مقالات

8.2: قابلية قياس الوظائف الواقعية الممتدة


من الآن فصاعدًا ، نفترض مسبقًا مساحة قابلة للقياس ((S، mathcal {M})، ) حيث ( mathcal {M} ) هو ( سيجما ) - حلقة في (S. ) هدفنا هو لإثبات النظرية الأساسية التالية ، والتي غالبًا ما تستخدم كتعريف ، للوظائف الحقيقية الممتدة (f: S rightarrow E ^ {*}. )

نظرية ( PageIndex {1} )

(A ) دالة (f: S rightarrow E ^ {*} ) قابلة للقياس على مجموعة (A in mathcal {M} ) iff (it ) تفي بأحد الشروط المكافئة التالية (ومن ثم كلهم):

[
start {array} {ll} { left ( mathfrak {i} ^ {*} right) left ( forall a in E ^ {*} right) A (f> a) in mathcal {M}؛} & { left ( mathrm {ii} ^ {*} right) left ( forall a in E ^ {*} right) A (f geq a) in mathcal { M}}؛ { left ( mathrm {iii} ^ {*} right) left ( forall a in E ^ {*} right) A (f ]

نثبت أولاً تكافؤ هذه الشروط من خلال إظهار أن ( left ( mathrm {i} ^ {*} right) Rightarrow ) ( left ( mathrm {ii} ^ {*} right) Rightarrow left ( mathrm {iii} ^ {*} right) Rightarrow left ( mathrm {i} v ^ {*} right) Rightarrow left ( mathrm {i} ^ {*} right ) ، ) إغلاق "الدائرة".

( left ( mathrm {i} ^ {*} right) Rightarrow left ( mathrm {ii} ^ {*} right). ) Assume ( left ( mathrm {i} ^ { *} حق). ) إذا (أ = - إنفتي ) ،

[
A (f geq a) = A in mathcal {M}
]

حسب الافتراض. إذا (a = + infty ) ،

[
A (f geq a) = A (f = infty) = bigcap_ {n = 1} ^ { infty} A (f> n) in mathcal {M}
]

بواسطة ( left ( mathrm {i} ^ {*} right). ) وإذا (a in E ^ {1} ) ،

[
أ (f geq a) = bigcap_ {n = 1} ^ { infty} A left (f> a- frac {1} {n} right).
]

(تحقق!) بقلم ( left ( mathrm {i} ^ {*} right) ) ،

[
A left (f> a- frac {1} {n} right) in mathcal {M}؛
]

لذلك (A (f geq a) in mathcal {M} ( text {a} sigma text {-ring!}) ).

( left ( mathrm {ii} ^ {*} right) Rightarrow left ( mathrm {iii} ^ {*} right). ) لـ ( left ( mathrm {i} ^ { *} right) ) و (A in mathcal {M} ) تعني ضمنيًا

[
A (f ]

( left ( mathrm {iii} ^ {*} right) Rightarrow left ( mathrm {iv} ^ {*} right). ) إذا (a in E ^ {1} ) و

[
A (f leq a) = bigcap_ {n = 1} ^ { infty} A left (f ]

ماذا لو (a = pm infty؟ )

( left ( mathrm {i} v ^ {*} right) Rightarrow left ( mathrm {i} ^ {*} right). ) في الواقع ، ( left ( mathrm {iv} ^ {*} right) ) و (A in mathcal {M} ) يعنيان

[
A (f> a) = A-A (f leq a) in mathcal {M}.
]

وبالتالي ، في الواقع ، يشير كل من ( left ( mathrm {i} ^ {*} right) ) إلى ( left ( mathrm {iv} ^ {*} right) ) إلى الآخرين. للإنهاء ، نحتاج إلى ليمتين ذات فائدة بحد ذاتها.

Lemma ( PageIndex {1} )

إذا كانت الخرائط (f_ {m}: S rightarrow E ^ {*} (m = 1،2، ldots) ) تفي بالشروط ( left ( mathrm {i} ^ {*} right) - ) ( left ( mathrm {iv} ^ {*} right) ، ) لذا قم أيضًا بتنفيذ الوظائف

[
sup f_ {m} ، inf f_ {m} ، overline { lim} f_ {m} ، text {and} underline { lim} f_ {m} ،
]

محددة بالنقطة ، على سبيل المثال ،

[
يسار ( sup f_ {m} right) (x) = sup f_ {m} (x) ،
]

وبالمثل بالنسبة للآخرين.

دليل

دعونا (f = sup f_ {m}. ) ثم

[
A (f leq a) = bigcap_ {m = 1} ^ { infty} A left (f_ {m} leq a right) quad text {(Why؟)}
]

لكن من خلال الافتراض ،

[
A left (f_ {m} leq a right) in mathcal {M}
]

( left (f_ {m} text {satisfies} left ( mathrm {i} mathrm {v} ^ {*} right) right). ) ومن هنا (A (f leq a) in mathcal {M} ( text {for} mathcal {M} text {is a} sigma text {-ring}) ).

وبالتالي فإن sup (f_ {m} ) يرضي ( left (i ^ {*} right) - left (i v ^ {*} right). )

وكذلك الأمر inf (f_ {m}؛ ) لـ

[
A left ( inf f_ {m} geq a right) = bigcap_ {m = 1} ^ { infty} A left (f_ {m} geq a right) in mathcal {M} .
]

(يشرح!)

لذا افعل أيضًا ( تسطير { lim} f_ {m} ) و ( overline { lim} f_ {m}؛ ) من أجل التعريف ،

[
تسطير { lim} {t} f_ {m} = sup _ {k} g_ {k} ،
]

أين

[
g_ {k} = inf _ {m geq k} f_ {m}
]

يرضي ( left ( mathrm {i} ^ {*} right) - left ( mathrm {i} mathrm {v} ^ {*} right) ، ) كما هو موضح أعلاه ؛ ومن ثم فإن الأمر كذلك هو sup (g_ {k} = underline { lim} f_ {m} ).

وبالمثل بالنسبة لـ ( overline { lim} f_ {m}. square )

Lemma ( PageIndex {2} )

إذا كان (f ) يرضي ( left ( mathrm {i} ^ {*} right) - left ( mathrm {iv} ^ {*} right) ، ) إذن

[
f = lim _ {m rightarrow infty} f_ {m} text {(بشكل موحد) on} A
]

لبعض تسلسل الدوال المحددة (f_ {m}، ) all ( mathcal {M} ) - الابتدائية على (A ).

علاوة على ذلك ، إذا كان (f geq 0 ) في (A ، ) يمكن جعل (f_ {m} ) غير سالب ، باستخدام ( left {f_ {m} right } uparrow ) على).

دليل

دع (H = A (f = + infty) ، K = A (f = - infty) ، ) و

[
A_ {m k} = A left ( frac {k-1} {2 ^ {m}} leq f < frac {k} {2 ^ {m}} right)
]

لـ (m = 1،2 ، ldots ) ​​و (k = 0 ، pm 1 ، pm 2 ، ldots ، pm n ، ldots )

( mathrm {By} left ( mathrm {i} ^ {*} right) - left ( mathrm {iv} ^ {*} right) ) ،

[
H = A (f = + infty) = A (f geq + infty) in mathcal {M} ،
]

(K in mathcal {M}، ) و

[
A_ {mk} = A left (f leq frac {k-1} {2 ^ {m}} right) cap A left (f < frac {k} {2 ^ {m}} right) in mathcal {M}.
]

حدد الآن

[
( forall m) quad f_ {m} = frac {k-1} {2 ^ {m}} text {on} A_ {m k} ،
]

(f_ {m} = m ) في (H، ) و (f_ {m} = - m ) على (K. ) ثم كل (f_ {m} ) محدود وابتدائي في (A ) منذ ذلك الحين

[
( forall m) quad A = H cup K cup bigcup_ {k = - infty} ^ { infty} A_ {m k} (d i s j o i n t)
]

و (f_ {m} ) ثابت على (H، K، ) و (A_ {m k} ).

نوضح الآن أن (f_ {m} rightarrow f ) (بشكل موحد) في (H ، K ، ) و

[
J = bigcup_ {k = - infty} ^ { infty} A_ {m k} ،
]

ومن هنا في (A ).

في الواقع ، لدينا على (ح )

[
lim f_ {m} = lim m = + infty = f ،
]

والنهاية موحدة لأن (f_ {m} ) ثابتة على (ح ).

بصورة مماثلة،

[
f_ {m} = - m rightarrow- infty = f text {on} K.
]

أخيرًا ، لدينا في (A_ {m k} )

[
(ك -1) 2 ^ {- m} leq f ]

و (f_ {m} = (k-1) 2 ^ {- m} ؛ ) بالتالي

[
left | f_ {m} -f right | ]

هكذا

[
يسار | f_ {m} -f يمين | <2 ^ {- m} rightarrow 0
]

في كل (A_ {m k}، ) ومن ثم فصاعدًا

[
J = bigcup_ {k = - infty} ^ { infty} A_ {m k}.
]

حسب النظرية 1 من الفصل 4 ، §12 ، يتبع ذلك (f_ {m} rightarrow f ( text {uniformly}) ) في (J ). وبالتالي ، في الواقع ، (f_ {m} rightarrow f ( text {uniformly}) ) في (A ).

إذا ، كذلك ، (f geq 0 ) في (A ، ) ثم (K = emptyset ) و (A_ {mk} = emptyset ) لـ (k leq 0. ) علاوة على ذلك ، عند المرور من (م ) إلى (م + 1 ، ) كل (A_ {mk} (ك> 0) ) ينقسم إلى مجموعتين. على أحدهما (f_ {m + 1} = f_ {m}؛ ) على الآخر ، (f_ {m + 1}> f_ {m}. ) (لماذا؟)

هكذا (0 leq f_ {m} nearrow f ( text {uniformly}) ) في (A، ) وقد تم إثبات كل شيء. (ميدان)

نظرية ( PageIndex {1} ) (معاد صياغتها)

(A ) الوظيفة (f: S rightarrow E ^ {*} ) قابلة للقياس على مجموعة (A in mathcal {M} ) iff (it ) تفي بأحد الشروط المكافئة التالية (ومن ثم كلهم):

[
start {array} {ll} { left ( mathfrak {i} ^ {*} right) left ( forall a in E ^ {*} right) A (f> a) in mathcal {M}؛} & { left ( mathrm {ii} ^ {*} right) left ( forall a in E ^ {*} right) A (f geq a) in mathcal { M}}؛ { left ( mathrm {iii} ^ {*} right) left ( forall a in E ^ {*} right) A (f ]

دليل

إذا كان (f ) قابلاً للقياس على (A، ) ثم بالتعريف ، (f = lim f_ {m} ) (بالنقطة) لبعض الخرائط الأولية (f_ {m} ) على (A ).

بالمشكلة 4 (2) في §1 ، جميع (f_ {m} ) يرضي (i *) - (iv *). هكذا يفعل (f ) بواسطة Lemma 1 هنا (f = lim f_ {m} = overline { lim} f_ {m} ).

ويتبع العكس من قبل Lemma 2. وهذا يكمل البرهان. (ميدان)

ملاحظة 1. يثبت Lemmas 1 و 2 النظريات 3 و 4 لـ ( $ 1، ) لـ (f: S rightarrow E ^ {*} ). باستخدام أيضًا النظرية 2 في الفقرة 1 ، يمكن للمرء أن يوسع هذا بسهولة إلى (f: S rightarrow E ^ {n} (C ^ {n}) ). تحقق!

نتيجة طبيعية ( PageIndex {1} )

إذا كان (f: S rightarrow E ^ {*} ) قابلاً للقياس في (A، ) إذن

[
left ( forall a in E ^ {*} right) quad A (f = a) in mathcal {M} text {and} A (f neq a) in mathcal {M} .
]

في الواقع،

[
A (f = a) = A (f geq a) cap A (f leq a) in mathcal {M}
]

و

[
A (f neq a) = A-A (f = a) in mathcal {M}.
]

نتيجة طبيعية ( PageIndex {2} )

إذا كان (f: S rightarrow left (T، rho ^ { prime} right) ) قابلاً للقياس على (A ) في ((S، mathcal {M})، ) إذن

[
A cap f ^ {- 1} [G] in mathcal {M}
]

لكل كرة أرضية (G = G_ {q} ( delta) ) في ( يسار (T ، rho ^ { prime} right) ).

دليل

حدد (h: S rightarrow E ^ {1} ) من خلال

[
ح (س) = rho ^ { رئيس} (و (س) ، ف).
]
ثم (ح ) قابل للقياس في (أ ) بالمسألة 6 في الفقرة 1. وهكذا من خلال النظرية 1 ،
[
أ (ح < دلتا) في mathcal {م}.
]

ولكن كما يمكن رؤيته بسهولة ،

[
أ (ح < دلتا) = يسار {س في أ | rho ^ { prime} (f (x)، q) < delta right } = A cap f ^ {- 1} left [G_ {q} ( delta) right].
]

ومن هنا النتيجة. (ميدان)

تعريف

بالنظر إلى (f، g: S rightarrow E ^ {*}، ) نحدد الخرائط (f vee g ) و (f wedge g ) في (S ) بواسطة

[
(f vee g) (x) = max {f (x)، g (x) }
]

و

[
(f wedge g) (x) = min {f (x)، g (x) } ؛
]

بالمثل لـ (f vee g vee h ، f wedge g wedge h ، ) إلخ.

وضعنا أيضا

[
f ^ {+} = f vee 0 text {and} f ^ {-} = - f vee 0.
]

بوضوح ، (f ^ {+} geq 0 ) و (f ^ {-} geq 0 ) على (S. ) أيضًا ، (f = f ^ {+} - f ^ {- } ) و (| f | = f ^ {+} + f ^ {-}. )

(لماذا؟) نحصل الآن على النظرية التالية.

نظرية ( PageIndex {2} )

إذا كانت الدوال (f، g: S rightarrow E ^ {*} ) بسيطة أو أولية أو قابلة للقياس في (A، ) فهي كذلك (f pm g، fg، f vee g، f wedge g و f ^ {+} و f ^ {-} و ) و (| f | ^ {a} (a neq 0) ).

دليل

إذا كانت (f ) و (g ) محدودة ، فهذا يتبع النظرية 1 من الفقرة 1 للتحقق من ذلك

[
f vee g = frac {1} {2} (f + g + | f-g |)
]

و

[
f wedge g = frac {1} {2} (f + g- | f-g |)
]

في (S. ) (تحقق منه!)

خلاف ذلك ، ضع في اعتبارك

[
A (f = + infty) ، A (f = - infty) ، A (g = + infty) ، text {and} A (g = - infty).
]

حسب النظرية (1، ) هذه ( mathcal {M} ) - مجموعات ؛ ومن ثم فإن اتحادهم كذلك.

على كل منها (f vee g ) و (f wedge g ) متساوٍ (f ) أو (g ؛ ) لذلك من خلال النتيجة 3 في §1 ، (f vee g ) و (f wedge g ) لهما الخصائص المرغوبة على (U. ) لذلك لديك أيضًا (f ^ {+} = f vee 0 ) و (f ^ {-} = - f vee 0 ( text {take} g = 0) ).

ندعي أن الخرائط (f pm g ) و (f g ) بسيطة (وبالتالي أولية وقابلة للقياس) في كل مجموعة من المجموعات الأربع المذكورة أعلاه ، ومن ثم على (U. )

على سبيل المثال ، في (A (f = + infty) ) ،

[
f pm g = + infty ( text {دائمًا})
]

باتفاقياتنا ( left (2 ^ {*} right) ) في الفصل 4 ، §4. بالنسبة إلى (fg، ) انقسام (A (f = + infty) ) إلى ثلاث مجموعات (A_ {1}، A_ {2}، A_ {3} in mathcal {M}، ) مع (g> 0 ) في (A_ {1} ، و g <0 ) في (A_ {2} ، ) و (g = 0 ) في (A_ {3} ؛ ) لذا (fg = + infty ) في (A_ {1} ، fg = - infty ) في (A_ {2} ، ) و (fg = 0 ) في (A_ {3}. ) ومن ثم فإن (fg ) بسيط في (A (f = + infty) ).

بالنسبة إلى (| f | ^ {a} ، ) استخدم (U = A (| f | = infty). ) مرة أخرى ، تنطبق النظرية على (U ، ) وأيضًا على (AU، ) بما أن (f ) و (g ) منتهيان في (AU in mathcal {M}. ) وبالتالي فهي تثبت على (A = (AU) cup U ) بواسطة Corollary 3 في § 1. ( ميدان)

ملاحظة 2. يوسع الاستقراء النظرية 2 إلى أي عدد محدود من الوظائف.

ملاحظة 3. بدمج النظرية 2 مع (f = f ^ {+} - f ^ {-}، ) نرى أن (f: S rightarrow E ^ {*} ) بسيط (أساسي ، قابل للقياس) iff (f ^ {+} ) و (f ^ {-} ). نحصل أيضا على النتيجة التالية.

نظرية ( PageIndex {3} )

إذا كانت الدوال (f، g: S rightarrow E * ) قابلة للقياس في (A in mathcal {M}، ) ثم (A (f geq g) in mathcal {M} ، A (f

هل هناك مثال لوظيفة غير قابلة للقياس برسم بياني قابل للقياس؟

دع $ (S، Sigma) $ يكون مساحة قابلة للقياس. دع $ f: S rightarrow mathbb$ كن وظيفة ودعنا $ mathcal( mathbb) $ be Borel $ sigma $ -algebra على $ mathbb$. لنفترض أن $ G (f) $ هو الرسم البياني لـ $ f $ ، وهذا يعني $ G (f) = <(x، f (x)) in S times mathbb: x in S > $. نكتب $ Sigma otimes mathcal( mathbb) $ للإشارة إلى المنتج $ sigma $ -algebra $ Sigma $ و $ mathcal( mathbb)$ .

  1. إذا كان $ f $ هو $ Sigma $ - $ mathcal( mathbb) $ قابل للقياس ثم $ G (f) in Sigma otimes mathcal( mathbb)$ .
  2. بافتراض أن $ S $ مساحة بولندية و $ Sigma $ هو Borel $ sigma $ -algebra ، إذا كان $ G (f) in Sigma otimes mathcal( mathbb) $ ثم $ f $ هو $ Sigma $ - $ mathcal( mathbb) $ قابل للقياس.

إثبات البند 1 سهل نوعًا ما. يعتبر إثبات العنصر 2 أكثر تقدمًا ويستخدم مجموعات تحليلية. يمكن العثور على أحد هذه الأدلة هنا (القسم 3 الاقتراح 6).

سؤال: هل يمكننا إثبات أنه إذا $ G (f) in Sigma otimes mathcal( mathbb) $ ثم $ f $ هو $ Sigma $ - $ mathcal( mathbb) قابل للقياس في الحالة العامة (أي مجرد وجود مساحة قابلة للقياس $ (S، Sigma) $)؟ إذا لم يكن كذلك ، فهل هناك مثال مضاد (أي ، مثال حيث $ G (f) in Sigma otimes mathcal( mathbb) $ ، لكن $ f $ ليس $ Sigma $ - $ mathcal( mathbb) $ قابل للقياس)?

(بالطبع تغيير $ sigma $ -algebra في المجال المضاد يجعل من التافه وجود أمثلة مضادة).

ملاحظة: أمثلة حيث $ G (f) notin Sigma otimes mathcal( mathbb) $ و $ f $ ليسا $ Sigma $ - $ mathcal( mathbb) القابلة للقياس دولار تافهة نوعًا ما. إنهم ليسوا ما أطلبه.

دع $ X = [0،1] $، $ Sigma $ يكون Borel $ sigma $ -algebra في $ [0،1] $ ، دع $ A subseteq [0،1] $ يكون مجموعة ليس في $ Sigma $. لنفترض أن $ f $ يكون $ chi_A $ (وظيفة المؤشر) بقيمة $ A $. من السهل أن ترى أن $ G (f) notin Sigma otimes mathcal( mathbb) $ و $ f $ ليس $ Sigma $ - $ mathcal( mathbb) $ قابل للقياس.


وظائف عامة قابلة للقياس

تذكر أن الدالة ذات القيمة الحقيقية الممتدة $ f $ يُقال إنها قابلة للقياس في Lebesgue في مجالها (يُفترض أنها مجموعة Lebesgue قابلة للقياس) إذا كانت لكل $ alpha in mathbb$ المجموعة $ $ هي مجموعة Lebesgue قابلة للقياس.

بالنظر إلى أي مساحة قابلة للقياس $ (X، mathcal A) $ ، يمكننا تحديد وظائف عامة قابلة للقياس بنفس الطريقة.

النظرية 1: لنفترض أن $ (X، mathcal A) $ يكون مساحة قابلة للقياس ولجعل $ f $ دالة ممتدة ذات قيمة حقيقية محددة في مجموعة قابلة للقياس $ E $. ثم يُقال أن $ f $ هو أ وظيفة قابلة للقياس على $ E $ إذا كان لكل $ alpha in mathbb$ المجموعة $ $ مجموعة قابلة للقياس.

على غرار وظائف Lebesgue القابلة للقياس ، يمكننا سرد عبارات مكافئة لإمكانية قياس وظيفة.

  • دليل: لنفترض أن $ (X، mathcal A) $ مساحة قابلة للقياس.
  • $ a) Leftrightarrow b) $ هذا يتبع من التعريف.
  • $ b) Rightarrow c) $ افترض أن كل $ alpha in mathbb$ المجموعة $ $ قابلة للقياس. دعونا $ alpha in mathbb$. ثم:
  • منذ $ in mathcal A $ لدينا هذا $ ^ c in mathcal A $ (بما أن $ mathcal A $ هو $ sigma $ -algebra). يوضح هذا أن $ $ قابل للقياس.
  • $ c) Rightarrow d) $ افترض أن كل $ alpha in mathbb$ المجموعة $ $ قابلة للقياس. ثم:
  • نظرًا لأن $ $ هو اتحاد قابل للعد من المجموعات القابلة للقياس ، فهذا يعني أن $ $ قابل للقياس.
  • $ d) Rightarrow e) $ افترض أن كل $ alpha in mathbb$ المجموعة $ $ قابلة للقياس. ثم:

لا يصح عكس النظرية 2 بشكل عام. وهذا يعني أنه من الممكن لجميع $ alpha in mathbb$ المجموعة $ $ قابلة للقياس و $ f $ ليست دالة قابلة للقياس.


مقدمة

واحدة من أغرب سمات العالم الكمي هو تشابك الجسيمات الذي يصف ارتباط الخصائص الأساسية الذي لا يمكن أن يحدث بالصدفة. يحدث عندما تتفاعل أزواج أو مجموعات من الجسيمات بحيث لا يمكن وصف الحالة الكمومية لكل جسيم بشكل مستقل عن حالة الجسيمات الأخرى ، على الرغم من إمكانية فصل الجسيمات الفردية مكانيًا. للتشابك الكمومي تطبيقات في التقنيات الناشئة للحوسبة الكمومية 1 والتشفير الكمومي 2 والانتقال الآني الكمي 3. يتم تعريف مقدار التشابك في حالة معينة على أنه مقياس تشابك. الخطوة الأولى في إيجاد مقياس التشابك لحالة نقية متعددة الأجزاء قام بها بينيت وآخرون. 4. ووجدوا أن الانتروبيا الجزئية لطرف في حالة كمية ثنائية يمكن أن تكون مقياسًا للتشابك. بعد ذلك ، تم الحصول على الصيغة الدقيقة لتشابك التكوين لجميع الحالات المختلطة لاثنين من وحدات البت التي لا تحتوي على أكثر من قيمتين ذاتية غير صفرية بواسطة Hill and Wootters 5. أيضًا في 6 ، تم الحصول على صيغة صريحة لتشابك تكوين زوج من الكيوبتات كدالة لمصفوفة كثافتها. أعربوا 5،6 عن تشابك تكوين حالة من 2 كيوبت من حيث التوافق. التوافق كتدابير تشابك لحالة معينة هو صفر إذا كانت الحالة قابلة للفصل وهي تساوي واحدًا للحالات المتشابكة القصوى. يتم تعريفه لحالتين نقي ومختلطتين كيوبت. في 7 ، تم شرح بعض بروتوكولات قياس التوافق المباشر للحالات الضوئية والذرية بحيث تقوم هذه البروتوكولات بترميز التوافق في احتمالية نجاح التقاط الحالة المتوازنة. بالنسبة للحالات ثنائية الأبعاد الأعلى ، فإن Ma وآخرون. حدد رقم 8 مقياس تشابك جديد يسمى D-concurrence الذي له صلة عميقة بالتوافق. في 9 ، يتم الحصول على بعض الحدود العليا والسفلى الجديدة لتوافق D للحالات المركبة. من ناحية أخرى ، بسبب بعض العمليات الكمية غير المادية في تعريف مقاييس التشابك ، مثل الاقتران المعقد في التوافق 6 ، من أجل قياس تشابك أي حالة كمية بشكل مباشر ، لا يمكن قياسها. إذا تمكنا من كتابة مصفوفة الكثافة لحالة كمومية من حيث الملاحظات القابلة للقياس ، فيمكننا بعد ذلك تحديد التشابك تجريبيًا. تسمى هذه الطريقة بالتصوير المقطعي للحالة الكمية 10. لكن هذا ليس عمليًا دائمًا ، لا سيما في الأنظمة ذات الأبعاد الأعلى ، لأنه في هذه الحالات ، تزداد الملحوظات اللازمة لقياس التشابك بسرعة. يمكن استخدام المراقبات مثل مشغلي باولي لقياس توافق حالتين نقيتين كيوبت كمقياس تشابك 11. تشو وآخرون. وجد 12 طريقة فعالة لقياس توافق ذرات التشابك باستخدام فوتونات مفردة. شنغ وآخرون. أظهر الشكل 13 أن قياس توافقات الاستقطاب وتشابك الزخم يمكن قياسه مباشرة واقترح طريقة لقياس التوافق للتشابك المفرط. تم تقديم مناهج قياس التوافق في كل من النظام البصري الخطي وغير الخطي وبعض الطرق لقياس توافق نظام التشابك الذري بواسطة Zhou و Sheng في 7. وصف Bartkiewicz الطريقة المباشرة لتحديد سلبية حالة ثنائية كيوبت كتدبير تشابك باستخدام العلاقة بين النقاء والسلبية وشاهد التشابك العالمي وآخرون. 14. في 15 ، Tukiainen وآخرون. اقترح بروتوكولًا لتحديد مدى توافق أي حالة نقية مكونة من 2 كيوبت باستخدام قياسات ضعيفة وقيم ضعيفة. أيضًا ، وصف Bartkiewicz طريقة مباشرة لقياس التشابك الكمي لحالات تعسفية ثنائية كيوبت من خلال تداخل Hong-Ou-Mandel وآخرون. في 16. في 17 وولبورن وآخرون. اقترح بروتوكولًا يمكن فيه تحديد توافق أي حالة كمومية خالصة بشكل تجريبي من خلال قياس إسقاطي بسيط بشرط أن يكون لدى المرء إمكانية الوصول إلى نسخة مزدوجة من الحالة. أيضا ، في 18 ، تشانغ وآخرون. قدم ثلاثة مخططات للقياس المباشر لمطابقة الحالة النقية والمختلطة المتشابكة لاستقطاب فوتونين. في حالة إمكانية قياس مقاييس التشابك للأنظمة الكمية بأكثر من 2 كيوبت ، حصلنا في 19 على إمكانية قياس ثابت متعدد الحدود من الدرجة 2 للحالات النقية حتى N كيوبت 20. بالنظر إلى هذه الأوراق وأهمية قابلية قياس تدابير التشابك ، قادتنا إلى التحقيق في قابلية قياس أحد تدابير التشابك ، ما يسمى بـ D-Concurrence في الورق. في هذه الورقة ، نقدم تفسيرًا ماديًا لموافقة D على تعسفي د الحالة النقية الأبعاد وتظهر أن قياس توافق D لأي حالة نقية ثنائية الأجزاء يمكن حفظها في قياس عوامل Gell-Man المعممة.

تنظيم هذه الورقة على النحو التالي: في القسم الأول من هذه الورقة ، نقوم بمراجعة مفهوم D-concurrence لنظام ثنائي الأجزاء. في القسم 3 ، نشرح طريقة مباشرة لقياس مقياس التشابك هذا للحالة النقية ثنائية الأجزاء. في القسم 4 ، لتوضيح الموضوع ، نقدم مثالًا يتكون من طرفين A و B مع البعد 3. وأخيرًا ، نختتم الورقة في القسم الأخير.


مقدمة

هذا العمل مكرس لدراسة العلاقات بين الوحدات الفرعية المترية القوية ، وحالة النمو التربيعي ، وانتظام القياس القوي ، وخاصية التحديد الإيجابي للمقياس. ثانيا-ترتيب التفاضلية الفرعية/معمم هسه في إعدادات الأبعاد المحدودة واللانهائية.

من المعروف جيدًا في التحسين غير الخطي أن ظروف النمو التربيعية للوظائف ذات القيمة الممتدة تلعب دورًا مركزيًا (انظر ، على سبيل المثال، [1-3]). في إعداد غير أملس ، تم إنشاء خصائص انتظام متري مختلفة للتفاضل الفرعي لوظيفة محدبة منخفضة شبه متصلة تعمل في فضاء هيلبرت بواسطة أراغون أرتاتشو وجيفروي [4] من حيث حالة النمو التربيعي. لاحقًا ، بدافع من بعض النتائج في [5] ، وسع أراغون أرتاشو وجيفروي [6] توصيفاتهم من [4] إلى وظائف محدبة محددة في مسافات باناخ العشوائية وأشاروا إلى أنه إذا كان تعيين التدرج الفرعي ∂ و من l.s.c. دالة محدبة F المعرفة في مساحة Banach يتم تحديدها بشدة دون المستوى المترقي عند (( bar، شريط^ <*>) ) مع المعامل ( kappa & gt0 ) ، ثم شرط النمو التربيعي التالي ينطبق:

حيث (c in (0، frac <1> <2 kappa>) ) و يو هو حي . لقد طرحوا السؤال عما إذا كان يمكن تحسين ارتباط الثابت في حالة النمو التربيعي (1) (انظر [6] ، الملاحظة 3.2). Drusvyatskiy وآخرون. [7] وسعت التوصيفات من [6] إلى الوظائف شبه المستمرة السفلية المحددة في مسافات Asplund وأعطت إجابة مؤكدة على السؤال أعلاه من خلال إظهار أن الثابت ج في (1) يمكن اختياره بشكل تعسفي في ((0، frac <1> < kappa>) ).

في خطوط التنمية الأخرى ، في [8] ، فإن ثانيا-ترتيب التفاضلية الفرعية/معمم هسه يستخدم لتوصيف إمالة-مقلدات محلية مستقرة تم تقديمه بواسطة Poliquin و Rockafellar [8] للوظائف القريبة المنتظمة والمستمرة شبه التفاضلية على ( mathbb ^). في وقت لاحق ، وسع موردوخوفيتش ونغيا [5] هذا التوصيف إلى إعدادات فضاءات هلبرت باستخدام مفهوم جديد لـ التفاضلية الفرعية المجمعة من الدرجة الثانية. مؤخرًا ، Drusvyatskiy وآخرون. [7] وسعت المعادلات المعروفة بين انتظام المقياس وخصائص الانتظام المتري القوية لتعيينات التدرج لـ ( mathcal^ <2> ) - وظائف سلسة ، تتميز من خلال Hessian الكلاسيكي ، إلى الفئة العامة من الدوال القريبة المنتظمة والوظائف الفرعية المستمرة على ( mathbb ^) من حيث ثانيا-ترتيب التفاضلية الفرعية/معمم هسه.

يهدف العمل الحالي إلى تحقيق نتائج جديدة في الاتجاهات المذكورة أعلاه من خلال تحسين التوصيفات المعروفة. بعد تسجيل التعريفات والحقائق الضرورية التي ستكون مطلوبة في جميع أنحاء المخطوطة في القسم 2 ، نخصص القسم 3 لتوصيف حالة النمو من الدرجة الثانية لوظيفة شبه مستمرة منخفضة. توفر النظرية 3.1 شرطًا كافيًا يسمح بوجود مقياس فرعي متري قوي مع معامل κ للإشارة إلى حالة النمو من الدرجة الثانية مع الثابت (c = 1 / kappa ). تعطي النظرية 3.2 شرطًا كافيًا للوحدات الفرعية المترية في إعداد غير محدد. في القسم 4 ، في الإعداد ذي الأبعاد المحدودة ، نؤسس تكافؤًا بين وحدة القياس الفرعية القوية ، والنمو التربيعي ، وخاصية التحديد الإيجابي لـ ثانيا-ترتيب التفاضلية الفرعية/معمم هسه، الانتظام المتري القوي واستقرار الإمالة ، ونظهر أن الثابت ج في حالة النمو التربيعي يمكن تحقيق (1 / kappa ) (نظرية 4.2).


حديقة التكاملات

المشتق والتكامل هما المفهومان الأساسيان لحساب التفاضل والتكامل. على الرغم من وجود مشتق واحد فقط بشكل أساسي ، إلا أن هناك مجموعة متنوعة من التكاملات ، تم تطويرها على مر السنين لمجموعة متنوعة من الأغراض ، وهذا الكتاب يصفها. لا يوجد مصدر منفرد آخر يعالج جميع تكاملات كوشي ، ريمان ، ريمان-ستيلتجيس ، ليبيج ، ليبيسج-شتايلتجيس ، هينستوك-كورزويل ، وينر ، وفينمان. تم إثبات الخصائص الأساسية لكل منها ، والإشارة إلى أوجه التشابه والاختلاف بينهما ، وبيان سبب وجودها واستخداماتها. هناك الكثير من المعلومات التاريخية. جمهور الكتاب متقدم في تخصصات الرياضيات الجامعية وطلاب الدراسات العليا وأعضاء هيئة التدريس. حتى أعضاء هيئة التدريس المتمرسين من غير المرجح أن يكونوا على دراية بجميع العناصر الأساسية في حديقة التكاملات ، ويوفر الكتاب فرصة لرؤيتهم وتقدير ثرائهم. إن عرض البروفيسور بيرك الواضح والمحفز يجعل قراءة هذا الكتاب ممتعة. يمكن أن يكون الكتاب بمثابة مرجع ، وكمكمل للدورات التي تشمل نظرية التكامل ، ومصدر للتمارين في التحليل. لا يوجد كتاب آخر مثله.

المراجعات والمصادقات

يقدم هذا الكتاب بانوراما محفزة لتكاملات كوشي ، ريمان ، ريمان-شيلتجيس ، ليبيسغ ، ليبيسج-ستيلتجيس ، هينستوك-كورزويل ، وينر وفينمان. يتم تقديم كل حجة بشكل جيد ويتم عرض الخصائص الرئيسية. الكتاب ممتع للقراءة ويمكن أن يكون بمثابة مرجع جيد.


2.5 مشغلي الطاقة X ** N و X ** Y

يمكن استخدام عامل القدرة مع الأس الصحيح (X ** N) والأس المستمر (X ** Y). مع الأس المستمر ، يكون لمشغل القدرة أشكال غير محددة ، على غرار العوامل الحسابية الأربعة.

في حالة الأس الصحيح ، تكون مجموعة جميع القيم التي يجب أن يحتوي عليها الضميمة.

يمكن استخدام الرتابة لبناء غلاف فاصل حاد لوظيفة القدرة الصحيحة. متي ن = 0، cset ( x ن, < x 0>) = 1 للجميع ، و [فارغ] ** N = [فارغ] لكل N.

في حالة الأس المستمر ، تكون مجموعة جميع القيم التي يجب أن تحتوي عليها حاوية الفاصل الزمني

أين هي مجموعة احتواء التعبير. وظيفة exp ( ذ ln ( x )) يوضح أن قيم الحاجة فقط هي التي يتم أخذها في الاعتبار ، ويتوافق مع تعريف X ** Y مع وسيطات REAL في Fortran.

تكون النتيجة فارغة إذا كانت وسيطة INTERVAL فارغة أو إذا كانت الوسيطة x & lt 0. يتوافق هذا أيضًا مع الإصدار النقطي لـ X ** Y في Fortran.

يعرض الجدول 2-9 مجموعات الاحتواء لجميع التفردات والأشكال غير المحددة من cset (exp ( ذ ln ( x )), <( ذ 0, x 0)>).

الجدول 2-9 cset (إكسب ( ذ ln (x)) ، <( ذ 0, x 0)>)
  • حساب إغلاق التعبير المركب مباشرة ، exp ( ذ ln ( خ) ) لقيم x0 و ذ0 التي يكون التعبير عنها غير معرّف.
  • استخدم نظرية تقييم مجموعة الاحتواء لربط مجموعة القيم في مجموعة الاحتواء.
  • تضمن نظرية تقييم مجموعة الاحتواء أن فشل الاحتواء لا يمكن أبدًا أن ينتج عن حساب تركيبة الإغلاق بدلاً من الإغلاق.
  • يجب أن يكون التعبير عبارة عن SUE لكي تكون المساواة في تركيبة الإغلاق صحيحة.

8.2: قابلية قياس الوظائف الواقعية الممتدة

المستطيلات القابلة للقياس هي نتاج مجموعات في $ sigma $ -algebras $ mathcal_t $ ، $ t in T $. بعض الأمثلة على المستطيلات القابلة للقياس في $ Omega = R ^ 3 = R times R times R $ (بافتراض أن Borel $ sigma $ -algebra على كل نسخة من $ R $) هي start & (1،2) times R times [2،3) & ([1،2] cup [3،4]) times [2،3] times [4،5] & R مرات R مرات كوب_<>> [ن ، ن + 1/2). نهاية على سبيل المثال ، المجموعة $ < bb x: sum_i x_i = 1 > $ ليست مستطيلاً قابلاً للقياس. يوضح الشكل 4.2 بعض المجموعات في $ R ^ 2 $ والتي هي مستطيلات قابلة للقياس وبعض المجموعات التي ليست كذلك.

اسطوانات قابلة للقياس $ Omega_t): A_s in mathcal_s ، s في T > $ هي حالات خاصة من المستطيلات القابلة للقياس ، حيث يُسمح فقط لمنتج واحد بالاختلاف عن $ Omega_t $. التوصيف العام للأسطوانات القابلة للقياس بالدولار R ^ 3 $ هو start & A times R times R ، qquad A in mathcal( R) & R times A times R ، qquad A in mathcal( R) & R times R times A ، qquad A in mathcal( ص). نهاية

التعاريف التالية تبني مساحة جديدة قابلة للقياس من عدة مساحات قابلة للقياس. المساحة الجديدة القابلة للقياس ، والتي تسمى مساحة المنتج القابلة للقياس ، تؤدي إلى بناء مقياس المنتج ، وهو أمر أساسي في دراسة الاحتمالية على المساحات الإقليدية $ R ^ n $.

بما أن $ sigma ($ جميع الأسطوانات المفتوحة القابلة للقياس) تتضمن جميع الأسطوانات القابلة للقياس ، وبالتالي تبدأ otimes_ رياضيات_t = sigma left ( left right > right). نهاية

في الاقتراح أعلاه وفي أي مكان آخر ، عندما نشير إلى المجموعة $ R ^ < infty> $ ، نفترض بنية القياس المحددة في المثال B.4.4.

مجموعة في $ mathcal_2 $ عبارة عن أسطوانة مفتوحة قابلة للقياس ، وبالتالي فهي مجموعة مفتوحة في $ R ^ d $ أو $ R ^ < infty> $ (انظر المثال B.4.4).

في حالة وجود عدد محدود من المنتجات ، دع $ A $ مجموعة مفتوحة في $ R ^ d $. ثم لكل $ a في A $ توجد كرة مفتوحة $ B_r (a ') $ مثل $ a in B_r (a') subset A $. لكل $ a in A $ وكل كرة مفتوحة $ B_r (a ') $ تحتوي على $ a $ يوجد مستطيل $ times_^ d (a_i، b_i) $ بنقاط نهاية منطقية مثل $ a in times_^ d (a_i، b_i) المجموعة الفرعية B_r (a ') المجموعة الفرعية A $ وتوحيد كل هذه المستطيلات المفتوحة يساوي $ A $. نظرًا لأن المستطيلات المفتوحة عبارة عن تقاطعات محدودة لمجموعات الأسطوانات ، وهناك عدد معدود من المستطيلات بنقاط نهائية عقلانية ، فإن $ A $ هو اتحاد قابل للعد من التقاطعات المحدودة للأسطوانات ، مما يعني أن $ A in sigma ( mathcal( R) otimes cdots otimes mathcal( R)) $.

حالة عدد لا حصر له من المنتجات تستمر بالمثل. من خلال العد الثاني $ R ^ < infty> $ (انظر الاقتراح B.4.5) ، فإن المجموعة المفتوحة $ A مجموعة فرعية R ^ < infty> $ هي اتحاد معدود لتقاطعات محدودة من الأسطوانات. ويترتب على ذلك أن $ A = sigma ( mathcal_2)$.

في ما يلي ، نركز على منتج مسافتين. يتم ذلك من أجل البساطة ، وتنتقل التعريفات والقضايا إلى منتج لعدد محدود من المسافات (على سبيل المثال ، عن طريق الاستقراء).

نشير إلى مجموعة المجموعات $ E $ التي $ f_يمكن قياس $ كـ $ mathcal$ ، وتوضيح أنه نظام $ lambda $ على $ X times Y $. لدينا $ X times Y in mathcal$ منذ $ f_(س) = P_Y () = P_Y (Y) $. إذا كان $ A in mathcal$ ، ثم $ f_(x) $ قابل للقياس وبالتالي $ f_(س) = P_Y () = P_Y (Y) -f_(x) $ قابل للقياس أيضًا. إذا كان $ A_n ، n in mathbb$ عبارة عن سلسلة من المجموعات المنفصلة في $ mathcal$ ثم $ f _ < cup A_n> (x) = P_Y () = مجموع_<>> و_(x) يعني $ أن $ cup A_n $ موجود في $ mathcal$ كذلك. وهكذا يظهر لنا أن $ mathcal$ هو نظام $ lambda $. يوضح هذا الاشتقاق أيضًا أن $ f_E (x) $ و $ g_E (x) $ هما دالات قياس لكل $ x $.

الدالة $ f_E $ قابلة للقياس أيضًا لجميع المستطيلات القابلة للقياس $ E = A times B $ ، منذ $ f_(x) = I_A (x) P_X (B) $. $ الرياضيات$ هو نظام $ lambda $ يحتوي على $ pi $ - نظام المستطيلات القابلة للقياس ، والذي يولد $ sigma $ algebra $ mathcal otimes رياضيات$. يتبع من نظرية دينكين (الاقتراح E.3.4) أن $ mathcal otimes رياضيات مجموعة فرعية رياضيات$ يشير إلى أن $ f_E $ قابل للقياس. إثبات قابلية القياس لـ $ g_E $ مشابه.

منذ ذلك الحين لجميع $ E in mathcal otimes رياضيات$ ، الدالتان $ f_E $ و $ g_E $ قابلة للقياس ، يمكننا تحديد الوظائف التالية التي تعين قيمًا حقيقية للمجموعات في $ mathcal otimes رياضيات$ تبدأ P_^ <(1)> (E) & = int_X P_X () ، د P_X ، P_^ <(2)> (E) & = int_Y P_Y () د P_Y. نهاية بالنسبة للمستطيلات القابلة للقياس ، $ f_(x) = I_A (x) P_X (B) $ و $ g_(x) = I_B (x) P_Y (A) $ ، مما يعني أن $ < P_> ^ <(1)> (A times B) = P_^ <(2)> (A times B) = P_X (A) cdot P_Y (B) $. نظرًا لأن المستطيلات القابلة للقياس تولد $ mathcal otimes رياضيات$ ، يتبع من Corollary E.3.1 أن $ P_^ <(1)> $ يوافق على $ P_^ <(2)> $ على $ mathcal otimes رياضيات$. ويترتب على ذلك أيضًا أنه إذا كان هناك أي مقياس آخر $ P_^ <(3)> $ الذي يعين القيمة $ P_^ <(3)> = (A times B) = P_X (A) cdot P_Y (B) $ على مستطيلات قابلة للقياس ، ثم $ P_^ <(3)> $ يوافق على $ P_^ <(1)> $ و $ P_^ <(2)> $ على $ mathcal otimes رياضيات$.


دفترجي

لذا ، يبدو أنني نسيت المتطلبات الأساسية لتكامل Lebesgue!

لنفترض أن $ (Omega، Sigma، mu) $ يكون مساحة قياس عشوائية $ sigma $ غير محدودة. أنا مهتم بشكل خاص بالأرقام الحقيقية المجهزة بمقياس Borel ، والتي يمكن أن نشير إليها $ (mathbbالرياضيات، بيتا) $. Similarly, let $(overline<>>,overline<>>,beta)$ denote the set of extended reals equipped with the Borel measure.

Question 1. What measurability conditions need to be true of a function $f:Omegato[-infty,infty]$ in order for its Lebesgue integral $int_Omega fdmu$ to be well-defined?

Definition. Let $(Omega_1,Sigma_1)$ and $(Omega_2,Sigma_2)$ be measure spaces, i.e. nonempty sets equipped with $sigma$ -algebras. A function $f:Omega_1toOmega_2$ is called $(Sigma_1,Sigma_2)$ -measurable if and only if $f^<-1>(A)inSigma_1$ for all $AinSigma_2$ .

I have been laboring for some time under the impression that $f$ needs to be $(Sigma,overline)$ -measurable, where $(overline<>>,overline,lambda)$ denotes the extended real numbers equipped with the Lebesgue measure. However, I've just been reading both Bogachev and Royden, and they seem to be requiring only that $f$ be "measurable" in the following sense: that $inSigma$ for every $cinmathbb$ , and also $f^<-1>(infty),f^<-1>(-infty)inSigma$ . This turns out to be equivalent to saying that $f$ is $(Sigma,overline<>>)$ -measurable.

But there are functions $f:mathbbto[-infty,infty]$ which are $(mathcal,overline<>>)$ -measurable but not $(mathcal,overline)$ -measurable. For instance, take the usual example of the homeomorphism $g:[0,2]to[0,1]$ built out of the Cantor "devil's staircase" function, and extend it to all of $mathbb$ by letting $g(x)=g(0)$ whenever $x<0$ and $g(x)=g(2)$ whenever $x>2$ . Then $g$ is continuous and hence $(mathcal,overline<>>)$ -measurable, but it is not $(mathcal,overline)$ -measurable. Is $g$ really integrable?

So, I guess Question 1 can be made more specific by breaking it up into the following:

Question 2. Does the definition of the Lebesgue integral of a function $f:Omegato[-infty,infty]$ require that $f$ be $(Sigma,overline)$ -measurable, or is $(Sigma,overline<>>)$ -measurability good enough?

I've also noticed that some of the Lemmas and Propositions involved with the Lebesgue integral require that $Sigma$ be اكتمال, i.e it contains all subsets of sets of measure zero. The Borel $sigma$ -algebra is the one I'm most interested in, but it is not complete. So:

Question 3. Does the definition of the Lebesgue integral of a function $f:Omegato[-infty,infty]$ require that $(Omega,Sigma)$ be complete? In particular, is $(mathbb,mathcal)$ allowed to be used for the domain of $f$ ?

According to my reading of the Royden and Bogachev texts, the answer to question 2 appears to be that we only need $(Sigma,overline<>>)$ -measurability, not $(Sigma,overline)$ -measurability. And the answer to question 3 appears to be that no, $(Omega,Sigma)$ need not be complete, and that $(mathbb,mathcal)$ is allowed to be used. But this seems suspicious, and I am not convinced I have understood the texts correctly.


Implicit subdifferential inclusions with nonconvex-valued perturbations

This paper addresses an evolution inclusion of subdifferential type with a multivalued perturbation. The values of the latter are closed, not necessarily convex sets. Our inclusion is implicit in the sense that the velocity enters it implicitly: the subdifferential is evaluated not at the state, but at a function depending both on the state and the velocity. We prove the existence of a solution to the inclusion by using a fixed point theorem for an auxiliary multivalued mapping with closed, nonconvex, decomposable values. This multivalued mapping is related to an ordinary differential equation containing the resolvent of the subdifferential operator. In the case when the perturbation is single-valued the solution is unique. We also introduce an explicit ordinary differential equation with the solution set coinciding with that for our implicit evolution inclusion. The application of our general result to implicit sweeping processes with nonconvex perturbations yields the existence of solutions to these processes generalizing a number of recent existence results for implicit sweeping processes. This existence result is further illustrated for a quasistatic evolution variational inequality arising in contact mechanics. Our results on implicit subdifferential inclusions are completely new and have no analogs in the existence literature.


شاهد الفيديو: افضل الوظائف لبرج السرطان نجاحا وتميزا (ديسمبر 2021).