مقالات

6.4: الدوال اللوغاريتمية - الرياضيات


أهداف التعلم

  • تحويل من لوغاريتمي إلى أسي.
  • تحويل من أسي إلى لوغاريتمي.
  • تقييم اللوغاريتمات.
  • استخدم اللوغاريتمات المشتركة.
  • استخدم اللوغاريتمات الطبيعية.

في عام 2010 ، ضرب زلزال كبير هايتي ، ودمر أو دمر أكثر من 285000 منزل. بعد عام واحد ، دمر زلزال آخر أقوى مدينة هونشو اليابانية ، ودمر أو دمر أكثر من 332000 مبنى ،مثل تلك الموضحة في الشكل ( PageIndex {1} ). على الرغم من أن كلاهما تسبب في أضرار كبيرة ، إلا أن زلزال عام 2011 كان أقوى 100 مرة من زلزال هايتي. كيف نعرف؟ تقاس شدة الزلازل بمقياس يعرف بمقياس ريختر. سجل زلزال هايتي 7.0 درجات على مقياس ريختربينما سجل الزلزال الياباني 9.0.

مقياس ريختر هو مقياس لوغاريتمي ذو قاعدة عشرية. بمعنى آخر ، الزلزال الذي بلغت قوته (8 ) ليس ضعف قوة الزلزال (4 ). أنه

[10 ^ {8−4} = 10 ^ 4 = 10،000 nonumber ]

مرات عظيمة! في هذا الدرس ، سوف نتحرى طبيعة مقياس ريختر ووظيفة الأساس العشر التي يعتمد عليها.

التحويل من اللوغاريتمي إلى الصيغة الأسية

من أجل تحليل حجم الزلازل أو مقارنة حجم زلزالين مختلفين ، نحتاج إلى أن نكون قادرين على التحويل بين الشكل اللوغاريتمي والأسي. على سبيل المثال ، افترض أن كمية الطاقة المنبعثة من زلزال واحد كانت 500 مرة أكبر من كمية الطاقة المنبعثة من زلزال آخر. نريد حساب الفرق في المقدار. المعادلة التي تمثل هذه المشكلة هي (10 ​​^ x = 500 ) حيث يمثل (x ) الفرق في المقادير على مقياس ريختر. كيف نحل من أجل (س )؟

لم نتعلم بعد طريقة لحل المعادلات الأسية. لا تكفي أي من الأدوات الجبرية التي تمت مناقشتها حتى الآن لحل (10 ​​^ x = 500 ). نعلم أن ({10} ^ 2 = 100 ) و ({10} ^ 3 = 1000 ) ، لذلك من الواضح أن (x ) يجب أن تكون قيمة ما بين 2 و 3 ، بما أن (y = {10} ^ x ) آخذ في الازدياد. يمكننا فحص الرسم البياني ، كما في الشكل ( PageIndex {1} ) ، لتقدير الحل بشكل أفضل.

ومع ذلك ، فإن التقدير من الرسم البياني غير دقيق. لإيجاد حل جبري ، يجب أن نقدم وظيفة جديدة. لاحظ أن الرسم البياني في الشكل ( PageIndex {2} ) يجتاز اختبار الخط الأفقي. الدالة الأسية (y = b ^ x ) هي واحد لواحد ، لذا فإن معكوسها ، (x = b ^ y ) هي أيضًا دالة. كما هو الحال مع جميع الدوال العكسية ، فإننا ببساطة نتبادل (x ) و (y ) ونحل من أجل (y ) لإيجاد الدالة العكسية. لتمثيل (y ) كدالة لـ (x ) ، نستخدم دالة لوغاريتمية من النموذج (y = { log} _b (x) ). القاعدة (ب ) اللوغاريتم من رقم هو الأس الذي يجب أن نرفع بواسطته (b ) للحصول على هذا الرقم.

نقرأ تعبيرًا لوغاريتميًا على النحو التالي: "اللوغاريتم الذي يحتوي على أساس (ب ) من (س ) يساوي (ص )" أو ، مبسطًا ، "السجل الأساسي (ب ) من (س ) ) هو (ص ) ". يمكننا أيضًا أن نقول ، " (b ) مرفوعًا إلى أس (y ) هو (x ) ،" لأن السجلات هي الأس. على سبيل المثال ، اللوغاريتم الأساسي (2 ) لـ (32 ) هو (5 ) ، لأن (5 ) هو الأس الذي يجب أن نطبقه على (2 ) للحصول على (32 ). بما أن (2 ^ 5 = 32 ) يمكننا كتابة ({ log} _232 = 5 ). نقرأ هذا على أنه "log base (2 ) of (32 ) is (5 )."

يمكننا التعبير عن العلاقة بين الشكل اللوغاريتمي والصيغة الأسية المقابلة لها على النحو التالي:

[ start {align} log_b (x) = y Leftrightarrow b ^ y = x، b> 0، b neq 1 end {align} ]

لاحظ أن القاعدة (ب ) موجبة دائمًا.

نظرًا لأن اللوغاريتم دالة ، تتم كتابتها بشكل صحيح على أنها ( log_b (x) ) ، باستخدام الأقواس للإشارة إلى تقييم الوظيفة ، تمامًا كما نفعل مع (f (x) ). ومع ذلك ، عندما يكون الإدخال متغيرًا أو رقمًا واحدًا ، فمن الشائع ملاحظة إسقاط الأقواس والتعبير مكتوبًا بدون أقواس ، مثل ( log_bx ). لاحظ أن العديد من الآلات الحاسبة تتطلب أقواسًا حول (x ).

يمكننا توضيح تدوين اللوغاريتمات على النحو التالي:

لاحظ أنه عند مقارنة دالة اللوغاريتم والوظيفة الأسية ، يتم تبديل المدخلات والمخرجات. هذا يعني أن (y = log_b (x) ) و (y = b ^ x ) دالات عكسية.

تعريف الوظيفة اللوغاريتمية

قاعدة لوغاريتمية (ب ) لرقم موجب (س ) تفي بالتعريف التالي.

بالنسبة إلى (x> 0 ) ، (b> 0 ) ، (b ≠ 1 ) ،

[ start {align} y = { log} _b (x) text {يعادل} b ^ y = x end {align} ]

أين،

  • نقرأ ({ log} _b (x) ) كـ "اللوغاريتم مع القاعدة (ب ) من (س )" أو "قاعدة السجل (ب ) من (س ). "
  • اللوغاريتم (y ) هو الأس الذي يجب رفع (b ) إليه للحصول على (x ).

أيضًا ، نظرًا لأن الدالات اللوغاريتمية والأسية تقوم بتبديل قيم (x ) و (y ) ، يتم تبادل المجال ونطاق الدالة الأسية للدالة اللوغاريتمية. لذلك،

  • مجال دالة اللوغاريتم مع القاعدة (ب ) هو ((0 ، infty) ).
  • نطاق دالة اللوغاريتم مع القاعدة (ب ) هو ((- infty ، infty) ).

سؤال وجواب: هل يمكننا أخذ لوغاريتم عدد سالب؟

لا ، لأن قاعدة الدالة الأسية تكون دائمًا موجبة ، فلا يمكن أن تكون أي قوة لتلك القاعدة سالبة. لا يمكننا أبدًا أخذ لوغاريتم عدد سالب. كذلك ، لا يمكننا أخذ لوغاريتم الصفر. قد تنتج الآلات الحاسبة سجلًا لرقم سالب عندما تكون في الوضع المعقد ، لكن سجل الرقم السالب ليس رقمًا حقيقيًا.

الكيفية: إعطاء معادلة بالصيغة اللوغاريتمية ({ log} _b (x) = y ) ، قم بتحويلها إلى الصيغة الأسية

  1. افحص المعادلة (y = { log} _bx ) وحدد (b ) و (y ) و (x ).
  2. أعد كتابة ({ log} _bx = y ) كـ (b ^ y = x ).

مثال ( PageIndex {1} ): التحويل من النموذج اللوغاريتمي إلى النموذج الأسي

اكتب المعادلات اللوغاريتمية التالية في الصورة الأسية.

  1. ({ log} _6 ( sqrt {6}) = dfrac {1} {2} )
  2. ({ السجل} _3 (9) = 2 )

حل

أولاً ، حدد قيم (ب ) و (ص ) و (س ). ثم اكتب المعادلة بالصيغة (b ^ y = x ).

  1. ({ log} _6 ( sqrt {6}) = dfrac {1} {2} )

    هنا ، (b = 6 ) ، (y = dfrac {1} {2} ) ، و (x = sqrt {6} ). لذلك ، فإن المعادلة ({ log} _6 ( sqrt {6}) = dfrac {1} {2} ) تعادل

    (6 ^ { tfrac {1} {2}} = sqrt {6} )

  2. ({ السجل} _3 (9) = 2 )

    هنا ، (ب = 3 ) ، (ص = 2 ) ، و (س = 9 ). لذلك ، فإن المعادلة ({ log} _3 (9) = 2 ) تعادل

(3^2=9)

تمرين ( PageIndex {1} )

اكتب المعادلات اللوغاريتمية التالية في الصورة الأسية.

  1. ({ log} _ {10} (1000000) = 6 )
  2. ({ السجل} _5 (25) = 2 )
الإجابة أ

({ log} _ {10} (1،000،000) = 6 ) يساوي ({10} ^ 6 = 1،000،000 )

الجواب ب

({ log} _5 (25) = 2 ) يساوي (5 ^ 2 = 25 )

التحويل من الصيغة الأسية إلى الصيغة اللوغاريتمية

للتحويل من الأس إلى اللوغاريتمات ، نتبع نفس الخطوات في الاتجاه المعاكس. نحدد القاعدة (ب ) ، الأس (س ) ، والإخراج (ص ). ثم نكتب (x = { log} _b (y) ).

مثال ( PageIndex {2} ): التحويل من النموذج الأسي إلى النموذج اللوغاريتمي

اكتب المعادلات الأسية التالية بالصيغة اللوغاريتمية.

  1. (2^3=8)
  2. (5^2=25)
  3. ({10} ^ {- 4} = dfrac {1} {10،000} )

حل

أولاً ، حدد قيم (ب ) و (ص ) و (س ). ثم اكتب المعادلة بالصيغة (x = { log} _b (y) ).

  1. (2^3=8)

    هنا ، (ب = 2 ) ، (س = 3 ) ، و (ص = 8 ). لذلك ، فإن المعادلة (2 ^ 3 = 8 ) تكافئ ({ log} _2 (8) = 3 ).

  2. (5^2=25)

    هنا ، (ب = 5 ) ، (س = 2 ) ، و (ص = 25 ). لذلك ، فإن المعادلة (5 ^ 2 = 25 ) تكافئ ({ log} _5 (25) = 2 ).

  3. ({10} ^ {- 4} = dfrac {1} {10،000} )

    هنا ، (b = 10 ) ، (x = −4 ) ، و (y = dfrac {1} {10،000} ). لذلك ، فإن المعادلة ({10} ^ {- 4} = dfrac {1} {10،000} ) تعادل ({ log} _ {10} left ( dfrac {1} {10،000} يمين) = - 4 ).

تمرين ( PageIndex {2} )

اكتب المعادلات الأسية التالية بالصيغة اللوغاريتمية.

  1. (3^2=9)
  2. (5^3=125)
  3. (2 ^ {- 1} = dfrac {1} {2} )
الإجابة أ

(3 ^ 2 = 9 ) يساوي ({ log} _3 (9) = 2 )

الجواب ب

(5 ^ 3 = 125 ) يساوي ({ log} _5 (125) = 3 )

الجواب ج

(2 ^ {- 1} = dfrac {1} {2} ) يعادل ({ log} _2 left ( dfrac {1} {2} right) = - 1 )

تقييم اللوغاريتمات

تتيح لنا معرفة المربعات والمكعبات وجذور الأعداد تقييم العديد من اللوغاريتمات ذهنيًا. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك ({ log} _28 ). نسأل ، "إلى أي أس يجب رفع (2 ) للحصول على 8؟" نظرًا لأننا نعلم بالفعل (2 ^ 3 = 8 ) ، فإن هذا يتبع ذلك ({ log} _28 = 3 ).

الآن فكر في حل ({ log} _749 ) و ({ log} _327 ) عقليًا.

  • نسأل ، "إلى أي أس يجب رفع (7 ) للحصول على (49 )؟" نحن نعلم (7 ^ 2 = 49 ). لذلك ، ({ log} _749 = 2 )
  • نسأل ، "إلى أي أس يجب أن يتم رفع (3 ) للحصول على (27 )؟" نعلم (3 ^ 3 = 27 ). لذلك ، ( log_ {3} 27 = 3 )

حتى بعض اللوغاريتمات التي تبدو أكثر تعقيدًا يمكن تقييمها بدون آلة حاسبة. على سبيل المثال ، دعنا نقيم ( log _ { ce {2/3}} frac {4} {9} ) عقليًا.

  • نسأل ، "إلى أي الأس يجب رفع ( ce {2/3} ) من أجل الحصول على ( ce {4/9} )؟ "نعلم (2 ^ 2 = 4 ) و (3 ^ 2 = 9 ) ، لذلك [{ left ( dfrac {2} {3} right)} ^ 2 = dfrac {4} {9}. nonumber ] لذلك ، [{ log} _ { ce {2/3}} left ( dfrac {4} {9} right) = 2. لا يوجد رقم]

الكيفية: بالنظر إلى لوغاريتم النموذج (y = { log} _b (x) ) ، قم بتقييمه عقليًا

  1. أعد كتابة المتغير (x ) كقوة لـ (b ): (b ^ y = x ).
  2. استخدم المعرفة السابقة بصلاحيات (ب ) تحديد (ص ) من خلال طرح السؤال ، "إلى أي الأس يجب رفع (ب ) من أجل الحصول على (س )؟"

مثال ( PageIndex {3} ): حل اللوغاريتمات عقليًا

حل (y = { log} _4 (64) ) بدون استخدام الآلة الحاسبة.

حل

أولاً نعيد كتابة اللوغاريتم بالشكل الأسي: (4 ^ y = 64 ). بعد ذلك ، نسأل ، "إلى أي أس يجب رفع (4 ) للحصول على (64 )؟"

نعلم

(4^3=64)

لذلك،

({ السجل} _4 (64) = 3 )

تمرين ( PageIndex {3} )

حل (y = { log} _ {121} (11) ) بدون استخدام الآلة الحاسبة.

إجابه

({ log} _ {121} (11) = dfrac {1} {2} ) (مع الإشارة إلى أن ( sqrt {121} = {(121)} ^ { tfrac {1} {2} } = 11) )

مثال ( PageIndex {4} ): إيجاد قيمة لوغاريتم لمعاملة متبادلة

قم بتقييم (y = { log} _3 left ( dfrac {1} {27} right) ) بدون استخدام الآلة الحاسبة.

حل

أولاً نعيد كتابة اللوغاريتم بالصيغة الأسية: (3 ^ y = dfrac {1} {27} ). بعد ذلك ، نسأل ، "إلى أي أس يجب رفع (3 ) للحصول على ( dfrac {1} {27} )؟"

نحن نعلم (3 ^ 3 = 27 ) ، لكن ما الذي يجب علينا فعله للحصول على المعاملة بالمثل ، ( dfrac {1} {27} )؟ تذكر من العمل مع الأس الذي (b ^ {- a} = dfrac {1} {b ^ a} ). نحن نستخدم هذه المعلومات في الكتابة

[ begin {align *} 3 ^ {- 3} & = dfrac {1} {3 ^ 3} & = dfrac {1} {27} end {align *} ]

لذلك ، ({ log} _3 left ( dfrac {1} {27} right) = - 3 ).

تمرين ( PageIndex {4} )

قم بتقييم (y = { log} _2 left ( dfrac {1} {32} right) ) بدون استخدام الآلة الحاسبة.

إجابه

({ log} _2 left ( dfrac {1} {32} right) = - 5 )

استخدام اللوغاريتمات المشتركة

قد نرى أحيانًا لوغاريتمًا مكتوبًا بدون أساس. في هذه الحالة ، نفترض أن الأساس هو (10 ​​). بمعنى آخر ، يعني التعبير ( log (x) ) ({ log} _ {10} (x) ). نسمي القاعدة (- 10 ) اللوغاريتم أ اللوغاريتم المشترك. يتم استخدام اللوغاريتمات الشائعة لقياس مقياس ريختر المذكور في بداية القسم. تستخدم مقاييس سطوع النجوم ودرجة الحموضة للأحماض والقواعد أيضًا لوغاريتمات مشتركة.

تعريف اللوغاريتم المشترك م

اللوغاريتم الشائع هو لوغاريتم ذو أساس (10 ​​). نكتب ({ log} _ {10} (x) ) ببساطة كـ ( log (x) ). اللوغاريتم الشائع للرقم الموجب (س ) يفي بالتعريف التالي.

بالنسبة إلى (x> 0 ) ،

[ begin {align} y = { log} (x) text {يعادل} {10} ^ y = x end {align} ]

نقرأ ( log (x) ) كـ "اللوغاريتم مع القاعدة (10 ​​) من (x )" أو "السجل الأساسي (10 ​​) من (x )."

اللوغاريتم (y ) هو الأس الذي يجب رفع (10 ​​) إليه للحصول على (س ).

الكيفية: بالنظر إلى لوغاريتم مشترك للنموذج (y = log (x) ) ، قم بتقييمه عقليًا

  1. أعد كتابة المتغير (x ) كقوة لـ (10 ​​): ({10} ^ y = x ).
  2. استخدم المعرفة السابقة بصلاحيات (10 ​​) لتحديد (ص ) من خلال طرح السؤال ، "إلى أي أس يجب رفع (10 ​​) من أجل الحصول على (س )؟"

مثال ( PageIndex {5} ): إيجاد قيمة لوغاريتم مشترك عقليًا

قم بتقييم (y = log (1000) ) بدون استخدام الآلة الحاسبة.

حل

أولاً نعيد كتابة اللوغاريتم بالصيغة الأسية: ({10} ^ y = 1000 ). بعد ذلك ، نسأل ، "إلى أي أس يجب رفع (10 ​​) للحصول على (1000 )؟" نعلم

({10}^3=1000)

لذلك ، ( سجل (1000) = 3 ).

تمرين ( PageIndex {5} )

قم بتقييم (y = log (1،000،000) ).

إجابه

( سجل (1000000) = 6 )

الكيفية: بالنظر إلى لوغاريتم مشترك بالصيغة (y = log (x) ) ، قم بتقييمه باستخدام آلة حاسبة

  1. صحافة [سجل].
  2. أدخل القيمة المعطاة لـ (x ) ، متبوعة بـ [ ) ].
  3. صحافة [أدخل].

مثال ( PageIndex {6} ): إيجاد قيمة لوغاريتم شائع باستخدام آلة حاسبة

أوجد قيمة (y = log (321) ) لأربع منازل عشرية باستخدام الآلة الحاسبة.

حل

  • صحافة [سجل].
  • أدخل 321, تليها [ ) ].
  • صحافة [أدخل].

التقريب لأربع منازل عشرية ، ( log (321) ≈2.5065 ).

تحليل

لاحظ أن ({10} ^ 2 = 100 ) وأن ({10} ^ 3 = 1000 ). نظرًا لأن (321 ) يقع بين (100 ) و (1000 ) ، فإننا نعلم أن ( السجل (321) ) يجب أن يكون بين ( السجل (100) ) و ( السجل ( 1000) ). هذا يعطينا ما يلي:

(100<321<1000)

(2<2.5065<3)

تمرين ( PageIndex {6} )

أوجد قيمة (y = log (123) ) لأربع منازل عشرية باستخدام الآلة الحاسبة.

إجابه

( سجل (123) ≈2.0899 )

مثال ( PageIndex {7} ): إعادة كتابة وحل نموذج أسي حقيقي

كانت كمية الطاقة المنبعثة من زلزال واحد (500 ) أكبر من كمية الطاقة المنبعثة من زلزال آخر. المعادلة ({10} ^ x = 500 ) تمثل هذا الموقف ، حيث (x ) هو الفرق في المقادير على مقياس ريختر. ما الفرق في المقدار لأقرب جزء من ألف؟

حل

نبدأ بإعادة كتابة المعادلة الأسية بالصيغة اللوغاريتمية.

({10} ^ س = 500 )

( log (500) = x ) استخدم تعريف السجل العام.

بعد ذلك نقوم بتقييم اللوغاريتم باستخدام الآلة الحاسبة:

  • صحافة [سجل].
  • أدخل (500 ) متبوعًا بـ [ ) ].
  • صحافة [أدخل].
  • لأقرب جزء من الألف ، ( log (500) ≈2.699 ).

كان الفرق في المقادير حوالي (2.699 ).

تمرين ( PageIndex {7} )

كانت كمية الطاقة المنبعثة من زلزال واحد أكبر (8500 ) مرة من كمية الطاقة المنبعثة من زلزال آخر. المعادلة ({10} ^ x = 8500 ) تمثل هذا الموقف ، حيث (x ) هو الفرق في المقادير على مقياس ريختر. ما الفرق في المقدار لأقرب جزء من ألف؟

إجابه

كان الفرق في المقادير حوالي (3.929 ).

استخدام اللوغاريتمات الطبيعية

القاعدة الأكثر استخدامًا للوغاريتمات هي (e ). اللوغاريتمات الأساسية مهمة في حساب التفاضل والتكامل وبعض التطبيقات العلمية ؛ يطلق عليهم اللوغاريتمات الطبيعية. القاعدة (e ) اللوغاريتم ، ({ log} _e (x) ) ، لها تدوينها الخاص ، ( ln (x) ). يمكن إيجاد معظم قيم ( ln (x) ) باستخدام الآلة الحاسبة فقط. الاستثناء الرئيسي هو أن لوغاريتم (1 ) دائمًا (0 ) في أي قاعدة ، ( ln1 = 0 ). بالنسبة إلى اللوغاريتمات الطبيعية الأخرى ، يمكننا استخدام مفتاح ( ln ) الذي يمكن العثور عليه في معظم الآلات الحاسبة العلمية. يمكننا أيضًا إيجاد اللوغاريتم الطبيعي لأي قوة لـ (e ) باستخدام الخاصية العكسية للوغاريتمات.

تعريف اللوغاريتم الطبيعي م

اللوغاريتم الطبيعي هو لوغاريتم ذو أساس (هـ ). نكتب ({ log} _e (x) ) ببساطة كـ ( ln (x) ). اللوغاريتم الطبيعي لعدد موجب (س ) يفي بالتعريف التالي.

بالنسبة إلى (x> 0 ) ،

(y = ln (x) ) يساوي (e ^ y = x )

نقرأ ( ln (x) ) كـ "اللوغاريتم ذو القاعدة (e ) لـ (x )" أو "اللوغاريتم الطبيعي لـ (x )."

اللوغاريتم (y ) هو الأس الذي يجب رفع (e ) إليه للحصول على (x ).

نظرًا لأن الدالات (y = e ^ x ) و (y = ln (x) ) هي وظائف عكسية ، ( ln (e ^ x) = x ) للجميع (x ) و (e ^ { ln (x)} = x ) لـ (x> 0 ).

الكيفية: بإعطاء لوغاريتم طبيعي بالصيغة (y = ln (x) ) ، قم بتقييمه باستخدام آلة حاسبة

  1. صحافة [LN].
  2. أدخل القيمة المعطاة لـ (x ) ، متبوعة بـ [ ) ].
  3. صحافة [أدخل].

مثال ( PageIndex {8} ): تقييم اللوغاريتم الطبيعي باستخدام الآلة الحاسبة

أوجد قيمة (y = ln (500) ) لأربع منازل عشرية باستخدام الآلة الحاسبة.

حل

  • صحافة [LN].
  • أدخل (500 ) متبوعًا بـ [ ) ].
  • صحافة [أدخل].

التقريب لأقرب أربع منازل عشرية ، ( ln (500) ≈6.2146 )

تمرين ( PageIndex {8} )

أوجد قيمة ( ln (500) ).

إجابه

لا يمكن أخذ لوغاريتم عدد سالب في مجموعة الأعداد الحقيقية.

وسائط

قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية باستخدام اللوغاريتمات.

  • مقدمة في اللوغاريتمات

المعادلات الرئيسية

تعريف الوظيفة اللوغاريتميةبالنسبة إلى (x> 0 ) ، (b> 0 ) ، (b ≠ 1 ) ، (y = { log} _b (x) ) إذا وفقط إذا (b ^ y = x ).
تعريف اللوغاريتم المشتركبالنسبة إلى (x> 0 ) ، (y = log (x) ) إذا وفقط إذا ({10} ^ y = x ).
تعريف اللوغاريتم الطبيعيبالنسبة إلى (x> 0 ) ، (y = ln (x) ) إذا وفقط إذا (e ^ y = x ).

المفاهيم الرئيسية

  • معكوس الدالة الأسية دالة لوغاريتمية ، وعكس الدالة اللوغاريتمية هو دالة أسية.
  • يمكن كتابة المعادلات اللوغاريتمية في شكل أسي مكافئ ، باستخدام تعريف اللوغاريتم. راجع المثال ( PageIndex {1} ).
  • يمكن كتابة المعادلات الأسية بالصيغة اللوغاريتمية المكافئة لها باستخدام تعريف اللوغاريتم انظر المثال ( PageIndex {2} ).
  • الدوال اللوغاريتمية ذات القاعدة (ب ) يمكن تقييمها عقليًا باستخدام المعرفة السابقة بصلاحيات (ب ). راجع المثال ( PageIndex {3} ) والمثال ( PageIndex {4} ).
  • يمكن تقييم اللوغاريتمات الشائعة عقليًا باستخدام المعرفة السابقة بصلاحيات (10 ​​). راجع المثال ( PageIndex {5} ).
  • عندما لا يمكن تقييم اللوغاريتمات الشائعة عقليًا ، يمكن استخدام آلة حاسبة. راجع المثال ( PageIndex {6} ).
  • يمكن إعادة كتابة المشاكل الأسية في العالم الحقيقي مع base (10 ​​) كلوغاريتم شائع ثم تقييمه باستخدام الآلة الحاسبة. راجع المثال ( PageIndex {7} ).
  • يمكن تقييم اللوغاريتمات الطبيعية باستخدام آلة حاسبة مثال ( PageIndex {8} ).

توسيع اللوغاريتمات

عندما يطلب منك ذلك توسيع تعابير السجل، هدفك هو التعبير عن تعبير لوغاريتمي واحد في العديد من الأجزاء أو المكونات الفردية. هذه العملية هي عكس تكثيف اللوغاريتمات لأنك تضغط مجموعة من التعبيرات اللوغاريتمية في تعبير أبسط.

أفضل طريقة لتوضيح هذا المفهوم هي عرض الكثير من الأمثلة. في هذا الدرس ، توجد ثماني مشاكل عملية.

المفتاح لتوسيع اللوغاريتمات بنجاح هو تطبيق قواعد اللوغاريتمات بعناية. خذ وقتًا في مراجعة القواعد وفهم ما يحاولون & # 8220say & # 8221.

على سبيل المثال، قاعدة 1 يسمى سيادة المنتج. ما يفعله هو كسر حاصل ضرب التعبيرات كمجموع لتعبيرات السجل. انظر إلى بقية الأوصاف أدناه.


6.4: الدوال اللوغاريتمية - الرياضيات

مقياس ريختر - قياس مقادير الزلزال

تم تسجيل زلزال المحيط الهندي الذي ضرب ساحل إندونيسيا في عام 2004 على أنه زلزال قوته 9.0 درجة. الحجم هو قياس للطاقة المنبعثة من الزلزال ويتم قياسه على مقياس ريختر ، وعادة ما تكون القراءة بين 2 و 9. الزلازل التي تبلغ قوتها 8.0 أو أكبر نادرة جدًا ويمكن أن تدمر أي شيء بالقرب من مركز الزلزال. قياسات مقياس ريختر هي قاعدة لوغاريتمية 10 ، مما يعني أن زلزالًا بقوة 9.0 سيكون أقوى بعشر مرات من زلزال بقوة 8.0 درجات. وبالمثل ، فإن الزلزال الذي تبلغ قوته 9.0 سيكون أقوى بمقدار 10 4 مرات من الزلزال الذي بلغت قوته 5.0. باستخدام المسافة من الفاصل الزمني S-P والسعة القصوى ، وكلاهما مسجل على جهاز قياس الزلازل ، يمكن للخبراء استخدام لوغاريتمات القاعدة 10 للعثور على حجم الزلزال.

يعتمد مقياس ريختر على قياس معياري: الزلزال الذي يمكن الشعور به على بعد 100 كيلومتر بسعة 1 ملم يتم قياسه بمقدار 3.0. هذا هو القياس الأساسي ويتم إجراء جميع قياسات الحجم الأخرى لهذا المرجع. نتيجة لذلك ، فإن الزلزال الذي يقع على بعد 100 كيلومتر ، ولكن له اتساع قياس 10 ملم سيقيس 4.0. يوضح الرسم البياني التالي هذه العلاقة ويحدد المعيار المرجعي الأساسي بحجم 3.0.

يتم رسم خط مستقيم من قياس المسافة إلى قياس الاتساع لأجهزة قياس الزلازل الثلاثة. يجب أن تلتقي الخطوط الثلاثة عند نقطة واحدة على مقياس المقدار في المنتصف ، مما يعطي قراءة مقدار الزلزال.


يتم دعم Math Central من قبل جامعة ريجينا ومعهد المحيط الهادئ للعلوم الرياضية.


التقييم العددي & # 160 & # 160 (6)

تقييم عدديًا إلى دقة عالية:

تتعقب دقة الإخراج دقة الإدخال:

قم بتقييم السجل بكفاءة وبدقة عالية:

يمكن أن يتعامل السجل مع فترات زمنية حقيقية & # 8208:

سجل الخيوط بطريقة عنصرية فوق القوائم والمصفوفات:

تترابط على القوائم في أي من الوسيطتين:

القيم المحددة & # 160 & # 160 (5)

يتم إنشاء القيم الدقيقة البسيطة تلقائيًا:

الوسيطة الصفرية تعطي نتيجة رمزية:

أوجد قيمة x التي يكون السجل [x] لها = 0.5:

التصور & # 160 & # 160 (3)

ارسم الجزء الحقيقي من :

ارسم الجزء التخيلي من :

مؤامرة القطبية مع :

خصائص الوظيفة & # 160 & # 160 (12)

يعطي السجل [z] اللوغاريتم بالقاعدة E:

يتم تعريف السجل لجميع القيم الإيجابية الحقيقية:

نطاق القيم المعقدة:

ليست وظيفة تحليلية:

القضية هي قطع فرع على طول المحور الحقيقي السلبي:

يوجد قطع الفرع لأي قيمة ثابتة لـ :

يتزايد على الريالات الإيجابية ل ويتناقص ل :

السجل ليس غير سلبي ولا غير إيجابي:

له خصوصيات وانقطاعات لـ x & # 8804 0:

مقعرة على الريالات الإيجابية لـ ومحدب :

التمايز & # 160 & # 160 (5)

المشتق الأول بالنسبة لـ z:

المشتق الأول فيما يتعلق ب:

صيغة ل المشتق:

مشتق من دالة لوغاريتمية متداخلة:

التكامل & # 160 & # 160 (3)

سلسلة التوسعات & # 160 & # 160 (5)

ارسم أول ثلاث تقديرات تقريبية لتسجيل الدخول :

مصطلح عام في سلسلة توسيع سجل حول :

التوسعات المقاربة عند قطع الفرع:

المصطلح الأول في سلسلة فورييه من السجل:

يمكن تطبيق السجل على سلسلة الطاقة:

الهويات الوظيفية والتبسيط & # 160 & # 160 (6)

لوغاريتم تبسيط دالة القدرة:

تبسيط اللوغاريتمات مع الافتراضات:

توسع بافتراض المتغيرات الحقيقية x و y:

تمثيلات الوظائف # 160 & # 160 (5)

ينشأ السجل من وظيفة الطاقة في حد:

يمكن تمثيل السجل من حيث MeijerG:


6.4: الدوال اللوغاريتمية - الرياضيات

تقدم Python العديد من الوظائف اللوغاريتمية المدمجة ضمن الوحدة النمطية & # 8220الرياضيات& # 8221 الذي يسمح لنا بحساب السجلات باستخدام سطر واحد. هناك 4 أنواع مختلفة من الوظائف اللوغاريتمية ، تمت مناقشتها جميعًا في هذه المقالة.

1. log (a، (Base)): تستخدم هذه الوظيفة لحساب اللوغاريتم الطبيعي (الأساس هـ) من أ. إذا تم تمرير وسيطتين ، فإنه يحسب لوغاريتم قاعدة الوسيطة المطلوبة ، القيمة العددية لـ تسجيل الدخول (أ) / سجل (قاعدة).

2. log2 (أ): تستخدم هذه الوظيفة لحساب اللوغاريتم الأساسي 2 من أ. يعرض نتيجة أكثر دقة من السجل (أ ، 2).

3. log10 (أ): تستخدم هذه الوظيفة لحساب اللوغاريتم الأساسي 10 من أ. يعرض نتيجة أكثر دقة من السجل (أ ، 10).

3. log1p (a): تستخدم هذه الوظيفة للحساب اللوغاريتم (1 + أ) .

1. ValueError: هذه الدالة ترجع خطأ القيمة إذا كان الرقم هو نفي.

أحد تطبيقات وظيفة log10 () هو أنها تُستخدم لحساب ملف لا. من أرقام من عدد. الكود أدناه يوضح نفس الشيء.

هذه المقالة ساهمت بها مانجيت سينغ. إذا كنت تحب GeeksforGeeks وترغب في المساهمة ، فيمكنك أيضًا كتابة مقال باستخدام Contrib.geeksforgeeks.org أو إرسال مقالتك بالبريد إلى [email protected] شاهد مقالتك تظهر على صفحة GeeksforGeeks الرئيسية وساعد المهوسين الآخرين.

يرجى كتابة التعليقات إذا وجدت أي شيء غير صحيح ، أو إذا كنت ترغب في مشاركة المزيد من المعلومات حول الموضوع الذي تمت مناقشته أعلاه.

المهوس الانتباه! عزز أساساتك مع مؤسسة برمجة بايثون دورة وتعلم الأساسيات.

بادئ ذي بدء ، تعمل الاستعدادات للمقابلة على تحسين مفاهيم هياكل البيانات باستخدام Python DS مسار. ولبدء رحلة تعلم الآلة ، انضم إلى تعلم الآلة & # 8211 دورة المستوى الأساسي


لوغاريتم

في اللوغاريتم ، سنتدرب على أنواع مختلفة من الأسئلة حول كيفية حل الوظائف اللوغاريتمية في السجل. ستساعدنا الأمثلة التي تم حلها على اللوغاريتم على فهم كل قواعد السجل وتطبيقاتها. يتم شرح حل المعادلة اللوغاريتمية هنا بالتفصيل حتى يتمكن الطالب من فهم أين من الضروري استخدام خصائص اللوغاريتم مثل قاعدة المنتج وقاعدة حاصل القسمة وقاعدة القوة وقاعدة التغيير الأساسي.

انقر هنا لفهم المفاهيم الأساسية في قواعد السجل.

مثال خطوة بخطوة تم حلها في السجل:

1. ابحث عن لوغاريتمات:

دع x تشير إلى اللوغاريتم المطلوب.

أو (2√3) س = 1728 = 2 6 ∙ 3 3 = 2 6 ∙ (√3) 6


(2) 0.000001 إلى الأساس 0.01.

دع y يكون اللوغاريتم المطلوب.

لذلك ، سجل0.01 0.000001 = ص


3. إذا كان لوغاريتم 5832 يساوي 6 ، فأوجد الأساس.

دع x يكون القاعدة المطلوبة.

أو x 6 = 5832 = 3 6 ∙ 2 3 = 3 6 ∙ (√2) 6 = (3 √2) 6

لذلك ، الأساس المطلوب هو 3√2


4. إذا 3 + سجل10 س = 2 سجل10 y ، أوجد x بدلالة y.

أو 3 سجل10 10 + سجل10 س = 1og10 ص 2 [منذ تسجيل الدخول10 10 = 1]

أو. سجل10 10 3 + سجل10 س = سجل10 ص 2

أو تسجيل10 (10 3 ∙ x) = السجل10 ص 2

أو x = y 2/1000 وهو ما يعطينا x بدلالة y.


5. إثبات ذلك ، 7 سجل (10/9) + 3 سجل (81/80) = 2 سجل (25/24) + سجل 2.

منذ ، 7 سجل (10/9) + 3 سجل (81/80) - 2 سجل (25/24)

= 7 (سجل 10 - سجل 9) + 3 (1og 81 - سجل 80) - 2 (1og 25-1og 24)

= 7 [تسجيل (2 ∙ 5) - تسجيل 3 2] + 3 [1og3 4 - تسجيل (5 ∙ 2 4)] - 2 [تسجيل 5 2 - تسجيل (3 ∙ 2 3)]

= 7 [سجل 2 + سجل 5 - 2 سجل 3] + 3 [4 سجل 3 - سجل 5 - 4 سجل 2] - 2 [2 سجل 5 - سجل 3 - 3 سجل 2]

= 7 سجل 2 + 7 سجل 5 - 14 سجل 3 + 12 سجل 3 - 3 سجل 5-12 سجل 2 - 4 سجل 5 + 2 سجل 3 + 6 سجل 2

= 13 سجل 2-12 سجل 2 + 7 سجل 5-7 سجل 5-14 سجل 3 + 14 سجل 3 = سجل 2

لذلك فإن 7 log (10/9) +3 log (81/80) = 2 log (25/24) + log 2. اثبت.

6. إذا سجل10 2 = 0.30103 ، تسجيل10 3 = 0.47712 وسجل10 7 = 0.84510 ، أوجد قيم


امتحان الرياضيات 4

أ. يتكون مجال f (x) من جميع قيم x مثل أن g (x) ≠ 0 و h (x) ≠ 0.

ب. إذا كان لدى f (x) أي تقاطعات x ، فيمكن إيجادها عن طريق حل المعادلة g (x) = 0 بشرط ألا يكون لكل من g (x) و h (x) عوامل مشتركة.

ج. إذا كانت f (x) تحتوي على تقاطع y ، فيمكن إيجادها من خلال تقييم f (0) بشرط أن يتم تعريف f (0).

أ. كل دالة كسرية لها خط مقارب رأسي واحد على الأقل.

ب. لتحديد سلوك دالة عقلانية بالقرب من الخط المقارب العمودي من يسار الخط المقارب ، يجب تحديد علامة الدالة باستخدام أي قيمة اختبار على يسار الخط المقارب.

ج. إذا كان a ثابتًا و h (a) = 0 ، فيجب أن يكون لـ f (x) خط مقارب عمودي عند x = a.

أ. سيكون للوظيفة f (x) = g (x) / h (x) خط مقارب أفقي فقط إذا كانت درجة g تساوي درجة h.

ب. سيكون للوظيفة f (x) = g (x) / h (x) خط مقارب أفقي فقط إذا كانت درجة g أقل من درجة h أو تساويها.

ج. سيكون للوظيفة f (x) = g (x) / h (x) خط مقارب أفقي فقط إذا كانت درجة g أقل من درجة h.

أ. لن يتقاطع الرسم البياني للدالة الكسرية أبدًا مع خط مقارب رأسي.

ب. قد يكون للدالة الكسرية العديد من الخطوط المقاربة الأفقية.

ج. قد يكون للدالة المنطقية العديد من الخطوط المقاربة العمودية.

أ. يجب دائمًا تمثيل جميع نقاط حد المتباينة المنطقية التي يتم العثور عليها من خلال تحديد القيم التي يساوي فيها البسط صفرًا عن طريق رسم دائرة مفتوحة على خط الأعداد.

ب. يجب دائمًا تمثيل جميع نقاط حد المتباينة المنطقية عن طريق رسم دائرة مغلقة على خط الأعداد.

ج. يجب دائمًا تمثيل جميع نقاط حد المتباينة المنطقية التي يتم العثور عليها من خلال تحديد القيم التي يساوي فيها المقام صفرًا عن طريق رسم دائرة مفتوحة على خط الأعداد.


تركيب المربعات الصغرى

إجراء رياضي لإيجاد المنحنى الأنسب لمجموعة معينة من النقاط عن طريق تقليل مجموع مربعات الإزاحة (& quotthe المتبقية & quot) للنقاط من المنحنى. مجموع مربعات من التعويضات بدلاً من القيم المطلقة للإزاحة لأن هذا يسمح بمعالجة المخلفات على أنها كمية مستمرة قابلة للتفاضل. ومع ذلك ، نظرًا لاستخدام مربعات التعويضات ، يمكن أن يكون للنقاط البعيدة تأثير غير متناسب على الملاءمة ، وهي خاصية قد تكون أو لا تكون مرغوبة اعتمادًا على المشكلة المطروحة.

في الممارسة العملية ، عمودي دائمًا ما يتم تصغير الإزاحات من خط (متعدد الحدود ، السطح ، المستوى الفائق ، إلخ) بدلاً من الإزاحات العمودية. يوفر هذا وظيفة مناسبة للمتغير المستقل الذي يقدر لمعطى (في أغلب الأحيان ما يريده المجرب) ، ويسمح بدمج أوجه عدم اليقين في نقاط البيانات على طول - و - المحاور ببساطة ، ويوفر أيضًا نموذجًا تحليليًا أبسط بكثير لـ المعلمات الملائمة التي يمكن الحصول عليها باستخدام ملاءمة تستند إلى إزاحات عمودية. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن تعميم تقنية التركيب بسهولة من الأنسب خط على أفضل نحو متعدد الحدود عند استخدام مجاميع من المسافات الرأسية. على أي حال ، بالنسبة لعدد معقول من نقاط البيانات الصاخبة ، يكون الفرق بين النوبات الرأسية والعمودية صغيرًا جدًا.

ال خطي تقنية تركيب المربعات الصغرى هي أبسط أشكال الانحدار الخطي وأكثرها شيوعًا وتوفر حلاً لمشكلة إيجاد أفضل ملاءمة مستقيم خط من خلال مجموعة من النقاط. في الواقع ، إذا كانت العلاقة الوظيفية بين الكميتين اللتين يتم رسمهما بيانيًا معروفة داخل الثوابت المضافة أو المضاعفة ، فمن الشائع تحويل البيانات بطريقة تجعل الخط الناتج هو خط مستقيم ، على سبيل المثال بالتخطيط مقابل. بدلاً من vs. في حالة تحليل فترة البندول كدالة لطوله. لهذا السبب ، غالبًا ما يتم حساب النماذج القياسية للقوانين الأسية واللوغاريتمية والقوة بشكل صريح. تم اشتقاق الصيغ الخاصة بتركيب المربعات الصغرى الخطية بشكل مستقل بواسطة Gauss و Legendre.

بالنسبة للمربعات الصغرى غير الخطية الملائمة لعدد من المعلمات غير المعروفة ، يمكن تطبيق تركيب المربعات الصغرى الخطية بشكل متكرر على شكل خطي للدالة حتى يتحقق التقارب. ومع ذلك ، غالبًا ما يكون من الممكن أيضًا جعل دالة غير خطية خطية في البداية مع الاستمرار في استخدام الطرق الخطية لتحديد معلمات الملاءمة دون اللجوء إلى الإجراءات التكرارية. هذا النهج ينتهك بشكل عام الافتراض الضمني بأن توزيع الأخطاء أمر طبيعي ، ولكنه غالبًا ما يعطي نتائج مقبولة باستخدام المعادلات العادية ، والعكس الزائف ، وما إلى ذلك. اعتمادًا على نوع الملاءمة والمعلمات الأولية المختارة ، قد يكون الملاءمة غير الخطية جيدة أو سيئة خصائص التقارب. إذا تم إعطاء شكوك (في الحالة العامة ، علامات حذف للخطأ) للنقاط ، يمكن ترجيح النقاط بشكل مختلف من أجل إعطاء نقاط الجودة العالية وزناً أكبر.

تتم متابعة تركيب المربعات الصغرى الرأسية من خلال إيجاد مجموع مربعات التابع عمودي انحرافات مجموعة من نقاط البيانات

من وظيفة. لاحظ أن هذا الإجراء لا ليس قلل الانحرافات الفعلية عن الخط (الذي يقاس بشكل عمودي على الوظيفة المحددة). بالإضافة إلى ذلك ، على الرغم من أن ملف غير محصن قد يبدو مجموع المسافات كمية أكثر ملاءمة للتقليل ، فإن استخدام القيمة المطلقة ينتج عنه مشتقات متقطعة لا يمكن معالجتها تحليليًا. لذلك يتم جمع الانحرافات المربعة من كل نقطة ، ثم يتم تصغير المتبقي الناتج للعثور على أفضل خط ملائم. يؤدي هذا الإجراء إلى إعطاء النقاط البعيدة ترجيحًا كبيرًا بشكل غير متناسب.


معلومات المدربين

  • بداية المدة
    • نظرة عامة على تكنولوجيا التعليم: نظرة عامة على الموارد
    • بيانات دعم الدورة:
      مستودع الدورة: مستندات عامة | المستودع | رافع
      اللوحة القماشية: قماش تعليمي
    • استمارة بيانات الطالب: صفحة المدرسين (نموذج البيانات لا يستخدم عادة في sp / su)
    • Ma105: WebHW WebHW Scores Viewer Gateway -> ExamData
    • Ma110: WebHW
    • Ma115: WebHW WebHW Scores Viewer Gateway -> GW ExamData
    • Ma116: WebHW WebHW Scores Viewer GW Gateway -> ExamData
    • Ma214: WebHW Ex / HWData G / W Info G / W Info ->
    • Ma215: بوابة WebHW -> GW Ex / HWData LecDemos
    • Ma216: WebHW Ex / HWData LecDemos
    • Ma217: WebHW GW GW -> Ex / HWData
    • Ma295: WebHW (بوابات)
    • Ma296: نتائج MatrixOps GW Diagonalization GW Results
    • ما 297: التمايز نتائج GW التكامل GW النتائج MatrixOps GW النتائج Diagonalization GW Results
    • Ma412: WebHW WebHW ->
    • ما 425: WebHW
    • ما 452: WebHW WebHW Ex / HWData
      -->
    • جداول Instr: إرسال الجدول الزمني عرض الجدول الزمني المقدم.
    • مقدمة بنك مشاكل البرنامج: بحث [الإصدار 2 ب]
      الإصدار القديم: بحث / تصفح
    • مولد المسح: Ver. 2 (تجريبي): مدير
      الإصدار 1: بناء نتائج عرض الاستطلاع
    • عداد كلمة وثيقة LaTeX: عداد
    • مولد المنهج: مولد | مشاهد
    • إدخال بيانات الإدخال / الإخراج: تسجيل الدخول
    • معمل الرياضيات: تسجيل الدخول | سجل TimeWorked | سجل الجدول الزمني 2 | جدول التوفيق | المدرسون الحاليون
    • Instructor Scheduling: scheduler
    • Placement Test: administrative info DHSP data
    • Math Circle: Registrations
    • Old Transfer Courses: search form

    The log-transformed power function is a straight line

    Why is it that when you log-transform a power function, you get a straight line? To show you, let's remember one of the most fundamental rules of algebra: you can do anything you want to one side of an equation - as long as you do the exact same thing to the other side (We just LOVE that rule!). So, what are we going to do?? Take the log of both sides of our equation:

    What were those rules of logs again? There are three, but the two that apply to this situation are:

    log rule #1: log(a*b) = log(a) + log(b)

    log rule #2: log(a b ) = b*log(a)

    OK, we know you are dying to remember log rule #3, so here it is: log (a/b) = log (a) - log (b) (but you don't need it here)

    Lets first apply log rule#1 to our equation:

    Now, lets apply log rule#2 to our equation:

    Now, for fun, I'm going to switch around the equation, just a bit - and now it looks just like the equation of a straight line:

    Of course Y = bX + a is just like Y = mX + b (with different letters for the parameters) - and just like we promised - the log-transformed power function (Y=aX b ) becomes a straight line (Y=bX + a). It turns out this is a real advantage - because not only is it easier to visualize the data, but it is MUCH easier to work with linear vs. non-linear functions when doing statistical analyses. You'll just have to take our word on that one. So, we're very happy that now we are working with a linear function - but how does this affect the meaning of our parameters we just spent all that time figuring out?


    شاهد الفيديو: دراسة الدالة اللوغاريتمية: تصحيح شامل لإمتحان وطني في دراسة Ln العادية 2017 الجزء1.2BAC (شهر نوفمبر 2021).