مقالات

11.4.3: اتحاد وتقاطع مجموعتين - الرياضيات


نتائج التعلم

  1. أوجد اتحاد مجموعتين.
  2. أوجد تقاطع مجموعتين.
  3. تجمع النقابات بين التقاطعات والمكملات.

تتضمن جميع فئات الإحصاء أسئلة حول الاحتمالات التي تنطوي على اتحاد وتقاطعات المجموعات. في اللغة الإنجليزية ، نستخدم الكلمتين "Or" و "And" لوصف هذه المفاهيم. على سبيل المثال ، "ابحث عن احتمال أن يحضر الطالب فصل الرياضيات أو فصل العلوم." وهذا يعبر عن اتحاد المجموعتين بالكلمات. "ما هو احتمال أن الممرضة حاصلة على درجة البكالوريوس وأكثر من خمس سنوات من الخبرة في العمل في المستشفى." هذا يعبر عن تقاطع مجموعتين. سنتعلم في هذا القسم كيفية فك رموز هذه الأنواع من الجمل وسنتعرف على معنى النقابات والتقاطعات.

النقابات

يكون العنصر في اتحاد مجموعتين إذا كان في المجموعة الأولى أو المجموعة الثانية أو كليهما. الرمز الذي نستخدمه للاتحاد هو ( كوب ). الكلمة التي تراها غالبًا تشير إلى الاتحاد هي "أو".

مثال ( PageIndex {1} ): اتحاد مجموعتين

يترك:

[A = left {2،5،7،8 right } nonumber ]

و

[B = lbrace1،4،5،7،9 r دعامة بدون رقم ]

ابحث عن (أ كوب ب )

حل

ندرج في الاتحاد كل رقم موجود في A أو في B:

[A cup B = left {1،2،4،5،7،8،9 right } nonumber ]

مثال ( PageIndex {2} ): اتحاد مجموعتين

ضع في اعتبارك الجملة التالية ، "ابحث عن احتمال أن يكون للأسرة أقل من 6 نوافذ أو لديها عشرات النوافذ." اكتب هذا في مجموعة تدوين باتحاد مجموعتين ثم اكتب هذا الاتحاد.

حل

أولاً ، لنفترض أن A هي مجموعة عدد النوافذ التي تمثل "أقل من 6 نوافذ". تتضمن هذه المجموعة جميع الأرقام من 0 إلى 5:

[A = left {0،1،2،3،4،5 right } nonumber ]

بعد ذلك ، دع B يكون مجموعة عدد النوافذ التي تمثل "لديها عشرات النوافذ". هذه فقط المجموعة التي تحتوي على الرقم الفردي 12:

[B = left {12 right } nonumber ]

يمكننا الآن إيجاد اتحاد هاتين المجموعتين:

[A cup B = left {0،1،2،3،4،5،12 right } nonumber ]

التقاطعات

يوجد عنصر في تقاطع مجموعتين إذا كان في المجموعة الأولى وكان في المجموعة الثانية. الرمز الذي نستخدمه للتقاطع هو ( cap ). الكلمة التي ستراها غالبًا والتي تشير إلى التقاطع هي "و".

مثال ( PageIndex {3} ): تقاطع مجموعتين

يترك:

[A = left {3،4،5،8،9،10،11،12 right } nonumber ]

و

[B = lbrace5،6،7،8،9 r دعامة بدون رقم ]

ابحث عن (أ غطاء ب ).

حل

نحن ندرج فقط في التقاطع الأرقام الموجودة في كل من A و B:

[A cap B = left {5،8،9 right } nonumber ]

مثال ( PageIndex {4} ): تقاطع مجموعتين

ضع في اعتبارك الجملة التالية ، "أوجد احتمال أن يكون عدد الوحدات التي يأخذها الطالب أكثر من 12 وحدة وأقل من 18 وحدة." بافتراض أن الطلاب يأخذون عددًا كاملاً من الوحدات فقط ، اكتب هذا في مجموعة تدوين كتقاطع لمجموعتين ثم اكتب هذا التقاطع.

حل

أولاً ، لنفترض أن A هي مجموعة أرقام الوحدات التي تمثل "أكثر من 12 وحدة". تتضمن هذه المجموعة جميع الأرقام بدءًا من 13 وتستمر إلى الأبد:

[A = left {13، : 14، : 15، : ... right } nonumber ]

بعد ذلك ، لنفترض أن B هي مجموعة عدد الوحدات التي تمثل "أقل من 18 وحدة". هذه هي المجموعة التي تحتوي على الأرقام من 1 إلى 17:

[B = left {1، : 2، : 3، : ...، : 17 right } nonumber ]

يمكننا الآن إيجاد تقاطع هاتين المجموعتين:

[A cap B = left {13، : 14، : 15، : 16، : 17 right } nonumber ]

الجمع بين النقابات والتقاطعات والتكميلات

أحد أكبر التحديات في الإحصاء هو فك شفرة جملة وتحويلها إلى رموز. قد يكون هذا صعبًا بشكل خاص عندما تكون هناك جملة لا تحتوي على الكلمات "union" أو "intersection" أو "كاملة" ، ولكنها تشير ضمنيًا إلى هذه الكلمات. أفضل طريقة لتصبح بارعًا في هذه المهارة هي الممارسة والممارسة والممارسة أكثر.

مثال ( PageIndex {5} )

ضع في اعتبارك الجملة التالية ، "إذا رميت نردًا سداسي الأضلاع ، فابحث عن احتمال أنه ليس زوجيًا وليس 3." اكتب هذا في مجموعة التدوين.

حل

أولاً ، لنفترض أن A هي مجموعة الأعداد الزوجية وأن B هي المجموعة التي تحتوي على 3. فقط يمكننا كتابة:

[A = left {2،4،6 right }، : : : B : = : left {3 right } nonumber ]

بعد ذلك ، نظرًا لأننا نريد "ولا حتى" نحتاج إلى النظر في تكملة A:

[A ^ c = left {1،3،5 right } nonumber ]

وبالمثل ، بما أننا لا نريد "لا 3" ، فنحن بحاجة إلى النظر في تكملة B:

[B ^ c = left {1،2،4،5،6 right } nonumber ]

أخيرًا ، نلاحظ الكلمة الرئيسية "و". لذلك يطلب منا إيجاد:

[A ^ c cap B ^ c = : left {1،3،5 right } cap left {1،2،4،5،6 right } = left { 1،5 يمين } غير رقم ]

مثال ( PageIndex {6} )

ضع في اعتبارك الجملة التالية ، "إذا اخترت شخصًا بشكل عشوائي ، فابحث عن احتمال أن يكون الشخص أكبر من 8 أو أصغر من 6 ولا يقل عن 3 سنوات." اكتب هذا في مجموعة التدوين.

حل

أولاً ، لنفترض أن "أ" هي مجموعة الأشخاص الأكبر من 8 أعوام ، وأن تكون "ب" هي مجموعة الأشخاص الذين تقل أعمارهم عن 6 أعوام ، وأن تكون "ج" هي مجموعة الأشخاص الذين تقل أعمارهم عن 3 سنوات. يمكننا أن نكتب:

[A = left {x mid x> 8 right }، : : : B : = : left {x mid x <6 right }، : C = يسار {x mid x <3 right } nonumber ]

يطلب منا أن نجد

[A cup left (B cap C ^ c right) nonumber ]

لاحظ أن تكملة " (<)" هي " ( ge )". هكذا:

[C ^ c = left {x mid x ge3 right } nonumber ]

بعد ذلك نجد:

[B cap C ^ c = left {x mid x <6 right } cap left {x mid x ge3 right } = left {x mid3 le x <6 right } nonumber ]

أخيرًا ، نجد:

[A cup left (B cap C ^ c right) = : left {x mid x> 8 right } cup left {x mid3 le x <6 right } لا يوجد رقم ]

أوضح طريقة لعرض هذا الاتحاد هو على خط الأعداد. يعرض خط الرقم أدناه الإجابة:

ممارسه الرياضه

لنفترض أننا اخترنا شخصًا عشوائيًا ونهتم بإيجاد احتمال أن يكون شهر ميلاد الشخص بعد شهر يوليو ولم يأت بعد سبتمبر. اكتب هذا الحدث باستخدام مجموعة التدوين.

  • على سبيل المثال: أوجد تقاطع مجموعة ومكمل باستخدام مخطط Venn
  • تقاطع وتكميلات المجموعات

11.4.3: اتحاد وتقاطع مجموعتين - الرياضيات

قراءات للجلسة 7 - (تابع)

اتحاد المجموعات والإضافة

كيف ترتبط عملية الإضافة المستخدمة في المشكلة التالية بالمجموعات؟

كان لدى Sam حسابان توفير. كان لديه 836 دولارًا في حساب واحد و 429 دولارًا في حساب آخر. ما مقدار المال الذي امتلكه سام في المدخرات؟

الحساب الأول عبارة عن مجموعة من الدولارات حيث يمثل الرقم الكامل 836 مجموعة أساسية للمجموعة والحساب الثاني عبارة عن مجموعة من الدولارات برقم أساسي 429. الحسابان منفصلان وبالتالي ، لا تحتوي المجموعتان على أي عناصر ( دولار) مشترك. الإضافة ، 836 دولارًا + 429 دولارًا = 1،265 دولارًا ، تعطي رقمًا صحيحًا جديدًا يمثل العلاقة الأساسية لمجموعة جديدة وهي اتحاد المجموعتين المنفصلتين (الحسابات).
في هذا القسم ، نوضح العلاقات بين إضافة الأعداد الصحيحة واتحاد المجموعات. نظهر اختلافًا في عملية الجمع عندما تكون المجموعتان منفصلتان وعندما لا يكون تقاطعهما هو المجموعة الفارغة.

لدى آندي طائرتان ولدى بيلي ثلاث طائرات. كم عدد الطائرات التي لديهم جميعا معا؟

في الصورة ومخطط فين ، هناك مجموعتان أ و ب. لاحظ أن المجموعات مفككة ، ن(أ ) = 2, ن(ب) = 3,
و ن(أب ) = 2 + 3 = 5.

لدى آن 12 دولارًا متاحًا للإنفاق ولدى بوب 16 دولارًا متاحًا للإنفاق. لكن 7 دولارات من أموالهم في حساب مشترك. كم من المال لديهم جميعا معا؟

في مخطط فين هذا ، هناك مجموعتان أ و ب. لاحظ أن المجموعات ليس منفصل، ن(أ) = 12, ن(ب) = 16,
لكن الآن (أب) = 21 ≠ 12 + 16 = 28.

هل يمكنك أن تشرح لماذا لا يمكنك فقط إضافة 12 و 16 لإيجاد المجموع؟

لاحظ أن ن(أب) = ن(أ) + ن(ب) − ن(أب) وهذه الصيغة تعمل مع كل من مواقف مخطط Venn أعلاه. سنرى هذه العلاقة مرة أخرى عندما ندرس الاحتمال.

تحفز المشاكل المذكورة أعلاه التي تتضمن مجموعات التعريف التالي لجمع الأعداد الصحيحة.

جمع الأعداد الصحيحة: يترك أ = ن(أ) و ب = ن(ب) أين أ و ب مجموعتان محدودتان منفصلتان. ثم أ + ب = ن(أب ).

الأعداد الصحيحة أ و ب وتسمى إضافات
والنتيجة أ + ب يسمى مجموع .


إدخال رمز الاتحاد (∪) والتقاطع (∩) في ملف نصي لبرنامج Flash 8

لقد عملت في اختبار الرياضيات في الرياضيات لنظرية المجموعات حيث يتم سحب الأسئلة في ملف نصي داخل Flash. يريد المعلم تضمين الاتحاد (∪) ورمز التقاطع (∩) في مشاكله ، فما العمل إذن؟

والخبر السار هو أنه إذا كان بإمكانك إنشاء ملف نصي UTF-8 وإدخال الرموز ، فسيتم استيراده إلى Flash (على الأقل في Flash 8.) بالنسبة للرياضيات ، فإن أفضل رهان هو عادةً استخدام الأداة المساعدة Windows Character Map وإدراجها الرموز في ملف نصي لـ Notepad أو استخدم Macintosh Character Palette مع تحرير النص أو ملف نصي BBEdit. لسوء الحظ ، لا تزال العملية صعبة بعض الشيء في كلا النظامين الأساسيين ، لكنها أفضل مما كانت عليه في عام 2005.

شبابيك

يجب عليك فتح كل من المفكرة (ابدأ »الملحقات) وخريطة الأحرف (ابدأ» الملحقات »أدوات النظام)

بالنسبة لـ Windows Character Map ، إنها عملية شبه معقدة. يجب عليك تبديل الخط إلى Arial Unicode MS (لأنه يحتوي على جميع الرموز الرياضية) ، ثم قم بالتمرير لأسفل إلى النافذة حتى ترى قسم الرياضيات. ثم عليك تحديد كل رمز ونسخه ولصقه في المفكرة.

في المفكرة ، عند حفظ الملف ، يجب عليك التأكد من تغيير قائمة الترميز الموجودة أسفل اسم الملف من "ANSI" إلى "UTF-8". لحسن الحظ ، سوف يحذرك.

ماكنتوش

في تحرير النص لنظام التشغيل Mac ، انتقل إلى تحرير »أحرف خاصة لإحضار لوحة الأحرف. انقر على رياضيات الخيار والبحث عن الرمز. قم بتمييز وانقر فوق "إدراج" لوضعه في "تحرير النص".

بمجرد إدخال الرموز ، يجب عليك التأكد من ضبط الترميز على UTF-8 أثناء عملية الحفظ. اذهب إلى قائمة التنسيق وحدد "Make Plain Text". بعد ذلك ، عند حفظ الملف ، يجب عليك التأكد من تغيير قائمة الترميز الموجودة أسفل اسم الملف من "MacRoman" إلى "UTF-8".

إعادة فتح ملفات UTF-8 في Mac Text Edit

في تحرير النص ، إذا أعدت فتح ملف UTF-8 ، فقد يتحول بطريقة سحرية إلى MacRoman (سترى أشياء مثل Á وبدلاً من شخصيتك المقصودة). مزعج جدًا (grr !!) لمنع ذلك ، يجب عليك الانتقال إلى تفضيلات تحرير النص ، ثم النقر فوق لوحة فتح وحفظ. تأكد من تعيين خيارات Plain Text Encoding للفتح والحفظ على "UTF-8". أو يمكنك الحصول على ترخيص BBEdit أو Mellel وهما الأفضل في تحذيرك.

أما الفلاش - لا تزال الخطوط صعبة بعض الشيء في Flash ، لكنها على الأقل تعمل بشكل جيد مع الملفات النصية.


ما هو اتحاد المجموعات؟

لكن هذا & rsquos ليس كل ما يمكننا فعله بالمجموعات. من الأمور ذات الأهمية الخاصة في الوقت الحاضر عمليتان محددتان و [مدش] تسمى أولهما العثور على مجموعات & ldquounion & rdquo. تخيل أن لديك مجموعتين: مجموعة أسماء جميع أنواع الفاكهة المباعة في سوق المزارعين المحليين والمجموعة التي تحتوي على أسماء الفاكهة المفضلة لديك. فقط من أجل مثالنا ، دعنا نتخيل أن المجموعة الأولى و [مدش] مجموعة كل الفاكهة في المزارعين المحليين وسوق [رسقوو] و [مدش] خمسة عناصر: <خوخ ، نكتارين ، برقوق ، تفاح ، فراولة>. ودع & rsquos تتخيل أن فواكهك المفضلة تشكل مجموعة من ثلاثة عناصر: <الكرز ، الموز ، الخوخ>.

اتحاد هذه المجموعات هو المجموعة الجديدة التي تشكلت من خلال الجمع بين العناصر الفريدة المختلفة من كل مجموعة فردية. وبعبارة أخرى ، فإنه & rsquos التناظرية للإضافة للمجموعات. في حالة مثالنا ، الاتحاد هو المجموعة الجديدة: <خوخ ، نكتارين ، برقوق ، تفاح ، فراولة ، كرز ، موز>. لاحظ أن مجموعة الفواكه في سوق المزارعين الخاص بك تحتوي على خمسة عناصر ، وتحتوي مجموعة الفواكه المفضلة لديك على ثلاثة عناصر ، ويتكون اتحاد هاتين المجموعتين من سبعة عناصر. لذلك أضفنا مجموعة مكونة من خمسة عناصر إلى مجموعة مكونة من ثلاثة عناصر للحصول على مجموعة مكونة من سبعة عناصر & hellip وهو واحد أقل من 3 + 5 = 8. ماذا حدث للعنصر الآخر؟ حسنًا ، كما تعلمنا في المقالة الأخيرة ، لا يمكن أن تحتوي المجموعة على نسختين من نفس العنصر. في هذه الحالة ، نظرًا لأن الخوخ يُباع في سوق المزارعين و rsquo ، وهو أيضًا أحد الفواكه المفضلة لديك ، فإن اتحاد المجموعتين يحتوي على نسخة واحدة فقط من هاتين النسختين من element & ldquopeach. & rdquo


خصائص تقاطع المجموعات

نظرًا لأن لدينا خصائص للأرقام ، فإن تقاطع المجموعات له أيضًا بعض الخصائص المهمة. يسرد الجدول التالي خصائص تقاطع المجموعات.

اسم العقار / القانون قاعدة
القانون تبادلي أ ∩ ب = ب ∩ أ
القانون الترابطي (أ ∩ ب) ∩ ج = أ ∩ (ب ، ج)
قانون ϕ و U ϕ ∩ أ = ϕ ، ش أ = أ
قانون العدم (أ ∩ (ب ∪ ج) = (أ) ب) ∪ (أ ∩ ج)
(أ ∪ (ب ∩ ج) = (أ) ب) ∩ (أ ∪ ج)

ملاحظات هامة:

  • (A ∩ B) هي مجموعة كل العناصر المشتركة في كلتا المجموعتين A و B.
  • إذا كانت A ∩ B = ϕ ، فإن A و B تسمى مجموعات منفصلة.
  • ن (أ ∩ ب) = ن (أ) + ن (ب) - ن (أ ∪ ب)

موضوعات متعلقة بتقاطع المجموعات

تحقق من بعض المقالات الشيقة المتعلقة بتقاطع المجموعات.

أسئلة صعبة:

حاول حل هذه الأسئلة الصعبة المتعلقة بموضوع تقاطع المجموعات في الرياضيات!


تعيين التقاطع: تقاطع ثلاث مجموعات

في هذه الدروس ، سنتعلم تقاطع ثلاث مجموعات ، وكيفية تظليل مناطق مخططات فين التي تتضمن ثلاث مجموعات ، وكيفية حل المشكلات باستخدام مخطط فين المكون من ثلاث مجموعات (ثلاث دوائر).

مخططات فين من ثلاث مجموعات

ال تداخل من ثلاث مجموعات X و Y و Z هي مجموعة العناصر المشتركة بين المجموعات X و Y و Z. ويشار إليها بـ X ∩ Y ∩ Z.

مثال:
ارسم مخطط فين لتمثيل العلاقة بين المجموعات
س = <1 ، 2 ، 5 ، 6 ، 7 ، 9> ، ص = <1 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 8> و
Z =

حل:
نجد أن X ∩ Y ∩ Z = <5، 6>، X ∩ Y = <1، 5، 6> ،
ص ∩ ع = <3 ، 5 ، 6 ، 8> و X ∩ ع =

بالنسبة إلى مخطط Venn:
الخطوة 1: ارسم ثلاث دوائر متداخلة لتمثيل المجموعات الثلاث.

الخطوة 2: اكتب العناصر في التقاطع X ∩ Y ∩ Z.

الخطوة الثالثة: اكتب العناصر المتبقية في التقاطعات:
X ∩ Y و Y Z و X Z.

الخطوة 4: اكتب العناصر المتبقية في المجموعات المعنية.
لاحظ أنك تبدأ في ملء مخطط Venn من العناصر الموجودة في التقاطع أولاً.

بشكل عام ، هناك العديد من الطرق التي قد تتقاطع بها 3 مجموعات. وترد أدناه بعض الأمثلة.

كيفية تظليل مناطق مخططات فين التي تتضمن ثلاث مجموعات

مخططات فين: مناطق التظليل بثلاث مجموعات ، الجزء 1 من 2
يوضح هذا الفيديو كيفية تظليل مناطق مخططات فين التي تتضمن ثلاث مجموعات.

مثال:
تظليل المنطقة المشار إليها:

مخططات فين: مناطق التظليل بثلاث مجموعات ، الجزء 2 من 2
المزيد من الأمثلة لإظهار مناطق التظليل لمخططات فين التي تتضمن ثلاث مجموعات.

مثال:
تظليل المنطقة المشار إليها:
3) (أ ، ب) 'ج
4) (أ '∩ ب') ∩ ج '

كيف تكتب تعبيرًا لمنطقة مخطط فين؟
قم بإنشاء تعبير لتمثيل جزء المخططات التفصيلية من مخطط Venn الموضح.

تعرف على مخططات Venn ذات الثلاثة مجموعات الفرعية
اكتب العناصر الموجودة في (أ ∪ ب ') ∩ ج

كيفية حل مشاكل الكلمات باستخدام مخططات فين المكونة من 3 مجموعات؟

مشكلة مخطط فين ذات 3 دوائر
استخدم المعلومات المعطاة لملء عدد العناصر في كل منطقة من مخطط Venn.
يحل هذا الفيديو مشكلتين باستخدام مخططات فين. واحد بمجموعتين والآخر بثلاث مجموعات.

مثال 1:
تمت مقابلة 150 طالبًا جامعيًا جديدًا.
تم تسجيل 85 في فصل الرياضيات
تم تسجيل 70 في فصل اللغة الإنجليزية
تم تسجيل 50 لكل من الرياضيات واللغة الإنجليزية

  1. كم عدد المسجلين فقط في فصل الرياضيات؟
  2. كم عدد المشتركين في فصل اللغة الإنجليزية فقط؟
  3. كم عدد المسجلين في الرياضيات أو اللغة الإنجليزية؟
  4. كم عدد المسجلين في لا الرياضيات ولا اللغة الإنجليزية؟

المثال 2:
100 كانوا من الطلاب الذين تمت مقابلتهم
تولى 28 PE
استغرق 31 السيرة الذاتية
تولى 42 المهندس
9 أخذ PE و Bio
10 أخذ PE و Eng
6 ـ تولى بيو والمهندس
4 أخذ جميع المواضيع الثلاثة
كم عدد الطلاب الذين لم يأخذوا أيًا من المواد الثلاثة؟
كم عدد الطلاب الذين أخذوا PE ، لكن ليس Bio أو Eng؟
كم عدد الطلاب الذين أخذوا Gio و PE ولكن ليس Eng؟

كيفية حل مشكلة مخطط فين التي تنطوي على ثلاث مجموعات؟
مثال:
تم مسح 110 طالبة جامعية
25 درس الفيزياء
45 علم الأحياء
45 الرياضيات
10 ـ أخذوا الفيزياء والرياضيات
8 ـ أخذ علم الأحياء والرياضيات
6 ـ أخذ الفيزياء والبيولوجيا
5 أخذ كل ثلاثة
أ. كم عدد الطلاب الذين درسوا علم الأحياء ، لكن لا درسوا الفيزياء ولا الرياضيات؟
ب. كم عدد الطلاب الذين درسوا علم الأحياء أو الفيزياء أو الرياضيات؟
ج. كم عدد الطلاب الذين لم يأخذوا أيا من المواد الثلاثة؟

كيف تملأ مخطط فين من 3 دوائر؟
في هذا الفيديو نتناول مسألة أساسية في الكلمات تتضمن ثلاث مجموعات. نستخدم مخطط فين للإجابة على سلسلة الأسئلة.

مخطط Venn التظليل حاسبة أو Solver
أدخل تعبيرًا مثل (A Union B) Intersect (Complement C) لوصف مجموعة مكونة من مجموعتين أو ثلاث مجموعات والحصول على الترميز ومخطط Venn. استخدم الأقواس ، والاتحاد ، والتقاطع ، والتكملة.

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


تقاطع واتحاد الديكورات الداخلية

ضع في اعتبارك مساحة طوبولوجية (E ). للمجموعات الفرعية (A، B subseteq E ) لدينا المساواة [
A ^ circ cap B ^ circ = (A cap B) ^ circ ] والتضمين [
A ^ circ cup B ^ circ subseteq (A cup B) ^ circ ] حيث يشير (A ^ circ ) و (B ^ circ ) إلى التصميمات الداخلية لـ (A ) وب).

دع & # 8217s يثبت ذلك (A ^ circ cap B ^ circ = (A cap B) ^ circ ).

لدينا (A ^ circ subseteq A ) و (B ^ circ subseteq B ) وبالتالي (A ^ circ cap B ^ circ subseteq A cap B ). نظرًا لأن (A ^ circ cap B ^ circ ) مفتوح ، فلدينا (A ^ circ cap B ^ circ subseteq (A cap B) ^ circ ) لأن (A ^ circ cap B ^ circ ) مفتوح و ((A cap B) ^ circ ) هو أكبر مجموعة فرعية مفتوحة من (A cap B ).

على العكس من ذلك ، يشير (A cap B subseteq A ) إلى ((A cap B) ^ circ subseteq A ^ circ ) وبالمثل ((A cap B) ^ circ subseteq B ^ دائري ). لذلك لدينا ((A cap B) ^ circ subseteq A ^ circ cap B ^ circ ) الذي يختتم إثبات المساواة (A ^ circ cap B ^ circ = (A غطاء ب) ^ دائرة ).

يمكن للمرء أيضًا إثبات التضمين (A ^ circ cup B ^ circ subseteq (A cup B) ^ circ ). ومع ذلك ، فإن المساواة (A ^ circ cup B ^ circ = (A cup B) ^ circ ) لا تصمد دائمًا. لنقدم & # 8217s بعض الأمثلة المضادة.

بالنسبة للأول ، دع & # 8217s تأخذ من أجل (E ) الطائرة ( mathbb R ^ 2 ) الممنوحة بالطوبولوجيا المعتادة. بالنسبة لـ (A ) ، نأخذ قرص إغلاق الوحدة ول (B ) الطائرة مطروحًا منها قرص الوحدة المفتوحة. (A ^ circ ) هو قرص الوحدة المفتوح و (B ^ circ ) الطائرة مطروحًا منها قرص الوحدة المغلق. لذلك (A ^ circ cup B ^ circ = mathbb R ^ 2 setminus C ) يساوي المستوى ناقص دائرة الوحدة (C ). بينما لدينا [A cup B = (A cup B) ^ circ = mathbb R ^ 2. ]

بالنسبة للمثال المضاد الثاني ، نأخذ (E = mathbb R ) الممنوح بالطوبولوجيا المعتادة و (A = mathbb R setminus mathbb Q ) ، (B = mathbb Q ). هنا لدينا (A ^ circ = B ^ circ = emptyset ) وبالتالي (A ^ circ cup B ^ circ = emptyset ) بينما (A cup B = (A cup B) ) ^ circ = mathbb R ).

لا يساوي اتحاد التصميمات الداخلية لمجموعتين فرعيتين دائمًا الجزء الداخلي من الاتحاد.


11.4.3: اتحاد وتقاطع مجموعتين - الرياضيات

قراءات للجلسة 5 - (تابع)

تقاطع المجموعات

قبل مواصلة قراءة هذه الجلسة ، قد ترغب في مراجعة التعريفات الرياضية للكلمات و و أو يتم تغطيتها لاحقًا في هذه الجلسة.

تداخل : العملية المحددة تداخل يأخذ فقط العناصر الموجودة في كلتا المجموعتين. يحتوي التقاطع على العناصر المشتركة بين المجموعتين. التقاطع حيث تتداخل المجموعتان.

مخطط Venn لـ أب يظهر إلى اليمين حيث تمثل المنطقة المظللة المجموعة أب.

مثال: يترك أ = <ا ب ت ث> و ب = <ب ، د ، هـ>. ثم أب = <ب ، د>.
العناصر ب و د هي العناصر الوحيدة الموجودة في كلا المجموعتين أ و ب .

مثال: يترك جي = <ر ، أ ، ن> و ح = <ن ، أ ، ت>. ثم جيح = <أ ، ن ، ت>. لاحظ ذلك هنا جي = ح = جيح .

مثال: يترك ج = <2 ، 6 ، 10 ، 14 ،…> و د = <2، 4، 6، 8،…>. ثم جد = <2, 6, 10, 14, …>= ج.

مثال: لماذا هو الموقع الذي يسمى فيه الشارع وتقاطع الجادة تداخل؟ الموقع موجود في كل من الشارع والجادة.

مثال: يترك ه = <يوم> و F = <ليلة>. ثم هF = ∅ .

ملحوظة: في جميع الأمثلة ، التقاطع هو مجموعة فرعية من كل مجموعة تشكل التقاطع ، أي ، أبأ و أبب.

مجموعات منفصلة: يتم استدعاء مجموعتين يكون تقاطعهما هو المجموعة الفارغة مجموعات منفصلة.

مثال: يترك ه = <يوم> و F = <ليلة>. حيث هF = ∅ ، المجموعات ه و F هي مجموعات منفصلة.


تقاطع مع المجموعة الفارغة

تُظهر لنا إحدى الهوية الأساسية التي تتضمن التقاطع ما يحدث عندما نأخذ تقاطع أي مجموعة مع المجموعة الفارغة ، والتي يُشار إليها بالرمز # 8709. المجموعة الفارغة هي المجموعة التي لا تحتوي على عناصر. إذا لم تكن هناك عناصر في مجموعة واحدة على الأقل من المجموعات التي نحاول إيجاد تقاطع لها ، فلن تشترك المجموعتان في أي عناصر. بعبارة أخرى ، فإن تقاطع أي مجموعة مع المجموعة الفارغة سيعطينا المجموعة الفارغة.

تصبح هذه الهوية أكثر إحكاما باستخدام تدويننا. لدينا الهوية: أ ∩ ∅ = ∅.


الاتحاد والتقاطع والمجموعة الفارغة

لقد ناقشت المجموعات الفارغة في مقال سابق. لقد استمعت إلى & # 8217t حتى الآن إلى البودكاست الأخير من The Math Dude ، جايسون مارشال ، والذي قدم فيه مجموعات ومجموعات فرعية. مثل هذه المصادفة الغريبة اعتقدت أنني سأستمر في طريقنا الموحد.

هذا الأسبوع ، تحدثت Math Dude اللطيفة عن اتحاد وتقاطع المجموعات. لذلك أنا & # 8217m متجهًا إلى هناك أيضًا & # 8211 ودمج المجموعة الفارغة. (ملاحظة: لقد امتنعت & # 8217 عن الاستماع إلى هذا البودكاست حتى كتابة هذه المقالة ونشرها. * ضحك متحمس *)

الاتحاد والتقاطع لهما رموز.

تمثل هذه الرموز & # 8220operations & # 8221 (مثل الجمع أو الضرب) التي تقوم بها في زوج من المجموعات. يطلق عليهم الكأس والغطاء ويبدون وكأنهم ، حسنًا ، كوب وغطاء. أو حرف U والمقلوب U. يوnion هو U والتقاطع هو الآخر & # 8211 الذي & # 8217s كيف أتذكره وأعلمه.

من أجل التوضيح ، أستخدم SnackTraps سهل الاستخدام من Daughter & # 8217s كما في الصورة أعلاه.

الاتحاد هو كل شيء.

& # 8217m باستخدام الحرفين L و R لليسار واليمين في الصورة.

ينتج عن اتحاد المجموعتين جميع القطع من كل مجموعة ، وكلها محشورة معًا. (وإذا كان هناك عنصر متكرر ، فأنت تأخذه مرة واحدة فقط.)

اتحاد المجموعتين هو كل شيء مدمج (بدون تكرارات).

لنأخذ & # 8217s مجموعة جميع الولايات التي تحد تكساس ومجموعة جميع الولايات التي تحد أوكلاهوما ، مثل هذا:

ثم سيكون اتحاد الاثنين & # 8220 مجموعة جميع الولايات التي تحد كل من تكساس أو أوكلاهوما أو كليهما & # 8221 وستكون T U O =

لاحظ أننا لا نحتفظ بالنسخ المكررة.

التقاطع هو فقط الأشياء المشتركة.

باستخدام نفس المجموعتين L و R من الأعلى ، يمكنني أخذ التقاطع.

التقاطع هو فقط الأشياء المشتركة بينهما (نتخلص من التكرارات هنا أيضًا).

لنعد & # 8217s إلى مجموعتنا من جميع الولايات التي تحد تكساس وأوكلاهوما:

ثم سيكون التقاطع بين الاثنين & # 8220 مجموعة جميع الولايات التي تحد كل من تكساس وأوكلاهوما ، في نفس الوقت & # 8221 وستكون T ∩ O = .

ماذا يحدث للمجموعة الفارغة؟

عندما تبدأ في رمي المجموعة الفارغة في المزيج ، فإنك تتبع نفس القواعد.

بالنسبة للنقابة ، تقوم برمي كل شيء في كلا المجموعتين في حقيبة واحدة. حسنًا ، نظرًا لأنه لا يوجد & # 8217s في المجموعة الفارغة ، & # 8220 كل شيء & # 8221 هي المجموعة الأصلية الأخرى!

اتحاد المجموعة الفارغة بأي شيء. هو نفس التراجع!

بالنسبة للتقاطع ، تأخذ فقط الأشياء المشتركة بين الاثنين. نظرًا لأن المجموعة الفارغة لا تحتوي على أي شيء & # 8211 ، فلا يوجد شيء مشترك.

تقاطع المجموعة الفارغة مع أي مجموعة أخرى هي فقط المجموعة الفارغة - لا يوجد شيء مشترك على الإطلاق!

فكر في الأمر & # 8230

هل يذكرك هذا بأي شيء؟ ما هي أوجه الشبه بين هذا وبين الجمع أو الضرب (أو الطرح أو القسمة)؟ اسأل أطفالك هذه الأسئلة أيضًا.

اخرج بعض الفخاخ والمكعبات (أو خريطة) وابدأ في ذلك! اسمحوا لي أن أعرف كيف تسير الأمور في التعليقات.

مقالات ذات صلة

قد يعجبك ايضا.

قد يحتوي هذا المنصب الروابط التابعة لها. عند استخدامها ، فإنك تدعمنا حتى نتمكن من الاستمرار في تقديم محتوى مجاني!

5 الردود على الاتحاد والتقاطع والمجموعة الفارغة

في الفقرة & # 8220 ماذا يحدث للمجموعة الفارغة؟ & # 8221. تعجبني فكرة أن كوبين ، أحدهما فارغ والآخر به بعض الأشياء ، لا يوجد بينهما شيء مشترك ، وبالتالي فإن المجموعة الفارغة هي تقاطع!

ما حيرني قليلاً هو ماذا لو حاولنا إيجاد تقاطع كوبين مع كل الأشياء المختلفة فيهما؟ والنتيجة هي مرة أخرى مجموعة فارغة. علاوة على ذلك ، إذا ظهر السؤال ، ما هي جميع المجموعات الفرعية لمجموعة معينة ، فسيكون , , , , , , ، يا (مجموعة فارغة). هنا استخدمت مثالك Square، Triangle، Rectangle كاختصار. يمكننا أن نرى أن قوة المجموعة (مجموعة من جميع المجموعات الفرعية) هي بالضبط 2 ^ 3 = 8 أي 2 ^ (# من العناصر) وهذا يشمل مجموعة فارغة أيضًا!

بعبارة أخرى ، يمكن القول أيضًا أن المجموعة الفارغة هي عنصر شائع للمجموعة الفارغة وأي مجموعة أخرى ، والتي تبدو كأنها عبارة مختلفة مفادها أن المجموعة الفارغة لا تشترك في أي شيء مع مجموعة من الكائنات. في الواقع ، المجموعة الفارغة هي مجموعة فرعية من أي مجموعة. إذا أفرغنا الكأس ، فسنرى أن هناك مجموعة فارغة هناك أيضًا وأنها مشتركة مع الكوب الآخر (الفارغ أو الفارغ) ، أي المجموعة الفارغة الأخرى ، على الجانب الأيسر من علامة التقاطع.

شكرا ناش! أنا أحب مجموعة الطاقة & # 8211 فقط يمكنني & # 8217t الحصول على ما يكفي منه (ربما لأنني & # 8217m غيور جدًا ، أريد أن أكون Power Bon).

أنت تكتب & # 8220 يمكن أيضًا أن نقول إن المجموعة الفارغة هي عنصر شائع للمجموعة الفارغة وأي مجموعة أخرى. & # 8221 أعتقد أنك ربما أخطأت في الكتابة. المجموعة الفارغة شائعة مجموعة فرعية من كل من المجموعة الفارغة وأي مجموعة أخرى ، ولكن ليس مشتركًا جزء. كان هذا هو الهدف من المقال السابق على مجموعات فارغة. لا توجد مجموعة فارغة داخل الكوب الفارغ & # 8211 الكأس الفارغ هو المجموعة الفارغة.

أعتقد أنك قد تعني أن المجموعة الفارغة هي عنصر مشترك لمجموعات القوة للمجموعة الفارغة وأي مجموعة أخرى.

مجموعة الطاقة لمجموعة فارغة = <<> > (المجموعة التي تحتوي على المجموعة الفارغة)
مجموعة الطاقة = <, , , , , , , <> > (ما كتبته)

في هذه الحالة ، تكون المجموعات الفارغة عناصر من المجموعات الأكبر & # 8211 وهي تقاطع الاثنين.

أمثلة ورسومات رائعة! يمكن لأي شخص التمرير فعليًا والتعرف على النقابات والتقاطعات والمجموعة الفارغة من خلال الصور وقراءة التعليقات. رائعة للغاية.

اقتراحي؟ & # 8220 اكتب & # 8221 كتاب مصور للرياضيات فقط مع التسميات والتعليقات التوضيحية والعناوين. سيكون مثل تلخيص الروايات في تغريدة من 160 شخصية! (أم أنها 140؟)


شكوى DMCA

إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف إلى Varsity Tutor.

قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

يرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع الإلكتروني أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب أن تفكر أولاً في الاتصال بمحامٍ.

الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

يجب عليك تضمين ما يلي:

توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك وموقعه الدقيق ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

تشارلز كوهن فارسيتي توتورز ذ م م
101 طريق هانلي ، جناح 300
سانت لويس ، مو 63105


شاهد الفيديو: العمليات على شكل فن: إتحاد مجموعتين وتقاطع مجموعتين والفرق بين مجموعتين (ديسمبر 2021).