مقالات

4.2: الكسور المتكافئة - الرياضيات


في هذا القسم نتعامل مع الكسور أو الأرقام أو التعبيرات على شكل أ / ب.

التعريف: الكسور

عدد من النموذج

[ dfrac {a} {b} nonumber ]

حيث (أ ) و (ب ) أرقام تسمى أ جزء. الرقم (أ ) يسمى البسط من الكسر ، في حين أن الرقم (ب ) يسمى المقام - صفة مشتركة - حالة من الكسر.

بالقرب من نهاية هذا القسم ، سنرى أن بسط الكسر ومقامه يمكن أن يكونا أيضًا تعبيرات جبرية ، ولكن في الوقت الحالي نقصر انتباهنا على الكسور التي يكون البسط والمقام فيها أعدادًا صحيحة. نبدأ دراستنا للكسور بتعريف الكسور المتكافئة.

الكسور المتكافئة

كسرين ما يعادل إذا كانت تمثل نفس القيمة العددية.

لكن كيف يمكننا معرفة ما إذا كان كسران يمثلان نفس العدد؟ حسنًا ، تتضمن إحدى التقنيات بعض التصورات البسيطة. ضع في اعتبارك الصورة الموضحة في الشكل 4.1 ، حيث تمثل المنطقة المظللة 1/3 من إجمالي مساحة الشكل (واحدة من ثلاث مناطق متساوية مظللة).

في الشكل 4.2 ، قمنا بتظليل 2/6 من المنطقة بأكملها (اثنان من ست مناطق متساوية مظللة).

في الشكل 4.3 ، قمنا بتظليل 4/12 من المنطقة بأكملها (أربعة من اثني عشر منطقة متساوية مظللة).

لنأخذ المخططات من الشكل 4.1 والشكل 4.2 والشكل 4.3 وقم بتكديسها فوق الأخرى ، كما هو موضح في الشكل 4.4.

يقدم الشكل 4.4 دليلًا مرئيًا قويًا على أن الكسور التالية متكافئة.

[ dfrac {1} {3} = dfrac {2} {6} = dfrac {4} {12} nonumber ]

الملاحظات الرئيسية

1. إذا بدأنا بالكسر 1/3 ، ثم ضربنا البسط والمقام في 2 ، نحصل على النتيجة التالية.

[ start {align} dfrac {1} {3} = dfrac {1 cdot 2} {3 cdot 2} ~ & textcolor {red} { text {اضرب البسط والمقام في 2.} } = dfrac {2} {6} ~ & textcolor {red} { text {تبسيط البسط والمقام.}} end {align} nonumber ]

هذا هو بالضبط نفس الشيء الذي يحدث بدءًا من الشكل 4.1 إلى 4.2 ، حيث نقوم بمضاعفة عدد المربعات المتاحة (من 3 المتاحة إلى 6 المتاحة) ومضاعفة عدد المربعات المظللة (الانتقال من 1 مظلل إلى 2 مظلل).

2. إذا بدأنا بالكسر 1/3 ، ثم ضربنا البسط والمقام في 4 ، نحصل على النتيجة التالية.

[ begin {align} = dfrac {1} {3} = dfrac {1 cdot 4} {3 cdot 4} ~ & textcolor {red} { text {اضرب البسط والمقام في 4.} } = dfrac {4} {12} ~ & textcolor {red} { text {تبسيط البسط والمقام.}} end {align} nonumber ]

هذا هو بالضبط نفس الشيء الذي يحدث بدءًا من الشكل 4.1 إلى 4.3 ، حيث نضرب عدد المربعات المتاحة في 4 (من 3 المتاحة إلى 12 المتاحة) ونضرب عدد المربعات المظللة في 4 (من 1 مظلل إلى 4) مظلل).

المناقشة أعلاه تحفز النتيجة الأساسية التالية.

تكوين الكسور المتكافئة

إذا بدأت بكسر ، ثم اضرب البسط والمقام في نفس الرقم ، يكون الكسر الناتج مساويًا (له نفس القيمة العددية) للكسر الأصلي. في الرموز

[ dfrac {a} {b} = dfrac {a cdot x} {b cdot x} nonumber ]

يتجادل في الاتجاه المعاكس

عكس الحجة المذكورة أعلاه صحيح أيضا.

1. إذا بدأنا بالكسر 2/6 ، ثم قسمنا البسط والمقام على 2 ، نحصل على النتيجة التالية.

[ start {align} dfrac {2} {6} = dfrac {2 div 2} {6 div 2} ~ & textcolor {red} { text {قسّم البسط والمقام على 2.}} = dfrac {1} {3} ~ & textcolor {red} { text {تبسيط البسط والمقام.}} end {align} nonumber ]

هذا هو بالضبط نفس الشيء الذي يحدث بالعودة للخلف من الشكل 4.2 إلى 4.1 ، حيث نقسم عدد المربعات المتاحة على 2 (الانتقال من 6 المتاحة إلى 3 المتاحة) ونقسم عدد المربعات المظللة على 2 (الانتقال من 2 مظللة إلى 1 مظلل).

2. إذا بدأنا بالكسر 4/12 ، ثم قسمنا البسط والمقام على 4 ، نحصل على النتيجة التالية.

[ start {align} dfrac {4} {12} = dfrac {4 div 4} {12 div 4} ~ & textcolor {red} { text {اضرب البسط والمقام في 4.}} = dfrac {1} {3} ~ & textcolor {red} { text {تبسيط البسط والمقام.}} end {align} nonumber ]

هذا هو بالضبط نفس الشيء الذي يحدث بالرجوع للخلف من الشكل 4.3 إلى 4.1 ، حيث نقسم عدد المربعات المتاحة على 4 (الانتقال من 12 المتاحة إلى 3 المتاحة) ونقسم عدد المربعات المظللة على 4 (الانتقال من 4 مظللة إلى 1 مظلل).

المناقشة أعلاه تحفز النتيجة الأساسية التالية.

تكوين الكسور المتكافئة

إذا بدأت بكسر ، ثم قسمت كل من البسط والمقام على نفس الرقم ، فإن الكسر الناتج يكون مكافئًا (له نفس القيمة العددية) للكسر الأصلي. في الرموز

[ dfrac {a} {b} = dfrac {a div x} {b div x}. nonumber ]

القاسم المشترك الأكبر

نحن بحاجة إلى مزيد من المصطلحات.

المقسوم عليه

إذا كان d و a عددان طبيعيان ، فإننا نقول إن "d يقسم a" إذا وفقط عندما يتم قسمة a على d ، فإن الباقي يساوي صفرًا. في هذه الحالة ، نقول إن "d هو القاسم على a."

على سبيل المثال ، عند قسمة 36 على 4 ، يكون الباقي صفرًا. في هذه الحالة ، نقول إن "4 هو قاسم 36." من ناحية أخرى ، عندما يتم قسمة 25 على 4 ، فإن الباقي ليس صفرًا. في هذه الحالة ، نقول إن "4 ليس مقسومًا على 25."

القاسم المشترك الأكبر

لنفترض أن a و b عددان طبيعيان. القواسم المشتركة لكل من a و b هي تلك الأعداد الطبيعية التي تقسم كل من a و b. ال القاسم المشترك الأكبر هي أكبر القواسم المشتركة.

مثال 1

أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين 18 و 24.

حل

اكتب أولاً قواسم كل رقم ، الأرقام التي تقسم كل رقم مع صفر الباقي.

قواسم 18: 1 و 2 و 3 و 6 و 9 و 18

قواسم 24: 1 و 2 و 3 و 4 و 6 و 8 و 12 و 24

القواسم المشتركة هي:

القواسم المشتركة: 1 و 2 و 3 و 6

القاسم المشترك الأكبر هو أكبر القواسم المشتركة. هذا هو،

أكبر قاسم مشترك = 6.

أي أن أكبر رقم يقسم كلاً من 18 و 24 هو الرقم 6.

ممارسه الرياضه

أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين 12 و 18.

إجابه

6

اختزال الكسر إلى الحد الأدنى

أولا تعريف.

أدنى الشروط

يقال أن يكون الكسر خفضت إلى أدنى الشروط إذا كان القاسم المشترك الأكبر لكل من البسط والمقام هو 1.

وهكذا ، على سبيل المثال ، يتم تقليل 2/3 إلى أدنى حد لأن أكبر قسمة مشتركة بين 2 و 3 هي 1. من ناحية أخرى ، 4/6 هي ليس اختزل إلى أدنى حد لأن القاسم المشترك الأكبر للعددين 4 و 6 هو 2.

مثال 2

اختصر الكسر 18/24 إلى الحد الأدنى.

حل

إحدى التقنيات الناجحة هي قسمة كل من البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر للبسط والمقام. في المثال 1 ، رأينا أن القاسم المشترك الأكبر للعددين 18 و 24 هو 6. نقسم كلًا من البسط والمقام على 6 لنحصل على

[ begin {align} dfrac {18} {24} = dfrac {18 div 6} {24 div 6} ~ & textcolor {red} { text {قسّم البسط والمقام على 6.}} = dfrac {3} {4} ~ & textcolor {red} { text {تبسيط البسط والنرد.}} end {align} nonumber ]

لاحظ أن القاسم المشترك الأكبر للعددين 3 و 4 هو الآن 1. وبالتالي ، يتم تقليل 3/4 إلى أدنى حد.

هناك طريقة ثانية يمكننا من خلالها إظهار قسمة البسط والمقام على 6. أولاً ، عامل كل من البسط والمقام على النحو التالي:

[ begin {align} dfrac {18} {24} = dfrac {3 cdot 6} {4 cdot 6} ~ & textcolor {red} { text {Factor out a 6.}} end {محاذاة} nonumber ]

يمكنك بعد ذلك إظهار "قسمة" كل من البسط والمقام على 6 من خلال "حذف" أو "حذف" 6 في البسط مقابل 6 في المقام ، على النحو التالي:

[ begin {align} = dfrac {3 cdot Cancel {6}} {4 cdot cancell {6}} ~ & textcolor {red} { text {إلغاء العامل المشترك.}} = dfrac {3} {4} end {align} nonumber ]

لاحظ أننا نحصل على نفس الكسر المكافئ ، مخفضًا إلى أدنى حد ، أي 3/4.

ممارسه الرياضه

اختصر الكسر 12/18 إلى أدنى حد.

إجابه

2/3

نقطة مهمة

في المثال 2 رأينا أن الرقم 6 عبارة عن أ المقسوم عليه و أ عامل من 18. الكلمات المقسوم عليه و عامل متكافئة.

استخدمنا الأسلوب التالي في الحل الثاني في المثال 2.

قاعدة الإلغاء

إذا قمت بالتعبير عن البسط والمقام كمنتج ، فيمكنك إلغاء العوامل المشتركة من البسط والمقام. ستكون النتيجة كسرًا مكافئًا.

بسبب "قاعدة الإلغاء" ، فإن إحدى الطرق الأكثر فاعلية لتقليل الكسر إلى أدنى حد هي إيجاد العوامل الأولية لكل من البسط والمقام ، ثم إلغاء جميع العوامل المشتركة.

مثال 3

اختصر الكسر 18/24 إلى الحد الأدنى.

حل

استخدم أشجار العوامل لتحديد عامل البسط والمقام.

بمجرد تحليل البسط والمقام إلى عوامل ، نلغي العوامل المشتركة.

[ begin {align} dfrac {18} {24} = dfrac {2 cdot 3 cdot 3} {2 cdot 2 cdot 2 cdot 3} ~ & textcolor {red} { text { بسط ومقام العامل الأولي.}} = dfrac { إلغاء {2} cdot إلغاء {3} cdot 3} { إلغاء {2} cdot 2 cdot 2 cdot إلغاء {3}} ~ & textcolor {red} { text {إلغاء العوامل المشتركة.}} = dfrac {3} {2 cdot 2} ~ & textcolor {red} { text {العوامل المتبقية.}} = dfrac {3} {4} ~ & textcolor {red} { text {تبسيط المقام.}} end {align} nonumber ]

وبالتالي ، 18/24 = 3/4.

تمرين ( PageIndex {1} )

اختصر الكسر 28/35 لأدنى حد.

إجابه

4/5

مثال 4

اختصر الكسر 28/42 لأدنى حد.

حل

استخدم أشجار العوامل لتحديد عامل البسط والمقام.

الآن يمكننا حذف العوامل المشتركة.

[ begin {align} dfrac {28} {42} = dfrac {2 cdot 2 cdot 7} {2 cdot 3 cdot 7} ~ & textcolor {red} { text {البسط العامل الأولي والمقام.}} = dfrac { إلغاء {2} cdot 2 cdot إلغاء {7}} { إلغاء {2} cdot 3 cdot إلغاء {7}} ~ & textcolor {أحمر } { text {إلغاء العوامل المشتركة.}} = dfrac {2} {3} end {align} nonumber ]

وهكذا ، 28/42 = 2/3.

ممارسه الرياضه

اختصر الكسر 36/60 إلى أدنى حد.

إجابه

3/5

اختزال الكسور ذات المتغيرات

نستخدم نفس الأسلوب بالضبط لتقليل الكسور التي تحتوي البسط والمقام على متغيرات.

مثال 5

يقلل

[ dfrac {56x ^ 2y} {60xy ^ 2} nonumber ]

لأدنى الشروط.

حل

استخدم أشجار العوامل لتحليل معاملات البسط والمقام.

الآن قم بإلغاء العوامل المشتركة.

[ start {align} dfrac {56x ^ 2y} {60xy ^ 2} = dfrac {2 cdot 2 cdot 2 cdot 7 cdot x cdot x cdot y} {2 cdot 2 cdot 3 cdot 5 cdot x cdot y cdot y} ~ & textcolor {red} { text {البسط والمقام الأول للعامل.}} = dfrac { إلغاء {2} cdot إلغاء {2 } cdot 2 cdot 7 cdot إلغاء {x} cdot x cdot إلغاء {y}} { إلغاء {2} cdot إلغاء {2} cdot 3 cdot 5 cdot إلغاء {x } cdot y cdot إلغاء {y}} ~ & textcolor {red} { text {إلغاء عوامل cmmon.}} = dfrac {2 cdot 7 cdot x} {3 cdot 5 cdot y} ~ & textcolor {red} { text {العوامل المتبقية.}} = dfrac {14x} {15y} ~ & textcolor {red} { text {تبسيط البسط والمقام.}} end { محاذاة} رقم ]

وهكذا ، 56x2ص / (60xy2) = 14x / (15y).

ممارسه الرياضه

يقلل:

[ dfrac {25a ^ 3b} {40a ^ 2b ^ 3} nonumber ]

إجابه

[ dfrac {5a} {8b ^ 2} nonumber ]

كلمة عن التدوين الرياضي

هناك نوعان من الرموز الرياضية: (1) تدوين رياضي مضمّن ، و (2) تدوين رياضي معروض.

تدوين رياضي مضمن

التدوين 14x/(15ذ) يسمى تدوين رياضي مضمن. عندما يتم توسيط نفس التعبير على السطر الخاص به ، كما في

[ dfrac {14x} {15y} ، nonumber ]

يسمى هذا النوع من التدوين بالتدوين الرياضي المعروض.

عندما تعمل على مشكلة يدويًا ، باستخدام حسابات بالقلم الرصاص والورق ، يتم عرض التنسيق المفضل ، مثل الترميز المعروض المستخدم لتبسيط التعبير المحدد في المثال 5. ومع ذلك ، تتطلب أجهزة الكمبيوتر والآلات الحاسبة إدخال التعبيرات باستخدام تدوين رياضي مضمّن . لذلك ، من المهم للغاية أن تكون مؤهلاً بشكل متساوٍ مع أي من الرموز الرياضية: معروضة أو مضمنة.

بالمناسبة ، ترتيب العمليات ، عند تطبيقه على التعبير المضمن 14x / (15y) ، يتطلب إجراء الضرب داخل الأقواس أولاً. ثم يجب علينا إجراء عمليات الضرب والقسمة عند حدوثها ، حيث ننتقل من اليسار إلى اليمين من خلال التعبير. هذا هو السبب في أن الترميز المضمن 14x / (15y) يكافئ الترميز المعروض

[ dfrac {14x} {15 عامًا}. nonumber ]

ومع ذلك ، فإن التعبير 14x / 15y هو وحش مختلف. لا توجد أقواس ، لذلك نقوم بالضرب والقسمة فور حدوثهما ، والتحرك من اليسار إلى اليمين من خلال التعبير. وبالتالي ، علينا أولًا أن نأخذ حاصل ضرب 14 و x ، ونقسم الناتج على 15 ، ثم نضرب في y. في التدوين المعروض ، هذه النتيجة تعادل

[ dfrac {14x} {15} cdot y ، nonumber ]

وهي نتيجة مختلفة.

قد يتساءل بعض القراء عن سبب عدم استخدامنا للرمز (14x) / (15y) لوصف الحل في المثال 5. بعد كل شيء ، فإن هذا الترميز المضمّن يعادل أيضًا الترميز المعروض

[ dfrac {14x} {15 عامًا}. nonumber ]

ومع ذلك ، فإن النقطة هي أننا لسنا بحاجة إلى ذلك ، لأن ترتيب العمليات يتطلب بالفعل أن نأخذ حاصل ضرب 14 و x قبل القسمة على 15y. إذا كان هذا يؤذي رأسك ، فاعلم أنه من المقبول تمامًا استخدام الترميز المكافئ (14x) / (15y) بدلاً من 14x / (15y). كلاهما صحيح.

الكسور المتكافئة في الشروط العليا

تظهر الحاجة أحيانًا لإيجاد كسر مكافئ بمقام مختلف أكبر.

مثال 6

اكتب ٣/٥ في صورة كسر مكافئ مقامه ٢٠.

حل

المفتاح هنا هو أن نتذكر أن ضرب البسط والمقام في نفس العدد ينتج كسرًا مكافئًا. للحصول على كسر مكافئ مقامه 20 ، علينا ضرب البسط والمقام 3/5 في 4.

[ begin {align} dfrac {3} {5} ~ & textcolor {red} { text {اضرب البسط والمقام في 4.}} = dfrac {12} {20} ~ & textcolor {red} { text {تبسيط البسط والمقام.}} end {align} nonumber ]

إذن ، 3/5 يساوي 12/20.

ممارسه الرياضه

اكتب 2/3 في صورة كسر مكافئ مقامه 21.

إجابه

14/21

مثال 7

اكتب ٨ في صورة كسر مكافئ مقامه ٥.

حل

المفتاح هنا هو ملاحظة ذلك

[ start {align} 8 = dfrac {8} {1} ~ & textcolor {red} { text {المفهوم المفاهيمي هو 1.}} end {align} nonumber ]

للحصول على كسر مكافئ مقامه 5 ، علينا ضرب البسط والمقام 8/1 في 5.

[ begin {align} = dfrac {8 cdot 5} {1 cdot 5} ~ & textcolor {red} { text {اضرب البسط والمقام في 5.}} = dfrac {40} {5} ~ & textcolor {red} { text {تبسيط البسط والمقام.}} end {align} nonumber ]

إذن ، 8 يساوي 40/5.

ممارسه الرياضه

اكتب 5 في صورة كسر مكافئ مقامه 7.

إجابه

35/7

المثال 8

اكتب 2/9 في صورة كسر مكافئ مقامه 18أ.

حل

للحصول على كسر مكافئ مقامه 18أ، علينا ضرب بسط ومقام 2/9 في 2أ.

[ begin {align} dfrac {2} {9} = dfrac {2 cdot 2a} {9 cdot 2a} ~ & textcolor {red} { text {اضرب البسط والمقام في} 2 أ.} = dfrac {4a} {18a} ~ & textcolor {red} { text {تبسيط البسط والمقام.}} end {align} nonumber ]

لذلك ، 2/9 يساوي 4أ/(18أ) ، أو ما يعادله ، (4أ)/(18أ).

ممارسه الرياضه

اكتب ٣/٨ في صورة كسر مكافئ مقامه ٢٤أ.

إجابه

[ dfrac {9a} {24a} nonumber ]

الكسور السالبة

علينا أيضًا التعامل مع الكسور السالبة. أولاً ، دعنا نناقش موضع الإشارة السلبية.

  • موجب مقسومة على سالب سلبي ، لذلك

[ dfrac {3} {- 5} = - dfrac {3} {5}. nonumber ]

  • ولكن من الصحيح أيضًا أن قسمة سالب على موجب سلبي. هكذا،

[ dfrac {−3} {5} = dfrac {−3} {5}. nonumber ]

تشير هاتان الملاحظتان إلى أن الكسور الثلاثة التالية متكافئة (نفس العدد):

[ dfrac {3} {- 5} = - dfrac {3} {5} = dfrac {-3} {5}. nonumber ]

لاحظ أن هناك ثلاثة مواضع محتملة للعلامة السالبة: (1) المقام ، (2) شريط الكسر ، أو (3) البسط. ينتج عن أي من هذه المواضع كسر مكافئ.

الكسور والعلامات السلبية

يترك أ و ب يكون أي أعداد صحيحة. جميع الكسور الثلاثة التالية متساوية (نفس العدد):

[ dfrac {a} {- b} = - dfrac {a} {b} = dfrac {-a} {b}. nonumber ]

يفضل علماء الرياضيات وضع علامة السالب إما في البسط أو على شريط الكسر. لا يُنصح باستخدام علامة سالبة في المقام.

المثال 9

يقلل:

[ dfrac {50x ^ 3} {- 75x ^ 5} nonumber ]

لأدنى الشروط.

حل

العامل الأولي البسط والمقام والإلغاء.

[ start {align} dfrac {50x ^ 3} {- 75x ^ 5} & = dfrac {2 cdot 5 cdot 5 cdot x cdot x cdot x} {- 3 cdot 5 cdot 5 cdot x cdot x cdot x cdot x cdot x} & = dfrac {2 cdot إلغاء {5} cdot إلغاء {5} cdot إلغاء {x} cdot إلغاء {x} cdot إلغاء {x}} {- 3 cdot إلغاء {5} cdot إلغاء {5} cdot إلغاء {x} cdot إلغاء {x} cdot إلغاء {x} cdot x cdot x} & = dfrac {2} {- 3 cdot x cdot x} & = dfrac {2} {- 3x ^ 2} end {align} nonumber ]

ومع ذلك ، يُفضل عدم وجود علامات سالبة في المقام ، لذلك دعونا نضع علامة السالب على شريط الكسر (يناسب البسط أيضًا). هكذا،

[ dfrac {50x ^ 3} {- 75x ^ 5} = - dfrac {2} {3x ^ 2} nonumber ]

لدينا أيضا النتيجة التالية.

الكسور والعلامات السلبية

لنفترض أن (أ ) و (ب ) أي أعداد صحيحة. ثم،

[ dfrac {-a} {- b} = dfrac {a} {b}. nonumber ]

المثال 10

يقلل:

[ dfrac {-12xy ^ 2} {- 18x ^ 2y} nonumber ]

حل

على عكس المثال 9 ، يحب البعض الاهتمام بعلامة الإجابة أولاً.

[ dfrac {-12xy ^ 2} {- 18x ^ 2y} = dfrac {12xy ^ 2} {18x ^ 2y} nonumber ]

يمكننا الآن تحليل البسط والمقام وإلغاء العوامل المشتركة.

[ start {align} & = dfrac {2 cdot 2 cdot 3 cdot x cdot y cdot y} {2 cdot 3 cdot 3 cdot x cdot x cdot y} & = dfrac { إلغاء {2} cdot 2 إلغاء {3} cdot إلغاء {x} cdot y cdot إلغاء {y}} { إلغاء {2} cdot إلغاء {3} cdot 3 cdot إلغاء {x} cdot x cdot إلغاء {y}} & = dfrac {2y} {3x} end {align} nonumber ]

هكذا،

[ dfrac {-12xy ^ 2} {- 18x ^ 2y} = dfrac {2y} {3x}. nonumber ]

ممارسه الرياضه

يقلل:

[ dfrac {-21a ^ 2b ^ 3} {- 56a ^ 3b} nonumber ]

إجابه

[ dfrac {3b ^ 2} {8a} nonumber ]

تمارين

في التدريبات 1-12 ، أوجد GCD للأرقام المعطاة.

1. 72, 8

2. 76, 52

3. 52, 20

4. 56, 96

5. 36, 63

6. 63, 21

7. 72, 44

8. 10, 40

9. 16, 56

10. 54, 66

11. 84, 24

12. 75, 45


في التدريبات من 13 إلى 28 ، اختصر الكسر المعطى لأدنى حد.

13. ( dfrac {22} {98} )

14. ( dfrac {28} {56} )

15. ( dfrac {93} {15} )

16. ( dfrac {90} {39} )

17. ( dfrac {69} {21} )

18. ( dfrac {74} {62} )

19. ( dfrac {74} {12} )

20. ( dfrac {66} {10} )

21. ( dfrac {66} {57} )

22. ( dfrac {34} {30} )

23. ( dfrac {33} {99} )

24. ( dfrac {20} {58} )

25. ( dfrac {69} {24} )

26. ( dfrac {18} {96} )

27. ( dfrac {46} {44} )

28. ( dfrac {92} {24} )


29. عبر عن 3 ككسر مكافئ له مقامه 24. 30. عبر عن 3 ككسر مكافئ له مقام 8. 31. عبر عن ( dfrac {25} {19} ) ككسر مكافئ له مقامه 57. 32. التعبير عن ( dfrac {25} {19} ) ( dfrac {29} {22} ) ككسر مكافئ له مقام 44. 33. عبر عن 2 ككسر مكافئ له مقام 2. 34. عبر عن 2 ككسر مكافئ له مقامه 8. 35. Express ( dfrac {18} {19} ) ككسر مكافئ له مقامه 95. 36. عبر عن ( dfrac {17} {22} ) ككسر مكافئ له المقام 44. 37. Express ( dfrac {1} {3} ) ككسر مكافئ له مقامه 24. 38. اكتب ( dfrac {15} {19} ) ككسر مكافئ له مقامه 95. 39. عبر عن 16 ككسر مكافئ له مقامه 4. 40. اكتب 5 في صورة كسر مكافئ مقامه 2.


في التدريبات 41-56 ، اختصر الكسر المعطى لأدنى حد.

41. ( dfrac {34} {- 86} )

42. ( dfrac {−48} {14} )

43. ( dfrac {−72} {- 92} )

44. ( dfrac {27} {- 75} )

45. ( dfrac {−92} {82} )

46. ​​ ( dfrac {−44} {- 62} )

47. ( dfrac {−21} {33} )

48. ( dfrac {57} {- 99} )

49. ( dfrac {22} {- 98} )

50. ( dfrac {−33} {69} )

51. ( dfrac {42} {- 88} )

52. ( dfrac {−100} {48} )

53. ( dfrac {94} {- 6} )

54. ( dfrac {−36} {- 38} )

55. ( dfrac {10} {- 86} )

56. ( dfrac {−100} {- 46} )


57. اكتب ( dfrac {3} {2} ) ككسر مكافئ له مقامه 62 ن.

58. اكتب ( dfrac {6} {25} ) ككسر مكافئ مقامه 50 أ.

59. اكتب ( dfrac {13} {10} ) ككسر مكافئ مقامه 60 م.

60. اكتب ( dfrac {1} {16} ) ككسر مكافئ له مقامه 80p.

61. اكتب ( dfrac {3} {2} ) ككسر مكافئ له مقامه 50n.

62. اكتب ( dfrac {43} {38} ) ككسر مكافئ له مقامه 76 أ.

63. اكتب 11 ككسر مكافئ مقامه 4 م. 64. اكتب ١٣ في صورة كسر مكافئ مقامه ٦ ن.

65. اكتب 3 في صورة كسر مكافئ مقامه 10 م.

66. اكتب ١٠ في صورة كسر مكافئ مقامه ٨ ب.

67. اكتب 6 في صورة كسر مكافئ مقامه 5 ن.

68. اكتب 16 ككسر مكافئ مقامه 2y.


في تمارين 69-84 ، اختصر الكسر المعطى لأدنى حد.

69. ( dfrac {82y ^ 5} {- 48y} )

70. ( dfrac {−40y ^ 5} {- 55y} )

71. ( dfrac {−77x ^ 5} {44x ^ 4} )

72. ( dfrac {−34x ^ 6} {- 80x} )

73. ( dfrac {−14y ^ 5} {54y ^ 2} )

74. ( dfrac {96y ^ 4} {- 40y ^ 2} )

75. ( dfrac {42x} {81x ^ 3} )

76. ( dfrac {26x ^ ​​2} {32x ^ 6} )

77. ( dfrac {−12x ^ 5} {14x ^ 6} )

78. ( dfrac {−28y ^ 4} {72y ^ 6} )

79. ( dfrac {−74x} {22x ^ 2} )

80. ( dfrac {56x ^ 2} {26x ^ ​​3} )

81. ( dfrac {−12y ^ 5} {98y ^ 6} )

82. ( dfrac {96x ^ 2} {14x ^ 4} )

83. ( dfrac {18x ^ 6} {- 54x ^ 2} )

84. ( dfrac {32x ^ 6} {62x ^ 2} )


في تمارين 85-100 ، اختصر الكسر المعطى لأدنى حد.

85. ( dfrac {26y ^ 2x ^ 4} {- 62y ^ 6x ^ 2} )

86. ( dfrac {6x ^ 2y ^ 3} {40x ^ 3y ^ 2} )

87. ( dfrac {−2y ^ 6x ^ 4} {- 94y ^ 2x ^ 5} )

88. ( dfrac {90y ^ 6x ^ 3} {39y ^ 3x ^ 5} )

89. ( dfrac {30y ^ 5x ^ 5} {- 26yx ^ 4} )

90. ( dfrac {74x ^ 6y ^ 4} {- 52xy ^ 3} )

91. ( dfrac {36x ^ 3y ^ 2} {- 98x ^ 4y ^ 5} )

92. ( dfrac {84x ^ 3y} {16x ^ 4y ^ 2} )

93. ( dfrac {−8x ^ 6y ^ 3} {54x ^ 3y ^ 5} )

94. ( dfrac {70y ^ 5x ^ 2} {16y ^ 4x ^ 5} )

95. ( dfrac {34yx ^ 6} {- 58y ^ 5x ^ 4} )

96. ( dfrac {99y ^ 2x ^ 3} {88y ^ 6x} )

97. ( dfrac {−36y ^ 3x ^ 5} {51y ^ 2x} )

98. ( dfrac {44y ^ 5x ^ 5} {- 88y ^ 4x} )

99. ( dfrac {91y ^ 3x ^ 2} {- 28y ^ 5x ^ 5} )

100. ( dfrac {−76y ^ 2x} {- 57y ^ 5x ^ 6} )


101. الأعاصير. وفقًا للإدارة الوطنية للغلاف الجوي والمحيطات ، في عام 2008 ، كان هناك 16 عاصفة مسماة ، منها 8 نمت إلى أعاصير و 5 كانت كبيرة.

ط) ما هو جزء العواصف المسماة التي تحولت إلى أعاصير؟ قلل إجابتك لأدنى حد.

2) ما هو جزء من العواصف المسماة أعاصير كبيرة؟ قلل إجابتك لأدنى حد.

3) ما هو جزء الأعاصير الكبيرة؟ قلل إجابتك لأدنى حد.

102. النمور. النمور في حالة تدهور حرج بسبب التعدي البشري ، وفقدان أكثر من تسعة أعشار موائلها ، والتجارة المتزايدة في جلود النمور وأجزاء الجسم. أسوشيتد برس-تايمز-ستاندرد 01/24/10 الضغط يتصاعد لإنقاذ النمر.

ط) اكتب فقدان الموطن في صورة كسر.

ب) صف بالكلمات ما يمثله البسط والمقام في هذا الكسر.

iii) إذا كان الكسر يمثل فقدان الموطن الأصلي بالكامل ، فما مقدار الموطن الأصلي المتبقي؟


الإجابات

1. 8

3. 4

5. 9

7. 4

9. 8

11. 12

13. ( dfrac {11} {49} )

15. ( dfrac {31} {5} )

17. ( dfrac {23} {7} )

19. ( dfrac {37} {6} )

21. ( dfrac {22} {19} )

23. ( dfrac {1} {3} )

25. ( dfrac {23} {8} )

27. ( dfrac {23} {22} )

29. ( dfrac {72} {24} )

31. ( dfrac {75} {57} )

33. ( dfrac {4} {2} )

35. ( dfrac {90} {95} )

37. ( dfrac {8} {24} )

39. ( dfrac {64} {4} )

41. ( dfrac {−17} {43} )

43. ( dfrac {18} {23} )

45. ( dfrac {−46} {41} )

47. ( dfrac {- 7} {11} )

49. ( dfrac {−11} {49} )

51. ( dfrac {−21} {44} )

53. ( dfrac {−47} {3} )

55. ( dfrac {- 5} {43} )

57. ( dfrac {93 n} {62 n} )

59. ( dfrac {78 m} {60 m} )

61. ( dfrac {75 n} {50 n} )

63. ( dfrac {44 m} {4 m} )

65. ( dfrac {30 m} {10 m} )

67. ( dfrac {30 n} {5 n} )

69. ( dfrac {−41 y ^ 4} {24} )

71. ( dfrac {- 7x} {4} )

73. (- dfrac {7 y ^ 3} {27} )

75. ( dfrac {14} {27 × ^ 2} )

77. (- dfrac {6} {7x} )

79. (- dfrac {37} {11 x} )

81. (- dfrac {6} {49 y} )

83. (- dfrac {x ^ 4} {3} )

85. (- dfrac {13 x ^ 2} {31 y ^ 4} )

87. ( dfrac {y ^ 4} {47 x} )

89. (- dfrac {15 y ^ 4 x} {13} )

91. (- dfrac {18} {49xy ^ 3} )

93. (- dfrac {4 x ^ 3} {27 y ^ 2} )

95. (- dfrac {17 x ^ 2} {29 y ^ 4} )

97. (- dfrac {12yx ^ 4} {17} )

99. (- dfrac {13} {4y ^ 2x ^ 3} )

101.

ط) ( dfrac {1} {2} )

ب) ( dfrac {5} {16} )

ج) ( dfrac {5} {8} )


شاهد الفيديو: الصف الرابع الرياضيات الكسور المتكافئة خطوط الأعدداد 2 (ديسمبر 2021).