مقالات

9.1: أقطاب وأصفار


نذكرك بالمصطلحات التالية: لنفترض أن (f (z) ) تحليلي في (z_0 ) و

[f (z) = a_n (z - z_0) ^ n + a_ {n + 1} (z - z_0) ^ {n + 1} + ...، ]

مع (a_n ne 0 ). ثم نقول (f ) له صفر ترتيب (n ) في (z_0 ). إذا كان (n = 1 ) نقول (z_0 ) هو صفر بسيط.

افترض أن (f ) يحتوي على ملف صفة العزلة في (z_0 ) وسلسلة لوران

[f (z) = dfrac {b_n} {(z - z_0) ^ n} + dfrac {b_ {n - 1}} {(z - z_0) ^ {n - 1}} + ... + dfrac {b_1} {z - z_0} + a_0 + a_1 (z - z_0) + ... ]

الذي يتقارب في (0 <| z - z_0 |

هناك العديد من الأمثلة في ملاحظات الموضوع 8. هنا واحد آخر

مثال ( PageIndex {1} )

[f (z) = dfrac {z + 1} {z ^ 3 (z ^ 2 + 1)} nonumber ]

لديه تفردات معزولة في (z = 0 ) ، ( pm i ) وصفر في (z = -1 ). سوف نظهر أن (z = 0 ) هو قطب الطلب 3 ، (z = pm i ) أعمدة الأمر 1 و (z = -1 ) هو صفر من الترتيب 1. النمط من الحجة هو نفسه في كل حالة.

عند (ض = 0 ):

[f (z) = dfrac {1} {z ^ 3} cdot dfrac {z + 1} {z ^ 2 + 1}. لا يوجد رقم]

استدع العامل الثاني (g (z) ). نظرًا لأن (g (z) ) تحليلي في (z = 0 ) و (g (0) = 1 ) ، فإنه يحتوي على سلسلة تايلور

[g (z) = dfrac {z + 1} {z ^ 2 + 1} = 1 + a_1 z + a_2 z ^ 2 + ... nonumber ]

لذلك

[f (z) = dfrac {1} {z ^ 3} + dfrac {a_1} {z ^ 2} + dfrac {a_2} {z} + ... nonumber ]

هذا يظهر (z = 0 ) هو قطب الطلب 3.

عند (z = i ): (f (z) = dfrac {1} {z - i} cdot dfrac {z + 1} {z ^ 3 (z + i)} ). استدع العامل الثاني (g (z) ). نظرًا لأن (g (z) ) تحليلي في (z = i ) ، فإنه يحتوي على سلسلة تايلور

[g (z) = dfrac {z + 1} {z ^ 3 (z + i)} = a_0 + a_1 (z - i) + a_2 (z - i) ^ 2 + ... nonumber ]

حيث (a_0 = g (i) ne 0 ). لذلك،

[f (z) = dfrac {a_0} {z - i} + a_1 + a_2 (z - i) + ... nonumber ]

هذا يظهر (z = i ) هو قطب الطلب 1.

تتشابه وسائط (z = -i ) و (z = -1 ).


9.1: أقطاب وأصفار

    يمكن اعتباره قسم مرشح بصفر متبوعًا على التوالي بقسم مرشح ثنائي القطب.

إنها خاصية مفيدة جدًا للتنفيذ المباشر للشكل الأول بحيث لا يمكنها تجاوز داخليًا في حساب النقطة الثابتة التكميلي للاثنين: طالما أن إشارة الخرج في النطاق ، فسيكون المرشح خاليًا من الفائض العددي. لا تحتوي معظم تطبيقات عامل التصفية IIR على هذه الخاصية. في حين أن DF-I محصن ضد الفائض الداخلي ، لا ينبغي أن نستنتج أنه دائمًا أفضل خيار للتنفيذ. تتضمن الأشكال الأخرى التي يجب مراعاتها أقسام الدرجة الثانية المتوازية والمتسلسلة (& # 1679.2 أدناه) ، وأشكال السلم الطبيعية [32،48،86]. 10.2 أيضًا ، سنرى أن الشكل المباشر المنقول II (الشكل 9.4 أدناه) هو منافس قوي أيضًا.

تكملة ثنائية التفاف حول

في هذا القسم ، نقدم مثالاً يوضح كيف أن الفائض المؤقت في النقطة الثابتة التكميلية لا يسبب أي آثار سيئة.

في العمليات الحسابية ذات النقاط الثابتة المكونة من 3 بتات ، تظهر الأرقام المتاحة كما هو موضح في الجدول 9.1.

دعونا نجري المجموع ، مما يعطي فائضًا مؤقتًا (، والذي يلتف حول ) ، ولكن نتيجة نهائية () في النطاق المسموح به : 10.3


الآن دعنا نفعل في مكمل ثلاثي بت اثنين:


في كلا المثالين ، تجاوزت النتيجة الوسيطة ، لكن النتيجة النهائية صحيحة. هناك طريقة أخرى لتوضيح ما حدث وهي أن الالتفاف الموجب في الإضافة الأولى يتم إلغاؤه بواسطة التفاف سلبي في الإضافة الثانية.


عمود التمديد التلسكوبي المرجاني التحمل مع أحدث قفل فليب كام 0.9-1.8 متر / 3-6 قدم

هل تحتاج إلى عمود تمديد لتمديد قوي وموثوق للأدوات عند العمل في مناطق يصعب الوصول إليها؟ يعتبر عمود التمديد من Coral Endurance 0.9-1.8m خيارًا أسهل مع آلية قفل احتكاك قوية تسمح بالقفل في أي موضع (ليس فقط في الزيادات المرحلية مثل الأعمدة القديمة!) وآلية تلسكوبية تشبه الحرير. ستحصل على قفل موثوق به وتغييرات سريعة في الطول ، بسبب آلية القفل الإيجابية السلسة. نتيجة لذلك ، ستضمن وجود عمود قوي مع قفل آمن! تم إنتاجه بإطار مقوى بالألياف الزجاجية مع مقابض إسفنجية مانعة للانزلاق ، وأقفال قوية للقلب كام ، وطرف مسنن من ACME مقاس 3/4 بوصة مع محول مضمن لمقابض قابلة للضغط. ستحصل على 0.9-1.8 م (تقريبًا) . 3-6 قدم) عمود التمديد. لا تكن بدون عمود التمديد شديد التحمل في مشروعك التالي الذي يعمل على طول الطول.

اسم العنصر: المرجان التحمل 0.9 - 1.8 م عمود التمديد
رقم الشيء: 76702
الرمز الشريطي للمادة: 5053521767025
كمية العبوة الداخلية: 0
الرمز الشريطي للحزمة الداخلية: 15053521767022
كمية العبوة الخارجية: 10
الباركود الخارجي للعلبة: 25053521767029

باستثناء الأخطاء والسهو (E & ampOE). قد تحتوي عبوة المنتج والمواد على معلومات أكثر و / أو مختلفة من موقع الويب ، بما في ذلك وصف المنتج ومعلومات أخرى. اقرأ دائمًا الملصقات والتحذيرات والتوجيهات والمعلومات الأخرى المتوفرة مع المنتج قبل استخدام المنتج. جميع القياسات تقريبية. قد تختلف الألوان.

نظرًا لتنوع العوامل التي يمكن أن تؤثر على استخدام المنتج وأدائه ، فإن المستخدم هو المسؤول الوحيد عن تقييم المنتج وتحديد ما إذا كان مناسبًا لغرض معين ومناسب لطريقة تطبيق المستخدم.


كورال شورجلايد عمود تمديد تلسكوبي مع أحدث قفل فليب كام 0.9-1.8 متر / 3-6 قدم

إذا كنت تبحث عن عمود تمديد ، فإن عمود التمديد Coral Shurglide 0.9-1.8m سيكون خيارًا أسهل إذا كنت بحاجة إلى آلية تلسكوبية تشبه الحرير وتقدر آلية قفل احتكاك قوية تسمح بالقفل في أي موضع (ليس فقط في مرحلة الزيادات مثل الأعمدة القديمة!). إذا كنت تريد أن تتأكد من وجود عمود قوي بقفل آمن ، فإن آلية القفل الإيجابية السلسة ستوفر قفلًا موثوقًا به وتغييرات سريعة في الطول. تم إنتاجه باستخدام ساق ألونيوم مؤكسدة خفيفة الوزن وقوية ومقاومة للصدأ مع مقابض إسفنجية مانعة للانزلاق وأقفال متينة وقابلة للطي وطرف مسنن من ACME مقاس 3/4 بوصة مع محول مضمن لمقابض مناسبة للضغط. احصل على عمود تمديد 0.9-1.8 م (حوالي 3-6 قدم). لا تكن بدون عمود التمديد خفيف الوزن هذا في مشروعك التالي الذي يعمل على طول الطول. أضف إلى عربة التسوق.

اسم العنصر: كورال شورجلايد 0.9 - 1.8 م عمود تمديد
رقم الشيء: 76502
الرمز الشريطي للمادة: 5053521765021
كمية العبوة الداخلية: 0
الرمز الشريطي للحزمة الداخلية: 15053521765028
كمية العبوة الخارجية: 10
الباركود الخارجي للعلبة: 25053521765025

باستثناء الأخطاء والسهو (E & ampOE). قد تحتوي عبوة المنتج والمواد على معلومات أكثر و / أو مختلفة من موقع الويب ، بما في ذلك وصف المنتج ومعلومات أخرى. اقرأ دائمًا الملصقات والتحذيرات والتوجيهات والمعلومات الأخرى المتوفرة مع المنتج قبل استخدام المنتج. جميع القياسات تقريبية. قد تختلف الألوان.

نظرًا لتنوع العوامل التي يمكن أن تؤثر على استخدام المنتج وأدائه ، فإن المستخدم هو المسؤول الوحيد عن تقييم المنتج وتحديد ما إذا كان مناسبًا لغرض معين ومناسب لطريقة تطبيق المستخدم.


حجج الإخراج

B ، a & # 8212 معاملات دالة النقل نواقل الصف

معاملات دالة النقل للمرشح ، تُعاد كمتجهات صف بطول n + 1 لمرشحات التمرير المنخفض والمرتفع و 2 n + 1 لمرشحات النطاق الترددي ومرشحات النطاق الترددي.

بالنسبة إلى المرشحات الرقمية ، يتم التعبير عن وظيفة النقل بدلالة b و a as

H (z) = B (z) A (z) = b (1) + b (2) z - 1 + & # x22EF + b (n + 1) z - na (1) + a (2) z - 1 + & # x22EF + a (n + 1) z - n.

بالنسبة إلى المرشحات التناظرية ، يتم التعبير عن وظيفة النقل بدلالة b و a as

H (s) = B (s) A (s) = b (1) sn + b (2) sn - 1 + & # x22EF + b (n + 1) a (1) sn + a (2) sn - 1 + & # x22EF + a (n + 1).

أنواع البيانات: مزدوج

Z، p، k & # 8212 أصفار وأعمدة وكسب نواقل العمود ، العددية

يتم إرجاع الأصفار والأعمدة وكسب المرشح كمتجهين عموديين بطول n (2 n لتصاميم ممر النطاق وتوقف النطاق) وعدد قياسي.

بالنسبة للفلاتر الرقمية ، يتم التعبير عن وظيفة النقل من حيث z و p و k as

H (z) = k (1 - z (1) z - 1) (1 - z (2) z - 1) & # x22EF (1 - z (n) z - 1) (1 - p (1) z - 1) (1 - p (2) z - 1) & # x22EF (1 - p (n) z - 1).

بالنسبة إلى المرشحات التناظرية ، يتم التعبير عن وظيفة النقل بدلالة z و p و k as

H (s) = k (s - z (1)) (s - z (2)) & # x22EF (s - z (n)) (s - p (1)) (s - p (2)) & # x22EF (s - p (n)).

أنواع البيانات: مزدوج

A ، B ، C ، D & # 8212 مصفوفات فضاء الدولة المصفوفات

تمثيل فضاء الحالة للمرشح ، يتم إرجاعه كمصفوفات. إذا م = n للتصميمات المنخفضة والمرتفعة و م = 2 n لمرشحات النطاق الترددي ومرشحات النطاق الترددي ، ثم A هو م × م، ب هو م × 1 ، C تساوي 1 × م، و D تساوي 1 × 1.

بالنسبة إلى المرشحات الرقمية ، ترتبط مصفوفات فضاء الحالة بمتجه الحالة x، المدخل شو الإخراج ذ عبر

س (ك + 1) = أ س (ك) + ب u (ك) ص (ك) = ج س (ك) + د ش (ك).

بالنسبة إلى المرشحات التناظرية ، ترتبط مصفوفات فضاء الحالة بمتجه الحالة x، المدخل شو الإخراج ذ عبر

أنواع البيانات: مزدوج


9.6 نظرية ميلر

في هذه المرحلة ، سنأخذ تحويلًا لمناقشة نظرية ميلر. على الرغم من أن الأساليب التي استخدمناها حتى هذه النقطة عامة تمامًا ، إلا أن هناك تكوينات معينة يمكن تحليلها ببساطة بواسطة نظرية ميلر. تنص نظرية ميلر على أنه في الدائرة الخطية ، إذا كان هناك فرع حيث المعاوقة Z ، فإنها تربط عقدتين بجهد عقدة V 1و V. 2، يمكن استبدال هذا الفرع بفرعين آخرين يربطون العقد المقابلة بالأرض بممانعات على التوالي Z / (1-K) و KZ / (K -1) ، حيث يكون الكسب من العقدة 1 إلى العقدة 2 هو K = V 2 / الخامس 1.

الشكل 9.6.1 نظرية ميلر

في هذه المرحلة سوف ننتقل من خلال الخطوات التي توضح كيفية وصول ممانعات Miller. يمكننا استخدام تقنية الشبكة ذات المنفذين المكافئة لاستبدال المنفذين الموضح في الشكل 9.6.1 (أ) بما يعادله في الشكل 9.6.2.

استبدال مصادر الجهد في الشكل 9.6.2 بمصادرها الحالية المكافئة لـ Norton نحصل على الشكل 9.6.3.

باستخدام نظرية امتصاص المصدر (انظر الملحق في نهاية هذا الفصل) ، نحصل على الشكل 9.6.4.

وهو ما يعطينا الشكل 9.6.5 (وهو الشكل 9.6.1 (ب)) عندما نجمع الممانعتين بالتوازي.


التقارير

1. (محدث 10/29/2020) تقرير التقييم الناتج من شاشة الشخص والنشاط يفتقد إلى البيانات

قضية: يحتوي تقرير التقييم الذي تم إنشاؤه من شاشة "الشخص والنشاط" على بيانات أقل من نفس التقرير الذي تم إنشاؤه من علامة التبويب "طباعة" في شاشة "التقييم". ورسالة خطأ تفيد بأن "معلمة التقرير لم يتم إنشاؤها بعد. يرجى الانتظار لبعض الوقت والمحاولة مرة أخرى ". يمكن عرضه عندما يقوم المستخدم بالنقر فوق الزر "Assmt Rpt" في شاشة الشخص والأنشطة.

الحل: يجب عليك فقط إنشاء تقرير التقييم من علامة التبويب طباعة داخل التقييم.

2. صعوبة طباعة بعض التقارير بسبب مشكلة Microsoft Silverlight

قضية: عندما يحاول المستخدمون إنشاء تقارير ، يقوم Silverlight أحيانًا بتحويل التقارير إلى صور ، والتي يمكن أن تستخدم بيانات أكثر بكثير من التنسيقات الأخرى. تتسبب ملفات البيانات الكبيرة في حدوث مشكلات للطابعات ، اعتمادًا على ما يحدث على النظام والشبكة في اللحظة التي يتم فيها إرسال مهمة طباعة. نتيجة لذلك ، لا تتم طباعة التقارير بشكل صحيح باستمرار.

الحل 1: انتظر حوالي 5 دقائق قبل طباعة تقرير. أعد تشغيل النظام إذا استمرت المشكلة.

الحل 2: اضبط الطابعة / آلة النسخ كطابعة IP محلية.

الحل 3: قم بتوصيل الكمبيوتر بالطابعة مباشرة.

الحل 4: زيادة مساحة الذاكرة:


إذا كنت تريد ترميز تطبيقك الخاص الذي يرسم استجابة الحجم ، فأنت بحاجة أولاً إلى استخراج الأعمدة والأصفار من وظيفة النقل في المجال $ Z $. يمكن أن تكون العملية التالية إما تحليلية أو رسومية. سأحاول تغطية كليهما ، بدءًا من النهج التحليلي ، ثم الرسم البياني.

استخراج الأعمدة والأصفار

أخذ معادلة المجال الزمني الخاص بك. : $ y [n] = 0.0976⋅x [n] + 0.1952⋅x [n − 1] + 0.0976⋅x [n − 2] + 0.9429⋅y [n − 1] −0.3334⋅y [n − 2] $ وظيفة النقل في المجال Z هي $ H (z) = frac= frac <0.0976 + 0.1952z ^ <-1> + 0.0976z ^ <-2>> <1-0.9429z ^ <-1> + 0.3334z ^ <-2>> = frac <0.0976 (1 + 2z ^ <-1> + 1z ^ <-2>)> <1-0.9429z ^ <-1> + 0.3334z ^ <-2>> $

سيؤدي حل البسط والمقام لـ $ z = 0 $ إلى الحصول على بعض الأعمدة والأصفار والمكاسب. لن أفصل هذه الخطوة حيث تمت تغطية هذا الموضوع على نطاق واسع. في حالتك ، ستجد: $ أصفار = <- 1، -1 > $ $ poles = <(0.4746 + 0.3289j)، (0.4746 - 0.3289j) > $ $ K_= 0.0976 دولار كلفن_دولار أمريكي=1$ النهج التحليلي

بمجرد حصولك على الأعمدة والأصفار ، يمكنك إعادة كتابة دالة النقل في هذا الشكل المختلف:

حجم استجابة المرشح هو في الأساس حجم دالة النقل الخاصة بك عندما $ z = e ^$. يمكننا تعريف $ | H (z) | biggr rvert_<>>$

ترجم ذلك إلى رمز ، وستحصل على شيء مثل: (مثال matlab)

النهج الرسومي

ما سنراه هنا هو بالضبط ما رأيناه للتو في النهج التحليلي ، لكننا سنحاول تصور ذلك قليلاً. دعنا نرسم الأعمدة والأصفار في المستوى $ Z $:

دائرة الوحدة ، أو $ z = e ^$ ، يحتوي على جميع الترددات من $ omega = 0 $ إلى $ omega = Nyquist = frac <2 pi f_><2>$

من أجل معرفة استجابة التردد لمرشحك بقيمة محددة $ omega $. ارسم خطًا من كل عمود / أصفار إلى النقطة المقابلة في دائرة الوحدة.

خذ نواتج طول الخط التي تنشأ من الصفر واقسمها على حاصل ضرب طول الخط الناتج من الأعمدة. ستحصل على حجم استجابة المرشح.

استغرق بضع ثوانٍ لفهم ما فعلناه للتو ، وسترى أن هذا هو بالضبط ما يقترحه النهج التحليلي.

لقد كتبت بعض كود matlab لرسم استجابة التردد لمرشح منذ وقت ليس ببعيد ونشرت هذا السؤال للحصول على مساعدة في إنجاز ذلك. قد يساعدك أيضًا.


محتويات

وظيفة ريمان زيتا ζ(س) هي دالة لمتغير معقد س = σ + هو - هي . (يتم استخدام الترميز s و σ و t تقليديًا في دراسة دالة زيتا ، بعد ريمان.) عندما Re (س) = σ & gt 1 ، يمكن كتابة الوظيفة كجمع متقارب أو متكامل:

هي وظيفة جاما. يتم تعريف دالة زيتا ريمان للقيم المعقدة الأخرى من خلال الاستمرار التحليلي للوظيفة المحددة من أجل σ & GT 1.

اعتبر ليونارد أويلر السلسلة أعلاه في عام 1740 لقيم العدد الصحيح الموجب لـ s ، وبعد ذلك قام Chebyshev بتوسيع التعريف إلى Re ⁡ (s) & gt 1. (ق) & GT1.> [3]

السلسلة أعلاه عبارة عن سلسلة Dirichlet نموذجية تتلاقى تمامًا مع وظيفة تحليلية لمثل هذه σ & gt 1 ويتباعد لجميع قيم s الأخرى. أظهر ريمان أن الوظيفة التي تحددها السلسلة على نصف مستوى التقارب يمكن أن تستمر بشكل تحليلي لجميع القيم المعقدة س ≠ 1. ل س = 1 ، السلسلة هي السلسلة التوافقية التي تنحرف إلى + ، و

وبالتالي ، فإن دالة زيتا ريمان هي دالة مشوهة على المستوى S المركب بالكامل ، وهو متماثل الشكل في كل مكان باستثناء القطب البسيط في س = 1 مع بقايا 1.

لأي عدد صحيح زوجي موجب 2ن :

أين ب2ن هو 2ن رقم برنولي الثالث.

بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة الفردية ، لا يُعرف مثل هذا التعبير البسيط ، على الرغم من أنه يُعتقد أن هذه القيم مرتبطة بالنظرية الجبرية K للأعداد الصحيحة ، انظر القيم الخاصة للوظائف L.

بالنسبة للأعداد الصحيحة غير الموجبة ، يمتلك المرء

ل ن ≥ 0 (باستخدام الاتفاقية التي ب1 = − 1 / 2 ).

على وجه الخصوص ، تختفي ζ عند الأعداد الصحيحة الزوجية السالبة لأن بم = 0 لكل m الفردية عدا 1. هذه هي ما يسمى بـ "الأصفار التافهة" لوظيفة زيتا.

  • ζ (- 1) = - 1 12 <12> >>
  • ζ (0) = - 1 2 <2> >>
  • ζ (1 2) ≈ <2>> تقريبًا> −1.460354508809586812 88. (OEIS: A059750)
  • ζ (1) = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ = ∞ <2>> + <3>> + cdots = infty>
  • ζ (3 2) ≈ <2>> تقريبًا> 2.612375348685488343348. (OEIS: A078434)
  • ζ (2) = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ = π 2 6 ≈ <2 ^ <2> >> + <3 ^ <2> >> + cdots = < frac < pi ^ <2>> <6>> تقريبًا> 1.644 934 066848226436472. (OEIS: A013661)
  • ζ (3) = 1 + 1 2 3 + 1 3 3 + ⋯ ≈ <2 ^ <3> >> + < 3 ^ <3> >> + cdots تقريبًا> 1.202056903159594285399. (OEIS: A002117)
  • ζ (4) = 1 + 1 2 4 + 1 3 4 + ⋯ = π 4 90 ≈ <2 ^ <4> >> + <3 ^ <4> >> + cdots = < frac < pi ^ <4>> <90>> تقريبًا> 1.082 323233711138191516. (OEIS: A013662)

في عام 1737 ، اكتشف أويلر العلاقة بين دالة زيتا والأعداد الأولية ، وأثبت الهوية

حيث ، بحكم التعريف ، الجانب الأيسر هو ζ(س) والمنتج اللانهائي على الجانب الأيمن يمتد على جميع الأعداد الأولية p (تسمى هذه التعبيرات منتجات أويلر):

تحقق دالة زيتا المعادلة الوظيفية

يستمر إثبات المعادلة الوظيفية على النحو التالي: نلاحظ أنه إذا σ & gt 0 < displaystyle sigma & gt0> ، إذن

مع انعكاس العمليات المحددة التي يبررها التقارب المطلق (ومن هنا كان الشرط الأكثر صرامة على σ )

وهو متقارب للجميع س، لذلك تصمد من خلال الاستمرار التحليلي. علاوة على ذلك ، فإن RHS لم يتغير إذا س تم تغييره إلى 1 - س. لذلك

وهي المعادلة الوظيفية. إي سي تيتشمارش (1986). نظرية دالة ريمان زيتا (الطبعة الثانية). أكسفورد: منشورات أكسفورد للعلوم. ص 21 - 22. ردمك 0-19-853369-1. ينسب إلى برنارد ريمان.

أسس ريمان المعادلة الوظيفية في ورقته البحثية عام 1859 "حول عدد الأعداد الأولية الأقل من المقدار المحدد" واستخدمت لبناء الاستمرارية التحليلية في المقام الأول. تم تخمين علاقة مكافئة من قبل أويلر قبل أكثر من مائة عام ، في عام 1749 ، لوظيفة Dirichlet eta (دالة زيتا بالتناوب):

بالمناسبة ، تعطي هذه العلاقة معادلة للحساب ζ(س) في المنطقة 0 & lt Re (س) & lt 1 ، أي

أين ال η-السلسلة متقاربة (وإن كانت غير مطلقة) في نصف المستوى الأكبر س & gt 0 (للحصول على مسح أكثر تفصيلاً حول تاريخ المعادلة الوظيفية ، انظر على سبيل المثال Blagouchine [8] [9]).

وجد ريمان أيضًا نسخة متماثلة من المعادلة الوظيفية التي تنطبق على الوظيفة xi:

أول بضعة أصفار غير بديهية [10] [11]
صفر
1/2 ± 14.134725 أنا
1/2 ± 21.022040 أنا
1/2 ± 25.010858 أنا
1/2 ± 30.424876 أنا
1/2 ± 32.935062 أنا
1/2 ± 37.586178 أنا

تخمينات هاردي ليتلوود تحرير

فتح هذان التخمين اتجاهات جديدة في التحقيق في دالة زيتا ريمان.

تحرير منطقة خالية من الصفر

موقع أصفار دالة زيتا ريمان له أهمية كبيرة في نظرية الأعداد. نظرية الأعداد الأولية تعادل حقيقة عدم وجود أصفار للدالة زيتا في Re (س) = سطر واحد. [13] النتيجة الأفضل [14] التي تلي الشكل الفعال لنظرية القيمة المتوسطة لفينوجرادوف هي أن ζ (σ + هو - هي) ≠ 0 متى | ر | ≥ 3 و

أقوى نتيجة من هذا النوع يمكن للمرء أن يأمل فيها هي حقيقة فرضية ريمان ، والتي سيكون لها العديد من النتائج العميقة في نظرية الأعداد.

نتائج أخرى تحرير

من المعروف أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأصفار على الخط الحرج. أظهر ليتلوود أنه إذا كان التسلسل ( γن ) يحتوي على الأجزاء التخيلية لجميع الأصفار في النصف العلوي من المستوى بترتيب تصاعدي ، إذن

تؤكد نظرية الخط الحرج أن نسبة موجبة من الأصفار غير البديهية تقع على الخط الحرج. (تعني فرضية ريمان أن هذه النسبة هي 1.)

بالنسبة للمجاميع التي تتضمن دالة زيتا بقيم عدد صحيح ونصف صحيح ، انظر سلسلة زيتا المنطقية.

تحرير متبادل

يمكن التعبير عن مقلوب دالة زيتا كسلسلة Dirichlet على دالة Möbius ميكرومتر(ن) :

لكل عدد مركب s مع جزء حقيقي أكبر من 1. هناك عدد من العلاقات المتشابهة التي تتضمن العديد من الدوال الضربية المعروفة والتي تم تقديمها في المقالة في سلسلة Dirichlet.

تحرير العالمية

يتميز الشريط الحرج لوظيفة ريمان زيتا بخاصية ملحوظة عالمية. تنص عالمية وظيفة زيتا هذه على وجود بعض المواقع على الشريط الحرج الذي يقارب أي وظيفة هولومورفيك بشكل جيد بشكل تعسفي. نظرًا لأن وظائف الهولومورفيك عامة جدًا ، فإن هذه الخاصية رائعة جدًا. تم تقديم الدليل الأول للعالمية من قبل سيرجي ميخائيلوفيتش فورونين في عام 1975. [15] تضمنت الأعمال الحديثة نسخًا فعالة من نظرية فورونين [16] وتمديدها إلى دوال ديريتشليت إل. [17] [18]

تقديرات الحد الأقصى لمعامل دالة زيتا Edit

دع الوظائف F(تيح) و جي(س0Δ) تحدد من خلال المساواة

القضية ح ≫ ln ln تي تمت دراسة حالة Kanakanahalli Ramachandra Δ & GT ج ، أين ج هو ثابت كبير بما فيه الكفاية ، تافه.

أثبت Anatolii Karatsuba ، [19] [20] على وجه الخصوص ، أنه إذا تجاوزت القيم H و Δ بعض الثوابت الصغيرة بشكل كافٍ ، فإن التقديرات

عقد ، أين ج1 و ج2 هي بعض الثوابت المطلقة.

حجة دالة زيتا ريمان تحرير

هناك بعض النظريات حول خصائص الوظيفة س(ر). من بين تلك النتائج [21] [22] هي نظريات القيمة المتوسطة لـ س(ر) وأول جزء لا يتجزأ منه

على فترات من الخط الحقيقي ، وكذلك النظرية التي تدعي أن كل فترة (تي, تي + ح] ل

نقاط حيث الوظيفة س(ر) علامة التغييرات. تم الحصول على نتائج مماثلة في وقت سابق من قبل Atle Selberg للقضية

سلسلة ديريتشليت تحرير

يمكن الحصول على امتداد لمنطقة التقارب عن طريق إعادة ترتيب السلسلة الأصلية. [23] السلسلة

تتقارب من أجل Re (س) & GT 0 ، بينما

يتقارب حتى من أجل Re (س) & GT −1. بهذه الطريقة ، يمكن توسيع منطقة التقارب إلى Re (س) & GT -ك لأي عدد صحيح سالب -ك .

تكاملات نوع ميلين تحرير

تحويل ميلين للدالة F(x) يعرف ب

في المنطقة حيث تم تعريف التكامل. هناك العديد من التعبيرات لوظيفة زيتا كتكاملات ميلين الشبيهة بالتحويل. إذا كان الجزء الحقيقي من s أكبر من واحد ، فلدينا

حيث Γ تشير إلى وظيفة جاما. من خلال تعديل المحيط ، أظهر ريمان ذلك

لجميع s (حيث تشير H إلى محيط Hankel).

بدءًا من الصيغة المتكاملة ζ (n) Γ (n) = ∫ 0 ∞ xn - 1 ex - 1 dx، < displaystyle zeta (n) = int _ <0> ^ < infty> < frac <>><>-1 >> mathrm x ،> يمكن للمرء أن يُظهر [24] بالتعويض والاشتقاق المتكرر عن k 2 الطبيعي

يمكننا أيضًا إيجاد المقادير التي تتعلق بالأعداد الأولية ونظرية الأعداد الأولية. إذا π(x) هي وظيفة العد الأولي ، إذن

للقيم مع Re (س) & GT 1.

يمكن استخدام هذه التعبيرات لإثبات نظرية الأعداد الأولية عن طريق تحويل ميلين العكسي. من السهل التعامل مع وظيفة العد الأولي في Riemann ، و π(x) يمكن استعادتها منه عن طريق انعكاس موبيوس.

وظائف ثيتا تحرير

يمكن إعطاء دالة زيتا ريمان بواسطة تحويل ميلين [25]

ومع ذلك ، لا يتقارب هذا التكامل إلا إذا كان الجزء الحقيقي من s أكبر من 1 ، ولكن يمكن تنظيمه. يعطي هذا التعبير التالي لوظيفة زيتا ، والتي تم تعريفها جيدًا لجميع s باستثناء 0 و 1:

تحرير سلسلة Laurent

دالة زيتا ريمان ذات شكل مرئي بقطب واحد من الترتيب عند واحد س = 1. لذلك يمكن توسيعها كمسلسل لوران حول س = 1 ثم تطور السلسلة

الثوابت γن هنا تسمى ثوابت Stieltjes ويمكن تعريفها بالنهاية

تحرير متكامل

للجميع سج , س ≠ 1 ، العلاقة التكاملية (راجع صيغة Abel – Plana)

صحيح ، والذي يمكن استخدامه للتقييم العددي لوظيفة زيتا.

ارتفاع تحرير عاملي

تطور سلسلة آخر باستخدام العامل الصاعد الصالح لكامل المستوى المعقد هو [ بحاجة لمصدر ]

يمكن استخدام هذا بشكل متكرر لتوسيع تعريف سلسلة Dirichlet لجميع الأعداد المركبة.

تظهر وظيفة Riemann zeta أيضًا في شكل مشابه لتحويل Mellin في تكامل فوق عامل Gauss-Kuzmin-Wirsing الذي يعمل على x س - 1 يؤدي هذا السياق إلى توسع متسلسل من حيث العامل الهابط. [26]

تحرير منتج Hadamard

حيث يكون المنتج فوق الأصفار غير التافهة لـ ζ والحرف γ يشير مرة أخرى إلى ثابت أويلر ماسكيروني. أبسط توسع منتج لانهائي هو

يعرض هذا النموذج بوضوح العمود البسيط في س = 1 ، الأصفار التافهة عند −2 ، −4 ،. بسبب حد دالة جاما في المقام ، والأصفار غير التافهة عند س = ρ . (لضمان التقارب في الصيغة الأخيرة ، يجب أخذ المنتج على "أزواج مطابقة" من الأصفار ، أي عوامل زوج من الأصفار بالشكل و 1 - ρ يجب دمجها.)

سلسلة متقاربة عالميًا تحرير

ظهرت السلسلة في ملحق بورقة هاس ، ونشرها جوناثان سوندو للمرة الثانية في عام 1994. [29]

أثبت Hasse أيضًا أنه السلسلة المتقاربة عالميًا

في نفس المنشور. [28] وجد البحث الذي أجراه ياروسلاف بلاغوشين [30] [27] أن جوزيف سير قد نشر سلسلة مماثلة ومكافئة في عام 1926. [31] تشمل السلاسل المتقاربة عالميًا الأخرى

تمثيل المتسلسلة في الأعداد الصحيحة الموجبة عن طريق التحرير البدائي

التمثيل المتسلسل بأرقام بولي برنولي غير المكتملة تحرير

يمكن تمثيل الوظيفة ζ ، من أجل Re (س) & GT 1 ، من خلال سلسلة لانهائية

أين ك ∈ <−1, 0>, دبليوك هو الفرع k th لوظيفة Lambert W ، و ب (ميكرومتر)
ن, ≥2 هو رقم بولي برنولي غير مكتمل. [34]

تحويل ميلين لتحرير خريطة إنجل

تمثيل المتسلسلة كمجموع متسلسلة هندسية تحرير

بالمقارنة مع منتج أويلر ، والذي يمكن إثباته باستخدام سلسلة هندسية ، فإن وظيفة زيتا لـ Re (س) & gt1 كمجموع متسلسلة هندسية:

خوارزمية كلاسيكية ، كانت قيد الاستخدام قبل حوالي عام 1930 ، تمضي قدمًا من خلال تطبيق صيغة أويلر-ماكلورين للحصول على ، من أجل ن و م اعداد صحيحة موجبة،

الخوارزمية العددية الحديثة هي خوارزمية Odlyzko – Schönhage.

تحدث وظيفة زيتا في الإحصائيات التطبيقية (انظر قانون Zipf وقانون Zipf – Mandelbrot).

يتم استخدام تنظيم دالة زيتا كوسيلة ممكنة لتنظيم السلاسل المتباعدة والتكاملات المتباينة في نظرية المجال الكمومي. في أحد الأمثلة البارزة ، تظهر دالة زيتا ريمان بشكل واضح في إحدى طرق حساب تأثير كازيمير. تعتبر وظيفة زيتا مفيدة أيضًا في تحليل الأنظمة الديناميكية. [38]

تحرير سلسلة لانهائية

يتم تقييم دالة زيتا عند الأعداد الصحيحة الموجبة المتساوية في تمثيلات متسلسلة لا نهائية لعدد من الثوابت. [39]

في الحقيقة ، الحد الزوجي والفردي يعطيان المجموعان

يتم إعطاء إصدارات محددة المعلمات من المبالغ المذكورة أعلاه بواسطة

كلها متصلة عند t = 1 < displaystyle t = 1>. وتشمل المبالغ الأخرى

حيث يشير Im إلى الجزء التخيلي من رقم مركب.

لا يزال هناك المزيد من الصيغ في المقالة رقم الهارمونيك.

هناك عدد من دوال زيتا ذات الصلة التي يمكن اعتبارها تعميمات لوظيفة ريمان زيتا. وتشمل هذه وظيفة Hurwitz زيتا

(التمثيل المتسلسل المتقارب قدمه هيلموت هاس في عام 1930 ، [28] راجع دالة هورويتز زيتا) ، والتي تتزامن مع وظيفة ريمان زيتا عندما ف = 1 (الحد الأدنى للتجميع في دالة Hurwitz zeta هو 0 ، وليس 1) ، ودوال Dirichlet L- ووظيفة Dedekind zeta. للحصول على وظائف أخرى ذات صلة ، راجع مقالات دالة زيتا ووظيفة L.

والتي تتزامن مع وظيفة زيتا ريمان عندما ض = 1 .

والتي تتزامن مع وظيفة زيتا ريمان عندما ض = 1 و ف = 1 (الحد الأدنى للتجميع في Lerch المتعالي هو 0 ، وليس 1).

وظيفة Clausen Clس(θ) يمكن اختياره ليكون الجزء الحقيقي أو التخيلي من Liس(ه أنا ) .

يمكن للمرء أن يواصل هذه الوظائف تحليليًا إلى الفضاء المعقد ذي الأبعاد n. تسمى القيم الخاصة التي تأخذها هذه الوظائف في حجج عدد صحيح موجب قيم زيتا متعددة بواسطة منظري الأعداد وقد تم ربطها بالعديد من الفروع المختلفة في الرياضيات والفيزياء.

  1. ^
  2. "Jupyter Notebook Viewer". Nbviewer.ipython.org . تم الاسترجاع 4 يناير 2017.
  3. ^ احتوت هذه الورقة أيضًا على فرضية ريمان ، وهي تخمين حول توزيع الأصفار المعقدة لوظيفة ريمان زيتا التي يعتبرها العديد من علماء الرياضيات أهم مشكلة لم يتم حلها في الرياضيات البحتة.
  4. بومبيري ، إنريكو. "فرضية ريمان - وصف المشكلة الرسمي" (PDF). معهد كلاي للرياضيات. تم الاسترجاع 8 أغسطس 2014.
  5. ^
  6. ديفلين ، كيث (2002). مشاكل الألفية: أكبر سبع ألغاز رياضية لم يتم حلها في عصرنا. نيويورك: بارنز وأمبير نوبل. ص 43-47. ردمك 978-0-7607-8659-8.
  7. ^
  8. بولشينسكي ، جوزيف (1998). مقدمة في السلسلة البوزونية. نظرية الأوتار. أنا. صحافة جامعة كامبرج. ص. 22. ردمك 978-0-521-63303-1.
  9. ^
  10. كينز ، أ.جيه تيتولر ، يو إم (1992). "طريقة دقيقة ثنائية الدفق لمشاكل الطبقة الحركية الحدودية للمعادلات الحركية الخطية". J. فيز. ج: الرياضيات. الجنرال. 25 (7): 1855-1874. بيب كود: 1992 JPhA. 25.1855 ك. دوى: 10.1088 / 0305-4470 / 25/7/026.
  11. ^
  12. أوجلفي ، سي إس أندرسون ، جي تي (1988). الرحلات في نظرية الأعداد. منشورات دوفر. ص 29 - 35. ردمك0-486-25778-9.
  13. ^
  14. سانديفر ، تشارلز إدوارد (2007). كيف فعلها أويلر. الرابطة الرياضية الأمريكية. ص. 193. ISBN 978-0-88385-563-8.
  15. ^أولا في بلاغوشين تاريخ المعادلة الوظيفية لوظيفة زيتا. ندوة حول تاريخ الرياضيات ، معهد Steklov للرياضيات في سانت بطرسبرغ ، 1 مارس 2018.
  16. ^أولا في بلاغوشين إعادة اكتشاف تكاملات Malmsten وتقييمها من خلال طرق تكامل الكنتور وبعض النتائج ذات الصلة. مجلة رامانوجان ، المجلد. 35 ، لا. 1 ، ص 21-110 ، 2014. إضافة: المجلد. 42 ، الصفحات من 777 إلى 781 ، 2017
  17. ^
  18. اريك وايسشتاين. "ريمان زيتا وظيفة الأصفار". تم الاسترجاع 24 أبريل 2021.
  19. ^
  20. قاعدة بيانات وظائف L والنماذج المعيارية. "أصفار ζ (س)".
  21. ^
  22. هاردي ، جي إتش فيكيتي ، إم ليتلوود ، جي إي (١ سبتمبر ١٩٢١). "أصفار دالة زيتا لريمان على الخط الحرج". دوى: 10.1112 / jlms / s1-1.1.15. يتطلب الاستشهاد بالمجلة | المجلة = (مساعدة)
  23. ^
  24. الماس ، هارولد ج. (1982). "الطرق الأولية في دراسة توزيع الأعداد الأولية". نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية. 7 (3): 553-89. دوى: 10.1090 / S0273-0979-1982-15057-1. مر 0670132.
  25. ^
  26. فورد ، ك. (2002). "تكامل فينوجرادوف وحدوده لوظيفة ريمان زيتا". بروك. لندن للرياضيات. شركة. 85 (3): 565-633. arXiv: 1910.08209. دوى: 10.1112 / S0024611502013655. S2CID121144007.
  27. ^
  28. فورونين ، إس إم (1975). "نظرية عالمية وظيفة ريمان زيتا". Izv. العقاد. Nauk SSSR ، سر. ماتيم. 39: 475-486. أعيد طبعه في رياضيات. اتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية Izv. (1975) 9: 443–445.
  29. ^
  30. Ramūnas Garunkštis Antanas Laurinčikas Kohji Matsumoto Jörn Steuding Rasa Steuding (2010). "التقريب المنتظم الفعال بوظيفة ريمان زيتا". المنشورات Matemàtiques. 54 (1): 209-219. دوى: 10.1090 / S0025-5718-1975-0384673-1. JSTOR43736941.
  31. ^
  32. بهاسكار باجشي (1982). "نظرية العالمية المشتركة لوظائف Dirichlet L". Mathematische Zeitschrift. 181 (3): 319-334. دوى: 10.1007 / bf01161980. ISSN0025-5874. S2CID120930513.
  33. ^
  34. ستيودينج ، يورن (2007). توزيع قيمة وظائف L. مذكرات محاضرة في الرياضيات. 1877. برلين: سبرينغر. ص. 19. arXiv: 1711.06671. دوى: 10.1007 / 978-3-540-44822-8. ردمك 978-3-540-26526-9.
  35. ^
  36. كاراتسوبا ، أ. (2001). "الحدود الدنيا للمعامل الأقصى من ζ(س) في مجالات صغيرة من الشريط الحرج ". حصيرة. زميتكي. 70 (5): 796–798.
  37. ^
  38. كاراتسوبا ، أ. (2004). "الحدود السفلية للمعامل الأقصى لوظيفة ريمان زيتا على مقاطع قصيرة من الخط الحرج". Izv. روس. العقاد. نوك ، سر. حصيرة. 68 (8): 99-104. بيب كود: 2004 IzMat..68.1157K. دوى: 10.1070 / IM2004v068n06ABEH000513.
  39. ^
  40. كاراتسوبا ، أ. (1996). "نظرية الكثافة وسلوك حجة دالة زيتا ريمان". حصيرة. زميتكي (60): 448–449.
  41. ^
  42. كاراتسوبا ، أ. (1996). "على الوظيفة س(ر) ". Izv. روس. العقاد. نوك ، سر. حصيرة. 60 (5): 27–56.
  43. ^
  44. كنوب ، كونراد (1947). نظرية الوظائف ، الجزء الثاني. نيويورك ، منشورات دوفر. ص 51 - 55.
  45. ^
  46. "تقييم محدد لا يتجزأ."math.stackexchange.com.
  47. ^
  48. نويكيرش ، يورجن (1999). نظرية الأعداد الجبرية. سبرينغر. ص. 422. (ردمك3-540-65399-6).
  49. ^
  50. "تمثيل متسلسل لـ Riemann Zeta مشتق من مشغل Gauss-Kuzmin-Wirsing" (PDF). Linas.org . تم الاسترجاع 4 يناير 2017.
  51. ^ أبج
  52. بلاغوشين ، ياروسلاف ف. (2018). "ثلاث ملاحظات على تمثيلات سير وهاسي لوظائف زيتا". الأعداد: المجلة الإلكترونية لنظرية العدد التجميعي. 18 أ: 1–45. arXiv: 1606.02044. بيب كود: 2016 arXiv160602044B.
  53. ^ أبج
  54. هاس ، هيلموت (1930). "Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ -Reihe" [طريقة تجميع لسلسلة Riemann ζ]. Mathematische Zeitschrift (في المانيا). 32 (1): 458-464. دوى: 10.1007 / BF01194645. S2CID120392534.
  55. ^
  56. سوندو ، جوناثان (1994). "Analytic continuation of Riemann's zeta function and values at negative integers via Euler's transformation of series" (PDF) . وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية. 120 (2): 421–424. doi: 10.1090/S0002-9939-1994-1172954-7 .
  57. ^
  58. Blagouchine, Iaroslav V. (2016). "Expansions of generalized Euler's constants into the series of polynomials in π −2 and into the formal enveloping series with rational coefficients only". Journal of Number Theory. 158: 365–396. arXiv: 1501.00740 . doi:10.1016/j.jnt.2015.06.012.
  59. ^
  60. Ser, Joseph (1926). "Sur une expression de la fonction ζ(s) de Riemann" [Upon an expression for Riemann's ζ function]. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (in French). 182: 1075–1077.
  61. ^
  62. Borwein, Peter (2000). "An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function" (PDF) . In Théra, Michel A. (ed.). Constructive, Experimental, and Nonlinear Analysis. Conference Proceedings, Canadian Mathematical Society. 27. Providence, RI: American Mathematical Society, on behalf of the Canadian Mathematical Society. pp. 29–34. ISBN978-0-8218-2167-1 .
  63. ^
  64. Mező, István (2013). "The primorial and the Riemann zeta function". The American Mathematical Monthly. 120 (4): 321.
  65. ^
  66. Komatsu, Takao Mező, István (2016). "Incomplete poly-Bernoulli numbers associated with incomplete Stirling numbers". Publicationes Mathematicae Debrecen. 88 (3–4): 357–368. arXiv: 1510.05799 . doi:10.5486/pmd.2016.7361. S2CID55741906.
  67. ^
  68. "A220335 - OEIS". oeis.org . Retrieved 17 April 2019 .
  69. ^
  70. Munkhammar, Joakim (2020). "The Riemann zeta function as a sum of geometric series". The Mathematical Gazette. 104 (561): 527–530. doi:10.1017/mag.2020.110.
  71. ^
  72. Odlyzko, A. M. Schönhage, A. (1988), "Fast algorithms for multiple evaluations of the Riemann zeta function", عبر. عامر. رياضيات. شركة, 309 (2): 797–809, doi: 10.2307/2000939 , JSTOR2000939, MR0961614 .
  73. ^
  74. "Work on spin-chains by A. Knauf, et. al". Empslocal.ex.ac.uk . Retrieved 4 January 2017 .
  75. ^ Most of the formulas in this section are from § 4 of J. M. Borwein et al. (2000)
  • Apostol, T. M. (2010), "Zeta and Related Functions", in Olver, Frank W. J. Lozier, Daniel M. Boisvert, Ronald F. Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN978-0-521-19225-5 , MR2723248
  • Borwein, Jonathan Bradley, David M. Crandall, Richard (2000). "Computational Strategies for the Riemann Zeta Function" (PDF) . J. Comp. App. رياضيات. 121 (1–2): 247–296. Bibcode:2000JCoAM.121..247B. doi: 10.1016/S0377-0427(00)00336-8 .
  • Cvijović, Djurdje Klinowski, Jacek (2002). "Integral Representations of the Riemann Zeta Function for Odd-Integer Arguments". J. Comp. App. رياضيات. 142 (2): 435–439. Bibcode:2002JCoAM.142..435C. doi: 10.1016/S0377-0427(02)00358-8 . MR1906742.
  • Cvijović, Djurdje Klinowski, Jacek (1997). "Continued-fraction expansions for the Riemann zeta function and polylogarithms". بروك. عامر. رياضيات. Soc. 125 (9): 2543–2550. doi: 10.1090/S0002-9939-97-04102-6 .
  • Edwards, H. M. (1974). Riemann's Zeta Function . Academic Press. ISBN0-486-41740-9 . Has an English translation of Riemann's paper.
  • Hadamard, Jacques (1896). "Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(س) et ses conséquences arithmétiques". Bulletin de la Société Mathématique de France. 14: 199–220. doi: 10.24033/bsmf.545 .
  • Hardy, G. H. (1949). Divergent Series. Clarendon Press, Oxford.
  • Hasse, Helmut (1930). "Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ -Reihe". رياضيات. ض. 32: 458–464. doi:10.1007/BF01194645. MR1545177. S2CID120392534. (Globally convergent series expression.)
  • Ivic, A. (1985). The Riemann Zeta Function. John Wiley & Sons. ISBN0-471-80634-X .
  • Motohashi, Y. (1997). Spectral Theory of the Riemann Zeta-Function. صحافة جامعة كامبرج. ISBN0521445205 .
  • Karatsuba, A. A. Voronin, S. M. (1992). The Riemann Zeta-Function. Berlin: W. de Gruyter.
  • Mező, István Dil, Ayhan (2010). "Hyperharmonic series involving Hurwitz zeta function". Journal of Number Theory. 130 (2): 360–369. doi:10.1016/j.jnt.2009.08.005. hdl: 2437/90539 . MR2564902.
  • Montgomery, Hugh L. Vaughan, Robert C. (2007). Multiplicative number theory. I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. 97. صحافة جامعة كامبرج. الفصل 10. ISBN978-0-521-84903-6 .
  • Newman, Donald J. (1998). Analytic number theory. Graduate Texts in Mathematics. 177. Springer-Verlag. الفصل 6. ISBN0-387-98308-2 .
  • Raoh, Guo (1996). "The Distribution of the Logarithmic Derivative of the Riemann Zeta Function". Proceedings of the London Mathematical Society. s3–72: 1–27. arXiv: 1308.3597 . doi:10.1112/plms/s3-72.1.1.
  • Riemann, Bernhard (1859). "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse". Monatsberichte der Berliner Akademie. . في Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
  • Sondow, Jonathan (1994). "Analytic continuation of Riemann's zeta function and values at negative integers via Euler's transformation of series" (PDF) . بروك. عامر. رياضيات. Soc. 120 (2): 421–424. doi: 10.1090/S0002-9939-1994-1172954-7 .
  • Titchmarsh, E. C. (1986). Heath-Brown (ed.). The Theory of the Riemann Zeta Function (2nd rev. ed.). مطبعة جامعة أكسفورد.
  • Whittaker, E. T. Watson, G. N. (1927). A Course in Modern Analysis (4th ed.). صحافة جامعة كامبرج. الفصل 13.
  • Zhao, Jianqiang (1999). "Analytic continuation of multiple zeta functions". بروك. عامر. رياضيات. Soc. 128 (5): 1275–1283. doi: 10.1090/S0002-9939-99-05398-8 . MR1670846.
    Media related to Riemann zeta function at Wikimedia Commons
  • "Zeta-function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994] — an explanation with a more mathematical approach A general, non-technical description of the significance of the zeta function in relation to prime numbers. Visually oriented investigation of where zeta is real or purely imaginary. functions.wolfram.com , section 23.2 of Abramowitz and Stegun
  • Frenkel, Edward. "Million Dollar Math Problem" (video) . Brady Haran . Retrieved 11 March 2014 . —Computational examples of Mellin transform methods involving the Riemann Zeta Function

380 ms 13.2% Scribunto_LuaSandboxCallback::callParserFunction 280 ms 9.7% type 160 ms 5.6% (for generator) 120 ms 4.2% Scribunto_LuaSandboxCallback::find 100 ms 3.5% Scribunto_LuaSandboxCallback::gsub 80 ms 2.8% 80 ms 2.8% dataWrapper 80 ms 2.8% [others] 700 ms 24.3% Number of Wikibase entities loaded: 1/400 -->


OK, we have gathered lots of info. We know all this:

  • positive roots: 2، أو 0
  • negative roots: 1
  • total number of roots: 5

So, after a little thought, the overall result is:

  • 5 roots: 2 positive, 1 negative, 2 complex (one pair), أو
  • 5 roots: 0 positive, 1 negative, 4 complex (two pairs)

And we managed to figure all that out just based on the signs and exponents!


9.7. Annotations

ان annotation is a modifier consisting of the name of an annotation type (§9.6) and zero or more element-value pairs, each of which associates a value with a different element of the annotation type.

The purpose of an annotation is simply to associate information with the annotated program element.

Annotations must contain an element-value pair for every element of the corresponding annotation type, except for those elements with default values, or a compile-time error occurs.

Annotations may, but are not required to, contain element-value pairs for elements with default values.

Annotations may be used as modifiers in any declaration, whether package (§7.4.1), class (§8.1.1) (including enums (§8.9)), interface (§9.1.1) (including annotation types (§9.6)), field (§8.3.1, §9.3), method (§8.4.3, §9.4), formal parameter (§8.4.1), constructor (§8.8.3), or local variable (§14.4.1).

Annotations may also be used on enum constants. Such annotations are placed immediately before the enum constant they annotate.

It is a compile-time error if a declaration is annotated with more than one annotation for a given annotation type.

Annotations are conventionally placed before all other modifiers, but this is not a requirement they may be freely intermixed with other modifiers.


Annotations:
Annotation
Annotations Annotation

Annotation:
NormalAnnotation
MarkerAnnotation
SingleElementAnnotation

There are three kinds of annotations. The first (normal annotation) is fully general. The others (marker annotation and single-element annotation) are merely shorthands.

9.7.1. Normal Annotations

أ normal annotation is used to annotate a program element.


NormalAnnotation:
@ TypeName ( ElementValuePairsopt )

ElementValuePairs:
ElementValuePair
ElementValuePairs , ElementValuePair

ElementValuePair:
Identifier = ElementValue

ElementValue:
ConditionalExpression
Annotation
ElementValueArrayInitializer

ElementValues:
ElementValue
ElementValues , ElementValue

ال TypeName names the annotation type corresponding to the annotation.

Note that the at-sign ( @ ) is a token unto itself. Technically it is possible to put whitespace between it and the TypeName , but this is discouraged as a matter of style.

It is a compile-time error if TypeName does not name an annotation type that is accessible (§6.6) at the point where the annotation is used.

ال Identifier in an ElementValuePair must be the simple name of one of the elements (i.e. methods) of the annotation type identified by TypeName otherwise, a compile-time error occurs.

The return type of this method defines the element type of the element-value pair.

ان ElementValueArrayInitializer is similar to a normal array initializer (§10.6), except that annotations are permitted in place of expressions.

An element type T is commensurate with an element value V if and only if one of the following conditions is true:

T is an array type E [] and either:

V is an ElementValueArrayInitializer and each ElementValue (analogous to a VariableInitializer in an array initializer) in V is commensurate with E or

V is an ElementValue that is commensurate with E .

The type of V is assignment compatible (§5.2) with T , and furthermore:

If T is a primitive type or String , and V is a constant expression (§15.28).

If T is Class , or an invocation of Class , and V is a class literal (§15.8.2).

If T is an enum type, and V is an enum constant.

Note that null is not a legal element value for any element type.

It is a compile-time error if the element type is not commensurate with the ElementValue .

If the element type is not an annotation type or an array type, ElementValue must be a ConditionalExpression (§15.25).

أ ConditionalExpression is simply an expression without assignments, and not necessarily an expression involving the conditional operator ( ? : ). ConditionalExpression is preferred over Expression في ElementValue because an element value has a simple structure (constant expression or class literal or enum constant) that may easily be represented in binary form.

If the element type is an array type and the corresponding ElementValue is not an ElementValueArrayInitializer , then an array value whose sole element is the value represented by the ElementValue is associated with the element. Otherwise, if the corresponding ElementValue هو ElementValueArrayInitializer , then the array value represented by the ElementValueArrayInitializer is associated with the element.

In other words, it is permissible to omit the curly braces when a single-element array is to be associated with an array-valued annotation type element.

Note that the array's element type cannot be an array type. That is, nested array types are not permitted as element types. (While the annotation syntax would permit this, the annotation type declaration syntax would not.)

ان ElementValue is always FP-strict (§15.4).

An annotation on an annotation type declaration is known as a meta-annotation .

An annotation type may be used to annotate its own declaration. More generally, circularities in the transitive closure of the "annotates" relation are permitted.

For example, it is legal to annotate an annotation type declaration with another annotation type, and to annotate the latter type's declaration with the former type. (The pre-defined meta-annotation types contain several such circularities.)

Example 9.7.1-1. Normal Annotations

Here is an example of a normal annotation.

Here is an example of a normal annotation that takes advantage of default values.

Note that the types of the annotations in the examples in this section are the annotation types defined in the examples in §9.6. Note also that the elements are in the above annotation are in the same order as in the corresponding annotation type declaration. This is not required, but unless specific circumstances dictate otherwise, it is a reasonable convention to follow.

9.7.2. Marker Annotations

The second form of annotation, marker annotation , is a shorthand designed for use with marker annotation types.

It is shorthand for the normal annotation:

It is legal to use the marker annotation form for annotation types with elements, so long as all the elements have default values.

Example 9.7.2-1. Marker Annotations

Here is an example using the Preliminary marker annotation type from §9.6.1:

9.7.3. Single-Element Annotations

The third form of annotation, single-element annotation , is a shorthand designed for use with single-element annotation types.


SingleElementAnnotation:
@ Identifier ( ElementValue )

It is shorthand for the normal annotation:

It is legal to use single-element annotations for annotation types with multiple elements, so long as one element is named value , and all other elements have default values.

Example 9.7.3-1. Single-Element Annotations

Here is an example of a single-element annotation.

Here is an example of an array-valued single-element annotation.

Here is an example of a single-element array-valued single-element annotation. Note that the curly braces are omitted.

Here is an example with of a single-element annotation that contains a normal annotation.

Here is an example of a single-element annotation with a Class element whose value is restricted by the use of a bounded wildcard.

Here is an example of a single-element annotation using an enum type defined inside the annotation type.


شاهد الفيديو: Pole placement for problematical systems (شهر نوفمبر 2021).