مقالات

14.7: التكاملات الثلاثية في الإحداثيات الأسطوانية والكروية


لقد رأينا أنه في بعض الأحيان يتم تبسيط التكاملات المزدوجة عن طريق القيام بها في الإحداثيات القطبية ؛ ليس من المستغرب أن تكون التكاملات الثلاثية في بعض الأحيان أبسط في الإحداثيات الأسطوانية أو الإحداثيات الكروية. نحتاج إلى فعل الشيء نفسه هنا ، بالنسبة للمناطق ثلاثية الأبعاد.

نظام الإحداثيات الأسطواني هو الأبسط ، لأنه مجرد نظام إحداثيات قطبي زائد إحداثي (ض ). الوحدة الصغيرة النموذجية للحجم هي الشكل الموضح أدناه "التسمين" في اتجاه (z ) ، لذا يكون حجمها (r Delta r Delta theta Delta z ) ، أو في الحد الأقصى ، (r ، دكتور ، د ثيتا ، دز ).

إحداثيات قطبية "شبكة".

مثال ( PageIndex {1} )

ابحث عن الحجم أسفل (z = sqrt {4-r ^ 2} ) فوق ربع الدائرة داخل (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) في الربع الأول.

حل

يمكننا بالطبع القيام بذلك باستخدام تكامل مزدوج ، لكننا سنستخدم تكاملًا ثلاثيًا:

[ int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ 2 int_0 ^ { sqrt {4-r ^ 2}} r ، dz ، dr ، d theta =
int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ 2 sqrt {4-r ^ 2} ؛ r ، دكتور ، د ثيتا =
{4 pi over3}. ]

قارن هذا بالمثال 15.2.1.

مثال ( PageIndex {2} )

يحتل الكائن المساحة داخل الأسطوانة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) والكرة (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 ) ، وله كثافة (x ^ 2 ) في ((س ، ص ، ض) ). أوجد الكتلة الكلية.

حل

قمنا بإعداد هذا في إحداثيات أسطوانية ، مع تذكر أن (x = r cos theta ):

[ eqalign {
int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ 1 int _ {- sqrt {4-r ^ 2}} ^ { sqrt {4-r ^ 2}}
r ^ 3 cos ^ 2 ( ثيتا) ، دز ، د ، د ثيتا
& = int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ 1 2 sqrt {4-r ^ 2} ؛ r ^ 3 cos ^ 2 ( theta) ، dr ، d theta cr
& = int_0 ^ {2 pi}
يسار ({128 over15} - {22 over5} sqrt3 right) cos ^ 2 ( theta) ، d theta cr
& = left ({128 over15} - {22 over5} sqrt3 right) pi cr
}]

الإحداثيات الكروية يصعب فهمها إلى حد ما. سيتم تحديد الحجم الصغير الذي نريده بواسطة ( Delta rho ) و ( Delta phi ) و ( Delta theta ) ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {1} ) .

الحجم الصغير على شكل صندوق تقريبًا ، مع 4 جوانب مسطحة وجانبين مكونين من أجزاء من الكرات متحدة المركز. عندما ( Delta rho ) ، ( Delta phi ) ، و ( Delta theta ) كلها صغيرة جدًا ، سيكون حجم هذه المنطقة الصغيرة تقريبًا الحجم الذي نحصل عليه من خلال التعامل معها على أنها صندوق. أحد أبعاد الصندوق هو ببساطة ( Delta rho ) ، التغيير في المسافة من الأصل. البعدان الآخران هما أطوال الأقواس الدائرية الصغيرة ، لذا فهي (r Delta alpha ) لبعض (r ) و ( alpha ) ، تمامًا كما في حالة الإحداثيات القطبية.

الشكل ( PageIndex {1} ): وحدة حجم صغيرة للإحداثيات الكروية (AP)

أسهل ما يمكن فهمه هو القوس المقابل للتغيير في ( phi ) ، والذي يشبه تقريبًا اشتقاق الإحداثيات القطبية ، كما هو موضح في الرسم البياني الأيسر في الشكل ( PageIndex {2} ). في هذا الرسم البياني ، ننظر إلى جانب المربع الذي نهتم به ، وبالتالي فإن الزاوية الصغيرة المصوَّرة هي بالضبط ( Delta phi ) ، والمحور الرأسي هو في الحقيقة المحور (z ) ، ولكن المحور الأفقي ليس محور حقيقي - إنه مجرد سطر ما في مستوى (x ) - (y ). نظرًا لأن القوس الآخر محكوم بـ ( theta ) ، نحتاج إلى تخيل النظر مباشرة لأسفل المحور (ض ) ، بحيث تكون الزاوية الظاهرة التي نراها هي ( دلتا ثيتا ). في هذا العرض ، المحاور هي في الحقيقة المحاور (س ) و (ص ). في هذا الرسم البياني ، المسافة الظاهرة من الأصل ليست ( rho ) ولكن ( rho sin phi ) ، كما هو موضح في الرسم البياني الأيسر.

الشكل ( PageIndex {2} ): إنشاء التكامل في الإحداثيات الكروية.

النتيجة هي أن حجم الصندوق الصغير هو تقريبًا ( Delta rho ( rho Delta phi) ( rho sin phi Delta theta) = rho ^ 2 sin phi Delta rho Delta phi Delta theta ) ، أو في الحد ( rho ^ 2 sin phi ، d rho ، d phi ، d theta ).

مثال ( PageIndex {3} )

افترض أن درجة الحرارة عند ((x، y، z) ) هي [T = dfrac {1} {1 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}. nonumber ] أوجد متوسط ​​درجة الحرارة في وحدة المجال المتمركزة في الأصل.

حل

في بعدين نضيف درجة الحرارة عند "كل نقطة" ونقسمها على المنطقة ؛ هنا نجمع درجات الحرارة ونقسمها على الحجم ، ((4/3) pi ):

[{3 over4 pi} int _ {- 1} ^ 1 int _ {- sqrt {1-x ^ 2}} ^ { sqrt {1-x ^ 2}}
int _ {- sqrt {1-x ^ 2-y ^ 2}} ^ { sqrt {1-x ^ 2-y ^ 2}}
{1 over1 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} ، dz ، dy ، dx non number
]

هذا يبدو فوضويًا تمامًا. نظرًا لأن كل شيء في المشكلة يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالكرة ، فسوف نتحول إلى إحداثيات كروية.

[{3 over4 pi} int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ pi
int_0 ^ 1
{1 over1 + rho ^ 2} ، rho ^ 2 sin phi ، d rho ، d phi ، d theta
= {3 over4 pi} (4 pi - pi ^ 2) = 3- {3 pi over4}. لا يوجد رقم
]


شاهد الفيديو: : Triple Integrals in Cylindrical Coordinates (شهر نوفمبر 2021).