مقالات

4.2: تصور الكسور (الجزء 2) - الرياضيات


نموذج الكسور المتكافئة

دعونا نفكر في آندي وبوبي وطعامهما المفضل مرة أخرى. إذا أكل آندي ( dfrac {1} {2} ) بيتزا وأكل بوبي ( dfrac {2} {4} ) من البيتزا ، فهل تناولوا نفس الكمية من البيتزا؟ بمعنى آخر ، هل ( dfrac {1} {2} = dfrac {2} {4} )؟ يمكننا استخدام البلاط الكسري لمعرفة ما إذا كان آندي وبوبي قد أكلوا ما يعادل أجزاء من البيتزا.

التعريف: الكسور المتكافئة

الكسور المتكافئة هي كسور لها نفس القيمة.

تعمل بلاطات الكسور كنموذج مفيد للكسور المتكافئة. قد ترغب في استخدام مربعات الكسور للقيام بالنشاط التالي. أو يمكنك عمل نسخة من الشكل 4.3 وتوسيعه ليشمل الأثمان ، والأعشار ، والثاني عشر.

ابدأ بقطعة ( dfrac {1} {2} ). كم عدد الأرباع يساوي نصفًا؟ كم عدد المربعات ( dfrac {1} {4} ) التي تغطي مربع ( dfrac {1} {2} ) بالضبط؟

الشكل ( PageIndex {7} )

نظرًا لأن اثنين من ( dfrac {1} {4} ) يغطيان مربع ( dfrac {1} {2} ) ، فإننا نرى أن ( dfrac {2} {4} ) هو نفسه ( dfrac {1} {2} ) أو ( dfrac {2} {4} = dfrac {1} {2} ).

كم عدد المربعات ( dfrac {1} {6} ) التي تغطي مربع ( dfrac {1} {2} )؟

الشكل ( PageIndex {8} )

نظرًا لأن ثلاثة ( dfrac {1} {6} ) تغطي البلاط ( dfrac {1} {2} ) ، فإننا نرى أن ( dfrac {3} {6} ) هو نفسه ( dfrac {1} {2} ). لذلك ، ( dfrac {3} {6} = dfrac {1} {2} ). الكسور هي كسور متكافئة.

مثال ( PageIndex {13} ): كسور مكافئة

استخدم بلاطات الكسور لإيجاد الكسور المتكافئة. أظهر نتيجتك مع الشكل.

  1. كم ثمانية يساوي النصف؟
  2. كم من عشرة يساوي النصف؟
  3. كم من اثني عشر يساوي النصف؟

حل

  1. يتطلب الأمر أربعة ( dfrac {1} {8} ) بلاطات لتغطية مربع ( dfrac {1} {2} ) تمامًا ، لذلك ( dfrac {4} {8} = dfrac {1 } {2} ).

  1. يتطلب الأمر خمسة ( dfrac {1} {10} ) بلاطات لتغطية مربع ( dfrac {1} {2} ) تمامًا ، لذلك ( dfrac {5} {10} = dfrac {1 } {2} ).

  1. يتطلب الأمر ستة ( dfrac {1} {12} ) بلاطات لتغطية مربع ( dfrac {1} {2} ) تمامًا ، لذلك ( dfrac {6} {12} = dfrac {1 } {2} ).

لنفترض أنه تم وضع علامة على المربعات ( dfrac {1} {20} ). كم منها سيستغرق الأمر ليساوي ( dfrac {1} {2} )؟ هل تفكر في عشرة مربعات؟ إذا كنت على حق ، فأنت على حق ، لأن ( dfrac {10} {20} = dfrac {1} {2} ).

لقد أظهرنا أن ( dfrac {1} {2} ، dfrac {2} {4} ، dfrac {3} {6} ، dfrac {4} {8} ، dfrac {5} {10} و dfrac {6} {12} ) و ( dfrac {10} {20} ) كلها كسور متساوية.

تمرين ( PageIndex {25} )

استخدم بلاطات الكسور لإيجاد كسور متساوية: كم عدد الأثمان يساوي ربعًا؟

إجابه

(2)

تمرين ( PageIndex {26} )

استخدم بلاطات الكسور لإيجاد كسور متكافئة: كم من اثني عشر يساوي ربعًا؟

إجابه

(3)

أوجد الكسور المتكافئة

استخدمنا مربعات الكسور لإظهار أن هناك العديد من الكسور المكافئة لـ ( dfrac {1} {2} ). على سبيل المثال ، ( dfrac {2} {4} و dfrac {3} {6} ) و ( dfrac {4} {8} ) كلها مكافئة لـ ( dfrac {1} { 2} ). عندما قمنا بترتيب مربعات الكسر ، استغرق الأمر أربعة من مربعات ( dfrac {1} {8} ) لصنع نفس طول مربع ( dfrac {1} {2} ). أظهر هذا أن ( dfrac {4} {8} = dfrac {1} {2} ). راجع المثال ( PageIndex {13} ).

يمكننا إظهار ذلك بالبيتزا أيضًا. يوضح الشكل ( PageIndex {9a} ) بيتزا واحدة ، مقطعة إلى قطعتين متساويتين مع ( dfrac {1} {2} ) مظللة. يوضح الشكل ( PageIndex {9b} ) بيتزا ثانية بالحجم نفسه ، مقطعة إلى ثماني قطع مع ( dfrac {4} {8} ) مظللة.

الشكل ( PageIndex {9} )

هذه طريقة أخرى لتوضيح أن ( dfrac {1} {2} ) يعادل ( dfrac {4} {8} ). كيف يمكننا استخدام الرياضيات لتغيير ( dfrac {1} {2} ) إلى (frac {4} {8} )؟ كيف يمكنك أن تأخذ بيتزا مقطعة إلى قطعتين وتقطعها إلى ثماني قطع؟ يمكنك تقطيع كل من القطعتين الكبيرتين إلى أربع قطع أصغر! سيتم بعد ذلك تقطيع البيتزا بأكملها إلى ثماني قطع بدلاً من قطعتين فقط. رياضيا ، ما وصفناه يمكن كتابته على النحو التالي:

[ dfrac {1 cdot textcolor {blue} {4}} {2 cdot textcolor {blue} {4}} = dfrac {4} {8} nonumber ]

تؤدي هذه النماذج إلى خاصية الكسور المتكافئة ، والتي تنص على أنه إذا ضربنا بسط ومقام كسر في نفس العدد ، فإن قيمة الكسر لا تتغير.

التعريف: خاصية الكسور المتكافئة

إذا كانت (أ ) و (ب ) و (ج ) أرقام حيث (ب ≠ 0 ) و (ج ≠ 0 ) ، إذن

[ dfrac {a} {b} = dfrac {a cdot c} {b cdot c} ]

عند التعامل مع الكسور ، غالبًا ما يكون من الضروري التعبير عن نفس الكسر بأشكال مختلفة. لإيجاد صيغ معادلة لكسر ، يمكننا استخدام خاصية الكسور المتكافئة. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك الكسر نصف.

[ begin {split} dfrac {1 cdot textcolor {blue} {3}} {2 cdot textcolor {blue} {3}} = dfrac {3} {6} ؛ & وبالتالي ؛ dfrac {1} {2} = dfrac {3} {6} dfrac {1 cdot textcolor {blue} {2}} {2 cdot textcolor {blue} {2}} = dfrac {2} {4} ؛ & وبالتالي ؛ dfrac {1} {2} = dfrac {2} {4} dfrac {1 cdot textcolor {blue} {10}} {2 cdot textcolor {blue} {10}} = dfrac {10} {20} ؛ & وبالتالي ؛ dfrac {1} {2} = dfrac {10} {20} end {split} nonumber ]

لذلك نقول إن ( dfrac {1} {2} و dfrac {2} {4} و dfrac {3} {6} ) و ( dfrac {10} {20} ) الكسور المتكافئة.

مثال ( PageIndex {14} ): كسور مكافئة

أوجد ثلاثة كسور مكافئة لـ ( dfrac {2} {5} ).

حل

لإيجاد كسر مكافئ لـ ( dfrac {2} {5} ) ، نضرب البسط والمقام في العدد نفسه (لكن ليس صفرًا). دعونا نضربهم في (2 ) و (3 ) و (5 ).

[ dfrac {2 cdot textcolor {blue} {2}} {5 cdot textcolor {blue} {2}} = dfrac {4} {10} qquad dfrac {2 cdot textcolor { blue} {3}} {5 cdot textcolor {blue} {3}} = dfrac {6} {15} qquad dfrac {2 cdot textcolor {blue} {5}} {5 cdot textcolor {blue} {5}} = dfrac {10} {25} nonumber ]

إذن ، ( dfrac {4} {10} و dfrac {6} {15} ) و ( dfrac {10} {25} ) مكافئة لـ ( dfrac {2} {5} ).

تمرين ( PageIndex {27} )

أوجد ثلاثة كسور مكافئة لـ ( dfrac {3} {5} ).

إجابه

تتضمن الإجابات الصحيحة ( dfrac {6} {10} و dfrac {9} {15} ) و ( dfrac {12} {20} )

تمرين ( PageIndex {28} )

أوجد ثلاثة كسور مكافئة لـ ( dfrac {4} {5} ).

إجابه

تتضمن الإجابات الصحيحة ( dfrac {8} {10} و dfrac {12} {15} ) و ( dfrac {16} {20} )

مثال ( PageIndex {15} ): كسور مكافئة

أوجد كسرًا مقامه 21 يساوي ( dfrac {2} {7} ).

حل

لإيجاد الكسور المتكافئة ، نضرب البسط والمقام في العدد نفسه. في هذه الحالة ، علينا ضرب المقام في رقم ينتج عنه (21 ).

نظرًا لأنه يمكننا ضرب (7 ) في (3 ) للحصول على (21 ) ، يمكننا إيجاد الكسر المكافئ بضرب كل من البسط والمقام في (3 ).

[ dfrac {2} {7} = dfrac {2 cdot textcolor {blue} {3}} {7 cdot textcolor {blue} {3}} = dfrac {6} {21} nonumber ]

تمرين ( PageIndex {29} )

ابحث عن كسر مقامه (21 ) يعادل ( dfrac {6} {7} ).

إجابه

( dfrac {18} {21} )

تمرين ( PageIndex {30} )

أوجد كسر مقامه (100 ) والذي يعادل ( dfrac {3} {10} ).

إجابه

( dfrac {30} {100} )

حدد موقع الكسور والأعداد الكسرية على خط الأعداد

نحن الآن جاهزون لرسم الكسور على خط الأعداد. سيساعدنا هذا في تصور الكسور وفهم قيمها.

دعونا نحدد موقع ( dfrac {1} {5} ، dfrac {4} {5} ، 3 ، 3 dfrac {1} {3} ، dfrac {7} {4} ، dfrac {9} { 2} و 5 ) و ( dfrac {8} {3} ) على خط الأعداد. سنبدأ بالأعداد الصحيحة (3 ) و (5 ) لأنها أسهل طريقة للتخطيط.

الكسور المناسبة المدرجة هي ( dfrac {1} {5} ) و ( dfrac {4} {5} ). نعلم أن الكسور الصحيحة تحتوي على قيم أقل من واحد ، لذلك ( dfrac {1} {5} ) و ( dfrac {1} {5} ) يقعان بين الأعداد الصحيحة (0 ) و ( 1 ). المقامات كلاهما (5 ) ، لذلك نحتاج إلى تقسيم مقطع خط الأعداد بين (0 ) و (1 ) إلى خمسة أجزاء متساوية. يمكننا القيام بذلك عن طريق رسم أربع علامات متساوية التباعد على خط الأعداد ، والتي يمكننا بعد ذلك تصنيفها كـ ( dfrac {1} {5} ، dfrac {2} {5} ، dfrac {3} {5} ) و ( dfrac {4} {5} ). ارسم الآن النقاط على ( dfrac {1} {5} ) و ( dfrac {4} {5} ).

الرقم المختلط الوحيد المطلوب رسمه هو (3 dfrac {1} {3} ). ما بين عددين صحيحين (3 dfrac {1} {3} )؟ تذكر أن العدد الكسري هو عدد صحيح بالإضافة إلى كسر صحيح ، لذلك (3 dfrac {1} {3}> 3 ). نظرًا لأنه أكبر من (3 ) ، ولكن ليس وحدة كاملة أكبر ، فإن (3 dfrac {1} {3} ) يقع بين (3 ) و (4 ). نحتاج إلى تقسيم جزء خط الأعداد بين (3 ) و (4 ) إلى ثلاث قطع متساوية (أثلاث) ورسم (3 dfrac {1} {3} ) عند العلامة الأولى.

أخيرًا ، انظر إلى الكسور غير الصحيحة ( dfrac {7} {4} و dfrac {9} {2} ) و ( dfrac {8} {3} ). سيكون تحديد هذه النقاط أسهل إذا قمت بتغيير كل منها إلى رقم مختلط.

[ dfrac {7} {4} = 1 dfrac {3} {4} ، qquad dfrac {9} {2} = 4 dfrac {1} {2} ، qquad dfrac {8} { 3} = 2 dfrac {2} {3} nonumber ]

هذا هو خط الأعداد مع رسم جميع النقاط.

مثال ( PageIndex {16} ): تحديد الموقع والتسمية

حدد موقع ما يلي وقم بتسميته على سطر الأرقام: ( dfrac {3} {4} ، dfrac {4} {3} ، dfrac {5} {3} ، 4 dfrac {1} {5} ) و ( dfrac {7} {2} ).

حل

ابدأ بتحديد موقع الكسر المناسب ( dfrac {3} {4} ). يقع بين (0 ) و (1 ). للقيام بذلك ، قسّم المسافة بين (0 ) و (1 ) إلى أربعة أجزاء متساوية. ثم ارسم ( dfrac {3} {4} ).

بعد ذلك ، حدد موقع الرقم المختلط (4 dfrac {1} {5} ). يقع بين (4 ) و (5 ) على خط الأعداد. قسّم خط الأعداد بين (4 ) و (5 ) إلى خمسة أجزاء متساوية ، ثم ارسم (4 dfrac {1} {5} ) خمس المسافة بين (4 ) و (5 ).

الآن حدد موقع الكسور غير الصحيحة ( dfrac {4} {3} ) و ( dfrac {5} {3} ). من الأسهل رسمها إذا قمنا بتحويلها إلى أعداد مختلطة أولاً.

[ dfrac {4} {3} = 1 dfrac {1} {3} ، qquad dfrac {5} {3} = 1 dfrac {2} {3} nonumber ]

اقسم المسافة بين (1 ) و (2 ) إلى أثلاث.

بعد ذلك ، دعونا نرسم ( dfrac {7} {2} ). نكتبه في صورة عدد مختلط ، ( dfrac {7} {2} = 3 dfrac {1} {2} ). ارسمها بين (3 ) و (4 ).

يعرض خط الأعداد جميع الأرقام الموجودة على خط الأعداد.

تمرين ( PageIndex {31} )

حدد موقع ما يلي وقم بتسميته على سطر الأرقام: ( dfrac {1} {3} ، dfrac {5} {4} ، dfrac {7} {4} ، 2 dfrac {3} {5} ، dfrac {9} {2} ).

إجابه

تمرين ( PageIndex {32} )

حدد موقع ما يلي وقم بتسميته على سطر الأرقام: ( dfrac {2} {3} ، dfrac {5} {2} ، dfrac {9} {4} ، dfrac {11} {4} ، 3 dfrac {2} {5} ).

إجابه

في مقدمة الأعداد الصحيحة ، قمنا بتعريف عكس العدد. إنه الرقم الذي هو نفس المسافة من الصفر على خط الأعداد ولكن على الجانب المقابل للصفر. رأينا ، على سبيل المثال ، أن عكس (7 ) هو (- 7 ) وعكس (- ) 7 هو (7 ).

الكسور لها أضداد أيضًا. عكس ( dfrac {3} {4} ) هو (- dfrac {3} {4} ). إنها نفس المسافة من (0 ) على خط الأعداد ، ولكن على الجانب الآخر من (0 ).

سيساعدنا التفكير في الكسور السالبة على أنها معاكسة للكسور الموجبة في تحديد موقعها على خط الأعداد. لتحديد موقع (- dfrac {15} {8} ) على خط الأعداد ، فكر أولاً في مكان ( dfrac {15} {8} ). إنه كسر غير صحيح ، لذلك نحوله أولاً إلى العدد المختلط (1 dfrac {7} {8} ) ونرى أنه سيكون بين (1 ) و (2 ) على خط الأعداد . لذا فإن نقيضه ، (- dfrac {15} {8} ) ، سيكون بين (- 1 ) و (- 2 ) على خط الأعداد.

مثال ( PageIndex {17} ): تحديد الموقع والتسمية

حدد موقع ما يلي وقم بتسميته على سطر الأرقام: ( dfrac {1} {4} ، - dfrac {1} {4} ، 1 dfrac {1} {3} ، −1 dfrac {1} {3 } و dfrac {5} {2} ) و (- dfrac {5} {2} ).

حل

ارسم خط الأعداد. ضع علامة (0 ) في المنتصف ثم ضع علامة على عدة وحدات إلى اليسار واليمين.

لتحديد موقع ( dfrac {1} {4} ) ، قسّم الفاصل الزمني بين (0 ) و (1 ) إلى أربعة أجزاء متساوية. يمثل كل جزء ربع المسافة. لذلك ارسم ( dfrac {1} {4} ) عند العلامة الأولى.

لتحديد موقع (- dfrac {1} {4} ) ، قسّم الفاصل الزمني بين (0 ) و (- 1 ) إلى أربعة أجزاء متساوية. ارسم (- dfrac {1} {4} ) عند العلامة الأولى على يسار (0 ).

نظرًا لأن (1 dfrac {1} {3} ) يقع بين (1 ) و (2 ) ، قسّم الفاصل الزمني بين (1 ) و (2 ) إلى ثلاثة أجزاء متساوية. ارسم (1 dfrac {1} {3} ) عند العلامة الأولى على يمين (1 ). ثم بما أن (- 1 dfrac {1} {3} ) هو عكس (1 dfrac {1} {3} ) فهو يقع بين (- 1 ) و (- 2 ). قسّم الفترة الزمنية بين (- 1 ) و (- 2 ) إلى ثلاثة أجزاء متساوية. ارسم (- 1 dfrac {1} {3} ) عند العلامة الأولى على يسار (- 1 ).

لتحديد موقع ( dfrac {5} {2} ) و (- dfrac {5} {2} ) ، قد يكون من المفيد إعادة كتابتهما كأرقام مختلطة (2 dfrac {1} {2 } ) و (- 2 dfrac {1} {2} ). نظرًا لأن (2 dfrac {1} {2} ) يقع بين (2 ) و (3 ) ، اقسم الفاصل الزمني بين (2 ) و (3 ) إلى جزأين متساويين. ارسم ( dfrac {5} {2} ) عند العلامة. ثم بما أن (- 2 dfrac {1} {2} ) يقع بين (- 2 ) و (- 3 ) ، قسّم الفاصل الزمني بين (- 2 ) و (- 3 ) إلى جزئين متساويين. ارسم (- dfrac {5} {2} ) عند العلامة.

تمرين ( PageIndex {33} )

حدد موقع كل كسر من الكسور المعينة وقم بتسميتها على خط الأرقام: ( dfrac {2} {3} ، - dfrac {2} {3} ، 2 dfrac {1} {4} ، −2 dfrac {1 } {4} ، dfrac {3} {2} ، - dfrac {3} {2} )

إجابه

تمرين ( PageIndex {34} )

حدد موقع كل كسر من الكسور المعطاة وقم بتسميتها على خط الأعداد: ( dfrac {3} {4} ، - dfrac {3} {4} ، 1 dfrac {1} {2} ، −1 dfrac {1 } {2} ، dfrac {7} {3} ، - dfrac {7} {3} )

إجابه

ترتيب الكسور والأعداد الكسرية

يمكننا استخدام رموز عدم المساواة لترتيب الكسور. تذكر أن (a> b ) يعني أن (a ) على يمين (b ) على خط الأعداد. كلما ننتقل من اليسار إلى اليمين على خط الأعداد ، تزداد القيم.

مثال ( PageIndex {18} ): ترتيب

اطلب كل زوج من أزواج الأرقام التالية ، باستخدام (<) أو (> ):

  1. (- dfrac {2} {3} ) ____ (- 1 )
  2. (- 3 dfrac {1} {2} ) ____ (- 3 )
  3. (- dfrac {3} {7} ) ____ (- dfrac {3} {8} )
  4. (- 2 ) ____ (- dfrac {16} {9} )

حل

  1. (- dfrac {2} {3}> −1 )

  1. (- 3 dfrac {1} {2} <−3 )

  1. (- dfrac {3} {7} <- dfrac {3} {8} )

  1. (- 2 <- dfrac {16} {9} )

تمرين ( PageIndex {35} )

اطلب كل زوج من أزواج الأرقام التالية ، باستخدام (<) أو (> ):

  1. (- dfrac {1} {3} ) __ (- 1 )
  2. (- 1 dfrac {1} {2} ) __ (- 2 )
  3. (- dfrac {2} {3} ) __ (- dfrac {1} {3} )
  4. (- 3 ) __ (- dfrac {7} {3} )
الإجابة أ

(>)

الجواب ب

(>)

الجواب ج

(<)

الجواب د

(<)

تمرين ( PageIndex {36} )

اطلب كل زوج من أزواج الأرقام التالية ، باستخدام (<) أو (> ):

  1. (- 3 ) __ (- dfrac {17} {5} )
  2. (- 2 dfrac {1} {4} ) __ (- 2 )
  3. (- dfrac {3} {5} ) __ (- dfrac {4} {5} )
  4. (- 4 ) __ (- dfrac {10} {3} )
الإجابة أ

(>)

الجواب ب

(<)

الجواب ج

(>)

الجواب د

(<)

المفاهيم الرئيسية

  • ملك واحد
    • أي عدد ، باستثناء الصفر ، مقسومًا على نفسه هو واحد.
      ( dfrac {a} {a} = 1 ) ، حيث (a neq 0 ).
  • أعداد كسرية
    • يتكون الرقم المختلط من عدد صحيح (a ) وكسر ( dfrac {b} {c} ) حيث (c neq 0 ).
    • هو مكتوب على النحو التالي: (a dfrac {b} {c} ) (c neq 0 )
  • الكسور الصحيحة وغير الصحيحة
    • الكسر ( frac {a} {b} ) هو كسر صحيح إذا (a
  • حول كسر غير فعلي إلى عدد كسري.
    1. اقسم المقام على البسط.
    2. حدد حاصل القسمة والباقي والمقسوم عليه.
    3. اكتب الرقم المختلط كـ ( dfrac { text {باقي}} { text {divisor}} ).
  • حوّل عددًا كسريًا إلى كسر غير فعلي.
    1. اضرب العدد الصحيح في المقام.
    2. أضف البسط إلى المنتج الموجود في الخطوة 1.
    3. اكتب المجموع النهائي على المقام الأصلي.
  • خاصية الكسور المتكافئة
    • إذا كانت (a ) ، (b ) و (c ) أرقامًا حيث (b neq 0 ) ، (c neq 0 ) ، ثم ( dfrac {a} {b} = dfrac {a cdot c} {b cdot c} ]).

قائمة المصطلحات

الكسور المتكافئة

الكسور المتكافئة هي كسرين أو أكثر لهما نفس القيمة.

جزء

تمت كتابة الكسر ( dfrac {a} {b} ). في الكسر ، (أ ) هو البسط و (ب ) هو المقام. يمثل الكسر أجزاء من الكل. المقام (ب ) هو عدد الأجزاء المتساوية التي تم تقسيم الكل إليها ، ويشير البسط (أ ) إلى عدد الأجزاء التي تم تضمينها.

عدد كسري

يتكون الرقم المختلط من عدد صحيح (a ) وكسر ( dfrac {b} {c} ) حيث (c neq 0 ). هو مكتوب كـ (a dfrac {b} {c} ) ، حيث (c neq 0 ).

الكسور الصحيحة وغير الصحيحة

يكون الكسر ( dfrac {a} {b} ) مناسبًا إذا (a b ).

مع التدريب يأتي الإتقان

في التدريبات التالية ، ظلل أجزاء من الدوائر أو المربعات لتمثيل الكسور التالية.

  1. ( dfrac {1} {2} )
  2. ( dfrac {1} {3} )
  3. ( dfrac {3} {4} )
  4. ( dfrac {2} {5} )
  5. ( dfrac {5} {6} )
  6. ( dfrac {7} {8} )
  7. ( dfrac {5} {8} )
  8. ( dfrac {7} {10} )

في التمارين التالية ، استخدم الدوائر الكسرية لعمل أجمعات ، إن أمكن ، بالقطع التالية.

  1. 3 أثلاث
  2. 8 أثمان
  3. 7 أسداس
  4. 4 أثلاث
  5. 7 أخماس
  6. 7 أرباع

في التدريبات التالية ، قم بتسمية الكسور غير الصحيحة. ثم اكتب كل كسر غير فعلي في صورة عدد كسري.

في التدريبات التالية ، ارسم دوائر كسرية لنمذجة الكسر المحدد.

  1. ( dfrac {3} {3} )
  2. ( dfrac {4} {4} )
  3. ( dfrac {7} {4} )
  4. ( dfrac {5} {3} )
  5. ( dfrac {11} {6} )
  6. ( dfrac {13} {8} )
  7. ( dfrac {10} {3} )
  8. ( dfrac {9} {4} )

في التدريبات التالية ، أعد كتابة الكسر غير الفعلي في صورة عدد كسري.

  1. ( dfrac {3} {2} )
  2. ( dfrac {5} {3} )
  3. ( dfrac {11} {4} )
  4. ( dfrac {13} {5} )
  5. ( dfrac {25} {6} )
  6. ( dfrac {28} {9} )
  7. ( dfrac {42} {13} )
  8. ( dfrac {47} {15} )

في التدريبات التالية ، أعد كتابة العدد الكسري في صورة كسر غير فعلي.

  1. (1 dfrac {2} {3} )
  2. (1 dfrac {2} {5} )
  3. (2 dfrac {1} {4} )
  4. (2 dfrac {5} {6} )
  5. (2 dfrac {7} {9} )
  6. (2 dfrac {5} {7} )
  7. (3 dfrac {4} {7} )
  8. (3 dfrac {5} {9} )

في التدريبات التالية ، استخدم مربعات الكسور أو ارسم شكلًا لإيجاد كسور مكافئة.

  1. كم ستة يساوي ثلث؟
  2. كم من اثني عشر يساوي الثلث؟
  3. كم ثمانية يساوي ثلاثة أرباع؟
  4. كم من اثني عشر يساوي ثلاثة أرباع؟
  5. كم على أربعة يساوي ثلاثة أنصاف؟
  6. كم سداس يساوي ثلاثة أنصاف؟

في التدريبات التالية ، أوجد ثلاثة كسور مكافئة للكسر الآتي. اعرض عملك باستخدام الأرقام أو الجبر.

  1. ( dfrac {1} {4} )
  2. ( dfrac {1} {3} )
  3. ( dfrac {3} {8} )
  4. ( dfrac {5} {6} )
  5. ( dfrac {2} {7} )
  6. ( dfrac {5} {9} )

في التدريبات التالية ، ارسم الأرقام على خط الأعداد.

  1. ( dfrac {2} {3} ، dfrac {5} {4} ، dfrac {12} {5} )
  2. ( dfrac {1} {3} ، dfrac {7} {4} ، dfrac {13} {5} )
  3. ( dfrac {1} {4} ، dfrac {9} {5} ، dfrac {11} {3} )
  4. ( dfrac {7} {10}، dfrac {5} {2}، dfrac {13} {8}، 3 )
  5. (2 dfrac {1} {3}، −2 dfrac {1} {3} )
  6. (1 dfrac {3} {4} ، −1 dfrac {3} {5} )
  7. ( dfrac {3} {4} ، - dfrac {3} {4} ، 1 dfrac {2} {3} ، −1 dfrac {2} {3} ، dfrac {5} {2} ، - dfrac {5} {2} )
  8. ( dfrac {2} {5} ، - dfrac {2} {5} ، 1 dfrac {3} {4} ، −1 dfrac {3} {4} ، dfrac {8} {3} ، - dfrac {8} {3} )

في التمارين التالية ، رتب كل زوج من أزواج الأرقام التالية باستخدام <أو>.

  1. −1 __ (- dfrac {1} {4} )
  2. −1 __ (- dfrac {1} {3} )
  3. (- 2 dfrac {1} {2} ) __− 3
  4. (- 1 dfrac {3} {4} ) __− 2
  5. (- dfrac {5} {12} ) __ (- dfrac {7} {12} )
  6. (- dfrac {9} {10} ) __ (- dfrac {3} {10} )
  7. −3 __ (- dfrac {13} {5} )
  8. −4 __ (- dfrac {23} {6} )

الرياضيات اليومية

  1. مقاييس الموسيقى يتم تقسيم رقصة الرقص إلى تهم. A ( dfrac {1} {1} ) يحتوي العد على خطوة واحدة في العد ، و ( dfrac {1} {2} ) يحتوي العد على خطوتين في العد و 1 3 يحتوي على ثلاث خطوات في العد. كم عدد الخطوات في عدد ( dfrac {1} {5} )؟ ما نوع العد الذي يحتوي على أربع خطوات؟
  2. مقاييس الموسيقى غالبًا ما تستخدم الكسور في الموسيقى. في 4 4 مرة ، هناك أربع ملاحظات ربع في مقياس واحد.
    1. كم عدد التدابير التي ستدلي بها ثماني ملاحظات ربع سنوية؟
    2. تحتوي أغنية "عيد ميلاد سعيد لك" على 25 ملاحظة ربع سنوية. كم عدد المقاييس الموجودة في "عيد ميلاد سعيد لك؟"
  3. الخبز تحضر نينا خمسة أواني حلوى فدج لتقديمها بعد حفل موسيقي. لكل مقلاة ، تحتاج 1 2 كوب من الجوز.
    1. كم عدد أكواب الجوز التي تحتاجها لخمس أواني حلوى فدج؟
    2. هل تعتقد أنه من الأسهل قياس هذا المقدار عند استخدام كسر غير فعلي أو عدد كسري؟ لماذا ا؟

تمارين الكتابة

  1. أعط مثالاً من تجربتك الحياتية (خارج المدرسة) حيث كان من المهم فهم الكسور.
  2. اشرح كيفية تحديد موقع الكسر غير الصحيح ( dfrac {21} {4} ) على خط الأعداد حيث يتم تمييز الأعداد الصحيحة فقط من 0 إلى 10.

الاختيار الذاتي

(أ) بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

(ب) إذا كانت معظم الشيكات الخاصة بك:

…بثقة. تهانينا! لقد حققت الأهداف في هذا القسم. فكر في مهارات الدراسة التي استخدمتها حتى تتمكن من الاستمرار في استخدامها. ماذا فعلت لتصبح واثقًا من قدرتك على فعل هذه الأشياء؟ كن دقيقا.

... مع بعض المساعدة. يجب معالجة هذا بسرعة لأن الموضوعات التي لا تتقنها تصبح حفرًا في طريقك إلى النجاح. في الرياضيات ، كل موضوع يعتمد على عمل سابق. من المهم التأكد من أن لديك أساسًا قويًا قبل المضي قدمًا. من يمكنك طلب المساعدة؟ زملائك في الفصل والمدرس هم موارد جيدة. هل يوجد مكان في الحرم الجامعي يتوفر فيه مدرسو الرياضيات؟ هل يمكن تحسين مهاراتك الدراسية؟

... لا - لا أفهم! هذه علامة تحذير ويجب ألا تتجاهلها. يجب أن تحصل على المساعدة على الفور وإلا ستغرق بسرعة. راجع معلمك بأسرع ما يمكن لمناقشة وضعك. يمكنكما معًا وضع خطة لتزويدك بالمساعدة التي تحتاجها.


4.2: تصور الكسور (الجزء 2) - الرياضيات


الكسور الصحيحة وغير الصحيحة والمختلطة

في هذا ، يتم شرح ما يلي.

• الكسر المناسب: أصغر من الكل وبشكل صحيح جزء من الكل

• الكسر غير الصحيح: أكبر من الكل في صورة كسر

• الكسر المختلط: أكبر من الكل في صورة مزيج من عدد صحيح وكسر
مخطط الدرس

الخلط السليم وغير اللائق

ضع في اعتبارك الشكل المعطى. الجزء الملون هو تمثيل لكسر والجزء الرمادي يظهر فقط كتمثيل للكل.

الكسر الذي يمثله الجزء الملون في الشكل الآتي هو 2 4 2 4

الكسر الذي يمثله الجزء الملون في الشكل الآتي هو 6 4 6 4

تمثل الصورة الكسر 6 4 6 4. عدد الأجزاء في الكسر المعطى: 6 6
عدد الأجزاء التي تشكل الكل: 4 4
عدد الأجزاء في الكسر المعطى أكبر من عدد الأجزاء التي تشكل الكل.

تمثل الصورة الكسر 6 4 6 4. 4 4 أجزاء من الكسر المعطى يعاد ترتيبها لتكوين الكل والجزء 2 2 المتبقي معروض في مكان قريب. لذلك ، يمكن التعبير عن 6 4 6 4 على هذا النحو 1 2 4 1 2 4.

تمثل الصورة ثلاثة كسور

• الكسر المعطى بالجزء الأخضر: 1 4 1 4

• الكسر المعطى بأجزاء أرجوانية: 6 4 6 4

• الكسر الناتج من الأجزاء البرتقالية: 1 2 4 1 2 4

كلمة "كسر" تعني "جزء من الكل".

• في الكسور الثلاثة المعطاة ، يكون 1 4 1 4 فقط جزءًا من الكل. قيمة الكسر أقل من 1 1 ، والتي تعد جزءًا من الكل بشكل صحيح. تسمى هذه الكسور الكسور المناسبة.

• الكسر 6 4 6 4 أكبر من 1 1 ويمثل البسط في المقام. تسمى هذه الكسور الكسور غير الصحيحة.

• الكسر 1 2 4 1 2 4 أكبر من 1 1 ويتم تمثيله في صورة عدد صحيح مع كسر. تسمى هذه الكسور الكسور المختلطة.

كلمة "مناسبة" تعني: النوع المطلوب أو الصحيح. الكسور المناسبة هي كسور أصغر من الكل وتكون بشكل صحيح جزءًا من الكل.

كلمة "غير لائق" تعني: ليس من النوع الصحيح. الكسور غير الصحيحة هي كسور أكبر من الكل.

وتعني كلمة "مختلط": تتكون من كميات أو عناصر مختلفة. الكسور المختلطة هي الكسور التي تحتوي على عدد صحيح وكسر صحيح.

جزء الصحيح: عدد الأجزاء في الكسر (البسط) أقل من عدد الأجزاء التي تشكل الكل (المقام) المعطى كبسط مقسومًا على المقام. الكسور الصحيحة أقل من 1.

جزء غير لائق: عدد الأجزاء في الكسر (البسط) أكبر من عدد الأجزاء التي تشكل الكل (المقام) المعطى كبسط في المقام. الكسور غير الصحيحة أكبر من 1 في صورة بسط في المقام.

كسر مختلط: تم تحديده على أنه عدد أجمعين مع كسر. الكسور المختلطة أكبر من 1 وتُعطى كرقم صحيح متبوعًا ببسط في المقام.

ما نوع الكسر 3 7 3 7؟
الجواب هو "كسر مناسب".

ما نوع الكسر 17 7 17 7؟
الجواب هو "كسر غير لائق".

ما نوع الكسر 2 3 7 2 3 7؟
الجواب هو "الكسر المختلط".

ما نوع الكسر 7 30 35 7 30 35؟
الجواب هو "الكسر المختلط".

" جزء الصحيح
→ الكسر أصغر من الكل
→ على سبيل المثال: 2 4 2 4
" جزء غير لائق
→ الكسر أكبر من الكل
→ على سبيل المثال: 6 4 6 4
»كسر مختلط
→ عدد صحيح وكسر معطى معًا
→ على سبيل المثال: 1 2 4 1 2 4

التالي


نشاط 1: رسم تخطيطي لكل جزء (20 دقيقة)

رواية

الغرض من هذا النشاط هو تنشيط ما يعرفه الطلاب عن معنى وحجم الكسور غير المكونة من وحدات. يقوم الطلاب بمطابقة مجموعة من الكسور بالمخططات التي تمثلها. توجد 3 مجموعات من الكسور المتكافئة لتحفيز الطلاب على مشاركة ما يعرفونه عن الكسور المتكافئة.

لإضافة حركة إلى النشاط ، يمكن للطلاب التحقق من تطابقهم مع المجموعات الأخرى في الغرفة قبل التجميع.

المواد المطلوبة

إطلاق

  • مجموعات من 2
  • امنح كل طالب تصحيحًا
  • قم بتسجيل وعرض الكسر ( frac <1> <4> ).
  • "صِف لشريكك الشكل الذي سيبدو عليه الرسم التخطيطي لهذا الكسر."
  • 30 ثانية: مناقشة الشريك
  • قم بتسجيل وعرض الكسر ( frac <2> <4> ).
  • "صِف الشكل الذي سيبدو عليه الرسم التخطيطي لهذا الكسر."
  • 30 ثانية: مناقشة الشريك
  • مشاركة الردود.
  • "في درس سابق ، نظرنا إلى الكسور التي بها 1 للبسط. دعونا الآن نلقي نظرة على الكسور التي تحتوي على أرقام أخرى للبسط ".
  • كصف ، اقرأ بصوت عالٍ اسم كلمة كل جزء في المهمة.

نشاط

  • "خذ دقيقة للتفكير بهدوء حول كيفية مطابقة كل كسر بمخطط يمثله."
  • دقيقة واحدة: وقت التفكير الهادئ
  • "اعمل مع شريك لمطابقة كل جزء برسم تخطيطي. لا يوجد رسوم بيانية متطابقة في اثنين من الكسور. استخدم المخططات الفارغة لإنشاء تمثيلات لهم ".
  • 10 دقائق: وقت العمل الجماعي

يمثل كل رسم تخطيطي كامل 1. طابق كل كسر بمخطط تمثله أجزائه المظللة.

اثنان من الكسور غير ممثلة. إنشاء تمثيل لكل منهم.

قم بتوسيع الصورة

قم بتوسيع الصورة

قم بتوسيع الصورة

قم بتوسيع الصورة

قم بتوسيع الصورة

قم بتوسيع الصورة

قم بتوسيع الصورة

قم بتوسيع الصورة

قم بتوسيع الصورة

قم بتوسيع الصورة

قم بتوسيع الصورة

قم بتوسيع الصورة

قم بتوسيع الصورة

قم بتوسيع الصورة

قم بتوسيع الصورة

استجابة الطالب

يمكن للمعلمين الذين لديهم عنوان بريد إلكتروني صالح للعمل النقر هنا للتسجيل أو تسجيل الدخول للوصول المجاني إلى رد الطلاب.

توليف النشاط

  • ادعُ الطلاب لمشاركة طريقة عملهم في المباريات.
  • قم بتمييز التفسيرات التي تؤكد على معنى البسط والمقام في الكسر.
  • اسأل الطلاب عما إذا كانوا قد لاحظوا أن بعض المخططات لها نفس المقدار المظلل لكن الكسور التي يمثلونها لها أرقام مختلفة. "ما هي الرسوم البيانية التي تظهر هذا؟" (A و L و B و H و C و E و I و K)
  • "ماذا يعني أن المخططات التي تمثل هذه الكسور هي نفسها؟" (الكسور من نفس الحجم. قد يظهر أو لا يظهر مصطلح "مكافئ" في هذه المرحلة.)

الكسور أسئلة NCERT

3. في "المربع السحري" ، يكون مجموع الأرقام في كل صف وفي كل عمود وعلى طول القطر هو نفسه. هل هذه ساحة سحرية؟

4. ورقة مستطيلة الشكل

سم العرض.
5. أوجد محيط (i) ABE (ii) المستطيل BCDE في هذا الشكل. محيط من هو أكبر؟

6. يريد سليل وضع صورة في إطار. الصورة

سم العرض.
لتناسب الإطار ، لا يمكن أن يزيد عرض الصورة عن سم. كم يجب قطع الصورة؟
7. ريتو يأكلون

جزء من تفاحة وأكل تفاحة متبقية من قبل شقيقها سومو. كم جزء من التفاح أكل سومو؟ من لديه النصيب الأكبر؟ بكم؟
8. انتهى مايكل من تلوين صورة في

ساعة. أنهى Vaibhav من تلوين نفس الصورة بتنسيق

ساعة. من عمل لفترة أطول؟ بأي جزء كان أطول؟

1. أي من الرسومات (أ) إلى (د) توضح:

(i) & # 160 2 & # 215 1 5 & # 160 & # 160 (ii) & # 160 2 & # 215 1 2 & # 160 (iii) & # 160 3 & # 215 2 3 & # 160 (iv ) & # 160 3 & # 215 1 4

(أ)(ب)

(د)

2. ترد أدناه بعض الصور من (أ) إلى (ج). أخبر أي منهم يظهر:

(i) & # 160 3 & # 215 1 5 = 3 5 & # 160 & # 160 & # 160 (ii) & # 160 2 & # 215 1 3 = 2 3 & # 160 & # 160 (iii) & # 160 3 & # 215 3 4 = 2 1 4

(أ) /> (ب) />
(ج) />

3. اضرب واختزل إلى أدنى صورة وقم بتحويلها إلى كسر مختلط:

(i) & # 160 & # 160 1 2 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 دائرة & # 160 في & # 160 مربع & # 160 (a) & # 160 (ii) & # 160 2 3 & # 160 من & # 160 & # 160 مثلثات & # 160 في & # 160 مربع & # 160 (ب) & # 160 (ج) & # 160 3 5 & # 160 من & # 160 & # 160 المربعات & # 160 in & # 160 box & # 160 (c)

(أ) (ب) (ج)

(a) & # 160 1 2 & # 160 of & # 160 (i) & # 160 24 & # 160 (ii) & # 160 46 (b) & # 160 2 3 & # 160 of & # 160 (i) & # 160 18 & # 160 (ii) & # 160 27 & # 160 & # 160 (c) & # 160 3 4 & # 160 من & # 160 (i) & # 160 16 & # 160 (ii) & # 160 36 & # 160 & # 160 (د) & # 160 4 5 & # 160 & # 160 & # 160 (i) & # 160 20 & # 160 (ii) & # 160 35

6. اضرب وعبر في صورة كسر مختلط:

7. & # 160 F ind & # 160 (a) & # 160 1 2 & # 160 & # 160 (i) & # 160 2 3 4 & # 160 (ii) & # 160 4 2 9 (b) & # 160 5 8 من & # 160 (i) & # 160 3 5 6 & # 160 & # 160 (ii) & # 160 9 2 3

8. ذهبت فيديا وبراتاب في نزهة. أعطتهم والدتهم زجاجة ماء تحتوي على 5 لترات من الماء. استهلكت فيديا

من الماء. استهلك براتاب الماء المتبقي.
(ط) ما مقدار الماء الذي شربته فيديا؟
(2) ما هو الجزء من الكمية الإجمالية للمياه التي شربها براتاب؟

2. اضرب واختزل إلى أدنى شكل (إن أمكن):

3. اضرب الكسور التالية:

(i) & # 160 & # 160 2 7 & # 160 & # 160 3 4 & # 160 أو & # 160 & # 160 3 5 & # 160 & # 160 5 8 & # 160 (ii) & # 160 1 2 & # 160 من & # 160 6 7 & # 160 أو & # 160 & # 160 2 3 & # 160 من & # 160 3 7

5. سايلي يزرع 4 شتلات متتالية في حديقتها. المسافة بين شتلتين متجاورتين هي

م. أوجد المسافة بين الشتلة الأولى والأخيرة.

6. ليبيكا تقرأ كتابا عن

ساعات كل يوم. تقرأ الكتاب بأكمله في 6 أيام. كم عدد الساعات التي طلبتها لقراءة الكتاب؟

7. سيارة تسير مسافة 16 كم باستخدام لتر واحد من البنزين. كم ستقطع المسافة باستخدام


الكسور المستمرة ، الجزء الأول

الكسور المستمرة هي تمثيلات لكل من الأعداد المنطقية (المحدودة) والأرقام غير النسبية (اللانهائية). لاستعارة مثال من ويكيبيديا ، الكسر:

وهو تمثيل الكسر المستمر للعدد المنطقي.

هذه طريقة مرهقة لكتابة الكسر المستمر. يستخدم الترميز الحديث الأعداد الصحيحة التي تبني الكسر المستمر ويقدمها كقائمة: [4 2 ، 6 ، 7]. لذا ، إذا كنت تعرف القائمة ، يمكنك إيجاد الكسر. في هذه الحالة بالذات ، نبدأ من نهاية القائمة بالرقم 7 ونبدأ في بناء الكسر بـ 1/7. نأخذ العدد الصحيح التالي 6 ونكتب:

الآن اقلب الكسر. شطف. يكرر.

إن تفريغ جزء مستمر إلى قيمته الفعلية يصرخ لتطبيق Python. يمكننا كتابة دالة تكرارية تقشر القيم من نهاية القائمة وتبني الرقم المنطقي من تمثيل قائمة للكسر المستمر. بالطبع ، عندما نمرر القائمة ، نمررها كقائمة بايثون مناسبة. بالنسبة إلى [4 2، 6، 7] نجتاز [4، 2، 6، 7] ونحصل على مجموعة (البسط والمقام) في المقابل.


استكشف أوراق عمل الكسر بالتفصيل

افتح الباب لفهم الكسور للمتعلمين الأوائل من روضة الأطفال حتى الصف الثالث من خلال أوراق العمل الخاصة بنا للنصفين والثلث والأربع! الرسوم التوضيحية الملائمة للأطفال ، والتمارين الجذابة ، والأنشطة العملية تسمح للأطفال بامتصاص كل شيء عن النصف والثلث والأرباع.

ساعد أطفال الصف الثالث والرابع على فهم الكسور كأجزاء متساوية من الكل باستخدام الأشكال والأشياء الواقعية وشرائح البيتزا والكثير من نماذج الكسور المرئية! يتعرف على الكسور المناسبة ، وكسور الوحدات ، والأعداد الكسرية ، ويفعل الكثير.

هل تريد أن يكون الطفل بارعًا في تحديد الكسور في لمح البصر؟ استخدم أسلحة رائعة في العثور على البسط والمقام ، وإكمال الجدول عن طريق تكوين الكسور ، والمزيد باستخدام أوراق عمل pdf الديناميكية هذه.

ما نوع الكسر 1/4؟ نعم ، إنه جزء من وحدة. حدد الكسر الصحيح ، والكسر غير الصحيح ، والعدد المختلط ، وكسر الوحدة ، مثل الكسور ، على عكس الكسور مثل المحترف مع أوراق عمل الكسور القابلة للطباعة.

اختصر الكسر الصحيح والكسر غير الفعلي والأعداد الكسرية لأدنى حد لها.

أيهما أسهل في التفسير ، 1 1/4 أم 5/4؟ قد يجد بعض الطلاب أن العمل بأعداد مختلطة أصعب من الكسور غير الصحيحة ، بينما قد يجد البعض الآخر الكسور غير الصحيحة أسهل. قم بإعداد التحويل بين الاثنين باستخدام أوراق عمل pdf هذه!

أوراق عمل تفاعلية تستخدم شرائط الكسور ونموذج دائري ورسومات مرئية والمزيد.

تساعد أوراق عمل الكسور هذه على خط الأعداد الأطفال على فهم الكسور بصريًا.

أضف كسورًا متشابهة ، على عكس ، صحيحة وغير صحيحة ومختلطة. Special fractions such as unit and reciprocal fraction included.

Free subtraction worksheets include all types of fractions build with various skill levels.

Discern multiplying fractions by whole numbers using repeated addition, arrays, number line models, equal groups, and area models progress multiplying two and three fractions, multiplying fractions by mixed numbers, etc. solve a series of fraction multiplication word problems.

Plug into our printable dividing fractions worksheets and practice performing division of fractions by whole numbers, fractions by fractions, mixed number by fractions, and more!

Learn how fraction applied and used in real-life by practicing these word problems.

Explore our fraction comparison worksheets to effortlessly compare two fractions with like and unlike denominators. With a wide-range of models and exercises, these pdfs are a great practice tool for children.

Which is greater, 1 2/5 or 2 5/6? Compare such mixed numbers instantly and flawlessly with a devout practice of our mixed number comparison worksheets!

Arrange the fractions in either increasing or decreasing order.

Round the fractions to the nearest whole number or to the nearest half. Number lines are also included.


4.2: Visualize Fractions (Part 2) - Mathematics


In this, Comparing two fractions of different place values or denominators is explained. This covers

• comparing like fractions by the value of numerators.

• When comparing numerators, the integer comparison principles / procedures are applied.

• ascending and descending order of fractions
lesson outline

Let us quickly review comparing whole numbers and set on to understand comparing fractions.

The number 7 7 is "larger" than the number 3 3 .

The number 4 4 is "smaller" than the number 6 6 .

The number 5 5 is "equal" to the number 5 5 .

In whole numbers, we had studied the following.

Trichotomy Property of Comparison : Two numbers can be compared to find one of them as

Comparison by First Principle: Two quantities are matched one-to-one and compared in the count or magnitude of the quantities. As a result one of them is smaller or equal to or larger to the other. Example: Comparing the numbers 7 7 and 8 8 . The quantities represented by them is compared in the figure. It is found that 7 7 is smaller than 8 8 .

Simplified Procedure -- Comparison by ordered-sequence: To find if one numbers is larger or smaller than another number, the numbers are compared using the order 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , ⋯ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , ⋯ . Example: Comparing the numbers 4 4 and 7 7 .

4 4 is on the left-side to 7 7 in the order 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 and so 4 4 is smaller than 7 7 .

Comparison by Place-value -- Simplified Procedure to Compare Large Numbers: To find if one number is larger or smaller than another number, the digits at the highest place value are compared and if they are equal, then the digits at next lower place value are compared.

Given two whole numbers, they can be compared as

Can such comparison be done on two fractions?

Given two fractions 1 8 1 8 and 1 12 1 12 . The figure shows the fractions. 1 8 1 8 is shown in brown, and 1 12 1 12 is shown in purple color.

Comparing the quantities represented by the fractions, it is concluded that 1 8 1 8 is larger than 1 12 1 12 .

Given two fractions 3 4 3 4 and 5 8 5 8 . A picture to show the quantities is not given. Can these be compared?

Given two fractions 3 4 3 4 and 5 8 5 8 .

The figure shows the fractions. 3 4 3 4 is shown in brown, and 5 8 5 8 is shown in purple color.

With the figure, it is easy to find that one fraction is larger than another.
To compare these fractions, convert the fractions to like fractions having same place value

Given two fractions 3 4 3 4 and 5 8 5 8 . The fraction 3 4 3 4 is converted to 6 8 6 8 to make them like fractions.

Both 6 8 6 8 and 5 8 5 8 have the same place value 1 8 1 8 (ie: same denominator 8 8 ).

In this form, the numerators can be compared and 6 8 6 8 is larger, which means its equivalent fraction 3 4 3 4 is larger than 5 8 5 8 .

Two fractions can be compared by numerators after converting them into like fractions.

In whole numbers, 2 2 tens and 8 8 units are compared by converting 2 2 tens into 20 20 units. 20 20 units is larger than 8 8 units.

In fractions, the denominators represent the place values, and numbers of same place value can be compared. Numerators of like fractions are compared as whole numbers, and unlike fractions are converted to like fractions before the comparison.

Comparing fractions: First principles The numerators of two like fractions can be compared as whole numbers.

Unlike fractions are first converted into like fractions to compare them.

Given 3 4 3 4 and 2 3 2 3 , Which fraction is smaller?
The answer is ' 2 3 2 3 '. First, convert them to like fractions

LCM ( 4 , 3 ) = 12 LCM ( 4 , 3 ) = 12

Comparing the numerators 9 9 and 8 8 , it is concluded that 2 3 2 3 is smaller.

So far only positive fractions were considered for comparison. Fractions are directed numbers too. Fractions can be either positive or negative. Let us see how to compare such fractions.

Comparison of Integers -- First Principles: : Comparison is in terms of the amount received (or the aligned direction).

Amount given is smaller than amount received, as comparison is by amount received.

Larger amount given is smaller than smaller amount given, as comparison is by the amount received.

Comparison of Integers -- Simplified Procedure:

sign-property of comparison
• +ve and +ve are compared as whole numbers.
• When comparing +ve and -ve, the +ve value is larger irrespective of the absolute values of the numbers.
• When comparing -ve and -ve, the number with smaller absolute value is larger than the other.

The absolute values are compared as the simplified procedure detailed in whole numbers comparison by place-value.

3 4 3 4 and − 6 7 - 6 7 are compared. The numbers are, received: 3 4 received: 3 4 and given: 6 7 given: 6 7 in directed fractions form. Received, is greater than, given.

Negative fractions are smaller than positive fractions.

Comparing − 3 - 3 or − 6 - 6 . The comparison is in terms of received. When comparing in terms of amount received, given: 3 given: 3 is larger than given: 6 given: 6 .

The same is applicable for fractions. Negative fraction with larger absolute value is smaller than negative fraction with smaller absolute value.

Comparison of Negative and Positive fractions: : Comparison is in terms of the amount received.

Amount given is smaller than amount received, as comparison is by amount received.

Larger amount given is smaller than smaller amount given, as comparison is by the amount received.

sign-property of comparison
• +ve and +ve are compared as larger absolute value is larger fraction in value.
• When comparing +ve and -ve, the +ve value is larger irrespective of the absolute values of the numbers.
• When comparing -ve and -ve, the number with smaller absolute value is larger than the other.

Which of the following is smaller than the other? 1 2 1 2 or − 2 3 - 2 3
The answer is " − 2 3 - 2 3 ." As per sign property of comparison, the negative number is smaller than the positive number.

Which of the following is smaller than the other? − 1 2 - 1 2 or − 3 4 - 3 4
The answer is " − 3 4 - 3 4 "

Both the numbers are negative. So, the larger amount in negative is smaller in values. Comparing the numbers without the sign and converting them to like fractions, 3 4 3 4 is larger in value and so − 3 4 - 3 4 is smaller than − 1 2 - 1 2 .

Which of the following is larger than the other? − 3 4 - 3 4 or − 3 4 - 3 4
The answer is "the numbers are equal"

Which of the following is larger than the other? 3 4 3 4 or − 3 4 - 3 4
The answer is " 3 4 3 4 ". As per sign property of comparison, the positive number is larger than the negative number.

In whole numbers, we learned that the ordinal-property of the numbers is defined by `0<1<2<3 ⋯ < − 3 < − 2 < − 1 < 0 ⋯ < - 3 < - 2 < - 1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ⋯ < 1 < 2 < 3 < ⋯ .

Let us see how the ordinal property is extended to fractions. ⋯ < − 3 5 < − 2 5 < − 1 5 < 0 ⋯ < - 3 5 < - 2 5 < - 1 5 < 0 < 1 5 < 2 5 < 3 5 < ⋯ < 1 5 < 2 5 < 3 5 < ⋯

The ordinal property is best captured by the number-line.

• Number-line of whole numbers starts from 0 0 and extends in one direction. It consists of points at positions 0 , 1 , 2 , ⋯ 0 , 1 , 2 , ⋯ .

• Number-line of integers extends in both the directions. It consists of points at positions ⋯ , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , ⋯ ⋯ , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , ⋯

• Fractions are placed between the integers values. Number-line of fractions extends in both the directions.

Consider the number line of fractions. 1 2 1 2 is placed between points 0 0 and 1 1 .

The line-segment between 0 0 and 1 1 is split into 2 2 equal pieces. 1 2 1 2 is at the position of 1 1 piece as shown in the figure.

The fraction 2 3 4 2 3 4 , is placed between points 2 2 and 3 3 at third position of 4 4 pieces. The line-segment between 2 2 and 3 3 is split into 4 4 equal pieces. 2 3 4 2 3 4 is at the position of third piece as shown in the figure.

Given several fractions, to compare as largest or smallest, the fractions are converted to like fractions.

The ascending order was introduced in whole numbers. Given numbers are arranged from smallest to largest.

The descending order was introduced in whole numbers. Given numbers are arranged from largest to smallest.

Two or more fractions can be arranged in ascending order or descending order, after converting them to like fractions. The like fractions can be ordered based on the value of the numerators.

Two or more fractions can be compared to arrange them in
• ascending order : from the smallest to the largest
• descending order : from the largest to the smallest

Arrange the numbers in ascending order − 23 4 - 23 4 , 7 3 7 3 , 42 3 42 3 .
The answer is " − 23 4 - 23 4 , 7 3 7 3 , 42 3 42 3 "

Arrange the numbers in descending order 8 5 8 5 , 9 10 9 10 , − 9 2 - 9 2 .
The answer is " 8 5 8 5 , 9 10 9 10 , − 9 2 - 9 2 "

Arrange the numbers in descending order 2 27 2 27 , 2 9 2 9 , 2 36 2 36 .
The answer is " 2 9 2 9 , 2 27 2 27 , 2 36 2 36 "

» convert the fractions to like fractions and compare the numerators.
→ 3 4 ? 2 3 3 4 ? 2 3
→ 3 4 = 9 12 3 4 = 9 12 and 2 3 = 8 12 2 3 = 8 12
→ 9 > 8 9 > 8 ⇒ ⇒ 9 12 > 8 12 9 12 > 8 12
→ 3 4 > 2 3 3 4 > 2 3

In comparing numerators as integers, the following principles / procedures of integer comparion is used.
• Comparison by First Principle
• Simplified Procedure -- Comparison by ordered-sequence
• Comparison by Place-value
• sign-property of comparison
التالي


4.2: Visualize Fractions (Part 2) - Mathematics


Addition and Subtraction of Fractions

In this addition and subtraction of fractions is covered with the following.

• adding or subtracting the numerators of like fractions
lesson outline

In whole numbers, we had studied the following.

Addition - First Principles : Two numbers are considered, each of which represents a count or measurement. The quantities represented by the numbers are combined to form a result representing a combined count or measurement. The combined count or measurement is the result of addition.

eg: 20 20 and 13 13 are combined together 20 + 13 = 33 20 + 13 = 33 .

13 13 is also an addend

Subtraction - First Principles : Two numbers are considered, each of which represents a count or measurement. From one amount represented by the first number, the amount represented by the second is taken away to form a result representing the remaining amount. The count or measurement of the remaining amount is the result of subtraction.

20 20 is the minuend

13 13 is the subtrahend

7 7 is the difference

There are two fractions represented in the figure in two colors. The sum of these two fractions is not simple addition of 3 3 and 2 2 , as the fractions have different place-values. Let us examine problems of addition of fractions.

Consider two other fractions shown in colored parts. The place value of the two fractions are given. The fractions are 3 8 3 8 and 2 8 2 8 . Since the place values are same, we can add the counts. The combined amount is 5 5 pieces in place value 8 8 . That is fraction 5 8 5 8 .

Given two fractions 1 4 1 4 and 3 8 3 8 in the figure. Can these be combined?

The combined quantities is not the sum of the number of pieces, as the 1 1 piece of 1 4 1 4 is double in size of 1 1 piece of 3 8 3 8 . So, it is better to convert the fractions to pieces of same sizes.

Given two fractions 1 4 1 4 and 3 8 3 8 in the figure, the fraction 1 4 1 4 is converted to equivalent fraction 2 8 2 8 .

The place value of the fractions are same, or in other words, the size of the pieces are same.

Now the pieces can be counted. The sum is calculated as 2 8 + 3 8 = 5 8 2 8 + 3 8 = 5 8 .

To add the two fractions, the fractions are converted first to like fractions.

Consider two other fractions shown in colored parts. The place value of the two fractions are given. The fractions are 3 8 3 8 and 2 8 2 8 .

Subtracting of 2 8 2 8 from 3 8 3 8 : 3 8 − 2 8 3 8 - 2 8 . Since the place values or denominators are equal, we can subtract the counts. The remaining amount is 1 1 piece in place value 1 8 1 8 . That is fraction 1 8 1 8 .

Consider the two fractions from the figure, 3 8 3 8 and 1 4 1 4 . Can these be subtracted?

As the 1 1 piece of 1 4 1 4 is double in size of 1 1 piece of 3 8 3 8 , these cannot be subtracted directly. So, the fractions are converted to same place values.

Given two fractions 3 8 3 8 and 1 4 1 4 in the figure, the fraction 1 4 1 4 is converted to equivalent fraction 2 8 2 8 . The place values or denominators of the fractions are equal, or in other words, the size of the pieces are same.

Now the pieces can be taken away. The difference is calculated as 3 8 − 2 8 = 1 8 3 8 - 2 8 = 1 8 .

To subtract the two fractions, the fractions are converted first to like fractions.

Convert the fractions to "like fractions" (having same place value) to add or subtract numerators.

Fractions are directed numbers with positive and negative values.

So far we considered only positive fractions while learning addition and subtraction. Now, let us consider addition and subtraction of positive and negative fractions.

Integer Addition -- First Principles : Directed whole numbers addition is combining the two amounts with direction information taken into account.

Examples are:
• received: 3 received: 3 + received: 2 received: 2 = received: 5 received: 5
3 + 2 = 5 3 + 2 = 5

• received: 3 received: 3 + given: 2 given: 2 = received: 1 received: 1
3 + ( − 2 ) = 3 − 2 = 1 3 + ( − 2 ) = 3 − 2 = 1

• given: 3 given: 3 & received: 2 received: 2 = given: 1 given: 1
− 3 + 2 = − 1 - 3 + 2 = - 1

• received: 3 received: 3 & given: 5 given: 5 = given: 2 given: 2
3 + ( − 5 ) = 3 − 5 = − 2 3 + ( − 5 ) = 3 − 5 = − 2

• given: 3 given: 3 + given: 2 given: 2 = given: 5 given: 5
− 3 + ( − 2 ) = − 5 − 3 + ( − 2 ) = − 5

adding directed fractions

Adding two fractions − 1 4 - 1 4 and 1 2 1 2 .

The fractions are unlike fractions, and so are converted to like fractions first.
− 1 4 = given: 1 4 - 1 4 = given: 1 4
1 2 = received: 2 4 1 2 = received: 2 4

Given 1 count and received 2 counts together is received 1 count.

So, − 1 4 + 1 2 = + 1 4 - 1 4 + 1 2 = + 1 4

Adding two fractions 1 4 1 4 and − 1 2 - 1 2 .

The given fractions are unlike fractions and so are converted to like fractions.

1 4 = received: 1 4 1 4 = received: 1 4
− 1 2 = given: 2 4 - 1 2 = given: 2 4

Received 1 1 count and given 2 2 counts together is given 1 1 count.

So, 1 4 + − 1 2 = − 1 4 1 4 + - 1 2 = - 1 4

Adding two fractions − 1 4 - 1 4 and − 1 2 - 1 2 .

The like fractions in directed format are
− 1 4 = given: 1 4 - 1 4 = given: 1 4
− 1 2 = given: 2 4 - 1 2 = given: 2 4

Given 1 1 count and given 2 2 counts together is given 3 3 counts.

So, − 1 4 + − 1 2 = − 3 4 - 1 4 + - 1 2 = - 3 4

take away directed numbers

Integer Subtraction -- First Principles : Directed whole numbers subtraction is taking away an amount from another with direction information taken into account.

Examples are :
• from received: 5 received: 5 , taking away received: 2 received: 2 is equivalently, combining received: 5 received: 5 and given: 2 given: 2
5 − 2 = 5 + ( − 2 ) 5 - 2 = 5 + ( - 2 )
• from received: 5 received: 5 , taking away given: 2 given: 2 is equivalently, combining received: 5 received: 5 and received: 2 received: 2
5 − ( − 2 ) = 5 + ( + 2 ) 5 - ( - 2 ) = 5 + ( + 2 )
• from given: 5 given: 5 , taking away received: 2 received: 2 is equivalently, combining given: 5 given: 5 and given: 2 given: 2
( − 5 ) − 2 = ( − 5 ) + ( − 2 ) ( - 5 ) - 2 = ( - 5 ) + ( - 2 )
• from given: 5 given: 5 , taking away given: 2 given: 2 is equivalently, combining given: 5 given: 5 and received: 2 received: 2
( − 5 ) − ( − 2 ) = ( − 5 ) + ( + 2 ) ( - 5 ) - ( - 2 ) = ( - 5 ) + ( + 2 )

take away directed fractions

Subtracting − 1 4 − 1 2 - 1 4 - 1 2 .

The given fractions are unlike fractions and so are converted to like fractions.

Subtraction is converted into addition. = − 1 4 + − 2 4 = - 1 4 + - 2 4

Addition of Fractions: First Principles Addition is performed only when addends are like fractions.

Any unlike fractions are converted to like fractions to perform addition.

Fractions are directed numbers, having positive and negative values. The direction information is taken into account while performing addition.

Subtraction of Fractions : first principles Subtraction by subtrahend is addition of additive inverse of subtrahend.

We learned the addition and subtraction of fractions in first principles. In whole numbers and integers, we studied simplified procedures. Let us review those procedures and develop a simplified procedure for addition and subtraction of fractions.

In whole numbers, we had studied the following.

Addition by Place-value with regrouping -- simplified procedure : Two numbers are added as per the following procedure:

• the place-value positions are arranged units under units, 10 10 s under 10 10 s, etc.

• the units are added and if the result has 10 10 numbers, then it is carried to the 10 10 s place.

• The addition is continued to the higher place-value position. The carry over is the simplification of combining 10 10 of a place value to a higher place value.

Addition of Integers Simplified Procedure : Two numbers with signs positive or negative are added as follows.

sign-property of addition

• +ve + + +ve is whole number addition

• +ve + + -ve is subtraction as given below
absolute values of the two numbers are compared
subtract the number of smaller absolute value from the number of larger absolute value. The difference is the absolute value of the result.
the sign of result is the sign of the number with larger absolute value

• -ve + + -ve is addition of absolute values with negative sign.

The addition or subtraction of absolute values in the procedure are detailed in addition by place-value و subtraction by place-value

Integer Subtraction Simplified Procedure : Sign-Property of Integer Subtraction:

Integer subtraction is handled as integer addition with addends (a) minuend and (b) the negative of subtrahend.

minuend − subtrahend minuend - subtrahend
= minuend as addend = minuend as addend + negative of subtrahend as addend + negative of subtrahend as addend

Convert Unlike to Like fractions The procedural simplification is as follows.
Two fractions p q p q and l m l m are given. Find the LCM of denominators q q and m m such that LCM = q × i = m × j LCM = q × i = m × j . Then convert the fractions to equivalent fractions p × i q × i p × i q × i and l × j m × j l × j m × j . These are like fractions.

Addition or Subtraction of Fractions: Simplified Procedure Convert the unlike fractions to like fraction and add /subtract the numerators as integers.

Addition and subtraction of numerator uses the following from whole numbers and integers

• Sign Property of Integer addition

• Subtraction is Addition of Additive Inverse

• Whole numbers Addition by Place value

Find the sum of 323 999 323 999 and 297 999 297 999 .
The answer is " 620 999 620 999 ".

This problem uses the following procedures
Whole number Addition by Place Value

Find the sum of − 3 8 - 3 8 and 2 6 2 6 .
The answer is " − 1 24 - 1 24 ".

This problem uses the following procedures
conversion into like fractions
sign property of integer addition

Find the sum of 1 1 and − 1 4 - 1 4 .
The answer is " 3 4 3 4 ". To solve this problem, the fractions are converted to like fractions and signed property of integer addition is used.

Find the difference of − 3 8 − 2 6 - 3 8 - 2 6 .
The answer is " − 17 24 - 17 24 "

This problem uses the following procedures
conversion into like fractions
conversion of subtraction into addition of negative of subtrahend
sign property of integer addition

Find the sum of 1 − − 1 4 1 - - 1 4
The answer is " 1 1 4 1 1 4 ".

» Convert the fractions to like fractions and add numerators
→ subtraction is inverse of addition
3 4 + 2 3 3 4 + 2 3
= 9 12 + 8 12 = 9 12 + 8 12
= 17 12 = 17 12

Addition or Subtraction of Fractions: Simplified Procedure Convert the unlike fractions to like fractions and add /subtract the numerators.

Addition and subtraction of numerator uses the following from whole numbers and integers


MathHelp.com

Instead, you will use so-called "improper" fractions (also sometimes called "vulgar" fractions), being fractions where the top number is bigger than the bottom number.

The standard way to convert a mixed number to an improper fraction is to multiply the bottom number by the "regular" number, add in the top number, and then put this on top of the original bottom number as a new fraction.

For instance, to convert 1 1 /2 to an improper fraction, you do the following:

I multiplied the bottom 2 by the "regular" 1 , and then added in the 1 from on top, getting 3 . Then I put this 3 on top of the 2 from underneath.

Convert to an improper fraction.

To do the conversion, I'll multiply the denominator (the 16 ) by the whole number (the 2 ) to get 32 . Then I'll add the numerator (the 3 ) to 32 to get the new numerator ( 35 ). The denominator will remain the same namely, 16 .

Convert to an improper fraction.

To do the conversion, I'll multiply the denominator (the 5 ) by the whole number (the 6 ) to get 30 . Then I'll add the numerator (the 2 ) to 30 to get the new numerator ( 32 ). The denominator will remain the same namely, 5 .

You can use the Mathway widget below to practice converting a percentage to a decimal. Try the entered exercise, or type in your own exercise. Then click the button to compare your answer to Mathway's. (Or skip the widget and continue with the lesson.)

(Click here to be taken directly to the Mathway site, if you'd like to check out their software or get further info.)

To go from an improper fraction to a mixed number, you remember that "fractions are division", and you apply long division to find a whole-number quotient, plus a remainder. In other words, you divide the top number by the bottom number. Whatever you get on top of the division symbol is the quotient, and is your "regular number" part of the mixed number. Whatever your remainder is, put that number on top of the number you divided by this is the fractional portion of your mixed number.

Note: When you're converting from improper fraction to mixed numbers, do ليس continue the long division into decimal places. Just find the quotient and the remainder. Then stop.

Convert to a mixed number.

First, I do the long division to find the whole-number part (being the quotient) and the remainder:

The quotient, across the top, is 11 , so this will be the whole-number portion of the mixed number. Since the remainder is 1 and I'm dividing by 4 , the fractional part will be 1 /4 .

You can use the Mathway widget below to practice converting an improper fraction to a mixed number. Try the entered exercise, or type in your own exercise. Then click the button to compare your answer to Mathway's. (Or skip the widget and continue with the lesson.)

(Clicking on "Tap to view steps" on the widget's answer screen will take you to the Mathway site for a paid upgrade.)

This procedure works perfectly well on rational expressions (polynomial fractions). You can see this in the example below (or else you can jump on ahead to multiplying regular fractions):

Convert to a mixed number.

First, do the long division to find the regular polynomial part and the remainder:

The polynomial on top is " x + 1 " and the remainder is &ndash1 . Since you're dividing by " x + 2 ", the fractional part will be " (&ndash1)/(x + 2) ":


Comments (2)

Comment #4917 by Xinyu Zhou on February 06, 2020 at 20:40

Is it better to point out explicitly that the category with Ob(C) as a "set" is called small as in many texts. I feel that might be clearer.

Comment #5187 by Johan on June 10, 2020 at 12:26

@#4917: What exactly do you mean? I tried to avoid using "big" and "small" here and just say explicitly that categories have sets of objects and sets of morphisms unless specifically mentioned or listed in Remark 4.2.2. The reason for this is that I wanted to avoid conflict with the discussion of small and big sites of schemes we have later (and people do get confused about this it turns out).


شاهد الفيديو: الدرس الثاني: الكسور المتكافئة. الوحده 9 - الفصل 2. رياضيات الصف الثالث (شهر نوفمبر 2021).