مقالات

6.3: الرسوم البيانية للدوال الأسية - الرياضيات


أهداف التعلم

  • الرسم البياني للوظائف الأسية.
  • ارسم الدوال الأسية باستخدام التحولات.

كما ناقشنا في القسم السابق ، تُستخدم الوظائف الأسية في العديد من تطبيقات العالم الحقيقي مثل التمويل والطب الشرعي وعلوم الكمبيوتر ومعظم علوم الحياة. العمل مع المعادلة التي تصف موقفًا في العالم الحقيقي يعطينا طريقة لعمل التنبؤات. نتعلم الكثير عن الأشياء من خلال رؤية تمثيلاتها التصويرية ، وهذا هو بالضبط السبب في أن رسم المعادلات الأسية يعد أداة قوية. إنه يعطينا طبقة أخرى من البصيرة للتنبؤ بالأحداث المستقبلية.

وظائف الرسوم البيانية الأسية

قبل أن نبدأ الرسم البياني ، من المفيد مراجعة سلوك النمو الأسي. تذكر جدول القيم لدالة على شكل (f (x) = b ^ x ) قاعدتها أكبر من واحد. سنستخدم الوظيفة (f (x) = 2 ^ x ). لاحظ كيف تتغير قيم المخرجات في Table ( PageIndex {1} ) مع زيادة الإدخال بمقدار (1 ).

جدول ( PageIndex {1} )
(س )(−3)(−2)(−1)(0)(1)(2)(3)
(و (س) = 2 ^ س ) ( dfrac {1} {8} ) ( dfrac {1} {4} ) ( dfrac {1} {2} )(1)(2)(4)(8)

كل قيمة إخراج هي نتاج المخرجات السابقة والقاعدة ، (2 ). نسمي القاعدة (2 ) ال نسبة ثابتة. في الواقع ، لأي دالة أسية بالصيغة (f (x) = ab ^ x ) ، (b ) هي النسبة الثابتة للدالة. هذا يعني أنه كلما زاد الإدخال بمقدار (1 ) ، ستكون قيمة المخرجات هي منتج القاعدة والمخرجات السابقة ، بغض النظر عن قيمة (أ ).

لاحظ من الجدول أن

  • قيم الإخراج موجبة لجميع قيم (س ) ؛
  • مع زيادة (س ) ، تزداد قيم المخرجات دون قيود ؛ و
  • مع انخفاض (س ) ، تصبح قيم المخرجات أصغر ، وتقترب من الصفر.

يوضح الشكل ( PageIndex {1} ) دالة النمو الأسي (f (x) = 2 ^ x ).

مجال (f (x) = 2 ^ x ) هو جميع الأرقام الحقيقية ، والنطاق هو ((0 ، infty) ) ، والخط المقارب الأفقي (y = 0 ).

للتعرف على سلوك الانحطاط الأسي ، يمكننا إنشاء جدول قيم لدالة من النموذج (f (x) = b ^ x ) التي تقع قاعدتها بين صفر وواحد. سنستخدم الدالة (g (x) = { left ( dfrac {1} {2} right)} ^ x ). لاحظ كيف تتغير قيم المخرجات في Table ( PageIndex {2} ) مع زيادة الإدخال بمقدار (1 ).

جدول ( PageIndex {2} )
(س )(-3)(-2)(-1)(0)(1)(2)(3)
(g (x) = { left ( dfrac {1} {2} right)} ^ x )(8)(4)(2)(1) ( dfrac {1} {2} ) ( dfrac {1} {4} ) ( dfrac {1} {8} )

مرة أخرى ، نظرًا لأن الإدخال يتزايد بمقدار (1 ) ، فإن كل قيمة ناتجة هي ناتج الناتج السابق والقاعدة ، أو النسبة الثابتة ( dfrac {1} {2} ).

لاحظ من الجدول أن

  • قيم الإخراج موجبة لجميع قيم (س ) ؛
  • مع زيادة (س ) ، تصبح قيم المخرجات أصغر ، وتقترب من الصفر ؛ و
  • مع انخفاض (س ) ، تنمو قيم الإخراج دون قيود.

يوضح الشكل ( PageIndex {2} ) دالة الانحلال الأسي ، (g (x) = { left ( dfrac {1} {2} right)} ^ x ).

مجال (g (x) = {( dfrac {1} {2})} ^ x ) هو جميع الأرقام الحقيقية ، والنطاق هو ((0، infty) ) ، والخط المقارب الأفقي هو (ص = 0 ).

خصائص الرسم البياني لوظيفة الوالدين (F (X) = b ^ x )

دالة أسية بالصيغة (f (x) = b ^ x ) ، (b> 0 ) ، (b ≠ 1 ) ، لها هذه الخصائص:

  • وظيفة واحد لواحد
  • خط مقارب أفقي: (ص = 0 )
  • المجال: ((- infty، infty) )
  • النطاق: ((0، infty) )
  • س-اعتراض: لا شيء
  • ص-التقاطع: ((0،1) )
  • زيادة إذا (ب> 1 )
  • تناقص إذا (ب <1 )

يقارن الشكل ( PageIndex {3} ) الرسوم البيانية لوظائف النمو الأسي والتضاؤل.

1 والرسم البياني الثاني لهما نفس الوظيفة عندما تكون b 0

الكيفية: إعطاء دالة أسية بالشكل (f (x) = b ^ x ) ، قم برسم الدالة بيانيًا

  1. قم بإنشاء جدول للنقاط.
  2. ارسم على الأقل (3 ) نقطة من الجدول ، بما في ذلك ذ-تقاطع ((0،1) ).
  3. ارسم منحنى سلس عبر النقاط.
  4. اذكر المجال ، ((- infty ، infty) ) ، النطاق ، ((0 ، infty) ) ، والخط المقارب الأفقي ، (y = 0 ).

مثال ( PageIndex {1} ): رسم رسم بياني للدالة الأسية للنموذج (f (x) = b ^ x )

ارسم رسمًا بيانيًا لـ (f (x) = 0.25 ^ x ). اذكر المجال والنطاق والخط المقارب.

حل

قبل الرسم البياني ، حدد السلوك وأنشئ جدول نقاط للرسم البياني.

جدول ( PageIndex {3} )
(س )(−3)(−2)(−1)(0)(1)(2)(3)
(و (س) = {0.25} ^ س )(64)(16)(4)(1)(0.25)(0.0625(0.015625)
  • نظرًا لأن (ب = 0.25 ) يقع بين صفر وواحد ، فإننا نعلم أن الدالة تتناقص. سيزداد الذيل الأيسر للرسم البياني بدون حدود ، وسيقترب الذيل الأيمن من الخط المقارب (y = 0 ).
  • أنشئ جدول نقاط كما في Table ( PageIndex {3} ).
  • ارسم ملف ذ-تقاطع ((0،1) ) مع نقطتين أخريين. يمكننا استخدام ((- 1،4) ) و ((1،0.25) ).

ارسم منحنىًا سلسًا يربط بين النقاط كما في الشكل ( PageIndex {4} ).

المجال هو ((- infty، infty) ) ؛ النطاق ((0، infty) )؛ الخط المقارب الأفقي هو (ص = 0 ).

تمرين ( PageIndex {1} )

ارسم الرسم البياني لـ (f (x) = 4 ^ x ). اذكر المجال والنطاق والخط المقارب.

إجابه

المجال هو ((- infty، infty) ) ؛ النطاق ((0، infty) )؛ الخط المقارب الأفقي هو (ص = 0 ).

تحويلات الرسوم البيانية للدوال الأسية

تتصرف تحولات الرسوم البيانية الأسية بشكل مشابه لتلك الخاصة بالوظائف الأخرى. تمامًا كما هو الحال مع الوظائف الرئيسية الأخرى ، يمكننا تطبيق الأنواع الأربعة من التحويلات - التحولات والانعكاسات والتمدد والضغط - على الوظيفة الأصل (f (x) = b ^ x ) دون فقدان الشكل. على سبيل المثال ، تمامًا كما تحافظ الوظيفة التربيعية على شكلها المكافئ عند التبديل أو الانعكاس أو التمدد أو الضغط ، تحافظ الوظيفة الأسية أيضًا على شكلها العام بغض النظر عن التحولات المطبقة.

رسم التحول العمودي

يحدث التحول الأول عندما نضيف ثابتًا (د ) إلى الوظيفة الأصلية (f (x) = b ^ x ) ، مما يمنحنا إزاحة رأسية d وحدات في نفس اتجاه الإشارة. على سبيل المثال ، إذا بدأنا برسم دالة أصلية ، (f (x) = 2 ^ x ) ، فيمكننا حينئذٍ رسم بيانيتين للتحول الرأسي بجانبها ، باستخدام (d = 3 ): التحول التصاعدي ، ( ز (س) = 2 ^ س + 3 ) والتحول للأسفل ، (ح (س) = 2 ^ س − 3 ). يتم عرض كلا التحولات الرأسية في الشكل ( PageIndex {5} ).

لاحظ نتائج التحول (f (x) = 2 ^ x ) عموديًا:

  • المجال ، ((- infty ، infty) ) لم يتغير.
  • عندما تنتقل الوظيفة لأعلى (3 ) وحدات إلى (ز (س) = 2 ^ س + 3 ):
    • ال ص-يتحول التقاطع لأعلى (3 ) وحدات إلى ((0،4) ).
    • ينتقل الخط المقارب لأعلى (3 ) وحدات إلى (ص = 3 ).
    • يصبح النطاق ((3، infty) ).
  • عندما يتم إزاحة الوظيفة لأسفل (3 ) وحدات إلى (ح (س) = 2 ^ س − 3 ):
    • ال ص-يتحول التقاطع لأسفل (3 ) وحدات إلى ((0 ، −2) ).
    • يتحول الخط المقارب أيضًا لأسفل (3 ) وحدات إلى (ص = −3 ).
    • يصبح النطاق ((- 3، infty) ).

رسم التحول الأفقي

يحدث التحول التالي عندما نضيف ثابت (c ) إلى مدخلات الدالة الأم (f (x) = b ^ x ) ، مما يمنحنا إزاحة أفقية (c ) وحدات في عكس اتجاه العلامة. على سبيل المثال ، إذا بدأنا برسم الوظيفة الرئيسية (f (x) = 2 ^ x ) ، يمكننا بعد ذلك رسم بياني انزياحيين أفقيين بجانبها ، باستخدام (c = 3 ): التحول إلى اليسار ، (g (x) = 2 ^ {x + 3} ) ، والتحول إلى اليمين ، (h (x) = 2 ^ {x − 3} ). (ح (س) = 2 ^ {س − 3} ). يظهر كل من التحولات الأفقية في الشكل ( PageIndex {6} ).

لاحظ نتائج التحول (f (x) = 2 ^ x ) أفقيًا:

  • المجال ، ((- infty ، infty) ) ، لم يتغير.
  • يظل الخط المقارب (y = 0 ) دون تغيير.
  • ال ص-اعتراض التحولات مثل:
    • عندما يتم إزاحة الوظيفة لليسار (3 ) وحدات إلى (g (x) = 2 ^ {x + 3} ) ، فإن ذ-المقطع يصبح ((0،8) ). هذا لأن (2 ^ {x + 3} = (8) 2 ^ x ) ، لذا فإن القيمة الأولية للدالة هي (8 ).
    • عندما تنتقل الوظيفة إلى اليمين (3 ) الوحدات إلى (h (x) = 2 ^ {x − 3} ) ، فإن ذ-المقطع يصبح ((0، dfrac {1} {8}) ). مرة أخرى ، راجع أن (2 ^ {x − 3} = ( dfrac {1} {8}) 2 ^ x ) ، لذا فإن القيمة الأولية للدالة هي ( dfrac {1} {8} ) .

تحولات دالة الوالدين (F (X) = ب ^ س )

لأي ثوابت (c ) و (d ) ، تعمل الوظيفة (f (x) = b ^ {x + c} + d ) على إزاحة الوظيفة الأصلية (f (x) = b ^ x ) )

  • عموديا (د ) وحدات ، في نفس اتجاه علامة (د ).
  • أفقيا (ج ) الوحدات ، في عكس اتجاه علامة (ج ).
  • ال ذ-المقطع يصبح ((0، b ^ c + d) ).
  • يصبح الخط المقارب الأفقي (y = d ).
  • يصبح النطاق ((d، infty) ).
  • المجال ، ((- infty ، infty) ) ، لم يتغير.

الكيفية: إعطاء دالة أسية بالصيغة (f (x) = b ^ {x + c} + d ) ، رسم الترجمة بيانيًا

  1. ارسم الخط المقارب الأفقي (y = d ).
  2. حدد التحول كـ ((- ج ، د) ). قم بتحويل الرسم البياني لوحدات (f (x) = b ^ x ) يسار (c ) إذا كانت (c ) موجبة ، ويمين (c ) الوحدات إذا كانت (c ) سلبية.
  3. قم بتحويل الرسم البياني لـ (f (x) = b ^ x ) لأعلى (d ) وحدة إذا كان (d ) موجبًا ، ولأسفل (d ) وحدة إذا كان (d ) سالبًا.
  4. اذكر المجال ، ((- infty ، infty) ) ، النطاق ، ((d ، infty) ) ، والخط المقارب الأفقي (y = d ).

مثال ( PageIndex {2} ): رسم بياني لتحول دالة أسية

رسم بياني (f (x) = 2 ^ {x + 1} −3 ). اذكر المجال والنطاق والخط المقارب.

حل

لدينا معادلة أسية بالصيغة (f (x) = b ^ {x + c} + d ) ، مع (b = 2 ) ، (c = 1 ) ، و (d = - 3 ).

ارسم الخط المقارب الأفقي (y = d ) ، لذا ارسم (y = −3 ).

حدد التحول كـ ((- ج ، د) ) ، لذا يكون التحول ((- 1 ، −3) ).

قم بتحويل الرسم البياني لـ (f (x) = b ^ x ) يسار (1 ) وحدات وأسفل (3 ) وحدات.

المجال هو ((- infty، infty) ) ؛ النطاق ((- 3 ، infty) ) ؛ الخط المقارب الأفقي هو (y = −3 ).

تمرين ( PageIndex {2} )

رسم بياني (f (x) = 2 ^ {x − 1} +3 ). مجال الدولة والمدى والخط المقارب.

إجابه

المجال هو ((- infty، infty) ) ؛ النطاق ((3، infty) ) ؛ الخط المقارب الأفقي هو (ص = 3 ).

الكيفية: بإعطاء معادلة بالصيغة (f (x) = b ^ {x + c} + d ) لـ (x ) ، استخدم حاسبة بيانية لتقريب الحل

  • صحافة [ص =]. أدخل المعادلة الأسية المقدمة في السطر المعنون "ص1=”.
  • أدخل القيمة المعطاة forf (x) f (x) في السطر المعنون "ص2=”.
  • صحافة [نافذة او شباك]. أضبط ال ذ-محور بحيث يتضمن القيمة التي تم إدخالها لـ "ص2=”.
  • صحافة [رسم بياني] لمراقبة الرسم البياني للدالة الأسية مع خط القيمة المحددة off (x). و (خ).
  • لإيجاد قيمة x ، x ، نحسب نقطة التقاطع. صحافة [الثاني] ومن بعد [CALC]. حدد "تقاطع" واضغط [أدخل] ثلاث مرات. تعطي نقطة التقاطع قيمة x للقيمة المشار إليها للوظيفة.

مثال ( PageIndex {3} ): تقريب حل المعادلة الأسية

حل (42 = 1.2 {(5)} ^ x + 2.8 ) بيانياً. قرب لاقرب جزء من الف.

حل

صحافة [ص =] وأدخل (1.2 {(5)} ^ x + 2.8 ) بجوار ص1=. ثم أدخل (42 ) بجوار Y2 =. للنافذة ، استخدم القيم (- 3 ) إلى (3 ) من أجل (س ) و (- 5 ) إلى (55 ) من أجل (ص ). صحافة [رسم بياني]. يجب أن تتقاطع الرسوم البيانية في مكان ما بالقرب من (س = 2 ).

لتقريب أفضل ، اضغط على [الثاني] ومن بعد [CALC]. يختار [5: تقاطع] و اضغط [أدخل] ثلاث مرات. ال x- يتم عرض تنسيق نقطة التقاطع كـ (2.1661943 ). (قد تختلف إجابتك إذا كنت تستخدم نافذة مختلفة أو تستخدم قيمة مختلفة لـ خمن؟) لأقرب جزء من الألف ، (x≈2.166 ).

تمرين ( PageIndex {3} )

حل (4 = 7.85 {(1.15)} ^ x − 2.27 ) بيانياً. قرب لاقرب جزء من الف.

إجابه

(س≈ − 1.608 )

رسم بياني للتمدد أو الضغط

بينما تتضمن التحولات الأفقية والعمودية إضافة ثوابت إلى الإدخال أو إلى الوظيفة نفسها ، أ تمتد أو ضغط يحدث عندما نضرب دالة الأصل (f (x) = b ^ x ) بثابت (| a |> 0 ). على سبيل المثال ، إذا بدأنا برسم الدالة الأم بالرسم البياني (f (x) = 2 ^ x ) ، فيمكننا بعد ذلك رسم التمدد ، باستخدام (a = 3 ) ، للحصول على (g (x) = 3 {(2)} ^ x ) كما هو موضح على اليسار في الشكل ( PageIndex {8} ) والضغط باستخدام (a = dfrac {1} {3} ) للحصول على ( h (x) = dfrac {1} {3} {(2)} ^ x ) كما هو موضح على اليمين في الشكل ( PageIndex {8} ).

امتدادات وضغطات وظيفة الوالدين (F (X) = B ^ X )

لأي عامل (a> 0 ) ، الدالة (f (x) = a {(b)} ^ x )

  • يتمدد عموديًا بمعامل (أ ) إذا (| أ |> 1 ).
  • يتم ضغطه عموديًا بواسطة عامل (a ) إذا (| a | <1 ).
  • لديه ذ-مقطع ((0، أ) ).
  • له خط مقارب أفقي عند (y = 0 ) ، ونطاق من ((0 ، infty) ) ، ومجال من ((- infty ، infty) ) ، والتي لم تتغير من الوالد وظيفة.

مثال ( PageIndex {4} ): رسم بياني لتمتد الدالة الأسية

ارسم رسمًا بيانيًا (f (x) = 4 {( dfrac {1} {2})} ^ x ). اذكر المجال والنطاق والخط المقارب.

حل

قبل الرسم البياني ، حدد السلوك والنقاط الرئيسية على الرسم البياني.

  • نظرًا لأن (b = dfrac {1} {2} ) يقع بين صفر وواحد ، فإن الذيل الأيسر للرسم البياني سيزداد بلا حدود مع انخفاض (x ) ، وسيقترب الذيل الأيمن من x-المحور كلما زاد (س ).
  • بما أن (a = 4 ) ، فإن الرسم البياني (f (x) = {( dfrac {1} {2})} ^ x ) سيتم تمديده بمعامل (4 ).
  • أنشئ جدول نقاط كما هو موضح في Table ( PageIndex {4} ).
    جدول ( PageIndex {4} )
    (س )(−3)(−2)(−1)(0)(1)(2)(3)

    (f (x) = 4 {( dfrac {1} {2})} ^ x )

    (32)(16)(8)(4)(2)(1)(0.5)
  • ارسم ملف ص-اعتراض ((0،4) ) مع نقطتين أخريين. يمكننا استخدام ((- 1،8) ) و ((1،2) ).

ارسم منحنى سلس يربط بين النقاط ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {9} ).

المجال هو ((- infty، infty) ) ؛ النطاق ((0، infty) )؛ الخط المقارب الأفقي هو (ص = 0 ).

تمرين ( PageIndex {4} )

ارسم الرسم البياني (f (x) = dfrac {1} {2} {(4)} ^ x ). اذكر المجال والنطاق والخط المقارب.

إجابه

المجال هو ((- infty، infty) ) ؛ النطاق ((0، infty) )؛ الخط المقارب الأفقي هو (ص = 0 ).

تأملات الرسوم البيانية

بالإضافة إلى إزاحة الرسم البياني وضغطه وتمديده ، يمكننا أيضًا عكسه حول x-المحور أو ذ-محور. عندما نضرب الدالة الأم (f (x) = b ^ x ) في (- 1 ) ، نحصل على انعكاس حول x-محور. عندما نضرب الإدخال في (- 1 ) ، نحصل على انعكاس حول ذ-محور. على سبيل المثال ، إذا بدأنا برسم الوظيفة الرئيسية (f (x) = 2 ^ x ) ، فيمكننا بعد ذلك رسم الانعكاسين بجانبها. انعكاس حول x- المحور ، (g (x) = - 2 ^ x ) ، يظهر على الجانب الأيسر من الشكل ( PageIndex {10} ) ، والانعكاس حول المحور y (h (x) = 2 ^ {- x} ) ، على الجانب الأيمن من الشكل ( PageIndex {10} ).

انعكاسات دالة الوالدين (F (X) = B ^ x )

الوظيفة (f (x) = - b ^ x )

  • يعكس الدالة الأصل (f (x) = b ^ x ) حول x-محور.
  • لديه ذ-مقطع ((0، −1) ).
  • له مدى ((- infty، 0) )
  • له خط مقارب أفقي عند (y = 0 ) ومجال ((- infty ، infty) ) ، والتي لم تتغير من الوظيفة الأصلية.

الوظيفة (f (x) = b ^ {- x} )

  • يعكس الدالة الأصل (f (x) = b ^ x ) حول ذ-محور.
  • لديه ذ-تقاطع ((0،1) ) ، خط مقارب أفقي عند (y = 0 ) ، نطاق من ((0 ، infty) ) ، ومجال ((- infty ، infty) ) ، والتي لم تتغير من الوظيفة الأصلية.

مثال ( PageIndex {5} ): الكتابة والرسم البياني لانعكاس الدالة الأسية

ابحث عن معادلة دالة ورسم بيانيًا لها ، (g (x) ) التي تعكس (f (x) = {( dfrac {1} {4})} ^ x ) حول x-محور. اذكر مجالها ونطاقها وخطوطها المقاربة.

حل

نظرًا لأننا نريد أن نعكس وظيفة الأصل (f (x) = {( dfrac {1} {4})} ^ x ) حول س-المحور ، نضرب (f (x) ) في (- 1 ) لنحصل على (g (x) = - {( dfrac {1} {4})} ^ x ). بعد ذلك نقوم بإنشاء جدول نقاط كما في Table ( PageIndex {5} ).

جدول ( PageIndex {5} )
(س )(−3)(−2)(−1)(0)(1)(2)(3)

(g (x) = - {( dfrac {1} {4})} ^ x )

(−64)

(−16)

(−4)

(−1)

(−0.25)

(−0.0625)

(−0.0156)

ارسم ملف ص-اعتراض ((0، −1) ) مع نقطتين أخريين. يمكننا استخدام ((- 1، −4) ) و ((1، −0.25) ).

ارسم منحنى سلس يربط بين النقاط:

المجال هو ((- infty، infty) ) ؛ النطاق ((- infty ، 0) ) ؛ الخط المقارب الأفقي هو (ص = 0 ).

تمرين ( PageIndex {5} )

ابحث عن معادلة دالة ورسم بيانيًا لها ، (g (x) ) ، التي تعكس (f (x) = {1.25} ^ x ) حول ذ-محور. اذكر مجالها ونطاقها وخطوطها المقاربة.

إجابه

المجال هو ((- infty، infty) ) ؛ النطاق ((0، infty) )؛ الخط المقارب الأفقي هو (ص = 0 ).

تلخيص ترجمات الدالة الأسية

الآن وقد عملنا مع كل نوع من أنواع الترجمة للوظيفة الأسية ، يمكننا تلخيصها في جدول ( PageIndex {6} ) للوصول إلى المعادلة العامة لترجمة الدوال الأسية.

1 ، ويلاحظ التغييرات التالية: تتناقص الوظيفة المنعكسة مع انتقال x من 0 إلى ما لا نهاية ، ويظل الخط المقارب x = 0 ، ويظل تقاطع x (1 ، 0) ، وتتغير النقطة الرئيسية إلى (b ^ (- 1) ) ، 1) ، يبقى المجال (0 ، ما لا نهاية) ، ويبقى النطاق (- اللانهاية ، اللانهاية). يُظهر العمود الثاني التحول الأيسر للمعادلة g (x) = log_b (x) عندما b> 1 ، ويلاحظ التغييرات التالية: تتناقص الوظيفة المنعكسة مع انتقال x من 0 إلى ما لا نهاية ، ويظل الخط المقارب x = 0 ، يتغير تقاطع x إلى (-1 ، 0) ، وتتغير النقطة الرئيسية إلى (-b ، 1) ، ويتغير المجال إلى (-infinity ، 0) ، ويظل النطاق (-infinity ، infinity). ">

الجدول ( PageIndex {6} ): ترجمات الدالة الأصل (f (x) = b ^ x )
ترجمةاستمارة
تحول
  • أفقيًا (ج ) وحدات إلى اليسار
  • عموديا (د ) وحدات لأعلى

(و (س) = ب ^ {س + ج} + د )

تمدد وضغط
  • تمدد إذا (| a |> 1 )
  • الضغط إذا (0 <| a | <1 )

(و (س) = أب ^ س )

فكر في المحور السيني

(و (س) = - ب ^ س )

فكر في المحور ص

(f (x) = ب ^ {- x} = {( dfrac {1} {b})} ^ x )

معادلة عامة لجميع الترجمات

(و (س) = أب ^ {س + ج} + د )

ترجمة الوظائف الإضافية

ترجمة دالة أسية لها الشكل

(و (س) = أب ^ {س + ج} + د )

حيث تكون الوظيفة الرئيسية (y = b ^ x ) (b> 1 ) هي

  • تحول أفقيا (ج ) وحدات إلى اليسار.
  • متمدد عموديًا بمعامل (| a | ) إذا (| a |> 0 ).
  • مضغوط عموديًا بمعامل (| a | ) إذا (0 <| a | <1 ).
  • تحول رأسيًا (د ) وحدة.
  • ينعكس حول س-المحور عندما (<0 ).

لاحظ أن ترتيب التحولات والتحولات والانعكاسات يتبع ترتيب العمليات.

مثال ( PageIndex {6} ): كتابة دالة من وصف

اكتب معادلة الدالة الموصوفة أدناه. اكتب الخط المقارب الأفقي والمجال والنطاق.

(f (x) = e ^ x ) يتمدد عموديًا بواسطة عامل (2 ) ، ينعكس عبر ذ-المحور ، ثم تحول لأعلى (4 ) وحدات.

حل

نريد إيجاد معادلة بالصيغة العامة f (x) = abx + c + d. و (س) = أبكس + ج + د. نستخدم الوصف المقدم للعثور على a و a و b و b و c و c و d. د.

  • لدينا وظيفة الأصل (f (x) = e ^ x ) ، لذلك (b = e ).
  • يتم تمديد الوظيفة بمعامل (2 ) ، لذلك (أ = 2 ).
  • تنعكس الوظيفة حول ذ-محور. نستبدل (x ) بـ (- x ) لنحصل على: (e ^ {- x} ).
  • يتم إزاحة الرسم البياني عموديًا 4 وحدات ، لذلك (د = 4 ).

الاستبدال في الشكل العام الذي نحصل عليه ،

(و (س) = أب ^ {س + ج} + د )

(= 2e ^ {- x + 0} +4 )

(= 2e ^ {- x} +4 )

المجال هو ((- infty، infty) ) ؛ النطاق هو ((4، infty) ) ؛ الخط المقارب الأفقي هو (ص = 4 ).

تمرين ( PageIndex {6} )

اكتب معادلة الوظيفة الموصوفة أدناه. اكتب الخط المقارب الأفقي والمجال والنطاق.

(f (x) = e ^ x ) يتم ضغطه عموديًا بواسطة عامل ( dfrac {1} {3} ) ، ينعكس عبر x-المحور ثم نقله لأسفل (2 ) وحدة.

إجابه

(f (x) = - dfrac {1} {3} e ^ {x} −2 ) ؛ المجال هو ((- infty، infty) ) ؛ النطاق ((- infty، 2) ) ؛ الخط المقارب الأفقي هو (ص = 2 ).

وسائط

قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية مع وظائف الرسوم البيانية الأسية.

  • وظائف الرسم البياني الأسية

المعادلات الرئيسية

النموذج العام لترجمة الوظيفة الأصل (f (x) = b ^ x ) (و (س) = أب ^ {س + ج} + د )

المفاهيم الرئيسية

  • الرسم البياني للوظيفة (f (x) = b ^ x ) له أ ص-التقاطع عند ((0 ، 1) ) ، المجال ((- infty ، infty) ) ، النطاق ((0 ، infty) ) ، والخط المقارب الأفقي (y = 0 ). انظر المثال.
  • إذا (b> 1 ) ، فإن الوظيفة تزداد. سيقترب الذيل الأيسر من الرسم البياني من الخط المقارب (y = 0 ) ، وسيزيد الذيل الأيمن بلا حدود.
  • إذا (0 <ب <1 ) ، فإن الوظيفة تتناقص. سيزداد الذيل الأيسر للرسم البياني بدون حدود ، وسيقترب الذيل الأيمن من الخط المقارب (y = 0 ).
  • تمثل المعادلة (f (x) = b ^ x + d ) تحولًا رأسيًا لوظيفة الأصل (f (x) = b ^ x ).
  • تمثل المعادلة (f (x) = b ^ {x + c} ) تحولًا أفقيًا للوظيفة الأم (f (x) = b ^ x ). انظر المثال.
  • يمكن إيجاد الحلول التقريبية للمعادلة (f (x) = b ^ {x + c} + d ) باستخدام حاسبة الرسوم البيانية. انظر المثال.
  • المعادلة (f (x) = ab ^ x ) ، حيث (a> 0 ) ، تمثل امتدادًا رأسيًا إذا (| a |> 1 ) أو ضغط إذا (0 <| a | <1 ) للوظيفة الأصل (f (x) = b ^ x ). انظر المثال.
  • عندما يتم ضرب الدالة الأصل (f (x) = b ^ x ) في (- 1 ) ، تكون النتيجة ، (f (x) = - b ^ x ) ، انعكاسًا عن x-محور. عندما يتم ضرب المدخلات في (- 1 ) ، تكون النتيجة ، (f (x) = b ^ {- x} ) ، انعكاسًا عن ذ-محور. انظر المثال.
  • يمكن تلخيص جميع ترجمات الدالة الأسية بالمعادلة العامة (f (x) = ab ^ {x + c} + d ). انظر الجدول.
  • باستخدام المعادلة العامة (f (x) = ab ^ {x + c} + d ) ، يمكننا كتابة معادلة دالة وفقًا لوصفها. انظر المثال.

6.3: الرسوم البيانية للدوال الأسية - الرياضيات

الوظائف الأسية: الرسوم البيانية (صفحة 3 من 5)

سأحسب نفس النقاط كما سبق:

وبالتالي ذ = ( 1 /3 ) × بالفعل نموذج النمو. ومع ذلك ، بالنسبة للسجل ، عادةً ما تكون قاعدة الدوال الأسية أكبر من 1 ، لذلك يكون النمو عادةً في الشكل & quot 3 x & quot (أي بـ & quot ؛ مع & quot ؛ أس) ويكون التحلل عادة بالصيغة & quot 3 & quot؛x & quot (أي مع & quotnegative & quot الأس).

سأحسب بعض نقاط الحبكة ، كالعادة:

لاحظ أنه بالنسبة للرسم البياني ، تعد التقريبات العشرية أكثر فائدة من النماذج & quotexact & quot. على سبيل المثال ، من الصعب معرفة مكان & quot ه يجب رسم الشكل 2.25 & quot ، ولكن من السهل العثور على مكان & quot 9.488 & quot. لاحظ أيضًا أنني قمت بحساب أكثر من مجرد نقاط عدد صحيح. تنمو الدالة الأسية بسرعة كبيرة جدًا بحيث لا يمكنني استخدام نطاق واسع من x - القيم (أعني ، انظروا كيف كبيرة ذ حصلت متى x كان فقط 2). بدلاً من ذلك ، اضطررت إلى اختيار بعض النقاط البينية من أجل الحصول على نقاط معقولة كافية للرسم البياني الخاص بي.

الآن أرسم النقاط ، وأرسم الرسم البياني الخاص بي:

حقوق النشر © Elizabeth Stapel 2002-2011 جميع الحقوق محفوظة

تتضمن الوظيفة المذكورة أعلاه أسيًا ، ولكنها لم تكن في الشكل الأسي & quotusual & quot (نظرًا لأن القوة لم تكن خطية ، ولكنها من الدرجة الثانية). ومع ذلك ، عادة ما تحصل على الصيغة القياسية ، مع قاعدة أكبر من واحد ، وربما مضروبة في ثابت ، وأسس خطية. لاحظ أن جميع الرسوم البيانية تبدو تقريبًا كما هي ، حيث ربما تم تحريكها لأعلى أو لأسفل ، أو مقلوبة رأسًا على عقب ، أو نقلت إلى اليسار أو اليمين ، وما إلى ذلك ، وما إلى ذلك ، ولكن جميعها لها نفس الشكل تقريبًا:


لنذهب إلى & # 8217s الرسوم البيانية للدوال الأسية.

بادئ ذي بدء ، ما هي الدالة الأسية؟

الدالة الأسية لها شكل

الشيء الذي يجب أن يبرز هو أي أس. و هي ثابتة.

دعونا & # 8217s ننظر أولا في الوظائف التي.

لأغراض العرض التوضيحي ، دعونا & # 8217s

دعونا نلقي & # 8217s نظرة على بعض منها محددة.

متى بعد ذلك ،
ومن بعد ،
ومن بعد ،
ومن بعد ،
ومن بعد ،
وثم .

الشيء الذي أريد أن أشير إليه هو متى كان ذلك الحين.

عندما نرسم الأس الموجب بيانيًا ، فلن يكون خطًا مستقيمًا. يزداد بمعدل أعلى بكثير. حتى أنها تنحني بشكل كبير.

عندما نرسم الأسس السالبة بالرسم البياني ، فإنه سينحني لكنه لن يمس المحور.

لأنه حتى لو كان الأس سالبًا ، فإنه يتغير إلى كسر وليس رقمًا سالبًا.

إذن هذا هو التمثيل البياني الأساسي لكسر أسي.

& # 8217s نلقي نظرة على الرسم البياني لـ.

دعونا نحصل على نفس النقاط هنا.

متى بعد ذلك ،
ومن بعد ،
ومن بعد ،
ومن بعد ،
ومن بعد ،
وثم .

هذا واحد شديد الانحدار على الأسس الموجبة ومنخفض جدًا في الأسس السالبة.

ولكن لا يزال فاز & # 8217t لمس المحور.

اسمحوا لي أن أغير القيم قليلا.

متى بعد ذلك ،
متى بعد ذلك ،
ومتى بعد ذلك.

إذا نظرت إليها ، فهي صورة معكوسة لمثالنا الأول.

متى بعد ذلك ،
متى بعد ذلك ،
وثم .

سيكون قريبًا جدًا من المحور.

سوف ينعكس السلبية في المحور.

فلنبدأ من جديد & # 8217s ، لأن أي رقم يتم رفعه إلى قوة هو.

متى بعد ذلك ،
متى بعد ذلك ،
ومتى بعد ذلك.

متى بعد ذلك ،
متى بعد ذلك ،
ومتى بعد ذلك.

مقارنة بالمثال الأول ، ينعكس هذا الرسم البياني في المحور.

لدينا الثابت & # 8217s أكبر من مرفوع إلى الأس.

سترتفع باستمرار على جانب واحد إذا كان الأس أكبر من. نظرًا لأنك تقوم بضربها بنفسها مرات ومرات.

بينما في الآخر ، لدينا كسر. وهو أقل من واحد ويرفع إلى الأس.

عندما تضرب في نفسها ، تصبح أصغر.

إذا كان لديك قاعدة أكبر من & # 8217s ، سيكون لديك خط سينمو بسرعة.

ولكن إذا كان لديك قاعدة & # 8217s أقل من ولكنها لا تزال إيجابية ، فإنها & # 8217s ستنخفض أو تتحلل.


كيف تجد الدوال الأسية

غالبًا ما يكون العثور على معادلة الدوال الأسية عملية متعددة الخطوات ، وتختلف كل مشكلة بناءً على المعلومات ونوع الرسم البياني المقدم إلينا. بالنظر إلى التمثيل البياني للدوال الأسية ، نحتاج إلى أن نكون قادرين على أخذ بعض المعلومات من التمثيل البياني نفسه ، ثم إيجاد الأشياء التي لا يمكننا أخذها مباشرة من التمثيل البياني. فيما يلي قائمة بجميع المتغيرات التي قد يتعين علينا البحث عنها وكيفية العثور عليها عادةً:

أ & ndash حلها باستخدام الجبر ، أو سيتم إعطاؤها

& ndash حلها باستخدام الجبر ، أو سيتم إعطاؤها

c & ndash دع x = 0 وتخيل أن "c" غير موجود ، قيمة y ستساوي التقاطع y الآن عد عدد الوحدات التي تكون قيمة y للتقاطع y من المحور y ، وهذا سيساوي " ج "

د & - حلها باستخدام الجبر

ك & ndash يساوي قيمة الخط المقارب الأفقي

بالطبع ، هذه مجرد خطوات عامة تحتاج إلى اتخاذها من أجل إيجاد معادلة الدالة الأسية. أفضل طريقة لتعلم كيفية القيام بذلك هي تجربة بعض مشاكل التدريب!

أمثلة على الدوال الأسية:

الآن دعونا نجرب بعض الأمثلة من أجل وضع كل النظرية التي غطيناها موضع التنفيذ. بالممارسة ، ستتمكن من العثور على وظائف أسية بسهولة!

أوجد الدالة الأسية بالصيغة y = a b x y = ab ^ x y = a b x في الرسم البياني الآتي.

إيجاد دالة أسية بمنحها البياني

لحل هذه المشكلة ، سنحتاج إلى إيجاد المتغيرين "أ" و "ب". كذلك ، سيتعين علينا حل كلا الأمرين جبريًا ، حيث يمكننا تحديدهما من الرسم البياني للدالة الأسية نفسه.

لإيجاد "a" ، يجب أن نختار نقطة على الرسم البياني حيث يمكننا حذف bx لأننا لا نعرف "b" حتى الآن ، وبالتالي علينا اختيار تقاطع y (0،3). بما أن b0 يساوي 1 ، فيمكننا إيجاد ذلك a = 3. كاختصار ، بما أننا لا نمتلك & apost & apos قيمة لـ k ، فإن a يساوي الجزء المقطوع من y لهذه المعادلة.

أوجد a من المعادلة y = a b ^ x

الآن بعد أن أصبح لدينا "أ" ، كل ما يتعين علينا فعله هو إدخال 3 بدلًا من "أ" ، واختيار نقطة أخرى ، وإيجاد قيمة ب. دع & aposs يختار النقطة (1،6). مع كل هذه المعلومات ، يمكننا إيجاد أن ب = 2.

أوجد b للمعادلة y = a b ^ x

الخطوة 3: اكتب المعادلة النهائية

الآن بعد أن وجدنا جميع المتغيرات الضرورية ، كل ما تبقى & بعد ذلك هو كتابة معادلتنا النهائية بالصيغة y = a b x y = ab ^ x y = a b x. إجابتنا النهائية هي y = (3) 2 x y = (3) 2 ^ x y = (3) 2 x

اكتب المعادلة النهائية لـ y = a b ^ x

أوجد الدالة الأسية بالصيغة y = a 2 d x + k y = a2 ^+ k y = a 2 d x + k للرسم البياني الآتي.

إيجاد دالة أسية بمنحها البياني

لحل هذه المشكلة ، سنحتاج إلى إيجاد المتغيرات "أ" و "د" و "ك". تذكر أنه يمكننا إيجاد "k" من الرسم البياني ، لأنه خط مقارب أفقي. ومع ذلك ، بالنسبة إلى "a" و "d" ، يتعين علينا حلها جبريًا ، حيث يمكننا تحديدها من الرسم البياني للدالة الأسية نفسه.

الخطوة 1: ابحث عن "k" من الرسم البياني

لإيجاد "k" ، كل ما علينا فعله هو إيجاد الخط المقارب الأفقي ، والذي من الواضح أن y = 6. لذلك ، k = 6.

أوجد k للمعادلة y = a 2 ^ (bx) + k

لحل مشكلة "a" ، تمامًا مثل المثال الأخير ، يجب أن نختار نقطة على الرسم البياني حيث يمكننا حذف 2dx لأننا لا نعرف "d" حتى الآن ، وبالتالي يجب علينا اختيار تقاطع y (0،3). بما أن 20 يساوي 1 ، فإن التقسيم الفرعي (0 ، 3) في y = a 2 d x + 6 y = a2 ^+6 y = a 2 d x + 6 يعطينا أن a = -3.

أوجد a من المعادلة y = a 2 ^ (bx) + k

الآن بعد أن أصبح لدينا "أ" و "ك" ، كل ما علينا فعله هو اختيار نقطة أخرى وإيجاد قيمة ب. & aposs يختار النقطة (0.25، 0). مع كل هذه المعلومات ، يمكننا أن نجد أن د = 4.

أوجد ب المعادلة y = a 2 ^ (bx) + k

الخطوة 4: اكتب المعادلة النهائية

الآن بعد أن وجدنا جميع المتغيرات الضرورية ، كل ما تبقى هو كتابة المعادلة النهائية بالصيغة y = a b d x + k y = ab ^+ ك ص = أ ب د س + ك. إجابتنا النهائية هي y = (- 3) 2 4 x + 6 y = (- 3) 2 ^ <4x> +6 y = (- 3) 2 4 x + 6

اكتب المعادلة النهائية لـ y = a 2 ^ (bx) + k

وهذا & aposs لها وظائف أسية! مرة أخرى ، هذه الوظائف أكثر تعقيدًا بقليل من معادلات الخطوط أو القطع المكافئ ، لذا تأكد من القيام بالكثير من مسائل التدريب للتعرف على المتغيرات والأساليب الجديدة. مع مزيد من الممارسة ، قريبا المعادلات الأسية والرسوم البيانية للوظائف الأسية لن تكون مشكلة على الإطلاق!


لقطات


6.3: الرسوم البيانية للدوال الأسية - الرياضيات

قوانين الأس هي مجموعة من خمس قواعد توضح لنا كيفية إجراء بعض العمليات الأساسية باستخدام الأس.

رياضيا يتم تعريفها على النحو التالي:

يترك أ و ب تكون أرقامًا حقيقية و م و ن تكون أعداد صحيحة موجبة. ثم تسري القوانين التالية:

لاحظ أننا أخذنا الأس على أنه عدد صحيح موجب. هذا هو الخيار الأكثر سهولة لأننا نعرف ذلك ،

أين ن هو عدد صحيح موجب. يمكننا أيضًا استخدام قانون الأسس الأول لتحديد الأس صفر والسالب ،

في 1)، أ 0 يتصرف مثل الرقم 1 ، ونحن نحدد أ 0 = 1. في (2) ، & ناقص يتصرف مثل المعاملة بالمثل أ ونكتب

توفر قوانين الأس مجموعة من القواعد التي يمكن استخدامها لتبسيط التعبيرات المعقدة التي تحتوي على الأس.

هذه القواعد مهمة عند تبسيط التعبيرات التي تتضمن الأسس. على سبيل المثال ، يمكننا استخدام قوانين الأسس لإجراء التبسيط التالي ،

سيصبح الغرض من التبسيط واضحًا عندما تبدأ في حل المشكلات التي تتضمن الأسس أحيانًا تكون هذه التبسيط ضرورية لمعرفة الخطوة التالية في حل مشكلة ما.

خطأ شائع يجب تجنبه

من المهم معرفة متى لا يمكن التبسيط. لاحظ أن قوانين الأسس لا تتضمن مجاميع أو اختلافات في المصطلحات مع الأس.

قد تميل إلى الكتابة ،

ومع ذلك ، هذا البيان هو غير صحيح لأنه لا يمكن تبسيط مجموع الأسين. تتطلب العديد من التطبيقات التي نناقشها أن تقوم بتبسيط تعبير يحتوي على الأسس. عند القيام بذلك ، يجب أن تضع في اعتبارك القواعد التي وصفناها في هذا القسم.

*****

في القسم التالي سنبدأ في استكشاف الرسوم البيانية للدوال الأسية.


6.3: الرسوم البيانية للدوال الأسية - الرياضيات

الرسوم البيانية لـ وظائف أسية لا تختلف كثيرًا عن بعضها البعض في هذه الصفحة ، سنرى كيفية رسم أي دالة أسية معينة. أدواتنا الرئيسية لذلك هي معرفة أشكال الوظائف الأسية الأساسية ، وتقنيات الرسوم البيانية التي تمت مناقشتها سابقًا.

أولاً ، اقرأ النظرة العامة التالية للدوال الأسية والرسوم البيانية الخاصة بها.

يمكنك الآن التدرب على وظائف الرسوم البيانية الأسية بطريقتين: تمنحك المجموعة الأولى من التمارين الشكل الأساسي وتطلب منك استخدام تقنيات الرسوم البيانية لتعديلها وفقًا للوظيفة المحددة المعطاة لك.


حدد أولاً أحد الأنواع الأساسية الثلاثة للوظائف الأسية. سترى الشكل العام لنوع الدالة الأسية التي اخترتها. الآن ، استخدم عناصر التحكم لتحويل هذا الرسم البياني إلى الرسم البياني للدالة المحددة. عند الانتهاء ، انقر فوق "التحقق من ذلك" أو إذا واجهتك مشكلة ، فقم برسمها.

في المجموعة التالية من التمارين ، يُطلب منك رسم وظائف أسية بيانيًا "من البداية". أجب عن كل سؤال على الشاشة وبعد كل سؤال ، انقر على "التالي". عند الانتهاء من جميع الأسئلة ، سيتم إخبارك بمدى نجاحك وستتاح لك الفرصة لتصحيح أي أخطاء. بمجرد عدم وجود المزيد من الأخطاء ، ارسم الرسم البياني في دفتر ملاحظاتك. ثم انقر على "NEXT" لرؤية الرسم البياني للوظيفة ومقارنتها بالرسم البياني المرسوم.


رسوم بيانية للوظائف الإضافية واللوغاريتمية

سنقوم في هذا القسم بتوضيح وتفسير ومناقشة الرسوم البيانية للوظائف الأسية واللوغاريتمية. سنوضح أيضًا كيف يمكنك استخدام الرسوم البيانية لمساعدتك في حل المشكلات الأسية واللوغاريتمية والتحقق من حلولك.

الرسوم البيانية للوظائف بشكل عام:

تذكير: تذكر أنه عندما نتحدث عن الوظيفة ، أو قيمة الدالة ، أو قيمة الدالة ، y أو f (x) ، فإننا نتحدث عن قيمة وسلوك الجزء y من النقطة (x ، y) في المجموعة الكاملة من النقاط التي تشكل الرسم البياني ..

بمجرد معرفة شكل الرسم البياني الأسي ، يمكنك تحريكه رأسيًا أو أفقيًا ، وتمديده ، وتقليصه ، وعكسه ، والتحقق من الإجابات به ، والأهم من ذلك تفسير الرسم البياني.

الوظيفة دائما موجبة. ببساطة لا توجد قيمة لـ x تجعل قيمة x سالبة. ماذا يعني هذا من حيث الرسم البياني؟ هذا يعني أن الرسم البياني الكامل للدالة يقع في الربعين الأول والثاني.

ارسم الوظيفة . لاحظ أن الرسم البياني لا يتقاطع أبدًا مع المحور x. لماذا هذا؟ لأنه لا توجد قيمة x التي ستجعل قيمة f (x) في الصيغة تساوي 0.

لاحظ أن الرسم البياني يقطع المحور ص عند 1. لماذا هذا صحيح؟ دائمًا ما تكون قيمة x صفرًا على المحور y. عوّض بـ 0 عن x في المعادلة:. هذا يترجم إلى النقطة (0 ، 1).

لاحظ على الرسم البياني أنه كلما زادت قيمة x ، تزداد قيمة f (x) أيضًا. هذا يعني أن الوظيفة هي دالة متزايدة. تذكر أن الدالة المتزايدة هي وظيفة واحد لواحد ، وأن دالة واحد لواحد لها معكوس فريد.

مقلوب الدالة الأسية هو دالة لوغاريتمية وعكس الدالة اللوغاريتمية هو دالة أسية.

لاحظ أيضًا على الرسم البياني أنه كلما زاد حجم x وأكبر ، زادت قيمة دالة f (x) بشكل كبير جدًا. هذا هو السبب في أن الوظيفة تسمى الوظيفة الأسية.

إذا كنت مهتمًا بمراجعة الرسوم البيانية للوظائف الأسية والأمثلة والمشكلات ، فانقر فوق الأسي.

بمجرد معرفة شكل الرسم البياني اللوغاريتمي ، يمكنك تحريكه رأسيًا أو أفقيًا ، وتمديده ، وتقليصه ، وعكسه ، والتحقق من الإجابات به ، والأهم من ذلك تفسير الرسم البياني.

ارسم الوظيفة. لاحظ أن الرسم البياني لهذه الوظيفة يقع بالكامل في الربعين الأول والرابع. لاحظ أيضًا أن الرسم البياني لا يلمس المحور ص أبدًا.

ماذا يعني ذلك؟ It means that the value of x (domain of the function f(x) in the equation is always positive. Why is this so? Recall that the equation can be rewritten as the exponential function . There is no value of f(x) that can cause the value of x to be negative or zero.

The graph of will never cross the y-axis because x can never equal 0. The graph will always cross the x-axis at 1.

Notice on the graph that, as x increases, the f(x) also increases. This means that the function is an increasing function. Recall that an increasing function is a one-to-one-function, and a one-to-one function has a unique inverse.

Notice on the graph that the increase in the value of the function is most dramatic between 0 and 1. After x = 1, as x gets larger and larger, the increasing function values begin to slow down (the increase get smaller and smaller as x gets larger and larger).

Notice on the graph that the function values are positive for x's that are greater than 1 and negative for x's less than 1.

If you are interested in reviewing the graphs of logarithmic functions, click on Logarithmic.


6.3: Graphs of Exponential Functions - Mathematics

e x ploring e x ponential functions

ال exponential function is one of the few functions whose graph is recognized by many non-mathematicians. Having practical application in real-world areas such as finance, science, and even population growth has made "exponential" a common word in the English language. But how much is actually understood about this function? What implications can be uncovered through mathematical understanding of this function? And how can we impress upon the students in our classroom the value and importance of its use? Let's explore these questions by looking at one particular exponential function: that with base ه.

First, some background information about the number ه. Early mathematical work tended to focus on logarithms, and although the natural log (base ه) is fairly well-known now, the number we know as ه managed to escape the attention of mathematicians for many years. Many early mathematical explorers and scientists danced around the discovery, coming very close to uncovering it only to move away from it by some other distracting aspect of their work. Consequently, ه did not burst into the mathematical world by some significant understanding (like that of π), but rather slowly emerged onto the scene through random dabblings into the nature of things such as finance. Why is ه important? Because y = e x is the only equation known to man whose derivative is itself!

If you would like more information about the history of ه and the exponential function, read "ه: The Story of a Number" by Eli Maor. Click here to see the actual number ه to 10,000 digits!

Now let's focus on the actual graph of the basic exponential function, y = e x

As you can see, the significant characteristic of this type of function is its slow initial growth leading to rapid increase. Students can form a connection with what they see here by considering the following analogy:

Suppose you make a deal with your parents that rather than take your regular monthly allowance of $50, you will accept just $.01 on the first day of the month and so on, with the condition that they double the amount they give you each day. Your parents rapidly figure out that in one week they will have given you just $1.25 (.01 + .02 + .04 + .08 + .16 + .32 + .64) so they agree. Will you get more than $50 that month? If so, on what day of the month will you have exceeded $50? Can you figure out how much money they will owe you on the last day of the month? (Assume there are 30 days in the month.)

You may want to point out that in this analogy we are looking at an exponential function with base 2. The function we are exploring has a base of ه but the shape of the graph is similar. Here is a graph of y = 2 x so students can compare:

Now that students have a general appreciation for the function, we can let them explore some characteristics. Let's see what happens when we add some constant to the function.

Ask students to guess what y = e x + 10 would look like. Have students create a scenario related to the money analogy. (Such as adding some amount, like .50 to each day.) Can they see why it would make a big difference at the beginning but become less important as x becomes larger? Have them relate this understanding to what they see in the graph.

What if we multiply some constant to our function?

You can use the above graphs to look closely at the various aspects. What effect does multiplication have on the y-intercept? Does multiplying change the smallest number y that the graph approaches when x becomes more and more negative? Does it look like the lines will come together at any point as x becomes larger? Have the students consider the graphs with their understanding of the money analogy. This would be like multiplying what they were to receive each day by some amount. Have students make the connection between the day, x, and how much they earn. Does the graph support the idea that it is a good idea to multiply by some amount greater than 1? Have students consider what the graph would look like if we multiplied by some number between 0 and 1.

We can introduce the idea of differing the values of the exponent in our function by having the students continue with their money analogy. Ask them to think about multiplying some number greater than one to the amount they are to receive each day, just as they had done previously. Now ask them to consider the special case where the amount they are multiplying is 2. Students should see that this is the same as "pushing up" the amount by one day. In other words, if they were to receive .01 on day one and .02 on day two, then multiplying the amount they are supposed to get on day one by 2 gives them the amount they were supposed to get on day two. They should be able to see that this will be the case for every day. So, multiplying by 2 is the same as changing the day from x to x+1! Have them theorize a different way they can write the equation y = e(e x ).

We can have the students check their theory by graphing the equations:

Challenge the students to use what they just learned to predict the graphs of y = e x+n . Have them consider when n = x. What do they know about this special case?

Hopefully, after working through this exercise, your students will be more comfortable with the exponential function, even when it involves a base that isn't intuitive to them. They may have developed an appreciation for this type of function with their exploration of just one application. You may want to show them a few more real life applications of this amazing function or have them research it on their own.

المرجعي

Maor, E. (1998). e: the story of a number. Princeton, NJ: Princeton University Press

Return to Patty Wagner's homepage


6.3: Graphs of Exponential Functions - Mathematics


For example, the function f ( x ) = 2 x (its graph is in red on the left) is an exponential function. Functions of this sort are very different from polynomial functions, even though exponents appear in both types. The function is an exponential function, while and are polynomial functions see how different the graphs are from each other. In particular, note the exponential function has a horizontal asymptote.


Since the graphs above show only a small portion of the functions, the relative sizes of f ( x ) = 2 x and the polynomials are not evident. In fact, an exponential with base greater than 1 grows much faster than any polynomial for large values of x . To get an idea of relative sizes, this example illustrates the values of for various values of n . As you click the "next" button you will see two growing rectangles. The red rectangle is of size n 2 pixels while the green rectangle is of size 2 n pixels the value of n at each step is given at the bottom.

If you are not familiar with properties of exponents, this is the time to practice them!

Exponential functions arise in a wide variety of areas in "real life" these include finance, biology, physics, and many others. The base that we use often depends on the application. One in particular is the irrational number ه whose decimal value is approximately 2.718. A brief description of one way in which the number ه arises follows the examples below.

Sometimes we manipulate these formulas to fit a special situation. For example, if we consider a credit card bill as the credit company investing in us instead of us investing in the bank, then we must pay the interest out to them. One way to do this is to use daily compounding on the average daily balance. We can get the following formula for a montly bill by noting that a month with d days contains t = d/365 of a year so that nt = d.

Investigating the ways in which money increases via compound interest shows how the interesting and important (irrational) number: e arises. Suppose you invest $1 at compound interest rate of 100%, compounded n times per year, for 1 year. How much money will you have after 1 year? Of course the answer will depend on the value of n . The formula that tells you how much money you have is given below. See how your money grows over just one year by moving the scroll bar to the right.

Move the indicator on the top scroll bar to increase the value of n . As n increases, the value of A gets closer and closer to e . You never actually reach the number e this way and the formula will always produce a number less than e . The value of e could not be given by such a formula involving fractions and integer powers since it is an irrational number.

When we use the number e as the base for an exponential function we call it the natural exponential function , even though at first glance the number e might seem to be very un -natural.


Now is the time to try out your skills on some problems using exponential functions. Click on Radioactive, Population, or Interest to choose the type of question you want to work on.

As for functions of any other sort, we need to be able to graph exponential functions . Please click here to work on this!


شاهد الفيديو: 09 رسم الدالة الأسية compressed (ديسمبر 2021).