مقالات

6.2: تصنيفات المعادلة النموذجية - الرياضيات


لا تزال الفروق بين الأنظمة الخطية وغير الخطية وكذلك الأنظمة المستقلة وغير المستقلة ، والتي ناقشناها في القسم 4.2 ، تنطبق على نماذج الوقت المستمر. لكن الفرق بين أنظمة الدرجة الأولى وأنظمة الترتيب الأعلى يختلف قليلاً ، على النحو التالي.

نظام الدرجة الأولى

معادلة تفاضلية تتضمن مشتقات من الدرجة الأولى لمتغيرات الحالة ( ( dfrac {dx} {dt}) ) فقط.

نظام الترتيب الأعلى

معادلة تفاضلية تتضمن مشتقات عالية المستوى لمتغيرات الحالة ( ( dfrac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}} ) ، ( dfrac {d ^ {3} x} {dt ^ {3}} ) ، وما إلى ذلك).

لحسن الحظ ، لا يزال ما يلي هو الحال بالنسبة لنماذج الوقت المستمر أيضًا:

نماذج الوقت المستمر

يمكن دائمًا تحويل المعادلات التفاضلية غير المستقلة ذات الترتيب الأعلى إلى أشكال مستقلة من الدرجة الأولى عن طريق إدخال متغيرات حالة إضافية.

هنا مثال:

[ dfrac {d ^ {2} theta} {dt ^ {2}} = - dfrac {g} {L} sin theta label {(6.3)} ]

تصف هذه المعادلة الحركة المتأرجحة لبندول بسيط ، والتي ربما تكون قد شاهدتها في مقدمة دورة الفيزياء. (θ ) هو الموضع الزاوي للبندول ، (g ) هو تسارع الجاذبية ، و (L ) هو طول السلسلة التي تربط الوزن بالمحور. من الواضح أن هذه المعادلة غير خطية ومن الدرجة الثانية. بينما لا يمكننا إزالة اللاخطية من النموذج ، يمكننا تحويل المعادلة إلى نموذج الترتيب الأول ، عن طريق إدخال المتغير الإضافي التالي:

[ omega = dfrac {d theta} {dt} label {(6.4)} ]

باستخدام هذا ، الجانب الأيسر من المعادلة. يمكن كتابة ref {(6.3)} كـ ( dfrac {d omega} {dt} ) ، وبالتالي ، يمكن تحويل المعادلة إلى نموذج الترتيب الأول التالي:

[ dfrac {d theta} {dt} = omega label {(6.5)} ]

[ dfrac {d omega} {dt} = - dfrac {g} {L} sin theta label {(6.6)} ]

تعمل تقنية التحويل هذه مع معادلات الدرجة الثالثة أو أي معادلات ذات ترتيب أعلى أيضًا ، طالما أن الترتيب الأعلى لا يزال غير محدود. هنا مثال آخر.

مثال ( PageIndex {1} ): البندول المتحرك

ضع في اعتبارك المعادلة غير المستقلة:

[ dfrac {d ^ {2} theta} {dt ^ {2}} = - dfrac {g} {L} sin theta + k sin (2 pi {ft} + phi) التسمية {6.7} ]

هذه معادلة تفاضلية لسلوك أ البندول مدفوعة. يمثل المصطلح الثاني على الجانب الأيمن قوة متغيرة بشكل دوري مطبقة على البندول ، على سبيل المثال ، مغنطيس كهربائي متحكم فيه خارجيًا مدمج في الطابق. كما ناقشنا من قبل ، يمكن تحويل هذه المعادلة إلى نموذج الطلب الأول التالي:

[ begin {align *} dfrac {d theta} {dt} & = omega label {(6.8)} [4pt] dfrac {d omega} {dt} & = - dfrac { g} {L} sin theta + k sin (2 pi ft + phi) label {(6.9)} end {align *} ]

نحتاج الآن إلى حذف (t ) داخل دالة ( sin ). تمامًا كما فعلنا في حالات الوقت المنفصل ، يمكننا تقديم متغير "clock" ، على سبيل المثال (τ ) ، على النحو التالي:

[ dfrac {d tau} {dt} = 1، tau (0) = 0 label {(6.10)} ]

يضمن هذا التعريف (τ (t) = t ). باستخدام هذا ، يمكن إعادة كتابة النموذج الكامل على النحو التالي:

[ start {align *} dfrac {d theta} {dt} & = omega label {(6.11)} [4pt] dfrac {d omega} {dt} & = - dfrac { g} {L} sin theta + k sin (2 pi {f tau} + phi) label {(6.12)} [4pt] dfrac {d tau} {dt} & = 1، tau (0) = 0 label {(6.13)} end {align *} ]

يتكون هذا الآن من معادلات تفاضلية من الدرجة الأولى ومستقلة فقط.

تعمل تقنية التحويل هذه دائمًا ، وتؤكد لنا أن المعادلات المستقلة ذات الترتيب الأول يمكن أن تغطي جميع ديناميكيات أي معادلات غير مستقلة ذات ترتيب أعلى.

تمرين ( PageIndex {1} )

حول المعادلة التفاضلية التالية إلى صيغة الترتيب الأول.

[ dfrac {d ^ {2}} {dt ^ {2}} - x dfrac {dx} {dt} + x ^ {2} = 0 label {(6.14)} ]

تمرين ( PageIndex {2} )

حول المعادلة التفاضلية التالية إلى صيغة مستقلة من الدرجة الأولى.

[ dfrac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}} -a cos {bt} = 0 label {(6.15)} ]

لمعلوماتك ، تنطبق الحقائق التالية أيضًا على المعادلات التفاضلية ، وكذلك على معادلات الفرق:

يمكن أن تُظهر الأنظمة الديناميكية الخطية فقط نموًا أسيًا / تسوسًا أو تذبذبًا دوريًا أو حالات ثابتة (بدون تغيير) أو هجائنها (على سبيل المثال ، تذبذب متزايد بشكل كبير)أ.

أفي بعض الأحيان يمكنهم أيضًا إظهار السلوكيات التي يتم تمثيلها بواسطة كثيرات الحدود (أو منتجات كثيرات الحدود والأسي) من الوقت. يحدث هذا عندما تكون مصفوفاتهم المتوافقة غير قطري.

دائمًا ما تكون المعادلات الخطية قابلة للحل من الناحية التحليلية ، بينما لا تحتوي المعادلات غير الخطية على حلول تحليلية بشكل عام.


معدل الإصابة في السكان؟

لقد أعطاني صديق مشكلة الكلمة هذه ، وقد حيرني في كيفية إعدادها. أتمنى أن تساعدوا يا رفاق. ها هو:

"شخص واحد بالضبط هو مجموعة معزولة من 10000 شخص يصابون بمرض معين في يوم معين. لنفترض أن معدل انتشار هذا المرض يتناسب مع ناتج عدد الأشخاص المصابين بالمرض وعدد الأشخاص الذين ليس لديك بعد. إذا أصيب 50 شخصًا بالمرض بعد 5 أيام ، فكم عدد المصابين به بعد عشرة أيام؟

لذلك أعتقد أن ما أطلبه ليس في الحقيقة ماهية الإجابة (على الرغم من أن ذلك سيكون رائعًا أيضًا) ، ولكن بالأحرى كيفية إعداد هذه المشكلة وحلها.

يبدو أنها تنطوي على التكاملات بطريقة ما.


محتويات

نمذجة الأمراض المعدية هي أداة تم استخدامها لدراسة الآليات التي تنتشر بها الأمراض ، وللتنبؤ بالمسار المستقبلي لتفشي الأمراض ولتقييم استراتيجيات السيطرة على الوباء. [1]

كان العالم الأول الذي حاول بشكل منهجي تحديد أسباب الوفاة هو جون غراونت في كتابه ملاحظات طبيعية وسياسية على مشاريع قوانين الوفياتفي عام 1662. كانت الفواتير التي درسها عبارة عن قوائم بأرقام وأسباب الوفيات تُنشر أسبوعياً. يعتبر تحليل غراونت لأسباب الوفاة بداية "نظرية المخاطر المتنافسة" والتي ، حسب دالي وجاني [1] ، "نظرية راسخة الآن بين علماء الأوبئة المعاصرين".

قام دانييل برنولي بأول حساب للنمذجة الرياضية لانتشار المرض في عام 1760. بعد أن تدرب كطبيب ، ابتكر برنولي نموذجًا رياضيًا للدفاع عن ممارسة التلقيح ضد الجدري. [2] وأظهرت الحسابات من هذا النموذج أن التلقيح الشامل ضد الجدري سيزيد من متوسط ​​العمر المتوقع من 26 عامًا و 7 أشهر إلى 29 عامًا و 9 أشهر. [3] عمل دانيال برنولي سبقت الفهم الحديث لنظرية الجراثيم.

في أوائل القرن العشرين ، طبق ويليام هامر [4] ورونالد روس [5] قانون العمل الجماعي لتفسير السلوك الوبائي.

شهدت العشرينيات ظهور نماذج مجزأة. يصف كلا من نموذج وباء كيرماك - ماكيندريك (1927) ونموذج ريد - فروست الوبائي (1928) العلاقة بين الأفراد المعرضين للإصابة والمصابين والمناعة في مجتمع ما. نجح نموذج وباء كيرماك-ماكيندريك في التنبؤ بسلوك الفاشيات المشابه جدًا للسلوك الذي لوحظ في العديد من الأوبئة المسجلة. [6]

في الآونة الأخيرة ، تم استخدام النماذج القائمة على الوكيل (ABMs) في مقابل نماذج مجزأة أبسط. [7] على سبيل المثال ، تم استخدام ABMs الوبائية لإبلاغ تدخلات الصحة العامة (غير الصيدلانية) ضد انتشار SARS-CoV-2. [8] تم انتقاد القذائف المضادة للصواريخ الوبائية ، على الرغم من تعقيدها وتتطلب قوة حسابية عالية ، لتبسيط الافتراضات وغير الواقعية. [9] [10] ومع ذلك ، يمكن أن تكون مفيدة في إبلاغ القرارات المتعلقة بتدابير التخفيف والقمع في الحالات التي يتم فيها معايرة الصواريخ المضادة للصواريخ بدقة. [11]

النماذج جيدة فقط مثل الافتراضات التي تستند إليها. إذا قام النموذج بعمل تنبؤات لا تتماشى مع النتائج المرصودة وكانت الرياضيات صحيحة ، يجب أن تتغير الافتراضات الأولية لجعل النموذج مفيدًا.

  • التوزيع العمري المستطيل والثابت ، أي أن كل فرد من السكان يعيش حتى العمر إل ثم يموت ، ولكل عمر (حتى إل) هناك نفس العدد من الناس بين السكان. غالبًا ما يكون هذا مبررًا جيدًا للبلدان المتقدمة حيث يوجد معدل وفيات أطفال منخفض ويعيش الكثير من السكان حتى متوسط ​​العمر المتوقع.
  • اختلاط متجانس للسكان ، أي أفراد من السكان يخضعون للتدقيق ويتواصلون بشكل عشوائي ولا يختلطون في الغالب في مجموعة فرعية أصغر. نادرًا ما يكون هذا الافتراض مبررًا لأن البنية الاجتماعية منتشرة. على سبيل المثال ، معظم الناس في لندن يتواصلون فقط مع سكان لندن الآخرين. علاوة على ذلك ، يوجد داخل لندن مجموعات فرعية أصغر ، مثل المجتمع التركي أو المراهقين (فقط لإعطاء مثالين) ، الذين يختلطون مع بعضهم البعض أكثر من الأشخاص خارج مجموعتهم. ومع ذلك ، فإن الخلط المتجانس هو افتراض معياري لجعل الرياضيات قابلة للتتبع.

تحرير العشوائية

"Stochastic" يعني وجود أو وجود متغير عشوائي. النموذج العشوائي هو أداة لتقدير التوزيعات الاحتمالية للنتائج المحتملة من خلال السماح بالتباين العشوائي في واحد أو أكثر من المدخلات بمرور الوقت. تعتمد النماذج العشوائية على الاختلافات المحتملة في مخاطر التعرض والمرض وديناميكيات المرض الأخرى. يمكن تحديد انتشار المرض على مستوى العامل الإحصائي في مجموعات سكانية صغيرة أو كبيرة عن طريق الأساليب العشوائية. [12] [13]

تحرير حتمي

عند التعامل مع أعداد كبيرة من السكان ، كما في حالة السل ، غالبًا ما يتم استخدام النماذج الرياضية القطعية أو الجزئية. في النموذج الحتمي ، يتم تعيين الأفراد من السكان إلى مجموعات فرعية أو مقصورات مختلفة ، يمثل كل منها مرحلة معينة من الوباء.

يتم التعبير عن معدلات الانتقال من فئة إلى أخرى رياضيًا كمشتقات ، ومن ثم تمت صياغة النموذج باستخدام المعادلات التفاضلية. أثناء بناء مثل هذه النماذج ، يجب افتراض أن حجم السكان في حجرة ما قابل للتفاضل فيما يتعلق بالوقت وأن عملية الوباء حتمية. بمعنى آخر ، يمكن حساب التغييرات في عدد السكان في المقصورة باستخدام التاريخ الذي تم استخدامه فقط لتطوير النموذج. [6]

ال رقم الاستنساخ الأساسي (دلالة بواسطة ص0) هو مقياس لمدى قابلية انتقال المرض. إنه متوسط ​​عدد الأشخاص الذين يصيبهم شخص واحد معدي على مدار فترة الإصابة. تحدد هذه الكمية ما إذا كانت العدوى ستنتشر بشكل أسي ، أو تموت ، أو تظل ثابتة: إذا ص0 & gt 1 ، فإن كل شخص في المتوسط ​​يصيب أكثر من شخص واحد ، لذلك سينتشر المرض إذا ص0 & lt 1 ، عندئذٍ يصاب كل شخص أقل من شخص واحد في المتوسط ​​وبالتالي سيموت المرض وإذا ص0 = 1 ، ثم يصيب كل شخص في المتوسط ​​شخصًا آخر بالضبط ، وبالتالي سيصبح المرض المتوطنة: ستتحرك في جميع أنحاء السكان ولكنها لن تزيد أو تنقص.

يقال إن المرض المعدي متوطن عندما يمكن أن يستمر في السكان دون الحاجة إلى مدخلات خارجية. هذا يعني ، في المتوسط ​​، أن كل شخص مصاب بالعدوى بالضبط شخص آخر (أي أكثر وسيزداد عدد المصابين بشكل كبير وسيكون هناك وباء ، أي أقل وسيموت المرض). من الناحية الرياضية ، هذا هو:

رقم الاستنساخ الأساسي (ص0) للمرض ، بافتراض أن الجميع معرضون للإصابة ، مضروبة في نسبة السكان المعرضين للإصابة بالفعل (س) يجب أن يكون واحدًا (نظرًا لأن الأشخاص غير المعرضين للإصابة لا يظهرون في حساباتنا لأنهم لا يستطيعون الإصابة بالمرض). لاحظ أن هذه العلاقة تعني أنه لكي يكون المرض في حالة الاستقرار المتوطنة ، فكلما زاد عدد التكاثر الأساسي ، يجب أن تكون نسبة السكان المعرضين للإصابة أقل ، والعكس صحيح. هذا التعبير له حدود فيما يتعلق بنسبة الحساسية ، على سبيل المثال ال ر0 يساوي 0.5 يعني أن S يجب أن يكون 2 ، ولكن هذه النسبة تتجاوز حجم السكان.

افترض التوزيع العمري الثابت المستطيل ودع أعمار العدوى لها نفس التوزيع لكل سنة ولادة. دع متوسط ​​عمر الإصابة يكون أ، على سبيل المثال عندما يكون الأفراد أصغر من أ هم عرضة وأولئك الأكبر سنا أ مناعة (أو معدية). ثم يمكن إثبات ذلك من خلال حجة سهلة مفادها أن نسبة السكان المعرضين للإصابة يتم تحديدها من خلال:

نكرر ذلك إل هو العمر الذي يُفترض في هذا النموذج أن يموت فيه كل فرد. ولكن يمكن إعادة ترتيب التعريف الرياضي للحالة المستقرة المستقرة لإعطاء:

هذا يوفر طريقة بسيطة لتقدير المعلمة ص0 باستخدام البيانات المتاحة بسهولة.

هذا يسمح لعدد التكاثر الأساسي للمرض المعطى أ و إل في أي نوع من توزيع السكان.

تصاغ النماذج المجزأة كسلاسل ماركوف. [14] من النماذج المجزأة الكلاسيكية في علم الأوبئة نموذج SIR ، والذي يمكن استخدامه كنموذج بسيط لنمذجة الأوبئة. يتم أيضًا استخدام أنواع متعددة أخرى من النماذج المجزأة.


شرح Adaboost ، خطوة واحدة في كل مرة

دعونا نراجع الصيغة التكرارية ، ونقسم كل ملاحظة في كل خطوة على مستوى حبيبي لسهولة الهضم.

1) معطى (x_1، y_1)،…. (x_m، y_m) حيث x_i ∈ X، y_i ∈

(x_1، y_1): العينة التدريبية الأولى (x_m، y_m) = نموذج التدريب الأول

الآن بعد أن أصبح لدينا جميع الرموز ، يمكننا قراءة الجزء الأول من الصيغة على النحو التالي:

"بالنظر إلى مجموعة التدريب التي تحتوي على عينات m حيث تكون جميع مدخلات x عنصرًا من المجموعة الإجمالية X وحيث تكون مخرجات y عنصرًا من مجموعة تتكون من قيمتين فقط ، -1 (فئة سلبية) و 1 (فئة موجبة) ..."

2) التهيئة: D1 (i) = 1 / m لـ i = 1،…، m.

هنا ، D = أوزان العينات و i = عينة التدريب من الدرجة الأولى. في أوراق أخرى ، سيتم كتابة D كـ W. وهكذا يقرأ البيان التالي:

"... تهيئة جميع أوزان العينات الخاصة بك إلى 1 مقسومًا على عدد عينة التدريب ..."

3) بالنسبة إلى t = 1،…، T:

* تدريب المتعلم الضعيف باستخدام التوزيع Dt.

* احصل على فرضية ضعيفة h_t: X - & gt

* الهدف: حدد h_t مع وجود خطأ مرجح منخفض:

Dt [h_t (xi) لا تساوي y_i]

Dt + 1 (i) = Dt (i) exp (-αt * y_i * h_t (x_i) / Zt

ε = الحد الأدنى لخطأ التصنيف الخاطئ للنموذج

α = وزن المصنف

Zt = عامل التطبيع ، يُستخدم للتأكد من أن الأوزان تمثل توزيعًا حقيقيًا

مع هذه الرموز في متناول اليد ، يمكننا قراءة الجزء التالي على النحو التالي:

"بالنسبة لمصنفات t = 1 إلى T ، قم بتلائمها مع بيانات التدريب (حيث يكون كل توقع إما -1 أو 1) وحدد المصنف مع أدنى خطأ تصنيف مرجح."

الصيغة المطلوب حسابها رسميًا ε يوصف على النحو التالي:

دعونا نحلل هذا النموذج بعينه.

y_i لا تساوي h_j = 1 إذا تم تصنيفها بشكل خاطئ و 0 إذا تم تصنيفها بشكل صحيح

وبالتالي ، تنص الصيغة على ما يلي: "الخطأ يساوي مجموع معدل الخطأ في التصنيف ، حيث لا يكون الوزن لعينة التدريب i و y_i مساويًا لتنبؤنا h_j (والذي يساوي 1 إذا تم التصنيف بشكل خاطئ و 0 إذا تم تصنيفه بشكل صحيح)."

دعونا نطبق رياضيات بسيطة لفهم المعادلة. ضع في اعتبارك وجود 4 عينات مختلفة بأوزان 0.5 و 0.2 و 0.1 و 0.04. تخيل أن المصنف h الخاص بنا توقع القيم 1 و 1 و -1 و -1 ، لكن قيمة المخرجات الفعلية y كانت -1 ، 1 ، -1 ، 1.

المتوقع: 1 1 -1 -1

الفعلي: -1 1 -1 1

الأوزان: 0.5 0.2 0.1 0.04

1 أو 0: 1 0 0 1

يؤدي هذا إلى الحساب التالي لمعدل الخطأ في التصنيف:

معدل الخطأ / الخطأ = (0.5 * 1 + 0.2 * 0 + 0.1 * 0 + 0.04 * 1) / (0.5 + 0.2 + 0.1 + 0.04)

الخطأ = 0.64285714285

بعد ذلك ، اختر وزن المصنف ، α ، بالصيغة التي تقرأ 1/2 * ln (1- خطأ / خطأ).

قد تشرح الرياضيات البسيطة بشكل أفضل مما يمكن أن تشرحه الكلمات هنا. افترض على سبيل المثال أن لدينا أخطاء 0.30 و 0.70 و 0.5.

سيتم حساب أوزان المصنفات لدينا على النحو التالي:

ε = 0.3

α = 1/2 * ln (1- 0.3 / 0.3) = 0.42365

ε = 0.7

α = 1/2 * ln (1- 0.7 / 0.7) = -0.42365

ε = 0.5

α = 1/2 * ln (1- 0.5 / 0.5) = 0

لاحظ ثلاث ملاحظات مثيرة للاهتمام: 1) المصنف بدقة أعلى من 50٪ ينتج عنه وزن إيجابي للمصنف (بمعنى آخر ، α & gt 0 إذا ε & lt = 0.5)، 2) المصنف بدقة 50٪ هي 0 ، وبالتالي ، لا يساهم في التنبؤ النهائي ، و 3) تؤدي الأخطاء 0.3 و 0.7 إلى أوزان المصنف بعلامات عكسية.

الآن يأتي الجزء المهم جدًا من المعادلة: تحديث أوزان كل عينة. لقد ذكرت أعلاه أن الهدف من التحديث هو إجبار المصنفات على التركيز على الملاحظات التي يصعب تصنيفها بشكل صحيح. يتم ذلك عن طريق إجراء حالات مصنفة بشكل خاطئ ليتم تحديثها بأوزان متزايدة بعد التكرار. الأوزان المتزايدة ستجعل خوارزمية التعلم لدينا تولي اهتمامًا أكبر لهذه الملاحظات في التكرار التالي. على العكس من ذلك ، ستحصل الحالات المصنفة بشكل صحيح على وزن أقل ، واهتمام أقل من قبل المصنفات لدينا في التكرار التالي.

مرة أخرى ، باستخدام الأرقام البسيطة كإيضاح ، يكون استيعاب المعلومات غير مؤلم. دعونا نستخدم معدل الخطأ 0.3 أعلاه للتعويض في الصيغة. تذكر أننا نبحث عن ملف خطأ مرجح منخفض. بمعنى آخر ، يجب ألا نستخدم معدل خطأ أعلى من 0.5. مع معدل الخطأ المنخفض ، دعونا نتحقق مما يحدث عندما يتم تصنيف الحالات بشكل خاطئ وعندما يتم تصنيف الحالات بشكل صحيح.

وهناك لديك! في حالة التصنيف غير الصحيح ، يصبح مصطلح exp أكبر من 1 ، وفي حالة التصنيف الصحيح ، يصبح مصطلح exp أقل من 1. لذلك ، فإن التصنيف غير الصحيح سيحصل على أوزان أعلى ، مما يدفع المصنفين لدينا إلى إيلاء المزيد من الاهتمام لهم في التكرار التالي ، في حين أن الحالة المعاكسة للتصنيف الصحيح ستؤدي إلى العكس.

نواصل هذا التكرار حتى أ) يتم تحقيق خطأ تدريب منخفض ، أو ب) تمت إضافة عدد محدد مسبقًا من المتعلمين الضعفاء (هذه معلمة تحت سيطرتنا). ثم نأخذ التنبؤ النهائي عن طريق جمع التنبؤ المرجح لكل مصنف.


6.2: تصنيفات المعادلة النموذجية - الرياضيات

إذا كانت مكتبة مربع الأدوات لا تحتوي على معادلة بارامترية مرغوبة ، يمكنك إنشاء المعادلة المخصصة الخاصة بك. ومع ذلك ، فإن نماذج المكتبات تقدم أفضل فرصة للتقارب السريع. هذا بسبب:

بالنسبة لمعظم نماذج المكتبات ، يحسب مربع الأدوات نقاط بداية المعامل الافتراضي المثلى. بالنسبة للنماذج المخصصة ، يختار صندوق الأدوات نقاط بداية افتراضية عشوائية على الفاصل الزمني [0،1]. أنت بحاجة إلى إيجاد نقاط بداية مناسبة للنماذج المخصصة.

تستخدم نماذج المكتبة اليعاقبة التحليلية. تستخدم النماذج المخصصة الفروق المحدودة.

تركيب خطي وغير خطي

يمكنك إنشاء معادلات عامة مخصصة باستخدام نوع احتواء المعادلة المخصصة. النماذج العامة هي مجموعات غير خطية من المصطلحات (ربما غير الخطية). يتم تعريفها بواسطة المعادلات التي قد تكون غير خطية في المعلمات. تستخدم المعادلة المخصصة إجراء ملاءمة المربعات الصغرى غير الخطية.

يمكنك تحديد معادلة خطية مخصصة باستخدام نوع ملاءمة المعادلة المخصصة ، على الرغم من أن الملاءمة غير الخطية أقل كفاءة وعادة ما تكون أبطأ من ملاءمة المربعات الصغرى الخطية.

إذا كنت لا تعرف ما إذا كان يمكن التعبير عن معادلتك كمجموعة من الدوال الخطية ، فحدد معادلة مخصصة. قد تحتاج إلى البحث عن نقاط بداية مناسبة.

إذا كنت بحاجة إلى ملاءمة المربعات الصغرى الخطية للمعادلات المخصصة ، فحدد نوع نموذج Linear Fitting بدلاً من ذلك. انظر التركيب الخطي المخصص.

تحديد ملاءمة معادلة مخصصة بشكل تفاعلي

في تطبيق Curve Fitting ، حدد Custom Equation من قائمة نوع النموذج.

استخدم تناسب المعادلة المخصصة لتحديد المعادلات الخاصة بك. يظهر مثال معادلة مخصصة عند التحديد معادلة مخصصة من القائمة ، كما هو موضح هنا لبيانات المنحنى.

إذا كانت لديك بيانات سطحية ، فإن مثال المعادلة المخصصة يستخدم كلاهما x و ذ.

يمكنك تحرير x و y و z لأي أسماء متغيرات صالحة.

في المربع السفلي ، قم بتحرير المثال لتحديد المعادلة المخصصة الخاصة بك. يمكنك إدخال أي تعبير صالح لـ MATLAB & # x00AE من حيث أسماء المتغيرات الخاصة بك. يمكنك تحديد وظيفة أو اسم البرنامج النصي (انظر ملاءمة منحنى محدد بواسطة ملف في تطبيق Curve Fitting).

انقر خيارات ملائمة إذا كنت تريد تحديد نقاط البداية أو الحدود. بشكل افتراضي ، يتم تحديد قيم البداية بشكل عشوائي على الفاصل الزمني [0،1] وتكون غير مقيدة. قد تحتاج إلى البحث عن نقاط بداية وحدود مناسبة. للحصول على مثال ، راجع تحليل بيانات ENSO المخصص غير الخطي.

إذا قمت بتعيين خيارات الملاءمة ثم قمت بتغيير إعدادات الملاءمة الأخرى ، فإن التطبيق يتذكر اختياراتك للحدود الدنيا والعليا ونقاط البداية ، إن أمكن. بالنسبة إلى المعادلات المخصصة ، يتذكر تطبيق Curve Fitting دائمًا قيم المستخدم ، ولكن بالنسبة للعديد من نماذج المكتبات إذا قمت بتغيير إعدادات الملاءمة ، يقوم التطبيق تلقائيًا بحساب أفضل القيم الجديدة لنقاط البداية أو الحدود الدنيا.

يمكنك حفظ معادلاتك المخصصة كجزء من جلسات تطبيق Curve Fitting المحفوظة.

يمكن أن تنفذ وظيفتك عدة مرات ، أثناء التركيب وأثناء المعالجة المسبقة قبل التركيب. انتبه إلى أن هذا قد يستغرق وقتًا طويلاً إذا كنت تستخدم وظائف ذات آثار جانبية مثل كتابة البيانات إلى ملف أو عرض معلومات التشخيص في نافذة الأوامر.

ملاءمة منحنى محدد بواسطة ملف في تطبيق Curve Fitting

يوضح هذا المثال كيفية توفير وظيفة أو اسم البرنامج النصي كنموذج مناسب في تطبيق Curve Fitting. حدد وظيفة في ملف واستخدمها لتناسب منحنى.

تحديد وظيفة في ملف MATLAB.

احفظ الملف على مسار MATLAB.

حدد بعض البيانات وافتح تطبيق Curve Fitting.

في تطبيق Curve Fitting ، حدد x و y في ملف بيانات X و بيانات ص القوائم.

استخدم الدالة المتعددة الوظائف في تطبيق Curve Fitting عن طريق تحديد نوع Custom Equation Fit ، ثم إدخال تعبير وظيفتك في مربع نص المعادلة المخصصة. تأخذ الوظيفة بيانات x وبعض المعلمات للتركيب.

ينشئ تطبيق Curve Fitting ملاءمة باستخدام وظيفتك.

إذا كنت تريد استخدام نفس الوظيفة للملاءمة في سطر الأوامر ، فاستخدم نفس التعبير كمدخل إلى fittype ، ثم استخدم fittype كمدخل للملاءمة:

تحديد ملائمة معادلة مخصصة في سطر الأوامر

لملاءمة النماذج المخصصة ، إما:

قم بتوفير نموذج مخصص للدالة fit في وسيطة الإدخال fitType. يمكنك استخدام تعبير MATLAB (بما في ذلك أي ملف .m) ، أو مصفوفة خلية من مصطلحات النموذج الخطي ، أو دالة مجهولة.

قم بإنشاء كائن fittype باستخدام الدالة fittype لاستخدامه كوسيطة إدخال لوظيفة fit.

يقوم هذا المثال بتحميل بعض البيانات ويستخدم معادلة مخصصة تحدد نموذج Weibull كمدخل لوظيفة الملاءمة:

لتحديد نموذج مخصص باستخدام fittype ، استخدم النموذج:

راجع صفحة مرجع fittype للحصول على تفاصيل حول:

تحديد المتغيرات التابعة والمستقلة ومعلمات المشكلة والمعاملات باستخدام fittype.

تحديد مصفوفة خلية من المصطلحات لاستخدام خوارزمية ملائمة خطية لمعادلتك المخصصة. إذا إكسبر عبارة عن سلسلة أو دالة مجهولة ، ثم يستخدم صندوق الأدوات خوارزمية ملائمة غير خطية.


شكوى DMCA

إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف إلى Varsity Tutor.

قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

يرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع الإلكتروني أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب أن تفكر أولاً في الاتصال بمحامٍ.

الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

يجب عليك تضمين ما يلي:

توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة وموقع المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

تشارلز كوهن فارسيتي توتورز ذ م م
101 طريق هانلي ، جناح 300
سانت لويس ، مو 63105


مثال 2: معادلات النموذج القياسي

أعد كتابة y = 1 / 2x + 4 بالشكل القياسي.

نحن نعلم الآن أن معادلات الصيغة القياسية لا ينبغي أن تحتوي على كسور. لذلك ، دعونا نحذف الكسور أولاً.

نظرًا لأن الكسر الوحيد هو 1/2 ، يمكننا ضرب كل الحدود في المقام (2) للتخلص من الكسر.

حل

الآن ، لنلقِ نظرة على مثال يحتوي على أكثر من كسر بمقامات مختلفة.


3. الصيغة التربيعية

في نهاية القسم الأخير (إكمال المربع) ، استنتجنا صيغة عامة لحل المعادلات التربيعية. هذه هي الصيغة العامة:

لأي معادلة تربيعية `ax ^ 2 + bx + c = 0` حلول x يمكن إيجادها باستخدام الصيغة التربيعية:

يمكن أن يخبرنا التعبير الموجود أسفل الجذر التربيعي ، "b ^ 2 & ناقص 4ac" ، عن عدد الجذور التي سنحصل عليها. (لا يوجد سحر هنا - مجرد اعتبار للجذر التربيعي لـ `b ^ 2 & 4ac`.)

إذا كان `b ^ 2 &-4ac = 0` ، فعندئذ سيكون لدينا جذر واحد فقط ، `س = & ناقص / (2 أ)`.

إذا كان "b ^ 2 & minus 4ac & gt 0" ، فسيكون لدينا جذران، واحدة تتضمن علامة & quot + & quot والأخرى تتضمن & quot & ناقص & quot علامة في الصيغة.

إذا كان "b ^ 2 & minus 4ac & lt 0" ، فسيكون لدينا لا جذور حقيقية، حيث لا يمكنك إيجاد الجذر التربيعي لعدد سالب.

يسمى التعبير "b ^ 2 & ناقص 4ac" مميز وفي بعض الكتب سترى أنه مكتوب بأحرف يونانية كبيرة دلتا ، مثل هذا `Delta = b ^ 2 & minus 4ac`.


6.2: تصنيفات المعادلة النموذجية - الرياضيات

يوفر برنامج الجبر هذا لابنتي القدرة على التعلم بشكل مستقل ، وتقديم الحقائق والتلميحات المفيدة قبل تقديم المشكلات لحلها. إنها تعمل بشكل جيد للغاية. . . أعتقد أن البرنامج يفسح المجال بشكل جيد لمساعدة الطلاب على مدار العام من خلال استكمال أي مواد يحصلون عليها في الفصل الدراسي العادي.
لاسي ماجي ، أريزونا

نظرة. منتجك جيد جدًا لدرجة أنه كاد أن يوقعني في مشكلة. كنت بحاجة إلى التفوق في الكلية بعد 15 عامًا من الانقطاع الأكاديمي ووجدت برنامجك. أخذت دورات عبر الإنترنت ، لذلك كنت أقوم بحل المشكلات بسرعة كبيرة ، حيث شكك النظام في الوقت بين المشكلات باعتباره عبقريًا خالصًا. مضحك ولكن الآن يجب أن أعمل بشكل أبطأ لإبعاد شاشة رادار المدربين. مضحك هيه؟ شكرا يا شباب تستحق المال.
ماري براون ، ND

شكرا على الرد السريع. الآن هذه خدمة العملاء!
آن ويلز ، كنتاكي

هذا شيء عظيم ، إنهاء الواجب المنزلي أسرع بكثير!
لاكيشا سميث ، أوهايو


الارتباط

الارتباط هو قياس مدى اقتراب الخط من النقاط التي وجدتها في تجربتك. يمكن لأي شخص أن يقول ما إذا كان يعتقد أن الخط مناسب أم لا ، ولكن لقياسه بالضبط ، نستخدم معامل الارتباط: R 2.

انظر إلى المخططين التاليين. في الأول ، يتناسب الخط جيدًا جدًا ، وفي الثاني ، يتناسب السطر بشكل سيء جدًا.

لاحظ أن القيمة R 2 تختلف في كلا الرسمين البيانيين. الخطوط التي تتلاءم مع النقاط بشكل أفضل لها قيمة R. R هو معامل الارتباط.

من مقارنة الرسوم البيانية بقيم R ، يمكنك على الأرجح أن ترى أنه كلما اقترب R من 1 ، كان الخط أفضل يناسب بياناتك. عندما تكون R بعيدة عن 1 ، لن يمثل خطك البيانات على الإطلاق. يمكن رؤية هذا بسهولة أعلاه ، ولمزيد من المعلومات يرجى الاطلاع على MathWorld.

لمعرفة كيفية العثور بسرعة على معادلة أفضل خط ملائم ومعامل الارتباط باستخدام Microsoft Excel (أو Open Office Software) ، قم بزيارة صفحة ويب Excel Line Regression الخاصة بنا.


شاهد الفيديو: Domain of a Function مجال الاقترانات. Part 1 (ديسمبر 2021).