مقالات

10.3: أوجد معادلة الخط المستقيم


أهداف التعلم

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • أوجد معادلة الخط المستقيم بمعلومية الميل وتقاطع y
  • أوجد معادلة الخط بمعلومية الميل والنقطة
  • أوجد معادلة للخط بمعلومية نقطتين
  • أوجد معادلة لخط موازٍ لخط معين
  • أوجد معادلة خط عمودي على خط معين

ملحوظة

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. حل: ( frac {2} {3} = frac {x} {5} ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع التمرين 2.2.4.
  2. بسّط: (- frac {2} {5} (x − 15) ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع التمرين 1.10.34.

كيف يعرف تجار التجزئة على الإنترنت أنك "قد تعجبك أيضًا" عنصرًا معينًا بناءً على شيء طلبته للتو؟ كيف يعرف الاقتصاديون كيف سيؤثر ارتفاع الحد الأدنى للأجور على معدل البطالة؟ كيف يصنع الباحثون الطبيون أدوية لاستهداف الخلايا السرطانية؟ كيف يمكن لمهندسي المرور أن يتنبأوا بتأثير الزيادة أو النقصان في أسعار الغاز على وقت تنقلك؟ إنها كلها رياضيات.

أنت في مرحلة مثيرة في رحلتك الرياضية لأن الرياضيات التي تدرسها لها تطبيقات مثيرة للاهتمام في العالم الحقيقي.

العلوم الفيزيائية والعلوم الاجتماعية وعالم الأعمال مليئة بالمواقف التي يمكن نمذجتها باستخدام معادلات خطية تتعلق بمتغيرين. يتم جمع البيانات ورسمها بيانيًا. إذا ظهرت نقاط البيانات على أنها تشكل خطًا مستقيمًا ، فيمكن استخدام معادلة لهذا الخط للتنبؤ بقيمة متغير واحد بناءً على قيمة المتغير الآخر.

لإنشاء نموذج رياضي لعلاقة خطية بين متغيرين ، يجب أن نكون قادرين على إيجاد معادلة الخط. في هذا القسم سنلقي نظرة على عدة طرق لكتابة معادلة الخط المستقيم. سيتم تحديد الطريقة المحددة التي نستخدمها من خلال المعلومات المقدمة إلينا.

أوجد معادلة الخط بمعلومية المنحدر و ذ-تقاطع

يمكننا بسهولة تحديد ميل الخط وتقطعه إذا كانت المعادلة مكتوبة بصيغة الميل والتقاطع ، y = mx + b. الآن ، سنفعل العكس - سنبدأ بالميل و ذ- اعترض واستخدمها لإيجاد معادلة الخط المستقيم.

تمرين ( PageIndex {1} )

أوجد معادلة الخط الذي ميله −7 و ذ- التقاطع (0 ، −1).

إجابه

منذ أن أعطيت لنا المنحدر و ذ- عند تقاطع الخط ، يمكننا التعويض بالقيم المطلوبة في صيغة الميل - التقاطع ، y = mx + b.

اسم المنحدر.
قم بتسمية ملف ذ-تقاطع.
عوّض بالقيم في y = mx + b.

تمرين ( PageIndex {2} )

أوجد معادلة خط بميل ( frac {2} {5} ) و ذ- التقاطع (0،4).

إجابه

(y = frac {2} {5} x + 4 )

تمرين ( PageIndex {3} )

أوجد معادلة الخط الذي ميله −1 و ذ- التقاطع (0 ، −3).

إجابه

(ص = x − 3 )

في بعض الأحيان ، يجب تحديد المنحدر والتقاطع من الرسم البياني.

تمرين ( PageIndex {4} )

أوجد معادلة الخط الموضح.

إجابه

علينا إيجاد المنحدر و ذ- تقاطع الخط من الرسم البياني حتى نتمكن من تعويض القيم المطلوبة في صيغة الميل - التقاطع ، y = mx + by = mx + b.

لإيجاد الميل ، نختار نقطتين على الرسم البياني.

ال ذ- التقاطع هو (0، −4) ويمر الرسم البياني من خلاله (3، −2).

أوجد المنحدر بحساب الارتفاع والجري.
أعثر على ذ-تقاطع.
عوّض بالقيم في y = mx + b.

تمرين ( PageIndex {5} )

أوجد معادلة الخط الموضح في الرسم البياني.

إجابه

(y = frac {3} {5} x + 1 )

تمرين ( PageIndex {6} )

أوجد معادلة الخط الموضح في الرسم البياني.

إجابه

(ص = فارك {4} {3} س − 5 )

أوجد معادلة الخط بمعلومية الميل والنقطة

البحث عن معادلة خط باستخدام صيغة الميل والتقاطع للمعادلة يعمل جيدًا عندما تحصل على الميل و ذ- اعتراض أو عند قراءتها خارج الرسم البياني. ولكن ماذا يحدث عندما يكون لديك نقطة أخرى بدلاً من ذ-تقاطع؟

سنستخدم صيغة الميل لاشتقاق شكل آخر من معادلة الخط المستقيم. لنفترض أن لدينا خطًا به ميل مم ويحتوي على نقطة معينة ((x_ {1}، y_ {1}) ) ونقطة أخرى سنسميها فقط (x، y) يمكننا كتابة ميل هذا الخط ثم تغييره إلى صيغة مختلفة.

( start {array} {lrll} & m & = frac {y-y_ {1}} {x-x_ {1}} text {اضرب طرفي المعادلة ب} x − x_ {1} . & m left (x-x_ {1} right) & = left ( frac {y-y_ {1}} {x-x_ {1}} right) left (x-x_ {1} right) text {Simplify.} & m left (x-x_ {1} right) & = y-y_ {1} text {أعد كتابة المعادلة بالحدود y على اليسار.} & y- y_ {1} & = m left (x-x_ {1} right) end {array} )

هذا التنسيق يسمى صيغة نقطة - ميل لمعادلة خط.

نقطة - ميل شكل معادلة خط

ال نقطة - شكل منحدر لمعادلة خط بميل مم وتحتوي على النقطة ((x_ {1}، y_ {1}) ) هي

يمكننا استخدام صيغة المعادلة من نقطة إلى ميل لإيجاد معادلة خط ما عندما يكون لدينا الميل ونقطة واحدة. ثم نعيد كتابة المعادلة بصيغة الميل والتقاطع. تستخدم معظم تطبيقات المعادلات الخطية صيغة الميل-التقاطع.

التمرين ( PageIndex {7} ): ابحث عن معادلة خط بمعرفة المنحدر والنقطة

ابحث عن معادلة خط بميل (m = frac {2} {5} ) تحتوي على النقطة (10،3). اكتب المعادلة بصيغة الميل والتقاطع.

إجابه




تمرين ( PageIndex {8} )

أوجد معادلة خط بميل (m = frac {5} {6} ) وتحتوي على النقطة (6،3).

إجابه

(y = frac {5} {6} x − 2 )

تمرين ( PageIndex {9} )

ابحث عن معادلة خط بميل (m = frac {2} {3} ) وتحتوي على النقطة (9،2).

إجابه

(ص = فارك {2} {3} س − 4 )

أوجد معادلة لخط معطى المنحدر والنقطة.

  1. حدد المنحدر.
  2. حدد النقطة.
  3. عوّض بالقيم في صيغة الميل والنقطة ، (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).
  4. اكتب المعادلة بصيغة الميل والتقاطع.

تمرين ( PageIndex {10} )

ابحث عن معادلة خط بميل (m = - frac {1} {3} ) تحتوي على النقطة (6، −4). اكتب المعادلة بصيغة الميل والتقاطع.

إجابه

نظرًا لأن لدينا نقطة وميل الخط ، فيمكننا التعويض بالقيم المطلوبة في صيغة النقطة والميل ، (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).

حدد المنحدر.
حدد النقطة.
عوّض بالقيم في (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).
تبسيط.
اكتب في صيغة الميل والتقاطع.

تمرين ( PageIndex {11} )

أوجد معادلة خط بميل (m = - frac {2} {5} ) وتحتوي على النقطة (10، −5).

إجابه

(ص = - فارك {2} {5} س − 1 )

تمرين ( PageIndex {12} )

أوجد معادلة خط بميل (m = - frac {3} {4} ) وتحتوي على النقطة (4، −7).

إجابه

(ص = - فارك {3} {4} س − 4 )

تمرين ( PageIndex {14} )

أوجد معادلة لخط أفقي يحتوي على النقطة (−3 ، 8).

إجابه

ص = 8

تمرين ( PageIndex {15} )

أوجد معادلة لخط أفقي يحتوي على النقطة (1،4).

إجابه

ص = 4

أوجد معادلة للخط بمنح نقطتين

عندما يتم جمع بيانات العالم الحقيقي ، يمكن إنشاء نموذج خطي من نقطتي بيانات. في المثال التالي سنرى كيفية إيجاد معادلة خط عند إعطاء نقطتين فقط.

لدينا خياران حتى الآن لإيجاد معادلة خط: ميل - تقاطع أو نقطة - ميل. نظرًا لأننا سنعرف نقطتين ، فسيكون من المنطقي استخدام صيغة النقطة والميل.

لكن بعد ذلك نحتاج إلى الميل. هل يمكننا إيجاد الميل بنقطتين فقط؟ نعم. وبعد ذلك ، بمجرد أن نحصل على الميل ، يمكننا استخدامه وإحدى النقاط المعطاة لإيجاد المعادلة.

التمرين ( PageIndex {16} ): ابحث عن معادلة خط بمنح نقطتين

أوجد معادلة خط يحتوي على النقطتين (5،4) و (3،6). اكتب المعادلة بصيغة الميل والتقاطع.

إجابه

استخدم النقطة (3،6) ولاحظ أنك تحصل على نفس المعادلة.

تمرين ( PageIndex {17} )

أوجد معادلة خط يحتوي على النقطتين (3،1) و (5،6).

إجابه

(y = frac {5} {2} x− frac {13} {2} )

تمرين ( PageIndex {18} )

أوجد معادلة خط يحتوي على النقطتين (1،4) و (6،2).

إجابه

(y = - frac {2} {5} x + frac {22} {5} )

ابحث عن معادلة لخط معطى نقطتين.

  1. أوجد الميل باستخدام النقاط المعطاة.
  2. اختر نقطة واحدة.
  3. عوّض بالقيم في صيغة الميل والنقطة ، (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).
  4. اكتب المعادلة بصيغة الميل والتقاطع.

تمرين ( PageIndex {20} )

أوجد معادلة لخط يحتوي على النقاط (−2، −4) و (1، −3).

إجابه

(y = frac {1} {3} x− frac {10} {3} )

تمرين ( PageIndex {21} )

أوجد معادلة خط يحتوي على النقاط (−4، −3) و (1، −5).

إجابه

(y = - frac {2} {5} x− frac {23} {5} )

تمرين ( PageIndex {22} )

أوجد معادلة الخط الذي يحتوي على النقطتين (−2،4) و (2، −3). اكتب المعادلة بصيغة الميل والتقاطع.

إجابه

مرة أخرى ، ستكون الخطوة الأولى هي إيجاد المنحدر.

( start {array} {lrl} text {ابحث عن ميل السطر المار} (- 2،4) text {and} (- 2، -3) & & & & m & = & frac {y_ {2} -x_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} & m & = & frac {-3-4} {- 2 - (- 2)} & m & = & frac {-7} {0} text {الميل غير محدد.} & & & end {array} )

هذا يخبرنا أنه خط عمودي. كلتا النقطتين لدينا x-تنسيق −2. إذن ، معادلة الخط المستقيم هي x = −2. نظرًا لعدم وجود yy ، لا يمكننا كتابته بصيغة الميل والتقاطع.

قد ترغب في رسم رسم بياني باستخدام النقطتين المحددتين. هل يتفق الرسم البياني مع استنتاجنا أن هذا خط عمودي؟

تمرين ( PageIndex {23} )

أوجد معادلة خط يحتوي على النقطتين (5،1) و (5، −4).

إجابه

س = 5

تمرين ( PageIndex {24} )

أوجد معادلة خط يحتوي على النقطتين (−4،4) و (4،3).

إجابه

س = −4

لقد رأينا أنه يمكننا استخدام صيغة الميل - التقاطع أو صيغة النقطة - الميل لإيجاد معادلة الخط المستقيم. يعتمد الشكل الذي نستخدمه على المعلومات المقدمة إلينا. تم تلخيص ذلك في الجدول ( PageIndex {1} ).

لكتابة معادلة خط
إذا أعطيت:يستخدم:استمارة:
المنحدر و ذ-تقاطعالمنحدر اعتراضص = م س + ب
منحدر ونقطةمنحدر نقطة (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) )
نقطتانمنحدر نقطة (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) )
جدول ( PageIndex {1} )

أوجد معادلة خط موازٍ لخط معطى

لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد معادلة لخط يمر بنقطة معينة ويوازي خطًا معينًا. يمكننا استخدام حقيقة أن الخطين المتوازيين لهما نفس الميل. إذن سيكون لدينا نقطة والميل - فقط ما نحتاجه لاستخدام معادلة النقطة والميل.

أولا دعونا نلقي نظرة على هذا بيانيا.

يوضح الرسم البياني التمثيل البياني لـ y = 2x − 3. نريد رسم خط موازٍ لهذا الخط ويمر بالنقطة (−2،1).

نعلم أن ميل المستقيمات المتوازية هو نفس الميل. إذن ، الخط الثاني سيكون له نفس ميل y = 2x − 3. هذا المنحدر هو (م _ { |} = 2 ). سنستخدم الترميز (m _ { |} ) لتمثيل ميل الخط الموازي لخط بميله m. (لاحظ أن الحرف المنخفض ∥ يشبه خطين متوازيين.)

سيمر الخط الثاني من خلال (−2،1) ويكون م = 2. لرسم الخط ، نبدأ من (−2 ، 1) ونحسب الارتفاع والجري. باستخدام m = 2 (أو (m = frac {2} {1} )) ، نحسب الارتفاع 2 والتشغيل 1. نرسم الخط.

هل الخطوط تبدو متوازية؟ هل يمر الخط الثاني من خلال (−2،1)؟

الآن ، دعونا نرى كيفية القيام بذلك جبريًا.

يمكننا استخدام صيغة الميل - التقاطع أو صيغة النقطة - الميل لإيجاد معادلة الخط المستقيم. هنا نعرف نقطة واحدة ويمكننا إيجاد الميل. لذلك سنستخدم صيغة النقطة والميل.

التمرين ( PageIndex {25} ): كيفية البحث عن معادلة لخط موازٍ لخط معين

أوجد معادلة خط موازٍ للخط y = 2x − 3 تحتوي على النقطة (−2،1). اكتب المعادلة بصيغة الميل والتقاطع.

إجابه

هل هذه المعادلة منطقية؟ ما هو ملف ذ- اعتراض الخط؟ ما هو المنحدر؟

تمرين ( PageIndex {26} )

أوجد معادلة الخط الموازي للخط y = 3x + 1 التي تحتوي على النقطة (4،2). اكتب المعادلة بصيغة الميل والتقاطع.

إجابه

ص = 3 س − 10

تمرين ( PageIndex {27} )

أوجد معادلة الخط الموازي للخط (y = frac {1} {2} x − 3 ) التي تحتوي على النقطة (6،4).

إجابه

(y = frac {1} {2} x + 1 )

ابحث عن معادلة خط موازي لخط معطى.

  1. أوجد ميل الخط المستقيم المعطى.
  2. أوجد ميل الخط الموازي.
  3. حدد النقطة.
  4. عوّض بالقيم في صيغة النقطة والميل ، (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).
  5. اكتب المعادلة بصيغة الميل والتقاطع.

أوجد معادلة لخط عمودي على خط معطى

الآن ، دعونا ننظر في الخطوط العمودية. لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد خط يمر عبر نقطة معينة ويكون متعامدًا على خط معين. يمكننا استخدام حقيقة أن ميل الخطوط العمودية يساوي سالب مقلوب. سنستخدم مرة أخرى معادلة النقطة والميل ، كما فعلنا مع الخطوط المتوازية.

يوضح الرسم البياني التمثيل البياني لـ y = 2x − 3. الآن ، نريد رسم خط عمودي على هذا الخط ويمر عبر (−2،1).

نعلم أن ميل المستقيمات المتعامدة يساوي سالب مقلوب. سنستخدم الترميز (m _ { perp} ) لتمثيل ميل الخط العمودي على خط بميله m. (لاحظ أن الرمز (_ { perp} ) يشبه الزوايا القائمة المكونة من خطين متعامدين.)

[ begin {array} {cl} {y = 2 x-3} & { text {سطر عمودي}} {m = 2} & {m _ { perp} = - frac {1} {2 }} نهاية {مجموعة} ]

نحن نعلم الآن أن الخط العمودي سيمر عبر (−2،1) مع (m _ { perp} = - frac {1} {2} ).

لرسم الخط ، سنبدأ من (2 ، 1) ونحسب الارتفاع −1 والجري 2. ثم نرسم الخط.

هل تظهر الخطوط بشكل عمودي؟ هل يمر الخط الثاني من خلال (−2،1)؟

الآن ، دعونا نرى كيفية القيام بذلك جبريًا. يمكننا استخدام صيغة الميل - التقاطع أو صيغة النقطة - الميل لإيجاد معادلة الخط المستقيم. في هذا المثال ، نعرف نقطة واحدة ، ويمكننا إيجاد الميل ، لذلك سنستخدم صيغة النقطة والميل.

تمرين ( PageIndex {28} )

أوجد معادلة خط عمودي على y = 2x − 3 تحتوي على النقطة (−2،1). اكتب المعادلة بصيغة الميل والتقاطع.

إجابه





تمرين ( PageIndex {29} )

أوجد معادلة خط عمودي على الخط y = 3x + 1 تحتوي على النقطة (4،2). اكتب المعادلة بصيغة الميل والتقاطع.

إجابه

(y = - frac {1} {3} x + frac {10} {3} )

تمرين ( PageIndex {30} )

أوجد معادلة خط عمودي على الخط (y = frac {1} {2} x − 3 ) التي تحتوي على النقطة (6،4).

إجابه

ص = −2x + 16

ابحث عن معادلة لخط متعامد لخط معطى.

  1. أوجد ميل الخط المستقيم المعطى.
  2. أوجد ميل الخط العمودي.
  3. حدد النقطة.
  4. عوّض بالقيم في صيغة النقطة والميل ، (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).
  5. اكتب المعادلة بصيغة الميل والتقاطع.

تمرين ( PageIndex {31} )

أوجد معادلة خط عمودي على x = 5 تحتوي على النقطة (3، −2). اكتب المعادلة بصيغة الميل والتقاطع.

إجابه

مرة أخرى ، نظرًا لأننا نعرف نقطة واحدة ، فإن خيار المنحدر والنقطة يبدو واعدًا أكثر من خيار الميل - التقاطع. نحتاج إلى الميل لاستخدام هذه الصيغة ، ونعلم أن الخط الجديد سيكون عموديًا على x = 5. هذا الخط عمودي ، لذلك سيكون عمودي أفقيًا. يخبرنا هذا بـ (m _ { perp} = 0 ).

( start {array} {lrll} { text {تحديد النقطة.}} & {(3} & {،} & {- 2)} { text {تحديد ميل الخط العمودي.} } & {m _ { perp}} & {=} & {0} { text {استبدل القيم في} y-y_ {1} = m left (x-x_ {1} right).} & {y-y_ {1}} & {=} & {m left (x-x_ {1} right)} {} & {y - (- 2)} & {=} & {0 ( x − 3)} { text {Simplify.}} & {y + 2} & {=} & {0} & {y} & {=} & {- 2} end {array} )

ارسم الرسم البياني لكلا الخطين. هل تبدو متعامدة؟

تمرين ( PageIndex {32} )

أوجد معادلة خط عمودي على الخط x = 4 الذي يحتوي على النقطة (4، −5). اكتب المعادلة بصيغة الميل والتقاطع.

إجابه

ص = −5

تمرين ( PageIndex {33} )

أوجد معادلة خط عمودي على الخط x = 2 الذي يحتوي على النقطة (2، −1). اكتب المعادلة بصيغة الميل والتقاطع.

إجابه

ص = -1

في التمرين ( PageIndex {31} ) ، استخدمنا صيغة النقطة والميل لإيجاد المعادلة. كان بإمكاننا النظر إلى هذا بطريقة مختلفة.

نريد إيجاد خط عمودي على x = 5 يحتوي على النقطة (3، −2). يوضح الرسم البياني الخط x = 5 والنقطة (3، −2).

نعلم أن كل خط عمودي على خط رأسي أفقي ، لذلك سنرسم الخط الأفقي من خلاله (3 ، −2).

هل تظهر الخطوط بشكل عمودي؟

إذا نظرنا إلى بضع نقاط على هذا الخط الأفقي ، نلاحظ وجودها جميعًا ذ- إحداثيات −2. إذن ، معادلة الخط المستقيم العمودي على الخط العمودي x = 5 هي y = −2.

تمرين ( PageIndex {34} )

أوجد معادلة خط عمودي على y = −4 تحتوي على النقطة (−4،2). اكتب المعادلة بصيغة الميل والتقاطع.

إجابه

الخط y = −4 خط أفقي. أي خط متعامد عليه يجب أن يكون رأسيًا بالصيغة x = a. نظرًا لأن الخط العمودي عمودي ويمر عبر (−4،2) ، فإن كل نقطة عليه لها علامة x-تنسيق −4. معادلة الخط العمودي هي x = −4. قد ترغب في رسم الخطوط. هل تظهر بشكل عمودي؟

تمرين ( PageIndex {35} )

أوجد معادلة خط عمودي على الخط y = 1 الذي يحتوي على النقطة (−5،1). اكتب المعادلة بصيغة الميل والتقاطع.

إجابه

س = −5

تمرين ( PageIndex {36} )

أوجد معادلة خط عمودي على الخط y = −5 الذي يحتوي على النقطة (−4، −5).

إجابه

س = −4

المفاهيم الرئيسية

  • لإيجاد معادلة خط بمعرفة الميل والنقطة
    1. حدد المنحدر.
    2. حدد النقطة.
    3. عوّض بالقيم في صيغة الميل والنقطة ، (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).
    4. اكتب المعادلة بصيغة الميل والمقطع.
  • لإيجاد معادلة خط معطى نقطتين
    1. أوجد الميل باستخدام النقاط المعطاة.
    2. اختر نقطة واحدة.
    3. عوّض بالقيم في صيغة الميل والنقطة ، (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).
    4. اكتب المعادلة بصيغة الميل والمقطع.
  • لكتابة ومعادلة الخط
    • إذا تم إعطاء ميل و (y ) - تقاطع ، استخدم صيغة الميل - التقاطع (y = mx + b ).
    • إذا كان هناك ميل ونقطة ، فاستخدم صيغة النقطة والميل (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).
    • إذا أعطيت نقطتين ، استخدم صيغة النقطة – الميل (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).
  • لإيجاد معادلة خط موازٍ لخط معين
    1. أوجد ميل الخط المستقيم المعطى.
    2. أوجد ميل الخط الموازي.
    3. حدد النقطة.
    4. عوّض بالقيم في صيغة الميل والنقطة ، (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).
    5. اكتب المعادلة بصيغة الميل والمقطع.
  • لإيجاد معادلة خط عمودي على خط معين
    1. أوجد ميل الخط المستقيم المعطى.
    2. أوجد ميل الخط العمودي.
    3. حدد النقطة.
    4. عوّض بالقيم في صيغة الميل والنقطة ، (y − y_ {1} = m (x − x_ {1}) ).
    5. اكتب المعادلة بصيغة الميل والمقطع.

قائمة المصطلحات

نقطة - شكل منحدر
صيغة النقطة – المنحدر لمعادلة خط بميل ملم وتحتوي على النقطة ( left (x_ {1}، y_ {1} right) ) هي (y-y_ {1} = m left (x-x_ {1} right) ).

أوجد معادلة خط بمعلومية ميله ونقطة على الخط

سننظر الآن في كيفية استخدام صيغة الميل والنقطة للحصول على معادلة خط بمعلومية ميله ونقطة على الخط المستقيم.

مثال :

أوجد معادلة المستقيم ذي المنحدر & ndash3 والمرور به (& ndash2 ، 1).

الخطوة 1 : اكتب نموذج المنحدر والنقطة

الخطوة 2 : استبدل المنحدر & ndash3 وإحداثيات النقطة (& ndash2 ، 1) في شكل نقطة - ميل.

الخطوه 3 : بسّط المعادلة

المعادلة المطلوبة هي ذ = & ndash3x & ناقص 5

استخدام تقاطع الميل للحصول على المعادلة

مثال :

أوجد معادلة خط مع ميل & - ويمر من خلاله (& ndash3، 1).

الخطوة 1: استبدل م = & ndash ، x = & ndash3 و ذ = 1 في المعادلة ذ = مكس + ج للحصول على قيمة ج.

الخطوة 2: اكتب معادلة الخط المستقيم

المعادلة المطلوبة هي أو 2ذ = & ndash3x & ndash 7

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


مثال: 10.3 الصف 11 رياضيات السؤال 1.
اختصر المعادلات التالية إلى صيغة الميل والمقطع وابحث عن ميلها وتقاطع y.
(أنا) س + 7 ص = 0 ،
(ثانيا) 6 س + 3 ص -5 = 0 ،
(ثالثا) ص = 0
حل:
(أنا) قدمنا ​​معادلة س + 7 ص = 0 ، والتي يمكن كتابتها بالصيغة
⇒ 7y = & # 8211 x ⇒ y = x + 0 & # 8230 (1)
أيضًا ، نموذج تقاطع الميل هو y-mx + c & # 8230 (2)
عند المقارنة (1) و (2) ، نحصل على
م = ، ج = 0
ومن ثم يكون الميل وتقاطع y = 0.

(ثانيا) قدمنا ​​معادلة 6x + 3y & # 8211 5 = 0 ، والتي يمكن كتابتها بالصيغة 3y = & # 8211 6x + 5
⇒ ص = & # 8211 2x + & # 8230 (1)
أيضًا ، نموذج تقاطع الميل هو y = mx + c & # 8230 (2)
عند المقارنة (1) و (2) ، نحصل على
م = & # 8211 2 و ج =
أي الميل = & # 8211 2 وتقاطع y =

(ثالثا) لقد قدمنا ​​المعادلة y = 0
ص = 0 · س + 0 & # 8230 (1)
أيضًا ، نموذج تقاطع الميل هو y = mx + c & # 8230 (2) عند المقارنة (1) و (2) ، نحصل على
م = 0 ، ج = 0.
ومن ثم ، فإن الميل يساوي 0 وتقاطع y يساوي 0.

مثال 10.3 للصف 11 رياضيات السؤال 2.
قم بتقليل المعادلات التالية إلى شكل تقاطع وابحث عن نقاط التقاطع الخاصة بها على المحاور.
(أنا) 3x + 2y & # 8211 12 = 0 ،
(ثانيا) 4x & # 8211 3y = 6 ،
(ثالثا) 3 س + 2 = 0
حل:
(أنا) المعادلة المعطاة هي 3x + 2y & # 8211 12 = 0 علينا تقليل المعادلة المعطاة إلى صيغة التقاطع ، أي & # 8230 (1)
الآن ، 3x + 2y = 12
⇒ ⇒ …(2)
عند المقارنة (1) و (2) ، نحصل على أ = 4 ، ب = 6 ومن ثم ، فإن تقاطعات الخط هي 4 و 6.

(ثانيا) المعادلة المعطاة هي 4x & # 8211 3y = 6
علينا تقليل المعادلة المعطاة إلى شكل اعتراض ، أي & # 8230 (1)
…(2)
عند المقارنة (1) و (2) ، نحصل على
أ = و ب = & # 8211 2
ومن ثم ، فإن تقاطعات الخط هي و -2.

(ثالثا) المعادلة المعطاة هي 3y + 2 = 0
علينا تقليل المعادلة المعطاة إلى شكل اعتراض ، أي ،
3 ص = -2
⇒ ص =
توضح المعادلة أعلاه أنها ليست المعادلة المطلوبة لصيغة التقاطع لأنها موازية لمحور x.
نلاحظ أن تقاطع y للخط المستقيم ، لكن لا يوجد تقاطع على المحور x.

مثال 10.3 للصف 11 رياضيات سؤال 3.
اختصر المعادلات التالية إلى الصورة العادية. أوجد مسافاتهما العمودية من نقطة الأصل والزاوية بين المحور x العمودي والموجب.
(أنا) س & # 8211 + 8 = 0 ،
(ثانيا) ص -2 = 0 ،
(ثالثا) س ص = 4.
حل:
(أنا) المعادلة المعطاة هي x & # 8211 + 8 = 0
س & # 8211 = -8
-x + = 8 & # 8230 (ط)
أيضا،

الآن قسمة جانبي (1) على 2 ، نحصل على

⇒ & # 8211 cos 60 ° x + sin 60 ° y = 4.

⇒ cos 120 ° x + sin 120 ° y = 4
∴ x cos 120 ° + y sin 120 ° = 4 هي المعادلة المطلوبة في الصورة العادية
∵ الصيغة العادية هي x coso) + y sin⍵ = p
إذن ، ⍵ = 120 درجة و p = 4
⍵ مسافة الخط من نقطة الأصل 4 ، والزاوية بين المحور x العمودي والإيجابي 120 درجة.

(ثانيا) المعادلة المعطاة هي y & # 8211 2 = 0
⇒ ص = 2
⇒ 0 · س + ل · ص = 2
⇒ x cos 90 ° + y sin 90 ° = 2 هي المعادلة المطلوبة في الصورة العادية
∵ الصيغة العادية هي x cos⍵ + y sin⍵ = p
إذن ، ⍵ = 90 درجة و p = 2
⍵ مسافة الخط من نقطة الأصل 2 والزاوية بين المحور x العمودي والإيجابي 90 درجة.

(ثالثا) المعادلة المعطاة هي x & # 8211 y = 4 & # 8230 (1)
أيضا

الآن نقسم جانبي (1) bt نحصل عليه

هي المعادلة المطلوبة في الشكل العادي.
∵ الصيغة العادية هي x cos⍵ + y sin⍵ = p
لذلك ، P = و ⍵ = 315 درجة
∴ مسافة الخط من الأصل هي والزاوية بين المحور x العمودي والموجب هي 315 درجة.

مثال 10.3 للصف 11 رياضيات سؤال 4.
أوجد المسافة بين النقطة (-1 ، 1) من الخط 12 (س + 6) = 5 (ص - 2).
حل:
معادلة الخط هي 12 (x + 6) = 5 (y & # 8211 2) & # 8230 (i)
⇒ 12x + 72 = 5y-10
⇒ 12x & # 8211 5y + 82 = 0
∴ مسافة النقطة (-1 ، 1) من الخط (ط)

مثال 10.3 للصف 11 رياضيات سؤال 5.
أوجد النقاط على المحور x ، التي مسافاتها من الخط هي 4 وحدات.
حل:
لدينا معادلة الخط ، والتي يمكن كتابتها كـ
4x + 3y & # 8211 12 = 0 & # 8230 (ط)
لنفترض أن (أ ، 0) هي النقطة الموجودة على المحور x الذي تبلغ المسافة من الخط (i) 4 وحدات.

مثال 10.3 للصف 11 رياضيات سؤال 6.
أوجد المسافة بين الخطوط المتوازية
(أنا) 15x + 8y-34 = 0 و 15x + 8y + 31 = 0
(ثانيا) | (س + ص) + ص = 0 و | (س + ص) & # 8211 ص = 0.
حل:
إذا كانت الأسطر هي Ax + By + Q = 0
و Ax + By + C2 = 0 ، ثم المسافة بين

مثال 10.3 للصف 11 رياضيات سؤال 7.
أوجد معادلة الخط الموازي للخط 3x & # 8211 4y + 2 = 0 ويمر بالنقطة (-2 ، 3).
حل:
قدمنا ​​معادلة للخط 3x & # 8211 4y + 2 = 0
انحدار الخط (i) =
وبالتالي ، فإن ميل أي خط موازٍ للخط المعطى (i) هو ويمر عبر (-2 ، 3) ، فإن معادلته هي

مثال 10.3 للصف 11 رياضيات السؤال 8.
أوجد معادلة الخط المستقيم العمودي على الخط x & # 8211 7y + 5 = 0 ويكون تقاطع x 3.
حل:
المعادلة المعطاة هي x & # 8211 7y + 5 = 0 & # 8230 (i)
منحدر هذا الخط =
∴ ميل أي خط عمودي على الخط (i) هو -7 ويمر عبر (3 ، 0) ثم
y & # 8211 0 = -7 (x & # 8211 3)
[∵ ناتج منحدر الخطوط العمودية هو -1]
⇒ ص = -7 س + 21
⇒ 7x + y & # 8211 21 = 0 ، هي معادلة الخط المطلوبة.

مثال 10.3 للصف 11 رياضيات السؤال 9.
أوجد الزوايا بين الخطين + y = 1 و x + = 1.
حل:
المعادلات المعطاة هي
+ ص = 1 & # 8230 (ط)
س + = 1 & # 8230 (ب)
نظرًا لأنه يتعين علينا إيجاد زاوية بين الخطين ، أي علينا أولاً إيجاد منحدري (i) و (ii).

مثال 10.3 للصف 11 رياضيات السؤال 10.
الخط المار بالنقطتين (h ، 3) و (4 ، 1) يتقاطع مع الخط 7x & # 8211 9y & # 8211 19 = 0 في الزاوية اليمنى. أوجد قيمة h.
حل:
النقاط المعطاة هي (ح ، 3) و (4،1).
∴ منحدر الخط الواصل (h ، 3) & amp (4،1)

مثال 10.3 للصف 11 رياضيات السؤال 11.
اثبات ان الخط يمر بالنقطة (x1 ذ1) وبالتوازي مع الخط Ax + By + C = 0 هو A (x-x1) + B (ص ص1) = 0.
حل:
معادلة الخط المعطى هي Ax + By + C = 0
∴ انحدار الخط أعلاه =
أي ميل أي خط موازٍ لخط معين ويمر عبر (x1، ذ1) هو
ثم المعادلة هي (y & # 8211 y2) = (س & # 8211 س1)
= & gt B (y & # 8211 y1) = -A (x & # 8211 x1)
= & gt A (x & # 8211 x1) + B (y & # 8211 y1) = 0.
ومن ثم ثبت.

مثال 10.3 للصف 11 رياضيات السؤال 12.
يتقاطع خطان يمران بالنقطة (2 ، 3) بزاوية 60 درجة. إذا كان ميل أحد الخطوط يساوي 2 ، فأوجد معادلة الخط الآخر.
حل:
لقد قدمنا ​​نقطة (2 ، 3) ، يمر خلالها خطان ويتقاطعان بزاوية 60 درجة.
لنفترض أن م يكون ميل الخط الآخر


مثال 10.3 للصف 11 رياضيات السؤال 13.
أوجد معادلة المنصف الأيمن للقطعة المستقيمة التي تربط النقطتين (3 ، 4) و (-1 ، 2).
حل:
افترض أن النقاط المعطاة هي A و B.
لنفترض أن M هي النقطة الوسطى لـ AB.

مثال 10.3 للصف 11 رياضيات السؤال 14.
أوجد إحداثيات سفح العمود المتعامد من النقطة (-1 ، 3) إلى الخط 3x & # 8211 4y & # 8211 16 = 0.
حل:
لدينا 3x & # 8211 4y & # 8211 16 = 0
منحدر kine (i) =
ثم معادلة أي خط ⊥ من (-1 ، 3) إلى السطر المحدد (i) هي

مثال 10.3 للصف 11 رياضيات سؤال 15.
العمودي من الأصل على الخط y = mx + c يقابله عند النقطة (-1،2). أوجد قيمتي م وج.
حل:
إذا كان الخط العمودي من الأصل على الخط y = mx + c يقابله عند النقطة (-1 ، 2)
∴ 2 = م (-1) + ج & # 8230 (ط)
⇒ ج & # 8211 م = 2

مثال 10.3 للصف 11 رياضيات سؤال 16.
إذا كان p و q هما أطوال العمودين من الأصل على الخطين x cosθ & # 8211 y sinθ = k cos 2θ و x secθ + y cosecθ = k على التوالي ، فثبت أن p 2 + 4q 2 = k 2.
حل:
إذا كان p و q هما أطوال العمودين من نقطة الأصل إلى الخطين x cos θ & # 8211 ysinθ = k cos 2θ و xsecθ + y cosec θ = k.

مثال 10.3 للصف 11 رياضيات السؤال 17.
في المثلث ABC برؤوسه A (2، 3)، 8 (4، -1) و C (1، 2) ، أوجد معادلة الارتفاع من الرأس A.
حل:
أعطينا AABC بالرؤوس ، A (2 ، 3) ، B (4 ، -1) و C (1 ، 2)

مثال 10.3 للصف 11 رياضيات السؤال 18.
إذا كان p هو طول العمودي من الأصل إلى الخط الذي تقاطع المحاور a و b ، فقم بإظهار ذلك.
حل:
معطى ، p هو طول العمودي من الأصل على الخط الذي تقاطعاته

نأمل أن تساعدك حلول NCERT للفصل 11 الرياضيات الفصل 10 الخطوط المستقيمة Ex 10.3. إذا كان لديك أي استفسار بخصوص NCERT Solutions للصف 11 الرياضيات الفصل 10 Straight Lines Ex 10.3 ، قم بإسقاط تعليق أدناه وسنعاود الاتصال بك في أقرب وقت ممكن.


حدد معادلة الخط المستقيم المار بالنقاط:

شكل التدرج & # 8211 نقطة لمعادلة الخط المستقيم (EMBGB)

نشتق التدرج اللوني & # 8211 شكل نقطة لمعادلة الخط المستقيم باستخدام تعريف التدرج اللوني والصيغة المكونة من نقطتين لمعادلة الخط المستقيم [ frac = فارك]

استبدل (m = dfrac) على الجانب الأيمن من المعادلة [ frac = م ]

اضرب طرفي المعادلة في ((x-x_1) ) [y-y_1 = m (x-x_1) ]

لاستخدام هذه المعادلة ، نحتاج إلى معرفة ميل الخط المستقيم وإحداثيات نقطة واحدة على الخط المستقيم.


ما هي معادلة ميل غير محدد؟

1 إجابة. إذا كان ميل من الخط غير معرف، إذن الخط هو خط عمودي ، لذلك لا يمكن كتابته ميل-شكل اعتراض ، ولكن تستطيع يكتب بالصيغة: x = a ، حيث a هو ثابت. إذا كان الخط يحتوي على ملف منحدر غير محدد ويمر بالنقطة (2،3) ، ثم معادلة من الخط المستقيم x = 2.

أيضا ، ما هو منحدر غير محدد؟ ان منحدر غير محدد (أو كبير بشكل لا نهائي ميل) هل ميل من خط عمودي! الإحداثي x لا يتغير أبدًا مهما كان ماذا او ما الإحداثي ص هو! لا يوجد تشغيل! في هذا البرنامج التعليمي ، تعرف على معنى منحدر غير محدد.

بعد ذلك ، قد يتساءل المرء أيضًا ، ما هي معادلة الميل الصفري؟

أ منحدر صفري الخط هو خط مستقيم مسطح تمامًا يمتد على طول المحور الأفقي للمستوى الديكارتي. ال معادلة ميل صفر السطر هو الخط الذي قد تختلف فيه قيمة X ولكن قيمة Y ستكون دائمًا ثابتة. ان معادلة ميل صفر سيكون الخط y = b ، حيث يكون الخط ميل هو 0 (م = 0).

هل الميل 0 غير محدد؟

ال "ميل"لخط رأسي. الخط العمودي له منحدر غير محدد لأن جميع النقاط على الخط لها نفس الإحداثي x. نتيجة استخدام الصيغة ل ميل مقامه 0، مما يجعل ملف منحدر غير محدد..


كيفية إيجاد معادلة خط من نقطتين

سيعلم الفيديو التالي كيفية إيجاد معادلة الخط ، مع إعطاء أي نقطتين على هذا الخط.

خطوات إيجاد معادلة خط من نقطتين:

  1. أوجد الميل باستخدام صيغة الميل
    • (< نص> = < نص> = فارك < نص> < نص> = فارك << نص> _2 - < text> _1> << نص> _2 - < text>_1>)
    • (نص_ <1> = ( text_ <1> ، نص_<1>))
    • (نص_ <2> = ( text_ <2> ، نص_<2>))
  2. استخدم الميل وأحد النقطتين لإيجاد تقاطع y (b).
    • يمكن لإحدى نقاطك أن تحل محل x و y ، والميل الذي حسبته للتو يحل محل m في المعادلة y = mx + b. ثم ب هو المتغير الوحيد المتبقي. استخدم الأدوات التي تعرفها لحل متغير لحل ب.
  3. بمجرد أن تعرف قيمة m وقيمة b ، يمكنك التعويض بها في صيغة الميل والمقطع للخط (y = mx + b) للحصول على معادلة الخط المستقيم.

مصادر إضافية

لكل من المشكلات التالية ، أوجد معادلة الخط الذي يمر بالنقطتين التاليتين:

  1. ( يسار (-5،10 يمين) ) و ( يسار (-3،4 يمين) )
  2. ( يسار (-5 ، -26 يمين) ) و ( يسار (-2 ، -8 يمين) )
  3. ( يسار (-4 ، -22 يمين) ) و ( يسار (-6 ، -34 يمين) )
  4. ( يسار (3،1 يمين) ) و ( يسار (-6 ، -2 يمين) )
  5. ( يسار (4 ، -6 يمين) ) و ( يسار (6،3 يمين) )
  6. ( يسار (5،5 يمين) ) و ( يسار (3،2 يمين) )

حلول

الخطوة 1: أوجد الميل باستخدام الصيغة:

لدينا نقطتان ، ( left (-5،10 right) ) و ( left (-3،4 right) ). سنختار ( left (< color-5> ، < color10> right) ) كنقطة واحدة و ( left (< color-3> ، < color4> right) ) كنقطة اثنين. (لا يهم النقطة الأولى والنقطة الثانية طالما بقينا متسقين طوال حساباتنا.) الآن يمكننا أن نعوض بالنقاط في صيغة الميل:

ميل الخط هو (< color-3> ) ، لذا فإن m في y = mx + b هو (< color-3>).

الخطوة 2: استخدم الميل وإحدى النقاط لإيجاد الجزء المقطوع من المحور ص ب:

لا يهم النقطة التي نستخدمها. كلاهما يعطينا نفس القيمة لـ b لأنهما على نفس السطر. نختار النقطة ( left (< color-3> ، < color4> حق) ). الآن سنقوم بالتعويض عن الميل ، (< color-3> ) ، والنقطة في y = mx + b للحصول على معادلة الخط المستقيم:

ثم اطرح 9 من كلا الجانبين:

الخطوه 3: قم بتوصيل المنحدر (م = (< لون-3> )) وتقاطع y (b = (< color-5> )) ، إلى y & # 61mx & # 43b:

الخطوة 1: أوجد الميل باستخدام الصيغة:

لدينا نقطتان ، ( left (-4، -22 right) ) و ( left (-6، -34 right) ). سنختار ( left (< color-4> ، < color-22> right) ) كنقطة واحدة و ( left (< color-6> ، < color-34> right) ) كنقطة اثنين. (لا يهم النقطة الأولى والنقطة الثانية طالما بقينا متسقين طوال حساباتنا.) الآن يمكننا أن نعوض بالنقاط في صيغة الميل:

إذن ، ميل الخط المستقيم هو 6.

الخطوة 2: استخدم الميل وإحدى النقاط لإيجاد ب.

لا يهم النقطة التي نستخدمها. كلاهما يعطينا نفس القيمة لـ b لأنهما على نفس السطر. نختار النقطة ( left (< color-4> ، < color-22> يمين) ). الآن سنعوض بالميل 6 والنقطة في y = mx + b لنحصل على معادلة الخط المستقيم.

ثم أضف 24 إلى كلا الجانبين.

الخطوه 3: عوّض عن الميل م = 6 وتقاطع ص ب & # 61 2 في y & # 61mx & # 43b.


NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 10 Straight Lines Ex 10.3

NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 10 Straight Lines Ex 10.3

NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 10 Straight Lines Ex 10.3 are part of NCERT Solutions for Class 11 Maths. Here we have given Class 11 Maths NCERT Solutions Straight Lines Ch 10 Exercise 10.3.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-1

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-2

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-3

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-4

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-5

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-6

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-7

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-8

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-9

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-10

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-11

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-12

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-13

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-14

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-15

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-16

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-17

Ans.

Ex 10.3 Class 11 Maths Question-18

Ans.

NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 10 Straight Lines (सरल रेखाएँ) Hindi Medium Ex 10.3






















Maths NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 10 Exercise.10.3

س 1. Reduce the following equations into slope-intercept form and find their slopes and the y intercepts.

(ii) 6x + 3y – 6 = 0

س 2. Reduce the following equations into intercept form and find their intercepts on the axes.

(i) 3x + 2y – 14 = 0

(ii) 4x – 3y = 6

(iii) 3y + 2 = 0

س 3. Reduce the following equations into normal form. Find their perpendicular distances from the origin and angle between perpendicular and the positive x-axis.

(i) x – √3 y + 8 = 0

(iii) x – y = 4

س 4. Find the distance of the point (–1, 1) from the line 12(x + 6) = 5(y – 2).

س 6. Find the distance between parallel lines

(i) 15x + 8y – 34 = 0 and 15x + 8y + 31 = 0

(ii) l (x + y) + p = 0 and l (x + y) – r = 0

س 7. Find equation of the line parallel to the line 3x – 4y + 2 = 0 and passing through the point (–2, 3).

س 8. Give equation of the line perpendicular to the line x – 7y + 5 = 0 and having x intercept 3.

س 9. Calculate angles between the lines √3 x + y = 1 and x + √3 y = 1

س 10. A line passes through points (k, 3)(4, 1) intersects the line 7x – 9y – 19 = 0, at right angle. Find the value of k.

س 11. Prove that the line through the point (xأ, yأ) and parallel to the line Ax + By + C = 0 is A(x – xأ) + B (y – yأ) = 0.

س 12. The angle between the two lines is 60° at intersection and passes through the point (2, 3). Obtain the slope of a second line when the slope of first line is 2.

Q13 A line segment joining the points (4, 5) and (– 2, 3). Obtain the equation of the perpendicular bisector of the line segment.

Q14: Obtain the coordinates of the foot of perpendicular from the point (– 2, 4) to the line 3x – 4y – 16 = 0.

Q15: The normal meets point (– 2, 3), is drawn from the origin to the equation of line y = m x + c.Obtain the values of m and c.

Q16: Suppose r and s are the lengths from the lines x cos θ – y sin θ = n cos 2θ and x sec θ + y cosec θ = n to the origin perpendiculars, respectively, prove that r 2 + 4 s 2 = n 2

Q17: The vertices of the triangle PQR are P (3, 4), Q (5, – 2) and R (2, 3), obtain how long the altitude is from the vertex P and also obtain the equation.

Q 18: Suppose ‘r’ is the length of the origin to the line from perpendicular from the normal. The line has axes i and j axes as intercepts of the line, then prove that:

We hope the NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 10 Straight Lines Ex 10.3, help you. If you have any query regarding NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 10 Straight Lines Exercise 10.3, drop a comment below and we will get back to you at the earliest.


You have two options for writing the equation of a line: point-slope form and slope-intercept form.

I create online courses to help you rock your math class. Read more.

Both of them require that you know at least two of the following pieces of information about the line:

ال . ذ. -intercept, . ب. (the . y. -coordinate of the point at which the graph of the line crosses the . y. -axis)

If you know any two of these things, you can find the equation of the line.

شكل نقطة المنحدر

The equation of a line in point-slope form can be written as

In this form, . (x_1,y_1). is a point on the line, and . م. is the slope. To use this form when you know two points on the line but you don’t know the slope, first find . م. استخدام

Then simply plug the slope . م. and the coordinates of one point . (x_1,y_1). into the point-slope form of the equation of a line.


The Significance of (K_M) and (V_)

The Michaelis-Menten model is used in a variety of biochemical situations other than enzyme-substrate interaction, including antigen-antibody binding, DNA-DNA hybridization, and protein-protein interaction. It can be used to characterize a generic biochemical reaction, in the same way that the Langmuir equation can be used to model generic adsorption of biomolecular species. When an empirical equation of this form is applied to microbial growth. The experimentally determined parameters values vary wildly between enzymes (Table (PageIndex<1>)):

Table (PageIndex<1>) : Enzyme Kinetic parameters
Enzyme (K_m) (M) (k_) (1/s) (k_/K_m) (1/M.s)
Chymotrypsin 1.5 × 10 &minus2 0.14 9.3
Pepsin 3.0 × 10 &minus4 0.50 1.7 × 10 3
Tyrosyl-tRNA synthetase 9.0 × 10 &minus4 7.6 8.4 × 10 3
Ribonuclease 7.9 × 10 &minus3 7.9 × 10 2 1.0 × 10 5
Carbonic anhydrase 2.6 × 10 &minus2 4.0 × 10 5 1.5 × 10 7
Fumarase 5.0 × 10 &minus6 8.0 × 10 2 1.6 × 10 8

While (K_m) is equal to the substrate concentration at which the enzyme converts substrates into products at half its maximal rate and hence is related to the affinity of the substrate for the enzyme. The catalytic rate (k_) is the rate of product formation when the enzyme is saturated with substrate and therefore reflects the enzyme's maximum rate. The rate of product formation is dependent on both how well the enzyme binds substrate and how fast the enzyme converts substrate into product once substrate is bound. For a kinetically perfect enzyme, every encounter between enzyme and substrate leads to product and hence the reaction velocity is only limited by the rate the enzyme encounters substrate in solution. From Equation ( ef), the catalytic efficiency of a protein can be evaluated.

This (k_/K_m) ratio is called the specificity constant measure of how efficiently an enzyme converts a substrate into product. It has a theoretical upper limit of 10 8 &ndash 10 10 /M.s enzymes working close to this, such as fumarase, are termed superefficient (Table (PageIndex<1>)).

Determining (V_m) and (K_m) from experimental data can be difficult and the most common way is to determine initial rates, (v_0), from experimental values of ([P]) or ([S]) as a function of time. Hyperbolic graphs of (v_0) vs. ([S]) can be fit or transformed as we explored with the different mathematical transformations of the hyperbolic binding equation to determine (K_d). These included:

  • nonlinear hyperbolic fit (e.g., Figure (PageIndex<1>))
  • double reciprocal plot (e.g., Lineweaver&ndashBurk plot discussed below
  • Eadie-Hofstee plot

5 إجابات 5

If you start from the equation y-y1 = (y2-y1)/(x2-x1) * (x-x1) (which is the equation of the line defined by two points), through some manipulation you can get (y1-y2) * x + (x2-x1) * y + (x1-x2)*y1 + (y2-y1)*x1 = 0 , and you can recognize that:

Get the tangent by subtracting the two points (x2-x1, y2-y1) . Normalize it and rotate by 90 degrees to get the normal vector (a,b) . Take the dot product with one of the points to get the constant, c .

If you start from the equation of defining line from 2 points

you can end up with the next equation

so the coefficients will be:

My implementation of the algorithm in C

Shortcut steps: "Problem : (4,5) (3,-7)" Solve: m=-12/1 ومن بعد 12x-y= 48 "NOTE:m is a slope" COPY THE NUMERATOR, AFFIX "X" Positive fraction Negative sign on between. (tip: simmilar sign = add + copy the sign) 1.Change the second set into opposite signs, 2.ADD y1 to y2 (means add or subtract them depending of the sign), 3.ADD x1 to x2 (also means add or subtract them depending of the sign), 4.Then Multiply 12 and 1 to any of the problem set. After that "BOOM" Tada!, you have your answer


شاهد الفيديو: بند 3-9 معادلة الخط المستقيم الحصة الاولى (شهر نوفمبر 2021).