مقالات

4.2: مصطلحات وتعابير مع الأس - الرياضيات


أهداف التعلم

  • حدد مكونات المصطلح الذي يحتوي على الأسس الصحيحة
  • تقييم التعبيرات التي تحتوي على الأس الصحيح

لغة مشتركة هي لغة مشتركة تستخدم لجعل التواصل ممكنًا بين الناس الذين يتحدثون لغات مختلفة. يُنظر أحيانًا إلى الرياضيات ، كفكرة عامة ، على أنها مثال للغة مشتركة لأن الصيغ والمعادلات لا تعتمد على الطلاقة في لغة معينة.

ولكن حتى في الرياضيات ، هناك حاجة إلى لغة مشتركة من أجل توصيل الأفكار الرياضية بوضوح وكفاءة. الأسية (تذكر أن هذا يمكن أن يسمى أيضًا الترميز العلمي) تم تطويره لكتابة الضرب المتكرر بشكل أكثر كفاءة. على سبيل المثال ، يحدث النمو في الكائنات الحية عن طريق انقسام الخلايا. نوع واحد من الخلايا ينقسم مرتين في الساعة. لذلك في غضون 12 ساعة ، ستقسم الخلية (2 ^ {12} ). يعد التعبير عنها بهذه الطريقة طريقة أكثر فاعلية ووضوحًا للتعبير عن الطرق التي تنقسم بها الخلايا.

في هذا القسم سوف نتعلم كيفية تبسيط وتنفيذ العمليات الحسابية مثل الضرب والقسمة على شروط لها أس. سوف نتعلم أيضًا كيفية استخدام الترميز العلمي لتمثيل أعداد كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا ، وإجراء عمليات حسابية عليها.

تشريح المصطلحات الأسية

نستخدم الترميز الأسي لكتابة الضرب المتكرر. على سبيل المثال (10 ​​^ {3} ). 10 في (10 ​​^ {3} ) تسمى الأس. يسمى التعبير (10 ​​^ {3} ) بالتعبير الأسي. ستساعدك معرفة أسماء أجزاء التعبير الأسي أو المصطلح على تعلم كيفية إجراء العمليات الحسابية عليها.

( text {base} rightarrow10 ^ {3 leftarrow text {exponent}} )

(10 ​​ cdot10 cdot10 ) أو 1،000.

(8 cdot8 ) أو 64.

(5 cdot5 cdot5 cdot5 ) أو 625.

({b} cdot {b} cdot {b} cdot {b} cdot {b} ). سوف تعتمد قيمتها على قيمة ب.

يتم تطبيق الأس فقط على الرقم المجاور له. لذلك ، في التعبير (xy ^ {4} ) يعني ({x} cdot {y} cdot {y} cdot {y} cdot {y} ). ال x في هذا المصطلح هو أ معامل في الرياضيات او درجة من ذ.

إذا كان التعبير الأسي سالبًا ، مثل (- left (3 cdot3 cdot3 cdot3 right) ) أو (- 81 ).

إذا كان ( left (−3 right) ^ {4} ) ، فهذا يعني (- 3 cdot − 3 cdot − 3 cdot − 3 ) ، أو 81.

وبالمثل ، (- x ^ {4} = - left (x cdot x cdot x cdot x right) ).

يمكنك أن ترى أن هناك فرقًا كبيرًا ، لذلك عليك أن تكون حذرًا للغاية! توضح الأمثلة التالية كيفية تحديد الأساس والأس ، وكذلك كيفية تحديد التنسيق الموسع والأسي لكتابة الضرب المتكرر.

مثال

حدد الأس والأساس بالشروط التالية ، ثم بسّط:

  1. (7^{2})
  2. ({ left ( frac {1} {2} right)} ^ {3} )
  3. (2x ^ {3} )
  4. ( يسار (-5 يمين) ^ {2} )

[إظهار الإجابة q = ”211363 ″] إظهار الحل [/ إظهار الإجابة]

[إجابة مخفية أ = ”211363 ″]

1) (7^{2})

الأس في هذا المصطلح هو 2 والأساس هو 7. للتبسيط ، قم بتوسيع المصطلح: (7 ^ {2} = 7 cdot {7} = 49 )

2) ({ left ( frac {1} {2} right)} ^ {3} )

الأس على هذا المصطلح هو 3 ، والأساس هو ({ left ( frac {1} {2} right)} ^ {3} = frac {1} {2} cdot { frac {1 } {2}} cdot { frac {1} {2}} = frac {1} {16} )

3) (2x ^ {3} )

الأس على هذا الحد هو 3 ، والأساس هو x ، ولا يحصل 2 على الأس لأنه لا يوجد أقواس تخبرنا بذلك. هذا المصطلح في أبسط صوره.

4) ( يسار (-5 يمين) ^ {2} )

الأس على هذه المصطلحات هو 2 والأساس هو ( left (-5 right) ^ {2} = - 5 cdot {-5} = 25 )

[/ إجابة مخفية]

في الفيديو التالي ، يتم تقديم المزيد من الأمثلة لتطبيق الأس على قواعد مختلفة.

تم استبعاد عنصر YouTube من هذا الإصدار من النص. يمكنك مشاهدته على الإنترنت هنا: pb.libretexts.org/ba/؟p=90

قيم التعبيرات

إن تقييم التعبيرات التي تحتوي على الأس هو نفس تقييم التعبيرات الخطية في وقت سابق من الدورة التدريبية. يمكنك التعويض بقيمة المتغير في التعبير وتبسيطها.

يمكنك استخدام ترتيب العمليات لتقييم التعبيرات التي تحتوي على الأس. أولاً ، قم بتقييم أي شيء بين قوسين أو رموز التجميع. بعد ذلك ، ابحث عن الأس ، متبوعًا بالضرب والقسمة (القراءة من اليسار إلى اليمين) ، وأخيرًا ، الجمع والطرح (مرة أخرى ، القراءة من اليسار إلى اليمين).

لذلك ، عند تقييم التعبير (x = 4 ) ، استبدل أولاً القيمة 4 للمتغير x. ثم قم بالتقييم باستخدام ترتيب العمليات.

مثال

أوجد (x = 4 ).

[إظهار الإجابة q = ”411363 ″] إظهار الحل [/ إظهار الإجابة]
[إجابة مخفية أ = ”411363 ″]

عوّض بـ 4 للمتغير x.

(5 cdot4 ^ {3} )

تقييم (4 ^ {3} ). تتضاعف.

(5 يسار (4 cdot4 cdot4 يمين) = 5 cdot64 = 320 )

إجابه

(س = 4 )

[/ إجابة مخفية]

في المثال أدناه ، لاحظ كيف يمكن أن تؤدي إضافة الأقواس إلى تغيير النتيجة عندما تقوم بتبسيط المصطلحات باستخدام الأس.

مثال

أوجد (x = 4 ).

[تكشف-الإجابة q = ”362021 ″] إظهار الحل [/ إظهار الإجابة]
[hidden-answer a = ”362021 ″] استبدل 4 بالمتغير x.

( يسار (5 cdot4 يمين) 3 )

اضرب داخل الأقواس ، ثم طبق الأس - باتباع قواعد PEMDAS.

(20^{3})

قم بتقييم (20 ^ {3} ).

(20 cdot20 cdot20 = 8000 )

إجابه

(س = 4 )

[/ إجابة مخفية]

أحدثت إضافة الأقواس فرقًا كبيرًا! تسمح لك الأقواس بتطبيق الأس على المتغيرات أو الأرقام التي يتم ضربها أو تقسيمها أو إضافتها أو طرحها من بعضها البعض.

مثال

أوجد قيمة (x = −4 ).

[تكشف-الإجابة q = ”86290 ″] إظهار الحل [/ تكشف-الإجابة]
[hidden-answer a = ”86290 ″] استبدل (- 4 ) بالمتغير x.

( يسار (−4 يمين) ^ {3} )

يقيم. لاحظ كيف أن وضع الأقواس حول (- 4 ) يعني أن الإشارة السالبة يتم ضربها أيضًا.

(- 4 cdot − 4 cdot − 4 )

تتضاعف.

(- 4 cdot − 4 cdot − 4 = −64 )

إجابه

(س = -4 )

[/ إجابة مخفية]

حذر! ما إذا كان سيتم تضمين علامة سلبية كجزء من قاعدة أم لا يؤدي غالبًا إلى الارتباك. لتوضيح ما إذا تم تطبيق علامة سالبة قبل الأس أو بعده ، إليك مثال.

ما الفرق في طريقة تقييم هذين المصطلحين؟

  1. (-{3}^{2})
  2. ({ left (-3 right)} ^ {2} )

لإيجاد قيمة 1) ، يمكنك تطبيق الأس على الثلاثة أولاً ، ثم تطبيق العلامة السالبة أخيرًا ، كما يلي:

( start {array} {c} - left ({3} ^ {2} right) = - left (9 right) = -9 end {array} )

لإيجاد قيمة 2) ، يمكنك تطبيق الأس على 3 وعلامة السالب:

( start {array} {c} { left (-3 right)} ^ {2} = left (-3 right) cdot left (-3 right) = {9 } نهاية {مجموعة} )

المفتاح لتذكر هذا هو اتباع ترتيب العمليات. لا يتضمن التعبير الأول أقواسًا ، لذا يجب تطبيق الأس على العدد الصحيح 3 أولاً ، ثم تطبيق الإشارة السالبة. يتضمن التعبير الثاني أقواسًا ، لذا نأمل أن تتذكر أن العلامة السالبة يتم تربيعها أيضًا.

ستتعلم في الأقسام التالية كيفية تبسيط التعبيرات التي تحتوي على أسس. ارجع إلى هذه الصفحة إذا نسيت كيفية تطبيق ترتيب العمليات على مصطلح ذي أس ، أو نسيت أيهما هو الأساس وأيهما هو الأس!

في الفيديو التالي تم تزويدك بأمثلة لتقييم التعبيرات الأسية لرقم معين.

تم استبعاد عنصر YouTube من هذا الإصدار من النص. يمكنك مشاهدته على الإنترنت هنا: pb.libretexts.org/ba/؟p=90

محتوى مرخص ، أصلي

  • تبسيط التعابير الأسية الأساسية. تأليف: جيمس سوزا (Mathispower4u.com) من أجل Lumen Learning. تقع في: https://youtu.be/ocedY91LHKU. رخصة: CC BY: الإسناد
  • المراجعة والتكيف.

    10.2 استخدم خصائص الضرب للأسس

    تذكر أن الأس يشير إلى الضرب المتكرر لنفس الكمية. على سبيل المثال ، 2 4 2 4 تعني ضرب أربعة عوامل من 2 ، 2 ، لذا 2 4 2 4 تعني 2 · 2 · 2 · 2. 2 · 2 · 2 · 2. يُعرف هذا التنسيق بالتدوين الأسي.

    الأسية

    قبل أن نبدأ العمل مع التعبيرات المتغيرة التي تحتوي على الأسس ، دعنا نبسط بعض التعبيرات التي تتضمن أرقامًا فقط.

    مثال 10.11

    حل

    مثال 10.12

    حل

    مثال 10.13

    حل

    لاحظ أوجه التشابه والاختلاف بين الجزأين و. لماذا الإجابات مختلفة؟ في الجزء ⓐ يخبرنا الأقواس أن نرفع (−3) إلى القوة الرابعة. في الجزء نرفع فقط 3 إلى 4 th ثم نجد العكس.

    تبسيط التعابير باستخدام خاصية المنتج للأسس

    لقد رأيت أنه عند الجمع بين الحدود المتشابهة عن طريق الجمع والطرح ، يجب أن يكون لديك نفس الأساس مع نفس الأس. لكن عند الضرب والقسمة ، قد تختلف الأسس ، وفي بعض الأحيان قد تكون الأسس مختلفة أيضًا. سنشتق خصائص الأس من خلال البحث عن أنماط في عدة أمثلة. جميع خصائص الأس تنطبق على أي أعداد حقيقية ، لكن في الوقت الحالي سنستخدم الأس الأعداد الصحيحة فقط.

    أولاً ، سنلقي نظرة على مثال يؤدي إلى خاصية المنتج.

    ماذا يعني هذا؟

    كم عدد العوامل إجمالاً؟
    اذا لدينا
    لاحظ أن 5 هو مجموع الأس 2 و 3.
    نحن نكتب: × 2 × 3 × 2 × 3
    × 2 + 3 × 2 + 3
    × 5 × 5

    بقيت القاعدة كما هي وقمنا بإضافة الأس. هذا يؤدي إلى خاصية المنتج للأسس.

    ملكية المنتج للأسس

    للضرب في الأسس المتشابهة ، اجمع الأسس.

    يساعد مثال بالأرقام في التحقق من هذه الخاصية.

    مثال 10.14

    حل

    مثال 10.15

    حل

    مثال 10.16

    حل

    مثال 10.17

    حل

    يمكننا توسيع خاصية المنتج للأسس إلى أكثر من عاملين.

    مثال 10.18

    حل

    تبسيط التعابير باستخدام خاصية القوة للأسس

    الآن دعونا نلقي نظرة على التعبير الأسي الذي يحتوي على قوة مرفوعة إلى قوة. معرفة ما إذا كان يمكنك اكتشاف خاصية عامة.

    ماذا يعني هذا؟

    كم عدد العوامل إجمالاً؟
    اذا لدينا
    لاحظ أن 6 هو حاصل ضرب الأس 2 و 3.
    نحن نكتب: (x 2) 3 (x 2) 3
    × 2 ⋅ 3 × 2 ⋅ 3
    × 6 × 6

    قمنا بضرب الأسس. هذا يؤدي إلى خاصية القوة للأسس.

    خاصية القوة للأسس

    لرفع أس إلى أس ، اضرب الأسس.

    يساعد مثال بالأرقام في التحقق من هذه الخاصية.

    مثال 10.19

    حل

    تبسيط التعبيرات باستخدام المنتج إلى خاصية الطاقة

    سننظر الآن إلى تعبير يحتوي على منتج مرفوع إلى قوة. ابحث عن نمط.

    ينطبق الأس على كل عامل من العوامل. يؤدي هذا إلى المنتج إلى خاصية الطاقة للأسس.

    المنتج إلى خاصية القوة للأسس

    لرفع منتج إلى قوة ، ارفع كل عامل إلى تلك القوة.

    يساعد مثال بالأرقام في التحقق من هذه الخاصية:

    مثال 10.20

    حل

    مثال 10.21

    حل

    تبسيط التعبيرات بتطبيق عدة خصائص

    لدينا الآن ثلاث خصائص لضرب المقادير في الأسس. دعونا نلخصها ثم سنقوم ببعض الأمثلة التي تستخدم أكثر من خاصية.

    خصائص الأس

    مثال 10.22

    حل

    مثال 10.23

    حل

    مثال 10.24

    حل

    لاحظ أنه في المونومال الأول ، كان الأس خارج الأقواس وتم تطبيقه على كلا العاملين في الداخل. في المونومال الثاني ، كان الأس داخل الأقواس ، لذلك تم تطبيقه فقط على ن.

    مثال 10.25

    بسّط: (3 p 2 q) 4 (2 p q 2) 3. (3 ص 2 ف) 4 (2 ف ف 2) 3.

    حل

    بسّط: (u 3 v 2) 5 (4 u v 4) 3. (u 3 v 2) 5 (4 u v 4) 3.

    بسّط: (5 x 2 y 3) 2 (3 x y 4) 3. (5 × 2 ص 3) 2 (3 × ص 4) 3.

    اضرب المونومالس

    نظرًا لأن المونومال هو تعبير جبري ، فيمكننا استخدام الخصائص لتبسيط التعبيرات ذات الأسس لمضاعفة المونوميرات.

    مثال 10.26

    حل

    اضرب: (- 9 ص 4) (- 6 ص 5). (- 9 ص 4) (- 6 ص 5).

    مثال 10.27

    اضرب: (3 4 c 3 d) (12 c d 2). (3 4 ج 3 د) (12 ج د 2).

    حل

    اضرب: (4 5 م 4 ن 3) (15 م ن 3). (4 5 م 4 ن 3) (15 م ن 3).

    اضرب: (2 3 p 5 q) (18 p 6 q 7). (2 3 ص 5 ف) (18 ص 6 ف 7).

    وسائط

    الوصول إلى موارد إضافية عبر الإنترنت

    القسم 10.2 تمارين

    مع التدريب يأتي الإتقان

    بسّط التعابير مع الأسس

    في التمارين التالية ، بسّط كل تعبير بأسس.

    تبسيط التعابير باستخدام خاصية المنتج للأسس

    في التدريبات التالية ، قم بتبسيط كل تعبير باستخدام خاصية المنتج للأسس.

    تبسيط التعابير باستخدام خاصية القوة للأسس

    في التدريبات التالية ، قم بتبسيط كل تعبير باستخدام خاصية القوة للأسس.

    تبسيط التعبيرات باستخدام المنتج إلى خاصية الطاقة

    في التدريبات التالية ، قم بتبسيط كل تعبير باستخدام المنتج إلى خاصية الطاقة.

    تبسيط التعبيرات بتطبيق عدة خصائص

    في التمارين التالية ، بسّط كل تعبير.

    (1 2 x 2 y 3) 4 (4 x 5 y 3) 2 (1 2 x 2 y 3) 4 (4 x 5 y 3) 2

    (1 3 م 3 ن 2) 4 (9 م 8 ن 3) 2 (1 3 م 3 ن 2) 4 (9 م 8 ن 3) 2

    اضرب المونومالس

    في التدريبات التالية ، اضرب المونوميرات التالية.

    (3 5 م 3 ن 2) (5 9 م 2 ن 3) (3 5 م 3 ن 2) (5 9 م 2 ن 3)

    الرياضيات اليومية

    بريد إلكتروني ترسل جانيت نكتة بالبريد الإلكتروني إلى ستة من صديقاتها وتخبرهم أن يرسلوها إلى ستة من أصدقائهم ، والذين يرسلونها إلى ستة من أصدقائهم ، وهكذا دواليك. عدد الأشخاص الذين يتلقون البريد الإلكتروني في الجولة الثانية هو 6 2 ، 6 2 ، في الجولة الثالثة هو 6 3 ، 6 3 ، كما هو موضح في الجدول. كم عدد الأشخاص الذين سيتلقون البريد الإلكتروني في الجولة الثامنة؟ قم بتبسيط التعبير لإظهار عدد الأشخاص الذين يتلقون البريد الإلكتروني.

    تمارين الكتابة

    استخدم خاصية المنتج للأسس لتوضيح سبب x · x = x 2. س · س = س 2.

    الاختيار الذاتي

    ⓐ بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

    ⓑ بعد مراجعة قائمة التحقق هذه ، ما الذي ستفعله لتصبح واثقًا من جميع الأهداف؟

    بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

    هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

      إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

    • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
      • المؤلفون: لين ماريسيك ، ماري آن أنتوني سميث ، أندريا هانيكوت ماتيس
      • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
      • عنوان الكتاب: Prealgebra 2e
      • تاريخ النشر: 11 مارس 2020
      • المكان: هيوستن ، تكساس
      • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/1-introduction
      • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/10-2-use-multiplication-properties-of-exponents

      © 21 يناير 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


      4.2: مصطلحات وتعابير مع الأس - الرياضيات

      الأس هو تدوين رياضي يشير إلى عدد المرات التي يتم فيها ضرب الرقم بنفسه.

      المزيد عن الأس

      هناك بعض قواعد الجبر والصيغ للأسس وهي مفيدة في تقييم بعض التعبيرات.
      يمكن أن تكون الأسس موجبة أو سالبة أو صفرًا.

      أمثلة الفيديو: الأس

      مثال على الأس

      في التعبير a 7 ، الأس هو 7. & # 39a & # 39 هو الأساس.
      في 2 4 ، 4 هو الأس. يشير إلى أن 2 يجب أن تضرب في نفسها 4 مرات.
      2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

      مثال محلول على الأس

      السؤال: قطعة من القماش على شكل مربع بطول 8 ياردة. أوجد مساحة القماش بالصيغة الأسية.

      خيارات:

      أ. 8 3 ياردات مربعة
      ب 8 2 ياردة مربعة
      ج- 8 1 ياردة مربعة
      د ٢ ٨ ياردات مربعة
      الإجابة الصحيحة: ب

      حل:

      الخطوة 1: مساحة المربع = s x s ، حيث s هي طول الضلع.
      الخطوة 2: = 8 مرات 8 [البديل ق = 8.]
      الخطوة 3: = 8 2 ياردة مربعة
      الخطوة 4: مساحة قطعة القماش بالشكل الأسي هي 8 2 ياردة مربعة


      كيف تكتب عبارات باستخدام الأسطوانات

      يخبرنا & # xa0exponent & # xa0 لرقم ما عدد مرات ضرب الرقم في نفسه.

      يمكننا كتابة التعابير في أبسط صورة باستخدام الأس. & # xa0

      أعد كتابة (m & # xa0 ⋅ & # xa0m & # xa0 ⋅ & # xa0m & # xa0 ⋅ & # xa0m) في أبسط صورة باستخدام الأس. & # xa0 & # xa0

      م يضرب في نفسه أربع مرات. & # xa0

      أعد كتابة (5 & # xa0 ⋅ 5 & # xa0 ⋅ 5) & # xa0in أبسط شكل باستخدام الأس. & # xa0 & # xa0

      5 مضروب في نفسه ثلاث مرات. & # xa0

      أعد كتابة (7 & # xa0 ⋅ & # xa07 & # xa0 ⋅ & # xa05 & # xa0 ⋅ & # xa05 & # xa0 ⋅ 5) في أبسط صورة باستخدام الأس.

      7 في نفسه مرتين و 5 في نفسه ثلاث مرات. & # xa0

      أعد كتابة (13 & # xa0 ⋅ & # xa0b & # xa0 ⋅ & # xa0b & # xa0 ⋅ & # xa0b & # xa0 ⋅ b) في أبسط صورة باستخدام الأس. & # xa0

      13 تأتي مرة واحدة و b تضرب في نفسها أربع مرات. & # xa0

      أعد كتابة (17 & # xa0 ⋅ & # xa017 & # xa0 ⋅ & # xa0w & # xa0 ⋅ & # xa0w & # xa0 ⋅ w) في أبسط صورة باستخدام الأس. & # xa0 & # xa0

      17 في نفسه مرتين و w في نفسه ثلاث مرات. & # xa0

      أعد كتابة (5 & # xa0 ⋅ & # xa05 & # xa0 ⋅ & # xa0p & # xa0 ⋅ p & # xa0 ⋅ p & # xa0 ⋅ p & # xa0 ⋅ ص ) في أبسط صورة باستخدام الأس.

      5 في نفسه مرتين و p في نفسه خمس مرات. & # xa0

      أعد كتابة (n & # xa0 ⋅ & # xa0n & # xa0 ⋅ & # xa0n & # xa0 ⋅ b & # xa0 ⋅ b) في أبسط صورة باستخدام الأس.

      n مضروبًا في نفسه لثلاث مرات و b في نفسه مرتين. & # xa0

      أعد كتابة (9 & # xa0 ⋅ & # xa09 & # xa0 ⋅ & # xa09 & # xa0 ⋅ c) في أبسط صورة باستخدام الأس.

      9 يضرب في نفسه لثلاث مرات و c مرة واحدة. & # xa0

      أعد كتابة (4 & # xa0 ⋅ & # xa04 & # xa0 ⋅ & # xa04 & # xa0 ⋅ k & # xa0 ⋅ ك ) في أبسط صورة باستخدام الأس.

      4 في نفسه لثلاث مرات و k في نفسه مرتين. & # xa0

      أعد كتابة (2 & # xa0 ⋅ & # xa02 & # xa0 ⋅ & # xa0r & # xa0 ⋅ r & # xa0 ⋅ ص ) في أبسط صورة باستخدام الأس.

      2 في نفسه مرتين و r في نفسه ثلاث مرات. & # xa0

      بصرف النظر عن الأشياء المذكورة أعلاه ، إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى في الرياضيات ، فيرجى استخدام بحث Google المخصص هنا.

      إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

      نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

      يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


      الأس الصحيح

      (5 ^ 4 ) تعني (5 مرات 5 مرات 5 مرات 5 ). يشير الأس 4 إلى عدد ظهور العامل المتكرر.

      ماذا قد يعني الأس السالب ، على سبيل المثال ماذا قد يعني (5 ^ <-4> )؟

      قرر علماء الرياضيات استخدام الأسس السالبة للإشارة إلى تكرار المعكوس الضرب للقاعدة ، على سبيل المثال (5 ^ <-4> ) يستخدم للإشارة إلى ( frac <1> <5> times frac <1 > <5> times frac <1> <5> times frac <1> <5> ) أو (( frac <1> <5>) ^ 4 ) و (x ^ < -3> ) للإشارة إلى (( فارك <1>) ^ 3 ) وهو ( فارك <1> مرات فارك <1> مرات فارك <1> )

      لم يتم اتخاذ هذا القرار بشكل أعمى - كان علماء الرياضيات يدركون جيدًا أنه من المنطقي استخدام الأسس السالب في هذا المعنى. إحدى الميزات الرئيسية هي أن الأس السالب ، عند استخدامها بهذا المعنى ، لها نفس خصائص الأس الموجبة ، على سبيل المثال:

      (2 ^ <-3> مرات 2 ^ <-4> = 2 ^ <(- 3) + (- 4)> = 2 ^ <-7> ) لأن (2 ^ <-3> مرات 2 ^ <-4> ) تعني (( frac <1> <2> times frac <1> <2> times frac <1> <2>) times ( frac <1> < 2> times frac <1> <2> times frac <1> <2> times frac <1> <2>) ) وهو (( frac <1> <2>) ^ 7 ).

      (2 ^ <-3> مرات 2 ^ 4 = 2 ^ <(- 3) +4> = 2 ^ 1 ) لأن (2 ^ <-3> times 2 ^ 4 ) يعني (( frac <1> <2> times frac <1> <2> times frac <1> <2>) times (2 times 2 times 2 times 2) ) وهي 2.

      الأسس السلبية

      عبر عن كل مما يلي بالرمز الأسي بطريقتين: بأسس موجبة وأسس سالبة.

      ( frac <1> <5> times frac <1> <5> times frac <1> <5> times frac <1> <5> times frac <1> <5> مرات فارك <1> <5> )

      في كل حالة ، تحقق مما إذا كانت العبارة صحيحة أم خاطئة. إذا كانت خاطئة ، فاكتب إفادة صحيحة. إذا كان هذا صحيحًا ، فاذكر الأسباب التي تجعلك تقول ذلك.

      (25 ^ 2 مرات 10 ^ <-6> مرات 2 ^ 6 = 5 )

      احسب كلًا مما يلي بدون استخدام الآلة الحاسبة:

      استخدم الآلة الحاسبة العلمية لتحديد القيم العشرية للقوى المحددة.

      مثال: للعثور على (3 ^ <-1> ) على الآلة الحاسبة ، استخدم تسلسل المفاتيح: (3 y ^ x 1 ± = )

      اشرح معنى (10 ​​^ <-3> ).

      حدد قيمة كل مما يلي بطريقتين:

      أ. باستخدام تعريف القوى (على سبيل المثال ، (5 ^ 2 times 5 ^ 0 = 25 times 1 = 25 ).)

      ب. باستخدام خصائص الأس (على سبيل المثال ، (5 ^ 2 times 5 ^ 0 = 5 ^ <2 + 0> = 5 ^ 2 = 25 ).)

      احسب قيمة كل مما يلي. عبر عن إجاباتك في صورة كسور مشتركة.


      أسئلة حول الجبر: أجاب الدعاة والعمليات على الأس من قبل مدرسين حقيقيين!

      المعلمون يجيبون على أسئلتك حول الدعاة (مجانًا)

      يمكنك وضع هذا الحل على موقع الويب الخاص بك!

      إذا كانت كثيرة الحدود من الدرجة تحتوي على أصفار ، وتحتوي أيضًا على صفر (تأتي الأصفار المعقدة دائمًا في أزواج)
      ومن بعد
      . وسعت

      تعليمات حول كيفية اتخاذ خطوتك الأولى

      بسّط مهمتك واتخذ الخطوة الأولى بنفسك ، بحساب f (2) بالصيغة.

      لذلك ، استبدل n = 2 في الصيغة واستخدم القيمة 20 لـ f (1).

      في النموذج كما هو معروض ، هذا المنشور هراء ، لكنه ليس مشكلة رياضية.

      في هذه المشكلة ، يمكنك تحريك أي من الطريقتين.

      كلا الطريقتين تقودك إلى نفس النتيجة.


      هل تفهم كل شيء في توضيحي؟

      إذا كان لا يزال لديك أسئلة ، فلا تتردد في طرحها.

      المعادلة التي تظهرها هي 3 ^ 2 (x + 1) - 8 * 3 ^ x + 1 = 9 =

      سأفترض أن هذه ليست المعادلة التي تريدها.

      إذا كنت تعالج مثل هذه المسائل ، يجب أن تكون معرفتك الرياضية كافية لتعرف أن الاستخدام الصحيح للأقواس مهم.

      سأفترض ، لجعل المعادلة (وبالتالي المشكلة) معقولة ، أن هذه هي المعادلة التي تريدها:

      الحلان المحتملان هما u = 9 و u = -1.


      لا تقدم قيمة u هذه حلولًا حقيقية.

      الجواب: هناك حل واحد ، س = 1.

      يمكنك وضع هذا الحل على موقع الويب الخاص بك!

      يبدو أنه أسي
      لإيجاد معادلة النموذج استخدم النقاط المعطاة
      (،)،(،)، توصيل في

      قم بعمل نظام من معادلتين ، ثم حل نظام و
      . استعمال (،)


      . مكافئ 2
      من مكافئ 1 ومكافئ 2 لدينا
      . الغاء واحد

      ما هو مكتوب في رسالتك ليس معادلة.

      إنه تعريف الوظيفة.


      لذلك ، سؤالك غير منطقي.


      منشورPenguin ، الذي يحاول الرد على المنشور غير المنطقي ، غير منطقي بحد ذاته أيضًا.

      التمييز = ب ^ 2 - 4ac = 4 - 4 (1/3) (- 3) = 8

      المميز أكبر من 0 ، إذن لهذه المعادلة جذرين حقيقيين.

      2y ^ 2-8 = 2y + 1
      2y ^ 2 - 2y - 9 = 0

      استخدم الصيغة التربيعية: y = 1/2 + sqrt (19) / 2 أو 1/2 - sqrt (19) / 2.

      يجب أن يكون y موجبًا ، لذلك: x ^ 3 = 1/2 + sqrt (19) / 2

      يمكنك وضع هذا الحل على موقع الويب الخاص بك!
      الزاوية المرجعية لزاوية x في الربع الثالث هي x - 180.

      (ثيتا) - 180 = 26
      (ثيتا) = 206 درجة

      4 (3x + 2y + x - 4)
      = 4 (4x + 2y - 4)
      =

      رد آخر من المعلمCubeyThePenguin لا يفيد الطالب لأنه لا يعلم الطالب شيئًا.

      الوظيفة هي دالة أسية متزايدة.

      المجال: يمكن تقييم الدالة الأسية لأي قيمة إدخال ، وبالتالي فإن المجال هو جميع الأرقام الحقيقية.

      النطاق: دالة أسية متزايدة لها قيمة دنيا ولكن ليس لها قيمة قصوى.

      2 ^ (2x) ليس لها قيمة دنيا تقترب من الصفر كما نريد للقيم السالبة الكبيرة لـ x. وبالتالي.

      نطاق 2 ^ (2x) هو (0 ، ما لا نهاية) تقاطع y هو 1

      +3 يرفع الرسم البياني لأعلى بمقدار 2 وحدة نطاق 2 ^ (2x) +3 هو (3 ، ما لا نهاية) تقاطع y هو 1 + 3 = 4

      يؤدي الضرب في 4 إلى تمديد الرسم البياني عموديًا بمعامل 4 ، ونطاق 4 (2 ^ (2x) +3) هو (12 ، ما لا نهاية) ، تقاطع y هو 4 (4) = 16

      يحرك "-7" الرسم البياني لأسفل بمقدار 7 نطاق 4 (2 ^ (2x) +3) -7 هو (5 ، ما لا نهاية) تقاطع y هو 16-7 = 9

      نطاق الوظيفة (5 ، ما لا نهاية)

      يمكنك وضع هذا الحل على موقع الويب الخاص بك!
      المجال: جميع الأرقام الحقيقية
      النطاق: (5 ، ما لا نهاية)

      الأسس والمتغيرات في التعابير

      سيقوم الطلاب بكتابة وتقييم التعبيرات الجبرية التي تمثل مواقف العالم الحقيقي.

      روابط سريعة لمواد الدرس:

      علم هذا الدرس

      أهداف

      • تقييم التعبيرات العددية التي تتضمن أسس عدد صحيح.
      • اكتب التعبيرات الجبرية لتمثيل العلاقات بين المصطلحات.
      • اكتب التعبيرات التي تتضمن الأسس للأعداد الصحيحة لتمثيل حالات المشكلة.
      • اكتب التعبيرات الجبرية لتمثيل مواقف المشكلة.
      • تقييم التعبيرات الجبرية التي تمثل مواقف مشكلة في قيم معينة من المتغيرات.

      مواد

      • وقت التزلج: الأسس في التعبيرات الجبرية القابلة للطباعة
      • مفتاح الإجابة للمغامرات في التعبيرات والمعادلات

      اتجاهات الدرس

      مقدمة عن المواد الجديدة

      الخطوة 1: كمقدمة للأس ، اطلب من الطلاب كتابة تعبير الضرب التالي كتعبير إضافة متكرر: 4 × 7 (7 + 7 + 7 + 7)

      • لماذا يستخدم شخص ما تعبير الضرب بدلاً من تعبير الجمع المكرر؟

      هو أكثر كفاءة في الكتابة.

      أخبر الطلاب أن استخدام الأس هو وسيلة لكتابة تعبير الضرب المتكرر بكفاءة أكبر. ال يتمركز هو الرقم الذي يتم ضربه مرات ومرات. ال الأس هو عدد مرات ضرب الأساس معًا. على سبيل المثال ، في التعبير 6 5 ، 6 هو الأساس ، و 5 هو الأس. 6 5 = 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 7776.

      الخطوة 2: اطلب من الطلاب إظهار أن الضرب تبادلي باستخدام التعبير 4 × 7 والجمع المتكرر (4 × 7 = 7 + 7 + 7 + 7 = 28 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 7 × 4) . اطلب من الطلاب استخدام التعبير 6 5 ليقرروا ما إذا كان الأساس والأس في التعبير الأسي تبادليًا (لا: 6 5 = 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 7776 5 6 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 15625).

      الخطوه 3: إذا كان طلابك سيستفيدون من ممارسة تقييم التعبيرات الأسية قبل الانتقال إلى مناقشة مواقف المشكلة ، فقدم لهم بعض تعبيرات الممارسة لتقييمها (أمثلة: 3 8 ، 8 3 ، 11 2 ، 9 4 ، 4 8).

      الخطوة الرابعة: أخبر الطلاب أن يتخيلوا متزلجًا يصعد منحدر تزلج على مصعد. المتزلج يسقط قفاز. بسأل:

      أخبر الطلاب أن سرعة القفاز تساوي حاصل ضرب تسارع الجاذبية ز والوقت ر في ثوان من سقوط القفاز. هذا يعني أنه كلما طالت مدة سقوطه ، زادت سرعة انتقاله. بسأل:

      • تسارع الجاذبية على الأرض هو 9.8 م / ث 2. ما التعبير الذي يصف سرعة القفاز منذ سقوطه في الغلاف الجوي للأرض؟

      الخطوة الخامسة: أخبر الطلاب أن المسافة التي يسقطها الجسم تساوي نصف حاصل ضرب تسارع الجاذبية ز ومربع الوقت ر بالثواني التي يسقط فيها الجسم. بسأل:

      0.5ز x ر 2 ، أو 0.5 × 9.8 × ر 2 على الأرض


      الخطوة السادسة: تصل المتزلجة إلى قمة التلفريك لتبدأ نزولها إلى أسفل المنحدر. يستغرق المتزلج 165 ثانية للتزلج على الجبل بسرعة 20 مترًا في الثانية. بسأل:

      الخطوة السابعة: المتزلجون # 2 و # 3 و # 4 يتسابقون في نفس المسار. اكتب معادلة تمثل مدى سرعة سباقات المتزلج بالنظر إلى الوقت الذي يستغرقه المتزلج للنزول في نفس المسار (السرعة = 3300 مرة). نموذج للطلاب حول كيفية العثور على سرعة المتزلجين الثلاثة المتبقين إذا استغرق المتزلج رقم 2 ثلاث دقائق و 7 ثوانٍ ، والمتزلج رقم 3 ثلاث دقائق و 12 ثانية ، والمتزلج رقم 4 دقيقتين و 40 ثانية للتسابق أسفل الجبل (17.647 متر في الثانية ، 17.1875 متر في الثانية ، 20.625 متر في الثانية).

      الخطوة 8:
      أخبر الطلاب أنه في الساعة 8 صباحًا ، يوجد أربعة متزلجين بمفردهم على المنحدرات. في كل ساعة ، يتضاعف عدد المتزلجين على المنحدرات أربع مرات. بسأل:

      اطلب من الطلاب العمل بشكل فردي لكتابة التعبيرات لعدد المتزلجين ظهرًا والساعة الواحدة ظهراً والثانية ظهرًا. اطلب منهم تحديد عدد المتزلجين على المنحدرات في تلك الأوقات المختلفة. ثم اسأل:

      • ما هو التعبير الذي يمكن أن تكتبه لوصف عدد المتزلجين على المنحدرات x بعد ساعات من فتحها في الساعة 8 صباحًا؟

      الممارسة الموجهة

      الخطوة 9: قسّم فصلك إلى شركاء وانشر الأسئلة التالية. لكل سؤال ، يجب على الشركاء:

      • اكتب تعبيرًا لتمثيل مشكلة الكلمات.
      • قم بتقييم التعبير إذا كان تعبيرًا جبريًا ، اختر قيمة للمتغير.

      أ. أنت على متن حافلة متوجهة إلى تامبا ، فلوريدا ، في رحلة تدريبية مع فريق التنس الخاص بك. متوسط ​​سرعتك 65 ميلا في الساعة. بعد عدد معين من الساعات ، إلى أي مدى سافرت؟

      65ح القيمة المتغيرة المختارة للعينة: 65ح متي ح = 7 سيكون 455 ميلاً

      ب. أنت تعجن العجين لصنع الخبز. في كل مرة تعجن ، يتضاعف حجم العجين. إذا قمت بعجن العجين 3 مرات ، فكم مرة تكبر العجينة عند الانتهاء مقارنة بوقت البدء؟

      ج. مدربك أكبر منك بـ13.5 سنة. عندما تكون ذ سنة ، كم عمر مدربك؟

      13.5 + ذ القيمة المتغيرة المختارة للعينة: 13.5 + ذ متي ذ = 14 ستكون 27.5 ميلاً

      د. لقد قمت بخبز 4 دزينة من ملفات تعريف الارتباط للرحلة. اذا كان هناك ن لاعبين في فريقك ، كم عدد ملفات تعريف الارتباط التي يحصل عليها كل شخص؟

      كم عدد ملفات تعريف الارتباط المتبقية؟

      48 – 48/ن القيمة المتغيرة المختارة للعينة: 48 /ن متي ن = 11 ستكون 4.3636 ... ، لذا 4 ملفات تعريف ارتباط لكل شخص ، وبعد ذلك سيتم ترك 4 ملفات تعريف ارتباط منذ 48-44 = 4

      الخطوة 10: إذا انتهى الشركاء مبكرًا ، سلمهم مكعبين من الأرقام. يمكنهم دحرجة مكعب رقم واحد لتوليد قاعدة ومكعب رقم واحد لتوليد الأس. اطلب منهم تقييم قيمة تعبيراتهم. أي شريك لديه القيمة الأكبر يفوز في تلك الجولة.

      الخطوة 11: التحقق من الفهم: راجع الإجابات كفصل وأجب عن أي أسئلة.

      ممارسة مستقلة

      الخطوة 12: قم بتعيين وقت التزلج: الأسس في التعبيرات الجبرية القابلة للطباعة من أجل الواجب الدراسي أو الواجبات المنزلية.

      الخطوة 13: التحقق من الفهم: راجع إجابات المواد القابلة للطباعة مع الفصل ، وتأكد من أن الطلاب يشرحون تفكيرهم الرياضي. عالج أي مفاهيم خاطئة قد تظهر.


      تعليق IM

      الغرض من هذه المهمة هو تقديم فكرة النمو الأسي ثم ربط هذا النمو بالتعبيرات التي تتضمن الأس. يوضح جيدًا مدى سرعة نمو التعبيرات الأسية. قد يحتاج الطلاب الذين يتعلمون فقط عن الأسس إلى بنية أكثر من أسئلة المتابعة المقدمة لكتابة التعبيرات.

      قد تكون بعض أسئلة المتابعة الجيدة ، "في أي يوم يصبح المبلغ من العملات السحرية أكثر من 50000؟ في أي يوم يصبح المبلغ من العملات السحرية أكثر من 1000000؟"

      تركز معايير الممارسة الرياضية على طبيعة تجربة التعلم من خلال الاهتمام بعمليات التفكير والعادات الذهنية التي يحتاج الطلاب إلى تطويرها من أجل الوصول إلى فهم عميق ومرن للرياضيات. تتناسب بعض المهام مع عرض ممارسات معينة من قبل الطلاب. تعتمد الممارسات التي يمكن ملاحظتها أثناء استكشاف مهمة ما على كيفية تطور التعليمات في الفصل الدراسي. في حين أنه من الممكن أن تكون المهام مرتبطة بالعديد من الممارسات ، إلا أنه سيتم مناقشة اتصال تدريب واحد بعمق. يمكن مناقشة اتصالات الممارسة الثانوية المحتملة ولكن ليس بنفس الدرجة من التفاصيل.

      تربط هذه المهمة العمليات الحسابية المتكررة بتعبير يتضمن الأسس لإنشاء تدوين مختصر يمكن استخدامه للإجابة على الأسئلة المطروحة (MP.8). يمكن للمدرس أن يطرح هذه المهمة مع مجموعات صغيرة أو كبيرة ويقودهم من خلال إنشاء جدول لتوضيح الحسابات المتكررة اللازمة لحل هذه المشكلة. بمجرد مناقشة النمط ، يمكن للمدرس أن يطلب من الطلاب البدء في مناقشة النمو الأسي الموضح في الجدول ، وحلول الأسئلة المطروحة في المهمة وتوجيه الطلاب في استخدام الحسابات المتكررة لكتابة تعبير يمكن استخدامه بكفاءة حل أي سؤال يمكن طرحه حول النمو الأسي.


      لضرب المونومال في مونومال ، اضرب المعاملات العددية وكل متغير. (لمراجعة قواعد الأس ، راجع قسم الأس في الفصل السابق.)

      مثال

      حل

      يعتمد ضرب التعبيرات متعددة الحدود على خاصية التوزيع. لضرب كثير الحدود في أحادية ، اضرب كل حد من كثير الحدود في المونومر.

      مثال

      حل

      حل

      لضرب كثيرتي حدود ، اضرب كل حد من التعبير الأول في كل حد من الحد الثاني. ثم اجمع الحدود المتشابهة.

      مثال

      حل

      = 3x 3 + 5x 2 – 10x + 6 & # 8230 اجمع بين المصطلحات المتشابهة.

      غالبًا ما يستخدم إيجاد المساحة والحجم ضرب كثيرات الحدود.

      مثال

      أبعاد الصندوق
      (ذ + 2) أقدام طويلة ، (ذ + 7) أقدام و (2ذ - 4) اقدام. ما هي مساحة الجزء السفلي من الصندوق؟ ما هو حجم الصندوق؟

      حل

      لإيجاد مساحة أسفل الحاوية ، اضرب الطول في العرض ، وهما أول ذو حدين.

      لإيجاد الحجم ، اضرب مساحة الجزء السفلي في الارتفاع.


      4 إجابات 4

      إذا دفعت ثمن حبتين من الموز ثم ثلاثة موزات ، فقد دفعت ثمن خمسة موزات (2 × ^ 2 + 3 × ^ 2 equiv 5x ^ 2 $). ولكن إذا دفعت ثمن موزة وخوخه فماذا دفعت إلا موزة وخوخه ؟! ($ x ^ 2 + x ^ 3 equiv x ^ 2 + x ^ 3 $).

      Even in primary school (elementary school in the US), children are taught the rule of BODMAS (or BIDMAS). We evaluate Brackets first, then Orders (or Indices). Then we do Division, Multiplication, Addition and finally Subtraction.

      How can we hope to combine terms of the form $x^2$ and $x^3$? An expression of the form $(x imes x) + (x imes x imes x)$ has only one meaning, even if we take the brackets away, we still have to multiply first.

      Think about what additions and multiplication mean:

      egin 2x^2 + 3x^2 &equiv& 2(x imes x) + 3(x imes x) &equiv& [(x imes x) + (x imes x)] + [(x imes x) + (x imes x) + (x imes x)] &equiv& (x imes x) + (x imes x) + (x imes x) + (x imes x) + (x imes x) &equiv& 5(x imes x) &equiv& 5x^2 end

      We can even verify this by experimentation: $2 imes 4^2 + 3 imes 4^2 = 32 + 48 = 80$ while $5 imes 4^2 = 80$. However, let's try to do this with terms of a different order, say $x^2$ and $x^3$:

      egin x^2 + x^3 &equiv& (x imes x) + (x imes x imes x) &equiv& ldotsldots? نهاية


      شاهد الفيديو: MATH Symbols: Useful List of Mathematical Symbols in English with Pictures (ديسمبر 2021).