مقالات

5.4: حقول المتجهات المحافظة


أهداف التعلم

  • وصف المنحنيات البسيطة والمغلقة. تحديد المناطق المتصلة والمتصلة ببساطة.
  • اشرح كيفية العثور على دالة محتملة لحقل ناقل متحفظ.
  • استخدم النظرية الأساسية لتكاملات الخط لتقييم خط متكامل في حقل متجه.
  • اشرح كيفية اختبار حقل متجه لتحديد ما إذا كان حقلًا متحفظًا.

في هذا القسم ، نواصل دراسة الحقول الموجهة المحافظة. ندرس النظرية الأساسية لتكامل الخط ، وهو تعميم مفيد للنظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل لتكاملات خطية لحقول المتجه المحافظة. نكتشف أيضًا كيفية اختبار ما إذا كان حقل ناقل معين متحفظًا ، وتحديد كيفية بناء وظيفة محتملة لحقل ناقل معروف بأنه متحفظ.

المنحنيات والمناطق

قبل مواصلة دراستنا لحقول المتجهات المحافظة ، نحتاج إلى بعض التعريفات الهندسية. تعتمد جميع النظريات في الأقسام اللاحقة على التكامل على أنواع معينة من المنحنيات والمناطق ، لذلك نقوم بتطوير تعريفات تلك المنحنيات والمناطق هنا. نحدد أولاً نوعين خاصين من المنحنيات: المنحنيات المغلقة والمنحنيات البسيطة. كما تعلمنا ، فإن المنحنى المغلق هو الذي يبدأ وينتهي عند نفس النقطة. المنحنى البسيط هو الذي لا يتقاطع مع نفسه. المنحنى المغلق والبسيط في نفس الوقت هو منحنى مغلق بسيط (الشكل ( PageIndex {1} )).

التعريف: منحنيات مغلقة

المنحنى (C ) هو أ منحنى مغلق إذا كان هناك معلمة ( vecs r (t) ) ، (a≤t≤b ) من (C ) بحيث تتجاوز المعلمات المنحنى مرة واحدة تمامًا و ( vecs r (a) = vecs ص (ب) ). المنحنى (C ) هو منحنى بسيط إذا كان (C ) لا يتقاطع مع نفسه. بمعنى ، (C ) بسيط إذا كان هناك معلمات ( vecs r (t) ) ، (a≤t≤b ) من (C ) بحيث ( vecs r ) هو واحد لواحد أكثر من ((أ ، ب) ). من الممكن لـ ( vecs r (a) = vecs r (b) ) ، مما يعني أن المنحنى البسيط مغلق أيضًا.

مثال ( PageIndex {1} ): تحديد ما إذا كان المنحنى بسيطًا ومغلقًا

هو المنحنى ذو المعلمات ( vecs {r} (t) = left langle cos t، frac { sin (2t)} {2} right rangle ) ، (0≤t≤2 pi ) منحنى بسيط مغلق؟

حل

لاحظ أن ( vecs {r} (0) = ⟨1،0⟩ = vecs r (2 pi) ) ؛ لذلك ، المنحنى مغلق. ومع ذلك ، فإن المنحنى ليس بسيطًا. لمشاهدة هذا ، لاحظ أن ( vecs {r} left ( frac { pi} {2} right) = ⟨0،0⟩ = vecs {r} left ( frac {3 pi} {2} right) ) ، وبالتالي يتقاطع المنحنى عند نقطة الأصل (الشكل ( PageIndex {2} )).

تمرين ( PageIndex {1} )

هل المنحنى معطى بالمعلمات ( vecs {r} (t) = ⟨2 cos t، 3 sin t⟩ )، (0≤t≤6 pi ) ، منحنى مغلق بسيط؟

تلميح

ارسم المنحنى.

إجابه

نعم

ترتبط العديد من النظريات في هذا الفصل بالتكامل على منطقة ما بالتكامل فوق حدود المنطقة ، حيث تكون حدود المنطقة عبارة عن منحنى مغلق بسيط أو اتحاد من منحنيات بسيطة مغلقة. لتطوير هذه النظريات ، نحتاج إلى تعريفين هندسيين للمناطق: منطقة متصلة ومنطقة متصلة ببساطة. المنطقة المتصلة هي المنطقة التي يوجد فيها مسار في المنطقة يربط أي نقطتين تقعان داخل تلك المنطقة. المنطقة المتصلة ببساطة هي منطقة متصلة ليس بها أي ثقوب. هذان المفهومان ، جنبًا إلى جنب مع فكرة المنحنى المغلق البسيط ، يسمحان لنا بتحديد عدة تعميمات للنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل لاحقًا في الفصل. هذان التعريفان صالحان للمناطق في أي عدد من الأبعاد ، لكننا معنيون فقط بالمناطق ذات البعدين أو الثلاثة أبعاد.

التعريف: المناطق المتصلة

منطقة د هو منطقة متصلة إذا ، لأي نقطتين (P_1 ) و (P_2 ) ، هناك مسار من (P_1 ) إلى (P_2 ) مع وجود أثر داخلي بالكامل د. منطقة د هي منطقة متصلة ببساطة إذا د متصل بأي منحنى مغلق بسيط ج التي تقع في الداخل د، ومنحنى ج يمكن تقليصها باستمرار إلى حد ما مع البقاء بالكامل في الداخل د. في بعدين ، ترتبط المنطقة ببساطة إذا كانت متصلة وليس بها ثقوب.

جميع المناطق المتصلة ببساطة متصلة ببعضها البعض ، ولكن ليست كل المناطق المتصلة متصلة ببساطة (الشكل ( PageIndex {3} )).

تمرين ( PageIndex {2} )

هل المنطقة في الصورة أدناه متصلة؟ هل المنطقة متصلة ببساطة؟

تلميح

ضع في اعتبارك التعريفات.

إجابه

المنطقة في الشكل متصلة. المنطقة في الشكل ليست متصلة ببساطة.

النظرية الأساسية لتكاملات الخط

الآن بعد أن فهمنا بعض المنحنيات والمناطق الأساسية ، دعنا نعمم النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل على التكاملات الخطية. تذكر أن النظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل تنص على أنه إذا كانت الدالة (f ) لها مشتق عكسي (F ) ، فإن تكامل (f ) من (أ ) إلى (ب ) يعتمد فقط على قيم (F ) في (أ ) وفي (ب ) - أي ،

[ int_a ^ bf (x) ، dx = F (b) −F (a). ]

إذا اعتبرنا التدرج مشتقًا ، فإن نفس النظرية تنطبق على تكاملات خط المتجه. نظهر كيف يعمل هذا باستخدام مثال تحفيزي.

مثال ( PageIndex {2} ): تقييم تكامل الخط والمشتقات العكسية لنقاط النهاية

دع ( vecs {F} (x، y) = ⟨2x، 4y⟩ ). احسب ( displaystyle int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ) ، حيث ج هو الجزء المستقيم من ((0،0) ) إلى ((2،2) ) (الشكل ( PageIndex {4} )).

حل

نستخدم الطريقة من القسم السابق لحساب ( int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ). منحنى ج يمكن تحديد معلمات بواسطة ( vecs {r} (t) = ⟨2t، 2t⟩ )، (0≤t≤1 ). ثم ، ( vecs {F} ( vecs r (t)) = ⟨4t، 8t⟩ ) و ( vecs r ′ (t) = ⟨2،2⟩ ) ، مما يعني أن

[ start {align *} int_C vecs {F} · d vecs {r} & = int_0 ^ 1⟨4t، 8t⟩ · ⟨2،2⟩dt [4pt] & = int_0 ^ 1 (8 طن + 16 طن) dt = int_0 ^ 1 24tdt [4pt] & = { big [12t ^ 2 big]} _ 0 ^ 1 = 12. نهاية {محاذاة *} ]

لاحظ أن ( vecs {F} = vecs nabla f ) ، حيث (f (x، y) = x ^ 2 + 2y ^ 2 ). إذا اعتقدنا أن التدرج مشتق ، فإن (f ) هو "مشتق عكسي" لـ ( vecs {F} ). في حالة التكاملات أحادية المتغير ، تكامل المشتق (g ′ (x) ) هو (g (b) −g (a) ) ، حيث أ هي نقطة بداية فترة التكامل و ب هي نقطة النهاية. إذا كانت تكاملات الخط المتجه تعمل مثل التكاملات ذات المتغير الفردي ، فإننا نتوقع أن يكون ( vecs {F} ) (f (P_1) −f (P_0) ) ، حيث (P_1 ) هي نقطة النهاية منحنى التكامل و (P_0 ) هي نقطة البداية. لاحظ أن هذا هو الحال بالنسبة لهذا المثال:

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r} = int_C vecs nabla f cdot d vecs {r} = 12 nonumber ]

و

[f (2،2) −f (0،0) = 4 + 8−0 = 12. لا يوجد رقم]

بعبارة أخرى ، يمكن حساب تكامل "المشتق" عن طريق تقييم "المشتق العكسي" عند نقاط نهاية المنحنى والطرح ، تمامًا كما هو الحال بالنسبة للتكاملات أحادية المتغير.

تقول النظرية التالية أنه في ظل ظروف معينة ، ما حدث في المثال السابق ينطبق على أي مجال تدرج. تنطبق نفس النظرية على تكاملات خط المتجه ، والتي نسميها النظرية الأساسية لتكاملات الخط.

النظرية: النظرية الأساسية لتكامل الخط

يترك ج كن منحنى سلس متعدد الأقسام مع تحديد المعلمات ( vecs r (t) ) ، (a≤t≤b ). لنفترض (f ) أن تكون دالة من متغيرين أو ثلاثة متغيرات ذات مشتقات جزئية من الدرجة الأولى موجودة ومستمرة على ج. ثم،

[ int_C vecs nabla f cdot d vecs {r} = f ( vecs r (b)) - f ( vecs r (a)). التسمية {FunTheLine} ]

دليل

أولا،

[ int_C vecs nabla f cdot d vecs {r} = int_a ^ b vecs nabla f ( vecs r (t)) cdot vecs r ′ (t) ، dt. لا يوجد رقم ]

بقاعدة السلسلة ،

[ dfrac {d} {dt} (f ( vecs r (t)) = vecs nabla f ( vecs r (t)) cdot vecs r ′ (t) nonumber ]

لذلك ، من خلال النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل ،

[ start {align *} int_C vecs nabla f cdot d vecs {r} & = int_a ^ b vecs nabla f ( vecs r (t)) cdot vecs r ′ (t ) dt [4pt] & = int_a ^ b dfrac {d} {dt} (f ( vecs r (t)) dt [4pt] & = { big [f ( vecs r (t )) big]} _ {t = a} ^ {t = b} [4pt] & = f ( vecs r (b)) - f ( vecs r (a)). end {align * } ]

(ميدان)

نحن نعلم أنه إذا كان ( vecs {F} ) حقل متجه محافظ ، فهناك وظيفة محتملة (f ) مثل ( vecs nabla f = vecs F ). لذلك

[ int_C vecs F · d vecs r = int_C vecs nabla f · d vecs {r} = f ( vecs r (b)) - f ( vecs r (a)). ]

بعبارة أخرى ، تمامًا كما هو الحال مع النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل ، فإن حساب سطر متكامل ( int_C vecs F · d vecs {r} ) ، حيث ( vecs {F} ) محافظ ، هو اثنان -خطوة العملية:

  1. ابحث عن دالة محتملة ("مشتقة عكسية") (f ) لـ ( vecs {F} ) و
  2. احسب قيمة (f ) عند نقاط نهاية (C ) وحساب الفرق بينهما (f ( vecs r (b)) - f ( vecs r (a)) ).

ضع في اعتبارك ، مع ذلك ، أن هناك فرقًا رئيسيًا واحدًا بين النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل والنظرية الأساسية لتكاملات الخط:
يجب أن يكون لدالة متغير واحد مستمر مشتق عكسي. ومع ذلك ، فإن حقل المتجه ، حتى لو كان مستمرًا ، لا يحتاج إلى وظيفة محتملة.

مثال ( PageIndex {3} ): تطبيق النظرية الأساسية

حساب ( int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ) ، حيث ( vecs {F} (x، y، z) = ⟨2x ln y، dfrac {x ^ 2 } {y} + z ^ 2،2yz⟩ ) و (C ) هو منحنى ذو معلمات ( vecs {r} (t) = ⟨t ^ 2، t، t⟩ )، (1 ≤t≤e )

  1. بدون استخدام النظرية الأساسية لتكاملات الخط و
  2. باستخدام النظرية الأساسية لتكاملات الخط.

حل

1. أولاً ، دعنا نحسب التكامل بدون النظرية الأساسية لتكاملات الخط وبدلاً من ذلك استخدم الطريقة التي تعلمناها في القسم السابق:

[ start {align *} int_C vecs {F} cdot dr & = int_1 ^ e vecs F ( vecs r (t)) cdot vecs r ′ (t) ، dt [ 4pt] & = int_1 ^ e⟨2t ^ 2 ln t، dfrac {t ^ 4} {t} + t ^ 2،2t ^ 2⟩ cdot ⟨2t، 1،1⟩ ، dt [ 4pt] & = int_1 ^ e (4t ^ 3 ln t + t ^ 3 + 3t ^ 2) ، dt [4pt] & = int_1 ^ e 4t ^ 3 ln t ، dt + int_1 ^ ه (t ^ 3 + 3t ^ 2) ، dt [4pt] & = int_1 ^ e 4t ^ 3 ln t ، dt + { Big [ dfrac {t ^ 4} {4} + t ^ 3 كبير]} _ 1 ^ e [4pt] & = int_1 ^ e 4t ^ 3 ln t ، dt + dfrac {e ^ 4} {4} + e ^ 3 - dfrac {1} {4 } −1 [4pt] & = int_1 ^ e 4t ^ 3 ln t ، dt + dfrac {e ^ 4} {4} + e ^ 3 - dfrac {5} {4} end {align *} ]

يتطلب التكامل ( displaystyle int_1 ^ e t ^ 3 ln t ، dt ) تكاملًا حسب الأجزاء. دع (u = ln t ) و (dv = t ^ 3 ). ثم (u = ln t ) ، (dv = t ^ 3 )

و

[du = dfrac {1} {t} ، dt، ؛ ؛ v = dfrac {t ^ 4} {4}. nonumber ]

لذلك،

[ begin {align *} int_1 ^ et ^ 3 ln t ، dt & = { Big [ dfrac {t ^ 4} {4} ln t Big]} _ 1 ^ e− dfrac { 1} {4} int_1 ^ et ^ 3 ، dt [4pt] & = dfrac {e ^ 4} {4} - dfrac {1} {4} left ( dfrac {e ^ 4} {4} - dfrac {1} {4} right). نهاية {محاذاة *} ]

هكذا،

[ start {align *} int_C vecs F cdot d vecs {r} & = 4 int_1 ^ et ^ 3 ln t ، dt quad + quad dfrac {e ^ 4} {4 } + e ^ 3 - dfrac {5} {4} [4pt] & = 4 left ( dfrac {e ^ 4} {4} - dfrac {1} {4} left ( dfrac { e ^ 4} {4} - dfrac {1} {4} right) right) + dfrac {e ^ 4} {4} + e ^ 3− dfrac {5} {4} [4pt ] & = e ^ 4− dfrac {e ^ 4} {4} + dfrac {1} {4} + dfrac {e ^ 4} {4} + e ^ 3− dfrac {5} {4} [4pt] & = e ^ 4 + e ^ 3−1. النهاية {محاذاة *} ]

2. بالنظر إلى أن (f (x، y، z) = x ^ 2 ln y + yz ^ 2 ) دالة محتملة لـ ( vecs F ) ، فلنستخدم النظرية الأساسية للتكاملات الخطية لحساب التكامل. لاحظ أن

[ start {align *} int_C vecs F cdot d vecs {r} & = int_C vecs nabla f cdot d vecs {r} [4pt] & = f ( vecs r (هـ)) - f ( vecs r (1)) [4pt] & = f (e ^ 2، e، e) −f (1،1،1) [4pt] & = e ^ 4 + البريد ^ 3−1. النهاية {محاذاة *} ]

هذا الحساب أكثر وضوحًا من الحساب الذي قمنا به في (أ). طالما أن لدينا دالة محتملة ، فإن حساب تكامل الخط باستخدام النظرية الأساسية لتكامل الخط أسهل بكثير من الحساب بدون النظرية.

يوضح المثال ( PageIndex {3} ) ميزة لطيفة للنظرية الأساسية لتكامل الخط: فهو يسمح لنا بحساب العديد من تكاملات خط المتجه بسهولة أكبر. طالما لدينا دالة محتملة ، فإن حساب تكامل الخط ما هو إلا مسألة تقييم الوظيفة المحتملة عند نقاط النهاية والطرح.

تمرين ( PageIndex {3} )

بالنظر إلى أن (f (x، y) = {(x − 1)} ^ 2y + {(y + 1)} ^ 2x ) دالة محتملة لـ ( vecs F (x، y) = ⟨2xy− 2y + {(y + 1)} ^ 2، {(x − 1)} ^ 2 + 2yx + 2x⟩ ) ، حساب متكامل ( int_C vecs F · d vecs r ) ، حيث (C ) هو النصف السفلي من دائرة الوحدة الموجهة عكس اتجاه عقارب الساعة.

تلميح

تقول النظرية الأساسية لفواصل الخط أن هذا التكامل يعتمد فقط على قيمة (f ) عند نقاط نهاية (C ).

إجابه

2

للنظرية الأساسية لتكاملات الخط نتيجتان مهمتان. النتيجة الأولى هي أنه إذا كان ( vecs {F} ) محافظًا و (C ) منحنى مغلق ، فإن تداول ( vecs {F} ) على طول (C ) يساوي صفرًا وهذا هو ، ( int_C vecs F · d vecs r = 0 ). لمعرفة سبب صحة ذلك ، دع (f ) وظيفة محتملة لـ ( vecs {F} ). نظرًا لأن (C ) منحنى مغلق ، فإن النقطة الطرفية ( vecs r (b) ) لـ (C ) هي نفسها ( vecs r (a) ) لـ (C ) - أي ( vecs r (a) = vecs r (b) ). لذلك ، من خلال النظرية الأساسية لتكامل الخط ،

[ start {align} oint_C vecs F · d vecs r & = oint_C vecs nabla f · d vecs r [4pt] & = f ( vecs r (b)) - f ( vecs r (a)) [4pt] & = f ( vecs r (b)) - f ( vecs r (b)) [4pt] & = 0. نهاية {محاذاة} ]

تذكر أن سبب تسمية حقل ناقل متحفظ ( vecs {F} ) "محافظ" هو أن مثل هذه الحقول المتجهية تشكل قوى يتم فيها حفظ الطاقة. لقد أظهرنا أن الجاذبية مثال على هذه القوة. إذا فكرنا في حقل المتجه ( vecs {F} ) في التكامل ( oint_C vecs F · d vecs r ) كحقل جاذبية ، فإن المعادلة ( oint_C vecs {F} · d vecs {r} = 0 ) يتبع. إذا كان الجسيم ينتقل على طول مسار يبدأ وينتهي في نفس المكان ، فإن الشغل الذي تقوم به الجاذبية على الجسيم يساوي صفرًا.

النتيجة الثانية المهمة للنظرية الأساسية لتكاملات الخط (المعادلة المرجع {FunTheLine}) هي أن تكاملات الخط لحقول المتجه المحافظة مستقلة عن المسار - بمعنى أنها تعتمد فقط على نقاط النهاية لمنحنى معين ، ولا تعتمد على المسار بين نقاط النهاية.

التعريف: مسار الاستقلال

لنكن ( vecs {F} ) حقل متجه مع المجال (D ) ؛ يكون مستقلاً عن المسار (أو مسار مستقل) إذا

[ int_ {C_1} vecs {F} · d vecs {r} = int_ {C_2} vecs {F} · d vecs {r} ]

لأي مسارات (C_1 ) و (C_2 ) في (د ) بنفس النقاط الأولية والنهائية.

تم ذكر النتيجة الثانية رسميًا في النظرية التالية.

نظرية: الحقول المحافظة

إذا كان ( vecs {F} ) عبارة عن ملف مجال ناقلات المحافظ، فإن ( vecs {F} ) مستقل عن المسار.

دليل

لنفترض أن (D ) يشير إلى مجال ( vecs {F} ) واجعل (C_1 ) و (C_2 ) مسارين في (D ) لهما نفس النقاط الأولية والنهائية (الشكل ( PageIndex {5} )). اتصل بالنقطة الأولية (P_1 ) والنقطة النهائية (P_2 ). نظرًا لأن ( vecs {F} ) محافظ ، فهناك دالة محتملة (f ) لـ ( vecs {F} ). بواسطة النظرية الأساسية لتكامل الخط ،

[ int_ {C_1} vecs {F} · d vecs {r} = f (P_2) −f (P_1) = int_ {C_2} vecs {F} · d vecs {r}. لا يوجد رقم]

لذلك ، ( int_ {C_1} vecs F · d vecs r = int_ {C_2} vecs F · d vecs r ) و ( vecs {F} ) مستقلان عن المسار.

(ميدان)

لتصور ما يعنيه استقلال المسار ، تخيل ثلاثة متنزهين يتسلقون من المعسكر الأساسي إلى قمة الجبل. يأخذ Hiker 1 طريقًا شديد الانحدار مباشرة من المخيم إلى الأعلى. يأخذ Hiker 2 طريقًا متعرجًا ليس شديد الانحدار من المخيم إلى الأعلى. يبدأ Hiker 3 بالسير في الطريق شديد الانحدار ولكن في منتصف الطريق إلى الأعلى يقرر أنه صعب للغاية بالنسبة له. لذلك يعود إلى المخيم ويسلك الطريق غير شديد الانحدار إلى الأعلى. جميع المتجولون الثلاثة يسافرون على طول مسارات في مجال الجاذبية. نظرًا لأن الجاذبية هي القوة التي يتم فيها الحفاظ على الطاقة ، فإن مجال الجاذبية متحفظ. من خلال استقلالية المسار ، يكون إجمالي حجم العمل الذي أنجزته الجاذبية على كل من المتجولين هو نفسه لأنهم بدأوا جميعًا في نفس المكان وانتهوا في نفس المكان. يتضمن العمل الذي يقوم به المتنزهون عوامل أخرى مثل الاحتكاك وحركة العضلات ، وبالتالي فإن إجمالي كمية الطاقة التي ينفقها كل واحد ليس هو نفسه ، ولكن صافي الطاقة المنفقة ضد الجاذبية هو نفسه لجميع المتنزهين الثلاثة.

لقد أظهرنا أنه إذا كان ( vecs {F} ) محافظًا ، فإن ( vecs {F} ) يكون مستقلاً عن المسار. اتضح أنه إذا كان مجال ( vecs {F} ) مفتوحًا ومتصلًا ، فإن العكس يكون صحيحًا أيضًا. بمعنى ، إذا كان ( vecs {F} ) مستقلًا عن المسار وكان مجال ( vecs {F} ) مفتوحًا ومتصلًا ، فإن ( vecs {F} ) يكون محافظًا. لذلك ، فإن مجموعة حقول المتجه المحافظة في المجالات المفتوحة والمتصلة هي بالضبط مجموعة الحقول المتجهة المستقلة عن المسار.

نظرية: اختبار استقلالية المسار للحقول المحافظة

إذا كان ( vecs {F} ) عبارة عن حقل متجه مستمر مستقل عن المسار وكان المجال (D ) لـ ( vecs {F} ) مفتوحًا ومتصلًا ، إذن ( vecs {F } ) محافظ.

دليل

لقد أثبتنا نظرية الحقول المتجهة في (ℝ ^ 2 ). الإثبات الخاص بحقول المتجه في (ℝ ^ 3 ) مشابه. لإثبات أن ( vecs F = ⟨P، Q⟩ ) محافظ ، يجب أن نجد دالة محتملة (f ) لـ ( vecs {F} ). لتحقيق هذه الغاية ، دع (X ) تكون نقطة ثابتة في (D ). لأي نقطة ((س ، ص) ) في (د ) ، دع (ج ) يكون مسارًا من (س ) إلى ((س ، ص) ). حدد (f (x، y) ) من خلال (f (x، y) = int_C vecs F · d vecs r ). (لاحظ أن تعريف (f ) هذا منطقي فقط لأن ( vecs {F} ) مستقل عن المسار. إذا لم يكن ( vecs {F} ) مستقلاً عن المسار ، فقد يكون ذلك ممكنًا للعثور على مسار آخر (C ′ ) من (X ) إلى ((x، y) ) بحيث ( int_C vecs F · d vecs r ≠ int_C vecs F · d vecs r ) ، وفي مثل هذه الحالة (f (x، y) ) لن تكون دالة.) نريد أن نظهر أن (f ) له الخاصية ( vecs nabla f = vecs F ).

نظرًا لأن المجال (D ) مفتوح ، فمن الممكن العثور على قرص متمركز في ((س ، ص) ) بحيث يتم احتواء القرص بالكامل داخل (د ). دع ((a، y) ) مع (a

[f (x، y) = int_ {C_1} vecs F · d vecs r + int_ {C_2} vecs F cdot d vecs r. nonumber ]

لا يعتمد التكامل الأول على (س ) ، لذلك

[f_x (x، y) = dfrac {∂} {∂x} int_ {C_2} vecs F cdot d vecs r. لا يوجد رقم]

إذا قمنا بتحديد المعلمات (C_2 ) بواسطة ( vecs r (t) = ⟨t ، y⟩ ) ، (a≤t≤x ) ، إذن

[ start {align *} f_x (x، y) & = dfrac {∂} {∂x} int_ {C_2} vecs F cdot d vecs r [4pt] & = dfrac { } {∂x} int_a ^ x vecs F ( vecs r (t)) cdot vecs r ′ (t) ، dt [4pt] & = dfrac {∂} {∂x} int_a ^ x vecs F ( vecs r (t)) cdot dfrac {d} {dt} (⟨t، y⟩) ، dt [4pt] & = dfrac {∂} {∂x} int_a ^ x vecs F ( vecs r (t)) cdot ⟨1،0⟩ ، dt [4pt] & = dfrac {∂} {∂x} int_a ^ x P (t، y) ، dt. [4pt] end {محاذاة *} ]

حسب النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل (الجزء الأول) ،

[f_x (x، y) = dfrac {∂} {∂x} int_a ^ x P (t، y) ، dt = P (x، y). nonumber ]

تظهر حجة مماثلة باستخدام مقطع خط عمودي بدلاً من مقطع خط أفقي أن (f_y (x، y) = Q (x، y) ).

لذلك ( vecs nabla f = vecs F ) و ( vecs {F} ) محافظان.

(ميدان)

لقد أمضينا الكثير من الوقت في مناقشة وإثبات النظريات أعلاه ، ولكن يمكننا تلخيصها ببساطة: حقل متجه ( vecs F ) في مجال مفتوح ومتصل يكون متحفظًا إذا وفقط إذا كان مستقلاً عن المسار. من المهم معرفة ذلك لأن حقول المتجهات المحافظة مهمة للغاية في التطبيقات ، وهذه النظريات تعطينا طريقة مختلفة لعرض ما يعنيه أن تكون متحفظًا باستخدام استقلالية المسار.

مثال ( PageIndex {4} ): إظهار أن حقل المتجه ليس محافظًا

استخدم استقلالية المسار لإظهار أن حقل المتجه ( vecs F (x، y) = ⟨x ^ 2y، y + 5⟩ ) ليس متحفظًا.

حل

يمكننا الإشارة إلى أن ( vecs {F} ) ليس متحفظًا من خلال إظهار أن ( vecs {F} ) ليس مستقلاً عن المسار. نقوم بذلك بإعطاء مسارين مختلفين ، (C_1 ) و (C_2 ) ، يبدأ كلاهما عند ((0،0) ) وينتهي عند ((1،1) ) ، ومع ذلك ( int_ {C_1} vecs F cdot d vecs r ≠ int_ {C_2} vecs F cdot d vecs r ).

لنفترض (C_1 ) أن يكون المنحنى ذو المعلمات ( vecs r_1 (t) = ⟨t ، ، t⟩ ) ، (0≤t≤1 ) واجعل (C_2 ) هو المنحنى مع المعلمات ( vecs r_2 (t) = ⟨t، ، t ^ 2⟩ )، (0≤t≤1 ) (الشكل ( PageIndex {7} ).). ثم

[ start {align *} int_ {C_1} vecs {F} · d vecs r & = int_0 ^ 1 vecs F ( vecs r_1 (t)) · vecs r_1 ′ (t) ، dt [4pt] & = int_0 ^ 1⟨t ^ 3، t + 5⟩ · ⟨1،1⟩ ، dt = int_0 ^ 1 (t ^ 3 + t + 5) ، dt [ 4pt] & = { Big [ dfrac {t ^ 4} {4} + dfrac {t ^ 2} {2} + 5t Big]} _ 0 ^ 1 = dfrac {23} {4} end { محاذاة *} ]

و

[ start {align *} int_ {C_2} vecs F · d vecs r & = int_0 ^ 1 vecs F ( vecs r_2 (t)) · vecs r_2 ′ (t) ، dt [4pt] & = int_0 ^ 1⟨t ^ 4، t ^ 2 + 5⟩ · ⟨1،2t⟩ ، dt = int_0 ^ 1 (t ^ 4 + 2t ^ 3 + 10t) ، dt [4pt] & = { Big [ dfrac {t ^ 5} {5} + dfrac {t ^ 4} {2} + 5t ^ 2 Big]} _ 0 ^ 1 = dfrac {57} {10 }. النهاية {محاذاة *} ]

منذ ( int_ {C_1} vecs F cdot d vecs r ≠ int_ {C_2} vecs F cdot d vecs r ) ، قيمة سطر تكامل ( vecs {F} ) يعتمد على المسار بين نقطتين معينتين. لذلك ، لا يعد ( vecs {F} ) مستقلاً عن المسار ، و ( vecs {F} ) ليس محافظًا.

تمرين ( PageIndex {4} )

أظهر أن ( vecs {F} (x، y) = ⟨xy، ، x ^ 2y ^ 2⟩ ) ليس مسارًا مستقلاً من خلال اعتبار مقطع السطر من ((0،0) ) إلى ( (0،2) ) وقطعة الرسم البياني لـ (y = dfrac {x ^ 2} {2} ) التي تنتقل من ((0،0) ) إلى ((0،2) ).

تلميح

احسب تكاملات الخط المقابلة.

إجابه

إذا كان (C_1 ) و (C_2 ) يمثلان المنحنيين ، إذن [ int_ {C_1} vecs F cdot d vecs r ≠ int_ {C_2} vecs F cdot d vecs r. لا يوجد رقم]

حقول المتجهات المحافظة والوظائف المحتملة

كما تعلمنا ، تنص النظرية الأساسية لتكاملات الخط على أنه إذا كان ( vecs {F} ) محافظًا ، فإن حساب ( int_C vecs F · d vecs r ) يتكون من خطوتين: أولاً ، ابحث عن دالة محتملة (f ) لـ ( vecs {F} ) وثانيًا ، احسب (f (P_1) −f (P_0) ) ، حيث (P_1 ) هي نقطة نهاية (C ) ) و (P_0 ) هي نقطة البداية. لاستخدام هذه النظرية في حقل محافظ ( vecs {F} ) ، يجب أن نكون قادرين على إيجاد دالة محتملة (f ) لـ ( vecs {F} ). لذلك ، يجب أن نجيب على السؤال التالي: بالنظر إلى حقل متجه محافظ ( vecs {F} ) ، كيف يمكننا العثور على دالة (f ) بحيث ( vecs nabla f = vecs {F} )؟ قبل إعطاء طريقة عامة لإيجاد دالة محتملة ، دعنا نحفز الطريقة بمثال.

مثال ( PageIndex {5} ): البحث عن دالة محتملة

ابحث عن دالة محتملة لـ ( vecs F (x، y) = ⟨2xy ^ 3،3x ^ 2y ^ 2 + cos (y)⟩ ) ، وبذلك أظهر أن ( vecs {F} ) محافظ .

حل

افترض أن (f (x، y) ) دالة محتملة لـ ( vecs {F} ). ثم ، ( vecs nabla f = vecs F ) ، وبالتالي

[f_x (x، y) = 2xy ^ 3 ؛ ؛ نص {and} ؛ ؛ f_y (x، y) = 3x ^ 2y ^ 2 + cos y. لا يوجد رقم]

يؤدي تكامل المعادلة (f_x (x، y) = 2xy ^ 3 ) فيما يتعلق بـ (x ) إلى الحصول على المعادلة

[f (x، y) = x ^ 2y ^ 3 + h (y). لا يوجد رقم]

لاحظ أنه نظرًا لأننا ندمج دالة ذات متغيرين فيما يتعلق بـ (x ) ، يجب أن نضيف ثابت تكامل يكون ثابتًا بالنسبة إلى (x ) ، ولكنه قد يظل دالة لـ (y ). يمكن تأكيد المعادلة (f (x، y) = x ^ 2y ^ 3 + h (y) ) بأخذ المشتق الجزئي فيما يتعلق بـ (x ):

[ dfrac {∂f} {∂x} = dfrac {∂} {∂x} (x ^ 2y ^ 3) + dfrac {∂} {∂x} (h (y)) = 2xy ^ 3 + 0 = 2xy ^ 3. لا يوجد رقم]

بما أن (f ) دالة محتملة لـ ( vecs {F} ) ،

[f_y (x، y) = 3x ^ 2y ^ 2 + cos (y)، nonumber ]

وبالتالي

[3x ^ 2y ^ 2 + g ′ (y) = 3x ^ 2y ^ 2 + cos (y). لا يوجد رقم]

هذا يعني أن (h ′ (y) = cos y ) ، لذلك (h (y) = sin y + C ). لذلك، أي دالة النموذج (f (x، y) = x ^ 2y ^ 3 + sin (y) + C ) دالة محتملة. أخذ ، على وجه الخصوص ، (C = 0 ) يعطي الدالة المحتملة (f (x، y) = x ^ 2y ^ 3 + sin (y) ).

للتحقق من أن (f ) دالة محتملة ، لاحظ أن ( vecs nabla f (x، y) = ⟨2xy ^ 3،3x ^ 2y ^ 2 + cos y⟩ = vecs F ).

تمرين ( PageIndex {5} )

ابحث عن دالة محتملة لـ ( vecs {F} (x، y) = ⟨e ^ xy ^ 3 + y، 3e ^ xy ^ 2 + x⟩ ).

تلميح

اتبع الخطوات في المثال ( PageIndex {5} ).

إجابه

(و (س ، ص) = ه ^ س ص ^ 3 + س ص )

يمتد منطق المثال السابق إلى إيجاد الوظيفة المحتملة لأي حقل متجه متحفظ في (ℝ ^ 2 ). وبالتالي ، لدينا استراتيجية حل المشكلات التالية للعثور على الوظائف المحتملة:

استراتيجية حل المشكلات: إيجاد وظيفة محتملة لمجال ناقل محافظ ( vecs {F} (x، y) = ⟨P (x، y)، Q (x، y)⟩ )

  1. ادمج (ف ) بالنسبة إلى (س ). ينتج عن هذا دالة على الشكل (g (x، y) + h (y) ) ، حيث (h (y) ) غير معروف.
  2. خذ المشتق الجزئي لـ (g (x، y) + h (y) ) بالنسبة لـ (y ) ، والذي ينتج عنه الدالة (gy (x، y) + h ′ (y) ) .
  3. استخدم المعادلة (gy (x، y) + h ′ (y) = Q (x، y) ) لإيجاد (h ′ (y) ).
  4. ادمج (h ′ (y) ) لإيجاد (h (y) ).
  5. أي دالة بالنموذج (f (x، y) = g (x، y) + h (y) + C ) حيث (C ) ثابت ، هي دالة محتملة لـ ( vecs { F}).

يمكننا تكييف هذه الاستراتيجية لإيجاد الوظائف المحتملة لحقول المتجه في (ℝ ^ 3 ) ، كما هو موضح في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {6} ): البحث عن دالة محتملة في (ℝ ^ 3 )

ابحث عن دالة محتملة لـ (F (x، y، z) = ⟨2xy، x ^ 2 + 2yz ^ 3،3y ^ 2z ^ 2 + 2z⟩ ) ، وبذلك أظهر أن ( vecs {F} ) محافظ.

حل

افترض أن (f ) دالة محتملة. ثم ، ( vecs nabla f = vecs {F} ) وبالتالي (f_x (x ، y ، z) = 2xy ). ينتج عن دمج هذه المعادلة فيما يتعلق بـ (x ) المعادلة (f (x، y، z) = x ^ 2y + g (y، z) ) لبعض الوظائف (g ). لاحظ ، في هذه الحالة ، أن ثابت التكامل فيما يتعلق بـ (x ) هو دالة (y ) و (z ).

بما أن (f ) وظيفة محتملة ،

[x ^ 2 + 2yz ^ 3 = f_y (x، y، z) = x ^ 2 + g_y (y، z). لا يوجد رقم]

لذلك،

[g_y (y، z) = 2yz ^ 3. لا يوجد رقم]

دمج هذه الوظيفة فيما يتعلق بإنتاجية (ص )

[g (y، z) = y ^ 2z ^ 3 + h (z) nonumber ]

لبعض الوظائف (ح (ض) ) من (ض ) وحدها. (لاحظ أنه ، لأننا نعلم أن (g ) دالة فقط (y ) و (z ) ، لا نحتاج إلى كتابة (g (y ، z) = y ^ 2z ^ 3 + ح (س ، ض) ).) لذلك ،

[f (x، y، z) = x ^ 2y + g (y، z) = x ^ 2y + y ^ 2z ^ 3 + h (z). لا يوجد رقم]

للعثور على (f ) ، يجب علينا الآن فقط العثور على (h ). بما أن (f ) وظيفة محتملة ،

[3y ^ 2z ^ 2 + 2z = g_z (y، z) = 3y ^ 2z ^ 2 + h ′ (z). لا يوجد رقم]

هذا يعني أن (h ′ (z) = 2z ) ، لذلك (h (z) = z ^ 2 + C ). يعطي ترك (C = 0 ) الوظيفة المحتملة

[f (x، y، z) = x ^ 2y + y ^ 2z ^ 3 + z ^ 2. لا يوجد رقم]

للتحقق من أن (f ) دالة محتملة ، لاحظ أن ( vecs nabla f (x، y، z) = ⟨2xy، x ^ 2 + 2yz ^ 3،3y ^ 2z ^ 2 + 2z⟩ = vecs F (س ، ص ، ض) ).

تمرين ( PageIndex {6} )

ابحث عن دالة محتملة لـ ( vecs {F} (x، y، z) = ⟨12x ^ 2، cos y cos z، 1− sin y sin z⟩ ).

تلميح

باتباع المثال ( PageIndex {6} ) ، ابدأ بالتكامل فيما يتعلق بـ (x ).

إجابه

(f (x، y، z) = 4x ^ 3 + sin y cos z + z )

يمكننا تطبيق عملية إيجاد دالة محتملة لقوة الجاذبية. تذكر أنه إذا كان للجسم كتلة وحدة وكان موجودًا في الأصل ، فإن قوة الجاذبية في (^ 2 ) التي يمارسها الجسم على كائن آخر من كتلة الوحدة عند النقطة ((x ، y) ) من خلال حقل المتجه

( vecs F (x، y) = - G left langle dfrac {x} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}} ، dfrac {y} {{( س ^ 2 + ص ^ 2)} ^ {3/2}} يمين rangle ) ،

حيث (G ) هو ثابت الجاذبية العام. في المثال التالي ، نبني دالة محتملة لـ ( vecs {F} ) ، وبالتالي تأكيد ما نعرفه بالفعل: أن الجاذبية متحفظة.

مثال ( PageIndex {7} ): البحث عن دالة محتملة

ابحث عن دالة محتملة (f ) لـ ( vecs {F} (x، y) = - G left langle dfrac {x} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3 / 2}} ، dfrac {y} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}} right rangle ).

حل

افترض أن (f ) دالة محتملة. ثم ، ( vecs nabla f = vecs {F} ) وبالتالي

[f_x (x، y) = dfrac {−Gx} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}}. nonumber ]

لدمج هذه الوظيفة فيما يتعلق (x ), يمكننا استخدام (u ) - الاستبدال. إذا (u = x ^ 2 + y ^ 2 ) ، إذن ( dfrac {du} {2} = x ، dx ) ، لذلك

[ begin {align *} int dfrac {−Gx} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}} ، dx & = int dfrac {−G} {2u ^ {3/2}} ، du [4pt] & = dfrac {G} { sqrt {u}} + h (y) [4pt] & = dfrac {G} { sqrt { x ^ 2 + y ^ 2}} + h (y) end {align *} ]

لبعض الوظائف (ح (ص) ). لذلك،

[f (x، y) = dfrac {G} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} + h (y). nonumber ]

بما أن (f ) دالة محتملة لـ ( vecs {F} ) ،

[f_y (x، y) = dfrac {−Gy} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}} nonumber ].

بما أن (f (x، y) = dfrac {G} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} + h (y) ) ، (f_y (x، y) ) يساوي أيضًا ( dfrac {−Gy} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}} + h ′ (y) ).

لذلك،

[ dfrac {−Gy} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}} + h ′ (y) = dfrac {Gy} {{(x ^ 2 + y ^ 2 )} ^ {3/2}} ، nonumber ]

مما يعني أن (ح ′ (ص) = 0 ). وبالتالي ، يمكننا اعتبار (h (y) ) أي ثابت ؛ على وجه الخصوص ، يمكننا ترك (ح (ص) = 0 ). الوظيفة

[f (x، y) = dfrac {G} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} nonumber ]

هي دالة محتملة لمجال الجاذبية ( vecs {F} ). لتأكيد أن (f ) دالة محتملة ، لاحظ ذلك

[ start {align *} vecs nabla f (x، y) & = ⟨− dfrac {1} {2} dfrac {G} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3 / 2}} (2x) ، - dfrac {1} {2} dfrac {G} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}} (2y)⟩ [4pt] & = ⟨ dfrac {−Gx} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}} ، dfrac {Gy} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3 / 2}⟩ [4pt] & = vecs F (x، y). النهاية {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {7} )

ابحث عن دالة محتملة (f ) لقوة الجاذبية ثلاثية الأبعاد ( vecs {F} (x، y، z) = left langle dfrac {Gx} {{(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)} ^ {3/2}} ، dfrac {−Gy} {{(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)} ^ {3/2}} ، dfrac {−Gz } {{(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)} ^ {3/2}} right rangle ).

تلميح

اتبع استراتيجية حل المشكلات.

إجابه

(f (x، y، z) = dfrac {G} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} )

اختبار حقل متجه

حتى الآن ، عملنا مع الحقول المتجهة التي نعرف أنها محافظة ، ولكن إذا لم يتم إخبارنا بأن حقل المتجه محافظ ، فنحن بحاجة إلى أن نكون قادرين على اختبار ما إذا كان حقلًا متحفظًا. تذكر أنه إذا كان ( vecs {F} ) متحفظًا ، فإن ( vecs {F} ) له خاصية الجزئية العرضية (راجع خاصية Cross-Partial of Conservative Vector Fields). بمعنى ، إذا كان ( vecs F = ⟨P ، Q ، R⟩ ) محافظًا ، إذن (P_y = Q_x ) ، (P_z = R_x ) ، و (Q_z = R_y ). لذا ، إذا كان ( vecs {F} ) يحتوي على خاصية الجزئية التبادلية ، فهل ( vecs {F} ) متحفظ؟ إذا كان مجال ( vecs {F} ) مفتوحًا ومتصلًا ببساطة ، فإن الإجابة هي نعم.

نظرية: الاختبار الشامل للحقول المحافظة

إذا كان ( vecs {F} = ⟨P، Q، R⟩ ) عبارة عن حقل متجه في منطقة مفتوحة ومتصلة ببساطة (D ) و (P_y = Q_x ) ، (P_z = R_x ) ، و (Q_z = R_y ) طوال (D ) ، ثم ( vecs {F} ) محافظ.

على الرغم من أن إثبات هذه النظرية خارج نطاق النص ، يمكننا اكتشاف قوتها ببعض الأمثلة. لاحقًا ، نرى لماذا من الضروري أن تكون المنطقة متصلة ببساطة.

بدمج هذه النظرية مع الخاصية الجزئية العرضية ، يمكننا تحديد ما إذا كان حقل متجه معينًا متحفظًا:

نظرية: الملكية المشتركة للأجزاء المحافظة

لنفترض أن ( vecs {F} = P، Q، R⟩ ) يكون حقلاً متجهًا في منطقة مفتوحة متصلة ببساطة (D ). ثم (P_y = Q_x ) و (P_z = R_x ) و (Q_z = R_y ) طوال (D ) فقط إذا كان ( vecs {F} ) محافظًا.

نسخة هذه النظرية في (ℝ ^ 2 ) صحيحة أيضًا. إذا كان ( vecs F (x، y) = P، Q⟩ ) عبارة عن حقل متجه في مجال مفتوح ومتصل ببساطة في (ℝ ^ 2 ) ، فإن ( vecs F ) يكون متحفظًا إذا وفقط إذا (P_y = Q_x ).

مثال ( PageIndex {8} ): تحديد ما إذا كان حقل المتجه محافظًا

حدد ما إذا كان حقل المتجه ( vecs F (x، y، z) = ⟨xy ^ 2z، x ^ 2yz، z ^ 2⟩ ) محافظًا.

حل

لاحظ أن مجال ( vecs {F} ) هو كل (ℝ ^ 2 ) و (ℝ ^ 3 ) متصل ببساطة. لذلك ، يمكننا استخدام الملكية الجزئية التبادلية لحقول المتجهات المحافظة لتحديد ما إذا كان ( vecs {F} ) متحفظًا. يترك

[P (x، y، z) = xy ^ 2z nonumber ]

[Q (x، y، z) = x ^ 2yz nonumber ]

و

[R (x، y، z) = z ^ 2. nonumber ]

بما أن (Q_z (x، y، z) = x ^ 2y ) و (R_y (x، y، z) = 0 ) ، فإن حقل المتجه ليس محافظًا.

مثال ( PageIndex {9} ): تحديد ما إذا كان حقل المتجه محافظًا

تحديد حقل المتجه ( vecs {F} (x، y) = ⟨x ln (y)، ، dfrac {x ^ 2} {2y}⟩ ) محافظ.

حل

لاحظ أن مجال ( vecs {F} ) هو جزء من (ℝ ^ 2 ) حيث (y> 0 ). وبالتالي ، فإن مجال ( vecs {F} ) هو جزء من مستوى فوق محور (x ) - وهذا المجال متصل ببساطة (لا توجد ثقوب في هذه المنطقة وهذه المنطقة متصلة). يترك

[P (x، y) = x ln (y) ؛ ؛ text {and} ؛ ؛ Q (x، y) = dfrac {x ^ 2} {2y}. لا يوجد رقم]

ثم (P_y (x، y) = dfrac {x} {y} = Q_x (x، y) ) وبالتالي فإن ( vecs {F} ) محافظ.

تمرين ( PageIndex {8} )

حدد ما إذا كان ( vecs {F} (x، y) = ⟨ sin x cos y، ، cos x sin y⟩ ) محافظًا.

تلميح

يستخدم الملكية الجزئية التبادلية لحقول المتجهات المحافظة من القسم السابق.

إجابه

إنه متحفظ.

عند استخدام The Cross-Partial Property of Conservative Vector Fields, it is important to remember that a theorem is a tool, and like any tool, it can be applied only under the right conditions. In the case of The Cross-Partial Property of Conservative Vector Fields, the theorem can be applied only if the domain of the vector field is simply connected.

To see what can go wrong when misapplying the theorem, consider the vector field from Example (PageIndex{4}):

[vecs F(x,y)=dfrac{y}{x^2+y^2},hat{mathbf i}+dfrac{−x}{x^2+y^2},hat{mathbf j}.]

This vector field satisfies the cross-partial property, since

[dfrac{∂}{∂y}left(dfrac{y}{x^2+y^2} ight)=dfrac{(x^2+y^2)−y(2y)}{ {(x^2+y^2)}^2}=dfrac{x^2−y^2}{ {(x^2+y^2)}^2}]

و

[dfrac{∂}{∂x}left(dfrac{−x}{x^2+y^2} ight)=dfrac{−(x^2+y^2)+x(2x)}{ {(x^2+y^2)}^2}=dfrac{x^2−y^2}{ {(x^2+y^2)}^2}.]

Since (vecs{F}) satisfies the cross-partial property, we might be tempted to conclude that (vecs{F}) is conservative. However, (vecs{F}) is not conservative. To see this, let

[vecs r(t)=⟨cos t,sin t⟩,;; 0≤t≤pi]

be a parameterization of the upper half of a unit circle oriented counterclockwise (denote this (C_1)) and let

[vecs s(t)=⟨cos t,−sin t⟩,;; 0≤t≤pi]

be a parameterization of the lower half of a unit circle oriented clockwise (denote this (C_2)). Notice that (C_1) and (C_2) have the same starting point and endpoint. Since ({sin}^2 t+{cos}^2 t=1),

[vecs F(vecs r(t)) cdot vecs r′(t)=⟨sin(t),−cos(t)⟩ cdot ⟨−sin(t), cos(t)⟩=−1]

و

[vecs F(vecs s(t))·vecs s′(t)=⟨−sin t,−cos t⟩·⟨−sin t,−cos t⟩={sin}^2 t+{cos}^2t=1.]

لذلك،

[int_{C_1} vecs F·dvecs r=int_0^{pi}−1,dt=−pi]

و

[int_{C_2}vecs F·dvecs r=int_0^{pi} 1,dt=pi.]

Thus, (C_1) and (C_2) have the same starting point and endpoint, but (int_{C_1} vecs F·dvecs r≠int_{C_2} vecs F·dvecs r). Therefore, (vecs{F}) is not independent of path and (vecs{F}) is not conservative.

To summarize: (vecs{F}) satisfies the cross-partial property and yet (vecs{F}) is not conservative. What went wrong? Does this contradict The Cross-Partial Property of Conservative Vector Fields؟ The issue is that the domain of (vecs{F}) is all of (ℝ^2) except for the origin. In other words, the domain of (vecs{F}) has a hole at the origin, and therefore the domain is not simply connected. Since the domain is not simply connected, The Cross-Partial Property of Conservative Vector Fields does not apply to (vecs{F}).

We close this section by looking at an example of the usefulness of the Fundamental Theorem for Line Integrals. Now that we can test whether a vector field is conservative, we can always decide whether the Fundamental Theorem for Line Integrals can be used to calculate a vector line integral. If we are asked to calculate an integral of the form (int_C vecs F·dvecs r), then our first question should be: Is (vecs{F}) conservative? If the answer is yes, then we should find a potential function and use the Fundamental Theorem for Line Integrals to calculate the integral. If the answer is no, then the Fundamental Theorem for Line Integrals cannot help us and we have to use other methods, such as using the method from the previous section (using (vecs F(vecs r(t))) and (vecs r'(t))).

Example (PageIndex{10}): Using the Fundamental Theorem for Line Integrals

Calculate line integral (int_C vecs F·dvecs r), where (vecs F(x,y,z)=⟨2xe^yz+e^xz,,x^2e^yz,,x^2e^y+e^x⟩) and (C) is any smooth curve that goes from the origin to ((1,1,1)).

حل

Before trying to compute the integral, we need to determine whether (vecs{F}) is conservative and whether the domain of (vecs{F}) is simply connected. The domain of (vecs{F}) is all of (ℝ^3), which is connected and has no holes. Therefore, the domain of (vecs{F}) is simply connected. يترك

[P(x,y,z)=2xe^yz+e^xz, ;; Q(x,y,z)=x^2e^yz, ;; ext{and} ;; R(x,y,z)=x^2e^y+e^x onumber]

so that (vecs{F}(x,y,z)=⟨P,Q,R⟩). Since the domain of (vecs{F}) is simply connected, we can check the cross partials to determine whether (vecs{F}) is conservative. لاحظ أن

[egin{align*} P_y(x,y,z) &=2xe^yz=Q_x(x,y,z) [4pt]P_z(x,y,z) &=2xe^y+e^x=R_x(x,y,z) [4pt] Q_z(x,y,z) &=x^2e^y=R_y(x,y,z).end{align*}]

Therefore, (vecs{F}) is conservative.

To evaluate (int_C vecs F·dvecs r) using the Fundamental Theorem for Line Integrals, we need to find a potential function (f) for (vecs{F}). Let (f) be a potential function for (vecs{F}). Then, (vecs abla f=vecs F), and therefore (f_x(x,y,z)=2xe^yz+e^xz). Integrating this equation with respect to (x) gives (f(x,y,z)=x^2e^yz+e^xz+h(y,z)) for some function (h). Differentiating this equation with respect to (y) gives (x^2e^yz+h_y(y,z)=Q(x,y,z)=x^2e^yz), which implies that (h_y(y,z)=0). Therefore, (h) is a function of (z) only, and (f(x,y,z)=x^2e^yz+e^xz+h(z)). To find (h), note that (f_z=x^2e^y+e^x+h′(z)=R=x^2e^y+e^x). Therefore, (h′(z)=0) and we can take (h(z)=0). A potential function for (vecs{F}) is (f(x,y,z)=x^2e^yz+e^xz).

Now that we have a potential function, we can use the Fundamental Theorem for Line Integrals to evaluate the integral. By the theorem,

[egin{align*} int_C vecs F·dvecs r &=int_C vecs abla f·dvecs r[4pt] &=f(1,1,1)−f(0,0,0)[4pt] &=2e. end{align*}]

تحليل

Notice that if we hadn’t recognized that (vecs{F}) is conservative, we would have had to parameterize (C) and use the method from the previous section. Since curve (C) is unknown, using the Fundamental Theorem for Line Integrals is much simpler.

Exercise (PageIndex{9})

Calculate integral (int_C vecs F·dvecs r), where (vecs{F}(x,y)=⟨sin xsin y, 5−cos xcos y⟩) and (C) is a semicircle with starting point ((0,pi)) and endpoint ((0,−pi)).

Hint

Use the Fundamental Theorem for Line Integrals.

إجابه

(−10pi)

Example (PageIndex{11}): Work Done on a Particle

Let (vecs F(x,y)=⟨2xy^2,2x^2y⟩) be a force field. Suppose that a particle begins its motion at the origin and ends its movement at any point in a plane that is not on the (x)-axis or the (y)-axis. Furthermore, the particle’s motion can be modeled with a smooth parameterization. Show that (vecs{F}) does positive work on the particle.

حل

We show that (vecs{F}) does positive work on the particle by showing that (vecs{F}) is conservative and then by using the Fundamental Theorem for Line Integrals.

To show that (vecs{F}) is conservative, suppose (f(x,y)) were a potential function for (vecs{F}). Then, (vecs abla f(x,y)=vecs F(x,y)=⟨2xy^2,2x^2y⟩) and therefore (f_x(x,y)=2xy^2) and (f_y(x,y)=2x^2y). The equation (fx(x,y)=2xy^2) implies that (f(x,y)=x^2y^2+h(y)). Deriving both sides with respect to (y) yields (f_y(x,y)=2x^2y+h′(y)). Therefore, (h′(y)=0) and we can take (h(y)=0).

If (f(x,y)=x^2y^2), then note that (vecs abla f(x,y)=⟨2xy^2,2x^2y⟩=vecs F), and therefore (f) is a potential function for (vecs{F}).

Let ((a,b)) be the point at which the particle stops is motion, and let (C) denote the curve that models the particle’s motion. The work done by (vecs{F}) on the particle is (int_C vecs{F}·dvecs{r}). By the Fundamental Theorem for Line Integrals,

[egin{align*} int_C vecs F·dvecs r &=int_C abla f·dvecs r [4pt] &=f(a,b)−f(0,0)[4pt] &=a^2b^2. end{align*}]

Since (a≠0) and (b≠0), by assumption, (a^2b^2>0). Therefore, (int_C vecs F·dvecs r>0), and (vecs{F}) does positive work on the particle.

تحليل

Notice that this problem would be much more difficult without using the Fundamental Theorem for Line Integrals. To apply the tools we have learned, we would need to give a curve parameterization and use the method from the previous section. Since the path of motion (C) can be as exotic as we wish (as long as it is smooth), it can be very difficult to parameterize the motion of the particle.

تمرين ( PageIndex {10} )

Let (vecs{F}(x,y)=⟨4x^3y^4,4x^4y^3⟩), and suppose that a particle moves from point ((4,4)) to ((1,1)) along any smooth curve. Is the work done by (vecs{F}) on the particle positive, negative, or zero?

Hint

Use the Fundamental Theorem for Line Integrals.

إجابه

Negative

Key Concepts

  • The theorems in this section require curves that are closed, simple, or both, and regions that are connected or simply connected.
  • The line integral of a conservative vector field can be calculated using the Fundamental Theorem for Line Integrals. This theorem is a generalization of the Fundamental Theorem of Calculus in higher dimensions. Using this theorem usually makes the calculation of the line integral easier.
  • Conservative fields are independent of path. The line integral of a conservative field depends only on the value of the potential function at the endpoints of the domain curve.
  • Given vector field (vecs{F}), we can test whether (vecs{F}) is conservative by using the cross-partial property. If (vecs{F}) has the cross-partial property and the domain is simply connected, then (vecs{F}) is conservative (and thus has a potential function). If (vecs{F}) is conservative, we can find a potential function by using the Problem-Solving Strategy.
  • The circulation of a conservative vector field on a simply connected domain over a closed curve is zero.

المعادلات الرئيسية

  • Fundamental Theorem for Line Integrals
    (displaystyle int_C vecs abla f·dvecs r=f(vecs r(b))−f(vecs r(a)))
  • Circulation of a conservative field over curve ج that encloses a simply connected region
    (displaystyle oint_C vecs abla f·dvecs r=0)

Glossary

closed curve
a curve that begins and ends at the same point
connected region
a region in which any two points can be connected by a path with a trace contained entirely inside the region
Fundamental Theorem for Line Integrals
the value of line integral (displaystyle int_Cvecs ∇f⋅dvecs r) depends only on the value of (f) at the endpoints of (C: displaystyle int_C vecs ∇f⋅dvecs r=f(vecs r(b))−f(vecs r(a)))
independence of path
a vector field (vecs{F}) has path independence if (displaystyle int_{C_1} vecs F⋅dvecs r=displaystyle int_{C_2} vecs F⋅dvecs r) for any curves (C_1) and (C_2) in the domain of (vecs{F}) with the same initial points and terminal points
simple curve
a curve that does not cross itself
simply connected region
a region that is connected and has the property that any closed curve that lies entirely inside the region encompasses points that are entirely inside the region


شاهد الفيديو: Surface integrals (شهر نوفمبر 2021).