مقالات

9: المتتاليات والمتسلسلات ونظرية ذات الحدين


9: المتتاليات والمتسلسلات ونظرية ذات الحدين

9: المتتاليات والمتسلسلات ونظرية ذات الحدين

في هذا القسم الأخير من هذا الفصل سنلقي نظرة على تمثيل سلسلة أخرى لوظيفة ما. قبل أن نفعل ذلك ، دعونا أولاً نتذكر النظرية التالية.

نظرية ثنائية

إذا كان (n ) أي عدد صحيح موجب ،

هذا مفيد لتوسيع (< left ( right) ^ n> ) للكبير (n ) عندما يكون الضرب المباشر للأمام غير سهل. دعونا نلقي نظرة سريعة على مثال.

في الحقيقة ليس هناك الكثير لفعله بخلاف التوصيل بالنظرية.

الآن ، تتطلب نظرية ذات الحدين أن يكون (n ) عددًا صحيحًا موجبًا. هناك امتداد لذلك يسمح بأي رقم على الإطلاق.

سلسلة ذات الحدين

إذا كان (k ) عبارة عن أي رقم و ( left | x right | & lt 1 ) إذن ،

لذلك ، على غرار نظرية ذات الحدين باستثناء أنها سلسلة لا نهائية ويجب أن يكون لدينا ( left | x right | & lt 1 ) من أجل الحصول على التقارب.

دعونا نتحقق من مثال على ذلك.

لذلك ، في هذه الحالة (k = frac <1> <2> ) وسنحتاج إلى إعادة كتابة المصطلح قليلاً لوضعه بالشكل المطلوب.


سلسلة ذات الحدين

إذا α هو عدد صحيح غير سالب ن، ثم (ن + 2) الحد الثاني وجميع المصطلحات اللاحقة في السلسلة هي 0 ، حيث يحتوي كل منها على عامل (نن) وبالتالي في هذه الحالة تكون السلسلة محدودة وتعطي الصيغة الجبرية ذات الحدين.

البديل التالي ينطبق على التعقيد التعسفي β، ولكنها مفيدة بشكل خاص للتعامل مع الأس الصحيح السالب في (1):

لإثبات ذلك ، استبدل x = −ض في (1) وتطبيق هوية المعامل ذي الحدين

تعديل شروط التقارب

سواء، ما اذا (1) تعتمد على قيم الأعداد المركبة α و x. أكثر دقة:

  1. إذا كان |x| & lt 1 ، تتقارب السلسلة تمامًا لأي رقم مركب α.
  2. إذا كان |x| = 1 ، تتقارب السلسلة تمامًا إذا وفقط إذا كان أحدهما Re (α) & gt 0 أو α = 0 ، حيث Re (α) يشير إلى الجزء الحقيقي من α.
  3. إذا كان |x| = 1 و x ≠ −1 ، تتقارب السلسلة إذا وفقط إذا كان Re (α) & GT −1.
  4. إذا x = −1 ، تتقارب السلسلة إذا وفقط إذا كان أحدهما Re (α) & gt 0 أو α = 0 .
  5. إذا كان |x| & gt 1 ، تتباعد السلسلة ، إلا إذا كانت α عددًا صحيحًا غير سالب (في هذه الحالة تكون السلسلة مجموعًا محدودًا).
  • إذا إعادة (α) & GT 0 ، تتقارب السلسلة تمامًا.
  • إذا كان −1 & lt Re (α) ≤ 0 ، تتقارب السلسلة بشرطًا x ≠ −1 ويتباعد إذا x = −1 .
  • إذا إعادة (α) ≤ −1 ، تتباعد السلسلة.

الهويات المراد استخدامها في تحرير الإثبات

التعليق التالي لأي عدد مركب α:

هذا يعادل بشكل أساسي تعريف أويلر لوظيفة جاما:

ويعني على الفور الحدود الخشنة

لبعض الثوابت الموجبة م و م .

معادلة (2) لمعامل ذي الحدين المعمم يمكن إعادة كتابته كـ

تحرير الإثبات

لإثبات (i) و (v) ، قم بتطبيق اختبار النسبة واستخدام الصيغة (2) أعلاه لتوضيح أنه عندما لا تكون α < displaystyle alpha> عددًا صحيحًا غير سالب ، فإن نصف قطر التقارب هو بالضبط 1. الجزء (ii) يتبع من الصيغة (5) ، بالمقارنة مع ص-مسلسل

الحجة المعتادة لحساب مجموع السلسلة ذات الحدين هي كما يلي. التفريق بين المتسلسلات ذات الحدين داخل قرص التقارب |x| & lt 1 واستخدام الصيغة (1) ، أن مجموع السلسلة هو دالة تحليلية لحل المعادلة التفاضلية العادية (1 + x)ش'(x) = αu(x) مع البيانات الأولية ش(0) = 1. الحل الفريد لهذه المشكلة هو الوظيفة ش(x) = (1 + x) α ، وهو بالتالي مجموع المتسلسلة ذات الحدين ، على الأقل لـ |x| & lt 1. تمتد المساواة إلى |x| = 1 عندما تتقارب السلسلة ، كنتيجة لنظرية هابيل وباستمرار (1 + x) α .

النتائج الأولى المتعلقة بالسلسلة ذات الحدين بخلاف الأس الصحيح الموجب قدمها السير إسحاق نيوتن في دراسة المناطق المحاطة تحت منحنيات معينة. بنى جون واليس على هذا العمل من خلال النظر في تعبيرات النموذج ذ = (1 − x 2 ) م أين م هو كسر. وجد أن (مكتوبًا بمصطلحات حديثة) المعاملات المتتالية جك من (-x 2 ) ك يمكن إيجادها بضرب المعامل السابق في m - (k - 1) / k (كما في حالة الأسس الصحيحة) ، وبالتالي إعطاء صيغة لهذه المعاملات ضمنيًا. يكتب صراحة الحالات التالية [أ]

لذلك يُشار أحيانًا إلى السلسلة ذات الحدين باسم نظرية نيوتن ذات الحدين. لم يقدم نيوتن أي دليل ولم يكن صريحًا بشأن طبيعة المسلسل. في وقت لاحق ، في عام 1826 ، ناقش نيلز هنريك أبيل هذا الموضوع في ورقة نُشرت حول مجلة Crelle، والتعامل بشكل خاص مع مسائل التقارب. [2]


تتضمن حلول Samacheer Kalvi للرياضيات ، المجلد 1 و 2 ، الفصل 5 من لوحة ولاية تاميل نادو ، الفصل 5 (نظرية ذات الحدين ، المتواليات والمتسلسلات) جميع الأسئلة مع شرح الحل والتفصيل. سيؤدي ذلك إلى إزالة شكوك الطلاب حول أي سؤال وتحسين مهارات التطبيق أثناء التحضير لامتحانات المجلس. ستساعدك الحلول التفصيلية خطوة بخطوة على فهم المفاهيم بشكل أفضل وتوضيح ارتباكاتك ، إن وجدت. موقع Shaalaa.com لديه مجلس تاميل نادو لرياضيات التعليم الثانوي المجلد الأول والثاني ، حلول مجلس ولاية تاميل نادو الحادي عشر بطريقة تساعد الطلاب على فهم المفاهيم الأساسية بشكل أفضل وأسرع.

علاوة على ذلك ، نحن في موقع Shaalaa.com نقدم مثل هذه الحلول حتى يتمكن الطلاب من الاستعداد للامتحانات الكتابية. يمكن أن تكون حلول الكتب المدرسية Samacheer Kalvi مساعدة أساسية للدراسة الذاتية وتعمل كدليل مثالي للمساعدة الذاتية للطلاب.

المفاهيم التي تم تناولها في مجلد الرياضيات 1 و 2 ، الفصل 11 ، لوحة ولاية تاميل نادو ، الفصل 5 ، نظرية ذات الحدين ، المتتاليات والمتسلسلات هي متسلسلات محدودة ، متتابعات وسلسلة لانهائية ، مقدمة لنظرية ذات الحدين ، متواليات ومتسلسلات ، نظرية ذات الحدين ، حالات معينة لنظرية ذات الحدين ، محدودة المتتاليات.

يعد استخدام حلول Samacheer Kalvi Class 11th Theorem ، التسلسل والتسلسل من قبل الطلاب طريقة سهلة للتحضير للامتحانات ، لأنها تتضمن حلولًا مرتبة حسب الفصل أيضًا. الأسئلة المتضمنة في Samacheer Kalvi Solutions هي أسئلة مهمة يمكن طرحها في الاختبار النهائي. يفضل طلاب الحد الأقصى من مجلس تاميل نادو للتعليم الثانوي الصف 11th Samacheer Kalvi Textbook Solutions للحصول على درجات أكثر في الامتحان.


9.6 نظرية ذات الحدين

تسمى كثيرة الحدود ذات المصطلحين بالحدين. لقد تعلمنا بالفعل مضاعفة القيم ذات الحدين ورفع القيم ذات الحدين إلى قوى ، لكن رفع الحدين إلى قوة عالية يمكن أن يكون مملاً ويستغرق وقتًا طويلاً. في هذا القسم ، سنناقش الاختصار الذي سيتيح لنا إيجاد (x + y) n (x + y) n دون ضرب ذات الحدين في نفسه n n مرة.

تحديد المعاملات ذات الحدين

المعاملات ذات الحدين

هل المعامل ذي الحدين دائمًا عدد صحيح؟

نعم. مثلما يجب أن يكون عدد التركيبات دائمًا عددًا صحيحًا ، فإن المعامل ذي الحدين سيكون دائمًا عددًا صحيحًا.

مثال 1

إيجاد معاملات ذات الحدين

أوجد كل معامل ذي حدين.

حل

استخدم الصيغة لحساب كل معامل ذي حدين. يمكنك أيضًا استخدام الدالة n C r n C r على الآلة الحاسبة.

تحليل

لاحظ أننا حصلنا على نفس النتيجة للجزء (ب) و (ج). إذا نظرت عن كثب إلى حل هذين الجزأين ، فسترى أنك تحصل في النهاية على نفس العاملين في المقام ، لكن الترتيب معكوس ، تمامًا كما هو الحال مع المجموعات.

أوجد كل معامل ذي حدين.

باستخدام نظرية ذات الحدين

أولاً ، دعونا نفحص الأسس. مع كل حد متتالي ، يتناقص الأس x x ويزداد الأس y y. مجموع الأسين هو n n لكل حد.

بعد ذلك ، دعنا نفحص المعاملات. لاحظ أن المعاملات تزداد ثم تنخفض في نمط متماثل. المعاملات تتبع نمطًا:

هذه الأنماط تقودنا إلى نظرية ثنائية، والتي يمكن استخدامها لتوسيع أي ذي الحدين.

هناك طريقة أخرى لمعرفة المعامِلات وهي فحص توسيع ذات الحدين بشكل عام ، x + y ، x + y ، إلى قوى متتالية 1 و 2 و 3 و 4.

هل يمكنك تخمين التوسع التالي للحدين (x + y) 5؟ (س + ص) 5؟

انظر الشكل 1 الذي يوضح ما يلي:

سيكون التوسع القادم

لكن من أين تأتي هذه المعاملات؟ المعاملات ذات الحدين متماثلة. يمكننا أن نرى هذه المعاملات في مصفوفة تعرف باسم مثلث باسكال ، كما هو موضح في الشكل 2.

لإنشاء مثلث باسكال ، نبدأ بكتابة 1. في الصف أدناه ، الصف 2 ، نكتب اثنين من 1. في الصف الثالث ، قم بإحاطة نهايات الصفوف ذات الرقم 1 ، وأضف 1 + 1 1 + 1 للعثور على الرقم الأوسط ، 2. في الصف n th n th ، قم بإحاطة نهايات الصف بـ 1. كل عنصر في المثلث هو مجموع العنصرين الموجودين فوقه مباشرة.

لمعرفة العلاقة بين مثلث باسكال والمعاملات ذات الحدين ، دعونا نعيد النظر في توسيع ذات الحدين بشكل عام.

نظرية ذات الحدين

نظرية ذات الحدين هي صيغة يمكن استخدامها لتوسيع أي ذي الحدين.

كيف

بالنظر إلى ذات الحدين ، اكتبها بصيغة موسعة.

مثال 2

توسيع ذات الحدين

حل

تحليل

استخدام نظرية ذات الحدين لإيجاد حد مفرد

يمكن أن تكون عملية توسيع ذات الحدين ذات الأس المرتفع مثل (x + 2 y) 16 (x + 2 y) 16 عملية طويلة.

في بعض الأحيان نحن مهتمون فقط بمصطلح معين للتوسيع ذي الحدين. لا نحتاج إلى توسيع ذات الحدين بالكامل للعثور على مصطلح واحد محدد.

لاحظ نمط المعامِلات في مفكوك (x + y) 5. (س + ص) 5.

الحد (r + 1) للتوسع ذي الحدين

كيف

بالنظر إلى ذات الحدين ، اكتب مصطلحًا محددًا دون توسيعه بالكامل.

مثال 3

كتابة مصطلح معين للتوسع ذي الحدين

حل

نظرًا لأننا نبحث عن الحد العاشر ، r + 1 = 10 ، r + 1 = 10 ، سنستخدم r = 9 r = 9 في حساباتنا.

وسائط

قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية مع التوسيع ذي الحدين.

9.6 تمارين القسم

شفهي

ما هو المعامل ذي الحدين ، وكيف يتم حسابه؟

ما هو الدور الذي تلعبه المعاملات ذات الحدين في التوسع ذي الحدين؟ هل هم مقيدون بأي نوع من الأرقام؟

ما هي نظرية ذات الحدين وما هو استخدامها؟

متى تكون ميزة استخدام نظرية ذات الحدين؟ يشرح.

جبري

بالنسبة للتمارين التالية ، قم بتقييم معامل ذات الحدين.

بالنسبة للتدريبات التالية ، استخدم نظرية ذات الحدين لتوسيع كل ذي حدين.

بالنسبة للتمارين التالية ، استخدم نظرية ذات الحدين لكتابة أول ثلاثة حدود من كل ذي حدين.

بالنسبة للتدريبات التالية ، ابحث عن المصطلح المحدد لكل ذي حدين دون توسيع ذات الحدين بالكامل.

الحد الرابع (2 x - 3 y) 4 (2 x - 3 y) 4

الحد الرابع (3 x - 2 y) 5 (3 x - 2 y) 5

الحد الثالث لـ (6 x - 3 y) 7 (6 x - 3 y) 7

الحد الثامن (7 + 5 ص) 14 (7 + 5 ص) 14

الحد السابع من (أ + ب) 11 (أ + ب) 11

الحد الخامس من (x - y) 7 (x - y) 7

الحد العاشر لـ (x - 1) 12 (x - 1) 12

الحد التاسع لـ (أ - 3 ب 2) 11 (أ - 3 ب 2) 11

الحد الرابع (x 3-1 2) 10 (x 3-1 2) 10

الحد الثامن لـ (y 2 + 2 x) 9 (y 2 + 2 x) 9

رسومية

للتدريبات التالية ، استخدم نظرية ذات الحدين لتوسيع ذات الحدين f (x) = (x + 3) 4. و (س) = (س + 3) 4. ثم ابحث عن كل مجموع محدد ورسمه على مجموعة واحدة من المحاور.

ملحقات

(n k & # 8722 1) + (n k) = (n + 1 k) & # 8201 برهان:

& # 8201 & # 8201 & # 8201 & # 8201 & # 8201 (n k & # 8722 1) + (n k) = n! ك ! (ن & # 8722 ك)! + ن! (ك & # 8722 1)! (n & # 8722 (k & # 8722 1))! = ن! ك ! (ن & # 8722 ك)! + ن! (ك & # 8722 1)! (n & # 8722 k + 1)! = (n & # 8722 k + 1) n! (ن & # 8722 ك + 1) ك! (ن & # 8722 ك)! + ك ن! ك (ك & # 8722 1)! (n & # 8722 k + 1)! = (n & # 8722 k + 1) n! + ك ن! ك ! (n & # 8722 k + 1)! = (ن + 1) ن! ك ! ((ن + 1) & # 8722 ك)! = (ن + 1)! ك ! ((ن + 1) & # 8722 ك)! = (ن + 1 ك)

أي تعبير لا يمكن توسيعه باستخدام نظرية ذات الحدين؟ يشرح.

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
    • المؤلفون: جاي أبرامسون
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • عنوان الكتاب: College Algebra
    • تاريخ النشر: 13 فبراير 2015
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/college-algebra/pages/1-introduction-to-prerequisites
    • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/college-algebra/pages/9-6-binomial-theorem

    © 12 كانون الثاني (يناير) 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    هل هذه مجرد نسخة من نظرية ذات الحدين؟

    لقد طرحت سؤالًا متعلقًا به ووجدت شيئًا مثيرًا للاهتمام (على الأقل هذا ما أعتقده).

    هنا رابط السؤال الأصلي:
    ما هو نمط هذا التسلسل؟

    لقد مررت بتسلسل كان علي أن أجد فيه المصطلح الخطأ والآن أعتقد أن التسلسل الصحيح له هو التالي.

    $ 0، 1، a + b، a ^ 2 + b ^ 2 + frac32 ab، a ^ 3 + b ^ 3 + 2ab (a + b). $

    من خلال الإجابات التي حصلت عليها ، إذا قمت بتمثيل الحد في التسلسل أعلاه بواسطة k وموضعه عند n ، إذن

    N أكبر من 0 تمامًا.

    أعتقد أن العلاقة مثيرة بعض الشيء ، لكنني أعتقد أيضًا أنها مرتبطة بنظرية ذات الحدين وكل هذه العلاقة هي غباء خالص. هو كذلك؟

    هل إذا أخذت أي حد من المتسلسلة وجعلت المعادلة مستقلة عن k (لا أعرف كيف) ، فهل أحصل على نظرية ذات الحدين؟

    أم أنها مجرد مصادفة أن جميع شروط المتسلسلة تقريبًا تشبه بعض قوى $ a + b $؟

    إذا كنت لا تزال لا تحصل على السؤال ، فأنا أسأل فقط لماذا تشبه السلسلة $ 0 ، (a + b) ^ 0 ، (a + b) ^ 1 ،. $


    التحميل الان!

    لقد سهلنا عليك العثور على كتب إلكترونية بتنسيق PDF دون أي حفر. ومن خلال الوصول إلى كتبنا الإلكترونية عبر الإنترنت أو عن طريق تخزينها على جهاز الكمبيوتر الخاص بك ، يكون لديك إجابات مريحة مع سلسلة تسلسل الفصل 8 ونظرية ذات الحدين. للبدء في العثور على متواليات الفصل الثامن ونظرية ذات الحدين ، فأنت محق في العثور على موقعنا الإلكتروني الذي يحتوي على مجموعة شاملة من الأدلة المدرجة.
    مكتبتنا هي الأكبر من بين هذه المكتبات التي تحتوي على مئات الآلاف من المنتجات المختلفة الممثلة.

    أخيرًا حصلت على هذا الكتاب الإلكتروني ، شكرًا على كل سلسلة سلاسل الفصل 8 هذه ونظرية ذات الحدين التي يمكنني الحصول عليها الآن!

    لم أكن أعتقد أن هذا سيعمل ، أظهر لي أفضل أصدقائي هذا الموقع ، وهو يعمل! أحصل على الكتاب الإلكتروني المطلوب

    wtf هذا الكتاب الاليكترونى الرائع مجانا ؟!

    أصدقائي غاضبون جدًا لدرجة أنهم لا يعرفون كيف أمتلك كل الكتب الإلكترونية عالية الجودة التي لا يعرفون عنها!

    من السهل جدًا الحصول على كتب إلكترونية عالية الجودة)

    الكثير من المواقع المزيفة. هذا هو أول واحد نجح! شكرا جزيلا

    wtffff أنا لا أفهم هذا!

    ما عليك سوى اختيار النقر ثم زر التنزيل ، وإكمال العرض لبدء تنزيل الكتاب الإلكتروني. إذا كان هناك استبيان يستغرق 5 دقائق فقط ، فجرب أي استطلاع يناسبك.


    التحميل الان!

    لقد سهلنا عليك العثور على كتب إلكترونية بتنسيق PDF دون أي حفر. ومن خلال الوصول إلى كتبنا الإلكترونية عبر الإنترنت أو عن طريق تخزينها على جهاز الكمبيوتر الخاص بك ، يكون لديك إجابات مريحة مع سلسلة تسلسل الفصل 8 ونظرية ذات الحدين. للبدء في العثور على متواليات الفصل الثامن ونظرية ذات الحدين ، فأنت محق في العثور على موقعنا الإلكتروني الذي يحتوي على مجموعة شاملة من الأدلة المدرجة.
    مكتبتنا هي الأكبر من بين هذه المكتبات التي تحتوي على مئات الآلاف من المنتجات المختلفة الممثلة.

    أخيرًا حصلت على هذا الكتاب الإلكتروني ، شكرًا على كل سلسلة سلاسل الفصل 8 هذه ونظرية ذات الحدين التي يمكنني الحصول عليها الآن!

    لم أكن أعتقد أن هذا سيعمل ، أظهر لي أفضل أصدقائي هذا الموقع ، وهو يعمل! أحصل على الكتاب الإلكتروني المطلوب

    wtf هذا الكتاب الاليكترونى الرائع مجانا ؟!

    أصدقائي غاضبون جدًا لدرجة أنهم لا يعرفون كيف أمتلك كل الكتب الإلكترونية عالية الجودة التي لا يعرفون عنها!

    من السهل جدًا الحصول على كتب إلكترونية عالية الجودة)

    الكثير من المواقع المزيفة. هذا هو أول واحد نجح! شكرا جزيلا

    wtffff أنا لا أفهم هذا!

    ما عليك سوى اختيار النقر ثم زر التنزيل ، وإكمال العرض لبدء تنزيل الكتاب الإلكتروني. إذا كان هناك استبيان يستغرق 5 دقائق فقط ، فجرب أي استطلاع يناسبك.


    التحميل الان!

    لقد سهلنا عليك العثور على كتب إلكترونية بتنسيق PDF دون أي حفر. ومن خلال الوصول إلى كتبنا الإلكترونية عبر الإنترنت أو عن طريق تخزينها على جهاز الكمبيوتر الخاص بك ، يكون لديك إجابات مناسبة مع الفصل الثامن من سلسلة التسلسلات ونظرية ذات الحدين. للبدء في العثور على متواليات الفصل الثامن ونظرية ذات الحدين ، فأنت محق في العثور على موقعنا الإلكتروني الذي يحتوي على مجموعة شاملة من الأدلة المدرجة.
    مكتبتنا هي الأكبر من بين هذه المكتبات التي تحتوي على مئات الآلاف من المنتجات المختلفة الممثلة.

    أخيرًا حصلت على هذا الكتاب الإلكتروني ، شكرًا على كل سلسلة سلاسل الفصل 8 هذه ونظرية ذات الحدين التي يمكنني الحصول عليها الآن!

    لم أكن أعتقد أن هذا سيعمل ، أظهر لي أفضل أصدقائي هذا الموقع ، وهو يعمل! أحصل على الكتاب الإلكتروني المطلوب

    wtf هذا الكتاب الاليكترونى الرائع مجانا ؟!

    أصدقائي غاضبون جدًا لدرجة أنهم لا يعرفون كيف أمتلك كل الكتب الإلكترونية عالية الجودة التي لا يعرفون عنها!

    من السهل جدًا الحصول على كتب إلكترونية عالية الجودة)

    الكثير من المواقع المزيفة. هذا هو أول واحد نجح! شكرا جزيلا

    wtffff أنا لا أفهم هذا!

    ما عليك سوى اختيار النقر ثم زر التنزيل ، وإكمال العرض لبدء تنزيل الكتاب الإلكتروني. إذا كان هناك استبيان يستغرق 5 دقائق فقط ، فجرب أي استطلاع يناسبك.


    التحميل الان!

    لقد سهلنا عليك العثور على كتب إلكترونية بتنسيق PDF دون أي حفر. ومن خلال الوصول إلى كتبنا الإلكترونية عبر الإنترنت أو عن طريق تخزينها على جهاز الكمبيوتر الخاص بك ، يكون لديك إجابات مريحة مع سلسلة تسلسل الفصل 8 ونظرية ذات الحدين. للبدء في العثور على متواليات الفصل الثامن ونظرية ذات الحدين ، فأنت محق في العثور على موقعنا الإلكتروني الذي يحتوي على مجموعة شاملة من الأدلة المدرجة.
    مكتبتنا هي الأكبر من بين هذه المكتبات التي تحتوي على مئات الآلاف من المنتجات المختلفة الممثلة.

    أخيرًا حصلت على هذا الكتاب الإلكتروني ، شكرًا على كل سلسلة سلاسل الفصل 8 هذه ونظرية ذات الحدين التي يمكنني الحصول عليها الآن!

    لم أكن أعتقد أن هذا سيعمل ، أظهر لي أفضل أصدقائي هذا الموقع ، وهو يعمل! أحصل على الكتاب الإلكتروني المطلوب

    wtf هذا الكتاب الاليكترونى الرائع مجانا ؟!

    أصدقائي غاضبون جدًا لدرجة أنهم لا يعرفون كيف أمتلك كل الكتب الإلكترونية عالية الجودة التي لا يعرفون عنها!

    من السهل جدًا الحصول على كتب إلكترونية عالية الجودة)

    الكثير من المواقع المزيفة. هذا هو أول واحد نجح! شكرا جزيلا

    wtffff أنا لا أفهم هذا!

    ما عليك سوى اختيار النقر ثم زر التنزيل ، وإكمال العرض لبدء تنزيل الكتاب الإلكتروني. إذا كان هناك استبيان يستغرق 5 دقائق فقط ، فجرب أي استطلاع يناسبك.


    التحميل الان!

    لقد سهلنا عليك العثور على كتب إلكترونية بتنسيق PDF دون أي حفر. ومن خلال الوصول إلى كتبنا الإلكترونية عبر الإنترنت أو عن طريق تخزينها على جهاز الكمبيوتر الخاص بك ، يكون لديك إجابات مريحة مع سلسلة تسلسل الفصل 8 ونظرية ذات الحدين. للبدء في العثور على متواليات الفصل الثامن ونظرية ذات الحدين ، فأنت محق في العثور على موقعنا الإلكتروني الذي يحتوي على مجموعة شاملة من الأدلة المدرجة.
    مكتبتنا هي الأكبر من بين هذه المكتبات التي تحتوي على مئات الآلاف من المنتجات المختلفة الممثلة.

    أخيرًا حصلت على هذا الكتاب الإلكتروني ، شكرًا على كل سلسلة سلاسل الفصل 8 هذه ونظرية ذات الحدين التي يمكنني الحصول عليها الآن!

    لم أكن أعتقد أن هذا سيعمل ، أظهر لي أفضل أصدقائي هذا الموقع ، وهو يعمل! أحصل على الكتاب الإلكتروني المطلوب

    wtf هذا الكتاب الاليكترونى الرائع مجانا ؟!

    أصدقائي غاضبون جدًا لدرجة أنهم لا يعرفون كيف أمتلك كل الكتب الإلكترونية عالية الجودة التي لا يعرفون عنها!

    من السهل جدًا الحصول على كتب إلكترونية عالية الجودة)

    الكثير من المواقع المزيفة. هذا هو أول واحد نجح! شكرا جزيلا

    wtffff أنا لا أفهم هذا!

    ما عليك سوى اختيار النقر ثم زر التنزيل ، وإكمال العرض لبدء تنزيل الكتاب الإلكتروني. إذا كان هناك استبيان يستغرق 5 دقائق فقط ، فجرب أي استطلاع يناسبك.


    شاهد الفيديو: استخدام الآله الحاسبه في ايجاد المجموع للمتسلسلات سيجما اعداد:رغد طارق (ديسمبر 2021).