مقالات

8.2: استخدام نظام الإحداثيات المستطيلة (الجزء الأول)


مهارات التطوير

  • ارسم النقاط على نظام إحداثيات مستطيل
  • تحديد النقاط على الرسم البياني
  • تحقق من حلول معادلة في متغيرين
  • أكمل جدول حلول معادلة خطية
  • ابحث عن حلول للمعادلات الخطية في متغيرين

كن مستعدا!

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. أوجد قيمة: x + 3 عندما x = −1. إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 3.4.10.
  2. أوجد القيمة: 2x - 5y عندما x = 3 ، y = −2. إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 3.8.106.
  3. حل من أجل y: 40 - 4y = 20. إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع المثال 8.4.1.

ارسم النقاط على نظام الإحداثيات المستطيلة

تستخدم العديد من الخرائط ، مثل خريطة الحرم الجامعي الموضحة في الشكل ( PageIndex {1} ) ، نظام الشبكة لتحديد المواقع. هل ترى الأرقام 1 و 2 و 3 و 4 أعلى الخريطة وأسفلها والأحرف A و B و C و D على طول الجوانب؟ يمكن تحديد كل موقع على الخريطة برقم وحرف.

على سبيل المثال ، يقع مركز الطلاب في القسم 2 ب. وهي موجودة في قسم الشبكة أعلى الرقم 2 وبجوار الحرف B. في أي قسم من خطوط الشبكة يوجد الملعب؟ الملعب في القسم 4 د.

الشكل ( PageIndex {1} )

مثال ( PageIndex {1} ):

استخدم الخريطة في الشكل ( PageIndex {1} ). (أ) ابحث عن قسم الشبكة في قاعات الإقامة. (ب) ما هو موجود في قسم الشبكة 4C؟

حل

(أ) اقرأ الرقم الموجود أسفل قاعات الإقامة ، 4 ، والحرف الموجود على الجانب ، أ. إذن تقع قاعات الإقامة في قسم الشبكة 4 أ.

(ب) ابحث عن 4 في الجزء السفلي من الخريطة و C على طول الجانب. انظر أدناه 4 وبجوار C. Tiger Field في قسم الشبكة 4C.

تمرين ( PageIndex {1} ):

استخدم الخريطة في الشكل ( PageIndex {1} ). (أ) ابحث عن قسم الشبكة في Taylor Hall. (ب) ما هو موجود في القسم 3 ب؟

الإجابة أ

1 ج

الجواب ب

مبنى هندسى

تمرين ( PageIndex {1} ):

استخدم الخريطة في الشكل ( PageIndex {1} ). (أ) ابحث عن قسم الشبكة في مرآب السيارات. (ب) ما هو موجود في القسم 2 ج؟

الإجابة أ

1 أ

الجواب ب

مكتبة

تمامًا كما تستخدم الخرائط نظام الشبكة لتحديد المواقع ، يتم استخدام نظام الشبكة في الجبر لإظهار العلاقة بين متغيرين في نظام إحداثيات مستطيل. لإنشاء نظام إحداثيات مستطيل ، ابدأ بخط أرقام أفقي. اعرض كلاً من الأرقام الموجبة والسالبة كما فعلت من قبل ، باستخدام وحدة مقياس مناسبة. يسمى خط الأعداد الأفقي هذا المحور السيني.

الآن ، قم بعمل خط أرقام رأسي يمر عبر المحور x عند 0. ضع الأرقام الموجبة أعلى 0 والأرقام السالبة أسفل 0. انظر الشكل ( PageIndex {2} ). هذا الخط العمودي يسمى المحور ص.

تمر خطوط الشبكة العمودية عبر الأعداد الصحيحة المحددة على المحور x. تمر خطوط الشبكة الأفقية عبر الأعداد الصحيحة المحددة على المحور ص. الشبكة الناتجة هي نظام إحداثيات مستطيل.

يُطلق على نظام الإحداثيات المستطيلة أيضًا اسم المستوى x-y ، أو المستوى الإحداثي ، أو نظام الإحداثيات الديكارتية (حيث تم تطويره بواسطة عالم رياضيات يُدعى رينيه ديكارت).

الشكل ( PageIndex {2} ) - نظام إحداثيات المستطيل.

يشكل المحور x والمحور y نظام إحداثيات المستطيل. هذه المحاور تقسم الطائرة إلى أربع مناطق ، تسمى الأرباع. يتم تحديد الأرباع بأرقام رومانية ، تبدأ من أعلى اليمين وتتقدم بعكس اتجاه عقارب الساعة. راجع الشكل ( PageIndex {3} ).

الشكل ( PageIndex {3} ) - الأرباع الأربعة لنظام إحداثيات المستطيل.

في نظام الإحداثيات المستطيل ، يتم تمثيل كل نقطة بامتداد زوج مرتب. الرقم الأول في الزوج المرتب هو إحداثي س للنقطة ، والرقم الثاني هو إحداثي ص للنقطة.

التعريف: زوج مرتب

يعطي الزوج المرتب (س ، ص) إحداثيات نقطة في نظام إحداثيات مستطيل. الرقم الأول هو إحداثي x. الرقم الثاني هو إحداثي ص.

إذن ، كيف تساعدك إحداثيات نقطة ما في تحديد موقع نقطة على المستوى x-y؟

دعونا نحاول تحديد موقع النقطة (2 ، 5). في هذا الزوج المرتب ، يكون x-coordinate هو 2 و y-coordinate هو 5.

نبدأ بتحديد قيمة x ، 2 ، على المحور x. ثم نرسم خطًا رأسيًا برفق عبر x = 2 ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {4} )

الشكل ( PageIndex {4} )

الآن نحدد قيمة y ، 5 ، على المحور y ونرسم خطًا أفقيًا عبر y = 5. النقطة التي يلتقي فيها هذان الخطان هي النقطة ذات الإحداثيات (2 ، 5). نرسم النقطة هناك ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {5} ).

الشكل ( PageIndex {5} )

مثال ( PageIndex {2} ):

ارسم (1 ، 3) و (3 ، 1) في نفس نظام الإحداثيات المستطيل.

حل

قيم الإحداثيات هي نفسها لكلتا النقطتين ، لكن قيمتي x و y معكوسة. لنبدأ بالنقطة (1 ، 3). إحداثي x هو 1 لذا أوجد 1 على المحور x ورسم خطًا رأسيًا عبر x = 1. إحداثي y هو 3 لذلك نجد 3 على المحور y ورسم خطًا أفقيًا عبر y = 3. أين يلتقي الخطان ، نرسم النقطة (1 ، 3).

لرسم النقطة (3 ، 1) ، نبدأ بتحديد موقع 3 على المحور x ورسم خط عمودي عبر x = 3. ثم نجد 1 على المحور y ورسم خطًا أفقيًا عبر y = 1. أين يلتقي الخطان ، نرسم النقطة (3 ، 1).

لاحظ أن ترتيب الإحداثيات مهم ، لذا (1 ، 3) ليست هي نفس النقطة (3 ، 1).

تمرين ( PageIndex {3} ):

ارسم كل نقطة على نفس نظام الإحداثيات المستطيل: (2 ، 5) ، (5 ، 2).

إجابه

التمرين ( PageIndex {4} ):

ارسم كل نقطة على نفس نظام الإحداثيات المستطيل: (4 ، 2) ، (2 ، 4).

إجابه

مثال ( PageIndex {3} ):

ارسم كل نقطة في نظام الإحداثيات المستطيل وحدد الربع الذي توجد فيه النقطة: (أ) (−1 ، 3) (ب) (−3 ، −4) (ج) (2 ، −3) (د) ( left (3، dfrac {5} {2} right) )

حل

الرقم الأول من زوج الإحداثيات هو إحداثي x ، والرقم الثاني هو إحداثي y.

  1. بما أن x = −1، y = 3، فإن النقطة (،1، 3) تقع في الربع الثاني.
  2. بما أن x = −3، y = −4، فإن النقطة (−3، −4) تقع في الربع الثالث.
  3. بما أن x = 2، y = −1، فإن النقطة (2، −1) تقع في الربع lV.
  4. بما أن x = 3، y = ( dfrac {5} {2} ) ، فإن النقطة ( left (3، dfrac {5} {2} right) ) في الربع الأول. قد تكون من المفيد كتابة ( dfrac {5} {2} ) كرقم مختلط ، (2 dfrac {1} {2} ) ، أو 2.5. ثم نعلم أن النقطة تقع في منتصف المسافة بين 2 و 3 على المحور y.

تمرين ( PageIndex {5} ):

ارسم كل نقطة في نظام الإحداثيات المستطيلة وحدد الربع الذي توجد فيه النقطة: (أ) (−2 ، 1) (ب) (−3 ، −1) (ج) (4 ، −4) (د) ( left (-4، dfrac {3} {2} right) )

إجابه

تمرين ( PageIndex {6} ):

ارسم كل نقطة في نظام الإحداثيات المستطيلة وحدد الربع الذي توجد فيه النقطة: (أ) (−4 ، 1) (ب) (−2 ، 3) (ج) (2 ، −5) (د) ( left (-3، dfrac {5} {2} right) )

إجابه

كيف تؤثر العلامات على موقع النقاط؟

مثال ( PageIndex {4} ):

ارسم كل نقطة: (أ) (5 ، 2) (ب) (−5 ، −2) (ج) (5 ، 2) (د) (5 ، 2)

حل

عندما نحدد إحداثي x وإحداثي y ، يجب علينا توخي الحذر بشأن الإشارات.

تمرين ( PageIndex {7} ):

ارسم كل نقطة: (أ) (4 ، −3) (ب) (4 ، 3) (ج) (−4 ، −3) (د) (−4 ، 3)

إجابه

التمرين ( PageIndex {8} ):

ارسم كل نقطة: (أ) (1 ، 4) (ب) (1 ، 4) (ج) (1 ، −4) (د) (−1 ، −4)

إجابه

ربما لاحظت بعض الأنماط أثناء رسمك للنقاط في المثالين السابقين.

لكل نقطة في الربع الرابع ، ما الذي تلاحظه بشأن علامات الإحداثيات؟

ماذا عن علامات إحداثيات النقاط في الربع الثالث؟ الربع الثاني؟ الربع الأول؟

هل يمكنك أن تعرف فقط بالنظر إلى الإحداثيات في أي ربع تقع النقطة (−2 ، 5)؟ في أي ربع يقع (2 ، −5)؟

يمكننا تلخيص أنماط إشارات الأرباع على النحو التالي. راجع أيضًا الشكل ( PageIndex {6} ).

جدول ( PageIndex {1} )
الربع الأولالربع الثانيالربع الثالثالربع الرابع
(س ، ص)(س ، ص)(س ، ص)(س ، ص)
(+,+)(-,+)(-,-)(+,-)

الشكل ( PageIndex {6} )

ماذا لو كان إحداثي واحد هو صفر؟ أين تقع النقطة (0 ، 4)؟ أين تقع النقطة (2، 0)؟ النقطة (0 ، 4) تقع على المحور الصادي والنقطة (- 2 ، 0) على المحور السيني.

التعريف: النقاط على المحاور

النقاط التي لها إحداثي ص يساوي 0 تقع على المحور س ، ولها إحداثيات (أ ، 0).

النقاط التي لها إحداثي س يساوي 0 تقع على المحور ص ولها إحداثيات (0 ، ب).

ما هو الزوج المرتب للنقطة التي يتقاطع عندها المحاور؟ عند هذه النقطة يكون كلا الإحداثيين صفراً ، وبالتالي يكون الزوج المرتب (0 ، 0). النقطة لها اسم خاص. يطلق عليه الأصل.

التعريف: الأصل

النقطة (0 ، 0) تسمى الأصل. إنها النقطة التي يتقاطع فيها المحور السيني مع المحور الصادي.

مثال ( PageIndex {5} ):

ارسم كل نقطة على شبكة إحداثيات: (أ) (0 ، 5) (ب) (4 ، 0) (ج) (−3 ، 0) (د) (0 ، 0) (هـ) (0 ، 1)

حل

  1. بما أن x = 0 ، فإن النقطة التي إحداثياتها (0 ، 5) تقع على المحور y.
  2. بما أن y = 0 ، فإن النقطة التي إحداثياتها (4 ، 0) تقع على المحور x.
  3. بما أن y = 0 ، فإن النقطة التي إحداثياتها (−3، 0) تقع على المحور x.
  4. بما أن x = 0 و y = 0 ، فإن النقطة التي إحداثياتها (0 ، 0) هي نقطة الأصل.
  5. بما أن x = 0 ، فإن النقطة التي إحداثياتها (0، −1) تقع على المحور y.

التمرين ( PageIndex {9} ):

ارسم كل نقطة على شبكة إحداثيات: (أ) (4 ، 0) (ب) (−2 ، 0) (ج) (0 ، 0) (د) (0 ، 2) (هـ) (0 ، 3)

إجابه

التمرين ( PageIndex {10} ):

ارسم كل نقطة على شبكة إحداثيات: (أ) (5 ، 0) (ب) (3 ، 0) (ج) (0 ، 0) (د) (0 ، −1) (هـ) (0 ، 4)

إجابه

تحديد النقاط على الرسم البياني

في الجبر ، القدرة على تحديد إحداثيات نقطة معروضة على الرسم البياني لا تقل أهمية عن القدرة على رسم النقاط. لتحديد إحداثي x لنقطة على الرسم البياني ، اقرأ الرقم الموجود على المحور x مباشرة أعلى أو أسفل النقطة. لتحديد إحداثي ص لنقطة ما ، اقرأ الرقم الموجود على المحور ص مباشرة إلى يسار أو يمين النقطة. تذكر أن تكتب الزوج المرتب بالترتيب الصحيح (س ، ص).

مثال ( PageIndex {6} ):

قم بتسمية الزوج المرتب لكل نقطة معروضة:

حل

النقطة A أعلى من 3 على المحور x ، لذا فإن الإحداثي x للنقطة هو −3. النقطة على يسار 3 على المحور y ، لذا فإن إحداثي y للنقطة هو 3. إحداثيات النقطة هي (3 ، 3).

تقع النقطة B أسفل −1 على المحور x ، لذا فإن الإحداثي x للنقطة هو −1. تقع النقطة على يسار −3 على المحور y ، لذا فإن الإحداثي y للنقطة هو −3. إحداثيات النقطة هي (1، −3).

النقطة C أعلى من 2 على المحور x ، لذا فإن إحداثي x للنقطة هو 2. النقطة تقع على يمين 4 على المحور y ، وبالتالي فإن إحداثي y للنقطة هو 4. إحداثيات النقطة هي (2 ، 4).

النقطة D أقل من 4 على المحور x ، لذا فإن الإحداثي x للنقطة هو 4. النقطة تقع على يمين 4 على المحور y ، وبالتالي فإن الإحداثي y للنقطة هو −4. إحداثيات النقطة هي (4، −4).

التمرين ( PageIndex {11} ):

قم بتسمية الزوج المرتب لكل نقطة معروضة:

إجابه
أ: (5،1) ، ب: (2،4) ، ج: (5 ، −1) ، د: (3 ، −2)

التمرين ( PageIndex {12} ):

قم بتسمية الزوج المرتب لكل نقطة معروضة:

إجابه
أ: (4،2) ، ب: (2،3) ، ج: (4 ، −4) ، د: (3 ، −5)

مثال ( PageIndex {7} ):

قم بتسمية الزوج المرتب لكل نقطة معروضة:

حل

تقع النقطة A على المحور x عند x = - 4.إحداثيات النقطة أ هي (- ٤ ، ٠).
تقع النقطة B على المحور y عند y = - 2.إحداثيات النقطة ب هي (0 ، - 2).
النقطة C تقع على المحور x عند x = 3.إحداثيات النقطة ج هي (3 ، 0).
النقطة D على المحور y عند y = 1.إحداثيات النقطة د هي (0 ، 1).

التمرين ( PageIndex {13} ):

قم بتسمية الزوج المرتب لكل نقطة معروضة:

إجابه
أ: (4،0) ، ب: (0،3) ، ج: (3،0) ، د: (0 ، −5)

التمرين ( PageIndex {14} ):

قم بتسمية الزوج المرتب لكل نقطة معروضة:

إجابه
أ: (−3،0) ، ب: (0 ، −3) ، ج: (5،0) ، د: (0،2)

نظرية مجال يجند هي واحدة من أكثر النظريات فائدة لحساب الهيكل الإلكتروني للمجمعات. نشأت في تطبيق نظرية المجال البلوري البلورات الأيونية لأنظمة المعادن المعقدة.

ستة مجمعات اوكتاهدرا متناسقة

المدارات الخمسة d للكاتيونات المعدنية الانتقالية تتدهور ولها طاقة متساوية.

الشكل ( PageIndex <4> ): تغيير الطاقة الإلكترونية عند تكوين معقد.

ينتج عن المجال الكهربائي السالب الكروي حول الكاتيون المعدني أن يكون مستوى الطاقة الإجمالي أقل من مستوى الكاتيون الحر بسبب التفاعلات الكهروستاتيكية. يؤدي التفاعل البغيض بين الإلكترونات في المدارات المعدنية والمجال الكهربائي السالب إلى زعزعة استقرار النظام وتعويض الاستقرار إلى حد ما (الشكل ( فهرس الصفحة <4> )).

الشكل ( PageIndex <5> ): مواضع الترابط في الديكارتي تنسق مع أيون معدني في الأصل.

لنفترض أنه بدلاً من المجال السالب الكروي المنتظم ، يتم إنشاء الحقل بواسطة ستة روابط ترابطية ذات ثماني السطوح مع معدن مركزي. الحقل السلبي للروابط يسمى مجال يجند. الشحنة السالبة ، في حالة الروابط الأنيونية ، أو النهاية السلبية (الزوج الوحيد) ، في حالة الروابط المحايدة ، تمارس قوة دافعة على المدارات المعدنية d والتي تكون متباينة الخواص اعتمادًا على اتجاه المدارات. يتم أخذ موضع الكاتيون المعدني حيث يتم إنشاء الأصل والإحداثيات الديكارتية (الشكل ( فهرس الصفحة <5> )). ثم د× 2 ص 2 و دض 2 يتم محاذاة المدارات على طول اتجاهات المحاور و dس ص، دyz، ودxz يتم توجيه المدارات بين المحاور. إذا تم وضع الترابطات على المحاور ، يكون التفاعل البغيض أكبر بالنسبة للمدارات على سبيل المثال (د× 2 ص 2 ، دض 2 ) من ل t2 جرام المدارات (تس ص، دyz، دxz) ، و eز يتم زعزعة استقرار المدارات ور2 جرام استقرت المدارات إلى حد متساو. في المناقشة التالية ، فقط فرق الطاقة بين t2 جرام و هز المدارات ضرورية ومتوسط ​​الطاقة لهذه المدارات يؤخذ على أنه صفر للطاقة. إذا كان فرق الطاقة بين الاثنين هز وثلاثة ر2 جرام تم ضبط المدارات على ( Delta_) ، مستوى طاقة المدارات على سبيل المثال هو +3/5 ( دلتا_) وذلك من ر2 جرام المدارات هي -2/5 ( Delta_) (الشكل ( فهرس الصفحة <6> )). ( ( دلتا_) يمكن التعبير عنها أيضًا كـ 10 Dq. في هذه الحالة ، يكون مستوى الطاقة في المدارات على سبيل المثال +6 Dq ومستوى طاقة t2 جرام المدارات -4 Dq.)

الشكل ( PageIndex <6> ): ينقسم مجال الترابط في مجمعات رباعي السطوح وثماني السطوح.

تحتوي أيونات المعادن الانتقالية على 0 إلى 10 d إلكترونات وعندما تمتلئ المدارات المنقسمة d من مستوى طاقة أقل ، يكون تكوين الإلكترون t2 جرام x هز يتم الحصول على y المقابلة لكل أيون. مع اختيار مستوى الطاقة الصفري كمتوسط ​​مستوى الطاقة ، تصبح طاقة تكوين الإلكترون بالنسبة إلى الطاقة الصفرية

هذه القيمة تسمى طاقة استقرار مجال يجند. يكون تكوين الإلكترون ذو القيمة الأصغر (مع مراعاة علامة الطرح) أكثر استقرارًا. LFSE هي معلمة مهمة لشرح بعض خصائص مجمعات المعادن الانتقالية d-block.

مطلوب شرط آخر غير مستوى الطاقة المداري لشرح ملء الإلكترونات التي يتم ملؤها في الانقسام t2 جرام و هز المدارات. يمكن لإلكترونين أن يشغلوا مدارًا مع يدوران متوازيان ولكن يحدث تنافر قوي للكهرباء الساكنة بين إلكترونين في نفس المدار. يسمى هذا التفاعل البغيض طاقة الاقتران، P.

عندما يكون عدد الإلكترونات d أقل من ثلاثة ، يتم تقليل طاقة الاقتران عن طريق تحميل الإلكترونات في t2 جرام المداري مع يدور متوازية. وهي ، تكوينات الإلكترون الناشئة هي t2 جرام 1 ، ر2 جرام 2 ، أو ر2 جرام 3 .

ينشأ احتمالان عندما يحتل الإلكترون الرابع أيًا من t2 جرام أو هز المدارات. المدار ذو الطاقة المنخفضة2 جرام مواتية ولكن احتلال نفس المدار يؤدي إلى ازدواج الطاقة ، P. تصبح الطاقة الإجمالية

[- 0.4 دلتا_ مرات 4 + P = - 1.6 Delta_ + ف ]

إذا كان الإلكترون الرابع يحتل طاقة غير مواتية eز المداري ، تصبح الطاقة الكلية

[- 0.4 دلتا_ مرات 3 + 0.6 دلتا- = - 0.6 دلتا_]

يعتمد اختيار تكوين الإلكترون على القيم الأكبر أعلاه. لذلك إذا كان ( Delta_) & GT P ، t2 جرام يفضل 4 وهذا ما يسمى حالة المجال القوي أو تكوين إلكترون منخفض الدوران. إذا ( Delta_) & lt P ، t2 جرام 3 هـز يفضل 1 وهذا ما يسمى حالة المجال الضعيف أو تكوين إلكترون عالي الدوران. مطلوب اختيار مماثل للمجمعات d 5 و d 6 و d 7 ثماني السطوح ، وفي حالة المجال القوي ، t2 جرام 5 ، ر2 جرام 6 ، أو ر2 جرام 6 هـز يفضل التكوينات 1 ، بينما في حالة المجال الضعيف ، t2 جرام 3 هـز 2 ، ر2 جرام 4 هـز 2 ، أو ر2 جرامهز يفضل 2 تكوينات. معلمة تقسيم حقل الترابط ( Delta_) تحددها طبيعة الروابط والمعدن ، في حين أن طاقة الاقتران ، P ، ثابتة تقريبًا وتظهر فقط اعتمادًا طفيفًا على هوية المعدن.

مجمعات مستوية مربعة

تسمى المجمعات التي تحتوي على أربعة روابط في مستوى يحتوي على المعدن المركزي مجمعات مستوية مربعة. من الأسهل فهم مستويات الطاقة الإلكترونية لمدارات d في مجمعات مستوية مربعة من خلال البدء من تلك الموجودة في المجمعات سداسية الأوكتاهدرا. بوضع الروابط الستة على طول المحاور الديكارتية ، تتم إزالة الترابطين على المحور z تدريجيًا من المعدن المركزي ، وفي النهاية تُترك أربعة روابط فقط على المستوى x و y. تفاعل اثنين من روابط تنسيق z مع dض 2 ، دxz، ودyz تصبح المدارات أصغر وتنخفض مستويات الطاقة لهذه الروابط. من ناحية أخرى ، تقترب الأربطة الأربعة المتبقية من المعدن و d× 2 ص 2 و دس ص ترتفع مستويات الطاقة نتيجة إزالة الترابطين. ينتج عن هذا ترتيب مستويات الطاقة لخمسة مدارات d كونها dxz، دyz & lt دض 2 & lt دس ص & lt & lt د× 2 ص 2 (الشكل ( فهرس الصفحة <7> )). تميل مجمعات Rh + و Ir + و Pd 2+ و Pt 2 + و Au 3+ بتكوين d 8 إلى تكوين هياكل مستوية مربعة لأن ثمانية إلكترونات تحتل المدارات السفلية تاركة أعلى د× 2 ص 2 المداري فارغ.

الشكل ( PageIndex <7> ): تغيير الطاقة المدارية من ثماني السطوح إلى مجمعات مستوية مربعة.

مجمعات رباعية السطوح

تحتوي المجمعات الرباعية السطوح على أربعة روابط على رؤوس رباعي السطوح حول المعدن المركزي. [كوكس4] 2- (X = Cl، Br، I)، Ni (CO)4، إلخ ، كلها أمثلة على 4 مجمعات تنسيق (الشكل ( فهرس الصفحة <5> )). عندما يتم وضع معدن على أصل المحاور الديكارتية ، كما هو الحال في المجمعات الاوكتاهدرا ، فإن المدارات الإلكترونية (د× 2 ص 2 ، دض 2 ) بعيدة عن الروابط و t2 المدارات (تس ص، دyz، دxz) هي روابط أقرب. وبالتالي ، فإن التنافر الإلكتروني يكون أكبر بالنسبة لـ t2 المدارات غير المستقرة بالنسبة إلى المدارات الإلكترونية. يقسم مجال الترابط الذي تمارسه أربعة روابط ، المدارات المتدهورة خمسة أضعاف للمعدن المركزي إلى ضعف e متدهور وثلاثة أضعاف t2 مجموعات (الشكل ( فهرس الصفحة <6> )). ت2 المجموعة لديها طاقة +2/5 ( دلتا_) والمجموعة الإلكترونية -3/5 ( Delta_) مع تقسيم حقل يجند ( Delta_). نظرًا لأن عدد الروابط هو 4/6 = 2/3 من ذلك في مجمعات سداسية الأوكتاهدرا ، ويكون تداخل الروابط مع المدارات أصغر ، وتقسيم الترابط ( Delta_) حوالي نصف ( Delta_). وبالتالي ، لا تُعرف إلا تكوينات الإلكترون عالية الدوران في المجمعات الرباعية السطوح. يتم عرض طاقات تقسيم الحقل الرابطة المحسوبة بالطريقة أعلاه في الجدول ( فهرس الصفحة <2> ).

الجدول ( PageIndex <2> ) طاقة استقرار مجال يجند (LFSE)
ثماني السطوح رباعي السطوح
مجال قوي (LS) مجال ضعيف (HS)
د ن مثال ن ( دلتا_) ن ( دلتا_) ن ( دلتا_)
د 1 Ti 3 + 1 0.4 1 0.4 1 0.6
د 2 V 3+ 2 0.8 2 0.8 2 1.2
د 3 Cr 3 +، V 2+ 3 1.2 3 1.2 3 0.8
د 4 Cr 2+، Mn 3 + 2 1.6 4 0.6 4 0.4
د 5 Mn 2 +، Fe 3+ 1 2.0 5 0 5 0
د 6 Fe 2 +، Co 3+ 0 2.4 4 0.4 4 0.6
د 7 Co 2 + 1 1.8 3 0.8 3 1.2
د 8 ني 2 + 2 1.2 2 1.2 2 0.8
د 9 النحاس 2 + 1 0.6 1 0.6 1 0.4
د 10 النحاس 1+ 0 0 0 0 0 0


محتويات

يمكن قياس العديد من الخصائص على سطح الأرض بشكل مستقل عن جغرافيتها:

يمكن إنشاء توقعات الخريطة للحفاظ على بعض هذه الخصائص على حساب البعض الآخر. نظرًا لأن سطح الأرض المنحني ليس متساوي القياس بالنسبة للمستوى ، فإن الحفاظ على الأشكال يؤدي حتمًا إلى مقياس متغير ، وبالتالي ، عرض غير متناسب للمناطق. والعكس صحيح ، لا يمكن أن يكون الإسقاط الذي يحافظ على المنطقة مطابقًا ، مما يؤدي إلى تشوه الأشكال والمحامل في معظم أماكن الخريطة. يحافظ كل إسقاط على الخصائص المترية الأساسية أو يفسدها أو يقاربها بطرق مختلفة. يحدد الغرض من الخريطة الإسقاط الذي يجب أن يشكل أساس الخريطة. نظرًا لوجود العديد من الأغراض للخرائط ، فقد تم إنشاء مجموعة متنوعة من الإسقاطات لتناسب تلك الأغراض.

هناك اعتبار آخر في تكوين الإسقاط وهو توافقه مع مجموعات البيانات التي سيتم استخدامها على الخريطة. مجموعات البيانات هي معلومات جغرافية يعتمد جمعها على مرجع (نموذج) الأرض المختار. تقوم المعطيات المختلفة بتعيين إحداثيات مختلفة قليلاً لنفس الموقع ، لذلك في الخرائط ذات المقياس الكبير ، مثل تلك الموجودة في أنظمة رسم الخرائط الوطنية ، من المهم مطابقة المرجع بالإسقاط. الاختلافات الطفيفة في تخصيص التنسيق بين مختلف المساند ليست مصدر قلق لخرائط العالم أو مناطق شاسعة أخرى ، حيث تتقلص هذه الاختلافات إلى عدم الإدراك.

تحرير تشويه

أثبتت Theorema Egregium لكارل فريدريش جاوس أن سطح الكرة لا يمكن تمثيله على مستوى بدون تشويه. الأمر نفسه ينطبق على الأسطح المرجعية الأخرى المستخدمة كنماذج للأرض ، مثل الأجسام الشبه الكروية المفلطحة ، والأشكال الإهليلجية ، والأجسام الجيولوجية. نظرًا لأن أي إسقاط للخريطة يمثل تمثيلًا لأحد تلك الأسطح على مستوى ، فإن جميع إسقاطات الخريطة تتشوه.

الطريقة الكلاسيكية لإظهار التشويه المتأصل في الإسقاط هي استخدام مؤشرات تيسو. لنقطة معينة ، باستخدام عامل القياس ح على طول خط الزوال ، عامل القياس ك على طول الخط المتوازي والزاوية θ ′ فيما بينها ، وصف نيكولاس تيسو كيفية بناء شكل بيضاوي يميز مقدار واتجاه مكونات التشويه. [2]: 147–149 [5] من خلال التباعد بين الأشكال الناقصة بانتظام على طول خطوط الطول والمتوازيات ، تُظهر شبكة المؤشرات كيف يختلف التشويه عبر الخريطة.

مقاييس التشويه الأخرى تحرير

تم وصف العديد من الطرق الأخرى لوصف التشوه في الإسقاطات. [6] [7] مثل إنديكاتريكس تيسو ، فإن غولدبرغ-جوت إنديكاتريكس يقوم على اللامتناهيات في الصغر ، ويصور انثناء و انحراف (الانحناء وعدم التوازن) التشوهات. [8]

بدلاً من الدائرة اللامتناهية في الصغر الأصلية (الموسعة) كما هو الحال في مؤشر تيسو ، فإن بعض الطرق المرئية تعرض أشكالًا محدودة تمتد على جزء من الخريطة. على سبيل المثال ، دائرة صغيرة نصف قطرها ثابت (على سبيل المثال ، نصف قطر زاوي 15 درجة). [9] في بعض الأحيان يتم استخدام المثلثات الكروية. [ بحاجة لمصدر ] في النصف الأول من القرن العشرين ، كان إسقاط رأس بشري على إسقاطات مختلفة أمرًا شائعًا لإظهار مدى اختلاف التشوه عبر إسقاط واحد مقارنة بالإسقاط الآخر. [10] في الوسائط الديناميكية ، يمكن سحب أشكال الخطوط الساحلية والحدود المألوفة عبر خريطة تفاعلية لإظهار كيف يشوه الإسقاط الأحجام والأشكال وفقًا للموقع على الخريطة. [11]

هناك طريقة أخرى لتصور التشوه المحلي وهي من خلال التدرج الرمادي أو التدرجات اللونية التي يمثل ظلها حجم التشوه الزاوي أو التضخم المساحي. يظهر كلاهما أحيانًا في وقت واحد عن طريق مزج لونين لإنشاء خريطة ثنائية المتغير. [12]

مشكلة توصيف التشويه عالميًا عبر المناطق بدلاً من نقطة واحدة فقط هي أنه ينطوي بالضرورة على اختيار الأولويات للوصول إلى حل وسط. تستخدم بعض المخططات تشويه المسافة كبديل للجمع بين التشوه الزاوي والتضخم المساحي ، وتختار هذه الأساليب بشكل تعسفي المسارات التي يجب قياسها وكيفية ترجيحها من أجل الحصول على نتيجة واحدة. تم وصف الكثير. [8] [13] [14] [15] [16]

يتضمن إنشاء إسقاط الخريطة خطوتين:

  1. اختيار نموذج لشكل الأرض أو جسم الكواكب (عادة الاختيار بين كرة أو شكل بيضاوي). نظرًا لأن الشكل الفعلي للأرض غير منتظم ، يتم فقد المعلومات في هذه الخطوة.
  2. تحويل الإحداثيات الجغرافية (خطوط الطول والعرض) إلى الديكارتي (x,ذ) أو إحداثيات الطائرة القطبية. في الخرائط واسعة النطاق ، عادة ما يكون للإحداثيات الديكارتية علاقة بسيطة بالاتجاهات الشمالية والشرقية المحددة على أنها شبكة متراكبة على الإسقاط. في الخرائط صغيرة الحجم ، لا يكون للشرق والشمال معنى ، والشبكات ليست متراكبة.

بعض أبسط إسقاطات الخريطة هي إسقاطات حرفية ، كما يتم الحصول عليها عن طريق وضع مصدر ضوء في نقطة محددة بالنسبة للكرة الأرضية وإسقاط معالمه على سطح محدد. على الرغم من أن معظم الإسقاطات لا يتم تعريفها بهذه الطريقة ، إلا أن تصوير نموذج الكرة الأرضية لمصدر الضوء يمكن أن يكون مفيدًا في فهم المفهوم الأساسي لإسقاط الخريطة.

اختيار سطح الإسقاط تحرير

يُطلق على السطح الذي يمكن فتحه أو فتحه إلى مستوى أو صفيحة دون التمدد أو التمزق أو الانكماش اسم سطح قابل للتطوير. الأسطوانة والمخروط والطائرة كلها أسطح قابلة للتطوير. لا يحتوي الكرة والمجسم الإهليلجي على أسطح قابلة للتطوير ، لذا فإن أي إسقاط لهما على مستوى يجب أن يؤدي إلى تشويه الصورة. (للمقارنة ، لا يمكن تسطيح قشرة برتقال دون تمزيقها وتزييفها).

تتمثل إحدى طرق وصف الإسقاط أولاً في الإسقاط من سطح الأرض إلى سطح قابل للتطوير مثل الأسطوانة أو المخروط ، ثم لف السطح إلى مستوى. بينما تؤدي الخطوة الأولى حتمًا إلى تشويه بعض خصائص الكرة الأرضية ، يمكن بعد ذلك الكشف عن السطح القابل للتطوير دون مزيد من التشويه.

جانب من الإسقاط تحرير

بمجرد الاختيار بين الإسقاط على أسطوانة أو مخروط أو مستوى ، فإن ملف وجه يجب تحديد الشكل. يصف الجانب كيفية وضع السطح القابل للتطوير بالنسبة إلى الكرة الأرضية: قد يكون كذلك عادي (بحيث يتطابق محور التناظر السطحي مع محور الأرض) ، مستعرض (بزوايا قائمة على محور الأرض) أو منحرف - مائل (أي زاوية بينهما).

تحرير الخطوط البارزة

قد يكون السطح القابل للتطوير أيضًا إما ظل أو قاطع على الكرة أو القطع الناقص. الظل يعني أن السطح يلامس ولكنه لا يقطع قاطع الكرة الأرضية يعني أن السطح لا يقطع الكرة الأرضية. إن تحريك السطح القابل للتطوير بعيدًا عن ملامسة الكرة الأرضية لا يحافظ أبدًا على الخصائص المترية أو يحسنها ، لذلك لا تتم مناقشة هذا الاحتمال بمزيد من التفصيل هنا.

خطوط الظل والقطع (خطوط قياسية) ممثلة غير مشوهة. إذا كانت هذه الخطوط موازية لخط العرض ، كما هو الحال في الإسقاطات المخروطية ، فإنها تسمى أ موازية قياسية. ال خط الزوال المركزي هو خط الزوال الذي تم تدوير الكرة الأرضية إليه قبل الإسقاط. خط الزوال المركزي (يكتب عادة λ0) والموازاة في الأصل (عادة ما تكون مكتوبة φ0) لتحديد أصل إسقاط الخريطة. [17] [18]

مقياس التحرير

الكرة الأرضية هي الطريقة الوحيدة لتمثيل الأرض بمقياس ثابت في جميع أنحاء الخريطة بأكملها في جميع الاتجاهات. لا يمكن للخريطة أن تحقق هذه الخاصية لأي منطقة ، مهما كانت صغيرة. ومع ذلك ، يمكنه تحقيق مقياس ثابت على طول خطوط محددة.

بعض الخصائص الممكنة هي:

  • المقياس يعتمد على الموقع ، ولكن ليس على الاتجاه. هذا يعادل الحفاظ على الزوايا ، السمة المميزة للخريطة المطابقة.
  • المقياس ثابت على طول أي متوازي في اتجاه الموازي. ينطبق هذا على أي إسقاط أسطواني أو أسطواني كاذب في الجانب العادي.
  • مزيج مما سبق: يعتمد المقياس على خط العرض فقط ، وليس على خط الطول أو الاتجاه. هذا ينطبق على إسقاط مركاتور في الجانب العادي.
  • المقياس ثابت على طول جميع الخطوط المستقيمة المنبعثة من موقع جغرافي معين. هذه هي السمة المميزة للإسقاط متساوي البعد مثل الإسقاط السمتي متساوي البعد. هناك أيضًا إسقاطات (إسقاط مورير ذو النقطتين متساوي البعد ، قريب) حيث المسافات الحقيقية من اثنين يتم الاحتفاظ بالنقاط. [2]: 234

اختيار نموذج لشكل الجسم تحرير

يتأثر بناء الإسقاط أيضًا بكيفية تقريب شكل الأرض أو جسم الكواكب. في القسم التالي حول فئات الإسقاط ، يتم أخذ الأرض كروية من أجل تبسيط المناقشة. ومع ذلك ، فإن شكل الأرض الفعلي أقرب إلى شكل بيضاوي مفلطح. سواء كانت كروية أو إهليلجية ، فإن المبادئ التي تمت مناقشتها تثبت دون فقدان العمومية.

يتضمن اختيار نموذج لشكل الأرض الاختيار بين مزايا وعيوب الكرة مقابل الشكل الإهليلجي. تعد النماذج الكروية مفيدة للخرائط صغيرة الحجم مثل الأطالس العالمية والكرات الأرضية ، نظرًا لأن الخطأ في هذا المقياس لا يكون عادةً ملحوظًا أو مهمًا بدرجة كافية لتبرير استخدام الشكل الإهليلجي الأكثر تعقيدًا. يستخدم النموذج الإهليلجي بشكل شائع لإنشاء خرائط طبوغرافية وخرائط أخرى كبيرة ومتوسطة الحجم تحتاج إلى تصوير سطح الأرض بدقة. غالبًا ما يتم استخدام خطوط العرض المساعدة في إسقاط الشكل الإهليلجي.

النموذج الثالث هو الجيود ، وهو تمثيل أكثر تعقيدًا ودقة لشكل الأرض يتزامن مع متوسط ​​مستوى سطح البحر إذا لم تكن هناك رياح أو مد وجزر أو أرض. بالمقارنة مع أفضل شكل بيضاوي مناسب ، فإن النموذج الجيودالي من شأنه أن يغير توصيف الخصائص المهمة مثل المسافة والتوافق والتكافؤ. لذلك ، في الإسقاطات الجيويدية التي تحافظ على مثل هذه الخصائص ، فإن غراتيكول المعين ينحرف عن غراتيكول الإهليلجي المعين. عادةً لا يتم استخدام الجيود كنموذج أرضي للإسقاطات ، ولكن لأن شكل الأرض منتظم جدًا ، حيث يبلغ تموج الجيود أقل من 100 متر من النموذج الإهليلجي من نصف قطر الأرض البالغ 6.3 مليون متر. بالنسبة للأجسام الكوكبية غير المنتظمة مثل الكويكبات ، تستخدم أحيانًا نماذج مماثلة للجيود لعرض خرائط منها. [19] [20] [21] [22] [23]

تستخدم المواد الصلبة العادية الأخرى أحيانًا كتعميمات للمكافئ الجيود للأجسام الأصغر. على سبيل المثال ، يتم تصميم Io بشكل أفضل عن طريق الشكل الإهليلجي ثلاثي المحاور أو الشكل الكروي المتكاثر مع الانحرافات الصغيرة. شكل Haumea عبارة عن شكل إهليلجي جاكوبي ، بمحوره الرئيسي ضعف طول محوره الصغير ومحوره الأوسط ضعف ونصف المحور الصغير. انظر خريطة الإسقاط للإهليلجي ثلاثي المحاور لمزيد من المعلومات.

يعتمد تصنيف الإسقاط الأساسي على نوع سطح الإسقاط الذي يُسقط عليه الكرة الأرضية من الناحية المفاهيمية. يتم وصف الإسقاطات من حيث وضع سطح عملاق ملامسًا للأرض ، متبوعًا بعملية تحجيم ضمنية. هذه الأسطح أسطوانية (مثل Mercator) ومخروطية (مثل Albers) ومستوية (على سبيل المثال مجسمة). ومع ذلك ، فإن العديد من الإسقاطات الرياضية لا تتناسب بدقة مع أي من طرق الإسقاط المفاهيمية الثلاثة هذه. ومن ثم تم وصف فئات الأقران الأخرى في الأدبيات ، مثل pseudoconic ، pseudocylindrical ، pseudoazimuthal ، retroazimuthal ، و polyconic.

هناك طريقة أخرى لتصنيف الإسقاطات وهي وفقًا لخصائص النموذج الذي تحتفظ به. بعض الفئات الأكثر شيوعًا هي:

  • اتجاه المحافظة (سمتي أو زينيثال) ، سمة ممكنة فقط من نقطة أو نقطتين إلى كل نقطة أخرى [24]
  • الحفاظ على الشكل محليا (امتثالي أو متعامد)
  • منطقة الحفظ (مساحة متساوية أو متساوي أو ما يعادل أو تلقائي)
  • الحفاظ على المسافة (متساوي البعد) ، سمة ممكنة فقط بين نقطة أو نقطتين وكل نقطة أخرى
  • الحفاظ على أقصر طريق ، وهي سمة محفوظة فقط من خلال الإسقاط العقلي

نظرًا لأن الكرة ليست سطحًا قابلاً للتطوير ، فمن المستحيل إنشاء إسقاط خريطة متساوي المساحة ومتوافق.

توفر الأسطح الثلاثة القابلة للتطوير (المستوي ، الأسطوانة ، المخروط) نماذج مفيدة لفهم إسقاطات الخرائط ووصفها وتطويرها. ومع ذلك ، فإن هذه النماذج محدودة بطريقتين أساسيتين. لسبب واحد ، لا تندرج معظم توقعات العالم المستخدمة في أي من هذه الفئات. لشيء آخر ، حتى معظم الإسقاطات التي تقع ضمن هذه الفئات لا يمكن تحقيقها بشكل طبيعي من خلال الإسقاط المادي. كما يلاحظ LP Lee ،

لم تتم الإشارة في التعريفات أعلاه إلى الأسطوانات أو المخاريط أو الطائرات. يُطلق على الإسقاطات أسطواني أو مخروطي لأنه يمكن اعتبارها مطورة على أسطوانة أو مخروط ، حسب الحالة ، ولكن أيضًا الاستغناء عن تصوير الأسطوانات والمخاريط ، لأنها أدت إلى الكثير من سوء الفهم. هذا هو الحال بشكل خاص فيما يتعلق بالإسقاطات المخروطية ذات المتوازيات القياسية: يمكن اعتبارها مطورة على الأقماع ، لكنها مخروطية لا تحمل علاقة بسيطة بالكرة. في الواقع ، تزودنا الأسطوانات والمخاريط بمصطلحات وصفية مريحة ، لكن القليل من الأمور الأخرى. [25]

يشير اعتراض لي إلى طريقة المصطلحات إسطواني, مخروطي، و مستو (السمتي) في مجال إسقاطات الخرائط. If maps were projected as in light shining through a globe onto a developable surface, then the spacing of parallels would follow a very limited set of possibilities. Such a cylindrical projection (for example) is one which:

  1. Is rectangular
  2. Has straight vertical meridians, spaced evenly
  3. Has straight parallels symmetrically placed about the equator
  4. Has parallels constrained to where they fall when light shines through the globe onto the cylinder, with the light source someplace along the line formed by the intersection of the prime meridian with the equator, and the center of the sphere.

(If you rotate the globe before projecting then the parallels and meridians will not necessarily still be straight lines. Rotations are normally ignored for the purpose of classification.)

Where the light source emanates along the line described in this last constraint is what yields the differences between the various "natural" cylindrical projections. But the term cylindrical as used in the field of map projections relaxes the last constraint entirely. Instead the parallels can be placed according to any algorithm the designer has decided suits the needs of the map. The famous Mercator projection is one in which the placement of parallels does not arise by projection instead parallels are placed how they need to be in order to satisfy the property that a course of constant bearing is always plotted as a straight line.

Cylindrical Edit

A normal cylindrical projection is any projection in which meridians are mapped to equally spaced vertical lines and circles of latitude (parallels) are mapped to horizontal lines.

The mapping of meridians to vertical lines can be visualized by imagining a cylinder whose axis coincides with the Earth's axis of rotation. This cylinder is wrapped around the Earth, projected onto, and then unrolled.

By the geometry of their construction, cylindrical projections stretch distances east-west. The amount of stretch is the same at any chosen latitude on all cylindrical projections, and is given by the secant of the latitude as a multiple of the equator's scale. The various cylindrical projections are distinguished from each other solely by their north-south stretching (where latitude is given by φ):

  • North-south stretching equals east-west stretching (secφ): The east-west scale matches the north-south scale: conformal cylindrical or Mercator this distorts areas excessively in high latitudes (see also transverse Mercator).
  • North-south stretching grows with latitude faster than east-west stretching (sec 2 φ): The cylindric perspective (or central cylindrical) projection unsuitable because distortion is even worse than in the Mercator projection.
  • North-south stretching grows with latitude, but less quickly than the east-west stretching: such as the Miller cylindrical projection (sec 4 / 5 φ).
  • North-south distances neither stretched nor compressed (1): equirectangular projection or "plate carrée".
  • North-south compression equals the cosine of the latitude (the reciprocal of east-west stretching): equal-area cylindrical. This projection has many named specializations differing only in the scaling constant, such as the Gall–Peters or Gall orthographic (undistorted at the 45° parallels), Behrmann (undistorted at the 30° parallels), and Lambert cylindrical equal-area (undistorted at the equator). Since this projection scales north-south distances by the reciprocal of east-west stretching, it preserves area at the expense of shapes.

In the first case (Mercator), the east-west scale always equals the north-south scale. In the second case (central cylindrical), the north-south scale exceeds the east-west scale everywhere away from the equator. Each remaining case has a pair of secant lines—a pair of identical latitudes of opposite sign (or else the equator) at which the east-west scale matches the north-south-scale.

Normal cylindrical projections map the whole Earth as a finite rectangle, except in the first two cases, where the rectangle stretches infinitely tall while retaining constant width.

Pseudocylindrical Edit

Pseudocylindrical projections represent the central meridian as a straight line segment. Other meridians are longer than the central meridian and bow outward, away from the central meridian. Pseudocylindrical projections map parallels as straight lines. Along parallels, each point from the surface is mapped at a distance from the central meridian that is proportional to its difference in longitude from the central meridian. Therefore, meridians are equally spaced along a given parallel. On a pseudocylindrical map, any point further from the equator than some other point has a higher latitude than the other point, preserving north-south relationships. This trait is useful when illustrating phenomena that depend on latitude, such as climate. Examples of pseudocylindrical projections include:

    , which was the first pseudocylindrical projection developed. On the map, as in reality, the length of each parallel is proportional to the cosine of the latitude. [26] The area of any region is true. , which in its most common forms represents each meridian as two straight line segments, one from each pole to the equator.

Hybrid Edit

The HEALPix projection combines an equal-area cylindrical projection in equatorial regions with the Collignon projection in polar areas.

Conic Edit

The term "conic projection" is used to refer to any projection in which meridians are mapped to equally spaced lines radiating out from the apex and circles of latitude (parallels) are mapped to circular arcs centered on the apex. [27]

When making a conic map, the map maker arbitrarily picks two standard parallels. Those standard parallels may be visualized as secant lines where the cone intersects the globe—or, if the map maker chooses the same parallel twice, as the tangent line where the cone is tangent to the globe. The resulting conic map has low distortion in scale, shape, and area near those standard parallels. Distances along the parallels to the north of both standard parallels or to the south of both standard parallels are stretched distances along parallels between the standard parallels are compressed. When a single standard parallel is used, distances along all other parallels are stretched.

Conic projections that are commonly used are:

    , which keeps parallels evenly spaced along the meridians to preserve a constant distance scale along each meridian, typically the same or similar scale as along the standard parallels. , which adjusts the north-south distance between non-standard parallels to compensate for the east-west stretching or compression, giving an equal-area map. , which adjusts the north-south distance between non-standard parallels to equal the east-west stretching, giving a conformal map.

Pseudoconic Edit

    , an equal-area projection on which most meridians and parallels appear as curved lines. It has a configurable standard parallel along which there is no distortion. , upon which distances are correct from one pole, as well as along all parallels. and other projections in the polyconic projection class.

Azimuthal (projections onto a plane) Edit

Azimuthal projections have the property that directions from a central point are preserved and therefore great circles through the central point are represented by straight lines on the map. These projections also have radial symmetry in the scales and hence in the distortions: map distances from the central point are computed by a function ص(د) of the true distance د, independent of the angle correspondingly, circles with the central point as center are mapped into circles which have as center the central point on the map.

The mapping of radial lines can be visualized by imagining a plane tangent to the Earth, with the central point as tangent point.

Some azimuthal projections are true perspective projections that is, they can be constructed mechanically, projecting the surface of the Earth by extending lines from a point of perspective (along an infinite line through the tangent point and the tangent point's antipode) onto the plane:


8.2: Use the Rectangular Coordinate System (Part 1)

Ch 3 2, 20, 37, 44, 50, 51, 57, 61

Questions 3, 5, 6, 7, 8

Additional problems from Serway's fourth edition

(4 ed) 3.1 A point is located in a polar coordinate system by the coordinates r = 2.50 m and = 35.0 o .

Find the cartesian coordinates of this point, assuming the two coordinate systems have the same origin.

Q3.3 The magnitudes of two vectors A and B are A = 5 units and B = 2 units. Find the largest and smallest values possible for the resultant vector R = A + B.

If vectors A and B point in the same direction, the magnitude of R is 7 units.

If vectors A and B point in the opposite direction, the magnitude of R is 3 units.

Q3.5 If the component of vector A along the direction of vector B is zero, what can you conclude about these two vectors.

The two vectors are perpendicular (it can also be said they are orthogonal ).

Q3.6 Can the magnitude of a vector have a negative value?

No, a magnitude is always positive or zero.

Q3.7 Which of the following are vectors and which are not:

rating of a television show --> scalar

height --> vector (a well would have a negative height)

Q3.8 Under what circumstances would a nonzero vector lying in the xy plane ever have components that are equal in magnitude?

If the vector lies along the 45 o line in the first or third quadrants the two components will be exactly equal. If the vector lies along the 45 o line in the second or fourth quadrants the two components will be equal in magnitude.

Problems from the current (5th) edition of Serway and Beichner.

3.2 Two points in the xy plane have cartesian coordinates (2.00, - 4.00) m and ( - 3.00, 3.00) m.

(a) the distance between these points and

We can find the distance between the two points from the Pythagorean Theorem, distance = d = SQRT [ ( x) 2 + ( y) 2 ]

d = SQRT [ ( - 3.00 - 2.00 ) 2 + ( 3.00 - ( - 4.00) ) 2 ] m

d = SQRT [ ( - 5 ) 2 + ( 7.00) 2 ] m

d = SQRT [ 25.00 + 49.00 ] m

d = SQRT [ 74.00 ] m

d = 8.60 m

(b) their polar coordinates

P 1 's distance from the origin, or its radius r 1 , is

r 1 = SQRT [ (2.00) 2 + ( - 4.00 ) 2 ] m = SQRT [ 4 + 16 ] m = SQRT [ 20 ] m

r 1 = 4.47 m

tan [ 1 ] = opp / adj = y 1 / x 1 = ( - 4) / 2 = - 2

1 = - 63.4 o

The cartesian coordinates (r, ) for point P 1 , are

Now, the same thing for point P 2 ,

P 2 's distance from the origin, or its radius r 2 , is

r 2 = SQRT [ ( - 3.00) 2 + ( 3.00 ) 2 ] m = SQRT [ 9 + 9 ] m = SQRT [ 18 ] m

r 2 = 4.24 m

tan [ 2 ] = opp / adj = y 2 / x 2 = 3 / ( - 3) = - 1

2 = 135 o

The cartesian coordinates (r, ) for point P 2 , are

NOTE! Always use caution with the inverse tangent function (and all other inverse trig functions). When you tell your calculator that you want the inverse tangent of ( - 1) it will probably tell you the angle is - 45 o . An angle of - 45 o does, indeed, have a tangent of - 1. A point located at ( + 3, - 3) is located at an angle of - 45 o (measured from the + x-axis). But our point, P 2 , is located at ( - 3, + 3). So, from a diagram, we conclude that it is located at an angle of 135 o .

3.20 Find the horizontal and vertical components of the 100-m displacement of a superhero who flies from the top of a tall building following the path shown in Figure P3.19 .

x = r cos = (100 m) cos 30 o = (100 m) ( 0.866)

x = 86.6 m

y = r sin = - (100 m) sin 30 o = - (100 m) (0.500)

y = - 50.0 m

( x, y ) = (86.6 m, - 50.0 m)

3.37 The helicopter view in Figure P3.37 shows two people pulling on a stubborn mule.

(a) the single force that is equivalent to the two forces shown, and

(b) the force that a third person would have to exert on the mule to make the resultant force equal to zero.

We want the resultant R, R = F 1 + F 2

After a good diagram most vector addition problems begin with finding the components of the vectors.

F 1x = F 1 cos 60 o = (120 N) ( 0.50) = 60 N

F 1y = F 1 sin 60 o = (120 N) ( 0.866) = 104 N

F 1 = 60 N i + 104 N j

F 2x = - F 2 cos 75 o = - (80 N) ( 0.260) = - 20.8 N

F 2y = F 2 sin 75 o = (80 N) ( 0.966) = 77.3 N

F 2 = - 20.8 N i + 77.3 N j

R = F 1 + F 2

R = ( 60 N i + 104 N j) + ( 20.8 N i + 77.3 N j)

R = ( 60 - 20.8 ) N i + ( 104 + 77.3 ) N j

R = 39.2 N i + 181.3 N j

As before, we now need to find the magnitude of the resultant and its direction,

R = SQRT [ R x 2 + R y 2 ]

Notice from the diagram that we are now measuring the angle from the positive x-axis therefore,

3.44 Instructions for finding a buried treasure including the following:

turn to 135 o and walk 125 paces,

then travel 100 paces at 160 o .

Determine the resultant displacement from the starting point.

Each piece of these directions is a displacement vector A: Go 75 paces at 240 o A x = A cos = (75 paces) cos 240 o = (75 paces) ( - 0.5) = - 37.5 paces

A y = A sin = (75 paces) sin 240 o = (75 paces) ( - 0.866) = - 64.95 paces

B: turn to 135 o and walk 125 paces

B x = B cos = (125 paces) cos 135 o = (125 paces) ( - 0.707) = - 88.39 paces

B y = B sin = (125 paces) sin 135 o = (125 paces) (0.707) = 88.39 paces

C: travel 100 paces at 160 o

C x = C cos = (100 paces) cos 160 o = (100 paces) ( - 0.940) = - 93.97 paces

C y = C sin = (100 paces) sin 160 o = (100 paces) (0.342) = 34.20 paces

Now we add these displacement vectors to find the resultant, R

Remember, tho', that vector notation or vector addition is really elegant shorthand for the two scalar equations

Using numerical values for these, we have

R x = A x + B x + C x

R x = ( - 37.50 - 88.39 - 93.97 ) paces

R x = - 219.86 paces

R y = A y + B y + C y

R y = ( - 64.95 + 88.39 + 34.20 ) paces

R y = 57.64 paces

So we expect the buried treasure to be located at

Or, we can find this displacement in polar coordinates,

R = SQRT [ X 2 + Y 2 ] = SQRT [ ( - 219.86 ) 2 + (57.64) 2 ] paces

R = 227.29 paces

tan = opp / adj = Y / X = 57 / ( - 220) = - 0.26

= 165.5 o

So we can state this resultant as

3.50 An airplane starting from airport A flies 300 km east, then 350 km 30.0 o west of north, and then 150 km north to arrive at airport B. There is no wind on this day.

(a) The next day, another plane flies directly from A to B in a straight line. In what direction should the pilot travel in this direct flight?

(b) How far will the pilot travel in this direct flight?

We can describe each leg of this airplane's path as a vector: The airplane flies 300 km east

then 350 km 30.0 o west of north

and then 150 km north

Now we can add those vectors to find the resultant R,

To carry out this vector addition, we can write vectors A, B, and C in component form. Remember, this time we are given, and will find, angles measured from North (or y). Be careful as you use the trig functions.

A = 300 km i + 0 j

B = - (350 km) sin 30 o i + (350 km) cos 30 o j

B = - (350 km) (0.500) i + (350 km) (0.866) j

B = - 175 km i + 303 km j

C = 0 i + 150 km j

R = A + B + C

R = ( 300 km i + 0 j) + ( - 175 km i + 303 km j) + ( 0 i + 150 km j)

R = ( 300 - 175 + 0 ) km i + ( 0 + 303 + 150 ) km j

R = 125 km i + 453 km j

Now we want to write this resultant in polar coordinates, finding its length and its direction.

R = SQRT [ R x 2 + R y 2 ]

R = SQRT [ 125 2 + 453 2 ] km

R = 470 km

tan = opp / adj = R x / R y = 125 / 453 = 0.276

= 15 o

R = ( 470 km, 15 o )

3.51 Three vectors are oriented as shown in Figure P3.51, where | أ | = A = 20.0 units, | ب | = B = 40.0 units, and | ج | = c = 30.0 units.

Find (a) the x and y components of the resultant vector (expressed in unit-vector notation) and (b) the magnitude and direction of the resultant vector (ie, in polar coordinates)


5.1 PostGIS Geometry/Geography/Box Data Types

This section lists the custom PostgreSQL data types installed by PostGIS to represent spatial data.

Each data type describes its type casting behaviour. A type cast converts values of one data type into another type. PostgreSQL allows defining casting behavior for custom types, along with the functions used to convert type values. Casts can have automatic behaviour, which allows automatic conversion of a function argument to a type supported by the function.

Some casts have explicit behaviour, which means the cast must be specified using the syntax CAST(myval As sometype) or myval::sometype . Explicit casting avoids the issue of ambiguous casts, which can occur when using an overloaded function which does not support a given type. For example, a function may accept a box2d or a box3d, but not a geometry. Since geometry has an automatic cast to both box types, this produces an "ambiguous function" error. To prevent the error use an explicit cast to the desired box type.

All data types can be cast to text , so this does not need to be specified explicitly.


8.2: The Wavefunctions

  • Contributed by David M. Hanson, Erica Harvey, Robert Sweeney, Theresa Julia Zielinski
  • Quantum States of Atoms and Molecules at Chemical Education Digital Library (ChemEd DL)

The solutions to the hydrogen atom Schrödinger equation are functions that are products of a spherical harmonic function و أ radial function.

[ psi _ (r, heta , varphi) = R_ (r) Y^_l ( heta , varphi) label <8-20>]

The wavefunctions for the hydrogen atom depend upon the three variables r, ( heta), and (varphi ) and the three quantum numbers n, (l), and (m_l). The variables give the position of the electron relative to the proton in spherical coordinates. The absolute square of the wavefunction, (| psi (r, heta , varphi )|^2), evaluated at (r), ( heta ), and (varphi) gives the probability density of finding the electron inside a differential volume (d au), centered at the position specified by r, ( heta ), and (varphi).

What is the value of the integral

[ int limits _< ext> | psi (r, heta , varphi )|^2 d au , ? لا يوجد رقم]

The quantum numbers have names: (n) is called the principal quantum number, (l) is called the angular momentum quantum number, and (m_l) is called the magnetic quantum number because (as we will see in Section 8.4) the energy in a magnetic field depends upon (m_l). Often (l) is called the azimuthal quantum number because it is a consequence of the ( heta)-equation, which involves the azimuthal angle (Theta ), referring to the angle to the zenith.

These quantum numbers have specific values that are dictated by the physical constraints or boundary conditions imposed upon the Schrödinger equation: (n) must be an integer greater than 0, (l) can have the values 0 to n𔂫, and (m_l) can have (2l + 1) values ranging from (-l) ‑ to (+l) in unit or integer steps. The values of the quantum number (l) usually are coded by a letter: s means 0, p means 1, d means 2, f means 3 the next codes continue alphabetically (e.g., g means (l = 4)). The quantum numbers specify the quantization of physical quantities. The discrete energies of different states of the hydrogen atom are given by (n), the magnitude of the angular momentum is given by (l), and one component of the angular momentum (usually chosen by chemists to be the z‑component) is given by (m_l). The total number of orbitals with a particular value of (n) is (n^2).

Consider several values for n, and show that the number of orbitals for each n is (n^2).

Construct a table summarizing the allowed values for the quantum numbers n, (l) , and (m_l). for energy levels 1 through 7 of hydrogen.

The notation 3d specifies the quantum numbers for an electron in the hydrogen atom. What are the values for n and (l) ? What are the values for the energy and angular momentum? What are the possible values for the magnetic quantum number? What are the possible orientations for the angular momentum vector?

The hydrogen atom wavefunctions, (psi (r, heta , varphi )), are called atomic orbitals. An atomic orbital is a function that describes one electron in an atom. The wavefunction with n = 1, (l=1), and (m_l) = 0 is called the 1s orbital, and an electron that is described by this function is said to be &ldquoin&rdquo the ls orbital, i.e. have a 1s orbital state. The constraints on (n), (l)), and (m_l) that are imposed during the solution of the hydrogen atom Schrödinger equation explain why there is a single 1s orbital, why there are three 2p orbitals, five 3d orbitals, etc. We will see when we consider multi-electron atoms in Chapter 9 that these constraints explain the features of the Periodic Table. In other words, the Periodic Table is a manifestation of the Schrödinger model and the physical constraints imposed to obtain the solutions to the Schrödinger equation for the hydrogen atom.

Visualizing the variation of an electronic wavefunction with (r), ( heta), and (varphi) is important because the absolute square of the wavefunction depicts the charge distribution (electron probability density) in an atom or molecule. The charge distribution is central to chemistry because it is related to chemical reactivity. For example, an electron deficient part of one molecule is attracted to an electron rich region of another molecule, and such interactions play a major role in chemical interactions ranging from substitution and addition reactions to protein folding and the interaction of substrates with enzymes.

Visualizing wavefunctions and charge distributions is challenging because it requires examining the behavior of a function of three variables in three-dimensional space. This visualization is made easier by considering the radial and angular parts separately, but plotting the radial and angular parts separately does not reveal the shape of an orbital very well. The shape can be revealed better in a probability density plot. To make such a three-dimensional plot, divide space up into small volume elements, calculate (psi^* psi ) at the center of each volume element, and then shade, stipple or color that volume element in proportion to the magnitude of (psi^* psi ). Do not confuse such plots with polar plots, which look similar.

Probability densities also can be represented by contour maps, as shown in Figure (PageIndex<1>).

Figure (PageIndex<1>): Contour plots in the x-y plane for the (2p_x) and (3p_x) orbitals of the hydrogen atom. The plots map lines of constant values of (R(r)^2) red lines follow paths of high (R(r)^2), blue for low (R(r)^ 2) . The angular function used to create the figure was a linear combination of two Spherical Harmonic functions (see Problem 10 at the end of this chapter.)

Another representational technique, virtual reality modeling, holds a great deal of promise for representation of electron densities. Imagine, for instance, being able to experience electron density as a force or resistance on a wand that you move through three-dimensional space. Devices such as these, called haptic devices, already exist and are being used to represent scientific information. Similarly, wouldn&rsquot it be interesting to &ldquofly&rdquo through an atomic orbital and experience changes in electron density as color changes or cloudiness changes? Specially designed rooms with 3D screens and &ldquosmart&rdquo glasses that provide feedback about the direction of the viewer&rsquos gaze are currently being developed to allow us to experience such sensations.

Methods for separately examining the radial portions of atomic orbitals provide useful information about the distribution of charge density within the orbitals. Graphs of the radial functions, (R(r)), for the 1s, 2s, and 2p orbitals plotted in Figure (PageIndex<2>).

Figure (PageIndex<2>): Radial function, R(r), for the 1s, 2s, and 2p orbitals.

The 1s function in Figure (PageIndex<2>) starts with a high positive value at the nucleus and exponentially decays to essentially zero after 5 Bohr radii. The high value at the nucleus may be surprising, but as we shall see later, the probability of finding an electron at the nucleus is vanishingly small.

Next notice how the radial function for the 2s orbital, Figure (PageIndex<2>), goes to zero and becomes negative. This behavior reveals the presence of a radial node in the function. A radial node occurs when the radial function equals zero other than at (r = 0) or (r = &infin). Nodes and limiting behaviors of atomic orbital functions are both useful in identifying which orbital is being described by which wavefunction. For example, all of the s functions have non-zero wavefunction values at (r = 0), but p, d, f and all other functions go to zero at the origin. It is useful to remember that there are (n-1-l) radial nodes in a wavefunction, which means that a 1s orbital has no radial nodes, a 2s has one radial node, and so on.

Examine the mathematical forms of the radial wavefunctions. What feature in the functions causes some of them to go to zero at the origin while the s functions do not go to zero at the origin?

What mathematical feature of each of the radial functions controls the number of radial nodes?


Other Lessons for You

Find GRE Coaching classes near you

Looking for GRE Coaching classes?

Find best GRE Coaching classes in your locality on UrbanPro.

Are you a Tutor or Training Institute?

Related Questions

By signing up, you agree to our Terms of Use and Privacy Policy.

Looking for GRE Coaching Classes?

Find best tutors for GRE Coaching Classes by posting a requirement.

  • Post a learning requirement
  • Get customized responses
  • Compare and select the best

Looking for GRE Coaching Classes?

Find best GRE Coaching Classes in your locality on UrbanPro

  • About UrbanPro.com
  • Terms of Use
  • Privacy Policy
    UrbanPro

8.2: Use the Rectangular Coordinate System (Part 1)

The idea of graphing with coordinate axes dates all the way back to Apollonius in the second century B.C. Rene Descartes, who lived in the 1600s, gets the credit for coming up with the two-axis system we use today. The story goes that he lay in bed and watched flies crawling over tiles on the ceiling. He realized that he could describe a fly's position using the intersecting lines of the tiles. The system is often called the "Cartesian coordinate system" in his honor.

When working with equations that have two variables, the coordinate plane is an important tool. It's a way to draw pictures of equations that makes them easier to understand.

To create a coordinate plane, start with a sheet of graph or grid paper. Next, draw a horizontal line. This line is called the x-axis and is used to locate values of x. To show that the axis actually goes on forever in both directions, use small arrowheads at each end of the line. Mark off a number line with zero in the center, positive numbers to the right, and negative numbers to the left.

Next draw a vertical line that intersects the x axis at zero. This line is called the y-axis and is used to locate the values of y. Mark off a number line with zero in the center, positive numbers going upwards, and negative numbers going downwards. The point where the x and y axes intersect is called the origin. The origin is located at zero on the x axis and zero on the y axis.

Locating Points Using Ordered Pairs
We can locate any point on the coordinate plane using an ordered pair of numbers like the example shown here, the ordered pair 4 and 2 (point P). We call the ordered pair the coordinates of the point. The coordinates of a point are called an ordered pair because the order of the two numbers is important.

The first number in the ordered pair is the x coordinate. It describes the number of units to the left or right of the origin. The second number in the ordered pair is the y coordinate. It describes the number of units above or below the origin. To plot a point, start at the origin and count along the x axis until you reach the x coordinate, count right for positive numbers, left for negative. Then count up or down the number of the y coordinate (up for positive, down for negative.)

For example, to graph the point P above, with the ordered pair (4, 2) we count right along the x axis 4 units, and then count up 2 units. Be careful to always start with the x axis, the point (4,2) is very different than the point (2,4)!

Quadrants
To make it easy to talk about where on the coordinate plane a point is, we divide the coordinate plane into four sections called quadrants.

Points in Quadrant 1 have positive x and positive y coordinates.
Points in Quadrant 2 have negative x but positive y coordinates.
Points in Quadrant 3 have negative x and negative y coordinates.
Points in Quadrant 4 have positive x but negative y coordinates.


Quadrants Coordinate Calculator

Online quadrants coordinate calculator to calculate on which place quadrant falls on the graph. In geometry graphing is done using two coordinate axes namely the x-axis and y-axis to identify the location of any point. The intersection of these 2 axes divides the plane into 4 quadrants namely first, second, third and fourth. These are denoted by Roman numerals: I (+,+), II (−,+), III (−,−), and IV (+,−). Enter X and Y value in this identify quadrants calculator to find the result.

For example, The coordinates are represented as (1,2) respectively. Here the first number 1 is the point on the x-axis and number 2 is the point on y-axis. This identify the second quadrant.

The basic geometry rule for finding the quadrant of the coordinate points are:

1) If both coordinates are positive, then the point lies in first quadrant.
2) If x is negative and y is positive, then the point lies in second quadrant.
3) If both coordinates are negative, then the point lies in third quadrant.
4) If is x is positive and y is negative, then the point lies in fourth quadrant.


There are many unique proofs (more than 350) of the Pythagorean theorem, both algebraic and geometric. The proof presented below is helpful for its clarity and is known as a proof by rearrangement.

In a right triangle, the sum of the squares of the legs is equal to the square of the hypotenuse.

Given any right triangle with legs a a a and b b b and hypotenuse c , c, c , make a square with sides a + b a+b a + b and inscribe four copies of the given triangle as shown below:

This forms a square in the center with side length c c c and thus an area of c 2 . c^2. c 2 .

However, if we rearrange the four triangles as follows, we can see two squares inside the larger square, one that is a 2 a^2 a 2 in area and one that is b 2 b^2 b 2 in area:

Since the larger square is the same in both cases, i.e. ( a + b ) 2 (a+b)^2 ( a + b ) 2 , and since the four triangles are the same in both cases, we must conclude that the two squares a 2 a^2 a 2 and b 2 b^2 b 2 are in fact equal in area to the square c 2 c^2 c 2 .

Thus, a 2 + b 2 = c 2 . a^2 + b^2 = c^2 . a 2 + b 2 = c 2 . □ _ مربع □

The converse of the Pythagorean theorem is a special case of the cosine rule:


شاهد الفيديو: الإحداثيات القطبية للصف الثالث ثانوي الفصل الدراسي الثاني (ديسمبر 2021).