مقالات

1.1E: تمارين للناقلات في المستوى - الرياضيات


للتمارين من 1 إلى 10 ، ضع في اعتبارك النقاط (P (−1،3) و Q (1،5) و ) و (R (−3،7) ). تحديد المتجهات المطلوبة والتعبير عن كل منها

(أ ) في شكل مكون و

(ب ) باستخدام متجهات الوحدة القياسية.

1) ( vecd {PQ} )

إجابه:
أ. ( vecd {PQ} = ⟨2،2⟩ )
ب. ( vecd {PQ} = 2 hat { mathbf i} +2 hat { mathbf j} )

2) ( vecd {PR} )

3) ( vecd {QP} )

إجابه:
أ. ( vecd {QP} = ⟨− 2، −2⟩ )
ب. ( vecd {QP} = - 2 hat { mathbf i} −2 hat { mathbf j} )

4) ( vecd {RP} )

5) ( vecd {PQ} + vecd {PR} )

إجابه:
أ. ( vecd {PQ} + vecd {PR} = ⟨0،6⟩ )
ب. ( vecd {PQ} + vecd {PR} = 6 hat { mathbf j} )

6) ( vecd {PQ} - vecd {PR} )

7) (2 vecd {PQ} −2 vecd {PR} )

إجابه:
أ. (2 vecd {PQ} → −2 vecd {PR} = ⟨8، −4⟩ )
ب. (2 vecd {PQ} −2 vecd {PR} = 8 hat { mathbf i} −4 hat { mathbf j} )

8) (2 vecd {PQ} + frac {1} {2} vecd {PR} )

9) متجه الوحدة في اتجاه ( vecd {PQ} )

إجابه:
أ. ( left langle frac { sqrt {2}} {2} ، frac { sqrt {2}} {2} right rangle )
ب. ( frac { sqrt {2}} {2} hat { mathbf i} + frac { sqrt {2}} {2} hat { mathbf j} )

10) متجه الوحدة في اتجاه ( vecd {PR} )

11) المتجه ({ overet { scriptstyle rightharpoonup} { mathbf v}} ) له نقطة أولية ((- 1، −3) ) ونقطة طرفية ((2،1) ). ابحث عن متجه الوحدة في اتجاه ( vecs v ). عبر عن الإجابة في شكل مكون.

إجابه:
(⟨ frac {3} {5}، frac {4} {5}⟩ )

12) يحتوي المتجه ( vecs v ) على نقطة أولية ((- 2،5) ) ونقطة طرفية ((3، −1) ). ابحث عن متجه الوحدة في اتجاه ( vecs v ). عبر عن الإجابة في شكل مكون.

13) يحتوي المتجه ( vecs v ) على نقطة أولية (P (1،0) ) ونقطة طرفية (Q ) الموجودة على (y ) - المحور وفوق النقطة الأولية. ابحث عن إحداثيات النقطة الطرفية (Q ) بحيث يكون حجم المتجه ( vecs v ) هو ( sqrt {5} ).

إجابه:
(س (0،2) )

14) يحتوي المتجه ( vecs v ) على نقطة أولية (P (1،1) ) ونقطة طرفية (Q ) على محور (x ) ويسار النقطة الأولية. ابحث عن إحداثيات النقطة الطرفية (Q ) بحيث يكون حجم المتجه ( vecs v ) هو ( sqrt {10} ).

للتمرينين 15 و 16 ، استخدم المتجهين المعينين ( vecs a ) و ( vecs b ).

أ. حدد مجموع المتجه ( vecs a + vecs b ) وقم بالتعبير عنها في كل من صيغة المكون وباستخدام متجهات الوحدة القياسية.

ب. ابحث عن فرق المتجه ( vecs a - vecs b ) وقم بالتعبير عنه في شكل المكون وباستخدام متجهات الوحدة القياسية.

ج. تحقق من أن المتجهات ( vecs a، ، vecs b، ) و ( vecs a + vecs b ) ، وعلى التوالي ، ( vecs a ، ، vecs b ) ، و ( vecs a− vecs b ) تحقق متباينة المثلث.

د. حدد المتجهات (2 vecs a ، - vecs b ، ) و (2 vecs a− vecs b. ) عبر عن المتجهات في كل من شكل المكون وباستخدام متجهات الوحدة القياسية.

15) ( vecs a = 2 hat { mathbf i} + hat { mathbf j}، vecs b = hat { mathbf i} +3 hat { mathbf j} )

إجابه:
(a. ، vecs a + vecs b = ⟨3،4⟩، quad vecs a + vecs b = 3 hat { mathbf i} +4 hat { mathbf j} )
(b. ، vecs a− vecs b = ⟨1، −2⟩، quad vecs a− vecs b = hat { mathbf i} −2 hat { mathbf j} )
(ج. ) سوف تختلف الإجابات
(d. ، 2 vecs a = ⟨4،2⟩، quad 2 vecs a = 4 hat { mathbf i} +2 hat { mathbf j}، quad - vecs b = −1، −3⟩، quad - vecs b = - hat { mathbf i} −3 hat { mathbf j}، quad 2 vecs a− vecs b = ⟨3، −1⟩، quad 2 vecs a− vecs b = 3 hat { mathbf i} - hat { mathbf j} )

16) ( vecs a = 2 hat { mathbf i}، vecs b = −2 hat { mathbf i} +2 hat { mathbf j} )

17) لنكن ( vecs a ) متجهًا ذو موضع قياسي بنقطة طرفية ((- 2 ، −4) ). لنكن ( vecs b ) متجهًا بنقطة أولية ((1،2) ) ونقطة طرفية ((- 1،4) ). أوجد حجم المتجه (- 3 vecs a + vecs b − 4 hat { mathbf i} + hat { mathbf j}. )

إجابه:
(15)

18) لنكن ( vecs a ) متجهًا معياريًا مع نقطة طرفية عند ((2،5) ). لنكن ( vecs b ) متجهًا بنقطة أولية ((- 1،3) ) ونقطة طرفية ((1،0) ). أوجد حجم المتجه ( vecs a − 3 vecs b + 14 hat { mathbf i} −14 hat { mathbf j}. )

19) لنكن ( vecs u ) و ( vecs v ) متجهين غير صفريين غير متكافئين. ضع في اعتبارك المتجهات ( vecs a = 4 vecs u + 5 vecs v ) و ( vecs b = vecs u + 2 vecs v ) المحددة من حيث ( vecs u ) و ( vecs v ). ابحث عن الحجم (λ ) بحيث تكون المتجهات ( vecs a + λ vecs b ) و ( vecs u− vecs v ) متكافئة.

إجابه:
(λ = -3 )

20) لنكن ( vecs u ) و ( vecs v ) متجهين غير صفريين غير متكافئين. ضع في اعتبارك المتجهات ( vecs a = 2 vecs u − 4 vecs v ) و ( vecs b = 3 vecs u − 7 vecs v ) المحددة من حيث ( vecs u ) و ( vecs v ). ابحث عن المقاييس (α ) و (β ) بحيث تكون المتجهات (α vecs a + β vecs b ) و ( vecs u− vecs v ) متكافئة.

21) ضع في اعتبارك المتجه ( vecs a (t) = ⟨ cos t، sin t⟩ ) مع المكونات التي تعتمد على رقم حقيقي (t ). نظرًا لاختلاف الرقم (t ) ، تتغير مكونات ( vecs a (t) ) أيضًا ، اعتمادًا على الوظائف التي تحددها.

أ. اكتب المتجهات ( vecs a (0) ) و ( vecs a (π) ) في شكل مكون.

ب. أظهر أن المقدار (∥ vecs a (t) ∥ ) للمتجه ( vecs a (t) ) يظل ثابتًا لأي رقم حقيقي (t ).

ج. مع اختلاف (t ) ، أظهر أن النقطة الطرفية للمتجه ( vecs a (t) ) تصف دائرة تتمركز عند أصل نصف القطر (1 ).

إجابه:
(a. ، vecs a (0) = ⟨1،0⟩، quad vecs a (π) = ⟨− 1،0⟩ )
(ب. ) قد تختلف الإجابات
(ج. ) قد تختلف الإجابات

22) ضع في اعتبارك المتجه ( vecs a (x) = x، sqrt {1 − x ^ 2}⟩ ) بمكونات تعتمد على رقم حقيقي (x∈ [−1،1] ). نظرًا لاختلاف الرقم (x ) ، تتغير مكونات ( vecs a (x) ) أيضًا ، اعتمادًا على الوظائف التي تحددها.

أ. اكتب المتجهات ( vecs a (0) ) و ( vecs a (1) ) في شكل مكون.

ب. أظهر أن المقدار (∥ vecs a (x) ∥ ) للمتجه ( vecs a (x) ) يظل ثابتًا لأي رقم حقيقي (x ).

ج. مع اختلاف (x ) ، أظهر أن النقطة الطرفية للمتجه ( vecs a (x) ) تصف دائرة تتمركز عند أصل نصف القطر (1 ).

23) أظهر أن المتجهات ( vecs a (t) = ⟨ cos t، sin t⟩ ) و ( vecs a (x) = ⟨x، sqrt {1 − x ^ 2}⟩ ) مكافئة لـ (x = 1 ) و (t = 2kπ ) ، حيث (k ) عدد صحيح.

إجابه: قد تتعدد الاجابات

24) أظهر أن المتجهات ( vecs a (t) = ⟨ cos t، sin t⟩ ) و ( vecs a (x) = ⟨x، sqrt {1 − x ^ 2}⟩ ) المقابل لـ (x = 1 ) و (t = π + 2kπ ) ، حيث (k ) عدد صحيح.

للتمارين 25-28 ، ابحث عن المتجه ( vecs v ) بالقدر المحدد وفي نفس اتجاه المتجه ( vecs u ).

25) ( | vecs v | = 7 ، quad vecs u = ⟨3،4⟩ )

إجابه:
( vecs v = ⟨ frac {21} {5} ، frac {28} {5}⟩ )

26) (‖ vecs v‖ = 3 ، quad vecs u = ⟨− 2،5 )

27) (‖ vecs v‖ = 7 ، quad vecs u = ⟨3 ، −5⟩ )

إجابه:
( vecs v = ⟨ frac {21 sqrt {34}} {34}، - frac {35 sqrt {34}} {34}⟩ )

28) (‖ vecs v‖ = 10، quad vecs u = ⟨2، −1⟩ )

للتمرينات 29-34 ، ابحث عن شكل مكون المتجه ( vecs u ) ، بالنظر إلى حجمه والزاوية التي يصنعها المتجه مع المحور (x ) - الموجب. أعط إجابات دقيقة عندما يكون ذلك ممكنا.

29) (‖ vecs u‖ = 2 ، θ = 30 درجة )

إجابه:
( vecs u = ⟨ sqrt {3} ، 1⟩ )

30) (‖ vecs u‖ = 6 ، θ = 60 درجة )

31) (‖ vecs u‖ = 5، θ = فارك {π} {2} )

إجابه:
( vecs u = ⟨0،5⟩ )

32) (‖ vecs u‖ = 8 ، θ = π )

33) (‖ vecs u‖ = 10، θ = فارك {5π} {6} )

إجابه:
( vecs u = ⟨− 5 sqrt {3}، 5⟩ )

34) (‖ vecs u‖ = 50، θ = فارك {3π} {4} )

للتمرينين 35 و 36 ، يتم إعطاء المتجه ( vecs u ). أوجد الزاوية (θ∈ [0،2π) ) التي يصنعها المتجه ( vecs u ) بالاتجاه الإيجابي للمحور (x ) - في اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة.

35) ( vecs u = 5 sqrt {2} hat { mathbf i} −5 sqrt {2} hat { mathbf j} )

إجابه:
(θ = فارك {7π} {4} )

36) ( vecs u = - sqrt {3} hat { mathbf i} - hat { mathbf j} )

37) لنفترض أن ( vecs a = ⟨a_1 و a_2⟩ و vecs b = ⟨b_1 و b_2⟩ ) و ( vecs c = ⟨c_1، c_2⟩ ) ثلاثة نواقل غير صفرية. إذا كان (a_1b_2 − a_2b_1 ≠ 0 ) ، فقم بإظهار وجود عددين ، (α ) و (β ) ، مثل ( vecs c = α vecs a + β vecs b. )

إجابه: قد تتعدد الاجابات

38) ضع في اعتبارك المتجهات ( vecs a = ⟨2 ، −4⟩ ، vecs b = ⟨− 1،2⟩ ، ) و ( vecs c = vecs 0 ) تحديد الحجميات (α ) و (β ) مثل ( vecs c = α vecs a + β vecs b ).

39) لنفترض أن (P (x_0، f (x_0)) ) نقطة ثابتة على الرسم البياني للدالة القابلة للتفاضل (f ) بمجال يمثل مجموعة الأرقام الحقيقية.

أ. حدد الرقم الحقيقي (z_0 ) مثل تلك النقطة (Q (x_0 + 1، z_0) ) الموجودة على خط المماس للرسم البياني (f ) عند النقطة (P ).

ب. حدد متجه الوحدة ( vecs u ) بالنقطة الأولية (P ) والنقطة النهائية (Q ).

إجابه:
(a. quad z_0 = f (x_0) + f ′ (x_0)؛ quad b. quad vecs u = frac {1} { sqrt {1+ [f ′ (x_0)] ^ 2} } ⟨1 ، و ′ (x_0)⟩ )

40) ضع في اعتبارك الوظيفة (f (x) = x ^ 4، ) حيث (x∈R ).

أ. حدد الرقم الحقيقي (z_0 ) مثل تلك النقطة (Q (2، z_0) ) الموجودة على الخط المماس للرسم البياني (f ) عند النقطة (P (1،1) ).

ب. حدد متجه الوحدة ( vecs u ) بالنقطة الأولية (P ) والنقطة النهائية (Q ).

41) ضع في اعتبارك (f ) و (g ) وظيفتين معرفتين على نفس مجموعة الأرقام الحقيقية (D ). لنفترض أن ( vecs a = ⟨x، f (x)⟩ ) و ( vecs b = x، g (x)⟩ ) هما متجهان يصفان الرسوم البيانية للوظائف ، حيث (x∈ د). أظهر أنه إذا كانت الرسوم البيانية للوظائف (f ) و (g ) لا تتقاطع ، فإن المتجهات ( vecs a ) و ( vecs b ) ليست متكافئة.

42) ابحث عن (x∈R ) بحيث تكون المتجهات ( vecs a = ⟨x، sin x⟩ ) و ( vecs b = ⟨x، cos x⟩ ) متكافئة.

43) احسب إحداثيات النقطة (D ) بحيث يكون (ABCD ) متوازي أضلاع مع (A (1،1) و B (2،4) ) و (C (7،4) ) ).

إجابه:
(د (6،1) )

44) ضع في اعتبارك النقاط (A (2،1) و B (10،6) و C (13،4) ) و (D (16، −2) ). حدد شكل مكون المتجه ( vecd {AD} ).

45) إن سرعة لجسم ما هو مقدار متجه السرعة المرتبط به. كرة قدم يقذفها لاعب الوسط تبلغ سرعتها الأولية (70 ) ميل في الساعة وزاوية ارتفاع (30 درجة ). أوجد متجه السرعة في mph وعبر عنه في صورة مكونة. (تقريب لأقرب منزلتين عشريتين.)

إجابه:
(⟨60.62,35⟩)

46) يرمي لاعب بيسبول كرة بيسبول بزاوية (30 درجة ) مع الأفقي. إذا كانت السرعة الأولية للكرة (100 ) ميل في الساعة ، فأوجد المكونين الأفقي والعمودي لمتجه السرعة الابتدائية للبيسبول. (تقريب لأقرب منزلتين عشريتين.)

47) تطلق رصاصة بسرعة ابتدائية (1500 ) قدم / ثانية بزاوية (60 درجة ) مع الأفقي. أوجد المكوّنين الأفقي والرأسي لمتجه السرعة للرصاصة. (تقريب لأقرب منزلتين عشريتين.)

إجابه:
المكونات الأفقية والعمودية هي (750 ) قدم / ثانية و (1299.04 ) قدم / ثانية ، على التوالي.

48) [T] عداء يبلغ وزنه 65 كجم يبذل قوة مقدارها (798 ) N بزاوية (19 درجة ) بالنسبة إلى الأرض على كتلة البداية في اللحظة التي يبدأ فيها السباق. أوجد المكون الأفقي للقوة. (تقريب لأقرب منزلتين عشريتين.)

49) [T] قوتان ، قوة أفقية مقدارها (45 ) lb وأخرى بمقدار (52 ) lb ، تعملان على نفس الجسم. الزاوية بين هذه القوى هي (25 درجة ). أوجد المقدار وزاوية الاتجاه من المحور الموجب للقوة المحصلة المؤثرة على الجسم. (تقريب لأقرب منزلتين عشريتين.)

إجابه:
حجم القوة المحصلة هو (94.71 ) رطل ؛ زاوية الاتجاه هي (13.42 درجة ).

50) [T] قوتان ، قوة رأسية مقدارها (26 ) رطل وأخرى بمقدار (45 ) رطل ، تعملان على نفس الجسم. الزاوية بين هذه القوى هي (55 درجة ). (تقريب لأقرب منزلتين عشريتين.)

51) [T] ثلاث قوى تعمل على الجسم. اثنتان من القوى لها المقدار (58 ) N و (27 ) N ، وتصنعان زاويتين (53 درجة ) و (152 درجة ) ، على التوالي ، مع المحور الموجب (س ) - . أوجد المقدار وزاوية الاتجاه من المحور الموجب (x ) - للقوة الثالثة بحيث تكون القوة المحصلة المؤثرة على الجسم صفرًا. (تقريب لأقرب منزلتين عشريتين.)

إجابه:
حجم المتجه الثالث هو (60.03 ) N ؛ زاوية الاتجاه هي (259.38 درجة ).

52) ثلاث قوى ذات مقادير 80 رطل، 120 رطل و 60 lb يعمل على كائن بزاوية (45 درجة ، 60 درجة ) و (30 درجة ) ، على التوالي ، مع المحور الموجب (س ). أوجد المقدار وزاوية الاتجاه من المحور الموجب للقوة المحصلة. (تقريب لأقرب منزلتين عشريتين.)

53) [T] طائرة تحلق في اتجاه (43 درجة ) شرق الشمال (يُشار إليها أيضًا باسم (N43E ) بسرعة (550 ) ميل في الساعة. رياح بسرعة (25 ) ) mph تأتي من الجنوب الغربي بمحمل (N15E ) ما هي السرعة الأرضية والاتجاه الجديد للطائرة؟

إجابه:
السرعة الأرضية الجديدة للطائرة هي (572.19 ) ميل في الساعة ؛ الاتجاه الجديد هو (N41.82E. )

54) [T] قارب يسير في الماء بسرعة (30 ) ميل في الساعة في اتجاه (N20E ) (أي (20 درجة ) شرق الشمال). يتحرك تيار قوي بسرعة (15 ) ميل في الساعة في اتجاه (N45E ). ما هي السرعة والاتجاه الجديدان للقارب؟

55) [T] يتم تعليق الوزن البالغ 50 رطلاً بواسطة كابل بحيث يصنع جزأا الكبل زاويتين (40 درجة ) و (53 درجة ) ، على التوالي ، مع الأفقي. أوجد مقدار قوى التوتر ( vecs T_1 ) و ( vecs T_2 ) في الكابلات إذا كانت القوة المحصلة المؤثرة على الجسم تساوي صفرًا. (تقريب لأقرب منزلتين عشريتين.)

إجابه:
( | vecs T_1 | = 30.13 ، lb، quad | vecs T_2 | = 38.35 ، lb )

56) [T] يتدلى وزن 62 رطلاً من حبل يجعل زاويتَي (29 درجة ) و (61 درجة ) ، على التوالي ، مع الأفقي. (تقريب لأقرب منزلتين عشريتين.)

57) [T] قارب 1500 رطل يقف على منحدر يصنع زاوية (30 درجة ) مع الأفقي. يشير متجه وزن القارب إلى الأسفل وهو مجموع متجهين: متجه أفقي ( vecs v_1 ) الذي يوازي المنحدر والمتجه العمودي ( vecs v_2 ) المتعامد على السطح المائل. إن مقادير المتجهات ( vecs v_1 ) و ( vecs v_2 ) هي المكون الأفقي والعمودي ، على التوالي ، لمتجه وزن القارب. أوجد مقدار ( vecs v_1 ) و ( vecs v_2 ). (التقريب إلى أقرب عدد صحيح.)

إجابه:
( | vecs v_1 | = 750 ، lb، quad | vecs v_2 | = 1299 ، lb )

58) [T] صندوق 85 رطلاً في وضع السكون على (26 درجة ) منحدر. أوجد مقدار القوة الموازية للميل اللازم لمنع انزلاق الصندوق. (التقريب إلى أقرب عدد صحيح.)

59) يدعم سلك الشد عمودًا بارتفاع (75 ) قدمًا. يتم توصيل أحد طرفي السلك بأعلى العمود والطرف الآخر مثبت على الأرض (50 ) قدمًا من قاعدة العمود. حدد المكونين الأفقي والرأسي لقوة الشد في السلك إذا كان حجمه (50 ) lb. (تقريب لأقرب عدد صحيح.)

إجابه:
المكونان الأفقي والرأسي لقوة التوتر هما (28 ) رطل و (42 ) رطل على التوالي.

60) سلك تثبيت عمود الهاتف له زاوية ارتفاع (35 درجة ) بالنسبة إلى الأرض. قوة الشد في سلك الشد هي (120 ) رطل. أوجد المكونات الأفقية والعمودية لقوة الشد. (التقريب إلى أقرب عدد صحيح.)

المساهمون

جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


يتطلب النصف الثاني من هذا الدرس حساب مثلثات سهل ، وتحديداً استخدام دوال الجيب وجيب التمام.

جزء من دورة بالمدرسة الثانوية في علم الفلك والميكانيكا النيوتونية ورحلات الفضاء
بواسطة ديفيد ب. ستيرن

تكمل خطة الدرس هذه: & # 34 Vectors، & # 34 section # 14
http://www.phy6.org/stargaze/Svector.htm

    ملاحظة: يستخدم هذا الدرس المتجهات ، ويجب أن يتفق الفصل على طريقة ما للإشارة إليها على السبورة وفي دفتر الملاحظات. في خطة الدرس هذه ، سيتم تسطير جميع كميات المتجهات.

    حول تعريف النواقل والغرض منها في الرياضيات والفيزياء.

المصطلحات: متجه ، جمع متجه ، مكونات متجهية ، حجم متجه ، مكونات متجهية موازية وعمودية لاتجاه معين.

القصص والإضافات: لا شيء هنا ولكن القسم رقم 22 أ عن رحلة الطائرة يحتوي على بعض التطبيقات المثيرة للاهتمام ، والتي يمكن أن تتبع هذا الدرس.

نناقش اليوم المتجهات ، الأشياء الرياضية التي ليس لها فقط الحجم ، الحجم ، الطريقة التي بها الأرقام العادية ، ولكن أيضًا الاتجاه الذي تشير إليه. يمكن التعامل معها بطرق مختلفة.

      يمكن اعتبارها تعريفًا أوسع لـ أعداد. يمكن تعريف الأرقام على مراحل ، كل مرحلة تعمم المرحلة السابقة ولكنها تغطي فئة أوسع ، مثل الدوائر داخل الدوائر. (وضح على السبورة بسطر يتم تمييز الأرقام عليه ، واكتب أيضًا المصطلحات التي تحتها خط في جدول - كل واحدة جديدة أسفل السابقة.).

كانت الأعداد الأولى أعدادًا صحيحة: 1،2،3،4. وما إلى ذلك ، تم اختراعه مبكرًا جدًا ، لأغراض عملية - على سبيل المثال ، عد الخراف عند عودتها إلى المنزل ، للتأكد من عدم فقدان أي منها.

ثم الأعداد السالبة: & # 82111 ، & # 82112 ، & # 82113. - أنت مدين لي بخروف واحد ، اثنان ، ثلاثة. أيضا صفر، والذي تم اعتباره رقمًا متأخرًا إلى حد ما.

ثم كسور- 1/2 ، 1/3 ، أيضًا 7/12 أو 3/7 وهكذا ، عرف المصريون النوع الأول فقط ، وكتبوا الكسور الثالثة والرابعة كـ (1/2) + (1/12) و كـ (1/3) + (1/12) + (1/84). أيضا الكسور العشرية.

ثم & # 34أرقام غير منطقية& # 34 مثل الجذر التربيعي للعدد 2 الذي لا يمكن كتابته كـ أي الكسر (هناك دليل بسيط). كل هذه معًا تُعرف باسم أرقام حقيقية.

ماذا بعد؟ . توجد عدة طرق لتوسيع مفهوم الأعداد ليشمل فئات أوسع - والتي تتضمن ، إلى جانب الأعداد الحقيقية ، كميات إضافية يمكن التلاعب بها.

بالطبع ، نحن بحاجة إلى إعطاء بعض لتلك الإضافات. يمكن النظر إلى الرقم الحقيقي على أنه طول وحيد. مع تعريفات أوسع ، قد لا تعمل مثل هذه التفسيرات البسيطة.

على سبيل المثال ، قد نقوم بتضمين(ارقام مركبة) والتي تتضمن i ، الجذر التربيعي لـ (& # 82111) ، وتعبيرات مثل a + bi ، حيث a و b أرقام حقيقية. هذا هو الاتجاه الذي لن نسير فيه اليوم (وهذا هو سبب كتابة المصطلح بين قوسين). ومع ذلك ، يمكن ملاحظة أن الأعداد المركبة لها ارتباط وثيق بالمتجهات في بعدين.

لذا بدلاً من ذلك ، ماذا سيكون؟ يمكن ربط كل ما سبق ب يشير على طول الخط: الأعداد الصحيحة هي نقاط معزولة ، ويبدو أن الكسور تملأ الفراغات بينها بشكل كثيف ، لكنها لا تزال تترك مساحة كافية للضغط في اللاعقلانية.

الآن ، من المفترض ، تمت تغطية جميع النقاط الموجودة على الخط. لكل رقم يمكننا وضعه سهم على الخط ، المسافة من صفر إلى هذا الرقم - الأسهم إلى اليمين (قل) للأرقام الموجبة ، إلى اليسار من أجل نفي منها.

المتجهات هي كائنات رياضية تمثل السهام في أي اتجاه- في الطائرة ، حتى في الأبعاد الثلاثة. أنه مستوى جديد من "الأرقام"، وهذه إحدى طرق النظر إليهم.

في الجبر، نحتفل أرقام عادية ("الحجميات") بأحرف. إذا أردنا إظهار الكمية فهي أ المتجه، قم بتمييزه بسهم أعلاه ، أو تسطير أو (بشكل رئيسي في الكتب) في وجه جريء. في ملفات الويب الخاصة بـ "Stargazers" ، للأسف ، يتم استخدام الوجه الغامق لإبراز الكميات ، لذا فإن هذا الاصطلاح لم يتم اتباعها ، وسيتعين عليك تمييز المتجهات من سياقها.

    اخترع علماء الرياضيات كل أنواع الغرابة التعميمات من الأرقام. الأكثر أهمية هم الذين لديهم تطبيقات جيدة.

ثلاثة أبعاد تسمح لنا بتمثيل السرعات.
نحن نطير بطائرة وفي الوقت نفسه تدفعها الرياح جانبًا - كيف نتقدم بالنسبة إلى الأرض؟ المتجهات تساعد في الإجابة على ذلك.

بصورة مماثلة، القوى ، التسارع ، المجالات المغناطيسية من عدة مصادر ، تمت إضافتها جميعًا مثل المتجهات. المهندسين الذين طرحوا أ كوبري أو أ بناء وتريد التأكد من توازن جميع القوى ، وما إلى ذلك ، تحتاج إلى ناقلات.

يكفي الحديث حول منهم - أي أمثلة؟

أبسط نوع هو الإزاحة (ارسم على السبورة خريطة للولايات المتحدة واستخدمها). تأخذ قلم رصاص وتزيحه منه نيويورك ل شيكاغو، ثم من شيكاغو ل سياتل. التأثير النهائي هو نفسه كما لو أننا أزاحنا قلم الرصاص من نيويورك ل سياتل.

الإزاحة من نيويورك إلى شيكاغو هذا سهم.
من شيكاغو إلى سياتل - هذا سهم
من نيويورك إلى سياتل-هذا السهم، ونقول إنه ما تها التامة من السهمين الآخرين.

قد تبدو طريقة غريبة للجمع - ولكن هذه أيضًا هي الطريقة التي تضيف بها السرعات والقوى والمجالات المغناطيسية.

توجيه الأسئلة والحكايات الإضافية مع الإجابات المقترحة.

- ما هي الطريقة الرسومية لإضافة متجهين؟

    ضع ذيل الثاني على رأس الأول - المجموع من ذيل الأول إلى رأس الثاني

- هل يُحدث أي فرق أيهما يُضاف أولاً وأيهما يُضاف أولاً؟

-- لماذا؟ (المعلم يتظاهر على السبورة.

    لنفترض أننا أضفنا متجهين أ وب.
    مضيفا
    & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp a + b يعطي مثلثًا واحدًا
    مضيفا
    & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp b + a يعطي مثلث صورة معكوسة.

يمكن دمج كلا المثلثين في متوازي أضلاع واحد (يظهر على السبورة). في كلتا الحالتين ، يكون المجموع هو قطري متوازي الأضلاع - وهو نفس القطر في كلتا الحالتين. UL>

- متى تضيف المتجهات مثل الأرقام؟

عندما يكونون جميعا على نفس الخط.
- لكن النواقل على طول الخط يمكن أن يكون لها اتجاهان!
هذا صحيح - يتم حساب المتجهات في اتجاه واحد + ، في الاتجاه الآخر & # 8211

الأسئلة التالية هي مجرد أسئلة سريعة: يمكن للمدرس إضافة أسئلة أكثر جدية. - تستطيع سفينتك أن تقطع 10 أميال في الساعة ولكن النهر يتدفق بسرعة 5 ميل في الساعة. ما هي سرعتك بالنسبة إلى اتجاه الشاطئ (أ) أعلى التيار (ب) باتجاه المصب؟

- أنت تركض بسرعة 5 ميل في الساعة في حلقة مفرغة ولكن لا تصل إلى أي مكان. لماذا ا؟

- تطير طائرتك شمالًا بسرعة 120 ميلاً في الساعة ، بينما تهب الرياح من الغرب بسرعة 50 ميلاً في الساعة. ما هي & # 34 الأرض & # 34 V بالنسبة إلى الأرض أدناه؟

    ع 2 = 12 2 + 5 2 = 14400 + 2500 = 16900. الخامس = 130 ميل في الساعة.

- لنفترض أنك حصلت على متجه في المستوى (على ورقة ، على الخريطة ، وما إلى ذلك) ماذا يعني ذلك حل إلى مكوناته "؟

    لأن اتجاهات سرعة الهواء وسرعة الرياح قد يكون لها زوايا غريبة.
    بدلاً من التعامل مع هاتين الزاويتين ، من الأسهل حل كل منهما في مكون شمالي-جنوبي وشرقي-غربي ، وجمع المكونات في كل اتجاه (مثل الأرقام) ثم تكوين المجموع مرة أخرى.

- طائرة تحلق بسرعة 120 ميلا في الساعة في اتجاه 17.13 & # 176 غربا من الشمال (نحو الشمال الغربي). تهب الرياح بسرعة 50 ميلاً في الساعة باتجاه الجنوب الشرقي ، 45 & # 176 قبالة الاتجاه الشرقي. في أي اتجاه تتحرك الطائرة ، وما مدى سرعتها؟

    بسبب الشمال بسرعة 79.32 ميلا في الساعة. يترك الخامس تكون سرعة الطائرة ، دبليو سرعة الرياح ، ودعونا نحل هذه المتجهات في نظام (x ، y) مع توجيه المحور x إلى الشرق ، والمحور y إلى الشمال. المكونات هي:

تحذف مركبات x ، مكون y الكلي هو
114.68-35.36 = 79.32

عندما يتم رمي كرة أو إطلاق قذيفة ، فإن حركتها هي أيضًا تراكب لحركتين ، كما تمت مناقشته في & # 34 كيف تسقط الأشياء & # 34.

- دعنا ندير المحاور التقليدية (س ، ص) في اتجاه عقارب الساعة بمقدار 90 & # 176 ، بحيث تحت هو اتجاه x وعمودي عليه ، إلى اليمين، هو اتجاه ص.

(ارسم على السبورة). هذا يعني أن سرعات x إلى أسفل موجبة وسرعة x الابتدائية u سالبة إذا تم توجيهها لأعلى.

    كما أن السرعة الأفقية الأولية w تكون موجبة عند توجيهها إلى اليمين

يمكننا حساب سرعة كل حركة:

يعطيان معًا متجه السرعة الخامس. يحتوي متجه الإزاحة S بالمثل على مكونات:

- نطلق مسدسًا بسرعة 1000 م / ثانية لأعلى عند 45 & # 176 على الأرض. إلى أي مدى ستقطع القذيفة قبل أن تصطدم بالأرض (إهمال مقاومة الهواء - ستكون القيم الفعلية أصغر). خذ g = 10 m / s 2.

    نلاحظ (u ، v) هي المكونات (الرأسية والأفقية) للسرعة الابتدائية ، والتي يمكننا تسميتها V0. إذن (إطلاق النار في الاتجاه y ، على سبيل المثال)

u = -1000 * sin 45 & # 176 = - 707 م / ث
w = 1000 * cos 45 & # 176 = 707 م / ث

في التأثير ، Sx = 0 ، لذا ut + (1/2) gt 2 = 0

أحد الحلول هو t = 0 - ليس له أي فائدة ، يخبرنا فقط أننا بدأنا من مستوى الأرض. اقسم على t (ليس صفرًا ، لذا يمكننا القسمة عليه)

& # 8211u = (1/2) gt t = & # 82112u / g = 141.4 ثانية
سذ = 99.97 كم ، حوالي 100 كم.

    عليهم التغلب على عنصر الوزن الموازي لسطح المنحدر ، وهو 1000 * sin 5 & # 176 = 87.15 كجم.

سوف تسرد القواميس معاني متعددة. يشير أحدهما ، المستخدم على متن المراكب الشراعية ، إلى شريط خفيف أو خيوط مربوطة بكفن (سلك يحمل الصاري) أو شراع ، للإشارة إلى اتجاه الريح.


1.1E: تمارين للناقلات في المستوى - الرياضيات

بالنسبة للمسائل من 1 إلى 3 ، اكتب معادلة المستوى.

  1. المستوى الذي يحتوي على النقاط ( left (<4، - 3،1> right) )، ( left (<- 3، - 1،1> right) ) و ( left (< 4 ، - 2،8> يمين) ). حل
  2. المستوى الذي يحتوي على النقطة ( left (<3،0، - 4> right) ) ومتعامد مع الخط المعطى بواسطة ( vec r left (t right) = left langle <12 - ر ، 1 + 8 طن ، 4 + 6 طن> يمين rangle ). حل
  3. المستوى الذي يحتوي على النقطة ( left (<- 8،3،7> right) ) وبالتوازي مع المستوى المعطى بواسطة (4x + 8y - 2z = 45 ). حل

بالنسبة للمسألتين 4 و 5 ، حدد ما إذا كان المستويان متوازيان أم متعامدان أم لا.

  1. المستوى المعطى بواسطة (4x - 9y - z = 2 ) والمستوى المعطى بواسطة (x + 2y - 14z = - 6 ). حل
  2. المستوى المعطى بواسطة (- 3x + 2y + 7z = 9 ) والمستوى الذي يحتوي على النقاط ( left (<- 2،6،1> right) ) ، ( left (<- 2 ، 5،0> right) ) و ( left (<- 1،4، - 3> right) ). حل

بالنسبة للمسألتين 6 و 7 ، حدد مكان تقاطع الخط مع المستوى أو أظهر أنه لا يتقاطع مع المستوى.


نواقل سلبية

تعكس الإشارة السالبة اتجاه المتجه.

متجه سالب ومتجه أحادي (موضع)

يحدد المتجه السالب ويوضح سبب تساوي المتجه ba مع المتجه -ab. يحدد متجه الموقع ويوضح أن المتجه الذي يبدأ من الأصل يمكن التعبير عنه من حيث نقطة نهايته فقط ، أي متجه حرف واحد.

ناقل سلبي
خذ بعين الاعتبار الرحلة من أ إلى ب متبوعة برحلة العودة من ب إلى أ. من حيث المتجهات ، تتم كتابة هذا كـ ab + ba. بشكل عام ، لقد عدنا إلى حيث بدأنا ولم نذهب فعليًا إلى أي مكان. نسمي هذا المتجه O ونتعامل معه مثل الرقم 0.

نواقل سلبية
المتجهات المعاكسة في الاتجاه وبنفس الحجم

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


تمثيل رسومي للناقلات

يتم رسم المتجهات كسهم. السهم له مقدار (طوله) واتجاه (الاتجاه الذي يشير إليه). تُعرف نقطة البداية للمتجه باسم ذيل ونقطة النهاية تعرف باسم رأس.

الشكل 20.1: أمثلة على النواقل

الشكل 20.2: أجزاء من ناقل

الاتجاهات (ESAGL)

هناك العديد من الطرق المقبولة لكتابة المتجهات. طالما أن المتجه له مقدار واتجاه ، فمن المرجح أنه مقبول. تأتي هذه الطرق المختلفة من طرق مختلفة لتمثيل اتجاه المتجه.

الاتجاهات النسبية

إن أبسط طريقة لإظهار الاتجاه هي الاتجاهات النسبية: إلى اليسار ، إلى اليمين ، للأمام ، للخلف ، لأعلى ولأسفل.

اتجاهات البوصلة

طريقة أخرى شائعة للتعبير عن الاتجاهات هي استخدام نقاط البوصلة: الشمال والجنوب والشرق والغرب. إذا كان المتجه لا يشير بالضبط في أحد اتجاهات البوصلة ، فإننا نستخدم زاوية. على سبيل المثال ، يمكن أن يكون لدينا متجه يشير ( text <40> ) ( text <& # 176> ) شمال الغرب. ابدأ بالمتجه الذي يشير على طول الاتجاه الغربي (انظر إلى السهم المتقطع أدناه) ، ثم قم بتدوير المتجه باتجاه الشمال حتى تكون هناك زاوية ( text <40> ) ( text <& # 176> ) بين المتجه واتجاه الغرب (السهم المصمت أدناه). يمكن أيضًا وصف اتجاه هذا المتجه على النحو التالي: W ( text <40> ) ( text <& # 176> ) N (West ( text <40> ) ( text <& # 176> ) شمال) أو N ( text <50> ) ( text <& # 176> ) W (شمال ( text <50> ) ( text <& # 176> ) غرب).

تحمل

هناك طريقة أخرى للتعبير عن الاتجاه وهي استخدام أ تحمل. الاتجاه هو اتجاه بالنسبة لنقطة ثابتة. بالنظر إلى الزاوية فقط ، فإن الاتفاقية هي تحديد الزاوية في اتجاه عقارب الساعة بالنسبة إلى الشمال. لذلك ، تم تدوير المتجه باتجاه ( text <110> ) ( text <& # 176> ) في اتجاه عقارب الساعة ( text <110> ) ( text <& # 176> ) نسبة إلى الشمال. يُكتب المحمل دائمًا على هيئة عدد مكون من ثلاثة أرقام ، على سبيل المثال ( text <275> ) ( text <& # 176> ) أو ( text <080> ) ( text <& # 176> ) (لـ ( text <80> ) ( text <& # 176> )).


تمرين 3.1.14. بالنظر إلى متجهين وداخل ، أظهر أن اختلافهما متعامد مع مجموعهما إذا وفقط إذا كان أطوالهما متماثلًا. الجواب: نفترض أولاً أن هذا متعامد مع. هذا يعني أن hellip & hellip يواصل القراءة & rarr

تمرين 3.1.13. قدم صورة توضح الإجراء في إرسال مساحة العمود إلى مساحة الصف والمسافة الخالية اليسرى إلى الصفر. الإجابة: سأترك هذه المشاركة كعنصر نائب حتى يتوفر لدي الوقت لتوضيح ذلك. & hellip مواصلة القراءة & rarr


حساب التفاضل والتكامل

كتاب مدرسي شامل يغطي موضوعات ما قبل الحساب. تشمل الموضوعات المحددة التي يتم تناولها علم المثلثات والأرقام المركبة والمتجهات والمصفوفات. يتضمن العديد من المشاكل من مسابقات AIME و USAMO.

ملخص

حساب التفاضل والتكامل هو جزء من منهج فن حل المشكلات المشهود له والمصمم لتحدي طلاب المدارس المتوسطة والثانوية ذوي الأداء العالي. حساب التفاضل والتكامل يغطي علم المثلثات والأعداد المركبة والمتجهات والمصفوفات. يتضمن ما يقرب من 1000 مشكلة ، تتراوح من التمارين الروتينية إلى المشكلات الصعبة للغاية المستمدة من مسابقات الرياضيات الرئيسية مثل امتحان الرياضيات الدعوي الأمريكي والأولمبياد الرياضي الأمريكي. ما يقرب من نصف المشاكل لها حلول كاملة ومفصلة في النص ، والبقية لها حلول كاملة في دليل الحلول المصاحب.

كما هو الحال مع جميع الكتب في سلسلة المقدمة والمتوسط ​​لفن حل المشكلات ، حساب التفاضل والتكامل مصمم لإلهام القارئ لاستكشاف أفكار جديدة وتطويرها. يبدأ كل قسم بالمشكلات ، بحيث يكون للطالب فرصة لحلها دون مساعدة قبل المتابعة. ثم يتضمن النص حلولًا لهذه المشكلات ، يتم من خلالها تدريس تقنيات جديدة. يتم إبراز الحقائق المهمة وأساليب حل المشكلات القوية في النص.


1.1E: تمارين للناقلات في المستوى - الرياضيات

من الواضح أن وجهة النظر الهندسية هذه مفيدة عندما نريد نمذجة الحركة أو التغييرات في شكل كائن يتحرك في المستوى أو في 3 فضاء. ومع ذلك ، فهي مفيدة في الأبعاد الأعلى أيضًا. إن فكرة أن أي مصفوفة يمكن اعتبارها نتاج مصفوفات أبسط تتوافق مع الإصدارات ذات الأبعاد الأعلى من الدوران والانعكاس والإسقاط والقص والتمدد والانكماش لها أهمية كبيرة لكل من علماء الرياضيات البحتين والتطبيقيين.

تأخذ الخرائط الخطية متوازي الأضلاع إلى متوازي الأضلاع

التمرين 1: بشكل عام ، يمكن وصف متوازي الأضلاع في المستوى باستخدام المتجهات. جمع كل نقاط النموذج

(أين ص ش و الخامس هي ناقلات و أ و ب متوازى الأضلاع برؤوس عند النقاط ص, p + u ، p + u + v، و ص + ت. تجد ص, ش و الخامس متوازي الأضلاع ص ذات الرؤوس عند (1،2) ، (3،3) ، (4،4) ، (2،3) - لاحظ أن هناك أربع طرق للقيام بذلك. إذا تي هو تحويل خطي محدد بواسطة تي (x) = أx، حيث A هي مصفوفة 2 × 2 ، ثم بيّن أن الصورة تي (ف) هو أيضًا متوازي أضلاع من خلال إيجاد وصف المتجه. بيّن أن رءوس متوازي الأضلاع المحول تم العثور عليها بتحويل رؤوس متوازي الأضلاع الأصلي ص.

أرقام الرسوم البيانية في MATLAB

استخدام شائع لـ قطعة هو أخذ قائمة بنقاط البيانات ورسمها بيانيًا ، وربطها بأجزاء مستقيمة. على سبيل المثال ، أزواج كل رقم في القائمة الأولى مع الرقم المقابل في القائمة الثانية للحصول على نقاط البيانات (1،2) و (3،3) و (4،4) و (2،3) و (1) ، 2) مرة أخرى. سوف ينتج عن الأمر أعلاه رسم بياني لمتوازي الأضلاع ص بهذه النقاط كرؤوس. يمكننا ضبط المحاور بحيث لا يملأ متوازي الأضلاع نافذة الرسم بالكامل بأمر مثل والأمر أدناه يجبر MATLAB على استخدام نفس المقياس على المحاور الرأسية والأفقية. ضع في اعتبارك الخريطة الخطية المحددة بواسطة (ش ، ت) = (س - ص ، س + ص). بعد ذلك ، نريد عمل مخطط يحتوي على نسخة واحدة من الطائرة باستخدام المعتاد x و ذ تنسيق ونسخة أخرى من المستوى حيث سنسمي الإحداثي الأفقي ش والإحداثيات الرأسية الخامس. في ال س ص- مستوي سنرسم متوازي الأضلاع ص وفي الأشعة فوق البنفسجية- الطائرة سنرسم تحولها تحت الخريطة الخطية المحددة.
أمر MATLAB حبكة فرعية يتيح لنا إنشاء ملف م × ن مجموعة من المؤامرات كلها في نفس النافذة. في هذه الحالة ، سنقوم بعمل قطعتين جنبًا إلى جنب. أولاً نقوم بحساب نقاط الرأس لمتوازي الأضلاع المحول: بعد ذلك نقوم ببناء المؤامرات: نظرًا لأننا نريد مجموعة من المؤامرات مع صف واحد وعمودين ، نبدأ بـ حبكة فرعية (1،2.). عندما نكون مستعدين لإعطاء تفاصيل الحبكة الأولى التي نستخدمها حبكة فرعية (1،2،1) وللحبكة الثانية التي نستخدمها حبكة فرعية (1،2،2). In the first plot the horizontal axis is labeled x, the vertical axis is labeled ذ and the whole plot is in a window where x runs from -8 to 8 and so does ذ. There are further details to specify but we are out of room on this line. The three dots at the end allow us to continue the command on the next line. We force MATLAB to use the same scale on the vertical and horizontal axes and we give the plot a descriptive title. The second plot is very similar.

The geometric effect of the transformation (u,v) = (x + y, x - y) is clearer if we look at how the unit square transforms. It also helps to look at what happens when we apply the same transformation repeatedly. To make this easier we will use matrices. We begin as before by setting up a vectors x و ذ that correspond to the vertices of the unit square: Now instead of simply working with x and y as we did above, it is easier in the long run if we make a matrix S whose columns contain the vertices of the square. In other words, our vector x will be the first row of S and the vector y will be the second row: Since the vertices of the square are now listed as the columns of the matrix S, we can easily transform them. We just define the coefficient matrix for our transformation, in this case: and then multiply: We can then transform further if we wish:

Transforming a Disk

NOTE: Be sure to use the plotting optionaxis equal in the exercises below. This ensures that your disks will be round, not elliptical. Typically, the transformed disk will be elliptical and you want to get a true picture of how the disk changed under the linear transformation.

Exercise 2: يترك س be the unit square and let تي be the transformation T(x,y) = (x - y, x + y) as discussed in the examples above. قطعة S, T(S), T(T(S))، و T(T(T(S))) together on the same coordinate axes. Label each figure and summarize your results - that is, explain the geometric effect of the transformation تي as clearly as you can.

Exercise 3: Consider the linear transformation defined by T(x,y) = (0.8x, 1.4y). What is the geometric effect of this transformation? Plot the disk D together with its transform T(D). Also include the figure you get by applying T to D five times. Label each of the three figures by hand or using the menu bars in your MATLAB plot window to add text to your plot. Again, be sure to use the axis equal option so that disks look like disks, not ellipses. What will the limit figure look like if we continue transforming by T forever?

  • Plot the unit disk د together with its transform T(D). Label each figure.
  • قطعة د معا مع T(T(D)) and label each figure.
  • قطعة د معا مع T(T(T(D))) and label each figure.
  • What will the limit figure look like if we continue to transform?
  • Find a single matrix for this combined transformation and use it to plot the disk د together with its transform. (This transform will be an ellipse.)
  • Find a unit vector ش على د that maps to the semimajor axis of the ellipse. What is the length of the semimajor axis? What angle does it make with the standard coordinate vector e1؟ You may find it useful to add a grid to your plot. You can do this by typing grid on in the MATLAB command window (just as you used commands like axis equal to adjust the plot).
  • Find a unit vector الخامس على د that maps to the semiminor axis of the ellipse. What is the length of the semiminor axis? What angle does it make with the standard coordinate vector e2?
  • For the ellipse T(D) in exercise 4, find a vector ش in the first quadrant that forms the semimajor axis of the ellipse. Find its length and draw it in by hand on a plot of د معا مع T(D). You may find it helpful to put a grid onto your plot of D and T(D). This can be done by typing grid on in the MATLAB command window.
  • Similarly, find a vector الخامس in the fourth quadrant that forms the semiminor axis of the ellipse and compute its length.
  • Find vectors in the original disk that map to the vectors ش و الخامس that lie along the elliptical axes.
  • Decompose the transformation (x,y) -> (2x+y,x+y) from exercise 4 into a sequence of rotations and stretchings similar to those in exercise 5.

Exercise 8: Consider the basic shearing transformation (x,y) -> (x + y, y). As we discussed in class, this is a shear parallel to the horizontal axis. What happens if we consider the following sequence of transformations? If we first rotate by 45 degrees the horizontal axis moves into the line y = x. Then apply the shear (x,y) -> (x+y,y). Finally, rotate in the opposite direction by 45 degrees. What is the combined geometric effect and what is the matrix of the resulting transformation?

Exercise 9: A translation is a particularly simple kind of transformation -- for example, a map of the form (x,y) -> (x + 2, y -3) takes any figure and slides it right by 2 and down by 3. This is not a linear transformation since it cannot be expressed as a matrix أ times the vector (x,y). We can use a simple trick called homogeneous coordinates to get around this difficulty if we want to combine translations with rotations or other linear transformations. We simply use (x,y,1) instead of (x,y) to talk about points in the plane. With this change of coordinate system, the translation above becomes (x,y,1) maps to (x + 2, y + 3, 1) and this we can describe this using matrix multiplication:
Rotation through an angle t can easily be translated into these coordinates as well: Multiplying these 3 x 3 matrices corresponds to composing these transformations on the plane. Find the matrix for reflection across the line y = x followed by translation by the vector (3,4).


8.5 Component and Projection

Since cos() is between 𕒵 and 1, compالخامسش is a scalar between −|ش| و |ش|. In fact, it is easy to calculate that compالخامسش = |ش| exactly when ش is in the direction of الخامس and compالخامسش = −|ش| exactly when ش is in the direction opposite that of الخامس.

Projection of ش على الخامس

As you might guess from the note above concerning the value of compالخامسش متي ش يوازي الخامس, it turns out that projالخامسش = ش exactly when ش و الخامس are parallel.

In this problem you are given two non-zero vectors and asked to find both compالخامسش and projالخامسش.

Finding Component and Projection

Note to Reviewers

We include a sample set of questions to be included in the Student Guide. These are based on the exercises in the applets and the content of each section. They are intended to be used for homework assignments and for the student to work on paper.


Combining (Rotation) Matrices

We have learned in the previous chapter that multiplying matrices together combines their transformations. Now that we know how to rotate points around individual axis, it is possible to multiply Rx, Ry, Rz together (using every possible combinations) to create more complex rotations. If for instance you want to rotate a point around the x-axis, and then the y-axis, we can create two matrices using the matrices Rx and Ry and combine them using matrix multiplication (Rx*Ry) to create a Rxy matrix encoding the two individual rotations:

Note that the order of rotation is important and makes a difference. If you rotate a point around the x-axis first and then the y-axis second, you will end up (in most cases) with a result which is different from a rotation around the y-axis then around the x-axis. In most 3D packages such as Maya, 3DSMax, Softimage, Houdini, etc. it is possible to specify the order in which the rotations takes place. For instance the order can be xyz, . (see in Maya the list of possible options).