مقالات

15.6.1: المزيد من الأمثلة على التطبيقات - الرياضيات


أهداف التعلم

  • حل التطبيقات التي تتضمن حركة موحدة (مشاكل المسافة).
  • حل تطبيقات معدل العمل.
  • قم بإعداد وحل التطبيقات التي تتضمن الاختلاف المباشر والعكسي والمشترك.

حل مشاكل الحركة الموحدة

حركة موحدة (أو مسافة)37 تتضمن المشكلات الصيغة (D = rt ) ، حيث تُعطى المسافة (D ) على أنها حاصل ضرب متوسط ​​المعدل (r ) والوقت (t ) الذي يتم قطعه بهذا المعدل. إذا قسمنا كلا الجانبين على المعدل المتوسط ​​ (r ) ، فإننا نحصل على الصيغة

(t = فارك {د} {r} )

لهذا السبب ، عندما تكون الكمية غير المعروفة هي الوقت ، غالبًا ما ينتج عن الإعداد الجبري لمشاكل المسافة معادلة منطقية. نبدأ أي مشكلة حركة موحدة من خلال تنظيم بياناتنا أولاً باستخدام مخطط. استخدم هذه المعلومات لإعداد معادلة جبرية تمثل التطبيق.

مثال ( PageIndex {1} ):

سافرت سالي (15 ) ميلا في الحافلة ثم قطعت (72 ) ميلا أخرى في القطار. كان القطار أسرع بـ (18 ) ميل في الساعة من الحافلة ، واستغرقت الرحلة الإجمالية (2 ) ساعة. ما هو متوسط ​​سرعة القطار؟

حل

أولاً ، تحديد الكمية المجهولة وتنظيم البيانات.

لنفترض أن (س ) يمثل متوسط ​​السرعة (بالأميال في الساعة) للحافلة.

لنفترض أن (x + 18 ) يمثل متوسط ​​سرعة القطار.

لتجنب إدخال متغيرين آخرين لعمود الوقت ، استخدم الصيغة (t = frac {D} {r} ). يحسب وقت كل جزء من الرحلة على النحو التالي:

( start {align} color {Cerulean} {الوقت : تم إنفاق : on : the : bus:} color {black} {t} = frac {D} {r} & = frac { 15} {x} color {Cerulean} {Time : أنفاق : on : the : train:} color {black} {t} = frac {D} {r} & = frac { 72} {س + 18} نهاية {محاذاة} )

استخدم هذه التعبيرات لإكمال الرسم البياني.

يتم تحديد الإعداد الجبري بواسطة عمود الوقت. أضف الوقت المستغرق في كل جزء من الرحلة للحصول على إجمالي (2 ) ساعة:

نبدأ في حل هذه المعادلة بضرب كلا الجانبين أولاً في شاشة LCD ، (x (x + 18) ).

حل المعادلة التربيعية الناتجة عن طريق التحليل.

نظرًا لأننا نبحث عن سرعة متوسطة ، فسوف نتجاهل الإجابة السلبية ونستنتج أن متوسط ​​الحافلة (30 ) ميل في الساعة. استبدل (x = 30 ) في التعبير المحدد بسرعة القطار.

(س + 18 = 30 + 18 = 48 )

إجابه:

كانت سرعة القطار (48 ) ميل في الساعة.

مثال ( PageIndex {2} ):

يمكن للقارب أن يبلغ معدل (12 ) ميلا في الساعة في المياه الراكدة. في رحلة إلى أسفل النهر ، كان القارب قادرًا على السفر (29 ) ميلًا مع التيار. في رحلة العودة ، كان القارب قادرًا فقط على السفر (19 ) ميلاً في نفس الفترة الزمنية مقابل التيار. كم كانت سرعة التيار؟

حل

أولاً ، تحديد الكميات المجهولة وتنظيم البيانات.

دع (ج ) يمثل سرعة تيار النهر.

بعد ذلك ، قم بتنظيم البيانات المحددة في مخطط. أثناء السفر في اتجاه مجرى النهر ، سيزيد التيار من سرعة القارب ، لذا فهو يضيف إلى متوسط ​​سرعة القارب. أثناء السفر في اتجاه المنبع ، يؤدي التيار إلى إبطاء القارب ، لذلك سيتم طرحه من متوسط ​​سرعة القارب.

استخدم الصيغة (t = frac {D} {r} ) لملء عمود الوقت.

نظرًا لأن القارب سافر بنفس مقدار الوقت إلى أسفل النهر كما فعل في اتجاه النهر ، قم بإنهاء الإعداد الجبري عن طريق تعيين التعبيرات التي تمثل الأوقات المتساوية لبعضها البعض.

نظرًا لوجود كسر جبري واحد على كل جانب ، يمكننا حل هذه المعادلة باستخدام الضرب التبادلي.

إجابه:

كانت سرعة التيار (2 frac {1} {2} ) ميلاً في الساعة.

تمرين ( PageIndex {1} )

يمكن للطائرة النفاثة أن تبلغ متوسط ​​ (160 ) ميلا في الساعة في جو هادئ. في الرحلة ، قطعت الطائرة (600 ) ميل مع رياح خلفية وعادت (600 ) ميل مقابل رياح معاكسة بنفس السرعة. إذا استغرقت الرحلة كاملة ذهابًا وإيابًا (8 ) ساعات ، فما هي سرعة الريح؟

إجابه

(40 ) ميلا في الساعة

www.youtube.com/v/0NglBthTwss

حل مشاكل معدل العمل

يُطلق على المعدل الذي يمكن تنفيذ المهمة به اسم معدل العمل38. على سبيل المثال ، إذا كان الرسام يمكنه طلاء غرفة في (6 ) ساعات ، فالمهمة هي طلاء الغرفة ، ويمكننا الكتابة

( frac {1 text {task}} {6 text {hours}} quad color {Cerulean} {work : rate} )

بمعنى آخر ، يمكن للرسام إكمال ( frac {1} {6} ) المهمة في الساعة. إذا كان يعمل أقل من (6 ) ساعات ، فسيقوم بتنفيذ جزء صغير من المهمة. إذا عمل لأكثر من (6 ) ساعات يمكنه إتمام أكثر من مهمة. على سبيل المثال،

( begin {align} color {Cerulean} {work-rate : : times : : time} & color {black} {=} color {Cerulean} {amount : of : task : complete} frac {1} {6} quad times quad3 hrs & = : frac {1} {2} quad color {Cerulean} {one-half : of : the : room : paint} frac {1} {6} quad times quad 6 hrs & = : 1 quad color {Cerulean} {one : whole : room :ained} frac {1} {6} quad times : : 12 text {hrs} & = : 2 quad color {Cerulean} {two : whole : rooms :ained} end { محاذاة} )

احصل على مقدار المهمة المكتملة بضرب معدل العمل في مقدار الوقت الذي يعمل فيه الرسام. عادةً ما تتضمن مشكلات معدل العمل الأشخاص أو الآلات الذين يعملون معًا لإكمال المهام. بشكل عام ، إذا كان (t ) يمثل الوقت الذي يعمل فيه شخصان معًا ، فلدينا ما يلي صيغة معدل العمل39:

( frac {1} {t _ {1}} t + frac {1} {t _ {2}} t = color {Cerulean} {amount : of : task : complete : together} )

هنا ( frac {1} {t _ {1}} ) و ( frac {1} {t _ {2}} ) هي معدلات العمل الفردي.

مثال ( PageIndex {3} ):

يمكن أن يرسم جو غرفة نموذجية في (2 ) ساعات أقل من مارك. إذا كان بإمكان جو ومارك طلاء (5 ) غرف تعمل معًا في وردية عمل (12 ) ساعة ، فكم من الوقت يستغرق طلاء كل غرفة واحدة؟

حل

دع (س ) يمثل الوقت الذي يستغرقه مارك لطلاء غرفة نموذجية.

دع (x - 2 ) يمثل الوقت الذي يستغرقه Joe لطلاء غرفة نموذجية.

لذلك ، فإن معدل العمل الفردي لمارك هو ( frac {1} {x} ) غرفة في الساعة وجوز هو ( frac {1} {x − 2} ) غرفة في الساعة. كلا الرجلين يعملان لمدة (12 ) ساعة. يمكننا تنظيم البيانات في مخطط ، تمامًا كما فعلنا مع مشاكل المسافة.

بالعمل معًا ، يمكنهم طلاء 5 غرف إجمالية في 12 ساعة. يقودنا هذا إلى الإعداد الجبري التالي:

اضرب كلا الجانبين في شاشة LCD ، (x (x − 2) ).

حل المعادلة التربيعية الناتجة عن طريق التحليل.

يمكننا تجاهل ( frac {4} {5} ) لأن الاستبدال الخلفي بـ (x - 2 ) سيؤدي إلى وقت سلبي لطلاء غرفة. خذ (x = 6 ) ليكون الحل الوحيد واستخدمه لإيجاد الوقت الذي يستغرقه Joe لطلاء غرفة نموذجية.

إجابه:

يمكن أن يرسم جو غرفة نموذجية في (4 ) ساعات ويمكن لمارك أن يرسم غرفة نموذجية في (6 ) ساعات. كتحقق ، يمكننا ضرب كلا سعري العمل في (12 ) ساعة لنرى أنهما يمكنهما معًا طلاء (5 ) غرف.

( left. begin {array} {l} { color {Cerulean} {Joe} : : color {black} { frac {1 text {room}} {4 text {hrs}} } cdot 12 text {hrs} = 3 text {rooms}} { color {Cerulean} {Mark} : : color {black} { frac {1 text {room}} {6 text {hrs}}} cdot 12 text {hrs} = 2 text {rooms}} end {array} right } Total : 5 : rooms : color {Cerulean} {✓} )

مثال ( PageIndex {4} ):

يستغرق بيل ضعف الوقت الذي يستغرقه لوضع أرضية من البلاط بنفسه كما يفعل ماني. بعد العمل مع بيل لمدة (4 ) ساعات ، تمكن ماني من إكمال المهمة في (2 ) ساعات إضافية. كم من الوقت استغرق عمل ماني بمفرده؟

حل

دع (س ) يمثل الوقت الذي يستغرقه ماني لوضع الأرضية بمفرده.

لنفترض (2x ) أن الوقت الذي يستغرقه بيل لوضع الأرضية بمفرده.

معدل عمل ماني هو ( frac {1} {x} ) من الطابق لكل ساعة ومعدل عمل بيل هو ( frac {1} {2x} ). عمل بيل في الوظيفة لمدة (4 ) ساعات وعمل ماني في الوظيفة (6 ) ساعات.

يقودنا هذا إلى الإعداد الجبري التالي:

( frac {1} {x} cdot 6 + frac {1} {2 x} cdot 4 = 1 )

يحل.

( start {align} frac {6} {x} + frac {4} {2 x} & = 1 color {Cerulean} {x} color {black} { cdot} left ( frac {6} {x} + frac {2} {x} right) & = color {Cerulean} {x} color {black} { cdot} 1 6 + 2 & = x 8 & = س نهاية {محاذاة} )

إجابه:

كان من الممكن أن يستغرق ماني (8 ) ساعات ليكمل الأرضية بنفسه.

ضع في اعتبارك صيغة معدل العمل حيث يجب إكمال مهمة واحدة.

( frac {1} {t _ {1}} t + frac {1} {t _ {2}} t = 1 )

أخرج الوقت (t ) ثم اقسم كلا الجانبين على (t ). سينتج عن ذلك معادلات معدل عمل متخصصة مكافئة:

( start {align} t left ( frac {1} {t _ {1}} + frac {1} {t _ {2}} right) & = 1 frac {1} { t _ {1}} + frac {1} {t _ {2}} & = frac {1} {t} end {align} )

باختصار ، لدينا معادلات معدل العمل المكافئة التالية:

( start {array} {c} { color {Cerulean} {Work : rate : formulas}} { frac {1} {t _ {1}} t + frac {1} {t _ {2}} t = 1 quad text {or} quad frac {t} {t _ {1}} + frac {t} {t _ {2}} = 1 quad text {أو } quad frac {1} {t _ {1}} + frac {1} {t _ {2}} = frac {1} {t}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {2} )

يمكن لمات أن بلاط سطح العمل في (2 ) ساعة ، ويمكن لمساعده القيام بنفس المهمة في (3 ) ساعات. إذا بدأ مات العمل وانضم إليه مساعده بعد ساعة ، فكم من الوقت سيستغرق بلاط سطح العمل بالبلاط؟

إجابه

(1 frac {3} {5} ) ساعة

www.youtube.com/v/5g6sSFWGb7M

حل المشكلات التي تتضمن الاختلاف المباشر والمعكوس والمشترك

تتضمن العديد من مشكلات العالم الواقعي في العلوم نوعين من العلاقات الوظيفية. يمكن استكشاف النوع الأول باستخدام حقيقة أن المسافة (s ) بالقدم التي يسقطها الجسم من السكون ، بغض النظر عن مقاومة الهواء ، يمكن تقريبها باستخدام الصيغة التالية:

(الصورة = 16 طنًا ^ {2} )

هنا (t ) يمثل الوقت بالثواني الذي سقط فيه الكائن. على سبيل المثال ، بعد (2 ) ثانية ، يسقط الكائن (s = 16 (2) ^ {2} = 16 cdot 4 = 64 ) قدم.

الوقت (t ) بالثوانيالمسافة (s = 16 طنًا ^ {2} ) بالقدم
(0)(0)
(1)(16)
(2)(64)
(3)(144)
(4)(256)
جدول ( PageIndex {1} )

في هذا المثال ، يمكننا أن نرى أن المسافة تتغير بمرور الوقت كناتج ثابت (16 ) ومربع الوقت (t ). توصف هذه العلاقة بأنها اختلاف مباشر40 و (16 ) يسمى ثابت التباين41. علاوة على ذلك ، إذا قسمنا جانبي (s = 16t ^ {2} ) على (t ^ {2} ) لدينا

( frac {s} {t ^ {2}} = 16 )

في هذا النموذج ، من المعقول أن نقول إن (s ) يتناسب مع (t ^ {2} ) ، و (16 ) يسمى ثابت التناسب42. بشكل عام ، لدينا

الكلمات الدالةترجمة
" (ص ) يختلف (س ) مباشرة كـ (س )" (ص = ككس )
" (ص ) هو يتناسب طرديا43 إلى (س ) "
" (y ) يتناسب مع (x )"
جدول ( PageIndex {2} )

هنا (ك ) غير صفري ويسمى ثابت التباين أو ثابت التناسب. عادة ، سوف نحصل على معلومات يمكننا من خلالها تحديد هذا الثابت.

مثال ( PageIndex {5} ):

يختلف وزن الجسم على الأرض بشكل مباشر حسب وزنه على القمر. إذا كان الرجل يزن (180 ) رطلاً على الأرض ، فسوف يزن (30 ) رطلاً على القمر. ضع معادلة جبرية تعبر عن الوزن على الأرض من حيث الوزن على القمر واستخدمها لتحديد وزن المرأة على القمر إذا كانت تزن (120 ) رطلاً على الأرض.

حل

دع (ص ) يمثل الوزن على الأرض.

دع (س ) يمثل الوزن على القمر.

لقد علمنا أن "الوزن الموجود على الأرض يختلف بشكل مباشر عن الوزن الموجود على القمر."

(ص = ككس )

للعثور على ثابت التباين (ك ) ، استخدم المعلومات المقدمة. أ (180 ) - رطل رجل على الأرض يزن (30 ) رطلاً على القمر ، أو (ص = 180 ) عندما (س = 30 ).

(180 = ك cdot 30 )

حل من أجل (ك ).

( start {array} {c} { frac {180} {30} = k} {6 = k} end {array} )

بعد ذلك ، قم بإعداد صيغة تمثل المعلومات المعطاة.

(ص = 6 س )

هذا يعني أن وزن الشخص على الأرض (6 ) ضعف وزنه على القمر. للإجابة على السؤال ، استخدم وزن المرأة على الأرض ، (y = 120 ) رطل ، وحل من أجل (x ).

( start {array} {l} {120 = 6 x} { frac {120} {6} = x} {20 = x} end {array} )

إجابه:

تزن المرأة (20 ) رطلاً على القمر.

يمكن استكشاف العلاقة الوظيفية الثانية باستخدام الصيغة التي تربط شدة الضوء (I ) بالمسافة من مصدره (د ).

(I = frac {k} {d ^ {2}} )

هنا يمثل (ك ) بعض الثوابت. شمعة القدم هي قياس شدة الضوء. يتم تعريف شمعة القدم الواحدة بأنها مساوية لكمية الإضاءة التي تنتجها شمعة قياسية تقاس على بعد قدم واحدة. على سبيل المثال ، يتم الإعلان عن (125 ) - وات ضوء الفلورسنت المتنامي لإنتاج (525 ) شمعة قدم من الإضاءة. هذا يعني أنه على مسافة (د = 1 ) قدم ، (I = 525 ) شمعة قدم ولدينا:

( start {array} {l} {525 = frac {k} {(1) ^ {2}}} {525 = k} end {array} )

باستخدام (k = 525 ) يمكننا بناء معادلة تعطي شدة الضوء التي ينتجها المصباح:

(I = frac {525} {d ^ {2}} )

هنا (د ) يمثل المسافة التي ينمو فيها الضوء عن النباتات. في الرسم البياني التالي ، يمكننا أن نرى أن مقدار الإضاءة يتلاشى بسرعة مع زيادة المسافة من النباتات.

المسافة (t ) بالقدمشدة الضوء (I = frac {525} {d ^ {2}} )
(1)(525)
(2)(131.25)
(3)(58.33)
(4)(32.81)
(5)(21)
جدول ( PageIndex {3} )

يوصف هذا النوع من العلاقات على أنه الاختلاف العكسي44. نقول ذلك أنا هو يتناسب عكسيا45 إلى مربع المسافة (د ) حيث (525 ) هو ثابت التناسب. بشكل عام ، لدينا

الكلمات الدالةترجمة
" (ص ) يختلف عكسيًا كـ (س )" (y = frac {k} {x} )
" (ص ) يتناسب عكسيا مع (س )"
جدول ( PageIndex {4} )

مرة أخرى ، (ك ) غير صفري ويسمى ثابت التباين أو ثابت التناسب.

مثال ( PageIndex {6} ):

يختلف وزن الجسم عكسيًا حسب مربع المسافة من مركز الأرض. إذا كان وزن جسم (100 ) رطل على سطح الأرض (تقريبًا (4000 ) ميل من المركز) ، فكم سيكون وزنه عند (1000 ) ميل فوق سطح الأرض؟

حل

دع (w ) يمثل وزن الكائن.

لنفترض (d ) أن تمثل مسافة الجسم من مركز الأرض.

نظرًا لأن " (w ) يختلف عكسيًا حسب مربع (د )" ، يمكننا الكتابة

(w = frac {k} {d ^ {2}} )

استخدم المعلومات المقدمة للعثور على (k ). يزن جسم (100 ) رطل على سطح الأرض ، على بعد (4000 ) ميل تقريبًا من المركز. بمعنى آخر ، (ث = 100 ) عندما (د = 4000 ):

(100 = frac {k} {(4،000) ^ {2}} )

حل من أجل (ك ).

( begin {align} color {Cerulean} {(4،000) ^ {2}} color {black} { cdot} 100 & = color {Cerulean} {(4،000) ^ {2}} color { أسود} { cdot} frac {k} {(4،000) ^ {2}} 1،600،000،000 & = k 1.6 times 10 ^ {9} & = k end {align} )

لذلك ، يمكننا نمذجة المشكلة بالصيغة التالية:

(w = frac {1.6 times 10 ^ {9}} {d ^ {2}} )

لاستخدام الصيغة لإيجاد الوزن ، نحتاج إلى المسافة من مركز الأرض. نظرًا لأن الكائن (1،000 ) ميل فوق السطح ، فأوجد المسافة من مركز الأرض بإضافة (4،000 ) ميل:

(د = 4000 + 1،000 = 5000 : : نص {ميل} )

للإجابة على السؤال ، استخدم الصيغة مع (د = 5000 ).

( begin {align} y & = frac {1.6 times 10 ^ {9}} {( color {OliveGreen} {5،000} color {black} {)} ^ {2}} & = frac {1.6 times 10 ^ {9}} {25،000،000} & = frac {1.6 times 10 ^ {9}} {2.5 times 10 ^ {9}} & = 0.64 times 10 ^ { 2} & = 64 end {align} )

إجابه:

يزن الجسم (64 ) رطلاً على مسافة (1000 ) ميل فوق سطح الأرض.

أخيرًا ، نحدد العلاقات بين المتغيرات المتعددة الموضحة بـ الاختلاف المشترك46. بشكل عام ، لدينا

الكلمات الدالةترجمة
" (ص ) يختلف معًا كـ (س ) و (ض )" (ص = ك س ض )
" (ص ) هو يتناسب بشكل مشترك47 إلى (س ) و (ض ) "
جدول ( PageIndex {5} )

هنا (ك ) غير صفري ويسمى ثابت التباين أو ثابت التناسب.

مثال ( PageIndex {7} ):

تختلف مساحة القطع الناقص بشكل مشترك مثل (أ ) ، نصف المحور الرئيسي للقطع الناقص ، و (ب ) ، نصف المحور الثانوي للقطع الناقص كما هو موضح في الصورة. إذا كانت مساحة القطع الناقص (300π سم ^ {2} ) ، حيث (أ = 10 ) سم و (ب = 30 ) سم ، فما هو ثابت التناسب؟ اكتب معادلة مساحة القطع الناقص.

حل

إذا سمحنا (A ) بتمثيل منطقة القطع الناقص ، فيمكننا استخدام العبارة "تختلف المنطقة بشكل مشترك مثل (أ ) و (ب )" للكتابة

(أ = كاب )

لإيجاد ثابت التباين (ك ) ، استخدم حقيقة أن المساحة (300π ) عندما (أ = 10 ) و (ب = 30 ).

( begin {array} {c} {300 pi = k ( color {OliveGreen} {10} color {black} {)} ( color {OliveGreen} {30} color {black} {)} } {300 pi = 300 كيلو} { pi = k} end {array} )

إذن ، صيغة مساحة القطع الناقص هي

(A = πab )

إجابه:

ثابت التناسب هو (π ) وصيغة مساحة القطع الناقص (A = abπ ).

تمرين ( PageIndex {3} )

بالنظر إلى أن (y ) يختلف مباشرة كمربع (x ) وعكسًا مع (z ) ، حيث (y = 2 ) عندما (x = 3 ) و (z = 27 ) ) ، أوجد (y ) عندما (س = 2 ) و (ض = 16 ).

إجابه

( فارك {3} {2} )

www.youtube.com/v/ee3AFf7b6Kg

الماخذ الرئيسية

  • عند حل مشاكل المسافة حيث يكون عنصر الوقت غير معروف ، استخدم الصيغة المكافئة لصيغة الحركة الموحدة ، (t = frac {D} {r} ) ، لتجنب إدخال المزيد من المتغيرات.
  • عند حل مشاكل معدل العمل ، اضرب معدل العمل الفردي في الوقت للحصول على الجزء المكتمل من المهمة. ينتج عن مجموع أجزاء المهمة إجمالي مقدار العمل المكتمل.
  • يتطلب إعداد مشكلات التباين عادةً خطوات متعددة. أولاً ، حدد الكلمات الرئيسية لإعداد معادلة ثم استخدم المعلومات المقدمة للعثور على ثابت التباين (ك ). بعد تحديد ثابت التباين ، اكتب صيغة تمثل المشكلة. بمجرد العثور على صيغة ، استخدمها للإجابة على السؤال.

تمرين ( PageIndex {4} )

استخدم الجبر لحل التطبيقات التالية.

  1. كل صباح يقضي جيم (1 ) ساعة في التمرين. يركض (2 ) ميلا ثم يركب (16 ) ميلا. إذا كان جيم قادرًا على ركوب الدراجة مرتين بأسرع ما يمكن أن يركض ، فما سرعة متوسطه على دراجته؟
  2. تجري سالي أسرع ما تمشي عليه (3 ) مرات. ركضت لمسافة ( frac {3} {4} ) ميلاً ثم سارت (3 frac {1} {2} ) ميلاً آخر. استغرق إجمالي التمرين (1 frac {1} {2} ) ساعة. ما هو متوسط ​​سرعة مشي سالي؟
  3. في رحلة عمل ، سافر مسؤول تنفيذي (720 ) ميل بالطائرة ثم آخر (80 ) ميل بالطائرة المروحية. إذا كان متوسط ​​سرعة الطائرة (3 ) أضعاف سرعة المروحية ، واستغرقت الرحلة الإجمالية (4 ) ساعات ، فما هو متوسط ​​سرعة الطائرة؟
  4. يمكن للرياضي أن يركض (3 ) بأسرع ما يمكن أن يسبح وركوب الدراجة (6 ) مرات بأسرع ما يمكن أن يسبح. يتكون السباق من ( frac {1} {4} ) ميل للسباحة ، و (3 ) ميل للجري ، وسباق دراجات (12 ) ميل. إذا كان بإمكانها إكمال كل هذه الأحداث في ساعة (1 frac {5} {8} ) ، فما السرعة التي يمكنها بها السباحة والجري والدراجة؟
  5. في رحلة برية ، كان مارتي قادرًا على القيادة بمعدل (4 ) أميال في الساعة أسرع من جورج. إذا كان مارتي قادراً على القيادة (39 ) ميلاً في نفس الفترة الزمنية التي قطعها جورج (36 ) ميلاً ، فما هو متوسط ​​سرعة مارتي؟
  6. الحافلة أسرع من الترولي بـ (8 ) أميال في الساعة. إذا كانت الحافلة تسافر (9 ) أميال في نفس الوقت الذي يمكن للعربة أن تسافر فيه (7 ) أميال ، فما متوسط ​​سرعة كل منها؟
  7. قرر تيري الركض مسافة (5 ) أميال للوصول إلى المدينة. في رحلة العودة ، سارت مسافة (5 ) أميال إلى المنزل بنصف السرعة التي تمكنت من الركض بها. إذا استغرقت الرحلة الإجمالية (3 ) ساعات ، ما هو متوسط ​​سرعة الركض لديها؟
  8. قاد جيمس مسافة (24 ) ميلاً إلى المدينة وعاد خلال (1 ) ساعة. في رحلة العودة ، كان قادرًا على أن يبلغ متوسط ​​ (20 ) ميلاً في الساعة أسرع مما كان عليه في الرحلة إلى المدينة. كم كانت سرعته المتوسطة في رحلته إلى المدينة؟
  9. طائرة خفيفة كانت قادرة على السفر (189 ) ميلا مع (14 ) ميل في الساعة رياح خلفية في نفس الوقت الذي كانت قادرة فيه على السفر (147 ) ميلا ضدها. كم كانت سرعة الطائرة في الجو الهادئ؟
  10. حلقت طائرة نفاثة (875 ) ميلا مع (30 ) ميلا في الساعة رياح خلفية. في رحلة العودة ، مقابل (30 ) ميل في الساعة ، كانت قادرة على تغطية (725 ) ميل فقط في نفس الفترة الزمنية. ما مدى سرعة الطائرة في الهواء الهادئ؟
  11. متوسط ​​سرعة المروحية (90 ) ميلا في الساعة في جو هادئ. أثناء الطيران مع الريح ، تمكنت من السفر (250 ) ميلاً في نفس الوقت الذي استغرقته للسفر (200 ) ميل عكسها. ما هي سرعة الريح؟
  12. قامت ماري وجو برحلة على الطريق على دراجتين ناريتين منفصلتين. كان متوسط ​​سرعة ماري (12 ) ميلاً في الساعة أقل من متوسط ​​سرعة جو. إذا كانت ماري قد قطعت (115 ) ميلاً في نفس الوقت الذي استغرقه جو في القيادة (145 ) ميلاً ، فما هو متوسط ​​سرعة ماري؟
  13. متوسط ​​ u200b u200b القارب (12 ) ميل في الساعة في المياه الراكدة. في رحلة في اتجاه مجرى النهر ، مع التيار ، كان القارب قادرًا على السفر (26 ) ميلاً. ثم استدار القارب وعاد عكس التيار (33 ) ميلا. ما مدى سرعة التيار إذا استغرقت الرحلة الإجمالية (5 ) ساعات؟
  14. إذا كان تيار النهر يتدفق بمعدل (3 ) ميل في الساعة ، فيمكن للقارب السياحي أن يقوم بجولة (18 ) - ميل في اتجاه مجرى النهر مع التيار والعودة (18 ) ميل مقابل التيار في ( 4 frac {1} {2} ) ساعة. ما هو متوسط ​​سرعة القارب في المياه الراكدة؟
  15. قاد جوزيه (10 ​​) أميال إلى منزل جدته لتناول العشاء والعودة في نفس المساء. بسبب حركة المرور ، كان متوسط ​​ (20 ) ميلاً في الساعة أقل في رحلة العودة. إذا استغرق الأمر ( frac {1} {4} ) ساعة أطول للوصول إلى المنزل ، فما متوسط ​​سرعته في القيادة إلى منزل جدته؟
  16. تجدف جيري بقارب الكاياك ، عكس التيار مقابل تيار (1 ) ميل في الساعة ، لمسافة (12 ) ميل. استغرقت رحلة العودة ، المصب بتيار (1 ) ميل في الساعة ، وقتًا أقل بساعة واحدة. ما مدى سرعة تجديف جيري بقارب الكاياك في الماء الراكد؟
  17. غادر جيمس وميلدريد نفس الموقع في سيارات منفصلة والتقيا في لوس أنجلوس على بعد 300 ميل. تمكن جيمس من بلوغ متوسط ​​ (10 ​​) أميال في الساعة أسرع من ميلدريد في الرحلة. إذا وصل جيمس قبل ميلدريد بساعة ، فما هو متوسط ​​سرعة ميلدريد؟
  18. الحافلة أسرع بـ (20 ) ميلاً في الساعة من الدراجة. إذا صعد بيل إلى الحافلة في نفس الوقت والمكان الذي غادرت فيه ماري على دراجتها ، فسيصل بيل إلى وسط المدينة (5 ) أميال قبل ماري بساعة. ما هو متوسط ​​سرعة الحافلة؟
إجابه

1. (20 ) ميلاً في الساعة

3. (240 ) ميلاً في الساعة

5. (52 ) ميلاً في الساعة

7. (5 ) ميل في الساعة

9. (112 ) ميلاً في الساعة

11. (10 ​​) ميل في الساعة

13. (1 ) ميل في الساعة

15. (40 ) ميل في الساعة

17. (50 ) ميل في الساعة

تمرين ( PageIndex {5} )

استخدم الجبر لحل التطبيقات التالية.

  1. يمكن أن يرسم مايك المكتب بنفسه في (4 frac {1} {2} ) ساعات. يمكن للأردن طلاء المكتب خلال (6 ) ساعات. كم من الوقت سيستغرقون لطلاء المكتب وهم يعملون معًا؟
  2. يستطيع باري وضع ممر من الطوب بنفسه في (3 frac {1} {2} ) أيام. يقوم روبرت بنفس المهمة خلال (5 ) أيام. كم من الوقت سيستغرقهم العمل معًا في وضع ممر من الطوب؟
  3. أنبوب أكبر يملأ خزان المياه أسرع بمرتين من الأنبوب الأصغر. عند استخدام كلا الأنبوبين ، يتم ملء الخزان خلال (10 ​​) ساعات. إذا تم ترك الأنبوب الأكبر ، فكم من الوقت سيستغرق الأنبوب الأصغر لملء الخزان؟
  4. يمكن للطابعة الأحدث أن تطبع مرتين أسرع من طابعة قديمة. إذا كان بإمكان كلتا الطابعتين اللتين تعملان معًا طباعة مجموعة من النشرات في (45 ) دقيقة ، فكم من الوقت ستستغرق الطابعة الأقدم لطباعة الدُفعة التي تعمل بمفردها؟
  5. يمكن لماري تجميع دراجة لعرضها في (2 ) ساعة. يستغرق الأمر من جين (3 ساعات) لتجميع دراجة هوائية. كم من الوقت ستستغرق ماري وجين في العمل معًا لتجميع (5 ) دراجات؟
  6. من خلال العمل بمفرده ، يستغرق جيمس ضعف الوقت الذي يستغرقه تجميع الكمبيوتر في تجميع الكمبيوتر. في وردية واحدة - (8 ) ساعات ، بالعمل معًا ، يمكن لجيمس وبيل تجميع (6 ) أجهزة كمبيوتر. كم من الوقت سيستغرق جيمس لتجميع الكمبيوتر إذا كان يعمل بمفرده؟
  7. بالعمل بمفرده ، يستغرق هاري ساعة واحدة أطول من مايك لتركيب نافورة. معًا يمكنهم تثبيت (10 ​​) نوافير في (12 ) ساعة. كم من الوقت سيستغرق مايك لتثبيت (10 ​​) نوافير بنفسه؟
  8. بالعمل بمفرده ، يستغرق هنري (2 ) ساعة أطول من بيل لطلاء الغرفة. بالعمل معًا رسموا (2 frac {1} {2} ) غرفًا في (6 ) ساعات. كم من الوقت سيستغرق هنري ليرسم نفس الكمية إذا كان يعمل بمفرده؟
  9. يستطيع ماني ، الذي يعمل بمفرده ، تثبيت خزانة مخصصة في (3 ) ساعات أقل من وقت مساعده. بالعمل معًا ، يمكنهم تثبيت الخزانة في غضون (2 ) ساعة. كم من الوقت سيستغرق ماني لتثبيت الخزانة تعمل بمفردها؟
  10. من خلال العمل بمفرده ، يستطيع Garret تجميع كوخ في الحديقة خلال (5 ) ساعات أقل من وقت شقيقه. للعمل معًا يحتاجون (6 ) ساعات لبناء كوخ الحديقة. كم من الوقت سيستغرق غاريت لبناء كوخ يعمل بمفرده؟
  11. بالعمل بمفرده ، يستغرق مساعد المدير (2 ) ساعات أكثر من المدير لتسجيل مخزون المحل بأكمله. بعد العمل معًا لمدة (2 ) ساعة ، استغرق الأمر من مساعد المدير (1 ) ساعة إضافية لإكمال الجرد. ما هو الوقت الذي استغرقه المدير لإكمال عمل الجرد بمفرده؟
  12. يمكن للطابعة القديمة طباعة مجموعة من كتيبات المبيعات في (16 ) دقيقة. يمكن للطابعة الأحدث طباعة نفس الدُفعة في (10 ​​) دقائق. بعد العمل معًا لبعض الوقت ، تم إيقاف تشغيل الطابعة الأحدث واستغرقت الطابعة القديمة (3 ) دقائق إضافية لإكمال المهمة. كم من الوقت كانت الطابعة الأحدث تعمل؟
إجابه

1. (2 frac {4} {7} ) ساعة

3. (30 ) ساعة

5. (6 ) ساعات

7. (20 ) ساعة

9. (3 ) ساعات

11. (4 ) ساعات

تمرين ( PageIndex {6} )

ترجم كل جملة من الجمل التالية إلى صيغة رياضية.

  1. المسافة (D ) التي يمكن أن تقطعها السيارة تتناسب طرديًا مع الوقت (t ) الذي تقطعه بسرعة ثابتة.
  2. إن امتداد الزنبرك المعلق (د ) يتناسب طرديًا مع الوزن (ث ) المرتبط به.
  3. مسافة فرملة السيارة (d ) تتناسب طرديًا مع مربع سرعة السيارة (v ).
  4. يختلف حجم (V ) الكرة بشكل مباشر حسب مكعب نصف قطرها (r ).
  5. يتناسب حجم (V ) كتلة معينة من الغاز عكسًا مع الضغط (ع ) الذي يمارس عليه.
  6. كل جسيم من مادة في الكون يجذب كل جسيم آخر بقوة (F ) التي تتناسب طرديًا مع ناتج كتل (م_ {1} ) و (م_ {2} ) من الجسيمات ، ويتناسب عكسياً مع مربع المسافة d بينهما.
  7. الفائدة البسيطة (I ) تتناسب بشكل مشترك مع معدل الفائدة السنوي (r ) والوقت (t ) بالسنوات يتم استثمار مبلغ ثابت من المال.
  8. الوقت (t ) الذي يستغرقه الجسم في السقوط يتناسب طرديًا مع الجذر التربيعي للمسافة (د ) التي يسقطها.
إجابه

1. (د = كيلوطن )

3. (د = كيلو فولت ^ {2} )

5. (V = frac {k} {p} )

7. (أنا = krt )

تمرين ( PageIndex {7} )

أنشئ نموذجًا رياضيًا وفقًا لما يلي:

  1. (y ) يختلف مباشرة كـ (x ) و (y = 30 ) عندما (x = 6 ).
  2. (y ) يختلف مباشرة كـ (x ) و (y = 52 ) عندما (x = 4 ).
  3. (ص ) يتناسب طرديًا مع (س ) و (ص = 12 ) عندما (س = 3 ).
  4. (y ) يتناسب طرديًا مع (x ) و (y = 120 ) عندما (x = 20 ).
  5. (ص ) يتناسب طرديًا مع (س ) و (ص = 3 ) عندما (س = 9 ).
  6. (ص ) يتناسب طرديًا مع (س ) و (ص = 21 ) عندما (س = 3 ).
  7. (y ) يختلف عكسيًا مثل (x ) و (y = 2 ) عند (x = frac {1} {8} ).
  8. (y ) يختلف عكسيًا مثل (x ) و (y = frac {3} {2} ) عندما (x = frac {1} {9} ).
  9. (y ) يتناسب بشكل مشترك مع (x ) و (z ) ، حيث (y = 2 ) عندما (x = 1 ) و (z = 3 ).
  10. (y ) يتناسب بشكل مشترك مع (x ) و (z ) ، حيث (y = 15 ) عندما (x = 3 ) و (z = 7 ).
  11. (y ) يختلف معًا كـ (x ) و (z ) ، حيث (y = frac {2} {3} ) عندما (x = frac {1} {2} ) و (ض = 12 ).
  12. (y ) يختلف معًا كـ (x ) و (z ) ، حيث (y = 5 ) عندما (x = frac {3} {2} ) و (z = frac {2} {9} ).
  13. (ص ) يختلف مباشرة كمربع (س ) ، حيث (ص = 45 ) عندما (س = 3 ).
  14. (y ) يختلف مباشرة كمربع (x ) ، حيث (y = 3 ) عندما (x = frac {1} {2} ).
  15. (y ) يتناسب عكسيًا مع مربع (x ) ، حيث (y = 27 ) عندما (x = frac {1} {3} ).
  16. (y ) يتناسب عكسيًا مع مربع (x ) ، حيث (y = 9 ) عندما (x = frac {2} {3} ).
  17. (y ) يختلف معًا مثل (x ) ومربع (z ) ، حيث (y = 6 ) عندما (x = frac {1} {4} ) و (z = frac {2} {3} ).
  18. (ص ) يختلف بشكل مشترك كـ (س ) و (ض ) وعكسًا مثل مربع (ث ) ، حيث (ص = 5 ) عندما (ض = 1 ، ض = 3 ) ) و (w = frac {1} {2} ).
  19. (y ) يختلف مباشرة كجذر تربيعي لـ (x ) وعكسًا مثل مربع (z ) ، حيث (y = 15 ) عندما (x = 25 ) و (z = 2 ).
  20. (ص ) يختلف مباشرة كمربع (س ) وعكسًا مثل (ض ) ومربع (ث ) ، حيث (ص = 14 ) عندما (س = 4 ، ث = 2 ) و (ض = 2 ).
إجابه

1. (ص = 5 س )

3. (ص = 4x )

5. (y = frac {27} {x} )

7. (y = frac {1} {4x} )

9. (y = frac {2} {3} xz )

11. (y = frac {1} {9} xz )

13. (ص = 5 س ^ {2} )

15. (y = frac {3} {x ^ {2}} )

17. (ص = 54 × ع ^ {2} )

19. (y = frac {12 sqrt {x}} {z ^ {2}} )

تمرين ( PageIndex {8} )

حل التطبيقات التي تنطوي على التباين.

  1. الإيرادات بالدولار تتناسب طرديا مع عدد البلوزات ذات العلامات التجارية المباعة. العائد المحقق من بيع (25 ) بلوزات هو (318.75 دولارًا ). تحديد العائد في حالة بيع (30 ) قمصان.
  2. تختلف ضريبة المبيعات على شراء سيارة جديدة بشكل مباشر حسب سعر السيارة. إذا تم شراء ($ 18،000 ) سيارة جديدة ، فإن ضريبة المبيعات هي ($ 1،350 ). ما مقدار ضريبة المبيعات التي يتم فرضها إذا تم تسعير السيارة الجديدة بـ ($ 22،000 )؟
  3. يتناسب سعر السهم من الأسهم العادية في الشركة بشكل مباشر مع ربحية السهم (EPS) للأشهر / (12 /) السابقة. إذا كان سعر السهم من الأسهم العادية في شركة ما هو 22.55 دولارًا أمريكيًا ، وتم نشر EPS ليكون (1.10 دولارًا أمريكيًا) ، فحدد قيمة السهم إذا زاد العائد على السهم بمقدار ($ 0.20 ).
  4. تختلف المسافة المقطوعة في رحلة برية بشكل مباشر مع الوقت الذي تقضيه على الطريق. إذا كان من الممكن القيام برحلة (126 ) - ميل في (3 ) ساعات ، فما المسافة التي يمكن قطعها في (4 ) ساعات؟
  5. محيط الدائرة يتناسب طرديا مع نصف قطرها. يقاس محيط الدائرة نصف قطرها (7 ) سم على أنها (14π ) سم. ما هو ثابت التناسب؟
  6. تختلف مساحة الدائرة بشكل مباشر حسب مربع نصف قطرها. تم تحديد مساحة الدائرة التي يبلغ نصف قطرها (7 ) سم لتكون (49) ) سم مربع. ما هو ثابت التناسب؟
  7. تختلف مساحة سطح الكرة بشكل مباشر حسب مربع نصف قطرها. عندما يقيس نصف قطر الكرة (2 ) متر ، فإن مساحة السطح تقيس (16π ) متر مربع. أوجد مساحة سطح كرة نصف قطرها (3 ) أمتار.
  8. يختلف حجم الكرة بشكل مباشر حسب مكعب نصف قطرها. عندما يقيس نصف قطر الكرة (3 ) أمتار ، يكون الحجم (36π ) مترًا مكعبًا. أوجد حجم كرة نصف قطرها (1 ) متر.
  9. مع ارتفاع ثابت ، يتناسب حجم المخروط طرديًا مع مربع نصف القطر عند القاعدة. عندما يقيس نصف القطر عند القاعدة (10 ​​) سم ، يكون الحجم (200 ) سم مكعب. أوجد حجم المخروط إذا كان نصف قطر القاعدة نصف.
  10. تختلف المسافة (د ) في حالة السقوط الحر للجسم بشكل مباشر مع مربع الوقت (t ) الذي كان يسقط فيه. إذا سقط جسم في حالة سقوط حر (36 ) قدم في (1.5 ) ثانية ، فإلى أي مدى سيقع في (3 ) ثوانٍ؟
إجابه

1. ($382.50)

3. ($26.65)

5. (2π )

7. (36π ) متر مربع

9. (50 ) سم مكعب

تمرين ( PageIndex {9} )

يقترح قانون هوك أن امتداد الزنبرك المعلق يتناسب طرديًا مع الوزن المرتبط به. يسمى ثابت التباين ثابت الربيع.

  1. يتم شد الزنبرك المعلق (5 ) بوصات عندما يتم إرفاقه بوزن رطل. أوجد ثابت الربيع.
  2. يتم شد الزنبرك المعلق (3 ) سم عندما يتم ربطه بوزن (2 ) - كيلوغرام. أوجد ثابت الربيع.
  3. إذا كان الزنبرك المعلق ممتدًا (3 ) بوصات عند ربط (2 ) - وزن رطل ، إلى أي مدى سيمتد مع تثبيت وزن (5 ) - باوند؟
  4. إذا تم شد زنبرك معلق (6 ) سم عند ربط وزن (4 ) - كيلوغرام به ، إلى أي مدى سيمتد مع ربط وزن (2 ) - كيلوغرام؟
إجابه

1. (frac{1}{4})

3. (7.5) inches

تمرين ( PageIndex {10} )

The braking distance of an automobile is directly proportional to the square of its speed.

  1. It takes (36) feet to stop a particular automobile moving at a speed of (30) miles per hour. How much breaking distance is required if the speed is (35) miles per hour?
  2. After an accident, it was determined that it took a driver (80) feet to stop his car. In an experiment under similar conditions, it takes (45) feet to stop the car moving at a speed of (30) miles per hour. Estimate how fast the driver was moving before the accident.
إجابه

1. (49) feet

تمرين ( PageIndex {11} )

Boyle’s law states that if the temperature remains constant, the volume (V) of a given mass of gas is inversely proportional to the pressure (p) exerted on it.

  1. A balloon is filled to a volume of (216) cubic inches on a diving boat under (1) atmosphere of pressure. If the balloon is taken underwater approximately (33) feet, where the pressure measures (2) atmospheres, then what is the volume of the balloon?
  2. A balloon is filled to (216) cubic inches under a pressure of (3) atmospheres at a depth of (66) feet. What would the volume be at the surface, where the pressure is (1) atmosphere?
  3. To balance a seesaw, the distance from the fulcrum that a person must sit is inversely proportional to his weight. If a (72)-pound boy is sitting (3) feet from the fulcrum, how far from the fulcrum must a (54)-pound boy sit to balance the seesaw?
  4. The current (I) in an electrical conductor is inversely proportional to its resistance (R). If the current is (frac{1}{4}) ampere when the resistance is (100) ohms, what is the current when the resistance is (150) ohms?
  5. The amount of illumination (I) is inversely proportional to the square of the distance (d) from a light source. If (70) foot-candles of illumination is measured (2) feet away from a lamp, what level of illumination might we expect (frac{1}{2}) foot away from the lamp?
  6. The amount of illumination (I) is inversely proportional to the square of the distance (d) from a light source. If (40) foot-candles of illumination is measured (3) feet away from a lamp, at what distance can we expect (10) foot-candles of illumination?
  7. The number of men, represented by (y), needed to lay a cobblestone driveway is directly proportional to the area (A) of the driveway and inversely proportional to the amount of time (t) allowed to complete the job. Typically, (3) men can lay (1,200) square feet of cobblestone in (4) hours. How many men will be required to lay (2,400) square feet of cobblestone in (6) hours?
  8. The volume of a right circular cylinder varies jointly as the square of its radius and its height. A right circular cylinder with a (3)-centimeter radius and a height of (4) centimeters has a volume of (36π) cubic centimeters. Find a formula for the volume of a right circular cylinder in terms of its radius and height.
  9. The period (T) of a pendulum is directly proportional to the square root of its length (L). If the length of a pendulum is (1) meter, then the period is approximately (2) seconds. Approximate the period of a pendulum that is (0.5) meter in length.
  10. The time (t) it takes an object to fall is directly proportional to the square root of the distance (d) it falls. An object dropped from (4) feet will take (frac{1}{2}) second to hit the ground. How long will it take an object dropped from (16) feet to hit the ground?
إجابه

1. (108) cubic inches

3. (4) feet

5. (1,120) foot-candles

7. (4) men

9. (1.4) seconds

تمرين ( PageIndex {12} )

Newton’s universal law of gravitation states that every particle of matter in the universe attracts every other particle with a force (F) that is directly proportional to the product of the masses (m_{1}) and (m_{2}) of the particles and inversely proportional to the square of the distance (d) between them. The constant of proportionality is called the gravitational constant.

  1. If two objects with masses (50) kilograms and (100) kilograms are (frac{1}{2}) meter apart, then they produce approximately (1.34 × 10^{−6}) newtons (N) of force. Calculate the gravitational constant.
  2. Use the gravitational constant from the previous exercise to write a formula that approximates the force (F) in newtons between two masses (m_{1}) and (m_{2}), expressed in kilograms, given the distance (d) between them in meters.
  3. Calculate the force in newtons between Earth and the Moon, given that the mass of the Moon is approximately (7.3 × 10^{22}) kilograms, the mass of Earth is approximately (6.0 × 10^{24}) kilograms, and the distance between them is on average (1.5 × 10^{11}) meters.
  4. Calculate the force in newtons between Earth and the Sun, given that the mass of the Sun is approximately (2.0 × 10^{30}) kilograms, the mass of Earth is approximately (6.0 × 10^{24}) kilograms, and the distance between them is on average (3.85 × 10^{8}) meters.
  5. If (y) varies directly as the square of (x), then how does (y) change if (x) is doubled?
  6. If (y) varies inversely as square of (t), then how does (y) change if (t) is doubled?
  7. If (y) varies directly as the square of (x) and inversely as the square of (t), then how does (y) change if both (x) and (t) are doubled?
إجابه

1. (6.7 imes 10 ^ { - 11 } mathrm { Nm } ^ { 2 } / mathrm { kg } ^ { 2 })

3. (1.98 imes 10 ^ { 20 } mathrm { N })

5. (y) changes by a factor of (4)

7. (y) remains unchanged

37Described by the formula (D = rt), where the distance (D) is given as the product of the average rate (r) and the time (t) traveled at that rate.

38The rate at which a task can be performed.

39(frac { 1 } { t _ { 1 } } cdot t + frac { 1 } { t _ { 2 } } cdot t = 1), where (frac { 1 } { t _ { 1 } }) and (frac { 1 } { t _ { 2 } }) are the individual work rates and t is the time it takes to complete the task working together.

40Describes two quantities (x) and (y) that are constant multiples of each other: (y = kx).

41The nonzero multiple (k), when quantities vary directly or inversely.

42Used when referring to the constant of variation.

43Used when referring to direct variation.

44Describes two quantities (x) and (y), where one variable is directly proportional to the reciprocal of the other: (y = frac{k}{x}).

45Used when referring to inverse variation.

46Describes a quantity (y) that varies directly as the product of two other quantities (x) and (z: y = kxz).

47Used when referring to joint variation.


Introduction to Binomial Expansion

You’ll probably have to learn how to expand polynomials to various degrees (powers) using what we call the Binomial Theorem أو Binomial Expansion (أو Binomial Series).
We use this when we want to expand (multiply out) the power of a binomial like ( < ight)>^>) into a sum with terms (a<^><^>), where b و c are non-negative integers (and it turns out that b + c = ن ). أ perfect square trinomial is a simple example: ( < ight)>^<2>>=<^<2>>+2xy+<^<2>>). (The coefficients in this case are 1 , 2 , and 1 , respectively.)

It just turns out that the coefficient أ in this expansion is equal to (left( <egin<*<20>> n c end> ight)) (also written as (displaystyle <>_<_>)), where (left( <egin<*<20>> n c end> ight),,=,,frac<> < ight)!>>) (this is called the binomial coefficient). Remember that (n!=nleft( ight)left( ight),,,….) (until you get to 1 ). (You can also get (displaystyle <>_<_>) on your graphing calculator. Type in what you want for ن , then MATH PROB, and hit 3 or scroll to nCr, and then type c and then ENTER). (displaystyle <>_<_>) is actually the number of ways to choose c items out of ن terms, where order doesn’t matter – also called the Combination function.

Here is the Binomial Theorem (also called Binomial Formula أو Binomial Identity):

See how the exponents of the x ’s are going down (from ن ل 0 ), while the exponents of the ذ ’s are going up (from 0 to ن )? And remember that anything raised to the 0 is just 1 . And for a binomial raise to the “ ن ”, we have “ ن + 1 ” terms.

The coefficients can also be found using a Pascal Triangle, which starts with 1 , and is a triangle with all 1 ’s on the outside. Then on the inside, add the two numbers above to get the next number down:

As an example of how to use the Pascal Triangle, start with the second row for ( < ight)>^<1>>=1x+1y), so the coefficients are both 1 . When using the Pascal Triangle, the exponent of the binomial is off by 1 for example, we used the 2 nd row to get the coefficients for ( < ight)>^<1>>).

Here’s another illustration of just how Pascal’s Triangle is used for expanding binomials:

Here’s a hint: when finding the coefficients of a binomial expansion using Pascal’s triangle, find the line with the second term the same as the power you want. For example, for a binomial with power 5 , use the line 1 5 10 10 5 1 for coefficients.


15.6.1: More Examples of Applications - Mathematics

Throughout history, the ratio for length to width of rectangles of 1.61803 39887 49894 84820 has been considered the most pleasing to the eye. This ratio was named the golden ratio by the Greeks. In the world of mathematics, the numeric value is called "phi", named for the Greek sculptor Phidias. The space between the collumns form golden rectangles. There are golden rectangles throughout this structure which is found in Athens, Greece.

He sculpted many things including the bands of sculpture that run above the columns of the Parthenon. You can take a slide show visit to the Parthenon which is pictured above.

Phidias widely used the golden ratio in his works of sculpture. The exterior dimensions of the Parthenon in Athens, built in about 440BC, form a perfect golden rectangle. How many examples of golden rectangles can you find in the below floorplan of the Parthenon? You may want to print the diagram and measure the distances using a ruler.

Following are more examples of art and architecture which have employed the golden rectangle. This first example of the Great Pyramid of Giza is believed to be 4,600 years old, which was long before the Greeks. Its dimensions are also based on the Golden Ratio. The website about the pyramid gives very extensive details on this.

Many artists who lived after Phidias have used this proportion. Leonardo Da Vinci called it the "divine proportion" and featured it in many of his paintings. To the left is the famous "Mona Lisa". Try drawing a rectangle around her face. Are the measurements in a golden proportion? You can further explore this by subdividing the rectangle formed by using her eyes as a horizontal divider. He did an entire exploration of the human body and the ratios of the lengths of various body parts.

Golden Section Plate 1, 1993
by Fletcher Cox
birds-eye maple, spalted
red oak, bubinga, wenge, and maple veneer lathe-turned
31 x 4 cm
Lent by the White House
gift of the artist
Photograph by John Bigelow Taylor

Above is an example of a modern day artist who is interested in the golden ratio. He titled his work the Golden Section which is simply another name for ratio, meaning it is cut into sections of golden proportion.


Examples of Awesome Personal Statements

Write your own awesome personal statement with our COLLEGE APPLICATION ESSAY LAB, which will guide you through the process, providing tips and even more examples along the way.

Before you start, check out our own sample essays—or scroll down for the Best of the Web. Whether you're an athlete, a minority, or no one special (or, uh, probably some combination), we've got you covered.

No One Special

Emotional Hardship

Physical Hardship

International Student

Special Skills

Non-Traditional Age

Some are surprising and some are clever, but they're all good examples of a "hook," not the kind with the pointy mustache but something that writers use to grab their reader's attention and make them want to keep reading.

Grab Them with the First Line
Stanford Magazine compiled the following list of great opening lines written by hopeful Stanford applicants.

Essays That Worked
Connecticut College posts a list of college essays “that worked.”

More Essays that Worked
Hamilton College provides access to some of their favorite application essays.

Other Resources for College Essay Writing

Writing the Personal Statement
The Purdue Online Writing lab offers a guide to writing all kinds of personal statements.

Application Tips: Tackling the Personal Essay
Abc.com provides some good tips on approaching the personal essay.

The Elements of Style
Flip through this famous guide to writing by William Strunk, Jr. that many students and teachers use. Read the 1918 version for free online.

Get Your Writing On
Some great handbooks on writing by writing guru Andrea Lunsford.

Grammar Resources
The University of Chicago’s guide to grammar.


10 Awesome Reasons Why Statistics Are Important

Why statistics are important in our life? Statistics are the sets of mathematical equations that we used to analyze the things. It keeps us informed about, what is happening in the world around us. Statistics are important because today we live in the information world and much of this information’s are determined mathematically by Statistics Help. It means to be informed correct data and statics concepts are necessary. To be more specific about the importance of statics in our life, here are 10 amazing reasons that we have heard on several occasions.

1) Every b ody watches weather forecasting. Have you ever think how do you get that information? There are some computers models build on statistical concepts. These computer models compare prior weather with the current weather and predict future weather.

2) Statistics mostly used by the researcher. They use their statistical skills to collect the relevant data. Otherwise, it results in a loss of money, time and data.

3) What do you understand by insurance? Everybody has some kind of insurance, whether it is medical, home or any other insurance. Based on an individual application some businesses use statistical models to calculate the risk of giving insurance.

4) In financial market also statistic plays a great role. Statistics are the key of how traders and businessmen invest and make money.

5) Statistics play a big role in the medical field. Before any drugs prescribed, scientist must show a statistically valid rate of effectiveness. Statistics are behind all the study of medical.

6) Statistical concepts are used in quality testing. Companies make many products on a daily basis and every company should make sure that they sold the best quality items. But companies cannot test all the products, so they use statistics sample.

7) In everyday life we make many predictions. For examples, we keep the alarm for the morning when we don’t know that we will be alive in the morning or not. Here we use statistics basics to make predictions.

8) Doctors predict disease on based on statistics concepts. Suppose a survey shows that 75%-80% people have cancer and not able to find the reason. When the statistics become involved, then you can have a better idea of how the cancer may affect your body or is smoking is the major reason for it.

9) News reporter makes a prediction of winner for elections based on political campaigns. Here statistics play a strong part in who will be your governments.

10) Statistics data allow us to collect the information around the world. The internet is a devise which help us to collect the information. The fundamental behind the internet is based on statistics and mathematics concepts.

To know more about the statistics take online math help. Hope these 10 everyday reasons help you to understand the importance of statistics.


Rolling Two Dice

With the sample space now identified, formal probability theory requires that we identify the possible events. These are always subsets of the sample space, and must form a sigma-algebra. In an example such as this, where the sample space is finite because it has only 36 different outcomes, it is perhaps easiest to simply declare ALL subsets of the sample space to be possible events. That will be a sigma-algebra and avoids what might otherwise be an annoying technical difficulty. We make that declaration with this example of two dice.

With the above declaration, the outcomes where the sum of the two dice is equal to 5 form an event. If we call this event E, we have

Consider next the probability of E, P(E). Here we need more information. If the two dice are fair و مستقل , each possibility (a,b) is equally likely. Because there are 36 possibilities in all, and the sum of their probabilities must equal 1, each singleton event <(a,b)>is assigned probability equal to 1/36. Because E is composed of 4 such distinct singleton events, P(E)=4/36= 1/9.

In general, when the two dice are fair and independent, the probability of any event is the number of elements in the event divided by 36.

What if the dice aren't fair, or aren't independent of each other? Then each outcome <(a,b)>is assigned a probability (a number in [0,1]) whose sum over all 36 outcomes is equal to 1. These probabilities aren't all equal, and must be estimated by experiment or inferred from other hypotheses about how the dice are related and and how likely each number is on each of the dice. Then the probability of an event such as E is the sum of the probabilities of the singleton events <(a,b)>that make up E.


TABE Practice Test

If you are preparing to take the TABE test, you realize that it is going to be a challenge. Every hour you spend preparing will help you get a better score.

Going back to college (or trade school or technical school) after being out of high school for several years or decades can be a daunting and bewildering experience. Juniors and seniors in high school have all kinds of people and resources to turn to when it comes to navigating the college application process: parents, teachers, guidance counselors, peers who are also applying, etc.

Older people hoping to start college later in life generally do not have access to these same resources they are left to fend for themselves, and have to figure much of this stuff out on their own. One of the biggest areas of confusion is which test (or tests) a person must take before enrolling in college, which is where the TABE comes in.

So where does the TABE fit in? If you are confused, it is easy to understand why. After all, in the realm of tests related to college admissions, in addition to the TABE, there are the ACT test, the SAT exam, the COMPASS, the ASSET exam, CLEP tests, AP tests, GED tests, the CPAt test, and many more.

On top of this confusing number of exams, there is also a ton of paperwork and other essentials that must be taken care of when applying to school. It is easy to start feeling overwhelmed. However, the TABE is easy enough to understand once you discover what it is all about. Taking numerous TABE practice tests is recommended for test day success.

Essentially, the TABE is a placement test. (The name stands for Test of Adult Basic Education.) It is used by trade schools, technical schools and some colleges to give them a good idea of what level of academic challenge you are ready to face. The test covers the basics of reading, English and math.

Based on your test scores, schools will decide if you are up to the challenge without further preparation, and if so, whether you can take basic, intermediate or advanced courses, or if you need remedial courses in some areas before taking on actual college credit courses, or if it might be best for you to wait until you have gotten better prepared to tackle college courses. There are other programs that might require you to take the TABE, such as GED prep classes and Adult Education programs.

One thing to keep in mind is that there is no “passing” score, as such. Every school or program will have guidelines and standards in place, and they will determine where your score places you based on those standards. Also, a low score does not necessarily mean that you can never go to college. It just means that you might have to put in some hard work to accomplish your goals.


Law of Conservation of Energy

According to the law of conservation of energy, the total energy of a system remains constant, though energy may transform into another form. Two billiard balls colliding, for example, may come to rest, with the resulting energy becoming sound and perhaps a bit of heat at the point of collision. When the balls are in motion, they have kinetic energy. Whether they are in motion or stationary, they also have potential energy because they are on a table above the ground.

Energy cannot be created, nor destroyed, but it can change forms and is also related to mass. The mass-energy equivalence theory states an object at rest in a frame of reference has a rest energy. If additional energy is supplied to the object, it actually increases that object's mass. For example, if you heat a steel bearing (adding thermal energy), you very slightly increase its mass.


Process Id Arrival time Burst time
أ 0 4
ب 0 1
ج 0 8
د 0 1

Gantt chart-

Ready Queue-

Clearly, completion time of process A = 9 unit.

To gain better understanding about Round Robin Scheduling,

Get more notes and other study material of نظام التشغيل.

Watch video lectures by visiting our YouTube channel LearnVidFun.


15.6.1: More Examples of Applications - Mathematics

Addition Rule
Sum Rule for Probability

A method for finding the probability that either or both of two events occurs.

P(A or B) = P(A) + P(B) – P(A and B)

In a group of 101 students 30 are freshmen and 41 are sophomores. Find the probability that a student picked from this group at random is either a freshman or sophomore.

Note that P(freshman) = 30/101 and P(sophomore) = 41/101. هكذا

P(freshman or sophomore) = 30/101 + 41/101 = 71/101

This makes sense since 71 of the 101 students are freshmen or sophomores.

In a group of 101 students 40 are juniors, 50 are female, and 22 are female juniors. Find the probability that a student picked from this group at random is either a junior or female.

Note that P(junior) = 40/101 and P(female) = 50/101, and P(junior and female) = 22/101. هكذا

P(junior or female) = 40/101 + 50/101 – 22/101 = 68/101

This makes sense since 68 of the 101 students are juniors or female.

Not sure why? When we add 40 juniors to 50 females and get a total of 90, we have overcounted. The 22 female juniors were counted twice 90 minus 22 makes 68 students who are juniors or female.


شاهد الفيديو: رياضيات الثالث متوسط. الفصل الاول. ترتيب العمليات على الاعداد الحقيقية 2021محاضرة 1 (ديسمبر 2021).