مقالات

21.6: حل أنظمة المعادلات باستخدام المصفوفات - الرياضيات


أهداف التعلم

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • اكتب المصفوفة المعززة لنظام المعادلات
  • استخدم عمليات الصفوف في المصفوفة
  • حل أنظمة المعادلات باستخدام المصفوفات

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. حل: (3 (x + 2) + 4 = 4 (2x − 1) +9 ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].
  2. حل: (0.25p + 0.25 (x + 4) = 5.20 ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].
  3. أوجد عندما (x = −2 ) و (y = 3: 2x ^ 2 − xy + 3y ^ 2 ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].

اكتب المصفوفة المعززة لنظام المعادلات

يمكن أن يكون حل نظام المعادلات عملية شاقة حيث يمكن لخطأ بسيط أن يتسبب في الخراب في إيجاد الحل. هناك طريقة بديلة تستخدم الإجراءات الأساسية للحذف ولكن مع تدوين أبسط متاح. تتضمن الطريقة استخدام ملف مصفوفة. المصفوفة هي مجموعة مستطيلة من الأرقام مرتبة في صفوف وأعمدة.

مصفوفة

أ مصفوفة هي مجموعة مستطيلة من الأرقام مرتبة في صفوف وأعمدة.

مصفوفة مع م من الصفوف و ن الأعمدة لها ترتيب (م مرات n ). تحتوي المصفوفة الموجودة على اليسار أدناه على صفين و 3 أعمدة وبالتالي فهي تحتوي على ترتيب (2 مرات 3 ). نقول إنها مصفوفة 2 × 3.

كل رقم في المصفوفة يسمى عنصر أو إدخال في المصفوفة.

سنستخدم مصفوفة لتمثيل نظام المعادلات الخطية. نكتب كل معادلة في الصورة القياسية وتصبح معاملات المتغيرات وثابت كل معادلة صفًا في المصفوفة. سيكون كل عمود إذن معاملات أحد المتغيرات في النظام أو الثوابت. يحل الخط العمودي محل علامات التساوي. نسمي المصفوفة الناتجة المصفوفة المعززة لنظام المعادلات.

لاحظ أن العمود الأول يتكون من جميع معاملات x، العمود الثاني هو جميع معاملات ذ، والعمود الثالث هو كل الثوابت.

مثال ( PageIndex {1} )

ⓐ ( left { start {array} {l} 5x − 3y = −1 y = 2x − 2 end {array} right. ) ⓑ ( left { begin {array} {l} 6x − 5y + 2z = 3 2x + y − 4z = 5 3x − 3y + z = −1 end {array} right. )

إجابه

المعادلة الثانية ليست في الشكل القياسي. نعيد كتابة المعادلة الثانية في الصورة القياسية.

[ start {align} y = 2x − 2 −2x + y = −2 end {align} nonumber ]

نستبدل المعادلة الثانية بشكلها القياسي. في المصفوفة المعززة ، تعطينا المعادلة الأولى الصف الأول وتعطينا المعادلة الثانية الصف الثاني. يحل الخط العمودي محل علامات التساوي.

ⓑ جميع المعادلات الثلاث في شكل قياسي. في المصفوفة المعززة ، تعطينا المعادلة الأولى الصف الأول ، وتعطينا المعادلة الثانية الصف الثاني ، وتعطينا المعادلة الثالثة الصف الثالث. يحل الخط العمودي محل علامات التساوي.

مثال ( PageIndex {2} )

اكتب كل نظام من المعادلات الخطية كمصفوفة مكثفة:

ⓐ ( left { start {array} {l} 3x + 8y = −3 2x = −5y − 3 end {array} right. ) ⓑ ( left { begin {array) } {l} 2x − 5y + 3z = 8 3x − y + 4z = 7 x + 3y + 2z = −3 end {array} right. )

إجابه

ⓐ ( left [ start {matrix} 3 & 8 & -3 2 & 5 & −3 end {matrix} right] )

ⓑ ( left [ start {matrix} 2 & 3 & 1 & −5 ​​−1 & 3 & 3 & 4 2 & 8 & 7 & −3 end {matrix} right] )

مثال ( PageIndex {3} )

اكتب كل نظام من المعادلات الخطية كمصفوفة مكثفة:

ⓐ ( left { start {array} {l} 11x = −9y − 5 7x + 5y = −1 end {array} right. ) ⓑ ( left { begin {array) } {l} 5x − 3y + 2z = −5 ​​2x − y − z = 4 3x − 2y + 2z = −7 end {array} right. )

إجابه

ⓐ ( left [ start {matrix} 11 & 9 & −5 ​​7 & 5 & −1 end {matrix} right] )
ⓑ ( left [ begin {matrix} 5 & −3 & 2 & −5 ​​2 & −1 & −1 & 4 3 & −2 & 2 & −7 end {matrix} right] )

من المهم عندما نحل أنظمة المعادلات باستخدام المصفوفات حتى نتمكن من الانتقال ذهابًا وإيابًا بين النظام والمصفوفة. يطلب المثال التالي منا أن نأخذ المعلومات الموجودة في المصفوفة ونكتب نظام المعادلات.

مثال ( PageIndex {4} )

اكتب نظام المعادلات الذي يتوافق مع المصفوفة المعززة:

( left [ start {array} {ccc | c} 4 & −3 & 3 & −1 1 & 2 & −1 & 2 −2 & −1 & 3 & −4 end {array} right] ).

إجابه

نتذكر أن كل صف يتوافق مع معادلة وأن كل إدخال هو معامل متغير أو ثابت. يحل الخط العمودي محل علامة التساوي. نظرًا لأن هذه المصفوفة (4 مرات 3 ) ، فإننا نعلم أنها ستترجم إلى نظام من ثلاث معادلات بثلاثة متغيرات.

مثال ( PageIndex {5} )

اكتب نظام المعادلات التي تتوافق مع المصفوفة المعززة: ( left [ begin {matrix} 1 & −1 & 2 & 3 2 & 1 & −2 & 1 4 & −1 & 2 & 0 end {matrix} حق] ).

إجابه

( left { start {array} {l} x − y + 2z = 3 2x + y − 2z = 1 4x − y + 2z = 0 end {array} right. )

مثال ( PageIndex {6} )

اكتب نظام المعادلات التي تتوافق مع المصفوفة المعززة: ( left [ begin {matrix} 1 & 1 & 1 & 4 2 & 3 & −1 & 8 1 & 1 & −1 & 3 end {matrix} right] ).

إجابه

( left { start {array} {l} x + y + z = 4 2x + 3y − z = 8 x + y − z = 3 end {array} right. )

استخدم عمليات الصف في المصفوفة

بمجرد أن يصبح نظام المعادلات في شكل المصفوفة المعززة ، سنجري العمليات على الصفوف التي ستقودنا إلى الحل.

للحل عن طريق الحذف ، لا يهم أي ترتيب نضع المعادلات في النظام. وبالمثل ، في المصفوفة يمكننا تبادل الصفوف.

عندما نحل بالحذف ، فإننا غالبًا ما نضرب إحدى المعادلات في ثابت. نظرًا لأن كل صف يمثل معادلة ، ويمكننا ضرب كل جانب من جوانب المعادلة في ثابت ، وبالمثل يمكننا ضرب كل إدخال في صف بأي رقم حقيقي باستثناء 0.

في الحذف ، غالبًا ما نضيف مضاعفات صف واحد إلى صف آخر. في المصفوفة ، يمكننا استبدال صف بمجموعه بمضاعفات صف آخر.

تسمى هذه الإجراءات عمليات الصف وستساعدنا في استخدام المصفوفة لحل نظام المعادلات.

عمليات الصف

في المصفوفة ، يمكن إجراء العمليات التالية على أي صف وستكون المصفوفة الناتجة معادلة للمصفوفة الأصلية.

  1. استبدل أي صفين.
  2. اضرب صفًا بأي عدد حقيقي باستثناء 0.
  3. أضف مضاعفات غير صفرية لصف واحد إلى صف آخر.

من السهل إجراء هذه العمليات ولكن كل العمليات الحسابية يمكن أن تؤدي إلى حدوث خطأ. إذا استخدمنا نظامًا لتسجيل عملية الصف في كل خطوة ، فسيكون من الأسهل بكثير العودة والتحقق من عملنا.

نستخدم الأحرف الكبيرة مع الأحرف المنخفضة لتمثيل كل صف. ثم نعرض العملية على يسار المصفوفة الجديدة. لإظهار تبادل الصف:

لضرب الصف 2 في (- 3 ):

لضرب الصف 2 في (- 3 ) وإضافته إلى الصف 1:

مثال ( PageIndex {7} )

قم بإجراء العمليات المشار إليها على المصفوفة المعززة:

ⓐ تبادل الصفوف 2 و 3.

ⓑ اضرب الصف 2 ب 5.

ⓒ اضرب الصف 3 ب −2−2 وأضف الصف 1.

( left [ start {array} {ccc | c} 6 & −5 & 2 & 3 2 & 1 & −4 & 5 3 & −3 & 1 & −1 end {array} right] )

إجابه

ⓐ نتبادل الصفوف 2 و 3.

ⓑ نضرب الصف 2 في 5.

ⓒ نضرب الصف 3 في (- 2 ) ونضيفه إلى الصف 1.

مثال ( PageIndex {8} )

قم بإجراء العمليات المشار إليها على المصفوفة المعززة:

ⓐ تبادل الصفوف 1 و 3.

ⓑ اضرب الصف 3 ب 3.

ⓒ اضرب الصف 3 في 2 وأضف الصف 2.

( left [ begin {array} {ccc | c} 5 & −2 & -2 & -2 4 & -1 & −4 & 4 -2 & 3 & 0 & −1 end {array} حق] )

إجابه

ⓐ ( left [ start {matrix} −2 & 3 & 0 & −2 4 & −1 & −4 & 4 5 & −2 & −2 & −2 end {matrix} right] )

ⓑ ( left [ begin {matrix} −2 & 3 & 0 & −2 4 & −1 & −4 & 4 15 & −6 & −6 & −6 end {matrix} right] )

ⓒ ( left [ begin {matrix} -2 & 3 & 0 & 2 & 3 & 4 & -13 & -16 & -8 15 & -6 & -6 & -6 & end {matrix} right ] )

مثال ( PageIndex {9} )

قم بإجراء العمليات المشار إليها على المصفوفة المعززة:

ⓐ تبادل الصفوف 1 و 2 ،

ⓑ اضرب الصف 1 في 2 ،

ⓒ اضرب الصف 2 في 3 وأضف الصف 1.

( left [ start {array} {ccc | c} 2 & −3 & −2 & −4 4 & 1 & −3 & 2 5 & 0 & 4 & −1 end {array} right] )

إجابه

ⓐ ( left [ start {matrix} 4 & 1 & −3 & 2 2 & −3 & −2 & −4 5 & 0 & 4 & −1 end {matrix} right] )
ⓑ ( left [ start {matrix} 8 & 2 & −6 & 4 2 & −3 & −2 & −4 5 & 0 & 4 & −1 end {matrix} right] )
ⓒ ( left [ start {matrix} 14 & −7 & −12 & −8 2 & −3 & −2 & −4 5 & 0 & 4 & −1 end {matrix} right] )

الآن وقد تدربنا على عمليات الصف ، سننظر إلى مصفوفة مكثفة ونكتشف العملية التي سنستخدمها للوصول إلى الهدف. هذا بالضبط ما فعلناه عندما قمنا بالإقصاء. قررنا العدد الذي نضرب فيه صفًا حتى يتم حذف المتغير عندما أضفنا الصفوف معًا.

بالنظر إلى هذا النظام ، ما الذي ستفعله للتخلص منه x?

هذا المثال التالي يفعل نفس الشيء بشكل أساسي ، لكن للمصفوفة.

مثال ( PageIndex {10} )

نفذ عملية الصف المطلوبة التي ستجعل الإدخال الأول في الصف 2 صفرًا في المصفوفة المعززة: ( left [ begin {array} {cc | c} 1 & −1 & 2 4 & −8 & 0 نهاية {مجموعة} يمين] )

إجابه

لجعل 4 أ 0 ، يمكننا ضرب الصف 1 في (- 4 ) ثم إضافته إلى الصف 2.

مثال ( PageIndex {11} )

نفذ عملية الصف المطلوبة التي ستجعل الإدخال الأول في الصف 2 صفرًا في المصفوفة المعززة: ( left [ begin {array} {cc | c} 1 & −1 & 2 3 & −6 & 2 نهاية {مجموعة} يمين] )

إجابه

( left [ start {matrix} 1 & −1 & 2 0 & −3 & −4 end {matrix} right] )

مثال ( PageIndex {12} )

نفّذ عملية الصف المطلوبة التي ستجعل الإدخال الأول في الصف 2 صفرًا في المصفوفة المعززة: ( left [ begin {array} {cc | c} 1 & −1 & 3 -2 & −3 & 2 نهاية {مجموعة} يمين] )

إجابه

( left [ start {matrix} 1 & −1 & 3 0 & −5 & 8 end {matrix} right] )

حل أنظمة المعادلات باستخدام المصفوفات

لحل نظام المعادلات باستخدام المصفوفات ، نقوم بتحويل المصفوفة المعززة إلى مصفوفة في شكل الصف الصف باستخدام عمليات الصف. للحصول على نظام معادلات متسق ومستقل ، فإن ملف المصفوفة المعززة يكون في شكل صف مستوى عندما يكون كل إدخال على القطر على يسار الخط العمودي هو 1 وجميع المدخلات الموجودة أسفل القطر عبارة عن أصفار.

نموذج ROW-ECHELON

للحصول على نظام معادلات متسق ومستقل ، تكون المصفوفة المعززة في شكل الصف الصف عندما تكون على يسار الخط العمودي ، يكون كل إدخال على القطر هو 1 وجميع الإدخالات الموجودة أسفل القطر عبارة عن أصفار.

بمجرد أن نحصل على المصفوفة المعززة في شكل صفوف الصف ، يمكننا كتابة نظام المعادلات المكافئ وقراءة قيمة متغير واحد على الأقل. ثم نعوض بهذه القيمة في معادلة أخرى للاستمرار في إيجاد المتغيرات الأخرى. هذه العملية موضحة في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {14} )

حل نظام المعادلات باستخدام مصفوفة: ( left { begin {array} {l} 2x + y = 7 x − 2y = 6 end {array} right. )

إجابه

الحل هو ((4، −1) ).

مثال ( PageIndex {15} )

حل نظام المعادلات باستخدام مصفوفة: ( left { begin {array} {l} 2x + y = −4 x − y = −2 end {array} right. )

إجابه

الحل هو ((- 2،0) ).

يتم تلخيص الخطوات هنا.

حل نظام المعادلات باستخدام المواد.

  1. اكتب المصفوفة المعززة لنظام المعادلات.
  2. باستخدام عمليات الصف ، احصل على الإدخال في الصف 1 والعمود 1 ليكون 1.
  3. باستخدام عمليات الصفوف ، احصل على الأصفار في العمود 1 أسفل الرقم 1.
  4. باستخدام عمليات الصف ، اجعل الإدخال في الصف 2 والعمود 2 هو 1.
  5. استمر في العملية حتى تصبح المصفوفة في شكل صفوف متسلسلة.
  6. اكتب نظام المعادلات المقابل.
  7. استخدم التعويض لإيجاد المتغيرات المتبقية.
  8. اكتب الحل كزوج مرتب أو ثلاثي.
  9. تأكد من أن الحل يجعل المعادلات الأصلية صحيحة.

هذه صورة مرئية لإظهار الترتيب للحصول على الأرقام 1 و 0 في الموضع المناسب لشكل صف الصف.

نستخدم نفس الإجراء عندما يكون لنظام المعادلات ثلاث معادلات.

مثال ( PageIndex {17} )

حل نظام المعادلات باستخدام مصفوفة: ( left { begin {array} {l} 2x − 5y + 3z = 8 3x − y + 4z = 7 x + 3y + 2z = −3 نهاية {مجموعة} يمين. )

إجابه

((6,−1,−3))

مثال ( PageIndex {18} )

حل نظام المعادلات باستخدام مصفوفة: ( left { begin {array} {l} −3x + y + z = −4 −x + 2y − 2z = 1 2x − y − z = −1 نهاية {مجموعة} صحيح. )

إجابه

((5,7,4))

حتى الآن ، كان عملنا مع المصفوفات يقتصر على الأنظمة المتسقة والمستقلة ، مما يعني أن لديهم حلًا واحدًا بالضبط. دعنا الآن نلقي نظرة على ما يحدث عندما نستخدم مصفوفة لنظام تابع أو غير متسق.

مثال ( PageIndex {20} )

حل نظام المعادلات باستخدام مصفوفة: ( left { begin {array} {l} x − 2y + 2z = 1 −2x + y − z = 2 x − y + z = 5 نهاية {مجموعة} يمين. )

إجابه

لا حل

مثال ( PageIndex {21} )

حل نظام المعادلات باستخدام مصفوفة: ( left { begin {array} {l} 3x + 4y − 3z = −2 −2x + 3y − z = −1 2x + y − 2z = 6 نهاية {مجموعة} يمين. )

إجابه

لا حل

كان النظام الأخير غير متسق وبالتالي لم يكن لديه حلول. المثال التالي يعتمد على عدد لا نهائي من الحلول.

مثال ( PageIndex {23} )

حل نظام المعادلات باستخدام مصفوفة: ( left { begin {array} {l} x + y − z = 0 2x + 4y − 2z = 6 3x + 6y − 3z = 9 end {مجموعة} صحيح. )

إجابه

عدد لا نهائي من الحلول ​​((x ، y ، z) ) ، حيث (x = z − 3 ؛ space y = 3 ؛ space z ) هو أي رقم حقيقي.

مثال ( PageIndex {24} )

حل نظام المعادلات باستخدام مصفوفة: ( left { begin {array} {l} x − y − z = 1 −x + 2y − 3z = −4 3x − 2y − 7z = 0 نهاية {مجموعة} يمين. )

إجابه

عدد لا نهائي من الحلول ​​((x، y، z) ) حيث (x = 5z 2؛ space y = 4z − 3؛ space z ) هو أي رقم حقيقي.

قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية باستخدام Gaussian Elimination.

  • القضاء الغاوسي

المفاهيم الرئيسية

قائمة المصطلحات

مصفوفة
المصفوفة هي مجموعة مستطيلة من الأرقام مرتبة في صفوف وأعمدة.
شكل الصف الصف
تكون المصفوفة في شكل مستوى الصف عندما تكون على يسار الخط العمودي ، يكون كل مدخل على القطر 1 وكل المدخلات الموجودة أسفل القطر هي أصفار.

إشراك الطلاب: حل أنظمة المعادلات الخطية بالمصفوفات

في صفي التخرجي لمعلمي الرياضيات في المرحلة الثانوية ، أطلب من طلابي أن يبتكروا أفكارًا لها الانخراط طلابهم بمواضيع مختلفة في منهج الرياضيات الثانوي. بمعنى آخر ، كان الهدف من المهمة هو عدم وضع خطة درس كاملة حول هذا الموضوع. بدلاً من ذلك ، طلبت من طلابي التفكير في ثلاث طرق مختلفة لجذب اهتمام طلابهم بالموضوع في المقام الأول.

أخطط لمشاركة بعض من أفضل هذه الأفكار على هذه المدونة (بعد أن طلبت إذنًا من طلابي & # 8217 بالطبع).

يأتي تقديم الطالب هذا من تلميذي السابق أندرو سانسوم. موضوعه من الجبر الثاني: حل أنظمة المعادلات الخطية بالمصفوفات.

أ 1. ما هي المشكلات الكلامية المثيرة للاهتمام (أي التي لا جدال فيها) باستخدام هذا الموضوع التي يمكن للطلاب القيام بها الآن؟ (قد تجد موارد مثل http://www.spacemath.nasa.gov مفيدة جدًا في هذا الصدد ، فلا تتردد في اقتراح مصادر أخرى.)

تعد الساحة في وسط مدينة دينتون مكانًا شهيرًا للزيارة والتسكع. يحتاج صاحب العمل الجديد إلى تحديد الطريق الذي يجب أن يضع إعلانًا فيه حتى يراه معظم الناس أثناء القيادة. ليس لديه ما يكفي من الموارد للتنقل في كل شارع وشارع ، لكنه يعلم أنه يمكنه استخدام الجبر لحل المشكلات التي فاته. في الخريطة أعلاه ، وضع صندوقًا أزرق يحتوي على عدد الأشخاص الذين ساروا في كل شارع خلال ساعة واحدة. استخدم نظام المعادلات الخطية لتحديد مقدار حركة المرور في كل شارع / كتلة على هذه الخريطة.

تلميح: تذكر أنه في كل تقاطع ، يتعين على نفس العدد من الأشخاص الدخول والخروج كل ساعة ، لذا اكتب معادلة لكل تقاطع بحيث يكون مجموع الأشخاص الذين يمشون فيه يساوي عدد الأشخاص الذين يخرجون منه.
تلميح: تذكر أن نفس الأشخاص يدخلون ويخرجون من الخريطة بأكملها كل ساعة. اكتب معادلة تحتوي على مجموع كل شارع يمر على الخريطة يساوي مجموع كل شارع يخرج من الخريطة.

1. بناء كل معادلة ، كما هو مقترح من خلال التلميحات.

2. أعد كتابة نظام المعادلات الخطية المتزامنة بالشكل القياسي.

3. أعد كتابة النظام كمصفوفة معززة

4. تصغير النظام إلى صيغة Reduced Row Echelon Form (باستخدام آلة حاسبة)


5. استخدم هذه المصفوفة المختصرة لإيجاد حلول لكل متغير

هذا يعطينا خريطة كاملة:


من الواضح أن صاحب العمل يجب أن يعلن في شارع هيكوري بين شارع إلم ولوكست ستريت (ربما أمام بيث ماري).

ب 1. كيف يمكن استخدام هذا الموضوع في الدورات المستقبلية لطلابك في الرياضيات أو العلوم؟

تظهر أنظمة المعادلات الخطية المتزامنة بشكل متكرر في معظم المشكلات التي تتضمن نمذجة أكثر من شيء في وقت واحد. في المدرسة الثانوية ، فإن القدرة على استخدام المصفوفات لحل مثل هذه الأنظمة (خاصة الكبيرة منها) هي ببساطة العديد من المشكلات التي قد تظهر في اختبارات AP أو IB Physics. غالبًا ما يرقى تحليل الدوائر (بما في ذلك قوانين كيرشوف وأوم) إلى إعداد أنظمة كبيرة من المعادلات المتزامنة المشابهة لمشكلة حركة مرور الشبكة المذكورة أعلاه. وبالمثل ، هناك مشاكل في علم الحركة حيث تعمل قوى / عزم دوران متعددة على جسم يصلح بشكل طبيعي لأنظمة كبيرة من المعادلات.

في الكيمياء ، يمكن حل مشاكل الخليط باستخدام أنظمة المعادلات. إذا تم خلط أكثر من مادة ، فيمكن أن يصبح النظام كبيرًا جدًا بحيث لا يمكن حله بكفاءة إلا عن طريق القضاء الغاوسي وعمليات المصفوفة. (ديفريز ، بدون تاريخ)

على المستوى الجامعي ، يؤدي تعلم حل الأنظمة باستخدام المصفوفات إلى إعداد الطالب للجبر الخطي ، وهو أمر مفيد تقريبًا في كل فصل رياضيات يتم أخذه بعد ذلك.

د 4. ما هي مساهمات الثقافات المختلفة في هذا الموضوع؟

ظهرت المعادلات الخطية المتزامنة في الصين القديمة في نص يسمى Jiuzhang Suanshu أو تسعة فصول من الفن الرياضي لحل المشكلات التي تنطوي على أوزان وكميات الحبوب. تتضمن الطريقة الموصوفة سرد معاملات المصطلحات في مصفوفة تشبه بشكل استثنائي إزالة Gaussian.

في وقت لاحق ، في أوائل أوروبا الحديثة ، كانت طرق الاستبعاد معروفة ، ولكن لم يتم تدريسها في الكتب المدرسية حتى نشر نيوتن مثل هذا النص الإنجليزي في عام 1720 ، على الرغم من أنه لم يستخدم المصفوفات في هذا النص. قدم جاوس نهجًا أكثر منهجية لحل المعادلات الخطية المتزامنة التي تتضمن المربعات الصغرى بحلول عام 1794 ، والتي تم استخدامها في عام 1801 لإيجاد سيريس عند رؤيتها ثم فقدها. خلال فترة حياة Gauss وفي القرن الذي تلاه ، كانت طريقة Gauss في الإقصاء لأنها طريقة قياسية لحل الأنظمة الكبيرة لأجهزة الكمبيوتر البشرية. علاوة على ذلك ، من خلال اعتماد الأقواس ، "أعفى غاوس أجهزة الكمبيوتر من الاضطرار إلى إعادة كتابة المعادلات ، وبذلك مكنهم من التفكير في أفضل طريقة لتنظيم عملهم." (جركار ج.ف ، 2011).


تمثيل نظم المعادلات الخطية باستخدام المصفوفات

يمكن تمثيل نظام المعادلات الخطية في شكل مصفوفة باستخدام مصفوفة معامل ومصفوفة متغيرة ومصفوفة ثابتة.

يمكن تشكيل مصفوفة المعامل عن طريق محاذاة معاملات متغيرات كل معادلة في صف. تأكد من كتابة كل معادلة في شكل قياسي مع وجود حد ثابت على اليمين.

ثم ، مصفوفة المعامل للنظام أعلاه هي

المتغيرات التي لدينا هي x و y. إذن يمكننا كتابة المصفوفة المتغيرة بالشكل [x y].

على الجانب الأيمن من المساواة ، لدينا الشروط الثابتة للمعادلات ، 8 و & ناقص 2. يتطابق الرقمان في هذا الترتيب مع المعادلتين الأولى والثانية ، وبالتالي يأخذان المكانين في الصفين الأول والثاني في المصفوفة الثابتة. إذن ، تصبح المصفوفة [8 & ناقص 2].

الآن ، يمكن تمثيل النظام كـ [2 3 5 & ناقص 1] [x y] = [8 & ناقص 2].

باستخدام ضرب المصفوفات ، يمكنك أن ترى أن تمثيل المصفوفة يعادل نظام المعادلات.

أي [2 س + 3 ص 5 س & ناقص ص] = [8 & ناقص 2].

معادلة الإدخالات المقابلة للمصفوفتين التي نحصل عليها:

الآن دعونا نفهم ما يعنيه هذا التمثيل.

إذا كنت تعتبر هذا كدالة للمتجه [x y] ، فيمكن تعريفه على أنه

و ([س ص]) = [2 3 5 & ناقص 1] [س ص]

ثم ، من خلال حل النظام ، نجد المتجه [x y] الذي من أجله f ([x y]) = [8 & ناقص 2].

هذا التمثيل يمكن أن يجعل العمليات الحسابية أسهل لأنه إذا تمكنا من إيجاد معكوس مصفوفة المعامل ، فيمكن حساب متجه الإدخال [x y] بضرب كلا الطرفين في معكوس المصفوفة.

بطريقة مماثلة ، لنظام من ثلاث معادلات في ثلاثة متغيرات ،

أ 1 س + ب 1 ص + ص 1 ع = د 1 أ 2 س + ب 2 ص + ص 2 ع = د 2 أ 3 س + ب 3 ص + ص 3 ع = د 3


21.6: حل أنظمة المعادلات باستخدام المصفوفات - الرياضيات

عمليات المصفوفة القانونية

في الشكل 1 أعلاه ، يمكنك أن ترى الحل الطبيعي لنظام المعادلات بالكتابة السوداء على اليسار. تم حل هذا النظام بإضافة المعادلتين. هذه الإضافة تسببت في المتغير ذ لإسقاطه ، وأسفر ذلك عن معادلة متغيرة واحدة. هذا سمح لنا بحل ل x. بمجرد أن عرفنا x، يمكن أن نجدها بسهولة ذ.

على اليمين في الشكل 1 أعلاه ، بالكتابة الزرقاء ، يمكنك أن ترى عملًا مشابهًا يتم إجراؤه على صفوف المصفوفة. يمثل صف المصفوفة 1،1،8 ببساطة المعادلة: 1x + 1ذ = 8. إذن ، صف المصفوفة هو ببساطة المعاملات من المعادلة. يمثل صف المصفوفة 1 ، -1،4 المعادلة:
1x - 1ذ = 4.

كما أنه من القانوني بالنسبة لنا أن نضيف معادلتين على اليسار ، فمن القانوني أن نضيف إلى الصفوف الموجودة على اليمين. يمكنك أن ترى هذا في الخط labled أ + ب - & GT أ، حيث ترى الصف الجديد 2،0،12. هذا مجرد مجموع الصفوف أ و ب. الصف التالي labled أ - ب - & gt b تظهر نتيجة طرح الصف ب من الصف أ، وهي 0،2،4.

يوضح القسم الأخير على اليمين أنه كما أنه من القانوني ضرب معادلة برقم أو قسمة معادلة على رقم ، فإنه من القانوني أيضًا ضرب أو قسمة صف مصفوفة على رقم (قياسي).

يوجد في الجزء السفلي الأيسر ملخص للعمليات القانونية داخل المصفوفات. يمكنك قانونيًا القيام بأي من هذه الإجراءات الثلاثة. يمكنك أيضًا القيام بأي مجموعة من هذه العمليات الثلاث. حقًا ، هذه العمليات القانونية هي نفس العمليات القانونية التي تعلمت سابقًا استخدامها في الجبر.

حل نظام المعادلات باستخدام الجبر

في الشكل 2 أعلاه ، نتعامل مع حل النظام أولاً باستخدام تقنيات الجبر التي يجب أن تعرفها من خلفيتك الجبرية. نظام المعادلات الثلاث معروض في أعلى اليسار. أولاً ، أذكرك بحقيقة أنك إذا كنت تحل نظامًا به 3 متغيرات ، فأنت بحاجة إلى 3 معادلات. إذا كنت تحل نظامًا به 9 متغيرات ، فأنت بحاجة إلى 9 معادلات. في الحالة العامة ، إذا كنت تقوم بحل نظام باستخدام ن المتغيرات التي تحتاجها ن المعادلات. لذلك ترى أنه بالنسبة لهذا النظام الذي يحتوي على 3 متغيرات ، لدينا 3 معادلات.

في عملية حل مثل هذا النظام ، نحتاج إلى حذف المتغيرات حتى نصل إلى معادلة ذات متغير واحد. لذلك نحن بحاجة إلى إيجاد بعض الطرق للتخلص من بعض المتغيرات بشكل قانوني.

قد تلاحظ أنه إذا قمت بإضافة المعادلات أ و ب، يمكنك الحصول على المتغير ذ لكي يسقط. يمكنك أيضًا الحصول على y لإسقاطه إذا أضفت معادلات ب و ج.

الآن نحن ننتقل إلى معادلتين بمتغيرين. أعلاه ، هذه المعادلات تسمى المعادلات د و ه. ما زلنا بحاجة للتخلص من متغير آخر. نرى ذلك إذا ضربنا المعادلة د بمقدار 2 ، وأضفه إلى المعادلة ه، يمكننا في الواقع إيجاد أحد المتغيرات. نجد ذلك x = 1. لن يستغرق الأمر وقتًا طويلاً حتى نرى من المعادلة b أن y يجب أن يساوي -2. وأخيرًا ، الاستبدال x = 1 و ذ = -2 في المعادلة أ، يمكننا أن نجد ذلك ض يجب أن يساوي -1. لم ننتهي حتى نتحقق من النتائج الثلاث في كل من المعادلات الثلاث التي بدأنا بها.

يشير السهم الأحمر في الشكل 2 إلى شكل مصفوفة من نفس المعادلات الثلاث التي بدأنا بها. هذه المصفوفة 3 × 4 بها مصفوفة مربعة على اليسار وعمود إضافي على اليمين. نظرًا لأنه تمت إضافة هذه المصفوفة ، فإنها تسمى أحيانًا بـ المصفوفة المعززة. سنعمل الآن على حل نفس النظام باستخدام المصفوفة فقط.

يوضح لنا الشكل 3 أعلاه عنصرين مهمين لإجراء حل المصفوفة. في الجزء العلوي من الشكل 3 ، ترى الهدف المنشود & quot ؛ هذا هو الشكل الذي نريد أن تكون المصفوفة الخاصة بنا على غرار بعده. لاحظ أننا نريد أن يصبح الجزء الأيسر من المصفوفة مصفوفة الهوية. سيكون هناك أيضًا عمود إضافي به ثلاث كميات. هذه الكميات أ, ب، و جمع تكون حلول النظام. يقرأ الصف العلوي: & quot1x + 0ذ + 0ض = أ& quot ، وهي في الواقع تقول: & quotx = أ. & quot السطر الثاني ساري المفعول يقول: & quotذ = ب. & quot السطر الثالث في الواقع يقول: & quotض = ج. & quot وهكذا ، تم حل مصفوفة بهذا الشكل تمامًا.

الجزء الثاني من الشكل 3 أعلاه هو الترتيب الاستراتيجي الموصى به لتحويل الجزء الأيسر من المصفوفة إلى ملف مصفوفة الهوية. السبب في منحك هذا النظام الاستراتيجي الموصى به ، هو تقليل الجهد الضائع أو التخلص منه. بينما نعمل على حل مشكلة أدناه ، سترى في النهاية أن هذا الأمر سيساعد في القضاء على أي عمل ضائع.

في الشكل 4 أعلاه ، نرى أن الرقم 1 في الصف الثاني محاط بدائرة. هذا لأن خطة النظام الإستراتيجي لدينا دفعتنا أولاً إلى تحويل هذه الخلية الأولى في الصف الثاني. ما الذي نريد أن تصبح هذه الخلية الأولى في الصف الثاني؟ من المفترض أن تخبرنا نظرة سريعة على الشكل 3 أننا نريد أن يكون هذا صفراً. كيف يمكننا تحويل هذا إلى صفر؟ حسنًا ، يجب علينا بالطبع اتباع العمليات القانونية فقط التي كانت في الشكل 1. إحدى الخطط التي ستحقق ذلك هي مضاعفة الصف ب بمقدار -2 وأضف النتيجة إلى الصف أ. ثم نضع النتيجة في الصف ب. هذا هو ترميز أعلاه مع -2ب + أ - & GT ب الرموز. بالطبع ، يجب أن ننفذ هذه العملية لكل رقم على التوالي ب. (كل 4 منهم) في المصفوفة الثانية يمكنك رؤية النتيجة بعد تنفيذ هذه العملية.

الرقم التالي الذي نحتاج إلى تغييره هو العنصر السفلي الأيسر ، والذي يحيط بدائرة في الشكل 5 أعلاه. نحتاج مرة أخرى إلى تحويل هذا الرقم إلى صفر. يمكننا أن نرى هذا الصف ب لا يفيد. صفر زائد أي شيء لا يغير شيئًا. نعلم الآن أنه يتعين علينا استخدام الصف أ. يمكن أن نأخذ الصف 3 مرات أو -2 مرات صف ج. جمع هذين معًا سيعطي صفرًا في الموضع الأول. يوضح الشكل 5 ما يحدث إذا قمت بتنفيذ هذه الخطة على الصف بأكمله.

الرقم التالي الذي نحتاج إلى تغييره هو العنصر الثاني على التوالي ج. نحتاج أن يكون هذا العنصر صفرًا. من المهم جدًا في هذه المرحلة من المشكلة أن نتذكر أنه بينما نريد تغيير العنصر الثاني على التوالي ج، نحتاج إلى حماية الصفر الذي غيرناه سابقًا إلى صفر. لحماية الصفر في الموضع الأول ، علينا التعامل مع صف به صفر أيضًا في الموضع الأول. يخبرنا هذا أننا بحاجة إلى إجراء عملية تتضمن صفًا ب. خطتنا هي ضرب -3 في الصف ج، اضف ​​إليه ب، ووضعها ج. قم بهذه العملية ومعرفة ما إذا كنت تحصل على نفس الصف السفلي كما هو موضح في الشكل 6 أعلاه.

الرقم التالي الذي نحتاج إلى تغييره هو العنصر الثاني على التوالي ب. هذا هو العنصر الأول الذي نريد تحويله إلى 1. ستحب هذه التحولات. لتحويل عنصر إلى 1 ، يتطلب الأمر عملية صف واحد فقط. كل ما عليك فعله هو تقسيم كل عنصر من عناصر الصف ب بمقدار -3. النتائج سوف تعود مباشرة في الصف ب. انظر النتائج في الشكل 7 أعلاه.

العنصر التالي الذي يجب تحويله هو العنصر الثالث على التوالي ج. يجب أن يتم تحويله إلى 1. تحويلات العنصر إلى عنصر واحد هي الأسهل على الإطلاق. مرة أخرى ، كل ما علينا فعله هو ضرب كل عنصر على التوالي ج بنسبة -1/20.

تحولنا التالي هو العنصر الثالث على التوالي ب. يجب أن يكون هذا العنصر صفرًا. يتمثل أحد الشواغل هنا في & quot حماية & quot العنصرين الأولين من هذا الصف ، اللذين عملنا بجد للحصول عليهما في شكلهما الحالي. أصفار البداية على التوالي ج هي الحماية المثالية لهذين العنصرين. لذلك ، نريد أن نفعل قبل الميلاد عملية. خطتنا هي ضرب الصف ج بنسبة 1/3 ، وأضف النتيجة إلى ب.

تم الانتهاء من صفين! لاحظ أن الصفوف الآن ب و ج تم الانتهاء منه تماما. نحن نعمل الآن على تحويل العنصر الثالث على التوالي أ الى الصفر. لا يوجد شيء في الصف أ الذي يحتاج إلى حماية. سنقوم ببساطة بطرح الصف أ صف ناقص ج، ثم ضع النتيجة في الصف مرة أخرى أ.

الآن نحن بحاجة إلى تحويل العنصر الثاني على التوالي أ إلى الصفر. لدينا عنصر واحد يجب حمايته على التوالي أ، لذلك نلاحظ هذا الصف ب هو حماية مثالية لأنه يحتوي على صفر في المركز الثالث. هنا يمكننا فقط إضافة صف أ إلى صف ب، وأعدهم في الصف أ.

عنصر أخير للتحويل. لأن هذا العنصر يجب أن يكون واحدًا ، يمكننا فقط قسمة الصف أ بحلول 2. انتهينا! الآن ، نظرًا لأن المصفوفة تحتوي على مصفوفة الوحدة على اليسار ، فإن إجابتنا موجودة في العمود الثالث. تم حل النظام.

حالات خاصة

بعض أنظمة المعادلات ليس لها حل. إذا كنت تتخيل نظام المعادلات أعلاه كنظام من ثلاثة أسطر في فضاء ثلاثي الأبعاد. إذن يمكنك أن تتخيل جيدًا أن 3 خطوط من هذا القبيل لا يجب أن تتقاطع في نقطة واحدة مشتركة. في الواقع ، سيكون من النادر جدًا أن يتقاطعوا في نقطة مشتركة واحدة.

عند حل المصفوفات ، نكافح لجعل الجزء الأيسر من المصفوفة في مصفوفة وحدة. إذا كانت المصفوفة لا تحتوي على حل ، فسترى مصفوفات تنتهي بالشكل التالي:



لاحظ أن الصف السفلي في الواقع يخبرنا أن 0 * X + 0 * Y + 0 * Z = 1 ، وهو أمر مستحيل. هذا هو دليلنا على أن هذه مصفوفة مستحيلة لإيجاد حل واحد منها.

يمكن أن ينتج نوع آخر من المصفوفات من جهودنا لتحقيق مصفوفة وحدة على الجانب الأيسر من المصفوفة. يوجد أدناه هذا النوع:


هنا لدينا الصف السفلي الفريد لجميع الأصفار. المعادلة الجبرية التي يمثلها هذا ، وهي 0 * X + 0 * Y + 0 * Z = 0 صحيحة. هذا صحيح ، لكنه بالتأكيد لا يخبرنا بأي شيء عن نظام المعادلات. يحتوي هذا النظام على العديد من الحلول اللانهائية.

يجب أن تكون قادرًا على التعرف على هذين النوعين الخاصين من نتائج المصفوفة ، وماذا يعنيان.


الحل: حل نظام المعادلات باستخدام المصفوفات وصف العمليات. x-y + z = -4 2x-3y + 4z = -15 5x + y-2z = 12


دعنا أولا. هذه هي المصفوفة المكونة من معاملات نظام المعادلات المحدد.


لاحظ أن قيم اليد اليمنى للنظام هي ، ويتم تمييزها هنا:


هذه القيم مهمة لأنها ستستخدم لاستبدال أعمدة المصفوفة أ.


لنحسب الآن محدد المصفوفة A لنحصل عليه. لتوفير مساحة ، لا أعرض حسابات المحدد. ومع ذلك ، إذا كنت بحاجة إلى مساعدة في حساب محدد المصفوفة A ، فتحقق من هذا الحل.

ملاحظة التدوين: تشير إلى محدد المصفوفة أ.

الآن استبدل العمود الأول من A (الذي يتوافق مع المتغير "x") بالقيم التي تشكل الجانب الأيمن من نظام المعادلات. سنشير إلى هذه المصفوفة الجديدة (بما أننا نستبدل عمود "x" إذا جاز التعبير).


الآن احسب محدد to get. مرة أخرى ، كموفر مساحة ، لم أقم بتضمين حسابات المحدد. تحقق من هذا الحل لمعرفة كيفية العثور على هذا المحدد.

للعثور على الحل الأول ، ما عليك سوى قسمة المحدد على المحدد للحصول على:


سنتبع نفس الفكرة الأساسية لإيجاد الحلين الآخرين. دعنا نعيد الضبط عن طريق السماح مرة أخرى (هذه هي مصفوفة المعامل).


الآن استبدل العمود الثاني من A (الذي يتوافق مع المتغير "y") بالقيم التي تشكل الجانب الأيمن من نظام المعادلات. سنشير إلى هذه المصفوفة الجديدة (بما أننا نستبدل عمود "y" بطريقة ما).


الآن احسب محدد to get.

لإيجاد الحل الثاني ، اقسم المحدد على المحدد لتحصل على:

إذن الحل الثاني هو

دعنا نعيد الضبط مرة أخرى عن طريق السماح بمصفوفة المعامل.

استبدل العمود الثالث من A (الذي يتوافق مع المتغير "z") بالقيم التي تشكل الجانب الأيمن من نظام المعادلات. سوف نشير إلى هذه المصفوفة الجديدة


الآن احسب محدد to get.

لإيجاد الحل الثالث ، اقسم المحدد على المحدد لتحصل على:


إذن الحلول الثلاثة هي ، وإعطاء الثلاثية المرتبة (1 ، 3 ، -2)


ملاحظة: هناك الكثير من العمل الخفي في إيجاد المحددات. ألق نظرة على هذا الحل المحدد 3x3 لمعرفة كيفية الحصول على كل محدد.


درس استخدام أنظمة المعادلات لحل مسائل الاستثمار

استثمر ماديسون ما مجموعه 30 ألف دولار في بنكين مختلفين. في أحد البنوك ، حصلت على 3.5٪ من استثمارها
وفي البنك الآخر حصلت على 4.5٪. إذا كان إجمالي ربحها سنويًا هو 1،320 دولارًا ، فما المبلغ الذي استثمرته في كل بنك؟


كانت الطريقة التي استخدمتها لحل نظام المعادلات في هذه المسألة هي طريقة الاستبدال.

المشكلة 2

تمتلك سو 80000 دولار للاستثمار في حساب توفير ، والذي يدفع 7 ٪ وشهادة إيداع تدفع 8.4 ٪.
تود "سو" الحصول على 6300 دولار كدخل فوائد. كم يجب أن تستثمر في كل منها؟


كانت الطريقة التي استخدمتها لحل نظام المعادلات في هذه المسألة هي طريقة الحذف.

مشكلة 3

$15,074 is invested part at 14% and the rest at 5%. If the interest earned from the amount invested at 14% exceeds
the interest earned from the amount invested at 5% by $1694.07, how much is invested at each rate?

المشكلة 4

Jack inherited 250000 pesos and invested money in SM, Meralco, and Manila Water. After a year, he got a small return of 16200 pesos
from the three investments. SM returned 6%, Meralco returned 7%, and Manila Water returned 8%. There was 60000 more pesos invested
in Meralco than in Manila Water. How much did he invest in SM, Meralco, and Manila Water?

Use this file/link ALGEBRA-I - YOUR ONLINE TEXTBOOK to navigate over all topics and lessons of the online textbook ALGEBRA-I.


Lesson Solving systems of linear equations in 3 unknowns by the Substitution method

Solving systems of linear equations in 3 unknowns by the Substitution method

In this lesson you will learn the Substitution method for solving systems of three linear equations in three unknowns.

The method is to express one variable via two others using one equation and then to substitute this expression into the two remaining equations. In this step you reduce the original system of three linear equations in three unknowns to the system of two linear equations in two unknowns.

When this step is done, you solve the obtained system of two linear equations by repeatedly applying the substitution method as described in the lesson Solution of the linear system of two equations in two unknowns by the Substitution method of the section Algebra-I in this site. For it, you express the second unknown via the third one using one of the two linear equations of the obtained system, and then substitute it into the remaining equation of this system.

After completing this, you will get the single linear equation in one unknown which you can easily solve. Then back-substitute the found value into the intermediate system of two linear equations in two unknowns to get the second unknown. As the last step, back-substitute the two found values for unknowns into either appropriate of the original equations - it will allow you to find the last unknown.

Examples below show how this method works.

Example 1

Solve the system of linear equations

Express from the third equation:
= .

Substitute it into the first and the second equations. You will get the system of two equations in two unknowns and

Simplify these two equations to the standard form by collecting common terms:

You got the system of two linear equations in two unknowns. Perhaps, the simplest way to solve it is to apply the Elimination method (see the lesson Solution of the linear system of two equations in two unknowns by the Elimination method in this site) by distracting the first equation from the second one. In this way you immediately get the solution of the system (2) , . But this time I will use the same substitution method to stay in frame of this method. So, let us express from the first equation of the system (2)
=

and substitute it into the second equation. You will get
.

Simplify it by opening parentheses and collecting common terms. You get
.

Hence, the solution is . Back-substitute it into either equation of the intermediate system (2), for example, into the first one. You get
,

Now, back-substitute the found values and into the first equation of the system (1):
.

Simplify and solve this equation for :
, .

Thus the solution of the original system of equations is , , .

Now, verify the calculated solution. Simply substitute the found values of , and into the original equations. You will get
= for the left side of the first equation, and it is identical to its right side
= for the left side of the second equation, and it is identical to its right side
= for the left side of the third equation, and it is identical to its right side.

The check shows that the solution is correct.

Answer . The solution of the system (1) is , , .

Example 2

Solve the system of linear equations

Express from the first equation:
= .

Substitute it into the second and the third equations. You will get the system of two equations in two unknowns and

Simplify these two equations to the standard form by collecting common terms:

You are lucky! You got the system whose solution is obvious: and . You don't need to make more calculations!

Now, back-substitute the found values and into the first equation of the system (3):
.

Simplify and solve this equation for :
, .

Thus the solution of the original system of equations is , , .

Now, verify the calculated solution. Simply substitute the found values of , and into the original equations. You will get
= for the left side of the first equation, and it is identical to its right side
= for the left side of the second equation, and it is identical to its right side
= for the left side of the third equation, and it is identical to its right side.

The check shows that the solution is correct.

Answer . The solution of the system (3) is , , .

مثال 3

Solve the system of linear equations

Express from the first equation:
= .

Substitute it into the second and the third equations. You will get the system of two equations in two unknowns and

Simplify these two equations to the standard form by collecting common terms:

You got the system of two linear equations in two unknowns. Perhaps, the simplest way to solve it is to apply the Elimination method (see the lesson Solution of the linear system of two equations in two unknowns by the Elimination method in this site) by adding the first equation and the second one. In this way you immediately get the solution of the system (2) , . But this time I will use the same substitution method to stay in frame of this method. So, let us express from the second equation of the system (6)
=

and substitute it into the first equation. You will get
.

Simplify it by collecting common terms. You will get
.

Hence, the solution is . Back-substitute it into either equation of the intermediate system (2), for example, into the second one. You get
,

Now, back-substitute the found values into the first equation of the system (5):
.

Thus the solution of the original system of equations is , , .

Now, verify the calculated solution. Simply substitute the found values of , and into the original equations. You will get
= for the left side of the first equation, and it is identical to its right side
= for the left side of the second equation, and it is identical to its right side
= for the left side of the third equation, and it is identical to its right side.

The check shows that the solution is correct.

Answer . The solution of the system (5) is , , .


Lessons learned from Examples 1, 2 and 3
As you saw, in Examples 1, 2 and 3 the substitution method worked smoothly and produced the unique solution.
It is not necessary to start the substitution method from the very first equation. You can start from any appropriate equation.
It is not necessary to start the substitution method from the very first unknown. You can start from any appropriate unknown.
If there is an equation and an unknown with the coefficient 1 in your system, you may prefer to start the substitution method from this equation and this
unknown.

When applying the substitution method, you can discover in some cases that some steps become trivial and you can perform them mentally, as it happened in the
solution to the Example 3. So be attentive and be aware - do not neglect and do not miss such opportunities. It may save you from unnecessary calculations.
Beside of it, the teacher will recognize your mathematical competence :-)

Below are Examples 4 - 8 that highlight the last point in more details.

Systems of linear equations with diagonal coefficient matrices

مثال 4

Solve the system of equations


It is the system of linear equations with the diagonal coefficient matrix . The equations are separated each from the other and each contains only one unknown. The solution is obvious: , and . In this case you do not need to apply the substitution method :-)

Systems of linear equations with upper triangular coefficient matrices

Example 5

Solve the system of linear equations

It is also a special kind of linear equation systems. It has the upper triangular coefficient matrix . You will better see it if you rewrite it in the equivalent form
(8)

It is again the case when you don't need to apply the substitution method in its full range to solve the system. You need to make the back-substitution step only. Start from the third equation and get the solution . Then substitute it into the second equation. You get
= , which gives you = = and .

Now substitute and into the first equation. You get
= , which gives you = = and .

The system is solved. Now you know how to solve the system of linear equations with the upper triangular coefficient matrix.


It may happen that you will be offered to solve the system of linear equations in three unknown with the upper triangular coefficient matrix, where the explicit "upper triangular structure" is masked or hidden, as, for example, in the following example.

Example 6

Solve the system of linear equations

You should be able to recognize that the given system is equivalent to this

after renaming 'x' to 'p', 'y' to 'r' and 'z' to 'q'. The system (10) has the upper triangular coefficient matrix , similar to that of the Example 5 .


Figure 1a . The profile of
the coefficient matrix (11)


Figure 1b . The profile of
the coefficient matrix (10)


You easily will find the solution to (10) , and then , by making back-substitution.
Hence, , and is the solution to the original system (9).

Notice that the system (9) has the profile shown in the Figure 1a , while the system (10)
has the profile shown in the Figure 1b , the same as the systems (7) and (8) have.
In these Figures the symbol '0' marks the zero elements and the symbol 'x' marks non-zero elements.


Systems of linear equations with lower triangular coefficient matrices

مثال 7

Solve the system of linear equations

(11)
This system has the lower triangular coefficient matrix . You will better see it if you rewrite it in the equivalent form
(12)

In this case you don't need to apply the substitution method in its full range to solve the system. You need to make the straight-forward substitution only.
Start from the first equation and get the solution . Then substitute it into the second equation. You will get
= , which gives you = = and .

Now substitute and into the third equation. You will get
= , which gives you = = and .

The system is solved. Now you know how to solve the system of linear equations with the lower triangle coefficient matrix.
The back-substitution step for the upper triangle coefficient matrix case and the straight-forward substitution step for the lower triangle coefficient matrix case do not differ much.

Example 8

Solve the system of linear equations

You should be able to recognize that the given system is equivalent to this

after renaming 'x' to 'q', 'y' to 'p' and 'z' to 'r'. The system (14) has the lower triangular coefficient matrix similar to that of the Example 7 .


Figure 2a . The profile of
the coefficient matrix (13)


Figure 2b . The profile of
the coefficient matrix (14)


You easily will find the solution to (14) , and then , by making back-substitution.
Hence, , and is the solution to the original system (13).

Notice that the system (13) has the profile shown in the Figure 2a , while the system (14)
has the profile shown in the Figure 2b , the same as the systems (11) and (12) have.
In these Figures the symbol '0' marks the zero elements and the symbol 'x' marks non-zero elements.



Lessons learned from Examples 4 - 8
If you need to solve a system with an upper triangular coefficient matrix, you should not apply the substitution method in its full range. You need to make
the back-substitution step only. Same if you are given a system with the masked upper triangular matrix.

Similarly, if you need to solve a system with a lower triangular coefficient matrix, you should not apply the substitution method in its full range. It is enough
to make the straight-forward substitution only. Same if you are given a system with the masked lower triangular matrix.

Examples 1 , 2 and 3 are the cases, when the linear equation system has the unique solution. They are examples of the consistent equation systems with independent equations. The substitution method works smoothly for such systems and produces their unique solutions.

Nevertheless, there are cases when the systems of linear equations have more than one solution or have no solutions at all. The substitution method has its own specifics in these cases.

Example 9

Solve the system of linear equations in three unknowns

Express from the first equation:
.

Substitute this expression for into the second and third equations. You will get the system of two linear equations for two unknowns and :


Simplify these two equations to the standard form by collecting common terms:
(16)

First step of the substitution method is done. Now apply the substitution method repeatedly to solve the system (16). Express   from the first equation of (16)
=

and substitute it into the second equation of (16). You will get
= ,

which after simplifying gives
= . (17)

Any value of satisfies the equation (17). So, this equation has infinitely many solutions.
Now we can start first back-substitution step of the substitution method. Let us take any arbitrary value and substitute it into the first equation of the system (16).
You will get
= .
Hence, for any arbitrary the pair (,) = (,) is the solution of the first equation of the system (16). At the same time, this pair satisfies the second equation of the system (16) too, because these two equations are equivalent (they are different only in the sign). Thus the system (16) has infinitely many solutions.

Now we can make next back-substitution step of the substitution method. Namely, substitute this pair of solutions = , = into the first equation of the system  (15). You will get
- () = 1.

Then find from the last equation:  .
Finally, I state that the triple , and is the solution of the system (15)  for any arbitrary value of .

Let us check this statement. Simply substitute the triple of numbers , and into the system (15). You will get
- () = 1 for the left side of the first equation, and it coincides with its right side
- = 2 for the left side of the second equation,  and it coincides with its right side
- () = -3 for the left side of the third equation,  and it coincides with its right side.

Answer . The system (15) has infinitely many solutions , and for any arbitrary value .

المثال 10

Solve the system of three linear equations in three unknowns by the substitution method

Express from the first equation:
.

Substitute this expression for into the second and third equations. You will get the system of two linear equations for two unknowns and :


Simplify these two equations to the standard form by collecting common terms:
(19)

First step of the substitution method is done. Now apply the substitution method repeatedly to solve the system (16). Express   from the first equation of (16)
=

and substitute it into the second equation of (16). You will get
= ,

which after simplifying gives
= . (20)

The last equation (20) has no solution, because its left side is zero for any number . It means that the original system (18) has no solution. Indeed, if the system (18) would have a solution, then the equation (20) should have it, which is impossible.

Answer . The system (18) has no solution.


Lessons learned from Examples 9 and 10.
When solving a systems of three linear equations in three unknowns, you can meet one of three cases:
1) the case when the system has a unique solution
2) the case when the system has infinitely many solutions, and
3) the case when the system has no solutions.

The substitution method allows you to recognize, to distinct and to identify these cases.

If by applying the substitution method you finally get a single equation of the form with non-zero coefficient , then it is the first case: the system
has a unique solution, and you can get it in the back-substitution process.

If by applying the substitution method you finally get a single equation of the form or or with the zero coefficient (or, generally,
an equation = with zero coefficients , and , where are the modified matrix coefficients and is the modified
right side), then it is the second or the third case.

Further, if the right side (or in the general case) is equal to zero, then it is the second case: the original system has infinitely many solutions, and
you can get them in the back-substitution process.
Otherwise, if the right side (or in the general case) is not equal to zero, then it is the third case: the original system has no solutions.

Use this file/link ALGEBRA-II - YOUR ONLINE TEXTBOOK to navigate over all topics and lessons of the online textbook ALGEBRA-II.


Solving Systems of Equations using Matrices

Videos, worksheets, solutions, and activities to help Algebra students learn how to solve systems of equations using the inverse of matrices.

This video explains how to solve a system of two linear equations with two unknowns using a matrix equation.

Matrices to solve simultaneous equations tutorial
Using Matrices to Solve Systems of Equations on the Graphing Calculator
This video shows how to use matrices to solve systems of linear equations on the TI83 and TI84 series of graphing calculators.

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


Solving Systems of Equations by Matrix Row Reduction Method

Examples, solutions, videos, and lessons to help Algebra students learn how to solve systems of equations using the matrix row reduction method.

Row Reducing a Matrix to Solve A System of Linear Equations

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


4 إجابات 4

Whether or not your matrix is square is not what determines the solution space. It is the rank of the matrix compared to the number of columns that determines that (see the rank-nullity theorem). In general you can have zero, one or an infinite number of solutions to a linear system of equations, depending on its rank and nullity relationship.

To answer your question, however, you can use Gaussian elimination to find the rank of the matrix and, if this indicates that solutions exist, find a particular solution x0 and the nullspace Null(A) of the matrix. Then, you can describe all your solutions as x = x0 + xn, where xn represents any element of Null(A). For example, if a matrix is full rank its nullspace will be empty and the linear system will have at most one solution. If its rank is also equal to the number of rows, then you have one unique solution. If the nullspace is of dimension one, then your solution will be a line that passes through x0, any point on that line satisfying the linear equations.

Ok, first off: a non-square system of equations تستطيع have an exact solution

clearly has a solution (actually, it has an 1-dimensional family of solutions: x=z=1). Even if the system is overdetermined بدلا من underdetermined it may still have a solution:

(x=y=1). You may want to start by looking at least squares solution methods, which find the exact solution if one exists, and "the best" approximate solution (in some sense) if one does not.

Taking Ax = b , with A having m columns and n rows. We are not guaranteed to have one and only one solution, which in many cases is because we have more equations than unknowns (m bigger n). This could be because of repeated measurements, that we actually want because we are cautious about influence of noise.

If we observe that we can not find a solution that actually means, that there is no way to find b travelling the column space spanned by A. (As x is only taking a combination of the columns).

We can however ask for the point in the space spanned by A that is nearest to b. How can we find such a point? Walking on a plane the closest one can get to a point outside it, is to walk until you are right below. Geometrically speaking this is when our axis of sight is perpendicular to the plane.

Now that is something we can have a mathematical formulation of. A perpendicular vector reminds us of orthogonal projections. And that is what we are going to do. The simplest case tells us to do a.T b . But we can take the whole matrix A.T b .

For our equation let us apply the transformation to both sides: A.T Ax = A.T b . Last step is to solve for x by taking the inverse of A.T A :


شاهد الفيديو: الدرس الخامس: حل انظمة المعادلات الخطية باستخدام المصفوفات الوحده3. الصف الثاني عشر علمي. توجيهي (ديسمبر 2021).