مقالات

5.2: مقدمة في الكسور العشرية


تذكر أن الأعداد الصحيحة يتم تكوينها باستخدام أرقام.

الأرقام

مجموعة

[{0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9} عدد غير رقمي ]

يسمى مجموعة أرقام.

على سبيل المثال ، يتم إنشاء العدد الصحيح 55555 ("خمسة وخمسون ألفًا وخمسمائة وخمسة وخمسون") باستخدام رقم واحد. ومع ذلك ، فإن موضع الرقم 5 يحدد قيمته في الرقم 55555. أول ظهور ل

الجدول 5.1: القيمة المكانية.

يحدث الرقم 5 في خانة العشرة آلاف ، لذا فإن قيمته هي 5 آلاف أو 50000. التواجد التالي للرقم 5 يقع في خانة الآلاف ، لذا فإن قيمته هي 5 آلاف أو 5000. في الواقع ، العدد الصحيح 55555 في الصورة الموسعة هو

50000 + 5000 + 500 + 50 + 5,

الذي يعكس قيمة الرقم 5 في كل مكان.

العشري

في الجدول 5.1 ، في كل مرة تقوم فيها بتحريك عمود واحد إلى اليسار ، تكون القيمة المكانية أكبر 10 مرات من القيمة المكانية للعمود السابق. والعكس صحيح ، في كل مرة تقوم فيها بنقل عمود واحد إلى اليمين ، تكون القيمة المكانية هي 1/10 من القيمة المكانية للعمود السابق.

الآن ، ضع في اعتبارك عدد عشري 12.3456 ، ويتكون من ثلاثة أجزاء: جزء العدد الصحيح والعلامة العشرية والجزء الكسري.

جزء العدد الصحيح من الرقم العشري هو الجزء الذي يقع بشكل صارم على يسار الفاصلة العشرية ، ويتم إعطاء القيمة المكانية لكل رقم في جزء الرقم الكامل بواسطة الأعمدة الموضحة في الجدول 5.1.

الجزء الكسري من الرقم العشري هو الجزء الذي يقع تمامًا على يمين العلامة العشرية. كما رأينا في الجدول 5.1 ، كل عمود له قيمة تساوي 1/10 من قيمة العمود الذي يقع على يساره المباشر. وبالتالي ، لا ينبغي أن يكون مفاجئًا أن:

  • العمود الأول على يمين الفاصلة العشرية له القيمة المكانية 1/10 (أعشار).
  • العمود الثاني على يمين الفاصلة العشرية له القيمة المكانية 1/100 (جزء من مائة).
  • العمود الثالث على يمين الفاصلة العشرية له القيمة المكانية 1/1000 (جزء من الألف).
  • العمود الرابع على يمين الفاصلة العشرية له القيمة المكانية 1/10000 (عشرة آلاف).

تم تلخيص هذه النتائج للرقم العشري 12.3456 في الجدول 5.2.

الجدول 5.2: القيمة المكانية.

نطق الأعداد العشرية

يتكون الرقم العشري 12.3456 من 1 عشرة ، و 2 آحاد ، و 3 أعشار ، و 4 مائة ، و 5 آلاف ، و 6 من عشرة آلاف (انظر الجدول 5.2) ، ويمكن كتابته باللغة شكل موسع مثل

[12.3456 = 10 + 2 + frac {3} {10} + frac {4} {100} + frac {5} {1000} + frac {6} {10000}. nonumber ]

لاحظ أنه يمكن جمع الأعداد الصحيحة وكتابة الكسور بمقام مشترك وجمعها.

[ begin {align} 12.3456 & = 12 + frac {3 cdot textcolor {red} {1000}} {10 cdot textcolor {red} {1000}} + frac {4 cdot textcolor { أحمر} {100}} {100 cdot textcolor {red} {100}} + frac {5 cdot textcolor {red} {10}} {1000 cdot textcolor {10}} + frac {6 } {10000} & = 12 + frac {3000} {10000} + frac {400} {10000} + frac {50} {10000} + frac {6} {10000} & = 12 + frac {3456} {10000} end {align} nonumber ]

تخبرنا النتيجة بكيفية نطق الرقم 12.3456. يُنطق "اثنا عشر ألفًا وثلاثة آلاف وأربعمائة وستة وخمسون جزءًا من ألف".

مثال 1

ضع الرقم العشري 1234.56 في صورة موسعة ، ثم اجمع جزء العدد الصحيح وجمع الجزء الكسري على مقام مشترك. استخدم النتيجة للمساعدة في نطق الرقم العشري.

حل

في شكل موسع ،

[1، 234.56 = 1، 000 + 200 + 30 + 4 + frac {5} {10} + frac {6} {100} nonumber ]

اجمع أجزاء العدد الصحيح. عبر عن الأجزاء الكسرية ككسور متكافئة واجمعها في مقام مشترك واحد.

[ begin {align} = 1،234 + frac {5 cdot textcolor {10}} {10 cdot textcolor {red} {10}} + frac {6} {100} = 1،234 + frac {50} {100} + frac {6} {100} = 1، 234 + frac {56} {100} end {align} nonumber ]

ومن ثم ، يُنطق 1234.56 "ألف ومائتان وأربعة وثلاثون وستة وخمسون مائة".

ممارسه الرياضه

ضع الرقم العشري 3502.23 في صورة موسعة ، ثم اجمع جزء العدد الصحيح وجمع الجزء الكسري على مقام مشترك.

إجابه

(3،502 + frac {23} {100} )

مثال 2

ضع الرقم العشري 56.128 في صورة موسعة ، ثم اجمع جزء العدد الصحيح وجمع الجزء الكسري على مقام مشترك. استخدم النتيجة للمساعدة في نطق الرقم العشري.

حل

في شكل موسع ،

[56.128 = 50 + 6 + frac {1} {10} + frac {2} {100} + frac {8} {1000} nonumber ]

اجمع أجزاء العدد الصحيح. عبر عن الأجزاء الكسرية ككسور متكافئة واجمعها في مقام مشترك واحد.

[ begin {align} = 56 + frac {1 cdot textcolor {red} {100}} {10 cdot textcolor {red} {100}} + frac {2 cdot textcolor {red} {10}} {100 cdot textcolor {red} {10}} + frac {8} {1000} = 56 + frac {100} {1000} + frac {20} {1000} + frac {8} {1000} = 56 + frac {128} {1000} end {align} nonumber ]

وهكذا ، يتم نطق 56.128 "ستة وخمسون ومائة وثمانية وعشرون ألفًا".

ممارسه الرياضه

ضع الرقم العشري 235.568 في صورة موسعة ، ثم اجمع جزء العدد الصحيح وجمع الجزء الكسري على مقام مشترك.

إجابه

(235 + frac {568} {1000} )

المناقشة والمثال يؤدي إلى النتيجة التالية.

كيف تقرأ رقم عشري

  1. انطق جزء العدد الصحيح على يسار العلامة العشرية كما تفعل مع أي رقم صحيح.
  2. قل كلمة "و" للعلامة العشرية.
  3. حدد الجزء الكسري الموجود على يمين العلامة العشرية كما تفعل مع أي رقم صحيح ، متبوعًا بالقيمة المكانية للرقم في العمود الموجود في أقصى اليمين.

مثال 3

انطق الرقم العشري 34.12.

حل

الرقم الموجود في أقصى اليمين في الجزء الكسري من 34.12 موجود في عمود المئات. وبالتالي ، يتم نطق 34.12 "أربعة وثلاثين واثني عشر جزءًا من مائة".

ممارسه الرياضه

انطق 28.73

إجابه

"ثمانية وعشرون وثلاث وسبعون جزء من المائة"

نقطة مهمة

عند نطق الأرقام العشرية ، تُقرأ العلامة العشرية على أنها "و". يجب ألا يظهر أي مثيل آخر لكلمة "و" في النطق.

مثال 4

اشرح لماذا "أربعمائة وأربعة وثلاثون واثنين من عشرة" هو نطق غير صحيح للرقم العشري 434.2.

حل

تتم قراءة العلامة العشرية كـ "و". غير مسموح بأي تكرار آخر لكلمة "و" في النطق. يجب أن يكون النطق الصحيح هو "أربعمائة وأربعة وثلاثون واثنين من عشرة".

ممارسه الرياضه

انطق 286.9.

إجابه

"أربعمائة وأربعة وثلاثون واثنين من عشرة"

مثال 5

انطق العدد العشري 5678.123.

حل

الرقم الموجود في أقصى اليمين في الجزء الكسري من 5678.123 موجود في عمود الألف. ومن ثم ، يتم نطق 5678.123 "5 آلاف وستمائة وثمانية وسبعين ومائة وثلاثة وعشرين ألفًا".

ممارسه الرياضه

انطق 7، 002.207

إجابه

الجواب: "سبعة آلاف ومئتان وسبعة آلاف."

مثال 6

انطق الرقم العشري 995.4325.

حل

الرقم الموجود في أقصى اليمين في الجزء الكسري من 995.4325 موجود في عمود عشرة آلاف. ومن ثم ، يُنطق 995.4325 "تسعمائة وخمسة وتسعون وأربعة آلاف وثلاثمائة وخمسة وعشرون على عشرة آلاف".

ممارسه الرياضه

انطق 500.1205.

إجابه

الجواب: "خمسمائة وألف ومائتان وخمسة وعشرة آلاف".

الكسور العشرية إلى الكسور

نظرًا لأننا نمتلك الآن القدرة على نطق الأعداد العشرية ، فإن تغيير رقم عشري إلى كسر يعد تمرينًا بسيطًا.1 على سبيل المثال ، يتم نطق 134.12 "مائة وأربعة وثلاثون واثنا عشر من المائة" ، لذلك يمكن كتابتها بسهولة في صورة كسر مختلط.

[134.12 = 134 frac {12} {100} nonumber ]

لكن يمكن تغيير هذا الكسر المختلط إلى كسر غير فعلي.

[ begin {align} 134 frac {12} {100} & = frac {100 cdot 134 + 12} {100} & = frac {13400 + 12} {100} * = frac {13412} {100} end {align} nonumber ]

لاحظ أن البسط هو رقمنا الأصلي بدون العلامة العشرية. هناك منزلتان عشريتان في الرقم الأصلي ويحتوي مقام الكسر غير الفعلي الأخير على صفرين.

هذه المناقشة تؤدي إلى النتيجة التالية.

1سيتم تغطية تغيير الكسور إلى الكسور العشرية في القسم 5.5.

تغيير الكسور العشرية إلى كسور غير صحيحة

لتغيير رقم عشري إلى كسر غير فعلي ، تابع ما يلي:

  1. اصنع كسرًا.
  2. ضع الرقم العشري في البسط بدون العلامة العشرية.
  3. احسب عدد المنازل العشرية. ضع عددًا متساويًا من الأصفار في المقام.

مثال 7

قم بتغيير الأرقام العشرية التالية إلى كسور غير صحيحة: (أ) 1.2345 ، و (ب) 27.198.

حل

في كل حالة ، ضع الرقم في البسط بدون العلامة العشرية. أضف في المقام عددًا من الأصفار يساوي عدد المنازل العشرية.

أ) يحتوي الرقم العشري 1.2345 على أربعة منازل عشرية. لذلك،

[1.2345 = frac {12345} {10000} nonumber ]

ب) للعدد العشري 27.198 ثلاث منازل عشرية. لذلك،

[27.198 = frac {27198} {1000} nonumber ]

ممارسه الرياضه

غيّر 17.205 إلى كسر غير فعلي.

إجابه

( frac {17205} {100} )

المثال 8

قم بتغيير كل من الكسور العشرية التالية إلى كسور مختصرة إلى أدنى حد: (أ) 0.35 ، (ب) 0.125.

حل

ضع كل رقم في البسط بدون الفاصلة العشرية. ضع عددًا من الأصفار في المقام مساويًا لعدد المنازل العشرية. اختزل إلى أدنى حد.

أ) أولاً ، ضع 35 على 100.

[0.35 = frac {35} {100} رقم ]

يمكننا قسمة كل من البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر.

[ begin {align} = frac {35 div 5} {100 div 5} ~ & textcolor {red} { text {قسّم البسط والمقام على 5.}} = frac {7} {20} ~ & textcolor {red} { text {تبسيط البسط والمقام.}} end {align} nonumber ]

ب) أولاً ، ضع 125 على 1000.

[0.125 = frac {125} {1000} nonumber ]

العامل الأولي وإلغاء العوامل المشتركة.

[ begin {align} = frac {5 cdot 5 cdot 5} {2 cdot 2 cdot 2 cdot 5 cdot 5 cdot 5} ~ & textcolor {red} { text {Prime factor البسط والمقام.}} = frac { إلغاء {5} cdot إلغاء {5} cdot إلغاء {5}} {2 cdot 2 cdot 2 cdot إلغاء {5} cdot إلغاء {5} cdot إلغاء {5}} ~ & textcolor {red} { text {إلغاء العوامل المشتركة.}} = frac {1} {8} ~ & textcolor {red} { text {تبسيط.}} نهاية {محاذاة} غير رقم ]

ممارسه الرياضه

غيّر 0.375 إلى كسر ، مخفض إلى أدنى حد.

إجابه

3/8

التقريب

قواعد تقريب الأعداد العشرية مطابقة تقريبًا لقواعد تقريب الأعداد الصحيحة. أولا ، قليلا من المصطلحات.

تقريب الأرقام ورقم الاختبار

الرقم في المكان الذي نرغب في التقريب إليه يسمى رقم التقريب والرقم الذي يليه مباشرة يسمى اختبار رقم.

إذا أردنا تقريب الرقم العشري 12.254 لأقرب جزء من مائة ، فإن رقم التقريب هو 5 ورقم الاختبار هو 4.

إذا استخدمنا قواعد تقريب الأعداد الصحيحة ، نظرًا لأن رقم الاختبار 4 أقل من 5 ، فسنستبدل جميع الأرقام الموجودة على يمين الرقم التقريب بالأصفار للحصول على التقريب التالي.

12.254 ≈ 12.250

ومع ذلك ، لأن

[12.250 = 12 frac {250} {1000} = 12 frac {25} {100} ، nonumber ]

الصفر المتحرك في نهاية الجزء الكسري غير ذي صلة. ومن ثم ، نحن اقتطاع كل رقم بعد التقريب واستخدم التقريب التالي.

12.254 ≈ 12.25

ملاحظة مهمة

لا يؤدي حذف الأصفار الزائدة من نهاية الجزء الكسري لرقم عشري إلى تغيير قيمته.

المناقشة أعلاه تحفز الخوارزمية التالية لتقريب الأرقام العشرية.

تقريب الأعداد العشرية

حدد موقع ملف رقم التقريب و ال رقم الاختبار.

  • إذا كان رقم الاختبار أكبر من أو يساوي 5 ، أضف 1 إلى الرقم التقريب واقطع جميع الأرقام إلى يمين الرقم التقريب.
  • إذا كان رقم الاختبار أقل من 5 ، فما عليك سوى اقتطاع جميع الأرقام إلى يمين الرقم التقريبي.

المثال 9

قرّب ٨ ٫ ٧٤٦٣ لأقرب جزء من مائة.

حل

حدد مكان الرقم التقريبي في خانة المئات ورقم الاختبار على يمينه.

نظرًا لأن رقم الاختبار أكبر من 5 ، أضف 1 إلى الرقم التقريب واقطع جميع الأرقام إلى يمين الرقم التقريب. ومن ثم ، لأقرب جزء من مائة:

8.7463 ≈ 8.75

ممارسه الرياضه

قرّب 9.2768 لأقرب جزء من مائة.

إجابه

9.28

المثال 10

قرّب 113.246 لأقرب جزء من عشرة.

حل

حدد مكان رقم التقريب في خانة الجزء من عشرة ورقم الاختبار إلى يمينه المباشر.

لأن رقم الاختبار أقل من 5 ، اقتطع جميع الأرقام إلى يمين الرقم التقريب. ومن ثم ، لأقرب جزء من عشرة:

113.246 ≈ 113.2

ممارسه الرياضه

قرّب 58.748 لأقرب جزء من عشرة.

إجابه

58.7

مقارنة الكسور العشرية

يمكننا مقارنة رقمين عشريين موجبين عن طريق مقارنة أرقام في كل مكان أثناء انتقالنا من اليسار إلى اليمين ، مكانًا بمكان. على سبيل المثال ، افترض أننا نرغب في مقارنة الأرقام العشرية 5.234 و 5.2357. أولاً ، أضف عددًا كافيًا من الأصفار اللاحقة إلى الرقم العشري مع عدد أقل من المنازل العشرية بحيث يكون للأرقام نفس عدد المنازل العشرية. في هذه الحالة ، لاحظ ذلك

[5.234 = 5 frac {234} {1000} = 5 frac {2340} {10000} = 5.2340. nonumber ]

ملاحظة مهمة

لا تؤدي إضافة أصفار زائدة إلى نهاية الجزء الكسري لرقم عشري إلى تغيير قيمته.

بعد ذلك ، قم بمحاذاة الأرقام على النحو التالي.

عندما تقوم بمسح الأعمدة ، تتحرك من اليسار إلى اليمين ، فإن المكان الأول الذي يحتوي على أرقام مختلفة يحدث في خانة الألف ، حيث يكون الرقم 5 هو الرقم الثاني أكبر من الرقم 4 في الرقم الأول في نفس المكان. لأن الرقم 5 أكبر من 4 ، فإن الرقم الثاني أكبر من الأول. هذا هو:

5.234 < 5.2357

تقترح هذه المناقشة الخوارزمية التالية.

مقارنة الأعداد العشرية الموجبة

  1. أضف عددًا كافيًا من الأصفار اللاحقة بحيث يكون لكلا الرقمين نفس عدد المنازل العشرية.
  2. قارن الأرقام في كل مكان ، مع الانتقال من اليسار إلى اليمين.
  3. بمجرد أن تجد رقمين مختلفين في نفس المكان ، فإن الرقم العشري الذي يحتوي على أكبر رقم في هذا المكان هو الرقم الأكبر.

المثال 11

قارن بين 4.25 و 4.227.

حل

أضف صفرًا زائدة إلى أول رقم عشري وقم بمحاذاة الأرقام على النحو التالي.

يقع الاختلاف الأول في خانة المئات ، حيث يكون الرقم 5 في الرقم الأول أكبر من الرقم 2 في نفس مكان الرقم الثاني. ومن ثم ، فإن الرقم الأول أكبر من الثاني ؛ هذا هو:

4.25 > 4.227

ممارسه الرياضه

قارن 8.34 و 8.348.

إجابه

8.34 < 8.348

عند مقارنة الأرقام السالبة ، يكون الرقم ذو الحجم الأكبر هو الرقم الأصغر. ومن ثم ، يتعين علينا تعديل الخوارزمية الخاصة بنا لمقارنة الأرقام العشرية السالبة.

مقارنة الأعداد العشرية السالبة

  1. أضف عددًا كافيًا من الأصفار اللاحقة بحيث يكون لكلا الرقمين نفس عدد المنازل العشرية.
  2. قارن الأرقام في كل مكان ، مع الانتقال من اليسار إلى اليمين.
  3. بمجرد أن تجد رقمين مختلفين في نفس المكان ، فإن الرقم العشري الذي يحتوي على أكبر رقم في هذا المكان هو الرقم الأصغر.

المثال 12

قارن −4.25 و −4.227.

حل

أضف صفرًا زائدة إلى أول رقم عشري وقم بمحاذاة الأرقام على النحو التالي.

يقع الاختلاف الأول في خانة المئات ، حيث يكون الرقم 5 في الرقم الأول أكبر من الرقم 2 في نفس مكان الرقم الثاني. ومن ثم ، فإن الرقم الأول هو الأصغر من الثانية هذا هو:

−4.25 < −4.227

ممارسه الرياضه

قارن −7.86 و 7.85.

إجابه

−7.86 < −7.85

تمارين

1. ما هو الرقم الموجود في عمود الجزء من عشرة للرقم 4552.0908؟

2. ما هو الرقم الموجود في عمود الألف للرقم 7881.6127؟

3. ما هو الرقم الموجود في عمود الجزء من عشرة للرقم 4،408.2148؟

4. ما هو الرقم الموجود في عمود الجزء من عشرة للرقم 9279.0075؟

5. ما هو الرقم الموجود في عمود عشرة آلاف للرقم 2709.5097؟

6. ما هو الرقم الموجود في عمود المئات من الرقم 1743.1634؟

7. ما هو الرقم الموجود في عمود المئات للرقم 3501.4456؟

8. ما هو الرقم الموجود في عمود عشرة آلاف من الرقم 9214.3625؟

9. ما هو الرقم الموجود في عمود المئات من الرقم 5705.2193؟

10. ما هو الرقم الموجود في عمود المئات من الرقم 7135.2755؟

11. ما هو الرقم الموجود في عمود الجزء من عشرة للرقم 8129.3075؟

12. ما هو الرقم الموجود في عمود الألف للرقم 6971.4289؟


في التدريبات من 13 إلى 20 ، اكتب الرقم العشري المحدد في شكل موسع.

13. 46.139

14. 68.392

15. 643.19

16. 815.64

17. 14.829

18. 45.913

19. 658.71

20. 619.38


في التمرينين 21-28 ، اتبع الإجراء الموضح في المثالين 1 و 2 لكتابة الرقم العشري في شكل موسع ، ثم اجمع جزء الرقم بالكامل وجمع الجزء الكسري على مقام مشترك.

21. 32.187

22. 35.491

23. 36.754

24. 89.357

25. 596.71

26. 754.23

27. 527.49

28. 496.15


في التدريبات 29-40 ، انطق الرقم العشري المحدد. اكتب إجابتك بالكلمات.

29. 0.9837

30. 0.6879

31. 0.2653

32. 0.8934

33. 925.47

34. 974.35

35. 83.427

36. 32.759

37. 63.729

38. 85.327

39. 826.57

40. 384.72


في التدريبات 41-52 ، قم بتحويل العلامة العشرية إلى كسر مختلط. يفعل ليس تبسيط إجابتك.

41. 98.1

42. 625.591

43. 781.7

44. 219.999

45. 915.239

46. 676.037

47. 560.453

48. 710.9

49. 414.939

50. 120.58

51. 446.73

52. 653.877


في التدريبات 53-60 ، حول الكسر العشري إلى كسر غير فعلي. يفعل ليس تبسيط إجابتك.

53. 8.7

54. 3.1

55. 5.47

56. 5.27

57. 2.133

58. 2.893

59. 3.9

60. 1.271


في التدريبات 61-68 ، قم بتحويل العلامة العشرية إلى كسر. قلل إجابتك لأدنى حد.

61. 0.35

62. 0.38

63. 0.06

64. 0.84

65. 0.98

66. 0.88

67. 0.72

68. 0.78


69. قرّب 79.369 لأقرب جزء من مائة.

70. قرّب 54.797 لأقرب جزء من مائة.

71. قرّب 71.2427 لأقرب جزء من ألف.

72. قرّب 59.2125 لأقرب جزء من ألف.

73. قرّب 29.379 لأقرب جزء من عشرة.

74. قرّب 42.841 لأقرب جزء من عشرة.

75. قرّب 89.3033 لأقرب جزء من ألف.

76. قرّب 9.0052 لأقرب جزء من ألف.

77. قرّب 20.655 لأقرب جزء من عشرة.

78. قرّب 53.967 لأقرب جزء من عشرة.

79. قرّب 19.854 لأقرب جزء من مائة.

80. قرّب 49.397 لأقرب جزء من مائة.


في التدريبات 81-92 ، حدد أي العبارتين المعطاة صحيحة.

81. 0.30387617 <0.3036562 أو 0.30387617> 0.3036562

82. 8.5934> 8.554 أو 8.5934> 8.554

83. −0.034 <−0.040493 أو −0.034> −0.040493

84. −0.081284 <−0.08118 أو −0.081284> −0.08118

85. −8.3527 <8.36553 أو −8.3527> −8.36553

86. −0.00786 <0.0051385 أو 0.00786> 0.0051385

87. 18.62192> 18.6293549 أو 18.62192> 18.6293549

88. 514.873553 <514.86374 أو 514.873553> 514.86374

89. 36.8298 <36.8266595 أو 36.8298> 36.8266595

90. 0.000681 <0.00043174 أو 0.000681> 0.00043174

91. −15.188392 <15.187157 أو −15.188392> −15.187157

92. −0.049785 <−0.012916 أو −0.049785> −0.012916


93. اكتب الرقم العشري بالكلمات.

ط) ماسة زرقاء تم اكتشافها مؤخرًا بوزن 7.03 قيراط تم بيعها بالمزاد في دار سوذبي للمزادات.

ب) سيبقى تلسكوب بلانك الأوروبي الذي تم إطلاقه حديثًا في المدار 1.75 سنة ليقيس الإشعاع الصادر عن الانفجار العظيم.

ج) تشكل الشمس 0.9985 من الكتلة في نظامنا الشمسي.

4) جزيئات الطين صغيرة - 0.0001 بوصة فقط.

94. سرعة الضوء. مؤشر الانكسار لمادة معينة هو قيمة تمثل عدد المرات التي تنتقل فيها موجة ضوئية أبطأ في تلك المادة المعينة عن انتقالها في فراغ الفضاء.

ط) أعد ترتيب المواد حسب معامل الانكسار من الأدنى إلى الأعلى.

ii) كم مرة تكون الموجة الضوئية أبطأ في الماس مقارنة بالفراغ؟

مادةمؤشر الانكسار
الماس2.417
مكنسة1.0000
شبكي1.51
هواء1.0003
ماء1.333
الزركون1.923
زجاج التاج1.52
جليد1.31

95. يوم أقصر؟ قدر العلماء في مختبر الدفع النفاث التابع لناسا أن الزلزال الذي وقع في تشيلي ربما يكون قد قصر طول يوم على الأرض بمقدار 1.26 جزء من مليون من الثانية.

ط) اكتب هذا الرقم بالكامل في صورة عدد عشري.

ب) الملاحظات الفعلية لطول اليوم دقيقة لخمسة ملايين من الثانية. اكتب هذا الكسر في صورة عدد عشري.

iii) مقارنة الكسرين العشريين أعلاه وتحديد أيهما أصغر. هل تعتقد أن العلماء يمكنهم مراقبة وقياس تباطؤ الأرض المحسوب؟


الإجابات

1. 0

3. 2

5. 7

7. 4

9. 1

11. 3

13. (40 + 6 + 1 10 + frac {3} {100} + frac {9} {1000} )

15. (600 + 40 + 3 + frac {1} {10} + frac {9} {100} )

17. (10 ​​+ 4 + frac {8} {10} + frac {2} {100} + frac {9} {1000} )

19. (600 + 50 + 8 + frac {7} {10} + frac {1} {100} )

21. (32 + frac {187} {1000} )

23. (36 + frac {754} {1000} )

25. (596 + frac {71} {100} )

27. (527 + frac {49} {100} )

29. تسعة آلاف وثمانمائة وسبعة وثلاثون عشرة آلاف

31. ألفان وستمائة وثلاثة وخمسون جزء من الألف

33. تسعمائة وخمسة وعشرون وسبعة وأربعون على المائة

35. ثلاثة وثمانون وأربعمائة وسبعة وعشرون جزءًا من الألف

37. ثلاثة وستون وسبعمائة وتسعة وعشرون جزء من الألف

39. ثمانمائة وستة وعشرون وسبعة وخمسون على المائة

41. (98 فارك {1} {10} )

43. (781 frac {7} {10} )

45. (915 frac {239} {1000} )

47. (560 فارك {453} {1000} )

49. (414 فارك {939} {1000} )

51. (446 frac {73} {100} )

53. ( frac {87} {10} )

55. ( frac {547} {100} )

57. ( frac {2133} {1000} )

59. ( frac {39} {10} |)

61. ( frac {7} {20} )

63. ( frac {3} {50} )

65. ( frac {49} {50} |)

67. ( frac {18} {25} )

69. 79.37

71. 71.243

73. 29.4

75. 89.303

77. 20.7

79. 19.85

81. 0.30387617 > 0.3036562

83. −0.034 > −0.040493

85. −8.3527 > −8.36553

87. 18.62192 < 18.6293549

89. 36.8298 > 36.8266595

91. −15.188392 < −15.187157

93.

ط) سبعة وثلاث مائة

ب) واحد وخمسة وسبعون من المائة

ج) تسعة آلاف وتسعمائة وخمسة وثمانون على عشرة آلاف

iv) واحد على عشرة آلاف من البوصة

95.

ط) 0.00000126

ب) 0.000005

ج) 0.00000126 <0.000005 ؛ لن يتمكن العلماء من قياس التغير المحسوب في طول اليوم.


كيفية عمل مؤامرة الجذعية والأوراق مع الكسور العشرية

إذا حددنا الرقم الأول في كل قيمة على أنه & # 8220stem & # 8221 والرقم الثاني كـ & # 8220leaf & # 8221 ، فيمكننا إنشاء مخطط الجذع والأوراق التاليين:

بينما تُستخدم المخططات الجذعية والأوراق عادةً مع القيم الصحيحة ، يمكن أيضًا استخدامها للقيم ذات الكسور العشرية أيضًا.

توضح الأمثلة التالية كيفية إنشاء مخططات الجذعية والأوراق ذات الكسور العشرية.

مثال 1: مؤامرة الجذعية والورقية ذات العلامة العشرية الواحدة

افترض أن لدينا مجموعة البيانات التالية:

مجموعة البيانات: 11.6, 12.2, 12.5, 12.6, 13.7, 13.8, 14.1, 15.2

إذا حددنا الأرقام الموجودة أمام العلامة العشرية على أنها الجذع ، والأرقام بعد العلامة العشرية كالورقة ، فيمكننا إنشاء مخطط الجذع والأوراق التاليين:

عند إنشاء مخطط الجذع والأوراق هذا ، من المهم & # 8217s تضمين ملف مفتاح في الجزء السفلي حتى يعرف القارئ كيفية تفسير القيم في كل من الساق والورقة.

مثال 2: مؤامرة جذعية ورقية ذات أعداد عشرية متعددة

افترض أن لدينا مجموعة البيانات التالية:

مجموعة البيانات: 3.26, 3.28, 3.34, 3.38, 3.41, 3.42, 3.44, 3.59, 3.63

إذا حددنا العدد الصحيح والقيمة الأولى بعد المكان العشري باعتباره الجذع ، والقيمة الثانية بعد العلامة العشرية كالورقة ، فيمكننا إنشاء مخطط الجذع والأوراق التاليين:

مرة أخرى ، يخبرنا المفتاح الموجود في الجزء السفلي من المؤامرة بكيفية تفسير القيم الموجودة في المؤامرة.

مثال 3: تفسير مؤامرة الجذعية والورقية بالأرقام العشرية

لنفترض أن لدينا مخطط الجذع والأوراق التالي مع الكسور العشرية:

السؤال رقم 1: ما هي القيمة القصوى في مجموعة البيانات؟

ستكون القيمة القصوى 8.3.

السؤال 2: ما هو نطاق مجموعة البيانات؟

نطاق مجموعة البيانات هو الفرق بين القيمة الأكبر والأصغر. وبالتالي ، فإن النطاق سيكون 8.3 & # 8211 4.5 = 3.8.

السؤال 3: ما هو وضع مجموعة البيانات؟

الوضع هو القيمة التي تحدث في أغلب الأحيان. هذا سوف يكون 8.2.

السؤال 4: ما هو متوسط ​​مجموعة البيانات؟

يتم تعريف الوسيط على أنه قيمة & # 8220middle & # 8221 لمجموعة البيانات. للعثور على هذه القيمة ، يمكننا كتابة كل قيمة من القيم الفردية في مجموعة البيانات وإيجاد القيمة الوسطى:

مجموعة البيانات: 4.5 ، 4.7 ، 4.9 ، 5.2 ، 5.4 ، 6.1 , 7.8, 8.2, 8.2, 8.2, 8.3


هل أنت مستعد للحصول على ميزة في المنافسة؟ تتناول هذه المقالة تحويل السلاسل إلى كسور عشرية بقيم رقمية مخزنة في سلاسل. على هذا النحو ، ستتمكن & # 8217 من تبسيط التعليمات البرمجية وتقليل فرصة الخطأ.

هل تريد تعلم البرمجة من البداية ولكن لا تعرف من أين تبدأ؟ تحقق من دورة تمهيدية مجانية لمدة 30 دقيقة هنا: training.mammothinteractive.com/p/learn-to-code-in-30-minutes

لمتابعة هذا المثال في Android Studio ، انتقل إلى عرض المشروع. ثم انتقل إلى app & gt java & gt (أعلى) com.example.zebra.demo & gt MainActivity.

للبدء ، أعلن عن سلسلة متغيرة phoneName ، وأعطها القيمة "Nexus5X". قم بذلك عن طريق كتابة الكود التالي أسفل setContentView (R.layout.النشاط_الرئيسي) :

قبل الفاصلة المنقوطة ، قم بتهيئة سلسلة أخرى phoneDisplay ، ومنحها القيمة "5.2". وفقًا للاتفاقية ، افصل بين السلسلتين بفاصلة.

لاحظ أن 5.2 عبارة عن متغير سلسلة ، ويمكنك & # 8217t القيام بعمليات على السلاسل. لذلك ، إذا كنت تريد تحويل 5.2 ، وهي بالبوصة ، إلى سنتيمترات ، فيمكنك & # 8217t ضربها في معدل التحويل.

بدلاً من ذلك ، يمكنك تحويل هذه القيمة إلى متغير جديد. في السطر التالي ، اكتب Double ، وهي الكلمة الأساسية المستخدمة للإعلان عن متغير عشري. قم بتعريف الهاتف المتغير المزدوج ، واجعله يساوي Double.parseDouble ().

باستخدام هذا الرمز ، سيقرأ المحاكي أي معلمة نمررها كسلسلة داخل الأقواس على أنها مضاعفة. قم بتمرير سلسلة phoneDisplay بين الأقواس.

لاحظ أن القيمة الرقمية لشاشة الهاتف ستكون بالبوصة. بالنسبة لأولئك الذين يستخدمون النظام المتري ، نحتاج أيضًا إلى عرض الهاتف بالسنتيمتر. على نفس السطر ، بعد الفاصلة ، قم بإنشاء هاتف متغير جديد phoneDisplayCm. قم بإنهاء السطر بفاصلة منقوطة. يجب أن يبدو سطر التعليمات البرمجية الخاص بك كما يلي:

ستكون قيمة phoneDisplayCm مساوية لقيمة phoneDisplayIn مضروبة في معدل التحويل من البوصات إلى السنتيمترات. لنقم & # 8217s بإنشاء ثابت لمعدل التحويل هذا. في سطر جديد فوق المتغيرات المزدوجة ، استخدم الكلمة الأساسية final ، وأنشئ الثابت المزدوج IN_TO_CM. عيّن لها القيمة 2.54 ، عدد السنتيمترات في البوصة.

الآن بعد أن أصبح لديك معدل التحويل ثابتًا ، اضبط phoneDisplayCm على مساوٍ لـ phoneDisplayIn أضعاف قيمة IN_TO_CM.

هناك نذهب! لدينا متغيرات للعرض بالسنتيمتر والبوصات. من خلال تحويل النوع من سلسلة إلى متغير مزدوج ، فإننا نقضي على فرصة الخطأ لدينا.

بعد ذلك ، نريد إنشاء رمز لرسالة يتم عرضها على الشاشة. في سطر جديد أسفل المتغيرات المزدوجة ، اكتب & # 8220Toast & # 8221 ، وحدد & # 8220Create a new Toast & # 8221 ، واضغط على Enter. سيقوم Android Studio بإكمال الكود التالي تلقائيًا:

بالنسبة للرسالة المعروضة ، يمكننا ربط جميع قيمنا وسلاسلنا بعلامات اقتباس لوظيفة Toast. ومع ذلك ، فمن الأسهل بكثير إنشاء سلسلة جديدة تحتوي على الرسالة التي نريد عرضها. بعد ذلك ، يمكننا فقط الإشارة إلى اسم السلسلة & # 8217s في وظيفة Toast. من خلال القيام بذلك ، فإننا نمتنع عن ملء وظيفة Toast بعدد كبير جدًا من المعلمات.

استبدل علامات الاقتباس في دالة Toast برسالة. في سطر جديد أعلى وظيفة Toast ، قم بإنشاء رسالة سلسلة جديدة. أعطه القيمة phoneName + "يحتوي على شاشة عرض" + phoneDisplayCm + "cm. يجب أن يبدو خطك هكذا:

قم بتشغيل المحاكي لرؤية القيم التي تظهر على الشاشة. بتكبير الشاشة ، سترى الرسالة & # 8220Nexus 5X به شاشة عرض 13.208 سم. & # 8221 مثالي! هذا بالضبط ما كنا نتوقعه. الآن أنت تعرف كيف حول تحويل النوع من سلسلة إلى عشري وكيفية إجراء هذه العمليات بقيم رقمية مخزنة في سلاسل.


الكسور العشرية - الصف الخامس

يؤدي استخدام الكسور العشرية إلى توسيع نظام القيمة المكانية لتمثيل أجزاء من الكل.
استخدام العلامة العشرية هو رمز يفصل بين الأعشار والآحاد ، أو & lsquopart من الكل & rsquo. على سبيل المثال ، في الرقم 4.2 ، تفصل العلامة العشرية بين 4 آحاد وعشر 2.

تم بناء نظام قيمة خانة العشرة الأساسية على التناظر حول خانة الآحاد والعدد العشري.

يمكن أن تمثل الكسور العشرية أجزاء من الكل وكذلك الأعداد الكسرية.

يمكن تفسير الكسور العشرية وقراءتها بأكثر من طريقة. على سبيل المثال ، يمكن إعادة تسمية 4.3 بـ 43 من عشرة.

يمكن إعادة تسمية الكسور العشرية مثل الكسور أو الكسور العشرية الأخرى. على سبيل المثال ، يمكن إعادة تسمية 800/1000 أو 0.800 ليصبح 80/100 أو 0.80. يمكن أيضًا إعادة تسميته ليصبح 8/10 أو 0.8
لاحظ ذلك
0.5 أو 0.50 أو 0.500 كلها تساوي 1/2
0.25 أو 0.250 كلاهما يساوي 1/4
0.75 و 0.750 يساوي 3/4

يمكننا استخدام شبكة الآلاف لنمذجة الكسور العشرية.


يمكن استخدام الشبكة المظللة التالية لتمثيل الرقم 3.146


يمكننا أيضًا استخدام الكتل العشر لنمذجة الكسور العشرية.
يمكن استخدام ما يلي لتمثيل الرقم 3.231


يمكن أيضًا استخدام عصي المتر لتمثيل الكسور العشرية. القياس لأقرب ملليمتر هو جزء من ألف من المتر. السنتيمترات جزء من مائة متر وديسيمترات أعشار المتر.

نموذج الكسور العشرية
نموذج الكسور العشرية على الشبكات وعلى خطوط الأرقام.

نمذجة الكسور العشرية باستخدام الشبكات
باستخدام نموذج الحديقة ، يطور الطلاب فهمًا لأماكن الأعشار والمئات ، بالإضافة إلى ربط الكسور العشرية بالكسور والنسب المئوية.

الكسور العشرية بالصيغة الموسعة

على سبيل المثال:
45.23 = 40 + 5 + 0.2 + 0.03
أو
45.23 = (4 × 10) + (5 × 1) + (2 × 0.1) + (3 × 0.01).

50.302 = 50 + 0.3 + 0.002
أو
50.302 = (5 × 10) + (3 × 0.1) + (2 × 0.001).

الكسور العشرية - نموذج موسع
قراءة / كتابة الكسور العشرية بالأرقام والكلمات والشكل الموسع.

قارن الكسور العشرية

يمكننا مقارنة الكسور العشرية باستخدام القيمة المكانية. على سبيل المثال:
0.02 & lt 0.2 لأن 0 من 10 أقل من 2 من 10
0.021 & gt 0.01 لأن جزء من مائة أكبر من جزء من مائة

يمكننا مقارنة الكسور العشرية باستخدام رقم معياري. على سبيل المثال:
0.021 & lt 0.2 لأن 0.021 أقل من 0.1 و 0.2 أكبر من 0.1
0.8 & gt 0.423 لأن 0.8 أكثر من النصف و 0.423 أقل من النصف.

يمكننا المقارنة باستخدام الكسور العشرية المتكافئة مع نفس عدد الأرقام. على سبيل المثال:
0.34 & gt 0.3 لأن 0.34 & gt 0.30 (34 جزء من المئة و 30 جزء من مائة)
8.302 & lt 8.32 لأن 8.302 & lt 8.320 (302 جزء من الألف & lt 320 جزء من الألف)

ترتيب ومقارنة الكسور العشرية

تقدير وتقريب الكسور العشرية

يمكننا تقريب الكسور العشرية إلى أعداد عشرية أبسط.

على سبيل المثال: 2.9286
يمكن تقريبه إلى 2.929 (أقرب جزء من الألف)
يمكن تقريبه إلى 2.93 (أقرب جزء من مائة)
يمكن تقريبه إلى 2.9 (أقرب أجزاء من عشرة)
يمكن تقريبه إلى 3 (الأقرب)

التقدير والتقريب مع الكسور العشرية

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


محتويات

تستخدم العديد من أنظمة الأرقام في الحضارات القديمة العشرة وقوتها لتمثيل الأرقام ، ربما بسبب وجود عشرة أصابع على اليدين وبدأ الناس العد باستخدام أصابعهم. الأمثلة هي أولاً الأرقام المصرية ، ثم أرقام براهمي ، والأرقام اليونانية ، والأرقام العبرية ، والأرقام الرومانية ، والأرقام الصينية. كان من الصعب تمثيل الأعداد الكبيرة جدًا في أنظمة الأرقام القديمة هذه ، ولم يتمكن سوى أفضل علماء الرياضيات من ضرب أو تقسيم أعداد كبيرة. تم حل هذه الصعوبات تمامًا مع إدخال نظام العد الهندوسي العربي لتمثيل الأعداد الصحيحة. تم تمديد هذا النظام لتمثيل بعض الأرقام غير الصحيحة ، تسمى الكسور العشرية أو أرقام عشرية، لتشكيل نظام العد العشري.

لكتابة الأرقام ، يستخدم النظام العشري عشرة أرقام عشرية ، وعلامة عشرية ، وللأرقام السالبة ، علامة ناقص "-". الأرقام العشرية هي 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 [7] الفاصل العشري هو النقطة "." في العديد من البلدان ، [4] [8] ولكن أيضًا فاصلة " ، "في بلدان أخرى. [5]

لتمثيل رقم غير سالب ، يتكون الرقم العشري من

  • إما تسلسل (محدود) من الأرقام (مثل "2017") ، حيث يمثل التسلسل بأكمله عددًا صحيحًا ، a m a m - 1 ... a 0 < displaystyle a_أ_ النقاط a_ <0>>
  • أو علامة عشرية تفصل بين تسلسلين من الأرقام (مثل "20.70828")

إذا م & gt 0 ، أي إذا احتوى التسلسل الأول على رقمين على الأقل ، فمن المفترض عمومًا أن الرقم الأول أم ليس صفرا. في بعض الحالات ، قد يكون من المفيد وجود صفر أو أكثر على اليسار ، وهذا لا يغير القيمة التي يمثلها الرقم العشري: على سبيل المثال ، 3.14 = 03.14 = 003.14. وبالمثل ، إذا كان الرقم الأخير على يمين العلامة العشرية هو صفر - أي إذا بن = 0 —يمكن إزالتها على العكس ، يمكن إضافة الأصفار اللاحقة بعد العلامة العشرية دون تغيير الرقم الممثل [الملاحظة 1] على سبيل المثال ، 15 = 15.0 = 15.00 و 5.2 = 5.20 = 5.200.

لتمثيل رقم سالب ، يتم وضع علامة الطرح من قبل أم .

ال جزء صحيح أو جزء لا يتجزأ الرقم العشري هو العدد الصحيح المكتوب على يسار الفاصل العشري (انظر أيضًا الاقتطاع). بالنسبة للرقم العشري غير السالب ، فهو أكبر عدد صحيح لا يزيد عن الرقم العشري. الجزء من الفاصل العشري إلى اليمين هو الجزء الكسري، وهو ما يساوي الفرق بين العدد والجزء الصحيح.

عندما يكون الجزء المتكامل من الرقم صفرًا ، فقد يحدث ، عادةً في الحساب ، عدم كتابة جزء العدد الصحيح (على سبيل المثال .1234 ، بدلاً من 0.1234). في الكتابة العادية ، يتم تجنب هذا بشكل عام ، بسبب خطر الخلط بين العلامة العشرية وعلامات الترقيم الأخرى.

باختصار ، تعتمد مساهمة كل رقم في قيمة الرقم على موضعه في الرقم. أي أن النظام العشري هو نظام ترقيم موضعي.

بشكل أكثر عمومية ، علامة عشرية مع ن الأرقام بعد الفاصل يمثل الكسر الذي المقام فيه 10 ن ، الذي يكون بسطه هو العدد الصحيح الذي تم الحصول عليه بإزالة الفاصل.

ويترتب على ذلك أن الرقم هو كسر عشري إذا وفقط إذا كان يحتوي على تمثيل عشري محدد.

يتم التعبير عن الأعداد العشرية في صورة كسر مختزل تمامًا ، وهي تلك التي يكون مقامها ناتجًا عن قوة 2 وقوة 5. وبالتالي فإن أصغر مقامات الأعداد العشرية هي

لا تسمح الأرقام العشرية بتمثيل دقيق لجميع الأرقام الحقيقية ، على سبيل المثال للعدد الحقيقي π. ومع ذلك ، فإنها تسمح بتقريب كل رقم حقيقي بأي دقة مرغوبة ، على سبيل المثال ، الرقم العشري 3.14159 يقارب الحقيقي ، كونه أقل من 10 off5 قبالة لذلك تستخدم الكسور العشرية على نطاق واسع في العلوم والهندسة والحياة اليومية.

بتعبير أدق ، لكل عدد حقيقي x وكل عدد صحيح موجب n ، هناك رقمان عشريان إل و ش مع على الأكثر ن بعد العلامة العشرية من هذا القبيل إلxش و (شإل) = 10 −ن .

غالبًا ما يتم الحصول على الأرقام كنتيجة للقياس. نظرًا لأن القياسات تخضع لعدم اليقين في القياس بحد أعلى معروف ، فإن نتيجة القياس يتم تمثيلها جيدًا بواسطة رقم عشري مع ن أرقام بعد العلامة العشرية ، بمجرد أن يحد خطأ القياس المطلق من أعلى بمقدار 10 -ن . من الناحية العملية ، تُعطى نتائج القياس غالبًا بعدد معين من الأرقام بعد الفاصلة العشرية ، والتي تشير إلى حدود الخطأ. على سبيل المثال ، على الرغم من أن 0.080 و 0.08 تدل على نفس الرقم ، فإن الرقم العشري 0.080 يشير إلى قياس به خطأ أقل من 0.001 ، بينما يشير الرقم 0.08 إلى خطأ مطلق يحده 0.01. في كلتا الحالتين ، يمكن أن تكون القيمة الحقيقية للكمية المقاسة ، على سبيل المثال ، 0.0803 أو 0.0796 (انظر أيضًا الأرقام المهمة).

لعدد حقيقي x وعدد صحيح ن ≥ 0 ، دعنا [x]ن تشير إلى التوسع العشري (المحدود) لأكبر رقم لا يزيد عن x التي تحتوي بالضبط على n من الأرقام بعد العلامة العشرية. يترك دأنا تشير إلى الرقم الأخير من [x]أنا . من الواضح أن [x]ن يمكن الحصول عليها من خلال إلحاق دن على يمين [x]ن−1 . بهذه الطريقة يمتلك المرء

وفرق [x]ن−1 و [x]ن يرقى إلى

وهو إما 0 ، إذا دن = 0 ، أو تصبح صغيرة بشكل تعسفي مثل ن يميل إلى اللانهاية. وفقًا لتعريف الحد ، x هو حد [x]ن متي ن يميل إلى اللانهاية. تتم كتابة هذا كـ x = lim n → ∞ [x] n < textstyle x = lim _[x] _> أو

وهو ما يسمى توسع عشري لانهائي من x .

أي كسر عشري من هذا القبيل ، على سبيل المثال: دن = 0 من أجل ن & GT ن ، إلى التوسع العشري اللانهائي المكافئ له عن طريق الاستبدال دن بواسطة دن - 1 واستبدال كل الأصفار اللاحقة بـ 9 (انظر 0.999).

باختصار ، كل رقم حقيقي ليس كسر عشري له توسع عشري لانهائي فريد. يحتوي كل كسر عشري على توسعين عشريين لا نهائيين ، يحتوي أحدهما على أصفار فقط بعد مكان ما ، والذي يتم الحصول عليه من خلال التعريف أعلاه لـ [x]ن ، والأخرى تحتوي على 9 فقط بعد مكان ما ، والتي يتم الحصول عليها بتعريف [x]ن كأكبر عدد أقل من س ، بالضبط ن بعد العلامة العشرية.

تعديل الأرقام المنطقية

تسمح القسمة المطولة بحساب التوسع العشري اللانهائي لعدد منطقي. إذا كان الرقم المنطقي كسرًا عشريًا ، فإن القسمة تتوقف في النهاية ، مما ينتج عنه رقم عشري ، والذي يمكن إطالة أمده إلى توسيع لا نهائي عن طريق إضافة عدد لا نهائي من الأصفار. إذا لم يكن الرقم المنطقي كسرًا عشريًا ، فقد تستمر عملية القسمة إلى أجل غير مسمى. ومع ذلك ، نظرًا لأن جميع الباقي المتتالي أقل من المقسوم عليه ، فلا يوجد سوى عدد محدود من الباقي المحتمل ، وبعد مكان ما ، يجب تكرار نفس تسلسل الأرقام إلى أجل غير مسمى في حاصل القسمة. هذا هو ، واحد لديه تكرار عشري. على سبيل المثال،

والعكس صحيح أيضًا: إذا بدأت نفس سلسلة الأرقام في التكرار إلى أجل غير مسمى ، في مرحلة ما من التمثيل العشري لرقم ما ، يكون الرقم منطقيًا.

تستخدم معظم أنظمة وبرامج أجهزة الكمبيوتر الحديثة بشكل شائع تمثيلًا ثنائيًا داخليًا (على الرغم من أن العديد من أجهزة الكمبيوتر القديمة ، مثل ENIAC أو IBM 650 ، تستخدم التمثيل العشري داخليًا). [10] للاستخدام الخارجي من قبل متخصصي الكمبيوتر ، يتم تقديم هذا التمثيل الثنائي أحيانًا في الأنظمة الثماني أو السداسية العشرية ذات الصلة.

ومع ذلك ، بالنسبة لمعظم الأغراض ، يتم تحويل القيم الثنائية إلى أو من القيم العشرية المكافئة للعرض أو الإدخال من برامج الكمبيوتر البشرية التي تعبر عن القيم الحرفية بالنظام العشري افتراضيًا. (123.1 ، على سبيل المثال ، مكتوب على هذا النحو في برنامج كمبيوتر ، على الرغم من أن العديد من لغات الكمبيوتر غير قادرة على تشفير هذا الرقم بدقة.)

تستخدم كل من أجهزة وبرامج الكمبيوتر أيضًا تمثيلات داخلية تكون فعالة بشكل عشري لتخزين القيم العشرية والقيام بالحسابات. غالبًا ما يتم إجراء هذه العملية الحسابية على البيانات التي تم ترميزها باستخدام متغير من النظام الثنائي العشري ، [11] [12] خاصة في تطبيقات قواعد البيانات ، ولكن هناك تمثيلات عشرية أخرى قيد الاستخدام (بما في ذلك الفاصلة العشرية كما هو الحال في المراجعات الأحدث من معيار IEEE 754 لحساب النقطة العائمة). [13]

يتم استخدام الحساب العشري في أجهزة الكمبيوتر بحيث يتم دائمًا حساب النتائج الكسرية العشرية لإضافة (أو طرح) القيم ذات الطول الثابت للجزء الكسري بنفس طول الدقة. هذا مهم بشكل خاص للحسابات المالية ، على سبيل المثال ، تتطلب في نتائجها مضاعفات عدد صحيح من أصغر وحدة عملة لأغراض مسك الدفاتر. هذا غير ممكن في النظام الثنائي ، لأن القوى السالبة لـ 10 < displaystyle 10> ليس لها تمثيل كسري ثنائي محدود وهي مستحيلة بشكل عام للضرب (أو القسمة). [14] [15] راجع الحساب التعسفي الدقيق للحصول على حسابات دقيقة.

تم حساب العديد من الثقافات القديمة بالأرقام على أساس عشرة ، وقد تم الجدل في بعض الأحيان بسبب أن الأيدي البشرية تحتوي عادةً على عشرة أصابع / أرقام. [16] استندت الأوزان المعيارية المستخدمة في حضارة وادي السند (حوالي 3300-1300 قبل الميلاد) إلى النسب: 1/20 ، 1/10 ، 1/5 ، 1/2 ، 1 ، 2 ، 5 ، 10 ، 20 و 50 و 100 و 200 و 500 ، في حين أن مسطرةهم الموحدة هي حاكم موهينجو دارو - تم تقسيمه إلى عشرة أجزاء متساوية. [17] [18] [19] استخدمت الهيروغليفية المصرية ، كدليل منذ حوالي 3000 قبل الميلاد ، نظامًا عشريًا بحتًا ، [20] كما فعلت الهيروغليفية الكريتية (حوالي 1625-1500 قبل الميلاد) للمينويين الذين تعتمد أرقامهم بشكل وثيق على النموذج المصري. [21] [22] تم تسليم النظام العشري إلى ثقافات العصر البرونزي المتتالية في اليونان ، بما في ذلك الخطي أ (القرن الثامن عشر قبل الميلاد -1450 قبل الميلاد) والخطي ب (حوالي 1375-1200 قبل الميلاد) - نظام الأرقام استخدمت اليونان الكلاسيكية أيضًا قوى من عشرة ، بما في ذلك الأرقام الرومانية ، وقاعدة وسيطة من 5. [23] بشكل ملحوظ ، اخترع الموسوعي أرخميدس (287-212 قبل الميلاد) نظامًا عشريًا في كتابه Sand Reckoner والذي كان قائمًا على 10 8 [23] ولاحقًا قاد عالم الرياضيات الألماني كارل فريدريش جاوس للتعبير عن الأسف على الارتفاعات التي كان يمكن أن يصل إليها العلم في أيامه إذا كان أرخميدس قد أدرك تمامًا إمكانات اكتشافه العبقري. [24] كانت الهيروغليفية الحيثية (منذ القرن الخامس عشر قبل الميلاد) أيضًا ذات نظام عشري بشكل صارم. [25]

تستخدم بعض النصوص القديمة غير الرياضية مثل الفيدا ، التي يعود تاريخها إلى 1700-900 قبل الميلاد ، الكسور العشرية والكسور العشرية الرياضية. [26]

الأرقام الهيراطيقية المصرية ، والأرقام الأبجدية اليونانية ، والأرقام الأبجدية العبرية ، والأرقام الرومانية ، والأرقام الصينية وأرقام براهمي الهندية المبكرة كلها أنظمة عشرية غير موضعية ، وتتطلب أعدادًا كبيرة من الرموز. على سبيل المثال ، استخدمت الأرقام المصرية رموزًا مختلفة لـ 10 ، 20 إلى 90 ، 100 ، 200 إلى 900 ، 1000 ، 2000 ، 3000 ، 4000 ، إلى 10000. [27] كان أول نظام عشري موضعي في العالم هو حساب التفاضل والتكامل الصيني. [28]

تاريخ الكسور العشرية تحرير

تم تطوير الكسور العشرية لأول مرة واستخدامها من قبل الصينيين في نهاية القرن الرابع قبل الميلاد ، [29] ثم انتشروا إلى الشرق الأوسط ومن هناك إلى أوروبا. [28] [30] كانت الكسور العشرية الصينية المكتوبة غير موضعية. [30] ومع ذلك ، كان عد الكسور العصوية موضعيًا. [28]

يلاحظ J.Lennart Berggren أن الكسور العشرية الموضعية تظهر لأول مرة في كتاب لعالم الرياضيات العربي أبو الحسن العقليديسي كتب في القرن العاشر. [32] عالم الرياضيات اليهودي إيمانويل بونفيس استخدم الكسور العشرية حوالي عام 1350 ، متوقعًا سيمون ستيفين ، لكنه لم يطور أي تدوين لتمثيلها. [33] ادعى عالم الرياضيات الفارسي جمشيد الكاشي أنه اكتشف الكسور العشرية بنفسه في القرن الخامس عشر. [32] قدم الخوارزمي جزء صغير إلى البلدان الإسلامية في أوائل القرن التاسع ، حيث زعم مؤلف صيني أن عرضه التقديمي هو نسخة طبق الأصل من جزء رياضي صيني تقليدي من سونزي سوانجينغ. [28] هذا الشكل من الكسر مع البسط في الأعلى والمقام في الأسفل بدون شريط أفقي استخدمه أيضًا العقليدي والكاشي في عمله "المفتاح الحسابي". [28] [34]

تم تقديم رائد التدوين العشري الأوروبي الحديث بواسطة Simon Stevin في القرن السادس عشر. [35]

تحرير اللغات الطبيعية

ظهرت طريقة للتعبير عن كل عدد طبيعي ممكن باستخدام مجموعة من عشرة رموز في الهند. تظهر العديد من اللغات الهندية نظامًا عشريًا مباشرًا. تحتوي العديد من اللغات الهندية الآرية والدرافيدية على أعداد تتراوح بين 10 و 20 معبرًا عنها بنمط إضافة منتظم إلى 10. [36]

تستخدم اللغة الهنغارية أيضًا نظامًا عشريًا مباشرًا. يتم تكوين جميع الأرقام بين 10 و 20 بشكل منتظم (على سبيل المثال ، يتم التعبير عن 11 كـ "tizenegy" حرفياً "واحد على عشرة") ، كما هو الحال مع الأرقام بين 20 و 100 (23 كـ "huszonhárom" = "ثلاثة على عشرين").

نظام ترتيب عشري مباشر مع كلمة لكل ترتيب (10 ، 100 ، 1000 ، 10000) ، وفيه يتم التعبير عن 11 كـ عشرة واحد و 23 كما اثنان وعشرة وثلاثة، و 89345 يتم التعبير عنها بـ 8 (عشرة آلاف) 9 (آلاف) 千 3 (مائة) 百 4 (عشرات) 十 5 موجود بالصينية ، وفي الفيتنامية مع بعض المخالفات. استوردت اليابانية والكورية والتايلاندية النظام العشري الصيني. تحتوي العديد من اللغات الأخرى ذات النظام العشري على كلمات خاصة للأرقام بين 10 و 20 وعقود. على سبيل المثال ، في اللغة الإنجليزية 11 هو "أحد عشر" وليس "عشرة واحد" أو "مراهق واحد".

لغات الإنكا مثل Quechua و Aymara لها نظام عشري مباشر تقريبًا ، حيث يتم التعبير عن 11 كـ عشرة بواحد و 23 كما اثنان وعشرة مع ثلاثة.

يقترح بعض علماء النفس أن المخالفات في الأسماء الإنجليزية للأرقام قد تعيق قدرة الأطفال على العد. [37]


محتويات

تستفيد BCD من حقيقة أن أي رقم عشري يمكن تمثيله بنمط من أربعة بتات. الطريقة الأكثر وضوحًا لتشفير الأرقام هي BCD الطبيعي (NBCD) ، حيث يتم تمثيل كل رقم عشري بقيمته الثنائية المقابلة المكونة من أربع بتات ، كما هو موضح في الجدول التالي. يسمى هذا أيضًا ترميز "8421".

رقم عشري بى سى دى
8 4 2 1
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 0
3 0 0 1 1
4 0 1 0 0
5 0 1 0 1
6 0 1 1 0
7 0 1 1 1
8 1 0 0 0
9 1 0 0 1

يمكن أيضًا الإشارة إلى هذا المخطط باسم رقم عشري بسيط ثنائي الترميز (SBCD) أو بى سى دى 8421، وهو الترميز الأكثر شيوعًا. [12] تشتمل الأنواع الأخرى على ما يسمى بالترميز "4221" و "7421" - الذي سمي على اسم الترجيح المستخدم للبتات - و "الزائد -3". [13] على سبيل المثال ، رقم BCD 6 ، 0110'b في ترميز 8421 ، هو 1100'b في 4221 (يمكن ترميزين) ، 0110'b في 7421 ، بينما في Excess-3 يكون 1001'b (6 + 3 = 9 ).

رموز BCD ذات 4 بتات ورباعية زائفة
قليلا وزن 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 تعليق
4 8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 الثنائية
3 4 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
2 2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
اسم 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 عدد عشري
8 4 2 1 (XS-0) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [14] [15] [16] [17] [ملحوظة 2]
7 4 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [18] [19] [20]
أيكن (2 4 2 1) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [14] [15] [16] [17] [ملحوظة 3]
الفائض 3 (XS-3) -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [14] [15] [16] [17] [ملحوظة 2]
فائض 6 (XS-6) -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [18] [ملحوظة 2]
Jump-at-2 (2 4 2 1) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [16] [17]
Jump-at-8 (2 4 2 1) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [21] [22] [16] [17] [ملحوظة 4]
4 2 2 1 (أنا) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [16] [17]
4 2 2 1 (II) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [21] [22]
5 4 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [18] [14] [16] [17]
5 2 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [14] [16] [17]
5 1 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [19]
5 3 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [16] [17]
أبيض (5 2 1 1) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [23] [18] [14] [16] [17]
5 2 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [24]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
شريط ممغنط 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 [15]
بول 1 3 2 6 7 5 4 0 8 9 [25]
رمادي 0 1 3 2 6 7 5 4 15 14 12 13 8 9 11 10 [26] [14] [15] [16] [17] [ملحوظة 2]
جليكسون 0 1 3 2 6 7 5 4 9 8 [27] [14] [15] [16] [17]
ليدلي 0 1 3 2 7 6 4 5 8 9 [28]
4 3 1 1 0 1 2 3 5 4 6 7 8 9 [19]
LARC 0 1 2 4 3 5 6 7 9 8 [29]
كلار 0 1 2 4 3 9 8 7 5 6 [2] [3]
بيثريك (RAE) 1 3 2 0 4 8 6 7 9 5 [30] [31] [ملحوظة 5]
أوبراين الأول (واتس) 0 1 3 2 4 9 8 6 7 5 [32] [14] [16] [17] [ملحوظة 6]
5-دوري 0 1 3 2 4 5 6 8 7 9 [28]
تومبكينز الأول 0 1 3 2 4 9 8 7 5 6 [33] [14] [16] [17]
ليبل 0 1 2 3 4 9 8 7 6 5 [34] [35] [14]
أوبراين الثاني 0 2 1 4 3 9 7 8 5 6 [32] [14] [16] [17]
تومبكينز الثاني 0 1 4 3 2 7 9 8 5 6 [33] [14] [16] [17]
الزائد 3 رمادي -3 -2 0 -1 4 3 1 2 12 11 9 10 5 6 8 7 [16] [17] [20] [ملحوظة 7] [ملحوظة 2]
6 3 −2 1 (أنا) 3 2 1 0 5 4 8 9 7 6 [29] [36]
6 3 −2 1 (II) 0 3 2 1 6 5 4 9 8 7 [29] [36]
8 4 −2 −1 0 4 3 2 1 8 7 6 5 9 [29]
لوكال 0 15 14 1 12 3 2 13 8 7 6 9 4 11 10 5 [37]
كاوتز الأول 0 2 5 1 3 7 9 8 6 4 [18]
كاوتز الثاني 9 4 1 3 2 8 6 7 0 5 [18] [14]
سسكيند أنا 0 1 4 3 2 9 8 5 6 7 [35]
سسكيند الثاني 0 1 9 8 4 3 2 5 6 7 [35]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

يمثل الجدول التالي الأرقام العشرية من 0 إلى 9 في أنظمة تشفير BCD المختلفة. في الرؤوس ، يشير "8 4 2 1" إلى وزن كل بت. في العمود الخامس ("BCD 8 4 −2 −1") ، اثنان من الأوزان سالبة. يتم أيضًا عرض كل من رموز أحرف ASCII و EBCDIC للأرقام ، والتي تعد أمثلة على BCD المخصصة للمنطقة.


رقم
بى سى دى
8 4 2 1
كود Stibitz أو الزائد 3 أيكن كود أو BCD
2 4 2 1
بى سى دى
8 4 −2 −1
آي بي إم 702 ، آي بي إم 705 ، آي بي إم 7080 ، آي بي إم 1401
8 4 2 1
ASCII
0000 8421
EBCDIC
0000 8421
0 0000 0011 0000 0000 1010 0011 0000 1111 0000
1 0001 0100 0001 0111 0001 0011 0001 1111 0001
2 0010 0101 0010 0110 0010 0011 0010 1111 0010
3 0011 0110 0011 0101 0011 0011 0011 1111 0011
4 0100 0111 0100 0100 0100 0011 0100 1111 0100
5 0101 1000 1011 1011 0101 0011 0101 1111 0101
6 0110 1001 1100 1010 0110 0011 0110 1111 0110
7 0111 1010 1101 1001 0111 0011 0111 1111 0111
8 1000 1011 1110 1000 1000 0011 1000 1111 1000
9 1001 1100 1111 1111 1001 0011 1001 1111 1001

نظرًا لأن معظم أجهزة الكمبيوتر تتعامل مع البيانات في 8 بت بايت ، فمن الممكن استخدام إحدى الطرق التالية لتشفير رقم BCD:

  • غير معبأ: يتم ترميز كل رقم عشري في بايت واحد ، مع أربع بتات تمثل الرقم والبتات المتبقية ليس لها أهمية.
  • معباه: يتم ترميز رقمين عشريين في بايت واحد ، مع رقم واحد في nibble الأقل أهمية (البتات من 0 إلى 3) والرقم الآخر في الحلمة الأكثر أهمية (البتات من 4 إلى 7). [ملحوظة 8]

كمثال ، ترميز الرقم العشري 91 ينتج عن استخدام BCD غير المعبأ النمط الثنائي التالي المكون من وحدتي بايت:

في BCD المعبأ ، سيتناسب الرقم نفسه في بايت واحد:

ومن ثم فإن النطاق العددي لبايت BCD واحد غير معبأ يكون من صفر إلى تسعة شامل ، في حين أن النطاق لبايت BCD معبأ واحد هو من صفر إلى تسعة وتسعين.

يمكن استخدام أي عدد من البايت المتجاورة لتمثيل أرقام أكبر من نطاق بايت واحد. على سبيل المثال ، لتمثيل الرقم العشري 12345 في BCD معبأ ، باستخدام تنسيق كبير ، سيتم تشفير البرنامج على النحو التالي:

هنا ، تم تشفير أهم جزء من البايت الأكثر أهمية على أنه صفر ، لذلك يتم تخزين الرقم على هيئة 012345 (لكن إجراءات التنسيق قد تحل محل الأصفار البادئة أو تزيلها). يعتبر BCD المعبأ أكثر كفاءة في استخدام التخزين من تشفير BCD غير المعبأ بنفس الرقم (مع الصفر البادئ) بتنسيق غير معبأ يستهلك ضعف مساحة التخزين.

تُستخدم عمليات النقل والإخفاء لتعبئة أو فك رقم BCD معبأ. تُستخدم العمليات الأخرى على مستوى البت لتحويل رقم إلى نمط البت المكافئ له أو عكس العملية.

في معبأة BCD (أو ببساطة عشري معبأ [38]) ، كل من اثنين من كل بايت يمثل رقمًا عشريًا. [nb 8] تم استخدام BCD المعبأ منذ الستينيات على الأقل وتم تطبيقه في جميع أجهزة IBM المركزية منذ ذلك الحين. معظم التطبيقات هي endian كبيرة ، أي مع وجود رقم أكثر أهمية في النصف العلوي من كل بايت ، وببايت أقصى اليسار (موجود في أدنى عنوان ذاكرة) يحتوي على أهم الأرقام من القيمة العشرية المعبأة. عادةً ما يتم استخدام الحلمة السفلية لأقصى اليمين كعلامة إشارة ، على الرغم من أن بعض التمثيلات غير الموقعة تفتقر إلى علامة الإشارة. على سبيل المثال ، تتكون القيمة المكونة من 4 بايت من 8 قطع صغيرة ، حيث تخزن القصاصات السبعة العلوية أرقامًا ذات قيمة عشرية مكونة من 7 أرقام ، بينما تشير أقل قيمة إلى علامة القيمة الصحيحة العشرية.

قيم الإشارة القياسية هي 1100 (سداسي C) للإيجابية (+) و 1101 (د) للسالب (-). يأتي هذا الاصطلاح من حقل المنطقة لأحرف EBCDIC وتمثيل التوقيع الزائد. العلامات الأخرى المسموح بها هي 1010 (أ) و 1110 (هـ) للإيجابية و 1011 (ب) للسالب. ستستخدم معالجات IBM System / 360 علامتي 1010 (A) و 1011 (B) إذا تم تعيين بت A في PSW ، لمعيار ASCII-8 الذي لم ينجح أبدًا. توفر معظم التطبيقات أيضًا قيمًا غير موقعة لـ BCD مع إشارة عاب تبلغ 1111 (F). [39] [40] [41] يستخدم ILE RPG 1111 (F) للإيجابي و 1101 (D) للسالب. [42] تتطابق هذه مع منطقة EBCDIC للأرقام بدون علامة زائد. في BCD المعبأ ، يتم تمثيل الرقم 127 بـ 0001 0010 0111 1100 (127C) ويتم تمثيل −127 بـ 0001 0010 0111 1101 (127D). تستخدم أنظمة Burroughs 1101 (D) للسالب ، وأي قيمة أخرى تعتبر قيمة إشارة موجبة (ستقوم المعالجات بتطبيع إشارة موجبة إلى 1100 (C)).

لافتة
رقم
بى سى دى
8 4 2 1
لافتة ملاحظات
أ 1 0 1 0 +
ب 1 0 1 1
ج 1 1 0 0 + يفضل
د 1 1 0 1 يفضل
ه 1 1 1 0 +
F 1 1 1 1 + غير موقع

بغض النظر عن عدد البايتات التي تحتويها الكلمة ، يوجد دائمًا عدد زوجي من القضم لأن كل بايت يحتوي على اثنين منهم. لذلك ، كلمة من ن يمكن أن تحتوي البايت على ما يصل إلى (2ن) −1 رقم عشري ، وهو دائمًا عدد فردي من الأرقام. رقم عشري به د تتطلب الأرقام 1/2 (د+1) بايت من مساحة التخزين.

على سبيل المثال ، يمكن للكلمة المكونة من 4 بايت (32 بت) أن تحتوي على سبعة أرقام عشرية بالإضافة إلى علامة ويمكن أن تمثل قيمًا تتراوح من 9،999،999. وبالتالي فإن الرقم −1234.567 يبلغ عرضه 7 أرقام ويتم ترميزه على النحو التالي:

مثل سلاسل الأحرف ، عادةً ما يتم تخزين البايت الأول من الكسر العشري المعبأ - الذي يحتوي على أهم رقمين - في أدنى عنوان في الذاكرة ، بغض النظر عن نهاية الجهاز.

في المقابل ، يمكن لعدد صحيح مكمل ثنائي مكون من 4 بايت أن يمثل قيمًا من −2،147،483،648 إلى +2،147،483،647.

في حين أن BCD المعبأ لا يحقق الاستخدام الأمثل للتخزين (باستخدام ذاكرة أكثر بحوالي 20٪ من التدوين الثنائي لتخزين نفس الأرقام) ، فإن التحويل إلى ASCII أو EBCDIC أو الترميزات المختلفة لـ Unicode أصبح أمرًا بسيطًا ، حيث لا يلزم إجراء عمليات حسابية. عادة ما يتم تعويض متطلبات التخزين الإضافية بالحاجة إلى الدقة والتوافق مع الآلة الحاسبة أو الحساب اليدوي الذي يوفره الحساب العشري ذو النقطة الثابتة. توجد عبوات أكثر كثافة لـ BCD والتي تتجنب عقوبة التخزين ولا تحتاج أيضًا إلى عمليات حسابية للتحويلات الشائعة.

يتم دعم Packed BCD في لغة برمجة COBOL كـ "COMPUTATIONAL-3" (امتداد IBM المعتمد من قبل العديد من بائعي المترجمين الآخرين) أو "PACKED-DECIMAL" (جزء من معيار COBOL لعام 1985). يتم دعمه في PL / I كـ "Fixed DECIMAL". بجانب IBM System / 360 والإطارات الرئيسية المتوافقة لاحقًا ، يتم تنفيذ BCD المعبأ في مجموعة التعليمات الأصلية لمعالجات VAX الأصلية من شركة Digital Equipment Corporation وبعض طرز سلسلة SDS Sigma المركزية ، وهو التنسيق الأصلي لأنظمة Burroughs Corporation المتوسطة خط الحاسبات المركزية (ينحدر من سلسلة Electrodata 200 في الخمسينيات).

تقدم تمثيلات Ten التكميلية للأرقام السالبة طريقة بديلة لترميز علامة أرقام BCD المعبأة (وغيرها). في هذه الحالة ، دائمًا ما تحتوي الأرقام الموجبة على الرقم الأكثر أهمية بين 0 و 4 (شامل) ، بينما يتم تمثيل الأرقام السالبة بواسطة مكمل العشرة من الرقم الموجب المقابل. نتيجة لذلك ، يسمح هذا النظام لأرقام BCD المعبأة 32 بت أن تتراوح من ،00050،000،000 إلى 49،999،999 ، ويتم تمثيل 1 كـ 99999999. (كما هو الحال مع الأرقام الثنائية المكملة للرقمين ، النطاق غير متماثل حول الصفر.)

نقطة ثابتة تحرير عشري معبأ

الأرقام العشرية الثابتة مدعومة من قبل بعض لغات البرمجة (مثل COBOL و PL / I و Ada). تسمح هذه اللغات للمبرمج بتحديد فاصلة عشرية ضمنية أمام أحد الأرقام. على سبيل المثال ، تمثل القيمة العشرية المعبأة المشفرة بالبايت 12 34 56 7C قيمة النقطة الثابتة +1،234.567 عندما تقع الفاصلة العشرية الضمنية بين الرقمين الرابع والخامس:

لا يتم تخزين النقطة العشرية فعليًا في الذاكرة ، نظرًا لأن تنسيق تخزين BCD المعبأ لا يوفرها. موقعه معروف ببساطة للمترجم ، ويعمل الكود الذي تم إنشاؤه وفقًا للعمليات الحسابية المختلفة.

تحرير الترميزات عالية الكثافة

إذا كان الرقم العشري يتطلب أربع بتات ، فإن ثلاثة أرقام عشرية تتطلب 12 بتًا. ومع ذلك ، نظرًا لأن 2 10 (1،024) أكبر من 10 3 (1،000) ، إذا تم ترميز ثلاثة أرقام عشرية معًا ، فستكون هناك حاجة إلى 10 بت فقط. اثنان من هذه الترميزات هي تشن هو ترميز و عدد عشري معبأ بكثافة (DPD). يتميز الأخير بميزة أن مجموعات فرعية من التشفير تقوم بتشفير رقمين في أفضل سبع بتات ورقم واحد في أربع بتات ، كما هو الحال في BCD العادي.

بعض التطبيقات ، على سبيل المثال أنظمة IBM المركزية ، تدعم عشري مقسم إلى مناطق تمثيلات رقمية. يتم تخزين كل رقم عشري في بايت واحد ، مع تشفير البتات الأربعة السفلية الرقم في شكل BCD. عادةً ما يتم تعيين البتات الأربع العلوية ، المسماة بت "المنطقة" ، على قيمة ثابتة بحيث تحتوي البايتة على قيمة حرف مطابقة للرقم. تستخدم أنظمة EBCDIC قيمة منطقة 1111 (hex F) ينتج عنها بايت في النطاق F0 إلى F9 (hex) ، وهي رموز EBCDIC للأحرف من "0" إلى "9". وبالمثل ، تستخدم أنظمة ASCII قيمة منطقة 0011 (ست عشري 3) ، مما يعطي رموز الأحرف من 30 إلى 39 (ست عشري).

بالنسبة للقيم العشرية المخصصة للمناطق الموقعة ، تحتوي شريحة المنطقة الموجودة في أقصى اليمين (الأقل أهمية) على رقم الإشارة ، وهو نفس مجموعة القيم المستخدمة للأرقام العشرية المعبأة الموقعة (انظر أعلاه). وبالتالي ، فإن القيمة العشرية المخصصة للمناطق المشفرة على أنها وحدات البايت السداسية F1 F2 D3 تمثل القيمة العشرية الموقعة −123:

تحرير جدول التحويل العشري EBCDIC

(*) ملاحظة: تختلف هذه الأحرف وفقًا لإعداد صفحة رمز الأحرف المحلية.

تعديل عشري محدد بنقطة ثابتة

تدعم بعض اللغات (مثل COBOL و PL / I) بشكل مباشر القيم العشرية المحددة بالنقاط الثابتة ، وتعيين فاصلة عشرية ضمنية في مكان ما بين الأرقام العشرية للرقم. على سبيل المثال ، بالنظر إلى قيمة عشرية موقعة من ستة بايت موقعة مع علامة عشرية ضمنية إلى يمين الرقم الرابع ، فإن البايتات السداسية F1 F2 F7 F9 F5 C0 تمثل القيمة +1،279.50:

تحرير IBM

استخدمت IBM المصطلحات رمز التبادل العشري ثنائي الترميز (BCDIC ، تسمى أحيانًا BCD) ، لـ 6 بت أبجدي رقمي الرموز التي تمثل الأرقام والأحرف الكبيرة والأحرف الخاصة. بعض الاختلافات في BCDIC الحروف الهجائية يستخدم في معظم أجهزة كمبيوتر IBM المبكرة ، بما في ذلك IBM 1620 (تم تقديمه في عام 1959) ، وسلسلة IBM 1400 ، وأعضاء العمارة غير العشرية في سلسلة IBM 700/7000.

سلسلة IBM 1400 عبارة عن أجهزة يمكن عنونة الأحرف ، حيث يتم تصنيف كل موقع بستة بتات ب ، أ ، 8 ، 4 ، 2 و 1, بالإضافة إلى بت تحقق التكافؤ الفردي (ج) وبت علامة كلمة (م). لترميز الأرقام 1 عبر 9, ب و أ هي صفر ويتم تمثيل القيمة الرقمية بواسطة 4 بت BCD القياسي بالبتات 8 عبر 1. بالنسبة لمعظم الشخصيات الأخرى بت ب و أ مشتقة ببساطة من "12" و "11" و "0" "منطقة اللكمات" في رمز حرف البطاقة المثقوبة ، والبتات 8 عبر 1 من 1 عبر 9 اللكمات. مجموعة لكمة "12 منطقة" كلاهما ب و أ، مجموعة "11 منطقة" ب، ومجموعة "0 منطقة" (لكمة 0 مدمجة مع أي منطقة أخرى) أ. هكذا الرسالة أ، الذي (12,1) في تنسيق البطاقة المثقوبة ، يتم ترميزها (ب ، أ ، 1). رمز العملة $, (11,8,3) في البطاقة المثقوبة ، تم ترميزها في الذاكرة كـ (ب ، ٨ ، ٢ ، ١). يسمح هذا للدائرة بالتحويل بين تنسيق البطاقة المثقوبة وتنسيق التخزين الداخلي لتكون بسيطة للغاية مع عدد قليل من الحالات الخاصة. حالة خاصة مهمة واحدة هي الرقم 0ويمثلها وحيد 0 لكمة في البطاقة ، و (8,2) في الذاكرة الأساسية. [43]

تم تنظيم ذاكرة IBM 1620 إلى 6 بت أرقام قابلة للعنونة ، المعتاد 8, 4, 2, 1 زائد F، تستخدم كقطعة علم و ج، بت تحقق تكافؤ فردي. بى سى دى الحروف الهجائية يتم ترميزها باستخدام أزواج من الأرقام ، مع "المنطقة" في الرقم ذو العنوان الزوجي و "الرقم" في الرقم ذو العنوان الفردي ، حيث ترتبط "المنطقة" بـ 12, 11، و 0 "منطقة اللكمات" كما في سلسلة 1400. أجهزة ترجمة الإدخال / الإخراج المحولة بين أزواج الأرقام الداخلية ورموز BCD القياسية الخارجية 6 بت.

في العمارة العشرية IBM 7070 و IBM 7072 و IBM 7074 الحروف الهجائية يتم ترميزها باستخدام أزواج أرقام (باستخدام رمزين من أصل خمسة في الأرقام ، ليس BCD) للكلمة المكونة من 10 أرقام ، مع "المنطقة" في الرقم الأيسر و "الرقم" في الرقم الأيمن. أجهزة ترجمة الإدخال / الإخراج المحولة بين أزواج الأرقام الداخلية ورموز BCD القياسية الخارجية 6 بت.

مع إدخال System / 360 ، وسعت IBM 6 بت BCD الحروف الهجائية إلى 8 بت EBCDIC ، مما يسمح بإضافة العديد من الأحرف (مثل الأحرف الصغيرة). متغير الطول معبأة BCD رقمي يتم أيضًا تنفيذ نوع البيانات ، مما يوفر إرشادات الجهاز التي تجري العمليات الحسابية مباشرة على البيانات العشرية المعبأة.

في IBM 1130 و 1800 ، يتم دعم BCD المعبأ في البرنامج بواسطة حزمة IBM التجارية الفرعية.

اليوم ، لا تزال بيانات BCD مستخدمة بكثافة في معالجات وقواعد بيانات IBM ، مثل IBM DB2 ، والحواسيب المركزية ، و Power6. في هذه المنتجات ، يتم عادةً تقسيم BCD إلى مناطق BCD (كما هو الحال في EBCDIC أو ASCII) ، أو BCD المعبأ (رقمان عشريان لكل بايت) ، أو ترميز BCD "خالص" (رقم عشري واحد مخزن على هيئة BCD في أقل أربعة بتات من كل بايت) . يتم استخدام كل هذه ضمن سجلات الأجهزة ووحدات المعالجة وفي البرامج. لتحويل الكسور العشرية المعبأة في عمليات تفريغ جدول EBCDIC إلى أرقام قابلة للقراءة ، يمكنك استخدام قناع OUTREC FIELDS لأداة JCL المساعدة DFSORT. [44]

أجهزة الكمبيوتر الأخرى تحرير

تتضمن سلسلة Digital Equipment Corporation VAX-11 تعليمات يمكنها إجراء العمليات الحسابية مباشرةً على بيانات BCD المعبأة والتحويل بين بيانات BCD المعبأة والتمثيلات الصحيحة الأخرى. [41] تنسيق BCD المعبأ الخاص بـ VAX متوافق مع ذلك الموجود على نظام IBM System / 360 والمعالجات المتوافقة مع IBM اللاحقة. أسقطت تطبيقات MicroVAX والإصدارات الأحدث VAX هذه القدرة من وحدة المعالجة المركزية ولكنها احتفظت بتوافق الكود مع الأجهزة السابقة من خلال تنفيذ التعليمات المفقودة في مكتبة البرامج التي يوفرها نظام التشغيل. يتم استدعاء هذا تلقائيًا عن طريق معالجة الاستثناءات عند مواجهة التعليمات البائدة ، بحيث يمكن تنفيذ البرامج التي تستخدمها دون تعديل على الأجهزة الأحدث.

تدعم بنية Intel x86 تنسيق BCD فريد مكون من 18 رقمًا (عشرة بايت) يمكن تحميله وتخزينه من سجلات الفاصلة العائمة ، حيث يمكن إجراء العمليات الحسابية. [45]

في أجهزة الكمبيوتر الحديثة ، يتم تنفيذ هذه الإمكانات دائمًا تقريبًا في البرامج بدلاً من مجموعة تعليمات وحدة المعالجة المركزية ، لكن البيانات الرقمية BCD لا تزال شائعة للغاية في التطبيقات التجارية والمالية. هناك حيل لتنفيذ BCD المعبأة وعمليات الجمع أو الطرح العشرية المُقسمة إلى مناطق باستخدام متواليات قصيرة ولكن يصعب فهمها من المنطق المتوازي للكلمات والعمليات الحسابية الثنائية. [47] على سبيل المثال ، الكود التالي (المكتوب في C) يحسب إضافة BCD معبأة مكونة من 8 أرقام غير موقعة باستخدام عمليات ثنائية 32 بت:

BCD شائع جدًا في الأنظمة الإلكترونية حيث يتم عرض قيمة رقمية ، خاصة في الأنظمة التي تتكون فقط من المنطق الرقمي ، ولا تحتوي على معالج دقيق. من خلال استخدام BCD ، يمكن تبسيط معالجة البيانات الرقمية للعرض بشكل كبير من خلال معالجة كل رقم كدائرة فرعية واحدة منفصلة. يتطابق هذا بشكل وثيق مع الواقع المادي لأجهزة العرض - فقد يختار المصمم استخدام سلسلة من شاشات العرض المتماثلة المنفصلة المكونة من سبعة أجزاء لبناء دائرة قياس ، على سبيل المثال. إذا تم تخزين الكمية الرقمية ومعالجتها على أنها ثنائية نقية ، فإن التفاعل مع مثل هذا العرض يتطلب دوائر معقدة. لذلك ، في الحالات التي تكون فيها الحسابات بسيطة نسبيًا ، يمكن أن يؤدي العمل مع BCD إلى نظام أبسط بشكل عام من التحويل من وإلى ثنائي. تقوم معظم حاسبات الجيب بجميع حساباتها في BCD.

تنطبق نفس الوسيطة عندما تستخدم الأجهزة من هذا النوع متحكمًا مضمنًا أو معالجًا صغيرًا آخر. في كثير من الأحيان ، يؤدي تمثيل الأرقام داخليًا بتنسيق BCD إلى رمز أصغر ، نظرًا لأن التحويل من أو إلى التمثيل الثنائي يمكن أن يكون مكلفًا على مثل هذه المعالجات المحدودة. بالنسبة لهذه التطبيقات ، تتميز بعض المعالجات الصغيرة بأوضاع حسابية مخصصة ، والتي تساعد عند كتابة إجراءات تتعامل مع كميات BCD. [48] ​​[49]

إضافة تحرير

من الممكن إجراء الإضافة عن طريق الإضافة أولاً في ثنائي ، ثم التحويل إلى BCD بعد ذلك. يمكن إجراء تحويل المجموع البسيط المكون من رقمين عن طريق إضافة 6 (أي ، 16-10) عندما يكون للنتيجة المكونة من خمس بتات لإضافة زوج من الأرقام قيمة أكبر من 9. والسبب في إضافة 6 هو وجود 16 قيمة ممكنة من 4 بتات BCD (منذ 2 4 = 16) ، ولكن 10 قيم فقط صالحة (0000 إلى 1001). على سبيل المثال:

10001 هو التمثيل الثنائي ، وليس العشري ، للنتيجة المرغوبة ، ولكن لا يمكن احتواء الرقم 1 الأكثر أهمية ("الحمل") في رقم ثنائي مكون من 4 بتات. في BCD كما هو الحال في النظام العشري ، لا يمكن أن توجد قيمة أكبر من 9 (1001) لكل رقم. لتصحيح هذا ، يضاف 6 (0110) إلى الإجمالي ، ثم يتم التعامل مع النتيجة على أنها قضمتان:

تتطابق قضمتا النتيجة ، 0001 و 0111 ، مع الأرقام "1" و "7". ينتج عن هذا "17" في BCD ، وهي النتيجة الصحيحة.

يمكن توسيع هذه التقنية لإضافة أرقام متعددة عن طريق إضافة مجموعات من اليمين إلى اليسار ، ونشر الرقم الثاني كحمل ، ودائمًا مقارنة النتيجة المكونة من 5 بت لكل مجموع زوج من الأرقام بـ 9. توفر بعض وحدات المعالجة المركزية علامة نصف حمل لتسهيل عمليات الضبط الحسابية لـ BCD بعد عمليات الجمع والطرح الثنائية.

تحرير الطرح

يتم الطرح عن طريق إضافة مكمل العشرة للمطروح إلى المطروح. لتمثيل علامة الرقم في BCD ، يتم استخدام الرقم 0000 لتمثيل رقم موجب ، و 1001 لتمثيل رقم سالب. المجموعات الـ 14 المتبقية هي علامات غير صالحة. لتوضيح طرح BCD الموقع ، ضع في اعتبارك المشكلة التالية: 357 - 432.

في BCD الموقع ، 357 هو 0000 0011 0101 0111. يمكن الحصول على تكملة العشرة 432 بأخذ مكمل التسعة 432 ، ثم إضافة واحد. لذلك ، 999 - 432 = 567 ، و 567 + 1 = 568. من خلال تسبق 568 في BCD برمز الإشارة السالب ، يمكن تمثيل الرقم −432. إذن ، −432 في BCD الموقع هو 1001 0101 0110 1000.

الآن وقد تم تمثيل كلا الرقمين في BCD الموقعة ، يمكن إضافتهما معًا:

نظرًا لأن BCD هو شكل من أشكال التمثيل العشري ، فإن العديد من مجاميع الأرقام أعلاه غير صالحة. في حالة وجود إدخال غير صالح (أي رقم BCD أكبر من 1001) ، تتم إضافة 6 لإنشاء بت حمل ويتسبب في أن يصبح المجموع إدخالًا صالحًا. لذلك ، فإن إضافة 6 إدخالات غير صالحة ينتج عنها ما يلي:

وبالتالي فإن نتيجة الطرح هي 1001 1001 0010 0101 (−925). لتأكيد النتيجة ، لاحظ أن الرقم الأول هو 9 ، وهو ما يعني سالب. يبدو أن هذا صحيح ، حيث يجب أن ينتج عن 357 - 432 رقمًا سالبًا. القضم المتبقي هو BCD ، لذلك 1001 0010 0101 هو 925. تكملة العشرة 925 هي 1000 - 925 = 75 ، لذا فإن الإجابة المحسوبة هي −75.

إذا كان هناك عدد مختلف من النبلات التي تمت إضافتها معًا (مثل 1053-2) ، فيجب أولاً أن يبدأ الرقم الذي يحتوي على عدد أقل من الأصفار قبل أخذ مكمل العشرة أو طرحه. لذلك ، مع 1053-2 ، يجب تمثيل 2 أولاً كـ 0002 في BCD ، ويجب حساب تكملة العشرة لـ 0002.

مزايا تحرير

  • العديد من القيم غير المتكاملة ، مثل القيمة العشرية 0.2 ، لها تمثيل غير محدود لقيمة المكان في ثنائي (.001100110011.) ولكن لها قيمة مكانية محدودة في نظام عشري ثنائي الترميز (0.0010). وبالتالي ، فإن النظام القائم على التمثيل الثنائي للكسور العشرية يتجنب الأخطاء في تمثيل وحساب هذه القيم. هذا مفيد في الحسابات المالية.
  • التحجيم بقوة 10 أمر بسيط. عند حد رقم عشري يكون أبسط. الجمع والطرح في النظام العشري لا يتطلب التقريب.
  • تعد محاذاة رقمين عشريين (على سبيل المثال 1.3 + 27.08) إزاحة بسيطة ودقيقة.
  • التحويل إلى نموذج حرف أو للعرض (على سبيل المثال ، إلى تنسيق مستند إلى نص مثل XML ، أو لدفع الإشارات لعرض من سبعة أجزاء) هو تعيين بسيط لكل رقم ، ويمكن إجراؤه بشكل خطي (O (ن)) زمن. يتضمن التحويل من ثنائي خالص منطقًا معقدًا نسبيًا يمتد على أرقام ، وبالنسبة للأعداد الكبيرة ، لا تُعرف خوارزمية تحويل الوقت الخطي (انظر نظام الأرقام الثنائية § التحويل من وإلى أنظمة رقمية أخرى).

عيوب تحرير

  • بعض العمليات أكثر تعقيدًا في التنفيذ. تتطلب الأفاعي منطقًا إضافيًا لجعلها تلتف وتولد حملًا مبكرًا. هناك حاجة إلى 15 إلى 20 في المائة من الدوائر الكهربائية لإضافة BCD مقارنة بالثنائي النقي. [بحاجة لمصدر] يتطلب الضرب استخدام خوارزميات أكثر تعقيدًا إلى حد ما من التحويل والقناع والإضافة (مطلوب مضاعفة ثنائية تتطلب تحولات وإضافات ثنائية أو ما يعادلها ، لكل رقم أو مجموعة من الأرقام).
  • يتطلب معيار BCD أربعة بتات لكل رقم ، ما يقرب من 20 في المائة مساحة أكبر من التشفير الثنائي (نسبة 4 بت إلى السجل210 بت هي 1.204). عند تعبئتها بحيث يتم تشفير ثلاثة أرقام في عشر بتات ، يتم تقليل عبء التخزين بشكل كبير ، على حساب الترميز غير المحاذي لحدود 8 بت الشائعة في الأجهزة الموجودة ، مما يؤدي إلى إبطاء عمليات التنفيذ على هذه الأنظمة.
  • عادةً ما تكون عمليات التنفيذ العملية الحالية لـ BCD أبطأ من العمليات على التمثيلات الثنائية ، خاصة على الأنظمة المضمنة ، بسبب دعم المعالج المحدود لعمليات BCD الأصلية. [50]

توجد تطبيقات مختلفة لـ BCD تستخدم تمثيلات أخرى للأرقام. الآلات الحاسبة القابلة للبرمجة التي تصنعها شركة Texas Instruments و Hewlett-Packard وغيرها تستخدم عادةً تنسيق BCD ذي النقطة العائمة ، عادةً مع رقمين أو ثلاثة أرقام للأس (العشرية). يمكن استخدام البتات الإضافية من رقم الإشارة للإشارة إلى القيم الرقمية الخاصة ، مثل اللانهاية ، والتدفق السفلي / الفائض ، والخطأ (عرض وامض).

التنويعات الموقعة تحرير

يمكن تمثيل القيم العشرية الموقعة بعدة طرق. لغة برمجة COBOL ، على سبيل المثال ، تدعم خمسة تنسيقات عشرية مقسمة إلى مناطق ، حيث يقوم كل منها بترميز العلامة الرقمية بطريقة مختلفة:

يكتب وصف مثال
غير موقع لا توجد علامة عاب F1 F2 F3
زائدة موقعة (تنسيق متعارف عليه) وقع عاب في البايت الأخير (الأقل أهمية) F1 F2 ج3
قيادة موقعة (زيادة في الضغط) قم بالتسجيل في البايت الأول (الأكثر أهمية) ج1 F2 F3
توقيع زائدة منفصلة بايت حرف تسجيل منفصل ("+" أو "-") يتبع وحدات البايت الرقمية F1 F2 F3 2 ب
توقيع بادئة منفصلة بايت حرف تسجيل منفصل ("+" أو "-") يسبق وحدات البايت الرقمية 2 ب F1 F2 F3

تحرير الهتفية الثنائية ذات الترميز العشري (TBCD)

3GPP المتقدمة TBCD، [51] توسيع إلى BCD حيث تُستخدم مجموعات البت المتبقية (غير المستخدمة) لإضافة أحرف هاتفية معينة ، [52] [53] بأرقام مماثلة لتلك الموجودة في التصميم الأصلي للوحات مفاتيح الهاتف.

عدد عشري
رقم
TBCD
8 4 2 1
* 1 0 1 0
# 1 0 1 1
أ 1 1 0 0
ب 1 1 0 1
ج 1 1 1 0
تستخدم كحشو عندما يكون هناك عدد فردي من الأرقام 1 1 1 1

تحدد وثيقة 3GPP المذكورة TBCD-STRING مع يقضم مبادلة في كل بايت. بتات ، ثماني بتات وأرقام مفهرسة من 1 ، بتات من اليمين ، أرقام وثماني بتات من اليسار.

8765 بتات من ثماني بتات ن رقم الترميز 2ن

بت 4321 ثماني بت ن رقم الترميز 2 (ن – 1) + 1

المعنى رقم 1234 ، سيصبح 21 43 في TBCD.

إذا كانت الأخطاء في التمثيل والحساب أكثر أهمية من سرعة التحويل من العرض وإليه ، فيمكن استخدام تمثيل ثنائي متدرج ، والذي يخزن عددًا عشريًا كعدد صحيح ثنائي الترميز وأسس عشري موقعة ثنائي. على سبيل المثال ، يمكن تمثيل 0.2 كـ 2 × 10 - 1.

يسمح هذا التمثيل بالضرب والقسمة بسرعة ، ولكن قد يتطلب التبديل بقوة 10 أثناء الجمع والطرح لمحاذاة النقاط العشرية. إنه مناسب للتطبيقات ذات عدد ثابت من المنازل العشرية التي لا تتطلب هذا التعديل بعد ذلك - خاصةً التطبيقات المالية حيث يكون 2 أو 4 أرقام بعد الفاصلة العشرية كافية عادةً. في الواقع ، هذا شكل من أشكال حساب النقطة الثابتة تقريبًا حيث أن موضع نقطة الجذر ضمني.

يوفر ترميز Hertz و Chen-Ho تحويلات منطقية لتحويل مجموعات من ثلاثة أرقام مشفرة BCD إلى ومن قيم 10 بت [nb 1] التي يمكن تشفيرها بكفاءة في الأجهزة مع تأخيرات بوابة 2 أو 3 فقط. النظام العشري المعبأ بكثافة (DPD) هو مخطط مشابه [nb 1] يستخدم لمعظم الدلالات ، باستثناء رقم الرصاص ، لأحد الترميزين العشريين البديلين المحددين في معيار الفاصلة العائمة IEEE 754-2008.

يخزن BIOS في العديد من أجهزة الكمبيوتر الشخصية التاريخ والوقت في BCD لأن شريحة ساعة الوقت الحقيقي MC6818 المستخدمة في اللوحة الأم IBM PC AT الأصلية توفر الوقت المشفر في BCD. يتم تحويل هذا النموذج بسهولة إلى ASCII للعرض. [54] [55]

استخدمت عائلة أجهزة الكمبيوتر Atari 8 بت BCD لتنفيذ خوارزميات النقطة العائمة. يحتوي معالج MOS 6502 على وضع BCD يؤثر على تعليمات الجمع والطرح. كما استخدم برنامج Psion Organizer 1 للكمبيوتر المحمول باليد من الشركة المصنعة BCD بالكامل لتطبيق النقطة العائمة لاحقًا ، استخدمت نماذج Psion النظام الثنائي حصريًا.

تخزن النماذج المبكرة من PlayStation 3 التاريخ والوقت في BCD. أدى ذلك إلى انقطاع تشغيل وحدة التحكم في جميع أنحاء العالم في 1 مارس 2010. تم إساءة تفسير آخر رقمين من العام تم تخزينهما على هيئة BCD على أنهما 16 مما تسبب في حدوث خطأ في تاريخ الوحدة ، مما يجعل معظم الوظائف غير قابلة للتشغيل. تمت الإشارة إلى هذا بمشكلة عام 2010.


مقدمة في الكسور العشرية

png ، 91.64 كيلوبايت

حدد "عرض المزيد" لمقطع فيديو مصاحب.

إن تمكين المعلمين من التطوير المستمر لممارساتهم هو عنصر أساسي في برنامج إتقان الرياضيات.

يوفر فيديو CPD هذا إرشادات خطوة بخطوة حول مقدمة الكسور العشرية.

• تقديم نصائح وتقنيات تعليمية نموذجية وتوضيح كيفية إقامة روابط بين التمثيلات الملموسة والمصورة والمجردة
• دعم تدريس الأساليب والمفاهيم المختلفة بدلاً من التركيز على طريقة واحدة فقط
• تعزيز المعرفة بالموضوع ودعم غير المتخصصين

إتقان الرياضيات هو برنامج تطوير مهني للمعلمين مهمته تحويل تعليم الرياضيات في المملكة المتحدة.

هذه المهمة هي مجرد ذوق من موارد الفصول الدراسية الكاملة التي نقدمها. نحن نقدم أيضًا تدريبًا متعمقًا للتطوير ، و CPD عبر الإنترنت ، ودعم متخصص وأدوات التقييم.

نعتقد أن جميع عناصر برنامجنا حيوية في إحداث تغيير دائم - تمكين كل طفل من الاستمتاع بالرياضيات والنجاح فيها.

تريد معرفة المزيد؟ تحقق من مواردنا ومدوناتنا المجانية أو انضم إلى جلسة معلومات.


مسافات في حقل معبأ

لقد رأينا بعض الحالات حيث قد يحتوي الحقل المعبأ على مساحات. يجب اعتبار هذا ممارسة برمجة سيئة. يجب تجنب وجود قيم غير رقمية في حقل رقمي. يجب تصحيح العملية التي تسببت في وضع قيم غير رقمية في حقل رقمي. عند تحويل البيانات بين EBCDIC و ASCII ، فإن هذا يمثل مجهودًا إضافيًا للتعامل مع الموقف.

يمكن أن يكون حرف المسافة (hex 40 لـ EBCDIC أو hex 20 لـ ASCII) إدخالًا رقميًا صالحًا في حقل معبأ في جميع مواضع الحقل باستثناء مواضع الوحدات. سيكون من المعقول افتراض أنه إذا كان موضع الوحدات للحقل المعبأ عبارة عن حرف مسافة وكانت جميع المواضع الأخرى عبارة عن أحرف مسافة ، فيجب تحويل قيم مسافة الحقل المعبأة بين EBCDIC و ASCII.

بالنسبة للحقول الرقمية باستخدام USAGE IS COMP-3 (أي الحقول المعبأة) ، لا يقوم رمز التحويل الذي تم إنشاؤه بواسطة SimoTime بأي تحويل. هذا هو السلوك الافتراضي. ومع ذلك ، نظرًا لوجود الموقف ، فإن تقنية SimoTime لديها خيار تكوين لإنشاء رمز تحويل يقوم بتحليل الحقل المعبأ وتحويل قيم المسافة بين EBCDIC و ASCII أو لتهيئة الحقل المعبأ بقيمة صفرية.

ما يلي هو نموذج التعليمات البرمجية التي ستختبر حقل معبأ لقيم SPACE ثم تحويل قيم EBCDIC SPACE إلى قيم ASCII SPACE.

ما يلي هو نموذج التعليمات البرمجية التي ستختبر حقل معبأ لقيم SPACE ثم تهيئة الحقل المحزم إلى قيم صفرية.

عند محاولة إجراء عملية حسابية على حقل معبأ يحتوي على قيمة غير رقمية أو علامة غير صالحة ، فإن العملية سوف تنحرف مع فحص برنامج S0C7 على نظام Mainframe. ستنتهي العملية مع ظهور خطأ 163 RTS في نظام Micro Focus.

تتم إدارة هذا الشرط على نظام Mainframe المشفر EBCDIC باستخدام خيار مترجم NUMPROC (NOPFD) الذي يقبل الإشارة غير الصالحة ويعامل أحرف المسافة (x'40 ') على أنها أصفار. لا يُصلح هذا النهج المشكلة ، فهو ببساطة يتسامح مع الحالة أثناء تقديم تحديات إضافية لتحويل البيانات وجهود التحقق من الصحة.

بالنسبة للملفات التي تحتوي على سجلات ذات حقول معبأة أو ثنائية ، يتم تحويل بيانات EBCDIC إلى ASCII على مستوى الحقل. نظرًا لأن الحقول المعبأة والثنائية لها بنية بت فريدة (أي لا EBCDIC أو ASCII) فإنها تُترك في هيكلها الحالي. لذلك ، سيحتوي الحقل المعبأ الذي يحتوي على جميع أحرف x'40 'على جميع أحرف x'40' بعد تحويل السجل.

هنا يكمن التحدي ، حرف x'40 'هو حرف مسافة على نظام Mainframe المشفر EBCDIC ولكنه ليس حرف مسافة في بيئة مكونة من ASCII.

في بيئة Micro Focus التي تم تكوينها بواسطة ASCII ، يمكن إدارة المساحات الموجودة في حقل رقمي معبأ باستخدام توجيه برنامج التحويل البرمجي SIGN-FIXUP. يوفر هذا التوجيه محاكاة محدودة لـ NUMPROC (NOPFD) عند استخدامه مع HOSTNUMMOVE HOSTNUMCOMPARE.

ومع ذلك ، نظرًا لأن قيمة x'40 'ليست حرف مسافة في بيئة ASCII وهي قيمة رقمية صالحة في حقل معبأ ، فإنها ستنتج إجماليات غير صحيحة عند استخدامها في عملية حسابية. لذلك ، يجب تغيير قيم x'40 'كحد أدنى إلى مسافة ASCII أو حرف x'20'.

ملاحظة: يجب معالجة العملية التي تؤدي إلى احتواء الحقول المحزومة على أحرف المسافات. تمنع خيارات المحول البرمجي ABEND فقط ولكنها قد تؤدي إلى نتائج غير صحيحة عند استخدامها في المعالجة الحسابية.

سيوفر الرابط التالي مزيدًا من التفاصيل حول توجيهات المترجم ومعالجة الحقول الرقمية.

استكشف توجيهات المترجم المتاحة لتقنيات Micro Focus COBOL.

اكتشف كيفية معالجة القيم غير الرقمية المخزنة بتنسيق Packed-Decimal. سيستخدم هذا المستند أمثلة لإظهار كيفية إدارة الموقف حيث يتم وضع القيم غير الرقمية (مثل أحرف المسافة) في حقل Packed-Decimal ثم تتم إدارته لتجنب رسالة خطأ S0C7 أو RTS 163 وإنهاء غير طبيعي للبرنامج .


مشاكل الاستخراج عبر الهاتف المحمول

بريت شيفرز ، جون باير ، في الاختباء خلف لوحة المفاتيح ، 2016

التشفير

الآن بعد أن تناولنا الموقع الذي قد تتواجد فيه بيانات المستخدم ، ما هي المشكلات التي يمكن توقعها عندما نحدد موقع البيانات بالفعل؟ على عكس الطب الشرعي للكمبيوتر الذي يحتوي عمومًا على طرق محددة يمكن من خلالها تفسير الترميز ، يمكن أن يختلف ترميز الجهاز المحمول. يتضمن هذا أيضًا التاريخ والأوقات التي سنتناولها لاحقًا في هذا الفصل.

البيانات التي يتم استردادها من خلال الاستحواذ المادي ستحتاج في بعض الأحيان إلى فك تشفيرها. كما تمت الإشارة سابقًا ، قد توجد البيانات في الذاكرة المادية للأجهزة ، أو مواقع البرامج مثل قواعد بيانات SQLite المذكورة سابقًا. فيما يلي أنواع الترميز الشائعة التي سيتم العثور عليها.

الكود القياسي الأمريكي لتبادل المعلومات (ASCII)

وحدة وصف بروتوكول GSM 7 بت (PDU)

الثنائية

أدنى مستوى من التشفير هو ثنائي. ستحتوي الأجهزة المحمولة مثل أجهزة الكمبيوتر على وحدات بت إما "1" أو "0". هذا يمثل ما إذا كان البت في وضع التشغيل أو الإيقاف. 1 يعني أن البت قيد التشغيل بينما 0 مغلق. إجمالي 8 بت يساوي 1 بايت.

ثنائي إلى عشري

يمكن تحويل القيمة الثنائية إلى قيمة عشرية ، يمكن أن يحتوي إجمالي 8 بتات في البايت على قيمة إذا كانت قيد التشغيل أو الإيقاف. إذا كانت جميع وحدات البت تعمل (في الموضع 1) ، فإن القيمة الإجمالية ستكون 255. الشكل 4.8 هو مثال للتحويل الثنائي إلى العشري في البايت.

الشكل 4.8. (1) مثال تحويل بايت ثنائي إلى عشري.

يمكن أن تمثل الأرقام الثنائية الأحرف والأحرف. يمكن أن توفر مخططات ASCII القياسية القيم التي تم فك تشفيرها دون الحاجة إلى إخفاءها يدويًا. من المهم أن نفهم أن الثنائي هو أحد أنواع الترميز الأساسية ، ومعرفة كيفية التحويل يدويا يمكن أن تساعد في التحقق من الصحة.

السداسي عشري

أربعة (4) أرقام ثنائية تمثل سداسي عشري. تُعرف هذه الأرقام الثنائية الأربعة باسم "nibble". اثنان يقضم يساوي بايت. هذا يساوي ثمانية أرقام ثنائية. يوضح الشكل 4.9 قضمتان تمثلان قيمة بايت واحد. يمكن أن تمثل القيم الثنائية أيضًا كلاً من الأحرف والأرقام. يمثل الشكل 4.10 القيمة الثنائية للحرف "B" ويظهر أيضًا تفصيل قيم nibble لنفس القيمة التي تمثل الرقم 42.

الشكل 4.9. عاب إلى مثال قيمة بايت.

الشكل 4.10. ثنائي إلى حرف ، مثال على رقم Nibble.

الكود القياسي الأمريكي لتبادل المعلومات

يمكن أن تعكس جداول ASCII جميع الرموز الـ 256 (0-255). سيكون هناك 95 رمز قابل للطباعة. 52 هي رموز اللغة الإنجليزية الأمريكية مع 26 حرفًا صغيرًا و 26 حرفًا كبيرًا. الرموز المتبقية تمثل الرموز من القيم العشرية 128 العشرية. يشار إلى هذا عادة إلى الجدول الموسع. الجدول الأكثر شيوعًا هو ISO 8859-1 والذي يسمى أيضًا ISO Latin-1. يوضح الشكل 4.11 أحد رموز ASCII إلى مثال على جدول ثنائي. الشكل 4.12 هو مثال لمثال قياسي على حرف ASCII العشري - السداسي العشري. هذان مجرد مثالين ولا يتضمنان قيمًا من جدول ASCII الممتد.

الشكل 4.11. حرف ثنائي.

الشكل 4.12. عشري / سداسي عشري / حرف.

يونيكود

نوع آخر من الترميز قد يراه الفاحصون يسمى Unicode. لغات أخرى غير الإنجليزية اقتصرت على 256 كود ASCII. لا يمكن أن تتناسب مع هذه المساحة المحدودة وأنشأ المطورون Unicode. يؤدي هذا إلى إنشاء رقم 2 بايت لكل حرف ، بغض النظر عن اللغة المستخدمة. باستخدام 16 بت (2 بايت) ، يمكن تعريف 65.536 حرفًا ، بينما كان هناك 256 احتمالًا ممكنًا باستخدام 8 بت (1 بايت). تتمثل إحدى طرق التعرف على Unicode بسرعة في البحث عن المساحة المتروكة 00 بين وحدات البايت. الشكل 4.13 مثال على Unicode.

الشكل 4.13. مثال يونيكود.

كبير وصغير Endian

ترتبط التنسيقات الإضافية المسماة Big Endian (BE) و Little Endian (LE) بكيفية تشفير البيانات. كلاهما يشير إلى ترتيب بايت محدد. BE هو البايت الأكثر أهمية في البداية بينما يشير LE إلى البايت الأقل أهمية أولاً. كلاهما يقرأ من اليسار إلى اليمين. يمكن أن يحتوي Unicode أيضًا على طلب BE أو LE بايت. الشكل 4.14 مثال على النظام السداسي عشري القياسي و Unicode.

الشكل 4.14. أمثلة Endian كبيرة / صغيرة (مع Unicode).

عاكسة عاب

يُستخدم عكس Nibble لوصف القيم التي يجب تبديلها من أجل فك تشفيرها. يمكن العثور على هذا النوع من الترميز بشكل شائع في أنظمة الملفات المحمولة وهو أكثر انتشارًا مع مرور الوقت في بعض الطوابع. سنناقش بمزيد من التفصيل حول الطوابع الزمنية ، ولكن في الوقت الحالي ، يعتبر الشكل 4.15 مثالاً لتوضيح قيمة عكسية مضغوطة من هاتف Samsung GSM.

الشكل 4.15. ختم التاريخ والوقت المعكوس بستة بايت Nibble.

وحدة وصف بروتوكول خدمة الرسائل القصيرة ذات السبع بتات

وحدة وصف بروتوكول خدمة الرسائل القصيرة (SMS PDU) هي ميزة رسائل تستخدم 7 بتات لكل حرف مقارنة بـ 8 بت لكل حرف في الرسائل التقليدية. تسمح هذه الكفاءة باحتواء 160 حرفًا في 140 بايت. هذا يوفر مساحة أثناء إرسال واستقبال الرسائل النصية.

عند إرسال رسالة نصية قصيرة ، يجب أن يتم التشفير وفك التشفير. يستخدم وضع PDU ثلاثة أنواع بيانات خاصة: ctet ، و sem-octet ، و septet. يستخدم PDU 7 بت حاجز 7 بت الذي يجب تحويله إلى سلسلة الثمانيات لنقلها عبر الشبكة.

الشكل 4.16 هو مثال على التمثيل الثنائي إلى الأقل للحرف للكلمتين: "مرحبًا". يعرض الجدول الحرف الصغير في الأعلى ، والنسخة العشرية للحرف في المنتصف ، متبوعة بالأسفل بالحرف العشري المكون من 7 بتات.

الشكل 4.16. مثال لخدمة الرسائل القصيرة الحاجز 7 بت.

هذه الرسالة (أهلا أهلا) يتكون من 10 أحرف ، تسمى septets عند تمثيلها بـ 7 بتات لكل منها. لتسليم الرسائل القصيرة ، يجب تحويل هذه الأكياس إلى ثماني بتات 8 بت للنقل. يحدث هذا عن طريق إضافة الجزء الأيمن من الحاجز الثاني. يتم إدخال هذا البت في الحاجز الأول ، 1 + 1101000 = 11101000 (E8). ثم يتم استهلاك الجزء الأيمن من الحرف الثاني ، لذا يحتاج الحرف الثاني إلى 2 بت من الحرف الثالث لعمل ثماني بتات 8 بت. تستمر هذه العملية حتى تكتمل السلسلة بأكملها وفي حالة هذا المثال ، تم تركيب العشر فواصل في 9 ثماني بتات. يوضح الشكل 4.17 مثال الرسائل القصيرة hellohello septet 7 بت التي يتم تحويلها إلى ثماني بتات 8 بت.

الشكل 4.17. تحويل الحاجز 7 بت إلى ثماني بتات 8 بت.

ستحتوي رسالة PDU المكتملة المكونة من 7 بتات بشكل عام على سلسلة SMS وختم زمني والأرقام المضمنة في الرسالة. إذا أخذنا محتوى سلسلة PDU فقط ، "أين دفنت الجثة؟" ستبدو هذه الجملة كما يلي: 00110000910000FF1C5774595E0691D36450FE5D0789EBF23C888E2E83C46F72FE07.


أرقام ثنائية غير موقعة هي ، بحكم تعريفها ، أرقام موجبة وبالتالي لا تتطلب علامة حسابية. ان ميمثل الرقم غير الموضح من بت جميع الأرقام في النطاق من 0 إلى 2 م - 1. على سبيل المثال ، يتراوح نطاق الأرقام الثنائية غير الموقعة المكونة من 8 بتات من 0 إلى 25510 في النظام العشري ومن 00 إلى FF16 بالنظام الست عشري. وبالمثل ، يتراوح نطاق الأرقام الثنائية غير الموقعة ذات 16 بت من 0 إلى 6553510 في النظام العشري ومن 0000 إلى FFFF16 بالنظام الست عشري.

أرقام موقعة، من ناحية أخرى ، تتطلب علامة حسابية. يتم استخدام البت الأكثر أهمية في الرقم الثنائي لتمثيل بت الإشارة. إذا كانت بت الإشارة تساوي صفرًا ، فإن الرقم الثنائي الموقّع يكون موجبًا ، وإلا فسيكون سالبًا. تمثل البتات المتبقية العدد الفعلي. هناك ثلاث طرق لتمثيل الأعداد السالبة.

2.5.1 تمثيل حجم الإشارة

في طريقة تمثيل حجم الإشارة ، يتم تمثيل الرقم في شكله الثنائي. تمثل البتة الأكثر أهمية (MSB) لافتة. يشير 1 في موضع بت MSB إلى رقم سالب يشير 0 إلى رقم موجب. المتبقي ن يتم الاحتفاظ بـ1 بت وتمثل الحجم من العدد. توضح الأمثلة التالية تمثيل حجم الإشارة:

2.5.2 التمثيل المكمل للفرد

في شكل المكمل الفردي ، يمثل MSB العلامة. يتم عكس البتات المتبقية للأرقام السالبة فقط. يتم تمثيل الأرقام الموجبة.

يحصل مقدمة في الأنظمة الرقمية: النمذجة والتوليف والمحاكاة باستخدام VHDL الآن مع التعلم عبر الإنترنت O’Reilly.

يتمتع أعضاء O’Reilly بتدريب مباشر عبر الإنترنت ، بالإضافة إلى الكتب ومقاطع الفيديو والمحتوى الرقمي من أكثر من 200 ناشر.


شاهد الفيديو: ضرب الكسور العشرية في أعداد كلية الصف السادس (ديسمبر 2021).