مقالات

6.4: المزيد من طرق العوملة


أهداف التعلم

  • عامل بالتجميع
    • حدد الأنماط الناتجة عن ضرب ذات ذات حدين وكيف تؤثر على التحليل من خلال التجميع
    • حلل كثي حدود من أربعة حدود إلى عوامل من خلال تجميع المصطلحات
  • طرق العوملة ثلاثية الحدود
    • قم بتطبيق خوارزمية لإعادة كتابة ثلاثي الحدود باعتباره متعدد الحدود من أربعة حدود
    • استخدم التحليل عن طريق التجميع لتحليل ثلاثي الحدود
    • استخدم اختصارًا لتحليل القيم الثلاثية للنموذج (ax ^ 2 + bx + c )
    • تعرف على مكان وضع العلامات السلبية عند تحليل ثلاثي الحدود
    • التعرف على متى تكون كثيرة الحدود فرقًا بين المربعات ، وكيف يمكن اعتبارها حاصل ضرب حدين

عندما تعلمنا ضرب حدين ، وجدنا أن النتيجة ، قبل دمج المصطلحات المتشابهة ، كانت متعددة الحدود من أربعة حدود ، كما في هذا المثال: ( left (x + 4 right) left (x + 2 right) = x ^ {2} + 2x + 4x + 8 ).

يمكننا تطبيق ما تعلمناه عن تحصيل قيمة أحادية مشتركة لإرجاع كثيرة حدود ذات أربعة حدود إلى حاصل ضرب اثنين من الحدين. لماذا نرغب حتى في القيام بذلك؟

لماذا يجب أن أهتم؟

لأنها خطوة مهمة في تعلم تقنيات تحليل القيم الثلاثية ، مثل تلك التي تحصل عليها عندما تبسط منتج الحدين من الأعلى:

( start {array} {l} left (x + 4 right) left (x + 2 right) = x ^ {2} + 2x + 4x + 8 = x ^ 2 + 6x +8 نهاية {مجموعة} )

بالإضافة إلى ذلك ، فإن التحليل عن طريق التجميع هو أسلوب يتيح لنا تحليل كثير الحدود الذي لا تشترك جميع مصطلحاته في العامل المشترك الأكبر. في المثال التالي ، سوف نقدم لك هذه التقنية. تذكر أن أحد الأسباب الرئيسية للعامل هو أنه سيساعد في حل المعادلات متعددة الحدود.

مثال

حلل العامل (a ^ 2 + 3a + 5a + 15 )
[إظهار الإجابة q = ”437455 ″] إظهار الحل [/ إظهار الإجابة]
[إجابة مخفية أ = ”437455 ″]

لا يوجد عامل مشترك بين جميع المصطلحات الأربعة ، لذلك سنقوم بتجميع المصطلحات في أزواج والتي ستمكننا من إيجاد العامل المشترك الأكبر لها. على سبيل المثال ، لا نريد تجميع (a ^ 2 text {and} 15 ) لأنهما لا يشتركان في عامل مشترك.

( يسار (أ ^ 2 + 3 أ يمين) + يسار (5 أ + 15 يمين) )

أوجد العامل المشترك الأكبر للزوج الأول من الحدود.

( start {array} {l} ، ، ، ، a ^ 2 = a cdot {a} ، ، ، ، 3a = 3 cdot {a} text {GCF} = أ نهاية {مجموعة} )

حلل العامل المشترك الأكبر ، أمن المجموعة الأولى.

( start {array} {r} left (a cdot {a} + a cdot {3} right) + left (5a + 15 right) a left (a + 3 right ) + يسار (5a + 15 يمين) نهاية {مجموعة} )

أوجد العامل المشترك الأكبر للزوج الثاني من الحدود.

( start {array} {r} 5a = 5 cdot {a} 15 = 5 cdot3 text {GCF} = 5 ، ، ، ، ، ، ، النهاية {مجموعة مصفوفة})

أخرج العامل 5 من المجموعة الثانية.

( start {array} {l} a left (a + 3 right) + left (5 cdot {a} +5 cdot3 right) a left (a + 3 right) + 5 يسار (أ + 3 يمين) نهاية {مجموعة} )

لاحظ أن المصطلحين لهما عامل مشترك ( يسار (أ + 3 يمين) ).

(أ يسار (أ + 3 يمين) +5 يسار (أ + 3 يمين) )

أخرج العامل المشترك ( left (a + 3 right) ) من الحدين.

( يسار (أ + 3 يمين) يسار (أ + 5 يمين) )

لاحظ كيف يصبح a و 5 مجموع ذي حدين ، والعامل الآخر. ربما يكون هذا هو الجزء الأكثر إرباكًا في عملية العوملة عن طريق التجميع.

إجابه

(أ ^ 2 + 3 أ + 5 أ + 15 = يسار (أ + 3 يمين) يسار (أ + 5 يمين) )

[/ إجابة مخفية]

لاحظ أنه عند تحليل كثير حدود من المصطلحين ، فإن النتيجة تكون أحادية الحدود متعددة الحدود. لكن الصيغة المحللة إلى عوامل متعددة الحدود ذات أربعة حدود هي حاصل ضرب حدين. كما أشرنا من قبل ، هذه خطوة وسطية مهمة في تعلم كيفية تحليل متعدد الحدود من ثلاثة حدود.

هذه العملية تسمى تقنية التجميع. مقسمة إلى خطوات فردية ، وإليك كيفية القيام بذلك (يمكنك أيضًا اتباع هذه العملية في المثال أدناه).

  • جمِّع شروط كثير الحدود في أزواج تشترك في العامل المشترك الأكبر.
  • أوجد العامل المشترك الأكبر ثم استخدم خاصية التوزيع لاستخراج العامل المشترك الأكبر
  • ابحث عن ذي الحدين المشترك بين الحدود المحللة إلى عوامل
  • أخرج العامل المشترك ذي الحدين من المجموعات ، فإن العوامل الأخرى ستجعل الآخر ذي الحدين

دعونا نحاول تحليل عدد قليل من كثيرات الحدود ذات أربعة حدود. لاحظ كيف يوجد الآن ثابت أمام الحد (x ^ 2 ). سننظر في هذا العامل الآخر عند إيجاد العامل المشترك الأكبر.

مثال

حلل العامل (2x ^ {2} + 4x + 5x + 10 ).
[تكشف-الإجابة q = ”313122 ″] إظهار الحل [/ إظهار الإجابة]
[hidden-answer a = ”313122 ″] اجمع مصطلحات كثيرة الحدود في أزواج.

( يسار (2x ^ {2} + 4x يمين) + يسار (5x + 10 يمين) )

أخرج العامل المماثل ، 2xمن المجموعة الأولى.

(2x يسار (x + 2 يمين) + يسار (5x + 10 يمين) )

أخرج العامل المشابه 5 من المجموعة الثانية.

(2 س يسار (س + 2 يمين) +5 يسار (س + 2 يمين) )

ابحث عن العوامل المشتركة بين الأشكال المحللة إلى عوامل للمصطلحات المزدوجة. هنا ، العامل المشترك هو ((x + 2) ).

أخرج العامل المشترك ( left (x + 2 right) ) من كلا الحدين.

( يسار (2 س + 2 يمين) يسار (س + 5 يمين) )

تم تحليل كثير الحدود الآن.

إجابه

( يسار (2 س + 2 يمين) يسار (س + 5 يمين) )

[/ إجابة مخفية]

يتبع مثال آخر يحتوي على الطرح. لاحظ كيف نختار العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة من المصطلحات ، وتبقى العلامات السالبة.

مثال

حلل العامل (2x ^ {2} –3x + 8x – 12 ).
[تكشف-الإجابة q = ”715080 ″] إظهار الحل [/ إظهار الإجابة]
[hidden-answer a = ”715080 ″] قم بتجميع المصطلحات في أزواج.

((2x ^ {2} –3x) + (8x – 12) )

عامل العامل المشترك ، x، من المجموعة الأولى والعامل المشترك ، 4 ، من المجموعة الثانية.

(س يسار (2x – 3 يمين) +4 يسار (2x – 3 يمين) )

أخرج العامل المشترك ( left (2x – 3 right) ) من كلا الحدين.

( يسار (س + 4 يمين) يسار (2x – 3 يمين) )

إجابه

( يسار (س + 4 يمين) يسار (2x-3 يمين) )

[/ إجابة مخفية]

يقدم الفيديو التالي مثالاً آخر على التحليل إلى عوامل من خلال التجميع.

تم استبعاد عنصر YouTube من هذا الإصدار من النص. يمكنك مشاهدته على الإنترنت هنا: pb.libretexts.org/ba/؟p=118

في المثال التالي ، سيكون لدينا العامل المشترك الأكبر سالبًا. من المهم الانتباه إلى ما يحدث للقيمة ذات الحدين الناتجة عندما يكون العامل المشترك الأكبر سالبًا.

مثال

حلل العامل (3x ^ {2} + 3x – 2x – 2 ).
[تكشف-الإجابة q = ”744005 ″] إظهار الحل [/ تكشف-الإجابة]
[hidden-answer a = ”744005 ″] جمّع المصطلحات في أزواج.

( left (3x ^ {2} + 3x right) + left (-2x-2 right) )

حلل العامل المشترك 3 إلى عواملx من المجموعة الأولى.

(3x يسار (x + 1 يمين) + يسار (-2x-2 يمين) )

أخرج العامل المشترك (- 2 ) إلى عوامل.

(3 س يسار (س + 1 يمين) -2 يسار (س + 1 يمين) )

أخرج العامل المشترك ( left (x + 1 right) ) من كلا الحدين.

( يسار (x + 1 يمين) يسار (3x-2 يمين) )

إجابه

( يسار (x + 1 يمين) يسار (3x-2 يمين) )

[/ إجابة مخفية]

في الفيديو التالي ، نقدم مثالًا آخر للتحليل عن طريق التجميع عندما يكون أحد العامل المشترك الأكبر سالبًا.

تم استبعاد عنصر YouTube من هذا الإصدار من النص. يمكنك مشاهدته على الإنترنت هنا: pb.libretexts.org/ba/؟p=118

في بعض الأحيان ، ستواجه كثيرات الحدود التي ، على الرغم من بذل قصارى جهدك ، لا يمكن تضمينها في ناتج حدين.

مثال

حلل العامل (7x ^ {2} –21x + 5x – 5 ).
[تكشف-الإجابة q = ”262926 ″] إظهار الحل [/ إظهار الإجابة]
[hidden-answer a = ”262926 ″] جمّع المصطلحات في أزواج.

( يسار (7x ^ {2} –21x يمين) + يسار (5x – 5 يمين) )

حلل العامل المشترك 7 إلى عواملx من المجموعة الأولى.

(7x يسار (x-3 يمين) + يسار (5x-5 يمين) )

أخرج العامل المشترك 5 من المجموعة الثانية.

(7x يسار (x-3 يمين) +5 يسار (x-1 يمين) )

لا تحتوي المجموعتان (5 left (x – 1 right) ) على أي عوامل مشتركة ، لذلك لا يمكن تحليل كثير الحدود هذا إلى عوامل أخرى.

(7 س يسار (س – 3 يمين) +5 يسار (س –1 يمين) )

إجابه

لا يمكن أخذها في الاعتبار

[/ إجابة مخفية]

في المثال أعلاه ، يمكن تحليل كل زوج إلى عوامل ، ولكن بعد ذلك لا يوجد عامل مشترك بين الأزواج!

عامل ثلاثيات الجزء الأول

في القسم الأخير قدمنا ​​تقنية التحليل عن طريق التجميع كوسيلة لتكون قادرًا على تحليل ثلاثي الحدود. سنبدأ الآن بكثرة حدود ذات ثلاثة حدود ، ونعيد كتابتها في صورة كثيرة حدود ذات أربعة حدود بحيث يمكن تحليلها إلى عوامل.

سنبدأ بالتحليل إلى عوامل ثلاثية للحدود (x ^ 2 ).

تذكر أنه عندما يتم ضرب ( left (x + 5 right) ) ، فإن النتيجة تكون متعددة الحدود من أربعة حدود ثم يتم تبسيطها إلى ثلاثية الحدود:

( يسار (س + 2 يمين) يسار (س + 5 يمين) = س ^ 2 + 5 س + 2 س + 10 = س ^ 2 + 7 س + 10 )

التحليل هو عكس عملية الضرب ، لذا دعنا نذهب في الاتجاه المعاكس ونحلل ثلاثي الحدود (x ^ {2} ) ، (7x = 5x + 2x ) ثم يمكننا استخدام أسلوب التجميع:

((س ^ {2} + 5 س) + (2 س + 10) )

عامل كل زوج: ( start {array} {l} x underbrace { left (x + 5 right)} + 2 underbrace { left (x + 5 right)} text {ذي الحدين المشترك عامل} نهاية {مجموعة} )

ثم اسحب العامل المشترك ذي الحدين: ( left (x + 5 right) left (x + 2 right) )

ماذا كان سيحدث لو أعدنا كتابة (6x + x )؟

((س ^ {2} + 6 س) + (س + 10) )

حلل كل زوج إلى عوامل: (x left (x + 6 right) +1 left (x + 10 right) )

إذن ليس لدينا عامل مشترك هو ( left (x + 5 right) ) كما فعلنا من قبل. هناك طريقة لجنون اختيار كيفية إعادة كتابة الحدود الوسطى بحيث ينتهي بك الأمر بعامل مشترك ذي الحدين.

طريقة الجنون

فيما يلي ملخص للطريقة ، ثم سنعرض بعض الأمثلة عن كيفية استخدامها.

تحليل ثلاثي الحدود إلى عوامل بالصيغة (x ^ {2} + bx + c )

لتحليل ثلاثي على الشكل (x ^ {2} + bx + c ) ، أوجد عددين صحيحين ، ص و س، منتجها ج ومجموعها ب.

( start {array} {l} r cdot {s} = c text {and} r + s = b end {array} )

أعد كتابة ثلاثي الحدود كـ ( left (x + r right) ) و ( left (x + s right) ).

على سبيل المثال ، لتحليل (x ^ {2} + 7x + 10 ) ، فإنك تبحث عن رقمين مجموعهما 7 (معامل الحد الأوسط) وحاصل ضربهما 10 (الحد الأخير).

انظر إلى أزواج العوامل 10: 1 و 10 و 2 و 5. هل مجموع هذه الأزواج 7؟ نعم ، 2 و 5. لذا يمكنك إعادة كتابة (2x + 5x ) ومتابعة التحليل كما في المثال أعلاه. لاحظ أنه يمكنك أيضًا إعادة كتابة (5x + 2x ). كلاهما سيعمل.

لنحلل ثلاثي الحدود (x ^ {2} + 5x + 6 ). في هذا كثير الحدود ، ب جزء من الحد الأوسط هو 5 و ج المصطلح هو 6. سيساعدنا الرسم البياني في تنظيم الاحتمالات. على اليسار ، قم بإدراج جميع العوامل المحتملة لـ ج المدى ، 6 ؛ على اليمين ستجد المبالغ.

العوامل التي يكون حاصل ضربها 6مجموع العوامل
(1+6=7)
(2+3=5)

لا يوجد سوى مجموعتين محتملتين من العوامل ، 1 و 6 ، و 2 و 3. يمكنك أن ترى أن (2x + 3x = 5x ) ، مما يعطينا الحد الأوسط الصحيح.

مثال

حلل العامل (x ^ {2} + 5x + 6 ).

[تكشف-الإجابة q = ”141663 ″] إظهار الحل [/ تكشف-الإجابة]
[hidden-answer a = ”141663 ″] استخدم القيم من الرسم البياني أعلاه. استبدل (2x + 3x ).

(س ^ {2} + 2 س + 3 س + 6 )

جمّع أزواج المصطلحات.

( يسار (س ^ {2} + 2x يمين) + يسار (3 س + 6 يمين) )

عامل x من أول زوج من المصطلحات

(س يسار (س + 2 يمين) + يسار (3 س + 6 يمين) )

أخرج العامل 3 من الزوج الثاني من الحدود.

(س يسار (س + 2 يمين) +3 يسار (س + 2 يمين) )

أخرج العامل ( left (x + 2 right) ).

( يسار (س + 2 يمين) يسار (س + 3 يمين) )

إجابه

( يسار (س + 2 يمين) يسار (س + 3 يمين) )

[/ إجابة مخفية]

لاحظ أنك إذا كتبت (x ^ {2} + 3x + 2x + 6 ) وجمعت الأزواج كـ (x left (x + 3 right) +2 left (x + 3 right) ) ، وتم تحليلها إلى عوامل ( يسار (س + 3 يمين) يسار (س + 2 يمين) ). نظرًا لأن عملية الضرب تبادلية ، فإن ترتيب العوامل لا يهم. إذن هذه الإجابة صحيحة أيضًا ؛ إنها إجابات متكافئة.

في الفيديو التالي ، نقدم مثالًا آخر على كيفية استخدام التجميع لتحليل كثير الحدود التربيعي.

تم استبعاد عنصر YouTube من هذا الإصدار من النص. يمكنك مشاهدته على الإنترنت هنا: pb.libretexts.org/ba/؟p=118

أخيرًا ، دعنا نلقي نظرة على ثلاثي الحدود (- 12 ). لذا انظر إلى كل مجموعات العوامل التي يكون ناتجها (- 12 ). ثم انظر إلى أي من هذه المجموعات سوف يمنحك الحد الأوسط الصحيح ، وأين ب هو 1.

العوامل التي يكون حاصل ضربها (1 cdot − 12 = −12 ) (2 cdot − 6 = -12 ) (3 cdot − 4 = -12 ) (4 cdot − 3 = -12 ) (6 cdot − 2 = -12 ) (12 cdot − 1 = -12 )(12+−1=11)

توجد مجموعة واحدة فقط حيث يكون المنتج (r = 4 ) و (s = −3 ). دعنا نستخدم هذه لتحليل ثلاثي الحدود الأصلي لدينا.

مثال

حلل العامل (x ^ {2} + x – 12 ).

[إظهار الإجابة q = ”205737 ″] إظهار الحل [/ إظهار الإجابة]
[hidden-answer a = ”205737 ″] أعد كتابة ثلاثي الحدود باستخدام القيم الواردة في الرسم البياني أعلاه. استخدم القيم (s = −3 ).

(س ^ {2} + 4x + −3x – 12 )

مجموعة أزواج من الشروط.

( يسار (س ^ {2} + 4x يمين) + يسار (−3x – 12 يمين) )

عامل x من المجموعة الأولى.

(س يسار (س + 4 يمين) + يسار (-3x-12 يمين) )

أخرج العامل −3 من المجموعة الثانية.

(س يسار (س + 4 يمين) -3 يسار (س + 4 يمين) )

أخرج العامل ( left (x + 4 right) ).

( يسار (س + 4 يمين) يسار (× 3 يمين) )

إجابه

( يسار (س + 4 يمين) يسار (× 3 يمين) )

[/ إجابة مخفية]

في المثال أعلاه ، يمكنك أيضًا إعادة كتابة (x ^ {2} - 3x + 4x – 12 ) أولاً. ثم عامل ( left (x – 3 right) ) للحصول على ( left (x – 3 right) left (x + 4 right) ). نظرًا لأن عملية الضرب تبادلية ، فهذه هي الإجابة نفسها.

نصائح العوملة

العوملة الثلاثية هي مسألة ممارسة والصبر. في بعض الأحيان ، تظهر مجموعات الأرقام المناسبة وتبدو واضحة جدًا! في أوقات أخرى ، على الرغم من تجربة العديد من الاحتمالات ، يصعب العثور على التركيبات الصحيحة. وهناك أوقات لا يمكن فيها تحليل ثلاثي الحدود.

على الرغم من عدم وجود طريقة مضمونة للعثور على المجموعة الصحيحة عند التخمين الأول ، إلا أن هناك بعض النصائح التي يمكن أن تسهل الطريق.

نصائح لإيجاد القيم الناجحة

عند تحليل ثلاثي الحدود بالصيغة (x ^ {2} + bx + c ) ، ضع في اعتبارك النصائح التالية.

انظر الى ج المصطلح الأول.

  • إذا كان ج المصطلح هو رقم موجب ، ثم عوامل ج سيكون كلاهما موجبًا أو كلاهما سلبي. بعبارات أخرى، ص و س سيكون له نفس العلامة.
  • إذا كان ج المصطلح هو رقم سالب ، ثم عامل واحد ج سيكون موجبًا وعاملًا واحدًا ج ستكون سلبية. إما ص أو س ستكون سلبية ، ولكن ليس كلاهما.

انظر الى ب المصطلح الثاني.

  • إذا كان ج المصطلح موجب و ب المصطلح موجب ، ثم كلاهما ص و س إيجابية.
  • إذا كان ج المصطلح موجب و ب المصطلح سلبي ، ثم كلاهما ص و س سلبية.
  • إذا كان ج المصطلح سلبي و ب المصطلح موجب ، ثم العامل الموجب سيكون له قيمة مطلقة أكبر. هذا هو ، إذا (| r |> | s | ) ، إذن ص هو إيجابي و س سلبي.
  • إذا كان ج المصطلح سلبي و ب المصطلح سالب ، ثم العامل السالب سيكون له القيمة المطلقة الأكبر. هذا هو ، إذا (| r |> | s | ) ، إذن ص سلبي و س هو إيجابي.

بعد تحليل عدد من القيم الثلاثية في الشكل (x ^ {2} + bx + c ) ، قد تلاحظ أن الأرقام التي تحددها ص و س في نهاية المطاف يتم تضمينها في شكل عامل ثلاثي الحدود. ألق نظرة على الرسم البياني التالي ، الذي يستعرض المشكلات الثلاث التي رأيتها حتى الآن.

ثلاثي الحدود (س ^ {2} + 5 س + 6 ) (ص = + 5 ، ث = + 2 ) (ص = + 4 ، ث = –3 )
شكل عامل ( يسار (س + 2 يمين) يسار (س + 3 يمين) ) ((س + 4) (س –3) )

الاختصار

لاحظ أنه في كل من الأمثلة أعلاه ، فإن ملف ص و س تتكرر القيم في شكل ثلاثي الحدود محلل العوامل. فماذا يعني هذا؟ هذا يعني أنه في القيم الثلاثية للنموذج (x ^ {2} ) تساوي 1) ، إذا كان بإمكانك تحديد ص و س القيم ، يمكنك تخطي خطوات التجميع بشكل فعال والانتقال مباشرة إلى النموذج المحلل. لأولئك منكم الذين يحبون الاختصارات ، دعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة التي نستخدم فيها هذه الفكرة.

الاختصار بهذه الطريقة

في المثالين التاليين ، سنوضح كيف يمكنك تخطي خطوة التحليل عن طريق التجميع والانتقال مباشرةً إلى الصيغة المحللة إلى عوامل لمنتج ذي حدين بقيمتي r و s التي تجدها. الفكرة هي أنه يمكنك بناء عوامل لثلاثية الحدود بهذا الشكل: (x ^ 2 + bx + c ) من خلال إيجاد r و s ، ثم وضعها في عاملين ذي حدين مثل هذا:

( يسار (س + r يمين) يسار (س + ث يمين) نص {أو} يسار (س + ث يمين) يسار (س + r يمين) )

مثال

العامل: (ص ^ 2 + 6 ص -27 )
[كشف-إجابة q = ”601131 Show] إظهار الحل [/ إظهار الإجابة]
[إجابة مخفية أ = "601131 ″]

ابحث عن r و s:

العوامل التي يكون حاصل ضربها -27مجموع العوامل
(1-27=-26)
(3-9=-6)
(-3+9=6)

بدلًا من إعادة كتابة الحد الأوسط ، سنستخدم قيم r و s التي تعطي حاصل الضرب والمبلغ الذي نحتاجه.

في هذه الحالة:

( start {array} {l} r = -3 s = 9 end {array} )

من المفيد البدء بكتابة مجموعتين فارغتين من الأقواس:

(يسار يمين يسار(،،،،،،، ،،،،،حق))

الحد التربيعي هو y ، لذلك سنضع y في كل مجموعة من الأقواس:

( يسار (ص ، ، ، ، ، ، ، ، يمين) يسار (ص ، ، ، ، ، ، ، ، يمين) )

يمكننا الآن ملء بقية كل ذي الحدين بالقيم التي وجدناها لـ r و s.

( يسار (ص -3 يمين) يسار (ص + 9 يمين) )

لاحظ كيف احتفظنا بالعلامة على كل من القيم. الشيء الجميل في التخصيم هو أنه يمكنك التحقق من عملك. اضرب القيم ذات الحدين معًا لترى ما إذا كنت قد فعلت ذلك بشكل صحيح.

( start {array} {l} left (y-3 right) left (y + 9 right) = y ^ 2 + 9y-3y-27 = y ^ 2 + 6y-27 نهاية {مجموعة} )

إجابه

( يسار (ص -3 يمين) يسار (ص + 9 يمين) )

[/ إجابة مخفية]

سنعرض مثالًا آخر حتى تتمكن من اكتساب المزيد من الخبرة.

مثال

العامل: (- م ^ 2 + 16 م -48 )
[إظهار الإجابة q = ”402116 ″] إظهار الحل [/ إظهار الإجابة]
[إجابة مخفية أ = ”402116 ″]

يوجد سالب أمام الحد التربيعي ، لذا سنحلل سالب واحد من ثلاثي الحدود بالكامل أولاً. تذكر أن هذا يتلخص في تغيير علامة كل المصطلحات:

(- م ^ 2 + 16 م -48 = -1 يسار (م ^ 2-16 م + 48 يمين) )

يمكننا الآن تحليل ( left (m ^ 2-16m + 48 right) ) من خلال إيجاد r و s. لاحظ أن b سالب ، و c موجب ، لذلك ربما نبحث عن رقمين سالبين:

العوامل التي يكون حاصل ضربها 48مجموع العوامل
(-1-48=-49)
(-2-12=-14)
(-3-16=-19)
(-4-12=-16)

هناك المزيد من العوامل التي يكون حاصل ضربها 48 ، لكننا وجدنا العوامل التي مجموعها -16 ، لذا يمكننا التوقف.

( start {array} {l} r = -4 s = -12 end {array} )

الآن يمكننا ملء كل ذي حدين بالقيم التي وجدناها لـ r و s ، تأكد من استخدام المتغير الصحيح!

( يسار (م -4 يمين) يسار (م -12 يمين) )

لم ننتهي بعد ، تذكر أننا استخرجنا إشارة سلبية في الخطوة الأولى. علينا أن نتذكر تضمين ذلك.

(- 1 يسار (م -4 يمين) يسار (م -12 يمين) )

إجابه

(- م ^ 2 + 16 م -48 = -1 يسار (م -4 يمين) يسار (م -12 يمين) )

[/ إجابة مخفية]

في الفيديو التالي ، نقدم مثالين آخرين لتحليل ثلاثي الحدود باستخدام الاختصار المعروض هنا.

تم استبعاد عنصر YouTube من هذا الإصدار من النص. يمكنك مشاهدته على الإنترنت هنا: pb.libretexts.org/ba/؟p=118

عامل ثلاثيات الجزء الثاني

الهدف التالي هو أن تكون مرتاحًا في التعرف على مكان وضع العلامات السلبية ، وما إذا كان من الممكن حتى تحليل ثلاثي الحدود. بالإضافة إلى ذلك ، سوف نستكشف حالة خاصة واحدة للبحث عنها في نهاية هذه الصفحة.

لا تبدو كل القيم الثلاثية مثل (x ^ {2} ) الحد هو 1. في هذه الحالات ، يجب أن تكون خطوتك الأولى هي البحث عن العوامل المشتركة للمصطلحات الثلاثة.

ثلاثي الحدودأخرج العامل المشتركعامل
(2 (x ^ {2} + 5x + 6) ) (- 5a ^ {2} −15a − 10 ) (- 5 يسار (أ + 2 يمين) يسار (أ + 1 يمين) )
(ج يسار (ج ^ {2} –8c + 15 يمين) ) (y ^ {4} –9y ^ {3} –10y ^ {2} ) (ص ^ {2} يسار (ص – 10 يمين) يسار (ص + 1 يمين) )

لاحظ أنه بمجرد تحديد العامل المشترك واستخراجه ، يمكنك تحليل ثلاثي الحدود المتبقي كالمعتاد. هذه العملية موضحة أدناه.

مثال

حلل العامل (3x ^ {3} –3x ^ {2} –90x ).

[كشف-إجابة q = ”298928 ″] إظهار الحل [/ إظهار الإجابة]
[hidden-answer a = ”298928 ″] بما أن 3 عامل مشترك للحدود الثلاثة ، أخرج العامل 3.

(3 يسار (س ^ {3} –x ^ {2} –30x يمين) )

x هو أيضًا عامل مشترك ، لذا عامل x.

(3x يسار (x ^ {2} –x – 30 right) )

الآن يمكنك تحليل ثلاثي الحدود (- 30 ) ومجموعها (- 1 ).

زوج العوامل هو (5 ). لذا استبدل (- 6x + 5x ).

(3x يسار (x ^ {2} –6x + 5x – 30 right) )

استخدم التجميع للنظر في المصطلحات في أزواج.

(3x left [ left (x ^ {2} –6x right) + left (5x – 30 right) right] )

عامل x من المجموعة الأولى والعامل 5 من المجموعة الثانية.

(3x يسار [ يسار (x يسار (x –6 يمين) يمين) +5 يسار (x –6 يمين) يمين] )

ثم أخرج العامل (س –6 ).

(3x يسار (x –6 يمين) يسار (x + 5 يمين) )

إجابه

(3x يسار (x –6 يمين) يسار (x + 5 يمين) )

[/ إجابة مخفية]

يحتوي الفيديو التالي على مثالين آخرين لتحليل ثلاثي الحدود التربيعي حيث تتمثل الخطوة الأولى في تحليل العامل المشترك الأكبر. نستخدم طريقة الاختصار بدلاً من التحليل عن طريق التجميع.

تم استبعاد عنصر YouTube من هذا الإصدار من النص. يمكنك مشاهدته على الإنترنت هنا: pb.libretexts.org/ba/؟p=118

الشكل العام للثلاثيات ذات المعامل الرئيسي أ هو (x ^ {2} ) مصطلح ، بدلاً من مصطلح (ax ^ {2} ).

ومع ذلك ، إذا لم يكن لمعاملات المصطلحات الثلاثة جميعها عامل مشترك ، فستحتاج إلى تحليل ثلاثي الحدود بمعامل غير 1.

تحليل ثلاثي الحدود إلى عوامل بالصيغة (ax ^ {2} + bx + c )

لتحليل ثلاثي في ​​الشكل (ax ^ {2} + bx + c ) ، أوجد عددين صحيحين ، ص و س، مجموعهم ب ومنتج من هو أ.

( start {array} {l} r cdot {s} = a cdot {c} r + s = b end {array} )

أعد كتابة ثلاثي الحدود كـ (ax ^ {2} + rx + sx + c ) ثم استخدم التجميع وخاصية التوزيع لتحليل كثير الحدود.

هذا مماثل تقريبًا لتحليل ثلاثي الحدود بالشكل (أ = 1 ). أنت الآن تبحث عن عاملين منتجهما (a cdot {c} ) ومجموعهما ب.

دعونا نرى كيف تعمل هذه الإستراتيجية من خلال تحليل (6z ^ {2} + 11z + 4 ).

في هذا المثلث ، (b = 11 ) و (b = 11 ) وحاصل ضربه (a cdot {c} = 6 cdot4 = 24 ). يمكنك عمل مخطط لتنظيم مجموعات العوامل الممكنة. (لاحظ أن هذا الرسم البياني يحتوي على أرقام موجبة فقط. منذ أ هو إيجابي و ب إيجابية ، يمكنك التأكد من أن العاملين اللذين تبحث عنهما هما أيضًا أرقام موجبة.)

العوامل التي يكون حاصل ضربها 24مجموع العوامل
(1+24=25)
(2+12=14)
(3+8=11)
(4+6=10)

توجد مجموعة واحدة فقط حيث يكون حاصل الضرب 24 ويكون المجموع 11 ، وذلك عندما يكون (s = 8 ). دعنا نستخدم هذه القيم لتحليل ثلاثي الحدود الأصلي.

مثال

عامل (11z ) ، مثل (3z + 8z ) (من الرسم البياني أعلاه.)

(6z ^ {2} + 3z + 8z + 4 )

أزواج المجموعة. استخدم التجميع للنظر في المصطلحات في أزواج.

( يسار (6z ^ {2} + 3z يمين) + يسار (8z + 4 يمين) )

العامل 3ض في المجموعة الأولى و 4 في المجموعة الثانية.

(3z يسار (2z + 1 يمين) +4 يسار (2z + 1 يمين) )

أخرج العامل ( left (2z + 1 right) ).

( يسار (2z + 1 يمين) يسار (3z + 4 يمين) )

إجابه

( يسار (2z + 1 يمين) يسار (3z + 4 يمين) )

[/ إجابة مخفية]

في الفيديو التالي ، نقدم مثالًا آخر لتحليل ثلاثي الحدود باستخدام التجميع. في هذا المثال ، الحد الأوسط ، ب ، سلبي. لاحظ كيف أن وجود حد متوسط ​​سلبي ومصطلح c موجب يؤثر على خيارات r و s عند التحليل.

تم استبعاد عنصر YouTube من هذا الإصدار من النص. يمكنك مشاهدته على الإنترنت هنا: pb.libretexts.org/ba/؟p=118

قبل المضي قدمًا ، تجدر الإشارة إلى أنه لا يمكن تحليل جميع القيم الثلاثية باستخدام أزواج الأعداد الصحيحة. خذ ثلاثي الحدود (b = 35 ) وحاصل ضربه (a cdot {c} = 2 cdot7 = 14 )؟ لا يوجد! هذا النوع من ثلاثي الحدود ، الذي لا يمكن تحليله إلى عوامل باستخدام الأعداد الصحيحة ، يسمى ثلاثي الحدود الأولي.

في بعض الحالات ، أ سالبة ، كما هو الحال في (- 1 ) كخطوة أولى في التحليل ، لأن القيام بذلك سيغير علامة (ax ^ {2} ) من سالب إلى موجب ، مما يسهل تحليل ثلاثي الحدود المتبقي.

مثال

أخرج العامل (- 1 ) من ثلاثي الحدود. لاحظ أن إشارات المصطلحات الثلاثة قد تغيرت.

(- 1 يسار (4 س ^ {2} –11 س – 3 يمين) )

لتحليل ثلاثي الحدود ، تحتاج إلى معرفة كيفية إعادة كتابة (rs = 4 cdot − 3 = −12 ) ، ومجموع (rs = −11 ).

(r + s = -11 )
(−12+1=−11)
(−6+2=−4)
(−4+3=−1)

أعد كتابة الحد الأوسط (- 12 س + 1 س ).

(- 1 يسار (4 س ^ {2} –12 س + 1 س – 3 يمين) )

شروط المجموعة.

(- 1 يسار [ يسار (4 ساعات ^ {2} –12 ساعة يمين) + يسار (1 ساعة – 3 يمين) يمين] )

أخرج العامل 4ح من الزوج الأول. لا يمكن تحليل المجموعة الثانية إلى عوامل أخرى ، ولكن يمكنك كتابتها كـ (+ 1 يسار (h – 3 right) = left (h – 3 right) ). هذا يساعد في أخذ العوامل في الخطوة التالية.

(- 1 يسار [4 ساعات يسار (h – 3 يمين) +1 يسار (h – 3 right) right] )

أخرج العامل المشترك ( left (h – 3 right) left (4h + 1 right) ) ؛ (+ 1 يسار (h – 3 right) ) في الخطوة السابقة.

(- 1 يسار [ يسار (h – 3 يمين) يسار (4 ساعات + 1 يمين) يمين] )

إجابه

(- 1 يسار (ح –3 يمين) يسار (4 ساعات + 1 يمين) )

[/ إجابة مخفية]

لاحظ أنه يمكن أيضًا كتابة الإجابة أعلاه كـ ( left (h – 3 right) left (−4h – 1 right) ) إذا قمت بضرب (- 1 ) في أحد العوامل الأخرى.

في الفيديو التالي نقدم مثالًا آخر على تحليل ثلاثي الحدود بالصيغة (- ax ^ 2 + bx + c ) باستخدام تقنية التجميع.

تم استبعاد عنصر YouTube من هذا الإصدار من النص. يمكنك مشاهدته على الإنترنت هنا: pb.libretexts.org/ba/؟p=118

فرق المربعات

سنكون مقصرين إذا فشلنا في تقديم نوع آخر من كثير الحدود يمكن تحليله إلى عوامل. يمكن تحليل كثير الحدود هذا إلى حدين ولكن لهما فترتان فقط. دعونا نبدأ من حاصل ضرب اثنين من الحدين لمعرفة النمط.

بالنظر إلى حاصل ضرب حدين: ( left (x-2 right) left (x + 2 right) ) ، إذا ضربناها معًا ، فإننا نفقد الحد الأوسط الذي اعتدنا على رؤيته نتيجة لذلك .

تتضاعف:

( start {array} {l} left (x-2 right) left (x + 2 right) text {} = x ^ 2-2x + 2x-2 ^ 2 text {} = x ^ 2-2 ^ 2 text {} = x ^ 2-4 end {array} )

يسمى كثير الحدود (x ^ 2-4 ) بفرق المربعات لأنه يمكن كتابة مصطلح التدريس في صورة مربع. سيعامل اختلاف المربعات دائمًا بالطريقة التالية:

عامل فرق المربعات

معطى ( يسار (أ + ب يمين) يسار (أ-ب يمين) )

لنفترض العامل (x ^ {2} + 0x – 4 ). هذا مشابه في تنسيقه لثلاثيات الحدود التي كنا نأخذها في الاعتبار حتى الآن ، لذلك دعونا نستخدم نفس الطريقة.

أوجد عوامل (a cdot {c} ) التي يكون مجموعها ب، في هذه الحالة ، 0:

عوامل (1 cdot-4 = −4 ) (2 cdot − 2 = -4 ) (- 1 cdot4 = −4 )(-1+4=3)

مجموع 2 و -2 يساوي 0. يمكنك استخدامهما لتحليل (x ^ {2} –4 ).

مثال

حلل العامل (0x ) كـ (- 2x + 2x ).

( start {array} {l} x ^ {2} + 0x-4 x ^ {2} -2x + 2x-4 end {array} )

أزواج المجموعة.

( يسار (س ^ {2} –2x يمين) + يسار (2x – 4 يمين) )

عامل x من المجموعة الأولى. أخرج العامل 2 من المجموعة الثانية.

(س يسار (س –2 يمين) +2 يسار (س –2 يمين) )

أخرج العامل ( left (x – 2 right) ).

( يسار (س –2 يمين) يسار (س + 2 يمين) )

إجابه

( يسار (3x –2 يمين) يسار (3x + 2 يمين) )

[/ إجابة مخفية]

نظرًا لأن الترتيب لا يهم في عملية الضرب ، يمكن أيضًا كتابة الإجابة بالشكل ( left (x + 2 right) left (x – 2 right) ).

يمكنك التحقق من الإجابة بضرب ( left (x – 2 right) left (x + 2 right) = x ^ {2} + 2x – 2x – 4 = x ^ {2} –4 ).

يُظهر الفيديو التالي مثالين آخرين على تحليل فرق المربعات.

تم استبعاد عنصر YouTube من هذا الإصدار من النص. يمكنك مشاهدته على الإنترنت هنا: pb.libretexts.org/ba/؟p=118

ملخص

عندما يكون العدد الثلاثي على شكل (ax ^ {2} + bx + c ) ، ابحث عن عددين صحيحين ، ص و س، مجموعهم ب ومنتج من هو أ. ثم أعد كتابة ثلاثي الحدود كـ (ax ^ {2} + rx + sx + c ) واستخدم التجميع وخاصية التوزيع لتحليل كثير الحدود.

عندما (- 1 ) من ثلاثي الحدود بالكامل قبل المتابعة.

فرق المربعات ( يسار (أ + ب يمين) يسار (أ-ب يمين) ).

ملخص

ثلاثي الحدود بالصيغة (x ^ {2} + rx + sx + c ) ثم استخدم التجميع وخاصية التوزيع لتحليل كثير الحدود.


6.4: المزيد من طرق العوملة

هذا الكتاب المدرسي في المقام الأول حول بحث كمي، جزئيًا لأن معظم الدراسات التي أجريت في علم النفس ذات طبيعة كمية. يبدأ الباحثون الكميون عادةً بسؤال أو فرضية بحثية مركزة ، ويجمعون كمية صغيرة من البيانات من عدد كبير من الأفراد ، ويصفون البيانات الناتجة باستخدام تقنيات إحصائية ، ويستخلصون استنتاجات عامة حول عدد كبير من السكان. على الرغم من أن هذه الطريقة هي إلى حد بعيد النهج الأكثر شيوعًا لإجراء البحوث التجريبية في علم النفس ، إلا أن هناك بديلًا مهمًا يسمى البحث النوعي. نشأ البحث النوعي في تخصصات الأنثروبولوجيا وعلم الاجتماع ولكنه يستخدم الآن لدراسة الموضوعات النفسية أيضًا. يبدأ الباحثون النوعيون عمومًا بسؤال بحث أقل تركيزًا ، ويجمعون كميات كبيرة من البيانات "غير المصفاة" نسبيًا من عدد صغير نسبيًا من الأفراد ، ويصفون بياناتهم باستخدام تقنيات غير إحصائية. عادة ما يكونون أقل اهتمامًا باستخلاص استنتاجات عامة حول السلوك البشري من فهمهم بالتفصيل خبرة من المشاركين في البحث.

لنأخذ ، على سبيل المثال ، دراسة أجراها الباحث بير ليندكفيست وزملاؤه ، الذين أرادوا معرفة كيفية تعامل أسر ضحايا الانتحار المراهقين مع خسارتهم (Lindqvist، Johansson، & amp Karlsson، 2008) [1]. لم يكن لديهم سؤال أو فرضية بحثية محددة ، مثل ، ما هي النسبة المئوية لأفراد الأسرة الذين ينضمون إلى مجموعات دعم الانتحار؟ بدلاً من ذلك ، أرادوا فهم ردود الفعل المتنوعة التي كانت لدى العائلات ، مع التركيز على شكلها هم توقعات - وجهات نظر. للإجابة على هذا السؤال ، أجروا مقابلات مع أسر 10 مراهقين من ضحايا الانتحار في منازلهم في ريف السويد. كانت المقابلات غير منظمة نسبيًا ، بدءًا من طلب عام للعائلات للتحدث عن الضحية وتنتهي بدعوة للتحدث عن أي شيء آخر يريدون إخبار المحاور به. كان أحد أهم المواضيع التي ظهرت من هذه المقابلات أنه حتى مع عودة الحياة إلى "طبيعتها" ، استمرت العائلات في النضال مع السؤال عن سبب انتحار أحبائهم. بدا هذا الكفاح صعبًا بشكل خاص على العائلات التي كان الانتحار فيها غير متوقع.


28 ورقة عمل ممارسة معاملات متعددة الحدود مع الإجابات

ورقة عمل متعددة الحدود تبسط ورقة عمل كثيرة الحدود حساب عوامل الرياضيات إجابات ورقة عمل متعددة الحدود بالإضافة إلى أوراق عمل الجذر التربيعي المجانية ومربعات الجذور غير المثالية عبر ashafrance.org

أوراق عمل الجبر 3 4 حل المعادلات متعددة الحدود إجابات ورقة عمل أفضل الصور في مجموعة متعددة الحدود إلى عوامل gcf عبر odmartlifestyle.com

تحليل كثيرات الحدود عن طريق تجميع ورقة عمل التخصيم التربيعي. الرياضيات تحليل كثير الحدود عن طريق تجميع الإجابات الفريدة للمربعات الكاملة عبر atrevetehoy.com

zm7lITnI9XcFQxD6iOhmGGkRZMUnjrK akApTCqu8ATtSQLFv 0fF9 AqVbeL76oFA1sqgSwEltSUIDS4rOh9 عبر khanacademy.org

ورقة تلوين متعددة الحدود للعوملة ورقة عمل متعددة الحدود رائعة مع الإجابات الجبر 2 الجبر الجديد لتحصيل عوامل متعددة الحدود ورقة التلوين عبر nocn.me

ورقة عمل الجبر 2 العوملة متعددة الحدود 21 صورة ورقة عمل العوملة ذات الحدين صورة الجبر 2 العوملة ورقة عمل كثيرة الحدود عبر defeatedelementaryschool.com

ورقة عمل العوملة ثلاثية الحدود الجبر 2 ورقة عمل العوملة الجبر 2 ورقة عمل العوملة كثيرات الحدود الرياضيات تساعد على القراءة دورة عبر trubs.org

يمكن استخدام أوراق عمل الميزانية القابلة للطباعة من قبل أي شخص يريد إنشاء ميزانية لنفسه. يمكن استخدام ورقة العمل الشهرية من قبل الأفراد الذين يجب عليهم إنشاء ميزانية لأنفسهم على أساس شهري. يمكن استخدام ورقة العمل المنزلية من قبل الأفراد لإنشاء خطة ميزانية معًا لجميع أفراد أسرهم.

تحليل كثيرات الحدود من خلال تجميع ورقة عمل التخصيم التربيعي. الرياضيات تحليل كثير الحدود عن طريق تجميع الإجابات الفريدة للمربعات الكاملة عبر: atrevetehoy.com

zm7lITnI9XcFQxD6iOhmGGkRZMUnjrK akApTCqu8ATtSQLFv 0fF9 AqVbeL76oFA1sqgSwEltSUIDS4rOh9 عبر: khanacademy.org

ورقة تلوين متعددة الحدود للعوملة ورقة عمل متعددة الحدود رائعة مع الإجابات الجبر 2 الجبر الجديد لتحليل عوامل كثيرة الحدود ورقة التلوين عبر: nocn.me

ورقة عمل الجبر 2 العوملة متعددة الحدود 21 تحليل العوملة ذات الحدين صورة ورقة عمل الجبر 2 العوملة ورقة عمل كثيرة الحدود عبر: defeatedelementaryschool.com

ورقة عمل العوملة ثلاثية الحدود الجبر 2 ورقة عمل العوملة الجبر 2 ورقة عمل العوملة كثيرات الحدود الرياضيات تساعد على القراءة الدورة عبر: trubs.org

أوراق عمل العوملة متعددة الحدود بليتلي حل الرياضيات أوراق عمل مستوي الجبر الثاني مراجعة إجابات العوملة الأساسية ورقة عمل مجانية قابلة للطباعة عبر: invisalignexpressbraces.com

ورقة عمل العوملة التربيعية إجابات متعددة الحدود لأوراق العمل التدريبية ثلاثية الحدود عبر: openlayers.co

ورقة عمل ممارسة العوملة متعددة الحدود مع الإجابات أوراق عمل الضرب القاعدة ورقة عمل الممارسة المستقلة.

ورقة عمل متعددة الحدود مع إجابات الجبر 2 تحليل رائع من خلال تجميع إجابات ورقة العمل.

أوراق عمل متعددة الحدود ضرب وقسمة أوراق عمل متعددة الحدود مع الإجابات أوراق عمل قسمة إلى عوامل متعددة الحدود أوراق عمل الجبر 2 عبر: eastcooperspeakeasy.com

هل تريد المزيد من المساعدة في كتابة خطة عمل؟

إذا كنت & # 8217re تبحث عن قالب خطة عمل ، فلدينا الكثير من الموارد الإضافية لمساعدتك:

يحتوي دليلنا على تعليمات مفصلة ، ويأخذك خلال عملية التحضير من البداية إلى النهاية.

إذا كنت ترغب في رؤية خطط عمل حقيقية من شركات أخرى ، فقم بإلقاء نظرة على مكتبتنا التي تضم نماذج لاستراتيجيات الأعمال

يوجد أكثر من 500 مخطط توضيحي في مكتبتنا ، لذلك هناك فرصة رائعة للعثور على واحدة مشابهة لعملك.

بالإضافة إلى ذلك ، هناك حزم برامج قد تساعد في تحمل عناء إعداد الأعمال. توصيتنا هي اختبار LivePlan. إنه يتميز بالتنبؤ المالي الكامل (لا توجد جداول بيانات مطلوبة) وعروض تقديمية والمزيد.

إذا كنت لا تزال عالقًا ، فيمكنك دائمًا تعيين خبير لمساعدتك في خطة عملك.


التفعيل

بمجرد تحديد البنية النظرية ، كيف نقيسها بالضبط؟ يشير التفعيل إلى عملية تطوير المؤشرات أو العناصر لقياس هذه التركيبات. For instance, if an unobservable theoretical construct such as socioeconomic status is defined as the level of family income, it can be operationalized using an indicator that asks respondents the question: what is your annual family income? Given the high level of subjectivity and imprecision inherent in social science constructs, we tend to measure most of those constructs (except a few demographic constructs such as age, gender, education, and income) using multiple indicators. This process allows us to examine the closeness amongst these indicators as an assessment of their accuracy (reliability).

Indicators operate at the empirical level, in contrast to constructs, which are conceptualized at the theoretical level. The combination of indicators at the empirical level representing a given construct is called a variable . As noted in a previous chapter, variables may be independent, dependent, mediating, or moderating, depending on how they are employed in a research study. Also each indicator may have several attributes (or levels) and each attribute represent a value . For instance, a “gender” variable may have two attributes: male or female. Likewise, a customer satisfaction scale may be constructed to represent five attributes: “strongly dissatisfied”, “somewhat dissatisfied”, “neutral”, “somewhat satisfied” and “strongly satisfied”. Values of attributes may be quantitative (numeric) or qualitative (non-numeric). Quantitative data can be analyzed using quantitative data analysis techniques, such as regression or structural equation modeling, while qualitative data require qualitative data analysis techniques, such as coding. Note that many variables in social science research are qualitative, even when represented in a quantitative manner. For instance, we can create a customer satisfaction indicator with five attributes: strongly dissatisfied, somewhat dissatisfied, neutral, somewhat satisfied, and strongly satisfied, and assign numbers 1 through 5 respectively for these five attributes, so that we can use sophisticated statistical tools for quantitative data analysis. However, note that the numbers are only labels associated with respondents’ personal evaluation of their own satisfaction, and the underlying variable (satisfaction) is still qualitative even though we represented it in a quantitative manner.

Indicators may be reflective or formative. A reflective indicator is a measure that “reflects” an underlying construct. For example, if religiosity is defined as a construct that measures how religious a person is, then attending religious services may be a reflective indicator of religiosity. A formative indicator is a measure that “forms” or contributes to an underlying construct. Such indicators may represent different dimensions of the construct of interest. For instance, if religiosity is defined as composing of a belief dimension, a devotional dimension, and a ritual dimension, then indicators chosen to measure each of these different dimensions will be considered formative indicators. Unidimensional constructs are measured using reflective indicators (even though multiple reflective indicators may be used for measuring abstruse constructs such as self-esteem), while multidimensional constructs are measured as a formative combination of the multiple dimensions, even though each of the underlying dimensions may be measured using one or more reflective indicators.


Who decides if you use this feature?

Who decides whether you use two-factor verification depends on what type of account you have:

Work or school account. If you're using a work or school account (such as [email protected]), it's up to your organization whether you use two-factor verification, along with the specific verification methods. Because your organization has decided you must use this feature, there's no way for you to individually turn it off.

Personal Microsoft account. You can choose to set up two-factor verification for your personal Microsoft accounts (such as [email protected]). You can turn it on or off whenever you want, using the simple instructions in Turning two-factor verification on or off for your Microsoft account.

If you're having other problems with two-factor verification and one of your personal Microsoft accounts, there are more suggestions in How to use two-step verification with your Microsoft account.


Highest Common Factor



Examples, examples, and videos to help GCSE Maths students learn how to find the highest common factor (HCF).

What is Highest Common Factor (HCF)?
The Highest Common Factor of two or more numbers is the largest number that can divide the numbers without any remainder. The highest common factor is also called the Greatest Common Factor (GCF)

The following diagrams show the methods that can be used to find the Highest Common Factor. Scroll down the page for more examples and solutions on how to find the Highest Common Factor.

How to find the HCF?
There are various methods to find the HCF. Here are some of them:
1. List out all the factors of each number and select the largest factor that is common to all the lists.
2. Use prime factors or factor trees.
3. Use division (ladder) method.

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


Healthcare Additive Manufacturing Market Size Worth $6.4 Billion By 2028: Grand View Research, Inc.

SAN FRANCISCO , Feb. 3, 2021 /PRNewswire/ -- The global healthcare additive manufacturing market size is expected to be valued at USD 6.4 billion by 2028 and is anticipated to grow at a CAGR of 21.8% from 2021 to 2028, according to a new report by Grand View Research, Inc. Easy development of customized products, reduction in manufacturing cost due to technological advancements, and possibilities of using various material for printing are propelling the market growth.

Key suggestions from the report:

  • Laser sintering accounted for the largest market share of 31.0% in 2020 as it uses a wide variety of materials to make high-quality, complex geometries and can produce several pieces at one time
  • The polymers material segment accounted for the largest revenue share of more than 50% in 2020, as polymer-based AM has been used for decades in creating medical instruments as well as prosthetic limbs & related accessories
  • North America led the market in 2020 and accounted for the largest share of more than 35% due to the presence of several additive manufacturing companies with a robust distribution network
  • Asia Pacific is projected to be the fastest-growing regional market over the forecast period due to significant demand for dental 3D printing as a result of an increasing number of people undergoing tooth replacement surgeries.

Read 114 page research report with ToC on "Healthcare Additive Manufacturing Market Size, Share & Trends Analysis Report By Technology (Laser Sintering, Deposition Modeling), By Application (Medical Implants, Wearable Devices), By Material, And Segment Forecasts, 2021 - 2028" at: https://www.grandviewresearch.com/industry-analysis/healthcare-additive-manufacturing-market

The growing success of additive manufacturing is due to its benefits over conventional manufacturing methods. Some of the benefits include the application of advanced technology use of a wide range of materials like metal, plastics, and polymers flexibility in design build speed dimensional accuracy and its ability to produce complex parts/geometry, such as cooling channels and honeycomb structure. Production of implants and prosthetics is the largest application for additive manufacturing in the healthcare industry.

There is an increasing demand for orthopedic procedures, such as knee & hip replacements, due to the increasing geriatric population. Moreover, the increasing application of dental implants along with a growing need for prosthetics is another key factor expected to drive the market. North America and Europe were the leading regional markets in 2020. This growth was attributed to extensive R&D, advanced healthcare system, and the presence of leading 3D printing machinery manufacturers & material suppliers in these regions.

Additive manufacturing is playing a significant role in the fight against COVID-19 by compensating for the shortage of medical supplies by speeding up the manufacturing process. This will drive the growth of the market over the forecast period. However, stringent regulatory approvals associated with medical devices might hinder the growth.

Grand View Research has segmented the global healthcare additive manufacturing market on the basis of technology, application, material, and region:

  • Healthcare Additive Manufacturing Technology Outlook (Revenue, USD Million, 2016 - 2028)
    • Stereolithography
    • Deposition Modeling
    • Electron Beam Melting
    • Laser Sintering
    • Jetting Technology
    • Laminated Object Manufacturing
    • آحرون
    • Medical Implants
    • Prosthetics
    • Wearable Devices
    • Tissue Engineering
    • آحرون
    • Metals & Alloys
    • البوليمرات
    • Biological Cells
    • آحرون
    • شمال امريكا
      • U.S.
      • كندا
      • U.K.
      • ألمانيا
      • إسبانيا
      • فرنسا
      • إيطاليا
      • الصين
      • الهند
      • اليابان
      • Australia
      • كوريا الجنوبية
      • Brazil
      • المكسيك
      • الأرجنتين
      • Colombia
      • South Africa
      • Saudi Arabia
      • UAE

      List of Key Players of Healthcare Additive Manufacturing Market

      • GE Additive (General Electric)
      • 3D Systems, Inc.
      • EnvisionTEC GmbH
      • RegenHU
      • Allevi, Inc.
      • EOS GmbH (Electro Optical Systems)
      • Materialise N.V.
      • Stratasys Ltd.
      • Nanoscribe GmbH
      • GPI Prototype and Manufacturing Services, LLC.

      Find more research reports on Medical Devices Industry, by Grand View Research:

        – The global 3D printing market size was valued at USD 11.58 billion in 2019 and is expected to expand at a CAGR exceeding 14% from 2020 to 2027. Globally, 1.42 million units of 3D printers were shipped in 2018 and this number is expected to reach 8.04 million units by 2027. – The global restorative dentistry market size was valued at USD 14.59 billion in 2016 and is expected to grow at a CAGR of 6.7% during the forecast period. – The global prosthetics and orthotics market size was estimated at USD 5.9 billion in 2019 and is expected to exhibit a CAGR of 4.6% during the forecast period.

      Gain access to Grand View Compass, our BI enabled intuitive market research database of 10,000+ reports


      6.4: More Factoring Methods

      Here are the steps required for Solving Quadratics by Factoring:

      الخطوة 1: Write the equation in the correct form. To be in the correct form, you must remove all parentheses from each side of the equation by distributing, combine all like terms, and finally set the equation equal to zero with the terms written in descending order.
      الخطوة 2: Use a factoring strategies to factor the problem.
      الخطوه 3: Use the Zero Product Property and set each factor containing a variable equal to zero.
      Step 4: Solve each factor that was set equal to zero by getting the x on one side and the answer on the other side.

      مثال 1 &ndash Solve: x 2 + 16 = 10x

      مثال 2 &ndash Solve: 18x 2 – 3x = 6

      مثال 3 &ndash Solve: 50x 2 = 72

      مثال 4 &ndash Solve: x(2x – 1) = 3

      مثال 5 &ndash Solve: (x + 3)(x – 5) = 𔃅


      How do I add a multi-factor authentication (MFA) method to my ID.me account?

      You can set up one or more multi-factor authentication (MFA) options on your ID.me account for extra layers of security. When more than one MFA method is added to your ID.me account, you can select the one you want to use each time you sign in.

      To add MFA options to your account:

      • Sign into your ID.me My Account page .
      • انقر على Sign in and Security التبويب.
      • في ال Securing your account section below, you will see all available MFA options, including one(s) you have already set up. Just click Set Up to add one.

      In the example below, the user has set up two different MFA options: Text Message or Phone Call و Code Generator. At sign-in, the user can select either option, provided that both of those methods are accepted at the partner website.


      Use of Present Value Annuity Factor Formula

      The present value annuity factor is used for simplifying the process of calculating the present value of an annuity. A table is used to find the present value per dollar of cash flows based on the number of periods and rate per period. Once the value per dollar of cash flows is found, the actual periodic cash flows can be multiplied by the per dollar amount to find the present value of the annuity.

      For example, an individual is wanting to calculate the present value of a series of $500 annual payments for 5 years based on a 5% rate. By looking at a present value annuity factor table, the annuity factor for 5 years and 5% rate is 4.3295. This is the present value per dollar received per year for 5 years at 5%. Therefore, $500 can then be multiplied by 4.3295 to get a present value of $2164.75.


      شاهد الفيديو: Faktorisering Stap 1: Haal iets uit (شهر نوفمبر 2021).