مقالات

6.3: المشتقات الجزئية - الرياضيات


الآن بعد أن درسنا النهايات واستمرارية دوال متغيرين ، يمكننا المضي قدمًا في دراسة المشتقات. وينتقل هذا إلى التمايز أيضًا.

مشتقات دالة لمتغيرين

عند دراسة مشتقات وظائف متغير واحد ، وجدنا أن تفسيرًا واحدًا للمشتق هو معدل تغيير فوري لـ (y ) كدالة (x. ) تدوين Leibniz للمشتق هو (dy / dx ، ) مما يعني أن (y ) هو المتغير التابع و (x ) هو المتغير المستقل. بالنسبة للدالة (z = f (x، y) ) من متغيرين ، (x ) و (y ) هي المتغيرات المستقلة و (z ) هو المتغير التابع. يثير هذا سؤالين على الفور: كيف يمكننا تكييف تدوين لايبنيز لوظائف متغيرين؟ أيضا ، ما هو تفسير المشتق؟ الجواب يكمن في المشتقات الجزئية.

التعريف: المشتقات الجزئية

لنفترض أن (f (x، y) ) دالة لمتغيرين. ثم اشتقاق جزئي من (f ) فيما يتعلق (x ) ، مكتوب كـ (f / ∂x ، ) ، أو (f_x ، ) يعرف بأنه

[ dfrac {∂f} {∂x} = f_x (x، y) = lim_ {h → 0} dfrac {f (x + h، y) −f (x، y)} {h} التسمية {pd1} ]

يتم تعريف المشتق الجزئي لـ (f ) فيما يتعلق (y ) ، مكتوب كـ (∂f / ∂y ) ، أو (f_y ، ) على أنه

[ dfrac {∂f} {∂y} = f_y (x، y) = lim_ {k → 0} dfrac {f (x، y + k) −f (x، y)} {k}. تسمية {pd2} ]

يوضح هذا التعريف اختلافين بالفعل. أولاً ، يتغير التدوين ، بمعنى أننا ما زلنا نستخدم إصدارًا من تدوين Leibniz ، ولكن تم استبدال (d ) في التدوين الأصلي بالرمز (∂ ). (عادةً ما يُطلق على ("d" ) المدور هذا اسم "جزئي" ، لذلك يُنطق (∂f / ∂x ) على أنه "جزء من (f ) فيما يتعلق بـ (x ).") هذا هو أول تلميح إلى أننا نتعامل مع مشتقات جزئية. ثانيًا ، لدينا الآن مشتقتان مختلفتان يمكننا أخذهما ، نظرًا لوجود متغيرين مستقلين مختلفين. اعتمادًا على المتغير الذي نختاره ، يمكننا التوصل إلى مشتقات جزئية مختلفة تمامًا ، وغالبًا ما نفعل ذلك.

مثال ( PageIndex {1} ): حساب المشتقات الجزئية من التعريف

استخدم تعريف المشتق الجزئي كحد لحساب (f / ∂x ) و (∂f / y ) للدالة

[f (x، y) = x ^ 2−3xy + 2y ^ 2−4x + 5y − 12. لا يوجد رقم]

حل

أولاً ، احسب (f (x + h، y). )

[ start {align *} f (x + h، y) & = (x + h) ^ 2−3 (x + h) y + 2y ^ 2−4 (x + h) + 5y − 12 nonumber & = x ^ 2 + 2xh + h ^ 2−3xy − 3hy + 2y ^ 2−4x − 4h + 5y − 12. النهاية {محاذاة *} ]

بعد ذلك ، استبدل هذا في المعادلة ref {pd1} وقم بتبسيطها:

[ start {align *} dfrac {∂f} {∂x} & = lim_ {h → 0} dfrac {f (x + h، y) −f (x، y)} {h} غير رقم & = lim_ {h → 0} dfrac {(x ^ 2 + 2xh + h ^ 2−3xy − 3hy + 2y ^ 2−4x − 4h + 5y − 12) - (x ^ 2−3xy + 2y ^ 2−4x + 5y − 12)} {h} nonumber & = lim_ {h → 0} dfrac {x ^ 2 + 2xh + h ^ 2−3xy − 3hy + 2y ^ 2−4x− 4 س + 5 ص − 12 − x ^ 2 + 3xy − 2y ^ 2 + 4x − 5y + 12} {h} nonumber & = lim_ {h → 0} dfrac {2xh + h ^ 2−3hy − 4h } {h} nonumber & = lim_ {h → 0} dfrac {h (2x + h − 3y − 4)} {h} nonumber & = lim_ {h → 0} (2x + h − 3y − 4) non number & = 2x − 3y − 4. النهاية {محاذاة *} ]

لحساب ( dfrac {∂f} {∂y} ) ، احسب أولاً (f (x، y + h): )

[ start {align *} f (x + h، y) & = x ^ 2−3x (y + h) +2 (y + h) ^ 2−4x + 5 (y + h) −12 nonumber & = x ^ 2−3xy − 3xh + 2y ^ 2 + 4yh + 2h ^ 2−4x + 5y + 5h − 12. النهاية {محاذاة *} ]

بعد ذلك ، استبدل هذا في المعادلة ref {pd2} وقم بتبسيطها:

[ start {align *} dfrac {∂f} {∂y} & = lim_ {h → 0} dfrac {f (x، y + h) −f (x، y)} {h} غير رقم & = lim_ {h → 0} dfrac {(x ^ 2−3xy − 3xh + 2y ^ 2 + 4yh + 2h ^ 2−4x + 5y + 5h − 12) - (x ^ 2−3xy + 2y ^ 2−4x + 5y − 12)} {h} nonumber & = lim_ {h → 0} dfrac {x ^ 2−3xy − 3xh + 2y ^ 2 + 4yh + 2h ^ 2−4x + 5y + 5h − 12 − x ^ 2 + 3xy − 2y ^ 2 + 4x − 5y + 12} {h} nonumber & = lim_ {h → 0} dfrac {−3xh + 4yh + 2h ^ 2 + 5h} {h} nonumber & = lim_ {h → 0} dfrac {h (−3x + 4y + 2h + 5)} {h} nonumber & = lim_ {h → 0} ( −3x + 4y + 2h + 5) nonumber & = - 3x + 4y + 5 end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {1} )

استخدم تعريف المشتق الجزئي كحد لحساب (f / ∂x ) و (∂f / y ) للدالة

[f (x، y) = 4x ^ 2 + 2xy − y ^ 2 + 3x − 2y + 5. non number ]

تلميح

استخدم المعادلات ref {pd1} و ref {pd2} من تعريف المشتقات الجزئية.

إجابه

( dfrac {∂f} {∂x} = 8x + 2y + 3 )

( dfrac {∂f} {∂y} = 2x − 2y − 2 )

الفكرة التي يجب وضعها في الاعتبار عند حساب المشتقات الجزئية هي التعامل مع جميع المتغيرات المستقلة ، بخلاف المتغير الذي نفرقه ، على أنها ثوابت. ثم تابع الاشتقاق كما لو كانت دالة لمتغير واحد. لمعرفة سبب صحة ذلك ، أصلح (y ) أولاً وحدد (g (x) = f (x ، y) ) كدالة لـ (x ). ثم

[ start {align} g ′ (x) & = lim_ {h → 0} dfrac {g (x + h) −g (x)} {h} nonumber [6pt] & = lim_ {h → 0} dfrac {f (x + h، y) −f (x، y)} {h} nonumber [6pt] & = dfrac {∂f} {∂x}. عدد نهاية {محاذاة} ]

وينطبق الشيء نفسه على حساب المشتق الجزئي لـ (f ) فيما يتعلق (y ). هذه المرة ، أصلح (x ) وحدد (h (y) = f (x ، y) ) كدالة لـ (y ). ثم

[ start {align} h ′ (x) & = lim_ {k → 0} dfrac {h (x + k) −h (x)} {k} nonumber [6pt] & = lim_ {k → 0} dfrac {f (x، y + k) −f (x، y)} {k} nonumber [6pt] & = dfrac {∂f} {∂y}. عدد نهاية {محاذاة} ]

تنطبق جميع قواعد التمايز.

مثال ( PageIndex {2} ): حساب المشتقات الجزئية

احسب (∂f / ∂x ) و (∂f / y ) للوظائف التالية بالضغط على ثابت المتغير المعاكس ثم التفريق:

  1. (f (x، y) = x ^ 2−3xy + 2y ^ 2−4x + 5y − 12 )
  2. (ز (س ، ص) = خطيئة (س ^ 2 ص − 2 س + 4) )

حل:

أ. لحساب (f / ∂x ) تعامل مع المتغير (y ) على أنه ثابت. ثم اشتق (f (x، y) ) بالنسبة إلى (x ) باستخدام قواعد الجمع والفرق والقوة:

[ start {align *} dfrac {∂f} {∂x} & = dfrac {∂} {∂x} left [x ^ 2−3xy + 2y ^ 2−4x + 5y − 12 right] nonumber [6pt] & = dfrac {∂} {∂x} [x ^ 2] - dfrac {∂} {∂x} [3xy] + dfrac {∂} {∂x} [2y ^ 2 ] - dfrac {∂} {∂x} [4x] + dfrac {∂} {∂x} [5y] - dfrac {∂} {∂x} [12] nonumber [6pt] & = 2x −3y + 0−4 + 0−0 عدد غير رقم & = 2x − 3y − 4. عدد نهاية {محاذاة *} ]

مشتقات المصطلحات الثالثة والخامسة والسادسة كلها صفرية لأنها لا تحتوي على المتغير (x ) ، لذلك يتم التعامل معها على أنها شروط ثابتة. مشتق المصطلح الثاني يساوي معامل (س ) وهو (- 3 ص ). حساب (∂f / y ):

[ start {align *} dfrac {∂f} {∂y} & = dfrac {∂} {∂y} left [x ^ 2−3xy + 2y ^ 2−4x + 5y − 12 right] nonumber [6pt] & = dfrac {∂} {∂y} [x ^ 2] - dfrac {∂} {∂y} [3xy] + dfrac {∂} {∂y} [2y ^ 2 ] - dfrac {∂} {∂y} [4x] + dfrac {∂} {∂y} [5y] - dfrac {∂} {∂y} [12] nonumber [6pt] & = - 3x + 4y − 0 + 5−0 non number & = - 3x + 4y + 5. عدد نهاية {محاذاة *} ]

هذه هي الإجابات نفسها التي تم الحصول عليها في مثال ( PageIndex {1} ).

ب. لحساب (∂g / ∂x، ) تعامل مع المتغير ذ كثابت. ثم اشتق (g (x، y) ) بالنسبة إلى (x ) باستخدام قاعدة السلسلة وقاعدة القوة:

[ start {align *} dfrac {∂g} {∂x} & = dfrac {∂} {∂x} left [ sin (x ^ 2y − 2x + 4) right] nonumber [6pt] & = cos (x ^ 2y − 2x + 4) dfrac {∂} {∂x} [x ^ 2y − 2x + 4] nonumber [6pt] & = (2xy − 2) cos (س ^ 2 ص − 2 س + 4). عدد نهاية {محاذاة *} ]

لحساب (g / ∂y، ) تعامل مع المتغير (x ) على أنه ثابت. ثم اشتق (g (x، y) ) بالنسبة إلى (y ) باستخدام قاعدة السلسلة وقاعدة القوة:

[ start {align *} dfrac {∂g} {∂y} & = dfrac {∂} {∂y} left [ sin (x ^ 2y − 2x + 4) right] nonumber [6pt] & = cos (x ^ 2y − 2x + 4) dfrac {∂} {∂y} [x ^ 2y − 2x + 4] nonumber [6pt] & = x ^ 2 cos (x ^ 2y − 2x + 4). عدد نهاية {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {2} )

احسب (∂f / ∂x ) و (f / y ) للوظيفة

[f (x، y) = tan (x ^ 3−3x ^ 2y ^ 2 + 2y ^ 4) nonumber ]

عن طريق الاحتفاظ بثابت المتغير المقابل ، ثم الاشتقاق.

تلميح

استخدم المعادلات ref {pd1} و ref {pd1} من تعريف المشتقات الجزئية.

إجابه

( dfrac {∂f} {∂x} = (3x ^ 2−6xy ^ 2) sec ^ 2 (x ^ 3−3x ^ 2y ^ 2 + 2y ^ 4) )

( dfrac {∂f} {∂y} = (- 6x ^ 2y + 8y ^ 3) sec ^ 2 (x ^ 3−3x ^ 2y ^ 2 + 2y ^ 4) )

كيف يمكننا تفسير هذه المشتقات الجزئية؟ تذكر أن الرسم البياني لدالة متغيرين هو سطح في (R ^ 3 ). إذا أزلنا الحد من تعريف المشتق الجزئي فيما يتعلق (x ) ، يبقى حاصل الفرق:

[ dfrac {f (x + h، y) −f (x، y)} {h}. ]

هذا يشبه حاصل الفرق لمشتقة دالة لمتغير واحد ، باستثناء وجود المتغير (y ). يوضح الشكل ( PageIndex {1} ) سطحًا موصوفًا بواسطة دالة عشوائية (z = f (x، y). )

في الشكل ( PageIndex {1} ) ، تكون قيمة (h ) موجبة. إذا رسمنا الرسم البياني (f (x، y) ) و (f (x + h، y) ) لنقطة عشوائية ((x، y)، ) ثم ميل الخط القاطع الذي يمر عبر هذه يتم إعطاء نقطتين بواسطة

[ dfrac {f (x + h، y) −f (x، y)} {h}. ]

هذا الخط موازٍ لمحور (س ). لذلك ، يمثل ميل الخط القاطع متوسط ​​معدل تغيير الوظيفة (f ) أثناء سفرنا بالتوازي مع (x ) - المحور. مع اقتراب (ح ) من الصفر ، يقترب ميل الخط القاطع من ميل خط الظل.

إذا اخترنا تغيير (ص ) بدلاً من (س ) بنفس القيمة المتزايدة (ح ) ، فإن الخط القاطع يكون موازياً للمحور (ص ) وكذلك خط الظل. لذلك ، يمثل (∂f / x ) ميل خط الظل الذي يمر عبر النقطة ((x ، y ، f (x ، y)) ) الموازي للمحور (x ) - و (∂f / ∂y ) يمثل ميل خط الظل الذي يمر عبر النقطة ((x ، y ، f (x ، y)) ) الموازي للمحور (y ). إذا أردنا إيجاد ميل خط المماس الذي يمر عبر نفس النقطة في أي اتجاه آخر ، فإننا نحتاج إذن إلى ما يسمى بالمشتقات الاتجاهية.

نعود الآن إلى فكرة الخرائط الكنتورية ، التي قدمناها في دوال عدة متغيرات. يمكننا استخدام ملف تحرك على طول الناس، لا شيء لنرى هنا لتقدير المشتقات الجزئية للدالة (g (x، y) ).

مثال ( PageIndex {3} ): مشتقات جزئية من خريطة محيطية

استخدم خريطة محيطية لتقدير (∂g / ∂x ) عند النقطة (( sqrt {5}، 0) ) للوظيفة

[g (x، y) = sqrt {9 − x ^ 2 − y ^ 2}. لا يوجد رقم ]

حل

يمثل الشكل ( PageIndex {2} ) خريطة محيطية للدالة (g (x، y) ).

تتوافق الدائرة الداخلية على الخريطة الكنتورية مع (c = 2 ) وتتوافق الدائرة التالية مع (c = 1 ). الدائرة الأولى مُعطاة بالمعادلة (2 = sqrt {9 − x ^ 2 − y ^ 2} ) ؛ الدائرة الثانية مُعطاة بالمعادلة (1 = sqrt {9 − x ^ 2 − y ^ 2} ). يتم تبسيط المعادلة الأولى إلى (x ^ 2 + y ^ 2 = 5 ) ويتم تبسيط المعادلة الثانية إلى (x ^ 2 + y ^ 2 = 8. ) (x ) - تقاطع الدائرة الأولى هو (( sqrt {5}، 0) ) و (x ) - تقاطع الدائرة الثانية ((2 sqrt {2}، 0) ). يمكننا تقدير قيمة (∂g / ∂x ) التي تم تقييمها عند النقطة (( sqrt {5}، 0) ) باستخدام صيغة الميل:

[ start {align *} left. dfrac {∂g} {∂x} right | _ {(x، y) = ( sqrt {5}، 0)} ≈ dfrac {g ( sqrt {5}، 0) −g (2 sqrt {2}، 0)} { sqrt {5} −2 sqrt {2}} = dfrac {2−1} { sqrt {5} −2 الجذر التربيعي {2}} = dfrac {1} { sqrt {5} −2 sqrt {2}} ≈ − 1.688. النهاية {محاذاة *} ]

لحساب القيمة الدقيقة لـ (g / ∂x ) التي تم تقييمها عند النقطة (( sqrt {5}، 0) ) ، نبدأ بإيجاد (g / ∂x ) باستخدام قاعدة السلسلة . أولاً ، نعيد كتابة الدالة كـ

[g (x، y) = sqrt {9 − x ^ 2 − y ^ 2} = (9 − x ^ 2 − y ^ 2) ^ {1/2} ]

ثم اشتق فيما يتعلق بـ (س ) أثناء الضغط على (ص ) ثابت:

[ start {align *} dfrac {∂g} {∂x} & = dfrac {1} {2} (9 − x ^ 2 − y ^ 2) ^ {- 1/2} (- 2x) [5pt] & = - dfrac {x} { sqrt {9 − x ^ 2 − y ^ 2}}. النهاية {محاذاة *} ]

بعد ذلك ، نقوم بتقييم هذا التعبير باستخدام (x = sqrt {5} ) و (y = 0 ):

[ dfrac {∂g} {∂x} ∣ _ {(x، y) = ( sqrt {5}، 0)} = - dfrac { sqrt {5}} { sqrt {9 - ( sqrt {5}) ^ 2− (0) ^ 2}} = - dfrac { sqrt {5}} { sqrt {4}} = - dfrac { sqrt {5}} {2} ≈ − 1.118 . ]

يتوافق تقدير المشتق الجزئي مع ميل الخط القاطع الذي يمر عبر النقاط (( sqrt {5} ، 0 ، g ( sqrt {5} ، 0)) ) و ((2 sqrt { 2} ، 0 ، g (2 sqrt {2} ، 0)) ). إنه يمثل تقريبًا لميل خط المماس إلى السطح عبر النقطة (( sqrt {5} ، 0 ، g ( sqrt {5} ، 0)) ، ) الموازية لـ (x )-محور.

تمرين ( PageIndex {3} )

استخدم خريطة محيطية لتقدير (∂f / ∂y ) عند النقطة ((0، sqrt {2}) ) للدالة

[f (x، y) = x ^ 2 − y ^ 2. nonumber ]

قارن هذا بالإجابة الدقيقة.

تلميح

قم بإنشاء خريطة محيطية لـ (f ) باستخدام قيم (c ) من (- 3 ) إلى (3 ). أي من هذه المنحنيات يمر بالنقطة ((0، sqrt {2})؟ )

إجابه

باستخدام المنحنيات المقابلة لـ (c = −2 ) و (c = −3، ) نحصل عليها

[ غادر. dfrac {∂f} {∂y} right∣ _ {(x، y) = (0، sqrt {2})} ≈ dfrac {f (0، sqrt {3}) - f (0، sqrt {2})} { sqrt {3} - sqrt {2}} = dfrac {−3 - (- 2)} { sqrt {3} - sqrt {2}} ⋅ dfrac { الجذر التربيعي {3} + sqrt {2}} { sqrt {3} + sqrt {2}} = - sqrt {3} - sqrt {2} ≈ − 3.146. لا يوجد رقم]

الجواب الدقيق هو

[ غادر. dfrac {∂f} {∂y} right | _ {(x، y) = (0، sqrt {2})} = (- 2y | _ {(x، y) = (0، sqrt { 2})} = - 2 sqrt {2} ≈ − 2.828. nonumber ]

وظائف أكثر من متغيرين

لنفترض أن لدينا دالة من ثلاثة متغيرات ، مثل (w = f (x، y، z). ) يمكننا حساب المشتقات الجزئية لـ (w ) فيما يتعلق بأي من المتغيرات المستقلة ، ببساطة كتمديدات لـ تعريفات المشتقات الجزئية لوظائف متغيرين.

التعريف: المشتقات الجزئية

لنفترض أن (f (x، y، z) ) دالة من ثلاثة متغيرات. بعد ذلك ، يتم تعريف المشتق الجزئي لـ (f ) فيما يتعلق بـ (x ) ، المكتوب كـ (∂f / ∂x ، ) أو (f_x ، ) ليكون

[ dfrac {∂f} {∂x} = f_x (x، y، z) = lim_ {h → 0} dfrac {f (x + h، y، z) −f (x، y، z )} {ح}. التسمية {PD2a} ]

ال اشتقاق جزئي من (و ) مع احترام إلى (ص ) ، مكتوب كـ (f / ∂y ) ، أو (f_y ) ، يعرف بأنه

[ dfrac {∂f} {∂y} = f_y (x، y، z) = lim_ {k → 0} dfrac {f (x، y + k، z) −f (x، y، z )} {k.} label {PD2b} ]

ال اشتقاق جزئي من (f ) فيما يتعلق (z ) ، مكتوب كـ (f / ∂z ) ، أو (f_z ) ، يعرف بأنه

[ dfrac {∂f} {∂z} = f_z (x، y، z) = lim_ {m → 0} dfrac {f (x، y، z + m) −f (x، y، z )} {م}. التسمية {PD2c} ]

يمكننا حساب مشتقة جزئية لدالة من ثلاثة متغيرات باستخدام نفس الفكرة التي استخدمناها لدالة من متغيرين. على سبيل المثال ، إذا كانت لدينا دالة (f ) من (x ، y ) ، و (z ) ، ونرغب في حساب (∂f / ∂x ) ، فإننا نتعامل مع الاثنين الآخرين المتغيرات المستقلة كما لو كانت ثوابت ، ثم اشتقها بالنسبة إلى (x ).

مثال ( PageIndex {4} ): حساب المشتقات الجزئية لوظيفة من ثلاثة متغيرات

استخدم التعريف النهائي للمشتقات الجزئية لحساب (∂f / ∂x ) للدالة

[f (x، y، z) = x ^ 2−3xy + 2y ^ 2−4xz + 5yz ^ 2−12x + 4y − 3z. لا يوجد رقم]

ثم ، ابحث عن (∂f / y ) و (f / z ) عن طريق تعيين ثابت المتغيرين الآخرين والتفاضل وفقًا لذلك.

حل:

نحسب أولاً (∂f / ∂x ) باستخدام المعادلة ref {PD2a} ، ثم نحسب المشتقتين الجزئيتين الأخريين عن طريق تثبيت المتغيرات المتبقية. لاستخدام المعادلة لإيجاد (∂f / ∂x ) ، نحتاج أولاً إلى حساب (f (x + h ، y ، z): )

[ start {align *} f (x + h، y، z) & = (x + h) ^ 2−3 (x + h) y + 2y ^ 2−4 (x + h) z + 5yz ^ 2−12 (x + h) + 4y − 3z non number & = x ^ 2 + 2xh + h ^ 2−3xy − 3xh + 2y ^ 2−4xz − 4hz + 5yz ^ 2−12x − 12h + 4y− 3z عدد نهاية {محاذاة *} ]

وتذكر أن (f (x، y، z) = x ^ 2−3xy + 2y ^ 2−4zx + 5yz ^ 2−12x + 4y − 3z. ) بعد ذلك ، نستبدل هذين التعبيرين في المعادلة:

[ start {align *} dfrac {∂f} {∂x} & = lim_ {h → 0} left [ dfrac {x ^ 2 + 2xh + h ^ 2−3xy − 3hy + 2y ^ 2 −4xz − 4hz + 5yz ^ 2−12x − 12h + 4y − 3zh − x ^ 2−3xy + 2y ^ 2−4xz + 5yz ^ 2−12x + 4y − 3z} {h} right] nonumber & = lim_ {h → 0} left [ dfrac {2xh + h ^ 2−3hy − 4 هرتز − 12 ساعة} {h} right] nonumber & = lim_ {h → 0} left [ dfrac {h (2x + h − 3y − 4z − 12)} {h} right] nonumber & = lim_ {h → 0} (2x + h − 3y − 4z − 12) nonumber & = 2x − 3y − 4z − 12. النهاية {محاذاة *} ]

ثم نجد (f / y ) بالضغط على (x ) و (z ) ثابتًا. لذلك ، فإن أي مصطلح لا يتضمن المتغير (ص ) يكون ثابتًا ومشتقه صفر. يمكننا تطبيق قواعد الجمع والفرق والقوة لوظائف متغير واحد:

[ start {align *} & dfrac {∂} {∂y} left [x ^ 2−3xy + 2y ^ 2−4xz + 5yz ^ 2−12x + 4y − 3z right] nonumber & = dfrac {∂} {∂y} [x ^ 2] - dfrac {∂} {∂y} [3xy] + dfrac {∂} {∂y} [2y ^ 2] - dfrac {∂} { ∂y} [4xz] + dfrac {∂} {∂y} [5yz ^ 2] - dfrac {∂} {∂y} [12x] + dfrac {∂} {∂y} [4y] - dfrac {∂} {∂z} [3z] nonumber & = 0−3x + 4y − 0 + 5z ^ 2−0 + 4−0 non number & = - 3x + 4y + 5z ^ 2 + 4. النهاية {محاذاة *} ]

لحساب (f / ∂z، ) نحتفظ بثابت (x ) و (y ) ونطبق قواعد المجموع والفرق والقوة لوظائف متغير واحد:

[ start {align *} & dfrac {∂} {∂z} [x ^ 2−3xy + 2y ^ 2−4xz + 5yz ^ 2−12x + 4y − 3z] nonumber & = dfrac { ∂} {∂z} [x ^ 2] - dfrac {∂} {∂z} [3xy] + dfrac {∂} {∂z} [2y ^ 2] - dfrac {∂} {∂z} [ 4xz] + dfrac {∂} {∂z} [5yz ^ 2] - dfrac {∂} {∂z} [12x] + dfrac {∂} {∂z} [4y] - dfrac {∂} { ∂z} [3z] nonumber & = 0−0 + 0−4x + 10yz − 0 + 0−3 nonumber & = - 4x + 10yz − 3 end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {4} )

استخدم التعريف النهائي للمشتقات الجزئية لحساب (∂f / ∂x ) للدالة

[f (x، y، z) = 2x ^ 2−4x ^ 2y + 2y ^ 2 + 5xz ^ 2−6x + 3z − 8. non number ]

ثم ابحث عن (∂f / ∂y ) و (f / z ) عن طريق تعيين ثابت المتغيرين الآخرين والتفاضل وفقًا لذلك.

تلميح

استخدم الاستراتيجية في المثال السابق.

إجابه

( dfrac {∂f} {∂x} = 4x − 8xy + 5z ^ 2−6، dfrac {∂f} {∂y} = - 4x ^ 2 + 4y، dfrac {∂f} {∂z } = 10xz + 3 )

مثال ( PageIndex {5} ): حساب المشتقات الجزئية لوظيفة من ثلاثة متغيرات

احسب المشتقات الجزئية الثلاثة للدوال التالية.

  1. (f (x، y، z) = x ^ 2y − 4xz + y ^ 2x − 3yz )
  2. (g (x، y، z) = sin (x ^ 2y − z) + cos (x ^ 2 − yz) )

حل

في كل حالة ، تعامل مع جميع المتغيرات على أنها ثوابت باستثناء المتغير الذي تحسب مشتقه الجزئي.

أ.

[ start {align *} dfrac {∂f} {∂x} & = dfrac {∂} {∂x} left [ dfrac {x ^ 2y − 4xz + y ^ 2} {x − 3yz} right] nonumber [6pt] & = dfrac { dfrac {∂} {∂x} (x ^ 2y − 4xz + y ^ 2) (x − 3yz) - (x ^ 2y − 4xz + y ^ 2) dfrac {∂} {∂x} (x − 3yz)} {(x − 3yz) ^ 2} nonumber [6pt] & = dfrac {(2xy − 4z) (x − 3yz) - ( x ^ 2y − 4xz + y ^ 2) (1)} {(x − 3yz) ^ 2} nonumber [6pt] & = dfrac {2x ^ 2y − 6xy ^ 2z − 4xz + 12yz ^ 2 − x ^ 2y + 4xz − y ^ 2} {(x − 3yz) ^ 2} nonumber [6pt] & = dfrac {x ^ 2y − 6xy ^ 2z − 4xz + 12yz ^ 2 + 4xz − y ^ 2} {(x − 3yz) ^ 2} nonumber end {align *} ]

[ start {align *} dfrac {∂f} {∂y} & = dfrac {∂} {∂y} left [ dfrac {x ^ 2y − 4xz + y ^ 2} {x − 3yz} right] nonumber [6pt] & = dfrac { dfrac {∂} {∂y} (x ^ 2y − 4xz + y ^ 2) (x − 3yz) - (x ^ 2y − 4xz + y ^ 2) dfrac {∂} {∂y} (x − 3yz)} {(x − 3yz) ^ 2} nonumber [6pt] & = dfrac {(x ^ 2 + 2y) (x − 3yz) - (x ^ 2y − 4xz + y ^ 2) (- 3z)} {(x − 3yz) ^ 2} nonumber [6pt] & = dfrac {x ^ 3−3x ^ 2yz + 2xy − 6y ^ 2z + 3x ^ 2yz − 12xz ^ 2 + 3y ^ 2z} {(x − 3yz) ^ 2} nonumber [6pt] & = dfrac {x ^ 3 + 2xy − 3y ^ 2z − 12xz ^ 2} { (x − 3yz) ^ 2} nonumber end {align *} ]

[ start {align *} dfrac {∂f} {∂z} & = dfrac {∂} {∂z} left [ dfrac {x ^ 2y − 4xz + y ^ 2} {x − 3yz} right] nonumber [6pt] & = dfrac { dfrac {∂} {∂z} (x ^ 2y − 4xz + y ^ 2) (x − 3yz) - (x ^ 2y − 4xz + y ^ 2) dfrac {∂} {∂z} (x − 3yz)} {(x − 3yz) ^ 2} nonumber [6pt] & = dfrac {(- 4x) (x − 3yz) - (x ^ 2y − 4xz + y ^ 2) (- 3y)} {(x − 3yz) ^ 2} nonumber [6pt] & = dfrac {−4x ^ 2 + 12xyz + 3x ^ 2y ^ 2−12xyz + 3y ^ 3} {(x − 3yz) ^ 2} nonumber [6pt] & = dfrac {−4x ^ 2 + 3x ^ 2y ^ 2 + 3y ^ 3} {(x − 3yz) ^ 2} غير رقم نهاية {محاذاة *} ]

ب.

[ start {align *} dfrac {∂f} {∂x} & = dfrac {∂} {∂x} left [ sin (x ^ 2y − z) + cos (x ^ 2 − yz) ) right] nonumber [6pt] & = ( cos (x ^ 2y − z)) dfrac {∂} {∂x} (x ^ 2y − z) - ( sin (x ^ 2 − yz )) dfrac {∂} {∂x} (x ^ 2 − yz) nonumber [6pt] & = 2xy cos (x ^ 2y − z) −2x sin (x ^ 2 − yz) nonumber النهاية {محاذاة *} ]

[ start {align *} dfrac {∂f} {∂y} & = dfrac {∂} {∂y} [ sin (x ^ 2y − z) + cos (x ^ 2 − yz)] nonumber [6pt] & = ( cos (x ^ 2y − z)) dfrac {∂} {∂y} (x ^ 2y − z) - ( sin (x ^ 2 − yz)) dfrac {∂} {∂y} (x ^ 2 − yz) nonumber [6pt] & = x ^ 2 cos (x ^ 2y − z) + z sin (x ^ 2 − yz) nonumber end {محاذاة *} ]

[ start {align *} dfrac {∂f} {∂z} & = dfrac {∂} {∂z} [ sin (x ^ 2y − z) + cos (x ^ 2 − yz)] nonumber [6pt] & = ( cos (x ^ 2y − z)) dfrac {∂} {∂z} (x ^ 2y − z) - ( sin (x ^ 2 − yz)) dfrac {∂} {∂z} (x ^ 2 − yz) nonumber [6pt] & = - cos (x ^ 2y − z) + y sin (x ^ 2 − yz) nonumber end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {5} )

احسب (∂f / ∂x و ∂f / ∂y و ) و (∂f / z ) للوظيفة

[f (x، y، z) = sec (x ^ 2y) - tan (x ^ 3yz ^ 2). لا يوجد رقم]

تلميح

استخدم الاستراتيجية في المثال السابق.

إجابه

( dfrac {∂f} {∂x} = 2xy sec (x ^ 2y) tan (x ^ 2y) −3x ^ 2yz ^ 2 sec ^ 2 (x ^ 3yz ^ 2) )

( dfrac {∂f} {∂y} = x ^ 2 sec (x ^ 2y) tan (x ^ 2y) −x ^ 3z ^ 2 sec ^ 2 (x ^ 3yz ^ 2) )

( dfrac {∂f} {∂z} = - 2x ^ 3yz sec ^ 2 (x ^ 3yz ^ 2) )

المشتقات الجزئية ذات الترتيب الأعلى

ضع في اعتبارك الوظيفة

[f (x، y) = 2x ^ 3−4xy ^ 2 + 5y ^ 3−6xy + 5x − 4y + 12. ]

مشتقاته الجزئية هي

[ dfrac {∂f} {∂x} = 6x ^ 2−4y ^ 2−6y + 5 ]

و

[ dfrac {∂f} {∂y} = - 8xy + 15y ^ 2−6x − 4. ]

كل من هذه المشتقات الجزئية دالة في متغيرين ، لذا يمكننا حساب المشتقات الجزئية لهذه الدوال. كما هو الحال مع مشتقات الدوال ذات المتغير الفردي ، يمكننا تسميتها مشتقات الدرجة الثانية مشتقات الدرجة الثالثة ، وما إلى ذلك. بشكل عام ، يشار إليها باسم مشتقات جزئية عالية الدرجة. هناك أربعة مشتقات جزئية من الدرجة الثانية لأي دالة (بشرط أن تكون جميعها موجودة):

[ start {align *} dfrac {∂ ^ 2f} {∂x ^ 2} & = dfrac {∂} {∂x} left [ dfrac {∂f} {∂x} right] [5pt] dfrac {∂ ^ 2f} {∂x ، ∂y} & = dfrac {∂} {∂y} left [ dfrac {∂f} {∂x} right] [5pt] dfrac {∂ ^ 2f} {∂y ، ∂x} & = dfrac {∂} {∂x} left [ dfrac {∂f} {∂y} right] [5pt] dfrac { ∂ ^ 2f} {∂y ^ 2} & = dfrac {∂} {∂y} left [ dfrac {∂f} {∂y} right]. end {align *} ]

ترميز بديل لكل منها هو (f_ {xx} و f_ {xy} و f_ {yx} و ) و (f_ {yy} ) على التوالي. المشتقات الجزئية ذات الترتيب الأعلى المحسوبة فيما يتعلق بالمتغيرات المختلفة ، مثل (f_ {xy} ) و (f_ {yx} ) ، تسمى عادة المشتقات الجزئية المختلطة.

مثال ( PageIndex {6} ): حساب المشتقات الجزئية الثانية

احسب المشتقات الجزئية الأربع للدالة

[f (x، y) = xe ^ {- 3y} + sin (2x − 5y). label {Ex6e1} ]

حل:

لحساب ( dfrac {∂ ^ 2f} {∂x ^ 2} ) و ( dfrac {∂ ^ 2f} {∂x∂y} ) ، نحسب أولاً (∂f / ∂x ) :

[ dfrac {∂f} {∂x} = e ^ {- 3y} +2 cos (2x − 5y). التسمية {Ex6e2} ]

لحساب ( dfrac {∂ ^ 2f} {∂x ^ 2} ) ، اشتق (∂f / ∂x ) (المعادلة المرجع {Ex6e2}) بالنسبة إلى (x ):

[ start {align *} dfrac {∂ ^ 2f} {∂x ^ 2} & = dfrac {∂} {∂x} left [ dfrac {∂f} {∂x} right] nonumber [6pt] & = dfrac {∂} {∂x} [e ^ {- 3y} +2 cos (2x − 5y)] nonumber [6pt] & = - 4 sin (2x − 5y ). nonumber end {align *} nonumber ]

لحساب ( dfrac {∂ ^ 2f} {∂x∂y} ) ، اشتق (∂f / ∂x ) (المعادلة المرجع {Ex6e2}) بالنسبة إلى (y ):

[ start {align *} dfrac {∂ ^ 2f} {∂x ، ∂y} & = dfrac {∂} {∂y} left [ dfrac {∂f} {∂x} right] nonumber [6pt] & = dfrac {∂} {∂y} [e ^ {- 3y} +2 cos (2x − 5y)] nonumber [6pt] & = - 3e ^ {- 3y } +10 sin (2x − 5y). nonumber end {align *} nonumber ]

لحساب ( dfrac {∂ ^ 2f} {∂x∂y} ) و ( dfrac {∂ ^ 2f} {∂y ^ 2} ) ، احسب أولاً (∂f / ∂y ):

[ dfrac {∂f} {∂y} = - 3xe ^ {- 3y} −5 cos (2x − 5y). التسمية {Ex6e5} ]

لحساب ( dfrac {∂ ^ 2f} {∂y∂x} ) ، اشتق (∂f / ∂y ) (المعادلة المرجع {Ex6e5}) بالنسبة إلى (x ):

[ start {align *} dfrac {∂ ^ 2f} {∂y ، ∂x} & = dfrac {∂} {∂x} left [ dfrac {∂f} {∂y} right] nonumber [6pt] & = dfrac {∂} {∂x} [- 3xe ^ {- 3y} −5 cos (2x − 5y)] nonumber [6pt] & = - 3e ^ {- 3y} +10 sin (2x − 5y). nonumber end {align *} nonumber ]

لحساب ( dfrac {∂ ^ 2f} {∂y ^ 2} ) ، اشتق (∂f / ∂y ) (المعادلة المرجع {Ex6e5}) بالنسبة إلى (y ):

[ begin {align *} dfrac {∂ ^ 2f} {∂y ^ 2} & = dfrac {∂} {∂y} left [ dfrac {∂f} {∂y} right] nonumber [6pt] & = dfrac {∂} {∂y} [- 3xe ^ {- 3y} −5 cos (2x − 5y)] nonumber [6pt] & = 9xe ^ {- 3y} - 25 الخطيئة (2 س − 5 ص). nonumber end {align *} nonumber ]

تمرين ( PageIndex {6} )

احسب المشتقات الجزئية الأربع للدالة

[f (x، y) = sin (3x − 2y) + cos (x + 4y). nonumber ]

تلميح

اتبع نفس الخطوات كما في المثال السابق.

إجابه

( dfrac {∂ ^ 2f} {∂x ^ 2} = - 9 sin (3x − 2y) - cos (x + 4y) )

( dfrac {∂ ^ 2f} {∂x ، ∂y} = 6 sin (3x − 2y) −4 cos (x + 4y) )

( dfrac {∂ ^ 2f} {∂y ، ∂x} = 6 sin (3x − 2y) −4 cos (x + 4y) )

( dfrac {∂ ^ 2f} {∂y ^ 2} = - 4 sin (3x − 2y) −16 cos (x + 4y) )

في هذه المرحلة ، يجب أن نلاحظ أنه ، في المثال ونقطة التفتيش ، كان صحيحًا أن ( dfrac {∂ ^ 2f} {∂x∂y} = dfrac {∂ ^ 2f} {∂y∂x} ) . في ظل ظروف معينة ، هذا صحيح دائمًا. في الواقع ، إنها نتيجة مباشرة للنظرية التالية.

المساواة في المشتقات الجزئية المختلطة (نظرية كلايروت)

افترض أن (f (x، y) ) معرف على قرص مفتوح (D ) يحتوي على النقطة ((a، b) ). إذا كانت الدالتان (f_ {xy} ) و (f_ {yx} ) متواصلين على (D ) ، إذن (f_ {xy} = f_ {yx} ).

تضمن نظرية Clairaut أنه طالما أن المشتقات المختلطة من الدرجة الثانية مستمرة ، فإن الترتيب الذي نختار به لتمييز الوظائف (أي المتغير الذي يذهب أولاً ، ثم الثاني ، وما إلى ذلك) لا يهم. يمكن أن يمتد إلى المشتقات ذات الترتيب الأعلى أيضًا. يمكن العثور على إثبات نظرية كليروت في معظم كتب التفاضل والتكامل المتقدمة.

يمكن حساب اثنين من المشتقات الجزئية الأخرى من الدرجة الثانية لأي دالة (f (x، y). ) المشتق الجزئي (f_ {xx} ) يساوي المشتق الجزئي لـ (f_x ) فيما يتعلق بـ (x ) و (f_ {yy} ) يساوي المشتق الجزئي لـ (f_y ) بالنسبة إلى (y ).

اللورد كلفن وعصر الأرض

خلال أواخر القرن التاسع عشر ، توصل علماء مجال الجيولوجيا الجديد إلى استنتاج مفاده أن عمر الأرض يجب أن يكون "ملايين وملايين" من السنين. في نفس الوقت تقريبًا ، نشر تشارلز داروين أطروحته عن التطور. كانت وجهة نظر داروين هي أن التطور يحتاج إلى ملايين السنين ليحدث ، وقد قدم ادعاءًا جريئًا أن حقول ويلد الطباشير ، حيث تم العثور على الحفريات المهمة ، كانت نتيجة (300 ) مليون سنة من التآكل.

في ذلك الوقت ، استخدم الفيزيائي البارز ويليام طومسون (اللورد كلفن) معادلة تفاضلية جزئية مهمة ، تُعرف باسم معادلة انتشار الحرارة ، لتقدير عمر الأرض من خلال تحديد المدة التي ستستغرقها الأرض لتبرد من الصخور المنصهرة إلى ما كان لدينا في هذا الوقت. كان استنتاجه مجموعة من 20 ل 400 مليون سنة ، ولكن على الأرجح حوالي 50 ملايين السنوات. لعقود عديدة ، لم تكن التصريحات عن أيقونة العلم التي لا يمكن دحضها متوافقة مع الجيولوجيين أو داروين.

  • اقرأ مقالة كلفن حول تقدير عمر الأرض.

قدم كلفن افتراضات معقولة بناءً على ما كان معروفًا في عصره ، لكنه وضع أيضًا عدة افتراضات تبين أنها خاطئة. كان أحد الافتراضات غير الصحيحة هو أن الأرض صلبة وأن التبريد كان بالتالي عن طريق التوصيل فقط ، ومن ثم يبرر استخدام معادلة الانتشار. لكن الخطأ الأكثر خطورة كان خطأ يمكن التسامح معه - إغفال حقيقة أن الأرض تحتوي على عناصر مشعة تزود الحرارة باستمرار تحت وشاح الأرض. جاء اكتشاف النشاط الإشعاعي بالقرب من نهاية حياة كلفن وأقر بأنه يجب تعديل حساباته.

استخدم كلفن النموذج البسيط أحادي البعد المطبق فقط على الغلاف الخارجي للأرض ، واشتق العمر من الرسوم البيانية وتدرج درجة الحرارة المعروف تقريبًا بالقرب من سطح الأرض. دعنا نلقي نظرة على نسخة أكثر ملاءمة من معادلة الانتشار في الإحداثيات الشعاعية ، والتي لها الشكل

[ dfrac {∂T} {∂t} = K left [ dfrac {∂ ^ 2T} {∂ ^ 2r} + dfrac {2} {r} dfrac {∂T} {∂r} يمين ] التسمية {kelvin1} ].

هنا ، (T (r ، t) ) هي درجة الحرارة كدالة (r ) (تقاس من مركز الأرض) والوقت (t. K ) هو التوصيل الحراري - للصخور المنصهرة ، في هذه القضية. الطريقة القياسية لحل مثل هذه المعادلة التفاضلية الجزئية هي عن طريق فصل المتغيرات ، حيث نعبر عن الحل كمنتج وظائف تحتوي على كل متغير على حدة. في هذه الحالة ، نكتب درجة الحرارة على شكل

[T (r، t) = R (r) f (t). ]

  1. استبدل هذا النموذج في المعادلة ref {kelvin1} ولاحظ أن (f (t) ) ثابت بالنسبة إلى المسافة ((r) ) و (R (r) ) ثابت فيما يتعلق بالوقت ((t) ) ، بيّن أن [ dfrac {1} {f} dfrac {∂f} {∂t} = dfrac {K} {R} left [ dfrac {∂ ^ 2R} { ∂r ^ 2} + dfrac {2} {r} dfrac {∂R} {∂r} right]. ]
  2. تمثل هذه المعادلة فصل المتغيرات التي نريدها. الجانب الأيسر ليس سوى دالة لـ (t ) والجانب الأيمن ليس سوى وظيفة (r ) ، ويجب أن تكون متساوية لجميع قيم (r ) و (t ). لذلك ، يجب أن يكون كلاهما مساويًا لعدد ثابت. دعنا نسمي هذا الثابت (- λ ^ 2 ). (تظهر ملاءمة هذا الاختيار عند الاستبدال.) لذلك ، لدينا [ dfrac {1} {f} dfrac {∂f} {∂t} = - λ ^ 2 text {and} dfrac {K } {R} left [ dfrac {∂ ^ 2R} {∂r ^ 2} + dfrac {2} {r} dfrac {∂R} {∂r} right] = - λ ^ 2. ]
  3. الآن ، يمكننا التحقق من خلال الاستبدال المباشر لكل معادلة من أن الحلول هي (f (t) = Ae ^ {- λ ^ 2t} ) و (R (r) = B left ( dfrac { sin αr } {r} right) + C left ( dfrac { cos αr} {r} right) ) ، حيث (α = λ / sqrt {K} ). لاحظ أن (f (t) = Ae ^ {+ λn ^ 2t} ) حل صالح أيضًا ، لذلك كان بإمكاننا اختيار (+ λ ^ 2 ) لثابتنا. هل يمكنك أن ترى لماذا لن يكون صالحًا لهذه الحالة مع زيادة الوقت؟
  4. دعونا الآن نطبق شروط الحدود.
    1. يجب أن تكون درجة الحرارة محدودة في مركز الأرض ، (r = 0 ). أي من الثوابتين ، (B ) أو (C ) ، يجب أن يكون صفرًا للحفاظ على (R ) محددًا عند (r = 0 )؟ (تذكر أن ( sin (αr) / r → α = ) كـ (r → 0 ) ، لكن ( cos (αr) / r ) يتصرف بشكل مختلف تمامًا.)
    2. قال كلفن أنه عندما تصل الصهارة إلى سطح الأرض ، فإنها تبرد بسرعة كبيرة. غالبًا ما يمكن لأي شخص لمس السطح في غضون أسابيع من التدفق. لذلك ، وصل السطح إلى درجة حرارة معتدلة في وقت مبكر جدًا وظل ثابتًا تقريبًا عند درجة حرارة السطح (T_s ). للتبسيط ، دعنا نضبط (T = 0 ) على (r = R_E ) وابحث عن α بحيث تكون هذه هي درجة الحرارة هناك طوال الوقت (t ). (أخذ كلفن القيمة لتكون (300K≈80 ° F ). يمكننا إضافة هذا الثابت (300K ) إلى الحل لاحقًا.) لكي يكون هذا صحيحًا ، يجب أن تكون وسيطة الجيب صفر عند (r = إعادة). لاحظ أن α لها سلسلة لا نهائية من القيم التي تفي بهذا الشرط. تمثل كل قيمة لـ (α ) حلاً صالحًا (لكل منها قيمته الخاصة لـ (A )). الحل الكلي أو العام هو مجموع كل هذه الحلول.
    3. عند (t = 0 ، ) نفترض أن الأرض كانت في درجة حرارة أولية ساخنة (T_0 ) (اعتبر كلفن هذا على أنه حوالي (7000 كلفن ).) يتضمن تطبيق هذا الشرط الحدودي أكثر تقدمًا تطبيق معاملات فورييه. كما لوحظ في الجزء ب. تمثل كل قيمة من (α_n ) حلاً صالحًا ، والحل العام هو مجموع كل هذه الحلول. ينتج عن هذا حل متسلسل: [T (r، t) = left ( dfrac {T_0R_E} {π} right) sum_n dfrac {(- 1) ^ {n − 1}} {n} e ^ {- λn ^ 2t} dfrac { sin (α_nr)} {r} ، text {where} ؛ α_n = nπ / R_E ].

لاحظ كيف تأتي قيم (α_n ) من شرط الحدود المطبق في الجزء ب. المصطلح ( dfrac {−1 ^ {n − 1}} {n} ) هو الثابت (A_n ) لكل مصطلح في السلسلة ، ويتم تحديده من خلال تطبيق طريقة فورييه. السماح (β = dfrac {π} {R_E} ) ، بفحص المصطلحات القليلة الأولى من هذا الحل الموضحة هنا ولاحظ كيف يتسبب (λ ^ 2 ) في الأسية في تقليل المصطلحات العليا بسرعة مع تقدم الوقت:

[T (r، t) = dfrac {T_0R_E} {πr} left (e ^ {- Kβ ^ 2t} ( sinβr) - dfrac {1} {2} e ^ {- 4Kβ ^ 2t} ( sin2βr) + dfrac {1} {3} e ^ {- 9Kβ ^ 2t} ( sin3βr) - dfrac {1} {4} e ^ {- 16Kβ ^ 2t} ( sin4βr) + dfrac {1 } {5} e ^ {- 25Kβ ^ 2t} ( sin5βr) ... right). ]

الوقت القريب (t = 0 ، ) هناك حاجة إلى العديد من مصطلحات الحل من أجل الدقة. بإدخال قيم الموصلية (K ) و (β = π / R_E ) للوقت الذي يقترب من آلاف السنين فقط ، فإن المصطلحات القليلة الأولى فقط تقدم مساهمة كبيرة. احتاج كلفن فقط إلى النظر إلى المحلول القريب من سطح الأرض (الشكل ( فهرس الصفحة {6} )) ، وبعد وقت طويل ، حدد أفضل وقت ينتج عنه التدرج الحراري المقدر المعروف خلال عصره ( (1 درجة فهرنهايت ) ) زيادة في (50 قدمًا )). لقد اختار ببساطة نطاقًا من الأوقات مع تدرج قريب من هذه القيمة. في الشكل ( PageIndex {6} ) ، تم رسم الحلول وقياسها ، مع إضافة درجة حرارة السطح (300 − K ). Note that the center of Earth would be relatively cool. At the time, it was thought Earth must be solid.

Epilog

On May 20, 1904, physicist Ernest Rutherford spoke at the Royal Institution to announce a revised calculation that included the contribution of radioactivity as a source of Earth’s heat. In Rutherford’s own words:

“I came into the room, which was half-dark, and presently spotted Lord Kelvin in the audience, and realized that I was in for trouble at the last part of my speech dealing with the age of the Earth, where my views conflicted with his. To my relief, Kelvin fell fast asleep, but as I came to the important point, I saw the old bird sit up, open an eye and cock a baleful glance at me.

Then a sudden inspiration came, and I said Lord Kelvin had limited the age of the Earth, provided no new source [of heat] was discovered. That prophetic utterance referred to what we are now considering tonight, radium! Behold! The old boy beamed upon me.”

Rutherford calculated an age for Earth of about 500 million years. Today’s accepted value of Earth’s age is about 4.6 billion years.

Key Concepts

  • A partial derivative is a derivative involving a function of more than one independent variable.
  • To calculate a partial derivative with respect to a given variable, treat all the other variables as constants and use the usual differentiation rules.
  • Higher-order partial derivatives can be calculated in the same way as higher-order derivatives.

Key Equations

  • Partial derivative of (f) with respect to (x)

(dfrac{∂f}{∂x}=displaystyle{lim_{h→0}dfrac{f(x+h,y)−f(x,y)}{h}})

  • Partial derivative of (f) with respect to (y)

(dfrac{∂f}{∂y}=displaystyle{lim_{k→0}dfrac{f(x,y+k)−f(x,y)}{k}})

Glossary

higher-order partial derivatives
second-order or higher partial derivatives, regardless of whether they are mixed partial derivatives
mixed partial derivatives
second-order or higher partial derivatives, in which at least two of the differentiation are with respect to different variables
partial derivative
a derivative of a function of more than one independent variable in which all the variables but one are held constant

Determine the first partial derivatives of the function $f(x, y) = left<eginfrac<2x^3-y^3> & mathrm : (x, y) eq (0, 0)) 0 & mathrm (x, y) = (0, 0) end ight.$ , and determine if these partial derivatives are continuous at $(0, 0)$ .

Notice that in this example, $f$ is defined for all $(x, y) in mathbb^2$ , however, this function is a piecewise function, so we will deal with the partial derivatives of each piece of $f$ individually.

First suppose that $(x, y) eq (0, 0)$ . Then we can compute the partial derivatives of $f$ normally by applying the quotient rule:

Now suppose that $(x, y) = (0, 0)$ . We cannot use the partial derivative formulas above because we would get division by $ , so instead, we will use the formal definition of the partial derivative at $(0, 0)$ .

We will now determine whether or not these partial derivatives are continuous at $(0, 0) in mathbb^2$ . To show that, we must show whether or not $lim_ <(x, y) o (0, 0)>frac (x, y) = 2$ and whether or not $lim_ <(x, y) o (0, 0)>frac (x, y) = -frac<1><3>$ .

First let's determine if $frac$ is continuous at $(0, 0)$ .

Now notice that if we evaluate this limit along the line $x = 0$ then we get that $lim_ <(x, y) o (0, 0)>frac (x, y) = 0$ (which already tells us that our partial derivative is discontinuous), but also, if we evaluate this limit along the line $y = 0$ then we get that $lim_ <(x, y) o (0, 0)>frac (x, y) = 2$ . Since we have two different limits, we conclude that $lim_ <(x, y) o (0, 0)>frac (x, y)$ does not exist. Therefore we have that $frac$ is discontinuous at $(0, 0)$ .

Now let's determine if $frac$ is continuous at $(0, 0)$ .

Now notice that if we evaluate this limit along the line $x = 0$ we get that $lim_ <(x, y) o (0, 0)>frac (x, y) = - frac<1><3>$ . However, if we evaluate this limit along the line $y = 0$ we get that $lim_ <(x, y) o (0, 0)>frac (x, y) = 0$ . Since we have two different limits, we conclude that $lim_ <(x, y) o (0, 0)>frac (x, y)$ does not exist. Therefore we have that $frac$ is discontinuous at $(0, 0)$ .

Note that from Example 1 above, that a function can be differentiable even though its partial derivatives may be discontinuous.


Business Calculus with Excel

A standard technique in mathematics courses is to try to break a complicated problem into smaller and easier problems. For functions of several variables this can be done by looking at the variables one at a time, and treating the other variables as constants. Then we are back to considering functions of a single variable. We start by returning to Example 5 from the previous section, and seeing what information can be obtained by looking at one variable at a time.

Example 6.2.1 . Optimizing Revenue with Two Products.

I have a company that produces 2 products, widgets and gizmos. The two demand functions are:

This gives me the following revenue function:

Look at the functions of one variable obtained by treating either QG or QW as a constant. Use this information to find where we maximize revenue.

Solution: In terms of the last example, we want to start with a table and a wire frame chart.

The wires are obtained by intersecting the graph of the function with a plane where QW or QG is held constant.

Thus, when we treat either QW or QG as a constant we effectively are looking at one of the wires of the wire frame. To illustrate this, we will look at the wires corresponding to (QW=400) and (QG=300 ext<.>) When (QG=300 ext<,>) our revenue function simplifies to

Thus, the wire corresponding to (QG=300) is a parabola that bends down.

To find the vertex of the parabola, we take the derivative of our function of QW and set it equal to zero.

This derivative is zero when (QW=400 ext<.>) That is the only possible place on this wire where we can have a maximum.

This derivative is zero when (QG=250 ext<.>) That is the only possible place on this wire where we can have a maximum.

Putting the information together, the maximum must occur at (250,400). Putting these values back in the original equation gives a maximum of $5250 for the revenue function.

The procedure we used in the first example of replacing one variable with a constant and then taking the derivative of the resulting single variable function is a bit cumbersome. We can simplify the process by taking the derivative of the original function with respect to one variable while treating the other variables as constants. This is referred to as taking a partial derivative. There is also a change in notation. The familiar derivative of (f) with respect to (x) uses the symbol (frac f) while the partial derivative with respect to (x) uses the symbol (frac f ext<,>) or (f_x ext<.>) Similarly, the partial derivative with respect to (y) uses the symbol(frac f ext<,>) or (f_y ext<.>)

Example 6.2.2 . Finding and Interpreting Partial Derivatives.

Find the partial derivatives of (f(x,y)=x^2+ 2xy+3y^2-4x-3y) at ((x,y)=(3.5,-0.5) ext<.>) Explain what the partial derivatives mean in terms of the graph.

Solution: It is useful to look at a picture with the graph, the two curves obtained by keeping (x=3.5) and (y=1.5 ext<,>) and the tangent lines to those curves.

We also want to look at the slices corresponding keeping (x=-3.5) and (y=.5 ext<.>)

The yellow curve is obtained by fixing (y) and letting (x) vary. The blue curve is obtained by fixing (y) and letting (x) vary. We now take the partial derivatives with respect to both variables.

The partial derivatives give the slopes of the purple and red lines above. At the point ((3.5,-0.5) ext<,>) the (yellow) curves obtained by treating y as a constant and letting (x) vary has a (magenta) tangent line with a slope of (2 ext<,>) the value (frac f(3.5,-0.5) ext<.>) At the point ((3.5,-0.5) ext<,>) the (blue) curves obtained by treating (x) as a constant and letting (y) vary has a (red) tangent line with a slope of 1, the value (frac f(3.5,-0.5) ext<.>)

For functions of one variable, we had two main uses of the derivative. One was to identify candidate points for maxima and minima. We will look at critical points and extrema in the next section. The other use of the derivative was to produce a linear approximation or tangent line. We can generalize the tangent line for one variable to a tangent plane for two variables. For a function (f(x) ext<,>) we used the value of the point, ((x_0,f(x_0))) and the slope (f(x_0)) to get the equation of the tangent line approximation near (x_0 ext<.>)

For a function, (f(x,y) ext<,>) of two variables, we simply use partials for the slopes.

Example 6.2.3 . Approximating with a Tangent Plane.

The general Cobb-Douglas production function determines the Production (P), in terms of the variables Labor (L) and Capital (C):

or using short-hand notation:

where (c ext<,>) (alpha ext<,>) and (eta) are constants. For our widget factory, this becomes

with labor production and capital in the appropriate units. Find (Production(81,16) ext<.>) Use a linear approximation to estimate (Production(85,14) ext<.>)

Solution: We answer the first question by substituting the values into the equation.

To produce the tangent plane we take the partial derivatives and evaluate them at our base point.

This gives us our tangent plane.

Substituting in values gives our estimate.

In the case of the last example, evaluating the linear approximation was nicer than evaluating the function directly because the 4th roots of 16 and 81 are whole numbers, while the 4th roots of 85 and 14 are harder to compute. For real world functions, evaluating functions may involve a substantial investment of time and money, depending on the nature of the function.

In this section we have focused on functions of 2 variables since their graphs are surfaces in 3 dimensions, which is a familiar concept. For real world functions, we are often concerned with functions of many variables. The concept of partial derivative easily extends, with one variable and multiple parameters. Finding the linear approximation also extends without difficulty. We simply have a linear term for each variable.

Exercises Exercises: Wire Frames, Partial Derivatives, and Tangent Planes Problems

For exercises 1-7, for the given functions and points (P_1) and (P_2 ext<:>)

Give the 2 functions of one variable through (P_1) obtained by holding each variable constant.

Find the partial derivatives of the original function.

Evaluate the partial derivatives at (P_1 ext<.>)

Give the equation of the tangent plane through (P_1 ext<.>)

The approximation at (P_2) obtained from the tangent plane.

The function is (f(x,y)=x^2+3xy+4y^2 ext<,>) (P_1=(4,2) ext<,>) and (P_2=(3,2.5) ext<.>)

Give the 2 functions of one variable through (P_1) obtained by holding each variable constant.

Find the partial derivatives of the original function.

Evaluate the partial derivatives at (P_1 ext<.>)

Give the equation of the tangent plane through (P_1 ext<.>)

We need (f(4,2)=16+24+16=56) for the equation of the tangent plane.

The approximation at (P_2) obtained from the tangent plane.

The function is (f(x,y)=(x+3y)/(x^2+y^2 ) ext<,>) (P_1=(2,3) ext<,>) and (P_2=(3,2.5) ext<.>)

The function is (f(x,y)=(x^2)(x+2^y) ext<,>) (P_1=(3,-1) ext<,>) and (P_2=(3,0) ext<.>)

Give the 2 functions of one variable through (P_1) obtained by holding each variable constant.

Find the partial derivatives of the original function.

Evaluate the partial derivatives at (P_1 ext<.>)

Give the equation of the tangent plane through (P_1 ext<.>)

We need (f(3,-1)=9*frac<7><2>=frac<63><2>) for the equation of the tangent plane

The approximation at (P_2) obtained from the tangent plane.

The function is the revenue function for selling widgets and gizmos with demand price functions

and, (P_1=(QuanityGizmos,QuantityWidgets)=(1000,500) ext<,>) and (P_2=(1050,575) ext<.>)

The function is the revenue function for selling widgets and gizmos with demand price functions

and, (P_1=(QuanityGizmos,QuantityWidgets)=(800,400) ext<,>) and (P_2=(750,425) ext<.>)

For the sake of notation we will use the following abbreviations:

and, (P_1=(QG,QW)=(800,400) ext<,>) and (P_2=(750,425) ext<.>)

We need to find the Revenue function to solve the problem:

Give the 2 functions of one variable through (P_1) obtained by holding each variable constant.

This function gives us information about the revenue in terns of Widgets near a production level of 400 widgets and 800 gizmos. We can use Wolfram Alpha to graph this. Assuming there are 800 gizmos the widget influence on the revenue looks like this

The slope is about (m = 4 ext<.>)

The revenue generated by the gizmos assuming the number of widgets = 400 and the number of gizmos is near 800 gives the following picture

The slope is about (m=8 ext<.>)

Find the partial derivatives of the original function.

In part a we saw that the revenue function seems to be growing faster for the gizmo variable, then for the widget variable. To get more information we can compute the partial derivatives (b) and then evaluate them at (P_1) (c).

Note that the first part requires a product rule and then a chain rule to deal with the exponential part of the formula.

Evaluate the partial derivatives at (P_1 ext<.>)

The estimates we observed in part a were fairly close to the actual rates of change.

Give the equation of the tangent plane through (P_1 ext<.>)

We need to find (Rev(800,400) ext<.>) Using Wolfram Alpha (or calculator) we get

The approximation at (P_2) obtained from the tangent plane.

The estimated revenue when (P_2=(750,425)) is given by

In this case the change in production would result in a loss in revenue. This is mainly due to the impact of the lower production in gizmos.

The function is the Cobb-Douglas production function in a widget factory,

where labor is in workers, capital equipment is in units of $20,000, and production is in units of 200 widgets produced per month. In the ((Labor,Capital)) plane, let (P_1=(100,30) ext<,>) and (P_2=(110,25) ext<.>)

The function is the Cobb-Douglas production function in a country,

where labor is in millions of workers, capital equipment is in units of billions of dollars, and production is in units of billions of dollars per year. In the ((Labor,Capital)) plane, let (P_1=(300,30) ext<,>) and (P_2=(310,32) ext<.>)

Give the 2 functions of one variable through (P_1) obtained by holding each variable constant.


6.3: Partial Derivatives - Mathematics

The Maple commands for computing partial derivatives are D and diff . The diff command can be used on both expressions and functions whereas the D command can be used only on functions. The commands below show examples of first order and second order partials in Maple.

Note in the above D command that the 1 in the square brackets means x and the 2 means y . The next example shows how to evaluate the mixed partial derivative of the function given above at the point .

To find a point, , where the tangent plane is horizontal, you would need to solve where both first order partials are equal to zero simultaneously.

The horizontal plane at that point would simply be . Below is how to plot the surface and the horizontal tangent plane.

To find the tangent plane to the sphere at the point and is positive, you would first need to find the coordinating value for the ordered pair. Below is how you would do this in Maple as well as find and plot the tangent plane implicitly.

at the point using the diff command and then again using the D command.

a) Find the plane tangent to the given surface at . b) Plot the surface and the tangent plane on the same graph and rotate the 3-D plot to show the point of tangency. Use plotting ranges and . c) Find the point where the tangent plane to the given surface would be horizontal. d) Plot the surface and the horizontal tangent plane on the same graph and rotate the 3-D plot to show the point of tangency. Use the same plotting ranges as above.


Bezier triangle partial derivatives

Hello I am trying to compute the partial derivatives of a bezier triangle (in u and v directions).

I followed this article to build my program.

The section that interest me is " Derivatives [triangles]:"

question 1 : In the equations. does "p" refer to the actual control points of the triangle?

If this is the case, it seems like the derivative takes into account only 6 of the 10 control points of the patch. Is this normal?

the coefficients computed are for i+j+k=2 so if I plug theses values in the bernstein polynomial definition I get the following coefficients :


i=0, j=0, k=2 ---> w * w
i=0, j=2, k=0 ---> v * v
i=2, j=0, k=0 ---> u * u
i=1, j=1, k=0 ---> 2 * u * v
i=1, j=0, k=1 ---> 2 * u * w
i=0, j=1, k=1 ---> 2 * v * w

question 2 : this seems to contradict another section of the article where a bernstein of degree two is used for indices 110, 101, 011 and there is no x2 multiplication. Is this normal?

Hopefully someone can clarify this. I really need theses derivatives.

According to the terminology used so far, I’d say yes.

I found an old paper by Sederberg, which has a graphical explanation for the definition of directional derivatives (Fig. 14). The figure depicts the construction of the derivative patch in w-direction (w=const). The construction for the patches in u- and v-direction is similar. Though, it has a little error in there, I think. The top and top left control points are substituted, but I think you can get the gist.

It’s expected that the degree of the “derivative patch” goes down, so 6 points instead of 10 seems right. If you derive a polynomial of degree n the outcome is a polynomial of degree n-1.

This is indeed a little strange. I’d have expected the factor 2, too.
Well, after all, this article seems not to be peer-reviewed, so little errors might be possible. I’d suggest to pick up a book of Farin, e.g. “Curves and Surfaces for CAGD: A Practical Guide” (Chapter 17) if you want to learn more.

I manually derived the position equation to find the partial derivatives.


For n=3 the code looks like this :


float3 bezierTriangle(float3 uvw, float3 points[10])
<
إرجاع
uvw.x * uvw.x * uvw.x * points[P300] +
uvw.y * uvw.y * uvw.y * points[P030] +
uvw.z * uvw.z * uvw.z * points[P003] +
3.0f * uvw.x * uvw.x * uvw.y * points[P210] +
3.0f * uvw.y * uvw.y * uvw.z * points[P021] +
3.0f * uvw.z * uvw.z * uvw.x * points[P102] +
3.0f * uvw.y * uvw.y * uvw.x * points[P120] +
3.0f * uvw.z * uvw.z * uvw.y * points[P012] +
3.0f * uvw.x * uvw.x * uvw.z * points[P201] +
6.0f * uvw.x * uvw.y * uvw.z * points[P111]
>

. And the derivatives in u and v are :


float3 bezierTriangle_du(float3 uvw, float3 points[10])
<
إرجاع
3.0f * uvw.x * uvw.x * (points[P300] - points[P201]) +
3.0f * uvw.y * uvw.y * (points[P120] - points[P021]) +
3.0f * uvw.z * uvw.z * (points[P102] - points[P003]) +
6.0f * uvw.x * uvw.y * (points[P210] - points[P111]) +
6.0f * uvw.x * uvw.z * (points[P201] - points[P102]) +
6.0f * uvw.y * uvw.z * (points[P111] - points[P012])
>

float3 bezierTriangle_dv(float3 uvw, float3 points[10])
<
إرجاع
3.0f * uvw.x * uvw.x * (points[P210] - points[P201]) +
3.0f * uvw.y * uvw.y * (points[P030] - points[P021]) +
3.0f * uvw.z * uvw.z * (points[P012] - points[P003]) +
6.0f * uvw.x * uvw.y * (points[P120] - points[P111]) +
6.0f * uvw.x * uvw.z * (points[P111] - points[P102]) +
6.0f * uvw.y * uvw.z * (points[P021] - points[P012])
>

As we can see, the derivatives for a degree 3 Bezier triangle is a degree 2 Bezier triangle. But the control points are not like they describe in the article.

We actually use 9 of the 10 initial control points to make 6 new ones.

I guess it could be written like this :

I also compared the results of adding a a factor 2 to the original N-Patch normal equation. Obviously, it still works without it but I think I looks better with the factor 2.


Partial Derivative Calculator


Partial Derivative Calculator computes derivatives of a function with respect to given variable utilizing analytical differentiation and displays a step-by-step solution. It gives chance to draw graphs of the function and its derivatives. Calculator maintenance derivatives up to 10th order, as well as complex functions. Derivatives being computed by parsing the function, utilizing differentiation rules and simplifying the result.

How to Use Partial Derivative Calculator

1. Enter every needed function to differentiate
2. Enter differentiation variable if it is different from the the default value
3. Choose degree of differentiation
4. Click Compute button
5. Derivative of the function will be computed and displayed on the screen
6. Click on Show a step by step solution if there is a desire to observe the differentiation steps
7. Click on Draw graph to display graphs of the function and its derivative

This calculator can take the partial derivative of regular functions, as well as trigonometric functions.


  • Member Info
    • Member Type:
    • آخر
    • Native Language:
    • American English
    • Home Country:
    • United States
    • Current Location:
    • United States

    My research showed only that it's called "the curved d" or sometimes "the curly d."

    It is not the lower case delta (the Greek letter).

    • Member Info
      • Member Type:
      • Interested in Language
      • Native Language:
      • American English
      • Home Country:
      • United States
      • Current Location:
      • United States

      Options

      There are several ways to use this dictionary. The most common way is by word input (you must know which language the word is in) but you can also use your browser's search box and bookmarklets (or favelets).

      Look at the complete list of languages: Available language pairs

      There are two Japanese-English (and Japanese-French) dictionaries and one contains Kanji and Kana (Kana in English and French pair due to improved searching). For the same reason the Chinese dictionary contains traditional and simplified Chinese terms on one side and Pinyin and English terms on the other.

      Browser integration (Search plugins)

      Perhaps the best way to enable dictionary search is through integration into the search field of your browser. To add EUdict alongside Google, Yahoo!, Amazon and other search engines in Mozilla Firefox or Internet Explorer, simply click on link after the title Browser integration, select appropriate language pair and confirm your decision. And you're ready to go select EUdict from the drop-down list in search field (Firefox) or address bar (IE), input a word and press Enter. In Chrome, first click on a language pair and change the search keyword in the field 'Keyword' to a keyword (eg: 'eudict'). Afterwards, you simply type the chosen keyword in the address bar to start the search in the chosen dictionary.

      Bookmarklets

      There is a way to enable word translation from any page: Bookmarklets. A bookmarklet is a small JavaScript code stored as a bookmark in your browser.

      Tips and tricks

      If you want to type a character which isn't on your keyboard, simply pick it from a list of special characters. If you are unable to add a bookmarklet in Mozilla Firefox according to the instructions above, there is another way right click on a link and select Bookmark this link… Now you can drag this link from Bookmarks to the Bookmarks Toolbar.

      Instead of clicking the Search button, just press Enter. Although EUdict can't translate complete sentences, it can translate several words at once if you separate them with spaces or commas. Sometimes you can find translation results directly from Google by typing: eudict word. If you are searching for a word in Japanese (Kanji) dictionary and not receiving any results, try without Kana (term in brackets). If you are searching for a word in the Chinese dictionary and not receiving any results, try without Pinyin (term in brackets). Disable spellchecking in Firefox by going to Tools → Options → Advanced → Check my spelling as I type. Why not add a EUdict search form to your web site? Form


      Partial Derivatives of a unit vector

      to provide more background, I'm trying to find the derivative of the constraint function:

      C(p1,p2,p3) = arccos( PerpDot(n1,n2) ) - theta

      where n1 = ((p2 - p1)/||p2 - p1||) and n2 = ((p3 - p1)/||p3 - p1||)

      the theta term disappears in the derivative, and the derivative of arccos(x) is -1/(sqrt(1 - x^2)). So, all that remains is to figure out the derivative of the PerpDot.

      If i understand correctly, perpdot is really just the inner product in 2D:
      perpdot(a,b) = dot(a^T,b)

      The function is a constraint function which describes the error between a current angle and some desired angle. I'm trying to understand this paper: http://graphics.ethz.ch/

      Let p2 = (x,y) and p1 = (a,b), where x and y are the variables and where a and b are constants. Then n = (y-b,-(x-a))/pow((x-a)^2+(y-b)^2,1/2).

      The derivative with respect to x is the vector

      and the derivative with respect to y is the vector

      The first derivative of n with respect to (x,y) is written as a matrix whose columns are dn/dx and dn/dy.

      Is my simplification (translating everything to locate p1 at the origin) valid? Also, do you know of a good book/site for learning this sort of thing? I've found many engineering tutorials, but they never follow through all the way to show how the derivatives are actually computed!

      In the paper I mentioned they derive the gradient of the normalized cross product n = (p1 x p2)/||p1 x p2||

      I'm trying to do the same thing, but in 2D, so I need the gradient of the normalized perpdot am I on the right track? I feel a bit stupid.. this math seems like it makes perfect sense, but it's still over my head I'm afraid!

      Basically in a partial derivative you're just treating all the variables except for one as constants. For example, the partial derivative of f(x,y,z) = xyz with respect to x is just yz.

      Just expand out this perpdot thing by substitution using its definition and it might become a lot clearer. perpdot(a,b) = a.y * b.x - a.x * b.y, I think. So if b is a constant, the derivative with respect to a.x is -b.y.

      I'm a bit confused about vector-valued functions -- it seems like i should just treat each vector as two separate variables, but I'm not sure that this is correct.

      In the paper I linked to they're using the gradient of a function wrt a _vector_, not a component of a vector: is this just shorthand for finding the gradient wrt each of the vector's components?

      thanks so much for the info.

      You must distiguish between scalar and vector valued functions. E.g.

      C1(p1,p2) = p1 * p2 is a scalar valued function
      C2(p1,p2) = p1 x p2 is a vector valued function

      Since p1 and p2 are functions of the time you can find the Jacobians by inspection

      dC2/dt = p1 x v2 + v1 x p2 = p1 x v2 - p2 x v1 = P1 * v2 - P2 * v1 where P_i is the cross-matrix of p_i

      You see that the "gradient" for the vector valued functions is a vector. While the so called "vector gradient" is a matrix (tensor) often refered to as Jacobian.

      Regarding your specific constraint funtions. If it is from the "Position Based Dynamics" paper there is a derivation in the appendix of the paper.

      I also found it very difficult to find material about this topic and I can recommend only a few things

      a) The math reference of E. Guendelman was very helpful
      http://graphics.stanford.edu/

      b) This paper of R. Bridson has some information in the appendix
      http://www.cs.ubc.ca/

      Scalar fields
      Vector fields
      Gradient
      Jacobian

      This should get you a little further. Mostly it behaves like normal analysis. The tricky part is the multiplication order and you often have to use the transpose. See section "2 Multivariable" in the Guendelman math reference.


      Partial Differentiation Questions and Answers – Variable Treated as Constant

      This set of Differential and Integral Calculus Multiple Choice Questions & Answers (MCQs) focuses on “Variable Treated as Constant”.

      1. If z=3xy+4x 2 , what is the value of (frac<∂z><∂x>)?
      a) 3y+8x
      b) 3x+4x 2
      c) 3xy+8x
      d) 3y+3x+8x
      View Answer

      2. The value of (frac<∂z><∂y>)=8x 2 +6xy 2 +4. What is the function z expressed as?
      a) z=8x 3 +2x 2 y 2 +4x
      b) z=8x 2 y+2xy 3 +4y
      c) z=8y+2xy 2 +4y
      d) z=16x+6y 2
      View Answer

      4. Volume of an object expressed in spherical coordinates is given by (V = int_0^<2>>∫_0^<3>>∫_0^1r cos∅ dr d∅ dθ.) The value of the integral is _______
      a) (frac><2>)
      b) (frac<1> <√2>π)
      c) (frac> <2>π)
      d) (frac><8>π)
      View Answer

      6. ما قيمة ( frac <∂ ^ 2z> ) لـ z = 3x 2 y + 5y؟
      أ) 3xy
      ب) 6x
      ج) 3x + 5
      د) 6xy
      مشاهدة الجواب

      8. إعطاء (∫_0 ^ 8x ^ < frac <1> <3>> dx، ) أوجد الخطأ في تقريب التكامل باستخدام قاعدة Simpson's 1/3 مع n = 4.
      أ) 1.8
      ب) 2.9
      ج) 0.3
      د) 0.35
      مشاهدة الجواب

      9. يتم إعطاء محدد المصفوفة التي تكون قيمها الذاتية 6 ، 4 ، 3 بواسطة ___________
      أ) 3
      ب) 24
      ج) 72
      د) 13
      مشاهدة الجواب

      10. الرمز المستخدم للمشتقات الجزئية ، was ، استخدم لأول مرة في الرياضيات بواسطة ماركيز دي كوندورسيه.
      أ) صحيح
      ب) خطأ
      مشاهدة الجواب

      التعليم العالمي Sanfoundry & # 038 سلسلة التعلم - حساب التفاضل والتكامل.

      شارك في مسابقة Sanfoundry Certification للحصول على شهادة تقدير مجانية. انضم إلى شبكاتنا الاجتماعية أدناه وابق على اطلاع بأحدث المسابقات ومقاطع الفيديو والتدريب الداخلي والوظائف!


      شاهد الفيديو: الأشتقاق الجزئي حصة 1 Partil Derivatives (ديسمبر 2021).