مقالات

1.12: المشتقات ذات الترتيب الأعلى


بالنظر إلى كميتين ، (y ) و (x، ) مع (y ) دالة (x، ) نعلم أن المشتق ( frac {dy} {dx} ) هو معدل التغيير من (ص ) بالنسبة إلى (س ). بما أن ( frac {dy} {dx} ) هي نفسها دالة لـ (x، ) فقد نطلب معدل تغيرها فيما يتعلق بـ (x، ) الذي نسميه مشتق الدرجة الثانية من (y ) بالنسبة إلى (x ) وتدل على ( frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}. )

مثال ( PageIndex {1} )

إذا (y = 4 x ^ {5} -3 x ^ {2} +4، ) إذن

[ frac {dy} {dx} = 20 x ^ {4} -6 x، ] وهكذا [ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}} = 80 x ^ {3 } -6. ] بالطبع ، يمكننا الاستمرار في الاشتقاق: المشتق الثالث لـ (y ) بالنسبة إلى (x ) هو [ frac {d ^ {3} y} {dx ^ {3 }} = 240 x ^ {2}، ] المشتق الرابع لـ (y ) بالنسبة إلى (x ) هو [ frac {d ^ {4} y} {dx ^ {4}} = 480 × ، ] وهكذا.

إذا كانت (y ) دالة لـ (x ) مع (y = f (x) ، ) فقد نشير أيضًا إلى المشتق الثاني لـ (y ) فيما يتعلق بـ (x ) بواسطة (f ^ { prime prime} (x)، ) المشتق الثالث بواسطة (f ^ { prime prime} (x) ، ) وهكذا. يصبح التدوين الأولي مرهقًا بعد فترة ، ولذا يمكننا استبدال الأعداد الأولية بالرقم المقابل بين قوسين ؛ وهذا يعني أننا قد نكتب ، على سبيل المثال ، (f ^ { prime prime prime} (x) ) كـ (f ^ {(4)} (x) ).

مثال ( PageIndex {2} )

إذا

[f (x) = frac {1} {x}، ] ثم [ start {align} f ^ { prime} (x) & = - frac {1} {x ^ {2}} ، [12pt] f ^ { prime prime} (x) & = frac {2} {x ^ {3}} ، [12pt] f ^ { prime prime} (x) & = - frac {6} {x ^ {4}} ، end {align} ] و [f ^ {(4)} (x) = frac {24} {x ^ {5}}. ]

تمرين ( PageIndex {1} )

أوجد المشتقات من الرتبة الأولى والثانية والثالثة لـ (y = sin (2 x) ).

إجابه

( frac {dy} {dx} = 2 cos (2 x)، frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}} = - 4 sin (2 x)، frac {d ^ {3} ص} {dx ^ {3}} = - 8 cos (2 x) )

تمرين ( PageIndex {2} )

أوجد المشتقات من الرتبة الأولى والثانية والثالثة لـ (f (x) = sqrt {4 x + 1} ).

إجابه

(f ^ { prime} (x) = frac {2} { sqrt {4 x + 1}}، f ^ { prime prime} (x) = - frac {4} {(4 x +1) ^ { frac {3} {2}}} ، f ^ { prime prime prime} (x) = frac {6} {(4 x + 1) ^ { frac {5} { 2}}} )

التسريع

إذا كان (x ) هو الموضع ، في الوقت (t ، ) لكائن يتحرك على طول خط مستقيم ، فإننا نعلم ذلك

[v = frac {dx} {dt} ] هي سرعة الجسم في الوقت (t. ) نظرًا لأن التسارع هو معدل تغير السرعة ، ويترتب على ذلك أن تسارع الجسم هو [a = frac {dv} {dt} = frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}. ]

مثال ( PageIndex {3} )

افترض أن شيئًا ما ، مثل كرة الرصاص ، قد سقط من ارتفاع 100 متر. بتجاهل مقاومة الهواء ، يُعطى ارتفاع الكرة فوق الأرض بعد (t ) ثانية

[x (t) = 100-4.9 t ^ {2} text {meter،} ] كما ناقشنا في القسم 1.2. ومن ثم تكون سرعة الكائن بعد (t ) ثانية هي [v (t) = - 9.8 t نص {متر / ثانية} ] وتسارع الكائن [a (t) = - 9.8 text {متر / ثانية} ^ {2}. ] وبالتالي فإن تسارع الجسم في السقوط الحر بالقرب من سطح الأرض ، مع تجاهل مقاومة الهواء ، يكون ثابتًا. تاريخياً ، بدأ جاليليو بهذه الملاحظة حول تسارع القذف في السقوط الحر وعمل في الاتجاه الآخر لاكتشاف صيغ السرعة والموضع.

تمرين ( PageIndex {3} )

لنفترض أن جسمًا يتأرجح في نهاية الربيع له موضع (x = 10 cos ( pi t) ) (يقاس بالسنتيمتر من موضع التوازن) في الوقت (t ) ثانية. أوجد تسارع الجسم في الوقت (t = 1.25. )

إجابه

(69.79 mathrm {cm} / mathrm {sec} )

تقعر

يخبرنا المشتق الثاني للدالة (f ) عن المعدل الذي يتغير عنده ميل الرسم البياني (f ). هندسيًا ، يُترجم هذا إلى قياس تقعر الرسم البياني للوظيفة.

تعريف

نقول إن الرسم البياني للدالة (f ) مقعر لأعلى على فاصل مفتوح ((أ ، ب) ) إذا كانت (f ^ { prime} ) دالة متزايدة في ((أ ، ب ). ) نقول إن الرسم البياني للدالة (f ) مقعر لأسفل على فاصل مفتوح ((أ ، ب) ) إذا كان (f ^ { prime} ) دالة متناقصة على ( (أ ، ب). )

لتحديد تقعر الرسم البياني للدالة (f، ) نحتاج إلى تحديد الفواصل الزمنية التي يتزايد فيها (f ^ { prime} ) والفترات التي فيها (f ^ { prime} ) يتناقص. ومن ثم ، من عملنا السابق ، نحتاج إلى تحديد متى تكون مشتقة (f ^ { prime} ) موجبة ومتى تكون سالبة.

نظرية ( PageIndex {1} )

إذا كان (f ) قابلاً للتفاضل مرتين في ((أ ، ب) ، ) فإن الرسم البياني (f ) مقعر لأعلى على ((أ ، ب) ) إذا (f ^ { رئيس الوزراء) رئيس} (س)> 0 ) لجميع (س ) في ((أ ، ب) ، ) وتقعر لأسفل على ((أ ، ب) ) إذا (f ^ { رئيس الوزراء ) رئيس} (س) <0 ) للجميع (س ) في ((أ ، ب). )

مثال ( PageIndex {4} )

إذا (f (x) = 2 x ^ {3} -3 x ^ {2} -12 x + 1، ) إذن

[f ^ { prime} (x) = 6 x ^ {2} -6 x-12 ] و [f ^ { prime prime} (x) = 12 x-6. ] وبالتالي ( f ^ { prime prime} (x) <0 ) عندما (x < frac {1} {2} ) و (f ^ { prime prime} (x)> 0 ) عندما (x> frac {1} {2}، ) ولذا فإن الرسم البياني (f ) مقعر لأسفل على الفاصل الزمني ( left (- infty، frac {1} {2} right) ) وتقعر لأعلى على الفاصل ( left ( frac {1} {2}، infty right). ) يمكن للمرء أن يرى بوضوح التمييز بين التقعر لأسفل والتقعر لأعلى في الرسم البياني (f ) الموضح في الشكل (1.12 .1. ) نسمي نقطة على الرسم البياني للدالة (f ) يتغير فيها التقعر ، إما من الأعلى إلى الأسفل أو من الأسفل إلى الأعلى ، نقطة انعطاف. في المثال السابق ، ( left ( frac {1} {2}، - frac {11} {2} right) ) نقطة انعطاف.

تمرين ( PageIndex {4} )

أوجد الفترات التي يكون فيها الرسم البياني (f (x) = 5 x ^ {3} -3 x ^ {5} ) مقعرًا لأعلى والفترات التي يكون فيها الرسم البياني مقعرًا لأسفل. ما هي نقاط الانعطاف؟

إجابه

مقعر لأعلى على ((- infty ، -1) ) و ((0،1) ؛ ) مقعر لأسفل على ((- 1.0) ) و ((1 ، infty) ؛ ) نقاط الانعطاف: ((- 1، -2)، (0،0)، (1،2) )

اختبار المشتق الثاني

لنفترض أن (c ) نقطة ثابتة لـ (f ) و (f ^ { prime prime} (c)> 0. ) ثم منذ (f ^ { prime prime} ) هو مشتق (f ^ { prime} ) و (f ^ { prime} (c) = 0 ، ) لأي متناهٍ في الصغر (dx neq 0 ) ،

[ frac {f ^ { prime} (c + dx) -f ^ { prime} (c)} {dx} = frac {f ^ { prime} (c + dx)} {dx}> 0. ] يتبع ذلك (f ^ { prime} (c + dx)> 0 ) عندما (dx> 0 ) و (f ^ { prime} (c + dx) <0 ) عندما (dx <0 ). ومن ثم فإن (f ) يتناقص إلى يسار (ج ) ويزيد إلى يمين (ج ، ) وهكذا (و ) لديه حد أدنى محلي عند (ج ) وبالمثل ، إذا (f ^ { prime prime} (c) <0 ) عند نقطة ثابتة (c، ) ثم (f ) له حد أقصى محلي في (c. ) هذه النتيجة هي الثانية- اختبار مشتق.

مثال ( PageIndex {5} )

إذا (f (x) = x ^ {4} -x ^ {3}، ) إذن

[f ^ { prime} (x) = 4 x ^ {3} -3 x ^ {2} = x ^ {2} (4 x-3) ] و [f ^ { prime prime} (x) = 12 x ^ {2} -6 x = 6 x (2 x-1). ] ومن ثم فإن (f ) به نقاط ثابتة (x = 0 ) و (x = frac {3 } {4}. ) منذ [f ^ { prime prime} (0) = 0 ] و [f ^ { prime prime} left ( frac {3} {4} right) = frac {9} {4}> 0 ، ] نرى أن (f ) له حد أدنى محلي عند (x = frac {3} {4}. ) على الرغم من أن اختبار المشتق الثاني لا يخبرنا بأي شيء حول طبيعة النقطة الحرجة (x = 0، ) نعلم ، بما أن (f ) لها حد أدنى محلي عند (x = frac {3} {4} ، ) ذلك (f ) يتناقص على ( left (0، frac {3} {4} right) ) ويزيد على ( left ( frac {3} {4}، infty right). ) علاوة على ذلك ، منذ (4 x-3 <0 ) للجميع (x <0، ) يتبع ذلك (f ^ { prime} (x) <0 ) للجميع (x <0، ) و لذلك (f ) يتناقص أيضًا في ((- infty ، 0). ) ومن ثم ، لا يحتوي (f ) على حد أقصى محلي ولا حد أدنى محلي عند (x = 0. ) أخيرًا ، منذ (f ^ { prime prime} (x) <0 ) لـ (0 0 ) لجميع (x، ) الأخرى نرى أن الرسم البياني لـ (f ) مقعر لأسفل على t الفاصل ( left (0، frac {1} {2} right) ) وتقعر لأعلى على الفواصل ((- infty، 0) ) و ( left ( frac {1} {2} ، infty right) ). انظر الشكل (1.12 .2. )

تمرين ( PageIndex {5} )

استخدم اختبار المشتق الثاني لإيجاد جميع القيم العظمى والصغرى المحلية لـ

[f (x) = x + frac {1} {x}. ]

إجابه

الحد الأقصى المحلي لـ (- 2 ) عند (س = -1 ؛ ) الحد الأدنى المحلي 2 في (س = 1 )

تمرين ( PageIndex {6} )

ابحث عن جميع القيم القصوى والدنيا المحلية (g (t) = 5 t ^ {7} -7 t ^ {5} ).

إجابه

الحد الأقصى المحلي 2 في (t = -1 ؛ ) الحد الأدنى المحلي (- 2 ) في (t = 1 )


водите запросы на обычном английском языке. спользование скобок، в случае необходимости، позволяет избежать неоднозначностей в запросе. от некоторые примеры، иллюстрирующие запросы вычисления производной.

احصل على ملاحظات وإرشادات فورية من خلال الحلول خطوة بخطوة ومنشئ مشاكل Wolfram


محتويات

المبالغ الجزئية للسلسلة 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + هي 1 ، 3 ، 6 ، 10 ، 15 ، إلخ. نيتم الحصول على المبلغ الجزئي بواسطة صيغة بسيطة:

كانت هذه المعادلة معروفة لفيثاغورس في وقت مبكر من القرن السادس قبل الميلاد. [5] تسمى الأعداد من هذا الشكل أعدادًا مثلثة ، لأنها يمكن ترتيبها كمثلث متساوي الأضلاع.

يتباعد التسلسل اللانهائي للأرقام المثلثة إلى + ، لذلك بحكم التعريف ، تتباعد السلسلة اللانهائية 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ أيضًا إلى +. الاختلاف هو نتيجة بسيطة لشكل السلسلة: لا تقترب المصطلحات من الصفر ، لذا فإن السلسلة تتباعد حسب مصطلح الاختبار.

تحرير الاستدلال

الفكرة الأساسية الأولى هي أن سلسلة الأعداد الموجبة 1 + 2 + 3 + 4 + تشبه إلى حد كبير السلسلة البديلة 1 - 2 + 3 - 4 + ⋯. السلسلة الأخيرة متباينة أيضًا ، ولكن من الأسهل بكثير العمل بها ، فهناك العديد من الطرق الكلاسيكية التي تحدد لها قيمة ، والتي تم استكشافها منذ القرن الثامن عشر. [10]

لتحويل السلسلة 1 + 2 + 3 + 4 + إلى 1 - 2 + 3 - 4 + ، يمكن طرح 4 من الحد الثاني ، و 8 من الحد الرابع ، و 12 من الحد السادس ، وهكذا. . المبلغ الإجمالي المراد طرحه هو 4 + 8 + 12 + 16 + ، وهو 4 أضعاف السلسلة الأصلية. يمكن التعبير عن هذه العلاقات باستخدام الجبر. مهما كان "مجموع" المسلسل ، أطلق عليه ج = 1 + 2 + 3 + 4 +. ثم اضرب هذه المعادلة في 4 واطرح المعادلة الثانية من الأولى:

بشكل عام ، من الخطأ التلاعب بالسلسلة اللانهائية كما لو كانت مبالغ محدودة. على سبيل المثال ، إذا تم إدخال أصفار في مواضع تعسفية لسلسلة متباعدة ، فمن الممكن الوصول إلى نتائج غير متسقة ذاتيًا ، ناهيك عن الاتساق مع الطرق الأخرى. على وجه الخصوص ، الخطوة 4ج = 0 + 4 + 0 + 8 + لا يبرره قانون الهوية المضافة وحده. على سبيل المثال المتطرف ، يمكن أن يؤدي إلحاق صفر واحد إلى مقدمة السلسلة إلى نتيجة مختلفة. [1]

تتمثل إحدى طرق علاج هذا الموقف ، وتقييد الأماكن التي قد يتم فيها إدراج الأصفار ، في تتبع كل مصطلح في السلسلة من خلال إرفاق اعتماد على بعض الوظائف. [11] في المتسلسلة 1 + 2 + 3 + 4 + ، كل حد ن هو مجرد رقم. إذا كان المصطلح ن يتم ترقيته إلى وظيفة ن −s ، أين س متغير معقد ، ثم يمكن للمرء التأكد من إضافة المصطلحات المتشابهة فقط. قد يتم التلاعب بالسلسلة الناتجة بطريقة أكثر صرامة والمتغير س يمكن ضبطه على −1 لاحقًا. تنفيذ هذه الاستراتيجية يسمى تنظيم وظيفة زيتا.

تنظيم وظيفة زيتا تحرير

في تسوية دالة زيتا ، السلسلة ∑ n = 1 ∞ n ^ n> يتم استبداله بالسلسلة ∑ n = 1 ∞ n - s ^ < infty> n ^ <-s>>. السلسلة الأخيرة هي مثال على سلسلة Dirichlet. عندما يكون الجزء الحقيقي من س أكبر من 1 ، تتقارب سلسلة Dirichlet ، ومجموعها هو دالة Riemann zeta ζ(س). من ناحية أخرى ، تتباعد سلسلة Dirichlet عندما يتباعد الجزء الحقيقي من س أقل من أو يساوي 1 ، لذلك ، على وجه الخصوص ، السلسلة 1 + 2 + 3 + 4 + التي تنتج من الإعداد س = –1 لا تتقارب. فائدة إدخال دالة زيتا ريمان هي أنه يمكن تعريفها لقيم أخرى لـ س عن طريق الاستمرار التحليلي. يمكن للمرء بعد ذلك تحديد مجموع زيتا المقنن 1 + 2 + 3 + 4 + ليكون ζ(−1).


انسخ وألصق رمز التضمين هذا في HTML لموقعك على الويب

مشاركة كوين هوليستر في 23 مايو 2015

أعتقد أن المشتق الثاني هو التسارع ، والمشتق الأول هو دالة السرعة

نشر بواسطة Nolan Zhang في 10 أبريل 2015

المثال 3 كان طويلًا جدًا ، ربما يجب عليك استخدام مثال آخر

Post بواسطة Quazi Niloy في 13 أكتوبر 2014

في المثال 3 ، سيكون من السهل & # 039t أن تأخذ sin (t) / t ^ 3 ، ثم اضربها فقط حيث لديك sin (t) * (t ^ -3) ثم قم بتطبيق المنتج أو السلسلة قاعدة؟

آخر رد من: John Zhu
الثلاثاء 13 أغسطس 2013 8:36 مساءً

مشاركة فانيسا مونوز في 12 يونيو 2013

لا أفهم & # 039t في 10:17 ، كيف يمكنك الاستعاضة عن الصفر إذا كانت تجعل القاسم صفرًا .. ألن يكون & # 039t غير محدد؟


كانت طريقتنا السابقة في إيجاد المشتق تعتمد على تعريفها

بحيث ، إذا لم نأخذ النهاية فيمكننا تقريب المشتقة بواسطتها

هنا ننظر إلى يمين الموضع الحالي (i ) ونقسم على الفاصل ( Delta x ).

يمكن العثور على بعض الرموز الأفضل من خلال توسعة تايلور:

الذي يعطي تدوينًا منفصلاً

يمكن فعل الشيء نفسه للحصول على قيمة الوظيفة في (i-1 )

طرح المعادلتين الأخيرتين ، أي حساب (f_-F_) ، النتائج في

والتي عند إهمال المصطلح الأخير على الجانب الأيمن ينتج عنها

هذا مشابه للصيغة التي حصلنا عليها من تعريف المشتق. هنا ، مع ذلك ، نستخدم قيمة الوظيفة على يسار ويمين الموضع (i ) ومرتين الفاصل الزمني ، مما يؤدي في الواقع إلى تحسين الدقة.

يمكن للمرء أن يواصل هذا النوع من الاشتقاق الآن للحصول على ترتيب تقريبي أعلى للمشتق الأول بدقة أفضل. لهذا الغرض يمكنك أن تحسب الآن (f_) ودمج ذلك مع (f_-F_) سوف يقود الى

يمكن استخدام هذا لإعطاء قيم أفضل للمشتق الأول.

نسخة مصفوفة من المشتق الأول¶

إذا زودنا الوظيفة المذكورة أعلاه بمصفوفة من المواضع (x_) التي نرغب عندها في حساب المشتق ، ثم نحصل على القيم المشتقة ونصففها. يمكننا كتابة هذا الإجراء أيضًا بطريقة مختلفة ، والتي ستكون مفيدة لحل المعادلة التفاضلية لاحقًا.

إذا أخذنا في الاعتبار معادلات الفروق المحدودة المذكورة أعلاه لمجموعة من المواضع (x_) ، يمكننا تمثيل المشتق الأول في هذه المواضع من خلال عملية المصفوفة أيضًا:

لاحظ أننا أخذنا المشتق هنا إلى الجانب الأيمن فقط! كل صف من المصفوفة مضروبًا في المتجه الذي يحتوي على المواضع يحتوي بعد ذلك على مشتق الوظيفة (f ) في الموضع (x_) والمتجه الناتج يمثل المشتق في منطقة موضع معينة.

سنشرح كيفية إنشاء مثل هذا mtrix باستخدام وحدة SciPy أدناه.


الخطأ الأول: الوظيفة $ (- 1) ^ x $ غير محددة جيدًا ، حتى لو كان $ x $ رقمًا مركبًا.

الخطأ الثاني: لا يمكنك قول $ left (e ^ < pi i> right) ^ x = e ^ < pi i x> $. لا يمتد ضرب قاعدة الأس إلى الأعداد المركبة. في الواقع ، بخلاف ذلك ، ستواجه مشكلات مثل $ 1 ^ < pi> = e ^ <2 pi ^ 2 i> $ ، والتي من الواضح أنها خاطئة.

من السهل رؤية هذا $ frac(-1) ^ x = (i pi) ^ n (-1) ^ x $.

لاحظ الدالة $ w = (- 1) ^ z $ وهذا يعادل $ w = e ^$ الآن ، مع التذكير بأن اللوغاريتم دالة متعددة القيم ، $ ln (-1) = ln vert (-1) vert + i arg (-1) = i ( pi + 2 pi n) $ نرى أن $ (- 1) ^ z $ يعادل $ w = e ^$ لجميع الأعداد الصحيحة $ n $. هذا يعني ، باستثناء الحالات الخاصة ، أن $ (- 1) ^ z $ يحتوي على عدد لا نهائي من القيم المركبة. إذا اخترنا ترك n ثابتًا ، وحددنا $ (- 1) ^ z $ كدالة ناتجة ذات قيمة مفردة ، فإن المشتق المركب يساوي $ i pi (2n + 1) e ^$


1.12: المشتقات ذات الترتيب الأعلى

يتم تعريف المشتق من الدرجة الثانية على أنه مشتق من المشتق الأول للدالة المحددة. يعطينا المشتق من الدرجة الأولى عند نقطة معينة المعلومات حول ميل المماس عند تلك النقطة أو معدل التغيير اللحظي للدالة عند تلك النقطة. يمنحنا مشتق الدرجة الثانية فكرة عن شكل الرسم البياني لدالة معينة. المشتق الثاني للدالة و (خ) عادة ما يشار إليه على أنه f & # 8221 (x). يتم الإشارة إليه أيضًا بواسطة د 2 ص أو ص2 أو y & # 8221 إذا كانت y = f (x).

دع y = f (x)

ثم dy / dx = f '(x)

إذا كانت f '(x) قابلة للتفاضل ، فيمكننا اشتقاق (1) مرة أخرى مع w.r.t x. بعد ذلك ، يصبح الطرف الأيسر d / dx (dy / dx) وهو ما يسمى مشتق الدرجة الثانية لـ y w.r.t x.

مثال 1: أوجد d 2 y / dx 2 ، إذا كانت y = x 3؟

بالنظر إلى ذلك ، ص = س 3

بعد ذلك ، سيكون المشتق الأول
dy / dx = d / dx (x 3) = 3x 2

مرة أخرى ، سنشتق أكثر لإيجادها
المشتق الثاني،

لذلك ، d 2 y / dx 2 = d / dx (dy / dx)

= د / دكس (3 س 2)

= 6x

ملحوظة: d / dx (x n) = nx n & # 8211 1 ، حيث n هي القوة المرفوعة إلى x.


مثال 2: أوجد d 2 y / dx 2 ، إذا كانت y = Asinx + Bcosx ، فأين A و B ثوابت؟

بالنظر إلى ذلك ، y = Asinx + Bcosx

بعد ذلك ، سيكون المشتق الأول

dy / dx = d / dx (Asinx + Bcosx)

= A d / dx (sinx) + B d / dx (cosx)

= A (cosx) + B (-sinx)

= Acosx & # 8211 Bsinx

مرة أخرى ، سنشتق أكثر لإيجاد المشتق الثاني ،

د 2 ص / dx 2 = د / dx (dy / dx)

= d / dx (Acosx & # 8211 Bsinx)

= A d / dx (cosx) & # 8211 B d / dx (sinx)

= A (-sinx) & # 8211 B (cosx)

= -Asinx & # 8211 Bcosx

= - (Asinx + Bcosx)

= -ص

ملحوظة:

د / dx (sinx) = cosx

d / dx (cosx) = -sinx

مثال 3: y = logx ، أوجد d 2 y / dx 2؟

بالنظر إلى ذلك ، y = logx

ثم المشتق الأول سيكون ،

dy / dx = d / dx (logx)

= (1 / س)

مرة أخرى ، سنشتق أكثر لإيجاد المشتق الثاني ،

د 2 ص / dx 2 = د / dx (dy / dx)

= d / dx (1 / x) (من المشتق الأول)

= -1 / س 2

مثال 4: y = e x sin5x ، أوجد d 2 y / dx 2؟

بالنظر إلى ذلك ، y = e x sin5x

ثم المشتق الأول سيكون ،

dy / dx = d / dx (e x sin5x)

= e x d / dx (sin5x) + sin5x d / dx (e x) (قاعدة الضرب)

= e x (cos5x. 5) + sin5x. السابق

= ه س (5cos5x + sin5x)

مرة أخرى ، سنشتق أكثر لإيجاد المشتق الثاني ،

د 2 ص / dx 2 = د / dx (dy / dx)

= d / dx (e x (5cos5x + sin5x))



= e x d / dx (5cos5x + sin5x) + (5cos5x + sin5x) d / dx (e x)

= e x (d / dx (5cos5x) + d / dx (sin5x)) + (5cos5x + sin5x) d / dx (e x)

= e x (5 (-sin5x) 5 + 5cos5x) + (5cos5x + sin5x) (e x)

= e x (-25sin5x + 5cos5x + 5cos5x + sin5x)

= e x (10cos5x & # 8211 24sin5x)

= 2e x (5cos5x & # 8211 12sin5x)

ملحوظة: قاعدة الضرب في التفاضل
د (uv) / dx = (u. dv / dx) + (v. du / dx)

الدرجة الثانية مشتقات الوظيفة في شكل حدودي

لحساب المشتق الثاني للدالة في الصورة البارامترية ، نستخدم قاعدة السلسلة مرتين. ومن ثم لإيجاد المشتق الثاني ، نجد المشتقة بالنسبة إلى t للمشتقة الأولى ثم نقسمها على مشتقة x بالنسبة إلى t. افترض أن x = x (t) و y = y (t) ، ثم شكلها البارامترى بالترتيب الثاني:

المشتق الأول: dy / dx = (dy / dt) / (dx / dt)

المشتق الثاني: د 2 ص / dx 2 = د / dx (dy / dx)

= d / dt (dy / dx) / (dx / dt)

ملحوظة: من الخطأ تمامًا كتابة الصيغة أعلاه على النحو التالي d 2 y / dx 2 = (d 2 y / dt 2) / (d 2x / dt 2)

مثال: إذا كانت x = t + cost ، y = sint ، أوجد المشتق الثاني.

بالنظر إلى ذلك ، x = t + cost و y = sint

المشتق الأول

dy / dx = (dy / dt) / (dx / dt)

= (d / dt (sint)) / (d / dt (t + cost))

= (التكلفة) / (1 & # 8211 سينت) & # 8212- (1)

المشتق الثاني،



د 2 ص / dx 2 = د / dx (dy / dx)

= d / dx (التكلفة / 1 & # 8211 سينت) & # 8212- (من مكافئ (1))

= d / dt (التكلفة / 1 & # 8211 سينت) / (dx / dt) & # 8212- (قاعدة السلسلة)

= ((1 & # 8211 sint) (-sint) & # 8211 cost (-cost)) / (1 & # 8211 sint) 2 / (dx / dt) & # 8212- (قاعدة حاصل القسمة)

= (-sint + sin 2 t + cos 2 t) / (1 & # 8211 sint) 2 / (1 & # 8211 سينت)

= (-sint + 1) / (1 & # 8211 سينت) 3

= 1 / (1 & # 8211 سينت) 2

ملحوظة:

1) قاعدة حاصل التفاضل: dy / dx = v (du / dx) & # 8211 u (dv / dx) / v 2

2) قاعدة السلسلة: dy / dx = (dy / du). (du / DX)

تمثيل رسومي لـ الدرجة الثانية المشتقات

يوضح المشتق الأول بيانياً ميل الوظيفة عند نقطة ما ، ويصف المشتق الثاني كيف يتغير الميل على المتغير المستقل في الرسم البياني.

في هذا الرسم البياني ، يشير الخط الأزرق إلى المنحدر ، أي المشتق الأول للدالة المحددة. على سبيل المثال ، نستخدم اختبار المشتق الثاني لتحديد الحد الأقصى أو الحد الأدنى أو نقطة الانعطاف. يتوافق المشتق الثاني لوظيفة معينة مع انحناء أو تقعر الرسم البياني. إذا كانت القيمة المشتقة من الدرجة الثانية موجبة ، فإن الرسم البياني للدالة مقعر لأعلى. إذا كانت القيمة المشتقة من الدرجة الثانية سالبة ، فسيكون الرسم البياني للدالة مفتوحًا لأسفل.

تقعر الوظيفة

لنفترض أن f (x) دالة قابلة للتفاضل في فترة مناسبة. بعد ذلك ، يمكن تصنيف الرسم البياني لـ f (x) على النحو التالي:

مقعر يصل: يكون جزء من المنحنى مقعرًا لأعلى إذا نمت قيمة y بمعدل أسرع وأسرع تتحرك من اليسار إلى اليمين.

مقعر أسفل: نقيض التقعر لأعلى ، حيث تنخفض قيمة y من اليسار إلى اليمين ، يسمى التقعر لأسفل.

نقاط الانعكاس: نقاط الانعطاف هي نقاط تغير فيها الوظيفة التقعر ، أي من كونها & # 8220concave up & # 8221 إلى كونها & # 8220concave down & # 8221 أو العكس.

يحدد المشتق الثاني للدالة القيم العظمى أو الصغرى المحلية لنقطة الانقلاب. يمكن تحديد هذه بمساعدة الشروط التالية:


شكل صريح لتقديرات الدرجة العالية للمشتقات الكسرية ☆

يتم تقديم شكل صريح لمعاملات تقريب نوع Grünwald المحول للمشتقات الكسرية. يعطي هذا النموذج تقديرات تقريبية لأي ترتيب للدقة مع أي تحول مرغوب يؤدي إلى حسابات فعالة وتلقائية للمعاملات. لتحقيق ذلك ، نأخذ في الاعتبار إنشاء وظائف في شكل قوة متعددة الحدود. بعد ذلك ، يتم استخدام توصيف مكافئ للاتساق وترتيب الدقة الذي تم إنشاؤه على دالة توليد عامة لتشكيل نظام خطي من المعادلات مع مصفوفة Vandermonde. تم حل هذا النظام الخطي لمعاملات كثير الحدود في دالة التوليد. تميز وظائف التوليد هذه تمامًا تقريب نوع Grünwald مع التحولات وترتيب الدقة. بالمناسبة ، تصادف أن تكون وظائف التوليد المُنشأة بمثابة تعميم لأشكال Lubich المعروفة سابقًا لتوليد الوظائف دون تغيير. نقدم أيضًا صيغة لحساب مصطلحات الخطأ البادئة وبعض مصطلحات الخطأ المتتالية من المعاملات. نوضح كذلك أن صيغ الفروق المحدودة للمشتقات ذات الترتيب الصحيح مع التحول المطلوب وترتيب الدقة هي بعض الحالات الخاصة لشكلنا الصريح.


إثبات لبعض التقديرات الفنية

في هذا القسم ، سنحدد تقديرات المطالبات التي تم استخدامها في الطائفة. 2. أي أننا سنحدد تقديرات المطالبة (2.18) و (2.21) و (2.22) و (2.30) و (2.36).

إثبات عدم المساواة (2.18)

دع ( زيتا = xi sqrt) ، نحصل

حيث يوجد وقت كبير موجب (t _ <*> ) مثل أنه بالنسبة لـ (t ge t _ <*> ) ، يمكننا الحصول عليها

مع ج ثابت إيجابي مستقل عن الزمن. (ميدان )

إثبات عدم المساواة (2.21)

بضرب المعادلتين الأولى والثانية لـ (2.19) في ( varrho _ delta ) و (m_ delta ) ، على التوالي ، يتم الاحتفاظ به

نظرًا لحقيقة أن (P '(1) = 1 ) ، يمكننا استخدام صيغة تعبير Taylor للحصول على

والتي ، جنبًا إلى جنب مع عدم المساواة في سوبوليف ، تنتج مباشرة

حيث يمثل الرمز ( sim ) العلاقة المكافئة. بفضل التكامل بالأجزاء واستخدام معادلة النقل ، من السهل الحصول عليها

بتطبيق المعادلة (2.19) ، من السهل الحصول عليها من أجل (ك = 1،2،3 ) ،

في البداية ، قمنا بتقدير المصطلح ( int nabla ^ دلتا فارهو _ دلتا cdot nabla ^ k m_ delta mathrmx ) لـ (k = 1،2،3 ). باستخدام التكامل بالأجزاء ومعادلة النقل ، يمكننا الحصول عليها

نقدم الآن تقديرات ( Vert nabla ^ k S Vert _^ 2 ، ك = 1،2،3 ). في الواقع ، عندما (ك = 1 ) ، نطبق عدم مساواة سوبوليف للحصول عليها

وبالمثل ، لدينا أيضًا (ك = 1 ) ،

بحكم صيغة تعبير تايلور ، نحصل عليها

حيث استخدمنا حقيقة أن (P '(1) = 1 ). بعد ذلك ، نستخدم عدم المساواة في سوبوليف للحصول على

ثم نستخدم عدم المساواة Cauchy للحصول على

بعد ذلك ، باستخدام عدم المساواة في سوبوليف ، من السهل الحصول عليه

ثم نحصل على التقديرات التالية

لذلك ، نكمل إثبات تقدير المطالبة (2.21). (ميدان )

إثبات عدم المساواة (2.22)

أخذ (ك (ك = 0،1،2،3) ) المشتقات المكانية إلى المعادلة الثانية (2.19) وضرب المعادلة في ( nabla ^ varrho _ delta ) ، إذن لدينا

باستخدام المعادلة الأولى (2.19) ، فإنها تبقى ثابتة

بعد الدمج الجزئي ، يستمر

وبالتالي ، فإننا نجمع بين المساواة الثلاث المذكورة أعلاه للحصول على

والتي ، جنبًا إلى جنب مع التكامل بالأجزاء وعدم المساواة في Cauchy ، تنتج مباشرة

مما يعني (2.22). لذلك ، نقوم باستكمال إثبات تقدير المطالبة (2.22). (ميدان )

إثبات عدم المساواة (2.30)

في [10] ، صمد التقدير التالي

و ( دلتا ) رقم موجب صغير. بضرب المتباينة (3.1) في (l = 3 ) في (e ^ < frac> t> ) ، يتمسك

ثم ، من خلال دمج حول الوقت على مدار [0 ، ر] ، على غرار (2.29) ، يصل المرء إلى

حيث نستخدم تقدير الاضمحلال (1.7). لذلك ، نقوم باستكمال إثبات تقدير المطالبة (2.30). (ميدان )

إثبات عدم المساواة (2.36)

استبدال ل بواسطة (l + 1 ) في (3.1) ، ثم ضرب كلا الجانبين في ((1 + t) ^<2>> ) ، يصل المرء إلى

تكامل عدم المساواة المذكورة أعلاه فيما يتعلق بالوقت على مدى [0 ، ر] يعني ذلك

حيث استخدمنا التقدير ( mathcal _^ <3> (t) le C (1 + t) ^ <- frac <3 + 2l> <2>> ) لـ (l = 0،1،2،3 ). لذلك ، نقوم باستكمال إثبات تقدير المطالبة (2.36). (ميدان )


= DERIVF (f، x، p، [خيارات])

استخدم DERIVF لحساب المشتقات ذات الرتبة الأولى أو الأعلى للدالة f (x) عند x = p باستخدام خوارزمية تكيفية عالية الدقة. باستخدام الوسائط الاختيارية ، يمكنك تحديد ترتيب مشتق أعلى ، وكذلك تجاوز معلمات الخوارزمية الافتراضية.

يمكن تداخل DERIVF لحساب المشتقات الجزئية لأي ترتيب.

المدخلات المطلوبة

f إشارة إلى صيغة الدالة.

إذا كانت وظيفتك معقدة للغاية بحيث لا يمكن تمثيلها بواسطة الصيغ المتداخلة ، فيمكنك ترميزها في دالة VBA (انظر المثال 3).

x إشارة إلى متغير التفاضل.

p النقطة التي يتم عندها حساب المشتق.

المدخلات الاختيارية

ن الترتيب المشتق. يمكنك إدخال عدد صحيح من 1 إلى 4. الافتراضي هو 1.

ctrl مجموعة من أزواج المفتاح / القيمة للتحكم الحسابي كما هو مفصل أدناه.

مفتاح INITSTEP
القيم المقبولة (عدد صحيح) > 0
القيمة الافتراضية 0.05
ملاحظات هذه المعلمة مؤثرة للغاية. جرب قيمًا صغيرة وكبيرة مختلفة عند مواجهة صعوبات التقارب.
مفتاح ITRNMAX
القيم المقبولة (حقيقية) & GT = 3
القيمة الافتراضية 50
ملاحظات يعين حدًا أعلى على الحد الأقصى لحجم لوحة Neville التي تم إنشاؤها بواسطة خوارزمية Ridders.

المشتقات التحليلية لـ f (x) حتى الترتيب الرابع هي:

f '(x) = sin (x 2) + 2 & InvisibleTimes x 2 & InvisibleTimes cos (x 2)

نحسب المشتقات العددية عند x = 0 وعند x = 1 للأوامر من 1 إلى 4 ونقارنها بالقيم التحليلية الموضحة في العمود B من الجداول أدناه:

عند x = 0

عند x = 1

أ ب
6 1.922075597 1.922075597
7 -0.124070104 -0.124070104
8 -21.27590825 -21.27590825
9 -80.24890792 80.24890780

ضع في اعتبارك المشتق الجزئي:

& جزء وجزء y وجزء وجزء x cos (x، y) = - sin (x y) - x & InvisibleTimes y cos (x y)

نحسب المشتق الجزئي لـ cos (xy) في (& pi، & pi) عن طريق تداخل DERIVF ومقارنة النتيجة بالقيمة التحليلية الموضحة في B3 أدناه:

مشتق جزئي في (& pi، & pi)

نوضح كيفية حساب المشتق لوظيفة VBA التي يحددها المستخدم باستخدام DERIVF. يمكنك تحديد وظائف VBA الخاصة بك في Excel والتي تكون قوية جدًا عندما يصعب تحديد وظيفتك باستخدام الصيغ القياسية. للتوضيح ، نحسب مشتق لـ

يتم دعم VBA في ExceLab 7.0 فقط. ExceLab 365 الذي يعتمد على تقنية Office JS عبر الأنظمة الأساسية غير متوافق مع VBA

حل

أدخل وحدة من علامة التبويب إدراج ، ثم قم بتشفير الوظيفة التالية:

حساب المشتق عند x = 2

يجب أن يكون اسم وظيفة VBA مسبوقًا بـ "vb" لاستخدامه مع أدوات حل ExceLab.

X1 هو مجرد متغير وهمي للدالة ويتم تجاهل قيمتها.

يطبق DERIVF طريقة Ridders التي تستخدم خطوة تكيفية لإنتاج دقة أعلى بكثير من طريقة الفروق المحدودة البسيطة بخطوة ثابتة. إنها تستخدم خوارزمية Neville واستقراء متعدد الحدود لدفع حجم الخطوة إلى الصفر ضمن دقة الماكينة.

حجم خطوة البداية لخوارزمية Ridders هو معلمة مهمة يمكن أن تساعد في تقارب ناجح للخوارزمية. يمكنك تجاوز القيمة الافتراضية لهذه المعلمة باستخدام مفتاح التحكم INITSTEP (على سبيل المثال ، DERIVF (A1، X1، P1، 1، <"INITSTEP"، 0.1>)). لا يلزم بالضرورة أن يكون حجم خطوة البداية صغيرًا ولكن يجب أن يتسع نطاقًا حول النقطة p التي تتغير فيها الوظيفة بشكل ملحوظ. تحاول طريقة Ridders دفع حجم الخطوة إلى الصفر عن طريق استقراء متعدد الحدود باستخدام خوارزمية Neville.


شاهد الفيديو: سورة الأعلى من الآية 1 الى الآية 19 (ديسمبر 2021).