مقالات

1: أساسيات المتجهات - الرياضيات


1: أساسيات المتجهات - الرياضيات

SVM - فهم الرياضيات - الجزء 1 - الهامش

هذه هي المقالة الأولى من سلسلة مقالات سأكتبها عن الرياضيات الكامنة وراء SVM. هناك الكثير لنتحدث عنه وغالبًا ما تكون الخلفيات الرياضية ضرورية. ومع ذلك ، سأحاول الحفاظ على وتيرة بطيئة وتقديم تفسيرات متعمقة ، بحيث يكون كل شيء واضحًا تمامًا ، حتى بالنسبة للمبتدئين.

إذا كنت جديدًا وترغب في معرفة المزيد عن SVMs قبل الغوص في الرياضيات ، فيمكنك قراءة المقالة: نظرة عامة على Support Vector Machine.


المتجه

سيراجع محررونا ما قدمته ويحددون ما إذا كان ينبغي مراجعة المقالة أم لا.

المتجه، في الرياضيات ، كمية لها المقدار والاتجاه ولكن ليس الموضع. ومن أمثلة هذه الكميات السرعة والتسارع. في شكلها الحديث ، ظهرت النواقل في أواخر القرن التاسع عشر عندما طور جوشيا ويلارد جيبس ​​وأوليفر هيفيسايد (من الولايات المتحدة وبريطانيا على التوالي) تحليلًا متجهًا بشكل مستقل للتعبير عن القوانين الجديدة للكهرومغناطيسية التي اكتشفها الفيزيائي الاسكتلندي جيمس كليرك ماكسويل. منذ ذلك الوقت ، أصبحت النواقل ضرورية في الفيزياء والميكانيكا والهندسة الكهربائية وغيرها من العلوم لوصف القوى رياضيًا.

يمكن تصور المتجهات على أنها مقاطع خطية موجهة تمثل أطوالها مقاديرها. نظرًا لأن حجم واتجاه مادة متجه فقط ، يمكن استبدال أي مقطع موجه بواحد من نفس الطول والاتجاه ولكن يبدأ من نقطة أخرى ، مثل أصل نظام الإحداثيات. يُشار إلى المتجهات عادةً بحرف غامق ، مثل v. يُشار إلى حجم المتجه أو طوله بواسطة | v | ، أو الخامس، والتي تمثل كمية أحادية البعد (مثل رقم عادي) تُعرف باسم العدد القياسي. يؤدي ضرب متجه بواسطة عددي إلى تغيير طول المتجه وليس اتجاهه ، باستثناء أن الضرب في رقم سالب سيعكس اتجاه سهم المتجه. على سبيل المثال ، ضرب المتجه في 1/2 سينتج عنه نصف متجه في نفس الاتجاه ، بينما ضرب المتجه في −2 سينتج عنه ضعف طول المتجه لكنه يشير إلى الاتجاه المعاكس.

يمكن إضافة أو طرح متجهين. على سبيل المثال ، لإضافة أو طرح المتجهات v و ​​w بيانياً (يرى الرسم البياني) ، انقل كل منهما إلى الأصل وأكمل متوازي الأضلاع المكون من المتجهين v + w هو إذن متجه قطري واحد من متوازي الأضلاع ، و v - w هو المتجه القطري الآخر.

هناك طريقتان مختلفتان لضرب متجهين معًا. ينتج عن المنتج المتقاطع أو المتجه متجهًا آخر يُشار إليه بواسطة v × w. يُعطى حجم الضرب التبادلي بواسطة | v × w | = الخامسث الخطيئة θ، أين θ هي الزاوية الأصغر بين المتجهات (مع وضع "ذيولها" معًا). اتجاه v × w عمودي على كل من v و w ، ويمكن تصور اتجاهه بقاعدة اليد اليمنى ، كما هو موضح في الشكل. كثيرًا ما يستخدم الناتج المتقاطع للحصول على "طبيعي" (خط عمودي) على سطح عند نقطة ما ، ويحدث في حساب عزم الدوران والقوة المغناطيسية على جسيم مشحون متحرك.

الطريقة الأخرى لضرب متجهين معًا تسمى حاصل الضرب النقطي ، أو أحيانًا منتج عددي لأنه ينتج عنه عددي. يتم الحصول على حاصل الضرب القياسي بواسطة v ∙ w = الخامسث كوس θ، أين θ هي الزاوية الأصغر بين المتجهات. يتم استخدام حاصل الضرب القياسي لإيجاد الزاوية بين متجهين. (لاحظ أن حاصل الضرب النقطي يساوي صفرًا عندما تكون المتجهات متعامدة.) التطبيق المادي النموذجي هو إيجاد العمل دبليو يؤديها بقوة ثابتة F يعمل على جسم متحرك د العمل الذي قدمه دبليو = Fد كوس θ.

محررو Encyclopaedia Britannica تمت مراجعة هذه المقالة وتحديثها مؤخرًا بواسطة Erik Gregersen ، محرر أول.


مضيفا النواقل

يتم إعطاء المتجهين v و u من خلال مكوناتهما على النحو التالي u = (-2 ، 3 ، 4) و v = (4 ، 6 ، 1). أوجد u + v.

طرح نواقل

يتم إعطاء المتجهين v و u من خلال مكوناتهما على النحو التالي u = (-2 ، 3 ، 4) و v = (4 ، 6 ، 1). أوجد u - v.

الضرب بالكميات:

يتم إعطاء المتجه u من خلال مكوناته على النحو التالي u = (-2 ، 3 ، 4). تجد 7u.

حجم المتجه

يتم إعطاء المتجه u من خلال مكوناته على النحو التالي u = (-2 ، 3 ، 4). أوجد مقدار المتجه u.

ملاحظة: حجم المتجه.


لماذا استخدام النواقل في C ++

تُفضل المتجهات C ++ عند إدارة عناصر البيانات المتغيرة باستمرار.

يكون مفيدًا إذا كنت لا تعرف حجم البيانات مسبقًا نظرًا لأنك لست بحاجة إلى تعيين الحد الأقصى لحجم الحاوية. نظرًا لأنه من الممكن تغيير حجم متجهات C ++ ، فإنه يوفر مرونة أفضل للتعامل مع العناصر الديناميكية.

تقدم نواقل C ++ كفاءة ممتازة. إنها فئة قالب ، مما يعني عدم المزيد من الكتابة في نفس الرمز للتعامل مع البيانات المختلفة.

إذا كنت تستخدم ناقلات ، يمكنك نسخ وتعيين ناقلات أخرى بسهولة. هناك طرق مختلفة للقيام بذلك: استخدام الطريقة التكرارية ، عامل الإسناد = ، دالة مضمنة ، أو تمرير المتجه كمنشئ.

في متجهات C ++ ، تحدث إعادة التخصيص تلقائيًا كلما تم استخدام المقدار الإجمالي للذاكرة. تتعلق إعادة التخصيص هذه بكيفية عمل وظيفة الحجم والسعة.


1: أساسيات المتجهات - الرياضيات

أي مساحة داخلية للمنتج هي مساحة متجه معيارية ذات معيار (تذكر أن هذا محدد بواسطة). هذا يتطلب كوشي شوارتز. أسهل مثال على القاعدة هو سوب القاعدة على مساحة محدودة الأبعاد نسبة إلى بعض خيارات الأساس. استخدام الأساس لتحديد الخامس مع و ن ، يمكننا تحديد معيار sup لأي متجه على أنه. يجب عليك التحقق من أن هذا هو بالفعل معيار على و ن .

معياران ، قل || & middot || و [[& middot]] ، على مساحة متجهية ما يعادل إذا كان هناك ثوابت موجبة ج,ج ' هذا ولجميع النواقل الخامس. يجب عليك التحقق من أن هذه بالفعل علاقة تكافؤ. عندما نقوم بعمل طوبولوجيا في 55 ب ، سنرى أن المعايير المكافئة تنتج أيضًا نفس مفاهيم المجموعات المفتوحة / المغلقة / المحدودة / المدمجة ، والتقارب ، والاستمرارية ، والاستمرارية الموحدة ، والاكتمال. على سبيل المثال ، if || & middot || و [[& middot]] متكافئان ، ثم لأي تسلسل من المتجهات وأي متجه الخامس لدينا كما لو وفقط كما لو. (نقول تسلسل المتجهات & ldquoconverges إلى & nbspالخامس& rdquo في كلا المعيارين.)

إذا كانت V ذات أبعاد محدودة ، فإن جميع المعايير على V. على وجه الخصوص ، يتم تعريف المفاهيم المذكورة أعلاه بشكل قانوني ، بغض النظر عن اختيارات الأساس أو القاعدة (نظرًا لأننا نعلم بالفعل أن أي بُعد محدود F-الفضاء المتجه له بالفعل معيار واحد على الأقل). لا يمكننا إثبات ذلك حتى الآن لأنه يتوقف على المفاهيم الطوبولوجية (أي الاكتناز) التي سنطورها فقط في 55 ب. (للتعرف على دقة هذه النتيجة ، لاحظ أنه بينما يمكن تعريف مفهوم القاعدة أيضًا للمساحات المتجهة فوق الحقل س من الأرقام المنطقية ، تكافؤ المعايير فشل بالفعل في و [مدش] ، هل يمكنك إعطاء مثال؟) لكننا تستطيع إثبات أن جميع القواعد التي تأتي من منتج داخلي متكافئة. بالتناظر يكفي إثبات ذلك إذا || & middot || و [[& middot]] هما معياران داخليان للمنتج إذن بالنسبة للبعض ج. إصلاح الأساس المتعامد للمنتج الداخلي المرتبط بـ || & middot ||. يترك ج أن تكون أكبر عنصر أساسي. ثم بالتجانس كلما الخامس هو مضاعف لمتجه الأساس. لكن أي ناقل الخامس هو مجموع ن مثل هذه المضاعفات مع لكل منها أنا. من خلال إضافة فرعية يتبع ذلك ، Q.E.D.

هذا يعطينا فئة التكافؤ المتعارف عليها للمعايير على مساحة متجهية ذات أبعاد محدودة F. بينما لا يمكننا إثبات أنه يحتوي على جميع المعايير حتى الآن ، يمكننا بالتأكيد تجاوز معايير المنتج الداخلي على سبيل المثال ، فإن معيار sup فيما يتعلق بأي أساس يعادل معيار المنتج الداخلي فيما يتعلق بنفس الأساس (ما هي أفضل الثوابت) ج و ج ' لهذا التكافؤ؟) ، وبالتالي يعادل أي منتج داخلي آخر أو معيار sup.

قد يكون للفضاء المتجه اللانهائي الأبعاد معايير غير متكافئة. على سبيل المثال ، يمكنك بسهولة التحقق من أن معيار sup في مساحة الوظائف المستمرة لا يعادل القاعدة القادمة من المنتج الداخلي. [عذرًا ، HTML لا تجمع بين النصوص الفرعية والفائقة بالإضافة إلى TeX & hellip]


إذا حددنا نقطة يمكننا رسمها على هذا النحو.

الشكل 1: نقطة

التعريف: أي نقطة ، في تحدد متجهًا في المستوى ، أي المتجه الذي يبدأ عند الأصل وينتهي عند x.

هذا التعريف يعني وجود متجه بين الأصل و A.

الشكل 2 - ناقل

إذا قلنا أن النقطة في الأصل هي النقطة ، فإن المتجه أعلاه هو المتجه. يمكننا أيضًا إعطائها اسمًا عشوائيًا مثل.

ملحوظة: يمكنك أن تلاحظ أننا نكتب متجهًا إما بسهم فوقها ، أو بخط عريض ، في بقية هذا النص ، سأستخدم السهم عندما يكون هناك حرفان مثل والرمز الغامق بخلاف ذلك.

حسنًا ، نعلم الآن أن هناك متجهًا ، لكننا ما زلنا لا نعرف ماذا هو ناقل.

التعريف: المتجه هو كائن له مقدار واتجاه.

سننظر الآن في هذين المفهومين.

1) القدر

يتم كتابة حجم أو طول المتجه ويسمى معياره.
للمتجه هو طول المقطع

الشكل 3

من الشكل 3 يمكننا بسهولة حساب المسافة OA باستخدام نظرية فيثاغورس:

2) الاتجاه

الاتجاه هو المكون الثاني للناقل.

التعريف: إن اتجاه المتجه هو المتجه

من أين تأتي إحداثيات؟

فهم التعريف

لإيجاد اتجاه المتجه ، علينا استخدام زواياه.

الشكل 4 - اتجاه المتجه

يعرض الشكل 4 المتجه مع و

تعريف ساذج 1: يتم تحديد اتجاه المتجه بالزاوية فيما يتعلق بالمحور الأفقي ، والزاوية بالنسبة للمحور الرأسي.

هذا ممل. بدلاً من ذلك ، سنستخدم جيب التمام للزوايا.

في المثلث القائم ، يتم تعريف جيب التمام للزاوية من خلال:

في الشكل 4 ، يمكننا أن نرى أنه يمكننا تكوين مثلثين قائم الزاوية ، وفي كلتا الحالتين سيكون الضلع المجاور على أحد المحور. مما يعني أن تعريف جيب التمام يحتوي ضمنيًا على المحور المرتبط بزاوية. يمكننا إعادة صياغة تعريفنا الساذج إلى:

تعريف ساذج 2: يتم تحديد اتجاه المتجه من خلال جيب التمام للزاوية وجيب تمام الزاوية.

الآن إذا نظرنا إلى قيمهم:

ومن هنا جاء التعريف الأصلي للناقل. لهذا السبب تسمى إحداثياتها أيضًا اتجاه جيب التمام.

حساب متجه الاتجاه

سنحسب الآن اتجاه المتجه من الشكل 4:

اتجاه هو المتجه

إذا رسمنا هذا المتجه نحصل على الشكل 5:

الشكل 5: اتجاه ش

يمكننا أن نرى أنه في الواقع نفس الشكل باستثناء أنه أصغر. شيء مثير للاهتمام حول متجهات الاتجاه هو أن معيارها يساوي 1. ولهذا السبب غالبًا ما نسميها ناقلات الوحدة.


مثال 2

دع $ U = <(x_1، x_2، x_3، x_4، x_5) in mathbb^ 5: x_1 = 2x_2، x_3 = 4x_4، x_5 = 2x_4 > $ تكون مساحة فرعية من $ mathbb^ 5 دولار. ابحث عن أساس $ U $.

يمكننا إعادة كتابة الفضاء الفرعي $ U $ على النحو التالي:

لذلك لدينا $ <(2، 1، 0، 0، 0)، (0، 0، 4، 1، 2) > $ هو أساس $ U $. للتحقق من ذلك ، دع $ x = (x_1، x_2، x_3، x_4، x_5) in mathbb^ 5 دولار. ثم لدينا ذلك:

إذن U = mathrm ((2 ، 1 ، 0 ، 0 ، 0) ، (0 ، 0 ، 4 ، 1 ، 2)) $. الآن ضع في اعتبارك المعادلة المتجهة التالية لـ $ a_1، a_2 in mathbb$ :

المعادلة أعلاه تعني أن:

وبالتالي ، $ a_1 = a_2 = 0 $ وهكذا $ <(2، 1، 0، 0، 0)، (0، 0، 4، 1، 2) > $ هي مجموعة مستقلة خطيًا من المتجهات في $ U $ . إذن $ <(2، 1، 0، 0، 0)، (0، 0، 4، 1، 2) > $ هو أساس $ U $.


في هذا القسم ، يُفترض أن المركبة المعنية تدور حول جسم معين وأنها أصغر كثيرًا من الجسم الذي يدور حوله. بخلاف ذلك في المعادلة المدارية العامة ومعادلة الطاقة ، يُفترض أن تكون المدارات مدارات مقيدة تمامًا داخل مجال تأثير الجسم دون غيرها. يفترض هذا القسم أيضًا أن الفيزياء الكلاسيكية تنطبق في اللعبة. جميع المسافات وأنصاف الأقطار هي من مركز الجسم الذي يدور حوله ويجب إضافة نصف قطر مستوى سطح البحر للجسم إلى الارتفاع المعطى في اللعبة لاستعادة القيم هنا. يستخدم القسم معلمة الجاذبية القياسية & # x03BC = G M أي G هو ثابت الجاذبية لنيوتن و M هو كتلة الجسم الذي يدور حوله. من الآن فصاعدًا ، سيشير m < displaystyle m> إلى كتلة المركبة.

عندما تدور المركبة حول جسم ، يتم إعطاء المسافة بين المركبة والجسم بواسطة المعادلة

ومحور semiminor هو

سرعة جسم في مدار بيضاوي حول جسم أكبر بكثير هي

طاقة الجسم في المدار هي

يجب أن يلاحظ المرء أنه بالنسبة للمدارات المحدودة ، تكون الطاقة سالبة وبالنسبة لمدارات الهروب ، فإن الطاقة غير سالبة.


وصف

توفر هذه الحزمة بعض الإحصاءات الأساسية حول المتجهات العددية. يمكن لجميع الإجراءات الفرعية أن تأخذ إشارة إلى المتجه ليتم تشغيلها. في بعض الحالات ، تكون نسخة المتجه مقبولة ، لكن لا يوصى بها لتحقيق الكفاءة.

إرجاع القيمة القصوى للقيم المعطاة أو المتجه. في سياق مصفوفة تُرجع القيمة والفهرس في المصفوفة التي تحدث فيها.

إرجاع الحد الأدنى لقيمة القيم المعطاة أو المتجه ، في سياق مصفوفة تُرجع القيمة والفهرس في المصفوفة حيث يحدث.

إرجاع القيمة القصوى المطلقة للقيم المعطاة أو المتجه. في سياق مصفوفة تُرجع القيمة والفهرس في المصفوفة التي تحدث فيها.

إرجاع الحد الأدنى لقيمة المطلقة للقيم المعطاة أو المتجه. في سياق مصفوفة تُرجع القيمة والفهرس في المصفوفة التي تحدث فيها.

sum ($ v1، $ v2.)، sum (vector)، sum ( @ vector)

إرجاع مجموع القيم المعطاة أو المتجه

المتوسط ​​($ v1 ، $ v2.) ، المتوسط ​​(vector) ، المتوسط ​​( @ vector)

إرجاع متوسط ​​القيم المعطاة أو المتجه

vecprod ($ a، $ v1، $ v2.)، vecprod ($ a، @ vector)، vecprod ($ a، vector)

إرجاع متجه تم إنشاؤه بضرب الحجمي $ a في كل عنصر من عناصر المتجه.

تم طلبه ($ v1، $ v2.)، أمر (vector)، أمر ( @ vector)

إرجاع غير صفري إذا كان المتجه غير متناقص بالنسبة لفهرسه. لاستخدامها مثل

بدلا من (قليلا) أخرق

sumbyelement ( @ array1، @ array2)، diffbyelement ( @ array1، @ array2)

إرجاع مجموع عنصر تلو الآخر أو الفرق بين متجهين متطابقين الحجم. معطى

$ s سيكون [11،22،33] ، $ d سيكون [9،18،27].

إرجاع صحيح إذا وفقط إذا كانت المصفوفتان متطابقتين عدديًا.

إرجاع مرجع إلى مصفوفة تحتوي على منتج عنصر تلو الآخر لمصفوفتي الإدخال. بمعنى آخر.،

بتقييم الوسيط ، أي عنصر يفصل السكان إلى نصفين. تقوم بإرجاع مرجع إلى قائمة يكون العنصر الأول فيها هو القيمة المتوسطة والعنصر الثاني هو فهرس العنصر الوسيط في المتجه الأصلي.

إرجاع مرجع القائمة

بمعنى أن القيمة المتوسطة هي 5 وهي موجودة في الموضع 4 من المصفوفة الأصلية.

إذا كان هناك العديد من عناصر المصفوفة ذات القيمة المتوسطة ، على سبيل المثال [1،3،3،3،5]. في هذه الحالة ، نختار دائمًا العنصر الأول في المتجه الأصلي وهو الوسيط. في المثال ، نرجع [3،1].


شاهد الفيديو: Calculus 3 - Intro To Vectors (شهر نوفمبر 2021).