مقالات

12.1: القطع الناقص


أهداف التعلم

  • اكتب معادلات القطع الناقص في الصورة القياسية.
  • علامات الحذف على الرسم البياني متمركزة في الأصل.
  • علامات الحذف في الرسم البياني غير متمركزة في الأصل.
  • حل المسائل التطبيقية التي تتضمن علامات الحذف.

هل يمكنك تخيل الوقوف في أحد طرفي غرفة كبيرة وما زلت قادرًا على سماع همسة من شخص يقف في الطرف الآخر؟ قاعة التماثيل الوطنية في واشنطن العاصمة ، الموضحة في الشكل ( PageIndex {1} ) ، هي مثل هذه الغرفة. إنها غرفة بيضاوية الشكل تسمى أ غرفة الهمس لأن الشكل يجعل من الممكن انتقال الصوت على طول الجدران. في هذا القسم ، سوف نتحرى عن شكل هذه الغرفة وتطبيقاتها الواقعية ، بما في ذلك إلى أي مدى يمكن لشخصين في Statuary Hall الوقوف والاستمرار في سماع همس بعضهما البعض.

كتابة معادلات القطع الناقص في شكل قياسي

القسم المخروطي ، أو المخروطي ، هو شكل ناتج عن تقاطع مخروط دائري قائم مع مستو. تحدد الزاوية التي يتقاطع عندها المستوى مع المخروط الشكل ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {2} ).

يمكن أيضًا وصف المقاطع المخروطية بمجموعة من النقاط في مستوى الإحداثيات. لاحقًا في هذا الفصل ، سنرى أن الرسم البياني لأي معادلة تربيعية في متغيرين هو مقطع مخروطي. تحدد علامات المعادلات ومعاملات المصطلحات المتغيرة الشكل. يركز هذا القسم على الأشكال الأربعة للصيغة القياسية لمعادلة القطع الناقص. القطع الناقص هو مجموعة جميع النقاط ((س ، ص) ) في مستوى بحيث يكون مجموع مسافاتها من نقطتين ثابتتين ثابتًا. كل نقطة ثابتة تسمى بؤرة (جمع: بؤر).

يمكننا رسم شكل بيضاوي باستخدام قطعة من الورق المقوى ودبوسين رسم وقلم رصاص وخيط. ضع مسامير تثبيت الورق في الورق المقوى لتشكيل بؤر القطع الناقص. قص قطعة من الخيط أطول من المسافة بين مسامير تثبيت الورق (يمثل طول السلسلة الثابت في التعريف). ثبت كل طرف من طرفي الخيط على الورق المقوى ، وارسم منحنى بقلم رصاص مشدودًا على الخيط. والنتيجة هي قطع ناقص. راجع الشكل ( PageIndex {3} ).

كل قطع ناقص له محوري تناظر. يسمى المحور الأطول المحور الرئيسي ، ويسمى المحور الأقصر المحور الثانوي. كل نقطة نهاية للمحور الرئيسي هي رأس القطع الناقص (الجمع: الرؤوس) ، وكل نقطة نهاية للمحور الثانوي هي رأس مشترك للقطع الناقص. مركز القطع الناقص هو نقطة المنتصف لكل من المحاور الرئيسية والثانوية. المحاور متعامدة في المركز. تقع البؤر دائمًا على المحور الرئيسي ، ويكون مجموع المسافات من البؤر إلى أي نقطة على القطع الناقص (المجموع الثابت) أكبر من المسافة بين البؤر (الشكل ( PageIndex {4} )).

في هذا القسم ، نقصر الحذف على تلك الموضوعة رأسيًا أو أفقيًا في مستوى الإحداثيات. أي أن المحاور إما أن تقع على محاور (س ) - و (ص ) - أو تكون موازية لها. لاحقًا في الفصل ، سنرى علامات القطع التي يتم تدويرها في مستوى الإحداثيات.

للعمل مع القطوع الناقصة الأفقية والعمودية في المستوى الإحداثي ، فإننا نأخذ في الاعتبار حالتين: تلك التي تتمحور حول الأصل وتلك التي تتمركز في نقطة أخرى غير الأصل. أولاً ، سوف نتعلم اشتقاق معادلات الأشكال البيضاوية ، ثم نتعلم كيفية كتابة معادلات الأشكال البيضاوية في الشكل القياسي. سنستخدم لاحقًا ما نتعلمه لرسم الرسوم البيانية.

اشتقاق معادلة القطع الناقص المتمركز في الأصل

لاشتقاق معادلة الشكل البيضاوي متمركزًا في الأصل ، نبدأ بالبؤر ((- ج ، 0) ) و ((ج ، 0) ). القطع الناقص هو مجموعة جميع النقاط ((x، y) ) بحيث يكون مجموع المسافات من ((x، y) ) إلى البؤر ثابتًا ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {5 } ).

إذا كان ((أ ، 0) ) رأسًا للقطع الناقص ، فإن المسافة من ((- ج ، 0) ) إلى ((أ ، 0) ) هي (أ - (- ج) = أ + ج ). المسافة من ((ج ، 0) ) إلى ((أ ، 0) ) هي (أ − ج ). مجموع المسافات من البؤر إلى الرأس هو

((أ + ج) + (أ − ج) = 2 أ )

إذا كانت ((x، y) ) نقطة على القطع الناقص ، فيمكننا تحديد المتغيرات التالية:

  • (د_1 = ) المسافة من ((- ج ، 0) ) إلى ((س ، ص) )
  • (d_2 = ) المسافة من ((ج ، 0) ) إلى ((س ، ص) )

من خلال تعريف القطع الناقص ، (d_1 + d_2 ) ثابت لأي نقطة ((س ، ص) ) على القطع الناقص. نعلم أن مجموع هذه المسافات هو (2 أ ) للرأس ((أ ، 0) ). ويترتب على ذلك (d_1 + d_2 = 2a ) لأي نقطة على القطع الناقص. سنبدأ الاشتقاق بتطبيق صيغة المسافة. ما تبقى من الاشتقاق جبري.

[ begin {align *} d_1 + d_2 & = 2a sqrt {{(x - (- c))} ^ 2 + {(y-0)} ^ 2} + sqrt {{(xc)} ^ 2 + {(y-0)} ^ 2} & = 2a qquad text {صيغة المسافة} sqrt {{(x + c)} ^ 2 + y ^ 2} + sqrt {{(xc )} ^ 2 + y ^ 2} & = 2a qquad text {تبسيط التعبيرات.} sqrt {{(x + c)} ^ 2 + y ^ 2} & = 2a- sqrt {{(xc )} ^ 2 + y ^ 2} qquad text {نقل الجذر إلى الجانب المقابل.} {(x + c)} ^ 2 + y ^ 2 & = { left [2a- sqrt {{(xc) } ^ 2 + y ^ 2} right]} ^ 2 qquad text {ربّع كلا الجانبين.} x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 & = 4a ^ 2-4a sqrt {{( xc)} ^ 2 + y ^ 2} + {(xc)} ^ 2 + y ^ 2 qquad text {قم بتوسيع المربعات.} x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 & = 4a ^ 2-4a sqrt {{(xc)} ^ 2 + y ^ 2} + x ^ 2-2cx + c ^ 2 + y ^ 2 qquad text {توسيع المربعات المتبقية.} 2cx & = 4a ^ 2- 4a sqrt {{(xc)} ^ 2 + y ^ 2} -2cx qquad text {دمج المصطلحات المتشابهة.} 4cx-4a ^ 2 & = - 4a sqrt {{(xc)} ^ 2 + y ^ 2} qquad text {عزل الجذر.} cx-a ^ 2 & = - a sqrt {{(xc)} ^ 2 + y ^ 2} qquad text {قسمة على 4.} { left [cx-a ^ 2 right]} ^ 2 & = a ^ 2 { left [ sqrt {{(xc)} ^ 2 + y ^ 2} right]} ^ 2 qquad text {مربع كلا الجانبين.} c ^ 2x ^ 2-2a ^ 2cx + a ^ 4 & = a ^ 2 (x ^ 2-2cx + c ^ 2 + y ^ 2) qquad text {قم بتوسيع المربعات.} ج ^ 2x ^ 2-2a ^ 2cx + a ^ 4 & = a ^ 2x ^ 2-2a ^ 2cx + a ^ 2c ^ 2 + a ^ 2y ^ 2 qquad text {Distribute} a ^ 2 a ^ 2x ^ 2-c ^ 2x ^ 2 + a ^ 2y ^ 2 & = a ^ 4-a ^ 2c ^ 2 qquad text {إعادة الكتابة.} x ^ 2 (a ^ 2-c ^ 2) + a ^ 2y ^ 2 & = a ^ 2 (a ^ 2-c ^ 2) qquad text {عوامل المصطلحات العامة.} x ^ 2b ^ 2 + a ^ 2y ^ 2 & = a ^ 2b ^ 2 qquad text {Set} b ^ 2 = a ^ 2-c ^ 2 dfrac {x ^ 2b ^ 2} {a ^ 2b ^ 2} + dfrac {a ^ 2y ^ 2} {a ^ 2b ^ 2} & = dfrac {a ^ 2b ^ 2} {a ^ 2b ^ 2} qquad text {قسّم كلا الجانبين على} a ^ 2b ^ 2 dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} & = 1 qquad text {Simplify} end {align *} ]

وبالتالي ، فإن المعادلة القياسية للقطع الناقص هي ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ). تحدد هذه المعادلة القطع الناقص المتمركز في الأصل . إذا كان (a> b ) ، يتم تمديد القطع الناقص أكثر في الاتجاه الأفقي ، وإذا كان (b> a ) ، يتم تمديد القطع الناقص أكثر في الاتجاه الرأسي.

كتابة معادلات للقطوع الناقصة متمركزة في الأصل في الشكل القياسي

تخبرنا الأشكال القياسية للمعادلات عن السمات الرئيسية للرسوم البيانية. خذ لحظة لتذكر بعض الأشكال القياسية للمعادلات التي استخدمناها في الماضي: الخطية ، التربيعية ، التكعيبية ، الأسية ، اللوغاريتمية ، وما إلى ذلك. من خلال تعلم تفسير الأشكال القياسية للمعادلات ، فإننا نجتاز العلاقة بين التمثيلات الجبرية والهندسية للظواهر الرياضية.

الملامح الرئيسية لبرنامج الشكل البيضاوي هي مركزها ، الرؤوس, الرؤوس المشتركة, البؤروأطوال ومواقف المحاور الرئيسية والثانوية. كما هو الحال مع المعادلات الأخرى ، يمكننا تحديد كل هذه الميزات بمجرد النظر إلى الصيغة القياسية للمعادلة. هناك أربعة أشكال مختلفة للشكل القياسي للقطع الناقص. يتم تصنيف هذه الاختلافات أولاً من خلال موقع المركز (الأصل أو ليس الأصل) ، ثم حسب الموضع (أفقيًا أو رأسيًا). يتم تقديم كل منها مع وصف لكيفية ارتباط أجزاء المعادلة بالرسم البياني. يسمح لنا تفسير هذه الأجزاء بتكوين صورة ذهنية للقطع الناقص.

الأشكال المعيارية لمعادلة الانحراف مع المركز ((0،0) )

الشكل القياسي لمعادلة القطع الناقص مع المركز ((0،0) ) والمحور الرئيسي على (س )-محور هو

[ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ]

أين

  • (أ> ب )
  • طول المحور الرئيسي هو (2 أ )
  • إحداثيات القمم هي (( pm a، 0) )
  • طول المحور الثانوي هو (2 ب )
  • إحداثيات الرؤوس المشتركة هي ((0، م ب) )
  • إحداثيات البؤر هي (( pm c، 0) ) حيث (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). انظر الشكل ( PageIndex {6a} ).

الشكل القياسي لمعادلة القطع الناقص مع المركز ((0،0) ) والمحور الرئيسي على (ص )-محور هو

[ dfrac {x ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {a ^ 2} = 1 ]

أين

  • (أ> ب )
  • طول المحور الرئيسي هو (2 أ )
  • إحداثيات القمم هي ((0، pm a) )
  • طول المحور الثانوي هو (2 ب )
  • إحداثيات الرؤوس المشتركة هي (( pm ب، 0) )
  • إحداثيات البؤر هي ((0، pm c) ) حيث (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). راجع الشكل ( PageIndex {6b} ).

لاحظ أن الرؤوس والرؤوس المشتركة والبؤر مرتبطة بالمعادلة (ج ^ 2 = أ ^ 2 − ب ^ 2 ). عندما نحصل على إحداثيات بؤر ورؤوس القطع الناقص ، يمكننا استخدام هذه العلاقة لإيجاد معادلة القطع الناقص في الصورة القياسية.

الكيفية: بالنظر إلى رؤوس وبؤر القطع الناقص المتمركز في الأصل ، اكتب معادلته في الشكل القياسي

  1. حدد ما إذا كان المحور الرئيسي يقع على x- أو ذ-محور.
    • إذا كان للإحداثيات المحددة للرؤوس والبؤر الشكل (( pm a، 0) ) و (( pm c، 0) ) على التوالي ، فإن المحور الرئيسي هو x-محور. استخدم النموذج القياسي ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 )
    • إذا كان للإحداثيات المحددة للرؤوس والبؤر الشكل ((0، pm a) ) و (( pm c، 0) ) ، على التوالي ، فإن المحور الرئيسي هو ذ-محور. استخدم النموذج القياسي ( dfrac {x ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {a ^ 2} = 1 )
  2. استخدم المعادلة (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ) ، جنبًا إلى جنب مع الإحداثيات المعطاة للرؤوس والبؤر ، لحل (b ^ 2 ).
  3. استبدل قيم (a ^ 2 ) و (b ^ 2 ) بالصيغة القياسية للمعادلة المحددة في الخطوة 1.

مثال ( PageIndex {1} ): كتابة معادلة القطع الناقص المتمركز في الأصل في النموذج القياسي

ما هي معادلة الشكل القياسي للقطع الناقص الذي يحتوي على رؤوس (( pm 8،0) ) وبؤر (( pm 5،0) )؟

حل

البؤر موجودة على المحور (س ) ، وبالتالي فإن المحور الرئيسي هو (س ) - المحور. وبالتالي ، سيكون للمعادلة الشكل ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 )

القمم هي (( pm 8،0) ) ، لذا (a = 8 ) و (a ^ 2 = 64 ).

البؤر هي (( pm 5،0) ) ، لذلك (c = 5 ) و (c ^ 2 = 25 ).

نعلم أن الرؤوس والبؤر مرتبطة بالمعادلة (ج ^ 2 = أ ^ 2 − ب ^ 2 ). لحل (b ^ 2 ) ، لدينا:

[ begin {align *} c ^ 2 & = a ^ 2-b ^ 2 25 & = 64-b ^ 2 qquad text {Substitute for} c ^ 2 text {and} a ^ 2 b ^ 2 & = 39 qquad text {حل من أجل} b ^ 2 end {align *} ]

الآن نحتاج فقط إلى استبدال (a ^ 2 = 64 ) و (b ^ 2 = 39 ) بالصيغة القياسية للمعادلة. معادلة القطع الناقص هي ( dfrac {x ^ 2} {64} + dfrac {y ^ 2} {39} = 1 ).

تمرين ( PageIndex {1} )

ما هي معادلة الشكل القياسي للقطع الناقص الذي يحتوي على رءوس ((0، pm 4) ) وبؤر ((0، pm sqrt {15}) )؟

إجابه

(x ^ 2 + dfrac {y ^ 2} {16} = 1 )

سؤال وجواب

هل يمكننا كتابة معادلة القطع الناقص المتمركز في الأصل مع وجود إحداثيات بؤرة واحدة ورأس واحد فقط؟

نعم. تكون القطع الناقصة متماثلة ، لذا فإن إحداثيات رؤوس القطع الناقص المتمركز حول الأصل سيكون لها دائمًا الشكل (( pm a، 0) ) أو ((0، pm a) ). وبالمثل ، ستظل إحداثيات البؤر دائمًا على الشكل (( pm c، 0) ) أو ((0، pm c) ). بمعرفة ذلك ، يمكننا استخدام (a ) و (c ) من النقاط المحددة ، جنبًا إلى جنب مع المعادلة (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ) ، للعثور على (b ^ 2 ) ).

كتابة معادلات للقطوع الناقصة غير متمركزة في الأصل

مثل الرسوم البيانية للمعادلات الأخرى ، فإن الرسم البياني لـ الشكل البيضاوي يمكن ترجمتها. إذا تمت ترجمة القطع الناقص (ح ) وحدات أفقية و (ك ) وحدات عموديًا ، فسيكون مركز القطع الناقص ((ح ، ك) ). هذا ترجمة ينتج عنه الشكل القياسي للمعادلة التي رأيناها سابقًا ، مع استبدال (x ) بـ ((x − h) ) و ذ تم استبداله بـ ((y − k) ).

الأشكال القياسية لمعادلة الانحراف مع المركز ((H ، K) )

الشكل القياسي لمعادلة القطع الناقص مع المركز ((ح ، ك) ) والمحور الرئيسي الموازي للمحور (س ) هو

[ dfrac {{(x − h)} ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {{(y − k)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ]

أين

  • (أ> ب )
  • طول المحور الرئيسي هو (2 أ )
  • إحداثيات القمم هي ((h pm a، k) )
  • طول المحور الثانوي هو (2 ب )
  • إحداثيات الرؤوس المشتركة هي ((ح ، ك م ب) )
  • إحداثيات البؤر هي ((h pm c، k) ) حيث (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). انظر الشكل ( PageIndex {7a} ).

الشكل القياسي لمعادلة القطع الناقص مع المركز ((ح ، ك) ) والمحور الرئيسي الموازي للمحور (ص ) هو

[ dfrac {{(x − h)} ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {{(y − k)} ^ 2} {a ^ 2} = 1 ]

أين

  • (أ> ب )
  • طول المحور الرئيسي هو (2 أ )
  • إحداثيات القمم هي ((ح ، ك م أ) )
  • طول المحور الثانوي هو (2 ب )
  • إحداثيات الرؤوس المشتركة هي ((ح م ب ، ك) )
  • إحداثيات البؤر هي ((h، k pm c) ) حيث (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). راجع الشكل ( PageIndex {7b} ).

تمامًا كما هو الحال مع علامات الحذف المتمركزة في الأصل ، فإن القطع الناقصة المتمركزة عند نقطة ((h، k) ) لها رؤوس ورؤوس مشتركة وبؤر مرتبطة بالمعادلة (c ^ 2 = a ^ 2− ب ^ 2 ). يمكننا استخدام هذه العلاقة جنبًا إلى جنب مع معادلات نقطة المنتصف والمسافة لإيجاد معادلة القطع الناقص في الشكل القياسي عند إعطاء الرؤوس والبؤر.

الكيفية: بالنظر إلى رؤوس وبؤر القطع الناقص غير المتمركز في الأصل ، اكتب معادلته في الشكل القياسي

  1. حدد ما إذا كان المحور الرئيسي موازيًا للمحور (x ) - أو (y ).
    • إذا كان ذ- تكون إحداثيات الرؤوس والبؤر المعينة هي نفسها ، ثم يكون المحور الرئيسي موازيًا لمحور (س ). استخدم النموذج القياسي ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {{(y − k)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 )
    • إذا كان x-تتطابق إحداثيات الرؤوس والبؤر المعينة ، ثم يكون المحور الرئيسي موازيًا لـ ذ-محور. استخدم النموذج القياسي ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {{(y − k)} ^ 2} {a ^ 2} = 1 )
  2. حدد مركز القطع الناقص ((ح ، ك) ) باستخدام صيغة نقطة الوسط والإحداثيات المعطاة للرؤوس.
  3. أوجد (أ ^ 2 ) عن طريق إيجاد طول المحور الرئيسي ، (2 أ ) ، وهي المسافة بين القمم المعطاة.
  4. ابحث عن (c ^ 2 ) باستخدام (h ) و (k ) ، الموجودة في الخطوة 2 ، جنبًا إلى جنب مع إحداثيات معينة للبؤر.
  5. حل من أجل (b ^ 2 ) باستخدام المعادلة (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ).
  6. استبدل قيم (h ) و (k ) و (a ^ 2 ) و (b ^ 2 ) في الصيغة القياسية للمعادلة المحددة في الخطوة 1.

مثال ( PageIndex {2} ): كتابة معادلة القطع الناقص المتمركز في نقطة أخرى غير الأصل

ما هي معادلة الشكل القياسي للقطع الناقص الذي يحتوي على رؤوس ((- 2 ، ،8) ) و ((- 2،2) ) والبؤر ((- 2 ، −7) ) و ( (−2،1) )؟

حل

(س ) - إحداثيات الرؤوس والبؤر هي نفسها ، وبالتالي فإن المحور الرئيسي يوازي المحور (ص ). وهكذا ، فإن معادلة القطع الناقص سيكون لها الشكل

( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {{(y − k)} ^ 2} {a ^ 2} = 1 nonumber )

أولاً ، نحدد المركز ، ((ح ، ك) ). يقع المركز في منتصف المسافة بين الرؤوس ، ((- 2 ، −8) ) و ((- 2،2) ). بتطبيق صيغة النقطة المتوسطة ، لدينا:

[ start {align} (h، k) & = left ( dfrac {−2 + (- 2)} {2}، dfrac {−8 + 2} {2} right) nonumber & = (- 2، −3) عدد غير رقم نهاية {محاذاة} عدد غير رقم ]

بعد ذلك ، نجد (a ^ 2 ). طول المحور الرئيسي (2 أ ) يحده الرؤوس. نوجد قيمة (أ ) بإيجاد المسافة بين ذ- إحداثيات الرؤوس.

[ begin {align} 2a & = 2 - (- 8) nonumber 2a & = 10 nonumber a & = 5 nonumber end {align} nonumber ]

لذلك (أ ^ 2 = 25 ).

الآن نجد (ج ^ 2 ). يتم إعطاء البؤر بواسطة ((h، k pm c) ). إذن ، ((ح ، ك − ج) = (- 2 ، −7) ) و ((ح ، ك + ج) = (- 2،1) ). نستبدل (ك = −3 ) باستخدام أي من هاتين النقطتين لإيجاد (ج ).

[ start {align} k + c & = 1 nonumber −3 + c & = 1 nonumber c & = 4 nonumber end {align} nonumber ]

لذلك (ج ^ 2 = 16 ).

بعد ذلك ، نحل من أجل (b ^ 2 ) باستخدام المعادلة (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ).

[ start {align} c ^ 2 & = a ^ 2 − b ^ 2 nonumber 16 & = 25 − b ^ 2 nonumber b ^ 2 & = 9 nonumber end {align} nonumber ]

أخيرًا ، نستبدل القيم الموجودة لـ (h ) و (k ) و (a ^ 2 ) و (b ^ 2 ) في معادلة النموذج القياسي للقطع الناقص:

[ dfrac {{(x + 2)} ^ 2} {9} + dfrac {{(y + 3)} ^ 2} {25} = 1 nonumber ]

تمرين ( PageIndex {2} )

ما هي معادلة الشكل القياسي للقطع الناقص الذي يحتوي على رءوس ((- 3،3) ) و ((5،3) ) والبؤر ((1−2 sqrt {3}، 3) ) و ((1 + 2 sqrt {3}، 3) )؟

إجابه

( dfrac {{(x − 1)} ^ 2} {16} + dfrac {{(y − 3)} ^ 2} {4} = 1 nonumber )

رسم بياني ناقص متمركز في الأصل

مثلما يمكننا كتابة معادلة القطع الناقص بمعلومية الرسم البياني الخاص به ، يمكننا رسم بياني للقطع الناقص باستخدام معادلته. لرسم شكل بياني للقطع الناقص المتمركز في الأصل ، نستخدم الصيغة القياسية

( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1، a> b ) لأشكال الحذف الأفقية

و

( dfrac {x ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {a ^ 2} = 1، a> b ) لقطع الحذف الرأسية

الكيفية: بالنظر إلى الشكل القياسي لمعادلة القطع الناقص المتمركز في ((0 ، 0) ) ، ارسم الرسم البياني.

  1. استخدم الصيغ القياسية لمعادلات القطع الناقص لتحديد المحور الرئيسي والرؤوس والرؤوس المشتركة والبؤر.
    • إذا كانت المعادلة بالصيغة ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) ، حيث (a> b ) ، إذن
      • المحور الرئيسي هو المحور (س )
      • إحداثيات القمم هي (( pm a، 0) )
      • إحداثيات الرؤوس المشتركة هي ((0، م ب) )
      • إحداثيات البؤر هي (( pm c، 0) )
    • إذا كانت المعادلة بالصيغة (x ^ 2b ^ 2 + y ^ 2a ^ 2 = 1 ) ، حيث (a> b ) ، إذن
      • المحور الرئيسي هو المحور (ص )
      • إحداثيات القمم هي ((0، pm a) )
      • إحداثيات الرؤوس المشتركة هي (( pm ب، 0) )
      • إحداثيات البؤر هي ((0، م ج) )
  2. حل من أجل (ج ) باستخدام المعادلة (ج ^ 2 = أ ^ 2 − ب ^ 2 ).
  3. ارسم المركز والرؤوس والرؤوس المشتركة والبؤر في مستوى الإحداثيات ، وارسم منحنى سلسًا لتشكيل القطع الناقص.

مثال ( PageIndex {3} ): رسم شكل بيضوي متمركز في الأصل

ارسم القطع الناقص المعطى بالمعادلة ، ( dfrac {x ^ 2} {9} + dfrac {y ^ 2} {25} = 1 ). حدد المركز والرؤوس والرؤوس المشتركة والبؤر وقم بتسميتها.

حل

أولاً ، نحدد موضع المحور الرئيسي. لأن (25> 9 ) ، يكون المحور الرئيسي على (ص ) - المحور. لذلك ، تكون المعادلة بالصيغة ( dfrac {x ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {a ^ 2} = 1 ) ، حيث (b ^ 2 = 9 ) و (أ ^ 2 = 25 ). إنه يتبع هذا:

  • مركز القطع الناقص هو ((0،0) )
  • إحداثيات القمم هي ((0، pm a) = (0، pm sqrt {25}) = (0، pm 5) )
  • إحداثيات الرؤوس المشتركة هي (( pm b، 0) = ( pm 9،0) = ( pm 3،0) )
  • إحداثيات البؤر هي ((0، pm c) ) ، حيث (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ) حل من أجل (c ) ، لدينا:

[ begin {align} c & = pm sqrt {a ^ 2 − b ^ 2} nonumber & = pm sqrt {25−9} nonumber & = pm sqrt {16} nonumber & = pm 4 nonumber end {align} nonumber ]

لذلك ، فإن إحداثيات البؤر هي ((0، pm 4) ).

بعد ذلك ، نرسم المركز ، والرؤوس ، والرؤوس المشتركة ، والبؤر ، ونرسم منحنى سلسًا لتشكيل القطع الناقص. راجع الشكل ( PageIndex {8} ).

تمرين ( PageIndex {3} )

ارسم القطع الناقص المعطى بالمعادلة ( dfrac {x ^ 2} {36} + dfrac {y ^ 2} {4} = 1 ). حدد المركز والرؤوس والرؤوس المشتركة والبؤر وقم بتسميتها.

إجابه

المركز: ((0،0) ) ؛ القمم: (( pm 6،0) ) ؛ الرؤوس المشتركة: ((0، pm 2) )؛ البؤر: (( pm 4 sqrt {2}، 0) )

مثال ( PageIndex {4} ): رسم شكل بيضوي متمركز في الأصل من معادلة ليست في النموذج القياسي

ارسم القطع الناقص المعطى بالمعادلة (4x ^ 2 + 25y ^ 2 = 100 ). أعد كتابة المعادلة في الشكل القياسي. ثم حدد المركز ، والرؤوس ، والرؤوس المشتركة ، والبؤر وقم بتسميتها.

حل

أولاً ، استخدم الجبر لإعادة كتابة المعادلة في الشكل القياسي.

[ begin {align} 4x ^ 2 + 25y ^ 2 & = 100 nonumber dfrac {4x ^ 2} {100} + dfrac {25y ^ 2} {100} & = dfrac {100} {100 } nonumber dfrac {x ^ 2} {25} + dfrac {y ^ 2} {4} & = 1 nonumber end {align} nonumber ]

بعد ذلك ، نحدد موضع المحور الرئيسي. لأن (25> 4 ) ، يكون المحور الرئيسي على (س ) - المحور. لذلك ، تكون المعادلة بالصيغة ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) ، حيث (a ^ 2 = 25 ) و (ب ^ 2 = 4 ). إنه يتبع هذا:

  • مركز القطع الناقص هو ((0،0) )
  • إحداثيات القمم هي (( pm a، 0) = ( pm sqrt {25}، 0) = ( pm 5،0) )
  • إحداثيات الرؤوس المشتركة هي ((0، pm b) = (0، pm sqrt {4}) = (0، pm 2) )
  • إحداثيات البؤر هي (( pm c، 0) ) حيث (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). لحل (ج ) ، لدينا:

[ begin {align} c & = pm sqrt {a ^ 2 − b ^ 2} nonumber & = pm sqrt {25−4} nonumber & = pm sqrt {21} غير رقم نهاية {محاذاة} غير رقم ]

لذلك فإن إحداثيات البؤر هي (( pm sqrt {21}، 0) ).

بعد ذلك ، نرسم المركز ، والرؤوس ، والرؤوس المشتركة ، والبؤر ، ونرسم منحنى سلسًا لتشكيل القطع الناقص.

تمرين ( PageIndex {4} )

ارسم القطع الناقص المعطى بالمعادلة (49x ^ 2 + 16y ^ 2 = 784 ). أعد كتابة المعادلة في الشكل القياسي. ثم حدد المركز ، والرؤوس ، والرؤوس المشتركة ، والبؤر وقم بتسميتها.

إجابه

النموذج القياسي: ( dfrac {x ^ 2} {16} + dfrac {y ^ 2} {49} = 1 )؛ المركز: ((0،0) ) ؛ القمم: ((0 ، مساء 7) ) ؛ الرؤوس المشتركة: (( pm 4،0) ) ؛ البؤر: ((0، pm sqrt {33}) )

رسم بياني ناقص غير متمركز في الأصل

عندما الشكل البيضاوي لا يتم توسيطه في الأصل ، فلا يزال بإمكاننا استخدام النماذج القياسية للعثور على الميزات الرئيسية للرسم البياني. عندما يتم توسيط القطع الناقص عند نقطة ما ، ((h، k) ) ، فإننا نستخدم النماذج القياسية ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {{( y − k)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) ، (a> b ) للعلامات الحذف الأفقية و ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {{(y − k)} ^ 2} {a ^ 2} = 1 )، (a> b ) للعلامات الحذف الرأسية. من هذه المعادلات القياسية ، يمكننا بسهولة تحديد المركز والرؤوس والرؤوس المشتركة والبؤر ومواضع المحاور الرئيسية والثانوية.

الكيفية: بالنظر إلى الشكل القياسي لمعادلة القطع الناقص المتمركز في ((ح ، ك) ) ، ارسم الرسم البياني.

  1. استخدم الصيغ القياسية لمعادلات القطع الناقص لتحديد مركز وموضع المحور الرئيسي والرؤوس والرؤوس المشتركة والبؤر.
    • إذا كانت المعادلة بالصيغة ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {{(y − k)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) ، حيث (أ> ب ) ، ثم
      • المركز هو ((ح ، ك) )
      • المحور الرئيسي يوازي المحور (س )
      • إحداثيات القمم هي ((h pm a، k) )
      • إحداثيات الرؤوس المشتركة هي ((ح ، ك م ب) )
      • إحداثيات البؤر هي ((ح م ج ، ك) )
    • إذا كانت المعادلة بالصيغة ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {{(y − k)} ^ 2} {a ^ 2} = 1 ) ، حيث (أ> ب ) ، ثم
      • المركز هو ((ح ، ك) )
      • المحور الرئيسي موازٍ لمحور (ص )
      • إحداثيات القمم هي ((ح ، ك م أ) )
      • إحداثيات الرؤوس المشتركة هي ((ح م ب ، ك) )
      • إحداثيات البؤر هي ((ح ، ك م ج) )
  2. حل من أجل (ج ) باستخدام المعادلة (ج ^ 2 = أ ^ 2 − ب ^ 2 ).
  3. ارسم المركز والرؤوس والرؤوس المشتركة والبؤر في مستوى الإحداثيات ، وارسم منحنى سلسًا لتشكيل القطع الناقص.

مثال ( PageIndex {5} ): رسم شكل بيضوي متمركز في ((h، k) )

ارسم القطع الناقص المعطى بالمعادلة ، ( dfrac {{(x + 2)} ^ 2} {4} + dfrac {{(y − 5)} ^ 2} {9} = 1 ). حدد المركز والرؤوس والرؤوس المشتركة والبؤر وقم بتسميتها.

حل

أولاً ، نحدد موضع المحور الرئيسي. لأن المحور الرئيسي (9> 4 ) موازٍ للمحور (ص ). لذلك ، تكون المعادلة بالصيغة ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {{(y − k)} ^ 2} {a ^ 2} = 1 ) ، حيث (ب ^ 2 = 4 ) و (أ ^ 2 = 9 ). إنه يتبع هذا:

  • مركز القطع الناقص هو ((ح ، ك) = (- 2.5) )
  • إحداثيات الرؤوس هي ((h، k pm a) = (- 2،5 pm sqrt {9}) = (- 2،5 pm 3) ) أو ((- 2، 2) ) و ((- 2،8) )
  • إحداثيات الرؤوس المشتركة هي ((h pm b، k) = (- 2 pm sqrt {4}، 5) = (- 2 pm 2،5) ) أو ((- 4،5) ) و ((0،5) )
  • إحداثيات البؤر هي ((h، k pm c) ) حيث (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). لحل (ج ) ، لدينا:

[ begin {align} c & = pm sqrt {a ^ 2 − b ^ 2} nonumber [4pt] & = pm sqrt {9−4} nonumber [4pt] & = م sqrt {5} nonumber end {align} nonumber ]

لذلك ، فإن إحداثيات البؤر هي ((- 2،5− sqrt {5}) ) و ((- 2،5+ sqrt {5}) ).

بعد ذلك ، نرسم المركز ، والرؤوس ، والرؤوس المشتركة ، والبؤر ، ونرسم منحنى سلسًا لتشكيل القطع الناقص.

تمرين ( PageIndex {5} )

ارسم القطع الناقص المعطى بالمعادلة ( dfrac {{(x − 4)} ^ 2} {36} + dfrac {{(y − 2)} ^ 2} {20} = 1 ). حدد المركز والرؤوس والرؤوس المشتركة والبؤر وقم بتسميتها.

إجابه

المركز: ((4،2) ) ؛ القمم: ((- 2،2) ) و ((10،2) ) ؛ الرؤوس المشتركة: ((4،2−2 sqrt {5}) ) و ((4،2 + 2 sqrt {5}) ) ؛ البؤر: ((0،2) ) و ((8،2) )

الكيفية: بالنظر إلى الشكل العام لمعادلة القطع الناقص المتمركز في ((ح ، ك) ) ، قم بالتعبير عن المعادلة في الشكل القياسي.

  1. اعلم أن القطع الناقص الموصوف بواسطة معادلة بالصيغة (ax ^ 2 + by ^ 2 + cx + dy + e = 0 ) في شكل عام.
  2. أعد ترتيب المعادلة بتجميع المصطلحات التي تحتوي على نفس المتغير. انقل الحد الثابت إلى الجانب الآخر من المعادلة.
  3. أخرج معاملات المصطلحات (x ^ 2 ) و (y ^ 2 ) إلى عوامل تمهيدًا لإكمال المربع.
  4. أكمل المربع لكل متغير لإعادة كتابة المعادلة على شكل مجموع مضاعفات ذات حدين مجموعة مربعة تساوي ثابتًا ، (m_1 {(x − h)} ^ 2 + m_2 {(y − k)} ^ 2 = m_3 ) حيث (m_1 ) و (m_2 ) و (m_3 ) ثوابت.
  5. اقسم طرفي المعادلة على الحد الثابت للتعبير عن المعادلة في الصورة القياسية.

مثال ( PageIndex {6} ): رسم شكل بيضوي متمركز في ((h، k) ) عن طريق كتابته أولاً في النموذج القياسي

ارسم القطع الناقص المعطى بالمعادلة (4x ^ 2 + 9y ^ 2−40x + 36y + 100 = 0 ). حدد المركز والرؤوس والرؤوس المشتركة والبؤر وقم بتسميتها.

حل

يجب أن نبدأ بإعادة كتابة المعادلة في الصورة القياسية.

(4x ^ 2 + 9y ^ 2−40x + 36y + 100 = 0 )

جمّع الحدود التي تحتوي على نفس المتغير ، وانقل الثابت إلى الجانب الآخر من المعادلة.

((4x ^ 2−40x) + (9y ^ 2 + 36y) = - 100 )

أخرج معاملات الحدود التربيعية إلى عوامل.

(4 (س ^ 2−10 س) +9 (ص ^ 2 + 4 ص) = - 100 )

أكمل المربع مرتين. تذكر موازنة المعادلة بإضافة نفس الثوابت إلى كل جانب.

(4 (س ^ 2−10 س + 25) +9 (ص ^ 2 + 4 ص + 4) = - 100 + 100 + 36 )

أعد الكتابة كمربعات كاملة.

(4 {(س − 5)} ^ 2 + 9 {(ص + 2)} ^ 2 = 36 )

اقسم كلا الطرفين على الحد الثابت لوضع المعادلة في الصورة القياسية.

( dfrac {{(x − 5)} ^ 2} {9} + dfrac {{(y + 2)} ^ 2} {4} = 1 )

الآن بعد أن أصبحت المعادلة في الشكل القياسي ، يمكننا تحديد موضع المحور الرئيسي. لأن المحور الرئيسي (9> 4 ) موازٍ للمحور (س ). لذلك ، تكون المعادلة بالصيغة ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {{(y − k)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) ، حيث (أ ^ 2 = 9 ) و (ب ^ 2 = 4 ). إنه يتبع هذا:

  • مركز القطع الناقص هو ((ح ، ك) = (5 ، −2) )
  • إحداثيات الرؤوس هي ((h pm a، k) = (5 pm sqrt {9}، - 2) = (5 pm 3، −2) ) أو ((2، - 2) ) و ((8 ، −2) )
  • إحداثيات الرؤوس المشتركة هي ((h، k pm b) = (5، −2 pm sqrt {4}) = (5، −2 pm 2) ) أو ((5 ، −4) ) و ((5،0) )
  • إحداثيات البؤر هي ((h pm c، k) ) حيث (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). لحل (ج ) ، لدينا:

[ begin {align *} c & = pm sqrt {a ^ 2-b ^ 2} & = pm sqrt {9-4} & = pm sqrt {5} end { محاذاة *} ]

لذلك ، فإن إحداثيات البؤر هي ((5− sqrt {5}، - 2) ) و ((5+ sqrt {5}، - 2) ).

بعد ذلك ، نرسم المركز ، والرؤوس ، والرؤوس المشتركة ، والبؤر ونسميها ، ونرسم منحنىًا سلسًا لتشكيل القطع الناقص كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {14} ).

تمرين ( PageIndex {6} )

عبر عن معادلة القطع الناقص الواردة في الصورة القياسية. حدد المركز والرؤوس والرؤوس المشتركة وبؤر القطع الناقص.

(4x ^ 2 + y ^ 2−24x + 2y + 21 = 0 )

إجابه

( dfrac {{(x − 3)} ^ 2} {4} + dfrac {{(y + 1)} ^ 2} {16} = 1 ) ؛ المركز: ((3 ، −1) ) ؛ القمم: ((3 ، −5) ) و ((3،3) ) ؛ الرؤوس المشتركة: ((1 ، −1) ) و ((5 ، −1) ) ؛ البؤر: ((3، −1−2 sqrt {3}) ) و ((3، −1 + 2 sqrt {3}) )

حل المشكلات التطبيقية التي تتضمن الأشكال الناقصة

يمكن تمثيل العديد من مواقف العالم الحقيقي بواسطة علامات الحذف ، بما في ذلك مدارات الكواكب والأقمار الصناعية والأقمار والمذنبات وأشكال عارضات القوارب والدفات وبعض أجنحة الطائرات. جهاز طبي يسمى جهاز تفتيت الحصى يستخدم عاكسات بيضاوية لتفتيت حصوات الكلى عن طريق توليد موجات صوتية. تم تصميم بعض المباني ، التي تسمى غرف الهمس ، بقباب بيضاوية الشكل بحيث يمكن بسهولة سماع الشخص الذي يهمس في أحد البؤرة من قبل شخص يقف عند البؤرة الأخرى. يحدث هذا بسبب الخصائص الصوتية للقطع الناقص. عندما تنشأ موجة صوتية عند بؤرة واحدة في غرفة الهمس ، تنعكس الموجة الصوتية على القبة البيضاوية وتعود إلى البؤرة الأخرى (الشكل ( PageIndex {15} )). في غرفة الهمس بمتحف العلوم والصناعة في شيكاغو ، يمكن لشخصين واقفين عند البؤرتين - على بعد حوالي (43 ) قدمًا - سماع بعضهما البعض يهمسًا.

مثال ( PageIndex {7} ): تحديد موقع بؤر حجرة الهمس

قاعة التماثيل في مبنى الكابيتول في واشنطن العاصمة هي غرفة تهمس. أبعاده (46 ) قدمًا عرضًا (96 ) قدمًا كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {16} ).

  1. ما هو الشكل القياسي لمعادلة القطع الناقص الذي يمثل مخطط الغرفة؟ تلميح: افترض وجود قطع ناقص أفقي ، واجعل مركز الغرفة هو النقطة ((0،0) ).
  2. إذا كان اثنان من أعضاء مجلس الشيوخ يقفان في بؤرة هذه الغرفة يسمعون بعضهما البعض يهمس ، فما المسافة بين أعضاء مجلس الشيوخ؟ قرّب لأقرب قدم.

حل

  1. نفترض وجود قطع ناقص أفقي بالمركز ((0،0) ) ، لذلك نحتاج إلى إيجاد معادلة بالصيغة ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) ، حيث (a> b ). نعلم أن طول المحور الرئيسي (2 أ ) أطول من طول المحور الثانوي (2 ب ). لذا فإن طول الغرفة ، 96 ، يمثله المحور الرئيسي ، وعرض الغرفة ، 46 ، يمثله المحور الثانوي.

    لذلك ، فإن معادلة القطع الناقص هي [(dfrac {x ^ 2} {2304} + dfrac {y ^ 2} {529} = 1 )

    • حل من أجل (أ ) ، لدينا (2 أ = 96 ) ، لذلك (أ = 48 ) ، و (أ ^ 2 = 2304 ).
    • حل من أجل (ب ) ، لدينا (2 ب = 46 ) ، لذلك (ب = 23 ) ، و (ب ^ 2 = 529 ).
  2. لإيجاد المسافة بين أعضاء مجلس الشيوخ ، يجب أن نجد المسافة بين البؤر ، (( pm c، 0) ) ، حيث (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). لحل (ج ) ، لدينا:

[ begin {align *} c ^ 2 & = a ^ 2-b ^ 2 c ^ 2 & = 2304-529 qquad text {استبدل باستخدام القيم الموجودة في الجزء} (a) c & = pm sqrt {2304-529} qquad text {خذ الجذر التربيعي لكلا الجانبين.} c & = pm sqrt {1775} qquad text {Subtract.} c & almost pm 42 qquad text {تقريب لأقرب قدم.} نهاية {محاذاة *} ]

النقاط (( pm 42،0) ) تمثل البؤر. وبالتالي ، فإن المسافة بين أعضاء مجلس الشيوخ هي (2 (42) = 84 ) قدمًا.

تمرين ( PageIndex {7} )

افترض أن غرفة الهمس يبلغ طولها (480 ) قدمًا وعرضها (320 ) قدمًا.

  1. ما هو الشكل القياسي لمعادلة القطع الناقص الذي يمثل الغرفة؟ تلميح: افترض وجود قطع ناقص أفقي ، واجعل مركز الغرفة هو النقطة ((0،0) ).
  2. إذا كان هناك شخصان يقفان في بؤر هذه الغرفة ويمكنهما سماع بعضهما البعض يهمس ، فما المسافة بين الناس؟ قرّب لأقرب قدم.
الإجابة أ

( dfrac {x ^ 2} {57،600} + dfrac {y ^ 2} {25،600} = 1 )

الجواب ب

يقف الشعب على مسافة (358) قدمًا.

وسائط

قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على إرشادات وممارسات إضافية باستخدام علامات الحذف.

  • المقاطع المخروطية: القطع الناقص
  • ارسم بيضاويًا بالمركز عند الأصل
  • رسم بيضاويًا باستخدام المركز ليس عند الأصل

المعادلات الرئيسية

القطع الناقص الأفقي ، المركز عند الأصل ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 )، (a> b )
القطع الناقص العمودي ، المركز عند الأصل ( dfrac {x ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {a ^ 2} = 1 )، (a> b )
القطع الناقص الأفقي ، المركز ((ح ، ك) ) ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {{(y − k)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 )، (a> b )
القطع الناقص العمودي ، المركز ((ح ، ك) ) ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {{(y − k)} ^ 2} {a ^ 2} = 1 )، (a> b )

المفاهيم الرئيسية

  • القطع الناقص هو مجموعة جميع النقاط ((س ، ص) ) في مستوى بحيث يكون مجموع مسافاتها من نقطتين ثابتتين ثابتًا. تسمى كل نقطة ثابتة بؤرة (جمع: بؤر).
  • عند إعطاء إحداثيات بؤر ورؤوس القطع الناقص ، يمكننا كتابة معادلة القطع الناقص في الصورة القياسية. راجع المثال ( PageIndex {1} ) والمثال ( PageIndex {2} ).
  • عند إعطاء معادلة للقطع الناقص المتمركز في الأصل في الشكل القياسي ، يمكننا تحديد رؤوسه ، والرؤوس المشتركة ، والبؤر ، وأطوال ومواضع المحاور الرئيسية والثانوية من أجل رسم بياني للقطع الناقص. راجع المثال ( PageIndex {3} ) والمثال ( PageIndex {4} ).
  • عند إعطاء معادلة القطع الناقص المتمركز في نقطة ما غير الأصل ، يمكننا تحديد سماته الرئيسية ورسم الشكل البيضاوي. راجع المثال ( PageIndex {5} ) والمثال ( PageIndex {6} ).
  • يمكن نمذجة مواقف العالم الحقيقي باستخدام المعادلات القياسية للقطع الناقص ثم تقييمها للعثور على الميزات الرئيسية ، مثل أطوال المحاور والمسافة بين البؤر. راجع المثال ( PageIndex {7} ).

الفصل الثاني عشر

يمكن نمذجة جوانب البرج بواسطة المعادلة القطعية. س 2400 - ص 2 3600 = 1 أو س 2 20 2 - ص 2 60 2 = 1. س 2400 - ص 2 3600 = 1 أو س 2 20 2 - ص 2 60 2 = 1.

12.3 القطع المكافئ

12.4 دوران المحاور

12.5 المقاطع المخروطية في الإحداثيات القطبية

12.1 تمارين القسم

القطع الناقص هو مجموعة جميع النقاط في المستوى التي يكون مجموع مسافاتها من نقطتين ثابتتين ، تسمى البؤر ، ثابتًا.

هذه الحالة الخاصة ستكون دائرة.

إنه متماثل حول x-محور، ذ-المحور والأصل.

نعم × 2 (1 2) 2 + ص 2 (1 3) 2 = 1 × 2 (1 2) 2 + ص 2 (1 3) 2 = 1

البؤر (- 3 ، - 1 + 11) ، (- 3 ، - 1-11) (- 3 ، - 1 + 11) ، (- 3 ، - 1 - 11)

البؤر (- 10 ، 30) ، (- 10 ، - 30) (- 10 ، 30) ، (- 10 ، - 30)

لاحظ أن هذا القطع الناقص عبارة عن دائرة. الدائرة لها تركيز واحد فقط ، والذي يتزامن مع المركز.

(س - 4) 2 25 + (ص - 2) 2 1 = 1 (س - 4) 2 25 + (ص - 2) 2 1 = 1

(س + 3) 2 16 + (ص - 4) 2 4 = 1 (س + 3) 2 16 + (ص - 4) 2 4 = 1

x 2 4 h 2 + y 2 1 4 h 2 = 1 x 2 4 h 2 + y 2 1 4 h 2 = 1

12.2 تمارين القسم

القطع الزائد هو مجموعة النقاط في مستوٍ يكون الفرق بين مسافاتهما من نقطتين ثابتتين (بؤرتان) ثابتًا موجبًا.

يجب أن تقع البؤر على المحور العرضي وأن تكون داخل القطع الزائد.

يجب أن يكون المركز هو نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة التي تربط البؤر.

ص = 2 5 (س - 3) - 4 ، ص = - 2 5 (س - 3) - 4 ص = 2 5 (س - 3) - 4 ، ص = - 2 5 (س - 3) - 4

ص = 3 4 (س - 1) + 1 ، ص = - 3 4 (س - 1) + 1 ص = 3 4 (س - 1) + 1 ، ص = - 3 4 (س - 1) + 1

(س - 6) 2 25 - (ص - 1) 2 11 = 1 (س - 6) 2 25 - (ص - 1) 2 11 = 1

(س - 4) 2 25 - (ص - 2) 2 1 = 1 (س - 4) 2 25 - (ص - 2) 2 1 = 1

(س + 3) 2 25 - (ص + 3) 2 25 = 1 (س + 3) 2 25 - (ص + 3) 2 25 = 1

ص (س) = 3 × 2 + 1 ، ص (س) = - 3 × 2 + 1 ص (س) = 3 × 2 + 1 ، ص (س) = - 3 × 2 + 1

ص (س) = 1 + 2 س 2 + 4 س + 5 ، ص (س) = 1 - 2 س 2 + 4 س + 5 ص (س) = 1 + 2 س 2 + 4 س + 5 ، ص (س ) = 1 - 2 × 2 + 4 × + 5

(س - ح) 2 أ 2 = 4 - (ص - ك) 2 ب 2 = (س - 3) 2-9 ص 2 = 4 (س - ح) 2 أ 2 = 4 - (ص - ك) 2 ب 2 = (س - 3) 2-9 ص 2 = 4

12.3 تمارين القسم

القطع المكافئ هو مجموعة النقاط في المستوى التي تقع على مسافة متساوية من نقطة ثابتة ، والبؤرة ، والخط الثابت ، الدليل.

ستزيد المسافة بين التركيز والدليل.

نعم (ص - 3) 2 = 4 (2) (س - 2) (ص - 3) 2 = 4 (2) (س - 2)

y 2 = 1 8 x ، V: (0 ، 0) F: (1 32، 0) d: x = - 1 32 y 2 = 1 8 x، V: (0، 0) F: (1 32، 0) ) د: س = - 1 32

x 2 = - 1 4 y، V: (0، 0) F: (0، - 1 16) d: y = 1 16 x 2 = - 1 4 y، V: (0، 0) F: (0، - 1 16) د: ص = 16 1

ص 2 = 1 36 س ، ف: (0 ، 0) ف: (1144 ، 0) د: س = - 1 144 ص 2 = 1 36 س ، ف: (0 ، 0) ف: (1144 ، 0) ) د: س = - 1144

(x - 1) 2 = 4 (y - 1)، V: (1، 1) F: (1، 2) d: y = 0 (x - 1) 2 = 4 (y - 1)، V: ( 1 ، 1) و: (1 ، 2) د: ص = 0

(ص - 4) 2 = 2 (س + 3) ، ف: (- 3 ، 4) و: (- 5 2 ، 4) د: س = - 7 2 (ص - 4) 2 = 2 (س + 3 ) ، الخامس: (- 3 ، 4) و: (- 5 2 ، 4) د: س = - 7 2

(س + 4) 2 = 24 (ص + 1) ، الخامس: (- 4 ، - 1) و: (- 4 ، 5) د: ص = −7 (س + 4) 2 = 24 (ص + 1) ، الخامس: (- 4 ، - 1) و: (- 4 ، 5) د: ص = −7

(ص - 3) 2 = 12 (س + 1) ، ف: (- 1 ، 3) و: (- 4 ، 3) د: س = 2 (ص - 3) 2 = 12 (س + 1) ، الخامس: (- 1 ، 3) و: (- 4 ، 3) د: س = 2

(x - 5) 2 = 4 5 (y + 3)، V: (5، - 3) F: (5، - 14 5) d: y = - 16 5 (x - 5) 2 = 4 5 (y + 3) ، الخامس: (5 ، - 3) إ: (5 ، - 14 5) د: ص = - 16 5

(x - 2) 2 = 2 (y - 5)، V: (2، 5) F: (2، 9 ​​2) d: y = 11 2 (x - 2) 2 = 2 (y - 5) ، الخامس: (2 ، 5) ف: (2 ، 9 2) د: ص = 11 2

(y - 1) 2 = 4 3 (x - 5)، V: (5، 1) F: (16 3، 1) d: x = 14 3 (y - 1) 2 = 4 3 (x - 5) ، الخامس: (5 ، 1) ف: (16 3 ، 1) د: س = 14 3

عند النقطة 2.25 قدم فوق الرأس.

12.4 تمارين القسم

المقطع المخروطي القطع الزائد.

يعطي زاوية دوران المحاور لإزالة الحد x y x y.

3 س ′ 2 + 2 س ′ ص - 5 ص 2 + 1 = 0 3 س ′ 2 + 2 س ′ ص ′ - 5 ص ′ 2 + 1 = 0

θ = 60 ∘ ، 11 س ′ 2 - ص 2 + 3 س ′ + ص ′ - 4 = 0 = 60 ∘ ، 11 س ′ 2 - ص 2 + 3 س ′ + ص - 4 = 0

θ = 150 ∘ ، 21 س ′ 2 + 9 ص 2 + 4 س ′ - 4 3 ص ′ - 6 = 0 θ = 150 ، 21 س ′ 2 + 9 ص ′ 2 + 4 س ′ - 4 3 ص - 6 = 0

θ ≈ 36.9 ∘ ، 125 × ′ 2 + 6 × ′ - 42 ص ′ + 10 = 0 36.9 ∘ ، 125 × ′ 2 + 6 × ′ - 42 ص ′ + 10 = 0

θ = 45 ∘، 3 x ′ 2 - y ′ 2 - 2 x ′ + 2 y ′ + 1 = 0 θ = 45 ∘، 3 x ′ 2 - y ′ 2 - 2 x ′ + 2 y ′ + 1 = 0

2 2 (س ′ + ص) = 1 2 (س ′ - ص) 2 2 2 (س ′ + ص) = 1 2 (س ′ - ص) 2

(س ′ - ص) 2 8 + (س ′ + ص) 2 2 = 1 (س ′ - ص) 2 8 + (س ′ + ص) 2 2 = 1

(س ′ + ص) 2 2 - (س ′ - ص) 2 2 = 1 (س ′ + ص) 2 2 - (س ′ - ص) 2 2 = 1

3 2 س ′ - 1 2 ص ′ = (1 2 س ′ + 3 2 ص ′ - 1) 2 3 2 س ′ - 1 2 ص ′ = (1 2 س ′ + 3 2 ص - 1) 2

12.5 تمارين القسم

إذا كان الانحراف أقل من 1 ، فهو قطع ناقص. إذا كان الانحراف المركزي يساوي 1 ، فهو قطع مكافئ. إذا كان الانحراف المركزي أكبر من 1 ، فهو قطع زائد.

سيكون الدليل موازيًا للمحور القطبي.

ستكون إحدى البؤر موجودة في الأصل.

25 × 2 + 16 ص 2-12 ص - 4 = 0 25 × 2 + 16 ص 2-12 ص - 4 = 0

21 × 2-4 ص 2-30 × + 9 = 0 21 × 2-4 ص 2-30 × + 9 = 0

96 y 2-25 x 2 + 110 y + 25 = 0 96 y 2-25 x 2 + 110 y + 25 = 0

5 × 2 + 9 ص 2 - 24 × - 36 = 0 5 × 2 + 9 ص 2 - 24 × - 36 = 0

تمارين المراجعة

(س + 3) 2 1 2 + (ص - 2) 2 3 2 = 1 (- 3 ، 2) (- 2 ، 2) ، (- 4 ، 2) ، (- 3 ، 5) ، (- 3 ، - 1) (- 3 ، 2 + 2 2) ، (- 3 ، 2-2 2) (س + 3) 2 1 2 + (ص - 2) 2 3 2 = 1 (- 3 ، 2) (- 2 ، 2) ، (- 4 ، 2) ، (- 3 ، 5) ، (- 3 ، - 1) (- 3 ، 2 + 2 2) ، (- 3 ، 2 - 2 2)

θ = 45 ∘ ، س ′ 2 + 3 ص ′ 2-12 = 0 θ = 45 ∘ ، س ′ 2 + 3 ص ′ 2-12 = 0

اختبار الممارسة

(س - 1) 2 36 + (ص - 2) 2 27 = 1 (س - 1) 2 36 + (ص - 2) 2 27 = 1

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
    • المؤلفون: جاي أبرامسون
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • عنوان الكتاب: الجبر وعلم المثلثات
    • تاريخ النشر: 13 فبراير 2015
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/algebra-and-trigonometry/pages/1-introduction-to-prerequisites
    • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/algebra-and-trigonometry/pages/chapter-12

    © 19 أبريل 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    إليك بنية هندسية: إذا كان $ MN $ و $ DE $ أقطار مترافقة ، فقم برسم خط $ QQ '$ عبر $ N $ عموديًا على $ DE $ (انظر الرسم البياني أدناه). يجب اختيار النقاط $ Q $ و $ Q '$ بحيث يكون $ NQ = NQ' = OD $. تقع المحاور الرئيسية $ IR $ و $ ST $ ثم على منصفات الزوايا المكونة من الخطوط $ OQ $ و $ OQ '$ و: $ tag <1> IR = OQ' + OQ، quad TS = OQ ' -OQ. $

    إذا كان $ ON = a $ و $ OD = b $ وكانت الزاوية بينهما $ theta $ ، فحينئذٍ من قاعدة جيب التمام المطبقة على المثلثات $ ONQ $ و $ ONQ '$ نحصل على: $ OQ ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2-2ab sin theta ، quad OQ '^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab sin theta. عند إدخالها في $ (1) $ نحصل أخيرًا على: $ OR cdot OS = ab sin theta، quad OR ^ 2 + OS ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2. كان من الممكن اشتقاق هذه المساواة بشكل مباشر ، لأنها خصائص معروفة جيدًا للأقطار المترافقة (انظر الخاصيتين 1. و 2. مدرجتين هنا).

    افترض المرافق نصف قطر هي $ a $ و $ b $ والزاوية بينهما هي $ theta $. كوّن المصفوفة التالية: $ mathbf A = beginأ & ampb cos theta 0 & ampb sin theta end- الأعمدة عبارة عن نواقل تتوافق مع نصف القطر المترافق. الآن قم بإجراء تحليل قيمة مفردة $ mathbf A = mathbf^ تي دولار. الإدخالات القطرية لـ $ bf Sigma $ ، و قيم فردية من $ bf A $ هي أطوال شبه المحور.

    يعمل هذا لأن أي قطع ناقص متمركز على الأصل هو تحويل خطي ، $ bf A $ في هذه الحالة ، لدائرة الوحدة. يتوافق SVD مع تحليل هذا التحول إلى دوران / انعكاس $ mathbf V ^ T $ (الذي لا يغير شيئًا بصريًا) ، مقياس على طول محاور الإحداثيات $ bf Sigma $ (بحيث تكون محاور القطع الناقص مداخلها القطرية ، على النحو الوارد أعلاه) ودوران / انعكاس آخر $ bf U $ (الذي لا يغير أطوال المحور). يتم تصور هذا أدناه ، حيث تكون الأسهم المعروضة أقطارًا مترافقة للقطع الناقص الناتج: في الواقع ، تكتشف هذه الطريقة أكثر من مجرد أطوال المحور. افترض أن أعمدة $ bf A $ تمثل أي زوج من نواقل نصف القطر المترافقة للقطع الناقص. ثم أعمدة $ bf U Sigma $ هي عمودي اقتران نصف القطر ، وبالتالي ناقلات شبه المحور، لنفس القطع الناقص.


    الفصل 1 التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات ومصفوفة التغاير

    يتم استخدام القطع الناقص () من القطع الناقص (Murdoch and Chow 2020) لإنشاء بيانات القطع الناقص بناءً على مصفوفة الارتباط / التغاير.

    س: رقم واحد ، ارتباط المتغيرين.

    مقياس: ناقلات ، الانحراف المعياري من المتغيرين.

    المركز: متجه ، مركز القطع الناقص ، أي المتجه المتوسط ​​للتوزيع الطبيعي ثنائي المتغير.

    المستوى: رقم واحد ، احتمالية الكفاف.

    npoints: عدد النقاط المستخدمة لرسم المحيط.

    إرجاع القطع الناقص ملف مصفوفة مع خافت (n نقاط (مرات ) 2) ، والتي يمكن استخدامها لرسم المحيط.

    1.1.2 توليد البيانات

    تُستخدم حلقة for أدناه لإنشاء إطار بيانات بثلاثة أعمدة (متغيرات):

    العمود 1: المتغير الأول للدالة العادية ثنائية المتغير ( (x_1 ))

    العمود 2: المتغير الثاني للدالة العادية ثنائية المتغير ( (x_2 ))

    العمود 3: الكفاف الذي ينتمي إليه (x_1 ) & amp (x_2 ) في نفس الصف.


    12.1: القطع الناقص

    القطع الناقص مجموعة النقاط في المستوى التي يكون مجموع مسافاتها من نقطتين ثابتتين هو ثابت موجب. هي مجموعة النقاط في المستوى التي يكون للمسافات من نقطتين ثابتتين ، تسمى البؤر ، مجموع يساوي ثابتًا موجبًا. بمعنى آخر ، إذا كانت النقطتان F 1 و F 2 هي البؤرتان (جمع التركيز) وكان d هو بعض الثابت الإيجابي المعطى ، فإن (x ، y) هي نقطة على القطع الناقص إذا كانت d = d 1 + d 2 كما هو موضح في الصورة أدناه:

    بالإضافة إلى ذلك ، يمكن تشكيل القطع الناقص عن طريق تقاطع مخروط مع مستوى مائل لا يوازي جانب المخروط ولا يتقاطع مع قاعدة المخروط. تسمى النقاط الموجودة على هذا الشكل البيضاوي حيث تكون المسافة بينهما بحد أقصى رؤوس النقاط الموجودة على القطع الناقص التي تحدد نقاط نهاية المحور الرئيسي. وحدد المحور الرئيسي مقطع خط من خلال مركز القطع الناقص المحدد بنقطتين على القطع الناقص حيث تكون المسافة بينهما قصوى. . مركز القطع الناقص هو نقطة المنتصف بين القمم. المحور الصغرى: القطعة المستقيمة عبر مركز القطع الناقص المحدد بنقطتين على القطع الناقص حيث تكون المسافة بينهما هي الحد الأدنى. هي القطعة المستقيمة في مركز القطع الناقص المحدد بنقطتين على القطع الناقص حيث تكون المسافة بينهما على الأقل. تسمى نقاط نهاية المحور الثانوي بالرؤوس المشتركة النقاط الموجودة على القطع الناقص التي تحدد نقاط نهاية المحور الثانوي. .

    إذا كان المحور الرئيسي للقطع الناقص موازيًا لـ x-المحور في مستوى إحداثيات مستطيل ، نقول أن القطع الناقص أفقي. إذا كان المحور الرئيسي موازيًا لملف ذ-المحور ، نقول أن القطع الناقص عمودي. في هذا القسم ، نحن مهتمون فقط برسم هذين النوعين من الأشكال البيضاوية. ومع ذلك ، فإن القطع الناقص يحتوي على العديد من التطبيقات الواقعية ويتم تشجيع المزيد من البحث حول هذا الموضوع الغني. في المستوى الإحداثي المستطيل ، حيث يكون مركز القطع الناقص الأفقي (h ، k) ، لدينا

    كما في الصورة a & gt b حيث أ، نصف طول المحور الرئيسي ، يسمى نصف القطر الرئيسي نصف طول المحور الرئيسي. . و ب، نصف طول المحور الثانوي ، يسمى نصف القطر الصغير نصف طول المحور الثانوي. . معادلة القطع الناقص في الشكل القياسي معادلة القطع الناقص مكتوبة بالصيغة (x - h) 2 a 2 + (y - k) 2 b 2 = 1. المركز هو (ح ، ك) والأكبر من أ و ب هو نصف القطر الرئيسي والأصغر هو نصف القطر الأصغر. يتبع:

    (س - ح) 2 أ 2 + (ص - ك) 2 ب 2 = 1

    الرؤوس هي (ح ± أ ، ك) و (ح ، ك ± ب) ويعتمد الاتجاه على أ و ب. إذا كان a & gt b ، فسيكون القطع الناقص أفقيًا كما هو موضح أعلاه وإذا كان a & lt b ، يكون القطع الناقص عموديًا ب يصبح نصف القطر الرئيسي. ما رأيك يحدث عندما أ = ب؟


    السؤال رقم 1.
    أوجد معادلات المماسين اللذين يمكن استخلاصهما من (5، 2) إلى القطع الناقص 2x 2 + 7y 2 = 14.
    حل:
    2 س 2 + 7 ص 2 = 14
    (÷ بمقدار 14) ⇒ ( frac> <7> + frac><2>) = 1
    مقارنة هذه المعادلة بـ ( frac>> + فارك>>) = 1
    نحصل على 2 = 7 و ب 2 = 2
    ستكون معادلة الظل للقطع الناقص أعلاه بالشكل
    ص = mx + ( sqrt م ^ <2> + ب ^ <2>> ) ⇒ y = mx + ( sqrt <7 m ^ <2> +2> )
    هنا يتم رسم الظل من النقطة (5 ، 2)
    ⇒ 2 = 5m + ( sqrt <7 m ^ <2> +2> ) ⇒ 2 & # 8211 5m = ( sqrt <7 m ^ <2> +2> )
    تربيع على كلا الجانبين نحصل
    (2 & # 8211 5 م) 2 = 7 م 2 + 2
    25 م 2 + 4 & # 8211 20 م & # 8211 7 م 2 & # 8211 2 = 0
    18 م 2 & # 8211 20 م + 2 = 0
    (÷ بمقدار 2) ⇒ 9 م 2 & # 8211 10 م + 1 = 0
    (9 م & # 8211 1) (م & # 8211 1) = 0
    & # 8216 م = 1 (أو) م = 1/9
    عندما تكون م = 1 ، تكون معادلة الظل
    ص = س + 3 أو س & # 8211 ص + 3 = 0
    عندما تكون m = ( frac <1> <9> ) تكون معادلة الظل 9
    ص = (= فارك<9>+sqrt <81> +2> ) (أي) y = ( frac<9>+frac<13> <9> )
    9y = x + 13 أو x & # 8211 9y + 13 = 0

    السؤال 2.
    أوجد معادلات مماسات القطع الزائد ( frac> <16> - frac> <64> ) = 1 وهي موازية لـ 10x & # 8211 3y + 9 = 0.
    حل:
    ( فارك> <16> - frac><64>) = 1
    هنا 2 = 16 و ب 2 = 64
    ستكون معادلة الظل بالصيغة y = mx ± ( sqrt م ^ <2> -ب ^ <2>> )
    (على سبيل المثال ،) y = mx ± ( sqrt <16 m ^ <2> -64> )
    حيث & # 8216m & # 8217 هو منحدر الظل.
    علمنا هنا أن الظلال موازية لـ 10x & # 8211 3y + 9 = 0
    لذا فإن ميل المماس سيكون متساويًا مع ميل الخط المعطى

    السؤال 3.
    بيّن أن الخط x & # 8211 y + 4 = 0 هو مماس للقطع الناقص x 2 + 3y 2 = 12. أوجد أيضًا إحداثيات نقطة الاتصال.
    حل:
    القطع الناقص المعطى هو x 2 + 3y 2 = 12
    (÷ بمقدار 12) ⇒ ( frac> <12> + frac><4>) = 1
    (على سبيل المثال ،) هنا 2 = 12 و ب 2 = 4
    الخط المعطى هو x & # 8211 y + 4 = 0
    (على سبيل المثال ،) y = x + 4
    مقارنة هذا الخط بـ y = mx + c
    نحصل على م = 1 وج = 4
    شرط الخط y = mx + c
    ليكون مماساً للقطع الناقص ( frac>> + فارك>> ) = 1 هو c 2 = a 2 m 2 + b 2
    LHS = ص 2 = 4 2 = 16
    RHS: أ 2 م 2 + ب 2 = 12 (1) 2 + 4 = 16
    LHS = RHS الخط المعطى ظل للقطع الناقص. أيضا نقطة الاتصال
    ( يسار ( فارك <-a ^ <2> م>، فارك> يمين) = يسار [- يسار ( فارك <12 (1)> <4> يمين) ، فارك <4> <4> يمين] ) (أي) (-3 ، 1)

    السؤال 4.
    أوجد معادلة المماس للقطع المكافئ y 2 = 16x عموديًا على 2x + 2y + 3 = 0
    حل:
    ص 2 = 16 س
    مقارنة هذه المعادلة بـ y 2 = 4ax
    نحصل على 4 أ = 16 ⇒ أ = 4
    ستكون معادلة المماس للقطع المكافئ y 2 = 16x بالصيغة

    إذن م = 1
    ⇒ ستكون معادلة الظل y = 1 (x) + ( frac <4> <1> ) (أي) y = x + 4
    (أو) x & # 8211 y + 4 = 0

    السؤال 5.
    أوجد معادلة المماس عند t = 2 أس القطع المكافئ y 2 = 8x. (تلميح: استخدم الصيغة البارامترية)
    حل:
    ص 2 = 8 س.
    مقارنة هذه المعادلة بـ y 2 = 4ax
    نحصل على 4 أ = 8 ⇒ أ = 2
    الآن ، الصيغة البارامترية لـ y 2 = 4ax هي x = عند 2 ، y = 2at
    هنا a = 2 و t = 2
    ⇒ س = 2 (2) 2 = 8 وص = 2 (2) (2) = 8
    إذن النقطة هي (8 ، 8)
    الآن eqution of tangent to y 2 = 4 ax عند (x1، ذ1) هو yyy1 = 2 أ (س + س1)
    هنا (x1، ذ1) = (8 ، 8) و أ = 2
    إذن ، معادلة الظل هي y (8) = 2 (2) (x + 8)
    (على سبيل المثال ،) 8 ص = 4 (س + 8)
    (÷ بمقدار 4) ⇒ 2y = x + 8 ⇒ x & # 8211 2y + 8 = 0
    لتر
    معادلة الظل للقطع المكافئ y 2 = 4ax عند & # 8216t & # 8217 هي
    yt = x + في 2
    هنا t = 2 و a = 2
    إذن معادلة الظل هي
    (على سبيل المثال ،) y (2) = x + 2 (2) 2
    2 ص = س + 8 ⇒ س & # 8211 2 ص + 8 ​​= 0

    السؤال 6.
    أوجد معادلات الظل والعادي للقطع الزائد 12x 2 & # 8211 9y 2 = 108 عند θ = ( frac < pi> <3> ).
    (تلميح: استخدم الصيغة البارامترية)
    حل:
    12x 2 & # 8211 9y 2 = 108

    عادي هو خط عمودي على المماس
    إذن ستكون المعادلة العادية بالصورة 3 س + 4 ص + ك = 0
    يتم رسم الوضع الطبيعي عند (6 ، 6)
    ⇒ 18 + 24 + ك = 0 ⇒ ك = & # 8211 42
    إذن ، معادلة الوضع الطبيعي هي 3x + 4y & # 8211 42 = 0

    السؤال 7.
    إثبات أن نقطة تقاطع الظل عند & # 8216t1& # 8216 و ر2"على القطع المكافئ y 2 = 4ax هو [at1 ر2، في1 + ر2)].
    حل:
    تُعطى معادلة الظل لـ y 2 = 4ax عند & # 8216t & # 8217 بواسطة yt = x + عند 2
    إذن معادلة الظل عند & # 8216t1& # 8216 هو yt1 = س + في1 2
    ومعادلة الظل عند & # 8216t2& # 8216 هو yt2 = س + في2 2
    لإيجاد نقطة التقاطع ، علينا حل المعادلتين

    Samacheer Kalvi 12th Maths Solutions الفصل 5 الهندسة التحليلية ثنائية الأبعاد & # 8211 II Ex 5.4 أسئلة إضافية

    السؤال رقم 1.
    أوجد معادلات المماس والخط العادي للقطوع المكافئة: x 2 + 2x & # 8211 4y + 4 = 0 at (0، 1)
    حل:

    السؤال 2.
    أوجد معادلات الظل والعادي للقطع المكافئ y 2 = 8x عند t = ( frac <1> <2> )
    حل:


    ∴ معادلة المماس هي 2x & # 8211 y + 1 = 0 والمعادلة العادية هي 2x + 4y & # 8211 9 = 0

    السؤال 3.
    أوجد معادلات المماس: للقطع المكافئ y 2 = 6x ، الموازي لـ 3x & # 8211 2y + 5 = 0
    حل:


    ∴ معادلة الظل هي 3x & # 8211 2y + 2 = 0

    السؤال 4.
    أوجد معادلات المماس: للقطع المكافئ 4x 2 & # 8211 y 2 = 64 التي توازي 10x & # 8211 3y + 9 = 0.
    حل:

    السؤال 5.
    أوجد معادلة المماس من النقطة (2، -3) إلى القطع المكافئ y 2 = 4x.
    حل:
    ص 2 = 4x
    ستكون معادلة الظل للقطع المكافئ بالصيغة y = (m x + frac <1>)
    الظلال تمر من خلال (2 ، -3)


    المماسات المستمدة من (2 ، -3) هي x + y + 1 = 0 ، x + 2y + 4 = 0

    السؤال 6.
    أوجد معادلة المماس من النقطة (2، -3) إلى القطع المكافئ 2x 2 & # 8211 3y 2 = 6
    حل:
    2x 2 & # 8211 3y 2 = 6

    السؤال 7.
    أثبت أن الخط 5x + 12y = 9 يلمس القطع الزائد x 2 & # 8211 9y 2 = 9 وابحث عن نقطة الاتصال.
    حل:

    (1) = (2) ⇒ الخط المعطى هو مماس للمنحنى ، أي أن الخط المعطى يلامس المنحنى. للعثور على نقطة الاتصال ، يتعين علينا حل الخط والمنحنى.
    الخط المعطى 5 س + 12 ص = 9

    السؤال 8.
    بيّن أن الخط x & # 8211 y + 4 = 0 هو مماس للقطع الناقص x 2 + 3y 2 = 12. أوجد إحداثيات نقطة الاتصال.
    حل:
    القطع الناقص المعطى هو x 2 + 3y 2 = 12
    الخط المعطى هو x & # 8211 y + 4 = 0 y = x + 4
    هنا ، م = 1 و ج = 4
    شرط أن يكون الخط y = mx + c مماسًا للقطع الناقص

    RHS: أ 2 م 2 + ب = 12 (1) + 4 = 16
    LHS: RHS الخطوط المعطاة هي مماس للقطع الناقص.


    الأخبار والصحافة أمبير

    يقع Ellipse على الواجهة البحرية لمدينة Jersey City وحي rsquos المزدهر في نيوبورت ، وقد رفع مستوى المعيشة الفاخرة في مدينة جيرسي ، ويضم شققًا فسيحة على الواجهة البحرية ووسائل راحة على طراز مانهاتن. يعد المشروع السكني الفاخر ، الذي تم تصميمه من قبل شركة التصميم المشهود لها دوليًا Arquitectonica ، موطنًا لحوض سباحة جميل على السطح يوفر للمقيمين إطلالة مثيرة وفريدة من نوعها على أفق مانهاتن. المساحة كاملة مع شوايات الشواء وكراسي الاسترخاء لامتصاص أشعة الشمس. إنه و rsquos الموقع المثالي للاستمتاع ببقية الصيف.

    تقع Laguna على الواجهة البحرية لمدينة Jersey City وحي rsquos المزدهر في Newport ، وتجمع بين العيش على الواجهة البحرية والمنازل الفسيحة بشكل لا يصدق ، وكلها على مساحة خضراء مرغوبة. تضع لاجونا السكان مباشرة على الجانب الآخر من Newport Green ، الحديقة المورقة التي تبلغ مساحتها 4.25 فدان والتي صممها Mathews Nielsen Landscape Architects والتي توفر وسائل الراحة الممتعة بما في ذلك ملعب العشب والمروج المفتوحة وطاولات البينغ بونغ الخارجية ومسارات الحدائق النباتية والملاعب وساحة النافورة ، دائري ، مقاعد البدلاء ، شبكة Wi-Fi مجانية والمزيد.

    يعلو Ellipse المكون من 42 طابقًا سطح مسبح واسع يطل على نهر Hudson يوفر محطات شواء ومناطق صالة وإطلالات خلابة على Lower Manhattan. في الداخل ، تستفيد الشقق والصالة ومركز اللياقة البدنية أيضًا من مناظر المدينة.

    يقع Ellipse على الواجهة البحرية لمدينة Jersey City و rsquos في حي Newport المزدهر وصممته شركة التصميم المشهورة عالميًا Arquitectonica ، وقد رفع مستوى المعيشة الفاخرة في مدينة جيرسي ، مع منازل واسعة على الواجهة البحرية ووسائل راحة على طراز مانهاتن. بالنسبة لأولئك الذين يتنقلون إلى مانهاتن ولكنهم يبحثون عن بديل للطريق ، يوفر نيوبورت وصولاً سهلاً إلى طريق نيويورك المائي إلى وسط مانهاتن ، وهو رحلة ممتعة في الهواء الطلق النقي.

    بالنسبة لأولئك الذين يتنقلون إلى مانهاتن ولكنهم يبحثون عن بديل للطريق ، يوفر نيوبورت وصولاً سهلاً إلى طريق نيويورك المائي إلى وسط مانهاتن ، وهو رحلة ممتعة في الهواء الطلق النقي.

    يقع Ellipse على الواجهة البحرية لحي Jersey City و rsquos المزدهر في Newport وصممته شركة التصميم المشهورة عالميًا Arquitectonica ، وقد رفع مستوى المعيشة الفاخرة في مدينة جيرسي ، مع منازل على الواجهة البحرية ووسائل راحة على طراز مانهاتن. جوهرة أخرى في نيوبورت ، لاجونا تجمع بين العيش على الواجهة البحرية ووسائل الراحة المرغوبة والمنازل الفسيحة بشكل لا يصدق.

    إلى أين أذهب ، وكيف تتعلم التزلج

    قد لا تكون حلبة التزلج Newport Skates & # 39 هي الأكبر في الولاية ، لكنها بالتأكيد تتمتع بإطلالة رائعة!

    بالقرب من مانهاتن ويمكن الوصول إليها بسهولة عن طريق وسائل النقل العام ، تعد Jersey City بديلاً جيدًا للمشترين الذين تقل أسعارهم عن مدينة نيويورك.

    مع العودة إلى المدرسة في الجلسة والسقوط الكامل في التأرجح ، يبحث الآباء في جميع أنحاء المدينة عن برامج ما بعد المدرسة التي يمكن أن تساعد في منح أطفالهم دفعة إضافية. تتوق العائلات إلى الحصول على مساعدة إضافية دون عبء التنقلات المرهقة ، فما الذي يمكن أن يكون أفضل من مراكز التعلم الاستثنائية التي تقع خارج عتبة داركم مباشرةً؟

    في جميع أنحاء الحي الرائع على الواجهة البحرية لمدينة Jersey City و rsquos ، تقوم العديد من التطورات السكنية في نيوبورت ببرمجة صالات المقيمين الخاصة بها مع أحداث خاصة مثل دروس الطبخ ودروس Mixology ودروس صنع السوشي.

    ربما لن تشعر بالملل أبدًا في مدينة نيويورك. مع وجود أشياء لا حصر لها للقيام بها ورؤيتها ، تعد مدينة نيويورك بالتأكيد واحدة من أكثر الأماكن الاجتماعية للعيش فيها. لطالما كانت مدينة جيرسي نقطة ساخنة في مجال العقارات ، ولم تعد نيوبورت غريبة عن تقديم أفضل ما في كل شيء لسكانها

    تصل الأطعمة الصحية بالفواكه إلى نيوبورت. يتمتع سكان نيوبورت بمكان جديد للحصول على نقلة يومية. تم افتتاح Frutta Bowls Jersey City رسميًا في 100 Town Square Place.

    يقع برج تأجير Ellipse أسفل الساحل في مدينة Jersey City وحي rsquos Newport (اسم آخر يعود إلى روعة المال القديم). تحدد لوحة جدارية في الردهة النية الصريحة لتمييز وصول كبير على قيد الحياة حرفيًا ، مشهد بحار يعبر نهر هدسون إلى نيوبورت من مانهاتن مصنوع بالكامل من جدار أخضر حي. مع نمو النباتات جنبًا إلى جنب مع الحي ، ستزداد حيوية اللوحة الجدارية بشكل متزايد.

    تمتد اللوحة الجدارية الخضراء الحية على الحائط بالكامل ، وهي تصور مشهدًا لبحار يعبر نهر هدسون بين مانهاتن ونيوبورت.

    بينما تحصل الشقق على معظم الفضل لامتلاكها وسائل راحة مذهلة ، فإن عددًا من مشاريع الإيجار في جميع أنحاء البلاد ترفعها إلى مستوى مع حمامات سباحة مذهلة.

    انطلق في نزهة واستمتع بالاسترخاء المطلق في نيوبورت جرين ، الذي يقع في حي نيوبورت النابض بالحياة في جيرسي سيتي.

    اجتذب NYRR Fiesta 5K أكثر من 5500 عداء

    تتميز المساحة التي تبلغ مساحتها 4000 قدم مربع بتفاصيل مستقبلية مثل جدران الضغط التفاعلية التي تعمل باللمس وجدران العرض التي يتحكم فيها iPad ونموذج تفاعلي ثلاثي الأبعاد ضخم ومفصل للغاية للمجتمع

    هوبوكين وجيرسي سيتي هما مدينتا جيرسي الأكثر دراية بسكان نيويورك ، وذلك بفضل قربهما وسهولة الوصول عبر نهر هدسون ، على الأقل بالاسم.

    تغييرات كبيرة قادمة في النصف الجديد من Newport لعام 2019. ما تحتاج إلى معرفته!

    بعد العمل من واجهة متجر أصغر عند سفح شارع جروف على مدى السنوات الـ 13 الماضية ، بدأ مطعم مكسيكي محلي آخر مساعيه في مساحة ضخمة في مدينة جيرسي التي تقع قبالة نهر هدسون مباشرة.

    مشهد تناول الطعام في نيوبورت ورسكووس يزداد سخونة وسخونة.

    أين تنتقل في جيرسي سيتي: أفضل الأحياء والصفقات والمزيد للمستأجرين والمشترين

    تنتشر New York Road Runners أجنحتها إلى Jersey City - Newport Fiesta 5K المقرر يوم 4 مايو.

    يُعاد افتتاح المطعم الأكثر شيوعًا في جيرسي سيتي الليلة ويشعر عشاق باتيلو بمفاجأة.

    حافظ على الدفء في نهاية هذا الأسبوع مع بعض أطباق سيتشوان الحارة.

    يقع على الواجهة البحرية لحي Jersey City & rsquos Newport وتم تصميمه من قبل شركة التصميم المشهود لها دوليًا Arquitectonica ، في LeFrak & rsquos برج تأجير Ellipse & rsquos ، يتم استقبال السكان بجدار أخضر ضخم يمتد على جدار كامل في الردهة التي تعمل على مدار 24 ساعة. لوحة جدارية حية ، يصور الجدار الأخضر مشهدًا لبحار يعبر نهر هدسون بين مانهاتن ونيوبورت ، وهو مشهد سيصبح أكثر حيوية وتعقيدًا مع مرور الوقت مع استمرار نمو النباتات.

    نظرًا لتزايد عدد سكان المدينة ورسكووس وإعادة رسم أفقها مع ارتفاعات شاهقة جديدة على مدار العقد الماضي ، يختار العزاب والأزواج الذين انتقلوا إلى هناك عندما كانوا صغارًا البقاء وتربية العائلات.

    في غضون عام واحد فقط من إطلاق المبنى ورقم 39 ، برج تأجير Jersey City & rsquos لتسجيل الأرقام القياسية القطع الناقص مؤجر بالكامل الآن. صنع البرج المكون من 41 طابقًا التاريخ والعناوين الرئيسية عندما أطلق أغلى إيجار منفرد في جيرسي سيتي حتى الآن ، وهو بنتهاوس مع مناظر خلابة للمدينة مقابل 11000 دولار شهريًا ، واستأجره في اليوم الذي وصل فيه إلى السوق.

    يعلو Ellipse سطح مسبح واسع يطل على نهر Hudson يوفر محطات شواء ومناطق صالة وإطلالات خلابة على Lower Manhattan. في الداخل ، تستفيد الشقق والصالة ومركز اللياقة البدنية أيضًا من مناظر المدينة.

    يقع أيضًا على الواجهة البحرية لنيوبورت ، تم تصميم برج LeFrak & rsquos للإيجار Ellipse بواسطة Arquitectonica. تتميز صالة الألعاب الرياضية الحديثة الخاصة بها بإطلالات شاملة على أفق مانهاتن ، جنبًا إلى جنب مع أفضل الآلات في فئتها ومساحة للتمدد وأعمال الأرضيات. هناك & rsquos أيضا سطح حمام سباحة في الهواء الطلق.

    تقع نيوبورت على مساحة 600 فدان على طول نهر هدسون في جيرسي سيتي ، وهي أكبر مجتمع متعدد الاستخدامات على الواجهة البحرية في الولايات المتحدة. واحدة من أكثر الإضافات الجديدة المتوقعة في المنطقة و rsquos هي Ellipse ، وهي عبارة عن تطوير إيجار فاخر مكون من 381 وحدة صممه Arquitectonica.

    أحدث ناطحات السحاب LeFrak & rsquos في Jersey City هو برج إيجار فخم جزئيًا ، وجزء من المحيط.

    كشفت LeFrak النقاب عن قائمة طويلة من وسائل الراحة في Ellipse ، برجها السكني الراقي الجديد المكون من 41 طابقًا في قسم نيوبورت في جيرسي سيتي.

    تلقى موقع MillionDollarVillas.com تحديثًا فيما يتعلق بوسائل الراحة الفاخرة والفاخرة للغاية في The Ellipse ، وهو مبنى شاهق الإيجار عالي الجودة في نيوبورت وجيرسي سيتي وحي rsquos على الواجهة البحرية.

    ظهر البرج المكون من 41 طابقًا ، والذي عرضته صحيفة نيويورك تايمز ، لأول مرة في أبريل الماضي باستوديوهات تكسبت 2600 دولار شهريًا. بعد ما يقرب من 10 أشهر ، أصبح المبنى المكون من 381 وحدة قريبًا من السعة مع وجود عدد قليل من الوحدات المكونة من غرفة نوم واحدة وغرفتي نوم وبنتهاوس.

    موطنًا لأغلى تأجير مدينة Jersey City و rsquos ، يعرض المبنى المكون من 41 طابقًا والمعروف باسم The Ellipse الآن مساحات الراحة الخاصة به.

    موطنًا لأغلى تأجير مدينة Jersey City و rsquos ، يعرض المبنى المكون من 41 طابقًا والمعروف باسم The Ellipse الآن مساحات الراحة الخاصة به. قام مطور المشروع LeFrak بمشاركة مجموعة من الصور مع Curbed والتي تعطينا نظرة خاطفة على مجموعة كبيرة من وسائل الراحة التي يقدمها هذا المبنى المصمم من قبل Arquitectonica.

    أغلى وحدة إيجار في تاريخ مدينة جيرسي ، بنتهاوس 5 في Ellipse ، هي شقة من أربع غرف نوم مساحتها 2300 قدم مربع مع إطلالات جنوبية رائعة على نهر هدسون وأفق مانهاتن.

    وصل البنتهاوس الذي تبلغ مساحته 2300 قدم مربع ، والذي يقع في برج الإيجار الفاخر الجديد المكون من 41 طابقًا والمعروف باسم The Ellipse ، إلى السوق الأسبوع الماضي وطلب 10995 دولارًا شهريًا. تعد المساحة المكونة من أربع غرف نوم وأربعة حمامات واحدة من خمسة بنتهاوس في المبنى ، وتوفر إطلالات خلابة على مانهاتن وواجهة هدسون البحرية.

    لا تعاني جيرسي سيتي من نقص في الأبراج الشاهقة الفاخرة ، لكن شقة واحدة في نيوبورت تسجل رقمًا قياسيًا جديدًا عندما يتعلق الأمر بالفخامة.

    بسعر 10995 دولارًا أمريكيًا في الشهر ، فاز بنتهاوس 5 في Ellipse الذي تم افتتاحه حديثًا بكونه أغلى إيجار في Jersey City & rsquos.

    تحتوي الشقة التي تبلغ مساحتها 2300 قدم مربع على أربع غرف نوم و 3.5 حمامات وإطلالات بانورامية على أفق هدسون ونيويورك. نظرًا لتصميم Ellipse & rsquos الفريد ، فإن البنتهاوس لديها مخطط أرضي غير تقليدي (أي مستطيل). ومع ذلك ، يحتوي المنزل المذهل على شرفة خاصة ونوافذ ممتدة من الأرض حتى السقف وأرضيات من خشب البلوط الصلب ويتميز بجميع وسائل الراحة الفاخرة التي تأتي مع المعيشة في Ellipse المكون من 41 طابقًا.

    وفقًا لـ Ellipse ، تتميز الوحدة الموجودة في الطابق العلوي بإطلالات ممتدة من الأرض حتى السقف ومناطق كبيرة للمعيشة وتناول الطعام ، بالإضافة إلى نوع وسائل الراحة التي يتوقعها المرء: أرضيات خشبية صلبة في جميع الأنحاء وأجهزة من الفولاذ المقاوم للصدأ ذات رف علوي وخدمة الواي فاي المجانية.

    في الآونة الأخيرة ، حقق المبنى معلمًا جديدًا ورائعًا: بنتهاوس فايف ، وهو عبارة عن أربع غرف نوم وأربعة حمامات بمساحة 2300 قدم مربع ، هو أغلى قائمة إيجارية في تاريخ جيرسي سيتي & # 39s بسعر 10995 دولارًا أمريكيًا في الشهر.

    أغلى قائمة إيجارات في تاريخ Jersey City وصلت رسميًا إلى السوق في Ellipse بسعر طلب مرتفع يبلغ 10995 دولارًا شهريًا. تنتشر بنتهاوس فايف على مساحة 2300 قدم مربع من منطقة المعيشة ، وتوفر 4 غرف نوم و 4 حمامات وشرفة خاصة. إجمالاً ، يضم Ellipse 5 وحدات بنتهاوس مختلفة. Ellipse هو برج إيجار فاخر مكون من 41 طابقًا في مدينة جيرسي ، تم تطويره بواسطة LeFrak ويمثل أول مشروع من تصميم Arquitectonica في مدينة جيرسي. يقع البرج في حي نيوبورت الساخن على الواجهة البحرية لنهر هدسون ، ويضم 381 وحدة سكنية للإيجار مع إطلالات على نهر هدسون وأفق مانهاتن.

    من المتوقع أن تظل أسعار وسط لندن ثابتة نسبيًا في عام 2018 ، ثم تبدأ في الارتفاع في عام 2019 ، مما يوفر فرصة للمستثمرين.

    سابق منزل صغير على المرج نجم طفل ميليسا فرانسيس اشترى منزلًا أكبر في البراري.

    أغلى قائمة إيجارية في تاريخ Jersey City & rsquos وصلت للتو إلى السوق بسعر 10995 دولارًا شهريًا ، كما تعلم The Real Deal.

    الوحدة هي الأكبر من بين خمس بنتهاوس في Ellipse و LeFrak Organization و rsquos المكون من 41 طابقًا في برج بيضاوي الشكل في حي نيوبورت. تبلغ مساحة الشقة ذات الطابق الكامل 2300 قدم مربع وتحتوي على أربع غرف نوم وأربعة حمامات وشرفة تطل على مانهاتن.

    أغلى قائمة إيجارية في جيرسي سيتي هي شقة بنتهاوس تبلغ قيمتها 10995 دولارًا شهريًا على الواجهة البحرية ، وفقًا للتقارير. دخلت الوحدة السوق هذا الأسبوع وهي الأكبر من بين خمس بنتهاوس في برج Ellipse الذي يضم 41 طابقًا لمنظمة LeFrak Organization & # 39s. تحتوي الشقة التي تبلغ مساحتها 2300 قدم مربع على تراس يطل على مانهاتن ونهر هدسون ، وتشمل وسائل الراحة مثل مسبح في الهواء الطلق ومركز للياقة البدنية وغرفة ألعاب ، وفقًا لـ The Real Deal.

    واحد من أحدث التطورات الفاخرة في Jersey City & rsquos ، وهو مبنى إيجار مكون من 41 طابقًا صممه Arquitectonica واسمه Ellipse ، وهو موطن رسمي لأغلى إيجار في حي rsquos.

    بنتهاوس فايف ، مسكن مكون من أربع غرف نوم و 3.5 حمام ، والذي يشمل 2300 قدم مربع ، قد وصل إلى السوق مقابل 10995 دولارًا أمريكيًا في الشهر. الشقة هي واحدة من خمس بنتهاوس باهظة الثمن ولكنها بلا شك الأكثر فخامة من بينها وتحتل زاوية من المبنى المستطيل الشكل والطابق العلوي rsquos. تشمل ميزاته مساحة كبيرة للمعيشة وتناول الطعام وأرضيات من خشب البلوط الصلب في جميع الأنحاء ونوافذ ممتدة من الأرض حتى السقف تطل على نهر هدسون وأفق مانهاتن ورسكووس.

    تقوم مدينة جيرسي بتحويل غير تدريجي من الشجاعة إلى التجديد. لقد حصلت على الأجواء المثيرة ، والتنوع العرقي ، وحتى العقارات المتألقة في مانهاتن ، ولكن بدون علامة السعر الخاطفة من خلال أصابعك. تتمتع مدينة Jersey City بمناظر خلابة ، ولكن في هذه الأيام من المحتمل أن تقوم بمهمة مزدوجة ، ربما لفترة طويلة ، عندما تنظر إلى الغرب من جانب نيويورك من Hudson.موطن مبنى Goldman Sachs ، الذي يبلغ ارتفاعه 238 مترًا ، يستمر أفق Jersey City & # 39s في الظهور ويقطع مشهدًا مثيرًا للإعجاب.

    تم تسمية Ellipse لشكلها البيضاوي ، وهي تقف بعيدًا عن معاصريها على طول الواجهة البحرية لمدينة Jersey City بشكل بيضاوي مميز وزجاج fa & ccedilade. مستوحاة من موقعها المثالي على نهر هدسون ، صممت Arquitectonica المبنى لتعظيم إمكانات تخطيطات 381 شقة وإطلالاتها التي لا تضاهى على أفق مانهاتن.

    أصدر برج Ellipse ، المصمم من قبل Arquitectonica ، والمكون من 41 طابقًا ، للإيجار الفاخر في مدينة جيرسي لقطات جديدة لطائرات بدون طيار لم يسبق لها مثيل. تم تطوير Ellipse بواسطة LeFrak وتمثل أول مشروع لـ Arquitectonica & # 39s في مدينة جيرسي. يقع البرج في حي نيوبورت الساخن على الواجهة البحرية لنهر هدسون ، ويضم 381 وحدة سكنية للإيجار مع إطلالات على نهر هدسون وأفق مانهاتن. تتراوح الوحدات بين استوديوهات و 3 غرف نوم مع 5 بنتهاوس ، اثنتان منها 4 غرف نوم.

    أعلنت شركة LeFrak عن بدء أولى عمليات الانتقال في Ellipse ، وهو برج إيجار فاخر مكون من 42 طابقًا في مدينة Jersey City ومجتمع rsquos Newport. تقوم LeFrak بتطوير حي Newport لأكثر من 30 عامًا ، و Ellipse هو المشروع الرئيسي للشركة و rsquos. منذ إطلاق التأجير في أبريل ، تم تأجير المبنى بنسبة 60 بالمائة تقريبًا.

    بعد تطوير العقارات في حي جيرسي سيتي & # 39s نيوبورت لأكثر من ثلاثة عقود ، سلمت LeFrak الآن مشروعها المرساة المكون من 42 طابقًا. بدأ المستأجرون الانتقال إلى Ellipse المصمم من قبل Arquitectonica ، وهو برج إيجار فاخر يطل على نهر هدسون وأفق مانهاتن.

    بدأ التأجير في المبنى في أبريل وبدأ السكان في الانتقال إلى البرج المكون من 42 طابقًا الأسبوع الماضي.

    صممه Arquitectonica ، البرج البيضاوي الشكل وموقع rsquos و mdash في نهاية 25 Park Lane South و mdash يمنحه ميزة على المباني الفخمة الأخرى لأن مناظره في نيويورك غير محظورة تمامًا.

    أعلنت LeFrak الأسبوع الماضي (7 سبتمبر 2017) أن أولى عمليات الانتقال قد بدأت في Ellipse ، برج الإيجار الفاخر المكون من 42 طابقًا في مدينة جيرسي و rsquos المزدهر في مجتمع نيوبورت. منذ إطلاق التأجير في أبريل ، كانت الاستجابة سريعة ، حيث تم تأجير ما يقرب من 60٪ من المبنى.

    LeFrak & rsquos أحدث برج تأجير فاخر في نيوبورت ، نيو جيرسي ، ما يقرب من 60 ٪ مؤجر ، متاح الآن للإشغال الفوري

    أعلنت شركة LeFrak اليوم عن بدء أولى عمليات الانتقال في Ellipse ، وهو برج إيجار فاخر مكون من 42 طابقًا في مدينة جيرسي ومجتمع rsquos المزدهر في نيوبورت. تقوم LeFrak بتطوير حي Newport لأكثر من 30 عامًا ، و Ellipse هو المشروع الرئيسي للشركة و rsquos ، مما يدل على زخم الموقع. منذ إطلاق التأجير في أبريل ، كانت الاستجابة سريعة ، حيث تم تأجير ما يقرب من 60٪ من المبنى.

    بعد بضعة أشهر من بدء التأجير في Ellipse ، جوهرة التاج المكونة من 42 طابقًا لإمبراطورية Lefrak & rsquos Jersey City ، بدأت أولى عمليات الانتقال. سرعان ما جذب المبنى المصمم من قبل Arquitectonica و rsquos شكل بيضاوي مميز وزجاج مدهش و ccedilade الانتباه ، لكن جمال هذا المبنى ليس عميقًا. ولّدت الشقق الفاخرة وحزمة وسائل الراحة الشاملة والموقع المركزي استجابة سريعة لدرجة أن المبنى الآن مؤجر بنسبة 60٪ تقريبًا. الوحدات المتبقية متاحة للإشغال الفوري ، وتبدأ الاستوديوهات من 2600 دولار شهريًا.

    هل تساءلت يومًا كيف تبدو المناظر من أعلى أحدث ناطحات السحاب في جيرسي سيتي؟

    حسنًا ، لم تعد تتعجب. للحصول على قصة عن ناطحات السحاب في المدينة ، أرسلت صحيفة جيرسي جورنال مصورين إلى قمم بعض أحدث الإضافات إلى أفق المدينة لتوثيق المناظر التي عادة ما يراها سكان البنتهاوس فقط.

    لم نصل إلى 100 طابق بعد هنا في جيرسي سيتي ، لكن الأفق يرتفع إلى ارتفاعات غير معروفة على هذا الجانب من نهر هدسون.

    تم الكشف عن الوحدات النموذجية في Ellipse و Jersey City و rsquos New Waterfront High Rise Now Leasing from $ 2،675 / شهر.

    تم تطوير أحدث برج إيجار فاخر في Jersey City & # 39s بواسطة LeFrak ويطل على نهر Hudson. يحتوي المبنى المكون من 381 وحدة على مساحة 24000 قدم مربع من وسائل الراحة ، بما في ذلك سطح مسبح خارجي واسع ومنطقة للشواء وحفرة نار ومركز للياقة البدنية وغرفة ألعاب وغرفة ألعاب للأطفال وصالة متعددة الأغراض مشتركة.

    أصدر برج Ellipse ، المصمم من قبل Arquitectonica ، والمكون من 41 طابقًا للإيجار الفاخر في مدينة جيرسي لقطات جديدة لطائرات بدون طيار لم يسبق لها مثيل. تم تطوير Ellipse بواسطة LeFrak وتمثل أول مشروع لـ Arquitectonica & # 39s في مدينة جيرسي. يقع البرج في حي نيوبورت الساخن على الواجهة البحرية لنهر هدسون ، ويضم 381 وحدة سكنية للإيجار مع إطلالات على نهر هدسون وأفق مانهاتن.

    كشفت LeFrak النقاب عن شقتين نموذجيتين في مبنى الإيجار الفاخر الجديد Ellipse في نيوبورت ، نيوجيرسي ، والذي صممه مكتب Arquitectonica & rsquos في نيويورك. هذه أول نظرة خاطفة داخل المبنى المرتقب بشدة.

    يقع في مدينة جيرسي وتم بناؤه على شبه جزيرة على الواجهة البحرية لنهر هدسون ، أهم ما يميز هذا العقار هو المناظر الخلابة لأفق مانهاتن ، والتي يعرفها أي مانهاتن أنها أكثر إثارة للإعجاب عبر النهر.

    إذا كنت تتساءل عن شكل برج Ellipse بقيمة 3000 دولار + غرفة نوم واحدة في Newport & rsquos ، فقد ألقينا نظرة خاطفة على بعض المباني والوحدات المكونة من غرفة نوم واحدة وغرفتي نوم ، وكلاهما يقع في الطابق الحادي عشر.

    إذا كان هناك شيء واحد يجعل Ellipse بارزًا بين Jersey City و rsquos المتزايدة من الإيجارات ، فإنه & rsquos المبنى نفسه. تم تسمية المبنى على اسم شكله المستطيل ، وقد صممه مكتب Arquitectonica & rsquos New York في نيويورك لزيادة إمكانات 381 شقة ومخططات طوابق ، وإطلالاتها على نهر هدسون وأفق مانهاتن. إنها & rsquos فكرة أن مدير مكتب Arquitectonica & rsquos NYC Sam Luckino يقول & ldquochanged جودة الوحدات. & rdquo

    بعد شهرين من أحدث إيجار في Jersey City و rsquos ، أعلنت Ellipse عن تسعير إيجاراتها ، أطلق المطور LeFrak تأجير المبنى المكون من 41 طابقًا وشقة rsquos 381.

    وقف المطور ريتشارد ليفراك على كومة موحلة من الخرسانة والطوب على حافة موقع بناء في مدينة جيرسي ، وألقى نظرة على برج من الزجاج والفولاذ مكون من 41 طابقًا يرتفع على ضفة نهر هدسون. & ldquo سألني أحدهم ذات مرة ، & lsquo و rsquos هو أفضل جزء من العمل؟ & rsquo هذا هو أفضل جزء ، & rdquo قال ، مشيرًا إلى إثارة بناء برج جديد.

    يمتلك صائدو المنازل الذين يتجولون في الحفريات الجديدة العشرات من الوحدات السكنية والتطورات الإيجارية في جميع أنحاء المدينة و [مدش] من ميدتاون إلى خليج شيبشيد ، ومن هارلم إلى الحي السادس في جيرسي سيتي.

    هل تتطلع إلى الخروج من المراوغة قبل إغلاق L في شمال بروكلين؟ ثم حان الوقت لإلقاء نظرة فاحصة على نيوبورت ، نيوجيرسي ، وهو مجتمع شاهق مخطط له بمساحة عدة مئات من الأفدنة في وسط مدينة جيرسي. تقع على ضفاف نهر هدسون على الجانب الآخر من تريبيكا ، تشمل سحر نيوبورت & # 39s التي لا تعد ولا تحصى رحلة تنقل أقصر إلى مانهاتن من معظم أحياء بروكلين ، والكثير من الأنشطة (بما في ذلك الشاطئ الحضري الخاص بك) ، والكثير من وسائل الراحة ، ونفوذ كبير دولار الإيجار الخاص بك.

    يقع برج الإيجار الفاخر المكون من 41 طابقًا في حي نيوبورت بالمدينة ، ومن المقرر أن يضم 381 وحدة وأكثر من 24000 قدم مربع من مساحة المرافق.

    على طول الواجهة البحرية وعلى الحواف الغربية لمقاطعة هدسون ، يزداد عدد المساكن الجديدة لأولئك الذين يرغبون في الاستفادة من جمال المنطقة والمتنزهات والثقافة وستة أشكال من وسائل النقل العام.

    الوحدات السكنية والشقق قيد الإنشاء في أجزاء من Hoboken و Jersey City و Bayonne و North Bergen و West New York و Weehawken.

    بلغ متوسط ​​الإيجار الشهري في مقاطعة هدسون 2200 دولار وفقًا لـ Zillow. وفقًا لأحدث البيانات الصادرة عن مكتب الإحصاء الأمريكي بشأن الوحدات السكنية المرخصة بموجب تصاريح البناء ، كان لدى نيوجيرسي 26751 وحدة جديدة مرخصة للبناء خلال عام 2016.

    بدأت LeFrak تأجير ما تسميه & ldquomost مشروعها الطموح & rdquo في مدينة جيرسي منذ أن بدأت الشركة في قيادة إعادة تطوير قسم المدينة و rsquos Newport منذ عقود.

    Ellipse هو تطوير شقة جديدة من قبل LeFrak في 25 شارع 14 ، جيرسي سيتي. تم الانتهاء من التطوير في عام 2017. وتتراوح أسعار عقود الإيجار للوحدات المتاحة من 3160 دولارًا أمريكيًا إلى 4620 دولارًا أمريكيًا. يحتوي Ellipse على إجمالي 381 وحدة ، وتتراوح أحجامها من 742 إلى 1207 قدم مربع.

    تم تصميم Ellipse المكون من 41 طابقًا والمكون من 381 وحدة من تصميم Miami & rsquos Arquitectonica ، وقد بدأ التأجير رسميًا بأسعار استوديو تبدأ من 2600 دولار ، ووحدات من غرفة نوم واحدة بسعر 3،405 دولارًا ، ووحدات من غرفتي نوم بسعر 4،799 دولارًا ، ووحدات من 3 غرف نوم بسعر 5،398 دولارًا ، وبنتهاوس بسعر 5،721 دولارًا. .

    بطبيعة الحال ، سيوفر لك هذا النوع من المال كل وسائل الراحة التي يمكن أن تحلم بها بما في ذلك لوبي من مستويين ، ومساحة عمل مشتركة مدمجة ، وغرفة ألعاب للأطفال و rsquos ، وصالة رياضية تطل على أفق نيويورك ، ومسبح خارجي ومنطقة للشواء. مجتمعة ، سيوفر المبنى مساحة لم يسمع بها من قبل 24000 قدم مربع من وسائل الراحة. ستوفر الوحدات نفسها نوافذ ممتدة من الأرض حتى السقف وأرضيات من خشب البلوط الصلب وغسالات / مجففات وتحكم في درجة الحرارة متعدد الغرف.

    أعلنت LeFrak اليوم عن الإطلاق الرسمي لتأجير Ellipse ، وهو برج إيجار فاخر مكون من 41 طابقًا في Jersey City و rsquos حي Newport المزدهر على نهر Hudson. Ellipse هو مشروع LeFrak & rsquos الأكثر طموحًا منذ أن قادت الشركة التطوير في منطقة 600 فدان منذ أكثر من ثلاثة عقود ، والتي تعد الآن أكبر مجتمع متعدد الاستخدامات في الولايات المتحدة.

    فالسقوط قاب قوسين أو أدنى ، وهو ما يمكن أن يعني شيئًا واحدًا فقط: سوق العقارات على وشك الانتعاش وبسرعة.

    وبالطبع ، يمكن أن يعني ذلك شيئًا واحدًا فقط لـ Curbed NY: حان الوقت للنظر في العديد والعديد والعديد من الشقق وشقق mdashboth الإيجارية والشقق السكنية و mdasht التي ستضرب سوق العقارات في نيويورك في الأشهر القليلة المقبلة. عبر أكثر من 40 مشروعًا تطويرًا ، توجد مبانٍ وشقق مصممة على طراز النجمة في بعض أكثر المشاريع العملاقة المتوقعة بالمدينة ، جنبًا إلى جنب مع الإيجارات الخارجية تحت الرادار والشقق ذات الأسعار المعقولة.

    قطعة قطعة ، يواصل LeFrak بناء مجتمع نيوبورت الرئيسي المخطط له على طول الواجهة البحرية في مدينة جيرسي. أحدث إضافة هي مبنى إيجار فاخر مكون من 41 طابقًا ، يرتفع من رصيف على الواجهة البحرية مباشرةً ، مما يسمح بإطلالات رائعة على المياه والمدينة.

    صمم من قبل شركة الهندسة المعمارية المشهورة Arquitectonica ، سميت Ellipse لشكلها البيضاوي الفريد. بسبب موقعه على رصيف شحن سابق ، كان يجب رفع الطابق الأرضي بمقدار 13 قدمًا. للقيام بذلك ، تم نقل 50000 طن من الردم بالشاحنات إلى الموقع.

    يستعد استئجار جديد فاخر لإطلاقه هذا الصيف على طول واجهة نيوبورت البحرية. LeFrak & rsquos Ellipse المكون من 41 طابقًا قيد الإنشاء منذ أواخر عام 2015 (يمكنك الاطلاع على بعض الصور المبكرة هنا وهنا) وتخطط لبدء التأجير في أبريل.

    ستبدأ الإيجارات في المبنى الفاخر المكون من 381 وحدة من 2600 دولار وتصل إلى 5300 دولار لكل شيء من الاستوديوهات إلى الشقق المكونة من 3 غرف نوم. (لم يتم الكشف عن أسعار أجنحة بنتهاوس المكونة من 4 غرف نوم).

    ينمو مجتمع جيرسي سيتي متعدد الاستخدامات في نيوبورت ، وفي هذا الصيف ، سيتم افتتاح مبنى إيجار فاخر جديد مكون من 41 طابقًا على الواجهة البحرية. Ellipse هو الاسم الرسمي للبرج الزجاجي المنحني وموقع دعائي تم إطلاقه حديثًا يكشف عن الافتتاح الكبير في صيف 2017 لاستوديوه 381 استوديوًا للوحدات المكونة من أربع غرف نوم. مع إطلالات خالية تمامًا ، يقول بيان صحفي حديث إن المساكن ستوفر & quot؛ مناظر لم يسبق لها مثيل لأفق مانهاتن & quot ؛ عبر نهر هدسون.

    أكره في Jersey City كل ما تريد ، ولكن منطقة المدينة و rsquos Newport تظهر بكل أنواع الطرق. مثل ويليامزبرج في الفترات المبكرة ، أصبح الحي المواجه لنهر هدسون مرتعًا للمباني الشاهقة الزجاجية الجديدة مع إطلالات على مانهاتن. التالي في موكب التطورات الجديدة هو LeFrak & rsquos Ellipse ، وهو مبنى مؤجر من 41 طابقًا صممه شركة Arquitectonica ومقرها ميامي والتي كشفت للتو عن الأسعار بالإضافة إلى موقعها التشويقي.


    13.5 قوانين كبلر لحركة الكواكب

    باستخدام البيانات الدقيقة التي جمعها تايكو براهي ، حلل يوهانس كيبلر بدقة المواقع في السماء لجميع الكواكب المعروفة والقمر ، ورسم مواقعها على فترات زمنية منتظمة. ومن هذا التحليل صاغ ثلاثة قوانين نتناولها في هذا القسم.

    قانون كبلر الأول

    كان الرأي السائد خلال زمن كبلر هو أن جميع مدارات الكواكب كانت دائرية. شكلت بيانات كوكب المريخ التحدي الأكبر لهذا الرأي والذي شجع كبلر في النهاية على التخلي عن الفكرة الشعبية. قانون كبلر الأول تنص على أن كل كوكب يتحرك على طول القطع الناقص ، مع وجود الشمس في بؤرة هذا القطع الناقص. يتم تعريف القطع الناقص على أنه مجموعة من جميع النقاط بحيث يكون مجموع المسافة من كل نقطة إلى بؤرتين ثابتًا. يوضح الشكل القطع الناقص ويصف طريقة بسيطة لإنشائه.

    الشكل 13.16 (أ) القطع الناقص هو منحنى يكون فيه مجموع المسافات من نقطة على المنحنى إلى بؤرتين [لاتكس] (_ <1> ، نص,_ <2>) [/ لاتكس] ثابت. من هذا التعريف ، يمكنك أن ترى أنه يمكن إنشاء القطع الناقص بالطريقة التالية. ضع دبوسًا في كل بؤرة ، ثم ضع حلقة من الخيط حول قلم رصاص ودبابيس. مع الحفاظ على الخيط ، حرّك القلم في دائرة كاملة. إذا احتلت البؤرتان نفس المكان ، تكون النتيجة دائرة - حالة خاصة من القطع الناقص. (ب) بالنسبة للمدار الإهليلجي ، إذا كان [اللاتكس] m ll M [/ اللاتكس] ، فإن m يتبع مسارًا بيضاويًا مع M عند بؤرة واحدة. بتعبير أدق ، يتحرك كل من m و M في شكل بيضاوي خاص بهما حول مركز الكتلة المشترك.

    بالنسبة إلى المدارات الإهليلجية ، تسمى نقطة الاقتراب الأقرب لكوكب ما من الشمس بـ الحضيض. انها نقطة المسمى أ في الشكل. أبعد نقطة هي اوج وتسمى النقطة ب في الشكل. بالنسبة إلى مدار القمر حول الأرض ، تسمى هاتان النقطتان الحضيض والأوج ، على التوالي.

    يحتوي القطع الناقص على عدة أشكال رياضية ، ولكن جميعها عبارة عن حالة محددة للمعادلة الأكثر عمومية للمقاطع المخروطية. هناك أربعة أقسام مخروطية مختلفة ، وكلها معطاة بالمعادلة

    المتغيرات ص و [اللاتكس] ثيتا [/ اللاتكس] موضحة في الشكل في حالة القطع الناقص. الثوابت [اللاتكس] alpha [/ latex] و ه يتم تحديدها من خلال الطاقة الكلية والزخم الزاوي للقمر الصناعي عند نقطة معينة. ثابت ه يسمى غريب الأطوار. قيم [اللاتكس] alpha [/ latex] و ه تحديد أي من الأقسام المخروطية الأربعة يمثل مسار القمر الصناعي.

    الشكل 13.17 كما كان من قبل ، فإن المسافة بين الكوكب والشمس هي r ، والزاوية المقاسة من المحور x ، الذي يقع على طول المحور الرئيسي للقطع الناقص ، هي [اللاتكس] ثيتا [/ اللاتكس].

    أحد الانتصارات الحقيقية لقانون الجاذبية العام لنيوتن ، مع القوة المتناسبة مع معكوس المسافة المربعة ، هو أنه عندما يتم دمجها مع قانونه الثاني ، فإن الحل لمسار أي قمر صناعي هو مقطع مخروطي. كل طريق يسلكه م هو أحد الأقسام الأربعة المخروطية: دائرة أو قطع ناقص لمدارات محددة أو مغلقة ، أو قطع مكافئ أو قطع زائد لمدارات غير محدودة أو مفتوحة. تظهر هذه المقاطع المخروطية في الشكل.

    الشكل 13.18 كل الحركة التي تسببها قوة مربعة معكوسة هي أحد الأقسام المخروطية الأربعة ويتم تحديدها من خلال طاقة واتجاه الجسم المتحرك.

    إذا كانت الطاقة الإجمالية سالبة ، فإن [اللاتكس] 0 le e lt 1 [/ latex] ، ويمثل الشكل مدارًا مقيدًا أو مغلقًا إما من قطع ناقص أو دائرة ، حيث [اللاتكس] e = 0 [/ لاتكس] . [يمكنك أن ترى من الشكل أنه بالنسبة إلى [اللاتكس] e = 0 [/ latex] ، [اللاتكس] r = alpha [/ latex] ، ومن ثم يكون نصف القطر ثابتًا.] بالنسبة للأشكال الناقصة ، يرتبط الانحراف بمدى استطالة يظهر القطع الناقص. الدائرة ليس لها انحراف مركزي صفري ، في حين أن القطع الناقص الطويل الطويل للغاية له شذوذ مركزي بالقرب من واحد.

    إذا كانت الطاقة الإجمالية تساوي صفرًا بالضبط ، فإن [اللاتكس] e = 1 [/ اللاتكس] والمسار عبارة عن قطع مكافئ. تذكر أن القمر الصناعي الذي تبلغ طاقته الإجمالية صفرًا لديه بالضبط سرعة الإفلات. (يتكون القطع المكافئ فقط من خلال قطع المخروط الموازي لخط المماس على طول السطح.) أخيرًا ، إذا كانت الطاقة الكلية موجبة ، فإن [اللاتكس] e gt 1 [/ اللاتكس] والمسار عبارة عن قطع زائد. يمثل هذان المساران الأخيران مدارات غير محدودة ، حيث م يمر بها م مرة واحدة فقط. وقد لوحظ هذا الوضع للعديد من المذنبات التي تقترب من الشمس ثم تسافر بعيدًا ولا تعود أبدًا.

    لقد حصرنا أنفسنا في الحالة التي تدور فيها الكتلة الأصغر (الكوكب) حول كتلة أكبر بكثير ، وبالتالي ثابتة ، كتلة (الشمس) ، لكن الشكل ينطبق أيضًا على أي كتلتين تتفاعلان جاذبيًا. كل كتلة تتتبع المقطع المخروطي الذي يشبه الآخر بالضبط. يتم تحديد هذا الشكل من خلال الطاقة الكلية والزخم الزاوي للنظام ، مع وجود مركز كتلة النظام في البؤرة. نسبة أبعاد المسارين هي معكوس نسبة كتلتيهما.

    يمكنك مشاهدة رسم متحرك لكائنين متفاعلين في نظامي الشمسي الصفحة في فيت. اختر خيار Sun and Planet المُعد مسبقًا. يمكنك أيضًا عرض مشاكل الجسد المتعددة الأكثر تعقيدًا. قد تجد المسار الفعلي للقمر مفاجئًا تمامًا ، إلا أنه يخضع لقوانين الحركة البسيطة لنيوتن.

    التحويلات المدارية

    لقد تخيل الناس السفر إلى الكواكب الأخرى في نظامنا الشمسي منذ اكتشافها. لكن كيف يمكننا القيام بذلك على أفضل وجه؟ تم اكتشاف الطريقة الأكثر فعالية في عام 1925 من قبل والتر هوهمان ، مستوحاة من رواية خيال علمي شهيرة في ذلك الوقت. الطريقة تسمى الآن نقل هوهمان . في حالة السفر بين مدارين دائريين ، يكون النقل على طول شكل بيضاوي "نقل" يعترض تمامًا تلك المدارات عند الأوج والحضيض للقطع الناقص. يوضح الشكل حالة الرحلة من مدار الأرض إلى مدار كوكب المريخ. كما كان من قبل ، الشمس في بؤرة القطع الناقص.

    لأي شكل بيضاوي ، يتم تعريف المحور شبه الرئيسي على أنه نصف مجموع الحضيض والأوج. في الشكل ، المحور شبه الرئيسي هو المسافة من الأصل إلى جانبي القطع الناقص على طول x- المحور ، أو نصف المحور الأطول (يسمى المحور الرئيسي). ومن ثم ، السفر من مدار دائري نصف قطره [اللاتكس]_ <1> [/ لاتكس] إلى مدار دائري آخر نصف قطره [لاتكس]_ <2> [/ latex] ، سيكون aphelion من القطع الناقص الناقل مساويًا لقيمة المدار الأكبر ، بينما سيكون الحضيض هو المدار الأصغر. المحور شبه الرئيسي ، المشار إليه أ، لذلك يُعطى بواسطة [اللاتكس] a = frac <1> <2> (_<1>+_ <2>) [/ لاتكس].

    الشكل 13.19 القطع الناقص الناقل له الحضيض في مدار الأرض والأوج في مدار المريخ.

    لنأخذ حالة السفر من الأرض إلى المريخ. في الوقت الحالي ، نتجاهل الكواكب ونفترض أننا وحدنا في مدار الأرض ونرغب في الانتقال إلى مدار المريخ. من الشكل ، التعبير عن الطاقة الإجمالية ، يمكننا أن نرى أن الطاقة الإجمالية لمركبة فضائية في المدار الأكبر (المريخ) أكبر (أقل سلبية) من تلك الخاصة بالمدار الأصغر (الأرض). للانتقال إلى القطع الناقص الانتقالي من مدار الأرض ، سنحتاج إلى زيادة طاقتنا الحركية ، أي أننا بحاجة إلى زيادة السرعة. الطريقة الأكثر فاعلية هي التسارع السريع جدًا على طول المسار المداري الدائري ، والذي يكون أيضًا على طول مسار القطع الناقص عند تلك النقطة. (في الواقع ، يجب أن يكون التسارع لحظيًا ، بحيث تكون المدارات الدائرية والإهليلجية متطابقة أثناء التسارع. عمليًا ، يكون التسارع المحدود قصيرًا بما يكفي بحيث لا يكون الاختلاف في الاعتبار.) بمجرد وصولك إلى مدار المريخ ، ستحتاج إلى زيادة سرعة أخرى للانتقال إلى هذا المدار ، أو ستبقى في المدار الإهليلجي وتعود ببساطة إلى الحضيض حيث بدأت. بالنسبة لرحلة العودة ، يمكنك ببساطة عكس العملية باستخدام دفعة رجعية في كل نقطة تحويل.

    لإجراء الانتقال إلى القطع الناقص الانتقالي ثم إيقافه مرة أخرى ، نحتاج إلى معرفة سرعة كل مدار دائري وسرعات مدار النقل عند الحضيض والأوج. زيادة السرعة المطلوبة هي ببساطة الفرق بين سرعة المدار الدائري وسرعة المدار الإهليلجي عند كل نقطة. يمكننا إيجاد السرعات المدارية الدائرية من الشكل. لتحديد سرعات القطع الناقص ، نذكر بدون دليل (لأنه خارج نطاق هذه الدورة التدريبية) أن إجمالي الطاقة لمدار بيضاوي هو

    أين [اللاتكس]_ < نص> [/ اللاتكس] هي كتلة الشمس و أ هو المحور شبه الرئيسي. من اللافت للنظر أن هذا هو نفس الشكل الخاص بالمدارات الدائرية ، ولكن مع قيمة المحور شبه الرئيسي الذي يحل محل نصف القطر المداري. نظرًا لأننا نعرف الطاقة الكامنة من الشكل ، يمكننا إيجاد الطاقة الحركية ومن ثم السرعة اللازمة لكل نقطة على القطع الناقص. نترك الأمر كمشكلة تحدي للعثور على سرعات النقل هذه لرحلة من الأرض إلى المريخ.

    ننهي هذه المناقشة بالإشارة إلى بعض التفاصيل المهمة. أولاً ، لم نأخذ في الحسبان طاقة الجاذبية الكامنة بسبب الأرض والمريخ ، أو آليات الهبوط على المريخ. في الممارسة العملية ، يجب أن يكون ذلك جزءًا من الحسابات. ثانيًا ، التوقيت هو كل شيء. أنت لا تريد الوصول إلى مدار كوكب المريخ لتكتشف أنه غير موجود. يجب أن نترك الأرض في الوقت الصحيح بالضبط بحيث يكون المريخ في الأوج من القطع الناقص الانتقالي بمجرد وصولنا. تأتي هذه الفرصة كل عامين تقريبًا. والعودة تتطلب التوقيت الصحيح أيضًا. سيستغرق إجمالي الرحلة أقل من 3 سنوات بقليل! هناك خيارات أخرى توفر عبورًا أسرع ، بما في ذلك التحليق بمساعدة الجاذبية على كوكب الزهرة. لكن هذه الخيارات الأخرى تأتي بتكلفة إضافية من حيث الطاقة والخطر على رواد الفضاء.

    قم بزيارة هذا الموقع لمزيد من التفاصيل حول التخطيط لرحلة إلى المريخ.

    قانون كبلر الثاني

    قانون كبلر الثاني تنص على أن كوكبًا يكتسح مناطق متساوية في أوقات متساوية ، أي أن المنطقة مقسومة على الوقت ، والتي تسمى سرعة المنطقة ، ثابتة. النظر في الشكل. الوقت الذي يستغرقه الكوكب للتحرك من موقعه أ ل ب، مسح المنطقة [اللاتكس] _ <1> [/ اللاتكس] ، هو بالضبط الوقت المستغرق للانتقال من الموضع ج ل د، منطقة كنس [لاتكس] _ <2> [/ لاتكس] ، وللانتقال منها ه ل F، تجتاح المنطقة [اللاتكس] _ <3> [/ اللاتكس]. هذه المناطق هي نفسها: [اللاتكس] _ <1> = _ <2> = _ <3> [/ اللاتكس].

    الشكل 13.20 المناطق المظللة المعروضة لها مساحات متساوية وتمثل نفس الفترة الزمنية.

    بمقارنة المساحات في الشكل والمسافة المقطوعة على طول القطع الناقص في كل حالة ، يمكننا أن نرى أنه من أجل تساوي المساحات ، يجب أن يتسارع الكوكب عندما يقترب من الشمس ويتباطأ كلما تحرك بعيدًا. يتوافق هذا السلوك تمامًا مع معادلة الحفظ الخاصة بنا ، الشكل. لكننا سنبين أن قانون كبلر الثاني هو في الواقع نتيجة للحفاظ على الزخم الزاوي ، والذي ينطبق على أي نظام بقوى شعاعية فقط.

    تذكر تعريف الزخم الزاوي من الزخم الزاوي ، [اللاتكس] mathbf < overet < to>> = mathbf < overet < to>> times mathbf < overet < to>

    > [/ لاتكس]. في حالة الحركة المدارية ، [اللاتكس] mathbf < overet < to>> [/ latex] هو الزخم الزاوي للكوكب حول الشمس ، [اللاتكس] mathbf < overet < to>> [/ latex] هو متجه موقع الكوكب المقاس من الشمس ، و [latex] mathbf < overet < to>

    > = m mathbf < overet < to>> [/ latex] هو الزخم الخطي اللحظي في أي نقطة في المدار. بما أن الكوكب يتحرك على طول القطع الناقص ، [latex] mathbf < overet < to>

    > [/ لاتكس] دائمًا ما يكون ظلًا للقطع الناقص.

    يمكننا حل الزخم الخطي إلى مكونين: مكون شعاعي [لاتكس] < mathbf < overet < to>

    >> _ < نص> [/ latex] على طول الخط المؤدي إلى الشمس ، ومكون [لاتكس] < mathbf < overet < to>

    >> _ < نص> [/ latex] عمودي على [اللاتكس] mathbf < overet < to>> [/ لاتكس]. يمكن بعد ذلك كتابة حاصل الضرب الاتجاهي للزخم الزاوي بالشكل

    المصطلح الأول على اليمين هو صفر لأن [اللاتكس] mathbf < overet < to>> [/ latex] موازية لـ [اللاتكس] < mathbf < overet < to>

    >> _ < نص> [/ latex] ، وفي المصطلح الثاني [اللاتكس] mathbf < overet < to>> [/ latex] عمودي على [اللاتكس] < mathbf < overet < to>

    >> _ < نص> [/ latex] ، لذا فإن حجم المنتج المتقاطع يقلل إلى [اللاتكس] L = r

    _ < نص> = جمهورية مقدونيا_ < نص> [/ لاتكس]. لاحظ أن الزخم الزاوي يفعل ليس تعتمد على [اللاتكس]

    _ < نص> [/ لاتكس]. نظرًا لأن قوة الجاذبية في الاتجاه الشعاعي فقط ، يمكن أن تتغير فقط [اللاتكس]

    _ < نص> [/ لاتكس] وليس [لاتكس]

    _ < نص> [/ latex] وبالتالي ، يجب أن يظل الزخم الزاوي ثابتًا.

    الآن فكر في الشكل. منطقة صغيرة مثلثة [لاتكس] دلتا أ [/ لاتكس] تم مسحها في الوقت المناسب [لاتكس] دلتا تي [/ لاتكس]. تكون السرعة على طول المسار وتصنع زاوية [لاتكس] ثيتا [/ لاتكس] مع الاتجاه الشعاعي. ومن ثم ، يتم الحصول على السرعة العمودية بواسطة [اللاتكس]_ < نص> = v text ثيتا [/ لاتكس]. يتحرك الكوكب مسافة [لاتكس] Delta s = v Delta t text theta [/ latex] مسقطة على طول الاتجاه العمودي على ص. بما أن مساحة المثلث تساوي نصف القاعدة (ص) ضرب الارتفاع [اللاتكس] ( Delta s) [/ latex] ، للإزاحة الصغيرة ، يتم إعطاء المنطقة بواسطة [اللاتكس] Delta A = frac <1> <2> r Delta s [/ latex] . استبدال [اللاتكس] Delta s [/ latex] ، والضرب في م في البسط والمقام ، ونعيد الترتيب نحصل عليه

    الشكل 13.21 اكتسح عنصر المنطقة [اللاتكس] Delta A [/ latex] في الوقت [اللاتكس] Delta t [/ latex] بينما يتحرك الكوكب عبر الزاوية [اللاتكس] Delta varphi [/ latex]. الزاوية بين الاتجاه الشعاعي و [اللاتكس] mathbf < overet < to>> [/ لاتكس] هو [لاتكس] ثيتا [/ لاتكس].

    السرعة المساحية هي ببساطة معدل تغير المنطقة بمرور الوقت ، لذلك لدينا

    نظرًا لأن الزخم الزاوي ثابت ، يجب أن تكون السرعة المساحية ثابتة أيضًا. هذا هو بالضبط قانون كبلر الثاني. كما هو الحال مع قانون كبلر الأول ، أظهر نيوتن أنه نتيجة طبيعية لقانون الجاذبية الخاص به.

    يمكنك عرض نسخة متحركة من الشكل والعديد من الرسوم المتحركة الأخرى المثيرة للاهتمام أيضًا في موقع مدرسة الفيزياء (جامعة نيو ساوث ويلز).

    قانون كبلر الثالث

    قانون كبلر الثالث ينص على أن مربع الفترة يتناسب مع مكعب المحور شبه الرئيسي للمدار. في مدارات الأقمار الصناعية والطاقة ، استنتجنا قانون كبلر الثالث للحالة الخاصة للمدار الدائري. يعطينا الشكل فترة مدار دائري نصف قطره ص حول الأرض:

    بالنسبة للقطع الناقص ، تذكر أن المحور شبه الرئيسي هو نصف مجموع الحضيض والأوج. بالنسبة إلى مدار دائري ، فإن المحور شبه الرئيسي (أ) هو نفس نصف قطر المدار. في الواقع ، يعطينا الشكل قانون كبلر الثالث إذا استبدلناه ببساطة ص مع أ ومربع كلا الجانبين.

    لقد قمنا بتغيير كتلة الأرض إلى كتلة أكثر عمومية م، لأن هذه المعادلة تنطبق على الأقمار الصناعية التي تدور حول أي كتلة كبيرة.

    مثال

    مدار المذنب هالي

    حدد المحور شبه الرئيسي لمدار مذنب هالي ، نظرًا لأنه يصل إلى الحضيض الشمسي كل 75.3 سنة. إذا كان الحضيض 0.586 AU فما هو الأوج؟

    إستراتيجية

    لدينا الدورة ، حتى نتمكن من إعادة ترتيب الشكل ، وإيجاد المحور شبه الرئيسي. نظرًا لأننا نعرف قيمة الحضيض ، يمكننا استخدام تعريف المحور شبه الرئيسي ، الوارد سابقًا في هذا القسم ، للعثور على الأوج. نلاحظ أن 1 وحدة فلكية (AU) هي متوسط ​​نصف قطر مدار الأرض ويتم تعريفها على أنها [لاتكس] 1 ، نص= 1.50 مرات <10> ^ <11> ، نص[/ لاتكس].

    حل

    لدينا إعادة ترتيب الشكل وإدخال قيم فترة مذنب هالي وكتلة الشمس

    ينتج عن هذا قيمة [اللاتكس] 2.67 times <10> ^ <12> ، text[/ لاتكس] أو 17.8 AU للمحور شبه الرئيسي.

    المحور شبه الرئيسي هو نصف مجموع الأوج والحضيض ، لذلك لدينا

    بالتعويض عن القيم ، وجدنا للمحور شبه الرئيسي والقيمة المعطاة للحضيض الشمسي ، نجد أن قيمة الأوج هي 35.0 AU.

    دلالة

    ادموند هالي ، أحد معاصري نيوتن ، اشتبه أولاً في أن ثلاثة مذنبات ، تم الإبلاغ عنها في الأعوام 1531 و 1607 و 1682 ، كانت في الواقع نفس المذنب. قبل إجراء Tycho Brahe لقياسات المذنبات ، كان يُعتقد أنها أحداث لمرة واحدة ، وربما اضطرابات في الغلاف الجوي ، ولم تتأثر بالشمس. استخدم هالي ميكانيكا نيوتن الجديدة للتنبؤ بعودة مذنب يحمل الاسم نفسه في عام 1758.

    تأكد من فهمك

    يبلغ متوسط ​​نصف قطر المدار الدائري لكوكب زحل حوالي 9.5 AU ويبلغ مدته 30 عامًا ، بينما يبلغ متوسط ​​عمر أورانوس حوالي 19 AU ويبلغ مدته 84 عامًا. هل هذا يتفق مع نتائجنا لمذنب هالي؟

    المحور شبه الرئيسي للمدار الإهليلجي للغاية لمذنب هالي هو 17.8 AU وهو متوسط ​​الحضيض والأوج. هذا يقع بين 9.5 AU و 19 AU نصف القطر المداري لزحل وأورانوس ، على التوالي. نصف قطر مدار دائري هو نفس المحور شبه الرئيسي ، وبما أن الفترة تزداد مع زيادة المحور شبه الرئيسي ، فمن المتوقع أن تكون فترة هالي بين فترتي زحل وأورانوس.

    ملخص

    • تتبع كل الحركات المدارية مسار المقطع المخروطي. المدارات المقيدة أو المغلقة هي إما دائرة أو قطع ناقص غير محدود أو أن المدارات المفتوحة إما قطع مكافئ أو قطع زائد.
    • السرعة المساحية لأي مدار ثابتة ، مما يعكس الحفاظ على الزخم الزاوي.
    • يتناسب مربع فترة المدار الإهليلجي مع مكعب المحور شبه الرئيسي لهذا المدار.

    أسئلة مفاهيمية

    هل قوانين كبلر وصفية بحتة أم أنها تحتوي على معلومات سببية؟

    في الرسم البياني أدناه لقمر صناعي في مدار بيضاوي حول كتلة أكبر بكثير ، أشر إلى أين تكون سرعته أكبر وأين تكون أقل. ما قانون الحفظ الذي يملي هذا السلوك؟ حدد اتجاهات القوة والتسارع والسرعة عند هذه النقاط. ارسم متجهات لهذه الكميات الثلاث نفسها عند النقطتين حيث ذ- يتقاطع المحور (على طول المحور شبه الصغير) ومن هذا يحدد ما إذا كانت السرعة تتزايد ، أو عند حد أقصى / دقيقة.

    تكون السرعة أعظمها عندما يكون القمر الصناعي أقرب إلى الكتلة الكبيرة وأقلها عندما يكون بعيدًا - عند نقطة الذروة و apoapsis على التوالي. إن الحفاظ على الزخم الزاوي هو الذي يحكم هذه العلاقة. ولكن يمكن أيضًا استخلاصها من الحفاظ على الطاقة ، يجب أن تكون الطاقة الحركية أكبر عندما تكون طاقة وضع الجاذبية هي الأقل (الأكثر سلبية). يتم دائمًا توجيه القوة ، وبالتالي التسارع ، نحو M في الرسم التخطيطي ، وتكون السرعة دائمًا مماسًا للمسار عند جميع النقاط. يحتوي متجه التسارع على مكون مماسي على طول اتجاه السرعة عند الموقع العلوي على المحور y ، وبالتالي فإن القمر الصناعي يتسارع. العكس تمامًا هو الصحيح في الموضع السفلي.

    مشاكل

    احسب كتلة الشمس استنادًا إلى بيانات متوسط ​​مدار الأرض وقارن القيمة التي تم الحصول عليها مع القيمة المدرجة بشكل عام للشمس وهي [اللاتكس] 1.989 مرات <10> ^ <30> ، text[/ لاتكس].

    [اللاتكس] 1.98 times <10> ^ <30> ، text[/ لاتكس] القيم هي نفسها ضمن 0.05٪.

    آيو يدور حول كوكب المشتري بمتوسط ​​نصف قطر 421700 كم وفترة 1.769 يومًا. بناءً على هذه البيانات ، ما كتلة كوكب المشتري؟

    إن نصف القطر المداري "المتوسط" المدرج للأجسام الفلكية التي تدور حول الشمس ليس عادةً متوسطًا متكاملًا ولكن يتم حسابه بحيث يعطي الفترة الصحيحة عند تطبيقه على معادلة المدارات الدائرية. بالنظر إلى ذلك ، ما هو متوسط ​​نصف القطر المداري من حيث الأوج والحضيض؟

    قارن الشكل والشكل لترى أنهما يختلفان فقط في نصف القطر الدائري ، ص، يتم استبداله بالمحور شبه الرئيسي ، أ. لذلك ، فإن متوسط ​​نصف القطر هو نصف مجموع الأوج والحضيض ، وهو نفس المحور شبه الرئيسي.

    يبلغ الحضيض الشمسي لمذنب هالي 0.586 AU والجناح 17.8 AU. إذا كانت سرعته عند الحضيض 55 كم / ث ، فما السرعة عند الأوج ([اللاتكس] 1 ، نص= 1.496 مرات <10> ^ <11> ، نص[/ اللاتكس])؟ (تلميح: يمكنك استخدام إما حفظ الطاقة أو الزخم الزاوي ، لكن الأخير أسهل بكثير.)

    يبلغ حضيض مذنب Lagerkvist 2.61 AU ويبلغ مدته 7.36 سنة. أظهر أن اوج هذا المذنب هو 4.95 AU.

    تم العثور على المحور شبه الرئيسي ، 3.78 AU من معادلة الفترة. هذا هو نصف مجموع الأوج والحضيض ، مما يعطي مسافة الأوج 4.95 AU.

    ما هي نسبة السرعة عند الحضيض إلى تلك الموجودة في الأوج للمذنب Lagerkvist في المسألة السابقة؟

    يمتلك إيروس مدارًا إهليلجيًا حول الشمس ، بمسافة الحضيض الشمسي 1.13 AU ومسافة الأوج 1.78 AU. ما هي فترة مداره؟

    قائمة المصطلحات


    الرسم باستخدام GDI

    كفى من المقدمات. الآن ، ربما تشعر كما لو أنك طلبت الوقت وحصلت على شرح لصناعة الساعات. كل ما تعلمته حتى الآن في هذا الفصل سيكون مفيدًا عاجلاً أم آجلاً & # 8212 تثق بي. ولكن الآن دعنا نتحدث عن وظائف لإخراج وحدات البكسل على الشاشة.

    الوظائف التي تمت مناقشتها في الأقسام العديدة التالية ليست بأي حال من الأحوال جميع وظائف مخرجات GDI المتاحة. تتطلب المعالجة الكاملة لكل فصل فصلاً أكبر بكثير من هذا الفصل. عند الانتهاء من قراءة هذا الفصل ، انظر إلى القائمة الكاملة لوظائف أعضاء CDC في وثائق MFC الخاصة بك. يمنحك القيام بذلك إحساسًا أفضل بالنطاق الواسع لـ Windows GDI ويتيح لك معرفة إلى أين تذهب عندما تحتاج إلى مساعدة.

    رسم الخطوط والمنحنيات

    تتضمن فئة CDC الخاصة بـ MFC عددًا من وظائف الأعضاء التي يمكنك استخدامها لرسم الخطوط والمنحنيات. يسرد الجدول التالي الوظائف الرئيسية. هناك آخرون ، لكن هذه ترسم صورة جيدة جدًا لمجموعة وظائف رسم الخطوط ورسم المنحنيات المتاحة.

    وظائف CDC لرسم الخطوط والمنحنيات

    دور وصف
    الانتقال إلى يضبط الوضع الحالي استعدادًا للرسم
    الخطإلى يرسم خطًا من الموضع الحالي إلى موضع محدد وينقل الموضع الحالي إلى نهاية السطر
    متعدد الخطوط يربط مجموعة من النقاط بمقاطع خطية
    متعدد الخطوط إلى يربط مجموعة من النقاط بمقاطع خطية تبدأ من الموضع الحالي وتحريك الموضع الحالي إلى نهاية الخط متعدد الخطوط
    قوس يرسم قوسًا
    ArcTo يرسم قوسًا ويحرك الموضع الحالي إلى نهاية القوس
    بولي بيزير يرسم شريحة واحدة أو أكثر من خطوط B & amp ؛
    PolyBezierTo رسم شريحة واحدة أو أكثر من شرائح B & eacutezier وتحريك الموضع الحالي إلى نهاية الشريحة النهائية
    بولي درو يرسم سلسلة من المقاطع الخطية و B & Ecutezier خلال مجموعة من النقاط وينقل الموضع الحالي إلى نهاية مقطع الخط النهائي أو الشريحة

    رسم خط مستقيم بسيط. ما عليك سوى تعيين الموضع الحالي على أحد طرفي الخط واستدعاء LineTo بإحداثيات الطرف الآخر:

    لرسم خط آخر متصل بالخط السابق ، يمكنك الاتصال بـ LineTo مرة أخرى. ليست هناك حاجة لاستدعاء MoveTo مرة ثانية لأن الاستدعاء الأول لـ LineT لضبط الموضع الحالي على نهاية السطر:

    يمكنك رسم عدة خطوط في ضربة واحدة باستخدام Polyline أو PolylineTo. الاختلاف الوحيد بين الاثنين هو أن PolylineTo يستخدم الموضع الحالي لسياق الجهاز ولا يستخدم Polyline. العبارات التالية ترسم مربعًا يقيس 100 وحدة إلى جانب من مجموعة من النقاط التي تصف رؤوس الصندوق:

    ترسم هذه العبارات نفس المربع باستخدام PolylineTo:

    عند إرجاع PolylineTo ، يتم تعيين الموضع الحالي على نقطة نهاية مقطع السطر النهائي & # 8212 في هذه الحالة ، (0،0). إذا تم استخدام Polyline بدلاً من ذلك ، فلن يتم تغيير الموضع الحالي.

    تحتوي نوافذ برمجة Charles Petzold على مثال ممتاز يوضح كيف ولماذا يمكن أن تكون الخطوط المتعددة مفيدة. تستخدم وظيفة OnPaint التالية ، والتي تعد في الأساس مجرد تعديل لـ MFC لرمز Charles ، CDC :: Polyline لرسم موجة جيبية تملأ الجزء الداخلي من النافذة:

    يمكنك رؤية النتائج بنفسك عن طريق استبدال هذا الرمز بوظيفة OnPaint في برنامج Hello بالفصل الأول. لاحظ استخدام وظائف العرض والارتفاع CRect لحساب عرض وارتفاع منطقة عميل النافذة.

    القوس هو منحنى مأخوذ من محيط دائرة أو قطع ناقص. يمكنك رسم الأقواس بسهولة تامة باستخدام CDC :: Arc. أنت فقط تقوم بتمريره على شكل مستطيل تحدد حدوده الشكل البيضاوي وزوج من النقاط التي تحدد نقاط النهاية لخطين وهميين مرسومين إلى الخارج من مركز القطع الناقص. النقاط التي تتقاطع عندها الخطوط مع القطع الناقص هي نقطتا البداية والنهاية للقوس. (يجب أن تكون الخطوط طويلة بما يكفي لتلامس على الأقل محيط القطع الناقص وإلا فلن تكون النتائج كما تتوقع.) الكود التالي يرسم قوسًا يمثل الربع العلوي الأيسر من القطع الناقص بعرض 200 وحدة و 100 وحدات عالية:

    لعكس القوس ورسم الأرباع اليمنى العلوية والسفلية اليمنى والسفلية اليسرى من القطع الناقص ، ما عليك سوى عكس الترتيب الذي يتم به تمرير النقطة 1 والنقطة 2 إلى وظيفة القوس.إذا كنت ترغب في معرفة مكان انتهاء القوس (عنصر من المعلومات يكون مفيدًا عند استخدام الخطوط والأقواس لرسم مخططات دائرية ثلاثية الأبعاد) ، فاستخدم ArcTo بدلاً من Arc ثم استخدم CDC :: GetCurrentPosition لتحديد نقطة النهاية. كن حذرا ، مع ذلك. بالإضافة إلى رسم القوس نفسه ، يرسم ArcTo خطًا من الموضع الحالي القديم إلى نقطة بداية القوس. علاوة على ذلك ، يعد ArcTo واحدًا من عدد قليل من وظائف GDI التي لم يتم تنفيذها في نظام التشغيل Windows 98. إذا كنت تسميها على نظام أساسي آخر غير Windows NT أو Windows 2000 ، فلن يتم إخراج أي شيء.

    إذا كانت الخطوط هي أسلوبك أكثر ، فيمكن أن يساعدك GDI هناك أيضًا. CDC :: PolyBezier يرسم شرائح B & eacutezier & # 8212 منحنيات ناعمة محددة بنقطتي نهاية ونقطتين وسيطتين تمارسان & quot ؛ صممت في الأصل لمساعدة المهندسين على بناء نماذج رياضية لهيكل السيارة ، B & eacutezier splines ، أو ببساطة & quotB & eacuteziers ، & quot كما هو معروف في كثير من الأحيان ، تُستخدم اليوم في كل شيء بدءًا من الخطوط وحتى تصميمات الرؤوس الحربية. يستخدم جزء الكود التالي شقين B & eacutezier لرسم شكل يشبه رمز Nike & quotswoosh & quot الشهير. (انظر الشكل 2-2.)

    المنحنيات المرسومة هنا عبارة عن شرائح مستقلة تنضم عند نقاط النهاية. لرسم منحنى مستمر من خلال ضم اثنين أو أكثر من الخطوط الرئيسية ، أضف ثلاث نقاط إلى مصفوفة POINT لكل شريحة إضافية وقم بزيادة عدد النقاط المحددة في المعلمة الثانية لـ PolyBezier وفقًا لذلك.

    الشكل 2-2. شعار حذاء مشهور مرسوم بخطوط B & eacutezier.

    تتمثل إحدى ميزات جميع وظائف رسم الخطوط ورسم المنحنيات في GDI في أن البكسل النهائي لا يتم رسمه أبدًا. إذا قمت برسم خط من (0،0) إلى (100،100) مع العبارات

    يتم ضبط البكسل عند (0،0) على لون الخط ، كما هو الحال بالنسبة للبكسل في (1،1) ، (2،2) ، وهكذا. لكن البكسل عند (100100) لا يزال هو اللون الذي كان عليه من قبل. إذا كنت تريد رسم البكسل النهائي للخط أيضًا ، فيجب عليك رسمه بنفسك. تتمثل إحدى طرق القيام بذلك في استخدام وظيفة CDC :: SetPixel ، والتي تحدد بكسل واحدًا للون الذي تحدده.

    رسم الحواف والمضلعات والأشكال الأخرى

    لا يقتصر GDI على الخطوط والمنحنيات البسيطة. يتيح لك أيضًا رسم أشكال بيضاوية ومستطيلات وأوتاد على شكل دائري وأشكال أخرى مغلقة. تلتف فئة CDC الخاصة بـ MFC وظائف GDI المقترنة في وظائف عضو الفئة سهلة الاستخدام التي يمكنك الاتصال بها على كائن سياق الجهاز أو من خلال مؤشر إلى كائن سياق الجهاز. يسرد الجدول التالي بعض هذه الوظائف.

    وظائف CDC لرسم الأرقام المغلقة

    دور وصف
    وتر يرسم شكلاً مغلقًا يحده تقاطع قطع ناقص وخط
    الشكل البيضاوي يرسم دائرة أو قطع ناقص
    فطيرة يرسم إسفينًا على شكل فطيرة
    مضلع يربط مجموعة من النقاط لتشكيل مضلع
    مستطيل يرسم مستطيلاً بزوايا مربعة
    مستدير يرسم مستطيلاً بزوايا دائرية

    وظائف GDI التي ترسم أرقامًا مغلقة تأخذ إحداثيات & quot ؛ مربع الإحاطة. & quot ؛ عندما ترسم دائرة باستخدام وظيفة Ellipse ، على سبيل المثال ، لا تحدد نقطة مركزية ونصف قطر بدلاً من ذلك ، فإنك تحدد المربع المحيط بالدائرة . يمكنك تمرير الإحداثيات بشكل واضح كالتالي:

    أو قم بتمريرها في بنية RECT أو كائن CRect ، مثل هذا:

    عندما يتم رسم هذه الدائرة ، فإنها تلامس خط x = 0 على يسار المربع المحيط والخط y = 0 في الجزء العلوي ، ولكنها تقل بمقدار 1 بكسل عن خط x = 100 على اليمين و 1 بكسل قصيرة خط y = 100 في الأسفل. بمعنى آخر ، يتم رسم الأشكال من الحدود اليسرى والعليا للمربع المحيط حتى (ولكن لا تشمل) الحدين الأيمن والسفلي. إذا اتصلت بوظيفة CDC :: Rectangle ، مثل هذا:

    تحصل على الإخراج الموضح في الشكل 2-3. لاحظ أن الحدين الأيمن والسفلي للمستطيل يقعان عند x = 7 و y = 3 وليس x = 8 و y = 4.

    الشكل 2-3. مستطيل مرسوم بالبيان dc.Rectangle (0 ، 0 ، 8 ، 4).

    المستطيل و Ellipse واضحان تمامًا كما يأتون. تقوم بتوفير المربع المحيط ، ويقوم Windows بالرسم. إذا كنت تريد رسم مستطيل به زوايا دائرية ، فاستخدم RoundRect بدلاً من Rectangle.

    ومع ذلك ، فإن وظائف Pie و Chord تستحقان تمحيصًا دقيقًا. كلاهما متطابق نحويًا مع وظيفة Arc التي تمت مناقشتها في القسم السابق. الفرق في الإخراج. (انظر الشكل 2-4.) يرسم دائري الشكل المغلق عن طريق رسم خطوط مستقيمة تربط أطراف القوس بمركز القطع الناقص. يغلق الوتر الشكل عن طريق توصيل نقاط نهاية القوس. يستخدم معالج OnPaint التالي Pie لرسم مخطط دائري يصور أربع قيم إيرادات ربع سنوية:

    لاحظ أنه يتم نقل الأصل إلى وسط النافذة باستخدام SetViewportOrg قبل أن يتم رسم أي رسم بحيث يتم توسيط المخطط أيضًا.

    الشكل 2-4. الإخراج من وظائف Arc و Chord و Pie.

    أقلام GDI وفئة CPen

    يستخدم Windows القلم المحدد حاليًا في سياق الجهاز لرسم الخطوط والمنحنيات وأيضًا لأشكال الحدود المرسومة باستخدام Rectangle و Ellipse ووظائف رسم الأشكال الأخرى. يرسم القلم الافتراضي خطوطًا سوداء صلبة بعرض 1 بكسل. لتغيير طريقة رسم الخطوط ، يجب إنشاء قلم GDI وتحديده في سياق الجهاز باستخدام CDC :: SelectObject.

    يمثل MFC أقلام GDI مع فئة CPen. إن أبسط طريقة لإنشاء قلم هي بناء كائن CPen وتمريره المعلمات التي تحدد القلم:

    الطريقة الثانية لإنشاء قلم GDI هي إنشاء كائن CPen غير مهيأ واستدعاء CPen :: CreatePen:

    ومع ذلك ، فإن الطريقة الثالثة هي إنشاء كائن CPen غير مهيأ ، وملء بنية LOGPEN التي تصف القلم ، ثم استدعاء CPen :: CreatePenIndirect لإنشاء القلم:

    حقل lopnWidth الخاص بـ LOGPEN هو بنية بيانات POINT. يحدد عضو البيانات x الخاص بالهيكل عرض القلم. لا يتم استخدام عضو البيانات y.

    يقوم كل من CreatePen و CreatePenIndirect بإرجاع القيمة TRUE إذا تم إنشاء القلم بنجاح ، و FALSE إذا لم يكن كذلك. إذا سمحت لمنشئ CPen بإنشاء القلم ، فسيتم طرح استثناء من النوع CResourceException إذا تعذر إنشاء القلم. يجب أن يحدث هذا فقط إذا كانت ذاكرة Windows منخفضة للغاية.

    للقلم ثلاث خصائص محددة: النمط والعرض واللون. تُنشئ الأمثلة أعلاه قلمًا نمطه PS_SOLID ، وعرضه 1 ، ولونه أحمر فاتح. أول من المعلمات الثلاثة التي تم تمريرها إلى CPen :: CPen و CPen :: CreatePen يحدد نمط القلم ، الذي يحدد نوع الخط الذي يرسمه القلم. ينشئ PS_SOLID قلمًا يرسم خطوطًا صلبة غير منقطعة. يتم عرض أنماط القلم الأخرى في الشكل 2-5.

    يرسم نمط PS_INSIDEFRAME الخاص خطوطًا صلبة تبقى داخل المستطيل المحيط ، أو & quot داخل الإطار ، & quot من الشكل المرسوم. إذا كنت تستخدم أيًا من أنماط القلم الأخرى لرسم دائرة قطرها 100 وحدة باستخدام قلم PS_SOLID بعرض 20 وحدة ، على سبيل المثال ، القطر الفعلي للدائرة ، المقاس عبر الحافة الخارجية للدائرة ، هو 120 وحدة ، مثل هو مبين في الشكل 2-6. لماذا ا؟ لأن الحد الذي رسمه القلم يمتد 10 وحدات إلى الخارج على جانبي الدائرة النظرية. ارسم نفس الدائرة بقلم PS_INSIDEFRAME ، والقطر يساوي 100 وحدة بالضبط. لا يؤثر نمط PS_INSIDEFRAME على الخطوط المرسومة باستخدام LineTo والوظائف الأخرى التي لا تستخدم المستطيل المحيط.

    الشكل 2-6. نمط القلم PS_INSIDEFRAME.

    يُنشئ نمط القلم PS_NULL ما يشير إليه مبرمجو Windows على أنه & quotNULL Pen. & quot لماذا قد ترغب في إنشاء قلم NULL؟ صدق أو لا تصدق ، هناك أوقات يمكن أن يكون فيها القلم NULL مفيدًا. افترض ، على سبيل المثال ، أنك تريد رسم دائرة حمراء صلبة بدون حدود. إذا قمت برسم الدائرة باستخدام وظيفة CDC :: Ellipse الخاصة بـ MFC ، فسيقوم Windows تلقائيًا بتحديد حدود الدائرة باستخدام القلم المحدد حاليًا في سياق الجهاز. لا يمكنك إخبار وظيفة Ellipse أنك لا تريد حدًا ، ولكن يمكنك تحديد قلم NULL في سياق الجهاز بحيث لا يكون للدائرة حدود مرئية. يتم استخدام فرش NULL بطريقة مماثلة. إذا كنت تريد أن يكون للدائرة حد ولكنك تريد أن يكون الجزء الداخلي من الدائرة شفافًا ، يمكنك تحديد فرشاة NULL في سياق الجهاز قبل الرسم.

    المعلمة الثانية التي تم تمريرها إلى وظائف إنشاء القلم في CPen تحدد عرض الخطوط المرسومة بالقلم. يتم تحديد عروض القلم بوحدات منطقية تعتمد معانيها المادية على وضع التعيين الحالي. يمكنك إنشاء أقلام PS_SOLID و PS_NULL و PS_INSIDEFRAME بأي عرض منطقي ، ولكن يجب أن تكون أقلام PS_DASH و PS_DOT و PS_DASHDOT و PS_DASHDOTDOT بعرض وحدة منطقية واحدة. يؤدي تحديد عرض قلم بقيمة 0 في أي نمط إلى إنشاء قلم بعرض 1 بكسل ، بغض النظر عن وضع التعيين.

    المعلمة الثالثة والأخيرة المحددة عند إنشاء القلم هي لون القلم. يستخدم Windows نموذج ألوان RGB ذو 24 بت حيث يتم تعريف كل لون محتمل بقيم اللون الأحمر والأخضر والأزرق من 0 إلى 255. وكلما زادت القيمة ، زاد سطوع مكون اللون المقابل. يجمع ماكرو RGB القيم التي تحدد مكونات اللون الثلاثة المستقلة في قيمة COLORREF واحدة يمكن تمريرها إلى GDI. البيان

    يخلق قلم أحمر لامع ، والبيان

    يُنشئ قلمًا أصفر لامعًا عن طريق الجمع بين اللونين الأحمر والأخضر. إذا كان محول جهاز العرض لا يدعم ألوان 24 بت ، فإن Windows يعوض ذلك بتردد الألوان التي لا يمكن عرضها مباشرة. كن على علم ، مع ذلك ، أن أقلام PS_INSIDEFRAME التي يزيد عرضها عن وحدة منطقية واحدة فقط يمكنها استخدام ألوان متذبذبة. بالنسبة لأنماط القلم الأخرى ، يقوم Windows بتعيين لون القلم إلى أقرب لون خالص يمكن عرضه. يمكنك أن تكون متأكدًا بشكل معقول من الحصول على اللون الدقيق الذي تريده على جميع المحولات من خلال التمسك بالألوان & quot الرئيسية & quot الموضحة في الجدول أدناه. تعد هذه الألوان جزءًا من اللوحة الأساسية التي يقوم Windows ببرمجتها في سجلات الألوان لكل محول فيديو لضمان توفر مجموعة فرعية مشتركة من الألوان لجميع البرامج.

    اللون ص جي ب اللون ص جي ب
    أسود 0 0 0 رمادي فاتح 192 192 192
    أزرق 0 0 192 ازرق فاتح 0 0 255
    أخضر 0 192 0 اخضر فاتح 0 255 0
    ازرق سماوي 0 192 192 مشرق سماوي 0 255 255
    أحمر 192 0 0 أحمر فاتح 255 0 0
    أرجواني 192 0 192 أرجواني ساطع 255 0 255
    الأصفر 192 192 0 أصفر فاقع 255 255 0
    الرمادي الداكن 128 128 128 أبيض 255 255 255

    كيف تستخدم القلم بمجرد إنشائه؟ بسيط: يمكنك تحديده في سياق الجهاز. يُنشئ مقتطف الشفرة التالي قلمًا أحمر بعرض 10 وحدات ويرسم قطع ناقص معه:

    يتم تعبئة الشكل البيضاوي بلون أو نقش الفرشاة الحالية ، والتي يتم تعيينها افتراضيًا على الأبيض. لتغيير الإعداد الافتراضي ، تحتاج إلى إنشاء فرشاة GDI وتحديدها في سياق الجهاز قبل استدعاء Ellipse. سأشرح كيفية القيام بذلك في لحظة.

    تمديد أقلام

    إذا لم يناسب أي من أنماط القلم الأساسية احتياجاتك ، فيمكنك استخدام فئة منفصلة من الأقلام تعرف باسم & quotextended & quot pens ، والتي تدعمها فئة Windows GDI و MFC's CPen. توفر هذه الأقلام مجموعة أكبر من خيارات الإخراج. على سبيل المثال ، يمكنك إنشاء قلم موسع يرسم نمطًا موصوفًا بواسطة صورة نقطية أو يستخدم لونًا متذبذبًا. يمكنك أيضًا ممارسة التحكم الدقيق في نقاط النهاية والصلات عن طريق تحديد نمط الغطاء النهائي (مسطح ، أو دائري ، أو مربع) ونمط الربط (مشطوف ، أو متري ، أو مدور). يُنشئ الكود التالي قلمًا ممتدًا بعرض 16 وحدة يرسم خطوطًا خضراء صلبة بنهايات مسطحة. عند التقاء خطين ، يتم تقريب النهايتين المتجاورتين لتشكيل تقاطع سلس:

    يضع Windows العديد من القيود على استخدام الأقلام الممتدة ، وليس أقلها أن وصلات نقطة النهاية لن تعمل إلا إذا تم رسم الرقم أولاً كـ & quotpath & quot ، ثم يتم تقديمه باستخدام CDC :: StrokePath أو وظيفة ذات صلة. يمكنك تحديد مسار من خلال إرفاق أوامر الرسم بين استدعاءات CDC :: BeginPath و CDC :: EndPath ، كما هو موضح هنا:

    تعد المسارات ميزة قوية لـ GDI والتي يمكنك استخدامها لإنشاء جميع أنواع التأثيرات المثيرة للاهتمام. سننظر عن كثب في المسارات & # 8212 وفي وظائف CDC التي تستخدمها & # 8212in الفصل 15.

    فرش GDI وفئة CBrush

    بشكل افتراضي ، يتم تعبئة الأشكال المغلقة المرسومة باستخدام Rectangle و Ellipse ووظائف إخراج CDC الأخرى بوحدات البكسل البيضاء. يمكنك تغيير لون التعبئة عن طريق إنشاء فرشاة GDI وتحديدها في سياق الجهاز قبل الرسم.

    تضم فئة CBrush الخاصة بـ MFC فرش GDI. تأتي الفرش في ثلاثة أنواع أساسية: صلبة ، وفتحة ، ونمط. فرش صلبة ترسم بألوان صلبة. إذا لم تسمح أجهزة العرض بعرض لون فرشاة خالص مباشرةً ، يقوم Windows بمحاكاة اللون عن طريق ثبات الألوان التي يمكن عرضها. ترسم الفرشاة ذات الفتحة بواحد من ستة أنماط متقاطعة محددة مسبقًا تشبه الأنماط الشائعة في الرسومات الهندسية والمعمارية. فرشاة نمط ترسم صورة نقطية. توفر فئة CBrush مُنشئًا لكل نمط فرشاة مختلف.

    يمكنك إنشاء فرشاة صلبة في خطوة واحدة عن طريق تمرير قيمة COLORREF إلى مُنشئ CBrush:

    أو يمكنك إنشاء فرشاة صلبة في خطوتين عن طريق إنشاء كائن CBrush غير مهيأ واستدعاء CBrush :: CreateSolidBrush:

    ينشئ كلا المثالين فرشاة صلبة ترسم باللون الأحمر الفاتح. يمكنك أيضًا إنشاء فرشاة عن طريق تهيئة بنية LOGBRUSH واستدعاء CBrush :: CreateBrushIndirect. كما هو الحال مع مُنشئات CPen ، فإن جميع مُنشئي CBrush الذين يقومون بإنشاء فرشاة لك يرمون استثناء مورد إذا كان GDI منخفضًا في الذاكرة ولا يمكن إنشاء فرشاة.

    يتم إنشاء فرش هاتش بتمرير مُنشئ CBrush كلاً من فهرس الفتحة وقيمة COLORREF أو عن طريق استدعاء CBrush :: CreateHatchBrush. البيان

    يُنشئ فرشاة فتحة ترسم خطوطًا متعامدة متعامدة موجهة بزاوية 45 درجة ، كما تفعل هذه العبارات:

    HS_DIAGCROSS هو أحد أنماط الفتحات الستة التي يمكنك الاختيار من بينها. (انظر الشكل 2-7.) عندما تقوم بالطلاء بفرشاة الفتحة ، يملأ Windows المسافة بين خطوط التظليل بلون الخلفية الافتراضي (أبيض) ما لم تقم بتغيير لون الخلفية الحالي لسياق الجهاز باستخدام CDC :: SetBkColor أو إيقاف تعبئة الخلفية عن طريق تغيير وضع الخلفية من OPAQUE إلى TRANSPARENT باستخدام CDC :: SetBkMode. البيانات

    ارسم مستطيلاً 100 وحدة مربعة واملأه بخطوط متقاطعة بيضاء مرسومة على خلفية رمادية فاتحة. البيانات

    ارسم مستطيلًا أسودًا متصالبًا على الخلفية الحالية.

    الشكل 2-7. تفقس أنماط الفرشاة.

    أصل الفرشاة

    إحدى سمات سياق الجهاز التي يجب أن تكون على دراية بها عند استخدام ألوان الفرشاة المتذبذبة أو فرش التظليل هي أصل الفرشاة. عندما يملأ Windows مساحة بنمط فرشاة مظلل أو متدرج ، فإنه يقطع نقش 8 × 8 بكسل أفقيًا وعموديًا داخل المنطقة المتأثرة. بشكل افتراضي ، أصل هذا النمط ، المعروف باسم أصل الفرشاة ، هو نقطة الجهاز (0،0) & # 8212 بكسل الشاشة في الزاوية اليسرى العليا من النافذة. هذا يعني أن النمط المرسوم في مستطيل يبدأ بـ 100 بكسل إلى يمين الأصل وتحته ستتم محاذاته بشكل مختلف نوعًا ما فيما يتعلق بحد المستطيل عن النمط المرسوم في مستطيل موضوع على بعد بضع وحدات بكسل إلى اليسار أو اليمين ، مثل هو مبين في الشكل 2-8. في العديد من التطبيقات ، ليس من المهم أن يلاحظ المستخدم اختلافات دقيقة في محاذاة الفرشاة. ومع ذلك ، في بعض الحالات ، الأمر مهم للغاية.

    الشكل 2-8. محاذاة الفرشاة.

    لنفترض أنك تستخدم فرشاة فتحة لملء مستطيل وأنك تقوم بتحريك حركة ذلك المستطيل عن طريق محوه بشكل متكرر وإعادة رسمه بمقدار 1 بكسل إلى اليمين أو اليسار. إذا لم تقم بإعادة تعيين أصل الفرشاة إلى نقطة تبقى في نفس الموضع بالنسبة إلى المستطيل قبل كل إعادة رسم ، فإن نمط الفتحة & quot؛ يمشي & quot أثناء تحرك المستطيل.

    الحل؟ قبل تحديد الفرشاة في سياق الجهاز ورسم المستطيل ، قم باستدعاء CGdiObject :: UnrealizeObject على كائن الفرشاة للسماح بنقل أصل الفرشاة. ثم اتصل بـ CDC :: SetBrushOrg لمحاذاة أصل الفرشاة مع الزاوية اليسرى العليا للمستطيل ، كما هو موضح هنا:

    في هذا المثال ، النقطة هي كائن CPoint يحتفظ بالإحداثيات المنطقية للركن الأيسر العلوي للمستطيل. يتم استدعاء LPtoDP لتحويل الإحداثيات المنطقية إلى إحداثيات الجهاز (يتم تحديد أصول الفرشاة دائمًا في إحداثيات الجهاز) ، ويتم تنفيذ عملية modulo-8 على القيم الناتجة نظرًا لأن الإحداثيات التي تم تمريرها إلى SetBrushOrg يجب أن تقع ضمن النطاق من 0 إلى 7. الآن سيتم محاذاة النمط باستمرار بغض النظر عن مكان رسم المستطيل في النافذة.

    نص الرسم

    لقد رأيت بالفعل طريقة واحدة لإخراج نص إلى نافذة. تكتب الدالة CDC :: DrawText سلسلة نصية على سطح العرض. يمكنك إخبار DrawText بمكان رسم ناتجه عن طريق تحديد كل من مستطيل التنسيق وسلسلة من علامات الخيارات التي تشير إلى كيفية وضع النص داخل المستطيل. في برنامج Hello من الفصل الأول ، العبارة

    رسم & quotHello ، MFC & quot بحيث تم توسيطه في النافذة. كان المستطيل عبارة عن كائن مستطيل تمت تهيئته بإحداثيات منطقة عميل النافذة ، وأخبر علامتا DT_CENTER و DT_VCENTER DrawText بتوسيط ناتجه في المستطيل أفقيًا وعموديًا.

    DrawText هي واحدة من العديد من الوظائف المتعلقة بالنص والتي هي أعضاء في فئة CDC الخاصة بـ MFC. البعض الآخر مذكور في الجدول أدناه. أحد أكثرها فائدة هو TextOut ، الذي يخرج نصًا مثل DrawText ولكنه يقبل زوج إحداثي x - y الذي يحدد مكان إخراج النص ويستخدم أيضًا الموضع الحالي إذا طُلب منه ذلك. البيان

    يكتب & quotHello ، MFC & quot إلى أعلى يسار سطح الشاشة الذي يمثله dc. تعمل دالة ذات صلة تسمى TabbedTextOut تمامًا مثل TextOut فيما عدا أنها توسع أحرف الجدولة إلى مسافة بيضاء. (إذا كانت السلسلة التي تم تمريرها إلى TextOut تحتوي على علامات تبويب ، فإن الأحرف تظهر كمستطيلات في معظم الخطوط.) يتم تحديد مواضع الجدولة في استدعاء TabbedTextOut. تمنحك وظيفة ذات صلة تسمى ExtTextOut خيارًا إضافيًا لملء مستطيل يحيط بالنص الناتج بلون خلفية معتم. كما أنه يمنح المبرمج تحكمًا دقيقًا في التباعد بين الأحرف.

    بشكل افتراضي ، تحدد الإحداثيات التي تم تمريرها إلى TextOut و TabbedTextOut و ExtTextOut موقع الزاوية اليسرى العلوية لخلية الحرف الموجودة في أقصى يسار النص. ومع ذلك ، فإن العلاقة بين الإحداثيات التي تم تمريرها إلى TextOut والأحرف في سلسلة الإخراج ، وهي خاصية تُعرف باسم محاذاة النص ، هي سمة من سمات سياق الجهاز. يمكنك تغييره باستخدام CDC :: SetTextAlign. على سبيل المثال ، بعد ملف

    يتم تنفيذ العبارة ، يحدد إحداثيات x التي تم تمريرها إلى TextOut الموضع الموجود في أقصى اليمين في خلية الحرف & # 8212 مثالي لرسم نص بمحاذاة اليمين.

    يمكنك أيضًا استدعاء SetTextAlign بعلامة TA_UPDATECP لتوجيه TextOut لتجاهل الوسيطات x و y التي تم تمريرها إليه واستخدام الموضع الحالي لسياق الجهاز بدلاً من ذلك.عندما تتضمن محاذاة النص TA_UPDATECP ، يقوم TextOut بتحديث المكون x للموضع الحالي في كل مرة يتم فيها إخراج سلسلة. استخدام واحد لهذه الميزة هو تحقيق تباعد مناسب بين سلسلتين أو أكثر من الأحرف التي يتم إخراجها على نفس السطر.

    دور وصف
    DrawText رسم نص في مستطيل تنسيق
    TextOut لإخراج سطر من النص في الموضع الحالي أو المحدد
    TabbedTextOut لإخراج سطر نصي يتضمن علامات تبويب
    ExtTextOut يخرج سطرًا من النص ويملأ مستطيلًا بلون الخلفية اختياريًا أو يغير التباعد بين الأحرف
    GetTextExtent يحسب عرض سلسلة في الخط الحالي
    GetTabbedTextExtent يحسب عرض سلسلة مع علامات تبويب في الخط الحالي
    GetTextMetrics لعرض مقاييس الخط (ارتفاع الحرف ومتوسط ​​عرض الحرف وما إلى ذلك) للخط الحالي
    SetTextAlign يضبط معلمات المحاذاة لـ TextOut ووظائف الإخراج الأخرى
    SetTextJustification يحدد العرض الإضافي المطلوب لضبط سلسلة نصية
    SetTextColor يضبط لون إخراج نص سياق الجهاز
    SetBkColor يضبط لون خلفية سياق الجهاز ، والذي يحدد لون التعبئة المستخدم خلف الأحرف التي يتم إخراجها إلى سطح العرض

    وظيفتان & # 8212 GetTextMetrics و GetTextExtent & # 8212 لتتمكن من استرداد معلومات حول الخط المحدد حاليًا في سياق الجهاز. يملأ GetTextMetrics بنية TEXTMETRIC بمعلومات عن الأحرف التي يتكون منها الخط. يُرجع GetTextExtent عرض سلسلة معينة ، بوحدات منطقية ، معروضة في هذا الخط. (استخدم GetTabbedTextExtent إذا كانت السلسلة تحتوي على أحرف جدولة.) أحد الاستخدامات لـ GetTextExtent هو قياس عرض سلسلة قبل إخراجها من أجل حساب مقدار المسافة المطلوبة بين الكلمات لضبط النص بالكامل. إذا كانت nWidth هي المسافة بين الهوامش اليمنى واليسرى ، فإن الكود التالي يُخرج النص & quotNow هو الوقت & quot ويضبط الإخراج لكلا الهامشين:

    تحدد المعلمة الثانية التي تم تمريرها إلى SetTextJustification عدد أحرف الفاصل في السلسلة. حرف الفاصل الافتراضي هو حرف المسافة. بعد استدعاء SetTextJustification ، توزع الاستدعاءات اللاحقة إلى TextOut ووظائف إخراج النص ذات الصلة المساحة المحددة في المعلمة الأولى لـ SetTextJustification بالتساوي بين جميع أحرف الفاصل.

    خطوط GDI وفئة CFont

    تستخدم جميع وظائف نص CDC الخط المحدد حاليًا في سياق الجهاز. الخط عبارة عن مجموعة من الأحرف ذات حجم معين (ارتفاع) ومحرف تشترك في سمات مشتركة مثل وزن الحرف & # 8212 على سبيل المثال ، عادي أو غامق. في الطباعة الكلاسيكية ، تقاس أحجام الخطوط بوحدات تسمى النقاط. النقطة الواحدة تساوي حوالي 1/72 بوصة. كل حرف في خط من 12 نقطة يبلغ طوله 1/6 بوصة اسميًا ، ولكن في Windows ، يمكن أن يختلف الارتفاع الفعلي إلى حد ما اعتمادًا على الخصائص المادية لجهاز الإخراج. يصف مصطلح محرف النمط الأساسي للخط. تعتبر Times New Roman أحد الأمثلة على المحرف Courier New هو مثال آخر.

    الخط هو كائن GDI ، تمامًا مثل القلم أو الفرشاة. في MFC ، يتم تمثيل الخطوط بواسطة كائنات فئة CFont. بمجرد إنشاء كائن CFont ، يمكنك إنشاء خط GDI الأساسي عن طريق استدعاء دالة CreateFont أو CreateFontIndirect أو CreatePointFont أو CreatePointFontIndirect للكائن CFont. استخدم CreateFont أو CreateFontIndirect إذا كنت تريد تحديد حجم الخط بالبكسل ، واستخدم CreatePointFont و CreatePointFontIndirect لتحديد حجم الخط بالنقاط. يتطلب إنشاء خط شاشة Times New Roman بحجم 12 نقطة باستخدام CreatePointFont سطرين فقط من التعليمات البرمجية:

    القيام بالشيء نفسه مع CreateFont يتطلب منك الاستعلام عن سياق الجهاز عن العدد المنطقي لوحدات البكسل لكل بوصة في الاتجاه العمودي وتحويل النقاط إلى وحدات بكسل:

    بالمناسبة ، القيمة الرقمية التي تم تمريرها إلى CreatePointFont هي حجم النقطة المطلوب مرات 10. يتيح لك ذلك التحكم في حجم الخط وصولاً إلى 1/10 نقطة & # 8212 دقة كافية لمعظم التطبيقات ، مع الأخذ في الاعتبار الدقة المنخفضة نسبيًا لمعظم الشاشات وأجهزة الإخراج الأخرى الشائعة الاستخدام.

    تحدد العديد من المعلمات التي تم تمريرها إلى CreateFont ، من بين أشياء أخرى ، وزن الخط وما إذا كانت الأحرف في الخط مائلة. لا يمكنك إنشاء خط غامق ومائل باستخدام CreatePointFont ، ولكن يمكنك ذلك باستخدام CreatePointFontIndirect. تقوم التعليمة البرمجية التالية بإنشاء خط غامق مائل Times New Roman 12 نقطة باستخدام CreatePointFontIndirect.

    LOGFONT هي بنية تحدد حقولها جميع خصائص الخط. :: ZeroMemory هي إحدى وظائف API التي تحتوي على كتلة صفرية من الذاكرة ، و :: lstrcpy هي وظيفة API تقوم بنسخ سلسلة نصية من موقع ذاكرة إلى آخر. يمكنك استخدام وظائف memset و strcpy الخاصة بوقت تشغيل C بدلاً من ذلك (في الواقع ، يجب عليك استخدام _tcscpy بدلاً من strcpy حتى تعمل المكالمة مع أحرف ANSI أو Unicode) ، ولكن استخدام وظائف Windows API في كثير من الأحيان يجعل الملف القابل للتنفيذ أصغر عن طريق تقليل مقدار رمز مرتبط بشكل ثابت.

    بعد إنشاء خط ، يمكنك تحديده في سياق الجهاز والرسم به باستخدام DrawText و TextOut ووظائف نصية أخرى لـ CDC. يقوم معالج OnPaint التالي برسم & quotHello، MFC & quot في وسط النافذة. ولكن هذه المرة يتم رسم النص باستخدام خط Arial مكون من 72 نقطة ، مع استكمال الظلال المسقطة. (انظر الشكل 2-9.)

    الشكل 2-9. & quotHello ، MFC & quot المقدمة في Arial من 72 نقطة مع ظلال مسقطة.

    يتم تحقيق تأثير الظل عن طريق رسم السلسلة النصية مرتين & # 8212 مرة واحدة بضع بكسلات على يمين وتحت وسط النافذة ، ومرة ​​واحدة في المركز. تجعل وظيفة CRect :: OffsetRect الخاصة بـ MFC من السهل & quot؛ نقل & & quot المستطيلات عن طريق موازنة المسافة المحددة في الاتجاهين x و y.

    ماذا يحدث إذا حاولت إنشاء ، على سبيل المثال ، خط Times New Roman على نظام لم يتم تثبيت Times New Roman عليه؟ بدلاً من فشل المكالمة ، سيختار GDI محرفًا مشابهًا تم تثبيته. يتم استدعاء خوارزمية تعيين الخطوط الداخلية لاختيار أفضل تطابق ، والنتائج ليست دائمًا ما قد يتوقعه المرء. ولكن على الأقل لن يقوم تطبيقك بإخراج نص على ما يرام على أحد الأنظمة ولا ينتج شيئًا بشكل غامض على نظام آخر.

    الخطوط النقطية مقابل خطوط TrueType

    تقع معظم خطوط GDI في إحدى فئتين: الخطوط النقطية وخطوط TrueType. يتم تخزين الخطوط النقطية كصور نقطية وتبدو بشكل أفضل عند عرضها بأحجامها الأصلية. يعد MS Sans Serif أحد أكثر الخطوط النقطية المفيدة المتوفرة مع Windows ، والذي يشيع استخدامه (بحجمه المكون من 8 نقاط) على الأزرار الانضغاطية وأزرار الاختيار وعناصر التحكم الأخرى في مربع الحوار. يمكن لـ Windows قياس الخطوط النقطية عن طريق تكرار صفوف وأعمدة وحدات البكسل ، ولكن نادراً ما تكون النتائج مرضية للعين بسبب تأثيرات صعود السلم.

    أفضل الخطوط هي خطوط TrueType لأنها تتناسب جيدًا مع أي حجم تقريبًا. مثل خطوط PostScript ، تخزن خطوط TrueType مخططات الأحرف على هيئة صيغ رياضية. كما أنها تتضمن معلومات & quothint & quot التي تستخدمها أداة تحويل خطوط TrueType الخاصة بـ GDI لتحسين قابلية التوسع. يمكنك الاعتماد إلى حد كبير على حقيقة أن أي نظام يعمل عليه تطبيقك سيحتوي على خطوط TrueType التالية مثبتة ، لأن الأربعة جميعها مزودة بنظام Windows:

    في الفصل السابع ، ستتعلم كيفية الاستعلام عن معلومات الخط في النظام وكيفية تعداد الخطوط المثبتة. يمكن أن تكون هذه المعلومات مفيدة إذا كان التطبيق الخاص بك يتطلب إخراجًا دقيقًا للحروف أو إذا كنت تريد تقديم قائمة بالخطوط المثبتة للمستخدم.

    نص مستدير

    أحد الأسئلة التي يتم طرحها بشكل متكرر حول إخراج نص GDI هو & quot كيف يمكنني عرض النص الذي تم تدويره؟ & quot هناك طريقتان للقيام بذلك ، أحدهما يعمل فقط في Microsoft Windows NT و Windows 2000. والطريقة الأخرى متوافقة مع جميع إصدارات 32 بت لنظام التشغيل Windows ، لذا فهو الذي سأصفه هنا.

    السر هو إنشاء خط باستخدام CFont :: CreateFontIndirect أو CFont :: CreatePointFontIndirect ولتحديد زاوية الدوران المطلوبة (بالدرجات) مرات 10 في حقول lfEscapement و lfOrientation لبنية LOGFONT. ثم تقوم بإخراج النص بالطريقة العادية & # 8212 على سبيل المثال ، باستخدام CDC :: TextOut. يحتوي النص التقليدي على مفتاح انزلاق واتجاه يساوي 0 ، أي أنه ليس له ميل ويتم رسمه على أفقي. يؤدي تعيين هذه القيم إلى 450 إلى تدوير النص عكس اتجاه عقارب الساعة 45 درجة. يعمل معالج OnPaint التالي على زيادة lfEscapement و lfOrientation في وحدات مقدارها 15 درجة ويستخدم الخطوط الناتجة لرسم مجموعة النص الشعاعي الموضحة في الشكل 2-10:

    تعمل هذه التقنية بشكل رائع مع خطوط TrueType ، لكنها لا تعمل على الإطلاق مع الخطوط النقطية.

    كائنات الأسهم

    يعرّف Windows مسبقًا حفنة من الأقلام والفرش والخطوط وكائنات GDI الأخرى التي يمكن استخدامها دون أن يتم إنشاؤها بشكل صريح. تسمى كائنات المخزون ، يمكن تحديد كائنات GDI هذه في سياق الجهاز باستخدام وظيفة CDC :: SelectStockObject أو تعيينها إلى CPen أو CBrush أو كائن آخر مع CGdiObject :: CreateStockObject. CGdiObject هي الفئة الأساسية لفئات CPen و CBrush و CFont وفئات MFC الأخرى التي تمثل كائنات GDI.

    يعرض الجدول التالي قائمة جزئية بكائنات المخزون المتاحة. تذهب أقلام الأسهم بالأسماء WHITE_PEN و BLACK_PEN و NULL_PEN. يرسم WHITE_PEN و BLACK_PEN خطوطًا متصلة بعرض 1 بكسل. NULL_PEN لا يرسم شيئًا. تشتمل فرش الأسهم على فرشاة بيضاء وفرشاة سوداء وثلاثة ظلال رمادية. HOLLOW_BRUSH و NULL_BRUSH طريقتان مختلفتان للإشارة إلى نفس الشيء & # 8212a فرشاة لا ترسم شيئًا. SYSTEM_FONT هو الخط المحدد افتراضيًا في كل سياق جهاز.

    كائنات الأسهم شائعة الاستخدام

    موضوع وصف
    NULL_PEN القلم الذي لا يرسم شيئًا
    BLACK_PEN قلم أسود يرسم خطوطًا صلبة بعرض 1 بكسل
    WHITE_PEN قلم أبيض يرسم خطوطًا صلبة بعرض 1 بكسل
    NULL_BRUSH فرشاة لا ترسم شيئًا
    HOLLOW_BRUSH فرشاة لا ترسم شيئًا (مثل NULL_BRUSH)
    BLACK_BRUSH فرشاة سوداء
    DKGRAY_BRUSH فرشاة رمادية داكنة
    GRAY_BRUSH فرشاة رمادية متوسطة
    LTGRAY_BRUSH فرشاة رمادية فاتحة
    WHITE_BRUSH فرشاة بيضاء
    ANSI_FIXED_FONT خط ANSI ثابت الملعب
    ANSI_VAR_FONT خط ANSI متغير الملعب
    SYSTEM_FONT خط نظام متغير الملعب
    SYSTEM_FIXED_FONT خط نظام ثابت الملعب

    افترض أنك تريد رسم دائرة رمادية فاتحة بدون حدود. كيف يمكنك أن تفعل ذلك؟ هذه طريقة واحدة:

    ولكن نظرًا لأن الأقلام الفارغة والفرش ذات اللون الرمادي الفاتح هي عناصر مخزنة ، فإليك طريقة أفضل:

    يوضح الكود التالي طريقة ثالثة لرسم الدائرة. هذه المرة يتم تعيين عناصر المخزون إلى CPen و CBrush بدلاً من تحديدها في سياق الجهاز مباشرة:

    أي من الطرق الثلاث التي تستخدمها متروك لك. الطريقة الثانية هي الأقصر ، وهي الطريقة الوحيدة التي تضمن عدم طرح استثناء لأنها لا تنشئ أي كائنات GDI.

    حذف كائنات GDI

    الأقلام والفرش والكائنات الأخرى التي تم إنشاؤها من الفئات المشتقة من CGdiObject هي موارد تستهلك مساحة في الذاكرة ، لذلك من المهم حذفها عندما لا تعود بحاجة إليها. إذا قمت بإنشاء CPen أو CBrush أو CFont أو CGdiObject آخر على المكدس ، فسيتم حذف كائن GDI المرتبط تلقائيًا عندما يخرج CGdiObject عن النطاق. إذا قمت بإنشاء CGdiObject على الكومة باستخدام new ، فتأكد من حذفه في وقت ما حتى يتم استدعاء أداة التدمير الخاصة به. يمكن حذف كائن GDI المرتبط بـ CGdiObject بشكل صريح عن طريق استدعاء CGdiObject :: DeleteObject. لا تحتاج أبدًا إلى حذف كائنات المخزون ، حتى لو تم & اقتباسها باستخدام CreateStockObject.

    في Windows 16 بت ، ساهمت كائنات GDI بشكل متكرر في مشكلة تسرب الموارد ، حيث انخفض رقم موارد النظام المجاني الذي أبلغ عنه مدير البرنامج تدريجيًا عند بدء التطبيقات وإنهائها لأن بعض البرامج فشلت في حذف كائنات GDI التي أنشأتها. تتعقب جميع إصدارات Windows 32 بت الموارد التي يخصصها البرنامج وتحذفها عند انتهاء البرنامج. ومع ذلك ، لا يزال من المهم حذف كائنات GDI عندما لا تكون هناك حاجة إليها حتى لا تنفد ذاكرة GDI أثناء تشغيل البرنامج. تخيل معالج OnPaint الذي يقوم بإنشاء 10 أقلام وفرش في كل مرة يتم استدعاؤه ولكنه يتجاهل حذفها. بمرور الوقت ، قد ينشئ OnPaint آلاف كائنات GDI التي تشغل مساحة في ذاكرة النظام المملوكة لـ Windows GDI. قريبًا ، ستفشل مكالمات إنشاء أقلام وفرش ، وسيتوقف معالج OnPaint الخاص بالتطبيق عن العمل بشكل غامض.

    في Visual C ++ ، هناك طريقة سهلة لمعرفة ما إذا كنت تفشل في حذف الأقلام والفرش والموارد الأخرى: ما عليك سوى تشغيل بنية تصحيح لتطبيقك في وضع التصحيح. عند إنهاء التطبيق ، سيتم سرد الموارد التي لم يتم تحريرها في نافذة التصحيح. يتتبع MFC تخصيصات الذاكرة لفئات CPen و CBrush والفئات الأخرى المشتقة من CO حتى يتمكن من إخطارك عند عدم حذف كائن. إذا كنت تواجه صعوبة في التحقق من رسائل تصحيح الأخطاء من العناصر التي لم يتم حذفها ، فأضف العبارة

    إلى ملفات التعليمات البرمجية المصدر للتطبيق الخاص بك بعد العبارة التي تتضمن Afxwin.h. (في التطبيقات التي تم إنشاؤها بواسطة AppWizard ، يتم تضمين هذا البيان تلقائيًا.) ستتضمن رسائل التصحيح للكائنات غير المسجلة بعد ذلك أرقام الأسطر وأسماء الملفات لمساعدتك في تحديد التسريبات بدقة.

    إلغاء تحديد كائنات GDI

    من المهم حذف كائنات GDI التي تقوم بإنشائها ، ولكن من المهم بنفس القدر عدم حذف كائن GDI مطلقًا أثناء تحديده في سياق الجهاز. الرمز الذي يحاول الرسم باستخدام كائن محذوف هو رمز عربات التي تجرها الدواب. السبب الوحيد لعدم تعطله هو أن Windows GDI مرشوشة برمز التحقق من الأخطاء لمنع حدوث مثل هذه الأعطال.

    إن الالتزام بهذه القاعدة ليس سهلاً كما يبدو. يسمح معالج OnPaint التالي بحذف الفرشاة أثناء تحديدها في سياق الجهاز. يمكنك معرفة لماذا؟

    ها هي المشكلة. يتم إنشاء كائن CPaintDC وكائن CBrush على المكدس. منذ إنشاء CBrush ثانيًا ، يتم استدعاء المدمر أولاً. وبالتالي ، يتم حذف فرشاة GDI المرتبطة قبل خروج التيار المستمر عن النطاق. يمكنك إصلاح هذا عن طريق إنشاء الفرشاة أولاً والثاني DC ، لكن الكود الذي تعتمد قوته على متغيرات المكدس التي يتم إنشاؤها بترتيب معين هو رمز سيء بالفعل. بقدر ما يذهب الصيانة ، إنه كابوس.

    الحل هو تحديد CBrush خارج سياق الجهاز قبل أن يخرج كائن CPaintDC عن النطاق. لا توجد وظيفة UnselectObject ، ولكن يمكنك تحديد كائن خارج سياق الجهاز عن طريق التحديد في كائن آخر. يجعل معظم مبرمجي Windows من ممارسة حفظ المؤشر الذي تم إرجاعه بواسطة الاستدعاء الأول إلى SelectObject لكل نوع كائن ثم استخدام هذا المؤشر لإعادة تحديد الكائن الافتراضي. تتمثل إحدى الطرق القابلة للتطبيق أيضًا في تحديد كائنات المخزون في سياق الجهاز لاستبدال الكائنات المحددة حاليًا. يتم توضيح أول هاتين الطريقتين من خلال الكود التالي:

    الطريقة الثانية تعمل كالتالي:

    السؤال الكبير هو لماذا هذا ضروري. الحقيقة البسيطة هي أنه ليس كذلك. في الإصدارات الحديثة من Windows ، ليس هناك أي ضرر في السماح بحذف كائن GDI في جزء من الثانية قبل تحرير سياق الجهاز ، خاصة إذا كنت متأكدًا تمامًا من عدم إجراء أي رسم في غضون ذلك. ومع ذلك ، فإن تنظيف سياق الجهاز عن طريق إلغاء تحديد كائنات GDI التي حددتها هو ممارسة شائعة في برمجة Windows. إنه يعتبر أيضًا شكلًا جيدًا ، لذا فهو شيء سأفعله خلال هذا الكتاب.

    بالمناسبة ، يتم إنشاء كائنات GDI أحيانًا على الكومة ، مثل هذا:

    في مرحلة ما ، يجب تحديد القلم خارج سياق الجهاز وحذفه. قد يبدو رمز القيام بذلك كما يلي:

    نظرًا لأن وظيفة SelectObject تُرجع مؤشرًا إلى الكائن المحدد خارج سياق الجهاز ، فقد يكون من المغري محاولة إلغاء تحديد القلم وحذفه في خطوة واحدة:

    لكن لا تفعل هذا. تعمل بشكل جيد مع الأقلام ، لكنها قد لا تعمل مع الفرشاة. لماذا ا؟ لأنه إذا قمت بإنشاء اثنين من وحدات CBrush متطابقة ، فإن Windows 32 بت يحافظ على الذاكرة عن طريق إنشاء فرشاة GDI واحدة فقط وستنتهي باستخدام مؤشرين CBrush يشيران إلى نفس HBRUSH. (HBRUSH هو مقبض يعرّف بشكل فريد فرشاة GDI ، تمامًا كما يحدد HWND نافذة ويحدد HDC سياق الجهاز. يلتف CBrush على HBRUSH ويخزن مقبض HBRUSH في عضو بيانات m_hObject الخاص به.) لأن CDC :: SelectObject يستخدم جدولًا داخليًا تحتفظ به MFC لتحويل مقبض HBRUSH الذي تم إرجاعه بواسطة SelectObject إلى مؤشر CBrush ولأن هذا الجدول يفترض تعيين واحد إلى واحد بين HBRUSHes و CBrush es ، فقد لا يتطابق مؤشر CBrush الذي تحصل عليه مع مؤشر CBrush الذي تم إرجاعه من جديد. تأكد من تمرير حذف المؤشر الذي أرجعه جديد. ثم سيتم إتلاف كل من كائن GDI وكائن C ++ بشكل صحيح.

    تطبيق الحاكم

    أفضل طريقة للتعرف على فئات GDI و MFC التي تغلفها هي كتابة التعليمات البرمجية. لنبدأ بتطبيق بسيط للغاية. يحتوي الشكل 2-12 على الكود المصدري لـ Ruler ، وهو برنامج يرسم مسطرة مقاس 12 بوصة على الشاشة. يظهر ناتج المسطرة في الشكل 2-11.

    الشكل 2-11. نافذة الحاكم.

    الشكل 2-12. تطبيق الحاكم.

    حاكم

    حاكم. cpp

    يشبه هيكل Ruler بنية تطبيق Hello المقدم في الفصل 1. تمثل فئة CMyApp التطبيق نفسه. CMyApp :: InitInstance ينشئ إطار إطار عن طريق بناء كائن CMainWindow ، ويستدعي مُنشئ CMainWindow إنشاء لإنشاء النافذة التي تراها على الشاشة. CMainWindow :: OnPaint يعالج كل الرسم. يتم رسم جسم المسطرة باستخدام CDC :: Rectangle ، ويتم رسم علامات التجزئة باستخدام CDC :: LineTo و CDC :: MoveTo. قبل رسم المستطيل ، يتم تحديد فرشاة صفراء في سياق الجهاز بحيث يتم طلاء جسم المسطرة باللون الأصفر. يتم رسم الملصقات الرقمية باستخدام CDC :: TextOut ويتم وضعها فوق علامات التجزئة عن طريق استدعاء SetTextAlign باستخدام علامتي TA_CENTER و TA_BOTTOM وتمرير TextOut لإحداثيات أعلى كل علامة اختيار. قبل استدعاء TextOut لأول مرة ، يتم تعيين وضع خلفية سياق الجهاز على TRANSPARENT. وإلا ، فسيتم رسم الأرقام الموجودة على وجه المسطرة بخلفيات بيضاء.

    بدلاً من الترميز الثابت للسلاسل التي تم تمريرها إلى TextOut ، يستخدم Ruler CString :: Format لإنشاء نص سريعًا. CString هي فئة MFC التي تمثل سلاسل نصية.تعمل CString :: Format مثل وظيفة printf في لغة C ، حيث تقوم بتحويل القيم الرقمية إلى نص واستبدالها بالعناصر النائبة في سلسلة تنسيق. يستخدم مبرمجو Windows الذين يعملون في لغة C في كثير من الأحيان وظيفة :: wsprintf API لتنسيق النص. يقوم التنسيق بنفس الشيء بالنسبة لكائنات CString دون الحاجة إلى استدعاء دالة خارجية. وعلى عكس :: wsprintf ، يدعم التنسيق النطاق الكامل لرموز تنسيق printf ، بما في ذلك الرموز الخاصة بأنواع متغيرات الفاصلة العائمة والسلسلة.

    تستخدم المسطرة وضع التعيين MM_LOENGLISH لتوسيع نطاق إخراجها بحيث تتوافق بوصة واحدة على المسطرة مع بوصة منطقية واحدة على الشاشة. أمسك مسطرة حقيقية على الشاشة وستجد في معظم أجهزة الكمبيوتر أن البوصة المنطقية الواحدة تساوي أكثر بقليل من بوصة واحدة. إذا تم إخراج المسطرة إلى طابعة بدلاً من ذلك ، فستتطابق البوصات المنطقية والبوصة الفعلية تمامًا.


    محتويات

    كلمة "hyperbola" مشتقة من اليونانية ὑπερβολή ، والتي تعني "overrown" أو "overload" ، والتي اشتق منها المصطلح الإنجليزي hyperbole أيضًا. تم اكتشاف Hyperbolae بواسطة Menaechmus في تحقيقاته حول مشكلة مضاعفة المكعب ، ولكن تم تسميتها بعد ذلك بأجزاء من المخاريط المنفرجة. [3] يُعتقد أن مصطلح القطع الزائد صاغه أبولونيوس البيرجا (262 - 190 قبل الميلاد) في عمله النهائي على المقاطع المخروطية ، المخاريط. [4] أسماء القسمين المخروطيين العامين الآخرين ، القطع الناقص والقطع المكافئ ، مشتقة من الكلمات اليونانية المقابلة لـ "ناقص" و "مطبق" جميع الأسماء الثلاثة مستعارة من مصطلحات فيثاغورس السابقة التي أشارت إلى مقارنة الضلع من مستطيلات منطقة ثابتة بقطعة مستقيمة معينة. يمكن "تطبيق" المستطيل على المقطع (بمعنى أن يكون له طول متساوٍ) أو يكون أقصر من المقطع أو يتجاوز المقطع. [5]

    كموقع للنقاط تحرير

    يمكن تعريف القطع الزائد هندسيًا على أنه مجموعة من النقاط (موضع النقاط) في المستوى الإقليدي:

    القطع الزائد مع المعادلة ذ = أ/x يحرر

    وهكذا ، في س ص-نظام تنسيق الرسم البياني للدالة f: x ↦ A x، A & gt 0، < displaystyle f: x mapsto < tfrac > ، A & gt0 ،> مع المعادلة

    بواسطة خاصية directrix تحرير

    تم إثبات الحالة الثانية بالقياس.

    ال بيان معكوس هي أيضًا صحيحة ويمكن استخدامها لتعريف القطع الزائد (بطريقة مشابهة لتعريف القطع المكافئ):

    كما قسم مستوي من المخروط تحرير

    يعتبر تقاطع المخروط المزدوج المستقيم مع مستوى ليس من خلال الرأس مع ميل أكبر من ميل الخطوط على المخروط قطعًا زائدًا (انظر الشكل: المنحنى الأحمر). لإثبات الخاصية المميزة للقطع الزائد (انظر أعلاه) يستخدم المرء دائرتين من Dandelin d 1، d 2 < displaystyle d_ <1>، d_ <2>> ، وهي كرات تلامس المخروط على طول الدوائر c 1 < displaystyle c_ <1>> ، c 2 < displaystyle c_ <2>> والمستوى المتقاطع (القطع الزائد) عند النقاط F 1 > و F 2 >. اتضح أن: F 1، F 2 < displaystyle F_ <1>، F_ <2>> هي البؤر القطع الزائد.

    تحرير إنشاء الدبوس والسلسلة

    يمكن استخدام تعريف القطع الزائد من خلال بؤره وإرشاداته الدائرية (انظر أعلاه) لرسم قوس منه بمساعدة دبابيس وخيط ومسطرة: [10]

    جيل شتاينر لتحرير القطع الزائد

    تعتمد الطريقة التالية لإنشاء نقاط مفردة للقطع الزائد على توليد شتاينر لقسم مخروطي غير متحلل:

    1. جيل شتاينر موجود أيضًا للقطوع الناقصة والقطع المكافئ.
    2. يُطلق على جيل شتاينر أحيانًا اسم أ طريقة متوازي الأضلاع لأنه يمكن للمرء استخدام نقاط أخرى بدلاً من الرؤوس ، والتي تبدأ بمتوازي أضلاع بدلاً من مستطيل.

    الزوايا المحيطية للقطوع الزائدة ذ = أ/(x − ب) + ج وتحرير 3 نقاط

    مماثل لنظرية الزاوية المحيطية للدوائر ، يحصل المرء على

    نظرية الزاوية المحيطية للزوايا الزائدة:,: [11] [12]

    (الدليل: حساب مباشر. إذا كانت النقاط على القطع الزائد ، فيمكن للمرء أن يفترض أن معادلة القطع الزائد هي y = a / x < displaystyle y = a / x>.)

    نتيجة نظرية الزاوية المحيطية للقطوع الزائدة هي

    3 نقاط من معادلة القطع الزائد:

    كصورة أفينية لوحدة القطع الزائد x² − ذ² = 1 تعديل

    تعريف آخر للقطع الزائد يستخدم التحولات الأفينية:

    أي القطع الزائد هي الصورة الأفقية لوحدة القطع الزائد مع المعادلة x 2 - y 2 = 1 < displaystyle x ^ <2> -y ^ <2> = 1>. تمثيل حدودي

    لأن الظل عند الرأس يكون عموديًا على المحور الرئيسي للقطع الزائد ، يحصل المرء على المعلمة t 0 < displaystyle t_ <0>> للرأس من المعادلة

    يعطي تعريف القطع الزائد في هذا القسم تمثيلًا حدوديًا للقطع الزائد التعسفي ، حتى في الفضاء ، إذا سمح أحدهم f → 0، f → 1، f → 2 < displaystyle < vec > ! _ <0>، < vec > ! _ <1>، < vec > ! _ <2>> لتكون متجهات في الفضاء.

    كصورة أفينية للقطع الزائد ذ = 1/x يحرر

    في الرأس ، يكون الظل متعامدًا على المحور الرئيسي. لذلك

    ومعلمة الرأس هي

    تم إثبات الخصائص التالية للقطع الزائد بسهولة باستخدام تمثيل القطع الزائد المقدم في هذا القسم.

    تحرير البناء المماسي

    يمكن إعادة كتابة متجه الظل عن طريق التحليل إلى عوامل:

    توفر هذه الخاصية طريقة لبناء الظل عند نقطة على القطع الزائد.

    هذه الخاصية للقطع الزائد هي نسخة أفينية من 3 نقاط انحطاط لنظرية باسكال. [13]

    مساحة متوازي الأضلاع الرمادي

    مساحة متوازي الأضلاع الرمادي M A P B < displaystyle MAPB> في الرسم البياني أعلاه هي

    تحرير نقطة البناء

    الدليل البسيط هو نتيجة للمعادلة 1 t 1 a → = 1 t 2 b → < displaystyle < tfrac <1>>> < vec> = < tfrac <1>>> < vec >> .

    توفر هذه الخاصية إمكانية بناء نقاط القطع الزائد إذا تم إعطاء الخطوط المقاربة ونقطة واحدة.

    هذه الخاصية للقطع الزائد هي نسخة أفينية من 4 نقاط انحطاط لنظرية باسكال. [14]

    المماس - الخطوط المقاربة - المثلث تحرير

    تبادل الدائرة تحرير

    تبادل الدائرة ب في دائرة ج ينتج عنه دائمًا مقطع مخروطي مثل القطع الزائد. عملية "التبادل في دائرة ج"يتكون من استبدال كل خط ونقطة في شكل هندسي بالقطب المقابل والقطبي ، على التوالي عمود من الخط هو انعكاس أقرب نقطة له إلى الدائرة ج، في حين أن قطب نقطة ما هو العكس ، أي الخط الذي أقرب نقطة إليه ج هو انعكاس النقطة.

    الانحراف اللامركزي للقسم المخروطي الذي تم الحصول عليه بالمثل هو نسبة المسافات بين مركزي الدائرتين إلى نصف القطر ص دائرة التبادل ج. إذا ب و ج تمثل النقاط في مراكز الدوائر المقابلة ، ثم

    نظرًا لأن الانحراف اللامركزي للقطع الزائد يكون دائمًا أكبر من واحد ، المركز ب يجب أن تقع خارج الدائرة الترددية ج.

    يشير هذا التعريف إلى أن القطع الزائد هو في نفس الوقت موضع أقطاب خطوط المماس للدائرة ب، وكذلك مغلف الخطوط القطبية للنقاط الموجودة على ب. على العكس من ذلك ، الدائرة ب هو غلاف النقاط القطبية على القطع الزائد ، وموقع أقطاب الخطوط المماس للقطع الزائد. خطين مماسين ل ب ليس لها أقطاب (محدودة) لأنها تمر عبر المركز ج من دائرة التبادل ج أقطاب نقاط الظل المقابلة على ب هي الخطوط المقاربة للقطع الزائد. يتطابق فرعا القطع الزائد مع جزأي الدائرة ب مفصولة بنقاط الظل هذه.

    تحرير المعادلة التربيعية

    يمكن أيضًا تعريف القطع الزائد على أنه معادلة من الدرجة الثانية في الإحداثيات الديكارتية (x, ذ) في الطائرة،

    A x x x 2 + 2 A x y x y + A y y y 2 + 2 B x x + 2 B y y + C = 0، < displaystyle A_س ^ <2> + 2A_xy + A_ص ^ <2> + 2B_x + 2B_y + C = 0 ،>

    بشرط أن الثوابت أxx, أس ص, أس ص, بx, بذ، و ج تفي بالشرط المحدد

    يسمى هذا المحدد تقليديًا بمميز المقطع المخروطي. [15]

    حالة خاصة للقطع الزائد — the تحلل القطع الزائد يتكون من خطين متقاطعين - يحدث عندما يكون المحدد الآخر صفرًا:

    يسمى هذا المحدد Δ أحيانًا بمميز المقطع المخروطي. [16]

    بالنظر إلى المعلمات العامة المذكورة أعلاه للقطع الزائد في الإحداثيات الديكارتية ، يمكن العثور على الانحراف باستخدام الصيغة في القسم المخروطي # الانحراف المركزي من حيث المعاملات.

    المركز (xج, ذج) من القطع الزائد من الصيغ

    من حيث الإحداثيات الجديدة ، ξ = xxج و η = ذذج يمكن كتابة المعادلة المحددة للقطع الزائد

    تشكل المحاور الرئيسية للقطع الزائد زاوية φ مع الإيجابي x-المحور المعطى بواسطة

    تدوير محاور الإحداثيات بحيث يكون x- محاذاة المحور مع المحور العرضي يجلب المعادلة إلى داخلها شكل قانوني

    المحاور الرئيسية والثانوية أ و ب يتم تعريفها بواسطة المعادلات

    للمقارنة ، فإن المعادلة المقابلة للقطع الزائد المتدهور (تتكون من خطين متقاطعين) هي

    خط المماس لنقطة معينة (x0, ذ0) على القطع الزائد يتم تعريفه بواسطة المعادلة

    أين ه, F و جي يتم تعريفها بواسطة

    يتم إعطاء الخط العادي للقطع الزائد عند نفس النقطة بواسطة المعادلة

    الخط العمودي عمودي على خط المماس ، وكلاهما يمر عبر نفس النقطة (x0, ذ0).

    وللحصول على نقطة على الفرع الأيسر ،

    يمكن ان يثبت هذا على النحو التالي:

    إذا (x,ذ) هي نقطة على القطع الزائد تكون المسافة إلى النقطة البؤرية اليسرى

    إلى النقطة البؤرية الصحيحة المسافة

    إذا (x,ذ) هي نقطة على الفرع الأيمن من القطع الزائد ثم e x & gt a < displaystyle ex & gta ، !> and

    طرح هذه المعادلات يحصل المرء

    إذا (س ، ص) هي نقطة على الفرع الأيسر من القطع الزائد ثم e x & lt - a < displaystyle ex & lt-a ، !> and

    طرح هذه المعادلات يحصل المرء

    تحرير المعادلة

    إذا تم إدخال الإحداثيات الديكارتية بحيث يكون الأصل هو مركز القطع الزائد و x-المحور هو المحور الرئيسي ، ثم يسمى القطع الزائد فتح شرق-غرب و

    ال البؤر هي النقاط F 1 = (c، 0)، F 2 = (- c، 0) = (c، 0)، F_ <2> = (- c، 0)>، [ 17] ال الرؤوس هي V 1 = (a، 0)، V 2 = (- a، 0) = (a، 0)، V_ <2> = (- a، 0)>. [18]

    قم بإزالة الجذور التربيعية عن طريق التربيعات المناسبة واستخدم العلاقة ب 2 = ج 2 - أ 2 = c ^ <2> -a ^ <2>> للحصول على معادلة القطع الزائد:

    تسمى هذه المعادلة بالشكل المتعارف عليه للقطع الزائد ، لأن أي قطع زائد ، بغض النظر عن اتجاهه بالنسبة إلى المحاور الديكارتية وبغض النظر عن موقع مركزه ، يمكن تحويله إلى هذا النموذج عن طريق تغيير المتغيرات ، وإعطاء القطع الزائد مطابق للأصل (انظر أدناه).

    محاور التناظر أو المحاور الرئيسية هي المحور العرضي (تحتوي على مقطع بطول 2أ بنقاط نهاية عند الرؤوس) و المحور المترافق (تحتوي على مقطع بطول 2ب عمودي على المحور العرضي ونقطة المنتصف عند مركز القطع الزائد). [19] على عكس القطع الناقص ، فإن القطع الزائد له رأسان فقط: (أ ، 0) ، (- أ ، 0) . النقطتان (0 ، ب) ، (0 ، - ب) على المحاور المترافقة هي ليس على القطع الزائد.

    يتبع من المعادلة أن القطع الزائد هو متماثل فيما يتعلق بكل من محوري الإحداثيات وبالتالي متماثل فيما يتعلق بالأصل.

    تحرير الانحراف

    بالنسبة للقطع الزائد في الشكل المتعارف عليه أعلاه ، يتم إعطاء الانحراف عن طريق

    يتشابه القطبان الزائدين هندسيًا مع بعضهما البعض - مما يعني أنهما لهما نفس الشكل ، بحيث يمكن تحويل أحدهما إلى الآخر عن طريق الحركات الجامدة لليسار واليمين ، والتناوب ، والتقاط صورة معكوسة ، والقياس (التكبير) - فقط إذا لديهم نفس الغرابة.

    تحرير الخطوط المقاربة

    حل معادلة القطع الزائد (أعلاه) لعائد y < displaystyle y>

    ويترتب على ذلك أن القطع الزائد يقترب من السطرين

    بمساعدة الشكل الثاني يمكن للمرء أن يرى ذلك

    بالإضافة إلى ذلك ، من (2) أعلاه يمكن إظهار أن [21]

    تحرير المستقيم شبه العريض

    يُطلق على طول الوتر عبر إحدى البؤر ، المتعامدة مع المحور الرئيسي للقطع الزائد ، المستقيم العريض. نصفها هو المستقيم شبه العريض ف . يظهر الحساب

    تحرير الظل

    يميز خط الظل المعين القطع الزائد عن المقاطع المخروطية الأخرى. [22] اسمحوا F تكون المسافة من الرأس الخامس (على كل من القطع الزائد ومحوره من خلال البؤرتين) إلى التركيز الأقرب. ثم المسافة ، على طول الخط العمودي على هذا المحور ، من ذلك التركيز إلى النقطة P على القطع الزائد أكبر من 2F. المماس للقطع الزائد عند P يتقاطع مع ذلك المحور عند النقطة Q بزاوية ∠PQV أكبر من 45 درجة.

    تعديل القطع الزائد المستطيل

    تمثيل حدودي مع تعديل الجيب الزائدي / جيب التمام

    الذي يرضي المعادلة الديكارتية لأن cosh 2 ⁡ t - sinh 2 ⁡ t = 1. t- sinh ^ <2> t = 1.>

    مزيد من التمثيلات البارامترية معطاة في قسم المعادلات البارامترية أدناه.

    اقتران تعديل القطع الزائد

    يتم تحديد الإحداثيات القطبية المستخدمة بشكل شائع للقطع الزائد بالنسبة إلى نظام الإحداثيات الديكارتية الذي له أصل التركيز ومحوره x يشير إلى أصل "نظام الإحداثيات المتعارف عليه" كما هو موضح في الرسم التخطيطي الأول.
    في هذه الحالة تسمى الزاوية φ < displaystyle varphi> شذوذ حقيقي.

    بالنسبة إلى نظام الإحداثيات هذا ، يمتلك المرء ذلك

    مع الإحداثيات القطبية المتعلقة بـ "نظام الإحداثيات المتعارف عليه" (انظر الرسم البياني الثاني) يمتلك المرء ذلك

    بالنسبة للفرع الأيمن للقطع الزائد ، يكون نطاق φ < displaystyle varphi> هو

    تمامًا كما يتم تعريف الدوال المثلثية من حيث دائرة الوحدة ، يتم أيضًا تعريف الوظائف الزائدية من حيث وحدة القطع الزائد ، كما هو موضح في هذا الرسم البياني. في دائرة الوحدة ، الزاوية (بالتقدير الدائري) تساوي ضعف مساحة القطاع الدائري التي تقابلها تلك الزاوية. يتم تعريف الزاوية الزائدية المماثلة أيضًا على أنها ضعف مساحة القطاع الزائدي.

    يتم تعريف الوظائف الزائدية الأخرى وفقًا لجيب التمام الزائدي والجيب الزائدي ، على سبيل المثال

    المماس يشطر الزاوية بين السطور إلى البؤر تحرير

    تعديل نقاط المنتصف للأوتار المتوازية

    تقع نقاط المنتصف للأوتار المتوازية للقطع الزائد على خط يمر بالمركز (انظر الشكل).

    قد تقع نقاط أي وتر على فروع مختلفة من القطع الزائد.

    بالنسبة للأوتار المتوازية ، يكون الميل ثابتًا وتقع نقاط المنتصف للأوتار المتوازية على الخط y = 1 x 1 x 2 x. x_ <2> >> x .>

    إذا انحط الوتر إلى أ ظل، ثم تقسم نقطة اللمس مقطع الخط بين الخطوط المقاربة إلى نصفين.

    الظلال المتعامدة - تحرير تقويم

    قد تنتمي الظلال إلى نقاط على فروع مختلفة من القطع الزائد.

    العلاقة القطبية لتحرير القطع الزائد

    هذه العلاقة بين النقاط والخطوط هي انحياز.

    تسمى هذه العلاقة بين النقاط والخطوط الناتجة عن المخروط العلاقة القطبية أو فقط قطبية. القطب هو النقطة ، والقطب هو الخط. انظر القطب والقطبي.

    من خلال الحساب يتحقق المرء من الخصائص التالية للعلاقة القطبية للقطع الزائد:

    • للحصول على نقطة (قطب) على القطع الزائد القطبي هو الظل عند هذه النقطة (انظر الرسم البياني: P 1، p 1 ، p_ <1>>).
    • لقطب P في الخارج القطع الزائد ونقاط التقاطع بين قطبه مع القطع الزائد هي نقاط التماس لاثنين من المماسين اللذين يمران P < displaystyle P> (انظر الرسم البياني: P 2، p 2، P 3، p 3 ، p_ <2> ، P_ <3> ، p_ <3>>).
    • للحصول على نقطة في غضون القطع الزائد في القطبية ليس له نقطة مشتركة مع القطع الزائد. (انظر الرسم البياني: الفوسفور 4، ف 4 ، p_ <4>>).

    توجد العلاقات القطبية للقطع الناقص والقطب المكافئ أيضًا.

    خصائص أخرى تحرير

    • ما يلي متزامن: (1) دائرة تمر عبر بؤر القطع الزائد وتتركز في مركز القطع الزائد (2) أي من الخطوط المماس للقطع الزائد عند الرؤوس و (3) أي من الخطوط المقاربة للقطع الزائد. [23] [24]
    • ما يلي أيضًا متزامن: (1) الدائرة المتمركزة في مركز القطع الزائد والتي تمر عبر رؤوس القطع الزائد (2) إما الدليل و (3) أي من الخطوط المقاربة. [24]

    لا يحتوي طول القوس للقطع الزائد على تعبير مغلق الشكل. يمكن تحديد معلمات النصف العلوي من القطع الزائد كـ

    يمكن اشتقاق العديد من المنحنيات الأخرى من القطع الزائد عن طريق الانعكاس ، ما يسمى بالمنحنيات العكسية للقطع الزائد. إذا تم اختيار مركز الانعكاس كمركز القطع الزائد الخاص ، فإن المنحنى العكسي هو lemniscate من Bernoulli lemniscate هو أيضًا غلاف الدوائر المتمركز على القطع الزائد المستطيل ويمر عبر الأصل. إذا تم اختيار مركز الانعكاس عند التركيز أو قمة القطع الزائد ، فإن المنحنيات العكسية الناتجة تكون عبارة عن ليمسون أو ستروفويد ، على التوالي.

    عائلة من القطوع الزائدة متحد البؤر هي أساس نظام الإحداثيات الإهليلجية في بعدين. يتم وصف هذه القطع الزائدة بواسطة المعادلة

    حيث توجد البؤر على مسافة ج من الأصل على x-المحور ، وأين هي زاوية الخطوط المقاربة مع x-محور. كل القطع الزائد في هذه العائلة متعامد مع كل القطع الناقص الذي يشترك في نفس البؤر. يمكن إظهار هذا التعامد من خلال خريطة مطابقة لنظام الإحداثيات الديكارتية ث = ض + 1/ض، أين ض= x + iy هي الإحداثيات الديكارتية الأصلية ، و ث=ش + رابعا هم هؤلاء بعد التحول.

    يمكن الحصول على أنظمة إحداثيات متعامدة ثنائية الأبعاد أخرى تشتمل على أسطوانات زائدة عن طريق التعيينات المطابقة الأخرى. على سبيل المثال ، التعيين ث = ض 2 يحول نظام الإحداثيات الديكارتية إلى عائلتين من القطوع الزائدة المتعامدة.

    إلى جانب تقديم وصف موحد للدوائر ، والقطع الناقص ، والقطوع المكافئة ، والقطوع الزائدة ، يمكن أيضًا فهم المقاطع المخروطية كنموذج طبيعي لهندسة المنظور في الحالة التي يتكون فيها المشهد الذي يتم عرضه من دوائر ، أو بشكل عام شكل بيضاوي. عادةً ما يكون العارض عبارة عن كاميرا أو عين بشرية وصورة المشهد عبارة عن إسقاط مركزي على مستوى صورة ، أي أن جميع أشعة الإسقاط تمر بنقطة ثابتة ا، المركز. ال طائرة العدسة هو مستوى موازٍ لمستوى الصورة عند العدسة ا.

    صورة الدائرة ج هي

    أ) أ دائرة، إذا دائرة ج في وضع خاص ، على سبيل المثال موازٍ لمستوى الصورة وغيرها (انظر الإسقاط المجسم) ، ب) أ الشكل البيضاوي، إذا ج لديها لا نقطة مع مستوى العدسة المشترك ، ج) أ القطع المكافئ، إذا ج لديها واحد أشر مع مستوى العدسة بشكل مشترك و د) أ القطع الزائد، إذا ج لديها اثنين النقاط مع مستوى العدسة المشترك.

    (مواضع خاصة حيث يحتوي المستوى الدائري على نقطة ا تم حذفها.)

    يمكن فهم هذه النتائج إذا أدرك المرء أن عملية الإسقاط يمكن رؤيتها في خطوتين: 1) الدائرة ج والنقطة ا قم بإنشاء مخروط وهو 2) مقطوعًا بمستوى الصورة ، من أجل إنشاء الصورة.

    يرى المرء قطعًا زائدًا كلما شاهد جزءًا من دائرة مقطوعة بواسطة مستوى العدسة. عدم القدرة على رؤية الكثير من أذرع الفرع المرئي ، جنبًا إلى جنب مع الغياب الكامل للفرع الثاني ، يجعل من المستحيل تقريبًا على النظام البصري البشري التعرف على الارتباط مع القطوع الزائدة.

    ساعات شمسية تحرير

    يمكن رؤية القطوع الزائدة في العديد من الساعات الشمسية. في أي يوم من الأيام ، تدور الشمس في دائرة على الكرة السماوية ، وتضرب أشعةها النقطة على الساعة الشمسية وتتتبع مخروطًا من الضوء. يشكل تقاطع هذا المخروط مع المستوى الأفقي للأرض مقطعًا مخروطيًا. في معظم خطوط العرض المأهولة بالسكان وفي معظم أوقات السنة ، يكون هذا الجزء المخروطي عبارة عن قطع زائد. من الناحية العملية ، فإن ظل طرف القطب يرسم القطع الزائد على الأرض على مدار اليوم (يسمى هذا المسار خط الانحدار). يختلف شكل هذا القطع الزائد باختلاف خط العرض الجغرافي وتوقيت السنة ، لأن هذه العوامل تؤثر على مخروط أشعة الشمس بالنسبة إلى الأفق. كان يسمى جمع هذه القطع الزائدة لمدة عام كامل في موقع معين a بيليكينون من قبل الإغريق ، لأنه يشبه الفأس ذو النصل المزدوج.

    تحرير متعدد الأطراف

    القطع الزائد هو الأساس لحل مشاكل تعدد الأطراف ، ومهمة تحديد موقع نقطة من الاختلافات في مسافاتها إلى نقاط معينة - أو على نحو مكافئ ، الفرق في أوقات وصول الإشارات المتزامنة بين النقطة والنقاط المحددة. هذه المشاكل مهمة في الملاحة ، خاصة على الماء ، يمكن للسفينة تحديد موقعها من الاختلاف في أوقات وصول الإشارات من أجهزة إرسال LORAN أو GPS. على العكس من ذلك ، يمكن تحديد موقع منارة التوجيه أو أي جهاز إرسال عن طريق مقارنة أوقات وصول إشاراته في محطتي استقبال منفصلتين ، ويمكن استخدام هذه التقنيات لتتبع الأشياء والأشخاص. على وجه الخصوص ، مجموعة المواضع المحتملة لنقطة لها فرق مسافة 2أ من نقطتين معطاة القطع الزائد لفصل الرأس 2أ التي هي بؤرتا النقطتين المعطاة.

    المسار متبوعًا بجسيم تحرير

    المسار الذي يتبعه أي جسيم في مشكلة كبلر الكلاسيكية هو مقطع مخروطي. على وجه الخصوص ، إذا كانت الطاقة الكلية ه من الجسيم أكبر من الصفر (أي ، إذا كان الجسيم غير منضم) ، فإن مسار هذا الجسيم هو القطع الزائد. هذه الخاصية مفيدة في دراسة القوى الذرية وشبه الذرية عن طريق نثر الجسيمات عالية الطاقة على سبيل المثال ، أثبتت تجربة رذرفورد وجود نواة ذرية من خلال فحص تشتت جسيمات ألفا من ذرات الذهب. إذا تم تجاهل التفاعلات النووية قصيرة المدى ، تتفاعل النواة الذرية وجسيم ألفا فقط بواسطة قوة كولوم البغيضة ، والتي تفي بمتطلبات قانون التربيع العكسي لمشكلة كبلر.

    تعديل معادلة Korteweg – de Vries

    دالة المثلثات الزائدية sech x < displaystyle operatorname يظهر ، x> كحل واحد لمعادلة Korteweg – de Vries التي تصف حركة موجة soliton في قناة.

    تحرير زاوية ثلاثية

    كما هو موضح أولاً بواسطة Apollonius of Perga ، يمكن استخدام القطع الزائد لتقطيع أي زاوية ، وهي مشكلة هندسة مدروسة جيدًا. عند إعطاء زاوية ، ارسم أولاً دائرة تتمركز عند رأسها االذي يتقاطع مع جوانب الزاوية عند نقاط أ و ب. بعد ذلك ، ارسم الجزء المستقيم بنقاط النهاية أ و ب ومنصفه العمودي ℓ . بناء القطع الزائد من الانحراف ه= 2 مع ℓ < displaystyle ell> كدليل و ب كتركيز. يترك ص يكون التقاطع (العلوي) للقطع الزائد مع الدائرة. زاوية ص. ب زاوية ثلاثية AOB.

    كفاءة التحرير الحدودي للمحفظة

    في نظرية المحفظة ، يكون موضع المحافظ ذات الكفاءة المتوسطة التباين (يسمى الحد الفعال) هو النصف العلوي من فرع الفتح الشرقي للقطع الزائد المرسوم مع الانحراف المعياري لعائد المحفظة المرسوم أفقيًا وقيمته المتوقعة مخططة رأسياً وفقًا لهذه النظرية ، سيختار جميع المستثمرين العقلانيين محفظة تتميز بنقطة ما في هذا المكان.

    تحرير الكيمياء الحيوية

    في الكيمياء الحيوية وعلم العقاقير ، تصف معادلة هيل ومعادلة هيل-لانجموير على التوالي الاستجابات البيولوجية وتكوين مجمعات البروتين-الترابط كوظائف لتركيز الترابط. كلاهما زائدي مستطيل.


    شاهد الفيديو: القطع الناقص - الدرس السادس - الوحدة السادسة - الصف 12- البحتة - الفصل الدراسي 2 (ديسمبر 2021).