مقالات

8.3: القطع الزائد


أهداف التعلم

  • حدد موقع رؤوس القطع الزائد والبؤر.
  • اكتب معادلات القطوع الزائدة في الصورة القياسية.
  • رسم بياني القطع الزائدة المتمركزة في الأصل.
  • الرسم البياني للزوائد الزائدة ليس في مركز الأصل.
  • حل المسائل التطبيقية التي تتضمن القطوع الزائدة.

ما هو القاسم المشترك بين مسارات المذنبات ، والطفرات الأسرع من الصوت ، والأعمدة اليونانية القديمة ، وأبراج التبريد ذات السحب الطبيعي؟ يمكن تصميمها جميعًا بنفس النوع من مخروطي. على سبيل المثال ، عندما يتحرك شيء أسرع من سرعة الصوت ، يتم إنشاء موجة صدمة على شكل مخروط. يتكون جزء من المخروط عندما تتقاطع الموجة مع الأرض ، مما يؤدي إلى حدوث طفرة صوتية (الشكل ( فهرس الصفحة {1} )).

معظم الناس على دراية بالدوي الصوتي الناتج عن الطائرات الأسرع من الصوت ، لكن البشر كانوا يكسرون حاجز الصوت قبل وقت طويل من الرحلة الأسرع من الصوت الأولى. يحدث شرخ السوط بسبب تجاوز طرفه لسرعة الصوت. الرصاص الذي يتم إطلاقه من العديد من الأسلحة النارية يكسر أيضًا حاجز الصوت ، على الرغم من أن دوي البندقية عادة ما يحل محل صوت الدوي الصوتي.

تحديد موقع الرؤوس والبؤر في القطع الزائد

في الهندسة التحليلية ، أ القطع الزائد هو مقطع مخروطي يتكون من تقاطع مخروط دائري قائم مع مستوى بزاوية بحيث يتقاطع نصفي المخروط. ينتج عن هذا التقاطع منحنيان منفصلان غير محدودان يمثلان صورًا متطابقة لبعضهما البعض (الشكل ( PageIndex {2} )).

مثل القطع الناقص ، يمكن أيضًا تعريف القطع الزائد على أنه مجموعة من النقاط في مستوى الإحداثيات. القطع الزائد هو مجموعة جميع النقاط ((x، y) ) في مستوى بحيث يكون فرق المسافات بين ((x، y) ) والبؤر ثابتًا موجبًا.

لاحظ أن تعريف القطع الزائد مشابه جدًا لتعريف القطع الناقص. التمييز هو أن القطع الزائد يتم تعريفه من حيث فرق من مسافتين ، في حين يتم تعريف القطع الناقص من حيث مجموع من مسافتين.

كما هو الحال مع القطع الناقص ، كل القطع الزائد به اثنان محاور التناظر. ال المحور العرضي عبارة عن قطعة مستقيمة تمر عبر مركز القطع الزائد ولها رؤوس كنقاط نهائية لها. تقع البؤر على الخط الذي يحتوي على المحور العرضي. ال المحور المترافق عمودي على المحور العرضي ولها الرؤوس المشتركة كنقاط نهايتها. ال مركز القطع الزائد هي نقطة المنتصف لكل من المحورين المستعرض والمُقارن ، حيث يتقاطعان. كل القطع الزائد يحتوي أيضًا على اثنين الخطوط المقاربة التي تمر عبر مركزها. عندما يتراجع القطع الزائد من المركز ، تقترب فروعه من هذه الخطوط المقاربة. ال مستطيل مركزي من القطع الزائد يتركز في الأصل مع الجوانب التي تمر عبر كل رأس ورأس مشترك ؛ إنها أداة مفيدة لرسم القطع الزائد وخطوطه المقاربة. لرسم الخطوط المقاربة للقطع الزائد ، ما عليك سوى رسم الخطوط المائلة للمستطيل المركزي وتوسيعها (الشكل ( PageIndex {3} )).

في هذا القسم ، سنقتصر مناقشتنا على القطوع الزائدة الموضوعة عموديًا أو أفقيًا في مستوى الإحداثيات ؛ سوف تقع المحاور على محاور (x ) - و (y ) أو تكون موازية لها. سننظر في حالتين: تلك التي تتمحور حول الأصل ، وتلك التي تتمحور حول نقطة أخرى غير الأصل.

اشتقاق معادلة القطع الناقص المتمركزة في الأصل

دع ((- ج ، 0) ) و ((ج ، 0) ) هما بؤرتا القطع الزائد المتمركز في الأصل. القطع الزائد هو مجموعة جميع النقاط ((x، y) ) بحيث يكون اختلاف المسافات من ((x، y) ) إلى البؤر ثابتًا. راجع الشكل ( PageIndex {4} ).

إذا كان ((أ ، 0) ) رأس القطع الزائد ، فإن المسافة من ((- ج ، 0) ) إلى ((أ ، 0) ) هي (أ - (- ج) = أ + ج ). المسافة من ((ج ، 0) ) إلى ((أ ، 0) ) هي (ج − أ ). مجموع المسافات من البؤر إلى الرأس هو

((أ + ج) - (ج − أ) = 2 أ )

إذا كانت ((x، y) ) نقطة على القطع الزائد ، فيمكننا تحديد المتغيرات التالية:

(d_2 = ) المسافة من ((- ج ، 0) ) إلى ((س ، ص) )

(د_1 = ) المسافة من ((ج ، 0) ) إلى ((س ، ص) )

بتعريف القطع الزائد ، (d_2 − d_1 ) ثابت لأي نقطة ((س ، ص) ) على القطع الزائد. نحن نعلم أن الفرق بين هذه المسافات هو (2 أ ) للرأس ((أ ، 0) ). يتبع ذلك (d_2 − d_1 = 2a ) لأي نقطة على القطع الزائد. كما هو الحال مع اشتقاق معادلة القطع الناقص ، سنبدأ بتطبيق صيغة المسافة. باقي الاشتقاق جبري. قارن هذا الاشتقاق بالمشتق من القسم السابق للحذف.

[ begin {align *} d_2-d_1 & = 2a sqrt {{(x - (- c))} ^ 2 + {(y-0)} ^ 2} - sqrt {{(xc)} ^ 2 + {(y-0)} ^ 2} & = 2a qquad text {Distance Formula} sqrt {{(x + c)} ^ 2 + y ^ 2} - sqrt {{(xc )} ^ 2 + y ^ 2} & = 2a qquad text {تبسيط التعبيرات.} sqrt {{(x + c)} ^ 2 + y ^ 2} & = 2a + sqrt {{(xc) } ^ 2 + y ^ 2} qquad text {نقل الجذر إلى الجانب المقابل.} {(x + c)} ^ 2 + y ^ 2 & = {(2a + sqrt {{(xc)} ^ 2+ y ^ 2})} ^ 2 qquad text {تربيع كلا الجانبين.} x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 & = 4a ^ 2 + 4a sqrt {{(xc)} ^ 2+ y ^ 2} + {(xc)} ^ 2 + y ^ 2 qquad text {قم بتوسيع المربعات.} x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 & = 4a ^ 2 + 4a sqrt { {(xc)} ^ 2 + y ^ 2} + x ^ 2-2cx + c ^ 2 + y ^ 2 qquad text {قم بتوسيع المربع المتبقي.} 2cx & = 4a ^ 2 + 4a sqrt {{( xc)} ^ 2 + y ^ 2} -2cx qquad text {دمج المصطلحات المتشابهة.} 4cx-4a ^ 2 & = 4a sqrt {{(xc)} ^ 2 + y ^ 2} qquad text {عزل الجذر.} cx-a ^ 2 & = a sqrt {{(xc)} ^ 2 + y ^ 2} qquad text {قسمة على 4.} {(cx-a ^ 2) } ^ 2 & = a ^ 2 { left [ sqrt {{(xc)} ^ 2 + y ^ 2} right]} ^ 2 qquad text {مربع كلا الجانبين.} c ^ 2x ^ 2- 2a ^ 2cx + a ^ 4 & = a ^ 2 (x ^ 2-2cx + c ^ 2 + y ^ 2) qquad text {قم بتوسيع المربعات.} c ^ 2x ^ 2-2a ^ 2cx + a ^ 4 & = a ^ 2x ^ 2-2a ^ 2cx + a ^ 2c ^ 2 + a ^ 2y ^ 2 qquad text {Distr ibute} a ^ 2 a ^ 4 + c ^ 2x ^ 2 & = a ^ 2x ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + a ^ 2y ^ 2 qquad text {دمج المصطلحات المتشابهة.} c ^ 2x ^ 2-a ^ 2x ^ 2-a ^ 2y ^ 2 & = a ^ 2c ^ 2-a ^ 4 qquad text {إعادة ترتيب المصطلحات.} x ^ 2 (c ^ 2-a ^ 2) -a ^ 2y ^ 2 & = a ^ 2 (c ^ 2-a ^ 2) qquad text {عامل المصطلحات العامة.} x ^ 2b ^ 2-a ^ 2y ^ 2 & = a ^ 2b ^ 2 qquad text {مجموعة } ب ^ 2 = ج ^ 2 − أ ^ 2 . dfrac {x ^ 2b ^ 2} {a ^ 2b ^ 2} - dfrac {a ^ 2y ^ 2} {a ^ 2b ^ 2} & = dfrac {a ^ 2b ^ 2} {a ^ 2b ^ 2 } qquad text {قسّم كلا الجانبين على} a ^ 2b ^ 2 dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} & = 1 end {محاذاة *} ]

تحدد هذه المعادلة القطع الزائد المتمركز في الأصل مع الرؤوس (( pm a، 0) ) والرؤوس المشتركة ((0، pm b) ).

الأشكال القياسية لمعادلة هيبربولا مع المركز ((0،0) )

الشكل القياسي لمعادلة القطع الزائد مع المركز ((0،0) ) والمحور العرضي على المحور (x ) هو

( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 )

أين

  • طول المحور العرضي (2 أ )
  • إحداثيات القمم هي (( pm a، 0) )
  • طول المحور المترافق (2 ب )
  • إحداثيات الرؤوس المشتركة هي ((0، م ب) )
  • المسافة بين البؤر هي (2 ج ) ، حيث (ج ^ 2 = أ ^ 2 + ب ^ 2 )
  • إحداثيات البؤر هي (( pm c، 0) )
  • معادلات الخطوط المقاربة هي (y = pm dfrac {b} {a} x )

انظر الشكل ( PageIndex {5a} ).

الشكل القياسي لمعادلة القطع الزائد مع المركز ((0،0) ) والمحور العرضي على المحور (ص ) هو

( dfrac {y ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {x ^ 2} {b ^ 2} = 1 )

أين

  • طول المحور العرضي (2 أ )
  • إحداثيات القمم هي ((0، pm a) )
  • طول المحور المترافق (2 ب )
  • إحداثيات الرؤوس المشتركة هي (( pm ب، 0) )
  • المسافة بين البؤر هي (2 ج ) ، حيث (ج ^ 2 = أ ^ 2 + ب ^ 2 )
  • إحداثيات البؤر هي ((0، م ج) )
  • معادلات الخطوط المقاربة هي (y = pm dfrac {a} {b} x )

راجع الشكل ( PageIndex {5b} ).

لاحظ أن الرؤوس والرؤوس المشتركة والبؤر مرتبطة بالمعادلة (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ). عندما نحصل على معادلة القطع الزائد ، يمكننا استخدام هذه العلاقة لتحديد الرؤوس والبؤر.

الكيفية: بالنظر إلى معادلة القطع الزائد في الشكل القياسي ، حدد موقع الرؤوس والبؤر

  1. حدد ما إذا كان المحور العرضي يقع على المحور (x ) - أو (y ) -. لاحظ أن (a ^ 2 ) دائمًا ما يكون تحت المتغير ذي المعامل الموجب. لذلك ، إذا قمت بضبط المتغير الآخر على صفر ، يمكنك بسهولة العثور على نقاط التقاطع. في حالة تمركز القطع الزائد في الأصل ، تتزامن التقاطع مع الرؤوس.
    • إذا كانت المعادلة على الشكل ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) ، فإن المحور العرضي يقع على (x ) -محور. تقع القمم في (( pm a، 0) ) ، وتقع البؤر في (( pm c، 0) ).
    • إذا كانت المعادلة لها الشكل ( dfrac {y ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {x ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) ، فإن المحور العرضي يقع على (y ) -محور. تقع القمم في ((0، pm a) ) ، وتقع البؤر في ((0، pm c) ).
  2. حل من أجل (a ) باستخدام المعادلة (a = sqrt {a ^ 2} ).
  3. حل من أجل (c ) باستخدام المعادلة (c = sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} ).

مثال ( PageIndex {1} ): تحديد مواقع بؤر ورؤوس القطع الزائد

حدد رؤوس وبؤر القطع الزائد بالمعادلة ( dfrac {y ^ 2} {49} - dfrac {x ^ 2} {32} = 1 ).

حل

المعادلة لها الشكل ( dfrac {y ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {x ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) ، لذلك يقع المحور العرضي على (y ) - محور. يتم توسيط القطع الزائد في الأصل ، لذا تعمل الرؤوس على أنها ذ- مفاهيم الرسم البياني. لإيجاد القمم ، اضبط (x = 0 ) ، وحل من أجل (y ).

[ begin {align *} 1 & = dfrac {y ^ 2} {49} - dfrac {x ^ 2} {32} 1 & = dfrac {y ^ 2} {49} - dfrac {0 ^ 2} {32} 1 & = dfrac {y ^ 2} {49} y ^ 2 & = 49 y & = pm sqrt {49} & = pm 7 end {align * } ]

تقع البؤر في ((0، pm c) ). حل ل (ج ) ،

[ begin {align *} c & = sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} & = sqrt {49 + 32} & = sqrt {81} & = 9 end {align *} ]

لذلك ، تقع القمم في ((0، pm 7) ) ، وتقع البؤر في ((0،9) ).

تمرين ( PageIndex {1} )

حدد رؤوس وبؤر القطع الزائد بالمعادلة ( dfrac {x ^ 2} {9} - dfrac {y ^ 2} {25} = 1 ).

إجابه

القمم: (( pm 3،0) ) ؛ البؤر: (( pm sqrt {34}، 0) )

كتابة معادلات القطوع الزائدة في شكل قياسي

تمامًا كما هو الحال مع الأشكال البيضاوية ، فإن كتابة معادلة القطع الزائد في الشكل القياسي يسمح لنا بحساب السمات الرئيسية: المركز ، والرؤوس ، والرؤوس المشتركة ، والبؤر ، والخطوط المقاربة ، وأطوال ومواضع المحاور العرضية والمترافقة. على العكس من ذلك ، يمكن العثور على معادلة القطع الزائد في ضوء ميزاتها الرئيسية. نبدأ بإيجاد المعادلات القياسية للقطوع الزائدة المتمركزة في الأصل. ثم نوجه انتباهنا إلى إيجاد المعادلات القياسية للقطوع الزائدة المتمركزة في نقطة أخرى غير نقطة الأصل.

تمركز Hyperbolas في الأصل

بمراجعة النماذج القياسية المعطاة للقطوع الزائدة المتمركزة في ((0،0) ) ، نرى أن الرؤوس والرؤوس المشتركة والبؤر مرتبطة بالمعادلة (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ). لاحظ أنه يمكن أيضًا إعادة كتابة هذه المعادلة كـ (b ^ 2 = c ^ 2 − a ^ 2 ). تُستخدم هذه العلاقة لكتابة معادلة القطع الزائد عند إعطاء إحداثيات البؤر والرؤوس.

الكيفية: بالنظر إلى رؤوس وبؤر القطع الزائد المتمركز في ((0،0) ) ، اكتب معادلته في الشكل القياسي

  1. حدد ما إذا كان المحور العرضي يقع على المحور (x ) - أو (y ) -.
    • إذا كان للإحداثيات المحددة للرؤوس والبؤر الشكل (( pm a، 0) ) و (( pm c، 0) ) ، على التوالي ، فإن المحور العرضي هو (x ) - محور. استخدم النموذج القياسي ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ).
    • إذا كان للإحداثيات المحددة للرؤوس والبؤر الشكل ((0، pm a) ) و ((0، pm c) ) ، على التوالي ، فإن المحور العرضي هو (y ) - محور. استخدم النموذج القياسي ( dfrac {y ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {x ^ 2} {b ^ 2} = 1 ).
  2. أوجد (b ^ 2 ) باستخدام المعادلة (b ^ 2 = c ^ 2 − a ^ 2 ).
  3. استبدل قيم (a ^ 2 ) و (b ^ 2 ) بالصيغة القياسية للمعادلة المحددة في الخطوة 1.

مثال ( PageIndex {2} ): البحث عن معادلة القطع الزائد المتمركزة في ((0،0) ) بالنظر إلى البؤر والرؤوس الخاصة بها

ما هي معادلة النموذج القياسي للقطع الزائد الذي يحتوي على رؤوس (( pm 6،0) ) وبؤر (( pm 2 sqrt {10}، 0) )؟

حل

القمم والبؤر على محور (س ). وبالتالي ، فإن معادلة القطع الزائد سيكون لها الشكل ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ).

القمم هي (( pm 6،0) ) ، لذا (a = 6 ) و (a ^ 2 = 36 ).

البؤر هي (( pm 2 sqrt {10}، 0) ) ، لذلك (c = 2 sqrt {10} ) و (c ^ 2 = 40 ).

حل من أجل (b ^ 2 ) ، لدينا

[ begin {align *} b ^ 2 & = c ^ 2-a ^ 2 b ^ 2 & = 40-36 qquad text {Substitute for} c ^ 2 text {and} a ^ 2 b ^ 2 & = 4 qquad text {طرح.} end {align *} ]

أخيرًا ، استبدلنا (a ^ 2 = 36 ) و (b ^ 2 = 4 ) بالصيغة القياسية للمعادلة ، ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {y ^ 2} {ب ^ 2} = 1 ). معادلة القطع الزائد هي ( dfrac {x ^ 2} {36} - dfrac {y ^ 2} {4} = 1 ) ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {6} ).

تمرين ( PageIndex {2} )

ما هي المعادلة القياسية للقطع الزائد الذي يحتوي على رؤوس ((0، pm 2) ) وبؤر ((0، pm 2 sqrt {5}) )؟

إجابه

( dfrac {y ^ 2} {4} - dfrac {x ^ 2} {16} = 1 )

القطوع الزائدة غير متمركزة في الأصل

مثل الرسوم البيانية للمعادلات الأخرى ، يمكن ترجمة الرسم البياني للقطع الزائد. إذا تمت ترجمة القطع الزائد (h ) الوحدات أفقيًا و (k ) الوحدات عموديًا ، فسيكون مركز القطع الزائد ((h، k) ). ينتج عن هذه الترجمة الشكل القياسي للمعادلة التي رأيناها سابقًا ، مع استبدال (x ) بـ ((x − h) ) واستبدال (y ) بـ ((y − k) ).

الأشكال المعيارية لمعادلة هيبربولا مع المركز ((H، K) )

الشكل القياسي لمعادلة القطع الزائد مع المركز ((h، k) ) والمحور العرضي الموازي للمحور (x ) هو

[ dfrac {{(x − h)} ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {{(y − k)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ]

أين

  • طول المحور العرضي هو (2 أ )
  • إحداثيات القمم هي ((h pm a، k) )
  • طول المحور المترافق (2 ب )
  • إحداثيات الرؤوس المشتركة هي ((ح ، ك م ب) )
  • المسافة بين البؤر هي (2 ج ) ، حيث (ج ^ 2 = أ ^ 2 + ب ^ 2 )
  • إحداثيات البؤر هي ((ح م ج ، ك) )

تتطابق الخطوط المقاربة للقطع الزائد مع أقطار المستطيل المركزي. طول المستطيل (2 أ ) وعرضه (2 ب ). منحدرات الأقطار هي ( pm dfrac {b} {a} ) ، ويمر كل قطري عبر المركز ((h، k) ). باستخدام صيغة الميل والنقطة ، من السهل توضيح أن معادلات الخطوط المقاربة هي (y = pm dfrac {b} {a} (x − h) + k ). انظر الشكل ( PageIndex {7a} ).

الشكل القياسي لمعادلة القطع الزائد مع المركز ((ح ، ك) ) والمحور العرضي الموازي للمحور (ص ) هو

[ dfrac {{(y − k)} ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {{(x − h)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ]

أين

  • طول المحور العرضي (2 أ )
  • إحداثيات القمم هي ((ح ، ك م أ) )
  • طول المحور المترافق (2 ب )
  • إحداثيات الرؤوس المشتركة هي ((ح م ب ، ك) )
  • المسافة بين البؤر هي (2 ج ) ، حيث (ج ^ 2 = أ ^ 2 + ب ^ 2 )
  • إحداثيات البؤر هي ((ح ، ك م ج) )

باستخدام المنطق أعلاه ، فإن معادلات الخطوط المقاربة هي (y = pm dfrac {a} {b} (x − h) + k ). راجع الشكل ( PageIndex {7b} ).

مثل القطوع الزائدة المتمركزة في الأصل ، فإن القطوع الزائدة المتمركزة عند نقطة ((h، k) ) لها رؤوس ورؤوس مشتركة وبؤر مرتبطة بالمعادلة (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ). يمكننا استخدام هذه العلاقة جنبًا إلى جنب مع معادلات نقطة المنتصف والمسافة لإيجاد المعادلة القياسية للقطع الزائد عند إعطاء الرؤوس والبؤر.

الكيفية: بالنظر إلى رؤوس وبؤر القطع الزائد المتمركز في ((ح ، ك) ) ، اكتب معادلته في الشكل القياسي

  1. حدد ما إذا كان المحور العرضي موازيًا للمحور (x ) - أو (y ).
    • إذا كانت إحداثيات (y ) - للرؤوس والبؤر المعينة هي نفسها ، فإن المحور العرضي يكون موازيًا للمحور (x ). استخدم النموذج القياسي ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {{(y − k)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ).
    • إذا كانت إحداثيات (س ) - للرؤوس والبؤر المحددة هي نفسها ، فإن المحور العرضي يكون موازيًا للمحور (ص ). استخدم النموذج القياسي ( dfrac {{(y − k)} ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {{(x − h)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ).
  2. حدد مركز القطع الزائد ، ((h، k) ) ، باستخدام صيغة نقطة الوسط والإحداثيات المعطاة للرؤوس.
  3. أوجد (أ ^ 2 ) عن طريق إيجاد طول المحور العرضي ، (2 أ ) ، وهي المسافة بين القمم المعطاة.
  4. ابحث عن (c ^ 2 ) باستخدام (h ) و (k ) الموجودة في الخطوة 2 جنبًا إلى جنب مع إحداثيات معينة للبؤر.
  5. حل من أجل (b ^ 2 ) باستخدام المعادلة (b ^ 2 = c ^ 2 − a ^ 2 ).
  6. استبدل قيم (h ) و (k ) و (a ^ 2 ) و (b ^ 2 ) في الصيغة القياسية للمعادلة المحددة في الخطوة 1.

مثال ( PageIndex {3} ): إيجاد معادلة القطع الزائد المتمركزة في ((h، k) ) بالنظر إلى البؤر والرؤوس الخاصة بها

ما هي معادلة النموذج القياسي لـ القطع الزائد يحتوي على رءوس عند ((0، −2) ) و ((6، −2) ) وبؤر عند ((- 2، −2) ) و ((8، −2) ) ؟

حل

(ص ) - إحداثيات الرؤوس والبؤر هي نفسها ، وبالتالي فإن المحور العرضي موازٍ للمحور (س ). وبالتالي ، فإن معادلة القطع الزائد سيكون لها الشكل

( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {{(y − k)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 )

أولاً ، نحدد المركز ، ((ح ، ك) ). يقع المركز في منتصف المسافة بين الرؤوس ((0، −2) ) و ((6، −2) ). بتطبيق صيغة نقطة الوسط ، لدينا

((h، k) = ( dfrac {0 + 6} {2}، dfrac {−2 + (- 2)} {2}) = (3، −2) )

بعد ذلك ، نجد (a ^ 2 ). طول المحور العرضي (2 أ ) يحده الرؤوس.لذلك ، يمكننا إيجاد (a ^ 2 ) من خلال إيجاد المسافة بين إحداثيات (x ) - للرؤوس.

الآن نحن بحاجة إلى إيجاد (c ^ 2 ). إحداثيات البؤر هي ((ح م ج ، ك) ). إذن ((ح − ج ، ك) = (- 2 ، −2) ) و ((ح + ج ، ك) = (8 ، −2) ). يمكننا استخدام تنسيق (x ) - من أي من هاتين النقطتين لإيجاد (c ). باستخدام النقطة ((8 ، −2) ) ، واستبدال (ح = 3 ) ،

[ start {align *} h + c & = 8 3 + c & = 8 c & = 5 c ^ 2 & = 25 end {align *} ]

بعد ذلك ، حل من أجل (b ^ 2 ) باستخدام المعادلة (b ^ 2 = c ^ 2 − a ^ 2 ):

[ begin {align *} b ^ 2 & = c ^ 2-a ^ 2 & = 25-9 & = 16 end {align *} ]

أخيرًا ، استبدل القيم التي تم العثور عليها لـ (h ) و (k ) و (a ^ 2 ) و (b ^ 2 ) في الصيغة القياسية للمعادلة.

( dfrac {{(x − 3)} ^ 2} {9} - dfrac {{(y + 2)} ^ 2} {16} = 1 )

تمرين ( PageIndex {3} )

ما هي معادلة النموذج القياسي للقطع الزائد الذي يحتوي على رؤوس ((1، −2) ) و ((1،8) ) والبؤر ((1، −10) ) و ((1، 16) )؟

إجابه

( dfrac {{(y − 3)} ^ 2} {25} + dfrac {{(x − 1)} ^ 2} {144} = 1 )

الرسم البياني الزائدي المتمركز في الأصل

عندما يكون لدينا معادلة في شكل قياسي للقطع الزائد المتمركز في الأصل ، يمكننا تفسير أجزائه لتحديد السمات الرئيسية للرسم البياني الخاص به: المركز ، والرؤوس ، والرؤوس المشتركة ، والخطوط المقاربة ، والبؤر ، وأطوال ومواضع المستعرض والمحاور المترافقة. لرسم بياني للقطوع الزائدة المتمركزة في الأصل ، نستخدم النموذج القياسي ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) للقطوع الزائدة الأفقية والمعيار شكل ( dfrac {y ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {x ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) للرموز الزائدة الرأسية.

الكيفية: إعطاء معادلة نموذجية قياسية للقطع الزائد المتمركز في ((0،0) ) ، ارسم الرسم البياني

  1. حدد أيًا من النماذج القياسية ينطبق على المعادلة المحددة.
  2. استخدم النموذج القياسي المحدد في الخطوة 1 لتحديد موضع المحور العرضي ؛ إحداثيات الرؤوس والرؤوس المشتركة والبؤر ؛ ومعادلات الخطوط المقاربة.
    • إذا كانت المعادلة بالصيغة ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) ، إذن
      • المحور العرضي على المحور (س )
      • إحداثيات القمم هي (( pm a، 0) 0
      • إحداثيات الرؤوس المشتركة هي ((0، م ب) )
      • إحداثيات البؤر هي (( pm c، 0) )
      • معادلات الخطوط المقاربة هي (y = pm dfrac {b} {a} x )
    • إذا كانت المعادلة بالصيغة ( dfrac {y ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {x ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) ، إذن
      • المحور العرضي على المحور (ص )
      • إحداثيات القمم هي ((0، pm a) )
      • إحداثيات الرؤوس المشتركة هي (( pm ب، 0) )
      • إحداثيات البؤر هي ((0، م ج) )
      • معادلات الخطوط المقاربة هي (y = pm dfrac {a} {b} x )
  3. قم بحل إحداثيات البؤر باستخدام المعادلة (c = pm sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} ).
  4. ارسم الرؤوس والرؤوس المشتركة والبؤر والخطوط المقاربة في مستوى الإحداثيات ، وارسم منحنى سلسًا لتشكيل القطع الزائد.

مثال ( PageIndex {4} ): رسم رسم بياني قطعي متمركز في ((0،0) ) إعطاء معادلة في النموذج القياسي

ارسم القطع الزائد المعطى بالمعادلة ( dfrac {y ^ 2} {64} - dfrac {x ^ 2} {36} = 1 ). تحديد وتسمية الرؤوس والرؤوس المشتركة والبؤر والخطوط المقاربة.

حل

الصيغة القياسية التي تنطبق على المعادلة هي ( dfrac {y ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {x ^ 2} {b ^ 2} = 1 ). وبالتالي ، يكون المحور العرضي على المحور (ص )

إحداثيات القمم هي ((0، pm a) = (0، pm sqrt {64}) = (0، pm 8) )

إحداثيات الرؤوس المشتركة هي (( pm b، 0) = ( pm sqrt {36}، 0) = ( pm 6،0) )

إحداثيات البؤر هي ((0، pm c) ) ، حيث (c = pm sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} ). حل من أجل (ج ) ، لدينا

(c = pm sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} = pm sqrt {64 + 36} = pm sqrt {100} = pm 10 )

لذلك ، فإن إحداثيات البؤر هي ((0، pm 10) )

معادلات الخطوط المقاربة هي (y = pm dfrac {a} {b} x = pm dfrac {8} {6} x = pm dfrac {4} {3} x )

ارسم وقم بتسمية الرؤوس والرؤوس المشتركة ، ثم ارسم المستطيل المركزي. جوانب المستطيل موازية للمحاور وتمر عبر الرؤوس والرؤوس المشتركة. ارسم ووسع أقطار المستطيل المركزي لإظهار الخطوط المقاربة. يوفر المستطيل المركزي والخطوط المقاربة الإطار اللازم لرسم رسم بياني دقيق للقطع الزائد. قم بتسمية البؤر والخطوط المقاربة ، وارسم منحنى سلس لتشكيل القطع الزائد ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {8} ).

تمرين ( PageIndex {4} )

ارسم القطع الزائد المعطى بالمعادلة ( dfrac {x ^ 2} {144} - dfrac {y ^ 2} {81} = 1 ). تحديد وتسمية الرؤوس والرؤوس المشتركة والبؤر والخطوط المقاربة.

إجابه

القمم: (( pm 12،0) ) ؛ الرؤوس المشتركة: ((0، pm 9) )؛ البؤر: (( pm 15،0) ) ؛ الخطوط المقاربة: (y = pm dfrac {3} {4} x ) ؛

رسم بياني للقطوع الزائدة غير متمركز في الأصل

الرسم البياني للقطوع الزائدة المتمركزة في نقطة ((h، k) ) بخلاف الأصل يشبه الرسم البياني للقطع الناقص المتمركز في نقطة أخرى غير الأصل. نستخدم النماذج القياسية ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {{(y − k)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) للأفق الأفقي الرموز الزائدة و ( dfrac {{(y − k)} ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {{(x − h)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) للرموز الزائدة الرأسية. من معادلات النموذج القياسية هذه يمكننا بسهولة حساب ورسم السمات الرئيسية للرسم البياني: إحداثيات المركز والرؤوس والرؤوس المشتركة والبؤر ؛ معادلات الخطوط المقاربة. ومواقف المحاور المستعرضة والمترافقة.

الكيفية: إعطاء نموذج عام للقطع الزائد متمركز في ((h، k) ) ، ارسم الرسم البياني

  1. تحويل النموذج العام إلى هذا النموذج القياسي. حدد أيًا من النماذج القياسية ينطبق على المعادلة المحددة.
  2. استخدم النموذج القياسي المحدد في الخطوة 1 لتحديد موضع المحور العرضي ؛ إحداثيات المركز والرؤوس والرؤوس المشتركة والبؤر ؛ والمعادلات للخطوط المقاربة.
    1. إذا كانت المعادلة بالصيغة ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {{(y − k)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) ، ومن بعد
      • المحور المستعرض موازٍ للمحور (س )
      • المركز هو ((ح ، ك) )
      • إحداثيات القمم هي ((h pm a، k) )
      • إحداثيات الرؤوس المشتركة هي ((ح ، ك م ب) )
      • إحداثيات البؤر هي ((ح م ج ، ك) )
      • معادلات الخطوط المقاربة هي (y = pm dfrac {b} {a} (x − h) + k )
    2. إذا كانت المعادلة بالصيغة ( dfrac {{(y − k)} ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {{(x − h)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) ، ومن بعد
      • المحور المستعرض موازٍ لمحور (ص )
      • المركز هو ((ح ، ك) )
      • إحداثيات القمم هي ((ح ، ك م أ) )
      • إحداثيات الرؤوس المشتركة هي ((ح م ب ، ك) )
      • إحداثيات البؤر هي ((ح ، ك م ج) )
      • معادلات الخطوط المقاربة هي (y = pm dfrac {a} {b} (x − h) + k )
  3. قم بحل إحداثيات البؤر باستخدام المعادلة (c = pm sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} ).
  4. ارسم المركز والرؤوس والرؤوس المشتركة والبؤر والخطوط المقاربة في مستوى الإحداثيات وارسم منحنى سلسًا لتشكيل القطع الزائد.

مثال ( PageIndex {5} ): رسم رسم بياني قطعي متمركز في ((h، k) ) إعطاء معادلة بشكل عام

ارسم القطع الزائد المعطى بالمعادلة (9x ^ 2−4y ^ 2−36x − 40y − 388 = 0 ). حدد المركز والرؤوس والرؤوس المشتركة والبؤر والخطوط المقاربة وقم بتسميتها.

حل

ابدأ بالتعبير عن المعادلة في الشكل القياسي. جمّع الحدود التي تحتوي على نفس المتغير ، وانقل الثابت إلى الجانب الآخر من المعادلة.

((9x ^ 2−36x) - (4y ^ 2 + 40y) = 388 )

حلل المعامل الرئيسي لكل تعبير إلى عوامل.

(9 (س ^ 2−4 س) −4 (ص ^ 2 + 10 ص) = 388 )

أكمل المربع مرتين. تذكر موازنة المعادلة بإضافة نفس الثوابت إلى كل جانب.

(9 (س ^ 2−4 س + 4) −4 (ص ^ 2 + 10 ص + 25) = 388 + 36−100 )

أعد الكتابة كمربعات كاملة.

(9 {(س − 2)} ^ 2−4 {(ص + 5)} ^ 2 = 324 )

اقسم كلا الطرفين على الحد الثابت لوضع المعادلة في الصورة القياسية.

( dfrac {{(x − 2)} ^ 2} {36} - dfrac {{(y + 5)} ^ 2} {81} = 1 )

الصيغة القياسية التي تنطبق على المعادلة هي ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {{(y − k)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) ، حيث (أ ^ 2 = 36 ) و (ب ^ 2 = 81 ) ، أو (أ = 6 ) و (ب = 9 ). وبالتالي ، فإن المحور العرضي موازٍ للمحور (س ). إنه يتبع هذا:

مركز القطع الناقص هو ((ح ، ك) = (2 ، −5) )

إحداثيات القمم هي ((h pm a، k) = (2 pm 6، −5) ) أو ((- 4، −5) ) و ((8، −5) )

إحداثيات الرؤوس المشتركة هي ((h، k pm b) = (2، −5 pm 9) ) أو ((2، −14) ) و ((2،4) )

إحداثيات البؤر هي ((h pm c، k) ) ، حيث (c = pm sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} ). حل من أجل (ج ) ، لدينا

(c = pm sqrt {36 + 81} = pm sqrt {117} = pm 3 sqrt {13} )

لذلك ، فإن إحداثيات البؤر هي ((2−3 sqrt {13} ، - 5) ) و ((2 + 3 sqrt {13} ، - 5) ).

معادلات الخطوط المقاربة هي (y = pm dfrac {b} {a} (x − h) + k = pm dfrac {3} {2} (x − 2) −5 ).

بعد ذلك ، نرسم المركز والرؤوس والرؤوس المشتركة والبؤر والخطوط المقاربة ونسميها ونرسم منحنيات ناعمة لتشكيل القطع الزائد ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {10} ).

تمرين ( PageIndex {5} )

رسم بيانيًا للقطع الزائد الوارد بالصيغة القياسية للمعادلة ( dfrac {{(y + 4)} ^ 2} {100} - dfrac {{(x − 3)} ^ 2} {64} = 1 ) . حدد المركز والرؤوس والرؤوس المشتركة والبؤر والخطوط المقاربة وقم بتسميتها.

إجابه

المركز: ((3 ، −4) ) ؛ القمم: ((3 ، −14) ) و ((3،6) ) ؛ الرؤوس المشتركة: ((- 5 ، −4) ) ؛ و ((11 ، −4) ) ؛ البؤر: ((3، −4−2 sqrt {41}) ) و ((3، −4 + ​​2 sqrt {41}) ) ؛ الخطوط المقاربة: (y = pm dfrac {5} {4} (x − 3) −4 )

حل المشكلات التطبيقية التي تتضمن الخطوط الزائدة

كما ناقشنا في بداية هذا القسم ، فإن للقطوع الزائدة تطبيقات واقعية في العديد من المجالات ، مثل علم الفلك والفيزياء والهندسة والهندسة المعمارية. تعد كفاءة تصميم أبراج التبريد الزائدية مثيرة للاهتمام بشكل خاص. تُستخدم أبراج التبريد لنقل الحرارة المهدرة إلى الغلاف الجوي وغالبًا ما يتم الترويج لها لقدرتها على توليد الطاقة بكفاءة. نظرًا لشكلها الزائدي ، فإن هذه الهياكل قادرة على تحمل الرياح الشديدة بينما تتطلب مواد أقل من أي أشكال أخرى بحجمها وقوتها (الشكل ( PageIndex {12} )). على سبيل المثال ، برج قدم (500 ) يمكن صنعه من قشرة خرسانية مسلحة فقط (6 ) أو (8 ) بوصات!

تم تصميم الأبراج الزائدية الأولى في عام 1914 وكان ارتفاعها (35 ) مترا. اليوم ، توجد أعلى أبراج التبريد في فرنسا ، حيث يبلغ ارتفاعها (170 ) مترًا. في المثال ( PageIndex {6} ) سنستخدم تخطيط تصميم برج التبريد لإيجاد معادلة قطعية تشكل جوانبها.

مثال ( PageIndex {6} ): حل المشكلات التطبيقية التي تتضمن الرموز الزائدة

يظهر تخطيط تصميم برج التبريد في الشكل ( PageIndex {13} ). يبلغ ارتفاع البرج 179.6 مترا. قطر القمة (72 ) متر. عند أقرب جوانب البرج ، تفصل بينهما مسافة (60 ) متر.

أوجد معادلة القطع الزائد الذي يمثل جوانب برج التبريد. افترض أن مركز القطع الزائد - المشار إليه بتقاطع الخطوط العمودية المتقطعة في الشكل - هو أصل مستوى الإحداثيات. تقريب القيم النهائية لأربع منازل عشرية.

حل

نفترض أن مركز البرج يقع في الأصل ، لذا يمكننا استخدام الشكل القياسي للقطع الزائد الأفقي المتمركز في الأصل: ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {y ^ 2 } {b ^ 2} = 1 ) ، حيث تشكل فروع القطع الزائد جوانب برج التبريد. يجب أن نجد قيم (a ^ 2 ) و (b ^ 2 ) لإكمال النموذج.

أولاً ، نجد (a ^ 2 ). تذكر أن طول المحور العرضي للقطع الزائد هو (2 أ ). يتم تمثيل هذا الطول من خلال المسافة التي تكون فيها الأضلاع أقرب ، والتي تُعطى كمتر (65.3 ). إذن ، (2 أ = 60 ). لذلك ، (أ = 30 ) و (أ ^ 2 = 900 ).

لحل المعادلة (b ^ 2 ) ، نحتاج إلى استبدال (x ) و (y ) في المعادلة باستخدام نقطة معروفة. للقيام بذلك ، يمكننا استخدام أبعاد البرج لإيجاد نقطة ما تقع على القطع الزائد. سنستخدم الزاوية اليمنى العلوية من البرج لتمثيل تلك النقطة. نظرًا لأن المحور (y ) - يشطر البرج ، يمكن تمثيل القيمة (x ) - بنصف قطر القمة ، أو (36 ) مترًا. ال ذ-يتم تمثيل القيمة بالمسافة من الأصل إلى الأعلى ، والتي تُعطى كـ (79.6 ) مترًا. لذلك،

[ begin {align *} dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} & = 1 qquad text {النموذج القياسي للقطع الزائد الأفقي.} b ^ 2 & = dfrac {y ^ 2} { dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} -1} qquad text {Isolate} b ^ 2 & = dfrac {{(79.6)} ^ 2} { dfrac {{(36)} ^ 2} {900} -1} qquad text {Substitute for} a ^ 2، : x، text {and} y & almost 14400.3636 qquad نص {تقريب لأربعة منازل عشرية} نهاية {محاذاة *} ]

يمكن نمذجة جوانب البرج بواسطة المعادلة القطعية

( dfrac {x ^ 2} {900} - dfrac {y ^ 2} {14400.3636} = 1 ) أو ( dfrac {x ^ 2} {{30} ^ 2} - dfrac {y ^ 2} {{120.0015} ^ 2} = 1 )

تمرين ( PageIndex {6} )

يظهر تصميم مشروع برج التبريد في الشكل ( PageIndex {14} ). أوجد معادلة القطع الزائد الذي يمثل جوانب برج التبريد. تقريب القيم النهائية لأربع منازل عشرية.

إجابه

يمكن نمذجة جوانب البرج بواسطة المعادلة القطعية. ( dfrac {x ^ 2} {400} - dfrac {y ^ 2} {3600} = 1 ) أو ( dfrac {x ^ 2} {{20} ^ 2} - dfrac {y ^ 2} {{60} ^ 2} = 1 ).

وسائط

قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على إرشادات وممارسات إضافية باستخدام الرموز الزائدة.

  • المقاطع المخروطية: القطع الزائد الجزء 1 من 2
  • المقاطع المخروطية: القطع الزائد الجزء 2 من 2
  • ارسم مقطعًا مقطعيًا باستخدام المركز في الأصل
  • قم برسم القطع الزائد بحيث لا يكون المركز في الأصل

المعادلات الرئيسية

القطع الزائد ، المركز عند الأصل ، المحور العرضي على x-محور ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 )
القطع الزائد ، المركز عند الأصل ، المحور العرضي على ذ-محور ( dfrac {y ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {x ^ 2} {b ^ 2} = 1 )
القطع الزائد ، المركز عند ((ح ، ك) ) ، المحور العرضي الموازي ل x-محور ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {{(y − k)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 )
القطع الزائد ، المركز عند ((ح ، ك) ) ، المحور العرضي الموازي ل ذ-محور ( dfrac {{(y − k)} ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {{(x − h)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 )

المفاهيم الرئيسية

  • القطع الزائد هو مجموعة جميع النقاط ((x، y) ) في مستوى بحيث يكون اختلاف المسافات بين ((x، y) ) والبؤر ثابتًا موجبًا.
  • يمكن استخدام الشكل القياسي للقطع الزائد لتحديد الرؤوس والبؤر. راجع المثال ( PageIndex {1} ).
  • عند إعطاء إحداثيات بؤر ورؤوس القطع الزائد ، يمكننا كتابة معادلة القطع الزائد في الشكل القياسي. راجع المثال ( PageIndex {2} ) والمثال ( PageIndex {3} ).
  • عند إعطاء معادلة للقطع الزائد ، يمكننا تحديد الرؤوس ، والرؤوس المشتركة ، والبؤر ، والخطوط المقاربة ، وأطوال ومواضع المحاور المستعرضة والمترافقة من أجل رسم بياني للقطع الزائد. راجع المثال ( PageIndex {4} ) والمثال ( PageIndex {5} ).
  • يمكن نمذجة مواقف العالم الحقيقي باستخدام المعادلات القياسية للقطوع الزائدة. على سبيل المثال ، بالنظر إلى أبعاد برج تبريد السحب الطبيعي ، يمكننا إيجاد معادلة قطعية تشكل جوانبها. راجع المثال ( PageIndex {6} ).

بيضاوي

ان بيضاوي هو سطح يمكن الحصول عليه من كرة عن طريق تشويهه عن طريق مقاييس اتجاهية ، أو بشكل أكثر عمومية ، من تحويل أفيني.

  • جسم كروى, أ = ب = ج = 4 أعلى
  • كروي, أ = ب = 5 , ج = 3 أسفل اليسار,
  • ثلاثى المحاور بيضاوي، أ = 4.5 , ب = 6 ج = 3 , أسفل اليمين

الشكل الإهليلجي هو سطح رباعي أي سطح يمكن تعريفه على أنه المجموعة الصفرية لكثيرات الحدود من الدرجة الثانية في ثلاثة متغيرات. من بين الأسطح الرباعية ، يتميز الشكل الإهليلجي بأي من الخواص التالية. كل مقطع عرضي مستوٍ هو إما قطع ناقص ، أو فارغ ، أو يتم تصغيره إلى نقطة واحدة (وهذا يفسر الاسم ، الذي يعني "شكل القطع الناقص"). إنه محدود ، مما يعني أنه قد يكون محاطًا في كرة كبيرة بدرجة كافية.

يحتوي الشكل الإهليلجي على ثلاثة محاور زوجية متعامدة من التناظر والتي تتقاطع في مركز تناظر ، يسمى مركز الشكل الإهليلجي. تسمى مقاطع الخط المحددة على محاور التناظر بواسطة الشكل الإهليلجي بـ المحاور الرئيسية، أو ببساطة محاور الشكل الإهليلجي.إذا كانت المحاور الثلاثة ذات أطوال مختلفة ، فيقال إن الشكل الإهليلجي هو ثلاثى المحاور أو نادرًا مختلف الأضلاع، والمحاور محددة بشكل فريد.

إذا كان اثنان من المحاور لهما نفس الطول ، فإن الشكل الإهليلجي هو شكل بيضاوي للثورة ، ويسمى أيضًا الشكل الكروي. في هذه الحالة ، يكون الشكل الإهليلجي ثابتًا عند الدوران حول المحور الثالث ، وبالتالي توجد طرق عديدة لا نهائية لاختيار المحورين المتعامدين من نفس الطول. إذا كان المحور الثالث أقصر ، فإن الشكل الإهليلجي عبارة عن كروي مفلطح إذا كان أطول ، فهو كروي متدلي. إذا كانت المحاور الثلاثة لها نفس الطول ، فإن الشكل الإهليلجي يكون كرة.


القطع الزائد

  • حدد موقع رؤوس القطع الزائد والبؤر.
  • اكتب معادلات القطوع الزائدة في الصورة القياسية.
  • رسم بياني القطع الزائدة المتمركزة في الأصل.
  • الرسم البياني للقطع الزائدية ليس متمركزًا في الأصل.
  • حل المسائل التطبيقية التي تتضمن القطوع الزائدة.

ملاحظة: أنت تقوم بعرض نسخة قديمة من هذا المستند. نسخة النمط الجديد متاحة هنا.

أهداف التعلم

الهدف 1: استخدام صيغة المسافة. (IA 11.1.1)

ملحوظة: صيغة المسافة:

: المسافة د بين نقطتين x 1 ، y 1 x 1 ، y 1 و x 2 ، y 2 x 2 ، y 2 هي d = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 d = x 2 - x 1 2 + y 2 - ص 1 2.

مثال 1

المشكلة 1
استخدم صيغة المسافة

استخدم صيغة المسافة لإيجاد المسافة بين النقطتين (−5، −3) و (7،2).

حل
اكتب صيغة المسافة. د = س 2 - س 1 2 + ص 2 - ص 1 2 د = س 2 - س 1 2 + ص 2 - ص 1 2
قم بتسمية النقاط (–5 ، –3) كـ (x1, ذ1) والنقطة (7 ، 2) كـ (x2, ذ2) واستبداله. د = 7 2 - (-5) 2 + 2 - (-3) 2 د = 7 2 - (-5) 2 + 2 - (-3) 2
تبسيط. د = 12 2 + 5 2 = 144 + 55 = 169 د = 12 2 + 5 2 = 144 + 55 = 169
د = 13 د = 13

مع التدريب يأتي الإتقان

التمرين 1

استخدم صيغة المسافة لإيجاد المسافة بين النقطتين (2، −5) و (14، −10).

تمرين 2

استخدم صيغة المسافة لإيجاد المسافة بين النقطتين (10، −4) و (1،5). اكتب الإجابة بشكل دقيق ثم أوجد التقريب العشري ، مقربًا لأقرب جزء من عشرة إذا لزم الأمر.

الهدف 2: رسم القطع الزائد بمركز عند (0،0). (IA 11.4.1)

A هي جميع النقاط في المستوى حيث يكون الفرق بين مسافاتها من نقطتين ثابتتين ثابتًا. تسمى كل نقطة من النقاط الثابتة أ من القطع الزائد.

يسمى الخط عبر البؤر. النقطتان اللتان يتقاطع فيهما المحور العرضي مع القطع الزائد هما a من القطع الزائد. تسمى نقطة المنتصف للجزء الذي يربط البؤر بالقطع الزائد. يسمى الخط العمودي على المحور العرضي الذي يمر عبر المركز. تسمى كل قطعة من الرسم البياني القطع الزائد.

الجدول 2: الشكل القياسي لمعادلة القطع الزائد مع المركز (0،0)
معادلة س 2 أ 2 - ص 2 ب 2 = 1 س 2 أ 2 - ص 2 ب 2 = 1 ص 2 أ 2 - س 2 ب 2 = 1 ص 2 أ 2 - س 2 ب 2 = 1
اتجاه المحور العرضي أفقي.
يفتح لليمين واليسار.
المحور المستعرض عمودي.
يفتح لأعلى ولأسفل.
الرؤوس (-a ، 0) ، (أ ، 0) (0 ، -a) ، (0 ، أ)
x- اعتراضات (-a ، 0) ، (أ ، 0) لا أحد)
اعتراضات ص لا أحد (0 ، -a) ، (0 ، أ)
مستطيل استخدم (± أ ، 0) ، (0 ، ± ب) استخدم (0 ، ± أ) ، (± ب ، 0)
الخطوط المقاربة (ص = ± ب أ س ص = ± ب أ س ص = ± أ ب س ص = ± أ ب س

تنويه على عكس معادلة القطع الناقص ، فإن مقام x 2 x 2 ليس دائمًا a 2 a 2 ومقام y 2 y 2 ليس دائمًا b 2 b 2.

أنه عندما يكون الحد x 2 x 2 موجبًا ، يكون المحور العرضي على المحور x. عندما يكون الحد y 2 y 2 موجبًا ، يكون المحور العرضي على المحور y.

كيفية رسم القطع الزائد بالمركز عند (0 ، 0):

  1. الخطوة 1. اكتب المعادلة بالصيغة القياسية.
  2. الخطوة 2. حدد ما إذا كان المحور العرضي أفقيًا أم رأسيًا.
  3. الخطوة 3. أوجد القمم.
  4. الخطوة 4. رسم المستطيل ، الذي تم إدخاله في الأصل ، متقاطعًا مع محور واحد عند ±أ والآخر في ±ب.
  5. الخطوة 5. ارسم الخطوط المقاربة - الخطوط عبر أقطار المستطيل.
  6. الخطوة 6. ارسم فرعي القطع الزائد. ابدأ من القمة واستخدم الخطوط المقاربة كدليل.

مثال 2

المشكلة 1
ارسم القطع الزائد بالمركز عند (0،0).

الرسم البياني x 2 25 - y 2 4 = 1. × 2 25 - ص 2 4 = 1.

حل

مثال 3

المشكلة 1

الرسم البياني 4 y 2 - 16 x 2 = 64. 4 ص 2-16 × 2 = 64.

حل
4 ص 2-16 × 2 = 64 4 ص 2-16 × 2 = 64
لكتابة المعادلة بالصيغة القياسية ، اقسم
كل حد بمقدار 64 لتجعل المعادلة تساوي 1.
4 ص 2 64 - 16 × 2 64 = 64 64 4 س 2 64 - 16 × 2 64 = 64 64
تبسيط. ص 2 16 - س 2 4 = 1 ص 2 16 - س 2 4 = 1
منذ ذ 2-مصطلح موجب ، المحور العرضي عمودي.
بما أن 2 = 16 a 2 = 16 ثم a = ± 4. أ = ± 4.
القمم على ذ - المحور ، (0 ، - أ) ، (0 ، - أ) ، (0 ، أ). (0 ، أ).
بما أن ب 2 = 4 ب 2 = 4 فإن ب = ± 2. ب = ± 2.
( 0 , −4 ) , ( 0 , −4 ) , ( 0 , 4 ) ( 0 , 4 )
ارسم المستطيل الذي يتقاطع مع x - المحور عند (−2، 0)، (2، 0)، (2، 0) (2، 0) و ذ - المحور عند الرؤوس.
ارسم الخطوط المقاربة من خلال أقطار المستطيل.
ارسم فرعي القطع الزائد.

مع التدريب يأتي الإتقان

ارسم القطع الزائد بالمركز عند (0،0).

التمرين 3

الرسم البياني x 2 9 - y 2 16 = 1 x 2 9 - y 2 16 = 1.

التمرين 4

الرسم البياني 25 y 2-9 x 2 = 225 25 y 2-9 x 2 = 225.

ما هو القاسم المشترك بين مسارات المذنبات ، والطفرات الأسرع من الصوت ، والأعمدة الإغريقية القديمة ، وأبراج التبريد ذات السحب الطبيعي؟ يمكن تصميمها جميعًا بنفس النوع من. على سبيل المثال ، عندما يتحرك شيء أسرع من سرعة الصوت ، يتم إنشاء موجة صدمة على شكل مخروط. يتكون جزء من المخروط عندما تتقاطع الموجة مع الأرض ، مما يؤدي إلى حدوث طفرة صوتية. انظر الشكل 1.

شكل 1: تشكل موجة الصدمة التي تتقاطع مع الأرض جزءًا من الشكل المخروطي وينتج عنها طفرة صوتية.

معظم الناس على دراية بالدوي الصوتي الناتج عن الطائرات الأسرع من الصوت ، لكن البشر كانوا يكسرون حاجز الصوت قبل وقت طويل من الرحلة الأسرع من الصوت الأولى. يحدث شرخ السوط بسبب تجاوز طرفه لسرعة الصوت. الرصاص الذي يتم إطلاقه من العديد من الأسلحة النارية يكسر أيضًا حاجز الصوت ، على الرغم من أن دوي البندقية عادة ما يحل محل صوت الدوي الصوتي.


محتويات

باستخدام نظام الإحداثيات الديكارتية حيث يكون الأصل هو مركز الشكل الإهليلجي وتكون محاور الإحداثيات هي محاور الشكل الإهليلجي ، فإن المعادلة الضمنية للقطع الناقص لها الشكل القياسي

أين أ, ب, ج هي أرقام حقيقية موجبة.

النقاط (أ, 0, 0) , (0, ب، 0) و (0 ، 0 ، ج) تستلقي على السطح. تسمى مقاطع الخط من الأصل إلى هذه النقاط بالمحاور شبه الرئيسية للقطع الناقص ، لأن أ, ب, ج نصف طول المحاور الرئيسية. تتوافق مع المحور شبه الرئيسي والمحور شبه الصغير للقطع الناقص.

إذا أ = ب & GT ج ، واحد لديه كروي مفلطح إذا أ = ب & lt ج ، واحد لديه كروي متكثف إذا أ = ب = ج ، واحد لديه كرة.

يمكن تحديد معلمات الشكل البيضاوي بعدة طرق ، يكون من الأسهل التعبير عنها عندما تتزامن المحاور البيضاوية مع محاور الإحداثيات. الاختيار الشائع هو

يمكن تفسير هذه المعلمات على أنها إحداثيات كروية ، حيث هي الزاوية القطبية و هي زاوية سمت النقطة (x, ذ, ض) من الشكل الإهليلجي. [1]

القياس من المركز بدلاً من القطب ،

قياس الزوايا مباشرة على سطح الشكل الإهليلجي ، وليس على الكرة المحصورة ،

γ ستكون خط عرض مركزية الأرض على الأرض ، و هي خط الطول. هذه إحداثيات كروية حقيقية مع الأصل في مركز الشكل الإهليلجي. [ بحاجة لمصدر ]

في الجيوديسيا ، يتم استخدام خط العرض الجيوديسي بشكل شائع ، كزاوية بين المستوى الرأسي والمستوى الاستوائي ، مُعرَّفة لمجسم بيضاوي ثنائي المحور. للحصول على شكل بيضاوي ثلاثي المحاور أكثر عمومية ، انظر خط العرض البيضاوي.

الحجم الذي يحده الشكل الإهليلجي هو

من حيث الأقطار الرئيسية أ, ب, ج (أين أ = 2أ , ب = 2ب , ج = 2ج ) ، الحجم

تقلل هذه المعادلة إلى حجم الكرة عندما تكون جميع أنصاف القطر الإهليلجي الثلاثة متساوية ، وإلى تلك الخاصة بحجم كروي مفلطح أو متضخم عندما يكون اثنان منهم متساويين.

مساحة سطح شكل بيضاوي عام (ثلاثي المحاور) هي [2] [3]

و أين F(φ, ك) و ه(φ, ك) هي تكاملات إهليلجية غير مكتملة من النوع الأول والثاني على التوالي. [4]

يمكن التعبير عن مساحة سطح الشكل الإهليلجي للثورة (أو الكروية) من حيث الوظائف الأولية:

والتي ، على النحو التالي من المتطابقات المثلثية الأساسية ، هي تعبيرات مكافئة (أي صيغة سمفلطح يمكن استخدامها لحساب مساحة سطح الشكل الإهليلجي المتكاثر والعكس صحيح). في كلتا الحالتين ، يمكن تحديد e مرة أخرى على أنها انحراف مركزي للقطع الناقص الذي شكله المقطع العرضي عبر محور التناظر. (انظر القطع الناقص). يمكن العثور على اشتقاقات هذه النتائج في المصادر القياسية ، على سبيل المثال Mathworld. [5]

تعديل الصيغة التقريبية

في الحد "المسطح" لـ c أصغر بكثير من a و b ، تكون المساحة تقريبًا 2πأب ، أي ما يعادل ص ≈ 1.5850 .

تحرير الخصائص

تقاطع المستوى والكرة عبارة عن دائرة (أو يتم تصغيرها إلى نقطة واحدة ، أو فارغة). أي شكل بيضاوي هو صورة وحدة المجال تحت بعض التحويل الأفيني ، وأي مستوى هو صورة لمستوى آخر تحت نفس التحويل. لذلك ، نظرًا لأن التحويلات الأفينية ترسم الدوائر إلى أشكال بيضاوية ، فإن تقاطع المستوى مع الشكل الإهليلجي هو شكل بيضاوي أو نقطة واحدة ، أو يكون فارغًا. [7] من الواضح أن الأجسام الشبه الكروية تحتوي على دوائر. هذا صحيح أيضًا ، ولكنه أقل وضوحًا ، بالنسبة إلى الأشكال الإهليلجية ثلاثية المحاور (انظر القسم الدائري).

تحديد القطع الناقص لقسم المستوى تحرير

مطلوب: ثلاثة نواقل F0 (وسط) و F1 , F2 (متجهات مترافقة) ، بحيث يمكن تمثيل القطع الناقص بالمعادلة البارامترية

يترك مشش + مالخامسالخامس + مثث = δ يكون شكل هيس الطبيعي للطائرة الجديدة و

ناقلها الطبيعي وحدتها. لذلك

هل المركز من دائرة التقاطع و

أين مث = ± 1 (أي أن المستوى أفقي) ، دعنا

على أي حال ، فإن النواقل ه1, ه2 متعامدة ، موازية لمستوى التقاطع ولها طول ρ (نصف قطر الدائرة). ومن ثم يمكن وصف دائرة التقاطع بالمعادلة البارامترية

يحول القياس العكسي (انظر أعلاه) كرة الوحدة إلى الشكل الإهليلجي والمتجهات ه0, ه1, ه2 يتم تعيينها على نواقل F0, F1, F2 ، والتي كانت مطلوبة للتمثيل البارامتي للقطع الناقص للتقاطع.

كيفية العثور على الرؤوس وشبه المحاور للقطع الناقص موصوف في القطع الناقص.

مثال: تُظهر المخططات شكل بيضاوي مع أنصاف المحاور أ = 4, ب = 5, ج = 3 الذي يتم قطعه بالطائرة x + ذ + ض = 5 .


كتابة معادلة القطوع الزائدة

يمكننا كتابة معادلة القطع الزائد باتباع الخطوات التالية:

1. حدد النقطة المركزية (ح ، ك)
2. تحديد أ و ج
3. استخدم الصيغة ج 2 = أ 2 + ب 2 لإيجاد ب (أو ب 2)
4. قم بتوصيل h و k و a و b بالنمط الصحيح.
5. التبسيط

في بعض الأحيان يتم إعطاؤك رسمًا بيانيًا وفي أحيان أخرى قد يتم إخبارك ببعض المعلومات.

1. أوجد معادلة القطع الزائد الذي تقع رءوسه عند (-1 ، -1) و (-1 ، 7) وتكون بؤرته عند (-1 ، 8) و (-1 ، -2).

للبدء ، دعنا نرسم المعلومات التي لدينا:

يمكننا معرفة أنه قطع زائد رأسي. لنجد النقطة المركزية بعد ذلك ونضع علامة عليها. إذا أردنا ، يمكننا أيضًا رسم القطع الزائد فقط لتسهيل تخيله:

نقطة المركز هي (-1 ، 3). لإيجاد a ، سنعد من المركز إلى أي من الرأسين. a = 4. لإيجاد c ، سنعد من المركز إلى أي من البؤرتين. ج = 5

سنستخدم الصيغة ج 2 = أ 2 + ب 2 لإيجاد ب. للقيام بذلك ، سنقسم a = 4 و c = 5 ثم نحل قيمة b.

لدينا جميع المعلومات لدينا: h = -1 ، k = 3 ، a = 4 ، b = 3. نظرًا لأن هذه الصيغة عبارة عن قطع زائد رأسي ، فسنختار هذه الصيغة ونعوض بها في معلوماتنا.


وتبسيط:

2. أوجد معادلة القطع الزائد هذا:

يمكننا معرفة أنه قطع زائد أفقي. لنجد النقطة المركزية بعد ذلك ونضع علامة عليها

نقطة المركز هي (1، 2). لإيجاد a ، سنعد من المركز إلى أي من الرأسين. a = 2. لإيجاد c ، سنعد من المركز إلى أي من البؤرة. ج = 6

سنستخدم الصيغة ج 2 = أ 2 + ب 2 لإيجاد ب. للقيام بذلك ، سنقسم a = 2 و c = 6 ثم نحل قيمة b.

ص 2 = أ 2 + ب 2
6 2 = 2 2 + ب 2
36 = 4 + ب 2
32 = ب 2

لإيجاد قيمة b ، علينا أن نأخذ الجذر التربيعي ، لكنه لن يخرج بشكل متساوٍ. هذا جيد ، لأن النمط يحتاج إلى b 2 ، لذا يمكننا التعويض بـ 32 عن b 2.

لدينا جميع معلوماتنا: ح = 1 ، ك = 2 ، أ = 2 ، ب 2 = 32. نظرًا لأنه قطع زائد أفقي ، فسنختار تلك الصيغة ونعوض بها في معلوماتنا.

ممارسة: أوجد معادلة كل قطع مكافئ:

1) الرؤوس: (2 ، 1) و (2 ، -5) البؤر: (2 ، 3) و (2 ، -7)
2) الرؤوس: (0 ، 1) و (6 ، 1) البؤر: (-1 ، 1) و (7 ، 1)
3) الرؤوس: (1 ، 0) و (3 ، 0) البؤر: (-1 ، 0) و (5 ، 0)


8.3: القطع الزائد

1. يوضح الرسم البياني الرسم البياني لـ xy = 16.
ملء الجدول التالي:
x 1 أ 4 ج 12 16
ص 16 8 ب 3،2 د 1

1.1 احسب قيمة a و b و c و d في الجدول.
1.2 ماذا يحدث لقيمة y إذا أصبحت x أكبر؟
1.3 هل y يتناسب طرديًا مع x؟ يشرح.
1.4 هل يمكن أن تكون x أو y مساوية للصفر في هذا الرسم البياني؟ يشرح.
1.5.1 ما هي أهمية النقطة (4 ب)؟ يشرح.
1.5.2 احسب معادلة الخط المستقيم المار بـ
الأصل والنقطة (4 ب).
1.6 ضع في اعتبارك النقاط M (64 م) و N (128 ن). احسب قيمتي m و n.

2. انظر في الجدول التالي:
× 1 2 3 ب 6 ص 10 و 24 ساعة
ص 36 18 أ 9 د 4 هـ 3 جم 1

2.1 اكتب معادلة الرسم البياني.
2.2 احسب قيم a إلى h في الجدول.
2.3 ارسم الرسم البياني على ورق الرسم البياني.
2.4 اعرض بوضوح على الرسم البياني الخاص بك حيث ستقرأ قيم a إلى h على الرسم البياني.
2.5 النقاط M (144 m) و N (n 0،2) هي نقاط على الرسم البياني. احسب قيمة m و n.

3. ادرس الجدول التالي:
x 1 2 4 8 0،5 32 هـ
ص 8 أ ب ص 16 د 64

3.1 اكتب معادلة الرسم البياني.
3.2 احسب قيم الحروف في الجدول.
3.3 هل النقاط M (0،25 16) و N (128 0،0625) نقطة على الرسم البياني؟ اشرح اجابتك.

4. يوضح الرسم البياني الرسم البياني لـ xy = 9
4.1 (1 ب) و (ج 18) هما نقطتان على الرسم البياني.
احسب قيمتي ب وج.
4.2 يتقاطع الخط y = x مع القطع الزائد في
نقطة (3 أ).
4.2.1 احسب قيمة.
4.2.2 ما هي أهمية النقطة (3 أ)؟

5. يوضح الرسم البياني الرسم البياني لـ xy = 16
5.1 النقطتان (ب 32) و (10 ج) هي نقاط على
الرسم البياني. احسب قيمتي ب وج.
5.2 يتقاطع الخط y = x مع القطع الزائد في
النقطة (أ 4).
5.2.1 احسب قيمة.
5.2.2 ما هي أهمية النقطة (أ 4)؟
5.3 اشرح كيف يمكنك استخدام الرسم البياني للعثور على القيمة
من الجذر التربيعي لـ 16.
5.4 اشرح كيف يمكنك استخدام الرسم البياني للعثور على القيمة
للجذر التربيعي لـ 64.

6. ارسم الرسم البياني لـ xy = 25 باستكمال الجدول التالي:
× 1 2 4 10 د هـ و
y 25 a b c 20 50 0،25

6.1 ارسم خطًا مستقيمًا على الرسم البياني يمكنك استخدامه لإيجاد الجذر التربيعي لـ 25.
حدد النقطة التي ستقرأ فيها القيمة P.
6.2 اشرح كيف يمكنك استخدام الرسم البياني لتحديد الجذر التربيعي لـ 100 و 1.
6.3 يمر خط مستقيم بالنقطتين (د 20) و (هـ 50).
6.3.1 يحسب معادلة الخط المستقيم.
6.3.2 يحسب إحداثيات تقاطع الخط مع المحاور.

7. إذا كان س ص = 24
7.1 النقاط أ (2 أ) ، ب (ب 8) ، ج (ج 6) ، د (16 د) هي نقاط على القطع الزائد.
احسب قيم a و b و c و d.
7.2 ماذا يحدث لقيم x إذا أصبحت y أصغر؟
7.3 لأي قيمة (قيم) لـ x تكون y = 0؟
اشرح اجابتك.
7.4 اشرح كيف يمكنك استخدام الرسم البياني لتحديد الجذر التربيعي لـ 24.
7.5 اشرح كيف يمكنك استخدام الرسم البياني لتحديد الجذر التربيعي لـ 96 و 6.


كيفية رسم القطع الزائد الأفقي - تعليمي

1. الانحراف الخطي (ج) هو المسافة بين المركز والبؤرة (أو إحدى البؤرتين).
2. المستقيم العريض (2 & gamma) هو الوتر الذي يمر عبر البؤرة (أو إحدى البؤرتين).
3. الرأس هو نقطة في المحور حيث يتقاطع القطع الزائد.
4. الخطوط المقاربة عبارة عن خط يمتد على طول منحنى ولكنه لا يلمس المنحنى أبدًا.
5. البؤر هي أي نقطة ثابتة تقع داخل المنحنى على طول المحور.

الانحراف (ج) = & الجذر (أ 2 + ب 2)
البؤر = (0 ، ج) & (0 ، -ج)
القمم = (0 ، أ) & (0 ، -أ)
الخطوط المقاربة = (ب / أ) س & - (ب / أ) س
المستقيم الطري = 2 ب 2 / أ

مثال: أوجد الانحراف المركزي ، البؤر ، الرؤوس ، الخطوط المقاربة ومستقيم اللاتوس للقطع الزائد مع نقطة (3،2)؟
معطى: أ = 3
ب = 2

لايجاد،
اللامركزية ، البؤر ، الرؤوس ، الخطوط المقاربة ومستقيم اللاتوس

حل: الخطوة 1 :
الانحراف (ج) = & الجذر (أ 2 + ب 2)
c = & radic (32 + 22) c = & radic (9 + 4) = & radic13 = 3.6

الخطوة 2 :
البؤر = (0 ، ج) & (0 ، -ج)
البؤر = (0،3.6) & (0، -3.6)

الخطوه 3 :
القمم = (0 ، أ) & (0 ، -أ)
الرؤوس = (0،3) & (0 ، -3)

الخطوة الرابعة:
الخطوط المقاربة = (ب / أ) س & - (ب / أ) س
الخطوط المقاربة = (2/3) x & - (2/3) x
الخطوط المقاربة = (0.67) x & - (0.67) x


حل مشاكل أمثلة على تطبيقات الحياة الواقعية للمخاريط


نظرًا لأن عرض الشاحنة 3م ، لتحديد الخلوص ، يجب أن نجد ارتفاع الممر 1.5م من المركز. إذا كان هذا الارتفاع 2.7م أو أقل من الشاحنة لن تمسح الممر المقنطر.

من الرسم التخطيطي أ = 6 و ب = 3 تسفر عن معادلة elipse كـ .

حافة 3م يتوافق مع شاحنة واسعة x = 1.5م من المركز سنجد ارتفاع الممر 1.5م من المركز بالتعويض x = 1.5 وحل ذ


وبالتالي فإن ارتفاع طريقة القوس 1.5م من المركز ما يقرب من 2.90م . نظرًا لأن ارتفاع الشاحنة 2.7م ، ستقوم الشاحنة بإخلاء الممر المقنطر.

المسافة القصوى والدنيا للأرض من الشمس على التوالي 152 × 10 6 كم و 94.5 × 10 6 كم. تقع الشمس في أحد بؤرة المدار الإهليلجي. أوجد المسافة من الشمس إلى البؤرة الأخرى.

مثل = 94.5 × 10 6 كم ، SA '= 152 × 10 6 كم

أ + ج = 152 ×10 6

طرح 2ج = 57.5 × 10 6 = 575 × 10 5 كم


المسافة من الشمس من التركيز الآخر SS′ = 575 × 10 5 كم.

تم تصميم الجسر الخرساني كقوس مكافئ. الطريق فوق الجسر 40م طويل وأقصى ارتفاع للقوس 15م . اكتب معادلة القوس المكافئ.

من الرسم البياني ، يكون الرأس عند (0 ، 0) والقطع المكافئ مفتوح لأسفل


معادلة القطع المكافئ هي x 2 = −4ay

(20 ، −15) و (20 ، 15) تقع على القطع المكافئ


إذن المعادلة هي 3x 2 = -80 ص

هوائي الاتصالات المكافئ له تركيز على 2م المسافة من قمة الهوائي. أوجد عرض الهوائي 3م من الرأس.

دع القطع المكافئ يكون ذ 2 = 4فأس .

منذ التركيز 2م من الرأس أ = 2

معادلة القطع المكافئ هي ذ 2 = 8x


يترك ص تكون نقطة على القطع المكافئ الذي x - التنسيق هو 3م من الرأس ص (3, ذ)

عرض الهوائي 3 م من الرأس 4√6 م.

المعادلة ذ = (1/32) x نموذجان لمقاطع عرضية من المرايا ذات القطع المكافئ التي تستخدم للطاقة الشمسية. يوجد أنبوب تسخين يقع في بؤرة كل قطع مكافئ ما ارتفاع هذا الأنبوب الموجود فوق قمة القطع المكافئ؟


معادلة القطع المكافئ هي

هذا هو x 2 = 32ذ الرأس هو (0، 0)

لذلك يجب وضع أنبوب التسخين في البؤرة (0 ، أ). ومن ثم يجب وضع أنبوب التسخين 8 وحدات فوق قمة القطع المكافئ.

يحتوي ضوء البحث على عاكس مكافئ (له مقطع عرضي يشكل "وعاء"). وعاء القطع المكافئ - 40 سم واسعة من حافة إلى حافة و 30 سم عميق. يقع المصباح في البؤرة.

(1) ما هي معادلة القطع المكافئ المستخدمة للعاكس؟

(2) كم يبعد المصباح عن الرأس بحيث يتم تغطية أقصى مسافة؟


معادلة القطع المكافئ هي

(1) بما أن القطر 40 سم والعمق 30 سم ، النقطة (30،20) تقع على القطع المكافئ.

المعادلة ص 2 = 40/3 x.

(2) المصباح في التركيز (0 ، أ). ومن ثم فإن المصباح على مسافة 10/3 سم من الرأس.

مثال 5.36

معادلة الجزء الإهليلجي لنظام العدسة البصرية هي .

الجزء المكافئ من النظام له بؤرة مشتركة مع التركيز الصحيح للقطع الناقص ، حيث يقع رأس القطع المكافئ في الأصل ويفتح القطع المكافئ إلى اليمين. حدد معادلة القطع المكافئ.

حل


في القطع الناقص المعطى أ 2 = 16 , ب 2 = 9

ومن بعد ج 2 = أ 2 - ب 2

لذلك البؤر هي F (7 ، 0) ، F ¢ (-7 ، 0). تركيز القطع المكافئ هو (√7، 0) ⇒ أ = 7 معادلة القطع المكافئ هي y 2 = 4√7x .

مثال 5.37

غرفة 34م لونغ لتكون معرضا للهمس. الغرفة لها سقف بيضاوي الشكل ، كما هو موضح في الشكل 5.64. إذا كان أقصى ارتفاع للسقف 8م ، تحديد مكان البؤر.

حل

الطول أ المحور شبه الرئيسي للسقف البيضاوي هو 17م . الإرتفاع ب من المحور شبه الصغرى 8م . هكذا


بالنسبة للسقف البيضاوي ، توجد البؤر على كلا الجانبين حوالي 15م من المركز على طول محورها الرئيسي.

معجزة طبية غير جراحية

في جهاز تفتيت الحصى ، تنبعث موجة صوتية عالية التردد من مصدر يقع في إحدى بؤر القطع الناقص. يتم وضع المريض بحيث تقع حصوات الكلى في البؤرة الأخرى للقطع الناقص.

مثال 5.38

إذا كانت معادلة القطع الناقص ( x و ذ تقاس بالسنتيمتر) أين أقرب سنتيمتر ، هل يجب وضع حصوة الكلى للمريض بحيث يضرب الصوت المنعكس حصى الكلى؟

حل

معادلة القطع الناقص هي .


يجب أن يكون أصل الموجة الصوتية وحصوات الكلى للمريض في البؤر من أجل تكسير الحصوات.

أ 2 = 484 و ب 2 = 64

ج 2 = أ 2 - ب 2

لذلك يجب وضع حصوة الكلى للمريض على بعد 20.5 سم من مركز القطع الناقص.

مثال 5.39

تقع محطتا خفر السواحل على بعد 600 كم في النقاط أ(0 ، 0) و ب(0 ، 600). إشارة استغاثة من سفينة في ص يتم استقبالها في أوقات مختلفة قليلاً عن طريق محطتين. تم تحديد أن السفينة تبعد 200 كم عن المحطة أ مما هي عليه من المحطة ب . حدد معادلة القطع الزائد الذي يمر عبر موقع السفينة.

حل

نظرًا لأن المركز يقع عند (0 ، 300) ، في منتصف المسافة بين البؤرتين ، وهما محطات خفر السواحل ، فإن المعادلة هي


لتحديد قيم أ و ب ، حدد نقطتين معروفتين بوجودهما على القطع الزائد واستبدل كل نقطة في المعادلة أعلاه.

النقطة (0 ، 400) تقع على القطع الزائد لأنها تبعد 200 كم عن المحطة أ من المحطة ب .


هناك أيضا نقطة (x، 600) على القطع الزائد بحيث يكون 600 2 + x 2 = ( x + 200) 2 .

360000 + x 2 = x 2 + 400 × 40000


وبالتالي فإن المعادلة المطلوبة للقطع الزائد هي


السفينة تقع في مكان ما على هذا القطع الزائد. يمكن تحديد الموقع الدقيق باستخدام بيانات من محطة ثالثة.

تحتوي بعض التلسكوبات على كل من المرآة المكافئة والمرآة الزائدية. في التلسكوب الموضح في الشكل 5.68 يشترك القطع المكافئ والقطع الزائد في التركيز F 1 وهو 14م فوق قمة القطع المكافئ. التركيز الثاني للقطع الزائد F 2 هو 2م فوق رأس القطع المكافئ. رأس المرآة الزائدية هو 1م أدناه F 1. ضع نظام إحداثيات مع الأصل في مركز القطع الزائد والبؤر على ذ -محور. ثم أوجد معادلة القطع الزائد.

يترك الخامس 1 يكون رأس القطع المكافئ و الخامس 2 يكون رأس القطع الزائد.

= 14 - 2 = 12م, 2ج = 12, ج = 6


المسافة من المركز إلى قمة القطع الزائد هي أ = 6 −1 = 5


8.3: القطع الزائد

هندسة الكابينة مع التكنولوجيا:

بعض مواد الاستكشاف

نظرة عامة على هندسة سيارات الأجرة

هندسة سيارات الأجرة لها وظيفة المسافة التالية بين النقطتين A (x 1، y 1) و B (x 2، y 2):

د = | x 2 - x 1 | + | ص 2 - ص 1 |

يتم الادعاء بأن جميع البديهيات والنظريات في الهندسة المحايدة (الفصل 1) حتى تطابق SAS ستصمد.

أنشئ حاسبة الرسوم البيانية و / أو ملفات GSP (أو ملفات GeoGebra) لـ

تاكسي تاكسي سيركل

ملف حاسبة الرسوم البيانية 3.5 للمركز أ ونصف قطر د.

| س - أ | + | ص - ب | = د

ملف حاسبة الرسوم البيانية 3.5 للمركز من أ إلى ب

إذا كان أ (أ ، ب) هو الأصل (0،0) ، فإن معادلة دائرة التاكسي هي | x | + | ص | = د.

على وجه الخصوص معادلة دائرة وحدة سيارات الأجرة هي | x | + | ص | = 1. ارسمها.

في المستوى الإقليدي ، نستخدم دائرة الوحدة لتحديد نسب جيب التمام والجيب والظل. هل هناك طريقة مماثلة لتحديد النسب المثلثية لمستوى Taxicab؟

نسبة المحيط إلى قطر الدائرة في المستوى الإقليدي ثابت - pi.

هل نسبة المحيط إلى قطر دائرة TC ثابتة؟ ما هذا؟

ملف GCF

باستخدام مقياس المسافة TC ، وتعريف القطع الناقص كنقاط محددة حيث يكون مجموع المسافة من نقطتين ثابتتين هو ثابت d ، يمكننا كتابة معادلة للقطع الناقص مع البؤر في A (a ، b) و B (ز ، ح) مثل

(| س - أ | + | ص - ب |) + (| س - ز | + | ص - ح |) = د

قم بإنشاء ملف GCF الخاص بك ، أو استخدم الملف الموجود في الرابط أعلاه ، لاستكشاف الأشكال والمواقع التي تنتج عن هذه المعادلة.

فيما يلي ستة أمثلة لخيارات مختلفة من A و B و d. يتكون كل شكل بيضاوي TC في كل من الخمسة الأولى من ستة أو ثمانية أجزاء. تكون هذه المقاطع إما موازية للمحور x أو المحور y (غير موضح هنا) أو مقاطع عند ميل 1 أو ميل -1.

تحقق من خلال احتساب خطوط الشبكة أن كل نقطة في الأجزاء المقصودة هي جزء من TCEllipse.

آخرها يحدث عندما AB = d. إذا قمنا بتضمينها على أنها TCEllipse فهي حالة منحطة. هل ستكون المنطقة دائما مربعا؟ لماذا ا؟ تحقق من أن مجموع مسافات TC من A و B لكل نقطة في المربع ثابت.

بالنسبة إلى إنشاءات نظام الأفضليات المعمم (GSP) لديك ، فأنت تريد تتبع تقاطع دائرتين TC اللتين تقوم بإنشائهما.

انقر هنا للحصول على ملف GSP مقتبس من صفحة الويب الخاصة بسوزان سيكستون

بادئ ذي بدء ، هناك 4 نقاط تقاطع للتتبع ، وليس 2. سترى نقطتين فقط في كل مرة.

بعد ذلك ، هناك 4 مرات تتطابق فيها جوانب الدوائر TC على نفس المقطع. في تلك الأوقات ، كل النقاط الموجودة في المقطع الذي يتزامن ترضي المعادلة. وبالتالي ، فإن القطع الناقص ، إذا كان موجودًا ولم يتحلل ، هو شكل مغلق مكون من 8 أو 6 أجزاء.

تحقق.

من ملف GSP هذا ، يمكنك بسهولة نقل النقاط المحورية A و B. لم أجد طريقة لتتبع مقاطع المنحدر 1 أو -1 من هذه الرسوم المتحركة.

قطع غيار سيارات الأجرة

ملف GCF لـ Taxi Cab Hyperbola

تعريف القطع الزائد هو مجموعة النقاط التي يكون فيها الفرق في المسافة بين نقطتين ثابتتين ثابتًا. جرب هذه المعادلة:

| (س - أ) + (ص - ب) | - | (س - ز) + (ص - ح) | = د

للنقاط الثابتة أ (أ ، ب) وب (ح ، ز). يبدو أن المجموعة الأخرى من النقاط التي ترضي الفرق الثابت ستحددها هذه المعادلة:

| (س - ز) + (ص - ح) | - | (س - أ) + (ص - ب) | = د

لذلك ، فإن المعادلة الفردية التي تحصل على مجموعتي النقاط ستكون:

|| (س - أ) + (ص - ب) | - | (س - ز) + (ص - ح) || = د

كما هو الحال مع TCEllipse ، قد يتطلب إنشاء إصدار GSP بعض الاهتمام لأجزاء المربعات المتداخلة وليس فقط نقاط التقاطع.

تحقق من أن الشكل على اليمين هو TCHyperbola مع A (6،7) ، B (14،14) ، و d = 3

استكشف البؤر الأخرى وقيم د.

ماذا يحدث مع d & gt AB؟ ماذا يحدث عندما تكون d = AB؟

هناك جنون آخر هنا. استكشف هذه الحالات الثلاث لـ d = 2:

1- أ (5 ، 5) ، ب (11 ، 14)

2- أ (5 ، 5) ، ب (12 ، 14)

3- أ (5 ، 5) ، ب (13 ، 14)

يشرح

التعريف الإقليدي المعتاد للقطع المكافئ هو موضع النقاط على مسافة متساوية من خط ونقطة ثابتة.

حدد طريقة للتعبير عن المسافة من خط واستخدمها لكتابة معادلة للقطع المكافئ الذي يمكن رسمه بيانيًا باستخدام Graphing Calculator 3.5.

بادئ ذي بدء ، نحتاج إلى التعرف على أن المسافة من نقطة إلى خط في Taxicab Geometry لها التعريف التالي:

تعريف: يترك ل يكون خطًا و P نقطة. ثم المسافة من P إلى ل هل الحد الأدنى مسافة TC PQ حيث Q هي نقطة ل.

مناقشة:

يتم عرض ثلاث حالات. مسافة سيارة الأجرة هي مجموع المسافة الأفقية بالإضافة إلى العمودي. إذا كانت النقطة Q على الأفقي مع P إذن ح ستكون مسافة سيارة الأجرة من P إلى Q. إذا كانت النقطة Q على الوضع الرأسي مع P ، فإن v هي مسافة سيارات الأجرة من P إلى Q. المسافة TC من P إلى الخط سيكون الحد الأدنى لجميع النقاط Q على الخط.

هكذا

إذا كان منحدر ل هو أكثر من 1 ، و ح هي المسافة الدنيا.

إذا كان منحدر ل أقل من 1 ، الخامس هي المسافة الدنيا.

إذا كان منحدر ل يساوي 1 ، و h = v وجميع النقاط بين BC لها نفس طول TC.

يمكن فحص أرقام مماثلة للمنحدرات السلبية.

تعريف القطع المكافئ هو موضع النقاط بحيث تكون نقطة على القطع المكافئ على مسافة متساوية من خط يسمى الدليل ونقطة تسمى البؤرة. في الهندسة الإقليدية ، تُؤخذ مسافة نقطة من الخط على طول الخط العمودي من نقطة على الدليل. لا فرق في ماهية ميل الخط المستقيم. يجب أن يكون هناك إشارة تحذير تلوح للتحذير من أن شيئًا مختلفًا سيتم القيام به مع Taxicab Geometry.

آلة حاسبة الرسومات 3.5 ل TC Parabola

حالة 1. | م | & GT 1.

| إذا كان الخط هو ص = م س + ج ولدينا نقطة و (أ ، ب)، إذن علينا أن نجعل مسافتين TC متساويتين مع بعضهما البعض. | س - أ | + | ص - ب | يعطينا المسافة من F. ستكون المسافة إلى الخط بطول أ عرضي من أي نقطة (س ، ص) في المكان. لذلك ، فإن إحداثيات النقطة Q التي هي أدنى مسافة من (س ، ص) سيكون ((ص-ج) / م ، ص). وبالتالي فإن المسافة إلى الخط ستكون | س - (ص ج) / م | + | ص - ص | = | س - (ص ج) / م |. وبالتالي فإن معادلة TC Parabola هي

| س - أ | + | ص - ب | = | س - (ص ج) / م |

كما في حالة واحدة ، لدينا ص = م س + ج و نقطة و (أ ، ب). ستكون المسافة إلى الخط بطول عمودي من أي نقطة (س ، ص) في المكان. لذلك ، فإن إحداثيات النقطة Q التي هي أدنى مسافة من (س ، ص) سيكون (س ، م س + ب). وبالتالي فإن المسافة إلى الخط ستكون | س - س | + | ص - (م س + ب) | أو هذا هو | ص - (م س + ب) |. وبالتالي ، فإن معادلة TC Parabola هي

| س - أ | + | ص - ب | = | ص - (م س + ب) |

الحالة 3. م = 1

استخدم أيًا من ملفي GCF السابقين لاستكشاف هذه الحالة.

بناء TC Parabola مع نظام الأفضليات المعمم.

النقطة الأساسية التي يجب مراعاتها مع إنشاءات نظام الأفضليات المعمم هي أن مسافة TC لنقطة من الخط ستكون على طول مقطع موازٍ لأحد المحاور. حدد مسافة TC بهذه الطريقة واستخدمها لتطوير دائرة TC حول النقطة F. ثم نبحث عن تقاطع خط يتحرك بالتوازي مع الدليل ودائرة TC حول F. تم تنفيذ جميع الحالات في GSP ملف (أربع صفحات) أدناه. أيضًا ، تم تضمين أدوات البرنامج النصي GSP في الملف.

المنصف العمودي لقطعة مستقيمة

المنصف العمودي لقطعة مستقيمة هو مجموعة النقاط التي تقع على مسافة متساوية من طرفي المقطع. لذلك يجب أن تكون المعادلة:

| (س - أ) + (ص - ب) | = | (س - ز) + (ص - ح) |

لـ A (a، b) and B (g، h). انقر هنا للحصول على ملف GCF الذي يقوم بتنفيذ هذه المعادلة.

تحقق من هذا الرسم البياني لمنصف عمودي TC لـ A (1،1) و B (8،7).

افحص رسمًا بيانيًا مشابهًا لـ A (1،1) و B (7،7)

افحص رسمًا بيانيًا مشابهًا لـ A (1،1) و B (6،7). قارن واشرح الرسوم البيانية الثلاثة.

افحص الرسم البياني باستخدام A (1،1) و B (1 ، 7)

افحص الرسم البياني باستخدام A (1،1) و B (7، 1)

هل نقطة منتصف AB على الرسم البياني دائمًا؟ إثبات أو دحض.

كيف يختلف الرسم البياني أ (1 ، 8) ب (8،3) أو مشابهًا للرسم البياني الذي قمت بفحصه حتى الآن؟

قم ببناء العديد من مثلثات متساوية الأضلاع في سيارات الأجرة. ماذا تلاحظ؟

ضع في اعتبارك قطعة AB وقم بتكوين مثلث متساوي الأضلاع TC عليه. دائرة TC الحمراء مركزها عند A ودائرة TC الخضراء مركزها عند B. تشترك الدائرتان في النقطتين C و C "بالإضافة إلى جميع النقاط الموجودة في المقطع CC".

لذلك ، فإن المثلث ABC هو TC متساوي الأضلاع ، والمثلث ABC "متساوي الأضلاع TC ، وإذا كان C" أي نقطة على CC "، فإن المثلث ABC" هو TC متساوي الأضلاع.

تحقق من هذه أو دحضهم. هل هذا يثبت أن التطابق SSS لا يصح؟

هل هناك مثلثات إقليدية متساوية الأضلاع متساوية الأضلاع؟

هل توجد مثلثات إقليدية متساوية الساقين TC متساوي الساقين؟


دالتون & # 39s قانون الضغوط الجزئية

تخيل ما سيحدث ، غازات عند ضغط مختلف ولكن درجة الحرارة نفسها تضاف إلى الحاوية. سيزداد الضغط الإجمالي لأنه سيكون هناك المزيد من الاصطدامات بجدران الحاوية. يوجد الكثير من المساحة الفارغة في الحاوية بحيث يضرب كل نوع من جزيئات الغاز جدران الحاوية كما يحدث في كثير من الأحيان في الخليط كما يحدث عندما كان هناك نوع واحد فقط من الغاز. سيزداد الضغط الإجمالي كلما اصطدم عدد أكبر من جزيئات الغاز بجدران الحاوية ، لكن الضغط الناتج عن جزيئات الغاز الفردية يظل كما هو. وبالتالي ، فإن إجمالي عدد الاصطدامات مع الجدار في هذا الخليط يساوي مجموع الاصطدامات التي قد تحدث عندما يكون كل غاز موجودًا بمفرده. بعبارات أخرى،

الضغط الكلي لمزيج من الغازات يساوي مجموع الضغوط الجزئية للغازات الفردية.
P t = P 1 + P 2 + P 3 +. . . = + + +. P t = P 1 + P 2 + P 3 +. . .


شاهد الفيديو: تخلص من تراكم تجارب الماضي الدكتور إبراهيم الفقي (شهر نوفمبر 2021).