مقالات

3.2.1: التكامل المزدوج الجزء 1 (تمارين) - الرياضيات


في التمرينين 1 و 2 ، استخدم قاعدة النقطة الوسطى مع (م = 4 ) و (ن = 2 ) لتقدير حجم المادة الصلبة التي يحدها السطح (ض = و (س ، ص) ) ، المستويات العمودية (س = 1 ) ، (س = 2 ) ، (ص = 1 ) ، (ص = 2 ) ، والمستوى الأفقي (س = 0 ).

1) (و (س ، ص) = 4x + 2y + 8xy )

إجابه:
(27)

2) (f (x، y) = 16x ^ 2 + frac {y} {2} )

في التمرينين 3 و 4 ، قم بتقدير حجم المادة الصلبة تحت السطح (z = f (x ، y) ) وفوق المنطقة المستطيلة ص باستخدام مجموع Riemann مع (m = n = 2 ) ونقاط العينة ستكون الزوايا اليسرى السفلية للمستطيلات الفرعية للقسم.

3) (f (x، y) = sin x - cos y )، (R = [0، pi] times [0، pi] )

إجابه:
(0)

4) (f (x، y) = cos x + cos y )، (R = [0، pi] times [0، frac { pi} {2}] )

5) استخدم قاعدة النقطة المتوسطة مع (m = n = 2 ) لتقدير ( iint_R f (x، y) ، dA ) ، حيث قيم الدالة F على (R = [8،10] مرات [9،11] ) معطاة في الجدول التالي.

(ص )
(س )99.51010.511
89.856.755.6
8.59.44.585.43.4
98.74.665.53.4
9.56.764.55.46.7
106.86.45.55.76.8
إجابه:
(21.3)

6) قيم الدالة (f ) على المستطيل (R = [0،2] times [7،9] ) موضحة في الجدول التالي. تقدير التكامل المزدوج ( iint_R f (x، y) ، dA ) باستخدام مجموع Riemann مع (m = n = 2 ). حدد نقاط العينة لتكون الزوايا اليمنى العلوية للمربعات الفرعية ر.

(ص_0 = 7 ) (y_1 = 8 ) (ص_2 = 9 )
(x_0 = 0 )10.2210.219.85
(س_1 = 1 )6.739.759.63
(س_2 = 2 )5.627.838.21

7) يرد في الجدول التالي عمق مسبح الأطفال الذي يبلغ طوله 4 أقدام و 4 أقدام ، ويتم قياسه على فترات متقطعة.

  1. تقدير حجم الماء في حمام السباحة باستخدام مجموع ريمان مع (م = ن = 2 ). حدد عينات النقاط باستخدام قاعدة النقطة المتوسطة في (R = [0،4] times [0،4] ).
  2. ابحث عن متوسط ​​عمق المسبح.
    (ص )
    (س )01234
    011.522.53
    111.522.53
    211.51.52.53
    3111.522.5
    41111.52
إجابه:
أ. 28 ( نص {قدم} ^ 3 )
ب. 1.75 قدم

8) يرد في الجدول التالي عمق حفرة 3 أقدام في 3 أقدام في الأرض ، مقاسة بفواصل زمنية قدرها 1 قدم.

  1. قدر حجم الحفرة باستخدام مجموع Riemann مع (m = n = 3 ) ونقاط العينة لتكون الزوايا اليسرى العلوية للمربعات الفرعية في (ص ).
  2. أوجد متوسط ​​عمق الحفرة.
    (ص )
    (س )0123
    066.56.46
    16.577.56.5
    26.56.76.56
    366.555.6

9) منحنيات المستوى (f (x، y) = k ) للدالة (f ) موضحة في الرسم البياني التالي ، حيث (k ) ثابت.

  1. طبق قاعدة النقطة المتوسطة مع (m = n = 2 ) لتقدير التكامل المزدوج ( iint_R f (x، y) ، dA ) ، حيث (R = [0.2،1] times [0، 0.8] ).
  2. تقدير متوسط ​​قيمة الوظيفة (f ) في (ص ).

إجابه:
أ. 0.112
ب. (f_ {ave} 0.175 ) ؛ هنا (f (0.4،0.2) ≃ 0.1 ) ، (f (0.2،0.6) ≃− 0.2 ) ، (f (0.8،0.2) ≃ 0.6 ) ، و (f (0.8،0.6) ≃ 0.2 )

10) منحنيات المستوى (f (x، y) = k ) للدالة (f ) موضحة في الرسم البياني التالي ، حيث (k ) ثابت.

  1. طبق قاعدة النقطة المتوسطة مع (m = n = 2 ) لتقدير التكامل المزدوج ( iint_R f (x، y) ، dA ) ، حيث (R = [0.1،0.5] times [0.1، 0.5] ).
  2. تقدير متوسط ​​قيمة الوظيفة F على (ص ).

11) المادة الصلبة الموجودة تحت السطح (z = sqrt {4 - y ^ 2} ) وفوق المنطقة المستطيلة (R = [0،2] times [0،2] ) موضحة في الرسم البياني التالي. احسب التكامل المزدوج ( iint_Rf (x، y) ) حيث (f (x، y) = sqrt {4 - y ^ 2} ) بإيجاد حجم المادة الصلبة المقابلة.

إجابه:
(2 بي )

12) المادة الصلبة الواقعة تحت المستوى (z = y + 4 ) وفوق المنطقة المستطيلة (R = [0،2] times [0،4] ) موضحة في الرسم البياني التالي. احسب التكامل المزدوج ( iint_R f (x، y) ، dA ) حيث (f (x، y) = y + 4 ) عن طريق إيجاد حجم المادة الصلبة المقابلة.

في التدريبات من 13 إلى 20 ، احسب التكاملات بعكس ترتيب التكامل.

13) ( displaystyle int _ {- 1} ^ 1 left ( int _ {- 2} ^ 2 (2x + 3y + 5) ، dx right) space dy )

إجابه:
(40)

14) (displaystyle int_0 ^ 2 left (int_0 ^ 1 (x + 2e ^ y + 3)، dx right) space dy)

15) ( displaystyle int_1 ^ {27} left ( int_1 ^ 2 ( sqrt [3] {x} + sqrt [3] {y}) ، dy right) space dx )

إجابه:
( frac {81} {2} + 39 sqrt [3] {2} )

16) ( displaystyle int_1 ^ {16} left ( int_1 ^ 8 ( sqrt [4] {x} + 2 sqrt [3] {y}) ، dy right) space dx )

17) ( displaystyle int _ { ln 2} ^ { ln 3} left ( int_0 ^ 1 e ^ {x + y} ، dy right) space dx )

إجابه:
(ه - 1 )

18) ( displaystyle int_0 ^ 2 left ( int_0 ^ 1 3 ^ {x + y} ، dy right) space dx )

19) ( displaystyle int_1 ^ 6 left ( int_2 ^ 9 frac { sqrt {y}} {y ^ 2} ، dy right) space dx )

إجابه:
(15 - frac {10 sqrt {2}} {9} )

20) ( displaystyle int_1 ^ 9 left ( int_4 ^ 2 frac { sqrt {x}} {y ^ 2} ، dy right) ، dx )

في التدريبات 21 - 34 ، قم بتقييم التكاملات المتكررة باختيار ترتيب التكامل.

21) ( displaystyle int_0 ^ { pi} int_0 ^ { pi / 2} sin (2x) cos (3y) ، dx space dy )

إجابه:
(0)

22) ( displaystyle int _ { pi / 12} ^ { pi / 8} int _ { pi / 4} ^ { pi / 3} [ cot x + tan (2y)] ، dx مساحة دى )

23) ( displaystyle int_1 ^ e int_1 ^ e left [ frac {1} {x} sin ( ln x) + frac {1} {y} cos ( ln y) right ] ، dx space dy )

إجابه:
((هـ - 1) (1 + الخطيئة 1 - كوس 1) )

24) ( displaystyle int_1 ^ e int_1 ^ e frac { sin ( ln x) cos ( ln y)} {xy} ، dx space dy )

25) ( displaystyle int_1 ^ 2 int_1 ^ 2 left ( frac { ln y} {x} + frac {x} {2y + 1} right) ، dy space dx )

إجابه:
( frac {3} {4} ln left ( frac {5} {3} right) + 2b space ln ^ 2 2 - ln 2 )

26) ( displaystyle int_1 ^ e int_1 ^ 2 x ^ 2 ln (x) ، dy space dx )

27) ( displaystyle int_1 ^ { sqrt {3}} int_1 ^ 2 y space arctan left ( frac {1} {x} right) ، dy space dx )

إجابه:
( frac {1} {8} [(2 sqrt {3} - 3) pi + 6 space ln 2] )

28) ( displaystyle int_0 ^ 1 int_0 ^ {1/2} ( arcsin x + arcsin y) ، dy space dx )

29) ( displaystyle int_0 ^ 1 int_0 ^ 2 xe ^ {x + 4y} ، dy space dx )

إجابه:
( frac {1} {4} e ^ 4 (e ^ 4 - 1) )

30) ( displaystyle int_1 ^ 2 int_0 ^ 1 xe ^ {x-y} ، dy space dx )

31) ( displaystyle int_1 ^ e int_1 ^ e left ( frac { ln y} { sqrt {y}} + frac { ln x} { sqrt {x}} right) ، dy space dx )

إجابه:
(4 (e - 1) (2 - sqrt {e}) )

32) ( displaystyle int_1 ^ e int_1 ^ e left ( frac {x space ln y} { sqrt {y}} + frac {y space ln x} { sqrt {x }} right) ، dy space dx )

33) ( displaystyle int_0 ^ 1 int_1 ^ 2 left ( frac {x} {x ^ 2 + y ^ 2} right) ، dy space dx )

إجابه:
(- frac { pi} {4} + ln left ( frac {5} {4} right) - frac {1} {2} ln 2 + arctan 2 )

34) ( displaystyle int_0 ^ 1 int_1 ^ 2 frac {y} {x + y ^ 2} ، dy space dx )

في التدريبات 35 - 38 ، أوجد متوسط ​​قيمة الدالة على المستطيلات المعطاة.

35) (f (x، y) = x + 2y )، (R = [0،1] times [0،1] )

إجابه:
( فارك {1} {2} )

36) (f (x، y) = x ^ 4 + 2y ^ 3 )، (R = [1،2] times [2،3] )

37) (f (x، y) = sinh x + sinh y )، (R = [0،1] times [0،2] )

إجابه:
( frac {1} {2} (2 space cosh 1 + cosh 2 - 3) ).

38) (f (x، y) = arctan (xy) )، (R = [0،1] times [0،1] )

39) لنفترض أن (f ) و (g ) هما وظيفتان متصلتان مثل (0 leq m_1 leq f (x) leq M_1 ) لأي (x ∈ [a، b] ) و (0 leq m_2 leq g (y) leq M_2 ) لأي (y ∈ [c، d] ). أظهر أن عدم المساواة التالية صحيحة:

[m_1m_2 (b-a) (c-d) leq int_a ^ b int_c ^ d f (x) g (y) ، dy dx leq M_1M_2 (b-a) (c-d). ]

في التدريبات 40 - 43 ، استخدم الخاصية مقابل التكاملات المزدوجة والإجابة من التمرين السابق لتوضيح أن المتباينات التالية صحيحة.

40) ( frac {1} {e ^ 2} leq iint_R e ^ {- x ^ 2 - y ^ 2} space dA leq 1 ) ، حيث (R = [0،1] مرات [0،1] )

41) ( frac { pi ^ 2} {144} leq iint_R sin x cos y space dA leq frac { pi ^ 2} {48} ) ، حيث (R = يسار [ frac { pi} {6} ، frac { pi} {3} right] times left [ frac { pi} {6} ، frac { pi} {3} right ] )

42) (0 leq iint_R e ^ {- y} space cos x space dA leq frac { pi} {2} ) ، حيث (R = left [0، frac { pi} {2} right] times left [0، frac { pi} {2} right] )

43) (0 leq iint_R ( ln x) ( ln y) ، dA leq (e - 1) ^ 2 ) ، حيث (R = [1، e] times [1، e ] )

44) لنفترض أن (f ) و (g ) هما وظيفتان متصلتان مثل (0 leq m_1 leq f (x) leq M_1 ) لأي (x ∈ [a، b] ) و (0 leq m_2 leq g (y) leq M_2 ) لأي (y ∈ [c، d] ). أظهر أن عدم المساواة التالية صحيحة:

[(m_1 + m_2) (ب - أ) (ج - د) leq int_a ^ b int_c ^ d | f (x) + g (y) | مسافة dy space dx leq (M_1 + M_2) (b - a) (c - d) ]

في التدريبات 45-48 ، استخدم الخاصية مقابل التكاملات المزدوجة والإجابة من التمرين السابق لتوضيح أن المتباينات التالية صحيحة.

45) ( frac {2} {e} leq iint_R (e ^ {- x ^ 2} + e ^ {- y ^ 2}) ، dA leq 2 ) ، حيث (R = [ 0،1] مرات [0،1] )

46) ( frac { pi ^ 2} {36} iint_R ( sin x + cos y) ، dA leq frac { pi ^ 2 sqrt {3}} {36} ) ، حيث (R = [ frac { pi} {6}، frac { pi} {3}] times [ frac { pi} {6}، frac { pi} {3}] )

47) ( frac { pi} {2} e ^ {- pi / 2} leq iint_R ( cos x + e ^ {- y}) ، dA leq pi ) ، حيث (R = [0، frac { pi} {2}] times [0، frac { pi} {2}] )

48) ( frac {1} {e} leq iint_R (e ^ {- y} - ln x) ، dA leq 2 ) ، حيث (R = [0، 1] times [ 0 ، 1] )

في التدريبات 49-50 ، يتم إعطاء الدالة (f ) بدلالة التكاملات المزدوجة.

  1. حدد الشكل الصريح للدالة (f ).
  2. أوجد حجم المادة الصلبة تحت السطح (z = f (x، y) ) وفوق المنطقة (R ).
  3. ابحث عن متوسط ​​قيمة الوظيفة (f ) في (R ).
  4. استخدم نظام الجبر الحاسوبي (CAS) لرسم (z = f (x، y) ) و (z = f_ {ave} ) في نفس نظام الإحداثيات.

49) [T] (f (x، y) = int_0 ^ y int_0 ^ x (xs + yt) ds space dt ) ، حيث ((x، y) in R = [0،1] times [0 ، 1] )

إجابه:

أ. (f (x، y) = frac {1} {2} xy (x ^ 2 + y ^ 2) ) ؛
ب. (V = int_0 ^ 1 int_0 ^ 1 f (x، y) ، dx space dy = frac {1} {8} ) ؛
ج. (f_ {ave} = frac {1} {8} ) ؛

د.

50) [T] (f (x، y) = int_0 ^ x int_0 ^ y [ cos (s) + cos (t)] ، dt space ds ) ، حيث ((x، y) in R = [0،3] مرات [0،3] )

51) أظهر أنه إذا كان (f ) و (g ) متواصلين في ([أ ، ب] ) و ([ج ، د] ) ، على التوالي ، إذن

(displaystyle int_a ^ b int_c ^ d | f (x) + g (y) | dy space dx = (d - c) int_a ^ b f (x) ، dx)

(displaystyle + int_a ^ b int_c ^ dg (y) ، dy space dx = (b - a) int_c ^ dg (y) ، dy + int_c ^ d int_a ^ bf (x) ، dx مساحة دى ).

52) بيّن أن ( displaystyle int_a ^ b int_c ^ d yf (x) + xg (y) ، dy space dx = frac {1} {2} (d ^ 2 - c ^ 2) يسار ( int_a ^ bf (x) ، dx right) + frac {1} {2} (b ^ 2 - a ^ 2) left ( int_c ^ dg (y) ، dy right) ).

53) [T] ضع في اعتبارك الوظيفة (f (x، y) = e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} ) ، حيث ((x، y) in R = [−1،1] times [−1 ، 1] ).

  1. استخدم قاعدة النقطة المتوسطة مع (m = n = 2،4، ...، 10 ) لتقدير التكامل المزدوج (I = iint_R e ^ {- x ^ 2 - y ^ 2} dA ). قرب إجابتك لأقرب جزء من مائة.
  2. بالنسبة إلى (m = n = 2 ) ، ابحث عن متوسط ​​قيمة F فوق المنطقة ص. قرب إجابتك لأقرب جزء من مائة.
  3. استخدم CAS لرسم بياني في نفس نظام الإحداثيات على الجسم الذي تم تحديد حجمه بواسطة ( iint_R e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} dA ) والمستوى (z = f_ {ave} ).
إجابه:

أ. بالنسبة إلى (m = n = 2 ) ، (I = 4e ^ {- 0.5} تقريبًا 2.43 )
ب. (f_ {ave} = e ^ {- 0.5} simeq 0.61 ) ؛

ج.

54) [T] ضع في اعتبارك الوظيفة (f (x، y) = sin (x ^ 2) space cos (y ^ 2) ) ، حيث ((x، y in R = [1،1] times [−1،1] ).

  1. استخدم قاعدة النقطة المتوسطة مع (m = n = 2،4، ...، 10 ) لتقدير التكامل المزدوج (I = iint_R sin (x ^ 2) cos (y ^ 2) space dA ). قرب إجابتك لأقرب جزء من مائة.
  2. بالنسبة إلى (m = n = 2 ) ، ابحث عن متوسط ​​ (f ) فوق المنطقة تم العثور على R. قرب إجابتك لأقرب جزء من مائة.
  3. استخدم CAS لرسم بياني في نفس نظام الإحداثيات على المادة الصلبة التي تم تحديد حجمها بواسطة ( iint_R sin (x ^ 2) cos (y ^ 2) space dA ) والمستوى (z = f_ {ave } ).

في التمارين 55 - 56 ، يتم إعطاء الوظائف (f_n ) ، حيث (n geq 1 ) هو رقم طبيعي.

  1. ابحث عن حجم المواد الصلبة (S_n ) تحت الأسطح (z = f_n (x، y) ) وفوق المنطقة (R ).
  2. تحديد حدود أحجام المواد الصلبة (S_n ) حيث (n ) يزيد بلا حدود.

55) (f (x، y) = x ^ n + y ^ n + xy، space (x، y) in R = [0،1] times [0،1] )

إجابه:
أ. ( frac {2} {n + 1} + frac {1} {4} )
ب. ( فارك {1} {4} )

56) (f (x، y) = frac {1} {x ^ n} + frac {1} {y ^ n}، space (x، y) in R = [1،2] مرات [1،2] )

57) أظهر أن متوسط ​​قيمة دالة (f ) على منطقة مستطيلة (R = [a، b] times [c، d] ) هي (f_ {ave} almost frac {1 } {mn} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (x_ {ij} ^ *، y_ {ij} ^ *) ) ، حيث ((x_ {ij} ^ * ، y_ {ij} ^ *) ) هي نقاط عينة من قسم (R ) ، حيث (1 leq i leq m ) و (1 leq j leq n ).

58) استخدم قاعدة النقطة المتوسطة مع (m = n ) لإظهار أن متوسط ​​قيمة دالة (f ) في منطقة مستطيلة (R = [a، b] times [c، d] ) يتم تقريبه بواسطة

[f_ {ave} almost frac {1} {n ^ 2} sum_ {i، j = 1} ^ nf left ( frac {1} {2} (x_ {i = 1} + x_i) ، space frac {1} {2} (y_ {j = 1} + y_j) right). ]

59) خريطة تساوي الحرارة هي مخطط يربط بين نقاط لها نفس درجة الحرارة في وقت معين لفترة زمنية معينة. استخدم التمرين السابق وقم بتطبيق قاعدة نقطة الوسط مع (m = n = 2 ) للعثور على متوسط ​​درجة الحرارة فوق المنطقة الواردة في الشكل التالي.

إجابه:
(56.5 ^ { circ} ) ف ؛ هنا (f (x_1 ^ *، y_1 ^ *) = 71، space f (x_2 ^ *، y_1 ^ *) = 72، space f (x_2 ^ *، y_1 ^ *) = 40، space f ( x_2 ^ * ، y_2 ^ *) = 43 ) ، حيث (x_i ^ * ) و (y_j ^ * ) هما نقطتا منتصف الفترات الفرعية لأقسام ([a، b] ) و ([ج ، د] ) ، على التوالي.

3.2.1: التكامل المزدوج الجزء 1 (تمارين) - الرياضيات

حان الوقت الآن للتفكير في دمج الوظائف على سطح ما ، (S ) ، في مساحة ثلاثية الأبعاد. لنبدأ برسم تخطيطي للسطح (S ) لأن الترميز يمكن أن يكون محيرًا بعض الشيء بمجرد الدخول فيه. هنا رسم تخطيطي لبعض الأسطح (S ).

المنطقة (S ) سوف تقع فوق (في هذه الحالة) بعض المناطق (D ) التي تقع في (xy ) - الطائرة. استخدمنا المستطيل هنا ، لكن لا يجب أن يكون كذلك بالطبع. لاحظ أيضًا أنه يمكننا بسهولة النظر إلى سطح (S ) أمام بعض المناطق (D ) في yz-الطائرة أو الطائرة (xz ). لا تحبس نفسك في الطائرة (س ص ) بحيث لا يمكنك حل المشاكل التي لها مناطق في المستويين الأخريين.

الآن ، كيف نقيم تكامل السطح سيعتمد على كيفية إعطاء السطح لنا. هناك طريقتان منفصلتان هنا ، على الرغم من أننا سنرى أنهما متماثلان حقًا.

أولاً ، دعنا نلقي نظرة على تكامل السطح الذي يتم فيه إعطاء السطح (S ) بواسطة (z = g left ( حق)). في هذه الحالة تكامل السطح هو ،

الآن ، علينا توخي الحذر هنا لأن كلاهما يشبه التكاملات المزدوجة القياسية. في الواقع ، التكامل الموجود على اليمين هو تكامل قياسي مزدوج. ومع ذلك ، فإن التكامل الموجود على اليسار هو جزء لا يتجزأ من السطح. طريقة التمييز بينهما هي النظر إلى الفروق. سيحتوي تكامل السطح على (dS ) بينما يحتوي التكامل القياسي المزدوج على (dA ).

من أجل تقييم تكامل سطحي ، سنستبدل معادلة السطح بـ (z ) في التكامل ثم نضيف الجذر التربيعي الذي غالبًا ما يكون فوضويًا. بعد ذلك يكون التكامل هو تكامل قياسي مزدوج وعند هذه النقطة يجب أن نكون قادرين على التعامل معه.

لاحظ أيضًا أن هناك صيغًا متشابهة للأسطح مقدمة بواسطة (y = g left ( يمين) ) (مع (د ) في (س ع ) - الطائرة) و (س = ز يسار ( يمين) ) (مع (د ) في (yz ) - الطائرة). سنرى إحدى هذه الصيغ في الأمثلة وسنترك الأخرى لك لتدوينها.

الطريقة الثانية لتقييم تكامل السطح هي تلك الأسطح المعطاة بواسطة المعلمات ،

[ vec r اليسار ( يمين) = س يسار ( يمين) vec أنا + ص يسار ( يمين) vec ي + ض يسار ( حق) vec ك ]

في هذه الحالات تكامل السطح هو ،

حيث (D ) هو نطاق المعلمات التي تتبع السطح (S ).

قبل أن نعمل على بعض الأمثلة ، دعنا نلاحظ أنه نظرًا لأنه يمكننا تحديد معلمات سطح معين بواسطة (z = g left ( حق) ) مثل ،

[ vec r اليسار ( right) = x vec i + y vec j + g left ( حق) vec ك ]

يمكننا دائمًا استخدام هذا النموذج لهذه الأنواع من الأسطح أيضًا. في الواقع ، يمكن إثبات أن ،

لهذه الأنواع من الأسطح. قد ترغب في التحقق من ذلك لممارسة حساب هذه المنتجات المتقاطعة.

حسنًا ، نظرًا لأننا نبحث عن جزء المستوى الذي يقع أمام المستوى (yz ) - سنحتاج إلى كتابة معادلة السطح بالصيغة (x = g left ( حق)). هذا من السهل القيام به.

بعد ذلك ، نحتاج إلى تحديد ما هو (D ) فقط. هنا رسم تخطيطي للسطح (S ).

هنا رسم تخطيطي للمنطقة (د ).

لاحظ أن المحاور تم تصنيفها بشكل مختلف عما اعتدنا على رؤيته في رسم (D ). كان هذا لإبقاء الرسم متسقًا مع مخطط السطح. لقد توصلنا إلى معادلة الوتر عن طريق ضبط (x ) مساويًا للصفر في معادلة المستوى وإيجاد (z ). فيما يلي نطاقات (ص ) و (ض ).

[0 le y le 1 hspace <0.25in> 0 le z le 1 - y ]

الآن ، لأن السطح ليس بالشكل (z = g left ( right) ) لا يمكننا استخدام الصيغة أعلاه. ومع ذلك ، كما هو مذكور أعلاه ، يمكننا تعديل هذه الصيغة للحصول على واحدة تناسبنا. ها هو،

يجب أن تكون التغييرات التي تم إجراؤها على الصيغة هي التغييرات الواضحة إلى حد ما. لذلك ، دعونا نفعل التكامل.

لاحظ أننا عوضنا في معادلة المستوى للمستوى x في Integrand. في هذه المرحلة ، لدينا تكامل مزدوج بسيط إلى حد ما للقيام به. هنا هذا العمل.

قدمنا ​​معلمات المجال في القسم السابق. ها هي المعلمات لهذا المجال.

[ vec r left (< theta، varphi> right) = 2 sin varphi cos theta ، vec i + 2 sin varphi sin theta ، vec j + 2 cos varphi ، vec k ]

نظرًا لأننا نعمل على النصف العلوي من الكرة ، فإليك حدود المعلمات.

[0 le theta le 2 pi hspace <0.5in> 0 le varphi le frac < pi> <2> ]

بعد ذلك ، نحتاج إلى تحديد (< vec r_ theta> times < vec r_ varphi> ). هنا اثنين من النواقل الفردية.

[يبدأ<< vec r> _ theta> left (< theta، varphi> right) & = - 2 sin varphi sin theta ، vec i + 2 sin varphi cos theta ، vec j << vec r> _ varphi> left (< theta، varphi> right) & = 2 cos varphi cos theta ، vec i + 2 cos varphi sin theta ، vec j - 2 sin varphi ، vec k end]

الآن دعونا نأخذ حاصل الضرب التبادلي.

أخيرًا ، نحتاج إلى حجم هذا ،

يمكننا إسقاط أشرطة القيمة المطلقة في الجيب لأن الجيب موجب في نطاق ( varphi ) الذي نعمل معه. ثم تكامل السطح ،

لا تنسَ أننا نحتاج إلى إضافة (x ) و (y ) و / أو (z ) في هذه أيضًا ، على الرغم من أننا في هذه الحالة نحتاج فقط إلى التوصيل (z ) . هنا تقييم التكامل المزدوج.

قمنا بتحديد معلمات الأسطوانة في القسم السابق. هنا معلمات هذه الاسطوانة.

[ vec r اليسار ( right) = sqrt 3 cos theta ، vec i + sqrt 3 sin theta ، vec j + z ، vec k ]

نطاقات المعلمات هي ،

[0 le z le 6 hspace <0.25in> 0 le theta le 2 pi ]

الآن نحن بحاجة إلى (< vec r_z> times < vec r_ theta> ). هنا نواقل اثنين.

[يبدأ<< vec r> _z> يسار ( right) & = ، vec k << vec r> _ theta> left ( right) & = - sqrt 3 sin theta ، vec i + sqrt 3 cos theta ، vec j end]

هنا هو حاصل الضرب التبادلي.

حجم هذا المتجه ،

[ اليسار | <<< vec r> _z> مرات << vec r> _ ثيتا >> صحيح | = sqrt <3 << cos> ^ 2> ثيتا + 3 << sin> ^ 2> theta> = sqrt 3 ]

ثم تكامل السطح ،

هناك الكثير من المعلومات التي نحتاج إلى تتبعها هنا. أولاً ، نحن نستخدم نفس السطح تقريبًا (لكن التكامل مختلف) كما في المثال السابق. ومع ذلك ، على عكس المثال السابق ، فإننا نضع قمة وأسفل على السطح هذه المرة. لنبدأ أولاً برسم تخطيطي للسطح.

نحن بحاجة إلى توخي الحذر هنا. هناك ما هو أكثر في هذا المخطط من السطح الفعلي نفسه. سوف ندع () هو جزء الأسطوانة الذي ينتقل من (س ص ) - إلى المستوى. بمعنى آخر ، سيكون الجزء العلوي من الأسطوانة بزاوية. سنسمي جزء الطائرة الذي يقع بالداخل (بمعنى آخر. غطاء الاسطوانة) (). أخيرًا ، الجزء السفلي من الأسطوانة (غير موضح هنا) هو قرص نصف القطر ( sqrt 3 ) في (xy ) - المستوى ويُرمز إليه بـ ().

من أجل القيام بهذا التكامل ، سنحتاج إلى ملاحظة أنه تمامًا مثل التكامل المزدوج القياسي ، إذا تم تقسيم السطح إلى أجزاء ، فيمكننا أيضًا تقسيم السطح بشكل متكامل. لذلك ، على سبيل المثال لدينا ،

سنحتاج إلى عمل ثلاثة تكاملات هنا. ومع ذلك ، فقد أنجزنا معظم العمل لأول عمل في المثال السابق ، لذا فلنبدأ بذلك.

معلمات الأسطوانة و ( left | <<< vec r> _z> times << vec r> _ theta >> right | ) هي ،

[ vec r اليسار ( right) = sqrt 3 cos theta ، vec i + sqrt 3 sin theta ، vec j + z ، vec k hspace <0.5in> left | <<< vec r> _z> مرات << vec r> _ ثيتا >> صحيح | = مربع 3 ]

الفرق بين هذه المشكلة والمشكلة السابقة هو حدود المعلمات. ها هم.

[يبدأ0 le theta le 2 pi 0 le z le 4 - y = 4 - sqrt 3 sin theta end]

الحد الأعلى لـ (z ) هو المستوى لذا يمكننا فقط توصيله. ومع ذلك ، نظرًا لأننا على الأسطوانة ، فإننا نعرف ما هو (y ) من المعلمات ، لذا سنحتاج أيضًا إلى توصيل أنه في.

هنا جزء لا يتجزأ من الاسطوانة.

() : طائرة فوق الاسطوانة

في هذه الحالة ، لا نحتاج إلى إجراء أي معلمات نظرًا لأنه تم إعداده لاستخدام الصيغة التي قدمناها في بداية هذا القسم. تذكر أن المستوى مُعطى بـ (z = 4 - y ). لاحظ أيضًا أنه بالنسبة لهذا السطح ، فإن (D ) هو قرص نصف القطر ( sqrt 3 ) المتمركز في الأصل.

هذا هو تكامل الطائرة.

لا تنس أننا بحاجة إلى التوصيل لـ (z )! الآن في هذه المرحلة يمكننا المضي قدمًا بإحدى طريقتين. إما يمكننا المضي قدمًا في التكامل أو يمكننا تذكر ذلك ( iint limits_<> ) ليست أكثر من مساحة (D ) ونعلم أن (D ) هو قرص نصف القطر ( sqrt 3 ) وبالتالي لا يوجد سبب للقيام بالتكامل.

هذا هو العمل المتبقي لهذه المشكلة.

مرة أخرى ، تم إعداد هذا لاستخدام الصيغة الأولية التي قدمناها في هذا القسم بمجرد أن ندرك أن معادلة القاع مُعطاة بواسطة (g left ( right) = 0 ) و (D ) هو قرص نصف القطر ( sqrt 3 ) المتمركز في الأصل. أيضًا ، لا تنس التوصيل بـ (z ).


3.2.1: التكامل المزدوج الجزء 1 (تمارين) - الرياضيات

في هذا القسم نريد أن نناقش بإيجاز انحناء منحنى سلس (تذكر أنه لمنحنى سلس نحتاج إلى ( vec r ' left (t right) ) مستمر و ( vec r' left (t right) ne 0 )) . يقيس الانحناء مدى سرعة تغيير المنحنى للاتجاه عند نقطة معينة.

هناك العديد من الصيغ لتحديد انحناء المنحنى. التعريف الرسمي للانحناء هو ،

حيث ( vec T ) هي وحدة الظل و (s ) هي طول القوس. تذكر أننا رأينا في القسم السابق كيفية إعادة تحديد منحنى للحصول على طول القوس.

بشكل عام ، ليس من السهل استخدام التعريف الرسمي للانحناء ، لذا توجد صيغتان بديلتان يمكننا استخدامهما. ها هم.

قد لا يكون من السهل التعامل مع أي منهما ، ولكن على الأقل لسنا بحاجة إلى إعادة تشكيل ظل الوحدة.

مرة أخرى في القسم عندما قدمنا ​​متجه الظل ، قمنا بحساب متجهات الظل والوحدة لهذه الدالة. هذه كانت،

[يبدأ vec r ' left (t right) & = left langle <1،3 cos t، - 3 sin t> right rangle vec T left (t right) & = يسار langle < frac <1> << sqrt <10> >> ، frac <3> << sqrt <10> >> cos t ، - frac <3> << sqrt <10> >> sin t> rangle end]

مشتق وحدة الظل هو ،

[ vec T ' left (t right) = left langle <0، - frac <3> << sqrt <10> >> sin t، - frac <3> << sqrt <10> >> cos t> يمين rangle ]

مقادير المتجهين هي ،

في هذه الحالة يكون الانحناء ثابتًا. هذا يعني أن المنحنى يغير اتجاهه بنفس المعدل في كل نقطة على طوله. مع التذكير بأن هذا المنحنى هو حلزون ، فهذه النتيجة منطقية.

في هذه الحالة ، قد يكون الشكل الثاني للانحناء هو الأسهل على الأرجح. ها هي أول زوجين من المشتقات.

[ vec r ' left (t right) = 2t ، vec i + ، vec k hspace <0.25in> hspace <0.25in> vec r' ' left (t right) = 2 ، vec أنا ]

بعد ذلك ، نحتاج إلى حاصل الضرب الاتجاهي.

عندئذٍ يكون الانحناء عند أي قيمة من (t ) ،

هناك حالة خاصة يمكننا النظر إليها هنا أيضًا. افترض أن لدينا منحنى معطى بواسطة (y = f left (x right) ) ونريد إيجاد انحناءه.

كما رأينا عندما نظرنا لأول مرة إلى دوال المتجهات يمكننا كتابة هذا على النحو التالي ،

[ vec r left (x right) = x ، vec i + f left (x right) vec j ]

إذا استخدمنا بعد ذلك الصيغة الثانية للانحناء ، فسنصل إلى الصيغة التالية للانحناء.


حول حساب حدود التكاملات (الجزء 1)

لنفترض أن $ a و x $ و $ y $ عبارة عن ثلاثة ثوابت عدد حقيقي و $ t $ متغير حقيقي. الآن حدد الرقم المركب ، $ z = -y + i (a + x-t) $ واعتبر جزءًا لا يتجزأ من النموذج $ int_^ z text <> tanh ( pi z) log (z ^ 2 + a ^ 2) dz $ لبعض الوظائف الحقيقية $ f $ و $ g $.

من الواضح أن $ dz = -i dt $ ومن ثم فهو جزء لا يتجزأ من $ t $. افترض أنه يضمن أن نطاق $ t $ الذي يتم فيه التكامل لا يصطدم بأي من أقطابها أو نقاط الفروع / التخفيضات الخاصة بالتكامل.

الآن ما أريده هو حساب $ lim_ [ int_^ z text <> tanh ( pi z) log (z ^ 2 + a ^ 2) dz] $

من الواضح أن هذا التكامل غير ممكن ، حيث يمكنني فقط إجراء التكامل ثم أخذ النهاية في النهاية.

أولاً إذا كان صحيحًا أن $ lim_ و (س ، ص) = ليم_ g (x، y) $ إذن هل يمكنني أن أستنتج فورًا أن القيمة المحددة للتكامل هي $ دون أي تحليل إضافي؟

هل يمكنني القول بتوسيع التكامل و $ z text <> tanh ( pi z) log (z ^ 2 + a ^ 2) $ في سلسلة Taylor في $ x $ و $ y $ ثم قم بالتكامل على المصطلح الثابت الذي تم الحصول عليه ومن ثم أخذ الحد؟ (لأن أي حد في السلسلة بقوة غير صفرية $ x $ و / أو $ y $ سيتلاشى بوضوح في الحد النهائي)

هل يمكنني أيضًا أخذ حد $ x و y rightarrow 0 $ بشكل منفصل على حدود التكامل وبالتالي تجنب حساب التكامل الكامل مع $ f $ و $ g $ بالكامل؟

هل كان بإمكاني استبدال $ z = i (a-t) $ في التكامل من البداية نفسها؟


3.2.1: التكامل المزدوج الجزء 1 (تمارين) - الرياضيات

15 استراتيجية انعكاس لمساعدة الطلاب على الاحتفاظ بما علمتهم للتو

بواسطة تيري هيك

التفكير جزء طبيعي من التعلم.

نفكر جميعًا في التجارب الجديدة & # 8211 ، التخييم في السيارة ، أو العودة إلى المنزل ، أو الأخطاء التي ارتكبت في إحدى الألعاب ، أو المشاعر التي شعرت بها أثناء الانتهاء من مشروع طويل الأجل استغرق شهورًا لإكماله.

أدناه أنا & # 8217 شاركت 15 إستراتيجية للطلاب للتفكير في تعلمهم. يمكن أن تقطع نمذجة استخدام كل مقدمًا شوطًا طويلاً نحو التأكد من حصولك على جودة العمل الذي ترغب في رؤيته & # 8217d على مدار العام & # 8211 ويتعلم الطلاب المزيد في هذه العملية. (هذا المنشور بشكل جيد مع أزواج 8 أسئلة تأملية لمساعدة أي طالب على التفكير في تعلمه.)

15 استراتيجية انعكاس لمساعدة الطلاب على الاحتفاظ بما علمتهم للتو

1. مشاركة الزوج

تعد المشاركة الزوجية إستراتيجية تعلم كلاسيكية حيث يتم إقران الطلاب ، ثم الأمر الذي سيساعدهم شفهيًا & # 8216share & # 8217 على تعلم محتوى جديد أو تعميق الفهم أو مراجعة ما يعرفونه بالفعل. يمكن أيضًا استخدامه كأداة تقييم سريعة وقذرة ، حيث تعكس المحادثات عمومًا مستوى من الفهم يمكن للمدرس استخدام مقياس إتقانه والتخطيط لمزيد من التعليمات.

2. ردود الجمل المستندة إلى الجذعية

تعتبر سيقان الجمل رائعة لأنها & # 8217re مثل عجلات التدريب & # 8211 أو لخلط استعارة وأدوات لتدريب الطلاب على التفكير والتحدث في أنماط معينة. على سبيل المثال ، يمكنك مطالبة الطلاب & # 8216 التفكير بشكل نقدي ، & # 8217 ولكن إذا لم يكن لديهم حتى الصياغة الأساسية للتفكير النقدي (على سبيل المثال ، & # 8216 هذا مهم لأن & # 8230 & # 8217) ، فإن التفكير النقدي سيكون أبعد من مدى وصولهم.

يمكنك أيضا أن ترى لدينا الجملة تنبع من التفكير النقدي هنا للحصول على أمثلة أخرى (ليس عليك شراء المواد لرؤية العينات).

النص متعدد الطبقات هو شيء كنت أقصد الكتابة عنه لسنوات ولم أفعله مطلقًا. النص ذو الطبقات عبارة عن مستند رقمي مليء بالارتباطات التشعبية التي تنقل ، جيدًا ، أي شيء تقريبًا: أسئلة لدى الطلاب ، وفرص لمزيد من الاستفسار ، والمراجع الفردية والتلميحات التي تعكس المخطط الذي يستخدمه الطلاب لتكوين المعنى ، وما إلى ذلك. (يقوم Rap Genius بعمل نسخة من هذا.)

من خلال إضافة & # 8216 طبقات & # 8217 من المعنى إلى النص من خلال الارتباط التشعبي ذي المعنى ، يمكن للطلاب التفكير مرة أخرى في أي شيء ، من إدخال دفتر يوميات التقييم المسبق الذي أظهر عدم فهمهم ، إلى نوع من & # 8216 تمييز & # 8217 مما هم تعلمت متى ومن أين.

140 حرفًا تجبر الطلاب على التفكير بسرعة وإلى النقطة & # 8211 كبيرة لدفقات موجزة من التأمل أو الكتاب المترددين الذين سيكافحون لكتابة إدخالات يومية أو مقالات ذات مغزى. في الواقع ، يمكنك دمج twitter مع # 6 لـ زلات خروج تويتر.

3-2-1 هي طريقة مجربة وصحيحة لتأطير أي شيء من مشاركة زوجية أو إدخال دفتر يوميات (على سبيل المثال ، اطلب من الطلاب كتابة 3 أشياء يعتقدون أنهم يعرفونهم ، وشيئين يعرفون أنهم لا يعرفونه ، وواحد الشيء الذي يتأكدون منه بشأن موضوع ما) التقييم المسبق للتقييم اللاحق (على سبيل المثال ، اذكر ثلاث طرق تعكس مقالتك إتقان المهارة X ، وطريقتين لا تزال المهارة Y بحاجة إلى التحسين ، وإحدى الطرق التي يمكنك من خلالها تعزيز حجتك في الدقائق الخمس التالية) إلى انعكاس للتقييم اللاحق.

سواء كنت تسميهم قسائم الخروج أو تذاكر الخروج ، اطلب من الطلاب ترك بعض بقايا التعلم لفترة وجيزة & # 8211a الفكر ، التعريف ، السؤال & # 8211 هو استراتيجية تعليمية قوية. في الواقع ، يقود & # 8216 التدريس الخالي من الانزلاق & # 8217 حرفيًا كيفية استخدامي للبيانات في الفصل الدراسي. إن مطالبة الطلاب بإسقاط بعض انعكاس عملية التعلم على كرسي بجانب الباب عند الخروج هو أمر لا يحتاج إلى تفكير.

كيف استجبت عاطفياً لشيء واجهته اليوم؟ ما الذي وجدته أكثر إثارة للدهشة في _____؟ كيف تغير فهمك لـ _______ اليوم؟ ماذا عن _____ لا يزال يربكك أو يثير فضولك؟

أحب طرق الكتابة و # 8211 طرق سهلة للطلاب للكتابة بشكل غير متزامن وتعاوني. وأجزاء الكتابة التي يستخدمها الطلاب & # 8217t يجب أن تكون نثرية & # 8211 يمكن أن تساعد المفردات والعبارات الأساسية المحددة الطلاب على التفكير ، ولكن الأهم من ذلك في الكتابة ، مساعدة الطلاب على التعلم من بعضهم البعض حيث يستطيع كل طالب قراءة الردود الأخرى قبل الإنشاء لهم.

سواء أكان ذلك من خلال الملاحظات التخطيطية أو رسومات الشعار المبتكرة ، فإن السماح للطلاب برسم ما يعتقدون أنهم يعرفونه ، أو كيف يعتقدون أن تعلمهم قد تغير ، أو نوع من المسار المجازي نحو فهم أعمق هو استراتيجية تعليمية رائعة للطلاب الذين يميلون نحو التعبير الإبداعي ، و طريقة غير مهددة للطلاب الذين يعانون من أجل الكتابة على الأقل شيئا ما على الورق يمكنك استخدامه لقياس فهم وتخطيط خطوتك التالية (هم).

من خلال البث الصوتي كاستراتيجية عاكسة ، سيتحدث الطلاب عن تعلمهم أثناء التسجيل. إذا كنت تريد الاحتفاظ بها & # 8216 دائرة مغلقة & # 8217 (غير منشورة) ، أو دفعها بالفعل إلى جمهور عام من نوع ما يعتمد على التعلم والطلاب وقضايا الخصوصية وما إلى ذلك.

يمكن أن يكون هذا أيضًا مجرد ملف صوتي تم تسجيله وتحميله إلى قناة خاصة على YouTube تمت مشاركتها & # 8217s مع المعلمين أو أولياء الأمور.

10. العصف الذهني

يمكن أن يكون العصف الذهني استراتيجية انعكاس فعالة لأنه ينزع سلاح القضايا مع الأساليب الأخرى. بالنسبة للكتاب المترددين ، قد لا تنجح كتابة اليوميات لأن عملية الكتابة قد تطغى على التعلم. قد لا يعمل البث الصوتي للطلاب الخجولين ، وقد لا تعمل المشاركة المزدوجة بشكل جيد إذا تم إقران الطلاب بشكل فعال ، وما إلى ذلك.

العصف الذهني أبسط بكثير. يمكن للطلاب قضاء وقت مخصص لكتابة كل ما يتذكرونه حول موضوع ما. أو يمكنهم طرح الأسئلة التي لا يزال لديهم (الأشياء التي يشعرون بالارتباك أو الفضول بشأنها). يمكنهم حتى تبادل الأفكار حول كيفية ارتباط ما تعلموه حرفيًا بما يعرفونه بالفعل من خلال إنشاء خريطة مفهوم.

11. بانوراما

Jigsawing is a grouping strategy where a task, concept, or something ‘larger’ is broken down into small puzzles pieces, and students in groups analyze the small puzzle piece, then share out to create the puzzle at large. Using this approach for reflection is seamless: Among other approaches, you can prompt students in groups to gather and share questions they have (you could group by readiness/ability, for example) in groups, and then choose one question that they weren’t able to answer among themselves with the whole class (anonymously–no one has to know who wrote the question).

Think of a cross between a sketch, collage, and presentation, and you have a prezi. Engaging–though distracting and overwhelming if the reflection you need is minor–reflection tool that allows students to create an artifact of learning for their digital portfolios.

This reflection strategy is close to ‘Podcasting’ and even has something in common with pair-sharing. By reflecting through vlog’ing, students simply talk about their learning to a camera.

This approach would be successful for students that love talking to a camera, but less so for others (who, if they have to talk at all about their learning, may prefer podcasting–or simply recording audio files that are never published.

You could do a normal collage of learning reflections, but a multimedia collage is also possible–maybe a sketchnote with a voiceover recorded as a YouTube video to share as a quick presentation with the class (or absent students).

The University of Missouri-St Louis offers 3 kinds of journals that demonstrate the different possibilities of the otherwise vanilla-sounding ‘journaling.’

1. Personal Journal – Students will write freely about their experience. This is usually done weekly. These personal journals may be submitted periodically to the instructor, or kept as a reference to use at the end of the experience when putting together an academic essay reflecting their experience. (Hatcher 1996)

2. Dialogue Journal – Students submit loose-leaf pages from a dialogue journal bi-weekly (or otherwise at appropriate intervals) for the instructor to read and comment on. While labor intensive for the instructor, this can provide continual feedback to students and prompt new questions for students to consider during the semester. (Goldsmith, 1995)

3. Highlighted Journal – Before students submit the reflective journal, they reread personal entries and, using a highlighter, mark sections of the journal that directly relate to concepts discussed in the text or in class. This makes it easier for the instructor to identify the student to reflect on their experience in light of course content. (Gary Hesser, Augsberg College)

15 Strategies For Students To Reflect On Their Learning image attribution Flickr user woodleywonderworks


1.2. A first algorithm for the bisection method¶

Now it is time to dispense with the graphs, and describe the procedure in mathematical terms:

if (f(a)) and (f(c)) have opposite signs, the root is in interval ([a, c]) , which becomes the new version of interval ([a, b]) .

otherwise, (f(c)) and (f(b)) have opposite signs, so the root is in interval ([c, b])

1.2.1. Pseudo-code for describing algorithms¶

As a useful bridge from the mathematical desciption of an algorithm with words and formulas to actual executable code, these notes will often describe algorithms in pseudo-code — a mix of words and mathematical formulas with notation that somewhat resembles code in a language like Python.

This is also preferable to going straight to code in a particular language (such as Python) because it makes it easier if, later, you wish to implement algorithms in a different programming language.

Note well one feature of the pseudo-code used here: assignment is denoted with a left arrow:

is the instruction to cause the value of variable x to become the current value of a.

This is to distinguish from

which is a comparison: the true-or-false assertion that the two quantities already have the same value.

Unfortunately however, Python (like most programming languages) does not use this notation: instead assignment is done with x = a so that asserting equality needs a differnt notation: this is done with x == a note well that double equal sign!

Also, the pseudo-code marks the end of blocks like if , for and while with the lines end if , end for , end while and so on. Many programming languages do something like this (or just use end for all blocks) but Python does not: instead it uses only the end of indentation as the indication that a block is finished.

With those notational issues out of the way, the key step in the bisection strategy is the update of the interval:


(displaystyle c leftarrow frac<2>)
if (f(a) f(c) < 0) then:
(quad) (b leftarrow c)
else:
(quad) (a leftarrow c)
end if

This needs to be repeated a finite number of times, and the simplest way is to specify the number of iterations. (We will consider more refined methods soon.)

Get an initial interval ([a, b]) with a sign-change: (f(a) f(b) < 0) .

Choose (N) , the number of iterations.

for i from 1 to N:
(quad) (displaystyle c leftarrow frac
<2>)
(quad) if (f(a) f(c) < 0) then:
(quad) (quad) (b leftarrow c)
(quad) else:
(quad) (quad) (a leftarrow c)
(quad) end if
end for

The approximate root is the final value of (c) .

A Python version of the iteration is not a lot different:

(If you wish to review for loops in Python, see the Python Review section on Iteration with for )

1.2.2. Exercise 1¶

Create a Python function bisection1 which implements the first algorithm for bisection abive, which performd a fixed number (N) of iterations the usage should be: root = bisection1(f, a, b, N)

Test it with the above example: (f(x) = x - cos x = 0) , ([a, b] = [-1, 1])

(If you wish to review the defining and use of functions in Python, see the Python Review section on Defining and Using Python Functions )


Interpolating a function that is not a polynomial

Interpolating functions that are polynomials and using polynomials to do it is cheating a little bit. You have seen that interpolating polynomials can result in interpolants that are essentially identical to the original polynomial. Results can be much less satisfying when polynomials are used to interpolate functions that are not themselves polynomials. At the interpolation points, the function and its interpolant agree exactly, so we want to examine the behavior between the interpolation points. In the following exercise, you will see that some non-polynomial functions can be interpolated quite well, and in the subsequent exercise you will see one that cannot be interpolated well. The example used here is due in part to C. Runge, Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten, Z. Math. Phys., 46(1901), pp. 224-243.

  1. We would like to interpolate the function on the interval , so use the following outline to examine the behavior of the polynomial interpolant to the exponential function for five evenly-spaced points. It would be best if you put these commands into a script m-file named exer5.m . Please send me this plot.
  2. By zooming, etc. , confirm visually that the exponential and its interpolant agree at the interpolation points.
  3. Using more data points gives higher degree interpolation polynomials. Fill in the following table using Lagrange interpolation with increasing numbers of data points.
  1. Construct a function m-file for the Runge example function . Name the file runge.m and give it the signature Use componentwise (vector) division and exponentiation ( ./ and .^ ).
  2. Copy exer5.m to exer6.m and modify it to use the Runge example function. Please send me the plot it generates.
  3. Confirm visually that the Runge example function and its interpolant agree at the interpolation points, but not necessarily between them.
  4. Using more data points gives higher degree interpolation polynomials. Fill in the following table using Lagrange interpolation with increasing numbers of data points.
  5. Are you surprised to see that the errors do not decrease?

Many people expect that an interpolating polynomial gives a good approximation to the function everywhere, no matter what function we choose. If the approximation is not good, we expect it to get better if we increase the number of data points. These expectations will be fulfilled only when the function does not exhibit some ``essentially non-polynomial'' behavior. You will see why the Runge example function cannot be approximated well by polynomials in the following exercise.

Exercise 7 : The Runge example function has Taylor series

  1. Make a copy of exer6.m called exer7.m that uses coef_vander and polyval to evaluate the interpolating polynomial rather than eval_lag .
  2. Confirm that you get the same results as in Exercise 6 when you use Vandermonde interpolation for the Runge example function.
  3. Look at the nontrivial coefficients ( ) of the interpolating polynomials by filling in the following table.
  4. Look at the trivial coefficients ( ) of the interpolating polynomials by filling in the following table. (Look carefully at what the colon notation does.)

Slope Fields

Slope Fields are a strange concept (they look funny!), but they really aren’t that difficult.

Slope fields are little lines on a coordinate system graph that represent the slope for that ((x,y)) combination for a particular differential equation (remember that a differential equation represents a slope). For example, for the differential equation (displaystyle frac<><>=x+y), for point ((0,0)) on the slope field graph, the little line would be horizontal, since (0+0=0), and the slope of 0 is represented by a horizontal line.

Let’s show an example. If we have the differential equation (displaystyle frac<><>=frac,) do you see how the slope will be 0 everywhere (x) is 0 , and it will be 1 everywhere (x) and (y) are the same? And it will be 2 when (x) is twice the value of (y), and so on? The slope is undefined (vertical lines or no lines) when (y=0).

Here’s the slope field. Again, remember that the little lines represent the slope, since a differential equation is a slope.

Slope Field for: (displaystyle frac<><>=frac)

أ. All of the lines in a particular row are the same.

ب . All of the lines in a particular column are the same.

c. All lines below the (x)-axis have a positive slope.

د. All lines above the (x)-axis have a negative slope.

Thus, أ, c, د، و ه are correct, so the answer is ب.

We could also draw the slope field to see this graphically:

Learn these rules, and practice, practice, practice!


2 Answers 2

They are being divided in integer arithmetics. So dividing integer a by integer b you get how many times b fits into a . Also a % b will give you a remainder of a division. So (a / b ) * b + a % b = a

Java does autoconvert types:

"It autoconverts ints to doubles. It autoconverts shorts and bytes to ints even when no ints are involved, requiring constant annoying casts when you want to do short or byte arithmetic. It autoconverts primitives to wrappers and vice versa for boxing and autoboxing." - user2357112

Java never casts anything without you specifying it.

But still integer / integer = integer .

Also, it does always truncate the result. So if the result would be 0.999999 as float the integer division would still return 0.


DBL_MAX is defined in <float.h> . Its availability in <limits.h> on unix is what is marked as "(LEGACY)".

(linking to the unix standard even though you have no unix tag since that's probably where you found the "LEGACY" notation, but much of what is shown there for float.h is also in the C standard back to C89)

You get the عدد صحيح limits in <limits.h> or <climits> . Floating point characteristics are defined in <float.h> for C. In C++, the preferred version is usually std::numeric_limits<double>::max() (for which you #include <limits> ).

As to your original question, if you want a larger integer type than long , you should probably consider long long . This isn't officially included in C++98 or C++03, but is part of C99 and C++11, so all reasonably current compilers support it.

Its in the standard float.h include file. You want DBL_MAX

Using double to store large integers is dubious the largest integer that can be stored reliably in double is much smaller than DBL_MAX . You should use long long , and if that's not enough, you need your own arbitrary-precision code or an existing library.

You are looking for the float.h header.

INT_MAX is just a definition in limits.h. You don't make it clear whether you need to store an integer or floating point value. If integer, and using a 64-bit compiler, use a LONG ( LLONG for 32-bit).


شاهد الفيديو: الرابط العجيب بين الإحداثيات القطبية والديكارتية (شهر نوفمبر 2021).