مقالات

1.2: النظرية الأساسية للجبر


أحد أسباب استخدام الأعداد المركبة هو أن السماح للجذور المعقدة يعني أن كل متعدد الحدود لديه بالضبط العدد المتوقع من الجذور. وهذا ما يسمى النظرية الأساسية في الجبر.

Theorem ( PageIndex {1} ) النظرية الأساسية للجبر

كثير الحدود من الدرجة (n ) له جذور معقدة (n ) بالضبط (يتم حساب الجذور المكررة مع التعددية).

في غضون أسابيع قليلة ، سنتمكن من إثبات هذه النظرية كنتيجة بسيطة بشكل ملحوظ لإحدى نظرياتنا الرئيسية.


1.2: النظرية الأساسية للجبر

الآن بعد أن تمكنا من إيجاد أصفار كسرية لدالة كثيرة الحدود ، سننظر إلى نظرية تناقش عدد الأصفار المركبة لدالة كثيرة الحدود. ال النظرية الأساسية في الجبر يخبرنا أن كل دالة كثيرة الحدود لها صفر مركب واحد على الأقل. تشكل هذه النظرية الأساس لحل المعادلات متعددة الحدود.

افترض F هي دالة كثيرة الحدود من الدرجة الرابعة ، و [اللاتكس] f left (x right) = 0 [/ latex]. تنص النظرية الأساسية للجبر على وجود حل معقد واحد على الأقل ، نسميه [اللاتكس]_ <1> [/ اللاتكس]. من خلال نظرية العوامل ، يمكننا كتابة [اللاتكس] f left (x right) [/ latex] كمنتج لـ [اللاتكس] x-_ < text <1>> [/ latex] وحاصل قسمة كثير الحدود. منذ [اللاتكس] x-_ < text <1>> [/ latex] خطي ، وسيكون حاصل القسمة متعدد الحدود من الدرجة الثالثة. نطبق الآن النظرية الأساسية للجبر على حاصل القسمة متعدد الحدود من الدرجة الثالثة. سيحتوي على صفر مركب واحد على الأقل ، أطلق عليه [اللاتكس]_ < نص <2>> [/ لاتكس]. لذا يمكننا كتابة حاصل قسمة كثير الحدود كمنتج لـ [اللاتكس] x-_ < text <2>> [/ latex] وحاصل قسمة جديد متعدد الحدود من الدرجة الثانية. استمر في تطبيق النظرية الأساسية للجبر حتى يتم العثور على جميع الأصفار. سيكون هناك أربعة منهم وسينتج عن كل واحد عامل [اللاتكس] f left (x right) [/ latex].

ملاحظة عامة: النظرية الأساسية في الجبر تنص على ذلك ، إذا و (خ) هي كثيرة الحدود من الدرجة ن & GT 0، ومن بعد و (خ) تحتوي على صفر مركب واحد على الأقل.

يمكننا استخدام هذه النظرية للدلالة على أنه إذا كان [اللاتكس] f left (x right) [/ latex] هو متعدد الحدود من الدرجة [latex] n & gt0 [/ latex] ، و أ هو رقم حقيقي غير صفري ، ثم [اللاتكس] f left (x right) [/ latex] لديه بالضبط ن العوامل الخطية

أين [اللاتكس]_<1>,_<2>,…,_ [/ اللاتكس] هي أعداد مركبة. لذلك ، [اللاتكس] f left (x right) [/ latex] لديها ن الجذور إذا سمحنا بالتعدد.

هل تحتوي كل كثيرة الحدود على صفر وهمي واحد على الأقل؟

لا ، ليس بالضرورة أن يكون العدد المركب وهميًا. الأعداد الحقيقية هي أيضًا أعداد مركبة.

مثال 6: إيجاد أصفار دالة متعددة الحدود بأصفار مركبة

أوجد أصفار [اللاتكس] f left (x right) = 3^<3>+9^ <2> + x + 3 [/ لاتكس].

حل

تخبرنا نظرية الصفر المنطقي أنه إذا كان [اللاتكس] frac

[/ latex] هو صفر من [اللاتكس] f left (x right) [/ latex] ، إذن ص هو العامل 3 و ف هو العامل 3.

عوامل 3 هي [اللاتكس] pm 1 [/ latex] و [اللاتكس] pm 3 [/ latex]. القيم المحتملة لـ [اللاتكس] frac

[/ latex] ، وبالتالي الأصفار المنطقية الممكنة للوظيفة ، هي [latex] pm 3 ، text < pm 1 ، و> pm frac <1> <3> [/ latex] . سنستخدم القسمة التركيبية لإيجاد قيمة كل صفر محتمل حتى نجد واحدًا يعطي الباقي من 0. لنبدأ ب -3.

تعطي القسمة على [لاتكس] يسار (س + 3 يمين) [/ لاتكس] الباقي من 0 ، لذا فإن –3 هي صفر من الدالة. يمكن كتابة كثير الحدود كـ

يمكننا بعد ذلك ضبط المعادلة التربيعية على 0 وإيجاد الأصفار الأخرى للدالة.

أصفار [اللاتكس] f left (x right) [/ latex] هي –3 و [اللاتكس] pm frac> <3> [/ اللاتكس].

تحليل الحل

انظر إلى الرسم البياني للدالة F. لاحظ أنه في [latex] x = -3 [/ latex] ، يتقاطع الرسم البياني مع x-محور ، يشير إلى تعدد فردي (1) للصفر [اللاتكس] x = -3 [/ latex]. لاحظ أيضًا وجود نقطتي التحول. هذا يعني أنه نظرًا لوجود كثير حدود من الدرجة الثالثة ، فإننا نبحث في الحد الأقصى لعدد نقاط التحول. لذلك ، سيستمر السلوك النهائي المتمثل في الزيادة دون تقييد جهة اليمين والتناقص دون تقييد إلى اليسار. وهكذا ، فإن كل x- يتم عرض اعتراضات الوظيفة. لذا فإما تعدد [اللاتكس] x = -3 [/ latex] هو 1 وهناك حلان معقدان ، وهو ما وجدناه ، أو التعددية في [اللاتكس] x = -3 [/ latex] ثلاثة. في كلتا الحالتين ، نتيجتنا صحيحة.

جربه 4

أوجد أصفار [اللاتكس] f left (x right) = 2^<3>+5^ <2> -11x + 4 [/ لاتكس].


النظرية الأساسية في الجبر

كثيرات الحدود هي نوع خاص من الوظائف.
إنها عبارات تتكون من متغيرات ومعاملات. الشكل العام لكثير الحدود مع الأس الرائد $ n $ (درجة $ n $ متعدد الحدود) هو:
$ p (x) = a_n x ^ n + a_ س ^ + & # 8230 + a_1 x + a_0 $
حيث $ a_0 ، a_1 ، & # 8230 ، a_، a_n in mathbb$ (متعدد الحدود مع معاملات معقدة) أو $ mathbb$ (كثير الحدود مع معاملات حقيقية) و $ a_n neq 0 $.

كثير الحدود من الدرجة الأولى
$ a x + b، a neq 0 $
تسمى أحيانًا كثيرة الحدود الخطية ، بينما تسمى كثيرة الحدود من الدرجة الثانية
$ a x ^ 2 + b x + c، a ne 0 $
يسمى كثير الحدود التربيعي (أو دالة تربيعية).

يمكنك العثور على مزيد من المعلومات حول كثيرات الحدود الخطية في الدروس ، المعادلات ذات الخطوة الواحدة ، والمعادلات المكونة من خطوتين ، والمعادلات متعددة الخطوات.

المزيد حول كثيرات الحدود التربيعية التي يمكنك العثور عليها في المعادلات التربيعية للدرس.

كثيرًا ما نريد إيجاد جذور كثيرة الحدود.
الجذر (أو صفر) للدالة $ f $ هو الرقم $ x $ بحيث أن $ f (x) = 0 $.

مثال 1 أوجد كل جذور الدالة $ f (x) = -5 x + 10 $.

-5 دولارًا × + 10 = 0 دولارًا
-5x دولار = -10 دولارات
x دولار = 2 دولار

مثال 2 أوجد كل جذور الدالة $ g (x) = x ^ 2 & # 8211 x & # 8211 6 $.

باستخدام صيغة جذور كثيرة الحدود التربيعية مع $ a = 1 $ ، $ b = -1 $ ، $ c = -6 $ يمكننا حساب
$ x_ <1،2> = frac <- (- 1) pm sqrt [] <(- 1) ^ 2-4 cdot1 cdot (-6) >> <2 (-1)> $
$ x_ <1،2> = frac <1 pm 5> <-2> $
x_1 دولار = -3 ، x_2 = 2. دولار

طريقة أخرى لإيجاد جذور كثيرة الحدود هي تحليلها ، أي كتابتها كمنتج لكثيرات الحدود الخطية
$ (x-x_n) (x-x_) cdot & # 8230 cdot (x-x_1). $
ثم $ x_1 ، x_2 ، & # 8230 ، x_من الواضح أن x_n $ هي جذور (أصفار) لكثير الحدود.

لمعرفة المزيد حول التحليل إلى عوامل ، انظر الدرس معنى مصطلح تحليل عوامل كثيرة الحدود.

مثال 3 أوجد كل جذور الدالة $ h (x) = x ^ 3 & # 8211 4 x ^ 2 & # 8211 x + 4 $.

أولاً سنعمل على تحليل كثير الحدود:
$ x ^ 3 & # 8211 4 x ^ 2 & # 8211 x + 4 = (x ^ 3 & # 8211 4 x ^ 2) & # 8211 (x & # 8211 4) = x ^ 2 (x & # 8211 4 ) & # 8211 (x & # 8211 4) = (x & # 8211 4) (x ^ 2 & # 8211 1) = (x & # 8211 4) (x & # 8211 1) (x + 1) $
حيث استخدمنا صيغة اختلاف المربعات لكتابة $ x ^ 2 & # 8211 1 $ كـ $ (x & # 8211 1) (x + 1) $ في المساواة الأخيرة. نلاحظ الآن على الفور أن جذور $ h $ هي $ -1 و 1 $ و 4 $.

لذا فإن كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة في المثال 3. لها ثلاثة جذور.

مثال 4 أوجد كل جذور الدالة $ p (x) = x ^ 4 + 5 x ^ 3 + 3 x ^ 2 & # 8211 9x $.

مرة أخرى ، الخطوة الأولى هي تحليل كثير الحدود إلى عوامل:
$ x ^ 4 + 5 x ^ 3 + 3 x ^ 2 & # 8211 9x = x (x ^ 3 + 5x ^ 2 + 3x & # 8211 9) = x (x ^ 3 + 3x ^ 2 + 2x ^ 2 + 3x & # 8211 9) = دولار
$ x (x ^ 2 (x + 3) + 2x ^ 2 + 6x-3x-9 = x ^ 2 (x + 3) + 2x (x + 3) -3 (x + 3)) = x ((x +3) (x ^ 2 + 2x-3)) = $
دولار x ((x + 3) (x ^ 2 + 3x-x-3)) = x ((x + 3) (x (x + 3) - (x + 3))) = x ((x + 3 ) ((x + 3) (x-1))) = $
$ x (x + 3) ^ 2 (x-1) = (x-0) (x + 3) ^ 2 (x-1) $
نرى أن الجذور هي 1 دولار و -3 دولار. لاحظ أن العامل $ (x + 3) $ الذي يقابل الجذر $ -3 $ هو أس $ 2 $. نقول أن الجذر $ -3 $ له تعدد قيمته $ 2 $ ، بينما الجذور $ و $ 1 $ له تعدد قيمته $ 1 $.

تعدد من الجذر هي قوة العامل الخطي المقابل في التحليل الكامل لكثير الحدود.

بالعد في التعددية ، نرى أن كثيرة الحدود من الدرجة الرابعة $ p $ في المثال 4. لها أربعة جذور.

هذه النتيجة العامة تحمل:

نظرية 1 (النظرية الأساسية في الجبر) كل كثير حدود بدرجة $ n geq 1 $ لها ، محسوبة بالتعددية ، جذور $ n $ بالضبط (حقيقية أو معقدة).

ملاحظة 1 لاحظ أن النظرية تعطي وجود جذور $ n $ بالضبط ، لكن الجذور لا يجب أن تكون & # 8217t أرقامًا حقيقية & # 8211 حتى لو كانت المعاملات متعددة الحدود أرقامًا حقيقية.

مثال 5 أوجد كل جذور الدالة $ q (x) = x ^ 2 + 1 $.

باستخدام صيغة لجذور كثيرة الحدود التربيعية نحصل على $ x_ <1،2> = frac <0 pm sqrt [] <0 ^ 2-4 cdot1 cdot1 >> <2 cdot1> = pm i $.

نلاحظ أنه حتى كثير الحدود البسيط مثل $ q $ لها جذور معقدة بقيمة $ 2.

كما رأينا في الأمثلة السابقة ، فإن إيجاد جذور كثيرة الحدود يكون أسهل بكثير إذا أخذناها في الاعتبار (أي كتابتها كمنتج لعوامل خطية). الصيغ المغلقة للجذور (مثل صيغة جذور متعدد الحدود التربيعي) موجودة فقط لكثيرات الحدود بدرجة تصل إلى أربعة. الصيغ الخاصة بجذور كثيرات الحدود من الدرجة الثالثة والرابعة معقدة نسبيًا وفي معظم الأحيان يكون من الأسهل تحليل كثيرات الحدود وقراءة جذورها من هذا التحليل.

طريقة أخرى (مكافئة) للتعبير عن النظرية 1 هي:

نظرية 1 & # 8242 يمكن التعبير عن كل كثير حدود بدرجة $ n geq 1 $ ، بطريقة فريدة ، على أنها حاصل ضرب $ n $ متعدد الحدود الخطي (مع معاملات معقدة).

ملاحظة 2 حتى إذا كانت كثيرة الحدود لها معاملات حقيقية ، يمكن أن يحتوي عاملها على أعداد مركبة.

نظرية الجبر الأساسية لها العديد من النتائج والتطبيقات الهامة. البعض منهم:


محتويات

باستخدام التحليل المعقد

يعتمد الدليل البسيط المذهل على نظرية ليوفيل: If هي دالة كثيرة الحدود لمتغير معقد ثم كلاهما و سيكون متعدد الأشكال في أي مجال حيث . لكن ، من خلال عدم مساواة المثلث ، نعلم ذلك خارج حي الأصل ، لذلك إذا لم يكن هناك مثل ذلك ، نحن نعرف ذلك هو كامل محدد (أي ، كامل الشكل في كل من ) وظيفة. وفقًا لنظرية Liouville ، يجب أن تكون ثابتة ، كذلك يجب أن تكون ثابتة أيضًا.

استخدام الجبر (وقليلًا من التحليل الحقيقي)

هناك أيضًا أدلة لا تعتمد على التحليل المعقد ، لكنها تتطلب المزيد من الآلات الجبرية أو الطوبولوجية.

نحن بحاجة لإثبات أن أي امتداد جبري ل حاصل على درجة واحدة. حيث ، يمتد أي امتداد للحقل هذا أيضًا . الآن ، أي انتهى الجبر يجب أيضًا أن تكون جبرية أكثر ، ولكن الحد الأدنى من كثير الحدود لا يمكن أن يكون من الدرجة الفردية ، لأن أي متعدد الحدود يجب أن يكون له جذر حقيقي من خلال نظرية القيمة المتوسطة ، وبالتالي فإن مجال تقسيم على يجب أن يكون لديه درجة قوة 2. يجب أن تحتوي مجموعة Galois الخاصة بها على مجموعة فرعية عادية من الفهرس 2 ، ولكن يجب أن يكون عنصر التوليد موجودًا بالفعل في بالصيغة التربيعية. هذا يدل على أن الامتداد يحتوي ، على الأكثر ، على الدرجة 2 ، ولكنه يجذب مرة أخرى الصيغة التربيعية ، نرى ذلك مغلق تحت الامتدادات التربيعية ، لذلك يجب أن تكون نفسها مغلقة جبريًا.

باستخدام المجموعة الأساسية للطائرة المثقوبة

يمكننا أن نفترض دون فقدان العمومية أن المعامل الرئيسي هو 1. الآن افترض ذلك ليس له جذور. ثم الخرائط معطى بواسطة متجانسة في للجميع ، ومن ثم فهي جميعًا متجانسة فارغة هناك (خذ ). ومع ذلك ، كبيرة بما يكفي ، الخرائط معطى بواسطة و (أين هي درجة كثير الحدود ) متماثلون ، وبالتالي ليس متجانسًا فارغًا.

استخدام المجموعة الثانية من التماثل المتماثل في كرة ريمان

دون فقدان التعميم المعامل الرئيسي هو 1. نحن نعتبر كخريطة من مجال ريمان إلى نفسه (أخذ اللانهاية إلى اللانهاية). من خلال النظر في homotopy ، أين ، هذه الخريطة مطابقة للخريطة . ومن ثم يكفي أن نظهر أن الخريطة ليس متجانسًا فارغًا. ومع ذلك ، في مجموعة homotopy نحن لدينا ، ولذا يكفي إظهار ذلك ليس متماثلًا فارغًا ، وهو ما يعادل حقيقة أن المجال غير قابل للتقلص.


1.2: النظرية الأساسية للجبر

x 3 + bx 2 + cx + د = 0

هو & # 150ب، إنكار معامل x 2. بحلول القرن السابع عشر ، تطورت نظرية المعادلات إلى حد السماح لجيرارد (1595 & ndash1632) بتحديد مبدأ الجبر ، ما نسميه الآن & ldquothe النظرية الأساسية للجبر. بين ال ن حلول ل ن معادلة الدرجة و ن المعاملات.

ان ن يمكن كتابة معادلة الدرجة في التدوين الحديث كـ

x ن + أ1x نם + . + أنמx 2 + أنםx + أن = 0

حيث المعاملات أ1, . أنמ, أنם، و أن كلها ثوابت. قال جيرارد أن ن تقبل معادلة الدرجة ال ن الحلول ، إذا سمحت لجميع الجذور وعد الجذور مع التعددية. لذلك ، على سبيل المثال ، المعادلة x 2 + 1 = 0 لها الحلين & # 8730 & # 1501 و & # 150 & # 8730 & # 1501 ، والمعادلة x 2 – 2x + 1 = 0 يحتوي على الحلين 1 و 1. لم يكن جيرارد واضحًا بشكل خاص عن الشكل الذي يجب أن تكون عليه الحلول ، فقط إذا كان هناك ن منهم: x1, x2, . xنם، و xن.

أعطى جيرارد العلاقة بين ن الجذور x1, x2, . xن، و xن و ال ن المعاملات أ1, . أنמ, أنם، و أن الذي يوسع ملاحظة كاردانو ورسكووس. أولا ، مجموع الجذور x1 + x2 + . + xن هو & # 150أ1، إنكار معامل x ن& # 1501 (ملاحظة كاردانو ورسكووس). بعد ذلك ، مجموع حاصل ضرب أزواج الحلول هو أ2. بعد ذلك ، مجموع كل منتجات ثلاثية الحلول هو & # 150أ3. وهكذا حتى حاصل ضرب الكل ن الحلول إما أن (متي ن هو زوجي) أو & # 150أن (متي ن أمر غريب).

هنا & rsquos مثال. معادلة الدرجة الرابعة

x 4 – 6x 3 + 3x 2 + 26x – 24 = 0

لها أربعة حلول & # 1502 و 1 و 3 و 4. مجموع الحلول يساوي 6 ، أي & # 1502 + 1 + 3 + 4 = 6. مجموع كل حاصل ضرب الأزواج (ستة منهم) هو

وهو 3. مجموع حاصل ضرب الثلاثيات (أربعة منهم) هو

وهو 26. وحاصل ضرب الحلول الأربعة هو & # 15024.

درس ديكارت (1596 & # 1501650) أيضًا هذه العلاقة بين المحاليل والمعاملات ، وأظهر بشكل أكثر وضوحًا سبب استمرار العلاقة. دعا ديكارت الحلول السلبية & ldquofalse & rdquo ومعالجتها بالحلول الأخرى (أي الأعداد المركبة) & ldquoimaginary & rdquo.

خلال الفترة المتبقية من القرن السابع عشر ، ارتفعت الأرقام السالبة لتكون كاملة & # 150 أرقامًا مزدحمة. لكن الأعداد المركبة ظلت في طي النسيان طوال معظم القرن الثامن عشر. لقد تم اعتبارهم & rsquot أرقامًا حقيقية ، لكنهم كانوا مفيدون في نظرية المعادلات. لم يكن من الواضح حتى الشكل الذي قد تتخذه حلول المعادلات. بالتأكيد أعداد معقدة من النموذج أ + ب& # 8730 & # 1501 كانت كافية لحل المعادلات التربيعية ، لكن لم يكن واضحًا أنها كافية لحل المعادلات التكعيبية والدرجات الأعلى. أيضًا ، الجزء من النظرية الأساسية للجبر الذي نص على وجوده بالفعل ن حلول نلم يتم بعد إثبات معادلة الدرجة ، في انتظار ، بالطبع ، بعض الوصف للأشكال المحتملة التي قد تتخذها الحلول.


التخصيم

يتضمن هذا القسم من المقالة بيانًا أكثر دقة للنظرية الأساسية للأشكال المكافئة المختلفة للجبر. يحتاج هذا إلى تعريف تعدد الجذور في كثير الحدود.

تعريف: تعددية الجذر "r" لكثير الحدود F(x) موجود باعتباره أكبر أو أكبر عدد صحيح موجب "ك" بطريقة تقسم (x-r) ^ k الوظيفة ، F(x).

وبالمثل ، فإن العدد الصحيح الموجب هو الأصغر & # 8211 ك بطريقة أن f ^ (k) (r) ≠ 0 حيث ،

و ^(ك) يمثل = كالمشتق عشر من f.

بافتراض أن الحقل F هو وما يليه مرادف:

  • كل كثير الحدود مع a - مصحوبًا بالمعاملات داخل F يحتوي على جذر في "F".
  • كل كثير حدود غير ثابت له درجة n مع معاملات داخل F يحتوي على جذور "n" في F والتي يتم حسابها بالتعددية.
  • كل قيمة متعددة الحدود غير ثابتة مع المعاملات داخل F تنقسم تمامًا كمنتج عوامل خطية مع المعاملات داخل F.

من الواضح ، (3) ⇒ (2) ⇒ (1) ، لذلك فإن القسم الحصري غير التافه هو (1)

لعرض هذا ، أدخل في الدرجة n من f (x). تم توضيح الحالة الأساسية لـ n = 1.

الآن ، لنفترض أن النتيجة هي لكثيرات الحدود من الدرجة n-1. تبعا لذلك ، ترك F(x) تكون كثيرة حدود الدرجة "n". بواسطة (1) ، الآن ، f (x) تحتوي على جذر أ.

تقدم حجة خوارزمية القسمة القياسية أن "x-a" هي F (x) عامل:

ملء 'أ' لكلا الجانبين & أمبير يعطي قيمة ، 0 = (أأ) ف (أ)+ص، وبالتالي ص = 0. إذن ، F(x)=(xأ) ف(x). لكن، ف(x) هي كثيرة الحدود من الدرجة ن−1 ، لذلك ينقسم إلى منتج عوامل خطية من خلال "فرضية استقرائية" أو "افتراض استقرائي". هكذا، F(x) يؤدي كذلك. لذلك ، يتم التحقق من النتيجة عن طريق الاستقراء.

تنص النظرية الأساسية للجبر على أن الحقل C الذي ينتمي إلى الأعداد المركبة يحتوي على الخاصية (1) ، لذلك ، وفقًا للنظرية المذكورة ، يجب أن يكون له خصائص (1) و (2) و (3).


1.2: النظرية الأساسية للجبر

تقدم هذه الملاحظة دليلاً ، يُعتقد أنه جديد ، على النظرية الأساسية للجبر ، يتم الحصول عليها من خلال استخدام النظرية الكلاسيكية لبيكارد: إذا كانت هناك قيمتان متميزتان لا تفترضهما دالة كاملة مطلقًا ، فإن الوظيفة ثابتة. الدليل بسيط للغاية وقد يكون ذا فائدة كتطبيق لنظرية بيكارد.

يمكن صياغة النظرية الأساسية للجبر على النحو التالي:

حيث n عدد صحيح & gt 0 و aأنا هي ثوابت ، تحتوي على صفر واحد على الأقل (في المستوى المركب). سنستخدم بالإضافة إلى نظرية بيكارد الحقائق فقط و (ض) هي وظيفة كاملة - وبالتالي ، على وجه الخصوص ، مستمرة - وتلك و (ض) له قطب في اللانهاية.

الدليل غير مباشر. لنفترض أن و (ض) ليس صفرًا أبدًا. ثم أقول ذلك و (ض) فشل أيضًا في أخذ إحدى القيم 1 /ك (ك = 1،2. ). في الواقع ، افترض أن هناك نقاطًا ضك مثل ذلك و (ضك ) = 1/ك (ك = 1،2. ). حيث و (ض) له قطب في اللانهاية ، |و (ض)| > 1 بشكل موحد خارج دائرة ما ج. النقاط ضك كلها تقع في الداخل ج، ومن ثم يكون لديك نقطة حد واحدة على الأقل ض في غضون ج. حيث و (ض) مستمر ،

هذا التناقض يسمح لنا باستنتاج ذلك لبعض الأعداد الصحيحة ك, و (ض) يفشل في أخذ القيمة 1 /ك. بواسطة نظرية بيكارد ، و (ض)، لا تفترض أبدًا القيمتين المميزتين 0 و 1 /ك، يجب أن تكون ثابتة على عكس الفرضية القائلة بأن درجة و (ض) كان على الأقل 1. هذا التناقض يدل على ذلك و (ض) يجب أن تحتوي على صفر واحد على الأقل ، والإثبات كامل.


تقلل القدرة على تحليل أي كثير حدود على الأعداد المركبة العديد من المشاكل غير الخطية الصعبة على الحقول الأخرى (مثل الأعداد الحقيقية) إلى المشاكل الخطية فوق الأعداد المركبة. على سبيل المثال ، كل مصفوفة مربعة فوق الأعداد المركبة لها قيمة ذاتية معقدة ، لأن كثيرة الحدود المميزة لها دائمًا جذر. هذا غير صحيح على الأرقام الحقيقية ، على سبيل المثال المصفوفة (0 1 - 1 0) ، ابدأ 0 & amp1 - 1 & amp0 النهاية، (0 - 1 1 0) ، الذي يدير المستوى الإحداثي الحقيقي بمقدار 9 0 ∘ ، 90 ^ < circ> ، 9 0 ∘ ، ليس له قيم ذاتية حقيقية.

تطبيق عام آخر هو مجال الهندسة الجبرية ، أو دراسة حلول المعادلات متعددة الحدود. إن افتراض أن معاملات المعادلات متعددة الحدود تقع في حقل مغلق جبريًا أمر ضروري لتبسيط النظرية وتقويتها ، لأنها تضمن أن الحقل "كبير بما يكفي" لاحتواء جذور كثيرات الحدود. على سبيل المثال ، غالبًا ما يكون لمجموعة الحلول المعقدة لمعادلة متعددة الحدود ذات المعاملات الحقيقية خصائص طبيعية ومفيدة أكثر من مجموعة الحلول الحقيقية.

تطبيق آخر جدير بالذكر باختصار هو التكامل مع الكسور الجزئية. فوق الأرقام الحقيقية ، هناك حالات محرجة تتضمن عوامل تربيعية غير قابلة للاختزال للمقام. يتم تبسيط الجبر باستخدام الكسور الجزئية على الأعداد المركبة (مع التنبيه إلى أن بعض التحليلات المعقدة مطلوبة لتفسير التكاملات الناتجة).


ما هي جذور كثير الحدود؟

جذور كثير الحدود هي قيم المتغيرات ، والتي ينتج عنها أن تصبح كثيرة الحدود صفراً. يمكن اعتبار الجذور كحلول للمعادلة ، حيث إذا وضعنا قيمة الجذر في جميع المتغيرات ، فستنتج المعادلة 0.

يمكن تمثيل كثيرات الحدود كمصطلح عام: Ann + an-1xn-1 + & # 8230 + a1x + a0.

لذلك ، غالبًا ما تسمى جذور كثيرات الحدود هذه بـ "أصفار" كثير الحدود لنفس السبب ، كما هو الحال عند تطبيقها على التعبير ، تكون النتيجة صفرًا.

إذا وجدنا جذور كثيرة الحدود ، فيمكننا أيضًا إيجاد جميع عوامل كثيرة الحدود والعكس صحيح. على سبيل المثال ، إذا كانت كثيرة الحدود من الدرجة 2 لها جذور r1 و r2 ، والمتغير هو x ، فإن العوامل هي (x & # 8211 r1) و (x & # 8211 r2).

ال النظرية الأساسية في الجبر كما قرأنا أعلاه ، يذكر أن كل كثير حدود من الدرجة "n" سيكون لها دائمًا عدد "n" من الجذور. يتم ذكر النظرية الأساسية أيضًا أحيانًا على أنها

"كل كثير حدود غير ثابت يحتوي على معاملات معقدة ودرجة أكبر من أو تساوي واحدًا لها جذر واحد على الأقل في مجموعة الأعداد المركبة."

الأعداد الحقيقية هي في جوهرها مجموعة فرعية من الأعداد المركبة. يمكن ملاحظة ذلك من حقيقة أنه يمكن أيضًا تمثيل كل رقم حقيقي على أنه a + bi ، حيث a = الرقم الحقيقي و b = 0.


محتويات

[تحرير] باستخدام التحليل المعقد

يعتمد الدليل البسيط المذهل على نظرية ليوفيل: If ص(ض) هي دالة كثيرة الحدود لمتغير معقد ثم كلاهما ص(ض) و 1 / ص(ض) ستكون متشابهة في أي مجال حيث . لكن ، من خلال عدم مساواة المثلث ، نعلم أنه خارج حي الأصل | ص(ض) | & GT | ص(0) | ، لذلك إذا لم يكن هناك ض0 مثل ذلك ص(ض0) = 0 ، نعلم أن 1 / ص(ض) هو كامل محدد (أي كامل الشكل في الكل ) وظيفة. وفقًا لنظرية Liouville ، يجب أن تكون ثابتة ، كذلك ص(ض) يجب أن يكون ثابتًا أيضًا.

[عدل] استخدام الجبر (وقليلًا من التحليل الحقيقي)

هناك أيضًا أدلة لا تعتمد على التحليل المعقد ، لكنها تتطلب المزيد من الآلات الجبرية أو الطوبولوجية.

نحن بحاجة لإثبات أن أي امتداد جبري ل حاصل على درجة واحدة. حيث ، يمتد أي امتداد للحقل هذا أيضًا . الآن ، أي انتهى الجبر يجب أيضًا أن تكون جبرية أكثر ، ولكن الحد الأدنى من كثير الحدود لا يمكن أن يكون من الدرجة الفردية ، لأن أي متعدد الحدود يجب أن يكون له جذر حقيقي من خلال نظرية القيمة المتوسطة ، وبالتالي فإن مجال تقسيم على يجب أن يكون لديه درجة قوة 2. يجب أن تحتوي مجموعة Galois الخاصة بها على مجموعة فرعية عادية من الفهرس 2 ، ولكن يجب أن يكون عنصر التوليد موجودًا بالفعل في بالصيغة التربيعية. هذا يدل على أن الامتداد يحتوي ، على الأكثر ، على الدرجة 2 ، ولكنه يجذب مرة أخرى الصيغة التربيعية ، نرى ذلك مغلق تحت الامتدادات التربيعية ، لذلك يجب أن تكون نفسها مغلقة جبريًا.

[عدل] استخدام المجموعة الأساسية للطائرة المثقوبة

يمكننا أن نفترض دون فقدان العمومية أن المعامل الرئيسي ص(ض) هو 1. افترض الآن ذلك ص ليس له جذور. ثم الخرائط معطى بواسطة متجانسة في للجميع ص ، ومن ثم فهي جميعًا متجانسة فارغة هناك (خذ ص = 0). ومع ذلك ، كبيرة بما يكفي ص ، الخرائط معطى بواسطة و (أين د هي درجة كثير الحدود ص ) متماثلون ، وبالتالي ليس متجانسًا فارغًا.

[عدل] استخدام مجموعة homotopy الثانية من كرة ريمان

دون فقدان التعميم المعامل الرئيسي ص(ض) هو 1. نحن نعتبره كخريطة من مجال ريمان إلى نفسه (أخذ اللانهاية إلى اللانهاية). من خلال النظر في homotopy رض ن + (1 & ناقص ر)ص(ض) ، أين ، هذه الخريطة مطابقة للخريطة . ومن ثم يكفي أن نظهر أن الخريطة ليس متجانسًا فارغًا. ومع ذلك ، في مجموعة homotopy و pi2(س 2) لدينا ، ولذا يكفي إظهار ذلك ليس متماثلًا فارغًا ، وهو ما يعادل حقيقة أن المجال غير قابل للتقلص.


شاهد الفيديو: The Fundamental Theorem of Algebra النظرية الأساسية للجبر (شهر نوفمبر 2021).