital's rule but we will use Taylor polynomial's technique instead. The basic functions involved are and . Taylor Polynomials of these functions are


COMPLEX VARIABLES

Time: Monday and Thursday, 2:00 to 3:50 PM.
Room: Carnegie 113
Instructor: Gregor Kovacic
Office: 420 Amos Eaton
Phone: 276-6908
E-mail: kovacg at rpi dot edu
Office Hours: Click here.

Topics

--> Complex Number System: Complex numbers, addition, multiplication, division, geometric interpretation in the complex plane, complex conjugate, absolute value, polar representation, de Moivre fromula, roots of unity, triangle inequality, geometric progression.

Analytic Functions: Derivatives of functions of a complex variable, analytic functions, Cauchy-Riemann equations, conjugate harmonic functions, power series, elementary analytic functions, exponential and trigonometric functions, complex logarithm, general complex power function, branches of multi-valued functions.

Complex Integration: Line integrals along curves in the complex plane, Cauchy's theorem, Cauchy's integral formula, derivatives of analytic functions, Morera's theorem, Liouville's theorem on bounded analytic functions, fundamental theorem of algebra, maximum modulus theorem.

Series Expansions: Taylor series of a function analytic in a circle, uniqueness theorem, Laurent series of a function analytic in an annulus, uniform convergence, integration of uniformly-convergent series, multiplication and division of power series, isolated singular points of analytic functions, poles and residues, essential singularities.

Evaluation of Definite Integrals Using Residues: Improper integrals of rational functions, rational function times a trigonometric function, Jordan's lemma, rational expressions of trigonomeric functions, integrals with indentations, Cauchy principal value, integrands containing general powers, keyhole contours.

Partial Fraction and Infinite Product Expansions: Meromorphic functions, partial fraction expansion via residue theory, expansion of the tangent and cotangent, entire functions, infinite product, expansion of the sine and cosine.

Fourier and Laplace Transforms: Fourier transform and its inverse, exponential decay and analyticity region of the Fourier transform, Laplace transform and its inverse, canlculation of Fourier and Laplace transforms and their inverses using residues, applications to differential and difference equations.

Solution of Differential Equation Using Power Series: Taylor series solutions around ordinary points, regular singular points, indicial equation, logarithmic solutions.

Conformal Mappings: Preservations of angles by analytic functions, mapping by elementary functions, linear fractional transformations, mappings by the sine function, mappings by the square roots of polynomials, conformal transformations of harmonic functions and their boundary values, applications to two-dimensional temperature distributions, electrostatics, and fluid flow, velocity potential and stream function, flows around cylinders and airfoils, Schwarz-Christoffel transformations and applications in fluids and electrostatics.


Derivatives of Polynomials

Polynomials are some of the simplest functions we use. We need to know the derivatives of polynomials such as x 4 +3 x , 8 x 2 +3 x +6, and 2. Let's start with the easiest of these, the function y = f ( x )= c , where c is any constant, such as 2, 15.4, or one million and four (10 6 +4). It turns out that the derivative of any constant function is zero. This makes sense if you think about the derivative as the slope of a tangent line. To use the definition of a derivative, with f ( x )= c ,

For completeness, now consider y = f ( x )= x . This is the equation of a straight line with slope 1, and we expect to find this from the definition of the derivative. We are not disappointed:

  • It may be tempting to ``cancel'' the term `` dx '' in the intermediate step. This is valid, but only in this simple case.
  • It will never be as easy as this again, although it won't be much harder.

Before going to the most general case, consider y = f ( x )= x 2 . This is the most basic parabola, as shown. The derivative of f ( x ) may still be found from basic algebra:

This tells us exactly what we expect the derivative is zero at x =0, has the same sign as x , and becomes steeper (more negative or positive) as x becomes more negative or positive.

An interesting result of finding this derivative is that the slope of the secant line is the slope of the function at the midpoint of the interval. على وجه التحديد،

(In the figure shown, x = -1 and h = 3, so ( x + h /2) = +1/2.
Please note that parabolic functions are the فقط functions (aside from linear or constant functions) for which this is always true.

From here, we can and should consider y = f ( x )= x n for any positive integer n . There are many ways to do this, with varying degrees of formality.

To start, consider that for n a positive integer, the binomial theorem allows us to express f ( x + h ) as

(In the above, there will always be no more than n +1 nonzero terms.) Then, algebra again gives us

This very convenient form is seen to reproduce the above results for n =1, n =2 and even n =0, which is the case c =1.
The above result could be found from an inductive process, using the product rule, but the inductive step is similar to that which allows extension of the binomial theorem to all positive integers, and adds little to this presentation.

The extension from f ( x )= x n to arbitrary polynomials (only finite order will be considered here) needs only two straightforward, perhaps even obvious results:

  • The derivative of the sum of two function is the sum of the derivatives.
  • The derivative of a function multiplied by a constant is the derivative of the fuctnion multiplied by the same constant.

In symbols, these results are

In the above, c is a constant, and differentiability of the functions at the desired points is assumed.

Combining all of these results, we can see that for the coefficients aك all constants,


ولفرام موارد الويب

الأداة رقم 1 لإنشاء العروض التوضيحية وأي شيء تقني.

استكشف أي شيء باستخدام محرك المعرفة الحسابي الأول.

استكشف آلاف التطبيقات المجانية في مجالات العلوم والرياضيات والهندسة والتكنولوجيا والأعمال والفن والتمويل والعلوم الاجتماعية والمزيد.

انضم إلى مبادرة تحديث تعليم الرياضيات.

حل التكاملات مع ولفرام | ألفا.

تصفح مسائل الواجب المنزلي خطوة بخطوة من البداية إلى النهاية. تساعدك التلميحات على تجربة الخطوة التالية بنفسك.

مشاكل وإجابات تمارين عشوائية غير محدودة مع حلول مدمجة خطوة بخطوة. تدرب على الإنترنت أو قم بعمل ورقة دراسة قابلة للطباعة.

مجموعة من أدوات التدريس والتعلم التي صممها خبراء التعليم في Wolfram: كتاب مدرسي ديناميكي ، وخطط الدروس ، وعناصر واجهة المستخدم ، والعروض التوضيحية التفاعلية ، والمزيد.


شاهد الفيديو: Taylor Polynomials (ديسمبر 2021).