مقالات

7.2: إضافة وطرح كثيرات الحدود


أهداف التعلم

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • حدد درجة كثيرات الحدود
  • جمع وطرح كثيرات الحدود
  • احسب دالة كثيرة الحدود لقيمة معينة
  • جمع وطرح وظائف كثيرة الحدود

ملحوظة

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. بسّط: (3x ^ 2 + 3x + 1 + 8x ^ 2 + 5x + 5. )
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].
  2. اطرح: ((5n + 8) - (2n − 1). )
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].
  3. قيم: (4xy ^ 2 ) عندما (x = −2x ) و (y = 5. ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].

حدد درجة كثيرات الحدود

لقد تعلمنا أن أ مصطلح هو ثابت أو ناتج ثابت ومتغير واحد أو أكثر. أ أحادي هو تعبير جبري بمصطلح واحد. عندما يكون بالصيغة (ax ^ m ) ، حيث (a ) ثابت و (m ) عدد صحيح ، يطلق عليه اسم monomial في متغير واحد. بعض الأمثلة على monomial في متغير واحد هي. يمكن أن تحتوي الأحادية أيضًا على أكثر من متغير مثل و (- 4a ^ 2b ^ 3c ^ 2. )

التعريف: أحادي

أ أحادي هو تعبير جبري بمصطلح واحد. الأحادي في متغير واحد هو مصطلح من النموذج (ax ^ m ) ، حيث (a ) ثابت و (m ) عدد صحيح.

المونوميل ، أو اثنين أو أكثر من المونوميل مجتمعة عن طريق الجمع أو الطرح ، هو أ متعدد الحدود. بعض كثيرات الحدود لها أسماء خاصة ، بناءً على عدد المصطلحات. الأحادي هو كثير الحدود بمصطلح واحد بالضبط. ذات الحدين لها حدان بالضبط ، و a ثلاثي الحدود له ثلاثة شروط بالضبط. لا توجد أسماء خاصة للعديد من الحدود بأكثر من ثلاثة مصطلحات.

التعريف: القيم المتعددة

  • متعدد الحدود—المحدود ، أو اثنين أو أكثر من المصطلحات الجبرية مجتمعة عن طريق الجمع أو الطرح هي كثيرة الحدود.
  • أحادي- كثيرة الحدود مع مصطلح واحد بالضبط تسمى أحادية الحد.
  • ذات الحدين- كثيرة الحدود ذات المصطلحين بالضبط تسمى ذات الحدين.
  • ثلاثي الحدود- كثير الحدود الذي يحتوي على ثلاثة مصطلحات بالضبط يسمى ثلاثي الحدود.

فيما يلي بعض الأمثلة على كثيرات الحدود.

متعدد الحدود (ص + 1 ) (4 أ ^ 2−7 أب + 2 ب ^ 2 ) (4x ^ 4 + x ^ 3 + 8x ^ 2−9x + 1 )
أحادي(14) (8 سنوات ^ 2 ) (- 9x ^ 3y ^ 5 ) (- 13a ^ 3b ^ 2c )
ذات الحدين (أ + 7 با + 7 ب ) (4x ^ 2 − y ^ 2 ) (ص ^ 2−16 ) (3p ^ 3q − 9p ^ 2q )
ثلاثي الحدود (س ^ 2−7 س + 12 ) (9 م ^ 2 + 2 مليون − 8 ن ^ 2 ) (6 ك ^ 4 − ك ^ 3 + 8 ك ) (z ^ 4 + 3z ^ 2−1 )

لاحظ أن كل أحادية وذات الحدين وثلاثية الحدود هي أيضًا كثيرة الحدود. إنهم مجرد أعضاء مميزين في "عائلة" متعددي الحدود ولذا لديهم أسماء خاصة. نحن نستخدم الكلمات أحادي, ذات الحدين، و ثلاثي الحدود عند الإشارة إلى كثيرات الحدود الخاصة واستدعاء الباقي كثيرات الحدود.

ال درجة كثيرة الحدود ويتم تحديد درجة شروطه من خلال أسس المتغير. المونومال الذي لا يحتوي على متغير ، مجرد ثابت ، هو حالة خاصة. ال درجة ثابتة هو 0.

التعريف: درجة متعددة الحدود

  • ال درجة المصطلح هو مجموع الأس لمتغيراته.
  • ال درجة ثابتة هو 0.
  • ال درجة كثيرة الحدود هي أعلى درجة من جميع شروطها.

دعونا نرى كيف يعمل هذا من خلال النظر إلى العديد من كثيرات الحدود. سنتخذ الأمر خطوة بخطوة ، بدءًا من الأحاديات ، ثم نتقدم إلى كثيرات الحدود بمزيد من المصطلحات. لنبدأ بالنظر إلى أحادية. يحتوي الحجم الأحادي (8ab ^ 2 ) على متغيرين (a ) و (b ). لإيجاد الدرجة علينا إيجاد مجموع الأسس. لا يحتوي المتغير a على أُس مكتوب ، ولكن تذكر أن هذا يعني أن الأس هو 1. أس (b ) هو 2. مجموع الأس ، 1 + 2،1 + 2 ، هو 3 وبالتالي فإن الدرجة هو 3.

فيما يلي بعض الأمثلة الإضافية.

يكون العمل مع كثيرات الحدود أسهل عند سرد المصطلحات بترتيب تنازلي للدرجات. عندما تتم كتابة كثير الحدود بهذه الطريقة ، يُقال أنها في النموذج القياسي لكثير الحدود. اعتد على كتابة المصطلح بأعلى درجة أولاً.

مثال ( PageIndex {1} )

حدد ما إذا كان كل كثير الحدود هو أحادي أو ذو حدين أو ثلاثي الحدود أو متعدد الحدود آخر. ثم أوجد درجة كل كثير الحدود.

  1. (7y2−5y + 3 )
  2. (- 2 أ ^ 4 ب ^ 2 )
  3. (3x5−4x3−6x2 + x − 8 )
  4. (2y − 8xy ^ 3 )
  5. (15)
إجابه
متعدد الحدودعدد المصطلحاتيكتبدرجة المصطلحاتدرجة كثيرة الحدود
(7y ^ 2−5y + 3 )3ثلاثي الحدود2, 1, 02
(- 2a ^ 4b ^ 2−2a ^ 4b ^ 2 )1أحادي4, 26
(3x5−4x3−6x2 + x − 8 )5متعدد الحدود5, 3, 2, 1, 05
(2y − 8xy ^ 3 )2ذات الحدين1, 44
(15)1أحادي00

مثال ( PageIndex {2} )

حدد ما إذا كان كل كثير الحدود هو أحادي أو ذو حدين أو ثلاثي الحدود أو متعدد الحدود آخر. ثم أوجد درجة كل كثير الحدود.

  1. (−5)
  2. (8y ^ 3−7y ^ 2 − y − 3 )
  3. (- 3x ^ 2y − 5xy + 9xy ^ 3 )
  4. (81 م ^ 2−4 ن ^ 2 )
  5. (- 3x ^ 6y ^ 3z )
الإجابة أ

أحادي ، 0

الجواب ب

كثير الحدود ، 3

الجواب ج

ثلاثي الحدود ، 3

الجواب د

ذات الحدين ، 2

الجواب ب

أحادي ، 10

مثال ( PageIndex {3} )

حدد ما إذا كان كل كثير الحدود هو أحادي أو ذو حدين أو ثلاثي الحدود أو متعدد الحدود آخر. ثم أوجد درجة كل كثير الحدود.

  1. (64 كيلو ^ 3−8 )
  2. (9 م ^ 3 + 4 م ^ 2−2 )
  3. (56)
  4. (8a ^ 4−7a ^ 3b − 6a ^ 2b ^ 2−4ab ^ 3 + 7b ^ 4 )
  5. (- ص ^ 4q ^ 3 )
إجابه

ⓐ ثنائي الحدود ، 3 ثلاثي الحدود ، 3 أحادي الحد ، 0 ⓓ متعدد الحدود ، 4 أحادي الحد ، 7

اجمع واطرح كثيرات الحدود

لقد تعلمنا كيفية تبسيط المقادير بدمج الحدود المتشابهة. نظرًا لأن المونوميل عبارة عن مصطلحات ، فإن إضافة وطرح المونوميل هو نفسه الجمع بين المصطلحات المتشابهة. إذا كانت المونومال متشابهة ، فإننا نجمعها فقط عن طريق جمع أو طرح المعاملات.

مثال ( PageIndex {4} )

جمع أو طرح:

  1. (25y ^ 2 + 15y ^ 2 )
  2. (16pq ^ 3 - (- 7pq ^ 3) ).
الإجابة أ

( begin {array} {ll} {} & {25y ^ 2 + 15y ^ 2} { text {دمج المصطلحات المتشابهة.}} & {40y ^ 2} end {array} nonumber )

الجواب ب

( begin {array} {ll} {} & {16pq ^ 3 - (- 7pq ^ 3)} { text {دمج المصطلحات المتشابهة.}} & {23pq ^ 3} end {array} لا يوجد رقم )

مثال ( PageIndex {5} )

جمع أو طرح:

  1. (12q ^ 2 + 9q ^ 2 )
  2. (8 مليون ^ 3 - (- 5 مليون ^ 3) ).
إجابه

ⓐ (21 س ^ 2 ) ⓑ (13 دقيقة ^ 3 )

مثال ( PageIndex {6} )

جمع أو طرح:

  1. (- 15 ج ^ 2 + 8 ج ^ 2 )
  2. (- 15y ^ 2z ^ 3 - (- 5y ^ 2z ^ 3) )
إجابه

ⓐ (- 7c ^ 2 ) ⓑ (- 10y ^ 2z ^ 3 )

تذكر أن الحدود المتشابهة يجب أن يكون لها نفس المتغيرات بنفس الأسس.

مثال ( PageIndex {7} )

تبسيط:

  1. (أ ^ 2 + 7 ب ^ 2−6 أ ^ 2 )
  2. (u ^ 2v + 5u ^ 2−3v ^ 2 )
إجابه

ⓐ اجمع بين الشروط المتشابهة.

(أ ^ 2 + 7 ب ^ 2−6a ^ 2 ؛ = ؛ −5a ^ 2 + 7b ^ 2 )

ⓑ لا توجد شروط متشابهة للجمع. في هذه الحالة ، كثير الحدود لم يتغير.

(u ^ 2v + 5u ^ 2−3v ^ 2 )

مثال ( PageIndex {8} )

يضيف:

  1. (8y ^ 2 + 3z ^ 2−3y ^ 2 )
  2. (م ^ 2 ن ^ 2−8 م ^ 2 + 4 ن ^ 2 )
إجابه

ⓐ (5y ^ 2 + 3z ^ 2 )
ⓑ (م ^ 2 ن ^ 2−8 م ^ 2 + 4 ن ^ 2 )

مثال ( PageIndex {9} )

يضيف:

  1. (3 م ^ 2 + n ^ 2−7 م ^ 2 )
  2. (pq ^ 2−6p − 5q ^ 2 )
إجابه

ⓐ (- 4 م ^ 2 + n ^ 2 )
ⓑ (pq ^ 2−6p − 5q ^ 2 )

يمكننا أن نفكر في إضافة وطرح كثيرات الحدود على أنها مجرد جمع وطرح سلسلة من كثيرات الحدود. ابحث عن الحدود المتشابهة - تلك التي لها نفس المتغيرات ونفس الأس. تتيح لنا الخاصية التبادلية إعادة ترتيب المصطلحات لوضع المصطلحات المتشابهة معًا.

مثال ( PageIndex {10} )

أوجد المجموع: ((7y ^ 2−2y + 9) ؛ + ؛ (4y ^ 2−8y − 7) ).

إجابه

( begin {align *} & text {تحديد مثل المصطلحات.} & & ( underline { underline {7y ^ 2}} - underline {2y} +9) + ( underline { underline {4y ^ 2}} - تسطير {8y} −7) [6pt]
& text {إعادة الكتابة بدون الأقواس ،}
& text {إعادة الترتيب للحصول على المصطلحات المتشابهة معًا.} & & تسطير { تسطير {7y ^ 2 + 4y ^ 2}} - تسطير {2y − 8y} + 9−7 [6pt]
& text {دمج المصطلحات المتشابهة.} & & 11y ^ 2−10y + 2 end {align *} )

مثال ( PageIndex {11} )

أوجد المجموع: ((7x ^ 2−4x + 5) ؛ + ؛ (x ^ 2−7x + 3) )

إجابه

(8x ^ 2−11x + 8 )

مثال ( PageIndex {12} )

أوجد المجموع: ((14y ^ 2 + 6y − 4) ؛ + ؛ (3y ^ 2 + 8y + 5) )

إجابه

(17y ^ 2 + 14y + 1 )

كن حذرًا مع العلامات أثناء التوزيع أثناء طرح كثيرات الحدود في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {13} )

أوجد الفرق: ((9w ^ 2−7w + 5) ؛ - ؛ (2w ^ 2−4) )

إجابه

( start {align *} & & & (9w ^ 2−7w + 5) ؛ - ؛ (2w ^ 2−4) [6pt]
& text {توزيع وتعريف مثل المصطلحات.} & & تسطير { تسطير {9w ^ 2}} - تسطير {7w} + 5- تسطير { تسطير {2w ^ 2}} + 4 [6pt ]
& text {إعادة ترتيب المصطلحات.} & & تسطير { تسطير {9w ^ 2-2w ^ 2}} - تسطير {7w} + 5 + 4 [6pt]
& text {دمج المصطلحات المتشابهة.} & 7w ^ 2−7w + 9 end {align *} )

مثال ( PageIndex {14} )

أوجد الفرق: ((8x ^ 2 + 3x − 19) ؛ - ؛ (7x ^ 2−14) )

إجابه

(س ^ 2 + 3 س − 5 )

مثال ( PageIndex {15} )

أوجد الفرق: ((9b ^ 2−5b − 4) ؛ - ؛ (3b ^ 2−5b − 7) )

إجابه

(6 ب ^ 2 + 3 )

مثال ( PageIndex {16} )

اطرح ((p ^ 2 + 10pq − 2q ^ 2) ) من ((p ^ 2 + q ^ 2) ).

إجابه

( begin {align *} & & & (p ^ 2 + q ^ 2) ؛ - ؛ (p ^ 2 + 10pq − 2q ^ 2) [6pt]
& text {توزيع وتعريف مثل المصطلحات.} & & تسطير { تسطير {p ^ 2}} + تسطير {q ^ 2} - underline { underline {p ^ 2}} - 10pq + underline { 2q ^ 2} [6pt]
& text {إعادة ترتيب المصطلحات ، ووضع المصطلحات المتشابهة معًا.} & & underline { underline {p ^ 2-p ^ 2}} - 10pq + underline {q ^ 2 + 2q ^ 2} [6pt]
& text {دمج المصطلحات المتشابهة.} & & −10pq + 3q ^ 2 end {align *} )

مثال ( PageIndex {17} )

اطرح ((a ^ 2 + 5ab − 6b ^ 2) ) من ((a ^ 2 + b ^ 2) )

إجابه

(- 5 أب + 7 ب ^ 2 )

مثال ( PageIndex {18} )

اطرح ((m ^ 2−7mn − 3n ^ 2) ) من ((m ^ 2 + n ^ 2) ).

إجابه

7 مليون + 4 ن ^ 2

مثال ( PageIndex {19} )

أوجد المجموع: ((u ^ 2−6uv + 5v ^ 2) ؛ + ؛ (3u ^ 2 + 2uv) )

إجابه

( start {align *} & & & (u ^ 2−6uv + 5v ^ 2) ؛ + ؛ (3u ^ 2 + 2uv) [6pt]
& text {توزيع وتعريف مثل المصطلحات.} & & تسطير { تسطير {u ^ 2}} - تسطير {6uv} + 5v ^ 2 + underline { underline {3u ^ 2}} + underline { 2uv} [6pt]
& text {إعادة ترتيب المصطلحات لوضع المصطلحات المتشابهة معًا.} & & تسطير { تسطير {u ^ 2}} + underline { underline {3u ^ 2}} - underline {6uv} + underline {2uv } + 5v ^ 2 [6pt]
& text {دمج المصطلحات المتشابهة.} & & 4u ^ 2−4uv + 5v ^ 2 end {align *} )

مثال ( PageIndex {20} )

أوجد المجموع: ((3x ^ 2−4xy + 5y ^ 2) ؛ + ؛ (2x ^ 2 − xy) )

إجابه

(5x ^ 2−5xy + 5y ^ 2 )

مثال ( PageIndex {21} )

أوجد المجموع: ((2x ^ 2−3xy − 2y ^ 2) ؛ + ؛ (5x ^ 2−3xy) )

إجابه

(7x ^ 2−6xy − 2y ^ 2 )

عندما نجمع ونطرح أكثر من اثنين من كثيرات الحدود ، فإن العملية هي نفسها.

مثال ( PageIndex {22} )

بسّط: ((a ^ 3 − a ^ 2b) ؛ - ؛ (ab ^ 2 + b ^ 3) ؛ + ؛ (a ^ 2b + ab ^ 2) )

إجابه

( start {align *} & & & (a ^ 3 − a ^ 2b) ؛ - ؛ (ab ^ 2 + b ^ 3) ؛ + ؛ (a ^ 2b + ab ^ 2) [6 نقطة]
& نص {توزيع} & & a ^ 3 − a ^ 2b - ab ^ 2 - b ^ 3 + a ^ 2b + ab ^ 2 [6pt]
& text {إعادة ترتيب المصطلحات لوضع المصطلحات المتشابهة معًا.} & & a ^ 3 − a ^ 2b + a ^ 2b− ab ^ 2 + ab ^ 2 - b ^ 3 [6pt]
& text {دمج المصطلحات المتشابهة.} & & a ^ 3 − b ^ 3 end {align *} )

مثال ( PageIndex {23} )

بسّط: ((x ^ 3 − x ^ 2y) ؛ - ؛ (xy ^ 2 + y ^ 3) ؛ + ؛ (x ^ 2y + xy ^ 2) )

إجابه

(س ^ 3 + ص ^ 3 )

مثال ( PageIndex {24} )

بسّط: ((p ^ 3 − p ^ 2q) ؛ + ؛ (pq ^ 2 + q ^ 3) ؛ - ؛ (p ^ 2q + pq ^ 2) )

إجابه

(ص ^ 3−3p ^ 2q + q ^ 3 )

تقييم دالة متعددة الحدود لقيمة معينة

أ الدالة متعددة الحدود هي وظيفة محددة من قبل كثير الحدود. على سبيل المثال ، (f (x) = x ^ 2 + 5x + 6 ) و (g (x) = 3x − 4 ) هي وظائف متعددة الحدود ، لأن (x ^ 2 + 5x + 6 ) و (3x − 4 ) متعددة الحدود.

التعريف: وظيفة متعددة الحدود

أ الدالة متعددة الحدود هي وظيفة يتم تحديد قيم نطاقها بواسطة كثير الحدود.

في الرسوم البيانية والدوال ، حيث قدمنا ​​الدالات لأول مرة ، تعلمنا أن تقييم الدالة يعني العثور على قيمة (f (x) ) لقيمة معينة من (x ). لإيجاد دالة كثيرة الحدود ، سنعوض بالقيمة المعطاة للمتغير ثم نبسطها باستخدام ترتيب العمليات.

مثال ( PageIndex {26} )

بالنسبة للدالة (f (x) = 3x ^ 2 + 2x − 15 ) ، ابحث عن

  1. (و (3) )
  2. (و (−5) )
  3. (و (0) ).
إجابه

ⓐ 18 ⓑ 50 ⓒ (−15)

مثال ( PageIndex {27} )

للدالة (g (x) = 5x ^ 2 − x − 4 ) ، أوجد

  1. (ز (−2) )
  2. (ز (−1) )
  3. (ز (0) ).
إجابه

ⓐ 20 ⓑ 2 ⓒ (−4)

تُستخدم وظائف كثيرة الحدود المشابهة لتلك الموجودة في المثال التالي في العديد من المجالات لتحديد ارتفاع كائن ما في وقت ما بعد إسقاطه في الهواء. يتم استخدام كثير الحدود في الوظيفة التالية خصيصًا لإسقاط شيء ما من 250 قدمًا.

مثال ( PageIndex {28} )

دالة كثيرة الحدود (h (t) = - 16t ^ 2 + 250 ) تعطي ارتفاع الكرة ر بعد ثوانٍ من إسقاطه من مبنى ارتفاعه 250 قدمًا. أوجد الارتفاع بعد (t = 2 ) ثانية.

إجابه

( start {array} {ll} {} & {h (t) = - 16t ^ 2 + 250} {} & {} { text {To find} h (2) text {، بديل} t = 2.} & {h (2) = - 16 (2) ^ 2 + 250} { text {Simplify.}} & {h (2) = - 16 · 4 + 250} {} & {} { text {Simplify.}} & {h (2) = - 64 + 250} {} & {} { text {Simplify.}} & {h (2) = 186} {} & { text {بعد ثانيتين ، يبلغ ارتفاع الكرة 186 قدمًا.}} end {array} nonumber )

مثال ( PageIndex {29} )

دالة كثيرة الحدود (h (t) = - 16t ^ 2 + 150 ) تعطي ارتفاع الحجر ر بعد ثوانٍ من سقوطه من جرف ارتفاعه 150 قدمًا. أوجد الارتفاع بعد (t = 0 ) ثانية (الارتفاع الأولي للكائن).

إجابه

الارتفاع (150 ) قدمًا.

مثال ( PageIndex {30} )

دالة كثيرة الحدود (h (t) = - 16t ^ 2 + 175 ) تعطي ارتفاع الكرة ر بعد ثوانٍ من إسقاطه من جسر ارتفاعه 175 قدمًا. أوجد الارتفاع بعد (t = 3 ) ثانية.

إجابه

الارتفاع (31 ) قدمًا.

اجمع واطرح دوال كثيرة الحدود

مثلما يمكن إضافة وطرح كثيرات الحدود ، يمكن أيضًا إضافة وطرح دوال كثيرة الحدود.

التعريف: إضافة وطرح وظائف متعددة الحدود

للوظائف (f (x) ) و (g (x) ) ،

[(f + g) (x) = f (x) + g (x) ]

[(f − g) (x) = f (x) −g (x) ]

مثال ( PageIndex {32} )

للوظائف (f (x) = 2x ^ 2−4x + 3 ) و (g (x) = x ^ 2−2x − 6 ) ، ابحث عن: ⓐ ((f + g) (x) ) ⓑ ((f + g) (3) ) ⓒ ((f − g) (x) ) ⓓ ((f − g) (- 2) ).

إجابه

ⓐ ((و + ز) (س) = 3 س ^ 2−6 س − 3 )

ⓑ ((و + ز) (3) = 6 )

ⓒ ((f − g) (x) = x ^ 2−2x + 9 )

ⓓ ((و − ز) (- 2) = 17 )

مثال ( PageIndex {33} )

للوظائف (f (x) = 5x ^ 2−4x − 1 ) و (g (x) = x ^ 2 + 3x + 8 ) ، ابحث عن ⓐ ((f + g) (x) ) ⓑ ((f + g) (3) ) ⓒ ((f − g) (x) ) ⓓ ((f − g) (- 2) ).

إجابه

ⓐ ((و + ز) (س) = 6 س ^ 2 − س + 7 )

ⓑ ((و + ز) (3) = 58 )

ⓒ ((f − g) (x) = 4x ^ 2−7x − 9 )

ⓓ ((و − ز) (- 2) = 21 )

قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على إرشادات وممارسات إضافية مع إضافة وطرح كثيرات الحدود.

  • إضافة وطرح كثيرات الحدود

المفاهيم الرئيسية

  • أحادي
    • أ أحادي هو تعبير جبري بمصطلح واحد.
    • الأحادي في متغير واحد هو مصطلح من النموذج axm ، axm ، حيث أ هو ثابت و م هو رقم صحيح.
  • كثيرات الحدود
    • متعدد الحدود—المحدود ، أو اثنين أو أكثر من المصطلحات الجبرية مجتمعة عن طريق الجمع أو الطرح هي كثيرة الحدود.
    • أحادي - كثيرة الحدود مع مصطلح واحد بالضبط تسمى أحادية الحد.
    • ذات الحدين - كثيرة الحدود ذات المصطلحين بالضبط تسمى ذات الحدين.
    • ثلاثي الحدود - كثير الحدود الذي يحتوي على ثلاثة مصطلحات بالضبط يسمى ثلاثي الحدود.
  • درجة متعددة الحدود
    • ال درجة المصطلح هو مجموع الأس لمتغيراته.
    • ال درجة ثابتة هو 0.
    • ال درجة كثيرة الحدود هي أعلى درجة من جميع شروطها.

قائمة المصطلحات

ذات الحدين
ذات الحدين هي كثيرة الحدود ذات حدين بالضبط.
درجة ثابتة
درجة أي ثابت هي 0.
درجة كثيرة الحدود
درجة كثير الحدود هي أعلى درجة من جميع شروطها.
درجة المصطلح
درجة المصطلح هي مجموع الأسس لمتغيراته.
أحادي
المونومال هو تعبير جبري بمصطلح واحد. الأحادي في متغير واحد هو مصطلح من النموذج axm ، axm ، حيث أ هو ثابت و م هو رقم صحيح.
متعدد الحدود
تعد المونومال أو اثنين أو أكثر من المونومرات مجتمعة عن طريق الجمع أو الطرح كثيرة الحدود.
النموذج القياسي لكثير الحدود
تكون كثيرة الحدود في الشكل القياسي عندما تُكتب مصطلحات كثير الحدود بترتيب تنازلي للدرجات.
ثلاثي الحدود
ثلاثي الحدود هو متعدد الحدود بثلاثة حدود بالضبط.
الدالة متعددة الحدود
دالة كثيرة الحدود هي وظيفة يتم تحديد قيم نطاقها بواسطة كثير الحدود.

كثيرات الحدود

يبني إيرل بيتًا للكلاب ، تكون واجهته على شكل مربع يعلوه مثلث. سيكون هناك باب مستطيل يمكن للكلب من خلاله الدخول والخروج من المنزل. يريد إيرل العثور على مساحة الجزء الأمامي من بيت الكلب حتى يتمكن من شراء الكمية الصحيحة من الطلاء. باستخدام قياسات الجزء الأمامي من المنزل ، الموضحة في [الرابط] ، يمكننا إنشاء تعبير يجمع عدة مصطلحات متغيرة ، مما يسمح لنا بحل هذه المشكلة وغيرها من الأمور المشابهة.

أوجد مساحة المربع بالأقدام المربعة.

ثم أوجد مساحة المثلث بالقدم المربع.

أوجد بعد ذلك مساحة الباب المستطيل بالأقدام المربعة.

يمكن إيجاد مساحة مقدمة بيت الكلب عن طريق إضافة مساحة المربع والمثلث ، ثم طرح مساحة المستطيل. عندما نفعل ذلك ، نحصل على 4 × 2 + 3 2 × - × قدم 2 ،

في هذا القسم ، سوف نفحص تعبيرات مثل هذا ، والتي تجمع بين عدة مصطلحات متغيرة.

تحديد الدرجة والمعامل الرئيسي لكثيرات الحدود

الصيغة التي تم العثور عليها للتو هي مثال على ملف متعدد الحدود، وهو مجموع أو اختلاف المصطلحات ، كل منها يتكون من متغير مرفوع إلى قوة عدد صحيح غير سالب. عدد مضروب في متغير مرفوع إلى أس ، مثل 384 π ،

يُعرف باسم أ معامل في الرياضيات او درجة. يمكن أن تكون المعاملات موجبة أو سالبة أو صفرية ويمكن أن تكون أعدادًا صحيحة أو كسورًا عشرية أو كسورًا. كل منتج أ × ط ،

هو مصطلح كثير الحدود. إذا كان المصطلح لا يحتوي على متغير ، فإنه يسمى ثابت.

كثير حدود يحتوي على مصطلح واحد فقط ، مثل 5 × 4 ،

يسمى أ أحادي. كثير حدود يحتوي على فترتين ، مثل 2 × - 9 ،

يسمى أ ذات الحدين. كثير حدود يحتوي على ثلاثة حدود ، مثل −3 x 2 + 8 x - 7 ،

يسمى أ ثلاثي الحدود.

يمكننا العثور على الدرجة العلمية من كثير الحدود عن طريق تحديد أعلى قوة للمتغير الذي يحدث في كثير الحدود. المصطلح ذو أعلى درجة يسمى مصطلح رائد لأنه عادة ما يتم كتابته أولاً. يُطلق على معامل المصطلح الرئيسي معامل الرائدة. عندما يتم كتابة كثير الحدود بحيث تتناقص القوى ، نقول إنها في الصورة القياسية.

& ltdiv data-type = "note" data-has-label = "true" data-label = "ملاحظة عامة" markdown = "1" & gt

أ متعدد الحدود هو تعبير يمكن كتابته في النموذج

كل رقم حقيقي أأنايسمى أ معامل في الرياضيات او درجة. الرقم 0

التي لا يتم ضربها في متغير تسمى أ ثابت. كل منتج i x i

هو مصطلح كثير الحدود. أعلى قوة للمتغير التي تحدث في كثير الحدود تسمى الدرجة العلمية من كثير الحدود. ال مصطلح رائد هو المصطلح ذو أعلى قوة ، ويُطلق على معامله اسم معامل الرائدة.

بالنظر إلى تعبير متعدد الحدود ، حدد الدرجة والمعامل الرئيسي.

  1. أوجد أعلى قوة لـ x لتحديد الدرجة.
  2. حدد المصطلح الذي يحتوي على أعلى قوة لـ x للعثور على المصطلح الرائد.
  3. حدد معامل المصطلح الرائد.

بالنسبة لكثيرات الحدود التالية ، حدد الدرجة والمصطلح الرئيسي والمعامل الرئيسي.

  1. أعلى قوة x هي 3 ، وبالتالي فإن الدرجة هي 3. المصطلح الرئيسي هو المصطلح الذي يحتوي على تلك الدرجة ، −4 × 3.

المعامل الرئيسي هو معامل هذا المصطلح ،

المصطلح الرائد هو المصطلح الذي يحتوي على تلك الدرجة ،

المعامل الرئيسي هو معامل هذا المصطلح ،

المصطلح الرائد هو المصطلح الذي يحتوي على تلك الدرجة ،

المعامل الرئيسي هو معامل هذا المصطلح ،

حدد الدرجة والمصطلح الرئيسي والمعامل الرئيسي لكثير الحدود 4 x 2 - x 6 + 2 x - 6.

الدرجة 6 ، المصطلح الرائد - × 6 ،

والمعامل الرئيسي هو 1.

إضافة وطرح كثيرات الحدود

يمكننا جمع وطرح كثيرات الحدود من خلال دمج الحدود المتشابهة ، وهي عبارة عن حدود تحتوي على نفس المتغيرات مرفوعة إلى نفس الأسس. على سبيل المثال ، 5 × 2

تشبه المصطلحات ، ويمكن إضافتها للحصول على 3 × 2 ،

ليست مثل المصطلحات ، وبالتالي لا يمكن إضافتها.

بالنظر إلى كثيرات حدود متعددة ، اجمعها أو اطرحها لتبسيط التعابير.

(12 × 2 + 9 × - 21) + (4 × 3 + 8 × 2-5 × + 20)

يمكننا التحقق من إجاباتنا على هذه الأنواع من المشاكل باستخدام حاسبة الرسوم البيانية. للتحقق ، ارسم المسألة بيانيًا كما هو موضح مع الإجابة المبسطة. يجب أن يكون الرسمان البيانيان متساويين. تأكد من استخدام نفس النافذة لمقارنة الرسوم البيانية. يمكن أن يؤدي استخدام نوافذ مختلفة إلى جعل التعبيرات تبدو متكافئة عندما لا تكون كذلك.

(2 × 3 + 5 × 2 - × + 1) + (2 × 2 - 3 × - 4)

(7 × 4 - × 2 + 6 × + 1) - (5 × 3 - 2 × 2 + 3 × + 2)

لاحظ أن إيجاد الفرق بين كثيرتي الحدود يماثل إضافة عكس كثير الحدود الثاني إلى الأول.

(−7 × 3 - 7 × 2 + 6 × - 2) - (4 × 3 - 6 × 2 - × + 7)

ضرب كثيرات الحدود

يعد ضرب كثيرات الحدود أكثر صعوبة من إضافة وطرح كثيرات الحدود. يجب أن نستخدم خاصية التوزيع لضرب كل حد في كثير الحدود الأول في كل حد في كثير الحدود الثاني. ثم نجمع الحدود المتشابهة. يمكننا أيضًا استخدام اختصار يسمى طريقة FOIL عند ضرب القيم ذات الحدين. تتبع بعض المنتجات الخاصة أنماطًا يمكننا حفظها واستخدامها بدلاً من ضرب كثيرات الحدود يدويًا في كل مرة. سننظر في مجموعة متنوعة من الطرق لضرب كثيرات الحدود.

ضرب كثيرات الحدود باستخدام خاصية التوزيع

لضرب رقم في كثير الحدود ، نستخدم خاصية التوزيع. يجب توزيع الرقم على كل مصطلح من كثير الحدود. يمكننا توزيع 2

للحصول على التعبير المكافئ 2 × + 14.

عند ضرب كثيرات الحدود ، تسمح لنا خاصية التوزيع بضرب كل حد من كثير الحدود الأول في كل حد من الثانية. ثم نجمع حاصل الضرب معًا ونجمع الحدود المتشابهة لتبسيطها.

بالنظر إلى ضرب اثنين من كثيرات الحدود ، استخدم خاصية التوزيع لتبسيط التعبير.

  1. اضرب كل حد من كثير الحدود الأول في كل حد من الثانية.
  2. اجمع بين الشروط المتشابهة.
  3. تبسيط.

يمكننا استخدام جدول لتتبع عملنا ، كما هو موضح في [الرابط]. اكتب واحدة كثيرة الحدود في الجزء العلوي والأخرى أسفل الجانب. لكل مربع في الجدول ، اضرب مصطلح هذا الصف في مصطلح هذا العمود. ثم اجمع كل الحدود معًا ، واجمع الحدود المتشابهة ، وقم بتبسيطها.

3 × 2 - س + 4
2 × 6 × 3 −2 × 2 8 ×
+ 1 3 × 2 - س 4

استخدام FOIL لمضاعفة ذات الحدين

يُستخدم اختصار يسمى FOIL أحيانًا للعثور على حاصل ضرب ذات حدين. يطلق عليه FOIL لأننا نضرب Fالشروط الأولى ، اشروط الرحم ، و أناشروط nner ، ثم لشروط ast لكل ذي الحدين.

تنشأ طريقة FOIL من خاصية التوزيع. نحن ببساطة نضرب كل حد من الحدين الأول في كل حد من الحدين الثاني ، ثم نجمع الحدود المتشابهة.

باستخدام حدين ، استخدم FOIL لتبسيط التعبير.

  1. اضرب الحدين الأول من كل ذي حدين.
  2. اضرب الحدود الخارجية للحدين.
  3. اضرب الحدود الداخلية للحدين.
  4. اضرب آخر حد من كل ذي حدين.
  5. أضف المنتجات.
  6. اجمع الحدود المتشابهة وبسّط.

استخدم FOIL للعثور على المنتج.

أوجد حاصل ضرب الحدين الأول.

أوجد حاصل ضرب الحدود الخارجية.

أوجد حاصل ضرب الحدود الداخلية.

أوجد حاصل ضرب آخر الحدود.

6 x 2 + 6 x - 54 x - 54 أضف حاصل الضرب. 6 x 2 + (6 x - 54 x) - 54 اجمع الحدود المتشابهة. 6 x 2-48 x - 54 بسّط.

استخدم FOIL للعثور على المنتج.

الكمال ثلاثي الحدود المربع

بعض المنتجات ذات الحدين لها أشكال خاصة. عندما يتم تربيع ذات الحدين ، فإن النتيجة تسمى أ ثلاثي الحدود المربع الكامل. يمكننا إيجاد المربع بضرب ذات الحدين في نفسه. ومع ذلك ، هناك شكل خاص يتخذه كل من هذه القيم الثلاثية المربعة الكاملة ، كما أن حفظ النموذج يجعل تربيع الحدين أسهل وأسرع بكثير. دعونا نلقي نظرة على عدد قليل من القيم الثلاثية المربعة الكاملة لنتعرف على الشكل.

لاحظ أن المصطلح الأول من كل ثلاثية هو مربع المصطلح الأول من ذات الحدين ، وبالمثل ، فإن المصطلح الأخير من كل ثلاثية هو مربع المصطلح الأخير من ذات الحدين. الحد الأوسط هو ضعف حاصل ضرب الحدين. أخيرًا ، نرى أن أول علامة من ثلاثي الحدود هي نفس علامة ذات الحدين.

عندما يتم تربيع الحدود ذات الحدين ، تكون النتيجة هي تربيع الحد الأول لمضاعفة حاصل ضرب كلا الحدين وتربيع الحد الأخير.

بإعطاء قيمة ذات الحدين ، قم بتربيعها باستخدام صيغة القيم الثلاثية للمربع الكامل.

  1. ربّع الحد الأول من ذات الحدين.
  2. قم بتربيع الحد الأخير من ذات الحدين.
  3. للحد الأوسط من ثلاثي الحدود ، ضاعف حاصل ضرب الحدين.
  4. جمع وتبسيط.

ابدأ بتربيع الحد الأول والحد الأخير. للحد الأوسط من ثلاثي الحدود ، ضاعف حاصل ضرب الحدين.

فرق المربعات

منتج خاص آخر يسمى فرق المربعات، وهو ما يحدث عندما نضرب ذات الحدين في ذات الحدين الأخرى بنفس الشروط ولكن مع الإشارة المعاكسة. لنرى ماذا يحدث عندما نضرب (س + 1) (س - 1)

يسقط الحد الأوسط ، مما ينتج عنه اختلاف في المربعات. تمامًا كما فعلنا مع المربعات المثالية ، دعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

نظرًا لأن العلامة تتغير في ذات الحدين الثانية ، فإن الحدين الخارجي والداخلي يلغي كل منهما الآخر ، ولم يتبق لنا سوى مربع الحد الأول مطروحًا منه مربع الحد الأخير.

هل هناك شكل خاص لمجموع المربعات؟

لا ، الفرق بين المربعات يحدث لأن العلامات المعاكسة للحدين تتسبب في اختفاء الحدود الوسطى. لا توجد ذات حدين يتم ضربهما ليساوي مجموع المربعات.

عندما يتم ضرب ذات الحدين في ذات الحدين بنفس المصطلحات مفصولة بعلامة معاكسة ، تكون النتيجة هي مربع الحد الأول مطروحًا منه مربع الحد الأخير.

إذا كانت ذات الحدين مضروبة في ذات الحدين بنفس الحدود ولكن بالإشارة المعاكسة ، فأوجد فرق المربعات.

  1. قم بتربيع الحد الأول من ذات الحدين.
  2. قم بتربيع الحد الأخير من ذات الحدين.
  3. اطرح مربع الحد الأخير من مربع الحد الأول.

اضرب (9 x + 4) (9 x - 4).

ربّع الحد الأول لتحصل على (9 x) 2 = 81 x 2.

ربّع الحد الأخير لتحصل على 4 2 = 16.

اطرح مربع الحد الأخير من مربع الحد الأول لإيجاد حاصل ضرب 81 × 2 - 16.

اضرب (2 x + 7) (2 x - 7).

إجراء عمليات مع كثيرات حدود لمتغيرات متعددة

لقد نظرنا إلى كثيرات الحدود التي تحتوي على متغير واحد فقط. ومع ذلك ، يمكن أن تحتوي كثير الحدود على عدة متغيرات. تنطبق جميع القواعد نفسها عند العمل مع كثيرات الحدود التي تحتوي على متغيرات متعددة. فكر في مثال:

اضرب (x + 4) (3 x - 2 y + 5).

اتبع نفس الخطوات التي استخدمناها لضرب كثيرات الحدود التي تحتوي على متغير واحد فقط.

اضرب (3 x - 1) (2 x + 7 y - 9).

قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على إرشادات وممارسات إضافية مع كثيرات الحدود.

المعادلات الرئيسية

ثلاثي الحدود المربع الكامل (س + أ) 2 = (س + أ) (س + أ) = س 2 + 2 أ س + أ 2
فرق المربعات (أ + ب) (أ - ب) = أ 2 - ب 2

المفاهيم الرئيسية

  • كثير الحدود عبارة عن مجموع من المصطلحات يتكون كل منها من متغير مرفوع إلى قوة عدد صحيح غير سالب. الدرجة هي أعلى قوة للمتغير الذي يحدث في كثير الحدود. المصطلح الرئيسي هو المصطلح الذي يحتوي على أعلى درجة ، والمعامل الرئيسي هو معامل ذلك المصطلح. انظر [رابط].
  • يمكننا جمع وطرح كثيرات الحدود بجمع الحدود المتشابهة. راجع [رابط] و [رابط].
  • لضرب كثيرات الحدود ، استخدم خاصية التوزيع لضرب كل حد في كثير الحدود الأول بكل حد في الثانية. ثم أضف المنتجات. انظر [رابط].
  • FOIL (الأول ، الخارجي ، الداخلي ، الأخير) هو اختصار يمكن استخدامه لمضاعفة القيم ذات الحدين. انظر [رابط].
  • تعد القيم الثلاثية المربعة المثالية واختلاف المربعات من المنتجات الخاصة. راجع [رابط] و [رابط].
  • اتبع نفس القواعد للعمل مع كثيرات الحدود التي تحتوي على متغيرات متعددة. انظر [رابط].

تمارين القسم

شفهي

قم بتقييم العبارة التالية: درجة كثير الحدود في النموذج القياسي هي الأس للمصطلح الرئيسي. اشرح لماذا العبارة صحيحة أو خاطئة.

البيان صحيح. في الشكل القياسي ، يتم وضع كثير الحدود ذي الأس الأعلى قيمة أولاً وهو المصطلح الرئيسي. درجة كثير الحدود هي قيمة الأس الأعلى ، والتي في الشكل القياسي هي أيضًا الأس للمصطلح الرئيسي.

في كثير من الأحيان ، ينتج عن ضرب حدين في متغيرين ناتج ثلاثي الحدود. ليس هذا هو الحال عندما يكون هناك فرق بين مربعين. اشرح سبب كون المنتج في هذه الحالة ذو حدين أيضًا.

يمكنك ضرب كثيرات الحدود بأي عدد من المصطلحات وأي عدد من المتغيرات باستخدام أربع خطوات أساسية مرارًا وتكرارًا حتى تصل إلى كثير الحدود الموسع. ما هي الخطوات الأربع؟

استخدم خاصية التوزيع ، واضرب ، واجمع الحدود المتشابهة ، وبسّط.

حدد ما إذا كانت العبارة التالية صحيحة واشرح السبب أو لماذا لا: تكون ثلاثية الحدود دائمًا أعلى من أحادية الحد.


تبسيط (x 3 + 3x 2 + 5x & ndash 4) & ndash (3x 3 و - 8x 2 و - 5x + 6)

أول شيء علي فعله هو أخذ علامة & quotminus & quot عبر الأقواس التي تحتوي على كثير الحدود الثاني. يجد بعض الطلاب أنه من المفيد وضع & quot 1 & quot أمام الأقواس ، لمساعدتهم على تتبع علامة الطرح.

هذا ما يبدو عليه الطرح عند العمل أفقيًا:

وإليك ما يبدو عليه الطرح عند الانتقال عموديًا:

في الجمع الأفقي (أعلاه) ، ربما لاحظت أن تمرير السالب خلال الأقواس يغير العلامة الموجودة على كل حد داخل هذين القوسين. الاختصار عند العمل عموديًا هو عدم الإزعاج بالكتابة في علامة الترجمة أو الأقواس بدلاً من ذلك ، اكتب كثير الحدود الثاني في الصف الثاني ، ثم اقلب جميع العلامات الموجودة في هذا الصف ، & quotplus & quot إلى & quotminus & quot و & quotminus & quot إلى & quotplus & quot.

سوف أقوم بتغيير جميع العلامات الموجودة في الصف الثاني (الموضحة باللون الأحمر أدناه) ، وأضيف:

في كلتا الحالتين ، أحصل على الإجابة:

بسّط (6x 3 و - 2x 2 + 8x) & ndash (4x 3 و - 11x + 10)

إليك عملية الطرح التي تتم أفقيًا:

بالانتقال عموديًا ، سأكتب كثيرات الحدود ، مع ترك فجوات حسب الضرورة:

ثم أقلب كل الإشارات في السطر الثاني ، ثم نضيف:

في كلتا الحالتين ، أحصل على نفس الإجابة:

هل نحن مقيدون بالجمع أو الطرح فقط أزواج من كثيرات الحدود؟ لا إطلاقا. بمجرد أن تصل إلى حساب التفاضل والتكامل ، من المحتمل جدًا أنه سيكون من الضروري الجمع بين ثلاثة أو أكثر من كثيرات الحدود ، بعضها مضاف والبعض الآخر مطروح. فقط احرص على كتابة الأشياء بدقة ، ولا تحاول أن تفعل الكثير في أي خطوة واحدة.

بسّط: (3x 2 و - 5x & ndash 1) & ndash (x 3 و - 2x 2 + 4) + (9x 3 + 5x 2 و - 3x & ndash 2)

حسنًا ، لتسهيل الأمر على نفسي ، سأقوم أولاً بقلب جميع الإشارات الخاصة بالحق الثاني ، لأنه يوجد حاليًا علامة & quotminus & quot أمام هذا كثير الحدود. بحيث تصبح كثيرة الحدود المتوسطة:

ثم سأقوم بإعداد التبسيط الخاص بي (والذي يتضمن الآن إضافة فقط) بالتنسيق الرأسي:

يمكنك استخدام أداة Mathway أدناه للتدرب على إضافة وطرح كثيرات الحدود. جرب التمرين الذي تم إدخاله ، أو اكتب التمرين الخاص بك. ثم انقر فوق الزر وحدد & quotAdd & quot أو & quotSubtract the Expressions & quot لمقارنة إجابتك بـ Mathway.

(انقر فوق & quotTap لعرض الخطوات & quot ليتم نقلك مباشرةً إلى موقع Mathway للحصول على ترقية مدفوعة.)


اطرح معادلات كثيرة الحدود

المعادلة متعددة الحدود هي معادلة بالصيغة: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (الدرجة الثالثة) ، ax 3 + bx 2 + c = 0 (الدرجة الثانية). يشبه طرح المعادلة متعددة الحدود إضافة المعادلات ، لكن عليك التعامل مع علامة الطرح. لطرح المعادلات متعددة الحدود ، قم أولاً بعكس إشارة كل مصطلح ("+" إلى "-" و "-" إلى "+") وأضف المعادلات كالمعتاد. إليك آلة حاسبة للطرح عبر الإنترنت يمكنك من خلالها طرح معادلة كثيرة الحدود بسهولة من الأخرى.


7.2: إضافة وطرح كثيرات الحدود

العمليات مع كثير من الشخصيات

إن جمع وطرح كثيرات الحدود هو ببساطة جمع وطرح حدودها المتشابهة. يوجد تشابه كبير بين العمليات متعددة الحدود وأرقام الفئات. قارن الأمثلة التالية:

1. أضف 5 كوارت و 1 نقطة إلى 3 كوارت و 2 نقطة.

تتمثل إحدى طرق إضافة كثيرات الحدود (الموضحة في الأمثلة أعلاه) في وضع المصطلحات المتشابهة في الأعمدة وإيجاد المجموع الجبري للمصطلحات المتشابهة. على سبيل المثال ، لإضافة 3 أ + ب - 3 ج ، 3 ب + ج - د ، و 2 أ + 4 د ، سنرتب كثيرات الحدود على النحو التالي:

يمكن إجراء الطرح باستخدام نفس الترتيب - أي بوضع شروط المطروح تحت الشروط المماثلة للقيمة الصغرى وتنفيذ عملية الطرح مع مراعاة الإشارة. تذكر ، عند الطرح ، يجب أولاً تغيير علامات جميع شروط المطروح عقليًا ثم إكمال العملية بالإضافة إلى ذلك. على سبيل المثال ، اطرح 10a + b من 8a - 2b كما يلي:

مرة أخرى ، لاحظ التشابه بين هذا النوع من الطرح وطرح الأرقام المحددة.

يمكن أيضًا الإشارة إلى إضافة وطرح كثيرات الحدود بمساعدة رموز التجميع. القاعدة المتعلقة بتغييرات الإشارة عند إزالة الأقواس مسبوقة بعلامة الطرح تعتني تلقائيًا بالطرح.

For example, to subtract 10a + b from 8a - 2b, we can use the following arrangement:

Similarly, to add -3x + 2y to -4x - 5y, we can write

Practice problems. Add as indicated, in each of the following problems:

In problems 5 through 8, perform the indicated operations and combine like terms.

5. (2a + b) - (3a + 5b)
6. (5x3y + 3x2y) - (x3y)
7. (x + 6) + (3x + 7)
8. (4a 2 - b) - (2a 2 + b)

MULTIPLICATION OF A POLYNOMIAL BY A MONOMIAL

We can explain the multiplication of a polynomial by a monomial by using an arithmetic example. Let it be required to multiply the binomial expression, 7 - 2, by 4. We may write this 4 x (7 - 2)orsimply 4(7 - 2). Now 7 - 2 = 5. Therefore, 4(7 - 2) = 4(5) = 20. Now, let us then subtract. Thus, 4(7 - 2) = (4 x 7) - (4 x 2) = 20. Both methods give the same result. The second method makes use of the distributive law of multiplication.

When there are literal parts in the expression to be multiplied, the first method cannot be used and the distributive method must be employed. This is illustrated in the following examples:

Thus, to multiply a polynomial by a monomial, multiply each term of the polynomial by the monomial.


محتويات

The finite field with p n elements is denoted GF(p n ) and is also called the Galois field, in honor of the founder of finite field theory, Évariste Galois. GF(ص), where ص is a prime number, is simply the ring of integers modulo ص. That is, one can perform operations (addition, subtraction, multiplication) using the usual operation on integers, followed by reduction modulo ص. For instance, in GF(5), 4 + 3 = 7 is reduced to 2 modulo 5. Division is multiplication by the inverse modulo ص, which may be computed using the extended Euclidean algorithm.

A particular case is GF(2), where addition is exclusive OR (XOR) and multiplication is AND. Since the only invertible element is 1, division is the identity function.

Elements of GF(p n ) may be represented as polynomials of degree strictly less than ن over GF(ص). Operations are then performed modulo ص أين ص is an irreducible polynomial of degree ن over GF(ص), for instance using polynomial long division. The addition of two polynomials ص و س is done as usual multiplication may be done as follows: compute دبليو = صس as usual, then compute the remainder modulo ص (there exist better ways to do this).

There are other representations of the elements of GF(p n ), some are isomorphic to the polynomial representation above and others which look quite different (for instance, using matrices).

When the prime is 2, it is conventional to express elements of GF(p n ) as binary numbers, with each term in a polynomial represented by one bit in the corresponding element's binary expression. Braces ( "<" and ">" ) or similar delimiters are commonly added to binary numbers, or to their hexadecimal equivalents, to indicate that the value is an element of a field. For example, the following are equivalent representations of the same value in a characteristic 2 finite field:

Polynomial x 6 + x 4 + x + 1
Binary
Hexadecimal

There are many irreducible polynomials (sometimes called reducing polynomials) that can be used to generate a finite field, but they do not all give rise to the same representation of the field.

A monic irreducible polynomial of degree ن having coefficients in the finite field GF( ف ), where ف = ص ر for some prime p and positive integer t , is called a primitive polynomial if all of its roots are primitive elements of GF( q n ). [1] [2] In the polynomial representation of the finite field, this implies that x is a primitive element. There is at least one irreducible polynomial for which x is a primitive element. [3] In other words, for a primitive polynomial, the powers of x generate every nonzero value in the field.

In the following examples it is best not to use the polynomial representation, as the meaning of x changes between the examples. The monic irreducible polynomial x 8 + x 4 + x 3 + x + 1 over GF(2) is not primitive. Let λ be a root of this polynomial (in the polynomial representation this would be x ), that is, λ 8 + λ 4 + λ 3 + λ + 1 = 0 . Now λ 51 = 1 , so λ is not a primitive element of GF(2 8 ) and generates a multiplicative subgroup of order 51. [4] Consider the field element λ + 1 (in the polynomial representation this would be x + 1). Now (λ+1) 8 + (λ+1) 4 + (λ+1) 3 + (λ+1) 2 + 1 = λ 8 + λ 4 + λ 3 + λ + 1 = 0 . As all the roots of this primitive polynomial are primitive elements, λ + 1 is a primitive element of GF(2 8 ) ( (λ + 1) 255 = 1 and no smaller power does). GF(2 8 ) has 128 generators (see Number of primitive elements). Having x as a generator for a finite field is beneficial for many computational mathematical operations.

Addition and subtraction are performed by adding or subtracting two of these polynomials together, and reducing the result modulo the characteristic.

In a finite field with characteristic 2, addition modulo 2, subtraction modulo 2, and XOR are identical. هكذا،

Polynomial (x 6 + x 4 + x + 1) + (x 7 + x 6 + x 3 + x) = x 7 + x 4 + x 3 + 1
Binary <01010011>+ <11001010>=
Hexadecimal <53>+ =

Under regular addition of polynomials, the sum would contain a term 2x 6 . This term becomes 0x 6 and is dropped when the answer is reduced modulo 2.

Here is a table with both the normal algebraic sum and the characteristic 2 finite field sum of a few polynomials:

ص1 ص2 ص1 + ص2 under.
K[x] GF(2 ن )
x 3 + x + 1 x 3 + x 2 2x 3 + x 2 + x + 1 x 2 + x + 1
x 4 + x 2 x 6 + x 2 x 6 + x 4 + 2x 2 x 6 + x 4
x + 1 x 2 + 1 x 2 + x + 2 x 2 + x
x 3 + x x 2 + 1 x 3 + x 2 + x + 1 x 3 + x 2 + x + 1
x 2 + x x 2 + x 2x 2 + 2x 0

In computer science applications, the operations are simplified for finite fields of characteristic 2, also called GF(2 ن ) Galois fields, making these fields especially popular choices for applications.

Multiplication in a finite field is multiplication modulo an irreducible reducing polynomial used to define the finite field. (I.e., it is multiplication followed by division using the reducing polynomial as the divisor—the remainder is the product.) The symbol "•" may be used to denote multiplication in a finite field.

Rijndael's (AES) finite field Edit

Rijndael (standardised as AES) uses the characteristic 2 finite field with 256 elements, which can also be called the Galois field GF(2 8 ). It employs the following reducing polynomial for multiplication:

x 8 + x 4 + x 3 + x + 1.

For example, <53>• = <01>in Rijndael's field because

(x 6 + x 4 + x + 1)(x 7 + x 6 + x 3 + x)
= (x 13 + x 12 + x 9 + x 7 ) + (x 11 + x 10 + x 7 + x 5 ) + (x 8 + x 7 + x 4 + x 2 ) + (x 7 + x 6 + x 3 + x)
= x 13 + x 12 + x 9 + x 11 + x 10 + x 5 + x 8 + x 4 + x 2 + x 6 + x 3 + x
= x 13 + x 12 + x 11 + x 10 + x 9 + x 8 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x

x 13 + x 12 + x 11 + x 10 + x 9 + x 8 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x عصري x 8 + x 4 + x 3 + x 1 + 1
= (11111101111110 mod 100011011)
= <3F7E mod 11B>=
= 1 (decimal)

The latter can be demonstrated through long division (shown using binary notation, since it lends itself well to the task. Notice that exclusive OR is applied in the example and not arithmetic subtraction, as one might use in grade-school long division.):

(The elements <53>and are multiplicative inverses of one another since their product is 1.)

Multiplication in this particular finite field can also be done using a modified version of the "peasant's algorithm". Each polynomial is represented using the same binary notation as above. Eight bits is sufficient because only degrees 0 to 7 are possible in the terms of each (reduced) polynomial.

This algorithm uses three variables (in the computer programming sense), each holding an eight-bit representation. أ و ب are initialized with the multiplicands ص accumulates the product and must be initialized to 0.

At the start and end of the algorithm, and the start and end of each iteration, this invariant is true: أ ب + ص is the product. This is obviously true when the algorithm starts. When the algorithm terminates, أ أو ب will be zero so ص will contain the product.

  • Run the following loop eight times (once per bit). It is OK to stop when أ أو ب is zero before an iteration:
    1. If the rightmost bit of ب is set, exclusive OR the product ص by the value of أ. This is polynomial addition.
    2. Shift ب one bit to the right, discarding the rightmost bit, and making the leftmost bit have a value of zero. This divides the polynomial by x, discarding the x 0 term.
    3. Keep track of whether the leftmost bit of أ is set to one and call this value carry.
    4. Shift أ one bit to the left, discarding the leftmost bit, and making the new rightmost bit zero. This multiplies the polynomial by x, but we still need to take account of carry which represented the coefficient of x 7 .
    5. إذا carry had a value of one, exclusive or أ with the hexadecimal number 0x1b (00011011 in binary). 0x1b corresponds to the irreducible polynomial with the high term eliminated. Conceptually, the high term of the irreducible polynomial and carry add modulo 2 to 0.
  • ص now has the product

This algorithm generalizes easily to multiplication over other fields of characteristic 2, changing the lengths of أ, ب، و ص and the value 0x1b appropriately.

The multiplicative inverse for an element أ of a finite field can be calculated a number of different ways:

  • By multiplying أ by every number in the field until the product is one. This is a brute-force search.
  • Since the nonzero elements of GF(p n ) form a finite group with respect to multiplication, أp n −1 = 1 (for أ ≠ 0 ), thus the inverse of أ هو أp n −2 .
  • By using the extended Euclidean algorithm.
  • By making logarithm and exponentiation tables for the finite field, subtracting the logarithm from p n −1 and exponentiating the result.
  • By making an modular multiplicative inverse table for the finite field and doing a lookup.
  • By mapping to a composite field where inversion is simpler, and mapping back.
  • By constructing a special integer (in case of a finite field of a prime order) or a special polynomial (in case of a finite field of a non-prime order) and dividing it by أ. [5]

Generator based tables Edit

When developing algorithms for Galois field computation on small Galois fields, a common performance optimization approach is to find a generator g and use the identity:

to implement multiplication as a sequence of table look ups for the logg(أ) و g ذ functions and an integer addition operation. This exploits the property that every finite field contains generators. In the Rijndael field example, the polynomial x + 1 (or <03>) is one such generator. A necessary but not sufficient condition for a polynomial to be a generator is to be irreducible.

An implementation must test for the special case of أ أو ب being zero, as the product will also be zero.

This same strategy can be used to determine the multiplicative inverse with the identity:

Here, the order of the generator, | g |, is the number of non-zero elements of the field. In the case of GF(2 8 ) this is 2 8 − 1 = 255 . That is to say, for the Rijndael example: (x + 1) 255 = 1 . So this can be performed with two look up tables and an integer subtract. Using this idea for exponentiation also derives benefit:

This requires two table look ups, an integer multiplication and an integer modulo operation. Again a test for the special case أ = 0 must be performed.

However, in cryptographic implementations, one has to be careful with such implementations since the cache architecture of many microprocessors leads to variable timing for memory access. This can lead to implementations that are vulnerable to a timing attack.

Carryless multiply Edit

For binary fields GF(2^ن), field multiplication can be implemented using a carryless multiply such as CLMUL instruction set, which is good for ن <= 64. A multiplication uses one carryless multiply to produce a product (up to 2ن-1 bits), another carryless multiply of a pre-computed inverse of the field polynomial to produce a quotient = ⌊ product / (field polynomial) ⌋ , a multiply of the quotient by the field polynomial, then an xor: result = product ⊕ ((field polynomial) ⌊ product / (field polynomial) ⌋). The last 3 steps (pclmulqdq, pclmulqdq, xor) are used in the Barrett reduction step for fast computation of CRC using the X86 pclmulqdq instruction. [6]

Composite field Edit

When k is a composite number, there will exist isomorphisms from a binary field GF(2 ك ) to an extension field of one of its subfields, that is, GF((2 م ) ن ) where ك = م ن . Utilizing one of these isomorphisms can simplify the mathematical considerations as the degree of the extension is smaller with the trade off that the elements are now represented over a larger subfield. [7] To reduce gate count for hardware implementations, the process may involve multiple nesting, such as mapping from GF(2 8 ) to GF(((2 2 ) 2 ) 2 ). [8] There is an implementation constraint, the operations in the two representations must be compatible, so explicit use of the isomorphism is needed. More precisely, the isomorphism will be denoted by map(), it is a bijection that maps an element of GF(2 ك ) to GF((2 م ) ن ), satisfying: map(a+b) = map(a) + map(b) and map(a b) = map(a) map(b), where the operations on the left side occur in GF(2 k ) before mapping and the operations on the right side occur in GF((2 م ) ن ) after mapping. [9] The isomorphism is usually implemented with a ك row by ك bit matrix, used to perform a matrix multiply over GF(2) of an element of GF(2 ك ) treated as a ك row by 1 bit matrix. Define α as a primitive element of GF(2 ك ), and β as a primitive element of GF((2 م ) ن ). Then β j = map(α j ) and α j = map −1 (β j ). The values of α and β determine the mapping matrix and its inverse. Since the actual math is performed in GF((2 م ) ن ), the reducing polynomial for GF((2 م ) ن ) is usually primitive and β = x in GF((2 م ) ن ). In order to meet the compatibility constraint for addition and multiplication, a search is done to choose any primitive element α of GF(2 ك ) that will meet the constraint. In the case where reducing polynomial for GF(2 ك ) is primitive, an alternate mapping method is possible: the 1 bit coefficients of the reducing polynomial for GF(2 ك ) are interpreted as م bit elements 0 or 1 of GF(2 م ), and there will be م primitive factors of degree ن, any of which can be used as the reducing polynomial for GF((2 م ) ن ). Mapping to a composite field can be generalized to map GF(ص ك ) to a composite field such as GF((ص م ) ن ), for ص a prime number greater than 2, but such fields are not commonly used in practice.

C programming example Edit

Here is some C code which will add and multiply numbers in the characteristic 2 finite field of order 2 8 , used for example by Rijndael algorithm or Reed–Solomon, using the Russian Peasant Multiplication algorithm:

This example has cache, timing, and branch prediction side-channel leaks, and is not suitable for use in cryptography.

D programming example Edit

This D program will multiply numbers in Rijndael's finite field and generate a PGM image:

This example does not use any branches or table lookups in order to avoid side channels and is therefore suitable for use in cryptography.


Approach: The implementation uses map data structure so that all coefficients of same power value are added together and kept in key-value pairs inside a map.

Below is the implementation of the above approach:

Time Complexity: O((m + n)log(m+n)) where m and n are numbers of nodes in first and second lists respectively and we are using a map for adding the coefficients extra log(m+n) factor is added.

Attention reader! Don&rsquot stop learning now. Get hold of all the important DSA concepts with the DSA Self Paced Course at a student-friendly price and become industry ready. To complete your preparation from learning a language to DS Algo and many more, please refer Complete Interview Preparation Course.


Polynomial math

The calculator evaluates a polynomial expression. The expression contains polynomials and operations +,-,/,*, mod- division remainder, gcd - greatest common divisior, egcda, egcdb, lc, deg, pp, content, monic functions.

The calculator below solves a univariate polynomial math expression. It supports polynomial addition, subtraction, multiplication, division, exponentiation, modulo, greatest common divisor, and other operations (have a look at the operation list just below the calculator). You may turn on the 'Show details' switch to get step by step solution.

Polynomial arithmetic

Polynomial input formats

The calculator expects input polynomials in any combinations of two formats:

Polynomial operations

+ - polynomial addition
- - polynomial subtraction
/ - polynomial division
*- polynomial multiplication
^ - exponentiation to integer degree
() - expression grouping
content(u) - polynomial content (mutual gcd of polynomial coefficients)
deg(u) - polynomial degree
egcda(uv) - a polynomail of Bézout's identity( )
egcdb(uv) - b polynomail of Bézout's identity
gcd(uv) - polynomial greatest common divisor
lc(u) - polynomial leading coefficient
mod(uv) - polynomial division remainder (modulo)
monic(u) - monic polynomial
pp(u) - primitive part of polynomial


Polynomial features are those features created by raising existing features to an exponent.

For example, if a dataset had one input feature X, then a polynomial feature would be the addition of a new feature (column) where values were calculated by squaring the values in X, e.g. X^2. This process can be repeated for each input variable in the dataset, creating a transformed version of each.

As such, polynomial features are a type of feature engineering, e.g. the creation of new input features based on the existing features.

The “degree” of the polynomial is used to control the number of features added, e.g. a degree of 3 will add two new variables for each input variable. Typically a small degree is used such as 2 or 3.

Generally speaking, it is unusual to use d greater than 3 or 4 because for large values of d, the polynomial curve can become overly flexible and can take on some very strange shapes.

It is also common to add new variables that represent the interaction between features, e.g a new column that represents one variable multiplied by another. This too can be repeated for each input variable creating a new “interaction” variable for each pair of input variables.

A squared or cubed version of an input variable will change the probability distribution, separating the small and large values, a separation that is increased with the size of the exponent.

This separation can help some machine learning algorithms make better predictions and is common for regression predictive modeling tasks and generally tasks that have numerical input variables.

Typically linear algorithms, such as linear regression and logistic regression, respond well to the use of polynomial input variables.

Linear regression is linear in the model parameters and adding polynomial terms to the model can be an effective way of allowing the model to identify nonlinear patterns.

For example, when used as input to a linear regression algorithm, the method is more broadly referred to as polynomial regression.

Polynomial regression extends the linear model by adding extra predictors, obtained by raising each of the original predictors to a power. For example, a cubic regression uses three variables, X, X2, and X3, as predictors. This approach provides a simple way to provide a non-linear fit to data.

Want to Get Started With Data Preparation?

Take my free 7-day email crash course now (with sample code).

Click to sign-up and also get a free PDF Ebook version of the course.


All About Polynomials

A main topic in algebra classes is polynomials. There are many subtopics of this topic, including adding, subtracting, multiplying, and dividing.

This page will take you through the basics, including the definition, labeling according to the number of terms, labeling according to the degree, and the end behavior.

تعريف: A monomial or a sum of monomials. A monomial is simply a "term."

For more information about terms, see combining like terms.

Terms are seperated by + and - signs. Poly's with 1, 2, or 3 terms have specific names, while poly's of 4 or more terms are simply called polynomials of # terms. Take a look at the table below.

Again, all you are looking for is the number of terms. When there are 1, 2, or 3 the poly is given the special names monomial, binomial, trinomial, respectively. If there are more than 3, then it is simply called a poly من that many terms.

Labeling According to the Degree

The degree of a poly is determined by the exponents. In fact, it is determined by the largest exponent. Take a look at this table.

Notice that we are no longer interested in the number of terms, but simply the degree of the exponent.

Often polynomials will be referred to by both the number of terms and the degree. Take a look at the two examples below.

Example #1: x 2 + 4x - 8 (quadratic trinomial)
Example #2: 2x 3 - 16x (cubic binomial)

Standard Form

For simplicity, it is often preferred to put a poly into standard form. This means that the terms are place in descending order (highest to lowest) according to their degree.

End Behavior of the Polynomial

The end behavior of a graph is what happens at the far left and the far right. Two factors determine the end behavior: positive or negative, and whether the degree is even or odd.

For the examples below, we will use x 2 and x 3 , but the end behavior will be the same for any even degree or any odd degree. However, keep in mind that what happens "in the middle" will change.

Knowing the general shape and end behavior is an important step towards understanding polys. With a little practice, you will know how to perform all of the operations associated with polynomials. Take a look at how to perform polynomials division.


شاهد الفيديو: الصف التاسع الرياضيات جمع كثيرات الحدود و طرحها 2 (ديسمبر 2021).