مقالات

13.9: ناقش: تطبيق المنطق - الرياضيات


اختر مشكلة حقيقية وحاول حلها باستخدام ما تعلمته عن المنطق في هذه الوحدة. اعرض المشكلة والحل على باقي الفصل. عرض المشاكل التي نشرها زملائك في الفصل والرد على اثنين على الأقل. اقرأ إرشادات تطبيق المنطق للحصول على إرشادات مفصلة.

قم بإنشاء موضوع جديد في ملف تطبيق المنطق المنتدى في لوحة النقاش لإكمال هذه المهمة.

هذه المهمة مطلوبة وتستحق ما يصل إلى 20 نقطة.

معايير التصنيفالنقاط الممكنة
المشكلة:
  • هل هي مشكلة حقيقية؟
  • هل هي صعبة وليست تافهة؟
  • هل هي مشكلة فريدة بدلاً من نسخة من مشاركة زميل الدراسة؟
5
الاستراتيجيات:
  • هل يتم استخدام واحد أو أكثر من استراتيجيات حل المشكلات العامة؟
  • هل الاستراتيجيات محددة بشكل صحيح؟
5
العرض:
  • هل المشكلة موضحة جيدا؟
  • هل تم شرح استراتيجيات حل المشكلات بشكل جيد؟
  • هل المصطلحات المناسبة مستخدمة؟
4
ردودك:
  • هل قمت بنشر ردين على الأقل؟
  • هل وضحت كيف ساعدتك الأمثلة على فهم الرياضيات بشكل أفضل في هذه الوحدة؟
  • هل طرحت أسئلة للتوضيح أو قدمت اقتراحات حول كيفية تغيير أو تحسين نشر التطبيق الأصلي أو أي منشورات متابعة أخرى؟
6

محتوى مرخص ، أصلي

  • الرياضيات للفنون الليبرالية 1.

    المنطق وكيف يجب أن يؤثر على تعليمنا

    في مقالة مصاحبة لـ Logic ، نذكر تعريف المنطق على أنه علم الاستدلال أو الإثبات أو التفكير أو الاستدلال (وفقًا لقاموس Oxford Compact English Dictionary). إن القدرة على التفكير هي مركز التفكير المنطقي. بالنسبة للكثيرين منا ، غالبًا ما يتم اختبار مهارات التفكير هذه أثناء الجدل. من الواضح أن القدرة على التفكير هي مهارة قيمة! ولكن هل هذا شيء يجب أن "نُعلِّمه"؟ هل يتعلم الأطفال كيفية تشكيل الحجج المنطقية داخل المنزل؟

    أجرى كلوتيلد بونتيكورفو ولورا ستيربوني بحثًا للتحقيق في "كيفية تنشئة الأطفال الإيطاليين الصغار اجتماعيًا على الخطاب الجدلي" الذي لخصوه في كتاب "التعلم من أجل الحياة في القرن الحادي والعشرين". لقد اقتربوا من المناقشة الجدلية باعتبارها طرقًا للتفكير تستخدم أثناء أنشطة الكلام المختلفة ضمن مجموعة من السياقات. كان السياقين اللذين اختاراهما نشاطًا سرديًا في مرحلة ما قبل المدرسة (كان الأطفال جميعًا بين 3 و 5 سنوات) ومحادثات عشاء عائلية.

    في بيئة المدرسة ، كان السرد دائمًا مبنيًا بشكل مشترك بحيث لا يقبل الأطفال آراء بعضهم البعض المتعارضة ولكنهم استخدموها لإعادة صياغة الأفكار. اتبعت المناقشة أنماطًا معقدة تنطوي على استخدام عبارات افتراضية ذات عواقب سلبية أو واقعية معاكسة. على سبيل المثال ، في القصة التي قرأها الأطفال ، هربت فتاة. تلا ذلك نقاش حول عمرها. اقترح أحد الصبية أنها لا يمكن أن تكون صغيرة جدًا (بيان افتراضي ) لأنها حينها لم تكن ذكية بما يكفي للهروب (نتيجة واقعية مضادة ).

    على مائدة العشاء ، يعمل الطفل مرة أخرى بشكل تعاوني لإنتاج السرد. لكن في هذه الحالة ، تتغير أدوار المشاركين وهذا يتطلب استخدام عمليات معرفية أكثر تعقيدًا. هذا نتيجة لطبيعة العلاقات داخل الأسرة. كلما كان الأشخاص من حولك أكثر دراية ، زادت المخاطر التي تكون على استعداد لتحملها في التعبير عن آرائك. غالبًا ما يرتبط الخطاب الجدلي في المنزل بانتهاك القواعد. ينتج عن هذا نمط من العبارات الشرطية ذات العواقب السلبية التي يصبح الأطفال مألوفين لها. على سبيل المثال ، في الدراسة ، حذرت الأم ابنتها البالغة من العمر 3 سنوات من عدم النوم متأخرًا (عبارة شرطية ) لأنها عندما فعلت ذلك في مناسبة سابقة جعلها تشعر بالمرض (نتيجة سلبية ).

    يقترح Pontecorvo و Sterponi أن هاتين الهيكلين للمناقشة (أحدهما يحدث في المنزل والآخر في المدرسة) ، في الواقع متشابهان للغاية. ومن ثم ، قبل الذهاب إلى المدرسة ، سيكون الأطفال قد عانوا بالفعل من أنماط التفكير المعقدة.

    إذن ، كيف يؤثر هذا علينا كمعلمين؟ عندما ينخرط الأطفال في السرد كجزء من مجموعة ، فإن وجهات نظرهم المتناقضة تؤدي إلى مستوى عالٍ من المراجعة والتحسين ، ومن خلال هذه العملية يصبحون أكثر وعياً "بالتفكير". إن توفير الفرص لهذا النوع من السرد في فصولنا الدراسية أمر حيوي ولكن بنفس الأهمية هي الطريقة التي نتعامل بها معها. يجب أن يحاول المعلم أن يكون متجاوبًا مع مساهمات الأطفال ، ربما عن طريق عكسها ، مع تسهيل "تعدد الأصوات". إذا استطعنا بناء علاقات مع الأطفال تعزز الألفة والسهولة ، في نفس الوقت الذي نشجع فيه هذا النوع من التفاعل بين التلاميذ أنفسهم ، فإن جودة التفكير ستتحسن.

    التفكير المنطقي في درس الرياضيات

    لا شك أن القدرة على التفكير المنطقي هي حجر الزاوية في الرياضيات. هل هناك أي شيء يمكننا القيام به لتشجيع وتطوير هذه المهارة في سياق رياضي؟

    تصف آن واتسون وجون ماسون وجهة نظرهم في الرياضيات على أنها تستند إلى هياكل الرياضيات البحتة والتفكير الرياضي. يوجد ضمن أي موضوع في الرياضيات أنواع مختلفة من العبارات التي يمكن الإدلاء بها. يمكن تسمية البيانات المتعلقة بموضوع معين هيكلها.


    أسس الرياضيات

    الرياضيات هي علم الكمية. تقليديا كان هناك فرعين للرياضيات ، الحساب والهندسة ، التعامل مع نوعين من الكميات: الأرقام والأشكال. الرياضيات الحديثة أكثر ثراءً وتتعامل مع مجموعة متنوعة من الأشياء ، لكن الحساب والهندسة لا تزالان ذات أهمية مركزية.

    أسس الرياضيات هي دراسة المفاهيم الأساسية والبنية المنطقية للرياضيات ، مع التركيز على وحدة المعرفة البشرية. من بين المفاهيم الرياضية الأساسية: العدد ، الشكل ، المجموعة ، الوظيفة ، الخوارزمية ، البديهية الرياضية ، التعريف الرياضي ، البرهان الرياضي.

    قد يسأل القارئ بشكل معقول عن سبب ظهور الرياضيات على الإطلاق في هذا المجلد. أليست الرياضيات ضيقة جدًا بالموضوع؟ أليست فلسفة الرياضيات ذات اهتمام متخصص ، خاصة إذا ما قورنت بالقضايا الإنسانية الواسعة للفلسفة ، قضايا مثل الخير والصحيح والجميل؟

    هناك ثلاثة أسباب لمناقشة الرياضيات في مجلد عن الفلسفة العامة:

    1. لعبت الرياضيات دائمًا دورًا خاصًا في الفكر العلمي. تقدم الطبيعة المجردة للأشياء الرياضية تحديات فلسفية غير عادية وفريدة من نوعها.
    2. أسس الرياضيات هي موضوع أظهر دائمًا مستوى عالٍ من التطور التقني بشكل غير عادي. لهذا السبب ، توقع العديد من المفكرين أن أسس الرياضيات يمكن أن تكون بمثابة نموذج أو نمط لأسس العلوم الأخرى.
    3. خدمت فلسفة الرياضيات كسرير اختبار شديد الوضوح حيث يمكن لعلماء الرياضيات والفلاسفة على حد سواء استكشاف كيف تلعب المذاهب الفلسفية العامة المختلفة 13 في سياق علمي محدد.

    الغرض من هذا القسم هو توضيح دور المنطق في أسس الرياضيات. نبدأ ببعض الملاحظات حول هندسة إقليدس. ثم نصف بعض النظريات الشكلية الحديثة للرياضيات.

    هندسة إقليدس

    ظهر فوق بوابة أكاديمية أفلاطون نقش مشهور:

    في التحليلات اللاحقة [13] ، وضع أرسطو أساسيات المنهج العلمي. 14 جوهر الطريقة هو تنظيم مجال المعرفة منطقيًا عن طريق المفاهيم البدائية ، والبديهيات ، والمسلمات ، والتعريفات ، والنظريات. معظم أمثلة أرسطو لهذه الطريقة مستمدة من الحساب والهندسة [1،7،9].

    أثرت الأفكار المنهجية لأرسطو بشكل حاسم على هيكل وتنظيم أطروحة إقليدس الضخمة في الهندسة ، العناصر [8]. يبدأ إقليدس بـ 21 تعريفًا وخمسة افتراضات وخمسة مفاهيم مشتركة. بعد ذلك ، فإن بقية العناصر عبارة عن بنية استنتاجية متقنة تتكون من مئات الافتراضات. كل اقتراح له ما يبرره من خلال عرضه الخاص. المظاهرات في شكل سلاسل من القياس المنطقي. في كل قياس منطقي ، يتم تحديد المباني على أنها تأتي من بين التعريفات والمسلمات والمفاهيم الشائعة والقضايا التي سبق عرضها. على سبيل المثال ، في الكتاب الأول من العناصر ، فإن عرض الاقتراح 16 (`` في أي مثلث ، إذا تم إنتاج أحد الجوانب ، تكون الزاوية الخارجية أكبر من أي من الزوايا الداخلية والزوايا المقابلة '') عبارة عن سلسلة من القياس المنطقي مع افتراض 2 ، الفكرة العامة 5 ، والاقتراحات 3 و 4 و 15 (`` إذا قطع خطان مستقيمان بعضهما البعض ، فإنهما يجعلان الزوايا الرأسية متساوية مع بعضهما البعض '') تحدث كمقدمات. صحيح أن القياس المنطقي لإقليدس لا يتوافق دائمًا بشكل صارم مع القوالب الأرسطية. ومع ذلك ، فإن معايير الصرامة عالية للغاية ، وتأثير أرسطو واضح بسهولة.

    يُعترف عالميًا بمنطق أرسطو وهندسة إقليدس على أنهما إنجازات علمية شاهقة لليونان القديمة.

    النظريات الرسمية للرياضيات

    نظرية رسمية للهندسة

    مع ظهور حساب التفاضل والتكامل في القرنين السابع عشر والثامن عشر ، تطورت الرياضيات بسرعة كبيرة مع القليل من الاهتمام للأسس المنطقية. كانت هندسة إقليدس لا تزال تُعتبر نموذجًا للصرامة المنطقية ، ومثالًا ساطعًا لما يجب أن يبدو عليه الانضباط العلمي المنظم جيدًا. لكن علماء الرياضيات الغزير الإنتاج في عصر التنوير ، مثل ليونارد أويلر ، لم يُظهروا أي اهتمام تقريبًا بمحاولة وضع حساب التفاضل والتكامل على أساس ثابت مماثل. فقط في النصف الأخير من القرن التاسع عشر بدأ العلماء في التعامل مع هذه المشكلة التأسيسية بجدية. كانت للأزمة الناتجة عواقب بعيدة المدى. حتى هندسة إقليدس نفسها خضعت للتدقيق النقدي. اكتشفت مقاييس مثل Moritz Pasch ما اعتبروه فجوات أو عدم دقة في العناصر. دخل علماء الرياضيات العظماء مثل ديفيد هيلبرت المعركة.

    كانت نتيجة كل هذا النشاط التأسيسي إعادة صياغة شاملة للهندسة ، هذه المرة كمجموعة من النظريات الرسمية داخل حساب التفاضل والتكامل الأصلي. حصل ألفريد تارسكي على رؤى حاسمة. سنقوم برسم نظرية تارسكي الرسمية للهندسة المستوية الإقليدية 15. 16

    كمسندات بدائية ، يأخذ Tarski (`` النقطة '') ، (`` بين '') ، (`` المسافة '') ، (`` الهوية ''). الصيغ الذرية ، و ، تعني `` هي نقطة '' ، و''تقع بين و '' ، و''المسافة من إلى تساوي المسافة من إلى '' ، و''مطابقة لـ '' ، على التوالي . يتم التعامل مع الكائنات الهندسية بخلاف النقاط ، مثل مقاطع الخط والزوايا والمثلثات والدوائر وما إلى ذلك ، عن طريق العناصر الأولية. على سبيل المثال ، الدائرة ذات المركز ونصف القطر تتكون من جميع النقاط التي تحمل.

    في الهندسة ، نقطتان تعتبران متطابقتين إذا كانت المسافة بينهما صفر. يعبر تارسكي عن هذا من خلال بديهية

    إجمالاً ، يقدم تارسكي اثنتي عشرة بديهية ، بالإضافة إلى مجموعة إضافية من البديهيات التي تعبر عن فكرة أن الخط متصل. البيان الكامل لبديهيات تارسكي لهندسة المستوى الإقليدي مُعطى في [10 ، الصفحات 19-20]. لنكن النظرية الرسمية القائمة على بديهيات تارسكي.

    من اللافت للنظر أن تارسكي قد أظهر أن ذلك مكتمل. هذا يعني أنه ، لأي بيان 17 هندسي بحت ، إما أو هي نظرية لـ. وهكذا نرى أن بديهيات كافية للإجابة على جميع الأسئلة بنعم / لا في هندسة المستوى الإقليدي. بدمج هذا مع نظرية الاكتمال لـ G & # 246del ، نجد أنه يمكن تحديده: هناك خوارزمية 18 تقبل كمدخل بيان تعسفي للهندسة الإقليدية المستوية ، والمخرجات `` صحيحة '' إذا كانت العبارة صحيحة ، و " خطأ '' إذا كان خطأ. هذا انتصار للبحوث التأسيسية الحديثة.

    نظرية رسمية للحساب

    نعني بالحساب حساب المدرسة الابتدائية ، أي دراسة الأعداد الصحيحة الموجبة ، ، ،. جنبًا إلى جنب مع عمليات الجمع المألوفة () والضرب (). من الواضح أن هذا الجزء من الرياضيات أساسي ، لكن اتضح أنه معقد بشكل مدهش. نكتب أدناه بعض البديهيات التي تدخل في نظرية الحساب الرسمية. 19

    مسنداتنا البدائية للحساب هي (`` العدد '') ، (`` الإضافة '') ، (`` الضرب '') ، (`` الهوية ''). الصيغ الذرية ، ، تعني `` هو رقم '' ، "" ، "" ، "" ، على التوالي. ستستخدم بديهياتنا المسندات ، للتأكيد على أن الأرقام موجودة دائمًا وفريدة من نوعها لأي أرقام وأرقام معينة. سيكون لدينا أيضًا بديهيات تعبر عن بعض القوانين الحسابية المعروفة:


    قوانين الاستبدال: إذا كان رقمًا ، فسيكون رقمًا ، إلخ.
    قوانين تبادلية: و .
    قوانين الجمعيات: و .
    قانون التوزيع: .
    قانون المقارنة: إذا وفقط إذا ، بالنسبة للبعض ، أو.
    قانون الوحدة: .
    اسمحوا أن تكون النظرية الشكلية المحددة من قبل البدائيين والبديهيات المذكورة أعلاه.

    من المعروف أن هذا يكفي لاستخلاص العديد من الحقائق الحسابية المألوفة. على سبيل المثال ، يمكن التعبير عنها ، بشكل محرج 20 للتأكد ، أو

    من ناحية أخرى ، فإن البديهيات ليست شاملة بأي حال من الأحوال. يمكن استكمالها ببديهيات أخرى تعبر عن ما يسمى بالاستقراء الرياضي أو مبدأ العدد الأدنى: إذا كان هناك رقم له خاصية محددة جيدًا ، فمن بين جميع الأرقام التي لها خاصية هناك أصغر واحد. تعتبر النظرية الشكلية الناتجة قوية بشكل ملحوظ ، بمعنى أن نظرياتها تشمل جميع الحقائق الحسابية المعروفة تقريبًا. لكنها ليست قوية كما قد يرغب المرء. في الواقع ، أي نظرية رسمية تتضمن بالضرورة إما غير متسقة 22 أو غير كاملة. وبالتالي لا يوجد أمل في تدوين ما يكفي من البديهيات أو تطوير خوارزمية لتقرير جميع الحقائق الحسابية. هذا هو البديل من نظرية عدم الاكتمال الشهيرة لعام 1931 لـ G & # 246del [5،22]. هناك عدة طرق للتعامل مع ظاهرة عدم الاكتمال ، وهذا يشكل مجالًا نشطًا حاليًا للبحث في أسس الرياضيات.

    التناقض بين اكتمال الهندسة الرسمية وعدم اكتمال الحساب الرسمي لافت للنظر. إن كلا الجانبين من هذه الثنائية لهما أهمية فلسفية واضحة.

    نظرية المجموعات الرسمية

    يتمثل أحد أهداف البحث المنطقي الحديث في ابتكار نظرية رسمية واحدة توحد كل الرياضيات. ستكون مثل هذه النظرية بالضرورة خاضعة لظاهرة عدم اكتمال G & # 246del ، لأنها لن تتضمن فقط ولكن أيضًا.

    تتمثل إحدى طرق الرياضيات الموحدة في تضمين الحساب بشكل مباشر في الهندسة ، عن طريق تحديد الأعداد الصحيحة بنقاط متباعدة بشكل متساوٍ على الخط. كانت هذه الفكرة مألوفة لدى الإغريق القدماء. نهج آخر هو شرح الهندسة من حيث الحساب والجبر ، عن طريق أنظمة الإحداثيات ، مثل خطوط الطول والعرض على الخريطة. تعود هذه الفكرة إلى عالم الرياضيات والفيلسوف في القرن السابع عشر رين & # 233 ديكارت وعالم الرياضيات في القرن التاسع عشر كارل وييرستراس. كلا النهجين يؤديان إلى نفس النظرية الرسمية ، والمعروفة باسم الحساب من الدرجة الثانية. 23 تتضمن هذه النظرية كلاً من الرياضيات الحديثة وهي مناسبة. وبالتالي ، فإن القرار بشأن جعل الهندسة أكثر جوهرية من الحساب أو العكس هو في الغالب مسألة ذوق.

    هناك طريقة مختلفة تمامًا للرياضيات الموحدة وهي من خلال نظرية المجموعات. هذا نهج غريب في القرن العشرين. إنه يعتمد على مفهوم واحد بسيط للغاية: المجموعات. من اللافت للنظر أن هذا المفهوم يؤدي مباشرة إلى بنية واسعة تشمل جميع الرياضيات الحديثة.

    المجموعة هي مجموعة من الكائنات تسمى عناصر المجموعة. نستخدم أحيانًا رموزًا غير رسمية للإشارة إلى أن مجموعة تتكون من عناصر ، ،. يمكن أن يكون عدد العناصر في المجموعة كبيرًا بشكل تعسفي أو حتى غير محدود. المبدأ الأساسي لنظرية المجموعات هو أن المجموعة تحددها عناصرها. وبالتالي ، فإن مجموعتين متطابقتين إذا وفقط إذا كان لديهم نفس العناصر. يُعرف هذا المبدأ بالامتداد. على سبيل المثال ، تعتبر المجموعة هي نفس المجموعة لأن العناصر هي نفسها ، على الرغم من كتابتها بترتيب مختلف.

    ينشأ الكثير من تعقيد نظرية المجموعات من حقيقة أن المجموعات قد تكون عناصر من مجموعات أخرى. على سبيل المثال ، المجموعة هي عنصر من عناصر المجموعة وهذا يختلف عن المجموعة.

    بالنسبة للنظرية الشكلية للمجموعات ، نستخدم ثلاثة عناصر أولية: (`` المجموعة '') ، (`` الهوية '') ، (`` العنصر ''). الصيغ الذرية ، تعني `` مجموعة '' ، `` متطابقة مع '' ، `` هي عنصر من '' ، على التوالي. إحدى القواعد الأساسية لنظرية المجموعات هي أن المجموعات فقط قد تحتوي على عناصر. يتم التعبير عن هذا كبديهية. بالإضافة إلى ذلك ، هناك بديهية التمدد

    نهج نظرية المجموعة في الحساب هو من حيث الأعداد الصحيحة غير السالبة ، ، ، ،. يتم تحديد هذه الأرقام مع مجموعات محددة. على وجه التحديد ، نحن نتعرف على المجموعة الفارغة ، مع ، مع ، مع ، وما إلى ذلك. بشكل عام ، نحدد الرقم مع مجموعة الأرقام الأصغر. من بين البديهيات هي بديهية اللانهاية التي تؤكد وجود المجموعة اللانهائية. يمكن للمرء استخدام المجموعة لإظهار أنه يتضمن نظرية مكافئة. بعد ذلك ، يمكن للمرء أن يتبع أفكار ديكارت و Weierstrass ليرى أن ذلك يتضمن أيضًا نظرية مكافئة لـ. اتضح أنه يمكن أيضًا محاكاة بقية الرياضيات الحديثة في الداخل. يتضمن هذا نظرية مفصلة للمجموعات اللانهائية التي هي أكبر بكثير من.

    من المسلم به أن النهج النظري الثابت للحساب والهندسة مصطنع إلى حد ما. ومع ذلك ، فإن فكرة تأسيس جميع الرياضيات على مفهوم واحد بسيط ، المجموعات ، قد مارست جاذبية قوية. 24 لم يتم فهم الآثار المترتبة على هذه الفكرة بشكل كامل حتى الآن وهي موضوع بحث حالي.


    13.9: ناقش: تطبيق المنطق - الرياضيات

    الرياضيات لقد كانت لعنة العديد من الطلاب & # 8217 حياة (بما في ذلك حياتي.) منذ البداية & # 8217s. من ناحية أخرى، علوم الكمبيوتر مثير جدًا للاهتمام ويدرسه الطلاب على أمل أن يصبحوا الطفل المتميز في البرمجة. ولكن انتظر & # 8230 هو حقا بهذه البساطة. لا ، أصدقائي ، إنه ليس & # 8217t…. في الواقع ، ترتبط علوم الكمبيوتر ارتباطًا وثيقًا بالرياضيات.

    لسنوات عديدة ، كان هناك الكثير من الجدل حول أهمية الرياضيات في علوم الكمبيوتر. يعتقد البعض أنه لا يضيف سوى القليل من القيمة في علوم الكمبيوتر بينما يعتقد البعض الآخر (في الغالب في الأغلبية!) أنه الأساس الذي بنيت عليه علوم الكمبيوتر. وفقًا لجامعة أكسفورد:

    الرياضيات هي أداة فكرية أساسية في الحوسبة ، ولكن الحوسبة تستخدم أيضًا بشكل متزايد كعنصر رئيسي في حل المشكلات الرياضية.

    حتى لو كانت للرياضيات مثل هذه القيمة & # 8230 ، لا يزال السؤال قائمًا & # 8220لماذا تعتبر الرياضيات مهمة جدًا في علوم الكمبيوتر؟& # 8221 لذا دعونا نركز على ذلك الآن.

    لماذا تعتبر الرياضيات مهمة جدًا في علوم الكمبيوتر؟

    تخيل برج خليفة (أطول مبنى في العالم). الآن ، ما هو أهم جزء في هذا المبنى؟ لا ، ليس هو & # 8217s ليس الارتفاع (حسنًا ، هذا أيضًا!) ولكن أساسًا أساسه. إذا لم يكن لبرج خليفة أساس قوي ، لكان من المحتمل أن يسقط أكثر من أن يقف !!

    الآن ، إذا كنت تتساءل عن هذه القصة الخارجة عن الموضوع ، فإن الرياضيات هي الأساس الذي تُبنى عليه علوم الكمبيوتر (برج خليفة & # 8230 احصل عليه؟!). في الواقع ، يمكن القول أن علوم الكمبيوتر هي مجموعة فرعية من العلوم الرياضية بشكل عام. كيف ذلك؟ حسنًا ، بعض النقاط التي توضح ذلك موضحة أدناه:

    1. الرياضيات المتقطعة هي أساس علوم الكمبيوتر

    هل سمعت يومًا عن تدوين المنطق ، ونظرية المجموعات ، والتوافقية ، ونظرية الرسم البياني ، والاحتمالية ، ونظرية الأعداد ، والجبر ، وما إلى ذلك؟ لا تشغل بالك ، فهذه كلها جزء من الرياضيات المنفصلة وأيضًا أساس أساسي للبرمجة وعلوم الكمبيوتر (وهذا يعني أنك بحاجة إلى دراسة هذه العلوم من أجل علوم الكمبيوتر).

    وخير مثال على ذلك الجبر. بينما يتم استخدام الجبر البولي في البوابات المنطقية ، يتم استخدام الجبر العلائقي في قواعد البيانات. إذا كنت بحاجة إلى مثال آخر ، فإن نظرية الأعداد لها تطبيقات متعددة في علم التشفير وتحليل التشفير. (هل ترى الأهمية بعد ؟!)

    2. الرياضيات تعلم استخدام الخوارزميات

    تعد الخوارزميات جزءًا أساسيًا من علوم الكمبيوتر ويجب أن تكون قد سمعت عنها بطريقة أو بأخرى (إذا لم يكن الأمر كذلك & # 8230 ، فأنت بحاجة إلى الدراسة مرة أخرى.). إنها في الأساس مجموعة من التعليمات التي توضح تنفيذ برنامج أو تطبيق.

    الآن ، أين استخدمت الخوارزمية لأول مرة؟ لم يكن فصل علوم الكمبيوتر ولكن في الواقع فئة الرياضيات! لا تصدقني. حسنًا ، & # 82202 + 3 = 5 & # 8221 هي خوارزمية أساسية تعلمتها في فصل الرياضيات توضح مجموع 2 و 3. الرياضيات مهمة جدًا في الواقع في تعلم الاستخدام الأساسي للخوارزميات المستخدمة في شكل متقدم في الكمبيوتر علم.

    3. توفر الرياضيات المهارات التحليلية المطلوبة في علوم الكمبيوتر

    المهارات التحليلية ضرورية لحل المشكلات وتحليل البيانات. وخمن أين تستخدم هذه المهارات لأول مرة؟ الرياضيات. نعم ، تجبرك الرياضيات دائمًا على تحليل معادلاتك وفهم تدفق الاشتقاق في حالة حدوث خطأ. يجب إصلاح هذا الخطأ من أجل الحصول على الحل النهائي.

    يوفر هذا الكثير من المهارات التحليلية التي يمكن استخدامها لاحقًا في العثور على الأخطاء وإصلاحها. على الرغم من وجود أدوات حديثة يمكنها القيام بهذه المهمة تلقائيًا ، فإن الخبرة والمعرفة المكتسبة حول تدفق البرنامج وتصحيح الأخطاء لا تقدر بثمن.

    4. المفاهيم الرياضية مطلوبة في العديد من تخصصات علوم الكمبيوتر

    يعد مصطلح "علوم الكمبيوتر" مصطلحًا شاملاً يحتوي على العديد من التخصصات مثل أنظمة التشغيل وقواعد البيانات والشبكات والذكاء الاصطناعي والأنظمة المضمنة وتحليلات البيانات…. وعلى الرغم من وجود بعض التخصصات التي يمكنك التعامل معها بأقل قدر من المعرفة بالرياضيات ، فإن معظمها يتطلب على الأقل مستوى معينًا من الكفاءة.

    على سبيل المثال ، تتطلب مجالات مثل الذكاء الاصطناعي والتعلم الآلي معرفة شاملة بالمفاهيم الرياضية مثل الجبر الخطي ، وحساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات ، ونظرية الاحتمالات ، وما إلى ذلك (وهذا يجعل الرياضيات مهمة جدًا.)

    إذن ما هي الخلاصة؟

    هل الرياضيات ضرورية حقًا علوم الكمبيوتر؟ حسنًا ، قد يقول البعض أن ذلك يعتمد على الوظيفة. على سبيل المثال: لا يتطلب إنشاء مدونة عن الطعام بالضرورة أي معرفة بالرياضيات. لكن إنشاء مدونة ناجحة شيء آخر تمامًا. يتطلب التركيز على تفضيلات الجمهور ، وشعبية الموضوع ، وتقييمات المقالات ، وما إلى ذلك ، وخمن ماذا & # 8230 الرياضيات المطلوبة لكل هذا.

    لذا نعم & # 8230 الرياضيات موجودة في أساس علوم الكمبيوتر. وإذا كنت تريد أن تنجح في أي تخصص في علوم الكمبيوتر ، فمن الأفضل أن تغرس حب الرياضيات لأن ذلك سيساعدك بشكل كبير.


    تطبيقات بوابات المنطق

    تطبيقات بوابات المنطق هي:

    • تستخدم NAND Gates في أجهزة الإنذار والصفارات ضد السرقة.
    • يتم استخدامها بشكل أساسي في الدوائر التي تتضمن الحساب والمعالجة.
    • كما أنها تستخدم في مفاتيح الضغط. على سبيل المثال جرس الباب.
    • يتم استخدامها في تشغيل أضواء الشوارع.
    • وتستخدم البوابات لتمكين / تثبيط وظيفة نقل البيانات.
    • كما أنها تستخدم في TTL (منطق الترانزستور الترانزستور) ودائرة CMOS.

    المساعي والعبارات المشتركة

    من المرجح أن يتبع الأشخاص ذوو الأسلوب المنطقي القوي مساعي مثل العلوم والرياضيات والمحاسبة والعمل البوليسي والقانون وبرمجة الكمبيوتر.

    من المرجح أن تستخدم عبارات تعكس أسلوبك المهيمن خارج الأنماط المرئية أو السمعية أو الجسدية ، ومع ذلك يمكنك أيضًا استخدام عبارات مثل هذه:

    • هذا منطقي.
    • اتبع العملية أو الإجراء أو القواعد.
    • لا يوجد نمط لهذا.
    • دعونا نصنع قائمة.
    • يمكننا أن نعمل بها.
    • حددها ، أو اثبت ذلك!

    13.9: ناقش: تطبيق المنطق - الرياضيات

    الترجمة السويدية لهذه الصفحة متاحة في مدونة العلوم: https://www.expertoautorecambios.es/science/؟p=998 .

    تتوفر ترجمة إستونية لهذه الصفحة على:

    الترجمة البرتغالية لهذه الصفحة متاحة على:

    المنطق معني بأشكال التفكير. نظرًا لأن الاستدلال متضمن في معظم الأنشطة الفكرية ، فإن المنطق وثيق الصلة بمجموعة واسعة من المساعي. دراسة المنطق ضرورية لطلاب علوم الكمبيوتر. كما أنه ذو قيمة كبيرة لطلاب الرياضيات وغيرهم ممن يستخدمون البراهين الرياضية ، على سبيل المثال ، طلاب اللغويات. في عملية الاستدلال ، يصنع المرء استنتاجات. في الاستدلال يستخدم المرء مجموعة من العبارات ، المقدمات ، من أجل تبرير عبارة أخرى ، الاستنتاج. أكثر أنواع الاستدلالات موثوقية هي الاستدلالات الاستنتاجية ، حيث يجب أن يكون الاستنتاج صحيحًا إذا كانت المباني كذلك. تذكر الهندسة الأولية: بافتراض أن الافتراضات صحيحة ، فإننا نثبت أن العبارات الأخرى ، مثل نظرية فيثاغورس ، يجب أن تكون صحيحة أيضًا. تستخدم البراهين الهندسية وغيرها من البراهين الرياضية عادة العديد من الاستدلالات الاستنتاجية.

    تتضمن معظم دوراتنا المنطقية تحليلات دقيقة لخصائص الاستدلال الاستنتاجي. تقدم هذه الدورات بعض الرموز الخاصة فيما يسمى بـ `` اللغات الرسمية '' ، لكن المنطق ليس تلاعبًا بالرموز. تقوم الدورات بتدريس المفاهيم والأساليب العامة المفيدة بشكل مستقل عن اللغات الرسمية. يتعلم الطلاب كيفية إنشاء البراهين باللغة الإنجليزية ، وكذلك في لغة رسمية ، بحيث يمكن استخدام المفاهيم والأساليب التي يتم تعلمها في مجموعة متنوعة من السياقات. يتعلم المرء حتى كيفية إثبات النظريات حول اللغات الرسمية وهذا مهم بشكل خاص لعلوم الكمبيوتر واللغويات وبعض فروع الرياضيات.

    تم اختراع فكرة جهاز كمبيوتر للأغراض العامة ، آلة تورينج ، في سياق البحث في المنطق. تتم كتابة برامج الكمبيوتر بلغات رمزية خاصة ، مثل Fortran و C ++ و Lisp و Prolog. تحتوي هذه اللغات على سمات رمزية منطقية ، ويتم اشتقاق Lisp و Prolog من اللغات الرسمية للمنطق. من خلال هذه الروابط ، يمكن لدراسة المنطق أن تساعد المرء في تصميم البرامج. تقنيات رياضية أخرى مغطاة في PHL 313K ، على سبيل المثال ، التعاريف العودية ، تستخدم على نطاق واسع في البرامج. تُستخدم نظرية المجموعات المغطاة في PHL 313K في تصميمات قواعد البيانات الحديثة. لكن علوم الكمبيوتر ليست مجرد برمجة. يتضمن التحليل المنطقي والرياضي للبرامج. من خلال هذه التحليلات ، يمكن للمرء إثبات صحة الإجراءات وتقدير عدد الخطوات المطلوبة لتنفيذ برنامج محدد. يتم استخدام المنطق الحديث في مثل هذا العمل ، ويتم دمجه في البرامج التي تساعد في بناء البراهين على هذه النتائج. وللمنطق أيضًا دور في تصميم لغات البرمجة الجديدة ، وهو ضروري للعمل في الذكاء الاصطناعي والعلوم المعرفية. يستخدم المهندسون بعض أجزاء المنطق في تصميم الدوائر.

    يلزم فهم المواد التي يتم تدريسها في PHL 313K ليكون تخصصًا ناجحًا في علوم الكمبيوتر: 1. تمامًا كما يتم استخدام حساب التفاضل والتكامل في الدورات الهندسية ، يتم استخدام المنطق الأساسي ونظرية المجموعات في العديد من دورات علوم الكمبيوتر. 2. لا تعتبر دورات علوم الكمبيوتر من الدرجة العليا تدريبات على البرمجة ، فهذه الدورات تغطي المبادئ العامة وتتطلب أدلة رياضية حول هذه المبادئ. يعلم PHL 313K المبادئ والأساليب الأساسية لبناء وتقييم البراهين.

    يفكر علماء الرياضيات في المفاهيم المجردة ، على سبيل المثال ، الوظائف المستمرة ، والأنظمة الجبرية مثل `` الحلقات '' والفراغات الطوبولوجية. يتعلم معظم طلاب الرياضيات كتابة البراهين حول مثل هذه الأشياء باتباع الأمثلة في فصولهم. هذا جزء من تعلم الرياضيات ، لكنه بطيء ، وغالبًا ما يؤدي إلى الارتباك. يجد تخصص الرياضيات الذين يدرسون المنطق أنه يساعدهم في تفكيرهم الرياضي. إنه مفيد في تجنب الالتباس ويساعد في بناء براهين واضحة ومقنعة. تعد دراسة المنطق أمرًا ضروريًا للعمل في أسس الرياضيات ، والتي تهتم إلى حد كبير بطبيعة الحقيقة الرياضية وببراهين التبرير حول الكائنات الرياضية ، مثل الأعداد الصحيحة والأعداد المركبة والمجموعات اللانهائية. لا يُطلب من تخصصات الرياضيات في UT أن تأخذ دورة في المنطق ، ولكن أولئك الذين يفعلون ذلك دائمًا يذكرون أنها ممتعة ومفيدة.

    PHL 313K هي مقدمة للمنطق ، ونظرية المجموعات الأولية ، وأسس نظرية الأعداد ، واستخدامات الاستقراء والتكرار. إنها تتطلب دراسة جادة ، لكنها تغطي مواد شيقة ومفيدة. دورات المتابعة الجيدة للطلاب المهتمين بالمنطق الأكثر تقدمًا هي PHL 344K (= M 344K) و PHL 358.


    13.9: ناقش: تطبيق المنطق - الرياضيات

    يمكن القول إن تحليل الأدبيات التمثيلية المتعلقة بالتعلم غير الفعال المعترف به على نطاق واسع لـ "القيمة المكانية" من قبل الأطفال الأمريكيين يظهر أيضًا نقصًا واسعًا في فهم مفهوم القيمة المكانية بين معلمي الحساب بالمدارس الابتدائية وبين الباحثين أنفسهم. مجرد القدرة على استخدام القيمة المكانية لكتابة الأرقام وإجراء العمليات الحسابية ، ووصف العملية ليس فهماً كافياً لتكون قادراً على تعليمها للأطفال بالطريقة الأكثر اكتمالا وكفاءة.

    يشير التحليل المفاهيمي وشرح مفهوم "القيمة المكانية" إلى طريقة أكثر فعالية لتدريسه. ومع ذلك ، فإن التدريس الفعال لـ "القيمة المكانية" (أو أي موضوع مفاهيمي أو منطقي) يتطلب أكثر من التطبيق الميكانيكي لطريقة مختلفة ، أو محتوى مختلف ، أو إدخال نوع مختلف من "التلاعب". أولاً ، من الضروري التمييز بين 1) الاصطلاحات الرياضية ، 2) التلاعب الخوارزمي ، 3) العلاقات المنطقية / المفاهيمية ، ومن ثم من الضروري فهم كل منها يتطلب طرقًا مختلفة للتدريس الفعال. ومن الضروري فهم تلك الأساليب المختلفة. تتضمن القيمة المكانية العناصر الرياضية الثلاثة.

    الممارسة مقابل الفهم

    تقريبًا كل من واجه صعوبة في الجبر التمهيدي كان لديه مدرس جبر يقول لهم "فقط اعملوا على المزيد من المشاكل ، وسيصبح الأمر واضحًا لك. أنت فقط لا تعمل مشاكل كافية." وبالطبع ، عندما لا تستطيع حل أي مشاكل ، فمن الصعب حل الكثير منها. إن تلبية الشكوى "لا يمكنني فعل أي من هذه" مع الرد "ثم افعلها جميعًا" يبدو سخيفًا ، عندما يتعلق الأمر بفهم مفاهيمي. ليس الأمر سخيفًا عندما يتعلق الأمر ببساطة بممارسة شيء ما يمكن للمرء القيام به بشكل صحيح ، ولكن ليس فقط ببراعة أو بسلاسة أو بسرعة أو تلقائيًا كما تسمح الممارسة. ومن ثم ، يمارس الرياضيون مهارات مختلفة لجعلهم أكثر تلقائية وانعكاسية ، يمارس الطلاب تلاوة قصيدة حتى يتمكنوا من القيام بها بسلاسة ، ويتدرب الموسيقيون على مقطوعة حتى يتمكنوا من عزفها بقليل من الجهد أو الخطأ. وممارسة شيء لا يستطيع المرء القيام به بشكل جيد ليس من السخف حيث تسمح الممارسة بالتصحيح الذاتي. ومن ثم ، قد يكون لاعب التنس قادرًا على إجراء ضربة خاطئة بنفسه عن طريق تحليل شكله الخاص للعثور على أسلوب معيب أو عن طريق تجربة أشياء مختلفة حتى يصل إلى شيء يبدو صحيحًا ، والذي يمارسه بعد ذلك. لكن ممارسة شيء لا يستطيع المرء حتى البدء في القيام به أو فهمه ، وأن التجربة والخطأ لا يتحسنان ، لن يؤدي إلى الكمال أو - كما في حالة بعض الجوانب المفاهيمية للجبر - أي فهم على الإطلاق.

    ما هو ضروري لمساعدة الطالب على تعلم الجوانب المفاهيمية المختلفة للجبر هو اكتشاف بالضبط ما لا يفهمه من الناحية المفاهيمية أو المنطقية حول ما تم تقديمه له. هناك عدد من الأسباب التي قد تجعل الطالب غير قادر على حل مشكلة ما ، وتكرار الأشياء التي يفهمها ، أو مجرد تكرار (1) الأشياء التي سمعها في المرة الأولى ولكن لا يفهمها ، لن تساعده بشكل عام . حتى تكتشف حجر العثرة المحدد ، من غير المحتمل أن تصمم إجابة تلبي احتياجاته ، خاصةً إذا لم ينجح تفسيرك العام معه في المرة الأولى أو مرتين أو ثلاثة على أي حال ولم يحدث شيء لجعل هذا التفسير أكثر من ذلك. مفهومة أو ذات مغزى بالنسبة له في هذه الأثناء.

    هناك عدد من الأماكن في تعليم الرياضيات حيث يواجه الطلاب صعوبات مفاهيمية أو منطقية تتطلب أكثر من مجرد ممارسة. يتضمن الجبر بعضًا منها ، لكني أود أن أتطرق إلى واحدة من أقدمها - القيمة المكانية. من قراءة البحث ، ومن التحدث مع معلمي الحساب بالمدرسة الابتدائية ، أظن (وسأحاول أن أوضح لماذا أشك في ذلك) أن الأطفال يواجهون صعوبة في تعلم القيمة المكانية لأن معظم معلمي المدارس الابتدائية (مثل معظم البالغين بشكل عام ، بما في ذلك أولئك الذين يبحثون عن فعالية فهم الطلاب للقيمة المكانية) لا يفهمونها من الناحية المفاهيمية ولا يقدمونها بطريقة يمكن للأطفال فهمها. (2) (3) يمكن لمعلمي المدارس الابتدائية أن يفهموا بشكل عام ما يكفي عن القيمة المكانية لتعليم معظم الأطفال بما يكفي ليكونوا قادرين على العمل معها في نهاية المطاف ، لكنهم لا يفهمون في كثير من الأحيان القيمة المكانية من الناحية المفاهيمية والمنطقية بشكل كافٍ لمساعدة الأطفال على فهمها من الناحية المفاهيمية وجيد جدا منطقيا. وقد يعيقون التعلم عن طريق إرباك الأطفال بطرق لا يحتاجون إليها ، على سبيل المثال ، محاولة جعل الأعراف التعسفية تبدو وكأنها مسائل منطقية ، لذلك يهدر الأطفال الكثير من رأس المال الفكري في محاولة لفهم ما لا يمكن فهمه.

    وهناك مشكلة أخرى في التدريس تتمثل في أنه نظرًا لأن المعلمين ، مثل معلمي الجبر المشار إليهم أعلاه ، لا يميلون إلى اكتشاف ما لا يفهمه الأطفال على وجه التحديد ، لا يفعل المعلمون ، حتى عندما يفهمون ما يقومون بتدريسه ، لن نفهم دائمًا ما يتعلمه الطلاب - وما لا يتعلمونه. هناك جانبان على الأقل للتدريس الجيد: (1) معرفة الموضوع جيدًا بما فيه الكفاية ، و (2) القدرة على معرفة ما يفكر فيه الطلاب أثناء محاولتهم تعلم الموضوع ، من أجل أن يكونوا أكثر فائدة في التيسير التعلم. من الصعب معرفة كيفية المساعدة عندما لا يعرف المرء ما هو الخطأ ، إن وجد. يبدو أن المقاطع المقتبسة أدناه تشير إما إلى فشل الباحثين في معرفة ما يعرفه المعلمون عن الطلاب أو فشل المعلمين في معرفة ما يعرفه الطلاب عن القيمة المكانية. إذا كان هذا هو الأخير ، فيبدو أن هناك تعليمًا يحدث دون أن يحدث تعلم ، وهو تناقض لفظي أعتقد أنه يعني عدم حدوث "تعليم" ، ولكن مجرد عروض تقديمية للطلاب دون بذل جهد كافٍ ناجح لمعرفة كيف يمكن للطلاب تلقي هذا العرض التقديمي أو تفسيره أو فهمه ، وغالبًا بدون جهد كافٍ ناجح لاكتشاف ما يجب تقديمه بالفعل لطلاب معينين. (4) جزء من التدريس الجيد هو جعل بعض الطلاب يستوعبون ويتعلمون ما يحاول المرء تعليمه. ليس من السهل دائمًا القيام بذلك ، ولكن على الأقل يجب القيام بالمحاولة مع تقدم المرء. معلمون ينبغي لقد عرفت لبعض الوقت ما لم يكتشفه الباحثون على ما يبدو إلا مؤخرًا نسبيًا حول فهم الأطفال للقيمة المكانية: "الأدبيات مليئة بالدراسات التي تحدد صعوبات الأطفال في تعلم مفاهيم القيمة المكانية. (جونز وثورنتون ، ص 12)" "ميكو كشفت تحقيقات Kamii (1980 ، 1982) الرائدة في هذا المجال عن سوء فهم صارخ كان منتشرًا بشكل مدهش. أظهر تحقيقه [كذا هي] أنه على الرغم من عدة سنوات من تعلم القيمة المكانية ، لم يتمكن الأطفال من تفسير المفاهيم الأولية للقيمة المكانية. ص 12) (5) "

    منذ أن علمت أطفالي القيمة المكانية بعد أن رأيت كيف فشل المعلمون في تدريسها (6) ، وبما أنني قمت بتعليم فصول للأطفال بعض الأشياء حول القيمة المكانية التي يمكنهم فهمها ولكنهم لم يفكروا بها أو تعرضوا لها من قبل ، أعتقد أن الفشل في تعلم مفاهيم القيمة المكانية لا يكمن في افتقار الأطفال لإمكانية الفهم ، ولكن في الطريقة التي يفهم بها المعلمون القيمة المكانية وطرق تدريسها بشكل عام. لا ينبغي أن يكون مفاجئًا أن الشيء الذي لم يتم تدريسه جيدًا بشكل عام لا يتم تعلمه جيدًا بشكل عام. تُظهر الأدبيات البحثية حول القيمة المكانية أيضًا نقصًا في فهم الجوانب المفاهيمية والعملية الأساسية لتعلم القيمة المكانية ، واختبار لفهمها. يبدو أن الباحثين يقومون بتقييم نتائج التدريس الخاطئ من الناحية المفاهيمية وطرق الاختبار المتعلقة بالقيمة المكانية. وعندما يجدون اختلافات ثقافية أو مجتمعية في تعلم القيمة المكانية ، يبدو أنهم يركزون على العوامل التي تبدو ، من وجهة نظر مفاهيمية ، أقل ارتباطًا سببيًا من العوامل الأخرى. أعتقد أن هناك طريقة أفضل لتدريس القيمة المكانية أكثر مما تُدرَّس عادةً ، وأن الأطفال عندئذٍ سيكون لديهم فهم أفضل لها في وقت مبكر. علاوة على ذلك ، أعتقد أن هذه الطريقة الأفضل تنبع من فهم منطق القيمة المكانية نفسها ، جنبًا إلى جنب مع فهم ما يسهل على البشر (سواء كانوا أطفالًا أو بالغين) تعلمه. (7)

    وأعتقد أن التدريس ينطوي على أكثر من مجرد السماح للطلاب (بإعادة) ابتكار الأشياء لأنفسهم. يجب على المعلم على الأقل أن يقود أو يوجه بشكل أو بآخر. عادةً ما تكون طريقة تدريس الرياضيات أو أي شيء آخر أمرًا بالغ الأهمية لمدى جودة وفعالية تعلمها. لقد استغرقت الحضارة آلاف السنين ، والكثير من الإبداع العبقري ، وليس القليل من البصيرة العارضة لتطوير العديد من المفاهيم والكثير من المعرفة التي تمتلكها ، ولا يمكن توقع أن يكتشف الأطفال أو يخترعوا لأنفسهم العديد من هذه المفاهيم أو الكثير من هذه المفاهيم. تلك المعرفة دون أن يعلمها الكبار بشكل صحيح ، شخصيًا أو في الكتب أو وسائل الإعلام الأخرى. لا ينتقل الاكتشاف الفكري والعلمي وراثيًا ، ومن غير الواقعي توقع 25 عامًا من التطور البيولوجي للفرد لتلخيص 25 قرنًا من الإنجاز الفكري الجماعي دون مساعدة كبيرة. على الرغم من أن العديد من الأشخاص يمكنهم اكتشاف أشياء كثيرة لأنفسهم ، إلا أنه يكاد يكون من المستحيل على أي شخص إعادة اختراع ما يكفي من الأفكار المهمة من الماضي بنفسه ليكون مؤهلاً في مجال معين ، والرياضيات ليست استثناءً. عادة ما يتم إعاقة التعلم المحتمل بشدة دون التدريس. وربما يتم إعاقته أكثر بسبب سوء التدريس ، لأن التدريس السيئ يميل إلى إضعاف الفضول والتحفيز ، ولأن المعلومات الخاطئة ، تمامًا مثل العادات السيئة ، قد يكون من الصعب البناء عليها أكثر من عدم وجود معلومات ، وعدم وجود عادات على الإطلاق. في هذه الورقة سأناقش العناصر التي سأناقشها ضرورية للمفهوم ولتعليم القيمة المكانية.

    فهم القيمة المكانية: الجوانب العملية والمفاهيمية

    هناك خمسة جوانب على الأقل للقدرة على فهم القيمة المكانية ، اثنتان أو ثلاثة منها فقط يتم تدريسها أو التأكيد عليها. يتم تجاهل الجانبين أو الثلاثة جوانب الأخرى ، ومع ذلك فإن أحدهما مهم لفهم الأطفال (أو أي شخص) للقيمة المكانية ، والآخر مهم للفهم الكامل ، وإن لم يكن مجرد فهم مفيد. سأقوم أولاً بتسمية هذه الجوانب ووصفها بإيجاز دفعة واحدة ، ثم انتقل إلى مناقشة كاملة لكل جانب على حدة.

    1) تعلم أسماء الأرقام (وترتيبها التسلسلي) واستخدام الأرقام لحساب الكميات ، وتطوير الإلمام بالأرقام وتسهيلها ، والتدرب على الأرقام - بما في ذلك ، عند الاقتضاء ، ليس فقط نطق الأرقام ولكن كتابتها وقراءتها (8) ، وليس من حيث من القواعد التي تتضمن قيمة مكانية ، وما إلى ذلك ، ولكن من حيث إظهار كيفية كتابة وقراءة الأرقام الفردية (مع التعليقات ، عند الاقتضاء ، والتي تشير إلى أشياء مثل "عشرة ، أحد عشر ، اثني عشر ، وجميع المراهقين لديهم" 1 'أمامهم كل الأرقام العشرين بها' 2 'أمامهم "وما إلى ذلك) بدون أسباب حول سبب ذلك (9) ،

    2) الجمع والطرح "البسيط" ،

    3) تطوير الألفة من خلال التدرب على التجميع ، وحساب الكميات المادية حسب المجموعات (وليس فقط قول "مضاعفات" المجموعات - على سبيل المثال ، عد الأشياء بخمس ، وليس مجرد القدرة على تلاوة "خمسة ، عشرة ، خمسة عشر") ، وعند الاقتضاء ، القدرة على قراءة وكتابة أرقام المجموعة - ليس من خلال مفاهيم القيمة المكانية ، ولكن ببساطة من خلال تعلم كيفية كتابة الأرقام من قبل. يجب أن تتضمن التدرب على التجميع والعد حسب المجموعات ، بالطبع ، التجميع حسب العشرة ،

    4) تمثيل (التجمعات)

    5) تفاصيل حول التمثيلات من حيث الأعمدة.

    تتطلب الجوانب (1) و (2) و (3) شرحًا و "تدريبًا" أو ممارسة متكررة. الجوانب (4) و (5) تتضمن الفهم والعقل مع ما يكفي من الإثبات والممارسة لاستيعابها والقدرة على تذكر المنطق العام له مع بعض التفكير ، بدلاً من الخطوات المنطقية المحددة. (10)

    1) مرفق الأرقام ، الممارسة

    كلما كان الشخص أكثر دراية بالأرقام وما تمثله ، كان من الأسهل بشكل عام رؤية العلاقات التي تتضمن أرقامًا. ومن ثم ، من المهم أن يتعلم الأطفال العد وأن يكونوا قادرين على تحديد عدد الأشياء في مجموعة إما عن طريق العد أو عن طريق الأنماط ، وما إلى ذلك. إحدى الطرق لمعرفة ذلك هي أخذ شريحة من 10 أحرف من منتصف الأبجدية ، قل "k ، l ، m ، n ، o ، p ، q ، r ، s ، t" واجعلهم يمثلون 0-9 بترتيب خطي. على الرغم من أن معظم البالغين يمكنهم نطق هذه الأحرف بالترتيب ، تمامًا كما يمكنهم والأطفال نطق أسماء الأرقام بالترتيب ، فمن الصعب جدًا ، ما لم يمارس المرء كثيرًا ، أن تكون قادرًا على تجميع الأشياء في مجموعات من "n" أو اضرب "mrk" مرات "pm" أو لترى أن كل مضاعفات "p" تنتهي إما بـ "p" أو "k". ومع ذلك ، فإن رؤية العلاقات بين العناصر المرتبة بشكل تسلسلي والتي يمكن للمرء أن يسميها بترتيب تسلسلي ، هو الكثير مما يدور حوله الحساب. (من المحتمل حقًا أن عباقرة الرياضيات والعبقرية لا يحتاجون إلى أسماء أرقام من أجل رؤية العلاقات العددية ، لا أعرف ولكن معظمنا سيضيع في أي نوع من العمليات الحسابية ذات المستوى الأعلى إذا لم نتمكن من الاعتماد على ( أسماء) الأرقام ، أو التعرف على عدد الأشياء (بالاسم) ، أو استخدام الأرقام (بالاسم) بطرق بسيطة نسبيًا لتبدأ بها.) ومن ثم ، يحتاج الأطفال عادةً إلى تعلم عد الأشياء وفهم "عدد" العدد تمثل الأسماء. يميل الآباء والمعلمون إلى تعليم الطلاب كيفية العد ومنحهم على الأقل بعض الممارسة في العد. هذا مهم.

    2) الجمع والطرح البسيط

    من خلال "الجمع والطرح البسيط" ، أعني الجمع والطرح فيما يتعلق بالكميات التي يمكن للأطفال تعلمها الجمع والطرح فقط عن طريق العد معًا في البداية ، ثم مع الممارسة ، يتعلمون بسرعة إلى حد ما التعرف على الذاكرة. على سبيل المثال ، يمكن للأطفال أن يتعلموا اللعب بالدومينو أو بزهرتي نرد وجمع الكميات ، في البداية عن طريق عد كل النقاط ، ولكن بعد فترة من تذكر المجموعات. يمكن للأطفال أن يلعبوا شيئًا مثل لعبة ورق بالبطاقات وأن يطوروا وسيلة بإضافة الأرقام على بطاقات الوجه. أو يمكنهم لعب "حرب الفريق" ، حيث يقوم كل زوج من الأفراد بتسليم بطاقة ، كما يفعل الأفراد في الفريق المنافس ، وأي فريق لديه أعلى مبلغ ، يحصل على جميع الأوراق الأربعة مقابل كومة أوراقهم. قد تنطوي عملية الجمع والطرح بهذه الطريقة (أو في بعض الحالات ، حتى الضرب أو القسمة) على كميات يمكن إعادة تجميعها إذا تم حسابها بواسطة الخوارزمية على الورق ، ولكن لا علاقة لها بإعادة التجميع عند إجرائها بهذه الطريقة "المباشرة" أو "" بطريقة بسيطة. على سبيل المثال ، يميل الأطفال الذين يلعبون ألعاب الورق المختلفة مع مجموعات كاملة من أوراق اللعب العادية إلى تعلم أن نصف العدد 52 هو 26 ، وأن المجموعة المقسمة بالتساوي بين أربعة أشخاص تمنحهم كل 13 بطاقة.

    من المهم بشكل خاص أن يحصل الأطفال على تدريب كافٍ ليصبحوا سهلين بإضافة أزواج من الأرقام المكونة من رقم واحد والتي لا تصل مجاميعها إلى 10 فحسب ، بل تصل أيضًا إلى 18. ومن المهم بشكل خاص أن يحصلوا على تدريب كافٍ ليصبحوا سهلين مع طرح الأرقام المكونة من رقم واحد التي تنتج إجابات مكونة من رقم واحد ، ليس فقط من القيم الدنيا التي تصل إلى 10 ، ولكن من الحد الأدنى بين 10 و 18. والسبب في ذلك هو أنه عندما تعيد التجميع للطرح ، إذا أعدت التجميع "أولاً" (11) ، فستنتهي دائمًا بطرح يتطلب إزالة رقم مكون من 10 إلى 18 رقمًا واحدًا أكبر من "الآحاد" "رقم من الحد الأدنى (أي الرقم بين 10 و 18). على سبيل المثال ، 15-7 ، 18-9 ، 11-4 ، إلخ. السبب الذي دفعك إلى "إعادة التجميع" أو "الاقتراض" في المقام الأول هو أن الرقم الفرعي في العمود المعني كان أكبر من الرقم الأصغر في ذلك العمود وعندما تعيد تجميع الحد الأدنى ، لا تتغير هذه الأرقام ، لكن الرقم الأدنى يكتسب ببساطة "عشرة" ويصبح رقمًا بين 10 و 18. (الرقم الأصلي الصغير - في الوقت الذي تحاول فيه الطرح منه (12) - يجب أن تكون بين 0 و 8 ، بشكل شامل ، حتى لا تتمكن من الطرح دون إعادة التجميع. لو كان الرقم تسعة ، لكانت قادرًا على طرح أي رقم فردي محتمل منه دون الحاجة إلى طريقة أخرى لقول ذلك هي أنه كلما قمت بإعادة التجميع ، ينتهي بك الأمر بطرح من النموذج:

    حيث سيكون الرقم بعد 1 بين 0 و 8 (ضمناً) وسيكون أصغر من الرقم المحدد بواسطة "x" (13).

    لا يحصل الأطفال غالبًا على تدريب كافٍ في هذا النوع من الطرح لجعله مريحًا وتلقائيًا بالنسبة لهم. تميل العديد من ألعاب الرياضيات "التعليمية" التي تتضمن عمليات الجمع والطرح البسيطة إلى ممارسة مبالغ تصل إلى 10 أو 12 كحد أدنى ، ولكن ليس حتى 18. أعتقد أن الافتقار إلى مثل هذه الممارسة وعدم "الراحة" مع عمليات الطرح المجمعة يميل إلى المساهمة في إحجام الأطفال عن إعادة التجميع بشكل صحيح للطرح لأنهم عندما يصلون إلى الجزء الذي يتعين عليهم فيه طرح مجموعة من النموذج أعلاه ، يعتقدون أنه لا بد من وجود خطأ ما لأن ذلك لا يزال مجموعة يمكن التعرف عليها "تلقائيًا" بالنسبة لهم. ومن ثم يذهبون إلى شيء آخر هم تستطيع طرح او خصم في حين أن (على سبيل المثال ، عن طريق عكس المطروح وتقليل الأرقام في هذا العمود ، لذلك "يخرج" من خلال السماح بطرح رقم أصغر من رقم أكبر) على الرغم من أنه ينتهي بشكل خاطئ. بمعنى ما ، فإن فعل ما يبدو مألوفًا لهم "أمر منطقي" بالنسبة لهم (14).

    يمكن أن تعمل الذاكرة جيدًا بعد قليل من التدريب مع عمليات الجمع والطرح "البسيطة" (المجاميع أو الحد الأدنى لـ 18) ، حيث يمكن للذاكرة بشكل عام أن تعمل بشكل جيد جدًا فيما يتعلق بالكميات. تعلمت إحدى بناتي في سن الخامسة أو السادسة كيفية الحصول على درجات عالية للغاية في لعبة كمبيوتر تتطلب تحديد الأعداد الأولية بسرعة وبشكل صحيح. لقد تعلمت الأرقام عن طريق التجربة والخطأ أثناء لعب اللعبة مرارًا وتكرارًا ، ولم يكن لديها أدنى فكرة عما يعنيه كونها رقمًا أوليًا أنها تعرف فقط الأرقام (التي كانت في اللعبة) التي كانت أولية. وبالمثل ، إذا لعب الأطفال مع إضافة العديد من نفس مجموعات الأرقام ، حتى الأعداد الكبيرة ، فإنهم يتعلمون أن يتذكروا ما تضيفه هذه المجموعات أو تطرحه بعد فترة قصيرة. يمكن أن تكون هذه القدرة مفيدة عند الإضافة لاحقًا بواسطة مجموعات غير متشابهة (على سبيل المثال ، سبعة وثمانية ، بدلاً من الإضافة بواسطة مجموعات من كل المجموعات العشر). وفقًا لفوسون ، يتم إعطاء العديد من الأطفال الآسيويين هذا النوع من الممارسة بأزواج من الكميات التي يصل مجموعها إلى عشرة. ولكن يمكن للمرء أن يفعل كميات أخرى أيضًا ، والأرقام المكونة من رقم واحد والتي تلخص حتى 18 وتشتمل عليها ، والطرح المكون من رقم واحد من الطرح حتى 18 والذي ينتج إجابات مكونة من رقم واحد ، مهمة للأطفال للتدرب عليها. (إحدى الطرق لتقديم مثل هذه الممارسة التي يبدو أن الأطفال يستمتعون بها هي أن يلعبوا نسخة غير مقامرة من البلاك جاك أو "21" مع مجموعة أوراق بها جميع بطاقات الصور التي تمت إزالتها. والسبب في إزالة بطاقات الصور هو لإعطاء فرصة أكبر لممارسة إضافة التوليفات التي لا تحتوي على عشر ، والتي تعتبر سهلة إلى حد ما.)

    يبدو أن تحليل البحث في القيمة المكانية يوضح تمامًا أن الأطفال يؤدون عمليات خوارزمية بشكل غير صحيح بطرق قد يتعرفون عليها بوضوح على أنها أخطاء إذا كان لديهم إلمام أكبر بما تعنيه الكميات وبالجمع والطرح "البسيط". يوضح Fuson في جدول (ص 376) أربعة عشر نوعًا مختلفًا من الأخطاء التي وجد الباحثون أن الأطفال يرتكبونها في أداء خوارزميات الجمع والطرح التي تتطلب "إعادة التجميع" أو "التداول". لكن الأخطاء التي أعتقد أنها الأكثر أهمية هي تلك التي تنطوي على حصول الأطفال على إجابة شائنة لأنهم على ما يبدو ليس لديهم فكرة عن ماهية الخوارزمية حقًا. مثالان: يمكن للأطفال كتابة مجموع لكل عمود ، فيجمعون 375 إلى 466 ويحصلون على 71311. أو "يتلاشى الواحد" (أي فقط تجاهلها وانسها) بحيث يضيفون 777 إلى 888 ويحصلون على 555 من الواضح ، إذا فهم الأطفال في الحالة الأولى أنهم كانوا يجمعون رقمين معًا في مكان ما حول 400 لكل منهما ، فسيعرفون أنه يجب أن ينتهي بهم الأمر بإجابة في مكان ما حول 800 ، وأن 71000 بعيد جدًا. وسيفهمون في الحالة الثانية أنه لا يمكنك جمع كميتين (موجبتين) معًا والحصول على كمية أصغر من أي منهما. (15) ليس سيئًا جدًا أن يرتكب الأطفال أحيانًا أخطاء حسابية بسيطة يمكن لأي شخص فهمها ولا يزال يرتكب خطأ. وليس الأمر سيئًا للغاية إذا ارتكب الأطفال أخطاء حسابية لأنهم لم يتعلموا أو يمارسوا الخوارزمية بما يكفي لتذكر أو أن يكونوا قادرين على اتباع قواعد الخوارزمية جيدًا بما يكفي لحل مشكلة بشكل صحيح تتطلب مزيدًا من الممارسة. ولكن يجب أن يكون من الأهمية بمكان أن العديد من الأطفال لا يستطيعون إدراك أن الإجراء ، والطريقة التي يقومون بها ، ينتج عنها إجابة سيئة ، بحيث لا بد أنهم يفعلون شيئًا خاطئًا! الأجوبة التي تفصلها فوسون في مخططها الخاص بأخطاء الحساب الخوارزمي أقل إزعاجًا بشأن استخدام الأطفال للخوارزميات مقارنة بفهم الأطفال لعلاقات العدد والكمية وفهمهم لما يحاولون تحقيقه حتى باستخدام الخوارزميات (في هذه الحالة ، للجمع والطرح).

    نظرًا لأن حساب الأعداد الكبيرة من الأشياء في كل مرة يصبح أمرًا شاقًا ، فإن العد حسب المجموعات المكونة من اثنين ، وثلاثة ، وخمسة ، وعشرة ، وما إلى ذلك ، يعد مهارة مفيدة لتسهيل الأمر. يجب تعليم الطلاب وتمرينهم على العد بهذه الطريقة ، وعمومًا يجب إخبارهم بأنها طريقة أسرع وأسهل لحساب الكميات الكبيرة. (16) أيضًا ، هو بمثابة مقدمة لعملية الضرب ، لأن العد حسب المجموعات (على سبيل المثال ، ثلاثة) يقدم واحدًا دون وعي إلى مضاعفات تلك المجموعات (أي في هذه الحالة ، مضاعفات الثلاثة). وبالطبع ، فإن التجميع حسب العشرات هو مقدمة لفهم تلك الجوانب الحسابية على أساس العشرات. يقوم العديد من المدرسين بتعليم الطلاب العد حسب المجموعات والتعرف على الكميات من خلال الأنماط التي يمكن أن تقوم بها المجموعة (مثل أوراق اللعب الرقمية). هذا مهم.

    جوانب العناصر 2) و 3) يمكن "تدريسها" أو تعلمها في نفس الوقت. على الرغم من أنها متميزة "منطقيًا" ، إلا أنها لا تحتاج إلى تعليمها أو تعلمها بترتيب تسلسلي أو تحديدًا بالترتيب الذي أذكره هنا. تحدث العديد من الأفكار المتميزة من الناحية المفاهيمية معًا بشكل طبيعي في الممارسة.

    4) تمثيل المجموعات

    هذا ما يفعله معظم معلمي المدارس الابتدائية ، نظرًا لأنهم عمومًا ليسوا متخصصين في الرياضيات ، ولا يفهمون ، ويمكنهم التدريس فقط فيما يتعلق "بالقيمة المكانية" العمودية. لكن القيمة المكانية العمودية هي (1) ليست الطريقة الوحيدة لتمثيل المجموعات ، و (2) إنها طريقة صعبة للغاية بالنسبة للأطفال لفهم تمثيلات المجموعات. هناك المزيد من الطرق التي يمكن للأطفال الوصول إليها للعمل مع تمثيلات المجموعات. وأعتقد أنه من الأسهل عليهم أن يتعلموا القيمة المكانية العمودية إذا بدأناهم بمزيد من التمثيلات الجماعية التي يمكن الوصول إليها من الناحية النفسية.

    بمجرد أن يكتسب الأطفال سهولة في العد ، ومع العد حسب المجموعات ، خاصة المجموعات المكونة من 10 وربما 100 و 1000 (أي معرفة أنه عند تجميع الأشياء حسب 100 و 1000 ، فإن السلسلة تبدأ "100 ، 200 ، 300 ، .900 ، 1000 و 1000 ، 2000 ، 3000 ، وما إلى ذلك) ، أعتقد أنه من الأفضل البدء في تعلم نوع قيم المجموعة التمثيلية التي يبدو أن الأطفال ليس لديهم مشكلة فيها - مثل الألوان ، كما هو الحال في رقائق البوكر (أو البلاط الملون ، إذا شعرت أن رقائق "البوكر" غير مناسبة لأطفال المدارس ، فإن رقائق البوكر غير مكلفة ومتاحة وسهلة التلاعب ويمكن تكديسها) (17). واحد فقط لا يحتاج ، ولا ينبغي أن يتحدث عن " التمثيل "، ولكن قم فقط بإعداد بعض المبادئ مثل" لدينا هذه الرقائق الثلاثة المختلفة للعبة البوكر ، والأبيض والأزرق والأحمر. عندما يكون لديك عشرة أرقام بيضاء ، يمكنك استبدالها بواحد أزرق أو في أي وقت تريد استبدال واحدة زرقاء بعشرة بيضاء يمكنك القيام بذلك. وفي أي وقت يكون لديك عشرة منها BLUE ، يمكنك استبدالها بواحد أحمر ، أو والعكس صحيح. "ثم يمكنك أن توضح لهم كيفية حساب عشرة أرقام زرقاء (تمثل عشرة) ، بقول" 10 ، 20 ، 30. 90 ، 100 "حتى يتمكنوا من رؤية ، إذا لم يفعلوا بالفعل ، أن الرقم الأحمر يساوي 100. ثم تقوم ببعض التوضيحات ، مثل ترك أحد عشر عرضًا أبيض وقول شيء مثل "إذا استبدلنا 10 من هذه العروض البيضاء بأخرى زرقاء ، فماذا سيكون لدينا؟" وسيقول الأطفال عادةً شيئًا مثل "واحد أزرق و واحد أبيض ". ويمكنك التأكيد على أنهم ما زالوا يصنعون (أي يمثلون) نفس الكمية" وهذا إذن لا يزال أحد عشر ، أليس كذلك؟ [الإشارة إلى الزر الأزرق] عشرة [ثم الإشارة إلى الأبيض] والآخر هو أحد عشر. "افعل ذلك حتى يتألقوا ويمكنهم بسهولة وبسهولة تمثيل الأرقام في رقائق البوكر ، باستخدام مزيج من الأحمر والأزرق والأبيض. وبهذه الطريقة ، فهموا تمثيل المجموعة عن طريق رقائق البوكر الملونة ، على الرغم من أنك لا تستخدم كلمة تمثيل ، حيث من غير المحتمل أن يفهموها.

    دع الطلاب يعتادون على عمل (أي تمثيل) الأرقام باستخدام رقائق البوكر الخاصة بهم ، ويمكنك التجول والتحقق بسرعة لمعرفة من يحتاج إلى المساعدة ومن لا يحتاج ، كما تذهب. اطلب منهم ، على سبيل المثال ، أن يوضحوا لك كيفية تكوين أرقام مختلفة في (أقل عدد ممكن) من رقائق البوكر - لنقل 30 ، 60 ، وما إلى ذلك ، ثم انتقل إلى 12 ، 15 ، 31 ، 34 ، 39 ،. 103 ، 135 ، إلخ. استمر في التحقق من مرافق ومستويات الراحة لكل طفل أثناء القيام بذلك.

    بعد ذلك ، عندما يكونون قادرين على القيام بذلك بسهولة ، ادخل إلى بعض عمليات الجمع أو الطرح البسيطة لرقائق البوكر ، بدءًا من المبالغ والاختلافات التي لا تتطلب إعادة التجميع ، على سبيل المثال ، 2 + 3 ، 9-6 ، 4 + 5 ، إلخ. ، عندما يكونون جاهزين ، ادخل في بعض الأمور السهلة رقاقة لعبة البوكر التجمعات. "إذا كان لديك سبعة منها بيضاء وأضفت إليها خمسة منها بيضاء ، فكم لديك؟" "دعنا الآن تبادل عشرة منهم لواحد أزرق ، وماذا تحصل؟ (18) "أضف أرقامًا أكبر وأكبر وأظهر لهم أيضًا بعض عمليات الطرح السهلة - كما هو الحال مع الرقم 12 الذي حصلوا عليه للتو ، مع الرقم الأزرق والأرقام البيضاء ،" إذا أردنا إزالة 3 من هذا العدد 12 ، كيف يمكننا فعل ذلك؟ "[سيقول شخص ما عادةً ، أو يمكن للمعلم أن يقول أول مرة أو اثنتين]" نحتاج إلى تغيير اللون الأزرق إلى 10 ألوان بيضاء ، ثم يمكننا إزالة 3 منها بيضاء من 12 بيضاء لدينا. "إلخ. استمر في التدرب على الأرقام وتغييرها بحيث يحتاجون أحيانًا إلى إعادة التجميع وأحيانًا لا يحتاجون إلى ذلك ، لكنهم يصبحون أفضل وأفضل في القيام بذلك. (يستخدمون الآن الألوان على الصعيدين التمثيلي والكمي - تداول كميات للرقائق التي تمثلهم ، و والعكس صحيح.) ثم أدخل عمليات الجمع والطرح المكونة من رقمين والتي لا تتطلب إعادة تجميع فيشات البوكر ، على سبيل المثال ، 23 + 46 ، 32 + 43 ، 42-21 ، 56-35 ، إلخ (أولها ، على سبيل المثال ، إضافة 4 البلوز و 6 بياض إلى 2 البلوز و 3 بياض لينتهي الأمر بـ 6 بلوز و 9 بياض ، 69 الأخير يأخذ 3 بلوز و 5 بياض بعيدًا عن 5 بلوز و 6 أبيض لترك 2 بلوز و 1 أبيض ، 21) عندما يكونون كذلك مريح مع هذه ، أدخل الجمع والطرح المكون من رقمين والذي يتطلب إعادة تجميع فيشات البوكر ، على سبيل المثال ، 25 + 25 ، 25 + 28 ، 23-5 ، 33-15 ، 82 - 57 ، إلخ.

    أثناء قيامك بكل هذه الأشياء ، من المهم أن تتجول في الغرفة لمشاهدة ما يفعله الطلاب ، وأن تسأل أولئك الذين يبدو أنهم يواجهون مشكلة في شرح ما يفعلونه ولماذا. في بعض النواحي ، فإن رؤية كيفية تعاملهم مع الرقائق يمنحك نظرة ثاقبة لفهمهم أو عدم فهمهم لها. عادة عندما يشرحون تلاعباتهم الخاطئة ، يمكنك أن ترى أنواع المشاكل التي يواجهونها ، والتي عادة ما تكون مفاهيمية. ويمكنك أن تخبرهم أو تُظهر لهم شيئًا يحتاجون إلى معرفته ، أو أن تطرح عليهم أسئلة إرشادية لحملهم على تصحيح أنفسهم. في بعض الأحيان يرتكبون أخطاء في العد ، على سبيل المثال ، عد 8 شرائح بيضاء بدلاً من 9. هذا النوع من الخطأ ليس مهمًا لأغراض التدريس في هذه المرحلة مثل الأخطاء المفاهيمية. إنهم يميلون إلى ارتكاب عدد أقل من أخطاء الإهمال بمجرد أن يروا أن ذلك يعطيهم إجابات خاطئة.

    بعد أخذهم تدريجيًا في مشاكل تنطوي على صعوبة أكبر وأكبر ، في مرحلة ما ستتمكن من منحهم شيئًا مثل شريحة بوكر حمراء واحدة (100) واطلب منهم أخذ 37 منها ، وسيكونون قادرين على تحديد ذلك. وفعل ذلك ، وأعطيك الإجابة - ليس لأنه تم عرضها (حيث لن يتم عرضها) ، ولكن لأنهم يفهمون.

    بعد ذلك ، بعد أن يكونوا مرتاحين وجيدين في القيام بذلك ، يمكنك الإشارة إلى أنه عندما تتم كتابة الأرقام رقميًا ، فإن الأعمدة تشبه رقائق البوكر ذات الألوان المختلفة. العمود الأول يشبه فيشات البوكر البيضاء ، حيث يخبرك بعدد "الرقائق" التي لديك ، والعمود الثاني يشبه فيشات لعبة البوكر الزرقاء ، ويخبرك بعدد العشرات (أو الرقائق التي تساوي عشرة) لديك. سيكون هذا هو الوقت المناسب لإخبارهم أنه في الواقع يتم تسمية الأعمدة مثل رقائق البوكر - عمود الفرد ، عمود العشرة ، عمود المئات ، إلخ. (تذكر ، لقد تعلموا كتابة الأرقام عن ظهر قلب ومن خلال الممارسة يجب أن يجدوا ذلك ممتعًا مكتوبة تحتوي الأرقام على هذه الأجزاء - على سبيل المثال ، الأرقام والأعمدة - التي "تتطابق" مع عدد واحد ، وعشرة ، وما إلى ذلك في الكمية التي يُسميها الرقم.) (19)

    ثم أوضح لهم أن إضافة وطرح بعض الأرقام المكونة من رقمين (لا تتطلب إعادة التجميع) على الورق يشبه القيام بذلك بألوان مختلفة (أي قيمة المجموعة) في رقائق البوكر. دعهم يجربون البعض. دعهم يقومون بعمليات الجمع والطرح على الورق ، والتحقق من إجاباتهم ومعالجاتهم باستخدام فيشات بوكر مختلفة الألوان (قيمة المجموعة). على سبيل المثال ، دعهم يطرحون 43 من 67 ونرى أن أخذ 4 عشرات من 6 عشرات و 3 آحاد من 7 هو نفسه على الورق كما هو الحال مع رقائق البوكر الزرقاء والبيضاء - أخذ 4 منها زرقاء من 6 زرقاء منها و 3 بيضاء من 7 بيضاء.

    ثم أوضح كيف أن إضافة وطرح الأرقام (التي تتطلب إعادة التجميع) على الورق تشبه تمامًا إضافة وطرح الأرقام التي تمثلها رقائق البوكر الخاصة بهم والتي تتطلب التبادل. هذا هو الوقت المناسب لتقديم خوارزمية إضافة وطرح الأرقام "على الورق" ، بطريقة عرضية إلى حد ما ، باستخدام تقنية "التداول" أو "الاقتراض / النقل". قد ترغب في لصق رقائق البوكر التمثيلية فوق أعمدتك على لوحة الطباشير ، أو اجعلهم يستخدمون أقلام تلوين لوضع ألوان شرائح البوكر فوق أعمدةهم على ورقهم (باستخدام ، على سبيل المثال ، اللون الأصفر للأبيض إذا كان لديهم ورق أبيض). بيّن لهم كيف يمكنهم "تبادل" الأرقام في أعمدةهم المختلفة عن طريق شطب واستبدال الأرقام التي يقترضون منها أو ينقلونها إليها أو يضيفونها أو يعيدون تجميعها. (يكون هذا أحيانًا صعبًا إلى حد ما بالنسبة لهم في البداية لأنهم في البداية يواجهون صعوبة في الحفاظ على استبدالاتهم في نصابها الصحيح وكتابتها حيث يمكنهم ملاحظتها وقراءتها وتذكر ما تعنيه. فهم يميلون إلى البدء في الحصول على أرقام مخططة "الأرقام في حالة فوضى يصعب التعامل معها. ولكن بمجرد أن يروا الحاجة إلى أن يكونوا أكثر تنظيماً ، وبمجرد أن توضح لهم بعض الطرق التي يمكن أن تكون أكثر تنظيماً ، فإنهم يميلون إلى القيام بكل شيء بشكل صحيح.) دعهم يفعلون ذلك على الورق وتحقق من إجاباتهم مع فيشات البوكر. امنحهم الكثير من التدريب ، ومع مرور الوقت ، تأكد من أنهم يستطيعون جميعًا إجراء الحسابات الحسابية بشكل رسمي إلى حد ما و يمكنهم أيضًا فهم ما يفعلونه إذا توقفوا وفكروا فيه.

    مرة أخرى ، يمكنك التجول طوال الوقت حول الغرفة ورؤية الأشخاص الذين قد يحتاجون إلى مساعدة إضافية ، أو ما قد يتعين عليك القيام به من أجل الجميع. يتيح لك القيام بذلك بهذه الطريقة رؤية ما يفكرون فيه بشكل فردي تقريبًا ويتيح لك معرفة من قد يواجه مشكلة وأين وما قد تحتاج إلى القيام به لتخفيف هذه المشكلة. قد تجد صعوبات عامة أو قد تجد كل طفل يواجه صعوبات خاصة به ، إن وجدت. كان أطفالي يميلون لبعض الوقت إلى نسيان "الشخص" الذي كان لديهم بالفعل عندما أعادوا تجميع صفوفهم ، وكانوا ينسون مزج الشخص "الجديد" مع الشخص "القديم". لذلك ، إذا كان لديهم 34 لبدء واستعارة 10 من الثلاثين ، فسوف ينسون 4 منها بالفعل ، ويطرحون من 10 بدلاً من 14. يحصل الأطفال في المدارس التي تستخدم مساحات مكتبية صغيرة أحيانًا على أكوام مختلفة من البوكر مرتبكًا ، نظرًا لأنها قد لا تضع رقائقها "المطروحة" بعيدًا بما يكفي أو قد لا تضع رقائقها "المعاد تجميعها" بعيدًا بما يكفي عن كومة من الرقائق "العاملة". قد تكون هناك صعوبات فريدة أو غير عادية إلى حد ما ستختبر فهمك للمفهوم وما قد يكون لدى الطفل من سوء فهم محتمل بشأنه ، بحيث يمكنك هيكلة المساعدة التي تتناسب مع تفكيره / تفكيرها.

    الأعمدة (فوق الأعمدة) والألوان ("فوق" الأبيض) هي كل تمثيلات لمجموعات من الأرقام ، لكن الأعمدة هي تمثيل للخاصية العلائقية ، في حين أن الألوان ليست كذلك. الألوان هي خاصية بسيطة أو متأصلة أو واضحة على الفور. الأعمدة علائقية وأكثر تعقيدًا وأقل وضوحًا. بمجرد إنشاء قيم الألوان أو القيم العمودية ، تكون ثلاث شرائح زرقاء دائمًا ثلاثين ، لكن الرقم المكتوب ثلاثة ليس ثلاثين ما لم يكن في عمود به عمود واحد فقط (غير عشري) على يمينه. يصعب فهم تمثيلات المجموعات العمودية أكثر من تمثيلات الألوان ، وأظن أن ذلك (1) لأنها تعتمد على الموقع بالنسبة إلى الأرقام الأخرى التي يجب (تذكرها) البحث عنها ثم فحصها ، بدلاً من واحدة فقط خاصية متأصلة ، مثل اللون (أو الشكل) ، و (2) لأن الأطفال يمكنهم فعليًا استبدال رقائق الألوان "ذات القيمة الأعلى" بعدد مكافئ من الشرائح ذات القيمة الأقل ، في حين أن القيام بذلك ليس سهلاً أو واضحًا في استخدام الأعمدة. فيما يتعلق بـ (1) ، كما يعلم أي شخص من أي وقت مضى قام بتجميع الأشياء معًا من مجموعة ، في أي وقت يتم تلوين الأشياء بشكل واضح ويشار إليها في الاتجاهات بواسطة تلك الألوان ، يسهل تمييزها أكثر مما لو كان يجب تحديدها بواسطة الحجم أو الخصائص النسبية الأخرى ، الأمر الذي يتطلب إيجاد كائنات أخرى مماثلة وفحصها جميعًا معًا لإجراء مقارنات. فيما يتعلق بـ (2) ، من السهل التغيير المادي ، على سبيل المثال شريحة زرقاء ، لعشرة منها بيضاء ، ثم ، على سبيل المثال ، أربعة عشر قطعة بيضاء بالكامل يمكنك طرحها (إذا كان لديك بالفعل أربعة منها). لكن من الصعب تمثيل هذه التجارة بأرقام مكتوبة في الأعمدة ، حيث يتعين عليك مسح الأشياء ثم وضع الكمية الجديدة في مكان مختلف قليلاً ، ولأنك ستنتهي بأعمدة جديدة (كما في وضع الرقم "14" الكل في العمود ، عند استعارة 10 من ، قل 30 في الرقم "34" ، لطرح 8). علاوة على ذلك ، (3) أظن أن هناك شيئًا أكثر "حقيقيًا" أو ببساطة أكثر وضوحًا للطفل ليقول "إن الشريحة الزرقاء تساوي 10 قطع بيضاء" أكثر من القول "هذا الرقم" 1 "يساوي 10 من هذا" 1 "لأنها هنا بدلاً من هنا" تبدو القيمة المستندة إلى المكان أكثر غرابة من القيمة المستندة إلى اللون ، أو تبدو بطريقة ما أكثر اعتباطية. ولكن بغض النظر عن سبب قدرة الأطفال على ربط الألوان بالتجمعات العددية بسهولة أكبر مما يفعلون مع مواضع الأعمدة النسبية ، فإنهم يفعلون ذلك.

    لقد قمت بعمل عرض شرائح باور بوينت عن استخدام رقائق البوكر لتعليم ما هو موصوف أعلاه. يتم تنزيله عند النقر فوق الارتباط ، وسيتم تشغيله تلقائيًا عند فتح التنزيل.

    5) تفاصيل حول التمثيلات العمودية

    بصرف النظر عن التعليقات الواردة في القسم الأخير حول التمثيل العمودي ، أود إضافة ما يلي ، والذي ليس من المهم أن يفهمه الطلاب أثناء تعلمهم التمثيل العمودي (المعروف عادةً باسم "قيم المكان") ، ولكن قد يكون مفيدًا للمعلمين لفهمها. وقد يكون ممتعًا للطلاب في مرحلة لاحقة عندما يمكنهم استيعابها. (لقد قمت بتدريس هذا لطلاب الصف الثالث ، لكن العرض التقديمي مختلف تمامًا عن الطريقة التي سأكتبها هنا ، وهذا العرض التقديمي مهم للغاية لمتابعة الأفكار وفهمها. تم تفصيل هذا العرض التقديمي في الورقة حول طريقة التدريس الفعال المادة المفاهيمية / المنطقية ، "الطريقة السقراطية - التدريس عن طريق السؤال بدلاً من القول").

    التمثيل العمودي للمجموعات هو ببساطة طريقة واحدة لتعيين المجموعات. ولكن من المهم أن نفهم سبب الحاجة إلى تصنيف المجموعات على الإطلاق ، وما الذي يحدث بالفعل في تحديد ما أصبح يُعرف باسم تعيين "القيمة المكانية". تسهل المجموعات حساب الكميات الكبيرة ولكن بصرف النظر عن العد ، فهي فقط في جاري الكتابة الأرقام التي تسميات المجموعة مهمة. الأرقام المنطوقة هي نفسها بغض النظر عن كيفية كتابتها أو تحديدها. حتى أنه يمكن تحديدها بصيغة مكتوبة ، مثل "أربعة آلاف وثلاثمائة وخمسة وستين" - كما هو الحال عندما تكتب المبالغ بالدولار في شكل كلمة في كتابة شيك. لاحظ أنه في الشكل المنطوق لا توجد قيم مكانية مذكورة على الرغم من أنه قد يبدو أنها موجودة. أي نقول "خمسة آلاف وأربعة وخمسون" وليس "خمسة آلاف ولا مائة وأربعة وخمسون". "مليونان ستة" ليست "مليونين ، ولا مائة ألف ، ولا عشرة آلاف ، ولا آلاف ، ولا مئات ، ولا عشرات ، وستة". على الرغم من أننا نستخدم أسماء مثل "مائة" و "ألف" و "مليون" وما إلى ذلك ، وهي نفس أسماء الأعمدة أعلى من عمود العشرة ، فإننا لا نمثل المجموعات حقًا ، فنحن فقط نعطي اسم الرقم ، عندما نلفظها ، تمامًا كما نقول "عشرة" أو "أحد عشر". "أحد عشر" هي مجرد كلمة تسمي كمية معينة. بدءًا من "صفر" ، يكون هو الاسم الثاني عشر للرقم الفريد. وبالمثل ، "أربعة آلاف ، ثلاثمائة ، تسعة وعشرون" هو مجرد اسم فريد لكمية معينة. كان يمكن أن يكون قد أعطيت تماما اسم فريد (قل "gumph") تمامًا مثل "أحد عشر" ، ولكن سيكون من الصعب تذكر أسماء فريدة تمامًا لجميع الأرقام. إنه يسهل فقط تذكر جميع الأسماء من خلال جعلها تتناسب مع أنماط معينة ، ونبدأ هذه الأنماط باللغة الإنجليزية بالرقم "ثلاثة عشر" (أو قد يعتبره البعض "واحدًا وعشرون" ، نظرًا لأن "المراهقين" مختلفون من العقود). نحن نستخدم فقط مفهوم ممثلة التجمعات عندما نحن كتابة الأرقام باستخدام الأرقام.

    ما يحدث في كتابة الأرقام رقميًا هو أننا إذا كنا سنستخدم عشرة أرقام ، كما نفعل في حسابنا اليومي "العادي" ذي الأساس العشري ، وإذا كنا سنبدأ بالرقم 0 كأدنى رقم منفرد ، فعندئذ عندما نحصل على إلى الرقم "عشرة" ، علينا أن نفعل شيئًا آخر ، لأننا استخدمنا جميع الرموز الممثلة (أي الأرقام) التي اخترناها - 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9. نحن الآن عالقون عندما يتعلق الأمر بكتابة الرقم التالي ، وهو "عشرة". لكتابة رقم عشرة ، نحتاج إلى القيام بشيء آخر مثل إنشاء رقم بحجم مختلف أو رقم لوني مختلف أو رقم بزاوية مختلفة ، أو شيء من هذا القبيل. على العداد ، تقوم بتحريك كل الخرزات الموجودة في صف واحد للخلف وتحرك للأمام حبة على صف العشرة. ما الذي تم اختياره ل مكتوبة الأرقام هي بدء عمود جديد. ونظرًا لأن الرقم الأول الذي يحتاج إلى هذا العمود ليتم كتابته رقميًا هو الرقم عشرة ، فإننا نقول ببساطة "سنستخدم هذا العمود لتعيين رقم عشرة" - ولكي تتعرف عليه بسهولة ، فهو عمود مختلف ، سيتضمن شيئًا لإظهار مكان العمود القديم الذي يحتوي على جميع الأرقام من صفر إلى تسعة سنضع صفرًا في العمود الأصلي. ولكي نكون اقتصاديين ، بدلاً من استخدام أعمدة مختلفة أخرى لأعداد مختلفة من عشرات ، يمكننا فقط استخدام هذا العمود الواحد والأرقام المختلفة فيه لتحديد عدد العشرات التي نتحدث عنها ، في كتابة أي رقم معين. ثم اتضح أنه من خلال تغيير الأرقام في العمود الأصلي والأرقام الموجودة في العمود "عشرة" ، يمكننا تكوين مجموعات من الأرقام العشرة التي تمثل كل رقم من الأرقام من 0 إلى 99. والآن نحن عالقون مرة أخرى بسبب طريقة كتابة مائة. نضيف عمود آخر. (20) ويمكننا تجاوز هذا العمود حتى نجتاز تسعمائة وتسعة وتسعين. إلخ.

    التمثيلات ، الاصطلاحات ، التلاعبات الحسابية ، والمنطق

    تذكر ، كل هذا كان يمكن القيام به بشكل مختلف. يقوم العداد بذلك بشكل مختلف. رقائق البوكر لدينا فعلت ذلك بشكل مختلف. الأرقام الرومانية تفعل ذلك بشكل مختلف. وبمعنى ما ، فإن أجهزة الكمبيوتر والآلات الحاسبة تقوم بذلك بشكل مختلف لأنها تستخدم تمثيلين فقط (مفاتيح إما "تشغيل" أو "إيقاف تشغيل") ولا تحتاج إلى أعمدة من أي شيء على الإطلاق (ما لم يكن عليهم إظهار حرف مكتوب رقم لإنسان معتاد على الأرقام المكتوبة بطريقة معينة - في أعمدة باستخدام 10 أرقام). وعلى الرغم من أنه يمكننا الحساب بالقلم الرصاص والورق باستخدام طريقة التمثيل هذه ، يمكننا أيضًا الحساب باستخدام رقائق البوكر أو العداد ويمكننا القيام بالضرب والقسمة وأشياء أخرى بشكل أسرع باستخدام قاعدة الشريحة التي لا تستخدم الأعمدة في تعيين الأرقام إما ، أو مع آلة حاسبة أو الكمبيوتر.

    ال مكتوبة نظام الترقيم الذي نستخدمه هو مجرد نظام تقليدي وتعسفي تمامًا ، وعلى الرغم من أنه منظم منطقيًا إلى حد ما ، إلا أنه قد يكون مختلفًا تمامًا ولا يزال منظمًا بشكل منطقي. على الرغم من أنه مفيد للعديد من الأشخاص لتمثيل الأرقام والحساب بالأرقام ، إلا أنه ضروري لأي منهما. يمكننا تمثيل الأرقام بشكل مختلف وإجراء الحسابات بشكل مختلف تمامًا. على الرغم من أن العلاقات بين الكميات "ثابتة" أو "محددة" بالمنطق ، وعلى الرغم من أن الطريقة التي نتعامل بها مع التعيينات المختلفة من أجل الحساب بسرعة ودقة يتم تحديدها بواسطة المنطق ، فإن الطريقة التي نعيّن بها هذه الكميات في المقام الأول ليست كذلك "ثابت" بالمنطق أو بالاستدلال وحده ، ولكنه مجرد مسألة رمزية مخترعة ، مصممة بطريقة تجعلها مفيدة قدر الإمكان. هناك خوارزميات للضرب والقسمة على العداد ، ويمكنك تطوير خوارزمية لضرب وقسمة الأرقام الرومانية. لكن اتباع الخوارزميات لا يعني فهم المبادئ التي تستند إليها الخوارزميات ، كما أنه ليس علامة على فهم ما يفعله المرء رياضيًا. يتطلب تطوير الخوارزميات فهم باستخدامها لا.

    لكن ما هو مفيد إلى حد ما بمجرد أن تتعلمه ، ليس بالضرورة من السهل تعلمه. ليس من السهل على الشخص البالغ أن يتعلم لغة جديدة ، على الرغم من أن معظم الأطفال يتعلمون لغتهم الأولى بشكل جيد إلى حد ما في سن صغيرة جدًا ويمكنهم استخدامها بسهولة كبالغين. إن استخدام التمثيل العمودي للمجموعات (أي ، تعيينات القيمة "للمكان") ليس مفهومًا سهلًا للأطفال لفهمه على الرغم من أنه من السهل على الأطفال تعلم القراءة وكتابة الأرقام بشكل صحيح ، وعلى الرغم من أنه من السهل جدًا للأطفال تعلم تمثيلات الألوان للمجموعات ، مع الممارسة.

    علاوة على ذلك ، ليس من السهل تعلم التلاعب بالأرقام المكتوبة بطرق متعددة الخطوات لأنه غالبًا ما يتم تدريس التلاعب أو الخوارزميات التي نتعلمها ، على الرغم من أن لها أساسًا منطقيًا معقدًا أو "عميقًا" ، وليس لها أساس واضح بسهولة ، وهي أكثر يصعب تذكر التسلسلات غير ذات الصلة كلما طالت. معظم البالغين الذين يمكنهم التكاثر باستخدام الورق والقلم ليس لديهم أدنى فكرة عن سبب قيامك بذلك بالطريقة التي تعمل بها أو سبب نجاحها. (21) وهذا يشمل معظم معلمي الحساب بالمدارس الابتدائية.

    يميل مدرسو الحساب (وأولياء الأمور) الآن إلى الخلط بين التدريس (والتعلم) للجوانب الحسابية المتلاعبة المنطقية أو التقليدية أو التمثيلية والخوارزمية للرياضيات. وأحيانًا يتجاهلون تدريس جانب واحد لأنهم يعتقدون أنهم علموه عندما قاموا بتدريس جوانب أخرى. هذا ليس صحيحا بالضرورة. كانت تعليمات "الرياضيات الجديدة" ، في تلك الحالات التي فشلت فيها ، محاولة لتعليم الرياضيات منطقيًا (في كثير من الحالات بواسطة أشخاص لا يفهمون منطقها) بينما لم يتم تدريسها وإعطاء الممارسة الكافية في العديد من العمليات الحسابية التمثيلية أو الخوارزمية جوانب الرياضيات. يميل النهج التقليدي إلى إهمال المنطق أو افتراض أن تدريس الحسابات الخوارزمية هو تعليم منطق الرياضيات. هناك بعض الأساليب الجديدة التي تستخدم أنواعًا معينة من المناورات (22) لتعليم المجموعات ، لكن هذه الأساليب المتلاعبة ليست عادةً (مجرد) تمثيلية. بدلاً من ذلك ، يقدمون ببساطة مجموعات من ، على سبيل المثال 10 ، من خلال مقاطع أطول نسبيًا من الأشياء التي تقدم واحدًا أو خمسة أو مثل لفات من البنسات ، فهي تحتوي في الواقع على 100 شيء (أو عشرة أشياء أو شيئين ، أو أي شيء آخر).

    يحتاج الطلاب إلى تعلم ثلاثة جوانب مختلفة من الرياضيات وما يُعلِّم أحد الجوانب بشكل فعال قد لا يعلم الجوانب الأخرى. الجوانب الثلاثة هي (1) الاصطلاحات الرياضية ، (2) منطق (منطق) الأفكار الرياضية ، و (3) التلاعب الرياضي (الخوارزمي) للحساب. لا يوجد أمر مسبق لتدريس هذه الجوانب المختلفة مهما كان الترتيب الأكثر فعالية مع طالب معين أو مجموعة من الطلاب هو الترتيب الأفضل. يحتاج الطلاب إلى أن يتعلموا التمثيلات الحسابية التقليدية "العادية" ، ويجب تعليمهم كيفية التلاعب بالأرقام المكتوبة وحسابها من خلال مجموعة متنوعة من الوسائل المختلفة - بواسطة الآلات الحاسبة والكمبيوتر والمعداد وبواسطة تلاعبات المجتمع بالخوارزميات "العادية" (23) ، والتي في الدول الغربية هي طرق "إعادة التجميع" بالإضافة إلى الجمع والطرح ، وضرب الأرقام متعددة الأرقام في خطوات دقيقة ، والقسمة المطولة ، إلخ. تعلم استخدام هذه الأشياء يتطلب الكثير من التكرار والممارسة ، باستخدام الألعاب أو أي شيء لجعلها ممتعة قدر الإمكان. لكن هذه الأشياء عمومًا هي مجرد تدريب أو تدريب من جانب الأطفال. لكن لا ينبغي إجبار الطلاب على محاولة فهم هذه الأشياء من قبل المعلمين الذين يعتقدون أن هذه الأشياء هي مسائل منطقية واضحة أو بسيطة. هذه ليست مسائل منطقية واضحة أو بسيطة ، كما حاولت أن أوضح في هذه الورقة. سوف يسبح الأطفال في اتجاه المنبع إذا كانوا يبحثون عن المنطق عندما يكونون مجرد تعلم الاتفاقيات أو خوارزميات التعلم (منطقها أكثر تعقيدًا بكثير من القدرة على تذكر خطوات الخوارزميات ، وهو بحد ذاته صعب بما يكفي للأطفال). وأي معلم يجعل الأمر ينظر إلى الأطفال مثل التقاليد والتلاعب الخوارزمي هي مسائل منطقية يحتاجون إلى فهمها ، يتسبب في ضرر شديد لهم.

    من ناحية أخرى ، يحتاج الأطفال إلى العمل على الجوانب المنطقية للرياضيات ، والتي يتبع بعضها اتفاقيات أو تمثيلات معينة وبعضها لا علاقة له بأية اتفاقيات معينة ولكن يجب أن يتعامل فقط مع الطريقة التي ترتبط بها الكميات بكل منها آخر. لكن تطوير البصيرة الرياضية والحدس للأطفال يتطلب شيئًا آخر غير التكرار أو التمرين أو الممارسة.

    يمكن القيام بالعديد من هذه الأشياء في وقت واحد على الرغم من أنها قد لا تكون مرتبطة بأي شكل من الأشكال ببعضها البعض. يمكن مساعدة الطلاب في الحصول على رؤى منطقية تجعلهم في وضع جيد عندما يصلون في النهاية إلى الجبر وحساب التفاضل والتكامل (24) ، على الرغم من أنهم في أوقات مختلفة من اليوم أو الأسبوع يتعلمون فقط كيفية "الاقتراض" و "الاستعارة" "(تسمى حاليًا" إعادة التجميع ") الأرقام المكونة من عمودين. يمكنهم تعلم رؤى هندسية بطرق مختلفة ، في بعض الحالات من خلال لعب الجولف المصغر على جميع أنواع الأسطح الغريبة ، من خلال فن قص وتشكيل الورق، من خلال عمل مناظير أو مشكال ، من خلال القيام ببعض المسح ، من خلال دراسة طفو الأشياء ذات الأشكال المختلفة ، أو مع ذلك. أو يمكن تعليمهم أشياء مختلفة قد تكون مرتبطة ببعضهم البعض ، مثل ألوان شرائح البوكر وتمثيلات الأعمدة للمجموعات. المهم هو أنه يمكن للمدرسين فهم العناصر التقليدية أو التمثيلية التقليدية ، والعناصر المنطقية ، والعناصر الخوارزمية (المعقدة) بحيث يعلمون هذه الأنواع المختلفة من العناصر ، كل منها بطريقته المناسبة ، مع إعطاء الممارسة في تلك العناصر. الأشياء التي تستفيد من الممارسة ، وتوجيه الفهم في تلك الأشياء التي تتطلب الفهم. ويحتاج المعلمون إلى فهم عناصر الرياضيات التقليدية أو التمثيلية التقليدية ، والعناصر المنطقية ، والعناصر الخوارزمية (المعقدة) حتى يتمكنوا من تعليم هذه الفروق بأنفسهم عندما يكون الطلاب مستعدين لفهمها واستيعابها.

    هذا العمل متاح هنا مجانا، بحيث لا يزال بإمكان أولئك الذين لا يستطيعون تحمل تكلفة الوصول إليها ، وحتى لا يضطر أحد إلى الدفع قبل أن يقرأوا شيئًا قد لا يكون ما يبحثون عنه حقًا. ولكن إذا وجدت ذلك مفيدًا ومفيدًا وترغب في المساهمة بأي مبلغ ميسور التكلفة تشعر أنه يستحقه ، فسوف أقدر ذلك سينقلك الزر الموجود على اليمين إلى PayPal حيث يمكنك التبرع بأي حجم (25 سنتًا أو أكثر) ترغب فيه ، إما باستخدام حساب PayPal الخاص بك أو بطاقة ائتمان بدون حساب PayPal.

    بارودي ، أ.(1990). كيف ومتى ينبغي تدريس مفاهيم ومهارات القيمة المكانية؟ مجلة البحث في تعليم الرياضيات ، 21(4), 281-286.

    كوب ، بول. (1992) المراسلات الشخصية. 9 أكتوبر.

    فوسون ، ك. (1990). الهياكل المفاهيمية للأعداد متعددة الوحدات: الآثار المترتبة على التعلم والتدريس الجمع والطرح والقيمة المكانية متعددة الأرقام. الإدراك والتعليم ، 7(4), 343-403.

    جونز ، ج.أ ، وأمبير ثورنتون ، كاليفورنيا. (1993). فهم الأطفال للقيمة المكانية: إطار عمل لتطوير المناهج وتقييمها. الأطفال الصغار ، 48(5), 12-18.

    كامي ، سي (1989). يواصل الأطفال الصغار إعادة اختراع الحساب: الصف الثاني. نيويورك: مطبعة كلية المعلمين.

    الحاشية 1. مجرد التكرار حول المسائل المفاهيمية يمكن أن ينجح في الحالات التي تأخذ فيها الخبرات أو المعلومات المتدخلة الطالب إلى مستوى جديد من الوعي بحيث يكون لما يتكرر له "معنى جديد" أو صلة به لم تكن عليه من قبل. لن يكون التكرار حول النقاط المفاهيمية بدون مستويات جديدة من الوعي مفيدًا بشكل عام. وقد يكون مجرد التكرار فيما يتعلق بالمسائل غير المفاهيمية مفيدًا ، كما هو الحال في تذكير لاعب بيسبول شاب بشكل لا نهائي بالحفاظ على مستوى تأرجحه ، أو قيام ملاكم صغير بالحفاظ على حذره ورفع قدميه ، أو تعلم طفل لركوب دراجة " التجوال استمر في التجوال! " (عودة إلى النص.)

    الحاشية السفلية 2. إذا كنت تعتقد أنك تفهم القيمة المكانية ، فأجب عن سبب تسمية الأعمدة بالأسماء التي تحملها. هذا هو السبب في أن عمود العشرات هو عمود العشرات أو عمود المئات هو عمود المئات؟ وهل يمكن أن تكون هناك طريقة أخرى غير الأعمدة من شأنها أن تفعل نفس الأشياء التي تقوم بها الأعمدة ، بنفس الفعالية؟ إذا كان الأمر كذلك ، فماذا وكيف ولماذا؟ إذا لم يكن كذلك ، فلماذا؟ بمعنى آخر ، لماذا نكتب الأرقام باستخدام الأعمدة ، ولماذا الأعمدة المعينة التي نستخدمها؟ في الأسئلة غير الرسمية ، لم أقابل أي معلم ابتدائي يمكنه الإجابة على هذه الأسئلة أو حتى فكر فيها من قبل. (عودة إلى النص.)

    الحاشية 3. كيف يتم تدريس شيء ما ، أو كيف يتم تنظيم التدريس أو المادة ، لفرد معين (وأحيانًا لمجموعات مماثلة من الأفراد) هو أمر بالغ الأهمية لمدى فعالية أو كفاءة شخص ما (أو كل شخص) في تعلمه. في بعض الأحيان تكون البنية ضرورية لتعلمها على الإطلاق. مثال بسيط أولاً: (1) إن قول رقم هاتف مثل 323-2555 لأمريكي كـ "ثلاثة ، اثنان ، ثلاثة (توقف مؤقت) ، اثنان ، خمسة ، خمسة ، خمسة" يسمح له بفهمه بسهولة أكبر بكثير من قوله " ضعف اثنين وثلاثين وثلاثة أضعاف خمسة ". حتى أنه من الصعب على الأمريكي استيعاب رقم هاتف إذا توقفت مؤقتًا بعد الرقم الرابع بدلاً من الرقم الثالث ("ثلاثة ، اثنان ، ثلاثة ، اثنان (توقف مؤقت) ، خمسة ، خمسة ، خمسة").

    (2) لقد تمكنت من تعلم تاريخ الفن من كتاب قام ببنائه من خلال أخذ القارئ من خلال نوع واحد من الفن في نوع واحد من المنطقة لفترة طويلة من الزمن ، ثم فعل الشيء نفسه في منطقة أخرى. لقد واجهت صعوبة في التعلم من كتاب قام بالعديد من المناطق في وقت واحد في مقاطع عرضية مختلفة من الوقت. يمكنني إجراء مقارنات مقطعية خاصة بي بعد دراسة كل منطقة بأكملها ، لكن أنا لم أستطع بناء منطقة كاملة مما كان ، بالنسبة لي ، خليطًا من أجزاء المقطع العرضي.

    (3) رأيت طفلة تحاول تعلم ركوب الدراجة بعد أن أزال والدها عجلة تدريب وترك الأخرى ممدودة بالكامل على الأرض. كانت الطريقة الوحيدة لمنع الدراجة من الانقلاب هي الانحناء بعيدًا على عجلة التدريب المتبقية. كان الطفل يركب الدراجة بزاوية 30 درجة. عندما خلعت عجلة التدريب الأخرى لتعليمها الركوب ، استغرق الأمر حوالي عشر دقائق فقط لإعادتها إلى وضعية الركوب الأولية المعتادة للمبتدئين. لا أعتقد أنها كان بإمكانها أن تتعلم الركوب بطريقة الأب.

    (4) أشرح عناصر التصوير الفوتوغرافي في ثلاث ساعات بطريقة تكون منطقية للطلاب ، على الرغم من أنها لا "تغرق" للطلاب بشكل كامل في نهاية ذلك الوقت. ("الانغماس في" أو منشأة جاهزة تتطلب ممارسة جنبًا إلى جنب مع الفهم.) تلقى العديد من الأشخاص الذين قمت بتدريسهم دورات كاملة في التصوير الفوتوغرافي لم يتم تنظيمها جيدًا ، ومنظوري ينير فهمهم بطريقة ربما لم يكونوا قد حققوها في الاتجاه كانوا في طريقهم.

    (5) درست التاريخ الأوروبي لأول مرة عندما كنت في الكلية. لم يقم محاضرتي ببناء المادة من أجلنا ، وبالنسبة لي كان الأمر برمته مجموعة لا نهاية لها ولا يمكن تمييزها من الباباوات والملوك والحروب. حاولت حفظ كل شيء وكان ذلك مستحيلًا تقريبًا. اكتشفت في نهاية الفصل الدراسي أن الأستاذ الآخر الذي قام بتدريس الدورة (لجميع أصدقائي) أمضى كل محاضراته ببساطة في هيكلة إطار عمل من أجل إعطاء منظور للطلاب لوضع التفاصيل التي كانوا يقرؤونها. لقد تعلموا ذلك.

    (6) في العام الذي درست فيه الكيمياء العضوية ، اختبر أحد الأساتذة كتابًا مدرسيًا جديدًا نظم المادة بطريقة جديدة ، وألقى محاضرة بنفس بنية الكتاب. اعترف في نهاية العام أن ذلك كان خطأً كبيرًا لم يتعلمه الطلاب جيدًا باستخدام هذا الهيكل. لم أتقن الكيمياء العضوية.

    (7) في حساب التفاضل والتكامل في الفصل الدراسي الثاني ، كان هناك ثلاثة فصول مليئة بالصيغ التي يمكن اشتقاقها جميعًا من الصيغة الأولى في الفصل ، ولكن لم يشر الكتاب ولا أي من المعلمين إلى أن جميع المعادلات باستثناء الصيغة الأولى كانت مشتقة. يبدو أن هناك الكثير من الحفظ المطلوب لتعلم كل من هذه الصيغ الفردية. لقد لاحظت العلاقة في الليلة التي سبقت امتحان منتصف الفصل الدراسي ، لمجرد الحظ وبعض التفكير المصادفة حول شيء آخر. اعتقدت أنني كنت آخر من شاهده من بين 1500 طالب في الدورة ، وكالعادة ، كنت ساذجًا جدًا بشأن المادة. اتضح أنني كنت الوحيد الذي شاهده. لقد أبليت بلاءً حسنًا ، لكن أداء الجميع كان بائسًا في الاختبار لأن الذاكرة في ظل ظروف الامتحان لم تكن مناسبة للتفكير. لو قال المعلمون أو الكتاب ببساطة أن الصيغة الأولى هي مبدأ عام يمكنك من خلاله اشتقاق كل الآخرين ، لكان أداء معظم الطلاب الآخرين جيدًا في الاختبار أيضًا.

    يمكن أن يكون هناك الملايين من الأمثلة. يعرف معظم الناس معلمين لا يستطيعون شرح الأشياء جيدًا ، أو الذين يمكنهم فقط شرح شيء ما بطريقة محددة ، بحيث إذا لم يتبع الطالب هذا التفسير المحدد ، فلن تكون لديه فرصة لتعلم هذا الشيء من هذا المعلم. هيكل العرض التقديمي لطالب معين مهم للتعلم. (عودة إلى النص.)

    حاشية سفلية 4. في بلدة صغيرة ليست بعيدة بشكل رهيب عن برمنغهام ، يوجد ماكدونالدز الذي تم افتتاحه مؤخرًا والذي يقدم شيكولاتة شيكولاتة ذات لون أبيض فاتح وطعمها لا يشبه نكهات الفانيليا الجيدة. إنهم ليسوا مثل شيكولاتة ماكدونالدز الأخرى. عندما أخبرت المدير كيف كان طعم المخفوقات ، كان ردها أن آلة الهز كانت جديدة تمامًا ، وقد تم تركيبها من قبل خبراء ، وتم اعتمادها من قبلهم في الأسبوع السابق - لقد استوفت آلة الهز معايير ماكدونالدز الصارمة ، لذلك كانت الهزات هي بالطريقة التي كان من المفترض أن يكونوا بها لم يكن هناك أي خطأ معهم. لم يكن هناك ما يقنعها. بعد أن عادت إلى مكتبها ، أدركت ، وقلت لموظفي المبيعات ، أنه كان عليّ أن أطلب منها إجراء اختبار تذوق لمحاولة التمييز بين مخفوق الشوكولاتة الخاص بها ومخفوق الفانيليا. هذا سيظهر لها أنه لا يوجد فرق. أخبرني الموظفون أن هذا لن ينجح نظرًا لوجود اختلاف واضح: "طعم الفانيليا لدينا يشبه طعم الطباشير." هم فهمت أن هناك مشكلة.

    لسوء الحظ ، يقوم الكثير من المعلمين بالتدريس مثل هذا المدير. إنهم يعتقدون أنهم إذا قاموا بعمل جيد بما تطلبه الكتيبات ودورات الكلية وأدلة المناهج الدراسية ، فإنهم قد تعلموا جيدًا وقاموا بعملهم. ما يخرجه الأطفال منه لا علاقة له بمدى جودة المعلم. ما يهمهم هو العرض ، وليس رد الفعل على العرض التقديمي. بالنسبة لهم "التدريس" هو العرض (أو إعداد الفصل الدراسي للاكتشاف أو العمل). إذا كانوا "يعلمون" جيدًا ما يعرفه الأطفال بالفعل ، فهم معلمون جيدون. إذا قاموا بعمل عروض تقديمية ديناميكية معدة جيدًا بحماس كبير ، أو إذا قاموا بتعيين مشاريع معينة ، فهم مدرسون جيدون ، حتى لو لم يفهم أي طفل المادة أو اكتشف أي شيء أو يهتم بها. إذا قاموا بتدريب طلابهم ليكونوا قادرين على القيام ، على سبيل المثال ، بكسور في اختبار ، فإنهم قد قاموا بعمل جيد في تدريس الحساب ما إذا كان هؤلاء الأطفال يفهمون الكسور خارج حالة الاختبار أم لا. وإذا قاموا بأي وسيلة كانت بتدريب الأطفال على أداء هذه الكسور بشكل جيد ، فلا داعي لذلك إذا قاموا بتسميم اهتمام الطفل بالرياضيات إلى الأبد. التدريس ، بالنسبة لمعلمين مثل هؤلاء ، هو مجرد مسألة تقنية مناسبة ، وليس مسألة نتائج.

    حسنًا ، هذا ليس صحيحًا أكثر من أن تلك الهزات تفي بمعايير ماكدونالدز لمجرد أن التقنية التي يتم تصنيعها بها "معتمدة". أنا لا أقول إن معلمي الفصل يجب أن يكونوا قادرين على التدريس حتى يتعلم كل طفل. هناك متغيرات خارج سيطرة أفضل المعلمين. لكن يجب أن يكون المعلمون قادرين على معرفة ما يعرفه طلابهم ذوي القدرات المعقولة بالفعل ، حتى لا يضيعوا وقتهم أو يضجرونهم. يجب أن يكون المعلمون قادرين على معرفة ما إذا كان الطلاب قادرون بشكل معقول على فهم المواد الجديدة ، أو ما إذا كانت بحاجة إلى تقديمها مرة أخرى بطريقة مختلفة أو في وقت مختلف. ويجب أن يكون المعلمون قادرين على معرفة ما إذا كانوا يحفزون عقول هؤلاء الطلاب حول المادة أو ما إذا كانوا يسممون أي اهتمام قد يكون لدى الطفل.

    جميع التقنيات في جميع الكتيبات التعليمية وأدلة المناهج في جميع أنحاء العالم تهدف فقط إلى تحقيق هذه الغايات. التقنيات ليست غايات في حد ذاتها بل هي فقط وسيلة لتحقيق الغايات. هؤلاء المعلمون الذين يتقنون تقنياتهم التعليمية من خلال مجرد تلميع عروضهم التقديمية ، أو إعادة ترتيب بيئة الفصل الدراسي ، أو تصميم مشاريع جديدة بوعي ، دون أي فهم أو مراعاة لما يفعلونه بالفعل للأطفال ، قد يكونون يشاركون أيضًا في إدارة ماكدونالدز. (عودة إلى النص.)

    حاشية سفلية 5. فُسرت بعض هذه الدراسات لتظهر أن الأطفال لا يفهمون القيمة المكانية ، وأعتقد أنهم مخطئون. يشرح جونز وثورنتون "مهمة القيمة المكانية" التالية: يُطلب من الأطفال عد 26 قطعة حلوى ثم وضعها في 6 أكواب من 4 حلوى لكل منها ، مع بقاء قطعتين من الحلوى. عندما تم وضع دائرة حول "2" من "26" وطُلب من الأطفال إظهارها مع الحلوى ، أشار الأطفال عادةً إلى الحلوى. عندما تم وضع دائرة حول "6" في "26" وطُلب منهم الإشارة بالحلوى ، أشار الأطفال عادةً إلى أكواب الحلوى الستة. يتم أخذ هذا لإثبات أن الأطفال لا يفهمون القيمة المكانية. أعتقد أن هذا يوضح نوع الحيل المشابهة للمشكلات التالية ، والتي لا تظهر نقصًا في الفهم ، ولكنها تظهر أنه يمكن خداع المرء لتجاهل أو نسيان فهمه.

    (1) توجد سفينة في المرفأ ذات سلم حبل طويل جدًا معلق على ظهر السفينة تفصل بين درجاتها 8 بوصات. في بداية المد والجزر ، ثلاث درجات تحت الماء. إذا جاء المد لمدة أربع ساعات بمعدل قدم واحد في الساعة ، في نهاية هذه الفترة ، فكم عدد الدرجات التي سيتم غمرها بالمياه؟

    الجواب ليس تسعة ، بل "ثلاثة فقط ، لأن السفينة سترتفع مع المد". هذا لا يثبت أن المستجيبين لا يفهمون الطفو ، فقط أنه يمكن خداع المرء لنسيانه أو تجاهله.

    (2) دخل ثلاثة رجال فندقًا في عام 1927 وحصلوا على مجموعة من الغرف بمبلغ إجمالي قدره 30 دولارًا ، دفعوها مقدمًا نقدًا ، وساهم كل رجل بمبلغ 10 دولارات. بعد أن صعدوا إلى الغرفة ، أدرك موظف المكتب أنه ارتكب خطأ وأن الجناح كان 25 دولارًا فقط. أعطى المتجر 5 دولارات ليأخذها إلى الرجال. لم يكن صاحب المتجر يعرف كيف يقسم المال بالتساوي بين الرجال ، لذلك أعاد فقط دولارًا واحدًا لكل منهم واحتفظ باثنين لنفسه. وهذا يعني أن الرجال دفعوا 9 دولارات لكل منهم ليصبح المجموع 27 دولارًا. احتفظ المتجر بدولارين ، أي 29 دولارًا. ولكن كان هناك 30 دولارًا للبدء ، فماذا حدث للدولار الآخر؟

    تميل هذه إلى أن تكون مشكلة صعبة للغاية - من الناحية النفسية - على الرغم من أن إجابتها بسيطة للغاية. يجب أن يكون المبلغ المدفوع مساويًا للمال الذي تم الحصول عليه. تم دفع 27 دولارًا (في النهاية) ذهب 2 دولارًا منها إلى المتجر و 25 دولارًا ذهبت إلى المكتب. يجب عليك أن طرح او خصم مبلغ 2 دولار الذي احتفظ به الجرس ، لا يضيف يعود إلى المبلغ الذي دفعه الرجال. لا يوجد سبب لإضافة 2 دولار إلى 27 دولارًا بخلاف الحصول على رقم قريب بدرجة كافية من 30 دولارًا الأصلي لإرباك المستمع ليعتقد أن شيئًا ما خطأ وأن 1 دولار غير محسوب. الأشخاص الذين لا يستطيعون حل هذه المشكلة ، لا يواجهون عمومًا مشكلة في حساب المال ، لكنهم يفعلون ذلك فقط عند العمل على هذه المشكلة.

    (3) المشكلة التالية صعبة كلما عرفت التفاضل والتكامل. إذا كنت لا تعرف حساب التفاضل والتكامل ، فالمشكلة ليست صعبة بشكل خاص. إنها مشكلة مفضلة لخداع أساتذة الرياضيات المطمئنين.

    يبدأ قطاران في وقت واحد ، على بعد 750 ميلًا على نفس المسار ، متجهين نحو بعضهما البعض. يسير القطار في الغرب بسرعة 70 ميلاً في الساعة والقطار في الشرق يسير بسرعة 55 ميلاً في الساعة. في الوقت الذي تبدأ فيه القطارات ، تبدأ النحلة التي تطير بسرعة 300 ميل في الساعة في قطار واحد وتطير حتى تصل إلى الآخر ، وفي ذلك الوقت تنعكس (دون أن تفقد أي سرعة) وتطير على الفور إلى أول قطار ، والذي ، بالطبع ، الآن أقرب. تستمر النحلة في التحرك ذهابًا وإيابًا بين القطارين الأقرب دائمًا حتى يتم سحقها بينهما عندما تصطدم ببعضهما البعض. ما هي المسافة الكلية التي تطير بها النحلة؟

    إن الحل الحسابي الصعب للغاية ، ولكن الظاهر من الناحية النفسية ، هو "جمع سلسلة لانهائية". يميل علماء الرياضيات إلى التمسك بهذه الطريقة. ومع ذلك ، فإن الحل السهل هو أن القطارات تقترب من بعضها البعض بمعدل مشترك يبلغ 125 ميلاً في الساعة ، لذا فإنها ستغطي 750 ميلاً ، وستتحطم في 6 ساعات. تحلق النحلة باستمرار بسرعة 300 ميل في الساعة ، لذلك في غضون 6 ساعات سيطير 1800 ميل. (من المفترض أن يقدم عالم رياضيات الإجابة على الفور ، وهو أمر مذهل للسائل الذي أجاب كم هو مذهل "لأن معظم علماء الرياضيات يحاولون تلخيص سلسلة لا نهائية". أجاب عالم الرياضيات بدهشة من تلقاء نفسه "، لكن هذا ما فعلته. ")

    ليس الأمر أن علماء الرياضيات لا يعرفون كيفية حل هذه المشكلة بالطريقة السهلة التي يتم بناؤها بطريقة تجعلهم لا يفكرون بالطريقة السهلة.

    أعتقد أن المشكلة التي وصفها جونز وثورنتون تتصرف بالمثل في أذهان الأطفال. على الرغم من أنني أعتقد أن هناك أدلة كثيرة على الأطفال والبالغين ، لا يفهمون حقًا القيمة المكانية ، لا أعتقد أن المشاكل من هذا النوع توضح ذلك ، أكثر من المشاكل مثل تلك المقدمة هنا تظهر عدم فهم المبادئ المعنية.

    من السهل أن ترى الأطفال لا يفهمون القيمة المكانية عندما لا يتمكنون من إضافة أو طرح أرقام مكتوبة بشكل صحيح باستخدام مسائل أكثر صعوبة مما تم توضيحه وتدريبهم عليه أو تدريبهم عليه بشكل كبير "كيف" يفعلون (من خلال خطوات محددة ، على سبيل المثال ، عن طريق الخوارزمية) . من خلال الصعوبة المتزايدة ، أعني ، على سبيل المثال ، الانتقال من طرح أو جمع كميات أصغر نسبيًا إلى كميات أكبر نسبيًا (مع المزيد والمزيد من الأرقام) ، والانتقال إلى المشكلات التي تتطلب (أطلق عليها ما تريد) إعادة التجميع أو الحمل أو الاقتراض أو التداول الذهاب إلى مشاكل الطرح مع الأصفار في العدد الذي تطرح منه إلى أصفار متتالية في الرقم الذي تطرح منه وتطرح منه مثل هذه المسائل التي تكون صعبة نفسيًا بشكل خاص في الشكل المكتوب ، مثل "10101 - 9999". مطالبة الطلاب (توضيح كيفية) حل (أنواع) المشكلات التي تم "تدريسها" والتدرب عليها على مجرد اختبارات انتباههم وذاكرتهم ، ولكن مطالبة الطلاب (توضيح كيفية حلها) الجديد أنواع المشاكل (التي تستخدم المفاهيم والطرق التي كنت تعرضها ، ولكن "المضي قدمًا قليلاً" منها) تساعد في إظهار ما إذا كانت قد طورت الفهم. ومع ذلك ، فإن أنواع المشكلات الواردة في بداية هذا التعليق الختامي لا تفعل ذلك لأنها قد تم اختراعها خصيصًا للتضليل النفسي ، أو لأنها تم إنشاؤها عن طريق الخطأ بطريقة تضلل فعليًا. إنهم يتجاوزون ما تم تعليمه للطلاب على وجه التحديد ، لكنهم يفعلون ذلك بطريقة مخادعة بدلاً من مجرد طريقة "طبيعية منطقية". لا يمكنني تصنيف الطرق التي يختلف بها "الذهاب إلى أبعد من ذلك بطريقة مخادعة" عن "الذهاب إلى أبعد من ذلك بطريقة" منطقية طبيعية "من أجل اختبار الفهم ، ولكن يجب أن توضح الأمثلة ما أعنيه.

    علاوة على ذلك ، غالبًا ما يكون من الصعب معرفة ما يسأله أو يقوله شخص آخر عندما يفعل ذلك بطريقة مختلفة عن أي شيء تفكر فيه في ذلك الوقت. إذا سألت عن تصميم مكاني من نوع ما ورسم شخص ما وجهة نظر متقطعة من زاوية منطقية بالنسبة له ، فقد لا يكون ذلك منطقيًا بالنسبة لك على الإطلاق حتى تتمكن من "إعادة توجيه" تفكيرك أو وجهة نظرك. أو إذا قدم شخص ما إثباتًا أو سببًا منطقيًا ، فقد يتقدم في خطوة لا تتبعها على الإطلاق ، وقد يتعين عليه أن يطلب منه شرح هذه الخطوة. ما كان واضحًا بالنسبة له لم يكن واضحًا لك في الوقت الحالي.

    حقيقة أن الطفل ، أو أي موضوع ، يشير إلى قطعتين من الحلوى عندما تضع دائرة حول "2" في "26" وتطلب منه أن يوضح لك ما يعنيه ذلك ، قد يكون ذلك ببساطة لأنه لا يفكر فيما تطلبه في بالطريقة التي تسأل بها أو تفكر بها بنفسك. لا يوجد خداع يتعلق بأنكما تفكران ببساطة في أشياء مختلفة - ولكن باستخدام نفس الكلمات (أو الرموز) لوصف ما تفكر فيه. هذا مشابه لاقتباس شخص ما لسعر "تسعة وتسعين وخمسة وتسعين" عندما تعتقد خطأً أنك تنظر إلى مجوهرات مقلدة ، وتعتقد أنه يعني 19.95 دولارًا ، في حين أنه يعني 1995 دولارًا. أو اطلب من شخص ما أن ينظر إلى وجه شخص على بعد عشرة أقدام منه ويصف ما يراه. سيصفون وجه هذا الشخص ، لكنهم في الواقع سيرون أكثر بكثير من وجه ذلك الشخص. لذا ، فإن إجابتهم خاطئة ، رغم أن ذلك مفهوم. الآن ، إلى حد ما ، هذا سوء فهم تافه وخداع ، ولكن في التصوير الفوتوغرافي ، الهواة طوال الوقت "يرون" وجهًا فقط في عارضهم ، في حين أنهم في الواقع بعيدون جدًا بحيث لا يظهر هذا الوجه جيدًا في الصورة . إنهم في الحقيقة لا يعرفون كل ما يرونه من خلال العارض ، وكل ما "تراه" الكاميرا لالتقاطه. الفرق هو أنه إذا ارتكب المرء هذا الخطأ بالكاميرا ، فمن الخطأ حقًا أن يرتكب المرء الخطأ لفظيًا في الإجابة على السؤال الذي أشرت إليه ، فقد لا يكون خطأ حقيقيًا ولكن فقط أخذ سؤال غامض بالطريقة المخادعة. لا يقصد. إن سؤال الطفل عما يعنيه الرقم "2" المحاط بدائرة ، بغض النظر عن مصدره ، قد لا يعطي الطفل أي سبب للاعتقاد بأنك تسأل عن الجزء "العشرين" من "26" - خاصةً عندما يكون لديك شيئان لديك عن قصد وضعه أمامه ، ولم يكن هناك مجموعة واضحة من عشرين شيئًا. قد يفهم القيمة المكانية جيدًا ، لكنه لا يرى أن هذا هو ما تسأل عنه - خاصة في ظل الظروف التي أنشأتها والتي طرحت فيها السؤال. (عودة إلى النص.)

    الحاشية 6.إذا فهمت مفهوم القيمة المكانية ، إذا فهمت كيف يميل الأطفال (أو أي شخص) إلى التفكير في المعلومات الجديدة من أي نوع (ومدى سهولة سوء الفهم ، خاصة فيما يتعلق بالمسائل المفاهيمية) ، وإذا شاهدت معظم المعلمين يعلمون عن الأشياء التي تتضمن القيمة المكانية ، أو أي جوانب أخرى من المفاهيم المنطقية للرياضيات ، فليس من المستغرب أن الأطفال لا يفهمون القيمة المكانية أو المفاهيم الرياضية الأخرى جيدًا وأنهم لا يستطيعون بشكل عام القيام بالرياضيات بشكل جيد للغاية. غالبًا ما يتم تدريس القيمة المكانية ، مثل العديد من المفاهيم ، كما لو كانت نوعًا من الظواهر الطبيعية - كما لو كان التواجد في عمود العشرات خاصية بسيطة ، تحدث بشكل طبيعي ، يمكن ملاحظتها ، مثل أن تكون طويلًا أو مرتفعًا أو مستديرًا - بدلاً من مفهوم معقد منطقيا ونفسيا. ما قد يكون مذهلاً هو أن معظم البالغين يمكنهم القيام بالرياضيات كما يفعلون على الإطلاق مع القليل من الفهم المتعمق كما لديهم. يجب التعرف على البحث حول ما يفهمه الأطفال حول القيمة المكانية على أنه ما يفهمه الأطفال حول القيمة المكانية بالنظر إلى الكيفية التي تم تدريسها بها لهم، ليس كحدود لفهمهم المحتمل حول القيمة المكانية. (عودة إلى النص.)

    الحاشية السفلية 7. يصنف Baroody (1990) ما يسميه "النماذج التجريدية المتزايدة للأرقام متعددة الأرقام باستخدام الكائنات أو الصور" ويتضمن ذكر النموذج الذي أعتقد أنه الأنسب - رقائق البوكر ذات الألوان المختلفة - الذي يشير إلى أنه يشبه من الناحية المفاهيمية الهيروغليفية المصرية - حيث يتم استخدام "علامة" مختلفة المظهر لتمثيل العشرات. ويقول: "قد يساعد استخدام علامة عشرة علامات مختلفة المظهر بعض الأطفال - لا سيما أولئك الذين لديهم قدرة منخفضة - على سد الفجوة بين النماذج ذات الحجم الملموس للغاية والنموذج التجريدي نسبيًا [التالي / الأخير] [الذي يتضمن الموضع النسبي للعلامات] . "

    لا أعتقد أن فئاته هي فئات من النماذج المجردة بشكل متزايد للأرقام متعددة الأرقام. لديه أربع فئات أعتقد أن أول فئتين هما مجرد مجموعات ملموسة من الكائنات (الكتل المتشابكة وعلامات العد في الفئة الأولى ، وكتل Dienes ورسومات كتل Dienes في الفئة الثانية). والثانيان - نوع العلامة المختلف وقيمة الموضع النسبي المختلفة - كلاهما تمثيلان تجريديان متساويان للتجميع ، والفرق بينهما هو أن القيمة الموضعية النسبية هي مفهوم أكثر صعوبة في الاستيعاب في البداية من علامة مختلفة. يكتب. إنه ليس أكثر تجريدًا ، إنه مجرد تجريدي بطريقة يصعب التعرف عليها والتعامل معها.

    علاوة على ذلك ، يصنف بارودي جميع فئاته على أنها أنواع من "التداول" ، ولكن لا يبدو أنه يدرك أن هناك أحيانًا فرقًا بين "التداول" و "التمثيل" ، وأن التداول ليس مجرّدًا على الإطلاق بالطريقة التي يمثلها. يمكنني استبدال بطاقة Mickey Mantle الخاصة بي ببطاقة Ted Kluzewski الخاصة بك أو شطيرة التونة الخاصة بي لمشروبك الغازي ، لكن هذا لا يعني أن بطاقات Mickey Mantle تمثل بطاقات Klu أو أن السندويشات تمثل مشروبات غازية. يمكن للأطفال بشكل عام ، وليس فقط الأطفال ذوي القدرات المنخفضة ، فهم التداول دون فهم التمثيل بالضرورة. ويمكنهم المضي قدمًا من هناك لفهم نوع التمثيل الذي يحدث ليكون مشابهًا للتداول ، وهو نوع تمثيل تلك القيمة المكانية. ولكن فيما يتعلق بالتداول ، بدلاً من التمثيل ، فمن الأسهل أولاً أن نفهم أو نقدر (أو نتذكر ، أو نتظاهر) بوجود اختلاف في القيمة بين الأشياء المختلفة جسديًا ، بغض النظر عن مكان وجودها ، أكثر من إدراكها أو إدراكها. نقدر الفرق بين كائنين متطابقين في مكانين مختلفين. من المنطقي أن نقول إن شيئًا ما يمكن أن يكون ذا قيمة أكثر أو أقل إذا تم تغييره جسديًا ، وليس فقط نقله جسديًا. إن طلاء سيارتك ، أو التخلص من الخدوش ، أو إعادة بناء المكربن ​​يجعل الأمر أكثر قيمة بطريقة واضحة ، حيث أن ركنها في مكان أبعد في الممر الخاص بك لا يفعل ذلك. من المنطقي للطفل أن يقول إن اثنين من فيشات البوكر الزرقاء تساوي 20 قطعة بيضاء ، ومن غير المنطقي أن نقول أن "2" هنا تساوي عشر "2" هنا. تعلم رقائق البوكر الملونة الأجزاء التمثيلية المجردة المهمة للأعمدة بطريقة يمكن للأطفال فهمها بسهولة أكبر. فلماذا لا تستخدمها وتسهل على جميع الأطفال التعلم؟ ورقائق البوكر عبارة عن مواد غير مكلفة نسبيًا للفصول الدراسية. من خلال التفكير في استخدام أنواع مختلفة من العلامات (لتمثيل قيم مجموعة مختلفة) في المقام الأول كمساعدة للطلاب "ذوي القدرة المنخفضة" ، يفقد بارودي إمكاناتهم لمساعدة جميع الأطفال ، بما في ذلك الأطفال "الأذكياء" تمامًا ، وتعلم القيمة المكانية في وقت مبكر ، وبسهولة أكبر ، وأكثر فاعلية. (عودة إلى النص.)

    الحاشية السفلية 8. تذكر أن النسخ المكتوبة من الأرقام ليست هي نفسها النسخ المنطوقة. يجب تعلم النسخ المكتوبة وكذلك النسخ المنطوقة مع العلم أن الأرقام المنطوقة لا تعلم الأرقام المكتوبة. على سبيل المثال ، يتم نطق الأرقام المكتوبة بالأرقام الرومانية بنفس طريقة نطق الأرقام بالأرقام العربية. والأرقام المكتوبة في شكل ثنائي يتم نطقها بنفس طريقة نطق الأرقام التي تمثلها ولكن يتم كتابتها بشكل مختلف ، وتبدو كأرقام مختلفة. في الرياضيات الثنائية "110" هي "ستة" وليس "مائة عشرة". عندما يتعلم الأطفال قراءة الأرقام ، فإنهم يرتكبون أحيانًا بعض الأخطاء مثل الاتصال بالرقم "11" "واحد واحد" ، وما إلى ذلك. حتى البالغين ، عندما يواجهون رقمًا كبيرًا متعدد الأعمدة ، غالبًا ما يواجهون صعوبة في تسمية الرقم ، على الرغم من أنه قد لا يكون لديهم مشكلة في التلاعب بالأرقام من أجل العمليات الحسابية ، فإن أسماء الأرقام التي تتجاوز الأرقام المكونة من رقم واحد ليست بالضرورة مساعدة في التفكير أو التلاعب بالأرقام.

    تشرح كارين سي فوسون كيف أن أسماء الأعداد من 10 إلى 99 في اللغة الصينية تتضمن ما هو أساسًا أسماء الأعمدة (كما هو الحال مع مضاعفات العدد الكامل لدينا 100) ، وتعتقد أن هذا يجعل الطلاب الناطقين باللغة الصينية قادرين على تعلم المكان - مفاهيم القيمة بسهولة أكبر. لكنني أعتقد أن هذا لا يتبع ، لأنه مهما كانت أسماء الأرقام يتم نطقها ، فإن التسمية الرقمية لها لا تزال مختلفة تمامًا عن تسمية الكلمات المكتوبة ، على سبيل المثال ، "1000" مقابل "ألف". يجب أن يكون من الصعب على الطفل الناطق باللغة الصينية أن يتعلم التعرف على الرقم "11" كما هو الحال بالنسبة للطفل الناطق باللغة الإنجليزية ، لأن كليهما ، بعد أن تعلم الرقم "1" على أنه "واحد" ، سيرى الرقم "11" مجرد "واحد" معًا. لا ينبغي أن يكون من الأسهل بالنسبة للطفل الصيني أن يتعلم قراءة أو نطق الرقم "11" (الترجمة الصينية لـ) "واحد - عشرة ، واحد" أكثر من الأطفال الناطقين بالإنجليزية أن يروها على أنها "أحد عشر". ويلاحظ فوسون اكتشاف ثلاث مشاكل لدى الأطفال الصينيين: (1) تعلم كتابة "0" عندما لا يوجد ذكر "عمود" معين في قول رقم (على سبيل المثال ، معرفة أن "ثلاثة آلاف وستة" هو "3006" وليس "36" فقط (2) مع العلم أنه في حالات معينة عندما تحصل على أكثر من تسعة من قيمة مكانية معينة ، يجب عليك تحويل "الإضافية" إلى قيمة مكانية أعلى لكتابتها (على سبيل المثال ، يمكنك أن تقول "خمسمائة واثنا عشر عشرة" ولكن عليك كتابتها كـ "620" لأنك [نوعًا] لا تستطيع كتابتها كـ "5120". [أقول ، "نوعًا ما" لأننا ندرس يكتب الأطفال أعمدة "متسلسلة" - أعمدة تحتوي على أرقام متعددة الأرقام - عندما نعلمهم خوارزمية الاستعارة للطرح ، نكتب "12" في عمود العشرة عندما يكون لدينا اثنان من الأعمدة ونستعير 10 أخرى.] ( 3) كتابة الأرقام بشكل طبيعي بدون "تسلسل" (على سبيل المثال ، تعلم كتابة "خمسمائة واثني عشر" كـ "512" بدلاً من "50012" ، حيث يكتب الطفل "500" ويضع " 12 "في نهايته).

    ولكن هناك ، أو ينبغي أن يكون ، أكثر مشاركة. حتى بعد أن تعلم الأطفال الناطقين بالصينية قراءة الأرقام الرقمية ، مثل "215" مثل (الترجمة الصينية) "2-1 مائة ، واحد ، عشرة ، خمسة" ، هذا وحده لا ينبغي أن يساعدهم على طرح "56 "منه بسهولة أكبر مما يمكن للطفل الناطق باللغة الإنجليزية القيام به ، لأنه (1) لا يزال يتعين على المرء ترجمة مفاهيم التداول إلى تدوينات رقمية عمودية ، وهذا ليس بالأمر السهل ، ولأن (2) لا يزال يتعين على المرء أن يفهم كيف ترتبط الآحاد والعشرات والمئات وما إلى ذلك ببعضها البعض بحيث يمكن للمرء أن يتداول بين تسميات اسم العمود الأعلى والأدنى ، على سبيل المثال ، بين الآلاف والمئات أو بين الملايين ومئات الآلاف ، وما إلى ذلك ، وعلى الرغم من أنه قد يبدو من السهل الطرح "خمسة - عشرة" (50) من "ستة - عشرة" (60) للحصول على "واحد - عشرة" (10) ، ليس من الصعب عمومًا للأشخاص الذين تعلموا العد بالعشرات أن يطرحوا "خمسين" من "ستين" "للحصول على" عشرة ". كما أنه ليس من الصعب على الطلاب الناطقين باللغة الإنجليزية الذين لديهم تمارس كثيرًا بالكميات والأرقام لطرح "اثنين وأربعين" من "ستة وخمسين" للحصول على "أربعة عشر". بالتأكيد ليس من الأسهل بالنسبة للطفل الناطق باللغة الصينية أن يحصل على "واحد - عشرة أربعة" بطرح "أربعة - عشرة اثنين" من "خمسة - عشرة ستة". غالبًا ما يواجه طلاب الجبر صعوبة في إضافة وطرح متغيرات مختلطة [على سبيل المثال ، "(10x + 3y) - (4x + y)"] هل سيكون من الأسهل للأطفال الناطقين باللغة الصينية القيام بشيء مماثل تقريبًا؟ أظن أنه إذا كان الأطفال الناطقون باللغة الصينية يفهمون القيمة المكانية بشكل أفضل من الأطفال الناطقين باللغة الإنجليزية ، فهناك سبب أكثر من تسمية أرقامهم بأسماء. ويشير فوسون إلى عدد من الأشياء التي يتعلم الأطفال الآسيويون القيام بها والتي لا يتعلمها الأطفال الأمريكيون عمومًا ، بدءًا من الطرق المختلفة لعد الأصابع إلى التدرب على أزواج من الأرقام التي تضيف إلى عشرة أو إلى مضاعفات الأعداد الصحيحة العشرة.

    من وجهة نظر مفاهيمية من النوع الذي أصفه في هذه الورقة ، يبدو أن هذا النوع من الممارسة أكثر أهمية بكثير للتعلم عن العلاقات بين الأرقام وبين الكميات من طريقة تسمية الأرقام المنطوقة. هناك جميع أنواع الطرق لممارسة استخدام الأرقام والكميات في حالة استخدام القليل منها أو عدم استخدام أي منها ، فمن غير المرجح أن يتعلم الأطفال الرياضيات جيدًا ، بغض النظر عن كيفية إنشاء الكلمات العددية أو نطقها أو كيفية كتابة الأرقام. (عودة إلى النص.)

    الحاشية 9. لأن الأطفال يمكنهم تعلم قراءة الأرقام ببساطة عن طريق التكرار والممارسة ، فأنا أؤكد أن قراءة وكتابة الأرقام لا علاقة له بالضرورة بفهم القيمة المكانية. أنا أعتبر "القيمة المكانية" على وشك كيف و لماذا تمثل الأعمدة ما يفعلونه و كيف يتعاملون مع بعضهم البعض، لا مجرد معرفة ماذا او ما تم تسميتهم. ومع ذلك ، يبدو أن بعض المعلمين والباحثين (وقد يكون فوسون واحدًا منهم) يستخدمون مصطلح "القيمة المكانية" لتضمين أو تتعلق بتسمية الأرقام المكتوبة ، أو كتابة الأرقام المسماة. في هذا الاستخدام إذن ، سيكون فوسون محقًا في أنه - بمجرد أن يتعلم الأطفال أن الأرقام المكتوبة لها أسماء أعمدة ، وترتيب أسماء هذه الأعمدة - سيكون للأطفال الناطقين بالصينية ميزة في قراءة الأرقام وكتابتها (التي تتضمن أيًا) عشرة وواحد) التي لا يمتلكها الأطفال الناطقون باللغة الإنجليزية. لكن كما أشرت سابقًا ، لا أعتقد أن الميزة تنتقل إلى القيام بمعالجات حسابية مكتوبة أو ممثلة عدديًا ، حيث يأتي فهم القيمة المكانية.

    وأنا لا أعتقد أنه أي نوع من المزايا الحقيقية على الإطلاق ، لأنني أعتقد أن الأطفال يمكنهم تعلم قراءة وكتابة الأرقام من 1 إلى 100 بسهولة إلى حد ما عن ظهر قلب ، مع الممارسة ، ويمكنهم فعل ذلك بسهولة أكبر بهذه الطريقة. يمكن القيام بذلك عن طريق تعلم أسماء الأعمدة والأرقام وكيفية تجميع أرقام مختلفة معًا بواسطة الأعمدة من أجل تكوين الرقم.

    عندما كان أطفالي يتعلمون "العد" بصوت عالٍ (أي ، تلاوة أسماء الأرقام بالترتيب فقط) كان من الصعب عليهم شيئان ، أحدهما سيكون صعبًا على الأطفال الناطقين بالصينية أيضًا ، أفترض. كانوا ينسون الذهاب إلى المجموعة العشرة التالية بعد الوصول إلى تسعة في المجموعة السابقة (وأفترض أنه إذا تعلم الأطفال الصينيون العد حتى عشرة قبل الانتقال إلى "واحد - عشرة" ، فمن المحتمل أن يقوموا أحيانًا بالعد دون قصد من ، على سبيل المثال ، "ستة وعشرة وتسعة وستة وعشرة وعشرة"). وربما على عكس الأطفال الصينيين ، للأسباب التي قدمها فوسون ، واجه أطفالي صعوبة في تذكر أسماء مجموعات العشرات أو "العقود" اللاحقة. عندما تذكروا أنه كان عليهم تغيير اسم العقد بعد تسعة أشياء ، فإنهم سينسون ما حدث بعد ذلك. لكن هذا لم يكن من الصعب علاجه من خلال فترات تمرين قصيرة لقول العقود (أثناء القيادة في السيارة ، أثناء المهمات أو التنقل ، عادةً) ثم ممارسة الانتقال من التاسعة والعشرين إلى الثلاثين ، ومن التاسعة والثلاثين إلى الأربعين ، وما إلى ذلك بشكل منفصل. .

    في الواقع ، قد يحدث شيء ثالث أيضًا في بعض الأحيان ، ومن الناحية النظرية ، يبدو لي أنه من المحتمل أن يحدث بشكل متكرر للأطفال الذين يتعلمون العد باللغة الصينية. عند العد إلى 100 ، كان أطفالي يتخطون أحيانًا رقمًا دون أن يلاحظوا أو يفقدون تركيزهم وينسون أين كانوا وربما ينتقلون من ستة وستين إلى سبعة وسبعين ، أو بعضًا من هذا القبيل. أعتقد أنه إذا كنت تتعلم العد باستخدام نظام التسمية الصيني ، فسيكون من السهل إلى حد ما الانتقال من شيء مثل ستة إلى عشرة ثلاثة إلى أربعة عشرة سبعة إذا كان لديك أي هفوة في التركيز على الإطلاق. سيكون من السهل الخلط بين أي "عشرة" وأي "واحد" قلته للتو. إذا حاولت حساب مزيج بسيط من نوعين مختلفين من الأشياء في وقت واحد - في رأسك - فسوف تخلط بسهولة بين الرقم التالي لأي كائن. ضع أعدادًا صغيرة مختلفة من رقائق البوكر باللونين الأزرق والأحمر في عشرة أو خمسة عشر كومة ، ثم بالانتقال من كومة إلى أخرى مرة واحدة فقط ، حاول أن تحسب في نفس الوقت كل الرقائق الزرقاء وكل الرقائق الحمراء (احتفظ بالمجموعتين) مميز). من الصعب للغاية القيام بذلك دون الخلط بين المبلغ الذي حصلت عليه للتو من اللون الأزرق والذي كان لديك مؤخرًا مقابل الأحمر. باختصار ، لا يمكنك تتبع أي رقم يتطابق مع أي اسم. أفترض أن الأطفال الصينيين سيواجهون نفس الصعوبة في تعلم نطق الأرقام بالترتيب. (عودة إلى النص.)

    الحاشية 10. هناك فرق بين الأشياء التي تتطلب مجرد ممارسة متكررة "للتعلم" والأشياء التي تتطلب الفهم. الهدف من الممارسة هو أن تصبح أفضل في تجنب الأخطاء ، وليس أفضل في التعرف عليها أو فهمها في كل مرة ترتكب فيها الأخطاء. الهدف من الممارسة المتكررة هو ببساطة أن تصبح أكثر مهارة في القيام بشيء ما بشكل صحيح. ليس بالضرورة أن يكون له أي علاقة بفهمه بشكل أفضل. يتعلق الأمر بالقدرة على القيام بشيء ما بشكل أسرع ، وأكثر سلاسة ، وتلقائيًا ، وبطريقة أكثر طبيعية ، ومهارة ، وأكثر كمالًا ، أو بشكل جيد ، أو في كثير من الأحيان ، إلخ. إذن ، ليس من أجل فهمها بشكل أفضل ولكن لتكون قادرًا على القيام بها بشكل أفضل.

    في الرياضيات والعلوم (والعديد من المجالات الأخرى) ، يكون الفهم والتطبيق العملي أحيانًا أشياء منفصلة بمعنى أن المرء قد يفهم الضرب ، لكن هذا يختلف عن القدرة على الضرب بسلاسة وسرعة. يمكن للعديد من الأشخاص أن يتكاثروا دون فهم الضرب جيدًا لأنهم تعلموا خوارزمية الضرب التي مارسوها بشكل متكرر. لقد تعلم البعض الآخر فهم الضرب من الناحية المفاهيمية ولكنهم لم يمارسوا ضرب الأعداد الفعلية بما يكفي ليكونوا قادرين على الضرب بشكل فعال بدون آلة حاسبة. يعتبر كل من الفهم والممارسة مهمين في العديد من جوانب الرياضيات ، ولكن الممارسة والفهم شيئان مختلفان ، وغالبًا ما يحتاجان إلى "التدريس" أو العمل عليهما بشكل منفصل.

    وبالمثل ، قد يعمل الفيزيائيون أو علماء الرياضيات مع الصيغ التي يعرفونها عن ظهر قلب من خلال الممارسة والاستخدام ، ولكن قد يضطرون إلى التفكير قليلاً وإعادة بناء دليل أو سبب منطقي لتلك الصيغ إذا طُلب منهم ذلك. غالبًا ما يكون الفهم أو القدرة على الفهم مختلفًا عن القدرة على تقديم إثبات أو سبب منطقي من الذاكرة على الفور. في بعض الحالات ، قد يكون من المهم للشخص ليس فقط فهم موضوع ما ولكن أيضًا حفظ خطوات هذا الفهم أو التدرب على "الإثبات" أو الأساس المنطقي أو الاشتقاق أيضًا ، حتى يتمكن من تذكر الأساس المنطقي المحدد الكامل في إرادة. لكن ليست كل الحالات على هذا النحو. (عودة إلى النص.)

    الحاشية السفلية 11. في مناقشة لهذه النقطة على قائمة AERA-C على الإنترنت ، أشار تاد واتانابي بشكل صحيح إلى أن المرء لا يحتاج إلى إعادة التجميع أولاً لإجراء عمليات طرح تتطلب "استعارة" أو استبدال العشرة في واحد. يمكن للمرء طرح رقم المطروح من العشرة "المقترضة" ، وإضافة الفرق إلى الرقم الأصلي. على سبيل المثال ، عند طرح 26 من 53 ، يمكن للمرء تغيير 53 إلى ، ليس فقط 40 زائد 18 ، ولكن 40 زائد عشرة و 3 آحاد ، وطرح 6 من العشرة ، ثم إضافة الفرق ، 4 ، مرة أخرى إلى 3 أنت "كان بالفعل" ، من أجل الحصول على 7 واحد. بعد ذلك ، بالطبع ، اطرح العشرة من العشرة الأربعة وانتهى بالحصول على 27. هذا يمنع المرء من الاضطرار إلى إجراء عمليات طرح تتضمن طروحات صغيرة من 11 إلى 18.

    هذا بدوره ذكرني بطريقتين أخريين للقيام بهذا الطرح ، وتجنب الطرح من 11 إلى 18: (1) على غرار الطريقة التي ستفعل بها ذلك مع العداد ، يمكنك طرح أكبر عدد ممكن من العداد من واحد في " الموجودة "minuend ثم تطرح الباقي من واحد تحتاج إلى طرحه بعد تحويل عشرة إلى 10 آحاد. (في حالة 53-26 ، تطرح الآحاد الثلاثة كلها من 53 ، مما يترك ثلاثة آحاد أخرى تحتاج إلى طرحها بمجرد تحويل العشرة من خمسين إلى 10 آحاد. ثم ، بالطبع ، تطرح 20. )

    (2) يمكنك الانتقال إلى الأعداد السالبة ، لذلك في نفس المسألة ، عندما تطرح 6 من 3 ، تحصل على -3 ، وتجمع هذا -3 مع الآحاد العشرة بعد تحويل العشرة ، ثم تطرح 20 من الـ 47 ، أي الـ 4 عشر و الـ 7.

    إذا لم تقم بتعليم الأطفال (أو تساعدهم في معرفة كيفية) القيام بعمليات الطرح ببراعة باستخدام قيم بسيطة من 11 إلى 18 ، فستجبرهم بشكل أساسي على الخيارين (1) أو (2) أعلاه أو شيء مشابه. بينما إذا قمت بتدريس عمليات الطرح من 11 إلى 18 ، فإنك تمنحهم خيار استخدام أي من الطرق الثلاث أو جميعها. بالإضافة إلى ذلك ، إذا كنت تريد أن يكون الأطفال قادرين على رؤية 53 كمجموعة أخرى من المجموعات إلى جانب 5 مجموعات و 3 مجموعات ، على الرغم من أن 4 عشر زائد 1 عشرة زائد 3 واحد سيخدم ، 4 عشر و 13 واحد يبدو عفويًا أو نفسيًا نتيجة جاهزة لذلك ، وسيكون من غير الضروري تقييد الأطفال حتى لا يسهل عليهم رؤية هذه المجموعة على أنها مفيدة في الطرح. (عودة إلى النص.)

    الحاشية رقم 12. أقول في الوقت الذي تحاول فيه الطرح منه لأنك ربما تكون قد أعدت تجميع هذا الرقم بالفعل واقترضت منه. وبالتالي ، ربما كان رقمًا مختلفًا في الأصل. إذا طرحت 99 من 1001 ، فإن الصفر في المطروح سيكون 9 عندما "تصل إليهم" في خوارزمية الطرح المعتادة التي تتضمن المتابعة من اليمين (عمود واحد) إلى اليسار ، وإعادة التجميع ، والاستعارة ، والطرح بواسطة الأعمدة مثل عليك المضي قدما. (عودة إلى النص.)

    الحاشية 13.عندما شرحت الحاجة إلى ممارسة هذه الأنواع من عمليات الطرح لمعلم واحد يقوم بتدريس تعليم الموهوبين الابتدائي ، والذي يحب الرياضيات والألغاز والمشكلات الرياضية / المنطقية ، والتي هي نفسها على دراية كبيرة ومشرقة ، قالت "أوه ، تقصد أنهم بحاجة تدرب على إعادة التجميع لطرح هذه المبالغ ". كان هذا خطأ مفاهيميًا طبيعيًا من جانبها ، لأنك لا تعيد التجميع للقيام بعمليات الطرح هذه. عمليات الطرح هذه هي ما ينتهي بك الأمر به دائمًا بعد إعادة التجميع للطرح. إذا حاولت إعادة التجميع لطرحها ، فستنتهي بنفس الشيء ، لأن تغيير "عشرة" إلى 10 آحاد لا يزال يمنحك 1_ كطالب. على سبيل المثال ، عند طرح 9 من 18 ، إذا أعدت تجميع 18 في لا عشرات و 18 آحادًا ، فلا يزال يتعين عليك طرح 9 من تلك الثمانية عشر. لم يتم ربح أي شيء. (عودة إلى النص.)

    الحاشية السفلية 14. في فصل الصف الثالث حيث كنت أشرح بعض جوانب الجمع والطرح للطلاب ، إذا سألت الفصل عن المقدار ، على سبيل المثال ، من 13 إلى 5 (أو أي عملية طرح مع رقم مطروح أكبر من الرقم الأصغر) ، حصلت على مجموعة من الإجابات حتى استقروا أخيرًا على احتمالين أو ثلاثة. قيل لي من قبل المعلمين أن هذا ليس بالأمر غير المعتاد للطلاب الذين لم يمارسوا كثيرًا مع هذا النوع من الطرح. (عودة إلى النص.)

    الحاشية 15. لا حرج في تدريس الخوارزميات ، حتى المعقدة منها التي يصعب تعلمها. لكن يجب تعليمهم في الوقت المناسب إذا كانوا سيحصلون على فائدة كبيرة. لا يمكن تدريسها كسلسلة من الخطوات التي ليس لنتائجها أي معنى سوى أنها نتيجة هذه الخطوات. الخوارزميات التي يتم تدريسها واستخدامها بهذه الطريقة تشبه أي نظام رسمي آخر - والنتيجة هي نتيجة رسمية بدون معنى حقيقي خارج النموذج. والشيء الوحيد الذي يجعل الإجابة غير صحيحة هو أن الإجراء تم اتباعه بشكل غير صحيح ، وليس أن الإجابة قد تكون غريبة أو غير معقولة. بمعنى ما ، تصبح الوسائل هي الغايات.

    ليست الخوارزميات الحسابية هي المجالات الوحيدة في الحياة التي تصبح فيها الوسائل غايات ، لذا فإن أنواع الأخطاء الحسابية التي يرتكبها الأطفال في هذا الصدد ليست فريدة في تعليم الرياضيات. (أحيانًا ما يتخذ نظام العدالة الرسمي المستند إلى "قواعد الأدلة" قرارات غريبة بسبب ثغرات أو "جوانب فنية" تؤدي أحيانًا إلى إغفال الأدلة أو تجاهلها أو اعتبارها مجرد انحرافات. اتبعت بجد والعديد من التقاليد التي بدأت كطرق لتعزيز الحياة البشرية والاجتماعية أصبحت طقوسًا متحجرة مرهقة حيث تختفي الظروف التي تستحق بموجبها.)

    لسوء الحظ ، عندما يتم تعلم الأنظمة الرسمية بشكل غير صحيح أو عندما يتم ارتكاب الأخطاء عن غير قصد ، لا يوجد سبب للشك في الخطأ بمجرد النظر إلى نتيجة اتباع القواعد. أي نتيجة ، من مظهرها فقط ، تكون جيدة مثل أي نتيجة أخرى.

    إذن ، لا ينبغي تدريس الخوارزميات الحسابية على أنها مجرد أنظمة رسمية. يجب تعليمهم كطرق مختصرة للحصول على نتائج ذات مغزى ، ويمكن للمرء في كثير من الأحيان أن يقول من خلال التفكير في النتائج ، أن شيئًا ما يجب أن يكون قد انحرف. يحتاج الأطفال إلى التفكير في النتائج ، ولكن لا يمكنهم فعل ذلك إلا إذا كان لديهم ممارسة مهمة في العمل واللعب بالأرقام والكميات بطرق وأشكال مختلفة قبل أن يتم تعريفهم بالخوارزميات التي من المفترض ببساطة أن تجعل حساباتهم أسهل ، وليس مجرد رسمية. لا يحتاج الأطفال دائمًا إلى فهم الأساس المنطقي لخطوات الخوارزمية ، لأن ذلك يكون في بعض الأحيان معقدًا للغاية بالنسبة لهم ، لكنهم بحاجة إلى فهم الغرض من الخوارزمية ونقطة منها إذا كانوا قادرين على (تعلم) تطبيقها بشكل معقول . تعلم الخوارزمية هو مسألة حفظ وممارسة ، لكن تعلم الغرض أو الأساس المنطقي للخوارزمية ليس مسألة حفظ أو ممارسة ، بل هو مسألة فهم. يتضمن تدريس خطوات الخوارزمية بشكل فعال مجرد ابتكار وسائل للتوضيح والممارسة الفعالين. لكن تدريس نقطة الخوارزمية أو الأساس المنطقي بشكل فعال ينطوي على مهمة أكثر صعوبة تتمثل في تنمية فهم الطلاب واستدلالهم. إن تنمية الفهم هي فن بقدر ما هو علم لأنه يتضمن كلاً من الوضوح والقدرة على فهم متى ولماذا وكيف لم تكن واضحًا لطالب معين أو مجموعة من الطلاب. نظرًا لأن سوء الفهم يمكن أن يحدث بجميع أنواع الطرق غير المتوقعة وغير المتوقعة ، فإن التدريس من أجل الفهم يتطلب البصيرة والمرونة التي يصعب أو يستحيل تحقيقها للنصوص المعدة ، أو برامج الكمبيوتر المحدودة ، وحدها.

    أخيرًا ، العديد من خوارزميات (الرياضيات) معقدة إلى حد ما ، مع العديد من "القواعد" المختلفة ، لذلك يصعب تعلمها تمامًا مثل الأنظمة الرسمية ، حتى مع الممارسة. تعد خوارزميات الجمع والطرح (كيفية ترتيب الأعمدة ، ومتى وكيفية الاقتراض أو الحمل ، وكيفية ملاحظة أنك قمت بذلك ، وكيفية التعامل مع الأصفار ، وما إلى ذلك) معقدة إلى حد ما ويصعب تعلمها عن ظهر قلب. وحده. أعتقد أن البحث يظهر بوضوح أن الأطفال لا يتعلمون هذه الخوارزميات جيدًا عندما يتم تدريسهم كنظم رسمية وعندما يكون لدى الأطفال خلفية غير كافية لفهم وجهة نظرهم. ومن السهل أن نرى أنه في الحالات التي تنطوي على "جمع وطرح بسيط" ، تكون الخوارزمية أكثر تعقيدًا بكثير من مجرد "اكتشاف" الإجابة بأي طريقة منطقية قد يراها المرء وأنه من السهل على الأطفال اكتشاف طريقة الحصول على الجواب مما هو عليه الحال بالنسبة لهم لتعلم الخوارزمية. تعتبر الاشتقاقات المستندة إلى القواعد مفيدة في الحالات المعقدة للغاية بحيث لا يمكن القيام بها بواسطة الذاكرة أو المنطق أو الخيال وحده ، ولكنها تشكل عائقًا في الحالات التي يكون فيها التعلم أو استخدامها أكثر صعوبة من استخدام الذاكرة أو المنطق أو التخيل مباشرة في المشكلة أو المهمة في يسلم. (هذا لا يختلف عن حقيقة أن تعلم قراءة وكتابة الأرقام - على الأقل حتى 100 - أسهل في القيام به عن طريق الحفظ والتطبيق مما هو عليه من خلال إخبارنا بأسماء الأعمدة وقواعد استخدامها .) ببساطة لا يوجد سبب لإدخال الخوارزميات قبل أن يتمكن الطلاب من فهم الغرض منها وقبل أن يصل الطلاب إلى أنواع مشاكل الأرقام (عادةً ما تكون أعلى) والتي تكون الخوارزميات مفيدة أو ضرورية لحلها. يمكن أن يحدث هذا في سن مبكرة ، إذا تم إعطاء الأطفال أنواعًا مفيدة من الخبرات العددية والكمية. العمر وحده ليس هو العامل. (عودة إلى النص.)

    الحاشية السفلية 16. التفكير أو التذكر لحساب الكميات الكبيرة من قبل المجموعات ، بدلاً من احتساب الكميات الكبيرة على حدة في كل مرة ، هو بشكل عام مهارة مكتسبة ، على الرغم من أنها مهارة سريعة التعلم إذا قيل لأحد عن ذلك. وبالمثل ، فإن معالجة المجموعات لعمليات حسابية مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة ، بدلاً من معالجة الكائنات المفردة. حقيقة أن الأطفال الناطقين باللغة الإنجليزية يحسبون حتى الكميات الكبيرة من خلال العناصر الفردية بدلاً من المجموعات (Kamii) ، أو أنهم يجدون صعوبة في الجمع والطرح من قبل مجموعات متعددة الوحدات (Fuson) قد يكون أكثر من مجرد عدم إخبارهم بها. كفاءتها والممارسة الممنوحة فيها ، من عدم وجود "فهم" أو القدرة على التفكير. لا أعتقد أن هذا انعكاس لفهم الأطفال أو قدرتهم على الفهم.

    هناك العديد من المجالات التي تكون فيها الرؤى البسيطة بعيدة المنال حتى يتم إخبارها ، وإعطاء القليل من الممارسة لـ "ربط" الفكرة بالذاكرة أو رد الفعل. في بعض الأحيان يحتاج المرء فقط إلى إخباره مرة واحدة ، ورؤيته على الفور ، ويشعر بالحماقة لأنه لم يدرك ذلك بنفسه. لا يفكر العديد من الأشخاص الذين يلتقطون صورًا بكاميرا ذات تنسيق مستطيل أبدًا بمفردهم في قلب الكاميرا رأسيًا من أجل تحسين الإطار والتمكن من الاقتراب كثيرًا من الهدف الرأسي. يحاول معظم الأطفال موازنة الدراجة عن طريق تحريك أكتافهم على الرغم من أن معظم وزنهم (والتوازن بعد ذلك) يقع في الوركين ، ويميل الوركين إلى الاتجاه المعاكس للكتفين بحيث يتم تصحيح الميل من خلال ميل الكتف في الاتجاه المعاكس. الاتجاه عادة في الواقع يسرع السقوط. تبدو فكرة الحرث الكنتوري من أجل منع التآكل ، بمجرد الإشارة إليها ، واضحة ، لكنها لم تكن واضحة أبدًا للأشخاص الذين لم يفعلوا ذلك. يعد عد "التغيير" عن طريق "العد إلى الأمام" من المبلغ المخصوم إلى المبلغ المعطى ، طريقة بسيطة وفعالة لمعرفة التغيير ، ولكنها طريقة لا يتم تعليم معظم الطلاب "طرحها" ، لذلك يحتاج مديرو المتجر إلى التدريس للموظفين الطلاب. هذا ليس لأن الطلاب لا يعرفون كيفية الطرح أو لا يستطيعون فهم الطرح ، ولكن لأنهم ربما لم يتم عرض هذا الجهاز البسيط عليهم أو التفكير فيه بأنفسهم. أعتقد أن العد أو الحساب من خلال المجموعات ، وليس من خلال الفرد أو الوحدات ، هو أحد هذه الأنواع البسيطة من الأشياء التي يحتاج المرء عمومًا إلى إخباره عنها عندما يكون صغيرًا (وتمارسه في ذلك ، لجعله تلقائيًا) أو لن يفعل ذلك. فكر في الأمر.

    لا أعتقد أنه يجب إخبار هذه الأشياء البسيطة بالضرورة أن المرء لم يكن لديه أي فهم للمبادئ التي تنطوي عليها. كما هو الحال في المشاكل الخادعة المقدمة سابقًا ، أحيانًا ما يحصل "فهمنا" ببساطة على نوع من النقطة العمياء أو التركيز في اتجاه مختلف يحجب جزءًا معينًا من المعرفة. نظرًا لأن الفهم فوري جدًا بمجرد إخباره بالبصيرة ، يبدو أنه نوع مختلف من تعليم شخص ما فكرة جديدة تمامًا لم يفهمها من قبل ، أو لم يكن مستعدًا لفهمها ، أو لم يستطع فهمها. أظن أنه في كثير من الأحيان حتى عندما يتم تعليم الأطفال التعرف على المجموعات من خلال الأنماط أو يتم تعليمهم قراءة الأرقام المتتالية حسب المجموعات (على سبيل المثال ، سرد مضاعفات المجموعات - على سبيل المثال ، 5 ، 10 ، 15 ، 20) لا يتم إخبارهم بذلك. طريقة أسرع لحساب الكميات الكبيرة من الأشياء - أي تجميع الأشياء أولاً ثم عد المجموعات. ولا يتم تدريبهم على عد الأشياء بهذه الطريقة. لذلك لا يجرون الاتصال وعندما يُطلب منهم حساب الكميات الكبيرة ، قم بذلك واحدًا تلو الآخر. (عودة إلى النص.)

    الحاشية السفلية 17. رقائق البوكر ذات الألوان المختلفة وحدها ، كما يلاحظ Fuson (ص 384) لن تولد فهمًا للكميات أو حول القيمة المكانية. يمكن أن يتم الخلط بين الأطفال حول الجوانب التمثيلية لألوان شرائح البوكر إذا لم يتم تقديمها لهم بشكل صحيح. وإذا لم يتم توجيههم بحكمة لاستخدامها بشكل فعال ، فيمكن للأطفال تعلم تسهيل "القيمة الاسمية (التجميع السطحي)" باستخدام رقائق البوكر التي لا تختلف عن القيمة الاسمية ، والقدرة السطحية على قراءة الأرقام وكتابتها عدديًا. ومع ذلك ، فإن النقطة لا تتمثل في السماح لهم فقط باستخدام رقائق البوكر لتمثيل "القيم الوجهية" وحدها ، ولكن توجيههم لاستخدامها في التمثيل (القيمة الاسمية) وكميات مادية مجمعة. ما كتبته هنا عن استخدام رقائق البوكر لتعليم القيمة المكانية يتضمن تقديمها بطريقة معينة (ولكن مرنة) في وقت معين ، لسبب معين. أعطي أمثلة للطريقة التي يجب استخدامها لتعليم القيمة المكانية في النص. الوقت الذي يحتاجون إلى تقديمه بهذه الطريقة هو بعد أن يفهم الأطفال كيفية تجميع الكميات وحساب الكميات "حسب المجموعات". وأشرح في هذا المقال على وجه التحديد لماذا يمكن لرقائق البوكر ذات الألوان المختلفة ، عند استخدامها بشكل صحيح ، أن تعلم الأطفال بشكل أفضل قيمة المكان من تلك التي يمكن أن تقوم بها الكتل الأساسية العشرة وحدها. يمكن أن تكون رقائق البوكر ، المستخدمة والمعروضة بشكل صحيح ، بمثابة جسر عملي ومفاهيمي فعال بين المجموعات المادية والتمثيل العمودي ، لأنها مادية وتمثيلية في نفس الوقت بطرق منطقية للأطفال - مع حد أدنى من العرض ومع ممارسة المراقبة والموجهة . ونظرًا لأن رقائق البوكر تتراكم بشكل ملائم إلى حد ما ، فيمكن استخدامها في مراحل مبكرة للأطفال للعد الفردي والجماعات ، وللتلاعب بالمجموعات. (يمكن أيضًا استخدام أعمدة رقائق البوكر بشكل فعال لتعليم فهم العديد من الجوانب المفاهيمية والتمثيلية الأكثر صعوبة للكسور ، وهي مسألة أخرى تتعلق بالتدريس والتي أذكرها هنا فقط للإشارة إلى فائدة وجود كمية كبيرة من فيشات البوكر في الفصول الدراسية لعدد من الأغراض التعليمية للرياضيات المختلفة.) (العودة إلى النص.)

    الحاشية السفلية 18. يوجد فرق بين إعادة تجميع رقائق البوكر بين 10 و 18 ، وإعادة تجميع الأرقام المكتوبة بين 10 و 18 ، لأنه عندما تعيد تجميع رقائق البوكر ، فإنك تغير عشرة من الرقائق البيضاء إلى واحدة زرقاء ، (أو والعكس صحيح) ولكن عندما تعيد تجميع 18 في شكل مكتوب ، ينتهي بك الأمر برقم يشبه ما بدأت به. تبدو عبارة "واحد عشرة و 8 آحاد" في شكل مكتوب رقميًا تمامًا مثل "18 واحدًا". (عندما تعيد التجميع والاقتراض من أجل الطرح ، قل في المسألة 35 - 9 ، تعيد تجميع 35 في "20 و 15" أو ، كما أقول بوضوح للطلاب "خمسة عشر". ثم تكتب "15" في عمود واحد حيث كان الرقم "5" ولديك "2" في العمود حيث كان الرقم "3" ، لذلك يبدو نوعًا ما مثل "عشرون". ومع ذلك ، في الشكل الرقمي المكتوب ، عندما تبدأ برقم من 10 إلى 18 ، إذا قمت "بحذف" 1 "ثم إضافة عشرة إلى" 8 "في عمود واحد ، ينتهي بك الأمر بالرقم" 18 "في عمود الشخص ، والذي يكون في الأساس نفس المظهر مثل بدأت بها. هناك نقطة إدراكية في تغيير 35 إلى 2 [15] ليس هناك نقطة إدراكية في تغيير 18 إلى [18]. مع رقائق البوكر ، هناك فرق إدراكي بين "واحد (أزرق) عشرة وثمانية (أبيض) ) واحدة "و 18 (بيضاء)". هذا جزء من كيفية مساعدة رقائق البوكر الأطفال من الناحية المفاهيمية على إعادة التجميع التمثيلي. (ارجع إلى النص.)

    الحاشية 19. بدلاً من تعليمهم تكوين الأرقام بالأرقام والأعمدة ، علمتهم سابقًا ببساطة كتابة الأرقام. باستخدام رقائق البوكر ، ساعدتهم على تجميع الكميات بشكل تمثيلي من حيث العشرات والآخر حيث تختلف الكميات العشرة عن تلك الموجودة في بعض الخصائص. ثم تبين لهم أن الأرقام المكتوبة تجمع أيضًا الكميات بهذه الطريقة - أن الأرقام المكتوبة ليست مجرد رموز أحادية غير قابلة للتجزئة ولكن لها بنية منطقية وأساس منطقي لها. يمنحهم ذلك شعورًا بالاكتشاف ويكون أكثر منطقية بالنسبة لهم من محاولة البدء في تعليمهم كتابة الأرقام من حيث الأرقام والأعمدة ، والتي لن تعني لهم شيئًا ، أو لا تبدو ذات أهمية خاصة. (عودة إلى النص.)

    الحاشية السفلية 20. في أي رياضيات أساسية ، يمكنك ببساطة إضافة عمود آخر عندما "تتعثر" لأنك قد نفدت الرموز الرقمية ومجموعات منها. وتقوم بتسمية هذا العمود باسم الرقم الأول الذي تحتاجه للحصول على عمود جديد لكتابة الرقم. ومن ثم ، في الحساب الثنائي ، لديك عمود "واحد" ، و "اثنين" ، و "أربعة" ، و "ثمانية" ، و "ستة عشر" ، و "اثنان وثلاثون" ، وما إلى ذلك ، لأنك بعد كتابة "0" و "1" ، أنت بحاجة إلى عمود جديد لكتابة "اثنين" ، حيث لم يعد لديك المزيد من الأرقام. ثم يمكنك كتابة "10" لـ "اثنين" و "11" لـ "ثلاثة" ، ونفد مرة أخرى من الأرقام والتركيبات. لكتابة "أربعة" ، تحتاج إلى عمود جديد (وبالتالي ، هذا هو العمود "الأربعة") ويمكنك بعد ذلك تكوين أربع مجموعات مختلفة ("100" لـ "أربعة" ، و "101" [واحد أربعة ، وليس اثنان ، وواحد واحد] لـ "خمسة" ، "110" [واحد أربعة ، واحد اثنان ، ولا أحد] لـ "ستة" ، و "111" [أربعة ، اثنان ، وواحد] لـ "سبعة"). (عودة إلى النص.)

    حاشية سفلية 21. 35 مرة 43 على سبيل المثال ، إذا كنت تتذكر من الجبر (30 + 5) (40 +3) ، والذي ينتهي به الأمر إلى [(30) (40) + (30) (3) + (5) (40) + (5) (3)]. وهذه هي الطريقة التي نجري بها الحساب (وإن كان بترتيب مختلف) عندما نضرب ، لأنك تضرب خمسة في ثلاثة ثم خمسة في أربعين ثم تجمعها معًا (بنفس العدد) وتضيف ذلك إلى مجموع الثلاثين ضرب ثلاثة وثلاثين ضرب أربعين لكن ، بالطبع ، لا نفكر في الأمر بهذه الطريقة والعديد من الأشخاص الذين يمكنهم التكاثر بشكل جيد لن يكونوا قادرين على التفكير في الأمر بهذه الطريقة بمفردهم.

    علاوة على ذلك ، فإن معرفة سبب كون "a (b + c)" هو نفسه "(ab + ac)" ليس بالأمر السهل من حيث الأرقام المكتوبة ، على الرغم من أنه من السهل معرفة ما إذا كنت تضع فيشات لعبة البوكر في صفوف وأعمدة. يمكنك أن ترى أن خمسة صفوف من سبعة ، على سبيل المثال هي نفسها خمسة صفوف من أربعة زائد خمسة صفوف من ثلاثة ، لأن المجموعتين المكونتين من خمسة صفوف تقعان بجانب بعضهما البعض. ومن خلال القيام بذلك في رقائق البوكر مع مجموعات قليلة من الأرقام ، من السهل جدًا للخيال أن يرى أن "أ" صفوف "(ب + ج)" هي نفسها "أ" صفوف "ب" زائد " أ "صفوف" ج "والعكس بالعكس.

    ومعرفة سبب كون "(a + b) (c + d)" (ac + ad + bc + bd) ممكن أيضًا (على الرغم من صعوبة الأمر إلى حد ما) عن طريق وضع رقائق البوكر في صفوف وأعمدة ، على سبيل المثال ، 12 × 23 [( 10 + 2) بواسطة (20 + 3)] وتمييزها في الأجزاء التي تتطابق مع ac و ad و bc و bd ، ورؤية هذه كلها شرائح متنافية بشكل متبادل تتحد لتكوين العدد الإجمالي للرقائق. (أنظر للشكل.)

    على أي حال ، فإن التلاعبات التي نتعلمها باستخدام القلم والورق لها سبب منطقي ، لكن الأساس المنطقي ليس شيئًا نتعلمه بشكل عام ، وليس شيئًا ما سهل مثل التلاعب.

    علاوة على ذلك ، بالنسبة للأعداد الكبيرة ، يكون التصور والتمثيل المادي صعبًا أو مستحيلًا. لذلك بمجرد أن يتعلم المرء الأساس المنطقي أو يكون قادرًا على فهمه أو رؤيته ، لا يستخدم بالضرورة تصوره لكل تطبيق. (عودة إلى النص.)

    حاشية سفلية 22. أعتقد أن هناك مفارقة معينة في تسمية الكميات المادية الفعلية للأشياء بأنها متلاعبة ، مع اعتبار الأرقام "النقية" ليست تلاعبًا. بمعنى ما يبدو لي أن هذا مجرد عكس الحقيقة. تسمح لنا الأرقام "النقية" بتمثيل الكميات بصرف النظر عن الكميات (بحيث إذا علمنا أن خمس مجموعات من خمسة هي 25 ، فلن نضطر إلى الحساب بشكل منفصل ما هي خمس مجموعات من خمسة إطارات وخمس مجموعات من خمس حلوى وخمس مجموعات من النيكل) ولكن الأعداد الصافية غالبًا ما تكون ببساطة ما يمكننا معالجته "رياضيًا" بدلاً من مجموعات من الكائنات. من الأفضل بكثير تحديد كميات الأشياء على الورق (أو في آلة حاسبة) بدلاً من تجميع العدد المطلوب من الأشياء التي نتحدث عنها من أجل جمعها أو طرحها أو ضربها أو قسمةها ، خاصةً عندما نتحدث عن أشياء كبيرة عدد الأشياء. وهذا صحيح سواء كنا نتحدث عن مليارات الدولارات أو آلاف الجالونات من البنزين. في القياسات السائلة ، غالبًا ما نحسب الأحجام بضرب الأبعاد ، وليس عن طريق أخذ أحجام الوحدات ونقلها بشكل فردي. في كل هذه الحالات ، نتلاعب بالأرقام وليس الأشياء.

    لسوء الحظ في الحياة الواقعية ، لا تتوافق الكميات مع العمليات الحسابية البسيطة ، وبالتالي فإن العلم تجريبي وليس بدائيًا. لا تتحد السرعات مع بعضها البعض عن طريق الجمع البسيط (على الرغم من السرعات المنخفضة نسبيًا كما يبدو) لا تتحد القوى مع بعضها البعض عن طريق إضافة بسيطة كما لا تعمل القوى بثلاثة أضعاف المسافة التي تعمل عند ثلث القوة التي تعمل مرتين بأسرع ما يمكن ألا تحصل عليها لقد انتهيت من نصف الوقت (لأنك قد تبلى قبل الانتهاء إذا كنت تعمل بجهد أكبر من قدرتك) ومن المحتمل ألا تكلف 10000 تي شيرت التي تم شراؤها في وقت واحد 10000 ضعف سعر تي شيرت واحد. لن يمنحك خلط أحجام متساوية من الأشياء التي تذوب في بعضها ضعف حجم أي منهما. معرفة الطريقة التي يتم بها بكميات مختلفة من أشياء الارتباط ببعضهم البعض هو جزء مما يدور حوله العلم وليس دائمًا مسعى سهل للغاية يتوافق مع التلاعب الحسابي بالأرقام.

    بعبارة أخرى ، لا تتلاعب الأشياء الحقيقية دائمًا بنفس الطريقة التي تتعامل بها الأرقام ، كما أن التلاعب بالأشياء ليس نفس الشيء مثل معالجة الأرقام. ويبدو لي أن الطفل الذي يتلاعب بالأشياء في الصفوف والأعمدة من أجل إظهار أو فهم الضرب يفعل شيئًا مختلفًا تمامًا عن الشخص الذي يتلاعب بالأرقام على الورق أو في رأسه. يُنظر بسهولة إلى الضرب على أنه تبادلي (على سبيل المثال ، ست مجموعات من ثمانية تساوي ثماني مجموعات من ستة) عند معالجة الكائنات في الصفوف والأعمدة (لأنك إذا قمت بتغيير نقطة الأفضلية بمقدار 90 درجة ، فإن الصفوف والأعمدة تنعكس ببساطة ، لكن إجمالي الكميات تبقى كما هي) في حين أنه ليس من الواضح إذا كنت تفعل ذلك فقط في رأسك أو فقط بأرقام نقية ، لماذا ، أو أن ، ستة أكياس تحتوي كل منها على ثمانية حلوى ستكون نفس عدد الحلوى مثل ثمانية أكياس تحتوي كل منها على ستة حلوى. (عودة إلى النص.)

    حاشية سفلية 23. في مراسلات معي من بيبودي ، قال بول كوب إنه "يجادل بأن الرياضيات في المرحلة الابتدائية لا ينبغي أن تتضمن مهارات ميكانيكية على الرغم من أنها تدرس حاليًا بهذه الطريقة. والمثالي هو أن حل المشكلات القائم على المفاهيم سيكون غرس في جميع الأنشطة الرياضية للأطفال في المدرسة ". أنا أعترض.

    على الرغم من أنه لا ينبغي تعليم الأطفال الحساب فقط ميكانيكيًا ، هناك بعض المهارات الميكانيكية التي يمكن للأطفال تعلمها بسهولة نسبيًا ، وهي مهمة أو ضرورية لرؤية المزيد من العلاقات الرقمية "المثيرة للاهتمام". على سبيل المثال ، حفظ جداول الضرب ليس (ويجب عدم رؤيته أو استخدامه على أنه) مجرد تمرين لتمكين المرء من الضرب مثل آلة حاسبة بطيئة جدًا. إنه يعطي تسهيلًا مع المضاعفات التي يمكن أن تساعد الشخص على فهم مفهوم القسمة بسهولة أكبر ، وفهم الكسور والعلاقات بين الكسور بسهولة أكبر - مثل البحث عن قواسم مشتركة أو التحويل بين الأرقام "المختلطة" والكسور. يعطي قدرة متزايدة على فهم واستخدام العوملة في الجبر أو في حساب التفاضل والتكامل.

    أنا لا أقول أن كل الأشياء التي يتعلمها الأطفال ميكانيكيًا في الرياضيات الابتدائية ضرورية للتعلم أو من الأفضل تعلمها ميكانيكيًا. لكن بعض نكون. وسأفكر في تعلم سرد أسماء الأرقام بالترتيب وأسماء الأرقام حسب المجموعات ("العد" و "العد حسب المجموعات") وتعلم القيام بما أشرت إليه على أنه الجمع والطرح البسيط كأمثلة على المهارات الميكانيكية ذات الأهمية الحاسمة. تتيح لك بعض المهارات المكتسبة ميكانيكيًا ببساطة تحقيق قفزات فكرية ربما لم تكن قادرًا على تحقيقها على الإطلاق إذا لم تكن قادرًا على الإدراك السريع والآلي إلى حد ما للعلاقات التي لم تكن معتادًا عليها أو "مهيأ لها" سابقًا عن طريق الحفظ والتكرار ، احفر و تدرب. (عودة إلى النص.)

    حاشية سفلية 24. اعتدت أن ألعب "لعبة حقيبة" مع أطفالي تسألهم أشياء مثل "لدي حقيبة ولديها حقيبة بها حقيبة أقل بثلاث مرات من حقيبتك ولديك خمسة أشياء في حقيبتك. كم عدد أشياء لدي في بلدي؟ " عندما أصبحوا أفضل في القيام بذلك ، جعلت المشاكل أصعب. "لدي حقيبة ولديك حقيبة ، ولدينا معًا ثمانية أشياء ولكن لديك أربعة أشياء أكثر مما لدي. كم عدد الأشياء التي يمتلكها كل منا؟" نحن الآن بصدد "لدي حقيبة ولديك حقيبة. لديك خمسة أكثر مما لدي في حقيبتك ، ولكن إذا ضاعفنا ثلاثة أضعاف ما لدي ، فسوف يكون لدي خمسة أكثر منك. كم لدينا كل منا؟ " يمكن للأطفال حل هذه الأشياء بالتفكير. ليس عليهم أن يمروا بخطوات معينة تم تدريبهم عليها. نحن أيضًا نقوم بتدرج الأرقام حيث يتعين عليهم معرفة الرقم التالي. يمكنك القيام بذلك بتسلسلات غريبة وصعبة ، ولكنها في الواقع بسيطة ، وغالبًا ما يحبونها ، على سبيل المثال ، 2 ، 10 ، 4 ، 20 ، 8 ، 30 ، 16 ، ?. [قد تكون الإجابة الصحيحة هي "40" ، نظرًا لأن هذين تقدمان مختلفان يتخللهما: 2 ، 4 ، 8 ، 16 ،. و 10 ، 20 ، 30 ،. قمنا بمعظم ألعاب الرياضيات هذه في السيارة أثناء تنقلنا إلى أماكن. اعتاد والد البروفيسور ريتشارد فاينمان أن يصنع أنماط بلاط ملونة معه عندما كان ريتشارد لا يزال على كرسي مرتفع. هناك جميع أنواع الأشياء الرياضية التي يمكنك فعلها مع الأطفال الصغار جدًا والتي يمكنهم اكتشافها والتعلم منها بنجاح ، ويمكنهم التمتع.

    لا يجب أن يسير تعلم الرياضيات بترتيب حسابي معين فقط ، في عمر معين. هناك أنواع مختلفة من الأشياء الرياضية التي يمكن للأطفال القيام بها في مختلف الأعمار. هناك ما هو أكثر في الرياضيات من مجرد الحساب الخوارزمي ويمكن للأطفال القيام بـ "المزيد" حتى في بعض الحالات حيث لا يمكنهم حتى الآن إجراء العمليات الحسابية الخوارزمية. يمكن للأطفال التفكير في أنهم يحتاجون أحيانًا إلى بعض المساعدة أو الممارسة أو التعليقات ، أو يحتاجون أحيانًا إلى تحدٍ معقول أو موجه بشكل معقول ، من أجل صقل مهاراتهم المنطقية. (عودة إلى النص.)


    الأفلاطونية الرياضية: مع وضد

    لقد توصل الفلاسفة إلى العديد من الحجج المؤيدة والمعارضة للأفلاطونية ، لكن إحدى الحجج المؤيدة للأفلاطونية تبرز فوق البقية ، وتبرز أيضًا إحدى الحجج ضد الأفلاطونية كأفضلها. هذه الحجج لها جذور في كتابات أفلاطون ، لكن الحجة المؤيدة للأفلاطونية كانت أول من صاغها بوضوح فريجه ، والموضع الكلاسيكي للحجة المناهضة للأفلاطونية هو ورقة عام 1973 للفيلسوف الأمريكي بول بن صراف.


    شاهد الفيديو: أسس رياضيات - المنطق الرياضي والعبارات (شهر نوفمبر 2021).