مقالات

2.2: سلسلة لانهائية


تعريف

بالنظر إلى التسلسل ( left {a_ {i} right } _ {i = m} ^ { infty}، ) let ( left {s_ {n} right } _ {n = m} ^ { infty} ) هو التسلسل المحدد بواسطة

[s_ {n} = sum_ {i = m} ^ {n} a_ {i}. ]

نحن نطلق على التسلسل ( left {s_ {n} right } _ {n = m} ^ { infty} ) سلسلة لانهائية. إذا تقارب ( left {s_ {n} right } _ {n = m} ^ { infty} ) ، فإننا نتصل

[s = lim _ {n rightarrow infty} s_ {n} ]

مجموع السلسلة. لأي عدد صحيح (n geq m ، ) نسميه (s_ {n} ) مجموع جزئي من المتسلسلة.

سوف نستخدم الترميز

[ sum_ {i = 1} ^ { infty} a_ {i} ]

للإشارة إلى ( left {s_ {n} right } _ {n = m} ^ { infty} ، ) السلسلة اللانهائية ، أو (s ) مجموع المتسلسلة اللانهائية. بالطبع ، إذا تباعد ( left {s_ {n} right } _ {n = m} ^ { infty} ) ، فإننا نقول ( sum_ {i = m} ^ { infty} أ_ {i} ) تتباعد.

تمرين ( PageIndex {1} )

افترض أن ( sum_ {i = m} ^ { infty} a_ {i} ) يتقارب و ( beta in mathbb {R}. ) أظهر ذلك ( sum_ {i = m} ^ { infty} beta a_ {i} ) يتقارب أيضًا و

[ sum_ {i = m} ^ { infty} beta a_ {i} = beta sum_ {i = m} ^ { infty} a_ {i}. ]

تمرين ( PageIndex {2} )

افترض أن كلاً من ( sum_ {i = m} ^ { infty} a_ {i} ) و ( sum_ {i = m} ^ { infty} b_ {i} ) يتقاربان. أظهر أن ( sum_ {i = m} ^ { infty} left (a_ {i} + b_ {i} right) ) يتقارب و

[ sum_ {i = m} ^ { infty} left (a_ {i} + b_ {i} right) = sum_ {i = m} ^ { infty} a_ {i} + sum_ { i = m} ^ { infty} b_ {i}. ]

تمرين ( PageIndex {3} )

بالنظر إلى سلسلة لا نهائية ( sum_ {i = m} ^ { infty} a_ {i} ) وعدد صحيح (k geq m، ) أظهر أن ( sum_ {i = m} ^ { يتقارب infty} a_ {i} ) إذا وفقط إذا تقارب ( sum_ {i = k} ^ { infty} a_ {i} ).

الاقتراح ( PageIndex {1} )

افترض أن ( sum_ {i = m} ^ { infty} a_ {i} ) يتقارب. ثم ( lim _ {n rightarrow infty} a_ {n} = 0 ).

دليل

دع (s_ {n} = sum_ {i = m} ^ {n} a_ {i} ) و (s = lim _ {n rightarrow infty} s_ {n}. ) منذ ( a_ {n} = s_ {n} -s_ {n-1}، ) لدينا ( lim _ {n rightarrow infty} a_ {n} = lim _ {n rightarrow infty} left (s_ {n} -s_ {n-1} right) = lim _ {n rightarrow infty} s_ {n} - lim _ {n rightarrow infty} s_ {n-1} = ss = 0 ). Q.E.D.

تمرين ( PageIndex {4} )

دعونا (s = sum_ {i = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n}. ) لاحظ ذلك

[s = sum_ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} = 1- sum_ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} = 1- س، ]

الذي يتبع منه أن (s = frac {1} {2}. ) هل هذا صحيح؟

تمرين ( PageIndex {5} )

أظهر ذلك لأي رقم حقيقي (x neq 1 ) ،

[s_ {n} = sum_ {i = 0} ^ {n} x ^ {i} = frac {1-x ^ {n + 1}} {1-x}. ]

(تلميح: لاحظ أن ( left.x ^ {n + 1} = s_ {n + 1} -s_ {n} = 1 + x s_ {n} -s_ {n}. right) )

نظرية ( PageIndex {2} )

لأي رقم حقيقي (x ) مع (| x | <1 ) ،

[ sum_ {n = 0} ^ { infty} x ^ {n} = frac {1} {1-x}. ]

دليل

إذا (s_ {n} = sum_ {i = 0} ^ {n} x ^ {i}، ) إذن ، من خلال التمرين السابق ،

[s_ {n} = frac {1-x ^ {n + 1}} {1-x}. ]

لذلك

[ sum_ {n = 0} ^ { infty} x ^ {n} = lim _ {n rightarrow infty} s_ {n} = lim _ {n rightarrow infty} frac {1- x ^ {n + 1}} {1-x} = frac {1} {1-x}. ]

2.2.1 اختبارات المقارنة

يشار إلى الاقتراحين التاليين معًا باسم اختبار المقارنة.

الاقتراح ( PageIndex {3} )

لنفترض أن ( sum_ {i = m} ^ { infty} a_ {i} ) و ( sum_ {i = k} ^ { infty} b_ {i} ) هي سلسلة لانهائية يوجد لها عدد صحيح (N ) مثل (0 leq a_ {i} leq b_ {i} ) متى (i geq N. ) إذا ( sum_ {i = k} ^ { infty} b_ {i} ) يتقارب ، ثم يتقارب ( sum_ {i = m} ^ { infty} a_ {i} ).

دليل

من خلال التمرين 2.2 .3 ، نحتاج فقط إلى إظهار أن ( sum_ {i = N} ^ { infty} a_ {i} ) يتقارب. لنكن (s_ {n} ) هو المجموع الجزئي التاسع لـ ( sum_ {i = N} ^ { infty} a_ {i} ) واجعل (t_ {n} ) هو المجموع الجزئي التاسع من ( sum_ {i = N} ^ { infty} b_ {i}. ) الآن

[s_ {n + 1} -s_ {n} = a_ {n + 1} geq 0 ]

لكل (n geq N ، ) لذا فإن ( left {s_ {n} right } _ {n = N} ^ { infty} ) هو تسلسل غير متناقص. وعلاوة على ذلك،

[s_ {n} leq t_ {n} leq sum_ {i = N} ^ { infty} b_ {i} <+ infty ]

لكل (n geq N. ) وبالتالي ( left {s_ {n} right } _ {n = N} ^ { infty} ) هو تسلسل غير متناقص ومحدود وبالتالي يتقارب.

الاقتراح ( PageIndex {4} )

لنفترض أن ( sum_ {i = m} ^ { infty} a_ {i} ) و ( sum_ {i = k} ^ { infty} b_ {i} ) هي سلسلة لانهائية يوجد لها عدد صحيح (N ) مثل (0 leq a_ {i} leq b_ {i} ) متى (i geq N. ) إذا ( sum_ {i = k} ^ { infty} a_ {i} ) يتباعد ثم يتباعد ( sum_ {i = m} ^ { infty} b_ {i} ).

دليل

من خلال التمرين 2.2 .3 ، نحتاج فقط إلى توضيح أن ( sum_ {i = N} ^ { infty} b_ {i} ) تباعد. لنكن (s_ {n} ) هو المجموع الجزئي التاسع لـ ( sum_ {i = N} ^ { infty} a_ {i} ) واجعل (t_ {n} ) هو المجموع الجزئي التاسع من ( sum_ {i = N} ^ { infty} b_ {i}. ) الآن ( left {s_ {n} right } _ {n = N} ^ { infty}، N ) هو تسلسل غير متناقص يتباعد ، ولذا يجب أن يكون لدينا ( lim _ {n rightarrow infty} s_ {n} = + infty. ) وبالتالي ، بالنظر إلى أي رقم حقيقي (M ) يوجد عدد صحيح (L ) من هذا القبيل

[M

كلما (n> L. ) ومن هنا ( lim _ {n rightarrow infty} t_ {n} = + infty ) و ( sum_ {i = m} ^ { infty} b_ {i } ) يتباعد. ( رباعي ) Q.E.D.

مثال ( PageIndex {1} )

تأمل في السلسلة اللانهائية

[ sum_ {n = 0} ^ { infty} frac {1} {n!} = 1 + 1 + frac {1} {2} + frac {1} {3!} + frac { 1} {4!} + cdots. ]

الآن لـ (n = 1،2،3، dots، ) لدينا

[0 < frac {1} {n!} leq frac {1} {2 ^ {n-1}}. ]

حيث

[ sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {1} {2 ^ {n-1}} ]

يتقارب ، يتبع ذلك

[ sum_ {n = 0} ^ { infty} frac {1} {n!} ]

يتقارب. وعلاوة على ذلك،

[2 < sum_ {n = 0} ^ { infty} frac {1} {n!} <1+ sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {1} {2 ^ {n -1}} = 1+ frac {1} {1- frac {1} {2}} = 3. ]

نحن نسمح

[e = sum_ {n = 0} ^ { infty} frac {1} {n!}. ]

الاقتراح ( PageIndex {5} )

(e notin mathbb {Q} ).

دليل

افترض (e = frac {p} {q} ) حيث (p، q in mathbb {Z} ^ {+}. ) دعنا

[a = q! left (e- sum_ {i = 0} ^ {q} frac {1} {n!} right). ]

ثم (a in mathbb {Z} ^ {+} ) منذ (q! e = (q-1)! p ) و (n! ) يقسم (q! ) عندما ( n leq q. ) في نفس الوقت

[ start {align} a & = q! left ( sum_ {n = 0} ^ { infty} frac {1} {n!} - sum_ {i = 0} ^ {q} frac {1} {n!} right) & = ف! sum_ {n = q + 1} ^ { infty} frac {1} {n!} & = left ( frac {1} {q + 1} + frac {1} {(q + 1) (q + 2)} + frac {1} {(q + 1) (q + 2) (q + 3)} + cdots right) & = frac {1} {q + 1 } left (1+ frac {1} {q + 2} + frac {1} {(q + 2) (q + 3)} + cdots right) & = frac {1} { q + 1} left (1+ frac {1} {q + 2} + frac {1} {(q + 2) (q + 3)} + cdots right) & < frac { 1} {q + 1} left (1+ frac {1} {q + 1} + frac {1} {(q + 1) ^ {2}} + cdots right) & = frac {1} {q + 1} sum_ {n = 0} ^ { infty} frac {1} {(q + 1) ^ {n}} & = frac {1} {q + 1 } left ( frac {1} {1- frac {1} {q + 1}} right) & = frac {1} {q} end {align} ]

نظرًا لأن هذا مستحيل ، نستنتج أنه لا توجد مثل هذه الأعداد الصحيحة (p ) و (q ). ( رباعي ) Q.E.D.

تعريف

نسمي الرقم الحقيقي الذي ليس رقمًا منطقيًا عددًا غير منطقي.

مثال ( PageIndex {2} )

لقد رأينا أن ( sqrt {2} ) و (e ) أرقام غير منطقية.

الاقتراح ( PageIndex {6} )

لنفترض أن ( sum_ {i = m} ^ { infty} a_ {i} ) و ( sum_ {i = k} ^ { infty} b_ {i} ) هي سلسلة لانهائية يوجد لها عدد صحيح (N ) ورقم حقيقي (M> 0 ) مثل (0 leq a_ {i} leq M b_ {i} ) متى (i geq N. ) إذا ( sum_ {i = k} ^ { infty} b_ {i} ) يتقارب ، ثم يتقارب ( sum_ {i = m} ^ { infty} a_ {i} ).

دليل

بما أن ( sum_ {i = k} ^ { infty} M b_ {i} ) يتقارب عندما يتقارب ( sum_ {i = k} ^ { infty} b_ {i} ) ، فإن النتيجة تأتي من اختبار المقارنة. ( رباعي ) Q.E.D.

تمرين ( PageIndex {6} )

افترض أن ( sum_ {i = m} ^ { infty} a_ {i} ) تباعد. أظهر أن ( sum_ {i = m} ^ { infty} beta a_ {i} ) يتباعد عن أي رقم حقيقي ( beta neq 0 ).

الاقتراح ( PageIndex {7} )

لنفترض أن ( sum_ {i = m} ^ { infty} a_ {i} ) و ( sum_ {i = k} ^ { infty} b_ {i} ) هي سلسلة لانهائية يوجد لها عدد صحيح (N ) ورقم حقيقي (M> 0 ) مثل (0 leq a_ {i} leq M b_ {i} ) كلما (i geq N. ) إذا ( sum_ {i = m} ^ { infty} a_ {i} ) يتباعد ، ثم يتباعد ( sum_ {i = k} ^ { infty} b_ {i} ).

دليل

من خلال اختبار المقارنة ، يتباعد ( sum_ {i = m} ^ { infty} M b_ {i} ). ومن ثم ، من خلال التمرين السابق ، يتباعد أيضًا ( sum_ {i = m} ^ { infty} b_ {i} ).

نسمي نتائج التمرينين التاليين ، وهما عواقب مباشرة للاقتراحين الأخيرين ، اختبار مقارنة الحد.

تمرين ( PageIndex {7} )

لنفترض أن ( sum_ {i = m} ^ { infty} a_ {i} ) و ( sum_ {i = m} ^ { infty} b_ {i} ) هي سلسلة لا نهائية لها (a_ {i} geq 0 ) و (b_ {i}> 0 ) للجميع (i geq m. ) أظهر ذلك إذا ( sum_ {i = m} ^ { infty} b_ {i } ) تتقارب و

[ lim _ {i rightarrow infty} frac {a_ {i}} {b_ {i}} <+ infty، ]

ثم يتقارب ( sum_ {i = m} ^ { infty} a_ {i} ).

تمرين ( PageIndex {8} )

لنفترض أن ( sum_ {i = m} ^ { infty} a_ {i} ) و ( sum_ {i = m} ^ { infty} b_ {i} ) هي سلسلة لا نهائية لها (a_ {i} geq 0 ) و (b_ {i}> 0 ) للجميع (i geq m. ) أظهر ذلك إذا ( sum_ {i = m} ^ { infty} a_ {i } ) يتباعد و

[ lim _ {i rightarrow infty} frac {a_ {i}} {b_ {i}} <+ infty، ]

ثم ( sum_ {i = m} ^ { infty} b_ {i} ) يتباعد.

تمرين ( PageIndex {9} )

اظهر ذلك

[ sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {1} {n 2 ^ {n}} ]

يتقارب.

تمرين ( PageIndex {10} )

اظهر ذلك

[ sum_ {n = 0} ^ { infty} frac {x ^ {n}} {n!} ]

يتقارب لأي رقم حقيقي (x geq 0 ).

تمرين ( PageIndex {11} )

لنفترض أن (S ) هو مجموعة مجاميع الأرقام المنتهية في المجموعة ( left {a_ {1}، a_ {2}، a_ {3}، dots right }، ) حيث (a_ {i} geq 0 ) لـ (i = 1،2،3، dots ) ​​هذا هو

[S = left { sum_ {i in J} a_ {i}: J subset {1،2،3، ldots، n } text {for some} n in mathbb { Z} ^ {+} right }. ]

أظهر أن ( sum_ {i = 1} ^ { infty} a_ {i} ) يتقارب فقط إذا وفقط إذا كان ( sup S < infty، ) في هذه الحالة

[ sum_ {i = 1} ^ { infty} a_ {i} = sup S. ]

تتمثل إحدى نتائج التمرين السابق في أن مجموع تسلسل الأرقام غير السالبة يعتمد فقط على الأرقام التي تبدأ في الإضافة ، وليس على الترتيب الذي تمت إضافتها به. بمعنى ، إذا كان ( varphi: mathbb {Z} ^ {+} rightarrow mathbb {Z} ^ {+} ) واحد إلى واحد وعلى ، ( sum_ {i = 1} ^ { infty} a_ {i} ) يتقارب فقط إذا كان ( sum_ {i = 1} ^ { infty} a _ { varphi (i)} ) يتقارب ، وفي هذه الحالة ،

[ sum_ {i = 1} ^ { infty} a_ {i} = sum_ {i = 1} ^ { infty} a _ { varphi (i)}. ]


الرياضيات - سلسلة لانهائية

إذا أخذنا سلسلة لا نهائية ، على سبيل المثال ، قد يكون لكل مصطلح مصطلح متعدد الحدود أعلى. قد تتقارب هذه السلسلة أو تتباعد ، إذا تقاربت السلسلة ، فيمكن أن تكون مفيدة لحساب القيم العددية للوظائف.

فيما يلي بعض السلاسل التي قد تكون مفيدة:

الخطيئة (x) س - × 3/3! + × 5/5! . + (- 1) ص × 2 ص + 1 / (2 ص + 1)! كل قيم x
كوس (س) 1 - × 2/2! + × 4/4! . + (- 1) ص × 2 ص / (ص 2)! كل قيم x
ln (1 + x) س - × 2/2! + × 3/3! . + (- 1) r + 1 x r / (r)! -1 & lt x & lt = 1
إكسب (x) 1 + × 1/1! + × 2/2! + × 3/3! . + س ص / (ص)! كل قيم x
إكسب (-x) 1 - × 1/1! + × 2/2! - × 3/3! . كل قيم x
ه 1 + 1 /1! + 2 /2! + 3 /3! =2.718281828
سينه (س) x + x 3/3! + × 5/5! . + x 2r + 1 / (2r + 1)! كل قيم x
كوش (x) 1 + × 2/2! + × 4/4! . + x 2r / (2r)! كل قيم x
و (خ) f (0) + x f '(0) + x 2/2! و '' (0) + × 3/3! و '' (0). سلسلة Maclaurins
و (س + ح) و (س) + ح و '(س) + ح 2/2! و '' (س) + ح 3/3! و "" (س). سلسلة تايلورز


الإجابات والردود

لا توجد طريقة عامة مؤكدة لإيجاد مجموع سلسلة لانهائية في شكل "لطيف". إذا تقاربت سلسلة وكان لديك ما يكفي من الوقت بين يديك ، يمكنك العثور على أكبر عدد تريده من المنازل العشرية ، ولكن ليس من الممكن دائمًا إيجاد حل دقيق ولطيف المظهر (في الواقع قد لا تتقارب سلسلتك مع شيء "جميل").

السلسلة التي قدمتها لا تتقارب بالمناسبة ، فالشروط لا تذهب حتى إلى 0 (شرط ضروري ولكنه غير كافٍ).

لذلك تقول أنه من الممكن في بعض الحالات استنباط صيغة لسلسلة إلى جانب سلسلة هندسية ولكن في معظم الحالات لا يكون ذلك ممكنًا؟ ، وعن تلك السلسلة كان من المفترض أن تكون

[نص] sum_^ < infty> frac <(- 2) ^ <-n>>[/ tex]
هل سأتمكن من اشتقاق صيغة لهذه السلسلة؟ أو كيف يمكنني إيجاد مجموع مثل هذه السلسلة؟

إنه سؤال مثير للاهتمام للغاية. هناك تقنيات مختلفة لحل مثل هذه. على سبيل المثال،

يمكن حل ذلك باستخدام معاملات فورييه ونظرية بارسيفال.

والتمييز والنظر في سلسلة تايلور (شكرا دانيال).

من خلال النظر في المجموع:

والتفريق بين كل من المجموع والتعبير لمجموع المتسلسلة الهندسية المقابلة بالنسبة إلى w.

طن أكثر أراهن. سيكون من الجيد الحصول على تجميع للطرق المختلفة لحساب المبالغ اللانهائية.

نعم. saltydog العديد من الأمثلة. سلسلة Telescoping هي سلسلة أخرى مفيدة ، لذا فإن التعرف على مجموعك كسلسلة طاقة معروفة ، وإعادة ترتيب المصطلحات يساعد أحيانًا ، وأكثر من ذلك.

، وعن تلك السلسلة كان من المفترض أن تكون

[نص] sum_^ < infty> frac <(- 2) ^ <-n>>[/ tex]
هل سأتمكن من اشتقاق صيغة لهذه السلسلة؟ أو كيف يمكنني إيجاد مجموع مثل هذه السلسلة؟

لذلك تقول أنه من الممكن في بعض الحالات استنباط صيغة لسلسلة إلى جانب سلسلة هندسية ولكن في معظم الحالات لا يكون ذلك ممكنًا؟ ، وعن تلك السلسلة كان من المفترض أن تكون

[نص] sum_^ < infty> frac <(- 2) ^ <-n>>[/ tex]
هل سأتمكن من اشتقاق صيغة لهذه السلسلة؟ أو كيف يمكنني إيجاد مجموع مثل هذه السلسلة؟

باستخدام طريقة Hall حصلت على إجابة مختلفة:

في حل هذه السلسلة ، أحصل على:

تتفق هذه النتيجة مع ماثيماتيكا.

في حل هذه السلسلة ، أحصل على:

تتفق هذه النتيجة مع ماثيماتيكا.

هذا صحيح ، على الأقل هذا ما كان لدي. Halls لديه بعض الأخطاء الصغيرة ، لديه سلسلة لـ -log (1 + x) ، وليس log (1 + x) ، واستخدم x = -1 / 2 عندما كان يجب أن يكون x = 1/2. كما أن "المصطلح المفقود" هو [tex] (- 2) (1/2) ^ 1/1 = -1 [/ tex].

لاحظ أنها سلسلة متناوبة ذات حدود متناقصة وأن الحد الأول سلبي ، لذلك يجب أن يكون المجموع سالبًا أيضًا. يمكنك الذهاب أبعد من ذلك ، إذا أردت ، يجب أن يكون المجموع أكبر من [tex] - frac <1> <2 times 2> = - frac <1> <4> [/ tex] وأصغر من [tex] - frac <1> <2 times 2> + frac <1> <2 ^ 2 times 3> = - frac <1> <6> [/ tex] ، وهكذا إذا كنت تريد المزيد من الطمأنينة كانت إجابتك صحيحة (ستنتقل سلسلة متناوبة بشروط متناقصة ذهابًا وإيابًا بين أن تكون أكبر وأقل من المجموع). بالطبع هذا النوع من التقدير لن يثبت أن إجابتك صحيحة ، ولكن يمكن أن يكتشف الأخطاء.

أدرك الآن أن طرق إيجاد مجموع سلسلة لانهائية محدودة ،
لذلك كل ما لدينا هو ، متداخلة ، سلسلة هندسية ، إعادة ترتيب المصطلحات (هل يمكن لأحد أن يعطيني مثالًا على هذا thanxs) ، التلاعب ، سلسلة fourier- (التي يمكنني تذكرها جيدًا) هل هناك المزيد؟

أيضا ما هو اسم الطريقة التي كان يستخدمها saltydog في الأصل؟ لم أفهم ذلك حقًا ولكن يجب أن أعترف بأي شيء غير عادي مثير للاهتمام ، الرجاء المساعدة؟ شكرا

حسنًا ، بعد اختلاق عدد قليل من المسلسلات غير العادية ومحاولة استخلاص المجموع ، بالنسبة لغالبيتهم لم أستطع استنباط أي شيء باستثناء واحدة منهم ، وهنا أرجو إطلاعي على رأيك؟

[نص] sum_^ < infty> left ( startك r النهاية حق) x ^= فارك <1> <(1-س) ^> استغرق مني [/ tex] الأعمار للحصول على هذه النتيجة ، سأطلق عليها سلسلة ستيفن زيتا لول.
هل لدى أي شخص أمثلة أخرى لمثل هذه النتائج؟

حسنًا ، لم أفهم حقًا ما الذي أفهمته بهذا ، ما المشكلة التي يتم حلها هنا ، أو ما هي الطريقة؟

والتمييز والنظر في سلسلة تايلور (شكرا دانيال).

من خلال النظر في المجموع:

والتفريق بين كل من المجموع والتعبير عن مجموع المتسلسلة الهندسية المقابلة بالنسبة إلى w.

حسنًا ، لقد كنت أبحث في الشبكة عن الأعمار للعثور على نوع من الملخص لجميع أنواع السلاسل المختلفة ، وطرق العثور على مجموع سلسلة ، وحالات خاصة من السلاسل بها مبالغ مثل power ، و euler ، و Laurent ، بالتناوب ، حسابي ، متسلسلات هندسية مفرطة ، Maclaurin ، ذات الحدين ، تايلور ، متناسق ، ريمان ، هندسي ، فورييه ، باثولوجي ، سلسلة مقاربة ، سلسلة Dirichlet L ، سلسلة متعددة ، سلسلة Hyperasymptotic و Superasymptotic Series (لا أعتقد أن هناك بعد الآن) أوه نعم وستيفن سلسلة زيتا ، بعد ساعات من البحث ، وجدت مستندًا واحدًا فقط ولكن لم يكن ذلك جيدًا بما فيه الكفاية ، هل لدى أي شخص أي روابط ؟، حسنًا ، آمل أن يكون هناك نوع من التجميع وإلا يبدو أنني قد أضطر إلى تجميع خاصة،
بالإضافة إلى المشكلة الأصلية ، هذه هي الطريقة التي استمتعت بها


كيفية تحديد تقارب المتسلسلات اللانهائية

ويكي هاو هي "ويكي" ، تشبه ويكيبيديا ، مما يعني أن العديد من مقالاتنا شارك في كتابتها مؤلفون متعددون. لإنشاء هذا المقال ، عمل 12 شخصًا ، بعضهم مجهول الهوية ، على تحريره وتحسينه بمرور الوقت.

تمت مشاهدة هذا المقال 99،833 مرة.

يمكن أن تكون السلسلة اللانهائية شاقة ، حيث يصعب تصورها. من خلال الفحص ، قد يكون من الصعب معرفة ما إذا كانت السلسلة ستتقارب أم لا. قبل بضعة قرون ، كانت الإجابة على سؤال واحد فقط تستغرق ساعات من الإثبات ، ولكن بفضل العديد من علماء الرياضيات اللامعين ، يمكننا استخدام الاختبارات في سلسلة التقارب والتباعد.

لا ينبغي بالضرورة اتخاذ الخطوات أدناه بهذا الترتيب - فعادة ما يكون تنفيذ خطوة أو اثنتين كافياً. يتطلب العثور على الاختبارات المراد إجراؤها تدريبًا على التعرف على نوع الوظائف التي تعمل بشكل أفضل مع كل اختبار ، على الرغم من أنه بشكل عام ، يجب عليك الاستفادة من الاختبارات الموضحة في هذه المقالة قبل الانتقال إلى الأسفل. تأكد من أن لديك فهمًا جيدًا لحساب التفاضل والتكامل أيضًا.


استخدام الصيغة لحساب مجموع متسلسلة هندسية لانهائية

حتى الآن ، نظرنا فقط في السلسلة المحدودة. ومع ذلك ، في بعض الأحيان ، نحن مهتمون بمجموع مصطلحات التسلسل اللانهائي بدلاً من مجموع مصطلحات [اللاتكس] n [/ اللاتكس] الأولى فقط. ان سلسلة لا نهاية لها هو مجموع شروط التسلسل اللانهائي. مثال على سلسلة لانهائية هو [لاتكس] 2 + 4 + 6 + 8 + .. [/ لاتكس].

يمكن أيضًا كتابة هذه السلسلة في تدوين جمع مثل [اللاتكس] sum _^ < infty> 2k [/ latex] ، حيث يكون الحد الأعلى للتجميع ما لا نهاية. نظرًا لأن المصطلحات لا تميل إلى الصفر ، فإن مجموع المتسلسلة يزداد بلا حدود كلما أضفنا المزيد من المصطلحات. لذلك ، لم يتم تحديد مجموع هذه السلسلة اللانهائية. عندما لا يكون المجموع عددًا حقيقيًا ، نقول المتسلسلة يتباعد.


BeveLED 2.2 هو الجيل التالي من مصابيح BeveLED 2.1 LED النازلة التي تتميز بفتحات قابلة للتكيف لسهولة تحويل المجال من التشذيب إلى الأعمال غير المشذبة إلى المطاحن. تشمل التحسينات الإضافية التعتيم بنسبة 1٪ ، وتصنيف الموقع الرطب ، وتقليم Glow Glass جديدًا وأداء معزَّز من خيارات Warm Glow Dimming و 10 ° ضوئيًا - جميعها متوفرة اساسي.

• جميع العلب قابلة للتحويل من الأعمال غير المشذبة أو المطاحن إلى التركيبات المشذبة في الحقل

• 775 إلى 3450 شمعة موفرة

• الأبيض الكلاسيكي ، والتوهج الدافئ ، واللون حدد خيارات ألوان LED البيضاء القابلة للضبط


صيغة فاي

لاحظ بعض الذين يقولون أنه يمكنهم & # 8220 إزالة الغموض عن phi & # 8221 أن phi هي مجرد واحدة من سلسلة لا نهائية من الأرقام التي يمكن إنشاؤها من التعبير التالي باستخدام الجذر التربيعي (√) للأرقام الصحيحة:

يحدث فقط أن تحصل على phi عندما تجعل n يساوي 5. لنكن n أعدادًا صحيحة أخرى وتحصل على سلسلة من الأرقام التي يتجاوز كل مربع جذرها (انظر Phi2 في الجدول باللون الأخضر) بفارق (انظر Δ في الجدول في الأزرق) الذي يزيد بمقدار 0.25 لكل رقم في السلسلة ، كما هو موضح أدناه.

يعتبر Phi هو خامس واحد في السلسلة ، ويصادف أنه ينتج فرقًا قدره 1 مع مربعه ، مما يؤدي إلى الخاصية الفريدة التي تشترك فيها مع عدم وجود رقم آخر:

1 ن 2 س = (1 + √n) / 2 × 2 Δ 1 / س
1 1 2 1 1 0.00 1
1 2 2 1.207106781 1.457106781 0.25 0.828427125
1 3 2 1.366025404 1.866025404 0.50 0.732050808
1 4 2 1.5 2.25 0.75 0.666666667
1 5 2 1.618033989 2.618033989 1.00 0.618033989
1 6 2 1.724744871 2.974744871 1.25 0.579795897
1 7 2 1.822875656 3.322875656 1.50 0.548583770
1 8 2 1.914213562 3.664213562 1.75 0.522407750
1 9 2 2 4 2.00 0.5

فهل هذا يزيل الغموض عن phi ، مما يجعلها مجرد واحدة من سلسلة أرقام تشبه phi؟ ليس بالضرورة ، لأن هذا ليس سوى جانب واحد من خصائص phi & # 8217s الفريدة. Phi هو أيضًا الرقم الوحيد الذي ينتج عنه اختلاف قدره 1 مع المعاملة بالمثل:

هذا هو مفتاح علاقته بالقسم الذهبي ، والذي يقوم على تقسيم السطر بطريقة تحقق شرطين:

أ إلى ب كما ب هو ج ، أين
A هو 161.8٪ من B و B هو 161.8٪ من C و
B تمثل 61.8٪ من A و C تمثل 61.8٪ من B

لنفترض أن n هو أي عدد صحيح بخلاف 5 وربحت & # 8217t تجد نفس نمط الاختلافات المتسقة كما هو موضح أعلاه أو الخصائص المتبادلة والمضافة الفريدة لـ phi.

رؤى حول صيغة phi & # 8217s في الجدول أعلاه ساهم بها جوزيف كونكلين.

تعليقات

أيضًا إذا أخذت squareroot (1 + squareroot (1 + squareroot (1 + squareroot (1 + squareroot (1 + & # 8230))))) ستحصل على phi.

إنها & # 8217s سلسلة لا نهائية. قال & # 8217s إنك تواصل أخذ الجذر التربيعي وإضافة الجذر التربيعي في كل مرة.

Phi هي الثانية في سلسلة لا نهائية من ثوابت n-nacci التي تلبي جميعها المعادلة- F + 1 / F ^ n = 2

Phi + 1 / Phi ^ 2 = 2 (حيث Phi = ثابت فيبوناتشي)

عندما ن = 3 نحصل على ثابت تريبوناتشي
n = 4 يعطي ثابت Tetranacci
n = 5 يعطي ثابت بنتاناتشي
وهكذا & # 8216ad اللانهائي & # 8217 & # 8230 إنتاج سلسلة لا نهائية من الثوابت التي تتقارب مع القيمة 2.

يعتبر Phi فريدًا بالتأكيد من حيث أنه ثابت n-nacci الوحيد الذي ينتج عنه فرق 1 مع مقلوبه ، لكنه لا يزال ثانيًا فقط في وثيقة موثقة جيدًا
تسلسل ثوابت n-nacci التي لكل منها خصائص فريدة.

حسنًا ، أين تتكاثر كل قيود n-nacci الأخرى في الطبيعة؟
أنا مثل الله لكنني لست كلب & # 8230.


Mathlibra

سلسلة هندسية لانهائية
التركيز: تحديد مجموع سلسلة هندسية لا نهائية.
ان هندسية لانهائية تحتوي السلسلة على عدد لا حصر له من المصطلحات.
بالنسبة لسلسلة هندسية لا نهائية ، إذا تقارب تسلسل المجاميع الجزئية إلى قيمة ثابتة مع زيادة عدد المصطلحات ، فإن المتسلسلة الهندسية تكون متقاربة والقيمة الثابتة هي المجموع المحدد للسلسلة. يسمى هذا المجموع بالمجموع إلى اللانهاية ويتم الإشارة إليه بواسطة س.

مثال 1: تقدير مجموع متسلسلة هندسية لانهائية
حدد ما إذا كانت كل سلسلة هندسية لا نهائية لها مجموع محدد. قدر كل مبلغ محدد.
أ) ½ + ¼ + + 1/16 + ⋯
ب) 0.5 + 1 + 2 + 4 + ⋯
ج) ½-¼ +-1/16 +
المحلول:
احسب بعض المجاميع الجزئية لكل سلسلة هندسية.


المصطلح التالي في السلسلة هو 1/32.

يبدو أن هذه المبالغ الجزئية تقترب من 1.
تقدير المبلغ المحدود هو 1.

مع زيادة عدد المصطلحات ، تزداد المبالغ الجزئية ، وبالتالي لا تحتوي السلسلة على مجموع محدد.

تتزايد المبالغ الجزئية وتنقص بالتناوب ، ولكن يبدو أنها تقترب من 0.33….
تقدير المجموع المحدد هو 0.33….

في المثال 1 ، كل سلسلة لها نفس المصطلح الأول ولكن بنسب مشتركة مختلفة. يبدو أن قيمة ص تحدد ما إذا كانت سلسلة هندسية لا نهائية تتقارب أو تتباعد.

ضع في اعتبارك القاعدة لمجموع ن مصطلحات.
لسلسلة هندسية ،

عندما -1 ن تقترب من 0 مثل ن يزيد إلى أجل غير مسمى.

مجموع متسلسلة هندسية لانهائية
لسلسلة هندسية لا نهائية بمصطلح أول ، ر1، والنسبة الشائعة ، -1

Ex2 أوجد مجموع ما لا نهاية للتسلسل رن: <10, 1, 0.1, …>.
حل:
Ex2 (1) اكتب صيغة الحد النوني من السلسلة الهندسية.
رن=أص (ن-1)

(2) من السؤال نعلم أن المصطلح الأول ، أ، هو 10 و ص=0.1.
أ=10, ص=0.1

(3) اكتب صيغة المجموع إلى ما لا نهاية.

(4) البديل أ= 10 و ص= 0.10 في الصيغة وتقييمها.


المثال 3: تحديد مجموع متسلسلة هندسية لانهائية
حدد ما إذا كانت كل سلسلة هندسية لا نهائية تتقارب أو تتباعد. إذا تقاربت ، حدد مجموعها.
أ) 27-9 + 3-1 + ...
ب) 4-8 + 16-32 + ...
المحلول:
أ) 27-9 + 3-1 + ...
ر1= 27 و ص هو: (-9) / 27 =-
النسبة المشتركة بين -1 و 1 ، لذا فإن المتسلسلة تتقارب. استخدم قاعدة مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية:

مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية هو 20.25.

ب) 4-8 + 16-32 + ...
ر1= 4 و ص هو: (-8) / 4 = -2
النسبة المشتركة ليست بين -1 و 1 ، لذا فإن السلسلة تتباعد. لا تحتوي السلسلة الهندسية اللانهائية على مجموع محدد.

سلسلة هندسية لانهائية
عندما تحتوي سلسلة على عدد لا نهائي من المصطلحات ، فإنها تسمى سلسلة لا نهاية لها ومجموع السلسلة يسمى مجموع ما لا نهاية من السلسلة.

دعونا نفكر في قيمة الكسر المناسب (أقل من 1) إذا واصلنا ضربه في نفسه. خذ على سبيل المثال ، ¼ ، واستمر في ضربها بنفسها ، أي ¼ ن ، مثل ن يزيد إلى أجل غير مسمى. يمكننا تمثيل هذا الموقف في جدول باستخدام الآلة الحاسبة.

من الجدول يمكننا أن نرى أنه كلما زادت قيمة ن، الأقرب ¼ ن يحصل على 0.
(سيحدث هذا لأي كسر صحيح ، موجب أو سالب.)
نقول أن نهاية ¼ ن ، مثل ن يقترب ما لا نهاية ، O.

n → ∞ تعني "as ن يقترب من اللانهاية.
Lim هي اختصار لـ Limit.
بشكل عام ، بالنسبة للسلسلة الهندسية اللانهائية:
أ + ع+أص 2 +أص 3 +⋯
إذا ص هو كسر صحيح ، فإن الحدود ستقترب من الصفر.
ل ص لكي يكون كسرًا صحيحًا ، يجب أن يكون بين 1 و 1 ، أي -1 limن→∞ص ن =0
ملاحظات: إذا ص> 1 أو ص ن غير موجود.
مجموع اللانهاية س، من سلسلة يرمز لها ليمن→∞سن.
إذا ليمن→∞سن موجود ، ويقال أن السلسلة متقاربة.
إذا ليمن→∞سن غير موجود ، ويقال أن المسلسل متشعب.
دعونا الآن نطور الصيغة العامة لمجموع ما لا نهاية لسلسلة هندسية فيها -1
الجزء الوحيد من هذه الصيغة الذي يتغير كـ ن الزيادات ص ن .
مثل، ن→∞, ص ن → ∞ لأن ص هو كسر صحيح.

مجموع ما لا نهاية لسلسلة هندسية

ملاحظة: -1
سلسلة لا نهاية لها:


مع الأخذ بعين الاعتبار ن→ ∞ على كلا الجانبين

كـ |ص| ن →0
لذلك تُعطى صيغة مجموع المصطلحات اللانهائية للتسلسل الهندسي من خلال:

سلسلة متقاربة:

يقال أن السلسلة اللانهائية هي سلسلة متقاربة عندما يميل مجموعها إلى حد محدد ومحدود.

سلسلة متباينة:

عندما يكون مجموع سلسلة لانهائية لا نهائية ، يقال إنها سلسلة متشعبة.

المجموع المحدد لسلسلة هندسية
لقد رأينا أن مجموع الأول ن شروط متسلسلة هندسية ذات حد أول أ والنسبة المشتركة ص هو

في حالة متى ص له حجم أقل من 1 ، المصطلح ص ن تقترب من 0 مثل ن يصبح كبيرا جدا. إذن ، في هذه الحالة ، تسلسل المجاميع الجزئية س1, س2, س3، ⋯ له حد:

تسمى قيمة هذا الحد بالمجموع المحدد للسلسلة الهندسية اللانهائية. قيم المجاميع الجزئية سن من السلسلة تقترب بقدر ما نحب من المبلغ المحدد المقدم ن كبير بما يكفي.

عادةً ما يُشار إلى المبلغ المحدد على أنه مجموع ما لا نهاية للسلسلة ويُشار إليه بالرمز س. وهكذا ، بالنسبة لسلسلة هندسية ذات نسبة مشتركة ص مثل هذا |ص|

مثال 4. (مراوح) مروحة تعمل بسرعة 10 دورات في الثانية. بعد إيقاف تشغيله ، تنخفض سرعته بمعدل 75٪ في الثانية. حدد عدد الثورات التي تكملها المروحة بعد إيقاف تشغيلها.
حل:
معطى أ1= 10 و ص= 100٪ -75٪ أو 0.25.
أوجد المجموع.

أكملت المروحة 40/3 دورة بعد إيقاف تشغيلها.
الجواب: 40/3

مثال 5. (بطاريات قابلة للشحن)
يتم الإعلان عن بطارية معينة قابلة لإعادة الشحن لإعادة الشحن إلى 99.9٪ من سعتها السابقة مع كل شحن. إذا كانت سعتها الأولية 8 ساعات من عمرها ، فكم عدد الساعات الإجمالية التي يجب أن تدومها البطارية؟
حل:
معطى أ1= 8 و ص= 99.9٪ أو 0.999
أوجد المجموع.

الجواب: 8000 ساعة

مثال 6. (تمثيلات متعددة)
في هذه المشكلة ، ستستخدم مربعًا من الورق لا يقل طول جانبه عن 8 بوصات.
أ. (خرسانة) اجعل المربع وحدة واحدة. اقطع نصف المربع. نسمي هذه القطعة المصطلح 1. بعد ذلك ، اقطع نصف الورقة المتبقية. نسمي هذه القطعة المصطلح 2. استمر في قص الورق المتبقي إلى نصفين وتسمية القطع برقم المصطلح لأطول فترة ممكنة. اكتب الكسور التي تمثلها القطع.
ب. (عددي) إذا تمكنت من قطع المربعات إلى أجل غير مسمى ، فستحصل على سلسلة لا نهائية. أوجد مجموع المتسلسلة.
ج. (شفهيًا) كيف يرتبط مجموع السلسلة بمربع الورق الأصلي؟ حل:
أ. ½ ، ¼ ، ⅛ ، 1/16 ، ...
ب. تجد ص.

ج. تبلغ مساحة المربع الأصلي 1 وحدة ولا يمكن أن تتجاوز مساحة كل القطع 1.
إجابه:
أ. ½ ، ¼ ، ⅛ ، 1/16 ، ...
ب. 1
ج. تبلغ مساحة المربع الأصلي 1 وحدة ولا يمكن أن تتجاوز مساحة كل القطع 1.

مثال 7. (فيزياء) في تجربة فيزيائية ، يتم تسريع كرة فولاذية على مسار مسطح ، ثم يُسمح لها بالتدحرج بحرية. بعد الدقيقة الأولى ، دحرجت الكرة 120 قدمًا. في كل دقيقة تقطع الكرة 40٪ فقط بقدر ما كانت عليه خلال الدقيقة السابقة. إلى أي مدى تقطع الكرة؟
حل:
معطى أ1= 120 و ص= 40٪ أو 0.4.
أوجد المجموع.

تتحرك الكرة 200 قدم.
الجواب: 200 قدم

مثال 8. (سيارات) أثناء فحص الصيانة ، تتم إزالة إطار من السيارة ولفه على آلة تشخيص. عند إيقاف تشغيل الماكينة ، يكمل إطار الدوران 20 دورة في الثانية الأولى و 98٪ من الثورات في كل ثانية إضافية. كم عدد الدورات التي يكملها الإطار قبل أن يتوقف عن الدوران؟
حل:
معطى أ1= 20 و ص= 98٪ أو 0.98
أوجد المجموع.

يكمل الإطار 1000 دورة.
الجواب: 1000 دورة

مثال 9. (اقتصاديات) تقرر حكومة الولاية تحفيز اقتصادها من خلال منح 500 دولار لكل شخص بالغ. تفترض الحكومة أن كل من يحصل على المال سينفق 80٪ على السلع الاستهلاكية وأن منتجي هذه السلع سينفقون بدورهم 80٪ على السلع الاستهلاكية. ما مقدار الأموال التي يتم توليدها للاقتصاد مقابل كل 500 دولار توفرها الحكومة؟
حل:
هنا، أ1= 500 و ص= 80٪ أو 0.8.
أوجد المجموع.

الجواب: 2500 دولار

مثال 10. (متحف العلوم) يوفر معرض في متحف العلوم للزوار فرصة تجربة حركة كائن في نبع. يقوم أحد الزائرين بسحب الكائن لأسفل وتركه يذهب. يتحرك الجسم بمقدار 1.2 قدم لأعلى قبل أن يعود في الاتجاه الآخر. في كل مرة يغير الجسم اتجاهه ، فإنه يقلل من مسافته بنسبة 20٪ مقارنة بالاتجاه السابق. أوجد المسافة الإجمالية التي يقطعها الجسم.
حل:
هنا أ1=1.2, ص= 1-0.2 أو 0.8.

المسافة الإجمالية التي يقطعها الجسم هي 6 أقدام.
الجواب: 6 قدم

المثال 11: إيجاد مجموع متسلسلة هندسية لانهائية
أوجد مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية:

حل:
قبل إيجاد المجموع ، علينا إيجاد النسبة المشتركة.

لأن ص=-، الشرط الذي |ص|
وبالتالي ، فإن مجموع ⅜-3/16 + 3 / 32-3 / 64 + هو. بطريقة غير رسمية ، بينما نواصل إضافة المزيد والمزيد من المصطلحات ، يكون المجموع تقريبًا ¼.

المثال 12. ما مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية ذات الحد الأول 27 والنسبة المشتركة ⅔؟
أ 18


الخيار (هـ) هو الإجابة الصحيحة.
الجواب: E.

المثال 13: مجموع سلسلة lnfinife الهندسية
أوجد مجموع كل سلسلة هندسية لا نهائية ، إن وجدت.
أ. ½ + ⅜ + 9/32 + ⋯
أولاً ، أوجد قيمة ص لتحديد ما إذا كان المبلغ موجودًا.
أ1= ½ و أ2= ⅜ ، إذن ص= ⅜⁄½ أو ¾. منذ | ¾ |
مجموع المتسلسلة 2.

النقطة الأساسية
مجموع ما لا نهاية لتسلسل هندسي مع قيمة البداية أ والنسبة المشتركة ص اعطي من قبل

حيث -1
حل:
لهذا التسلسل الهندسي لدينا أ= 1 و ص= ⅓. كـ -1
مثال 15. أوجد مجموع المتسلسلات الهندسية اللانهائية التي فيها أ=128, ص=-½
حل:

مجموع العدد اللانهائي لسلسلة هندسية
إذا كان -1 2 + ، فإن مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية يكون

Ex16: أوجد مجموع التسلسل الهندسي اللانهائي
1, -⅓, 1/9, -1/27, …
الحل: هنا أ=1, ص=-⅓
وبالتالي ، مجموع التسلسل الهندسي اللانهائي هو

مثال 16. أوجد المجموع المحدد للسلسلة الهندسية
أ) 1 + ⅓ + 1/9 + ⋯
ب) 8-6 + 9 / 2- ...
حل
أ) هنا أ= 1 و ص= ⅓ ، لذا فإن المجموع المحدد موجود ويساوي

ب) هنا أ= 8 و ص= -¾ ، لذا فإن المجموع المحدد موجود ويساوي

مثال 17. أوجد مجموع ما لا نهاية في كل من المتتاليات الهندسية التالية.
Ex17a)
1, ⅓, 1/9, …
إجابه:
أ=1, ص=⅓.
استخدام

المثال 17 ب)
6, 1.2, 0.24, …
إجابه:
يترك س=6+1.2+0.24+⋯
هنا، أ= 6 و ص=0.2.
استخدام

Ex17c)

إجابه:
هنا، أ=-و ص=-¼.
استخدام

Ex17d)
اثبت أن: 3 ½ × 3 ¼ × 3 ×… = 3

الإجابات:
3 (½+¼+⅛+⋯)
قوة 3 في شكل سلسلة هندسية مع أ= ½ و ص=½.
½+¼+⅛+⋯
استخدام


الجبر

حساب التفاضل والتكامل

ضع في اعتبارك السلسلة 1/4 + 1/6 + 1/9 + 2/27 + 4/81 +. هل السلسلة تتقارب أم تتباعد؟ هل المتسلسلة حسابية أم هندسية أم لا أم هندسية ذات قيمة مطلقة للحصة المشتركة أكبر / أقل من 1؟

حساب التفاضل والتكامل

أي من العبارات التالية يعتبر صحيحًا بالنسبة إلى المتسلسلة التي يبدأ جمعها من n = 0 إلى ما لا نهاية (-1) ^ n و 5/4 ^ n؟ أ) تتباعد السلسلة لأنها هندسية حيث r = 5/4 و a = –1. ب) تتقارب السلسلة إلى 4 لأنها كذلك

مجموع سلسلة هندسية

ما مجموع المتسلسلة اللانهائية الهندسية 3/2 + 9/16 + 27/128 + 81/1024 =. أعلم أن الصيغة هي S = a / (1-r) أستاذي ، عادةً ما يتحول إلى صيغة لسلسلة sum ويكتشف a و r ، لكنني لا أعرف كيف أفعل ذلك. ال

هل تتباعد أو تتقارب السلاسل الهندسية اللانهائية التالية؟ يشرح. 1/5 + 1/25 + 1/125 + 1/625 أ) يتباعد لديه مجموع. ب) يتقارب لديه مبلغ. ج) يتباعد أنه ليس لديه مبلغ. د) إنها تتقارب

في متسلسلة هندسية t1 = 23 ، t3 = 92 ومجموع كل حدود المتسلسلة هو 62813. كم حدًا في المتسلسلة؟

الجبر 2

صِف سلسلة هندسية لا نهائية بقيمة ابتدائية 2 تقترب من 10. ما هي أول أربعة حدود لها؟ أ <1> = الحد الأول من السلسلة ∞ المجموع اللانهائي = ∑ أ <1> • ص ^ (ن - 1) = أ <1> ⁄ (1 - ص)

بالنسبة للسلسلة الهندسية ، S4 / S8 = 1/17. أوجد الحدود الثلاثة الأولى من المتسلسلة إذا كان الحد الأول 3.

بالنسبة إلى المتسلسلة الهندسية ، S4 / S8 = 1/17 ، حدد أول ثلاثة حدود من السلسلة.

عبر عن العلامة العشرية المكررة 0.513 (الرقم 13 يتكرر لذا فإن الرقم العشري هو 0.5131313131313.) ككسر بأدنى حد باستخدام طريقة السلاسل الهندسية اللانهائية.

حساب التفاضل والتكامل - اختبار المتسلسلة بالتناوب

حدد ما إذا كانت السلسلة اللانهائية ، سيجما (((- 1) ^ (n + 1)) / n) ^ 2 تتقارب أو تتباعد. أعطى أستاذي هذه في مجموعة مسائل بعد أن قام بتدريس اختبار التسلسل بالتناوب. بتبسيط السلسلة التي نحصل عليها ، سيجما (((- 1) ^ (n + 1)) / n) ^ 2

الرياضيات

يتم الحصول على مجموع أول 6 حدود من سلسلة هندسية بنسبة مشتركة 2 في 126. احسب الحد الخامس من السلسلة

عبر عن العلامة العشرية المكررة 0.513 (مكرر 13) ككسر بأدنى حد باستخدام طريقة السلاسل الهندسية اللانهائية.


Sum to infinite terms of gp

Definition :-An infinite geometric series is the sum of an infinite geometric sequence. This series would have no last ter,. The general form of the infinite geometric series iswhere a1 is the first term and r is the common ratio.

We can find the sum of all finite geometric series. But in the case of an infinite geometric series when the common ratio is greater than one, the terms in the sequence will get larger and larger and if you add the larger numbers, you won&rsquot get a final answer. The only possible answer would be infinity. So we don&rsquot deal with the common ratio greater than one for an infinite geometric series.
If the common ratio r lies between &ndash1 to 1, we can have the sum of an infinite geometric series. That is the sum exists for |r| < 1.

Formula description :-The sum of an infinite Geometric Progression whose first term 'a' and common ratio 'r' (&ndash1 < r < 1 i.e., |r| < 1) is

ملحوظة:i.If an infinite series a sum, the series is said to be convergent. On the contrary, an infinite series is said to be divergent it has no sum. The infinite geometric series has a sum when &ndash1 < r < 1 so it is convergent when &ndash1 < r < 1. But it is divergent when r > 1 or, r < &ndash 1.
ii.If r >= 1, then the sum of an infinite Geometric Progression tens to infinity.

Application :-Geometric series are examples of infinite series with finite sums, although not all of them have this property. Historically, geometric series played an important role in the early development of calculus, and they continue to be central in the study of the convergence of series. Geometric series are used throughout mathematics, and they have important applications in physics, engineering, biology, economics, computer science, queueing theory, and finance.

It is possible to visualize this concept with a diagram:

Infinite geometric series: Each of the purple squares is obtained by multiplying the area the next larger square by 1/4.The area of the first square isand the area of the second square is

Example 1 :-Find the sum of the five terms of the geometric sequence (6, 18, 54, 162,&hellip)

Solution :-
In the case, a = 6 and n = 5. Also, note that r = 3, because each term is multiplies by a factor of 3 to find the subsequent term.
Substituting these value into the sum formula, we have:= 726

Example 2 :-Find the sum of the infinite geometric series 64+32+16+8+⋯

Solution :-
First, find r, or the constant ratio between each term and the one that precedes it:

Substitute a = 64 and r =1/2 into the formula for the sum of an infinite geometric series:= 128