مقالات

1.2: الأعداد الحقيقية - أساسيات الجبر


أهداف التعلم

  • صنف الرقم الحقيقي على أنه رقم طبيعي أو كامل أو عدد صحيح أو منطقي أو غير منطقي.
  • قم بإجراء العمليات الحسابية باستخدام ترتيب العمليات.
  • استخدم الخصائص التالية للأرقام الحقيقية: تبادلية وترابطية وتوزيعية ومعكوسة وهوية.
  • قيم التعبيرات الجبرية.
  • بسّط التعابير الجبرية.

كثيرا ما يقال أن الرياضيات هي لغة العلم. حدث أول استخدام للأرقام (100 ) قرون مضت في الشرق الأوسط لحساب أو تعداد العناصر. استخدم المزارعون ورجال الماشية والتجار القطع النقدية أو الأحجار أو العلامات للإشارة إلى كمية واحدة - على سبيل المثال حزمة من الحبوب أو رأس ماشية أو قطعة قماش بطول ثابت ، على سبيل المثال. أدى القيام بذلك إلى جعل التجارة ممكنة ، مما أدى إلى تحسين الاتصالات وانتشار الحضارة.

منذ ثلاثة إلى أربعة آلاف سنة ، أدخل المصريون الكسور. استخدموها في البداية لإظهار المعاملة بالمثل. في وقت لاحق ، استخدموها لتمثيل الكمية عند تقسيم الكمية إلى أجزاء متساوية.

ولكن ماذا لو لم يكن هناك ماشية للتجارة أو فُقد محصول كامل من الحبوب في الفيضان؟ كيف يمكن لشخص ما أن يشير إلى وجود لا شيء؟ منذ العصور القديمة ، كان الناس يفكرون في "الحالة الأساسية" أثناء العد واستخدموا رموزًا مختلفة لتمثيل هذا الشرط الفارغ. ومع ذلك ، لم يتم إضافة الصفر إلى نظام الأرقام حتى القرن الخامس الميلادي تقريبًا في الهند واستخدامه كرقم في العمليات الحسابية.

من الواضح أن هناك حاجة أيضًا إلى الأرقام لتمثل الخسارة أو الديون. في الهند ، في القرن السابع الميلادي ، تم استخدام الأرقام السالبة كحلول للمعادلات الرياضية والديون التجارية. وسعت أضداد أرقام العد نظام الأرقام إلى أبعد من ذلك.

نظرًا لتطور نظام الأرقام ، يمكننا الآن إجراء عمليات حسابية معقدة باستخدام هذه الفئات وغيرها من فئات الأرقام الحقيقية. في هذا القسم ، سوف نستكشف مجموعات من الأرقام ، والحسابات بأنواع مختلفة من الأرقام ، واستخدام الأرقام في التعبيرات.

تصنيف رقم حقيقي

الأرقام التي نستخدمها للعد ، أو تعداد العناصر ، هي الأرقام الطبيعية: (1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ) وهكذا. نصفهم في مجموعة الرموز كـ ( {1،2،3 ، ... } ) حيث تشير علامة القطع (( cdots) ) إلى أن الأرقام تستمر إلى ما لا نهاية. الأعداد الطبيعية ، بالطبع ، تسمى أيضًا أرقام العد. في أي وقت نقوم بتعداد أعضاء الفريق ، أو حساب العملات المعدنية في مجموعة ، أو حساب الأشجار في بستان ، فإننا نستخدم مجموعة الأرقام الطبيعية. مجموعة الأعداد الصحيحة هي مجموعة الأعداد الطبيعية زائد الصفر: ( {0،1،2،3، ... } ).

تضيف مجموعة الأعداد الصحيحة أضداد الأعداد الطبيعية إلى مجموعة الأعداد الصحيحة: ( { cdots، -3، -2، -1،0،1،2،3، cdots } ). من المفيد ملاحظة أن مجموعة الأعداد الصحيحة تتكون من ثلاث مجموعات فرعية متميزة: الأعداد الصحيحة السالبة ، والصفر ، والأعداد الصحيحة الموجبة. بهذا المعنى ، فإن الأعداد الصحيحة الموجبة هي مجرد أرقام طبيعية. طريقة أخرى للتفكير في الأمر هي أن الأعداد الطبيعية هي مجموعة فرعية من الأعداد الصحيحة.

[ begin {array} {ccc} [4pt] text {عدد صحيح سالب} & نص {صفر} & نص {أعداد صحيحة موجبة} [4pt] [4pt] cdots، -3، -2، -1 & 0 & 1، 2، 3، cdots [4pt] end {array} ]

تمت كتابة مجموعة الأرقام المنطقية على أنها ( {mn متوازي نص {m و n عدد صحيح و} n مكافئ 0 } ). لاحظ من التعريف أن الأرقام المنطقية هي كسور (أو حاصل قسمة) تحتوي على أعداد صحيحة في كليهما البسط والمقام ، والمقام ليس أبدًا (0 ). يمكننا أيضًا أن نرى أن كل عدد طبيعي ، وعدد صحيح ، وعدد صحيح هو عدد نسبي مقامه (1 ).

نظرًا لأنها كسور ، يمكن أيضًا التعبير عن أي رقم نسبي في شكل عشري. يمكن تمثيل أي رقم منطقي على النحو التالي:

  1. علامة عشرية نهائية: ( frac {15} {8} = 1.875 ) ، أو
  2. رقم عشري متكرر: ( frac {4} {11} = 0.36363636 cdots = 0. bar {36} )

نستخدم خطًا مرسومًا فوق كتلة الأرقام المتكررة بدلاً من كتابة المجموعة عدة مرات.

مثال ( PageIndex {1} ): كتابة الأعداد الصحيحة كأرقام منطقية

اكتب كلًا مما يلي في صورة عدد نسبي. اكتب كسرًا مع العدد الصحيح في البسط و (1 ) في المقام.

  1. (7)
  2. (0)
  3. (-8)

حل

  1. (0 = فارك {0} {1} )
  2. (- 8 = فارك {8} {1} )

تمرين ( PageIndex {1} )

اكتب كلًا مما يلي في صورة عدد نسبي.

  1. (11)
  2. (3)
  3. (-4)
إجابه
  1. ( فارك {11} {1} )
  2. ( فارك {3} {1} )
  3. (- frac {4} {1} )

مثال ( PageIndex {2} ): تحديد الأعداد الصحيحة

اكتب كلًا من الأرقام المنطقية التالية إما على شكل رقم عشري نهائي أو متكرر.

  1. (- frac {5} {7} )
  2. ( فارك {15} {5} )
  3. ( فارك {13} {25} )

حل

  1. ( frac {15} {5} = 3 ) (أو (3.0 )) ، علامة عشرية نهائية
  2. ( frac {13} {25} = 0.52 ) ، رقم عشري نهائي

تمرين ( PageIndex {2} )

اكتب كلًا من الأرقام المنطقية التالية إما على شكل رقم عشري نهائي أو متكرر.

  1. ( فارك {68} {17} )
  2. ( فارك {8} {13} )
  3. (- frac {13} {25} )
إجابه
  1. (4 ) (أو (4.0 )) منتهي
  2. (0. overline {615384} ) ، تكرار
  3. (- 0.85 ) ، منتهي

أرقام غير منطقية

في مرحلة ما من الماضي القديم ، اكتشف أحدهم أن ليست كل الأرقام أرقامًا منطقية. قد يكون المنشئ ، على سبيل المثال ، قد وجد أن قطر المربع مع جوانب الوحدة لم يكن (2 ) أو حتى (32 ) ، ولكنه كان شيئًا آخر. أو ربما لاحظ صانع الملابس أن نسبة المحيط إلى قطر لفة القماش كانت أكبر قليلاً من (3 ) ، لكنها لا تزال عددًا غير منطقي. يقال أن هذه الأرقام غير منطقية لأنه لا يمكن كتابتها على شكل كسور. تشكل هذه الأرقام مجموعة الأعداد غير النسبية. لا يمكن التعبير عن الأعداد غير المنطقية ككسر من عددين صحيحين. من المستحيل وصف هذه المجموعة من الأرقام بقاعدة واحدة باستثناء القول بأن الرقم غير منطقي إذا لم يكن منطقيًا. لذلك نكتب هذا كما هو موضح.

[{h mid text {h ليس رقمًا منطقيًا}} ]

مثال ( PageIndex {3} ): التفريق بين الأعداد الصحيحة وغير النسبية

حدد ما إذا كان كل رقم من الأرقام التالية منطقيًا أم غير منطقي. إذا كان منطقيًا ، فحدد ما إذا كان عددًا عشريًا نهائيًا أم متكررًا.

  1. ( sqrt {25} )
  2. ( فارك {33} {9} )
  3. ( sqrt {11} )
  4. ( فارك {17} {34} )
  5. (0.3033033303333…)

حل

  1. ( sqrt {25} ): يمكن تبسيط هذا كـ ( sqrt {25} = 5 ) ، لذلك ، ( sqrt {25} ) منطقي.
  2. ( frac {33} {9} ): نظرًا لأنه كسر ، فإن ( frac {33} {9} ) عدد نسبي. بعد ذلك ، بسّط واقسم. [ frac {33} {9} = إلغاء { frac {33} {9}} nonumber ] إذن ، ( frac {33} {9} ) منطقي وكسر عشري متكرر.
  3. ( sqrt {11} ): لا يمكن تبسيط هذا أكثر من ذلك. لذلك ، ( sqrt {11} ) عدد غير نسبي.
  4. ( frac {17} {34} ): نظرًا لأنه كسر ، فإن ( frac {17} {34} ) عدد نسبي. بسّط واقسم. [ frac {17} {34} = 0.5 nonumber ] إذن ، ( frac {17} {34} ) منطقي وعشري نهائي.
  5. (0.3033033303333… ) ليس رقمًا عشريًا نهائيًا. لاحظ أيضًا أنه لا يوجد نمط متكرر لأن مجموعة (3s ) تزداد في كل مرة. لذلك فهو ليس رقمًا نهائيًا ولا عددًا عشريًا متكررًا ، وبالتالي فهو ليس رقمًا منطقيًا. إنه رقم غير منطقي.

تمرين ( PageIndex {3} )

حدد ما إذا كان كل رقم من الأرقام التالية منطقيًا أم غير منطقي. إذا كان منطقيًا ، فحدد ما إذا كان عددًا عشريًا نهائيًا أم متكررًا.

  1. ( frac {7} {77} )
  2. ( sqrt {81} )
  3. (4.27027002700027…)
  4. ( فارك {91} {13} )
  5. ( sqrt {39} )
إجابه
  1. عقلاني وإنهاء ؛
  2. عقلاني ومتكرر.
  3. غير منطقي

أرقام حقيقية

بالنظر إلى أي رقم (n ) ، نعلم أن (n ) إما عقلاني أو غير منطقي. لا يمكن أن يكون كلاهما. تشكل مجموعتي الأعداد المنطقية وغير المنطقية معًا مجموعة الأعداد الحقيقية. كما رأينا مع الأعداد الصحيحة ، يمكن تقسيم الأعداد الحقيقية إلى ثلاث مجموعات فرعية: الأعداد الحقيقية السالبة ، والصفر ، والأرقام الحقيقية الموجبة. تتضمن كل مجموعة جزئية كسورًا وكسور عشرية وأرقامًا غير منطقية وفقًا لعلامتها الجبرية (+ أو -). لا يعتبر الصفر إيجابيا ولا سلبيا.

يمكن تصور الأرقام الحقيقية على خط أرقام أفقي مع اختيار نقطة عشوائية كـ (0 ) ، مع وجود أرقام سالبة على يسار (0 ) وأرقام موجبة على يمين (0 ). ثم يتم استخدام مسافة وحدة ثابتة لتمييز كل عدد صحيح (أو قيمة أساسية أخرى) على جانبي (0 ). أي رقم حقيقي يتوافق مع موضع فريد على خط الأعداد ، والعكس صحيح أيضًا: كل موقع على خط الأعداد يتوافق مع رقم حقيقي واحد بالضبط. يُعرف هذا بالمراسلات الفردية. نشير إلى هذا باعتباره خط الرقم الحقيقي كما هو موضح في الشكل ( ( PageIndex {1} ))

مثال ( PageIndex {4} ): تصنيف الأعداد الحقيقية

صنف كل رقم على أنه إما موجب أو سالب وإما منطقي أو غير منطقي. هل يقع الرقم على يسار أو يمين (0 ) على خط الأعداد؟

  1. (- فارك {10} {3} )
  2. (- sqrt {5} )
  3. (- 6π )
  4. (0.615384615384…)

حل

  1. (- frac {10} {3} ) سلبي ومنطقي. تقع على يسار (0 ) على خط الأعداد.
  2. (- sqrt {5} ) موجب وغير منطقي. تقع على يمين (0 ).
  3. (- sqrt {289} = - sqrt {17 ^ 2} = -17 ) سلبي ومنطقي. تقع على يسار (0 ).
  4. (- 6π ) سالب وغير منطقي. تقع على يسار (0 ).
  5. (0.615384615384… ) عدد عشري متكرر لذا فهو منطقي وموجب. تقع على يمين (0 ).

تمرين ( PageIndex {4} )

صنف كل رقم على أنه إما موجب أو سالب وإما منطقي أو غير منطقي. هل يقع الرقم على يسار أو يمين (0 ) على خط الأعداد؟

  1. ( sqrt {73} )
  2. (-11.411411411…)
  3. ( فارك {47} {19} )
  4. (- frac { sqrt {5}} {2} )
  5. (6.210735)
إجابه
  1. إيجابي ، غير عقلاني
  2. صحيح سلبي وعقلاني
  3. ترك إيجابي وعقلاني
  4. صحيح سلبي ، غير منطقي
  5. ترك إيجابيًا وعقلانيًا ؛ حق

مجموعات الأرقام كمجموعات فرعية

بدءًا من الأعداد الطبيعية ، قمنا بتوسيع كل مجموعة لتشكيل مجموعة أكبر ، مما يعني أن هناك علاقة مجموعة فرعية بين مجموعات الأرقام التي واجهناها حتى الآن. تصبح هذه العلاقات أكثر وضوحًا عند النظر إليها على أنها رسم تخطيطي ، مثل الشكل ( ( PageIndex {2} )).

مجموعات من الأرقام

تتضمن مجموعة الأعداد الطبيعية الأرقام المستخدمة في العد: ( {1،2،3 ، ... } ).

مجموعة الأعداد الصحيحة هي مجموعة الأعداد الطبيعية زائد الصفر: ( {0،1،2،3، ... } ).

تضيف مجموعة الأعداد الصحيحة الأعداد الطبيعية السالبة إلى مجموعة الأعداد الصحيحة: ( {... ، - 3 ، -2 ، -1،0،1،2،3 ، ... } ).

تتضمن مجموعة الأرقام المنطقية كسورًا مكتوبة كـ ( {mn متوازي نص {m و n عدد صحيح و} n eq 0 } ).

مجموعة الأرقام غير المنطقية هي مجموعة الأرقام غير المنطقية وغير المكررة وغير المنتهية: ( {h متوازي نص {h ليس رقمًا منطقيًا} } ).

مثال ( PageIndex {5} ): التمييز بين مجموعات الأعداد

صنف كل رقم على أنه عدد طبيعي (N) ، عدد صحيح (W) ، عدد صحيح (I) ، رقم منطقي (Q) ، و / أو رقم غير نسبي (Q ′).

  1. ( الجذر التربيعي {36} )
  2. ( frac {8} {3} )
  3. ( sqrt {73} )
  4. (-6)
  5. (3.2121121112…)

حل

ندبليوأناسس '
أ. ( الجذر التربيعي {36} = 6 )XXXX
ب. ( frac {8} {3} = 2. overline {6} )X
ج. ( sqrt {73} )X
د. (- 6 )XX
ه. (3.2121121112 ... )X

تمرين ( PageIndex {5} )

صنف كل رقم على أنه عدد طبيعي (N) ، عدد صحيح (W) ، عدد صحيح (I) ، رقم منطقي (Q) ، و / أو رقم غير نسبي (Q ′).

  1. (- frac {35} {7} )
  2. (0)
  3. ( sqrt {169} )
  4. ( sqrt {24} )
  5. (4.763763763...)
إجابه
ندبليوأناسس '
أ. (- frac {35} {7} )XX
ب. (0 )XXX
ج. ( sqrt {169} )XXXX
د. ( sqrt {24} )X
ه. (4.763763763 ... ).X

إجراء العمليات الحسابية باستخدام ترتيب العمليات

عندما نضرب رقمًا في نفسه ، نربعه أو نرفعه إلى أس (2 ). على سبيل المثال ، (4 ^ 2 = 4 times4 = 16 ). يمكننا رفع أي رقم لأي قوة. بشكل عام ، فإن التدوين الأسي يعني أن الرقم أو المتغير (أ ) يُستخدم كعامل (n ) مرات.

[a ^ n = a cdot a cdot a cdots a qquad text {n factor} nonumber ]

في هذا الترميز ، يُقرأ (a ^ n ) على أنه (n ^ {th} ) قوة (a ) ، حيث يُطلق على (a ) اسم القاعدة ويسمى (n ) الأس. قد يكون المصطلح في التدوين الأسي جزءًا من تعبير رياضي ، وهو مزيج من الأرقام والعمليات. على سبيل المثال ، (24 + 6 times dfrac {2} {3} - 4 ^ 2 ) تعبير رياضي.

لتقييم تعبير رياضي ، نقوم بإجراء العمليات المختلفة. ومع ذلك ، فإننا لا ننفذها بأي ترتيب عشوائي. نستخدم ترتيب العمليات. هذه سلسلة من القواعد لتقييم مثل هذه التعبيرات.

تذكر أننا في الرياضيات نستخدم الأقواس () والأقواس [] والأقواس {} لتجميع الأرقام والتعبيرات بحيث يتم التعامل مع أي شيء يظهر داخل الرموز كوحدة. بالإضافة إلى ذلك ، يتم التعامل مع أشرطة الكسور والجذور وأشرطة القيمة المطلقة كرموز تجميع. عند تقييم تعبير رياضي ، ابدأ بتبسيط التعبيرات ضمن رموز التجميع.

الخطوة التالية هي معالجة أي دعاة أو أصول. بعد ذلك ، نفذ عمليات الضرب والقسمة من اليسار إلى اليمين وأخيراً الجمع والطرح من اليسار إلى اليمين.

دعونا نلقي نظرة على التعبير المقدم.

[24 + 6 times dfrac {2} {3} - 4 ^ 2 nonumber ]

لا توجد رموز تجميع ، لذلك ننتقل إلى الأس أو الجذور. يتم رفع الرقم (4 ) إلى أس (2 ) ، لذا قم بتبسيط (4 ^ 2 ) كـ (16 ).

[24 + 6 times dfrac {2} {3} - 4 ^ 2 nonumber ]

[24 + 6 مرات dfrac {2} {3} - 16 nonumber ]

بعد ذلك ، نفذ عملية الضرب أو القسمة من اليسار إلى اليمين.

[24 + 6 مرات dfrac {2} {3} - 16 nonumber ]

[24 + 4-16 بلا رقم ]

أخيرًا ، قم بإجراء الجمع أو الطرح ، من اليسار إلى اليمين.

[24 + 4−16 عدد غير رقم ]

[28-16 نونمبر ]

[12 العدد ]

لذلك،

[24 + 6 times dfrac {2} {3} - 4 ^ 2 = 12 nonumber ]

بالنسبة لبعض التعبيرات المعقدة ، ستكون هناك حاجة إلى عدة تمريرات من خلال ترتيب العمليات. على سبيل المثال ، قد يكون هناك تعبير جذري داخل الأقواس يجب تبسيطه قبل تقييم الأقواس. يضمن اتباع ترتيب العمليات أن أي شخص يبسط نفس التعبير الرياضي سيحصل على نفس النتيجة.

ترتيب العمليات

يجب تقييم العمليات في التعبيرات الرياضية بترتيب منهجي يمكن تبسيطه باستخدام الاختصار بمداس:

  • ص(قوس)
  • ه(xponents)
  • م (ultiplication) و د(ivision)
  • أ(ddition) و س(الطرح)

كيف: إعطاء تعبير رياضي ، قم بتبسيطه باستخدام ترتيب العمليات.

  1. تبسيط أي تعبيرات ضمن رموز التجميع.
  2. بسّط أي عبارات تحتوي على أسس أو جذور.
  3. نفذ عمليات الضرب والقسمة بالترتيب من اليسار إلى اليمين.
  4. نفذ أي عملية جمع وطرح بالترتيب ، من اليسار إلى اليمين.

مثال ( PageIndex {6} ): استخدام ترتيب العمليات

استخدم ترتيب العمليات لتقييم كل من التعبيرات التالية.

  1. ( dfrac {5 ^ 2-4} {7} - sqrt {11-2} )
  2. ( dfrac {14-3 times2} {2 times5-3 ^ 2} )
  3. (7 مرات (5 مرات 3) −2 مرات [(6−3) −4 ^ 2] +1 )

حل

  1. [ start {align *} (3 times2) ^ 2-4 times (6 + 2) & = (6) ^ 2-4 times (8) && qquad text {Simplify parentheses} & = 36-4 times8 && qquad text {Simplify exponent} & = 36-32 && qquad text {تبسيط الضرب} & = 4 && qquad text {تبسيط الطرح} end { محاذاة *} ]
  2. [ begin {align *} dfrac {5 ^ 2-4} {7} - sqrt {11-2} & = dfrac {5 ^ 2-4} {7} - sqrt {9} && qquad text {تبسيط رموز التجميع (جذري)} & = dfrac {5 ^ 2-4} {7} -3 && qquad text {Simplify Radical} & = dfrac {25-4} { 7} -3 && qquad text {Simplify exponent} & = dfrac {21} {7} -3 && qquad text {تبسيط الطرح في البسط} & = 3-3 && qquad text {تبسيط القسمة} & = 0 && qquad text {Simplify طرح} end {align *} ]

لاحظ أنه في الخطوة الأولى ، يتم التعامل مع الجذر كرمز تجميع ، مثل الأقواس. أيضًا ، في الخطوة الثالثة ، يعتبر شريط الكسر رمزًا للتجميع ، لذلك يعتبر البسط مجمعًا.

  1. [ begin {align *} 6- mid 5-8 mid +3 times (4-1) & = 6- | -3 | +3 times3 && qquad text {تبسيط رموز التجميع الداخلي} & = 6-3 + 3 times3 && qquad text {تبسيط القيمة المطلقة} & = 6-3 + 9 && qquad text {تبسيط الضرب} & = 3 + 9 && qquad text {تبسيط الطرح} & = 12 && qquad text {Simplify plus} end {align *} ]
  2. [ begin {align *} dfrac {14-3 times2} {2 times5-3 ^ 2} & = dfrac {14-3 times2} {2 times5-9} && qquad text { تبسيط الأس} & = dfrac {14-6} {10-9} && qquad text {Simplify products} & = dfrac {8} {1} && qquad text {تبسيط الاختلافات} & = 8 && qquad text {تبسيط الحاصل} end {align *} ]

في هذا المثال ، يفصل شريط الكسر البسط والمقام ، ونبسطه بشكل منفصل حتى الخطوة الأخيرة.

  1. [ start {align *} 7 ​​times (5 times3) -2 times [(6-3) -4 ^ 2] + 1 & = 7 times (15) -2 times [(3) -4 ^ 2] +1 && qquad text {تبسيط داخل الأقواس} & = 7 times (15) -2 times (3-16) +1 && qquad text {Simplify exponent} & = 7 مرات (15) -2 مرات (-13) +1 && qquad text {Subtract} & = 105 + 26 + 1 && qquad text {Multiply} & = 132 && qquad text {إضافة} end {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {6} )

استخدم ترتيب العمليات لتقييم كل من التعبيرات التالية.

  1. ( sqrt {5 ^ 2-4 ^ 2} +7 times (5-4) ^ 2 )
  2. (1+ dfrac {7 times5-8 times4} {9-6} )
  3. (| 1.8-4.3 | +0.4 مرات sqrt {15 + 10} )
  4. ( dfrac {1} {2} times [5 times3 ^ 2-7 ^ 2] + dfrac {1} {3} times9 ^ 2 )
  5. ([(3-8^2)-4]-(3-8))
إجابه
  1. (10)
  2. (2)
  3. (4.5)
  4. (25)
  5. (26)

استخدام خواص الأعداد الحقيقية

بالنسبة لبعض الأنشطة التي نقوم بها ، لا يهم ترتيب عمليات معينة ، ولكن ترتيب العمليات الأخرى مهم. على سبيل المثال ، لا يحدث فرق إذا وضعنا الحذاء الأيمن قبل اليسار أو العكس. ومع ذلك ، لا يهم ما إذا كنا نرتدي الأحذية أو الجوارب أولاً. نفس الشيء ينطبق على العمليات في الرياضيات.

الخصائص التبادلية

تنص الخاصية التبادلية للإضافة على أنه يمكن إضافة الأرقام بأي ترتيب دون التأثير على المجموع.

[أ + ب = ب + أ ]

يمكننا أن نرى هذه العلاقة بشكل أفضل عند استخدام الأعداد الحقيقية.

((- 2) +7 = 5 نص {and} 7 + (- 2) = 5 )

وبالمثل ، فإن خاصية تبادلية الضرب تنص على أنه يمكن مضاعفة الأرقام بأي ترتيب دون التأثير على المنتج.

[أ مرات ب = ب مرات أ ]

مرة أخرى ، فكر في مثال بأرقام حقيقية.

((- 11) مرات (−4) = 44 ) و ((- 4) مرات (−11) = 44 )

من المهم ملاحظة أنه لا يوجد أي من الطرح أو القسمة تبادلي. على سبيل المثال ، (17−5 ) ليس هو نفسه (5−17 ). وبالمثل ، (20 ÷ 5 ≠ 5 ÷ 20 ).

الخصائص النقابية

تخبرنا الخاصية الترابطية للضرب أنه لا يهم كيف نجمع الأعداد عند الضرب. يمكننا تحريك رموز التجميع لتسهيل الحساب ، ويظل المنتج كما هو.

[a (bc) = (ab) c ]

تأمل هذا المثال.

((3 times4) times5 = 60 text {and} 3 times (4 times5) = 60 )

تخبرنا الخاصية الترابطية للإضافة أنه يمكن تجميع الأرقام بشكل مختلف دون التأثير على المجموع.

[أ + (ب + ج) = (أ + ب) + ج ]

يمكن أن تكون هذه الخاصية مفيدة بشكل خاص عند التعامل مع الأعداد الصحيحة السالبة. تأمل هذا المثال.

([15 + (- 9)] + 23 = 29 نص {و} 15 + [(- 9) +23] = 29 )

هل الطرح والقسمة ترابطية؟ راجع هذه الأمثلة.

[ begin {align *} 8- (3-15) overet {؟} {=} & (8-3) -15 8 - (- 12) overset {؟} {=} & 5-15 20 eq & 20-10 64 div (8 div 4) overet {؟} {=} & (64 div 8) div 4 64 div 2 overset {؟} {=} & 8 div 4 32 eq & 2 end {align *} ]

كما نرى ، لا الطرح ولا القسمة ترابطية.

خاصية التوزيع

تنص الخاصية التوزيعية على أن حاصل ضرب العامل في المجموع هو مجموع العامل في كل مصطلح في المجموع.

[أ مرات (ب + ج) = أ مرات ب + أ مرات ج ]

تجمع هذه الخاصية بين الجمع والضرب (وهي الخاصية الوحيدة التي تقوم بذلك). دعنا نأخذ مثالا.

لاحظ أن (4 ) خارج رموز التجميع ، لذلك نوزع (4 ) بضربها في (12 ) ، وضربها في (- 7 ) ، وإضافة المنتجات.

مثال ( PageIndex {7} )

لنكون أكثر دقة عند وصف هذه الخاصية ، نقول إن الضرب يوزع على الجمع. العكس ليس صحيحًا كما نرى في هذا المثال.

[ begin {align *} 6+ (3 times5) overet {؟} {=} & (6 + 3) times (6 times5) 6+ (15) overset {؟} {= } & (9) times (11) 21 مكافئ & 99 نهاية {محاذاة *} ]

لا يوزع الضرب على الطرح ، والقسمة توزع على لا الجمع ولا الطرح.

تحدث حالة خاصة لخاصية التوزيع عندما يتم طرح مجموع المصطلحات.

[أ − ب = أ + (- ب) ]

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك الفرق (12− ​​(5 + 3) ). يمكننا إعادة كتابة الفرق بين الحدين (12 ) و ((5 + 3) ) بتحويل تعبير الطرح إلى جمع المقابل. فبدلاً من طرح ((5 + 3) ) نضيف العكس.

(12 + (- 1) مرات (5 + 3) ])

الآن ، قم بتوزيع (- 1 ) وتبسيط النتيجة.

[ تبدأ {محاذاة *} 12- (5 + 3) & = 12 + (- 1) مرات (5 + 3) & = 12 + [(- 1) times5 + (- 1) times3] & = 12 + (- 8) & = 4 نهاية {محاذاة *} ]

يبدو أن هذا يمثل الكثير من المتاعب مقابل مبلغ بسيط ، لكنه يوضح نتيجة قوية ستكون مفيدة بمجرد تقديم المصطلحات الجبرية. لطرح مجموع المصطلحات ، قم بتغيير علامة كل مصطلح وإضافة النتائج. مع وضع هذا في الاعتبار ، يمكننا إعادة كتابة المثال الأخير.

[ start {align *} 12- (5 + 3) & = 12 + (- 5-3) & = 12-8 & = 4 end {align *} ]

خصائص الهوية

ال خاصية هوية الإضافة ينص على وجود رقم فريد يسمى الهوية المضافة ((0) ) والتي ، عند إضافتها إلى رقم ، ينتج عنها الرقم الأصلي.

[أ + 0 = أ ]

ال هوية خاصية الضرب ينص على وجود رقم فريد يسمى الهوية المضاعفة ((1) ) والتي عند ضربها برقم ينتج عنها الرقم الأصلي.

[أ مرات 1 = أ ]

على سبيل المثال ، لدينا ((−6) + 0 = −6 ) و (23 times1 = 23 ). لا توجد استثناءات لهذه الخصائص ؛ تعمل مع كل رقم حقيقي ، بما في ذلك (0 ) و (1 ).

خصائص معكوسة

تنص الخاصية العكسية للإضافة على أنه ، لكل رقم حقيقي a ، يوجد رقم فريد يسمى المقلوب الجمعي (أو العكس) ، والمشار إليه (- a ) ، والذي ، عند إضافته إلى الرقم الأصلي ، ينتج عنه مادة مضافة الهوية ، (0 ).

[أ + (- أ) = 0 ]

على سبيل المثال ، إذا (أ = −8 ) ، فإن المعكوس الجمعي هو (8 ) ، منذ ((- 8) + 8 = 0 ).

تنطبق الخاصية العكسية للضرب على جميع الأعداد الحقيقية باستثناء (0 ) لأن مقلوب (0 ) غير محدد. تنص الخاصية على أنه ، لكل رقم حقيقي (أ ) ، يوجد رقم فريد ، يسمى معكوس الضرب (أو مقلوب) ، والمشار إليه (1 أ ) ، أنه عند ضرب الرقم الأصلي ، ينتج عنه المضاعف الهوية ، (1 ).

[a times dfrac {1} {a} = 1 ]

على سبيل المثال ، إذا كان (a = - dfrac {2} {3} ) ، فإن المعاملة بالمثل ، والمشار إليها ( dfrac {1} {a} ) ، هي (- dfrac {3} {2} ) لأن

(a⋅ dfrac {1} {a} = left (- dfrac {2} {3} right) times left (- dfrac {3} {2} right) = 1 )

خصائص الأرقام الحقيقية

تحتوي الخصائص التالية على أرقام حقيقية (أ ) و (ب ) و (ج ).

جدول ( PageIndex {1} )
إضافةعمليه الضرب
خاصية التبديل (أ + ب = ب + أ ) (أ مرات ب = ب مرات أ )
ملكية مشتركة (أ + (ب + ج) = (أ + ب) + ج ) (أ (ق.م) = (أب) ج )
خاصية التوزيع

(أ مرات (ب + ج) = أ مرات ب + أ مرات ج )

خاصية الهوية

يوجد رقم حقيقي فريد يسمى الهوية المضافة ، 0 ، مثل أي رقم حقيقي أ

(أ + 0 = أ )

يوجد رقم حقيقي فريد يسمى الهوية المضاعفة ، 1 ، مثل أي رقم حقيقي أ

(أ مرات 1 = أ )

خاصية معكوسة

كل رقم حقيقي أ له مقلوب جمعي ، أو عكسه ، يُشار إليه بـ –a ، على هذا النحو

(أ + (- أ) = 0 )

كل رقم حقيقي غير صفري له معكوس ضربي ، أو مقلوب ، يُرمز إليه 1 أ ، على هذا النحو

(a times left ( dfrac {1} {a} right) = 1 )

مثال ( PageIndex {8} ): استخدام خصائص الأعداد الحقيقية

استخدم خصائص الأعداد الحقيقية لإعادة كتابة وتبسيط كل تعبير. اذكر الخصائص التي تنطبق.

  1. (3 مرات 6 + 3 مرات 4 )
  2. ((5+8)+(−8))
  3. (6−(15+9))
  4. ( dfrac {4} {7} times left ( dfrac {2} {3} times dfrac {7} {4} right) )
  5. (100 مرة [0.75 + (- 2.38)] )

حل

  1. [ begin {align *} 3 times6 + 3 times4 & = 3 times (6 + 4) qquad text {Distributive property} & = 3 times10 qquad text {Simplify} & = 30 qquad text {Simplify} end {align *} ]
  2. [ begin {align *} (5 + 8) + (- 8) & = 5+ [8 + (- 8)] qquad text {Associative property of add} & = 5 + 0 qquad نص {الخاصية العكسية للإضافة} & = 5 qquad text {Identity property of add} end {align *} ]
  3. [ begin {align *} 6- (15 + 9) & = 6 + [(- 15) + (- 9)] qquad text {خاصية التوزيع} & = 6 + (- 24) qquad text {Simplify} & = - 18 qquad text {Simplify} end {align *} ]
  4. [ begin {align *} dfrac {4} {7} times left ( dfrac {2} {3} times dfrac {7} {4} right) & = dfrac {4} { 7} times left ( dfrac {7} {4} times dfrac {2} {3} right) qquad text {الخاصية التبادلية للضرب} & = left ( dfrac {4} {7} times dfrac {7} {4} right) times dfrac {2} {3} qquad text {Associative property of multiplication} & = 1 times dfrac {2} {3 } qquad text {الخاصية العكسية للضرب} & = dfrac {2} {3} qquad text {Identity property of multiplication} end {align *} ]
  5. [ begin {align *} 100 times [0.75 + (- 2.38)] & = 100 times0.75 + 100 times (-2.38) qquad text {خاصية التوزيع} & = 75 + (- 238) qquad text {Simplify} & = - 163 qquad text {Simplify} end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {7} )

استخدم خصائص الأعداد الحقيقية لإعادة كتابة وتبسيط كل تعبير. اذكر الخصائص التي تنطبق.

  1. ( left (- dfrac {23} {5} right) times left [11 times left (- dfrac {5} {23} right) right] )
  2. (5 مرات (6.2 + 0.4) )
  3. (18-(7-15))
  4. ( dfrac {17} {18} + left [ dfrac {4} {9} + left (- dfrac {17} {18} right) right] )
  5. (6 مرات (-3) +6 مرات 3 )
إجابه
  1. (33 ) خاصية التوزيع
  2. ( dfrac {4} {9} ) ، الخاصية التبادلية للإضافة ، الخاصية الترابطية للإضافة ، الخاصية العكسية للإضافة ، خاصية الهوية للإضافة
  3. (0 ) ، خاصية التوزيع ، الخاصية العكسية للجمع ، خاصية الهوية للجمع

إيجاد قيمة المقادير الجبرية

حتى الآن ، تضمنت التعبيرات الرياضية التي رأيناها أعدادًا حقيقية فقط. في الرياضيات ، قد نرى تعبيرات مثل (x +5 ) أو ( dfrac {4} {3} pi r ^ 3 ) أو ( sqrt {2m ^ 3 n ^ 2} ) . في التعبير (x +5 ) ، (5 ) يسمى أ ثابت لأنه لا يختلف ويسمى (س ) أ عامل لأنه يفعل. (عند تسمية المتغير ، تجاهل أي أسس أو جذور تحتوي على المتغير) تعبير جبري هي مجموعة من الثوابت والمتغيرات المرتبطة ببعضها البعض من خلال العمليات الجبرية للجمع والطرح والضرب والقسمة.

لقد رأينا بالفعل بعض أمثلة الأرقام الحقيقية للتدوين الأسي ، وهي طريقة مختصرة لكتابة منتجات من نفس العامل. عند استخدام المتغيرات ، تعامل الثوابت والمتغيرات بنفس الطريقة.

[ start {align *} (-3) ^ 5 & = (- 3) times (-3) times (-3) times (-3) times (-3) Rightarrow x ^ 5 = س مرات x مرات x مرات x مرات x (2 times7) ^ 3 & = (2 times7) times (2 times7) times (2 times7) qquad ؛ ؛ Rightarrow (yz) ^ 3 = (yz) times (yz) times (yz) end {align *} ]

في كل حالة ، يخبرنا الأس عن عدد عوامل الأساس التي يجب استخدامها ، سواء كان الأساس يتكون من ثوابت أو متغيرات.

يمكن لأي متغير في تعبير جبري أن يأخذ قيمًا مختلفة أو يتم تعيينها. عندما يحدث ذلك ، تتغير قيمة التعبير الجبري. لتقييم تعبير جبري يعني تحديد قيمة التعبير لقيمة معينة لكل متغير في التعبير. استبدل كل متغير في التعبير بالقيمة المحددة ، ثم قم بتبسيط التعبير الناتج باستخدام ترتيب العمليات. إذا كان التعبير الجبري يحتوي على أكثر من متغير واحد ، فاستبدل كل متغير بالقيمة المخصصة له وقم بتبسيط التعبير كما كان من قبل.

مثال ( PageIndex {9} ): وصف التعبيرات الجبرية

اكتب الثوابت والمتغيرات لكل تعبير جبري.

  1. (س + 5 )
  2. ( dfrac {4} {3} pi r ^ 3 )
  3. ( sqrt {2m ^ 3 n ^ 2} )

حل

الثوابتالمتغيرات
أ. (س + 5 )(5) (س )
ب. ( dfrac {4} {3} pi r ^ 3 ) ( dfrac {4} {3} ) ، ( pi ) (ص )
ج. ( sqrt {2m ^ 3 n ^ 2} )(2) (م ) ، (n )

تمرين ( PageIndex {8} )

اكتب الثوابت والمتغيرات لكل تعبير جبري.

  1. (2 (L + W) )
  2. (4 سنوات ^ 3 + ص )
إجابه
الثوابتالمتغيرات
أ. (2 بي ص (ص + ح) ) (2 ) ، ( بي ) (ص ) ، (ح )
ب. (2 (L + W) )(2) (L ) ، (W )
ج. (4 سنوات ^ 3 + ص )(4) (ص )

مثال ( PageIndex {10} ): تقييم تعبير جبري بقيم مختلفة

احسب التعبير (2x − 7 ) لكل قيمة من أجل (x ).
  1. (س = 0 )
  2. (س = 1 )
  3. (س = 12 )
  4. (س = -4 )

حل

  1. استبدل (0 ) بـ (x ). [ begin {align *} 2x-7 & = 2 (0) -7 & = 0-7 & = -7 end {align *} ]
  2. استبدل (1 ) بـ (x ). [ begin {align *} 2x-7 & = 2 (1) -7 & = 2-7 ​​ & = -5 end {align *} ]
  3. استبدل ( dfrac {1} {2} ) بـ (x ). [ begin {align *} 2x-7 & = 2 left ( dfrac {1} {2} right) -7 & = 1-7 & = -6 end {align * } ]
  4. استبدل (- 4 ) بـ (x ). [ begin {align *} 2x-7 & = 2 (-4) -7 & = -8-7 & = -15 end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {9} )

احسب التعبير (11−3y ) لكل قيمة من أجل (y ).

  1. (ص = 2 )
  2. (ص = 0 )
  3. (y = dfrac {2} {3} )
  4. (ص = −5 )
إجابه
  1. (11)
  2. (26)

مثال ( PageIndex {11} ): إيجاد قيمة التعبيرات الجبرية

قيم كل تعبير للقيم المعطاة.

  1. (س + 5 ) من أجل (س = -5 )
  2. ( dfrac {t} {2t-1} ) من أجل (t = 10 )
  3. ( dfrac {4} {3} pi r ^ 3 ) من أجل (r = 5 )
  4. (أ + أب + ب ) من أجل (أ = 11 ) ، (ب = -8 )
  5. ( sqrt {2m ^ 3 n ^ 2} ) من أجل (م = 2 ) ، (n = 3 )

حل

  1. استبدل (- 5 ) لـ (x ). [ start {align *} x + 5 & = (-5) +5 & = 0 end {align *} ]
  2. استبدل (10 ​​) بـ (t ). [ begin {align *} dfrac {t} {2t-1} & = dfrac {(10)} {2 (10) -1} & = dfrac {10} {20-1} & = dfrac {10} {19} end {align *} ]
  3. استبدل (5 ) بـ (r ). [ begin {align *} dfrac {4} {3} pi r ^ 3 & = dfrac {4} {3} pi (5) ^ 3 & = dfrac {4} {3} pi (125) & = dfrac {500} {3} pi end {align *} ]
  4. استبدل (11 ) بـ (a ) و (- 8 ) بـ (b ). [ تبدأ {محاذاة *} أ + أب + ب & = (11) + (11) (- 8) + (- 8) & = 11-88-8 & = -85 النهاية {محاذاة *} ]
  5. استبدل (2 ) بـ (m ) و (3 ) بـ (n ). [ start {align *} sqrt {2m ^ 3 n ^ 2} & = sqrt {2 (2) ^ 3 (3) ^ 2} & = sqrt {2 (8) (9)} & = sqrt {144} & = 12 end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {10} )

قيم كل تعبير للقيم المعطاة.

  1. ( dfrac {y + 3} {y-3} ) لـ (y = 5 )
  2. (7-2t ) من أجل (t = -2 )
  3. ( dfrac {1} {3} pi r ^ 2 ) لـ (r = 11 )
  4. ((p ^ 2 q) ^ 3 ) لـ (p = -2 ) ، (q = 3 )
  5. (4 (m-n) -5 (n-m) ) لـ (m = dfrac {2} {3} ) (n = dfrac {1} {3} )
إجابه
  1. (4)
  2. (11)
  3. ( dfrac {121} {3} pi )
  4. (1728)
  5. (3)

الصيغ

المعادلة هي بيان رياضي يشير إلى أن تعبيرين متساويين. يمكن أن تكون التعبيرات عددية أو جبرية. المعادلة ليست صحيحة أو خاطئة بطبيعتها ، ولكنها مجرد اقتراح. تم العثور على القيم التي تجعل المعادلة صحيحة ، الحلول ، باستخدام خصائص الأعداد الحقيقية والنتائج الأخرى. على سبيل المثال ، المعادلة (2x + 1 = 7 ) لها الحل الفريد (3 ) لأننا عندما نستبدل (3 ) بـ (x ) في المعادلة ، نحصل على العبارة الصحيحة ( 2 (3) + 1 = 7 ).

الصيغة هي معادلة تعبر عن علاقة بين الكميات الثابتة والمتغيرة. في كثير من الأحيان ، تكون المعادلة وسيلة لإيجاد قيمة كمية واحدة (غالبًا متغير واحد) من حيث كميات أخرى أو كميات أخرى. أحد الأمثلة الأكثر شيوعًا هو صيغة إيجاد مساحة (A ) دائرة بدلالة نصف قطر (r ) الدائرة: (A = pi r ^ 2 ). لأي قيمة من (r ) ، يمكن العثور على المنطقة (A ) من خلال تقييم التعبير ( pi r ^ 2 ).

مثال ( PageIndex {12} ): استخدام صيغة

تحتوي الأسطوانة الدائرية اليمنى بنصف قطر (r ) وارتفاع (ح ) على مساحة السطح (S ) (بالوحدات المربعة) المعطاة بالصيغة (S = 2 pi r (r + h) ). راجع الشكل ( PageIndex {3} ). أوجد مساحة سطح أسطوانة نصف قطرها (6 ) بوصة وارتفاعها (9 ) بوصة. اترك الإجابة من حيث ( pi ).

قم بتقييم التعبير (2 pi r (r + h) ) لـ (r = 6 ) و (h = 9 ).

حل

[ start {align *} S & = 2 pi r (r + h) & = 2 pi (6) [(6) + (9)] & = 2 pi (6) ( 15) & = 180 pi end {محاذاة *} ]

مساحة السطح (180 pi ) بوصة مربعة.

تمرين ( PageIndex {11} )

توضع الصورة ذات الطول (L ) والعرض (W ) في ماتي بالعرض (8 ) سم (سم) تم العثور على مساحة ماتي (بالسنتيمتر المربع ، أو (سم ^ 2 ) لتكون (A = (L + 16) (W + 16) - L ) ⋅Wانظر الشكل ( PageIndex {4} ). أوجد مساحة غير لامع لصورة فوتوغرافية بطول (32 ) سم وعرض (24 ) سم.

إجابه

(1152 سم ^ 2 )

تبسيط التعابير الجبرية

في بعض الأحيان يمكننا تبسيط تعبير جبري لتسهيل عملية التقييم أو استخدامه بطريقة أخرى. للقيام بذلك ، نستخدم خصائص الأعداد الحقيقية. يمكننا استخدام نفس الخصائص في الصيغ لأنها تحتوي على تعبيرات جبرية.

مثال ( PageIndex {13} ): تبسيط التعبيرات الجبرية

بسّط كل تعبير جبري.

  1. (3 س -2 ص + س -3 ص -7 )
  2. (2 ص -5 (3-ص) +4 )
  3. ( left (4t- dfrac {5} {4} s right) - left ( dfrac {2} {3} t + 2s right) )
  4. (2 مليون -5 م + 3 مليون + n )

حل

  1. [ begin {align *} 3x-2y + x-3y-7 & = 3x + x-2y-3y-7 && qquad text {الخاصية التبادلية للإضافة} & = 4x-5y-7 && qquad text {Simplify} end {align *} ]
  2. [ begin {align *} 2r-5 (3-r) + 4 & = 2r-15 + 5r + 4 && qquad qquad qquad text {خاصية التوزيع} & = 2r + 5y-15 + 4 && qquad qquad qquad text {الخاصية التبادلية للإضافة} & = 7r-11 && qquad qquad qquad text {Simplify} end {align *} ]
  3. [ start {align *} left (4t- dfrac {5} {4} s right) - left ( dfrac {2} {3} t + 2s right) & = 4t- dfrac { 5} {4} s- dfrac {2} {3} t-2s && qquad text {خاصية التوزيع} & = 4t- dfrac {2} {3} t- dfrac {5} {4 } s-2s && qquad text {الخاصية التبادلية للإضافة} & = dfrac {10} {3} t- dfrac {13} {4} s && qquad text {Simplify} end {محاذاة *} ]
  4. [ start {align *} 2mn-5m + 3mn + n & = 2mn + 3mn-5m + n && qquad text {Commutative property of add} & = 5mn-5m + n && qquad text {تبسيط } end {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {12} )

بسّط كل تعبير جبري.

  1. ( dfrac {2} {3} y − 2 left ( dfrac {4} {3} y + z right) )
  2. ( dfrac {5} {t} −2− dfrac {3} {t} +1 )
  3. (4 ص (ف − 1) + ف (1 / ف) )
  4. (9 ص (ث + 2 ص) + (6 / ث) )
إجابه
  1. (- 2y − 2z ) أو (- 2 (y + z) )
  2. ( dfrac {2} {t} −1 )
  3. (3pq − 4p + q )
  4. (7 ص − 2 ث + 6 )

مثال ( PageIndex {14} ): تبسيط صيغة

مستطيل بطول (L ) وعرض (W ) له محيط (P ) معطى بواسطة (P = L + W + L + W ). بسّط هذا التعبير.

حل

[ begin {align *} P & = L + W + L + W P & = L + L + W + W && qquad text {خاصية الإضافة التبادلية} P & = 2L + 2W && qquad text {Simplify} P & = 2 (L + W) && qquad text {خاصية التوزيع} end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {13} )

إذا تم إيداع المبلغ (P ) في حساب يدفع فائدة بسيطة (r ) للوقت (t ) ، يتم إعطاء القيمة الإجمالية للإيداع (A ) بواسطة (A = P + Prt ). تبسيط التعبير. (سيتم استكشاف هذه الصيغة بمزيد من التفصيل لاحقًا في الدورة.)

إجابه

(A = P (1 + rt) )

قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية باستخدام أرقام حقيقية.

  • بسّط التعبير
  • تقييم تعبير 1
  • تقييم تعبير 2

المفاهيم الرئيسية

  • يمكن كتابة الأرقام المنطقية على شكل كسور أو إنهاء أو تكرار الكسور العشرية. انظر المثال والمثال.
  • حدد ما إذا كان الرقم منطقيًا أم غير منطقي عن طريق كتابته في صورة عدد عشري. انظر المثال.
  • تشكل الأعداد المنطقية والأعداد غير النسبية مجموعة الأعداد الحقيقية. انظر المثال. يمكن تصنيف الرقم على أنه طبيعي أو كامل أو عدد صحيح أو منطقي أو غير منطقي. انظر المثال.
  • يتم استخدام ترتيب العمليات لتقييم التعبيرات. انظر المثال.
  • الأعداد الحقيقية تحت عمليات الجمع والضرب تخضع للقواعد الأساسية ، والمعروفة باسم خصائص الأعداد الحقيقية. هذه هي الخصائص التبادلية ، والخصائص الترابطية ، والخصائص التوزيعية ، وخصائص الهوية ، والخصائص العكسية. انظر المثال.
  • تتكون التعبيرات الجبرية من ثوابت ومتغيرات يتم دمجها باستخدام عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة. انظر المثال. تأخذ قيمة عددية عند تقييمها عن طريق استبدال المتغيرات بثوابت. انظر مثال ومثال ومثال
  • الصيغ هي معادلات يتم فيها تمثيل كمية واحدة من حيث الكميات الأخرى. يمكن تبسيطها أو تقييمها على أنها أي تعبير رياضي. انظر المثال والمثال.

شفهي

هل ( sqrt {2} ) مثال على إنهاء عقلاني أو تكرار منطقي أو عدد غير نسبي؟ قل لماذا يناسب هذه الفئة.

عدد غير نسبي. لا ينتهي الجذر التربيعي لاثنين ولا يكرر نمطًا. لا يمكن كتابته كحاصل قسمة عددين صحيحين ، لذلك فهو غير منطقي.

ما هو ترتيب العمليات؟ ما الاختصار المستخدم لوصف ترتيب العمليات ، وماذا تعني؟

ماذا تسمح لنا الخصائص الترابطية بالقيام به عند اتباع ترتيب العمليات؟ اشرح اجابتك.

تنص الخصائص الترابطية على أنه يمكن تجميع مجموع أو حاصل ضرب أرقام متعددة بشكل مختلف دون التأثير على النتيجة. هذا لأنه يتم تنفيذ العملية نفسها (إما الجمع أو الطرح) ، لذلك يمكن إعادة ترتيب المصطلحات.

رقمي

للتمارين التالية ، بسّط التعبير المعطى.

جبري

بالنسبة للتمارين التالية ، أوجد قيمة المتغير.

بالنسبة للتمارين التالية ، قم بتبسيط التعبير.

تطبيقات العالم الحقيقي

بالنسبة للتدريبات التالية ، ضع في اعتبارك هذا السيناريو: يكسب فريد 40 دولارًا من جز العشب. ينفق 10 دولارات على ملفات mp3 ، ويضع نصف ما تبقى في حساب توفير ، ويحصل على 5 دولارات أخرى لغسيل سيارة جاره.

اكتب التعبير الذي يمثل عدد الدولارات التي يحتفظ بها فريد (ولا يضعها في حساب التوفير الخاص به). تذكر ترتيب العمليات.

كم من المال يحتفظ به فريد؟

بالنسبة للتمارين التالية ، حل المشكلة المحددة.

وفقًا للنعناع الأمريكي ، يبلغ قطر الربع 0.955 بوصة. محيط الربع هو القطر مضروبًا في ، فهل محيط الربع هو عدد صحيح أم نسبي أم عدد غير نسبي؟

قررت جيسيكا ورفيقتها في السكن ، أدريانا ، مشاركة وعاء تغيير للنفقات المشتركة. وضعت جيسيكا نقودها الفضفاضة في الجرة أولاً ، ثم أدخلت أدريانا التغيير في البرطمان. نحن نعلم أنه لا يهم ترتيب إضافة التغيير إلى الجرة. ما خاصية الإضافة تصف هذه الحقيقة؟

بالنسبة للتمارين التالية ، ضع في اعتبارك هذا السيناريو: هناك كومة من الحصى في المحجر. طوال اليوم ، يتم إضافة 400 رطل من الحصى إلى التل. تم بيع أمرين بقيمة 600 جنيه وإزالة الحصى من الكومة. في نهاية اليوم ، تحتوي الكومة على 1200 رطل من الحصى.

اكتب المعادلة التي تصف الموقف.

للتمرين التالي ، حل المشكلة المحددة.

يدير رامون قسم التسويق في شركته. يحصل قسمه على ميزانية كل عام ، وفي كل عام ، يجب أن ينفق الميزانية بالكامل دون تجاوز. إذا كان ينفق أقل من الميزانية ، فسيحصل قسمه على ميزانية أصغر في العام التالي. في بداية هذا العام ، حصل رامون على 2.5 مليون دولار لميزانية التسويق السنوية. يجب أن ينفق الميزانية مثل 2500000 − x = 0 ما خاصية الجمع تخبرنا ما هي قيمة x يجب أن؟

خاصية معكوسة للجمع

تقنية

بالنسبة للتمارين التالية ، استخدم حاسبة الرسوم البيانية لحلها x. قرب الإجابات لأقرب جزء من مائة.

ملحقات

إذا لم يكن العدد الصحيح عددًا طبيعيًا ، فماذا يجب أن يكون؟

حدد ما إذا كانت العبارة صحيحة أم خاطئة: المعكوس الضربي للرقم الكسري هو أيضًا منطقي.

تحديد ما إذا كانت العبارة صحيحة أم خاطئة: يكون حاصل ضرب عدد منطقي وغير منطقي دائمًا غير منطقي.

حدد ما إذا كان التعبير المبسط منطقيًا أم غير منطقي: −18−4 (5) (- 1) ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√.

حدد ما إذا كان التعبير المبسط نسبيًا أم غير منطقي: −16 + 4 (5) + 5‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√.

ما هو نوع العدد دائمًا من قسمة عددين صحيحين؟

ما خاصية الأعداد الحقيقية التي من شأنها تبسيط التعبير التالي: 4 + 7 (x − 1)؟

قائمة المصطلحات

تعبير جبري
الثوابت والمتغيرات مجتمعة باستخدام الجمع والطرح والضرب والقسمة
الملكية الترابطية للإضافة
يمكن تجميع ثلاثة أرقام بشكل مختلف دون التأثير على النتيجة ؛ بالرموز ، أ + (ب + ج) = (أ + ب) + ج
الخاصية الترابطية للضرب
يمكن تجميع ناتج ثلاثة أرقام بشكل مختلف دون التأثير على النتيجة ؛ في الرموز ، a⋅ (b⋅c) = (a⋅b) ⋅c
يتمركز
في التدوين الأسي ، التعبير الذي يتم ضربه
خاصية التبديل من إضافة
يمكن إضافة رقمين في أي من الترتيب دون التأثير على النتيجة ؛ في الرموز ، أ + ب = ب + أ
خاصية تبادلية الضرب
يمكن ضرب رقمين بأي ترتيب دون التأثير على النتيجة ؛ في الرموز ، a⋅b = b⋅a
ثابت
كمية لا تغير قيمتها
خاصية التوزيع
حاصل ضرب العامل في المجموع هو مجموع العامل ضرب كل مصطلح في المجموع ؛ في الرموز ، a⋅ (b + c) = a⋅b + a⋅c
معادلة
بيان رياضي يشير إلى أن تعبيرين متساويين
الأس
في التدوين الأسي ، الرقم المرتفع أو المتغير الذي يشير إلى عدد مرات ضرب الأساس
الأسية
طريقة مختصرة لكتابة منتجات من نفس العامل
معادلة
معادلة تعبر عن علاقة بين الكميات الثابتة والمتغيرة
خاصية هوية الإضافة
يوجد رقم فريد يسمى الهوية المضافة 0 ، والتي عند إضافتها إلى رقم ينتج عنها الرقم الأصلي ؛ في الرموز ، أ + 0 = أ
هوية خاصية الضرب
يوجد رقم فريد يسمى الهوية المضاعفة 1 ، والتي عند ضربها برقم ينتج عنها الرقم الأصلي ؛ في الرموز ، a⋅1 = a
أعداد صحيحة
المجموعة المكونة من الأعداد الطبيعية وأضدادها و 0: {…، ،3، −2، −1،0،1،2،3،…}
خاصية معكوسة للجمع
لكل رقم حقيقي أ ، يوجد رقم فريد يسمى مقلوب الجمع (أو العكس) ، ويُشار إليه بـ أ ، والذي ينتج عنه الهوية المضافة ، عند إضافته إلى الرقم الأصلي ، 0 ؛ في الرموز ، أ + (- أ) = 0
الخاصية العكسية للضرب
لكل رقم حقيقي غير صفري أ ، يوجد رقم فريد يسمى معكوس الضرب (أو مقلوب) ، يُرمز إليه 1 أ ، والذي عند ضربه في الرقم الأصلي ، ينتج عنه هوية المضاعفة ، 1 ؛ في الرموز ، a⋅1a = 1
أرقام غير منطقية
مجموعة جميع الأرقام غير المنطقية ؛ لا يمكن كتابتها على أنها رقم عشري منتهي أو متكرر ؛ لا يمكن التعبير عنها في صورة كسر من عددين صحيحين
الأعداد الطبيعية
مجموعة أرقام العد: {1،2،3 ، ...}
ترتيب العمليات
مجموعة من القواعد التي تحكم كيفية تقييم التعبيرات الرياضية ، وتحديد الأولويات للعمليات
أرقام نسبية
مجموعة من جميع الأرقام من formmn ، مكان الأعداد الصحيحة و n 0. يمكن كتابة أي رقم منطقي ككسر أو كسر عشري منتهي أو متكرر.
خط الرقم الحقيقي
خط أفقي يستخدم لتمثيل الأعداد الحقيقية. يتم اختيار نقطة ثابتة عشوائية لتمثيل 0 ؛ الأعداد الموجبة تقع على يمين 0 والأرقام السالبة على اليسار.
أرقام حقيقية
مجموعتي الأعداد المنطقية والأعداد غير المنطقية معًا
عامل
كمية قد تتغير قيمتها
الأعداد الكلية
المجموعة المكونة من 0 بالإضافة إلى الأعداد الطبيعية: {0،1،2،3 ، ...}

المنطق الرياضي

ليس عليك أن يكون لديك "عقل رياضي" لاجتياز اختبار GED ® في الرياضيات - ما عليك سوى التحضير الصحيح.

إليك ما تحتاج إلى معرفته:

  • يجب أن تكون على دراية بمفاهيم الرياضيات والقياسات والمعادلات وتطبيق مفاهيم الرياضيات لحل مشاكل الحياة الواقعية.
  • لا يتعين عليك حفظ الصيغ وسيتم إعطاؤك ورقة الصيغة في مركز الاختبار وكذلك على الشاشة في الاختبار.
  • استخدم دليل دراسة الرياضيات المجاني لبدء الدراسة. سوف يساعدك على فهم المهارات التي يتم اختبارها. قم بتسجيل الدخول لبدء استخدام دليل الدراسة.
  • يمكن أن يساعدك اختبار GED Ready ® التدريبي للرياضيات في تحديد ما إذا كنت مستعدًا لإجراء الاختبار الفعلي. قم بتسجيل الدخول لإجراء الاختبار التدريبي.

جرب نموذج سؤال

نظرة عامة على السؤال

يتطلب هذا السؤال ترتيب مجموعة من الكسور والأرقام العشرية من الأصغر إلى الأكبر. أولاً ، يجب تحويل جميع الأرقام إلى نفس التنسيق - إما جميع الكسور أو جميع الكسور العشرية - ثم يتم ترتيب الأرقام الناتجة بالترتيب. (ملاحظة: في اختبار الاستدلال الرياضي GED ® ، لن تكون الآلة الحاسبة متاحة لك بخصوص هذا السؤال.)

يتم عرض قائمة الأرقام

أي قائمة توضح الأرقام مرتبة من الأصغر إلى الأكبر؟

الخيار (أ) صحيح. هذه الاستجابة هي نتيجة إما تحويل الكسور العشرية إلى كسور ، أو الكسور إلى كسور عشرية ، ثم مقارنة النتائج ، ووضع الأرقام الأصلية بالترتيب الصحيح.

الخيار ب غير صحيح. إذا حددت هذه الإجابة ، فقد قارنت بشكل غير صحيح الأرقام غير الصفرية في الكسور العشرية مع المقامات في الكسور ، قبل محاولة ترتيبها بالترتيب العددي.

الخيار "ج" غير صحيح. إذا حددت هذه الاستجابة ، فقد ارتكبت خطأ في 0.07 ، وقراءتها بشكل غير صحيح على أنها 0.7 ، ووضعها بين 0.6 و 4-5.

الخيار D غير صحيح. إذا حددت هذه الاستجابة ، فقد ارتكبت خطأ حسابيًا في التحويل ، والحصول على إجابة من 0.4 ووضعها بين 1⁄8 و 1⁄2.


الجبر

العمليات الأربع وعلاماتها.
وظيفة الأقواس.
المصطلحات مقابل العوامل.
القوى والأس.
ترتيب العمليات.
القيم والتقييمات.
إيجاد قيمة التعبيرات الجبرية.

الأعداد الصحيحة.
العلامة الجبرية والقيمة المطلقة.
طرح عدد أكبر من أصغر.
خط الأعداد.
سالب أي رقم.

"إضافة" رقم سلبي.
شروط التسمية. قاعدة إضافة المصطلحات.
طرح رقم سالب.

حكم التماثل. القواعد التبادلية. ينعكس.
قاعدتان للمعادلات.

تعريف المعاملة بالمثل. تعريف القسمة. قواعد 0.

أقواس. اقواس. الأقواس.
علاقة ب & ناقص أ إلى أ & ناقص ب.

قانون العكس.
نقل.
تسلسل منطقي للبيانات.
معادلات كسرية بسيطة.

معادلات القيمة المطلقة.
عدم المساواة في القيمة المطلقة.

صلاحيات العدد.
قواعد الأس: متى تضيف ومتى تضرب.

تعريف كثير الحدود في x.
تحليل كثيرات الحدود.
العوملة بالتجميع.
المعادلات التي يكون فيها المجهول عاملاً مشتركًا.

التربيعات في حجج مختلفة.

الكمال ثلاثي الحدود المربع.
مربع ثلاثي الحدود.
استكمال المربع.
الجبر الهندسي.

ملخص الضرب / العوملة.
العوملة بالتجميع.
مجموع وفرق أي قوتين: a n & plusmn b n.

الأسس السلبية. الأس 0. التدوين العلمي.

تعابير عقلانية. مبدأ الكسور المتكافئة. تخفيض لأدنى حد.

المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لسلسلة من المصطلحات.

الكل يساوي مجموع الأجزاء.
نفس مشكلة الوقت: المنبع والمصب.
إجمالي مشكلة الوقت. مشكلة العمل.

الجذور التربيعية.
المعادلات x & sup2 = a ، والجذر التربيعي الأساسي.
ترشيد القاسم.
الأعداد الحقيقية.

جذور الأعداد. فهرس الجذور.
الأسس الكسرية.
الأسس السلبية.

الجذر التربيعي لعدد سالب.
المكونات الحقيقية والخيالية.
أزواج مترافقة.

مسافة النقطة من نقطة الأصل.
المسافة بين أي نقطتين.
دليل على نظرية فيثاغورس.

معادلة الدرجة الأولى ورسمها البياني.
خطوط عمودية وأفقية.

صيغة الميل والمقطع لمعادلة الخط المستقيم. الشكل العام.
المستقيمات المتوازية والعمودية.
صيغة نقطة الميل. صيغة النقطتين.

طريقة الجمع. طريقة الاستبدال. قاعدة كرامر: طريقة المحددات.
ثلاث معادلات في ثلاثة مجاهيل.

مشاكل الاستثمار. مشاكل الخليط.
مشاكل المنبع والمصب.

جذور التربيعية.
الحل بالتحليل إلى عوامل.
استكمال المربع.
الصيغة التربيعية.
المميز.
مخطط تربيعي: قطع مكافئ.

تعريف. قوانين اللوغاريتمات الثلاثة.
اللوغاريتمات المشتركة.

اختلاف مباشر. ثابت التناسب.
يختلف حسب المربع. يختلف عكسيا. يختلف حسب المربع العكسي.


مثال 2: حل مشكلة من العالم الحقيقي بالنظر إلى نقطتين

يرعى قسم الرياضيات Math Family Fun Night كل عام. في السنة الأولى ، كان هناك 35 مشاركًا. في السنة الثالثة كان هناك 57 مشاركا.

  • اكتب معادلة يمكن استخدامها للتنبؤ بعدد المشاركين ، ص ، لأي سنة معينة ، س.
  • بناءً على معادلتك ، كم عدد المشاركين المتوقع للسنة الخامسة؟

الخطوة 1: حدد نقطتك.

دع y = عدد المشاركين

نعلم أنه في السنة الأولى ، كان هناك 35 مشاركًا. يمكن كتابة هذا كـ (1،35)

في السنة الثالثة ، كان هناك 57 مشاركًا. يمكن كتابة هذا كـ (3،57).

لذلك ، فإن النقطتين هي (1،35) و (3،57)

دعنا ندخل هذه المعلومات في مخططنا.

الآن بعد أن أصبح لدينا معادلة ، يمكننا استخدام هذه المعادلة لتحديد عدد المشاركين المتوقع للسنة الخامسة.

كل ما علينا القيام به هو استبدال!

سنعوض بـ 5 عن x (x هي السنة) ونحل قيمة y.

هناك 79 مشاركًا متوقعًا للسنة الخامسة.

وهذا كل شيء! ليس سيئا جدا ، أليس كذلك؟ آمل أن تكون قد تعلمت كيفية التعرف على النقاط والميل وتقاطعات y عند قراءة مشاكل العالم الحقيقي.

قد ترغب أيضًا في زيارة درسنا حول كتابة المعادلات باستخدام صيغة ميل ونقطة.

تعليقات

هل تحتاج إلى مزيد من المساعدة في دراسات الجبر؟

احصل على الوصول إلى المئات من أمثلة الفيديو وممارسة المشاكل مع اشتراكك! & # xa0

انقر هنا لمزيد من المعلومات حول خيارات الاشتراك بأسعار معقولة.

ألست مستعدًا للاشتراك؟ & # xa0 سجل في دورة تنشيط ما قبل الجبر المجانية.

أعضاء دورة الجبر الإلكترونية

انقر هنا للحصول على مزيد من المعلومات حول الدورات الإلكترونية لفصل الجبر.


ألعاب الرياضيات للصف الثالث

تركز ألعاب الرياضيات للصف الثالث على صفحة الويب هذه على العديد من الموضوعات المهمة مثل القيمة المكانية وإضافة وطرح الأعداد الصحيحة والكسور العشرية وضرب الأعداد الصحيحة وقسمتها ومفاهيم الطول والمحيط والمساحة والوقت وخصائص الأشكال الهندسية ، وكذلك جمع البيانات وتنظيمها وعرضها وتفسيرها.

لم يكن تعلم الرياضيات بهذه المتعة من قبل!

هل أنت ساحر رياضيات؟ اجعل 20 من الأرانب تختفي عن طريق حل مسائل الجمع والطرح والضرب بسرعة كبيرة.

كن جزءًا من الإثارة في لعب سباقات السيارات مع إضافة لعبة Math Racing الرائعة هذه مع إعادة التجميع. هنا سوف تضيف الأرقام بشكل صحيح لمواصلة السباق حتى خط النهاية. اعمل بسرعة حتى تتمكن من عبور خط النهاية أولاً.

هذه لعبة Tic Tac Toe ممتعة وتفاعلية حول تصنيف الأعداد الصحيحة على أنها فردية أو زوجية.

قم بتقريب الأرقام بشكل صحيح في لعبة قراصنة الرياضيات الممتعة هذه عبر الإنترنت للبحث عن صندوق الكنز.

العب لعبة الرياضيات المخيفة هذه في عيد الهالوين ومارس مهاراتك في القياس الحسابي لتدمير الكثير من الوحوش. لكل إجابة صحيحة ، ستدخل جولة مكافأة حيث يمكنك كسب نقاط عن طريق تحطيم الوحوش. تتعلق المسائل الحسابية بقياس الوقت والحجم والكتلة.

استمتع بسباقات السيارات الممتعة مع حقائق رقم لعبة Math Racing الرائعة. يجب عليك حل مشاكل العمليات الأربع للاستمرار في السباق حتى خط النهاية. اعمل بسرعة حتى تتمكن من عبور خط النهاية أولاً.

المتعة والإثارة وهدير المحركات كلها هنا في لعبة Math Racing Multiply ضمن 100. قم بضرب الأرقام بسرعة وبدقة من أجل الوصول إلى العلم المتقلب.

استمع إلى هدير المحركات ، وشاهد منعطفات الشعر وهي تقترب بسرعة في لعبة Math Racing Divide ضمن 100. يجب عليك تقسيم الأرقام بسرعة لمواصلة السباق حتى خط النهاية وإلا فقد تنفجر "سيارة السباق" الخاصة بك وسباقك تم.

حقائق الضرب تصل إلى 12 لعبة بيسبول
استمتع بممارسة مهارات الضرب الخاصة بك من خلال لعب حقائق ضرب البيسبول المثيرة هذه التي تصل إلى 12 لعبة.

سيستمتع طلاب الصف الثالث بتحديد مصطلحات الرياضيات المهمة عند لعب لعبة المفردات التفاعلية هذه. لكل تعريف ، سيكون لدى الطلاب 60 ثانية فقط لتحديد الكلمة الصحيحة.

انطلق في مهارات الرياضيات الرائعة من خلال لعب هذه اللعبة الرياضية لتقريب الهالوين للصف الثالث واحصل على الكثير من التدرب على تقريب الأرقام إلى أقرب عشرة ومائة.

العب هذه اللعبة الممتعة والتفاعلية واجعل 20 أرنبًا تختفي عن طريق مطابقة مشكلات التقسيم المختلفة بسرعة مع الإجابة الصحيحة.

تقسيم حتى 100 لعبة بيسبول
اجعل تعلم وتحسين مهارات الضرب الخاصة بك من خلال لعب قسم الرياضيات المثير للبيسبول حتى 100 لعبة.

في لعبة سباق السيارات سريعة الخطى هذه ، سيتدرب الطلاب على حقائق الضرب حتى 10 مرات 10.

في لعبة كرة السلة الممتعة هذه ، سيستمتع الطلاب الصغار بضرب الأرقام المكونة من رقم واحد.

طابق مشاكل التقريب مع الحلول الصحيحة لهذه الأرانب الصغيرة في لعبة Math Magician Rounding الممتعة هذه.

في هذه اللعبة ، سيضرب الطلاب الأعداد المكونة من رقم واحد ، وثلاثة ، وثلاثة أرقام في 5 ، و 6 ، و 7 ، و 8 ، و 9. يمكن للأطفال لعب هذه اللعبة بمفردهم أو في فرق.

في لعبة السباق سريعة الخطى هذه ، سيستخدم الطلاب إضافة متكررة لمشكلات الضرب النموذجية.

في لعبة الرياضيات سريعة الخطى هذه ، سيتعرف الطلاب على خاصية الضرب التبادلية والترابطية والهوية.

في هذه اللعبة ، يقوم الطلاب بضرب الأرقام المكونة من رقمين بأرقام مكونة من رقم واحد. يمكنهم اللعب بمفردهم أو في أزواج.

في هذه اللعبة ، سيعد الطلاب العديد من العملات المعدنية الأمريكية ويطابقون صور العملات بالمقدار الصحيح.

في لعبة كرة القدم الممتعة هذه ، سيضيف الطلاب أرقامًا مكونة من رقمين للحصول على فرصة لركل الكرة وتسجيل النقاط.

في لعبة كرة القدم التفاعلية هذه ، سيتدرب طلاب الصف الثاني على إضافة أرقام مكونة من رقمين.

سيستمتع طلاب الصف الثالث بقسمة الأرقام الصغيرة عند لعب لعبة كرة السلة الرياضية هذه.

في لعبة القيمة المكانية الممتعة هذه ، يجب على الطلاب تمرير الكرة إلى المتلقي حتى تتاح لهم الفرصة للإجابة على مشكلة وكسب النقاط.

هذه اللعبة مناسبة لطلاب الصف الثالث ومتعلمي اللغة الإنجليزية من جميع الأعمار. الهدف من كل مشكلة هو مطابقة الساعات التناظرية مع العبارة الصحيحة.

في لعبة كرة السلة التفاعلية هذه ، سيتدرب طلاب الصف الثالث على معرفة الوقت من الساعات التناظرية إلى أقرب دقيقة.

من لديه؟ لدي!

هذه لعبة وقت قابلة للطباعة ويمكن استخدامها كنشاط في الفصل الدراسي مع طلاب المرحلة الابتدائية.

قم بمطابقة مشاكل الضرب مع الحلول الصحيحة لهذه الأرانب الصغيرة في لعبة Math Magician Multiplication الممتعة هذه.

ارجع من صفحة ألعاب الرياضيات للصف الثالث إلى صفحة ألعاب الرياضيات الابتدائية أو إلى الصفحة الرئيسية لممارسة الرياضيات.


الميكانيكا الكلاسيكية كنمذجة توليدية

دعونا نتذكر دروس الفيزياء. كانت الموضوعات الأولى التي تعلمتها هي القوة والحركة والوقت والسرعة والتسارع في حالات 1D البسيطة. حتى قبل تعلم التفاضل أو التكامل في فصول حساب التفاضل والتكامل ، يمكنك بسهولة حساب سرعة الجسم بناءً على الوقت والمواقف ذات الصلة. يمكن تطبيق نفس الإستراتيجية على ميكانيكا أكثر تعقيدًا مثل قوة الزنبرك ، والبندول ، والميكانيكا متعددة الأبعاد ، وما إلى ذلك. يمكنك فقط استبدال الصيغ بالصيغ المناسبة وإعادة تنفيذ إجراءات حساب التفاضل والتكامل. ستكون العملية المبسطة لمثل هذه النمذجة كما يلي:

  • تحديد ماذا او ماموضوع يتحرك ، ما هي المواقف ، أصل نظام الإحداثيات ، الشروط الأولية
  • أعثر على ملائمنموذج يصف سلوك الكائن المحدد في ظل الظروف المحددة
  • يحل المعادلة للنموذج بشروط معينة وإيجاد السرعة أو التسارع أو متغير آخر
  • تحليل ملف المحلول وصلاحيتها

على سبيل المثال ، في حالة نظام البندول (في الرسوم التوضيحية أعلاه) ، يمكنك تحديد موضوع ديناميات نموذج كتوازن بين طاقتها الحركية وطاقتها الكامنة في لاغرانج ، وإذا قمت بحلها للحصول على درجة واحدة من الحرية (زاوية التذبذب) ، فستحصل على معادلة الحركة المسار الذي يمكنك يحل لظروف مختلفة.

مثلما نقوم بأخذ عينات من الوجوه والقطط والأغاني باستخدام شبكات GAN ، يمكننا أخذ عينات من الحركات المعقدة لحركات الأشياء المادية فقط من خلال حل المعادلات. لقرون. لقد أوصلنا حرفيا إلى القمر. بدون غيغابايت من البيانات ووحدات معالجة الرسومات للشبكات العصبية العميقة.

أراهن أنهم لم يعلموك هذه الزاوية في فصل الفيزياء. إذا كانت لديك الصيغة الدقيقة لهذا البندول ، فلديك صيغة "البندول- GAN": تحتاج فقط إلى أخذ عينات من الطول والجاذبية والسعة وما إلى ذلك وإدخالها في الصيغة: بهذه الطريقة يمكنك توليد العديد من البندولات كما تريد. الاختلاف الوحيد في أن GAN لديها بعض المتجهات شبه العشوائية كمدخلات والصيغة هي شبكة عصبية الصندوق الأسود مدربة بالبيانات. يوجد أدناه زوجان من الرسوم التوضيحية لمسارات العينات والرمز الذي يمكنك العثور عليه هنا.


انسايت الرياضيات

حيث يأخذ المتغير var على التوالي كل قيمة في التسلسل. لكل قيمة من هذه القيم ، يتم تشغيل الكود الذي يمثله الرمز مع وجود var بهذه القيمة من التسلسل.

نعرض هنا بعض الأمثلة البسيطة لاستخدام حلقة for-loop في R.

طباعة قائمة بالأرقام

لنفترض أننا أردنا طباعة قائمة بالأرقام من 0 إلى 3 ، ضمناً. في R ، سينشئ الأمر 0: 3 متجهًا بالأرقام من 0 إلى 3 ، كما ترى عن طريق إدخال هذا الأمر في موجه الأوامر R & gt:

(في بداية الإخراج ، يطبع R [1] لإعلامك بأن الأسطر تبدأ من الإدخال الأول للمتجه.)

يمكننا إنشاء حلقة for-loop بسيطة تتكرر من خلال الأرقام الأربعة من 0: 3 وتطبع كل رقم.

ينتج R أربعة أسطر ، واحد لكل رقم. (عند كتابة حلقة for-loop في موجه الأوامر R & gt ، يضيف R + في بداية السطر للإشارة إلى استمرار الأمر. نحذف هذه الإشارات + للتوضيح.)

إذا كنت لا تريد أن يطبع R [1] في بداية السطر ، فيمكنك استخدام الأمر cat (concatenate) بدلاً من ذلك ، لكنك تحتاج إلى إضافة حرف سطر جديد بشكل صريح n لطباعة كل رقم على السطر الخاص به .

يمكننا إسناد متجه الأرقام إلى متغير ثم الرجوع إلى المتغير في الحلقة for. سيعمل بنفس الطريقة بالضبط.

استخدام الحلقات مع المتجهات

الحلقات For مناسبة بشكل خاص عند العمل مع المتجهات. غالبًا ما نرغب في تكرار كل عنصر في متجه وإجراء بعض العمليات الحسابية مع كل عنصر من عناصر المتجه. يمكننا أيضًا استخدام الحلقات for لإنشاء متجهات أو توسيعها ، حيث أن R ستجعل المتجه أكبر تلقائيًا لاستيعاب القيم التي نخصصها له.

أولاً ، لنقم بإنشاء متجه باستخدام الأمر c (الدمج) موضح في الصفحة الخاصة بإنشاء المتجه.

لأي عدد صحيح $ i $ بين 1 و 4 ، تشير x [i] إلى العنصر $ i $ th للمتجه.

يمكننا استخدام حلقة for لإضافة واحد إلى العنصر الأول في x ، وإضافة اثنين إلى العنصر الثاني من x ، وما إلى ذلك. نستخدم المتغير n لتخزين عدد العناصر في x (أي 4). في الحلقة ، سنستخدم المتغير i للتكرار خلال الأرقام 1 ، 2 ، 3 ، 4.

تعادل for-loop تشغيل الأوامر الأربعة:

ينشئ هذا for-loop متجهًا بخمسة مكونات حيث يكون كل مكون ضعف السابق.


1.2: الأعداد الحقيقية - أساسيات الجبر

سؤال: ما هو مجموع أول 100 عدد صحيح ؟؟ كيف لي أن أعمل على هذا بكفاءة؟ شكرا

السؤال الذي طرحته يتعلق بعالم الرياضيات الشهير غاوس. في المدرسة الابتدائية في أواخر عام 1700 و rsquos ، طُلب من Gauss إيجاد مجموع الأرقام من 1 إلى 100. تم تعيين السؤال كـ & ldquobusy work & rdquo بواسطة المعلم ، لكن Gauss وجد الإجابة بسرعة من خلال اكتشاف نمط. كانت ملاحظته على النحو التالي:

لاحظ جاوس أنه إذا قام بتقسيم الأعداد إلى مجموعتين (من 1 إلى 50 ومن 51 إلى 100) ، فيمكنه جمعها معًا رأسياً للحصول على مجموع 101.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + & hellip + 48 + 49 + 50

100 + 99 + 98 + 97 + 96 + & هيلب + 53 + 52 + 51

1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
.
.
.
48 + 53 = 101
49 + 52 = 101
50 + 51 = 101

أدرك جاوس بعد ذلك أن إجماليه النهائي سيكون 50 (101) = 5050.

تسلسل الأرقام (1 ، 2 ، 3 ، و hellip ، 100) حسابي وعندما نبحث عن مجموع متسلسلة ، نسميها سلسلة. بفضل Gauss ، توجد صيغة خاصة يمكننا استخدامها لإيجاد مجموع المتسلسلة:

S هو مجموع المتسلسلة و n هو عدد الحدود في السلسلة ، في هذه الحالة ، 100.

هناك طرق أخرى لحل هذه المشكلة. يمكنك ، على سبيل المثال ، حفظ الصيغة

هذه سلسلة حسابية تكون الصيغة الخاصة بها:
S = n [2a + (n-1) d] / 2
حيث a هو الحد الأول ، و d هو الفرق بين الحدود ، و n هو عدد الحدود.
لمجموع أول 100 عدد صحيح:
أ = 1 ، د = 1 ، ن = 100
لذلك ، في الصيغة الفرعية:
S = 100 [2 (1) + (100-1) (1)] / 2 = 100 [101] / 2 = 5050

يمكنك أيضًا استخدام خصائص خاصة للتسلسل المعين الذي لديك.

تتمثل إحدى ميزات استخدام أسلوب Gauss في أنك لست مضطرًا إلى حفظ معادلة ما ، ولكن ماذا تفعل إذا كان هناك عدد فردي من المصطلحات لتضيفها حتى لا يمكنك تقسيمها إلى مجموعتين ، على سبيل المثال & quot ما هو مجموع أول 21 عددًا صحيحًا؟ & quot مرة أخرى نكتب التسلسل & quot إلى الأمام والعكس & quot ولكن باستخدام التسلسل بأكمله.

1 + 2 + 3 + . + 19 + 20 + 21
21 + 20 + 19 + . + 3 + 2 + 1


الرياضيات لأفعل ذلك بنفسك

قد لا تكون الرياضيات موضوعك المفضل في المدرسة ، ولكن سواء أحببت ذلك أم لا ، فهي جزء من كل مشروع لتحسين المنزل تقريبًا.

ربما تحاول معرفة عدد الأقدام المربعة في الغرفة حتى تتمكن من شراء الكمية المناسبة من الطلاء أو الأرضيات ، أو ربما تفعل شيئًا أكثر تعقيدًا ، مثل حساب حجم الغرفة لحجم مروحة الحمام ، أو معرفة عدد أقدام اللوح في قطعة من الخشب.

لكن لا تدع عينيك تلمعان حتى الآن ، لأن كل ما تحتاجه للتعامل مع كل هذا وأكثر هو آلة حاسبة أساسية وبعض الصيغ البسيطة.

قياسات المنطقة

تأخذ حسابات المنطقة اثنين من الأبعاد الثلاثة في الاعتبار. قد يكون عرضًا وطولًا ، كما هو الحال عند قياس الأرضية ، أو العرض والارتفاع ، كما هو الحال عند قياس الحائط. في الأمثلة التالية ، سنستخدم غرفة مستطيلة يبلغ عرضها 10 أقدام وطولها 12 قدمًا وارتفاعها 8 أقدام.

مساحة الأرضية أو السقف: اضرب الطول في العرض (10 أقدام × 12 قدمًا = 120 قدمًا مربعًا من المساحة).

مساحة الجدار: اضرب عرض الحائط بارتفاعه. لذا يبلغ حجم أحد الجدران 80 قدمًا مربعًا (عرضه 10 أقدام وارتفاعه 8 أقدام) والآخر 96 قدمًا مربعًا (12 قدمًا × 8 قدمًا). إذا كنت بحاجة إلى إجمالي المساحة المربعة للجدران - لرسم الطلاء أو ورق الحائط على سبيل المثال - فيمكنك تبسيط الحساب عن طريق جمع جميع أطوال الجدار معًا أولاً ، ثم الضرب في الارتفاع (10 + 12 + 10 + 12 = 44 × 8 = 352 قدمًا مربعًا من إجمالي مساحة الجدار).

المساحة بالمتر المربع: هناك 3 أقدام في الفناء ، لذلك هناك إجمالي 9 أقدام مربعة في ساحة مربعة (3 × 3). لحساب عدد الياردات المربعة في مثالنا للغرفة ، وهو ما قد ترغب في القيام به عند طلب سجادة ، اقسم المساحة الإجمالية للأرضية على 9 (120 قدمًا مربعًا / 9 = 13.33 ياردة مربعة).

المساحة بالبوصة المربعة: يوجد 12 بوصة في القدم ، لذلك هناك 144 بوصة مربعة للقدم المربع (12 × 12). لتحويل مساحة من قدم مربع إلى بوصة مربعة ، اضرب ببساطة في 144. (تبلغ مساحة غرفتنا 17280 بوصة مربعة).

مساحة المثلث: إذا كنت تريد معرفة مساحة مساحة مثلثة ، مثل نهاية الجملون ، فأنت بحاجة إلى صيغة بسيطة: 1/2 × القاعدة × الارتفاع. هذا يعني أنك تضرب 0.5 × قاعدة المثلث × ارتفاع المثلث. لذلك ، إذا كان عرض نهاية الجملون 18 قدمًا عند القاعدة وارتفاع 6 أقدام من القاعدة إلى القمة ، فإنه يحتوي على 54 قدمًا مربعًا (0.5 × 18 قدمًا × 6 قدم = 54 قدمًا مربعًا).

مساحة الدائرة: الصيغة لهذا: pi x radius2 (pi = 3.1416). لنفترض أن لديك مساحة دائرية عرضها 22 قدمًا. المسافة العرضية هي القطر ونصفه ، أو 11 قدمًا ، هو نصف القطر. إذن ستكون العملية الحسابية: (3.1416 × 11 × 11 = 380.13 قدمًا مربعة).

محيط الدائرة: محيط الدائرة هو المسافة الكلية حولها ، والتي غالبًا ما يكون من السهل حسابها. للقيام بذلك ، تحتاج إلى هذه الصيغة: قطر pi x. بالنسبة لدائرتنا التي يبلغ قطرها 22 قدمًا ، سيكون محيطها 69.12 قدمًا (3.1416 × 22).

القياسات المكعبة

عندما تكون قياسات المساحة ثنائية الأبعاد ، تأخذ القياسات التكعيبية الأبعاد الثلاثة في الاعتبار. سيخبرك هذا بحجم منطقة معينة ، لأي شيء من تحجيم المروحة إلى طلب الخرسانة من أجل الأساس.

حجم الغرفة: بالنسبة للحجم بالأقدام المكعبة للغرفة من أعلى ، اضرب العرض في الطول في الارتفاع: (10 أقدام × 12 قدمًا × 8 أقدام = 960 قدمًا مكعبًا).

الحجم في ياردة مكعبة: يوجد ٢٧ قدمًا مكعبًا في ساحة مكعبة (٣ × ٣ × ٣). لذا ، إذا كنت ترغب في تحويل قدم مكعبة إلى ياردة مكعبة ، وهو أمر ضروري عند طلب الأوساخ والحصى والخرسانة ، فما عليك سوى قسمة عدد الأقدام المكعبة على 27. على سبيل المثال ، إذا كان لديك شكل أساس بعرض 2 قدم ، بطول 20 قدمًا وارتفاعه 1-1 / 2 قدمًا ، قم أولاً برسم القدم المكعبة ، ثم قم بالتحويل إلى ياردة مكعبة: (2 قدم × 20 قدمًا × 1.5 قدمًا = 60 قدمًا مكعبة / 27 = 2.22 ياردة مكعبة).

الحجم بالبوصة المكعبة: هناك 1728 بوصة مكعبة في القدم المكعبة (12 × 12 × 12). لتحويل القدم المكعبة في المثال أعلاه إلى بوصات مكعبة ، يمكنك الضرب في 1728 (60 قدمًا مكعبة × 1728 = 103.680 بوصة مكعبة).

يتم بيع العديد من أنواع الخشب المنشور بواسطة قدم اللوح. تشير وحدة القياس الفريدة هذه إلى لوح يبلغ طوله قدمًا واحدًا وعرضه قدمًا واحدًا وسمكه بوصة واحدة. في أي وقت تريد معرفة عدد أقدام اللوح الموجودة في قطعة معينة من الخشب ، استخدم الصيغة التالية: T x W x L / 12 ، حيث T = سمك اللوحة بالبوصة ، W = عرض اللوحة بالبوصة ، و L = طول اللوح بالأقدام.

على سبيل المثال ، افترض أن لديك قطعة من الخشب 2 × 8 بطول 16 قدمًا. باستخدام الصيغة ، يمكنك تحديد أن اللوحة تحتوي على 21.33 قدمًا (2 بوصة × 8 بوصات × 16 قدمًا / 12 = 21.33).


تلوين الضرب

نأمل أن تنال أوراق عمل الضرب هذه إعجابك. إذا كنت تستمتع بها ، تحقق من مربع التلوين: الضرب والقسمة. يقوم بتجميع صفحات الضرب والقسمة الأساسية والمتقدمة الخاصة بنا في كتاب تلوين رائع.

مربع التلوين: الضرب والقسمة 9.95 دولارًا

هناك عدد قليل من مستويات الصعوبة المختلفة لكل وظيفة. مرر مؤشر الماوس فوق صورة لترى كيف يبدو ملف PDF. ثم يمكنك النقر فوق أي صورة لسحب ملف PDF. يمكنك بعد ذلك طباعة ملف PDF.

الابن الضرب



أوراق عمل الضرب- أساسي



أوراق عمل الضرب- متقدم



سيحاول Coloring Squared تزويدك بأوراق عمل جديدة كثيرًا. قدم لنا بعض الملاحظات حول الصفحات التي استخدمتها واستمتعت بها. أو أخبرنا بما تود رؤيته في أحد كتبنا التالية.
راسلنا على البريد الإلكتروني: [email & # 160protected] Email

نأمل أن يستمتع الأطفال بصفحات تلوين الرياضيات المجانية هذه. جرب صفحات تلوين الرياضيات المجانية وألعاب الكوميكس والرسوم المتحركة وألعاب الفيديو الخاصة بنا. سيتم طرح المزيد من الأنشطة المجانية للأطفال قريبًا. عد كثيرًا لترى ما هو جديد!


شاهد الفيديو: الدرس السادس عشر. القسمة في مجموعة الأعداد الحقيقية (ديسمبر 2021).