مقالات

6.2: حل المعادلات غير الخطية


نبدأ بتقديم خاصية سيتم استخدامها على نطاق واسع في هذا القسم والأقسام المستقبلية.

خاصية المنتج الصفري

إذا كان حاصل ضرب عددين أو أكثر يساوي صفرًا ، فيجب أن يساوي أحدهما على الأقل صفرًا. هذا هو ، إذا

(أب = 0 )

ومن بعد

(أ = 0 ) أو (ب = 0 )

دعونا نستخدم ال خاصية المنتج الصفري لحل بعض المعادلات.

مثال ( PageIndex {1} )

حل من أجل (x ): ((x + 3) (x-5) = 0 )

حل

حاصل ضرب عاملين يساوي صفرًا.

[(x + 3) (x-5) = 0 nonumber ]

ومن ثم ، يجب أن يساوي عامل واحد على الأقل صفرًا. باستخدام خاصية حاصل الضرب الصفري ، اضبط كل عامل على صفر ، ثم حل المعادلات الناتجة لـ (x ).

[ start {align} x + 3 & = 0 x & = - 3 end {align} nonumber ]

أو

[ start {align} x-5 & = 0 x & = 5 end {align} nonumber ]

ومن ثم ، فإن الحلول هي (س = −3 ) و (س = 5 )

الشيك:

تأكد من أن كل حل يلبي المعادلة الأصلية.

استبدل (- 3 ) بـ (x ):

[ start {align} (x + 3) (x-5) & = 0 (- 3 + 3) (- 3-5) & = 0 (0) (- 8) & = 0 0 & = 0 نهاية {محاذاة} غير رقم ]

استبدل (5 ) بـ (x ):

[ start {align} (x + 3) (x-5) & = 0 (5 + 3) (5-5) & = 0 (8) (0) & = 0 0 & = 0 نهاية {محاذاة} غير رقم ]

نظرًا لأن كل فحص ينتج بيانًا صحيحًا ، فإن كلا من (x = −3 ) و (x = 5 ) هما حلان ((x + 3) (x − 5) = 0 )

تمرين ( PageIndex {1} )

حل من أجل x: ((x-7) (x-2) = 0 )

إجابه

(7), (2)

تعمل خاصية المنتج الصفري أيضًا بشكل جيد في حالة وجود أكثر من عاملين. على سبيل المثال ، إذا (abc = 0 ) ، إذن إما (أ = 0 ) أو (ب = 0 ) أو (ج = 0 ). دعنا نستخدم هذه الفكرة في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {2} )

حل من أجل (x ): (x (2x + 9) (3x − 5) = 0 )

حل

حاصل ضرب ثلاثة عوامل يساوي صفرًا.

[x (2x + 9) (3x − 5) = 0 nonumber ]

باستخدام خاصية حاصل الضرب الصفري ، اضبط كل عامل على الصفر ، ثم حل المعادلات الناتجة لـ (x ).

[س = 0 بلا رقم ]

أو

[ begin {align *} 2x + 9 & = 0 2x & = -9 x & = - dfrac {9} {2} end {align *} nonumber ]

أو

[ begin {align *} 3x - 5 & = 0 3x & = 5 x & = dfrac {5} {3} end {align *} nonumber ]

ومن ثم ، فإن الحلول هي (س = 0 ) ، (س = −9/2 ) ، و (س = 5/3 ). نحن نشجع القارئ على التحقق من الحل.

تمرين ( PageIndex {2} )

حل من أجل (x ): (6x (x + 4) (5x + 1) = 0 )

إجابه

(0), (−4), (−1/5)

الخطي مقابل غير الخطي

كل المعادلات التي تم حلها في الفصول السابقة كانت أمثلة لما يسمى المعادلات الخطية. إذا كانت أعلى قوة للمتغير الذي نحل من أجله تساوي واحدًا ، فإن الرسوم البيانية المعنية هي خطوط. ومن هنا مصطلح المعادلة الخطية. ومع ذلك ، إذا كانت القوة على المتغير الذي نحله تتجاوز واحدًا ، فإن الرسوم البيانية المعنية هي منحنيات. ومن هنا جاء مصطلح المعادلة غير الخطية. في هذا الفصل سوف نتعلم كيفية حل المعادلات غير الخطية التي تتضمن كثيرات الحدود. ومع ذلك ، فلنتأكد أولاً من أنه يمكننا التعرف على الفرق بين المعادلة الخطية وغير الخطية.

التعريف: المعادلات الخطية مقابل غير الخطية

استخدم الشروط التالية لتحديد ما إذا كانت المعادلة خطية أم غير خطية.

  1. إذا كانت أعلى قوة للمتغير الذي نحل من أجله هي واحد ، فإن المعادلة هي خطي.
  2. إذا كانت أعلى قوة للمتغير الذي نحل من أجله أكبر من واحد ، فإن المعادلة تكون غير خطي.

مثال ( PageIndex {3} )

إذا كانت التعليمات "حل من أجل (س )" ، صنف كل من المعادلات التالية على أنها خطية أو غير خطية.

  1. (3 س − 5 = 4-7 س )
  2. (س ^ 2 = 8 س )

حل

نظرًا لأن التعليمات هي "حل من أجل (س )" لتحديد ما إذا كانت المعادلة خطية أم غير خطية ، فإننا نحدد أكبر قوة لـ (س ) موجودة في المعادلة.

  1. أعلى قوة لـ (x ) الموجودة في المعادلة (3x− 5 = 4− 7x ) هي واحد. ومن ثم ، فإن هذه المعادلة خطية.
  2. تحتوي المعادلة (x ^ 2 = 8 x ) على قوة (x ) أعلى من واحدة (تحتوي على (x ^ 2 )). ومن ثم ، فإن هذه المعادلة غير خطية.

تمرين ( PageIndex {3} )

صنف المعادلة التالية على أنها خطية أو غير خطية: (2x = x ^ 3 −4 )

إجابه

غير خطي

الآن بعد أن أصبح بإمكاننا تصنيف المعادلات على أنها إما خطي أو غير خطي، فلنقدم إستراتيجيات لحل كل نوع ، يجب أن يكون أولها مألوفًا بالفعل.

استراتيجية لحل معادلة خطية

إذا كانت المعادلة خطي، ابدأ عملية الحل بنقل جميع المصطلحات التي تحتوي على المتغير الذي تحل من أجله إلى جانب واحد من المعادلة ، ثم انقل جميع المصطلحات التي لا تحتوي على المتغير الذي تحل من أجله إلى الجانب الآخر من المعادلة.

مثال ( PageIndex {4} )

حل من أجل (x ): (3 x − 5 = 4−7x )

حل

نظرًا لأن التعليمات هي "حل من أجل (س )" ونلاحظ أن أكبر قوة في (س ) الحالية هي واحد ، فإن المعادلة (3 س − 5 = 4−7 س ) خطية. ومن ثم ، فإن الاستراتيجية هي نقل جميع المصطلحات التي تحتوي على (س ) إلى جانب واحد من المعادلة ، ثم نقل جميع المصطلحات المتبقية إلى الجانب الآخر من المعادلة.

[ start {array} {rlrl} {3 x-5} & {= 4-7 x} & { color {Red} text {Original equation. }} {3 x-5 + 7 x} & {= 4} & { color {Red} text {Add} 7 x text {إلى كلا الجانبين. }} {3 x + 7 x} & {= 4 + 5} & { color {Red} text {Add} 5 text {إلى كلا الجانبين. }} نهاية {مجموعة} غير رقم ]

لاحظ كيف نجحنا في نقل جميع المصطلحات التي تحتوي على (س ) إلى جانب واحد من المعادلة وجميع المصطلحات التي لا تحتوي على (س ) إلى الجانب الآخر من المعادلة.

[ start {array} {rlrl} {10 x} & {= 9} & {} & { color {Red} text {تبسيط كلا الجانبين. }} {x} & {= dfrac {9} {10}} & {} & { color {Red} text {قسمة كلا الجانبين على} 10.} end {array} nonumber ]

ومن ثم ، فإن حل (3x − 5 = 4−7x ) هو (x = 9/10 ). القراء مدعوون للتحقق من هذا الحل.

تمرين ( PageIndex {4} )

أضف نص التمارين هنا.

إجابه

(1/4)

يختلف الوضع كثيرًا عندما تكون المعادلة غير خطية.

استراتيجية لحل المعادلة غير الخطية

إذا كانت المعادلة غير خطي، أولاً انقل كل شيء إلى جانب واحد من المعادلة ، مما يجعل أحد طرفي المعادلة يساوي صفرًا. استمر في عملية الحل عن طريق تحليل الصفر وتطبيقه خاصية المنتج.

مثال ( PageIndex {5} )

حل من أجل (x ): (x ^ 2 = 8x )

حل

نظرًا لأن التعليمات هي "حل من أجل (س )" ، وأعلى قوة لـ (س ) أكبر من واحد ، فإن المعادلة (س ^ 2 = 8 س ) غير خطية. ومن ثم ، تتطلب الإستراتيجية أن ننقل جميع الشروط إلى جانب واحد من المعادلة ، مما يجعل جانبًا واحدًا صفراً.

[ start {array} {rlrl} {x ^ {2}} & {= 8 x} quad { color {Red} text {Original equation. }} {x ^ {2} -8 x} & {= 0} quad { color {Red} text {Subtract} 8 x text {من كلا الجانبين. }} نهاية {مجموعة} غير رقم ]

لاحظ كيف نجحنا في نقل جميع الحدود إلى أحد طرفي المعادلة ، مما يجعل أحد الطرفين يساوي صفرًا. لإنهاء الحل ، نخرج العامل ( mathrm {GCF} ) في الجانب الأيسر.

[x (x-8) = 0 quad color {Red} text {Factor out the GCF.} nonumber ]

لاحظ أن لدينا الآن حاصل ضرب عاملين يساوي صفرًا. بخاصية المنتج الصفري ، إما أن العامل الأول هو صفر أو العامل الثاني هو صفر.

[ start {array} {r} {x = 0 quad text {or} quad x-8 = 0} {x = 8} end {array} nonumber ]

ومن ثم ، فإن الحلول هي (س = 0 ) و (س = 8 ).

الشيك:

تأكد من أن كل حل يلبي المعادلة الأصلية.

[ start {array} {l} { text {Substitute} 0 text {for} x:} { qquad begin {align} x ^ {2} & = 8 x (0) ^ {2} & = 8 (0) 0 & = 0 end {align}} end {array} nonumber ]

[ start {array} {l} { text {Subtitute} 8 text {for} x:} { qquad begin {align} x ^ {2} & = 8 x (8) ^ {2} & = 8 (8) 64 & = 64 end {align}} end {array} nonumber ]

لاحظ أن كلا النتيجتين عبارة عن عبارات صحيحة ، مما يضمن أن كلا من (x = 0 ) و (x = 8 ) هما حلان لـ (x ^ 2 = 8x )

تمرين ( PageIndex {5} )

حل من أجل (x ): (x ^ 2 = −5x )

إجابه

(0), (-5)

تحذير!

ما يلي غير صحيح!

ضع في اعتبارك ما سيحدث إذا قسمنا طرفي المعادلة (x ^ 2 = 8x ) في المثال ( PageIndex {5} ) على (x ):

[ begin {align} x ^ {2} & = 8 x dfrac {x ^ {2}} {x} & = dfrac {8 x} {x} x & = 8 end { محاذاة} رقم ]

لاحظ أننا فقدنا الإجابة الثانية الموجودة في المثال ( PageIndex {5} ) ، (س = 0 ). يوضح هذا المثال أنه لا يجب عليك أبدًا القسمة على المتغير الذي تحل من أجله! إذا قمت بذلك ، وحدث الإلغاء ، ستفقد الإجابات.

دعونا نحاول حل المعادلة غير الخطية التي تتطلب التحليل عن طريق التجميع.

مثال ( PageIndex {6} )

حل من أجل (x ): (6x ^ 2 + 9x − 8x − 12 = 0 )

حل

نظرًا لأننا نحل من أجل (س ) وهناك قوة (س ) أكبر من واحد ، فإن هذه المعادلة غير خطية. ومن ثم ، فإن الخطوة الأولى هي نقل كل شيء إلى جانب واحد من المعادلة ، مما يجعل أحد الطرفين يساوي صفرًا. حسنًا ، لقد تم ذلك بالفعل ، فلنعمل على تحليل الجانب الأيسر من خلال التجميع. لاحظ أنه يمكننا تحليل (3x ) من المصطلحين الأولين و (- 4 ) من المصطلحين الآخرين.

أخرج العامل المشترك (2x + 3 ).

[(3x-4) { color {Red} (2x + 3)} = 0 nonumber ]

لدينا الآن حاصل ضرب عاملين يساوي صفرًا. استخدم خاصية المنتج الصفري لكتابة:

[ begin {align} 3x-4 & = 0 3x & = 4 x & = dfrac {4} {3} end {align} nonumber ]

أو

[ begin {align} 2x + 3 & = 0 2x & = -3 x & = - dfrac {3} {2} end {align} ]

ومن ثم ، فإن الحلول هي (س = 4/3 ) و (س = −3 / 2 ).

الشيك:

دعنا نستخدم حاسبة الرسوم البيانية لفحص الحل (س = 4/3 ). أولاً ، قم بتخزين الحل (4/3 ) في المتغير ( mathbb {X} ) باستخدام ضغطات المفاتيح التالية (انظر الصورة الأولى في الشكل ( PageIndex {1} ).

لذلك ، فإن الحل (x = 4/3 ) يتحقق. يتم تشجيع القراء على استخدام حاسبات الرسوم البيانية الخاصة بهم للتحقق من الحل الثاني ، (x = −3/2 ).

تمرين ( PageIndex {6} )

حل من أجل (x ): (5x ^ 2 −20x − 4x + 16 = 0 )

إجابه

(4/5), (4)

استخدام حاسبة الرسوم البيانية

سنستخدم في هذا القسم عمليتين مختلفتين للحاسبة لإيجاد حل للمعادلة غير الخطية. قبل اختيار الآلة الحاسبة ، دعنا أولاً نستخدم طريقة جبرية لحل المعادلة (x ^ 2 = −5x ). المعادلة غير خطية ، لذا فإن الخطوة الأولى هي تحريك كل شيء إلى جانب واحد من المعادلة ، مما يجعل أحد الطرفين يساوي صفرًا.

[ begin {align} x ^ {2} & = -5x quad color {Red} text {Nonlinear. اصنع ضلعًا واحدًا صفرًا. } x ^ {2} +5 x & = 0 quad color {Red} text {Add} 5x text {إلى كلا الجانبين. } x (x + 5) & = 0 quad color {Red} text {أخرج العامل المشترك الأكبر. } نهاية {محاذاة} غير رقم ]

استخدم خاصية المنتج الصفري ، واضبط كل عامل على الصفر ، ثم حل المعادلات الناتجة لـ (س ).

[س = 0 بلا رقم ]

أو

[ start {align} x + 5 & = 0 x & = - 5 end {align} nonumber ]

ومن ثم ، فإن الحلول هي (س = 0 ) و (س = −5 ).

سنستخدم الآن الآلة الحاسبة لإيجاد حلول ​​(x ^ 2 = −5x ). الأسلوب الأول يستخدم 5: تقاطع الروتينية على الآلة الحاسبة CALC قائمة.

مثال ( PageIndex {7} )

استخدم ال 5: تقاطع الأداة المساعدة في حاسبة الرسوم البيانية لحل المعادلة (x ^ 2 = −5x ) لـ (x ).

حل

قم بتحميل الجانب الأيسر من (x ^ 2 = −5x ) في ( mathbb {Y1} ) والجانب الأيمن في ( mathbb {Y2} ) (انظر الشكل ( PageIndex {2} )). التحديد 6: قياسي Z من تكبير تعرض القائمة الرسوم البيانية الموضحة في الصورة على اليمين في الشكل ( PageIndex {2} ).

لاحظ أن الرسم البياني لـ (y = x ^ 2 ) هو قطع مكافئ يفتح لأعلى ، مع نقطة تحول في الأصل. يوضح هذا الرسم البياني سبب تسمية المعادلة (x ^ 2 = −5x ) بمعادلة غير خطية (ليست كل الرسوم البيانية المعنية خطوطًا). بعد ذلك ، يمثل الرسم البياني (y = −5x ) خطًا به ميل (- 5 ) و (y ) - يقطع عند الأصل.

من الواضح أن الرسمين البيانيين يتقاطعان عند الأصل ، ولكن يبدو أيضًا أنه قد تكون هناك نقطة تقاطع أخرى خارج الشاشة. دعونا نزيد ( mathbb {Ymax} ) في محاولة للكشف عن نقطة التقاطع الثانية. بعد إجراء بعض التجارب ، تكشف الإعدادات الموضحة في الصورة الأولى في الشكل ( PageIndex {3} ) نقطتي التقاطع. دفع رسم بياني يظهر الزر الصورة على اليمين في الشكل ( PageIndex {3} ).

لإيجاد حلول المعادلة (x ^ 2 = −5x ) ، يجب أن نجد إحداثيات النقاط التي تتقاطع فيها الرسوم البيانية لـ (y = x ^ 2 ) و (y = −5x ). سيكون إحداثي (x ) - لكل نقطة تقاطع هو حل المعادلة (x ^ 2 = −5x ).

  • ابدأ بالاختيار 5: تقاطع من CALC قائمة. عندما يُطلب منك "المنحنى الأول؟" ، اضغط على أدخل. عندما يُطلب منك "المنحنى الثاني؟" ، اضغط على أدخل. عندما يُطلب منك "تخمين" ، اضغط على أدخل. والنتيجة هي النقطة ((0،0) ) الموضحة في الصورة على اليسار في الشكل ( PageIndex {4} ).
  • كرر العملية مرة ثانية. يختار 5: تقاطع من CALC قائمة. عند مطالبتك بـ "تخمين" ، استخدم مفتاح السهم الأيسر لتحريك المؤشر بالقرب من نقطة التقاطع الموجودة في أقصى اليسار ، ثم اضغط على أدخل. والنتيجة هي النقطة ((- 5،25) ) الموضحة في الصورة على اليمين في الشكل ( PageIndex {4} ).

الإبلاغ عن الحل في واجبك المنزلي:

قم بتكرار الصورة في نافذة عرض الآلة الحاسبة في صفحة الواجب المنزلي. استخدم المسطرة لرسم كل الخطوط ، لكن حرّك أي منحنيات.

  • قم بتسمية المحاور الأفقية والعمودية بـ (x ) و (y ) ، على التوالي (انظر الشكل ( PageIndex {5} )).
  • ضع الخاص بك نافذة او شباك المعلمات في نهاية كل محور (انظر الشكل ( PageIndex {5} )).
  • قم بتسمية كل رسم بياني بمعادلته (انظر الشكل ( PageIndex {5} )).
  • قم بإسقاط الخطوط العمودية المتقطعة خلال كل نقطة تقاطع. ظلل وقم بتسمية (x ) - قيم النقاط التي يتقاطع فيها الخط العمودي المتقطع مع (x ) - المحور. هذه هي حلول المعادلة (x ^ 2 = −5x ) (انظر الشكل ( PageIndex {5} )).

ومن ثم ، فإن حلول ​​(x ^ 2 = −5x ) هي (x = −5 ) و (x = 0 ). لاحظ الآن أن هذه تتطابق مع الحلول التي تم العثور عليها باستخدام التقنية الجبرية.

تمرين ( PageIndex {7} )

استخدم ال 5: تقاطع الأداة المساعدة على حاسبة الرسوم البيانية لحل المعادلة (x ^ 2 = 4x ) لـ (x ).

إجابه

قبل عرض تقنية حاسبة بيانية ثانية لحل المعادلات غير الخطية ، دعنا نتوقف لحظة لتذكر تعريف صفر للدالة ، والذي تم تقديمه لأول مرة في الفصل 5 ، القسم 3.

الأصفار و (س ) - الاعتراضات

النقاط التي يتقاطع فيها الرسم البياني (f ) مع (x ) - المحور تسمى (x ) - تقاطعات الرسم البياني (f ). تسمى قيمة (x ) - لكل تقاطع (x ) - صفر من الوظيفة (f ).

سنستخدم الآن 2: صفر فائدة من CALC القائمة للعثور على حلول المعادلة (x ^ 2 = −5x ).

مثال ( PageIndex {8} )

استخدم ال 2: صفر الأداة المساعدة في حاسبة الرسوم البيانية لحل المعادلة (x ^ 2 = −5x ) لـ (x ).

حل

أولًا ، اجعل أحد طرفي المعادلة يساوي صفرًا.

[ begin {align} x ^ {2} & = - 5 x quad color {Red} text {اجعل جانب واحد صفراً. } x ^ {2} +5 x & = 0 quad color {Red} text {Add} 5 x text {على كلا الجانبين. } نهاية {محاذاة} غير رقم ]

لتحديد قيم (x ) التي تجعل (x ^ 2 + 5x = 0 ) ، يجب علينا تحديد النقاط التي يتقاطع فيها الرسم البياني لـ (f (x) = x ^ 2 + 5x ) مع (x ) - المحور. هذه النقاط هي (x ) - تقاطعات الرسم البياني (f ) و (x ) - قيم هذه النقاط هي أصفار الوظيفة (f ).

قم بتحميل الوظيفة (f (x) = x ^ 2 +5 x ) في ( mathbb {Y1} ) ، ثم حدد 6: قياسي Z لإنتاج الصورة في الشكل ( PageIndex {6} ). لاحظ أن الرسم البياني لـ (f ) يحتوي على تقاطعين (x ) ، وأن قيم (x ) - لكل نقطة من هذه النقاط هي أصفار الوظيفة (f ).

ملحوظة

غالبًا ما يكون من الأسهل العثور على حلول معادلة غير خطية عن طريق جعل جانب واحد صفر وتحديد مكان تقاطع الرسم البياني للدالة الناتجة مع المحور (x ) -.

يختار 2: صفر من CALC القائمة (انظر الشكل ( PageIndex {7} )).

  • تجيب الآلة الحاسبة عن طريق السؤال عن "أيسر منضم؟" استخدم مفتاح السهم الأيسر لتحريك المؤشر بحيث يقع على يسار (x ) - التقاطع بالقرب من ((- 5،0) ) (انظر الصورة الثانية في الشكل ( PageIndex {7 } )) ، ثم اضغط على أدخل مفتاح.
  • تستجيب الآلة الحاسبة بالسؤال عن "صحيح؟" حرك المؤشر بحيث يكون قليلاً إلى يمين تقاطع x بالقرب من ((- 5،0) ) (انظر الصورة الثالثة الشكل ( PageIndex {7} )) ، ثم اضغط على أدخل مفتاح.
  • ترد الآلة الحاسبة بطلب "تخمين؟" لاحظ العلامتين المثلثتين بالقرب من أعلى نافذة العرض في الصورة الأولى في الشكل ( PageIndex {8} ) التي تحدد الحدود اليمنى واليسرى. طالما أنك تضع المؤشر بحيث تقع قيمة x لموقع المؤشر بين هاتين العلامتين ، فإنك تكون قد قدمت تخمينًا صحيحًا. نظرًا لأن المؤشر يقع بالفعل بين هاتين العلامتين ، فإننا نتركه في مكانه عادةً ونضغط على أدخل مفتاح.

بعد إجراء التخمين والضغط على ملف أدخل المفتاح ، تستمر الآلة الحاسبة في العثور على تقريب (x ) - التقاطع الذي يقع بين الحدين الأيسر والأيمن المحدد مسبقًا (انظر الصورة الثانية في الشكل ( PageIndex {8} ). ومن ثم ، هذا (x ) - التقاطع هو ((- 5،0) ) ، مما يجعل (- 5 ) صفرًا من (f (x) = x ^ 2 + 5x ) وحل المعادلة (س ^ 2 + 5 س = 0 ).

سنترك الأمر لقرائنا لتكرار 2: صفر عملية لإيجاد الصفر الثاني في الأصل.

الإبلاغ عن الحل في واجبك المنزلي:

قم بتكرار الصورة في نافذة عرض الآلة الحاسبة في صفحة الواجب المنزلي. استخدم المسطرة لرسم كل الخطوط ، لكن حرّك أي منحنيات.

  • قم بتسمية المحاور الأفقية والعمودية بـ (x ) و (y ) ، على التوالي (انظر الشكل ( PageIndex {9} )).
  • ضع معلمات WINDOW في نهاية كل محور (انظر الشكل ( PageIndex {9} )).
  • قم بتسمية كل رسم بياني بمعادلته (انظر الشكل ( PageIndex {9} )).
  • قم بإسقاط خطوط عمودية متقطعة خلال كل (س ) - تقاطع. ظلل وقم بتسمية (x ) - قيم كل (x ) - تقاطع. هذه هي حلول المعادلة (x ^ 2 = −5x ) (انظر الشكل ( PageIndex {9} )).

ومن ثم ، فإن حلول ​​(x ^ 2 = −5x ) هي (x = −5 ) و (x = 0 ). لاحظ كيف يتوافق هذا جيدًا مع الحلول التي تم العثور عليها باستخدام التقنية الجبرية والحلول التي تم العثور عليها باستخدام 5: تقاطع في المثال ( PageIndex {7} ).

تمرين ( PageIndex {8} )

استخدم ال 2: صفر الأداة المساعدة على حاسبة الرسوم البيانية لحل المعادلة (x ^ 2 = 4x ) لـ (x ).

إجابه


6.2: حل المعادلات غير الخطية

في هذا القسم سنلقي نظرة على أنظمة المعادلات غير الخطية. نظام المعادلات غير الخطي هو نظام يكون فيه أحد المتغيرات على الأقل له أس غير 1 و / أو يوجد ناتج متغيرات في إحدى المعادلات.

لحل هذه الأنظمة ، سنستخدم إما طريقة الاستبدال أو طريقة الحذف التي نظرنا إليها لأول مرة عندما حللنا أنظمة المعادلات الخطية. الفرق الرئيسي هو أننا قد ننتهي بالحصول على حلول معقدة بالإضافة إلى حلول حقيقية. تمامًا كما رأينا في حل أنظمة من معادلتين ، فإن الحلول الحقيقية ستمثل إحداثيات النقاط التي تتقاطع فيها الرسوم البيانية للدالتين.

في الأنظمة الخطية كان لدينا خيار استخدام أي من الطريقتين في أي نظام معين. مع الأنظمة غير الخطية لن يكون هذا هو الحال دائمًا. في المعادلة الأولى يتم تربيع كلا المتغيرين وفي المعادلة الثانية يكون كلا المتغيرين للقوة الأولى. بعبارة أخرى ، لا توجد طريقة يمكننا من خلالها استخدام الحذف هنا ولذا يجب علينا استخدام الاستبدال. لحسن الحظ ، هذا ليس سيئًا للغاية بالنسبة لهذا النظام حيث يمكننا بسهولة حل المعادلة الثانية لـ (y ) واستبدالها في المعادلة الأولى.

هذه معادلة من الدرجة الثانية يمكننا حلها.

[يبدأ + 1 - 4x + 4 & = 10\ 5 - 4x - 9 & = 0 يسار ( right) left (<5x - 9> right) & = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> x = - 1، ، ، x = frac <9> <5> نهاية]

إذن ، لدينا قيمتان لـ (x ). الآن ، نحتاج إلى تحديد قيم (y ) وعلينا توخي الحذر حتى لا نرتكب خطأ شائعًا هنا. نحدد قيم (y ) عن طريق توصيل (x ) في الاستبدال.

[x = - 1 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> y = 1 - 2 left (<- 1> right) = 3 ] [x = frac <9> <5 > hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> y = 1 - 2 left ( <5>> right) = - frac <<13>> <5> ]

الآن ، لدينا حلان فقط هنا. لا تبدأ فقط في خلط ومطابقة جميع القيم الممكنة لـ (س ) و (ص ) في الحلول. نحصل على (y = 3 ) كحل فقط إذا (x = - 1 ) وهكذا يكون الحل الأول ،

وبالمثل ، نحصل فقط على (y = - frac <<13>> <5> ) فقط إذا (x = frac <9> <5> ) وبالتالي فإن الحل الثاني هو ،

إذن ، لدينا حلان. الآن ، كما لوحظ في بداية هذا القسم ، سيمثل هذان الحلان نقاط تقاطع هذين المنحنيين. نظرًا لأن المعادلة الأولى عبارة عن دائرة والمعادلة الثانية عبارة عن خط يحتوي على نقطتي تقاطع ، فمن الممكن بالتأكيد. هنا رسم تخطيطي للمعادلتين كتحقق من ذلك.

لاحظ أنه عندما تكون المعادلتان عبارة عن خط ودائرة كما في المثال السابق ، نعلم أنه سيكون لدينا على الأكثر حلين حقيقيين لأنه من الممكن فقط أن يتقاطع الخط مع دائرة صفر أو مرة أو مرتين.

حسنًا ، في هذه الحالة لدينا القطع الزائد (المعادلة الأولى ، على الرغم من أنها ليست في الصورة القياسية) ودالة كسرية (المعادلة الثانية إذا حللنا من أجل (y )). كما هو الحال مع المثال الأول ، لا يمكننا استخدام الحذف في هذا النظام ، لذا سيتعين علينا استخدام الاستبدال.

أفضل طريقة هي حل المعادلة الثانية إما (x ) أو (y ). سيعطينا أي منهما نفس العمل إلى حد كبير ، لذا سنحل من أجل (y ) حيث من المحتمل أن يكون هذا هو المعادلة التي ستجعل المعادلة تبدو أقرب إلى تلك التي نظرنا إليها في الماضي. بمعنى آخر ، ستكون المعادلة الجديدة بدلالة (س ) وهذا هو المتغير الذي اعتدنا رؤيته في المعادلات.

الخطوة الأولى لحل هذه المعادلة هي ضرب العدد كله في × 2 لمسح القواسم.

الآن ، هذه تربيعية في الصورة ونعرف كيفية حل تلك الأنواع من المعادلات. إذا حددنا ،

ويمكن كتابة المعادلة كـ ،

[يبدأ - 2 ش - 8 & = 0 يسار ( يمين شمال( right) & = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> u = - 2، ، ، ، u = 4 end]

من حيث (س ) هذا يعني أن لدينا ما يلي ،

[يبدأ & = 4 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> x = pm ، 2 & = - 2 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> x = pm ، sqrt 2 ، ، i end]

إذن ، لدينا أربع قيم محتملة لـ (x ) واثنتان منها معقدتان. لتحديد قيم (y ) يمكننا التعويض بها في التعويض.

بالنسبة للحلول المعقدة ، لاحظ أننا تأكدنا من وجود (i ) في البسط. إذن الحلول هي ،

اثنان من الحلول حقيقيان ويمثلان بالتالي نقاط تقاطع الرسوم البيانية لهاتين المعادلتين. الحلان الآخران عبارة عن حلول معقدة وبينما لن تمثل الحلول نقاط تقاطع المنحنيات.

لأغراض مرجعية ، يوجد هنا رسم تخطيطي لمنحنين.

لاحظ أنه لا يوجد سوى نقطتي تقاطع لهذين الرسمين البيانيين كما هو مقترح في الحلين الحقيقيين. لا تمثل الحلول المعقدة أبدًا تقاطعات لمنحنين.

هذه المرة لدينا القطع الناقص والقطع الزائد. ومع ذلك ، لا أحد في الشكل القياسي.

في المثالين الأولين ، استخدمنا طريقة الاستبدال لحل النظام ويمكننا استخدامها هنا أيضًا. ومع ذلك ، دعونا نلاحظ أنه إذا أضفنا المعادلتين فقط ، فسنحذف (y ) 'من النظام لذلك سنفعل ذلك بهذه الطريقة.

هذا سهل بما يكفي لحل من أجل (س ).

لتحديد قيمة (قيم) (y ) ، يمكننا استبدالها في أي من المعادلتين. سنستخدم الأول لأنه لن يكون هناك أي علامات ناقص تدعو للقلق.

لاحظ أنه بالنسبة لهذا النظام ، على عكس الأمثلة السابقة ، أعطت كل قيمة (x ) في الواقع قيمتين محتملتين لـ (y ). هذا يعني أن هناك في الواقع أربعة حلول. هم انهم،

هذا يعني أيضًا أنه يجب أن يكون هناك أربع نقاط تقاطع للمنحنين. هنا رسم تخطيطي للتحقق.


دقة الحلول الرقمية

ومع ذلك ، فإن معظم أنظمة المعادلات غير الخطية لن يكون لها حل تحليلي مناسب ، لذا فإن استخدام SymPy على النحو الوارد أعلاه يعد رائعًا عندما يعمل ولكنه غير قابل للتطبيق بشكل عام. هذا هو السبب في أننا في نهاية المطاف نبحث عن حلول رقمية على الرغم من الحلول الرقمية: 1) ليس لدينا ضمان أننا وجدنا جميع الحلول أو الحل "الصحيح" عندما يكون هناك الكثير. 2) علينا تقديم تخمين أولي ليس سهلاً دائمًا.

بعد قبولنا أننا نريد حلولًا رقمية ، فإن شيئًا مثل fsolve سيفي عادة بكل ما تحتاجه. بالنسبة لهذا النوع من المشاكل ، من المحتمل أن يكون SymPy أبطأ بكثير ، لكن يمكنه تقديم شيء آخر وهو إيجاد الحلول (الرقمية) بدقة أكبر:


التركيب¶

للعمل من خلال دروس i ، عليك أولاً التثبيت

Jupyter من http://www.jupyter.org. يمكنك استخدام مدير حزمة النقطة: & quotpip3 install jupyter & quot

قم بتنزيل وتفريغ دروس i من هنا.

لاستخدام تصور webgui داخل jupyter تحتاجه

تتطلب بعض البرامج التعليمية حزمًا من scipy و matplotlib ، لذلك من الجيد تثبيتها أيضًا:

دروس i على Youtube¶

لقد سجلنا الجلسات التعليمية من الاجتماع الثالث لـ NGSolve Usermeeting حيث تم تقديم معظم ملفات البرنامج التعليمي هذه. يمكنك مشاهدة العروض التقديمية على قناة NGSolve Youtube.


طريقة الخطوط¶

للحصول على مقدمة ممتازة إلى منهج الخطوط ، راجع المقالة في scholarpedia.org

طريقة الخطوط ليست طريقة في الحقيقة ، إنها طريقة لكتابة وحدات PDE بطريقة يمكن حلها بواسطة الصندوق الأسود ODE المحاليل. يعد تكامل الوقت في ODEs موضوعًا ناضجًا. تتوفر المحاليل القوية والمختبرة جيدًا بسهولة على الإنترنت ومدمجة في العديد من المشاريع مفتوحة المصدر لسهولة الاستخدام. طريقة الخطوط هي طريقة للسماح لمعادلة PDE بالاستفادة من الطبيعة الناضجة لمحاليل ODE.

لدينا نظام شبه متحفظ من النموذج ، (u ^ < prime> (t) = F (u (t)) ) لاستخدام طريقة الأسطر التي نترك PDE هو الشكل شبه المنفصل مثل ذلك له مشتق زمني مستمر على lhs ، أي (u ^ < prime> (t) = frac

). في الشكل شبه المتحفظ ، فإن ما لدينا حقًا لم يعد PDE بل نظام من ODE المقترنة. علاوة على ذلك ، فإن معادلة PDE هي معادلة تفاضلية تحتوي على مصطلحات تفاضلية فيما يتعلق بأكثر من متغير واحد. في هذا الشكل شبه المقيد ، استبدلنا عامل التفاضل المكاني بمصفوفة لذلك لا يوجد سوى مشتق واحد. أصبحت المعادلة عبارة عن نظام من المعادلات المعادلة مع عدد من المعادلات يتناسب مع عدد نقاط الشبكة في تقديرنا.

من المتوقع أن يتم تضمين شروط الحدود التقديرية في (F (u (t)) ) بحيث يتم طرح المشكلة بشكل جيد.

هناك مجموعة متنوعة من أدوات حل ODE التي نهتم بها ضمني اكتب كما نعلم أن العديد من مشكلات PDE غير مستقرة بشكل واضح. تم حساب النتيجة في الشكل أدناه باستخدام طريقة ضمنية متعددة الخطوات Adams-Moulton (الخوارزمية المستخدمة هي الأكثر شيوعًا فود solver من netlib.org ، على الرغم من أننا استخدمنا بالفعل غلاف Python من scipy لإجراء الحسابات الموضحة). يمكن اعتبار هذا كطريقة معممة لطريقة ( theta ) لتشمل عددًا متعددًا من الخطوات الزمنية المستقبلية التي يتم حلها في وقت واحد مع تكرار نيوتوم. على عكس طريقة الخطوة الواحدة ، لا تُظهر الطرق متعددة الخطوات تراكم خطأ عالمي ، وبالتالي فإن تكامل الوقت هو ملف كثير تقريب أفضل للحل التحليلي. معادلة Fisher & # 8217s ليست قاسية بشكل خاص ، لذا نجح هذا النهج بشكل جيد. ومع ذلك ، بالنسبة للمعادلات الصلبة ، هناك تقنية تسمى صيغ التمايز العكسي (BDF) مستخدم. يتمتع برنامج vode solver بالقدرة على التكيف ديناميكيًا بين الوضع الصلب وغير الصلب (أي Adams-Moulton إلى BDF) وهو أحد أسباب شعبيته.

طريقة الخطوط هي تقنية قوية لحل مشاكل PDE شبه المنفردة حيث يمكن إيقاف تحميل الكثير من تفاصيل الحل العددي للمعادلة إلى حلول ناضجة وقوية. لا أمتلك الخبرة الكافية في هذه التقنية حتى الآن للإشارة إلى فشل قصير أو قصور. ولكن يبدو أنه بشرط أن يكون التقدير المكاني مستقرًا ، يمكن تجاهل تفاصيل تكامل الوقت تقريبًا!


3 ما بعد حساب Feedforward

تتمثل رؤيتنا الرئيسية في تأطير مشكلة حسابية تلقائية مثل حل نظام من المعادلات (غير الخطية عادةً). يمكّننا هذا المنظور الجديد من استخدام الحلول التكرارية ، مثل أساليب Jacobi و Gauss-Seidel غير الخطية ، لموازنة العمليات الحسابية التغذوية التقليدية وتسريعها بشكل محتمل.

3.1 يحل الحساب المغذي نظامًا مثلثًا من المعادلات غير الخطية

بالنظر إلى المدخلات u ، فإن علاقة التكرار بين الحالات s 1 ، s 2 ، ⋯ ، s T في المعادلة. (1) يمكن التعبير عنها صراحة كنظام المعادلات غير الخطية التالي

يمكننا كتابة المعادل. (5) في شكل مكافئ. (2) إذا تركنا N = T و xi ≜ si و fi (x 1، x 2، ⋯، x T) ≜ hi (ui، s 1: i - 1) - si، i = 1، ⋯، N . إحدى الخصائص الفريدة لهذه الوظائف هي أن f i (⋅) لا تعتمد على x i + 1 ، ⋯ ، x N ، وبالتالي فإن علاقة التكرار تتوافق مع a نظام ثلاثي من المعادلات غير الخطية. يمكن النظر إلى الحساب التغذوي ، كما هو محدد في القسم 2.1 ، على أنه نهج لحل نظام المعادلات غير الخطية أعلاه.

3.2 تكرار جاكوبي لعلاقات التكرار

يمكن استخدام أي محلل معادلات رقمية لحل نظام المعادلات غير الخطية في المعادلة. (5) وفي حالة التقارب ، يجب إرجاع نفس القيم مثل حساب التغذية. كمثال ، يمكننا تطبيق تكرارات جاكوبي غير الخطية للحصول على الخوارزمية 1. هنا نستخدم sk 1: T للإشارة إلى مجموعة جميع الحالات عند التكرار k ، واختيار ϵ & gt 0 كحد أدنى للتوقف المبكر عند ∥ ∥ sk 1: T - sk - 1 1: T ∥ ∥ & lt ϵ و أي.، ال فرق إلى الأمام الدول صغيرة.

على الرغم من أن طريقة تكرار جاكوبي غير الخطية ليست مضمونة للتلاقي مع الحلول الصحيحة لأنظمة المعادلات العامة (انظر القسم 2.2.1) ، فمن السهل إظهار أنها تتقارب لحل الأنظمة المثلثية. على وجه الخصوص ، لدينا

الاقتراح 1.

تتقارب الخوارزمية 1 وتنتج نفس نتيجة الحساب المغذي في معظم التكرارات المتوازية T لأي تهيئة لـ s 0 1: T إذا كانت = 0.

على نفس المنوال ، يمكننا أيضًا تطبيق تكرارات GS غير الخطية على Eq. (5). ومن المثير للاهتمام ، أن تكرارًا واحدًا لـ GS ينتج عنه نفس الخوارزمية مثل حساب التغذية.

كما تم تحليله في القسم 2 ، يمكن لتكرارات جاكوبي استغلال التوازي بشكل أفضل من GS. على وجه التحديد ، يمكن لـ Jacobi غير الخطية إكمال تكرارات T حيث يكون GS قادرًا فقط على إنهاء تكرار واحد ، عند افتراض أن 1) علاقة التكرار Eq. (1) يمكن تقييمها باستخدام نفس المقدار من الوقت لجميع t = 1 و T و T و 2) يمكن إجراء تحديثات T Jacobi بالتوازي. وبالتالي ، في ظل هذه الافتراضات ، يمكن أن تكون الخوارزمية 1 أسرع بكثير من حساب التغذية إذا كان تقارب تكرارات جاكوبي سريعًا. على الأقل في أسوأ الحالات ، تتطلب الخوارزمية 1 تكرارات T فقط نفذت بالتوازي، الذي يأخذ ملف نفس الوقت كتكرار GS واحد (أي. ، حساب feedforward).

3.3 المحاليل التكرارية الهجينة

يمكننا الجمع بين تكرارات Jacobi و GS للاستفادة من المزايا من كلتا الطريقتين. الفكرة الأساسية هي تجميع الدول في كتل وعرض المعادلة. (5) كنظام معادلات فوق هذه الكتل. يمكننا مزج Jacobi و GS من خلال تطبيق إحداهما أولاً لحل الكتل ، ثم استخدام الأخرى لحل الحالات الفردية داخل كل كتلة. اعتمادًا على الطريقة المستخدمة أولاً ، يمكننا تحديد مجموعتين مختلفتين يطلق عليهما تكرارات Jacobi-GS و GS-Jacobi على التوالي. لنفترض أننا نستخدم فاصلًا صحيحًا B = ⟦a ، b⟧ لتمثيل كتلة من المتغيرات ، ونفترض أن تكون مجموعة من الفواصل الزمنية الصحيحة أن أقسام ⟦1 ، T⟧. يمكن وصف طريقتين Jacobi-GS و GS-Jacobi في الخوارزمية 2 و 3 ، حيث s B اختصار لـ .

على وجه الخصوص ، في Jacobi-GS (الخوارزمية 2) ، يتم تحديث جميع الكتل M بالتوازي ويتم تحديث الحالات داخل كل كتلة B i بالتتابع بناءً على أحدث الحلول. في GS-Jacobi (الخوارزمية 3) ، نقوم بتحديث الكتل M بشكل تسلسلي بناءً على أحدث الحلول للكتل السابقة ويتم تحديث الحالات داخل كل كتلة B i بالتوازي.

منذ Eq. (5) نظام ثلاثي من المعادلات غير الخطية ، لدينا الملاحظة التالية.

الاقتراح 2.

يتقارب كل من Jacobi-Gauss-Seidel (الخوارزمية 2) و Gauss-Seidel-Jacobi (الخوارزمية 3) مع نفس القيم التي تم الحصول عليها عن طريق حساب التغذية لأي تهيئة إذا كانت ϵ = 0.

باختصار ، جميع حلول المعادلات العددية التي ناقشناها قد ضمنت تقاربًا لحل المعادلة. (5) ، ويمكن أن تكون بمثابة بدائل صالحة للحساب المغذي.


معطى ( boldsymbol : mathbb^n o mathbb^n) we define the Jacobian matrix (J_f) as:

Linear functions are trivial to solve, as are quadratic functions if you have the quadratic formula memorized. However, polynomials of higher degree and non-polynomial functions are much more difficult to solve. The simplest technique for solving these types of equations is to use an iterative root-finding technique.

We will try out the following techniques using the function:

Bisection Method

The bisection method is the simplest root-finding technique.

Algorithm

The algorithm for bisection is analogous to binary search:

  1. Take two points, (a) and (b) , on each side of the root such that (f(a)) and (f(b)) have opposite signs.
  2. Calculate the midpoint (c = frac<2>)
  3. Evaluate (f(c)) and use (c) to replace either (a) or (b) , keeping the signs of the endpoints opposite.

With this algorithm we successively half the length of the interval known to contain the root each time. We can repeat this process until the length of the interval is less than the tolerance to which we want to know the root.

Computational Cost

Conceptually bisection method uses 2 function evaluations at each iteration. However, at each step either one of (a) or (b) stays the same. So, at each iteration (after the first iteration), one of (f(a)) or (f(b)) was computed during the previous iteration. Therefore, bisection method requires only one new function evaluation per iteration. Depending on how costly the function is to evaluate, this can be a significant cost savings.

Convergence

Bisection method has linear convergence, with a constant of 1/2.

Drawbacks

The bisection method requires us to know a little about our function. Specifically, (f(x)) must be continuous and we must have an interval ([a, b]) such that

Then, by the intermediate value theorem, we know that there must be a root in the interval ([a,b]) .

This restriction means that the bisection method cannot solve for the root of (x^2) , as it never crosses the x-axis and becomes negative.

Example

From the graph above, we can see that (f(x)) has a root somewhere between 1 and 2. It is difficult to tell exactly what the root is, but we can use the bisection method to approximate it. Specifically, we can set (a = 1) and (b = 2) .

Iteration 1

[يبدأ f(a) &= f(1) &= 1^3 - 1 - 1 &= -1 f(b) &= f(2) &= 2^3 - 2 - 1 &= 5 f(c) &= f(1.5) &= 1.5^3 - 1.5 - 1 &= 0.875 end]

Since (f(b)) and (f(c)) are both positive, we will replace (b) with (c) and further narrow our interval.

Iteration 2

Since (f(a)) and (f(c)) are both negative, we will replace (a) with (c) and further narrow our interval.

Note that as described above, we didn't need to recalculate (f(a)) or (f(b)) as we had already calculated them during the previous iteration. Reusing these values can be a significant cost savings.

Iteration 3

[يبدأ f(a) &= f(1.25) &= -0.296875 f(b) &= f(1.5) &= 0.875 f(c) &= f(1.375) &= 1.375^3 - 1.375 - 1 = 0.224609375 end]

Since (f(b)) and (f(c)) are both positive, we will replace (b) with (c) and further narrow our interval.

Iteration (n)

When running the code for bisection method given below, the resulting approximate root determined is 1.324717957244502. With bisection, we can approximate the root to a desired tolerance (the value above is for the default tolerances).

The following Python code calls SciPy's bisect method:

Newton's Method

The Newton-Raphson Method (a.k.a. Newton's Method) uses a Taylor series approximation of the function to find an approximate solution. Specifically, it takes the first 2 terms:

[f(x_k + h) approx f(x_k) + f'(x_k)h]

Algorithm

Starting with the Taylor series above, we can find the root of this new function like so:

This value of (h) can now be used to find a value of (x) closer to the root of (f) :

Geometrically, ((x_, 0)) is the intersection of the x-axis and the tangent of the graph at ((x_k, f(x_k))) .

By repeatedly this procedure, we can get closer and closer to the actual root.

Computational Cost

With Newton's method, at each iteration we must evaluate both (f(x)) and (f'(x)) .

Convergence

Typically, Newton's Method has quadratic convergence.

Drawbacks

Although Newton's Method converges quickly, the additional cost of evaluating the derivative makes each iteration slower to compute. Many functions are not easily differentiable, so Newton's Method is not always possible. Even in cases when it is possible to evaluate the derivative, it may be quite costly.

Convergence only works well if you are already close to the root. Specifically, if started too far from the root Newton's method may not converge at all.

Example

We will need the following equations:

Iteration 1

From the graph above, we can see that the root is somewhere near (x = 1) . We will use this as our starting position, (x_0) .

Iteration 2
Iteration 3

As you can see, Newton's Method is already converging significantly faster than the Bisection Method.

Iteration (n)

When running the code for Newton's method given below, the resulting approximate root determined is 1.324717957244746.

The following Python code calls SciPy's newton method:

Secant Method

Like Newton's Method, secant method uses the Taylor Series to find the solution. However, you may not always be able to take the derivative of a function. Secant method gets around this by approximating the derivative as:

Algorithm

The steps involved in the Secant Method are identical to those of the Newton Method, with the derivative replaced by an approximation for the slope of the tangent.

Computational Cost

Similar to bisection, although secant method conceptually requires 2 function evaluations per iteration, one of the function evaluations will have been computed in the previous iteration and can be reused. So, secant method requires 1 new function evaluation per iteration (after the first iteration).

Convergence

Secant method has superlinear convergence.

More specifically, the rate of convergence (r) is:

This happens to be the golden ratio.

Drawbacks

This technique has many of the same drawbacks as Newton's Method, but does not require a derivative. It does not converge as quickly as Newton's Method. It also requires two starting guesses near the root.


163 Replies

9 end of discussion. Also my algebra is crap, trig is helping me realize this, so if I can get that anyone can.

Python 2.4.3 (#1, Mar 5 2011, 21:26:05)
[GCC 4.1.2 20080704 (Red Hat 4.1.2-50)] on linux2
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> 6/2*(1+2)
9

Here, make life easy:

Python 2.4.3 (#1, Mar 5 2011, 21:26:05)
[GCC 4.1.2 20080704 (Red Hat 4.1.2-50)] on linux2
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> 6/2*(1+2)
9

نعم. سهل! الضحك بصوت مرتفع. Never used Linux in my life!

Scott Alan Miller wrote:

Here, make life easy:

Python 2.4.3 (#1, Mar 5 2011, 21:26:05)
[GCC 4.1.2 20080704 (Red Hat 4.1.2-50)] on linux2
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> 6/2*(1+2)
9

نعم. سهل! الضحك بصوت مرتفع. Never used Linux in my life!

your in IT and you haven't used Linux in your life? :O I thought it was a given need when going into IT

Scott Alan Miller wrote:

Here, make life easy:

Python 2.4.3 (#1, Mar 5 2011, 21:26:05)
[GCC 4.1.2 20080704 (Red Hat 4.1.2-50)] on linux2
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> 6/2*(1+2)
9

نعم. سهل! الضحك بصوت مرتفع. Never used Linux in my life!

That does happen to be Linux but it is just Python that I used. You can do it on Windows too.

This is simple high school math. If you need a calculator to work it out, you need to go back to school (or your just lazy :P )

edit: still can't work out how they got 1.

People were using distribution. Reading the problem like this would get one: 6/[2(1+2)]

Rule 1: First perform any calculations inside parentheses.
Rule 2: Next perform all multiplications and divisions, working from left to right.
Rule 3: Lastly, perform all additions and subtractions, working from left to right.

This is simple high school math. If you need a calculator to work it out, you need to go back to school (or your just lazy :P )

6/2(1+2)=

6/2(3)=

3(3)=

3*3=

9

simple :)

edit: still can't work out how they got 1.

You get 1 when you use the order of precedence incorrectly.

Well it is required but I haven't taken any Linux classes yet. I'm kind of pushing them to the end of this year. We don't use linux here anyway.

Michael560 wrote:

This is simple high school math. If you need a calculator to work it out, you need to go back to school (or your just lazy :P )

6/2(1+2)=

6/2(3)=

3(3)=

3*3=

9

simple :)

edit: still can't work out how they got 1.

You get 1 when you use the order of precedence incorrectly.

ohhhh i see your copying my posts now eh? lol

Of course. Sorry, I have trouble seeing how people can get it wrong as I keep reverting to the right way to work it out. So all those years of teachers drumming this into our heads actually worked! lol

Well it is required but I haven't taken any Linux classes yet. I'm kind of pushing them to the end of this year. We don't use linux here anyway.

Maybe you would if you had taken the classes earlier ) Where are you taking classes? I'm in Akron from time to time.

Scott Alan Miller wrote:

Michael560 wrote:

This is simple high school math. If you need a calculator to work it out, you need to go back to school (or your just lazy :P )

6/2(1+2)=

6/2(3)=

3(3)=

3*3=

9

simple :)

edit: still can't work out how they got 1.

You get 1 when you use the order of precedence incorrectly.

ohhhh i see your copying my posts now eh? lol

I swear that that hadn't shown up when I typed that up. When are we getting AJAX updates in this community, anyway?

We use BODMAS to determine priority of mathematic functions:

We use BODMAS to determine priority of mathematic functions:

Brackst

Of (power)

قسم

عمليه الضرب

إضافة

الطرح

Although it makes no difference whether you do multiplication or division first, the same as with addition and subtraction.

We use BODMAS to determine priority of mathematic functions:

Brackst

Of (power)

قسم

عمليه الضرب

إضافة

الطرح

same. even though i flunked maths i still get 9 from the equation.

Russell P

These things are posted on forums to "troll" users.

These things are posted on forums to "troll" users.

And you brought it here. -(

we are intellegent enough to know how to do it correctly. plus we always have nic's banhammer if we get too many.

ivanidea

Another one taught BODMAS, so the answer has to be 1.

Outermost Systems, LLC is an IT service provider.

I am going to take a minority position. It's ambiguous. The ambiguity is only "saved" by the "rule" that operations are applied from left to right. The "rule" is a convention many people (and many programs) use to resolve the ambiguity. Essentially what this resolves to is three operands separated by two operators of equal precedence: 6 / 2 * 3. See the comment about "gaps in the standard" in http:/ / en.wikipedia.org/ wiki/ Order_of_operations.

This is a case where one should insist that the ambiguity be resolved by appropriately placed ().


6.2: Solving Nonlinear Equations

endstream endobj 13 0 obj >/Font >/ProcSet[/PDF/Text]/ExtGState >>>/Type/Page>> endobj 14 0 obj >stream H ̗mk @ )ٛ A I ΈP B+ qfvsM 䮴w w ۇd yȧ&[ A

8 Ó.K _ ` @S$ endstream endobj 17 0 obj >/Font >/ProcSet[/PDF/Text]/ExtGState >>>/Type/Page>> endobj 18 0 obj >stream H Wێ# > Wt 5Zdzxg72

s . ޔ $ #Ե C 3C X r˴ צ z_Q w 3l 69 WO^ >/Font >/ProcSet[/PDF/Text]/ExtGState >>>/Type/Page>> endobj 27 0 obj >stream H W n W 6I ʌ 9 7A> V [email protected] keeU/4 P]KVf,/^ | >

_ F endstream endobj 28 0 obj >/Font >/ProcSet[/PDF/Text]/ExtGState >>>/Type/Page>> endobj 29 0 obj >stream H W[ [

w ^ d T endstream endobj 36 0 obj >/Font >/ProcSet[/PDF/Text]/ExtGState >>>/Type/Page>> endobj 37 0 obj >stream H W j$ > WԌ <>

OFK n r + ] N̂ $m 3g C$ 6Zc h# ҈ >/Font >/ProcSet[/PDF/Text]/ExtGState >>>/Type/Page>> endobj 39 0 obj >stream H W]k >ׯ pyf SyG n) Y

. _Ų ^ c% 0 *| endstream endobj 40 0 obj >/Font >/ProcSet[/PDF/Text]/ExtGState >>>/Type/Page>> endobj 41 0 obj >stream H VK H W sؑ G C Yǁ (, e' d 2 z

m W= o i o ` - endstream endobj 44 0 obj >/Font >/ProcSet[/PDF/Text]/ExtGState >>>/Type/Page>> endobj 45 0 obj >stream H Wێ I > (/, A۹ y] $̬ y $ 5 b-1 ω % ۬ Te % Dĉ o <= w > U ۳ N b7 h a ǟ OZ _wI%O>/ & b͇ 묽 ߞ >u d 7 d .C d

j SR ⒁| wrl 0x>[ۀf >/Font >/ProcSet[/PDF/Text]/ExtGState >>>/Type/Page>> endobj 63 0 obj >stream H Wێ > W f ɐ׀ 2 Ȇ

L * c U @%T:2 r a O O O _ O3> u ڎY + )$ endstream endobj 66 0 obj >/Font >/ProcSet[/PDF/Text]/ExtGState >>>/Type/Page>> endobj 67 0 obj >stream H Wێ# > W 6# 4 c c

P9 oL I p$ S : n - $ Ut . 1ܖ Eg u# [ g c >/ColorSpace >/Font >/ProcSet[/PDF/Text]/ExtGState >>>/Type/Page>> endobj 77 0 obj >stream H WMo ϯ ɪ ds Z :O H.. b( Q s

o , ? G endstream endobj 100 0 obj >/Font >/ProcSet[/PDF/Text]/ExtGState >>>/Type/Page>> endobj 101 0 obj >stream H WK WP u Vw s X

Polar Coordinates

You already know the famous Cartesian coordinates, which are probably the most used in everyday life. However, in some cases, describing the position of an object in Cartesian coordinates isn’t practical. For instance, when an object is in a circular movement, sine and cosine functions are going to pop all over the place, so it’s generally a much better idea to describe that object’s position in what we call Polar coordinates.

Polar coordinates are described by two variables, the radius ρand the angle θ. We attach unit vectors to each variable:

  • is a unit vector always pointing in the same direction as vector OM.
  • is a unit vector perpendicular to .

Our goal now is to express the وضع, ● السرعة, and التسريع of an object in Polar coordinates. For this we need to express the relationship between the Polar unit vectors and the Cartesian unit vectors.


شاهد الفيديو: كيفيه ايجاد فتره لطريقة التنصيف والنقطه الثابته (شهر نوفمبر 2021).