مقالات

2.6: أنواع أخرى من المعادلات - الرياضيات


أهداف التعلم

  • حل المعادلات التي تتضمن الأسس المنطقية.
  • حل المعادلات باستخدام التحليل.
  • حل المعادلات الجذرية.
  • حل معادلات القيمة المطلقة.
  • حل أنواع المعادلات الأخرى.

لقد حللنا المعادلات الخطية والمعادلات المنطقية والمعادلات التربيعية باستخدام عدة طرق. ومع ذلك ، هناك العديد من أنواع المعادلات الأخرى ، وسنبحث في أنواع قليلة أخرى في هذا القسم. سننظر في المعادلات التي تتضمن الأسس المنطقية والمعادلات متعددة الحدود والمعادلات الجذرية ومعادلات القيمة المطلقة والمعادلات في شكل تربيعي وبعض المعادلات المنطقية التي يمكن تحويلها إلى معادلات تربيعية. ومع ذلك ، فإن حل أي معادلة يستخدم نفس القواعد الجبرية الأساسية. سوف نتعلم بعض التقنيات الجديدة لأنها تنطبق على معادلات معينة ، لكن الجبر لا يتغير أبدًا.

حل المعادلات التي تشمل الأسس المنطقية

الأسس المنطقية هي أسس هي كسور ، حيث يكون البسط قوة والمقام جذرًا. على سبيل المثال ، تعد ({16} ^ { tfrac {1} {2}} ) طريقة أخرى للكتابة ( sqrt {16} )؛ (8 ^ { tfrac {1} {3}} ) هي طريقة أخرى للكتابة ( sqrt [3] {8} ). تعد القدرة على العمل مع الأسس المنطقية مهارة مفيدة ، لأنها قابلة للتطبيق بشكل كبير في حساب التفاضل والتكامل.

يمكننا حل المعادلات التي يتم فيها رفع المتغير إلى الأس الكسري برفع كلا طرفي المعادلة إلى مقلوب الأس. سبب رفعنا للمعادلة إلى مقلوب الأس هو أننا نريد حذف الأس على المصطلح المتغير ، ورقم مضروبًا في المقلوب يساوي (1 ). على سبيل المثال،

[ dfrac {2} {3} left ( dfrac {3} {2} right) = 1 nonumber ]

[3 left ( dfrac {1} {3} right) = 1 ، nonumber ]

وما إلى ذلك وهلم جرا.

الاستحقاقات المنطقية

أ الأس العقلاني يشير إلى قوة في البسط وجذر في المقام. هناك عدة طرق لكتابة تعبير أو متغير أو رقم بأس نسبي:

[a ^ { tfrac {m} {n}} = { left (a ^ { tfrac {1} {n}} right)} ^ m = {a ^ m} ^ { tfrac {1} {n}} = sqrt [n] {a ^ m} = {( sqrt [n] {a})} ^ m ]

مثال ( PageIndex {1} ): تقييم رقم مرفوع إلى أس عقلاني

تقييم (8 ^ { tfrac {2} {3}} )

حل

يعتمد ما إذا كنا نأخذ الجذر أولاً أو القوة أولاً على الرقم. من السهل العثور على الجذر التكعيبي لـ (8 ) ، لذا أعد كتابة (8 ^ { tfrac {2} {3}} ) كـ ({ left (8 ^ { tfrac {1} {3) }} right)} ^ 2 ).

[ start {align *} { left (8 ^ { tfrac {1} {3}} right)} ^ 2 & = {(2)} ^ 2 & = 4 end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {1} )

تقييم ({64} ^ {- tfrac {1} {3}} )

إجابه

( dfrac {1} {4} )

مثال ( PageIndex {2} ): حل المعادلة التي تتضمن متغيرًا مرفوعًا إلى أس عقلاني

حل المعادلة التي يتم فيها رفع المتغير إلى الأس الكسري: (x ^ { tfrac {5} {4}} = 32 ).

حل

تتمثل طريقة إزالة الأس على (x ) في رفع كلا طرفي المعادلة إلى قوة مقلوبة لـ ( dfrac {5} {4} ) ، وهي ( dfrac {4} {5} ).

[ begin {align *} x ^ { tfrac {5} {4}} & = 32 { left (x ^ { tfrac {5} {4}} right)} ^ { tfrac { 4} {5}} & = { left (32 right)} ^ { tfrac {4} {5}} x & = (2) ^ 4 & = 16 end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {2} )

حل المعادلة (x ^ { tfrac {3} {2}} = 125 ).

إجابه

(25)

مثال ( PageIndex {3} ): حل معادلة تتضمن الأسس المنطقية والعوامل

حل (3x ^ { tfrac {3} {4}} = x ^ { tfrac {1} {2}} ).

حل

تتضمن هذه المعادلة الأسس المنطقية بالإضافة إلى تحليل الأسس المنطقية. دعونا نتخذ هذه خطوة واحدة في كل مرة. أولاً ، ضع الحدود المتغيرة على جانب واحد من علامة التساوي واضبط المعادلة على صفر.

[ begin {align *} 3x ^ { tfrac {3} {4}} - left (x ^ { tfrac {1} {2}} right) & = x ^ { tfrac {1} { 2}} - left (x ^ { tfrac {1} {2}} right) 3x ^ { tfrac {3} {4}} - x ^ { tfrac {1} {2}} & = 0 النهاية {محاذاة *} ]

الآن ، يبدو أننا يجب أن نحلل الطرف الأيسر ، لكن ما الذي نستخلصه؟ يمكننا دائمًا تحليل الحد ذي الأس الأقل. أعد كتابة (x ^ { tfrac {1} {2}} ) بالشكل (x ^ { tfrac {2} {4}} ). بعد ذلك ، أخرج العامل (x ^ { tfrac {2} {4}} ) من كلا المصطلحين على اليسار.

[ begin {align *} 3x ^ { tfrac {3} {4}} - x ^ { tfrac {1} {2}} & = 0 x ^ { tfrac {2} {4}} left (3x ^ { tfrac {1} {4}} - 1 right) & = 0 end {align *} ]

من أين أتت (x ^ { tfrac {1} {4}} )؟ تذكر أنه عندما نضرب عددين لهما نفس الأساس ، نجمع الأسس. لذلك ، إذا ضربنا (x ^ { tfrac {2} {4}} ) مرة أخرى باستخدام خاصية التوزيع ، فسنحصل على التعبير الذي كان لدينا قبل التحليل ، وهو ما يجب أن يحدث. نحتاج إلى أس بحيث عند إضافته إلى ( dfrac {2} {4} ) يساوي ( dfrac {3} {4} ). وبالتالي ، فإن الأس الموجود في (x ) بين القوسين هو ( dfrac {1} {4} ).

فلنواصل. الآن لدينا عاملين ويمكننا استخدام نظرية العامل الصفري.

[ ابدأ {محاذاة *}
x ^ { tfrac {2} {4}} left (3x ^ { tfrac {1} {4}} - 1 right) & = 0
x ^ { tfrac {2} {4}} & = 0
س & = 0
3x ^ { tfrac {1} {4}} - 1 & = 0
3x ^ { tfrac {1} {4}} & = 1
x ^ { tfrac {1} {4}} & = dfrac {1} {3}، qquad text {قسّم كلا الجانبين على 3.}
{ left (x ^ { tfrac {1} {4}} right)} ^ 4 & = { left ( dfrac {1} {3} right)} ^ 4 ، qquad text {رفع كلا الجانبين إلى متبادل} dfrac {1} {4}
س & = dfrac {1} {81}
النهاية {محاذاة *} ]

الحلان هما (0 ) و ( dfrac {1} {81} ).

تمرين ( PageIndex {3} )

حل: ({ left (x + 5 right)} ^ { tfrac {3} {2}} = 8 ).

إجابه

(-1)

حل المعادلات باستخدام التحليل

لقد استخدمنا التحليل إلى عوامل لحل المعادلات التربيعية ، لكنها تقنية يمكننا استخدامها مع العديد من أنواع المعادلات متعددة الحدود ، وهي معادلات تحتوي على سلسلة من المصطلحات بما في ذلك المعاملات العددية والمتغيرات. عندما نواجه معادلة تحتوي على كثيرات حدود بدرجة أعلى من (2 ) ، يمكننا غالبًا حلها عن طريق التحليل.

معادلات متعددة الحدود

تعد كثيرة الحدود للدرجة (n ) تعبيرًا عن النوع

[a_nx ^ n + a_ {n − 1} x ^ {n − 1} + ⋅⋅⋅ + a_2x ^ 2 + a_1x + a_0 ]

حيث (n ) عدد صحيح موجب و (a_n، ...، a_0 ) أرقام حقيقية و (a_n ≠ 0 ).

جعل كثير الحدود يساوي صفرًا يعطينا a معادلة كثيرة الحدود. العدد الإجمالي للحلول (الحقيقية والمعقدة) لمعادلة كثيرة الحدود يساوي أعلى الأس (n ).

مثال ( PageIndex {4} ): حل كثير الحدود عن طريق التحليل

حل كثير الحدود بالتحليل إلى عوامل: (5x ^ 4 = 80x ^ 2 ).

حل

أولاً ، ضع المعادلة مساوية للصفر. ثم حلل ما هو مشترك بين كلا المصطلحين ، العامل المشترك الأكبر.

[ begin {align *} 5x ^ 4-80x ^ 2 & = 0 5x ^ 2 (x ^ 2-16) & = 0 end {align *} ]

لاحظ أن لدينا فرق المربعات في العامل (x ^ 2−16 ) ، والذي سنستمر في تحليله ونحصل على حلين. يولد المصطلح الأول ، (5x ^ 2 ) ، تقنيًا ، حلين لأن الأس هو (2 ) ، لكنهما نفس الحل.

[ start {align *} 5x ^ 2 & = 0 x & = 0 x ^ 2-16 & = 0 (x + 4) (x-4) & = 0 x & = 4 x & = -4 النهاية {محاذاة *} ]

الحلول هي (0 ) (حل مزدوج) و (4 ) و (- 4 ).

تحليل

يمكننا رؤية الحلول على الرسم البياني في الشكل ( PageIndex {1} ). إحداثيات x للنقاط التي يتقاطع فيها الرسم البياني مع (x ) - المحور هي الحلول — التقاطع (x ). لاحظ على الرسم البياني أنه عند الحل (0 ) ، يلامس الرسم المحور (س ) - ويرجع للخلف. لا يعبر محور (س ). هذا هو الحال بالنسبة للحلول المزدوجة.

تمرين ( PageIndex {4} )

حل بالتحليل إلى عوامل: (12x ^ 4 = 3x ^ 2 ).

إجابه

(س = 0 ، س = 12 ، س = -12 )

مثال ( PageIndex {5} ): حل كثير الحدود بالتجميع

حل كثير الحدود بتجميع: (x ^ 3 + x ^ 2−9x − 9 = 0 ).

حل

يتكون هذا كثير الحدود من (4 ) حدود ، والتي يمكننا حلها عن طريق التجميع. تتطلب إجراءات التجميع تحليل المصطلحين الأولين ثم تحليل المصطلحين الأخيرين. إذا كانت العوامل الموجودة بين الأقواس متطابقة ، فيمكننا متابعة العملية وحلها ، ما لم يتم اقتراح المزيد من العوملة.

[ start {align *} x ^ 3 + x ^ 2-9x-9 & = 0 x ^ 2 (x + 1) -9 (x + 1) & = 0 (x ^ 2-9) (س + 1) & = 0 نهاية {محاذاة *} ]

تنتهي عملية التجميع هنا ، حيث يمكننا تحليل (x ^ 2−9 ) باستخدام صيغة فرق المربعات.

[ start {align *} (x ^ 2-9) (x + 1) & = 0 (x-3) (x + 3) (x + 1) & = 0 x & = 3 x & = -3 x & = -1 end {align *} ]

الحلول هي (3 ) و (- 3 ) و (- 1 ). لاحظ أن أعلى الأس هو (3 ) وحصلنا على (3 ) حلول. يمكننا رؤية الحلول ، تقاطعات x ، على الرسم البياني في الشكل ( PageIndex {2} ).

تحليل

نظرنا في حل المعادلات التربيعية بالتحليل عندما يكون المعامل الرئيسي (1 ). عندما لا يكون المعامل الرئيسي (1 ) ، فإننا نحلها عن طريق التجميع. يتطلب التجميع أربعة مصطلحات حصلنا عليها عن طريق تقسيم المصطلح الخطي للمعادلات التربيعية. يمكننا أيضًا استخدام التجميع لبعض كثيرات الحدود من الدرجة الأعلى من (2 ) ، كما رأينا هنا ، نظرًا لوجود أربعة حدود بالفعل.

حل المعادلات الجذرية

المعادلات الجذرية هي المعادلات التي تحتوي على متغيرات في الجذور (التعبير تحت رمز جذري) ، مثل

[ sqrt {3x + 18} = x nonumber ]

[ sqrt {x + 3} = x-3 nonumber ]

[ sqrt {x + 5} - sqrt {x-3} = 2 nonumber ]

قد تحتوي المعادلات الجذرية على مصطلح جذري واحد أو أكثر ، ويتم حلها عن طريق إزالة كل جذري واحدًا تلو الآخر. يجب أن نكون حذرين عند حل المعادلات الجذرية ، لأنه ليس من غير المعتاد إيجادها حلول دخيلة، الجذور التي ليست في الواقع حلول للمعادلة. هذه الحلول ليست ناتجة عن خطأ في طريقة الحل ، ولكنها ناتجة عن عملية رفع كلا طرفي المعادلة إلى قوة. ومع ذلك ، فإن التحقق من كل إجابة في المعادلة الأصلية سيؤكد الحلول الحقيقية.

معادلات جذرية

المعادلة التي تحتوي على مصطلحات ذات متغير في الجذر تسمى أ معادلة جذرية.

Howto: إعطاء معادلة جذرية ، قم بحلها

  1. افصل التعبير الجذري على أحد جانبي علامة التساوي. ضع كل الشروط المتبقية على الجانب الآخر.
  2. إذا كان الجذر هو الجذر التربيعي ، فربِّع طرفي المعادلة. إذا كان جذرًا تكعيبيًا ، ارفع كلا طرفي المعادلة للقوة الثالثة. بمعنى آخر ، بالنسبة لجذر الجذر (n ^ {th} ) ، ارفع كلا الجانبين إلى (n ^ {th} ) قوة. القيام بذلك يزيل الرمز الجذري.
  3. حل المعادلة المتبقية.
  4. في حالة استمرار وجود مصطلح جذري ، كرر الخطوات من 1 إلى 2.
  5. أكد الحلول بالتعويض بها في المعادلة الأصلية.

مثال ( PageIndex {6} ): حل معادلة بجذر واحد

حل ( sqrt {15−2x} = x ).

حل

الجذر معزول بالفعل على الجانب الأيسر من الضلع المتساوي ، لذا تابع لتربيع كلا الجانبين.

[ begin {align *} sqrt {15-2x} & = x { left ( sqrt {15-2x} right)} ^ 2 & = {(x)} ^ 2 15-2x & = س ^ 2 نهاية {محاذاة *} ]

نرى أن المعادلة المتبقية هي تربيعية. اجعلها تساوي صفرًا وحلها.

[ begin {align *} 0 & = x ^ 2 + 2x-15 0 & = (x + 5) (x-3) x & = -5 x & = 3 end {align *} ]

الحلول المقترحة هي (- 5 ) و (3 ). دعونا نتحقق من كل حل في المعادلة الأصلية مرة أخرى. أولاً ، تحقق من (x = −5 ).

[ begin {align *} sqrt {15-2x} & = x sqrt {15-2 (-5)} & = - 5 sqrt {25} & = -5 5 & neq -5 end {محاذاة *} ]

هذا حل غريب. بينما لم يتم ارتكاب أي خطأ في حل المعادلة ، وجدنا حلاً لا يتوافق مع المعادلة الأصلية.

تحقق من (س = 3 ).

[ start {align *} sqrt {15-2x} & = x sqrt {15-2 (3)} & = 3 sqrt {9} & = 3 3 & = 3 end {محاذاة *} ]

الحل هو (3 ).

تمرين ( PageIndex {5} )

حل المعادلة الجذرية: ( sqrt {x + 3} = 3x-1 )

إجابه

(x = 1 ) ، محلول غريب (x = - dfrac {2} {9} )

مثال ( PageIndex {7} ): حل معادلة جذرية تحتوي على جذرين

حل ( sqrt {2x + 3} + sqrt {x-2} = 4 )

حل

بما أن هذه المعادلة تحتوي على جذرين ، فإننا نعزل جذريًا واحدًا ، ونزيله ، ثم نعزل الجذر الثاني.

[ sqrt {2x + 3} + sqrt {x-2} = 4 nonumber ]

[ begin {align *} sqrt {2x + 3} & = 4- sqrt {x-2} qquad text {Subtract} sqrt {x-2} text {from both sides} { left ( sqrt {2x + 3} right)} ^ 2 & = { left (4- sqrt {x-2} right)} ^ 2 qquad text {Square both sides} end {align * } ]

استخدم صيغة المربع الكامل لتوسيع الجانب الأيمن: ({(a − b)} ^ 2 = a ^ 2−2ab + b ^ 2 ).

[ begin {align *} 2x + 3 & = {(4)} ^ 2-2 (4) sqrt {x-2} + {( sqrt {x-2})} ^ 2 2x + 3 & = 16-8 sqrt {x-2} + (x-2) 2x + 3 & = 14 + x-8 sqrt {x-2} qquad text {دمج المصطلحات المتشابهة} x-11 & = -8 sqrt {x-2} qquad text {عزل الجذر الثاني} {(x-11)} ^ 2 & = {(-8 sqrt {x-2})} ^ 2 qquad text {تربيع كلا الجانبين} x ^ 2-22x + 121 & = 64 (x-2) end {align *} ]

الآن بعد أن تم استبعاد كلا الجذرين ، ساوي المعادلة التربيعية بالصفر وحل.

[ start {align *} x ^ 2-22x + 121 & = 64x-128 x ^ 2-86x + 249 & = 0 (x-3) (x-83) & = 0 x & = 3 x & = 83 end {align *} ]

الحلول المقترحة هي (3 ) و (83 ). افحص كل حل في المعادلة الأصلية.

[ start {align *} sqrt {2x + 3} + sqrt {x-2} & = 4 sqrt {2x + 3} & = 4- sqrt {x-2} sqrt {2 (3) +3} & = 4- sqrt {(3) -2} sqrt {9} & = 4- sqrt {1} 3 & = 3 end {align *} ]

أحد الحلول هو (3 ).

تحقق من (س = 83 ).

[ start {align *} sqrt {2x + 3} + sqrt {x-2} & = 4 sqrt {2x + 3} & = 4- sqrt {x-2} sqrt {2 (83) +3} & = 4- sqrt {(83) -2} sqrt {169} & = 4- sqrt {81} 13 & neq -5 end {align *} ]

الحل الوحيد هو (3 ). نرى أن (x = 83 ) حل غريب.

تمرين ( PageIndex {6} )

حل المعادلة بجذرين: ( sqrt {3x + 7} + sqrt {x + 2} = 1 )

إجابه

(س = −2 ) ، محلول غريب (س = −1 )

حل معادلة القيمة المطلقة

بعد ذلك ، سوف نتعلم كيفية حل معادلة القيمة المطلقة. لحل معادلة مثل (| 2x − 6 | = 8 ) ، نلاحظ أن القيمة المطلقة ستكون مساوية لـ (8 ) إذا كانت الكمية داخل أشرطة القيمة المطلقة هي (8 ) أو ( −8 ). يؤدي هذا إلى معادلتين مختلفتين يمكننا حلهما بشكل مستقل.

[ start {align *} 2x-6 & = 8 2x & = 14 x & = 7 end {align *} ]

أو

[ begin {align *} 2x-6 & = -8 2x & = -2 x & = -1 end {align *} ]

من المفيد معرفة كيفية حل المشكلات التي تتضمن وظائف القيمة المطلقة. على سبيل المثال ، قد نحتاج إلى تحديد الأرقام أو النقاط على خط تقع على مسافة محددة من نقطة مرجعية معينة.

معادلات القيمة المطلقة

تتم كتابة القيمة المطلقة لـ (x ) كـ (| x | ). لها الخصائص التالية:

إذا كان (x≥0 ) ، ثم (| x | = x ). إذا كان (x <0 ) ، ثم (x = −x ).

للأرقام الحقيقية (A ) و (B ) ، معادلة النموذج (| A | = B ) ، مع (B≥0 ) ، سيكون لها حلول عندما (A = B ) أو (A = −B ). إذا كان (B <0 ) ، فإن المعادلة (| A | = B ) ليس لها حل.

ان معادلة القيمة المطلقة بالصيغة (| ax + b | = c ) الخصائص التالية:

  • إذا كان (c <0 ) ، (| ax + b | = c ) ليس له حل.
  • إذا كان (ج = 0 ) ، (| فأس + ب | = ج ) حل واحد.
  • إذا كان (c> 0 ) ، (| ax + b | = c ) له حلين.

كيف

حلها باستخدام معادلة القيمة المطلقة.

  1. افصل تعبير القيمة المطلقة على أحد جانبي علامة التساوي.
  2. إذا (c> 0 ) ، اكتب وحل معادلتين: (ax + b = c ) و (ax + b = −c ).

مثال ( PageIndex {8} ): حل معادلات القيمة المطلقة

حل معادلات القيمة المطلقة التالية:

  1. (| 6 س + 4 | = 8 )
  2. (| 3 س + 4 | = −9 )
  3. (| 3 س − 5 | −4 = 6 )
  4. (| 5 س + 10 | = 0 )

حل

  1. (| 6 س + 4 | = 8 )

اكتب معادلتين وحل كل منهما:

[ begin {align *} 6x + 4 & = 8 6x & = 4 x & = dfrac {2} {3} end {align *} ]

أو

[ begin {align *} 6x + 4 & = -8 6x & = -12 x & = -2 end {align *} ]

الحلان هما ( dfrac {2} {3} ) و (- 2 ).

  1. (| 3 س + 4 | = −9 )

لا يوجد حل لأن القيمة المطلقة لا يمكن أن تكون سالبة.

  1. (| 3 س − 5 | −4 = 6 )

افصل تعبير القيمة المطلقة ثم اكتب معادلتين.

[ start {align *} | 3x-5 | -4 & = 6 | 3x-5 | & = 10 3x-5 & = 10 3x & = 15 x & = 5 end {align *} ]

أو

[ begin {align *} 3x-5 & = -10 3x = -5 x = dfrac {5} {3} end {align *} ]

هناك حلان: (5 ) و (- dfrac {5} {3} ).

  1. (| 5 س + 10 | = 0 )

تم تعيين المعادلة مساوية للصفر ، لذلك علينا كتابة معادلة واحدة فقط.

[ begin {align *} -5x + 10 & = 0 -5x & = -10 x & = 2 end {align *} ]

يوجد حل واحد: (2 ).

تمرين ( PageIndex {7} )

حل معادلة القيمة المطلقة: (| 1−4x | + 8 = 13 ).

إجابه

(س = ،1 ، س = dfrac {3} {2} )

حل أنواع المعادلات الأخرى

هناك العديد من أنواع المعادلات الأخرى بالإضافة إلى المعادلات التي ناقشناها حتى الآن. سنرى المزيد منهم في جميع أنحاء النص. هنا ، سنناقش المعادلات التي تكون في شكل تربيعي ، والمعادلات المنطقية التي ينتج عنها تربيعية.

حل المعادلات في صيغة تربيعية

المعادلات في شكل تربيعي هي معادلات ذات ثلاثة حدود. الحد الأول له قوة أخرى غير (2 ). الحد الأوسط له أس يساوي نصف أس المصطلح الرئيسي. الحد الثالث ثابت. يمكننا حل المعادلات بهذه الصورة كما لو كانت تربيعية. تتضمن بعض الأمثلة على هذه المعادلات (x ^ 4−5x ^ 2 + 4 = 0 ) و (x ^ 6 + 7x ^ 3−8 = 0 ) و (x ^ { tfrac {2} {3}} + 4x ^ { tfrac {1} {3}} + 2 = 0 ). في كل واحدة ، مضاعفة الأس للحد الأوسط يساوي الأس على المصطلح الرئيسي. يمكننا حل هذه المعادلات بالتعويض عن الحد الأوسط بمتغير.

الشكل التربيعي

إذا كان الأس على الحد الأوسط هو نصف الأس على الحد الأول ، فلدينا معادلة في شكل تربيعي، والتي يمكننا حلها كما لو كانت تربيعية. نعوض بمتغير الحد الأوسط لحل المعادلات في الصورة التربيعية.

Howto: إعطاء معادلة تربيعية في الشكل ، حلها

  1. حدد الأس على الحد الأول وحدد ما إذا كان يمثل ضعف الأس على الحد الأوسط.
  2. إذا كان الأمر كذلك ، فاستبدل متغيرًا ، مثل (u ) ، بالجزء المتغير من الحد الأوسط.
  3. أعد كتابة المعادلة بحيث تأخذ الشكل القياسي للمعادلة التربيعية.
  4. حل باستخدام إحدى الطرق المعتادة لحل المعادلة التربيعية.
  5. استبدل متغير الاستبدال بالمصطلح الأصلي.
  6. حل المعادلة المتبقية.

مثال ( PageIndex {9} ): حل معادلة من الدرجة الرابعة في صيغة تربيعية

حل معادلة الدرجة الرابعة هذه: (3x ^ 4−2x ^ 2−1 = 0 ).

حل

تتناسب هذه المعادلة مع المعايير الرئيسية ، وهي أن القوة على المصطلح الرئيسي هي ضعف القوة على المدى المتوسط. بعد ذلك ، سنعوض عن الحد المتغير في المنتصف. دعونا (u = x ^ 2 ). أعد كتابة المعادلة في (u ).

[3u ^ 2−2u − 1 = 0 بدون رقم ]

حل المعادلة التربيعية الآن.

[ start {align *} 3u ^ 2-2u-1 & = 0 (3u + 1) (u-1) & = 0 end {align *} ]

حل كل عامل واستبدل المصطلح الأصلي لـ (u ).

[ begin {align *} 3u + 1 & = 0 3u & = -1 u & = - dfrac {1} {3} x ^ 2 & = - dfrac {1} {3} x & = pm i sqrt { dfrac {1} {3}} u-1 & = 0 u & = 1 x ^ 2 & = 1 x & = pm 1 end {align *} ]

الحلول هي (x = ± i sqrt { dfrac {1} {3}} ) و (x = ± 1 )

تمرين ( PageIndex {8} )

حل باستخدام التعويض: (x ^ 4−8x ^ 2−9 = 0 ).

إجابه

(س = ،3،3 ، −i ، أنا )

مثال ( PageIndex {10} ): حل معادلة في صيغة تربيعية تحتوي على ذي حدين

حل المعادلة بالصيغة التربيعية: ({(x + 2)} ^ 2 + 11 (x + 2) −12 = 0 ).

حل

تحتوي هذه المعادلة على ذات الحدين بدلاً من المتغير الفردي. الاتجاه هو توسيع ما يتم تقديمه. ومع ذلك ، فإن إدراك أنها تناسب معايير كونها في شكل تربيعي يُحدث كل الاختلاف في عملية الحل. أولاً ، قم بإجراء استبدال ، مع ترك (u = x + 2 ). ثم أعد كتابة المعادلة في (u ).

[ start {align *} u ^ 2 + 11u-12 & = 0 (u + 12) (u-1) & = 0 end {align *} ]

حل باستخدام خاصية الصفر ثم استبدل (u ) بالتعبير الأصلي.

[ start {align *} u + 12 & = 0 u & = -12 x + 2 & = -12 x & = -14 end {align *} ]

ينتج العامل الثاني في

[ start {align *} u-1 & = 0 u & = 1 x + 2 & = 1 x & = -1 end {align *} ]

لدينا حلين: (- 14 ) و (- 1 ).

تمرين ( PageIndex {9} )

حل: ({(x − 5)} ^ 2−4 (x − 5) −21 = 0 ).

إجابه

(س = 2 ، س = 12 )

حل المعادلات المنطقية الناتجة في تربيعية

في وقت سابق ، حللنا المعادلات المنطقية. في بعض الأحيان ، ينتج عن حل المعادلة المنطقية تربيعية. عندما يحدث هذا ، نواصل الحل عن طريق تبسيط المعادلة التربيعية بإحدى الطرق التي رأيناها. قد يتبين أنه لا يوجد حل.

مثال ( PageIndex {11} ): حل معادلة عقلانية تؤدي إلى تربيع

حل المعادلة المنطقية التالية: ( dfrac {-4x} {x-1} + dfrac {4} {x + 1} = dfrac {-8} {x ^ 2-1} )

حل

نريد جميع القواسم في شكل عامل لإيجاد LCD. لا يمكن تحليل اثنين من المقامات إلى عوامل أخرى. ومع ذلك ، (x ^ 2−1 = (x + 1) (x − 1) ). إذن ، شاشة LCD هي ((x + 1) (x − 1) ). بعد ذلك ، نضرب المعادلة بأكملها في شاشة LCD.

[ begin {align *} (x + 1) (x-1) left ( dfrac {-4x} {x-1} + dfrac {4} {x + 1} right) & = left ( dfrac {-8} {x ^ 2-1} right) (x + 1) (x-1) -4x (x + 1) +4 (x-1) & = -8 - 4x ^ 2-4x + 4x-4 & = -8 -4x ^ 2 + 4 & = 0
-4 (x ^ 2-1) & = 0 -4 (x + 1) (x-1) & = 0 x & = -1 x & = 1 end {align *} ]

في هذه الحالة ، ينتج أي من الحلين صفرًا في المقام في المعادلة الأصلية. وبالتالي ، لا يوجد حل.

تمرين ( PageIndex {10} )

حل ( dfrac {3x + 2} {x-2} + dfrac {1} {x} = dfrac {-2} {x ^ 2-2x} )

إجابه

(x = −1، x = 0 ) ليس حلاً.

وسائط

قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية مع أنواع مختلفة من المعادلات.

  1. معادلة منطقية بدون حل
  2. حل المعادلات ذات الأسس المنطقية باستخدام قوى مقلوبة
  3. حل المعادلات الجذرية الجزء 1 من 2
  4. حل المعادلات الجذرية الجزء 2 من 2

المفاهيم الرئيسية

  • يمكن إعادة كتابة الأس المنطقي بعدة طرق اعتمادًا على ما هو أكثر ملاءمة للمسألة. للحل ، يتم رفع كلا طرفي المعادلة إلى قوة تجعل الأس على المتغير يساوي (1 ). انظر مثال ومثال ومثال.
  • يمتد التحليل إلى كثيرات الحدود ذات الترتيب الأعلى عندما يتضمن تحليل العامل المشترك الأكبر أو التحليل إلى عوامل بالتجميع. انظر المثال والمثال.
  • يمكننا حل المعادلات الجذرية بعزل الجذر ورفع كلا طرفي المعادلة لقوة تطابق الفهرس. انظر المثال والمثال.
  • لحل معادلات القيمة المطلقة ، علينا كتابة معادلتين ، واحدة للقيمة الموجبة والأخرى للقيمة السالبة. انظر المثال.
  • من السهل تحديد المعادلات في شكل تربيعي ، حيث أن الأس في الحد الأول هو ضعف الأس في الحد الثاني والحد الثالث ثابت. قد نرى أيضًا ذات الحدين بدلاً من المتغير الفردي. نستخدم التعويض في الحل. انظر المثال والمثال.
  • قد يؤدي حل معادلة عقلانية أيضًا إلى معادلة تربيعية أو معادلة في شكل تربيعي. انظر المثال.

المعادلة التفاضلية العشوائية

أ المعادلة التفاضلية العشوائية (SDE) هي معادلة تفاضلية يكون فيها واحد أو أكثر من المصطلحات عملية عشوائية ، مما يؤدي إلى حل وهو أيضًا عملية عشوائية. تُستخدم SDEs لنمذجة ظواهر مختلفة مثل أسعار الأسهم غير المستقرة أو الأنظمة الفيزيائية الخاضعة للتقلبات الحرارية. عادةً ما تحتوي SDEs على متغير يمثل ضوضاء بيضاء عشوائية محسوبة كمشتق من الحركة البراونية أو عملية Wiener. ومع ذلك ، هناك أنواع أخرى من السلوك العشوائي ممكنة ، مثل عمليات القفز. المعادلات التفاضلية العشوائية مرتبطة بالمعادلات التفاضلية العشوائية. [1]


2.6: أنواع أخرى من المعادلات - الرياضيات

المعادلة عبارة عن جملة رياضية تحتوي على علامة يساوي. يخبرنا أن تعبيرين يعنيان نفس الشيء ، أو يمثلان نفس العدد. يمكن أن تحتوي المعادلة على متغيرات وثوابت. باستخدام المعادلات ، يمكننا التعبير عن الحقائق الرياضية في أشكال مختصرة يسهل تذكرها وحل المشكلات بسرعة.

فيما يلي العديد من الأمثلة على المعادلات. يمكنك التفكير في الحروف على أنها حاويات أو صناديق تحتوي على أرقام مختلفة.

3 ع + 2 = 14 س - 9 = 20 ص + 2 ص = 3

إن أهم مهارة يجب تطويرها في الجبر هي القدرة على ترجمة مشكلة كلمة إلى المعادلة الصحيحة ، بحيث يمكنك حل المشكلة بسهولة. لنجرب بعض الأمثلة:

العدد n في 3 يساوي 120.

هذا سهل تخبرك الكلمة & quottimes & quot أنه يجب عليك ضرب المتغير n في 3 ، وأن النتيجة تساوي 120. إليك كيفية كتابة هذه المعادلة:

هذا هو الأكثر تعقيدًا بعض الشيء.

عشرة دولارات كانت ثلثي إجمالي الأموال التي تم إنفاقها.

ما الذي نحاول أن نجده في هذا البيان؟ المبلغ غير المعروف هو إجمالي الأموال التي تم إنفاقها. لنسمي هذا م. نعلم أن عشرة دولارات تساوي ثلثي م ، لذا يمكننا كتابة المعادلة على النحو التالي:

عمل تيم لمدة 7 ساعات يوم السبت وقام بجز 3 مروج. كم من الوقت ، في المتوسط ​​، أمضى في كل حديقة؟

دع الحرف & quott & quot يمثلان متوسط ​​الوقت لكل حديقة ، القيمة غير المعروفة. بعد ذلك ، تمثل 3t وقت جز العشب الثلاثة ، ونعلم أن هذا يساوي 7 ساعات. يمكننا كتابة المعادلة على النحو التالي:


أنواع أنظمة الدرس - غير متناسقة ، تابعة ، مستقلة

يمكن عرض المعادلات جبريًا أو بيانياً. عادةً ما تكون المشكلة هي إيجاد حل لـ x و y يحقق كلا المعادلتين في وقت واحد. بيانياً ، يمثل هذا نقطة تتقاطع فيها الخطوط. هناك 3 نتائج محتملة لهذا (موضحة هنا باللون الأزرق والأخضر والأحمر):


قد لا يتقاطع الخطان على الإطلاق ، كما في

هذا يعني أن هناك لا توجد حلول، والنظام يسمى تتعارض.

إذا حاولت حل هذا النظام جبريًا ، فسوف ينتهي بك الأمر بشيء غير صحيح ، مثل 0 = 10.

عندما ينتهي بك الأمر بشيء غير صحيح ، يكون النظام غير متسق.


قد تكون المعادلتان في الواقع على نفس الخط ، كما في

هذه معادلات متكافئة. الخطوط هي في الواقع نفس الخط ، وهي "تتقاطع" عند عدد لا نهائي من النقاط (كل نقطة على الخط). في هذه الحالة ، هناك عدد لا نهائي من الحلول والنظام يسمى متكل.

إذا حاولت حل هذا النظام جبريًا ، فسوف ينتهي بك الأمر بشيء صحيح ، مثل 0 = 0.

عندما ينتهي بك الأمر بشيء صحيح ، فإن النظام يعتمد.



قد يتقاطع الخطان عند نقطة واحدة ، كما في

إذا حاولت حل هذا النظام جبريًا ، فسوف ينتهي بك الأمر بشيء يتضمن أحد المتغيرات ، مثل x = 10. في هذه الحالة ، هناك فقط حل واحد، والنظام يسمى مستقل.

عندما ينتهي بك الأمر بشيء يتضمن أحد المتغيرات ، مثل x = 10 ، يكون النظام مستقلاً.


فيما يلي بعض الجداول المفيدة للتعرف على نوع النظام الذي تتعامل معه.
يمكنك محاولة ممارسة المشاكل هنا.


أنواع مشاكل GMAT

يجب استخدام الحل بالتعويض عندما يمكن عزل متغير واحد بسهولة في إحدى المعادلتين. تذكر أن حل معادلتين هو حل تقاطعهما. وبالتالي ، يجب أن تجعل قيمتي x و y كلا المعادلتين صحيحين. ابدأ بحل المعادلة الأولى لمتغير واحد. سيشمل هذا & quotsolution & quot كلا من الحدود الثابتة والمتغير الآخر. عوّض بهذا الحل في المعادلة الثانية. حل المعادلة الثانية للمتغير الثاني. يجب أن يكون حل المتغير الثاني ثابتًا. عوّض بحل المتغير الثاني في المعادلة الأولى وحل من أجل المتغير الأول. لاختبار الحلول ، استبدلهما في إحدى المعادلتين وتأكد من صحة العبارة.

  1. حل المعادلة الأولى من أجل x.
    9 س + 6 ص = 30
    9 س = 30-6 ص
    س = (30-6 سنوات) / 9
  2. عوّض بحل x في المعادلة الثانية وحل من أجل y.
    6 س -4 ص = 4
    6 * ((30-6 سنوات) / 9) -4 ص = 4
    ((180-36y) / 9) -4y = 4
    (20-4 سنوات) -4 ص = 4
    -8 ص = -16
    ص = 2
  3. عوّض بحل y في المعادلة الأولى وحل من أجل x.
    9 س + 6 ص = 30
    9 س + 6 * 2 = 30
    9 س + 12 = 30
    9 س = 18
    س = 2
  4. تحقق من الإجابة بالتعويض عن x = 2 و y = 2 في المعادلة الأولى.
    9*2+6*2 = 30
    18+12 = 30
    30 = 30

يجب استخدام الحل بالطرح عندما تكون هناك طريقة سهلة لمعالجة المعادلتين عن طريق الضرب وينتهي الأمر بأحد المتغيرات التي لها نفس المعامل في كلتا المعادلتين. ابدأ بضرب المعادلتين بحيث يكون لمتغير واحد نفس المعامل في كلا المعادلتين (تجاهل الإشارة). اجمع أو اطرح المعادلتين بحيث يلغى المتغير الذي له نفس المعامل. حل المتغير المتبقي. أخيرًا ، استبدل حل المتغير بإحدى المعادلات الأصلية وحل المتغير المتبقي.

  1. اضرب المعادلة الأولى في 2 بحيث يكون لـ y معامل 6 في كلا المعادلتين.
    4 × 3 ص = 3
    الضرب في 2: 8x-6y = 6
  2. أضف المعادلة الجديدة بالمعادلة الثانية الأصلية وحل من أجل x.
    8 س -6 ص = 6
    + 2 س + 6 ص = 4
    10x = 10
    س = 1
  3. عوّض بحل x في المعادلة الأولى وحل من أجل y.
    4 × 3 ص = 3
    4 (1) -3 ص = 3
    -3 ص = -1
    ص = 1/3
  4. عوّض بالحلول في المعادلة الثانية للتحقق من الإجابة.
    2*1+6*(1/3) ?= 4
    2+(6/3) ?= 4
    2+2 ?= 4
    4=4
  5. س = 1 وص = 1/3

هذه العملية مشابهة جدًا لحل معادلتين. يمكن استخدام إما الاستبدال أو الطرح ، أو مزيج من الاثنين معًا. ومع ذلك ، بعد حل أحد المتغيرات ، يجب استبداله بكلتا المعادلتين الأخريين. بمجرد اكتمال هذا الاستبدال الأولي ، يتم تقليل المشكلة إلى نظام من معادلتين. بمجرد إيجاد الحلول لكل من المتغيرين في هذا النظام الجديد من معادلتين ، يمكن إيجاد المتغير النهائي عن طريق استبدال الحلين في أي من المعادلات الثلاث الأصلية.

  1. حل المعادلة الأولى من أجل x.
    x-y-z = 0
    س = ص + ض
  2. عوّض بحل x في المعادلتين الثانية والثالثة.
    3 * (y + z) + 4y + 3z = 4
    3y + 3z + 4y + 3z = 4
    7 ص + 6 ز = 4


2.6: أنواع أخرى من المعادلات - الرياضيات

تلعب المعادلات دورًا مهمًا في الرياضيات الحديثة وتشكل الأساس للنمذجة الرياضية للعديد من الظواهر والعمليات في العلوم والهندسة.

يقدم الموقع العلمي التعليمي الدولي EqWorld معلومات شاملة عن حلول لفئات مختلفة من المعادلات التفاضلية العادية والتفاضلية الجزئية والتكاملية والوظيفية وغيرها من المعادلات الرياضية. كما توضح بعض الطرق لحل المعادلات ، وتتضمن مقالات مثيرة للاهتمام ، وتعطي روابط لمواقع رياضية وحزم برامج ، وتسرد كتيبات ودراسات مفيدة ، وتشير إلى الناشرين العلميين ، والمجلات ، وما إلى ذلك. يشتمل موقع الويب على قسم ديناميكي لأرشيف المعادلات يسمح للمؤلفين نشر معادلاتهم بسرعة (التفاضلية والتكامل وغيرها) وكذلك الحلول الدقيقة والتكاملات الأولى والتحويلات.

موقع EqWorld مخصص للباحثين ومعلمي الجامعات والمهندسين والطلاب في جميع أنحاء العالم. يحتوي على حوالي 2000 صفحة ويب ويزوره أكثر من 3000 مستخدم يوميًا (قادمون من 200 دولة حول العالم). جميع الموارد المعروضة على هذا الموقع مجانية لمستخدميها.

'' هل تحتاج إلى حل معادلة هابيل المتكاملة من النوع الثاني؟ هل تعثرت في معادلة FitzHugh-Nagumo ، التي يمكن أن تصف انتقال الحرارة والجهد عبر غشاء الخلية؟ تحقق من EqWorld. تجمع EqWorld الحلول التي تم التخلص منها في الكتيبات والمجلات والمصادر الأخرى. يحتوي الموقع على معادلات تفاضلية عادية وجزئية. "

Science، 2005، Vol 308، Issue 5727، p. 1387

". يوفر EqWorld حلولًا عامة للعديد من أنواع المعادلات التي من المحتمل أن يواجهها العلماء والمهندسون. يتضمن الموقع أيضًا مقالات وقوائم قراءة.


2.6: أنواع أخرى من المعادلات - الرياضيات

سؤال من ماري ، طالبة:

تواجه مشاكل في القيام بهذه المشكلة ، تبحث عن حل للعمل. أود أن أرى كيف حصلت على إجابتك ، لأرى ما كنت أفعله خطأ.

حل باستخدام طريقة الاستبدال ، هل هناك & quotno حل & quot أو & quot؛ عدد لا نهائي من الحلول & quot

لدينا ردان لك

يمكن أن تكون معادلتان في أي علاقة من ثلاث علاقات مع بعضها البعض:

  1. إنها تعبيرات مختلفة لنفس الخط بالضبط. على سبيل المثال ، y = 2x و 2y = 4x هما في الواقع نفس الخط. في هذه الحالة ، يوجد & quot؛ عدد لا نهائي من الحلول & quot لأن هناك عددًا لا نهائيًا من قيم x تعطي قيمة لـ y تتطابق في كلتا المعادلتين. لاحظ أيضًا أنه في هذه الحالة ، ستتطابق المنحدرات وتقاطع y في المعادلتين.
  2. هم خطوط متوازية. على سبيل المثال ، y = 2x و y = 2x + 1 متوازيان. المستقيمات المتوازية لها نفس الميل ، لكن تقاطعات y مختلفة. نظرًا لعدم وجود نقاط (x ، y) في كلا الخطين في نفس الوقت ، نقول إن هناك & quotno حل & quot.
  3. يتقاطعان في نقطة واحدة. النقطة الوحيدة هي & quot؛ الحل الفريد & quot. يمكن أن يكون هذا هو الحال فقط إذا كان للمعادلتين منحدرات مختلفة. لا يهم التقاطع y.

لتحديد أي من هذه الحالات لديك لزوج معين من المعادلات ، غالبًا ما يكون أسهل ما يمكنك فعله هو كتابة كلتا المعادلتين في صيغة y = mx + b ومقارنة المنحدرات ، ثم إذا لزم الأمر ، قارن بين تقاطعات y. هذا لن يخبرك ما هو الحل الفريد في الواقع (إذا تقاطعت في نقطة واحدة ، بدلاً من أن تكون متطابقة أو خطوط متوازية).

إليك كيفية سير الأمور عند استخدام طريقة الاستبدال & quotsolve & quot؛ معادلتين:

2 س + ص = 1
-3 س + 2 ص = 0

حل معادلة واحدة لمتغير واحد (أي واحد؟ اختر فقط ما يبدو أسهل!)
2 س + ص = 1
ص = 1 - 2 س

ثم عوض بهذا التعبير (الذي يساوي y) عن y في المعادلة الأخرى. وبالتالي
-3 س + 2 ص = 0
يصبح
-3 س + 2 (1 - 2 س) = 0

وحل من أجل x:
-3 س + 2 - 4 س = 0
-7 س = -2
س = 2/7.

نظرًا لأنه أعطانا قيمة واحدة لـ x ، فأنا أعلم أننا سنحصل على حل فريد. I use this value of x to find the value of y. Just choose one of the original equations (doesn't matter which one) and substitute 2/7 in for x.
2x + y = 1
يصبح
2(2/7) + y = 1
y = 3/7.

So the unique solution to this pair of equations is (2/7, 3/7).

Let's look at the other two situations to see what would have happened.

2x + y = 1
-2x - y = 2

Solve the first for y:
y = 1 - 2x

Substitute into second equation:
-2x - (1 - 2x) = 2
-2x - 1 + 2x = 2
-1 = 2.

That's a contradiction, obviously! So that means there is no solution. These two equations are parallel lines.

2x + y = 1
6x + 3y = 3

Solve the first for y:
y = 1 - 2x

Substitute into the second equation:
6x + 3(1 - 2x) = 3
6x + 3 - 6x = 3
3 = 3.

This is a truism: it is true regardless of the value of x, so there are an infinite number of solutions. These two equations are actually just two ways of expressing the same equation (multiply the first equation by 3 on both sides and you'll verify this).

I hope this explanation and set of examples helps you solve any problems you have with two linear equations.

Without actually solving this system of equations we can determine that there will in fact be ONLY ONE solution. The first equation has a slope of -4 (we can rearrange it to read y=-4x+4) and the second equation has a slope of -1/4 (we can rearrange it to read y=-1/4x). When two lines have different slopes, they are guaranteed to intersect at one point, giving us one solution.

If this system were to have no solutions or infinitely many solutions, the equations would have to have the same slope. Additionally, they would have to have different y-intercepts to have no solution and the same y-intercept to have infinitely many solutions.


2.6: Other Types of Equations - Mathematics

In many examples, especially the ones derived from differential equations, the variables involved are not linked to each other in an explicit way. Most of the time, they are linked through an implicit formula, like F ( x , y ) =0. Once x is fixed, we may find y through numerical computations. (By some fancy theorems, we may formally show that y may indeed be seen as a function of x over a certain interval). The question becomes what is the derivative , at least at a certain a point? The method of implicit differentiation answers this concern. Let us illustrate this through the following example.

مثال. Find the equation of the tangent line to the ellipse

at the point (2,3). One way is to find y as a function of x from the above equation, then differentiate to find the slope of the tangent line. We will leave it to the reader to do the details of the calculations. Here, we will use a different method. In the above equation, consider y as a function of x :

and use the techniques of differentiation, to get

which implies that at the point (2,3). So the equation of the tangent line is given by

You may wonder why bother if this is just a different way of finding the derivative? Consider the following example! It can be very hard or in fact impossible to solve explicitly for y as a function of x .

This is a wonderful example of an implicit relation between x and y . So how do we find y '? Let us differentiate the above equation with respect to x where y is considered to be a function of x . We get

Easy algebraic manipulations give

We can also find higher derivatives of y such as y '' in this manner. We only have to differentiate the above result. Of course the calculations get little more messy.

Exercise 1. Find y ' if xy 3 + x 2 y 2 + 3 x 2 - 6 = 1.

Exercise 2. Prove that an equation of the tangent line to the graph of the hyperbola

at the point P ( x 0 , y 0 ) is

Exercise 3. Show that if a normal line to each point on an ellipse passes through the center of an ellipse, then the ellipse is a circle.


Logic and Mathematical Statements

In general, a mathematical statement consists of two parts: the hypothesis or assumptions, and the conclusion. Most mathematical statements you will see in first year courses have the form "If A, then B" أو "A implies B" أو "A $Rightarrow$ B". The conditions that make up "A" are the assumptions we make, and the conditions that make up "B" are the conclusion.

If we are going to prove that the statement "If A, then B" is true, we would need to start by making the assumptions "A" and then doing some work to conclude that "B" must also hold.

If we want to apply a statement of the form "If A, then B", then we need to make sure that the conditions "A" are met, before we jump to the conclusion "B."

For example, if you want to apply the statement "$n$ is even $Rightarrow$ $frac<2>$ is an integer", then you need to verify that $n$ is even, before you conclude that $frac<2>$ is an integer.

In mathematics you will often encounter statements of the form "A if and only if B" or "A $Leftrightarrow$ B". These statements are really two "if/then" statements. The statement "A if and only if B" is equivalent to the statements "If A, then B" and "If B, then A." Another way to think of this sort of statement is as an equivalence between the statements A and B: whenever A holds, B holds, and whenever B hold, A holds.

Consider the following example: "$n$ is even $Leftrightarrow frac<2>$ is an integer". Here the statement A is "$n$ is even" and the statement B is "$frac<2>$ is an integer." If we think about what it means to be even (namely that n is a multiple of 2), we see quite easily that these two statements are equivalent: If $n=2k$ is even, then $frac <2>= frac<2k> <2>= k$ is an integer, and if $frac <2>= k$ is an integer, then $n=2k$ so $n$ is even.

In everyday use, a statement of the form "If A, then B", sometimes means "A if and only if B." For example, when most people say "If you lend me $30, then I'll do your chores this week" they typically mean "I'll do your chores if and only if you lend me $30." In particular, if you don't lend the $30, they won't be doing your chores.

In mathematics, the statement "A implies B" is جدا different from "A if and only if B." Consider the following example: Let A be the statement "$n$ is an integer" and B be the statement "$frac<3>$ is a rational number." The statement "A implies B" is the statement "If $n$ is an integer, then $frac<3>$ is a rational number." This statement is true. However, the statement "A if and only if B" is the statement "$n$ is an integer if and only if $frac<3>$ is a rational number," which is false.

Mini-Lecture.

مثال.

Consider the statement "Suppose that it's raining. Then there is a cloud in the sky.".

(أنا) Determine the hypotheses/assumptions and the conclusion.
(ثانيا) Rewrite this statement explicitly in the form "If A, then B" using Part (i).
(ثالثا) Is this statement true or false?

Solution.
(أنا) The hypothesis we are making is that it is raining. The conclusion we are making is that there must be a cloud in the sky.
(ثانيا) "If it's raining, then there must be a cloud in the sky."
(ثالثا) This statement is true. (Based on all that is currently known about how rain works!)

مثال. Consider the statement "$x > 0 Rightarrow x+1>0$". Is this statement true or false?

Solution. To determine it's truth value, first we look at the hypothesis: $x>0$. Whatever we want to conclude, it is a consequence of the fact that $x$ is positive.

Next, we look at the conclusion: $x+1>0$. This statement must be true, since $x+1 > x > 0$.

This means that the statement is true.

مثال. Consider the statement "If $x$ is a positive integer or a solution to $x+3>4$, then $x>0$ and $x> frac$." Is this statement true?

Solution. To determine if it's true, let's look first at the assumptions. We are assuming that either $x$ is a positive integer, or that it solves the inequality $x+3>4$.

Next let's consider the conclusion. We are concluding that $x$ must satisfy على حد سواء inequalities $x>0$ and $x > frac<1><2>$. If we look more closely, we see that once we satisfy the second inequality, the first is redundant. (If $x>frac<1><2>$, then it must already be larger than zero.)

Now, in order for this statement to be true, we need that if $x$ solves either of the assumptions, then it must solve $x>frac<1><2>$. Well, the first assumption is that $x$ is a positive integer, which means that $xgeq 1$, so in this case the conclusion holds. The second assumption is that $x+3>4$, or equivalently, that $x>1$, which means the conclusion holds as well.

مثال. Consider the statement ">1 Rightarrow sin x = 2$". Is this statement true or false?

Solution. To determine it's truth value, first we look at the hypothesis: >1$. This is obviously false!

So the statement is true! (Why?) This kind of statements "A $Rightarrow$ B" where A is false are called vaccuously true.

A statement "A $Rightarrow$ B" is true when the relation "A implies B" is true, not when A, or B, or A and B are true. It states that "if A is true, then B must also be true".

This means that when A is false, the statement doesn't conclude anything.

So whenever the hypothesis A is false, a statement "A $Rightarrow$ B" is always true! (independently of whether B is true or false)


EQUATIONS OF HORIZONTAL AND VERTICAL LINES

where  b  represents the  y -intercept.

A  vertical line  goes up and down and its equation is in the form of 

where  a  represents the shared  x -coordinate of all points.

Write the equation of the line that passes through (-1, 2)  and (3, 2).

Connect with a straight line.

Equation of the line is y  = 2. 

Write the equation of the line that passes through (-2, 3)  and (-2, 1).

Connect with a straight line.

Equation of the line is x  = -2. 

Write the equation of the line that passes through (0, -4)  and (4, -4).

Connect with a straight line.

Equation of the line is y  = -4. 

Write the equation of the line that passes through (0, 5)  and (0, -3).

Connect with a straight line.

Equation of the line is x  = 0. 

بصرف النظر عن الأشياء المذكورة أعلاه ، إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى في الرياضيات ، فيرجى استخدام بحث Google المخصص هنا.

إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


شاهد الفيديو: الصف الثامن الرياضيات حل أنظمة معادلات بالتعويض 3 (شهر نوفمبر 2021).